[Mcgraw-hill] Resistencia de Materiales - Luis Ortiz Berrocal

RESISTENCIA

MATERIALES

LUIS ORTIZ BERROCAI,

Catedrático de Elasticidad y Resistencia de blateriairs Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Industriales

Universidad Politécnica de Madrid

M A D R I D BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA. MEXICO NUEVAYORK P A N A M A - SAN J U A N SANTAFE DE BOGOTA . SANTIAGO SAO PAULO AUCKLAND HAMBURGO LONDRES MlLAN . MONTREAL NUEVA DELHI

PARiC SAN FRANCISCG SIDNEY SJNGAPUR ST. LOUlS . TU<!O TOP.C!NTC

Presentación -

---- El contenido de esta obra, al igual @nuestra «Elasticidad», está encuadrado en el de un curso de «Elusricidad j 9 Resistencia de Mareriales» para alumnos de esta disciplina en Escuelas Técnicas. Aunque ésra se puede considerar como una continuación de aquélla en el desarrollo de la asignarura que impartimos en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Madrid, por +tender que el estudio de las bases de la teoría de la Elasticidad debe preceder al de la Resistencia de Materiales, se repilen aquí las conclusiones de algunos epígrafes con objeto de que pueda ser utilizada como te.uro de («Resisrencla de Materiales)) sin haber esrudiado previamente la Elasticidad. En tal caso habría que admitir estas conclusiones a modo de axionlas y tener siempre presente que los innumerables estudios desarrolla- dos aplicando los metodos de la teoría de la Elasricidad son los que avalan la validez de las hipótesis simplificativas que se hacen en Resisrencio de Materiales como son, por ejemplo, la conservación de las secciones planas, la pequeñez de deformaciones, etc.

Sin temor a equi~ocar~los podriamos afirmar que sin la e.uistencia de la teoría de la Elasticidad la Resistencia de Materiales se reduciría a unu serie de «recetas)) para resolver la itinumerable casuisrica de los cuerpos elásticos como elementos resistentes, que se presentan en la práctica.

El desarrollo del curso de Resistencia de Materiales presupone que el alumno posee los recursos propios del cálculo infnitesimal, cálculo integral, geomerría de masas en lo referente a saber calcular centros de gravedad y momentos de inercia de figuras planas, y, fundamentalmente, de la Estática, sin cuyo conocimiento es impensable poder obtener un suficiente aprouechamiento del CU,~SO.

El contenido de la obra se mueve en el campo de la Elasticidad lineal, u~ilizando el prisma mecánico como modelo teórico de sólido elástico.

En el primer capíiuio se hace uno introducción al estudio de la Resistencia de Materiales ~ a r c a n d o sus obje~ivos y estableciendo los principios generales, que con~pletan las conclusio-

nes de la teoría de la Elasticidad, para poder desarrollar la disciplina siguífendo e! método lógico-deductivo.

En el resto de los capirulos se hace un únálisis sistemárico de las acciones que se derivan

i de una soliciración externa actuando sobre un prisma mecánico. Y este estudio se hace considerando los efectos producidos por cada una de las posibles magnirudes causanres,

j actuando cada una de ellas independientemente de las otras. Así, los esfuerzos normal y i cortante que someten al prisma a tracción o compresión y a cortadura, respectivamente, son

trarados en los Capírulos 2 y 3. Aunque este orden-no permite más que referirse a la tcxía elemental de la cortadura, que

$ ? dista mucho de ajustarse al modelo real, presenta venrajas en el plano didactico para exponer

f los métodos de cálculo de uniones remachadas, arornilladas y soldadas, cuyo fundamento se encuentra en ella.

j

Los cinco capítulos siguientes se dedican al estudio de la fie.uii>ti, en su.5 múltiples aspectos. Etí los dos primeros de éstos se e.upone la teoria general haciendo en uno de ellos un málisis del estado tensional que se crea en el prisma nlecánico cuando se le somete a fle-uión pura o jle.~ión rimple. J. en el orro, el estudio de las rleforn7ucioiie.s prociucidas por la mismu cuusa.

La jlexion según dos direcciones, esto es, los casos de fle'ción desciada, así con10 cuundo ésta va acompañada de compresión o tracción (jlexión conipuesra), son tratadas en el Cupitirlo 6.

Se derlicri orro capiritlo a e.uponer un nié!odo general para el cúlculo de sistetnas hiperestaticos: el nlétodo de los fuerzas, aconsejable para resolcer problemus de pequeña dificul- rad ya que problemas mas complejos, como pueden ser los cálculos de las estructuras de eddicios, caen dentro del campo de otra disciplina: /a crteoria de las estructuras)).

El itnporrante tenia del pandeo es tratado en el Capítulo 8. en el que hay que abandonar una de las hipótesis firndamenrales admitidas en Resistencia de ;Materiales cual es la de pequeñez de las deformaciones.

Con la exposicióti de la teoria de la torsión en el Capirulo 9 se completa el esiudio indivitiuolCado de cada una de las formas de trabajar del prisma mecanico. Se expone la reoria de 1u torsión de Saint- Venant desde el punto de vista de la reoria de la Elasticidad.

Finalmente. Un úlritno capitulo se dedica al estudio de los estados tensional y de defortna- ciones cirando la .solicitación que actúa sobre el pristt~a mecánico es arbitraria. Era necesario ucnbor lu obra con un tenia que nos hiciera ver la generalidad de aplicación de las teorías de la Resisrencia de hfateriales a todo tipo de piezas. El esiudio itidividualizado de los efectos hecho unteriortnente L. la consideración reiterada de piezas rectas podria llecar erróneamente a la creencia que lo e.rpitesto sólo es aplicable a este tipo de piezus.

Sin enlbargo, hay qite hacer la obsercación que todo lo aqui e.upuesto no es sino una mera introducción a lo qire hoy se considera como el cuerpo de doctrina propio de la Resisrencia de Materiales, cuya evolirción histórica en los últimos cinczrenta años ha sido verdaderamente notable.

Acruu/mente entran dentro del campo de nuestra disciplina temas tales como los referentes a la fatiga y la teoría de la Plasticidad. Se han incorporado otros, como puede ser la teoria de placas y enr~olventrs, que rradicior~almente eran rrarados en Elasticidad. Y es de esperar en un futuro muy próximo la incorporación a la Resistencia de r materiales de algunos remas de la reoria no !Niea1 de los sistemas elasricos.

Pero éstos ,v algunos otros temas pueden ser el objero de otra obra si el favor de los lectores a ésta así lo aconsejara.

Para un estudiante de ingenieria, cualquiera que sea su especialidad, no basta la siniple con1prensión de la teoria, ya que de nada le vale si nU sabe aplicarla. Por ello, al final de cada capitulo se han resuelto quince problemas, nii.wero más gire razonable si se tiene en cuenta que es éste un libro en el que se exponen las teorías fundamentales de la Resistencia de Materiales y ní, un libro de !7roblemas. Se recomienda que el lector proceda a la resolución de ellos sin mirar la solución dada en e1 texto, y solamente después de haber ¡legado a sus resulta+s cotnpruebe si son ks_rlos correctos y contraste Ia bondad del método que haya podido seguir para resoiverlos.

En toda la obra se ha procurado utilizar el Sistenza Internacional de Unidades, aunque en Resistencia de Mate;ia!es no sería aconsejable actualniente dejar d2 considerar unidades drrivados iotlio son p c q r e z m !ES ? P . ~ ~ o ~ P S . Pn kp,lcrn2 por la utilización =.%tendida que se hace de estas unidades en las tablas de los catálogos técnicos.

PKESENTACIOK is

Se ha oprado por usar la notacibn kp paru denotar la unidad defuer:~, kilogranio-jirer:~ o kilopondio, y distinguirlo así de kilogranlo-niasa, tratatzdo2e evitar la posible confirsión en que pueden caer los que tzo nianejan con la debida soltura los sisteinas de unidades.

Debo de agradecer a los profesores A . Ros J, V. ZrrhCarrera, colaboradores en las tarecl.7 del departatnento, por 10s atinadas ohservacioties que han hecho a la lectura de los originaler.

No quiero acabar esta breve presentación sin pedir benevolencia al.lictor por los posibles fallos y erratas que pirdiera tener esta niodesra obra, que esto,v seguro tendrá, a pesar del e.+íer:o hecho para evirílrlas.

Y , finaltnente, desear qire esto obra seu & interés a los que decidieron /iclcer de /o ingenieria su profesión.

Luis ORTIZ BERROCAL Madrid, mayo de 1990

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Contenido -

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Presentación

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notaciones

Capítulo 1. lntroduccion al estudio de la resistencia de materiales

1.1. Obieto v finalidad de-la Resistencia de Materiales 2 ,

1.2. Concepto de sólido elást ico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Modelo teórico de sólido utilizado en Resistencia de Materiales. Prisma me- . .

cantco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Equilibrio estático y equilibrio elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Estado tensional de un prisma mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Estado de deformación de un prisma mecánico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Principios generales de la Resistencia de Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Relaciones entre los estados tensional y de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Esfuerzos normal y cortante y momentos de ilexión y de torsión: sus rela-

ciones con las componentes de la matriz de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Tipos de solicitaciones exteriores sobre un prisma mecánico . . . . . . . . . . . . . .

1.1 1. Reacciones de las ligaduras. Tipos de apoyos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. Sistemas isostáticos e hiperestáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13. Noción de coeficiente de seguridad. Tensión admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14. Criterios de resistencia. Tensión equivalente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15. Teoría del potencial interno. Teoremas energéticos Eiercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 2. Tracción y compresión

2.1. Esfuerzo normal y estado tensional de un prisma mecánico sometido a trac- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ción o compresión monoaxial

. . . . . . . . . . . 2.2. Estado de deformaciones por tracción o compresión monoaxial 2.3. Tensiones y deformaciones producidas en un prisma recto por su propio

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . peso. Concepto de sólido de igual resis:encia

- vii

2 4 Expresión del potencial interno de un prisma mecánico somerido a tracción . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o iompresinn rnonoaxial

7.5. Tracci011 o c3mpresihn mocoaxial hiperestáticr? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Tracción o cr?rnpresiór: n o n ~ a x i a ! producida por vari:icior.es tirrnicas o dciec- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tos de moctrijc

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Equilibrio d i hilos y cables - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Arcos tuniculares - . . . . .

2.9. Tracción o curnpresihn biaxiai. tnvnlventes de revol¿ición de pequeño es-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Deformaciones por esfuerzos cortantes 5.8. Método de Mohr para el cálculo de deforniaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Método de multiplicaci<jn de 10s graficos 5.10. Cálculo de desplazamientos en vigas sometidas a flexión rirriple mediante uso

de scries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 1. Deformaciones de una viga por efecto de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Flexión simple de vigas producida por irripacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13. Vigas de sección . . variable sornetidüs a flexión simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14. . Resortes . de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios .- 7-c..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pesor . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10. Traccion o ccmpresion triaxial

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capitulo 6. Flexión desviada y flexión compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 3. Cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Introuuccion :: 6.2. Flexión desviada en elidominio elástico. Análisis de tensiones . . . . . . . . . . . . . 6.3. Expresión del potencial interno de un prisma mecánico sometido a tlexión

desviada. Análisis de deformaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.. Relación entre la .traza del plano de carga y el eje neutro

. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Flexion compuesta

. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Tracción o compresión excéntrica. Centrc de pres io~e i . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Núcleo central de la jeccion . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Caso de materiales sin resistencia a la traccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Flexión de piezas curklis . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios

l . Cortadura pura. Teoría elemental de la cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Tension cortante pura

? 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 . Deformaciones producidas por cortadura pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Cálculo de uniones remachadas y atornilladas

7 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Cálculo de uniones soidadas Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

('apits-lo -l. 'l'eoria general de la fleuion. Análisis de tensiones . .

4. l . Intrnduccioii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , -. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t._. Flcxion pura. Ley de Naiiier + . - Fiesión simpie. Convenio de signos para esfuerzos cortantes y monieiltos Ílec-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . !ores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Determinación de momentos flectnre~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Determinación de esfuerzos cortantes

4.6. Relaciones entre e1 esfuerzo cortante. sl momento flector y la carga . . . . . . . . 4.7. Tensiones producidas en la flexión simple por el esfuerzo cortante. Teorema

de Colignon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Tensiones principales en flexicn simple

1.9. Vigas armadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 10. Vigas conpuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 1. Estudio de las tensiones cortantes en e1 caso de perfiles delgados sometidos

GJ a flexión simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12. Secciones de perfiles delgados con eje principal ieriica! que no lo es de sime-

iría. Centro de esfuerzos corzintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejsís!cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capitulo 7. Flexión hiperrstátics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Métodos de cálculo de vigas hiperestaticas de un solo tramo . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Viga empotrada en sus extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Viga empotrada por un extremo y apoyada en el otro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Vigas continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 7.6. Sistemas hiperestáticos. Grado de hiperestaticidad de un sistema . . . . . . . . . . . 7.7. Método de las fuerzas para el cálciilo de sistemas hiperestáticos

7.8. Aplicación del teorema de Castigliano para la resolución de sistemas hiper- , .

estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. Construcción de los diligramas de momentos flectores, esfuerzos cortantes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y normales en sistemas hiperestáticos 7.10. Cálcuio de deformaciones y desplazamientos en los sistemas hiperestátiios . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . Capitulo 5. Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones Capítulo 8. Flexión lateral. Pandeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Estabilidad del equilibrio ;lástico. Noción dc carga critica 8.3. Pandeo de barras rectas de secciCn constante sometidas z conipresi@c. Fór-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. compresión excéntrica de barras esbeltds

8.5. Grandes des;hzamientos en barras esbeltas sometidas a cumpresión . . . . . . . . , 5.6. V&ür de :a f ~ i r z a c i i i i ~ a s~gki i e: tipo <E s i : ~ t c i i : ~ i : s ~ de I U b~r:a. Lsegitud

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de pandeo

5.1. IntroducciGr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. MEtodo dr la doble integración para ia determinación de la deforinacion de

vigas rectas sometidas a T,-xión simple. Ecuación de la línea elástica . . . . . . . 5.3. Ecuación universal de la deformada de una viga de rigidez constante . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Teoremas de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Teorenias de lz vigz conjugada

5.6. Expresión ciei potencial interno de un prisma rnecár:icu sviiictido a Zexiüri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sinlple. Concepto de sección reducida

xiv CONTENIDO

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Limites de aplicación de la fórmula de Euler 500 8.8. Fórmula empirica de Tetmajer para la determinación de las tensiones criticas

en columnas intermedias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 8.9. Método de los coeficientes w para el cálculo de barras comprimidas . . . . . . . 504 8.10. Flexion compuesta en vigas esbeltas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 8.1 1. Pandeo de columnas con empotramientos elásticos en los extremos sm des-

plazamiento transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 10 8.12. Estabilidad de anillos sometidos a presión exterior uniforme . . . . . . . . . . . . . . 514 . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios 517

Capitulo 9. Teoría de la torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 . ,

9.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Teoría elemental de la torsión en prismas de sección circular . . . . . . . . . . . . . 9.3. Determinación de momentos torsores. Cálculo de ejes de transmisión de po-

tencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Expresión del potencial interno de un prisma mecánico sometido a torsión

pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Torsión en prismas mecánicos rectos de sección no circular . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 9.6. Estudio experimental de la torsión por la analogía de la membrana 9.7. Torsión de perfiles delgados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejerc~cios

Capítulo 10. Solicitaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

10.1. Expresión del potencial interno de un prisma mecánico sometido a una solici- . ,

tacion exterior arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 10.2. Método de Mohr para el cálculo de desplazamientos en el caso general de . . . . . .

una solicitacion arbitrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 10.3. Flexión y torsión combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 10.4. Torsión y cortadura. Resortes de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 10.5. Fórmulas de Bresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

Apéndice 1. Fórmulas generales de la Norma Básica MV-103 para el cílculo de uniones soldadas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

Apéndice 2. Tablas de perfiles laminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

Indice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681

Notaciones

Distancias., -' Ancho de fibra en la sección recta. Linea mcdia de un prisma mecánico. Circunferencias concentricas a los círculos de Mohr. Puntos. Constantes de integración. Círculos de Mohr. Curvatura; centro de esfuerzos cortantes; centro de presiones. Diámetro; distancia. Distancia del centro de gravedad del área de momentos flectores isostiticos del tFamo m-ésimo a su apoyo derecho. Diámetro. Distancia del centro de gravedad del área de momentos nectores i sos~i - ticos del tramo m-ésimo a su apoyo izquierdo. Matriz de deformación. Dilatación cúbica unitaria; excentricidad; espesor de envolvente de pe- queño espesor o perfil delgado; espesor de placa; paso de remachado. Coordenadas del centro de presiones en el plano de la sección recta. Módulo de elasticidad o módulo de Young. Funcicn; flecha. Fuerza de masa por unidad de volumen. Fuerza por unidad de superficie.

Fuerza. Centro dt: gravedad o baricentro de una sección recta; módulo de elasticidad transversal; coeficiente de Lamé. Altura. Componente horizontal de la reacción en el apoyo A. ~ a d i o de giro. Radio de giro mínimo. Momento de inercia polar de la sección recta respecto del centro de gravedad. Momento de inercia polar de la sección recta respecto del punto O. Momentos de inercia de la sección recta respecto a sus ejes principales de inercia. Módulo de torsión.

XV¡ Y@'i,ACIONES

constante de resorte; en pandeo Jm; constante. K Constarite: rigidez a tcrsión.

,Vi, K 2 , ... Constarites de integración. 1 Longitud.

1, Loriqitud de pandeo. m Momento por unidad de longitud; momento estático.

m,, m, ~viomentos estáticos áxicos. 'M, Momento de e~npotramiento. .L j Momento resiultante.

;c, Momento flector. :LI, Modulo del momento flector. :LG Momento torsor.

inercia de la sección recta.

minuto (rpm); normal exterior; dirección. n, Grado de hiperestaticidad exterior. ni Grado de hiperestaticidad interior. N Esfuerzo normal; potencia. O Origen de coordenadas. p Presión; carga por unidad de longitud. P Fuerza: carga concentrada; carga de compresión. P,, Czrza critica.

P,,,, Carga de pnadeo admisible. r Radio.

R Radio. R Resultante de un sistcmi de fcerzas.

R, Reacción en el apoyo A . R,, R,, Rz Componentes cartesianas de la resultante de un sistema de fuerzas.

R Reacción en la viga conjugada. s Longitud de arco de linea media. 1 Temperatura; coordenada homogknea; fiujo de cortadura. T Esfuerzo cortünte.

inercia de la sección. T(.(s) Ley de esfuerzos cortantes en la viga conjugada. [T! Ma!riz de tensioces. 6 Energía de deformación o potencial interno.

O

NOTACIONES xv i i

N Vector unitario. u. 0, Componentes cartesianas del vector desplazamiento de un punto.

V Volumen. i,', Componente vertical de la reacción en el apoyo .A. lV Módulo resistente a torsión. :% Módulo resistente a flexión.

Y, . : Coordenadas cartesianas; desplazamientos. s,, y,. :, Coordenadas del centro de gravedad.

Componentes cartesianas -.--+ de 7,. Componentes ~a-ftesianas de fa. Incógnitas hiperestáticas. Angulo; coeficiente de dilatación lineal. Compo,fientes cartesianos del vector unitario Ü.

Angugs que forma el vector unitario ü con las direcciones principales Deformación angular; coeficiente de ponderación; peso especifico; coeh ciente para e1 cálculo de remaches y tornillos. Valor doble de la deformacion transversal uniraria. Deformaciones angulares en los pianos ,ry, y- y :.Y.

Desplazamiento; desviación cuadrática media. 9

h, Vector desplazamiento del punto P. 8 , ; Coeficientes de influencia. A,¡ Desplazamientos. - E Vector deformación unitaria.

[y] Matriz columna representativa del vector deiormación unitaria. E,, E,, E, Alargamientos longitudinales unitarios en las direcciones de los eje-

coordenados. E , Deformación longitudinal unitaria en la dirección n.

61, ", E 3 Deformaciones principales. 0 Angulo; ángulo de torsión por unidad de longitud.

O Invariante lineal de la matriz de tensiones. L Vector traslación. j. Coeficiente de Larné; esbeltez.

. Valor minimn de la esbeltez para que sea aplicabie la fkrmula de Euler. i1 Coeficiente de Poisson. n Plano. p Radio de curvatura. Z Vector tensión en un punto según uii plano.

[¿] Matriz columna representativa del vector tensión. a , a G,, Tensiones normales en coordenadas cartesianas.

a,, a,, a: Componentes cartesianas de¡ vector tensión. - ,

a,, a,, a, Tensiones principales. a,,, Tensión admisible. G,, Tensión critica a pandeo. a, Límite elástico.

S,, Límite c!kstic~ a tracción.

xvii i NOTACIONES

Límite elástico a compresión. Tensión equivalente. Tensión de fluencia. Tensión limite. Tensión meridional. Tensión circunferencial. Tensión normal. Sección recta de un prisma mecánico. Tensión tangencia1 o cortante. Tensión admisible a cortadura. Tensiones tangenciales en coordenadas cartesianas. Angulo; carga ficticia; ángulo de torsión. Función de tensiones. Función de alabeo. Coeficiente de pandeo; velocidad angular; área sectorial. Vector de giro. Area de una sección recta. Sección reducida. Area parcial de una sección recta. Area del diagrama de momentos flectores isostáticos del tramo nl-Ssimo.

ALFABETO GRIEGO

alfa beta gamma delta épsilon zeta eta theta iota kappa lambda my

nY xi ómicron pi rho sigma tau ípsilon phi J' psi omega

Intuoducción al estudio de la resistencia de materiales

1.1. Objeto y finalidad de la Resistencia de Materiales

Al iniciar el estudio de cualquier disciplina es necesario establecer previamente su defini- ción y fijar con la máxima claridad y precisión los objetivos que se pretenden alcanzar.

Esto no siempre resulta fácil y el afán de formular una definición de la forma más simple posible puede llevarnos a dar una solución simplista que, sin poder tacharla de incorrecta, pueda ser incompleta e inexacta.

Aun a riesgo de caer en ello, podemos decir que las teorías de la Resisrencia de Marerioles tienen como objetivo establecer los criterios que nos permitan determinar e! material más conveniente, la fonna y las dimensiones más adecuadas que hay que dar a los elementos de una construcción o de una máquina para que puedan resistir la acción de las fuerzas exteriores que los solicitan, así como para obtener este resultado de la forma más económica posible.

Si sometemos dos cuerpos de la misma forma y dimensiones, pero de distinto material - c o m o podían ser dos vigas rectas, como la representada en la Figura 1.1, de escayola una y de acero otra- a un mismo sistema de fuerzas exteiiores que vamos aumentando pa~lat i~iamente, observaremos que el cuerpo de escayola es el primero en e; que se produce la rotura.

Diremos que el acero posee en mayor grado que la escayola la propiedad de resistencia mecánico, entendiendo por tal la capacidad de cponerse a la rotura al ser sometiao a una solicitación exterior.

En cuanto a las deformaciones que experimentan ambos materiales, observamos que son distintas. Llamaremos rigidez a la propiedad que presenta el material de oponerse a las deformaciones.

Esta consideración primera nos condiice a tratar de buscar dos magnitudes que nos permitan cuanrlricar estas dos propiedades. Se desprende, asimismo, la necesidad que se tiene en Resistencia de MazeriaIes de conocer !?S características mecánicas de los materiales y, en consecuencia, la importancia que tiene en esta ciencia el método experimental, es

INTRODCCCIOiI A L ESTUDIO DE L.\ RESISTENCIA DE MATERIALES 3

dccir, los ensayos en el laboratorio conducentes a la determinación, entre otras. de esas dos magnitudes.

ü n importante jspecio se deduce del ejemplo anterior. Si iniaginamos realizado un 0 sorte ideal. e1 mismn en ambas piezas. la distribución de fuerzas interiores que equivalen al

sistema de fuerzas que actúan a un lado del corte realizado, será la misma si el sistema de fuerzas exteriores es el mismo en los dos cuerpos y si en ambos materiales las deformacio-

3 nes son elásticas. Las normas de los distintos paises sobre las construcciones de todo tipo suelen

establecer límites superiores para los valores que pueden alcanzar los esfuerzos interiores y para las deformaciones de los diversos materiales.

4 Por consiguiente, podríamos decir que la Resistencia de Materiales permite determinar en gna pieza sometida a un sistema dado de fuerzas exteriores:

a) los esfuerzos interiores que se engendran en la pieza. h) las deformaciones que se originan:

y, en consecuencia. si esfuerzos interiores y deformaciones se mantienen inferiores a ciertos valores limites fijados de antemano.

Otro aspecto de gran importancia a tener en cuenta en la utilización de determinado material en un eleniento iiitegrante de una construcción es el de la estabilidad, entendiendo por tal la capacidad de aposición del elemento a grandes desplazamientos como conse- cricrncia de pequeñas variaciones de la solicitación exterior. El cilculo de la estabilidad de la pieza nos permitirá conocer su capacidad de conservar las formas de equilibrio que adopta en estado deformado.

Teniendo presentes las anteriores consideraciones~ podemos dar una definición m i s simple aún que la dada inicialmente, y decir que Resisrencia de ;Llareriales es la ciencia que trata del cálculo de la resistencia mecánica, rigidez y estabilidad de las piezas de una estructura *.

Sus objetivos se pueden resumir en la resolución de los dos problemas fundamentales siguientes:

1.' Problema dirnerzsiorznrlzierzro. Conocido el sistema de cargas que solicita a una pizza de uaa ebtri.lctura, calcular sus dimensiones para que las tensiones o esfuerzos internos unitarios y 12,s deformacionr.~ que se originan no sobrepasen unos valores límites fijados de aritemano.

2." Problernri de romnpr»bacióii. Conocida la solicitación exterior y hecho el dimensio- riamiento de la pieza, comprobar que las tensiones y deformaciones no sobrcpzsan los valores límites prefi;ados.

& Una observación es necesario hacer respecto a la relación entre la teoria de la Elastici- 3 dad y la Resistencia de Materiales, ya que los objetivos de ambas disciplinas son coinci-

I- dentes. La diferencia estriba eri el método seguido para llegar a resultados, ya que la Resistencia de Materiales disminuye la dificultad de la resolución de los problemas de la

- 4 3 teoría de la Elasticidad introduciendo hipótesis simplificativas. , 3 ES de señalar que la Resistencia de Materiales estudia la pieza de una estructura Por

1S9 ! Cuando en io que s;gue decimob csfrr.cfura, nos reienmos tanto a una consírucciún de rdiLcaci6n i ü m o 6

iíí un2 máquina.

ello, no abarca el estudio de los problemas que se refieren a la estructura en su conjunto. como puede Ser el de estimación de su estabilidad o su propio calculo. Estos temas Son 1ria:eria de otra disciplina: la teoria de Estrucrarac, a la que la Resistencia de ivlateriales ,irve de base, el conocirnien[o de ambas permitirá al ingeniero materializar sus ideas ;readoras dando las formas adecuadas al diseno y senrir la satisfacción que siente toco espiritu creador al ver plasmados en la realidad sus proyectos.

La Resistencia de Materiales tiene importantes aplicaciones en todas las ramas de la :ngenieria. Sus metodos los iitilizan los ingenieros aeroniuticos y navales para el diseiio I. construcción de aviones y bzrcos, respectivamente; los ingenieros civiles, al proyectar puentes. presas y cualquier tipo de estrti~tGYaC. los ingenieros de minas, para resolver la necesidad de conocimientos de construcción que exige su profesión; los ingenieros mecáni- cos, para el proyecto y construcción de maquinaria y todo tipo de construcciones mecáni- cas, como son los recipientes + presión; los ingenieros energéticos, para proyectar !os diferentes componentes de un ñeactor; los ingenieros metalúrgicos, por la necesidad que tienen del conocimiento de los materiales actuales para la búsqueda de nuevos materiales: los ingenieros eléctricos, para el proyecto de máquinas y equipos eléctricos, y, en fin, los ingenieros quimicos, para el diseño de instalaciones en industrias de su especialidad.

1.2. Concepto de sólido elástico

Lri h4ecinica teórica considrra indeformables los cucrpos materiales, ya se encuentren en esrado de movimiento o de ~ e p o s o . Esta propiedad no es, en el fondo. mis que una ~ibstracción, ya que no correbpondc en la realidaci a material alguno. Sin embargo. es de gran utilidad por la comodidsd y simplificación que introduce. Las conclusiones que se obtienen en gran número de casos son buenas aproximaciones de lo que realmente ocurre. Pero avanzando en el estudio de la Mecánica aplicada, se observa experimentalmente que las fuerzas que actúen sobre determinado cuerpo, que poseerá unas caracteristicas fisicas y geometricas propias, no pueden ser arbitrariamente grandes, pues el cuerpo se deforma y se rompe. Esta observación nos exige revisar el concepto de sólido que se admite en Mecinica.

Así pues, la idea de sólido que interviene con harta írecuencia en Física y principal- mente en Mecanica, evoluciona n medida que se efectba un estudio más profundo de los proUlergas que se derivan de la Estáiica aplicada.

Siguiendo la evolución indicada, haremos del sólido las tres siguientes consideraciones:

-Sólido rígido. -Sólido elástico. - Sólido verdadero.

Solirlo rígido es aquel que ante cualquier esfuerzo (por grande que sea) a que está sometido, la distancia entre dos mo!6culas cualesquiera permanece invariable.

Asi, cuando tenemos una viga AB apoyada en dos pilares (Fig. 1.1), que recibe una carga vertical P en un punto C, si suponemos que se trata de un sólido rigido, nos bastaría calcular los empujes o reacciones que debe recibir de los pilares, para conocer las fuerzas a que esta sometida.

Al hacer esta suposición no sería posible jamás la rotura de la viga en contra de lo que realmente sucede, comprobado por la experiencia, ya que al ir aumentando P siempre

4 RESISTENCIA DE MATERIALES

I

Figura 1.1.

existe un valor que provoca la rotura de la viga a pesar de que las reacciones en los pilares fuesen suficientes para equilibrar la carga P.

Surge, por tanto, la necesidad de estudiar en general los limites de las cargas que se pueden aplicar a un determinado cuerpo o bien el dimensionado que hay que darle para soportar cierto esfuerzo, con la condición siempre de que no exista peligro de rotura. Este estudio constituye, como hemos dicho anteriormente, el objeto de la Resisrencia de ~Mate- riales.

Naturalmente, si existiesen sólidos rígidos no existirían peligros de rotura ni deformaciones de ningún tipo y tanto la teoria de la Elasticidad como la Resisrencia de Materiales carecerian de objeto. Si pudiera construirse una viga con material que tuviera las propiedades de sólido rígido, por pequeña que fuera su sección y por grandes que fuesen las cargas a soportar, la estabilidad del sistema estaria asegurada siempre que se cumplieran las condiciones generales de equilibrio

R , = O ; R , = O ; R , = O

M,, = O ; M,, = O ; .MOL = O

siendo R,, R,, R, y M,,, M,,, M,,: las componentes referidas a un sistema cartesiano trirrectangular de la resultante de las fuerzas ejercidas sobre el sistema y del momento resultante de dichas fuerzas respecto de cualquier punto O.

En todo lo anteriormente expuesto hemos anticipado parcialmente el concepto de solido elastico que podemos definir como aquel que ante un esfucrzo exterior se deforina y recupe;a su forma primitiva al cesar la causa exterior.

A los sólidos elásticos se les supone una serie de cualidades como son las de isotropía, homogeneidad y continuidad.

Se dice que un cuerpo es isótropo cuando sus $kopiedades fisicas no dependen de la dirección en que se han medido en diclio cuerpo. Así, diremos que la isotropía que suponemos poseen los sólidos elásticos equivale a admitir la proyiedad de igual elasticidad en todas las direcciones*.

El suponer el sólido elástico homogéneo equivale a considerar que una parte arbitraria del mismo posee idéntica composición y caractensticas que otra cualquiera.

La propiedad de continuidad supone que no existen huecos entre particulas ni, por consiguiente, distancias intersticiales.

Cuando debido a un proceso natural o de fabricación los elementos componentes de un cuerpo están orientados en una determinada dirección, será preciso considerar la anisotropia de los mismos, como ccurre con 1s madera. los metales laminados en frío o los p lás t ic~s refurzados cor. fibras cuando se emplean para fabricar materiales compuestos.

INTRODUCCION A L ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 5

Algunas de estas propiedades, por ejemplo, isotropia y homogeneidad, suelen estar íntimamente unidas, pues si un cuerpo es igualmente elástico en cualquier dirección, es de suponer que sea homogéneo, e inversamente, si suponemos que es homogéneo es presumi- ble que sea isótropo. . .

Sin embargo, estas propiedades de isotropia, homogeneidad y continliidad no concurren en ningún material, ya sea natural o elaborado por el hombre: no es posible que se dé un grado de elasticidad exactamente igual en todas las direcciones debido a la distribución de sus átomos o moléculas en redes cristalinas ordenadamente dispuestas. Tampoco existe en la realidad la homogeneidad perfect* %TcTmo sabemos por las teorías modernas de la materia que ésta no es continua y ,que -existen espacios vacíos entre las moléculas y entre los mismos átomos que la componen.

No obstante, la consideración de sólido continuo es muy cómoda, pues permite admitir, cuando existe una dqormación debida a la aplicación de una fuerza a unas moléculas del sólido, que el esfuerzo es absorbido en parte por las moléculas próximas y de esta forma queda repartido de forma continua y apta para el cálculo.

Finalmente. solido verdadero es aquel que resulta de considerarlo como deformable ante los esfuerzos a que está sometido y falto de isotropía, homogeneidad y continuidad.

Los materiales a que nos refiramos en lo sucesivo los consideraremos como sólidos elásticos. Quiere ello decir que si microscópicamente no son ciertas las hipótesis que se hacen, sí lo son macroscópicamente, pues los resultados que se obtienen quedan sancionados por la experiencia.

Aún podremos en muchos casos, por ejemplo, cuando falte la homogeneidad en un sólido, considerar la existencia de varios sólidos elásticos dentro del sólido dado, cada uno de los cuales estará concretado por zonas que posean perfecta homogeneidad, y aplicarles las consideraciones teóricas que hagamos para los sólidos elásticos en general.

1.3. Modelo teórico de sólido utilizado en Resistencia de Materiales. Prisma mecánico

Con objeto de estudiar los sólidos elásticos crearemos un modelo teórico que vamos a denominar prlsma mecanico, que desde el punto de vista fisico posea las propiedades de isotropía, homogeneidad y continl~idad y que vamos d definir atendiendo a un criterio meramente geométrico.

Así, llamaremos prisma mecanico al sólido engendrado por una sección plana C de área Q cuyo centro de gravedad G describe una curva c llamada línea media o directriz, sirndo el plano que contiene a normal a la curva.

El prisma mecánico se dice que es alabeado, plano o, como caso particular de éste, recto, cuando es alabeada, plana o recta la línea media.

La línea media no ha de tener curvaturas muy pronunciadas, así como no deben existir cambios bruscos de sección al pasar de una arbitraria a otra próxima.

Si el área Q es constante, se aice que el prisma es de sección constante; en caso contrario diremos que el prisma es de sección variable.

Para los cálculos consideraremos unos ejes de referenc-, con origen en G; eje Gx la tangente a la línea media en este punto, y ejes Gy y Gz los principales de inercia de la sección 2 (Fig. 1.2). Como el plano de esta sección es normal a !a curva c, el eje GX es normal a los ejes Gy y Gz contenidos en 1. Por otra parte, los ejes Gy y Gz son ~rincipales

de inercia de ia sección que. según sabemos, son perpendiculares entre si, lo que indica que e! sistema de referencia que hemos definido en el prisma mecánico es un sistema de ejzs trirrectangulares.

La posición del punto G viene determinada por su abscisa curvilinea S, !ongitud del arco de cmva c contada a partir de un punto arbitrario, que puede ser el centro de gravedad G: de la sección extrema izquierda del prisma. Tomaremos como sentido positivo del eje Gs el correspondiente a los arcos crecientes sobre c. Los sentidos positivos de los ejes GJ y G: serán tales que hagan que el sistema de referenciü adoptado sea un sistema directo.

Mediante la aplicación dei tilerotfo d2 !(is seccioiies, realizando los cortes ideales ade- cuados, podemos reducir cualquier estructura. por compleja que sea, a un determinado número de prismas mecánicos.

Sobre cada una de estas piezas. ademis de las cargas que estin aplicadas. habrá que considerar en las secciones extremas la acción que el resto de la estructura ejerce sobre ella que. en general. se materializará en una fuerza y en un momento. Es evidente que en cua!quier sección común a dos piezas contiguas estas ítierzas y momentos respectivos serán vectores iguales y opuestos, en vi:tud del principio de acción y reacción.

La forma de los diversos prismas mecünicos que constituyen la mayoria de las estructuras, se reduce esencialmente a los siguientes tipos:

u ) Barro. Se llama asi al prisma mecánico cuyas dimensiones de la sección transversal son pequeñas, en comparación c o ~ la longitud de la linea media (Fig. 1.3).

En la mavorin de las estruciarah, tanto en ib ras como en construcción de maquinaria, es este tipo de prisma mecánico el que se utiliza. Dentro de este tipo, la mayor parte de barras utilizadas son prismas mecánicos p!anos, es decir, con linea media contenida en un plano, siendo éste. ademas. plano de simctria del prisma.

En la determinación de !a fornia de! pcisma meránics, es decir, de la pieza como elemento integrante de una estractura, re tendri en cuenta, fundamentalmente, la clase de material empleado y modo de trabajo a que va a estar sometido esta.

Por ejempio, en estructuras di: hormigón armado la forma más empleada es la sección transversal rectangular en vigas y cuadrada en pilares (Fig. 1.41, mientras que en estructuras metálicas secciones muy usuales son el perfil laminzdo doble te 1 en vigas, O dos secciones en U soldadas en pilares (Fig. 1.5).

6

INTRODUCCION 4L ESTUDIO DE L A RESlSTENClA DE MATERIALES 7

h) Pluco. Es un cuerpo limitado por dos planos. cuya distancia - 2 1 espesor- e: pequeña en comparación con las otras dos dimensiones. En ia Figura 1.6 se representa una placa rectangitlar y otra circular.

Pertenecen a este tipo las losas que se fabrican para tapar depósitos subterráneos, as; como las placas utilizadas como forjados en las edificaciones.

c ) Cúscciru. Es un cuerpo limitado pálf dos suprfisies no planas, a distancia pequeña en comparación con las otras dos dimensiones (Fig. 1.7).

t Son de este tipo casi todos los depósitos, como los tanques de agua, silo.. gasómetros, etc., así como las tuberías de gran diámetro y, en general. las estructur

t laminares

En los últimos tipos, es decir, en placas y ciscaras, en vez de linea media se utiliza la superficie media, que se define como la constituida por los puntos que dividen el espesor en dos partes iguales.

1.4. Equilibrio estático y equilibrio elástico

Para que un sólido rígido se encuentre en equilibrio es necesario y suficiente que se verifiquen las ecuaciones (1.2-1). que son las condiciones generales del equilibrio estático.

Estas seis ecuaciones no son otra cosa que la traducción analítica de dos condiciones fundamentales:

l." Que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido sea igual a cero. o lo que es lo mismo, que la resultante sea nula. Esta condición asegura que el sólido no tenga desplazamientos.

2." Que el momento resultante de todas las fuerzas respecto de cualquier punto sea igual a cero. Esta condición asegura que el sólido no experimente giros.

Téngase presente que momento resultante y momento de la resultante son conceptos distintos. Momento resultante de un sistema de fuerzas respecto a un punto es la suma de los momentos de las fuerzas que componen el sistema, respecto a dicho punto. Por el contrario, momento de la resclltante es. como su nombre indica, el momento respecto de un determinado punto de la resultante del sistema. Pero al ser la resultante vector libre no tiene sentido hablar de su momento, a menos que el sistema sea reducible a un único vector: su resultante; entonces el momento de la resultante respecto de un punto es el momento de ésta, supuesta su línea de acción el eje central del sistema.

Los vectores momento resultante y momento de la resultante respecto de un mismo punto son iguales cuando se verifica esta circunstancia, como ocurre en los sistemas de vectores concurrentes, paralelos o coplanarios.

Sin embargo, en un sólido elástico estas condiciones son necesarias pero no suficientes, ya que si suponemos realizado en el sólido un corte ideal y prescindimos de una de las partes, es necesario que el sistema de fuerzas interiores en los puntos de la sección ideal sea equivalente al sistema de fuerzas qve actúan sobre la parte eliminada. Llegamos así al concepto de equilibrio elástico que exige se verifiquen en un sólido elástico no sólo las condiciones del equilibrio estático, sino también que exista equilibrio entre las fuerzas exteriores y las internas en csda una de las infinitas secciones.

Esta Última condición es la característica del equilibrio elástico: es necesario que las fuerzas exteriores quc actúan sobre ei sólido sean contrarrestadas por las fuerzzs interiores de cohesión molecular. .

Como esto debe suceder en las infinitas secciones del sólido, y siendo imposible el estudio en todas ellas, lo que se hace es estudiar solamente las secciones que deben soportar un mayor esfuerzo y, lógicamente, si éstas resisten es de suponer que las sometidas a esfuerzos menores también lo hagan, sobreentendiéndose que las diversas secciones están constituidas por material homogéneo,.ya que hablamos de sólidos elásticos.

En definitiva, lo que realmente hacemos es considerar el solido como rígido excepto en una sección y comprobar si existe en ella equilibrio. Es como si las dos partes rígidas en que queda dividido el sólido estuviesen unidas por un muelle, e investigáramos si éste puede resistir los esfuerzos a que está sometido.

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 9

1.5. Estado tensional de un prisma mecánico*

Consideremos un prisma mecánico sometido a una solicitación exterior e imaginémoslo -

corrado idealmente en dos partes A y B por medio de un plano n (Fig. 1.8).

v Figura 1.8.

Si ahora suponemos suprimida una de las partes. por ejemplo la B, de la condición de equilibrio elástico se desprende la existencia de una distribución continua de fuerzas g, - definida en los puntos de A pertenecientes a la seccicin X, equivalente al sistema formado por la parte de la solicitación exterior que actúa sobre la parte suprimida.

Sea P un punto perteneciente a la sección X y AQ el área de un entorno de P contenido - en ella. Si AT es la resultante de las fuerzas correspondientes a los puntos de dicho entorno, se define como tensión en el punto P seg~jn el plat~o rr el siguiente limite:

Como se ve, la tensión ¿? es un vecior colineal con df y su .módulo representa la magnitud del esfuerzo interior ejercido en la sección C por unidad de xuperficie.

La componente de a, según la normal al plano n, recibe el nombre de tensión normal, y la proyección s sobre dicho plano se llama tensión tangencia1 o cortante. Al conjunto de ambas se denomina componentes intrínsecas del vector tensión.

Si ahora consideramos el entorno paralepipédico de un punto P interior del prisma, de aristas paralelas a los ejes de un sistema cartesiano O.~yz, sobre cada una de sus caras existe un vector tensión cuyas componentes intrínsecas normales tendrán las direcciones de los ejes coordenados respectivos, y las tangenciales se podrán descomponer a su vez en las direcciones de los dos ejes paralelos a la cara que se considere (Fig. 1.9).

Un determinado estudio de todo lo que se expone en este epigrafe se puede ver en el Capíiulo 2 de la obra Elusrrcr~lud, del autor

10 RESISTENCIA DE MATERIALES ¡

Figura 1.9. 1 i

Las tensiones normales las denotamos por

a", ( i = .Y. y, z )

1.

en donde el índice i indica el eje al cual son paralelas y convendremos en asignarles signo i positivo si son de tracción y negativo si se trata de compresión. t

Las tensiones tangenciales las representamos por:

r i j ( i , j = x, y, z), i + j (1.5-3) i t

indicando el primer índice i la dirección normal al plano en que actúa y el segundo j la dirección del eje al cual es paralela. En cuanto al signo de las iensiones tangenciales, diremos que son positivas cuando actuando en una cara vista (Fig. 1.9) tienen el sentido positivo de los ejes coordenados.

Si distinguimos con asterisco las tensiones en las caras de coordenadas x + dx, y + dy, 3 + dz, las relaciones que existen entre las tensiones correspondientes a caras paralelas, por ejemplo. las dos caras del paralelepipedo perpendiculares a! eje s, en virtud de la continiiidad de las tensiones, son:

For otra p i t e , sobre c! parale!epipcdo zctúan fuerzas de masa por unidad de volumen f,, cuyas componentes cartesianas llamaremos X, Y, 2.

6

INTRODUCCION A L ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 11

Pues bien. planteando las condiciones de eqiiilibrio estático del paralelepipedo aislado. del equilibrio de fuerzas se obtienen las ecuaciones de equilibrio interno

.----

Del equilibrio de momentos,~desp:eciando las fuerzas de volumen si existen, por tratarse de inítnitésimos de tercer orden frente a las fuerzas que actúan sobre las caras debidas a las tensiones que son infinitésimos de segundo orden, se obtiene:

Estas igualdades expresan el llamado teorema de reciprocidad de las rensiones range11- ciales: las componentes de las tecsiones cortantes en un punto correspondientes a dos planos perpendiculares, en dirección normal a la arista de su diedro, son iguales.

El conocimiento de los seis valores independientes (a,,. a,,, a,,, r,_, T z.r, s,,,) permite conocer el vector tensión ü(a,, o", o,) correspondiente a üna orientación genkrica derinida por el vector unitario normal Cía. 8, y), mediante la expresión

o bien

que indica que la matriz del vector tensión correspondiente a un determinado plano se obtiene multiplicando la matriz

denominada rnarriz de rensiones, por la matriz del vector unitario normal a dicho plano. De los infinitos planos de la radiación de vértice el puiito P existen tres, ortogonales

entre si, para los cuales los vectores tensión correspondientes son normales a ellos, care- ciendo, por tanto, de componente tangencial. Los vectores unitarios que definen estas tres direcciones, llamadas direcciones principales, se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones

(anr - a)r + 7,,.8 + rXzy = O T,.a T (o,, - a)B + r,,y = O (1.5-9)

C T , ~ ~ + lY3/1 t (anZ - a)? = Ci


en donde o toma los valores de las raice: de la ecuación curacterística

que se obtiene al imponer la condición de compatibilidad del anterior sistema hohocéneo de ecuaciones.

Las raíces de esta ecuación. que no son otra cosa que los valores propios de la matriz de tensiones [TI , reciben el nombre de terlsiotres principales. Son las tensiones correspondientes a los planos normales a las direcciones principales.

El lugar geométrico de los extremos de los vectores tensión para la infinidad de planos de la radiación de vértice el punto que se considera es un elipsoide llamado elipsoide de rensiones o elipsoide de Lamé. Su ecuación, referida a "n sistema de ejes coincidentes con las direcciones principales, es:

siendo u,, 02, G, los valores de las tensiones principales. Los vectores tensión correspondientes a los infinitos planos que pasan por un punto

son susceptibles de una representación eráfica plana por medio de sus componentes i n t rinsecas.

Si suponemos a, >, o, > o, y representamos en unos ejes coordenados planos, lievando en abscisas la tensión normal y en ordenadas la tensión tangencial, el punto M, representativo de la tensión de cualquiera de los planos de la radiación, pertenece al área sombreada en la Figura 1.10.

Figura 1.10. , ? I Las tres circunferencias de c ~ n t r o s en el eje de abscisas y de diámetros O, - a,, - 03 Y O , - o2 reciben el nombre de círculos de Mohr. l

I N T R O D U C C I O N A L E S T U D I O D E LA RESISTENCIA D E MATERIALES 13

1.6. Estado de deformación de un prisma mecánico*

Consideremos un sólido elástico en estado neutro, es decir, no sometido a solicitación :iizuna y, por consipiente, sin que se haya producido en e1 ninguna deformación.

Sea P un punto del mismo y Q otro punto perteneciente al entorno de P. tal que

vector referido a un sistema cartesiano ortogonal O-K-V; (Fig. 1.1 1) _---

Producida la deformación, los puntos P y Q pasan a las nuevas posiciones P' y Q' definidas por]oscrores corrimienlo d,(u, c, ti.) y dy(u ' , ", w'), respectivamente.

El vector P'Q' = d ' r se puede expresar de la siguiente forma

siendo:

Un detenido estudio de todo lo que se expone en este epígrafe se puede ver en el Capitulo 3 de la obra Elusticrdad, del autor.

P 7

14 RESISTENCIA DF MATERIALES

La ecuación (1.6-2) nos indica que el vector (17 que tiene por origen un punto P del sólido elástico y por extremo otro punto Q de su entorno antes de la deformación, se : convierte. después de producida ista. en otro vecTor $7, que se puede obtener a partir de a q u e l mediante ios siggientes pasos (Fig. i.!?):

INTRODL'CCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 13

Figura 1.12. P'

l." L&a traslacikdefinida por el vector corrimiento 6, del punto P mediante la cual ; PQ pasa a PQ,

2." Un oiro determinado por la rnarriz hemisimitrica [ H ] por el que pasa a ' -a

YQ,. 3 " Una dilatación definda por la matriz simétrica [ D I . mediante !a cual PQ, pasa -

finalmente a la posición P ' Q ' .

Fijado el punto P, los dos primeros pasos -traslación y giro- son comunes para ; todos los puntos del entorno de P, por !o que no tienen influencia en la deformación i propiamente dicha, ya que no se produce variación relativa alguna de las distancias entre i las particulas del sólido elástico. i

Es por ello que la deformación viene dada por la transformación [DI ú? y de ahí que la Í matriz [DI se denomine murriz de deforn~acion.

Esta matriz se suele poner de la siguiente forma: i ; 1

Sus términos tienen un fácil significado. Los situados en la diagonal principal, E,, E,, E = ,

indican los alargamientos unitarios en las direcciones de los ejes coordenados respectivos, mientras que los términos rectangulares, y,, y,,, y,,, representan las variaciones angulares experimentadas por ángulos inicialmente rectos de lados paralelos a los ejes coodenados x, J; .Y, 2, e y, :. respectivamente.

A1 ser simétrica la matriz de deformación se deduce la existencia de tres dtr:cciones ortogonales entre si, llaniadas direcciones principales, tales que el vector dado por la transformación [DI d7 no cambia de dirección, sino solamente de móaulo.

Las direccior -5 principales se obtienen resolviendo los sisterrias de ecuaciones

/ -

en los que E toma los valores E l , El, E,, raices de la ecuación caracteristica

Las raices de esta ecuación. que no son otra cosa que los valores propios de la matriz de deformación [ D I , reciben el nombre de clefornzaciones principnles. Son los alargamientos longitudinales unitarios Correspondientes a las direcciones principales.

En un punto P interior al sólido elástico, se define el vector deforniiición unitaria en la dirección determinada por A7, como el limite

A7 ú? E = lim - - = [DI - = [ D ] [ Ü ] (1.6-S)

l a

siendo ü el vector unitario en la dirección de &. Las proyecciones del vector E sobre la dirección definida por ü y sobre el plano A

1 perpendicular a dicha dirección son sus componentes in~rínsecas E , y - y, (Fig. 1.13).

2

16 RESISTENCIA DE MATERIALES !

1 E, es la de/ormacióll lorlgi/udinal uniruriu, y - y, representa la .'cformación trunsversal i 2

unitaria, ambas correspondientes a la dirección definida por Ü. 1

El lugar geométrico de los extremos de los vectores deformación unitaria para las infinitas direcciones que pasan por el punto P es un elipsoide llamado elipsoide (/e i dejormaciorres. Su ecuación. referida a un sistema cartesiano ortogonal de ejes coincidentes ; con las direcciones principales en P, es i

siendo E , , e,, E, los valores de los alargamientos principales. En virtud de la analogia existente entre las expresiones de los vectores tensión a y

deformación unitaria E. según hemos visto, se podrán representar gráficamente en un

plano las componentes intrinsecas E,, y ;., de este último, análogamente a como se ha 1 -

expuesto para Z en el epigrafe anterior. Suponiendo E , >, E? >, E, , si representamos en unos ejes coordenados planos llevando

en abscisas los valores de la deformación longitudinal unitaria y en ordenadas los correspondientes de la deformación transversal unitaria, el punto M, cuyas coordenadas son estas componentes intrinsecas del vector deformación unitaria, pertenece al área sombreada en la Figura 1.14, para las infinitas direcciones que parten del punto P.

Las tres circunferencias, de centros en el eje de abscisas y de diámetros E, - E,,

E l - E 3 . E ] - E,, reciben el nombre de circulos de Molir de deformaciones.

1.7. Principios generales de la Resistencia de Materiales

Se ha dicho anteriormente u:.e la Resistencia de Materiales introduce hipótesis simplificativas e incluso ya se han establecido algunas cuando hemos wpuesto que el material de los sólidos elásticos posee las propiedades de homogeneidad, continuidad e isotropía.

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 17

Estas hipótesis y otras que en el momento oportuno se establecerán al estudiar el comportamiento de los materiales ante determinado tipo de solicitación, son insuficientes. Es necesario aceptar algunos postulados que tengan carácter general y sirvan de base para la solución de la mayoría de los problemas que se nos puedan pressntar.

En Resistencia de materiales existen tres principios generales: el principio de rigidez relativa de los sistemas elásticos, el principio de superposición de efsctos y el principio de Saint-Venant. En este capítulo introductorio es obligado exponer - q u e no demostrar. pues como tales principios carecen de den-iostración- es!os principios generales que vamos a utilizar en todo el desarrollo de la disciplina.

_---- Principio de rigidez relativa de los sisiemas elásticos

Segun este principio, se admite que al aplicar el sistema exterior de fuerzas. la forma del solido no varia de forma significativa. Por ello, se expresan las condiciones de equilibrio como si el sólido deformado tuviera la misma forma y dimensiones que antes de producirse la deformación.

Asi, por ejemplo, si se ap'lica una carga P en la articulacion O del sistema formado por las dos barras 0,4 y OB de la Figura l . 15-u, el sistema se deforma en la forma indicada por puntos en la misma figura.

Figura 1.15.

Si no existiera el principio de rigidez relativa de los sistemas elásticos, las ecuaciones de equilibrio del nudo O serían (Fig. 1.15-b): d

N, sen (B - AB) = N, sen (a - A r ) (1.7-1)

N, cos (a - Aa) + N, cos í B - Ap) = P

Pero la resolución de este sistema de ecuaciones presenta dificultades, ya que las deformaciones del sistema son desconocidas hasta tanto se determinen los esfüarzos N, y N, en las barras.

El principio de rigidez, dada la pequeñez de las deformaciones, permite suponer el sistema indeformado (Fig. 1.15-c), por lo que las ecuaciones de equilibrio del nudo serán.

N, sen /l = N, sen a

N, cos a + N, cos j3 = P

18 RESISTENCIA D E MATERIALES

sistema de ecuaciones que permite obtener, sin más, los valores de los esfuerzos en las barras sin necesidad de tener en cuenta las deformaciones.

Este principio no será aplicable cuando las condiciones de equilibrio en las posiciones deformada y sin deformar sean sustancialmente distintas. como ocurre, por ejemplo. en 10s casos indicados en la Figura 1.16, en los que las magnitudes que se consideren dependen de la nueva geometria del sistema.

Figura 1.16.

En el primer caso (Fig. 1.16-a), el momento, por ejemplo, en una sección de abscisa seria nulo si fuera cierto e1 principio. Por el contrario, su valor depende del desplazamien- to experimentado por la sección de la viga.

El caso iridicadó en la Figura 1.16-b es el ejemplo tipico que se suele poner de sistema en el que. siendo sus elementos elásticos, existe una dependencia no lineal entre desplazamientos y las fuerzas exteriores aplicadas. La consideración de la nueva configuración geométrica del sistema es esencial en la formulación del problema. Por tanto, no será aplicable el principio.

Es de hacer notar, sin embargo, que el principio de rigidez puede ser aplicable a sistemas de material que no siga la ley de Hooke, es decir, en los que exista una relación de dependencia no lineal entre desplazamientos y fuerzas exteriores, siempre que la variación de forma experimentada por el sistema no sea significativa.

Principio de superposición de efectos

Es a?licable a los sistemas en que son lineales las relaciones entre fueizas exteriores y desplazamientos y en los que las líneas de acción de las fuerzas no quedan modificadas de

d o r m a significativa por los desplazamientos. Expresa que el estado de equilibrio debido a varias acciones exteriores es igual a lz superposicinn de las soluciones que corresponden a cada uno de los estados si cada acción exterior actuara independientemente, o dicho de otra forma, los desplazamientos y las tensiones en un punto de un sólido elástico sometido a varias fuerzas exteriores directamente aplicadas son, respectivamente, la suma de los desplazamientos y las tensiones que se producen en dicho punto por cada fuerza actuando aisladamente.

Una consecuencia inmediata que se deduce del citado principio es que el estado final del cuerpo no depende del orden en que se apliquen las fuerzas.

Hemos indicado que este principio es válida su aplicación a sistemas en los que son lineales las relaciones entre fuerzas exteriores y desplazamientos, o, lo que es lo mismo, las tensiones son proporcionales a las deformaciones, es decir, sistemas en los que se verifica la ley de HooKe.

Este principio es de gran utilidad ,dado que permite dividir el caso de una solicitación

i I N T R O D U C C I O N AL E S T U D I O D E L.4 RESISTENCIA D E M A T E R I A L E S 19

general, que puede ser compleja, en casos stxcillos que resultan haciendo actuar por separado las diversas fuerzas o acciones de cualquier tipo, como pueden ser variaciones tErmicaso asientos de los apoyos de una estructura, etc.

A pesar de que el principio de superposición es de aplicación generalizada a 10s sistemas elásticos, tiene sus limitaciones. Asi, no será válido en los casos en los que no Sea aplicable el principio de rigidez que hemos visto anteriormente. Ni en los casos en 10s que los efectos de las fuerzas no sean independientes de las deformaciones como ocurre en la viga recta AB indicada en la Figura 1.1 7, sometida a una fuerza de F y a una carga P aplicada en la sección media de-AB.

Figura 1.17.

Es evidente que si se aplican simultáneamente F y P, la deformación de la línea media de la viga es diferente si se aplica P por una parte y F por otra, separadamente, ya que la fuerza F (sin sobrepasar un determinado valor critico, como veremos más adelante) no produce, actuando sola, desplazamiento alguno en la dirección del eje y. Por el contrario, si actúan simultáneamente, el momento producido por F aumenta la deformación producida por P.

Tampoco se verificará en el s i s tem~ indicado en la Figura 1.16-b, ya qlle n o se vzrifica una relación lineal entre la fuerza P y el desplazamiento 6.

Principio de Saint-Venant

Este principio establece que a partir de una distancia suficiente de !os puntos de la superficie de un sólido elástico en los que está aplicado un determinado sistema de fuerzas, las tensiones y deformaciones son prácticamente iguales para todos los sistemas de fuerzas que sean estáticamente equivalentes al dado.

Fácilmente se comprende que en el caso de cargas puntuales, para evitar que en los puntos de localización de esas ca,gas la tensión tome valor infinito, será preciso suponer una dktribución uniforme tal que sea estáticamente equivalente a la real, esto es, que respecto de cualquier punto los siste,xas real y supuesto tengan la misma resultante y el mismo momento resultante. El reparto de tensiones en las proximidades de los puntos de aplicación de las fuerzas es evidente que no son iguales en ambos casos.


Con cualquier esquema de cálculo que podamos considerar, podemos representar un sinfin de disposiciones constructivas equivalentes. El principio de 5ain;- Venanr nos dice que en todas ]a distribución de tensiones y deformaciones es la misma, a distancia suficiente de los puntos de aplicación de las fuerzas exteriores. En vigas normales esta distancia suficiente suele ser del orden de las dimensiones de la sección transversal.

Aunque este principio es aplicable a la mayoría de los sistemas que nos psdamos encontrar en la práctica, no tendrá sentido referirnos a él cuando se trate de calcular las tensiones en la zona próxima a la aplicación de las fuerzas. En tal caso tendremos que recurrir a la teoría de la Elasticidad y el grado de exactitud con que la solución del problema elástica nos dé la distribución de tensiones en esa zona dependerá del grado de coincidencia de la distribución real de las fuerzas aplicadas al sólido elástico con la distribución supuesta en las condiciones de contorno.

1.8. Relaciones entre los estados tensional y de deformaciones* 1

En dos epígrafes anteriores hemos expuesto las principales particularidades que presentan 10s estados tensional y de deformación creados en el interior de un sólido elástico. El tratamiento de ambas cuestiones ha sido totalmente independiente. Sin embargo, dado que deformación y tensión son causa y efecto, es de esperar que las matrices de tensiones y de deformación estén relacionadas entre si.

Fijada la solicitación exterior es evidente que la deformación que se origina y, en consecuencia, la tensión creada en el sólido elástico, dependen de las fuerzas de átracción molecular, es decir, de la estructura intzrna del material.

Se deduce, por tanto, que para obtener la relación entre tensiones y deformaciones tendremos que proceder necesariamente por vía experimental mediante ensayos realizados en el laboratorio, en donde se comprueba, en efecto, que para dos piezas de distintos materiales, de iguales dimensiones y sometidas al mismo estado de cargas, las deformaciones son distintas.

Quizá el ensayo más simple que se pueda hacer sea el de tracción. Se realiza este ensayo sometiendo una pieza de dimensiones normalizadas llamada probeta a un esfuerzo de tracción que se aumenta gradualmente' hasta la rotura. En la probeta se realizan previamente dos marcas, que determinan una locgitud denominada a'istancia entre puntos, sobre las que se efectúa, por medio de un extensómetro, la medida de los alargamientos.

Consideremos una probeta de sección R a 1- que aplicamos en sus extremos una fuerza F en dirección axial. Esta fuerza causa er el interior del material un estado de tensiones que supondremos uniforme para cualquier sección recta. La tensión normal o está relacio- naa con la fuerza F mediante la ecuación

Un detenido estudio de todo lo que se expone en este epígrafe se puede ver en el Capítulo 4 de la obra Elasricidad. del autor.

L INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 21

La probeta, debido al esfuerzo, se alarga. Llamemos e al alargamiento unitario en el sentido longitudinal. Aumentando progresivamente el valor de F y llevando los valores de U y E a un gráfico cuyo eje de ordenadas mida tensiones (o) y el de abscisas deformaciones unitarias (E), se obtiene para el acero dulce el diagratnu tensión-deformación indicado en la Figura 1.18-0.

(4 - Figura 1.18.

Al ir aumentando el valor de la tensión desde O hasta o,, existe proporcionalidad con las deformaciones unitarias. La gráfica es recta y el punto p correspondiente recibe el nombre de Iínlife de proporcionalidad. Para el acero es o, = 2000 kp/cm2, aproximadamente.

Sobrepasando este valor, se entra en la zona de elasticidad no proporcional. La gráfica es curva, siendo nulas las deformaciones permanentes hasta e1 punto e llamado límite de eiasricidad, que separa el período elástico del período elástico-plástico.

En la zona elásticc-plástica, en el caso de cesar la fuerza, se observarían deformaciones permanentes, lo que imposibilita que el material v u a a a recuperar las condiciones iniciales.

L!:grido a este p a t o , se pueden observar unas líneas que forman 45" con el eje de la probeta llamadas líneas de Lüders, y que son producidas por las tensiones tangenciales cuyos valores máximos, según veremos en el Capítulo 2, corresponden a esas direcciones y originan un desplazamiento relativo de las redes cristalinas de moléculas del material.

Hasta un puntof, que se llama lítnite defluencia los alargamientos son pequeños, pero al llegar a él aumentan considerablemente sin necesidad de aumentar la fuerza F. Para cierto tipo de materiales la fuerza disminuye hasta un valor determinado por el punto f,, denominado tímire inferior de fluencia (en este caso f, se llama límite superior defluencia). Se advierte que el alargamiento de la probeta a partir del momento que comienza a fiuir es un gran número de veces mayor que el producido antes de fluir. Cuando el valor de la tensión alcanza cierto valor, la sección de una parte de la probeta comienza a disminuir.

22 RES1STEhCI.A DE MATERIALES

Este fenómeno se conoce como estricción. Las tensiones permanecen constantes produ- ciéndose un notable alargamiento a partir del momento en que el material empieza a fluir.

A partir de este alargamiento a tensión constante es preciso aumentar la fuerza de tracción sobre la probeta hasta un valor g,,,. Esto se debe a la propiedad del material. conocida como endurecitnie!lto por defirmación. Después, la tensión disminuye. el aiarga- miento aumenta hasta producirse la rotura para un valor a, de la tensión. Para el acero dulce la tensión de rotura vale de 4000 a 5000 kp/cm2.

Cuando hemos hablado de que se ha alcanzado un valor determinado de la rensiór,. se ha calculado 2sta dividiendo la fuerza F ejercida por la sección inicial que tenia la probeta. pero esta sección tia ido disminuyendo. lo que hace que el valor indicado en la gráfica sea un valor erróneo por defecto que irá aumentando con las deformaciones. Esto hace que la grifica obtenida sea falsa; sin embargo, es la que se utiliza en la práctica dado lo laborioso que seria tener en cuenta continuamente en el valor de la tensión las variaciones de la sección.

La determinación del limite de elasticidad es, en general, bastante difícil, por lo que en la práctica se toma este limite el punto f, que se llama entonces lítnile oparenre de rlasricidad.

La rotura se produce en una sección media de la garganta o huso que se forma como consecuencia de la estricción. Esta :argahta forma una superficie cónica, cuyo semiangulo tiene un valor aproximado de 45'. lo que nos indica que son las tensiones cortantes Iris principales causantes de la rotura de los materiales ductiles.

Por el contrario, el comportamiento de los materiales frigiles, como la fundición. el vidrio o la porce!ana, es distinto. La rotura se produce sin que se manifieste el fenómeno de estricción, en una sección perpendicular al eje de la probeta, lo que nos indica que son las tensiones normales las causantes de la rotura de los materiales frlgiles.

Una observación es necesario hacer respecto a las diferentes características de fluencia que presentan los materiales dúctiles, como son el acero de construcción y el aluminio. En el caso del acero, como hemos visto, en el periodo de fl,uencia se presenta alargamiento a tensión constante y el fenómeno de endurecimiento por deformación (Fig. 1.18-a).

En el caso del aluminio (Fig. 1.18-b) y de otros muchos materiales dúctiles no existe el aumento de la deformación a tensión constante, sino que es creciente hasta un valor ami,

en el que comienza la estricción y aumenta el alargamiento a la par que disminuye la tensión hasta que se produce la rotura. En este caso, se define el limite elástico a un tanto por ciento del alargamiento. En la Figura 1.19 se indica la forma como se determina el límite elástico en un material dúctil de las características indicadas cuando el alargamiento longitudinal unitario de la probeta es del 0.2 por 100.

I N T R O D U C C I O N AL ESTUDIO D E LA RESISTENCIA DE MATERIALES 23

Por el punto del eje de abscisas correspondiente a E = 0.2 por 100 se traza una recta paralela a la parte del diagrama tensión-deformación. La ordenada del punto A ¿L intersección de esta recta con la curva nos da e! valor del limite elástico a,.

Se observa una zona de elasticidad proporcional en la que la relación tensión-deforma- ción será lineal, es decir, su ecuación analítica tendrá la forma

siendo E una constante llamada módldo de rlasricidud lotlgiru~titial o niócfuio de Yoiing. Esta expresión constituye la ley de Hooke: en la zona elástica de los materiales, las

i: tensiones son proporcionales a los._a4argamientos unitarios. i El módulo de elasticidad E. que según la ecuación (1.8-2) tiene las diniensiones de una

i tensión ([F][L]-2), es diferente para cada material. En la Tabla 1 . 1 figura su valor para

I algunos materiales de uso frecuente.

1 En el mismo ensayo a tracción se observa que simultáneamente al alargamiento de la probeta se produce un acortamiento de las dimensiones de la seccion transversal. Para

~ a b l ' a 1.1. Valores del módulo de elasticidad E

klaterial i 1 E Lp/crn2

Acero (0.15-0.30 9 4 C) 12.1 x lo6 Acero (3-3.5 Ni) 12.1 x lo6 Fundicibn gris 11.35 r 10' Hormicbn ( 1 . 2 : 3.5) 1 1 7 6 x 105 Mad5ra pino 1 .27 x 10: kladsrli de roble 1.12 x 10' Aluniinio. lundición (99 46 Ai) ' 0.7 x lo6

una pieza de sección rectangular (Fig. 1.20), las deformaciones transversales unitarias se

1 rigen por las expresiones

Laton (60 % Cu; 30 9'0 Zn) Bronce (90 '/O Cu; 10 % Sn) Cobre

f en donde p es el llamado coeficiente de Poisson, que es constante paia cada material. Su valor para materiales isótrspos es aproximadamente igual a 0.25. Par? el iicer9 dglcc 5r.

deformaciones elásticas se suele tomar el valor p = 0.3. Los valores correspondientes para el aluminio y cobre que se deforman elásticamente son ligeramente superiores.

0.9 x 10' 0.8 x 106 0.9 x lo6

Figura 1.20.

INTRODUCCION A L ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 25 2 1 RESISTENCIA DE MATERIALES

1.9. Esfuerzos normal y cortante y momentos de flexión y de torsión: sus relaciones con las componentes de la ..iatriz de tensiones

Las ecuaciones (1.8-2) y (1.8-3) nos relacionan los elementos de la matriz de tensiones con la de deformaciones en un caso muy simple, en el que a, = a,,; a, = a, = 0. !

Si consideramos ahora un estado elástico tridimensional. se demuestra que las direc- : ciones principales de ambas matrices son coincidentes.

Admitido el principio de superposición, las relaciones entre las deformaciones y tensiones principales serán:

Consideremos un prisma mecánico que suponemos en equilibrio estático bajo la acción de un sistema de fuerzas Fi(i = 1 , 2, .., 7, en la Figura 1.21), que representa la acción exterior y emplearemos el método de las secciones para analizar el equilibrio elistico en una sección mn.

; Si el sistema de ejes coordenados no coincide con las direcciones principales, las

relaciones entre las componentes de la matriz de tensiones [u y de deformación [DI son: !

F6

F7 Figura 1.21.

El método consiste en imaginar realizado un corte en el prisma. Este corte determina uria sección tnn que consideraremos plana por comodidad (aunque no es necesario que lo sea). Supondremos. asimism-O, que nitl es una sección recta, es decir, contenida en un plano normal a la línea media del prisma.

Es evidente que realizado este seccionamiento y eliminada, por ejemplo, la parte de la derecha, sobre la parte de la izquierda se rompería radicalmente el equilibrio a no ser por la existencia de una fuerza y un par, es decir, del torsor* equivalente a la acción externa que ejerce la parte de la derecha, que se ha eliminado.

Ya se comprende, según se deduce de las condiciones generales del equilibrio estático, que esta fuerza y par son, respectivamente, la resultante R y momento resultante fi respecto al centro de gravedad G de la sección, de las fuerzas que actúan en la parte eliminada.

Esta consideración no nos permite conocer la distribución de esfuerzos en los diferentes puntos de la sección, pars ello es necesario establecer hipótesis siínplificritivas s?iple- mentarias que ya se indicarán más adelante, pero sí nos permite obtener unas interesantes conclusiones acerca del tipo de esfuerzos a que está sometida la sección.

En electo, refiriendo la resultante: R al triedro trirrectángulo G.uyz, cuyos veztores - 4 - unitarios son i, j, k (Fig. 1.22), se tiene

Estas relaciones constituyen las leyes de Hooke generalizadas. G recibe el nombre de f tnódulo de elasticidad transversal. Su expresión en función de E y de '< i

I E i

G = - (1.8-6) 1 7(1 + '<) I

nos hace ver que tiene las mismas dimensiones que E ([FJ [ L ] - 2 ) , ya que p es adimecsio- nal, y que depende exclusivamente del material.

t 1 En la Tabla 1.2 se recogen los valores de G para algunos materiales de frecuente uso en t

la práctica. t i

Tabla 1.2. Valores del módulo de elasticidad G I Sus tres componentes son: N, T, y T'.

Material

Acero (0.15-0.30 % C) Acero (3-3.5 % Ni) FundiciSn gris Aluminio, fundición (99 % Al) Latón (60 % Cu; 40 % Zn) Bronce (90 % Cu; 10 % Sn) Cobre

* Se denomina *orsor de un sistema de vectores deslizantes en un punto al conjunto formado por dos vectores -resultante y momento resultante del sistema respecto de dicho punto- que forman un sistema equivalente a éste.

C kp/cmZ

8.44 x lo5 8.44 x lo5 4.22 x 10' 2.8 x lo5 3.52 x 10' 4.22 x lo5 4.22 x lo5

26 RESISTENCIA DE MATERIALES I N T R O D U C C I ~ N AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 27

Como ya sabemos, el vector momento nos expresa una tendencia al giro. Expresado en función de sus componentes M,, M , y M,, veamos qué efecto produce cada una de

rllas sobre el prisma. ,M, actúa pe:pendicularmente al plano de la sección en la dirección de la línea media.

,por tanto, tiende a hacer girar el sólido sobre si mismo, creando un efecto de torsión. Se .llama por ello a M, motnento torsor.

M , y M, tienden a obligar al sólido a girar lateralmente curvándoio en los planos .y: y ,Y>., respectivamente, flexionándolo, por lo que se denominan nlomenros jlecrores. Su >resultante está contenida en el plano de la sección recta; es el t)ionienro jlecror

Figura 1.22.

Para encontrar las relaciones entre las componentes de R y y las componentes de la matriz de tensiones, tendremos en cuenta que las fuerzas engendradas por las tensiones eri toda la sección recta forman un sistema cuya resultante es y cuyo momento resultante respecto de G es M. Por tanto, los esfuerzos normal i\i y cortantes T, ;, í?, en función dr las componentes de la matriz de tensiones, serán:

Veanios el significado de cada una de estas componentes. "V, llamado rsfuer-o norniul, por serlo a la superficie de la sección considerada, tiende a

empujar o separar a ambas partes del prisma dando lugar a esfuerzos de compresión o tracción, respectivamente.

y c, por estar en el mismo plano de la sección efectúan la misma clase de esfuerzo y, por tanto, podemos obtener su resultante T

\ = l l n o f i x d Q : c = t i ; - = J... r 1 T x z c j Q (1.9-5)

que es la expresión de un esfuerzo que actúa tangencialmente a la superficie de la sección como si se tratase de deslizar la sección respecto de una muy próxima, separáridola o cortándola. Es por ello que esta componente de la resultante se denomina esfirerzo tangencia1 O cortante. Si el prisma se rompiese por la sección recta, el vector T nos indicaría la dirección en que saidrian despedidos los dos trozos del prisma.

Análogamente podemos proceder a descomponer el momento resultante iv en la dirección perpendicular al plano de la sección y en otra componente contenida en dicho plano (Fig. 1.23)

1 :' Figura 1.24.

Las expresiones de los momentos tnrsor M , y flectores M,. y M= se obtiexen de

Identificando coeficientes, se tiene

28 RESISTENCIA [)F. MATERIALES

1.10. Tipos de solicitaciones exteriores sobre un prisma mecánico

La solicitación exterior sobre un prisma mecánico está constituida, en general, por las fuerzas activas o directamente aplicadas que llamamos cargas y las fuerzas de reacción o reacciones debidas a las ligaduras. Las cargas que actúan sobre el prisma mecánico están constituidas por fuerzas y momentos (pares). Las reacciones se materializarán, en el caso de que la sección extrema se obtenga mediante un corte ideal por aplicación del método de las secciones, en la acción que e;erce el resto de la estructura sobre la pieza que se considera, O en una reacción en el caso de que exista un vínculo exterior, tal como un apoyo O un empotramiento.

La acción en el primer caso o la reacción en el segundo estarán formadas, en general, por una fuerza y un momento. En el epígrafe siguiente le dedicaremos a las reacciones en los apoyos un estudio mis detenido.

Intentemos ahora hacer una clasificación de las fuerzas directanlenre aplicadas o cargas.

Una primera clasificación distingue entre fuerzas de uolun~en y fier1u.s de sitperficie. Las primeras actúan sobre todos los puntos del sólido y son debidas a campos de

fuerzas tales como el campo gravitatorio. el campo de fuerzas de inercia engendradas en un sólido afectado de aceleración, o el campo magnético cuya existencia puede afectar a determinados materiales.

Si llamamosjt, a la fuerza por unidad de volumen (7, será, en snera l , función de la posición del punto), sobre cada elemento de volumen tic del prisma estará aplicada la fuerza f , du. ~.

Las fuerzas de superficie son las que se aplican a la superficie exterior del prisma. Pueden ser concen~ra<ias o repartidas.

En realidad no existen fuerzas concentradas. Todas las fuerzas de su~erficie reales son fuerzas que se distribuyen sobre cierta área. Asi, en el caso de una rueda que transmite al carril que la guía una cierta carga, ésta se reparte sobfe el área, aunque reducida, debida a la deformación local que se produce alrededor del punto teórico de contacto.

En el caso de que estuvieran repartidas, si f, es la fuerza que se ejerce por unidad de superficie, sobre un elemento de área dR actuará fQ tM. Ejemplos de este tipo de fuerzas son las debidas al viento sobre una pared, la acción ejercida sobre una c o m p l r t a de un depósito por el fiuido que contiene, el empuje de tierras sobre un muro de contencióri, la ryacción de un cuerpo, etc.

En el caso de una barra, el peso propio se considera, generalmente, no ¿omo una fuerra de volumen, sirio como fuerza de superficie en forma de carga lineal repartida a 10 largo de ella.

Si atendemos a la continuidad de presencia sobre la estructura, las cargas se pueden clasificar en:

a ) Cargas /)crtiicuienies, que como su nombre indica, son las que existen siempre manteniéndose constiintes en magnitud y posición. Ejemplos de este tipo de cargas son el Peso propio, 10s p:ivimentos, los materiales de cubrición de los techos, etc.

b) Cargas ~c<~i<ic.tirales o sobrecargas, que con mayor o menor probabilidad pueden afectar a la estriictitr:~ y que se tendrán que tener en cuenta en el cálculo resistente de la pieza. Ejemplos dc cargas accidentales son las personas, muebles, máquinas y vehiculos. A este tiPo de cargiis pertenecen también las de explotación y iiso de la estructura; las

INTRODUCCION A L ESTL'DIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 29

cli~tiúticas, tales como las acciones debidas al viento, a la nieve, a las variaciones térmicas y acciones sismicas. y las producidas por el peso del terreno y el empuje de tierras.

La determinación de los valores de estas sobrecar_oas ocasionales a efectos del cálculo se hace mediante la aplicación de métodos estadísticos y cilculo de probabilidades.

Si atendemos a que existan o no fuerzas de inercia, las cargas las pod2mos clasificar en:

U ) Cargas esrUricas, cuando el móduio, punto de aplicación o dirección si varían, lo hacen tan lentamente que permiten despreciar las fuerzas de inercia.

h) Cargas di/lárnicas, que son las que varían con el tiempo. La acción de este tipo de fuerzas es acompañada de vibraciones de-las estructuras, apareciendo fuerzas de inercia que hay que tener en cuenta, ya que pueden superar de forma muy notable los valores de las cargas estáticas.

En la práctica se presentan 'con frecuencia las cargas dinámicas en forma de cargas reperitios de carácter periódi&, es decir, la variación de su módulo respecto al tiempo presenta forma ciclica. Tal oCurre en bielas, balancines y resortes que cierran las válvulas en los motores de explosion, así como en determinadas piezas de mecanismos en los que las cargas periódicas dan lugar al fenómeno conocido comofaliga, que será estudiado con detenimiento en otro lugar.

Otras veces la variación es no periódica, como puede ser. por ejemplo, las que actúan sobre edificios debidas a la acción del viento. nieve. etc. Dentro de este grupo podemos incluir también las llamadas cargas de cl~oqve o irtipacto. que son aquellas que actúan sobre la piezs durante un pequeño intervalo de tiempo. tal como la que ejerce un martillo al clavar un clavo. o la de Ün cuerpo que cae al suelo desde una cierta altura.

1.1 1. Reacciones de las ligaduras. Tipos de apoyos

Al considerar la pieza genérica de una estructura. ésta estará sometida a una o varias ligaduras que la unen al resto de la misma o al suelo. En cada ligadura existe una reacción que, en general, estará formada por una fuerza y por un momento.

Es condición necesaria para que la pieza esté en equilibrio que el sistema de fuerzas constituido por las fuerzas direc!ainente aplicadas y las reacciones verifiquen las condiciones generales (1.2-1).

Es evidente que la reacción dependerá de la solicitación exterior y &1 tipo de vínculo. Una sección no sometida a ligadura alguna tiene, según sabemos, seis grados de libertad: tres posibles desplazamientos en las direcciones de los ejes coordenados x, y, z y 10s posibles giros alrededor de los mismos ejes. A cada grado de libertad impedido por la ligadura corresponde una componente de la reacción: si está impedido el movimiento de la sección en la dirección de uno de los ejes, la reacción de la ligadura comprende una fuerza que tiene una componente en la dirección de ese eje. Si además, está impedido el giro de la sección alrededor de alguno de los ejes coordenados mediante un empotramiento, por ejemplo, la reacción comprende un momento que tiene una componente en la dirección de ese eje, es decir, si está impedido el giro en alguno de los planos coordenados, forma parte de la reacción de la ligadura un momento en dirección perpendicular a ese plano.

Se deduce, por tanto, que en una pieza sometida a una solicitación arbitraria de fuerzas tridimensional un empotramiento equivale a seis incógnitas (Fig. 1.25). Si solamente se

I N T R O D ~ C C I O N L ESTUDIO D E LA RESISTENCIA D E .\l;\TERIALES 31 30 RESlSTENCIA D E M A T E R I A L E S

impide el posible desplazamiento de la iección, como ocurre en el caso de una rótula esférica (Fig. 1.26), el número de incógnitas se reduce a tres: las componentes de la fuerza de reacción, ya que la rótula no impide el libre giro de la correspondiente sección.

Apoyo articulado fijo

El desplazamiento esta impedido tanto en la dirección del eje .u como en la del eje Y, Pero e1 giro en el plano .u- no lo está. La reacción es en este caso una fuerza de componentes R,, y R,,. Equivale, por consiguiente, a dos incógnitas.

En la Figura 1.28 se representan algunas formas constructivas de este apoyo. asi corno la forma esquemática que más se utiliza para su representación.

Z/

.. Figura 1.25. Figura 1.26.

Resumiendo, podemos definir la ligadura de un prisma mecánico como todo dispositivo material que impida total o parcialmente el libre movimiento de una sección del mismo. SI sólo impide el desplazamiento, como ocurre en el caso de una articulación, la reacción es una fuerza que tendrá componentes en las direcciones en las que el desplazamiento es impedido. Si además se impide el giro, como ocurre en el caso de un empotramiento. la reacción se compone de una fuerza y un momento que tiene componentes en las direcciones normales a loi planos en los que está impedido el giro.

La reacción de la ligadura se simplifica notablemente en los casos de sistemas planos en los que el prisma mecánico admite plano medio de simetría y la solicitación externa es un sistema de cargas contenidas en dicho plano. Si la solicitación externa comprende algún momento, se tendrá presente que éste es equivalente a un par de fuerzas situadas en un plano perpendicular al mismo. Para estos casos, los apoyos los podemos clasificar en:

7%$%m&

Figura 1.28.

Apoyo empotrado

Están impedidos los desplazamientos en las direcciones de los ejes .u e J., asi como el giro en el plano sy, quedando, por tanto, inniovilizada la sección A del apoyo. La reacción se compone de una fuerza R,, de componentes R,, y R,,, y de un momento ;M, perpendicular al plano ,uy (Fig. 1.29). Un empotramiento equivale, pues, a tres incógnitas.

Apoyo articulado móvil

Es libre el movimiento de la sección del vinculo en la dirección del eje x, así como el giro en el plano .u),. La reacción se rediice a una fuerza perpendicu!ar al poiible desplazaniiento del a ,yyo . Equivale, por tanto, a una incógnita: el módulo de la reacción.

Este tipo de apoyo se materializa en la prictica de diversas formds. En lo Figura 1.27 se indican algunas de ellas, así como el esqusma que con mayor frzcuencia utilizarevos para representarlo.

Figura 1.29

1.12. Sistemas isostáticos e hiperestáticos

htr' i"' "" Figura 1.27.

Previamente a estudiar el estado tensional en un prisma mecánico, será necesario conocer completamente la solicitación extcrior, es aecir, no sólo las fuerzas directamente aplicadas

32 RESISTENCIA DE MATERIALES ISTRODL'CCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 33

que, generalmente, serán conocidas, sino las reacciones de las ligaduras que son desconocidas.

Las ecuaciones que disponemos para determinar las correspondientes incógnitas son las (1.2-1), que expresan las condiciones de equilibrio de la pieza. Estas ecuaciones, que son seis en el caso general, permiten calcular otras tantas incógnitas. Por tanto, para poder determinar las reacciones de las ligaduras exteriores dentro del marco de la Estática, será necesario que el número de incógnitas de Sstas no supere aseis para un sistema arbitrario de fuerzas directamente aplicadas.

En casos particulares de carga, como ocurre en las vigas con plano medio de simetria y las cargas contenidas en dicho plano. el número de ecuaciones disponibles disminuye a tres:

y, por tanto, también se reduce a tres el número de incógnitas posibles de las ligaduras j para que el problema esté determinado aplicando las ecuaciones de equilibrio. i

Los sistemas tales que la sola aplicación de las ecuaciones de la Estática permiten determinar las reacciones de las ligaduras. reciben el nombre de sisrenicrs isosrúricos.

i Por el contrario, si existen ligaduras exteriores superabundantes, el número de incogni-

tas supera al de ecuaciones de equilibrio. Se dice entonces que se trata de un sistema j hiperestático. Para la determinación de las reacciones será necesario hacer intervenir las i deformaciones.

En este Último caso se llama grado dt7 Iiipt.resruricida(i al exceso de incógnitas respecto al número de ecuaciones de equilibrio.

Por ejemplo, en vigas rectas con plano medio de simetría, cargada en dicho plano, i disponemos de las tres ecuaciones (1.12-1). Se pueden presentar los siguientes casos, según ; sean los apoyos (Fig. 1.30): i

Y) Viga con un extremo articulado filo (dos incógnitas) y el otro articulado móvil 1 (una incógnita). Sistema, por tanto, isostático.

b) Viga con apoyos articulados fijos en ambos extremos (cuatro incógnitas). Sistema hiperestático de primer grado.

j i c) Viga empotraaa en u r extremo (tres incógnitas) y sustentada en el otro mediante

apoyo articulado móvi! (una incognita). Sistema hiperestático de primer grado. d ) Viga empotrada en un extremo (tres incógnitas) y con apoyo articulado fijo en el

otro (dos incógnitas). Sistema hiperest5:ico de segundo grado. e) Viga hiempotrada (seis incógnitas). Sistema hiperestático de tercer grado.

J) Viga empotrada en un extremo (tres incógnitas) y libre en el otro. Se le suele denominar viga en voladizo. Sistema isostatico.

Hay, sin embargo, una serie de factores que hacen que las tensiones a las que realmente va a estar sometida la pieza sean superiores a las que obtenemos en el cálculo.

Estos factores a los que nos referimos son entre otros, por ejemplo, el de la heteroge- neidad del material, en contra de la hipótesis de homogeneidad que se ha admitido; el de variación de la forma y dimensiones teóricas, como las que pueden presentar los perfiles y chapas laminadas, así como las armaduras en el hormigón armado; el de posibles errores de cálculo; el de actuar sobrecargas imprevistas, como las debidas a la acción de! viento,

1.13. Noción de coeficiente de seguridad. Tensión admisible

empuje de tierras, acciones sismicas, etc. Dado que el diseño de cualquier pieza de una estructura se deberá hacer siguiendo el

principio de máxima economia de material, es necesario conocer para diseño el grado de seguridad que tiene esa pieza o la estructura.

Uno de los objetivos que nos hemos impuesto en el curso de Resistencia de Materiales es el de calcular las tensiones que se producen en la pieza de una máquina o una estructura al aplicarle un determinado sistema de fuerzas exteriores.

34 RES1STENCI.A DE MATERIALES

Una forma de averiguarlo sería hacer crecer las fuerzas exteriores multiplicando todas ellas por u11 mismo factor n mayor que la unidad hasta producir la rotura en u..'i pieza 0

en una estructura, igual a la proyectada. Este valor de n, que podriamos llamar coeficiente tk rr~rrrrtiurl. rios resolveria el problema. Pero este método para calcular la seguridad de la p i e z ~ O ia estructura ya se comprende que seria extraordinariamente costoso. Nos intere- jriria poder medir la sepr idad de la pieza atendiendo a las características del material en cuanto a ¡a capacidad de resistencia medida en términos de tensiones, que podemos obtener fácilmente en el laboratorio. Es decir. cambiaríamos el coeficiente de seguridad de las iuerzas extrrnas pcr el correspondiente a las tensiones internas.

En este sentido, para garantizar que las tensiones no sobrepasen en ningún punto del s6lido elástico un determinado valor aiim, consideraremos como tensión máxima de cálcu- 10.0 lensión udnzisible el valor dado por la expresión

siendo n un número mayor que la unidad llamado corficiet~te de seguridud. Como el comportamiento de los materiales frágiles y dúctiles es distinto, ya que

mientras los primeros tienen un comportamiento elástico hasta la rotura y los segundos presentan el comportamiento descrito en el epígrafe 1.8, se toma como a,¡, la tensión de rotura o, en 21 caso de materiales fráiles, como son los hormigones. piedras y materiales cerimicos, y el limite elistico a, en el caso de materiales dúctiles, tales como acero dulce, aluminio, cobre (sin tratamientos térmicos ni mecanizados en frío).

En la construcción de máquinas ha sido adoptado el cálculo de la resistencia atendiendo a las tensiones admisibles. El coeficiente de seguridad varía, aproximadamente, entre los limites de 1.5 a 2.5.

Es indudable que este coeficiente va a ser un factor numérico que nos va a representar en cierta forma el margen de seguridad de la pieza. Esta forma de proceder, que podríamos calificar de criterio clásico, resuelve el problema de la seguridad de una forma parcial, ya que parece evidente que para fijar un determinado valor para el coeficiente de seguridad será necesario tener en cuenta las condiciones de trabajo de la construcción que se calcula y dependerá, asimismo, del grado de precisión del método de cálculo que se siga para la determina~ión de las tensiones y de la evaluación cuantitativa de Iás consecuencias que se derivaran de la destrucción de la estructura.

Dado quc es la ley del azar la única que rige la determinación del valor numérico de las variables citadas, será necesario recurrir, para su estudio, a las leyes estadísticas del cálculo de probabilidades.

Modernamente, el coeficiente de seguridad n se descompone en una serie de coeficientes parciales, tales que su producto es igual a n

Cada uno de estos coeficientes de seguridad parciales responde a una posible desvia- ción del valor teórico de cálculo de determinado factor, respecto del valor que realmente tiene.

El número de coeficientes parciales, unido a los factores que represenran, que hay que

considerar en las piezas de miquirias y construcciones. así como los valores que se deben tomar, suelen venir dados en las normas de los diferentes paises.

El valor de cada uno de esíos coeficientes se suele obtener estadísticamente estudiando un considerable número de construcciones aniilosas.

Otra forma de fijar el coeficiente de seguridad es utilizar co<firi~rlres ríe pontiei.tlcidl1 para mayoración de las cargas. por una parte, y para minoración de la resistencia del material, por otra.

Asi, la norma española MV-103-1972 para c61culo de las estructuras de acero laminado en edificación establece como coeficientes de ponderación de cargas los indicados en 13

Tabla 1.3. ..

Tabla 1.3. Coeficientes de ponderacion I I 1

1 1 Coeficiente de oonderación

CASO DE CARGA / CLASE DE ACCION 1 si el efecto de acción es: i l

Acciones constantes 1 1.33 1 1.0 Sobrecarga 1 1.50 Nieve 1.50

i O l i l O

i I 1 Desfavorable Favorable

I

/

CASO 1 .Acciones coristanies Acciones constantes /i: Sobrrcarga y combinaciones de dos Viento

1

1 I

Acciones coristantes I Viento

Nieve

i

i

acciones variables I

1.33 1.33 150

CASO 11 Acciones constantes y combinación de tres acciones variables independientes

i

1 I (2) Sólo se considerará cn construcciones en situacihn iopográfica o muy expuesta (Norma MV-101). (3) En caso de lugarss en los que la nieie permanece acumulada habitualmente m i s de treinta dias, en caso

contrario el coeficiente será cero.

1.33 , 1.50

1.31 0

1.33 l . j O 1.50

CASO 111 Acciones constantes y cornbinaciór. de cuatro acciones variables independientes, incluso las acciones sismicas

I I 1

(1) r es el coeficiente reductor para las sobrecargas (Tabla VI11 de la Norma P.G.-S-1, parte A), que indica: f

1

1 .O O O

C M 1." Azoteas. viviendas y hoteles (salvo locales de reunión): r = 0.50. CASO 2." Olicinas, comercios, calzadas y garajes: r = 0.60. CASO 3." Hospitales. cárceles, edilicios docentes. iglesias. edificios dz reunión y espectáculos y salas de

reuniones de hoteles: r = 0.80.

1 .O O O O

Acciones constantes Sobrecarga Viento Nieve

Acciones constantes Sobrecarga Viento Nieve Acciones sismicas

1.33 1.33 1.33 1.33

1 .o0 d i ) 0.25(2) O.jly3) 1 .CO

I .O o O o O


La resistencia de cálculo del acero viene hada , en la misma citada norma. por 13

expresión

siendo O, el límite elástico del acero y 7 , un coeficiente que toma los siguientes*valores:

7, = 1, para los aceros con limite elástico mínimo garantizado 7 , = 1.1. para los aceros cuyo limite elástico sea determinado por métodos estadísticos

En cuanto al limite o, se fijan los siguientes valores según el tipo de acero:

a ) Aceros laminados fabricados según la Norma MV-102-1975 Acero laminado para estructuras de edificación

b) Otros aceros laminados. El limite elástico garantizado por el fabricante, verificado mediante ensayos de recep-

ción. Si no existe este mínimo garantizado, se obtendrá el limite elástico a, mediante ensayos, de acuerdo con los métodos estadísticos y se tomara

siendo a, el valor medio, y b la desviación cuadrática media relativa de los resultados de los ensayos.

Esto que acabamos de decir, como se ha indicado, es aplicable a las estructuras de acero laminado en edificación. Pero para otro material que se utilice en la fabricación de una pieza de cualquier tipo de estructura, se suele proceder de la siguiente forma: se prepara una serie de probetas del material que se vaya a utilizar y se las ensaya a tracción. Los resultados que se obtienen presentan una dispersión tal que si el número de probetas ensayadas es suficientemente yande, los resultados siguen la ley de una distribución normal d e Gauss. Pues bien, obtenidos los resultados de los ensayos, calcularemos la llamada resistencia carac~erisiica, que se define como el valor tal que la probabilidad de obtener valores inferiores a él es del 5 por 100. Una vez obtenida la resistencia caracteristica, se toma como tensión de cálculo a, el valor dado por la expresión

resistencia característica 3" =

coeficiente de minoración

[NTRODUCCION AL ESTUDIO DE L A RESISTEYCIA DE MATERIALES 37

1.14. Criterios de resistencia. Tensión equivalente

Existen infinidad de casos en los que un material va a estar sometido a un estado tensional complejo. Como eeneralmente la iiiformacion que disporiemoc dr ese material es su limite elistico a,. obtenido en el ensayo a tracción, sería deseable poder establecer. al,' oun criterio que nos permita encontrar un estado de tracción monoaxial equivalente al estado triple que se considere y así hacer posible la comparación de esta tensión equivalente con el limite elistico del material.

Varios son los criterios que se han propuesto para fijar la rrtl.ticit1 equiculente, es decir, la tensibn que existiría en una probeta de esematerial sometido a tracción monoaxial tal que tuviera igual resistencia que el elemento del sólido elástico sometido al estado triple dado. Todos ellos inspirados en las teorías propuestas para explicar el comienzo del comportamiento no elástico del material*.

Figura 1.31.

Si consideramos un material sometido a un estado tensional cualquiera, cuyas tensiones principales en un punto son a,, o,. o, (a , > a2 > u,). las tensiones equivalentes, según los diversos criterios, son las siguientes:

1 . Criterio ríe ((1 trtisidn prit~cipal rnu.ritnu o de R u t ~ k i t ~ ( ~ . Segun este criterio, para 01 > O Y I G I I > IO3I

es decir, si la mayor tensión principal es de tracción y además ésta es la de mayor valor absoluto, el campo elaqtico del material en el entorno del punto que se considerú está liniitadu por ella.

En la práctica. cuaiido la3[ > a , , el cálculo de la resistencia por este criterio se hace imponiendo las siguientes condiciones simultáneas:

O , G oPi ; Iojl Iffecl ( l . 14-21

siendo a,, y a, los limites elásticos a tracción y a compresión, respectivamente.

* Vtase el capitulo 1 1 de la obra El<i.v/ii.iiliiil. uc1 autor.

38 RESISTENCIA DE MATERIALES I\TRODCCCIOh 4L ESTvDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 35)

2. Criterio de lu trnsib17 tangencia1 máxima o de Tresca. Según este criterio

Este criterio es razonablemente aceptable para materiales dúcriles sometidos a estados de tensión en los que se presentan tensiones tangenciales relativamente grandes.

3. Criterio de la drformación longitudinal mú.~ima o de Saint- Venant. Apui. la tensión equivalente es

siendo c!. como sabemos, la deformación principal positiva de mayor módulo. Este criterio. como ocurre con el de la tensión principal máxima. es aceptable cuando

el material rompe por fractura frágil, pero no lo es cuando la acción anelástica se produce por iluencia.

4. Crirerlo u'e lu energia de distorsión o de von Mises. Según este criterio, solamente parte de la energia de deformación, la debida al cambio de forma, determina la aparición de deformaciones plásticas. Se establece como tensión equivalente la siguiente:

Este criterio coincide en la formulación de la tensión equivalente con el de la rensión t~~rigc~nciui octaéciricc~. Numerosas experiencias realizadas con materiales dúctiles han pues- to de manifiesto que la teoría de von Itlises, o su equivalente de la tensión tangencia1 octaedrica. son las que explican de un modo más satisfactorio el comienzo de deformaciones plisticas en estos materiales sometidos a cargas estáticas.

5. Criterio de los estados limites de Mollr. Este criterio obtiene la expresión de la tensión equivalente al imponer la condición de que es la que existiría en una probeta del mismo material sometida a tracción, tal que el coeficiente de seguridad del estado tensional dado y el de la probeta a tracción fuera el mismo.

Se llega a

siendo k = O,,//G,,~, cociente entre las tensiones que c~rresponden al limite elástico a tracción y a compresión.

1.15. Teoría del potencial interno. Teoremas energéticos*

Es de gran interés conocer cómo se produce la deformación de un sólido elástico desde el punto de vista energético. Al aplicarle un sistema de fuerzas exteriores, el cuerpo elástico se deforma y este sistema de fuerzas realiza un trabajo que llamaremos 5,.

Un dsisnido esrhdio dz todo lo que se expone er. ec:t epigraíe cc p u d e ver en el Capiiulo I n de la obra Elasficidad. del autor.

4

Por el teorema de las fuerzas vivas, y de una forma general, parte de este trabajo 6, se utiliza en vencer la resistencia al rozamiento de las ligaduras externas e internas. parte se rransforma en enerpia cinética y el resto en trabajo de deformación debido a las fuerzas interiores.

Supondremos que el paso del estado inicial indeformado al linal (,deformado) se realiz:i de una manera reversible, es decir, que en cualquier estado intermedio de deformación el sistema de fuerzas exteriores es equilibrado por otro sistema antagonista, lo que origina que la velocidad sea infinitamente pequeña y nula. por consiguiente. la v3r:aciOn de energia cinetica.

Por otra parte, supondremos despreciable el trabajo originado por las fuerzas de rozamiento de los enlaces exterioGs, así como el debido a las fuerzas de rozamiento interno. por tratarse de cuerpos perfectamente elásticos.

En estas condiciones, la expresión del teorema de las fuerzas vivas se reduce a

siendo F, el trabajo de deformación de las fuerzas interiores. Esta ecuación indica que en cualquier instante de la deformación la suma de los

trabajo de las fuerzas exteriores e interiores es nula. Resulta así que la función F , es una función de punto, es decir. depende solamente de

los estados inicial y final sin que intervengan los intermedios. Esta función recibe el nombre de potencial inrerno o bien el de energia elústica o energiu de cl-fortnaciói7. Equivale a la energia mecinica que adquiere el cuerpo elástico y que es capaz de restituir al recuperar la forma que tenia en estado neutro.

El potencial interno. según (1.15-1)

es igual y de signo contrario al trabajo de las fuerzas exteriores. Por tanto, para obtener su valor será indistinto calcular 6, o F,. En adelante lo designaremos por T .

Como F es el trabajo realizado en la deformación por las fuerzas exteriores, es evidente que podremos expresarlo en función de éstas. Se demuestra que la expresión del potencial interno de un sólido elástico al que aplicamos un sistema de fuerzas F , viene dada por la !lamada formula de Clapeyron

siendo E, 12 p~oyccción del desplazamiento del punto de aproximación de la fuerza F, sobre la línea de acción de dicha fuerza cuando actúan simultáneamente sobre el sólido todas las fuerzas del sistema, estando extendido el sumatorio a todas las fuerzas y pares que le solicitan. En el caso que 4 sea el valor de un par, 6, es la proyección del vector del giro en el punto de aplicación sobre el momento del par.

También se puede expresar el potencial interno en función de las componentes de la matriz de tensiones y de la matriz de deformación


estando extendida la integral a todo el volumen del sólido elástico; o bien en función ; exclusivamente de las componentes de la matriz de tensiones 1

De la teoría del potencial interno se deducen importantisimos teoremas, de algunos de j los cuales habremos de hacer uso en los capitulas siguientes. Expondremos a continuación ; estos teoremas reduciéndonos solamente a sus enunciados.

a) Teorema de reciprocidad de Ma.xicell-Betri I

: Apliquemos a un sólido elástico dos sistemas de fuerzas Fi y Fj; el primero aplicado en 1

los puntos A, y el segundo en los Bj. Llamemos ii al corrimiento de los puntos .Ai y p; al corrimiento de los puntos Bj, en la /

dirección de las líneas de acción de las fuerzas respectivas, cuando aplicamos al sólido elástico solamente el sistema de fuerzas T,. I

Sea, asimismo, p, el corrimiento de los puntos B, y i,; el corrimiento de los puntos Ai, 1 i en la dirección de las líneas de acción de las fuerzas respectivas, cuando se aplica al sólido

elástico solamente el sistema de fuerzas FJ. Se demuestra que !

Fj.; = 1 bjj1i I J

Esta igualdad expresa el teorema de iMa.xivel1-Betti:

En un sólido ~lcistico, el trabajo realizado por un sistema de fuerzas Fi al aplicar un 1 sisrema de fuerzas d j es igual al trabajo realizado por el sistema + j al aplicar el sistema F,. 1

1 h) Teorema de Castigliano

La expresión de este teorema es

que se puede enunciar de la siguiente forma: l Si se expresa el potencial interno en función de lasfuerzas aplicadas y se deriva respecto

de una de e l h , se obtiene la proyección del corrimiento del punto de aplicación de esta fuerza sobre su línea de acción.

c) Teorema de Menabrea 1 I

Si tenemos un sistema hiperestático de grado n cuyas incógnitas hiperestáticas sean X,, X,, ..., X,, podemos expresar el poter-ial interno en función de éstas

INTRODUCCION 4L ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATER1AI.FS 41

Se demuestra que

25 6h -

$5 - - = o ; - - - o . . . . . - = o GX, ?,Y2 . ,?,Yn

. .

Podemos. pues, enunciar el siguiente teorema denominado de ~Cienahrea o del rruhajo t?líninlo.

Eti un si.srrt>iu ile s6litio.s elús~icos, los culorrs qirr rotnc~tl 10s reucciot~es liipei-e.sr<ir~cu.r correspot~rl;etires a los etzlaces s ~ r p e r a b u t i c l a n r ~ ~ ~ ~ u c e ~ ~ estaciotlurio el porencial ititertio del .sistenla.

EJERCICIOS

1.1. Sobre la viga de la Figura 1.1-0 actúa el sistema de fuerzas indicado. Calcular:

1." Las reacciones en los apoyos A y B, siendo p una carga uniforme por unidad de longitud. 2." 1.0s esfuerzos normal y cortante y momentos de torsión y de flesión en la sección C de

la viga.

}A+(I-~ Figura 1.1-a.

l." Las reacciones en A y en B son verticales. Tomaremos sentido positivo hacia arr~ba. De la ecuación de i~iomentos respecto de B

se obtiene la reacción en A

3 3 M + 4 0 p + - 6 u P + - a'p

2 - -

2 R, =

30 30

Tomando ahora momentos respecto de A

3 R;3ri + iZf - 2 P . 2 ~ - P . a - a p - a 2 = O

d 4 2 RESISTEUCIA DE MATERIALES

se obtiene la reacción en B

3 3 - + j,l> + ; u ' p 3 u P + ; U'P

a Por tanto. las expresiones de las reacciones en función de a, P y p se reducen a

d Se comprueba. evidentemente, que R , + R , = 3 P + ap.

d 2." Si realizamos un corte en la sección C (Fig. 1.1-h). la resultante y momento resultante

d:i sistema de fuerzas que actúan en la parte eliniinada. respecto de la referencia indicada. son:

Y I

Figura 1.1-b. 7 a -

De estas ex~resiones se deducen ios esfuerzos y momentos en la sección C pedidos.

1.2. Se considera la viga en voladizo indicada en la Figura 1.2-a. Se pide calcular:

l." La acción que ejerce sobre ella el empotramiento en A. 2" t.1 rnornento flrctor en las secc;ones de :a viga, representando grhficsmente SU iariación a

lNTRODUCClON A L ESTL'DIO DE LA RESISTESCIA DE MATERIALES 43

P 'Ul \"

I 1 ' 1 1 1 /-- ' B U I

2 0 I a 1 0 l a I Í- 1 1

Figura 1.2-0.

1." La reacción del empotramiento comprende una fuerza vertical y un momento psr- pendicular al plano de carga---

Imponiendo la cond,&ión de ser nula la resulrante y nulo el momento respecto del empotramiento, se tiene:

de donde.

R , = p c 2ap ; MA = ,M, 1oP + 2a2p

La fuerza tiene sentido hacia arriba y el momento es saliente del plaiiu de la figura

2." Para una sección de abscisa .Y, la ley de momentos flectores es:

p.? M = - ( M , + 4aP + 2u'p) + ( P + 2 a p ) . ~ - T para O : .Y ?a -

Su representación gráfica se indica en la Figura 1.2-b.

Figura 1.2-6. -. .. . ~

lo laroo de ella.

44 RESISTENCIA D E M A T E R I A L E S

1.3. Una barra rígida AC, doblada en un punto B tal que m = 2x = 20 formando ángulo recto, está empotrada en su extremo A constituyendo el sistema espacial indicado en la Figu- r a 1.3-U. La barra está contenida en un plano horizontal. Sobre dicha barra actúa una fuerza vertical /' aplicada en s u extremo C y otra horizontal Q cuya línea de acciún coincide con el lado ,4B. Calcular los esfuerzos normal y cortantes, así como los momentos torsor y ilector:

l." En la sección A del empotramiento. 2." En la sección IM, media de m. 3." En la sección E, extrema de a. 4.' En la sección B, extrema de E.

\ Figura 13-a.

1." Tomando el sistema de ejes indicado en la Figura 1.3-a, la resultante R y momento resultante ILI, d e todas las fuerzas que actúan sobre el sistema situadas a la derecha de la sección A tienen por expresiones respectivas

R = ~3 - py 6 2 -

M , = -apT - 2 a ~ E

de donde se deduce, para la sección A del empotramiento

2." Análogamente, tomando con origen en M el sistema de ejes indicado en la Figu- ra 1.3-b

I N T R O D U C C I O N A L E S T U D I O DE LA RESISTENCIA D E M A T E R I A L E S 45

Figura 13-6. \x

3." Respecto del sistema de referencia indicado en la Figura 1.3-c

4." Análogamente (Fig. 1.3-d)

Figura 1.3-c. \.

Figura 1.3-J.

i 16 RESISTENCIA DE MATERIALES

I

1.4. La matriz de tensiones en un punto interior de un sólido elástico, referido a un sistema cartesiano ortogonal Oxy:, es i

INTRODL'CC~ON AL ESTUDIO DE LA RESISTE'ICIA DE MATERIALES 47

Se representan en la Figura 1.4-0, referidos a la terna 0.r~:.

estando expresadas sus componentes en N/mm2. Se pide:

l." Determinar las tensiones y direcciones principales. i 2." Calcular analítica y gráficamente las componentes intrínsecas del vector tensión corres-

r pondiente al plano de vector unitario ;(1/,,/2, 112, 112). !

1." De la matriz de tensiones dada je deduce la ecuación caracteristica i :

Desarrollando el determinante js llega a

(5 - o)(u2 + 50 - 150) = O / x s y Figura 1.4-4.

1 1 1 ' 2 o E! uecior icnrlon correspondiente al plano detinido por I(:. -, -1, sera

i 2 2, cuyas raictj son las rensiones principales

[o -12 1 ! - 1 i /z

del que fácilmente se deducen los valores de las componentes intrinsecas

5 9 1 1 o : - u = - - - - - = - 3 7 5 Y / m m 2 . 1

2 2 4

r = Jm = d123.75 - 22.56 = 10.06 N/mm2

Las direcciones principales las determinamos sustituyendo los valores de las tensiones 1 t

principales en el sistema homoeineo de ecuaciones (1.5-9)

-52 = o -168 - 127 = 0 3 ;,(O, -j, 3 -12g - o;, = o

Para o, = 5, la simple observación de la matriz de tensiones se deduce que el eje x es direccibn principal: ü,(1, O, 0)

Para la resolución gráfica de la misma cuestión, que se acaba de hacer de forma analítica, calcularemos previamente las componentes de ü respecto de la terna O.Y~:. coincidente con las direcciones principales.

La matriz del cambio de coordenadas de 0:;yyi a OXYZ es: Por tanto, las direcciones principales vienen definidas por los vectores unitarios siguientes 1' -! il

[R] = 1

48 RESISTENCIA DE MATERIALES INTRODUCCION AL ESTL'DIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 49

t /

Por tanto. las componentes de ü respecto de OXYZ seran 15. La matriz de tensiones en los puntos de un sólido elástico es: -.

!

f 1 Determinar las tensiones principales y las direcciones principales: 1

de donde se deduce que los ángulos que Ü forma con los yes X y Z son:

Con estos datos la resolución gráfica es inmediata. Se procede de la siguiente forma (Fig. 1.4-h):

Figura 1.4-b.

Por B(a,, O), y formando un ángulo con el eje de abscisas positivo, se traza una semirrecta que corta en D a C,. Por A(o,, O ) se traza otra semirrecta que forma un ángulo con el eje de abscisas negativo y corta en E a C2. Con centro en O, y radio m se tra7a la circunferencia c,, concéntrica con C,; y con centro en O, y radio G E la circunferencia e,, concéntrica con C,. La intersección de ambas circunferencias c , y c, es el punto M, solución del problema.

Se comprueba que los valores de las componentes intrínsecas del vector tensión correspondiente al plano considerado, a los que se llega gráficamente, coinciden con los valores obtenidos de forma analítica.

l." Analíticamente. 2." Gráficamente.

,_--- y

La matriz de tensiones dada corresponde a un estado tensional plano cuyo esquema se representa en la Figura 1.5-0.

Figura 1.5-a.

l." El cálculo analítico de los valores de las tensiones principales lo haremos mediante la ecuación caracreristica. Obtendremos la fórmula correspondiente para el caso de u11 estado tensional plano de matriz de tensiones genérica

Su ecuación caracteristica es el determinante

U", - o TXY

T,, o,, - u o = O ! 0 o - v i O 1 cuyo desarrollo es:

y cuyas raíces son las tensiones principales

La otra es nula, como ya sabíamos, al tratarse de un estado tensional plano.

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 51 RESISTENCIA DE MATERIALES

Sustituyendo en esta expresión los valores dados 1.6. En un determinado punto p de la superficie de un sólido elástico sometido a carga se midieron las siguientes deformaciones: un alargamiento longitudinal unitario de 0.0001 en la dirección r; un acortamiento longitudinal unitario de 0.O005 en la dirección de y, perpendicular a .r, y una deformación angular y,y = - Zv,/7 x [o-.' rad.

l." Calcular analítica y gráficamente las deformaciones principales, así como las direcciones correspondientes.

2." Determinar el valor de la deformación angular máxima. 3." Hallar las componentes intrínsecas del vector deformación uniraria correspondiente a una

dirección contenida en el plano xy que forma un ángulo de 3Y con la dirección positiva del eje x, contado en sentido antihorario.

se obtienen las tensiones principales pedidas

6, = SO MPa ; o, = 10 kLPa

que son constantes en todos los puntos del sólido elástico. 2." Para la resolución gráfica urilizaremos el circulo de Mohr (Fig. 1.5-6). 1 " La matriz de deformación en el punto que se considera, referida al sistema de ejes P Y ~

y tomando como unidad lo-*, es

La ecuación característica

tiene de raices

I (6) Figura 15-b.

Tomemos un sistema de referencia cartesiano ortogonal en el que el eje de abscisas Por tanto, las deformaciones principales son mide las tensiones normales o. y el de ordenadas las tensiones tangenciales T. Dibujamos el punto D. cuyas coordenadas son las componentes intrínsecas del vector tensión correspondiente al plano que tiene por normal al eje .Y. Estas coordenadas son +a,,, puesto qüe es de tracción, y -s,,, )a que la tensión tangencia1 debe ser afpctada del signo «-N en virtud del convenio que se establece para la representación gráfica de Mohr (signo positivo si el momento de i respecto de un punto interior 1 elemento es 2 entrante en el plano del papel). Análogamente, dibujarnos el punto D' e coordenadas +a,,, +T,, que son las componentes intrínsecas del vector ten;ibn correspondiente a

Con estos valores se determinan las direcciones principales resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones:

- a - JT,B = o Para E = 2

- J 7 a - 7 p = o la cara que tiene por normal el eje y.

D y D' son dos puntos diametralmente opuestos del círculu de Mohr, cuyo centro C será el punto de intersección de la recta DD' con el eje U, .

Construido el círculo de Mohr, la intersección de éste con el eje u, da los puntos A y B cuyas abscisas son precisamente las tensiones principales pedidas a , y a,.

Para calcular ahora las direcciones principales 1, 2, tomaremos arbitrariamente éstas coincidentes con los ejes o, y 7 (véase la misma Figura 1.5-b) y situaremos los ejes .Y, y teniendo en cuenta que el ángulo ACD = 20, siendo O el ángiilo que forma el eje x con el eje 1. Por tanto, prolongando el segmento D'A éste será el eje x, ya que forma con el eje 1 un ángulo O, según se desprende fácilmente de la figura.

Para tener la dirección real de los ejes 1, 2, será suficiente girar la figura obtenida un ángulo O, como se indica en la Figura 1.5-c.

n

7a - J?p = O Para E = -6

-$a + ,B= o

Las direcciones principales vienen, pues, definidas por !os vectores unitarios

r Para la resolución gráfica uniremos los puntos D(1, J7) y U(-5. -J?) (Fig. 1.6-0).

la intersección de la recta que determinan estos dos puntos con el eje de abscisas es el centro del circulo de Mohr.

Figura 1.6.

Las abscisas de los puntos .4 y B de intersección de este circulo con el eje e, son los valores de las deformaciones principales

Dc la construcción de Mohr se deduce también la situación de las direcciones principales

es decir, la dirección principal que corresponde al alargamiento E , forrxa un ángulo a con la dirección del eje .Y, en el sentido indicado en la Figura 1.6-b.

Para la constfkción gráfica d e las direcciones principales se procede de forma análoga al ejercicio anterior, pero con deformaciones, en vez de tensiones (Fig. 1.6-b).

2." Del mismo circulo de Mohr se deduce de forma inmediata el valor de la deformacióii angular máxima

es decir

INTRODUCCION AL ESTL'DIO DE LA RESISTENCIA DE \lATERIALES 53

3." El vector deformación unitaria para ü

- de módulo [ E / = 10-'v~1.163'. + 5.405' = ,!30.576 x lo-.' = 5.529 x lo-'

Las componentes intrinsecas serán:

E, = E . U = E , COS' O + E, senZ O ;.,, sen Q cos O =

1 1 7 1 =O.O001 ~ - - 0 . 0 0 0 5 ~ - - 2 ~ ~ 7 ~ 10 - ' x -= - 4 . 6 4 5 ~

2 2

- v ~ ~ = C f ~ 3 0 . 5 7 6 - 2 1 . 5 7 6 x 10- '=3 x 1 0 1

es decir:

Gráficamente, estas componentes intrinsecas son las coordenadas del punto 1í4 de intersección con el círculo de Mohr de la semirrecta radial que forma un ángulo de 90" con CD o, lo que es lo mismo. un ángulo de 90" + ?a = 138" 35' 26" con la dirección positiva del eje de abscisas (Fig. 1.6-a).

,-

&S Una roseta de 45" se aplicó a la sl*perficie de una viga, como se indica en la Figura 1.7-i. Lns deformaciones sobre lo: ejes a, b y c fueron, respectivamente, e, = 0.0009, E, = -0.00015 y E, = 0.

Determinar las deformaciones principa:a expresando la respuesta en micras por metro, así como las direcciones correspondientes.

I u Figura 1.7-a.

54 RESISTENCIA DE MATERIALES DE L.-\ RESISTENCIA DE MATERIALES

De la expresión del vectnr deformacicn unitaria E correspondiente a la dirección definida por el vector unitario ü(cos O, sen O), referido a un sistema de ejes O- coincidentes con los ejes Oah (Fig. 1.7-6):

se deduce:

E , = 6 . Ú = E, COS' 0 + sen2 O + y,, sen O cos 8

Figura 1.7-c. Figura 1.74. \

Como la unidad empleada eii la reprrsenrasit~n ~ráf ica es lo-', sus valores. expresados en micras por metro. son

Figura 1.74. O /

Particularizarido esta ecuacion para las direcciones a, h y c. tenemos:

Las direcciones principales se pueden obtener del círculo de Mohr

6 4 t g 7 g = - = - 2 1 = jj- 7'48" => a = 26"33'54" 9/2 3

es decir, la dirección principal correspondiente d E , forma un ángulo de 26" 33' 54" ccn el eje .Y, contado en sentido horario (Fig. 1.7-d). La otra dirección principal, definida por N&ks perpendicular a ésta.

De la segunda ecuación se obtiene:

y,, = -0.0003 - 0.0009 = -0.0012 rad

Con estos resultados, teniendo en cuenta que el signo de la deformación angular de la matriz de deformacion está cambiado respecto al signo de la coordenada en el circulo de Mohr, podemos señalor los puntos D y D' correspondientes a las direcciones a y c, respectivamente (Fig. 1.7-c). -.

t i punto medio C[3;2. O) es el centro del círculo de Mohr. Su radio es

' 1.8. En un punto P de un sólido rlistico se co1oc.n seis galgas er~ensomitricas en las direcciones indicadas en la Figura 1.8. b'fedidnte la utilización de un aparato adecuado se obtienen las siguientes medidas:

= 2 ; E B = 2.5 x lo- ' ; EC = O E , = 3 10-3 ; &, = l o - ' ; &, = 1.5 x 10-3

Calcular la matriz de deformacion en el punto P referido al sistema de ejes Pxyz.

Por tanto, las deformaciones principales serán:

La galga extensométrica nos mide el alargamiento longitudinal unitario en la dirección en que está situada o, lo que es lo mismi, !a conircccnre E, dsl vector dclormació:: unitaria en P en esa direccion.

x / Figura 1.8.

La expresión general de E, en función de los parámetros que definen la dirección dada por ü será:

i [ 1

Aplicando esta ecuación a las seis galgas dadas, tenemos: I 1

sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas, cuyas soluciones son: 1

INTRODUCCION A L ESTUDIO DE LA RESISTEXCI.4 DE \IATERI.ALES 57

Por tanto. la matriz de deformación [DI en P es:

El vcctor corrimiento 3 de un punto de un sólido elástico tiene. respecto de una referencia cartesiana ortogonal, las siguientes componentes __----

e

/

u = 4ax - ay ; v = 5a.r - 4- ; H. = O

siendo a una constante. Se pide:

1." La matriz de giro. 2.". La matriz de deformación. 3." Calcular las componentes intrinsecas del vector deformación unitaria en la dirección del

eje x.

4.' Dibujar los círculos de Mohr de deformaciones.

1." Dadas las componentes del vector corrimiento. la matriz [H] ds Ziro viene dada por la eupresion (1.6-3)

1 [ H ] = ,i -: :j 1 0 :

2." Análogamente. la matriz [DI de deformación, según la expresión (1.6-4). será:

p~

3." El vector deformación unitaria en la dirección del eje .Y es. en virtud de su defini- ción (1.6-8):

de donde fácilmente se deducen los valores de sus componentes intrínsecas

58 RESISTENCIA DE MATERIALES lNTRODCCClON AL ESTCDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 59

4." Los valores de los alargamientos principales se obtienen resolviendo la ecuación caracteristica

Se darán las expresiones de 10s dos coeficientes i y G en funribn del módulo de elasticidad E y del coeficiente de Poisson p.

Partimos de las ecuaciones (¡.Y-51, q i i c eyprei,in I ; ~ S Isyes iie Fiookz _oeneraii7adas

Sumando miembro-a miembro las tres primeras, se tiene:

1 - 2/1 e = - I - 2il e E

E (u,, T o,, + m,,) = ---O E a = --__ 1 - ?/l

Obtenidos estos valores. si dibujo de los ciculos de Mohr es inmediato.

X y n I

Figura 1.9-b.

1.10. Demostrar las ecuaciones de Lamé, que expresan las componentes de la matriz de tensiones en funci6n de las componentes de la matriz deformaciones

o,, = Ae + ZGE, ; o,, = 1.e + ~ G E , ; a,= = Ae + ZGE;

7xy = Gyzy ; 7,: = GyXz ; ryr = GY,.;

siendo e = E, + + E, la dilatación cúbica unitaria.

siendo O = o,, + o,? + o";. Las ecuaciones de Hooke generalizadas se pueden poner de la siguiente forma:

Despejando de estas expresiones las tensiones normales y sustituyendo O en función de la dilatación cúbica unitaria

Si hacemos

resultan, junto con las tensiones tangenciales despejadas directamente de las leyes de Hooke, las ecuaciones de Lamé

60 RESISTENCIA DE M A T E R ~ A L E S 1 i

1-11. ~ ~ d i ~ ~ t ~ la aplbrci"n de una roseta equiangular (120 ) en u n punto de la ruperficie interior ! de una tubería de presión, sometida a presión interior p = 15 MPa, se han obtenido la?

'

siguiente lecturas:

INTRODUCCION .AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 61

Las deformaciones principales se obtienen de la ecuación caracteristica

dc donde: Conociendo el módulo de elasticidad E = 2 x 105 NlPa el coeficiente de Poisson p = 0.3, : se pide hallar: t

f 1." Las deformaciones principales en el punto considerado. 2." Las tensiones principales. l También existe deformacion en l a - j i ~ c c i ó n perpendicular al plano .ry. De la tercera

ecuación de Lanié se deduce: 1." Tomemos la rama de la roseta correspondiente a O como eje r y el eje la perpendicular 1

en el plano tangente a la superficie interior de la tuberiil en el punto considerado. La expresión de la deformacion longitudinal unitaria en una determinada dirección

i U(%, p. O) es: es decir:

Como los valores de los coeficientes de Lamé son:

sustituyéndolos en la exprrsjon anterior tenemos:

Aplicando esta expresion: i t luego las deformaciones principales son:

üo(l,o, o): = 23 lo-'

E, 3~ yx,Js ~ ~ ~ ( - 1 / 2 , / 2 , 0 ) : 14 .5~10- '= -+ - - - - - 4 4 4

13

2.' Como e = E , + E~ + E , = (23.40 + 8.46 - 14.21) x = 17.65 x lo-', las tensiones principdles, en virtud de las ecuaciones de Lamé, serin.

E, 3 5 ,*,JS Ü-12,(-1/2, -&/2,0): 10.3 x lo-' = - + - + --

4 4 4

Se deducen los siguientes valores:

6 C- C b ir-

a, = i e + 2Gci = 1.154 x lo5 x 17.65 x + 2 x 0.769 x lo5 x 23.4 x lo-' = = 203.68 + 359.89 = 563.57 MPa

o, = Ae + ~ G E , = 203.68 + 2 x 0.769 x 10' x 8.46 x = 333.79 MPa

Por otra parte, de las condiciones de contorno .es decir:

O = a,$ + r,,B + 7,;g Para ü(0, O, l), se obtiene: O = rLya + an,B + 7,:y

-í50 = ;,,a + r,,B + a,,y r,= = r,, = O ; a,: = a, = - 1 5 M p a o, '= 563.57 MPa ; a, = 333.79 MPa ; a, = - 15 MPa

62 RESISTENCIA DE .MATERIALES IXTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTE5CI.A DE MATERIALES 63

1.12. La matriz de tensiones en todo punto de un sólido elhstico, respecto de un sisteina de referencia cartesiano ortogonal, es

estando expresadas sus componentes en S / m m 2 y siendo K un parámetro positivo de carga.

l." Determinar, en función de A'. las tensiones principales analitica y gráficamente mediante los círculos de .Mohr.

2." Calcular las direcciones principales. 3." Sabiendo que el material admite una tensión tangencia1 máxima de 60 N/mm2 obtenida

en un ensayo a tracción, determinar el valor máximo que puede tomar K para asegurar que el sólido trabaja en régimen elástico: a ) aplicando el criterio de Tresca, b) aplicando el criterio de von Mises.

Figura

1." De la simple observación de la matriz de tensiones, al ser T,= = T,, = O. se deduce que el eje : es dirección princip:il. Los valores de las tensiones principales se pueden obtener analiticarnente resolviendo la ecuación caracteristica

Por tanto. las direcciones principales vienen definidas por los vsctores unitarios:

l z S 3 .

No se ha tenido en cuenta el orden de mayor a menor, pues dependerá del valor de K. Gráficamente, separando la tensión principal o, = 100 N/mm2, las otras dos estarán

contenidas en el plano .ry. Sus valores vienen dados por las abscisas de los puntos d e intersección del circulo de Mohr que pasa por los puntos M(2IK. -108h7 y M'(84K. IOYK). Se comprueba, en efecto, que los valores de las tensiones principales son (F;g. 1.12-a)

La situación respecto del sistema de referencia C::?.r se indica en la Figura 1.13-6.

3." En el ensayo a tracción o = 2r,,, = 2 x 60 N/mrn2 = 120 Njmm'.

al Ap!;czndo el criterio de Tresca, ordenemos las tensiones principales de mayor a nlenor

2." Para calcular las direcciones principales aplicaremos las ecuaciones (1.5-9)

3 - 144Ka + i@qKb = 0 = - . 4

Para o, = 165K 1OSKz - 8lKB = O , , B = :

3 El valor máximo de K se obtendrá al imponer la condición de este criterio

f 81Ka + 108K/? = O 4 3 Para o2 = -óGK =. z = - - . B = -

(108Ka + 144Kb = 0 5 ' 5 resultado que está en contradicción con la hipótesis establecida anteriormente.

Por tanto, tendrá que ser K < 0.606. En este caso las tensiones principales ordenadas son:

o, = 100 N/mm' : o? = 165K N/rnrn2 ; o, = -60K N/mm2

Se tendrá que verilicar:

100 + 60K < 120

de donde

h) Aplicando el criterio de von Mises (o, - aJ2 + (o2 - o,)' + (o, - o,)' < 2o:

(100 - 165K)2 + (165K + 6 0 ~ ) ~ + (60K + 100)' < 2 x 1202

se obtiene la ecuación

1679K2 - 420K - 176 < 0

cuyas raíces son: K, = 0.481: K, = -0.274.

De la representación gráfica de este trinomio indicada en la Figura 1.12-c, se deduce que el intervalo de variacibn de K para que se verifique la anterior inecuación es:

-0.224 < K ,< 0.482

Por tanto, según el criterio de von Mises, el valor máximo de K es

1.13. Sobre las caras laterales de un prisma de espesor e = 1 cm actúan uniformemente repartidas las fuerzas indicadas en la figura, estando libres las otras dos. Conociendo el coeficiente de Poisson p = 0.3, calcular la tensión que habría que someter a una probeta del mismo material en un ensayo a tracción para que tuviera el mismo coeficiente de seguridad que el prisma considerado, de acuerdo con:

1." El criterio de Tresca. 2." El criterio de Saint-Venan:. 3." El criterio de von Mises.

'i I?iTRODtiCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE LIATERIALES 65 6-

500 N,crn2 6 l e

D C @ - 6 e *E.

O a

- C- B C

I C

500 Nlcm' P-

Figura 1.13-b. C P

Sobre las caras laterales del prisma actúa el sistema de Fuerzas ~uper%ciaizs indicado en la P -

Fisura 1.13-h. se@n se desprende del enunciado. e La matriz de tensiones que caracteriza el estado rensional a q ~ i e esti sometido sl prisrnd

es constante en todos sus puntos. Calculemos sus componentes: los valores de T,,. y o,, ss t -

pueden obtener directamente de las condiciones de contorno sn la card 4 B

r,, = 500 cos 60 = 750 X cm' -

o,, = 500 sen 60' = 750, 3 N,crn2

Por otra parte, en la cara BC

Identificando tenemos

/5 1 e49 R = o,, cos 30" - r,, sen 30" = L o , , - - x 250,G = 200

2 2

Y = 5, cos 30" - un, sen 30" = O

De la primera ecuación, se obtiene el valor de o,,

Por tanto, las componentes de la matriz de tensiones son:

a,, = 480.94 N/cm2 ; a", = 433.01 N/cm2 ; r,, = 250 N/cmZ

;7

* 66 R E S I S T E N C I A DE M A T E R I A L E S

Procediendo ahora análogamente a como se ha hecho en el ejercicio 1.5, obtendremos las tensiones principales

u". - 0". , ; unV)- + = u,, 2 = ------

2

Por tanto, las tensiones principales serán:

La tensión que tendria una probera del mismo material en un ensayo a tracción con e! mismo coeficiente de seguridad que el prisma considerado es precisamente la tensión equivalente. Veamos cual sena el valor de esta en cada uno de los casos pedidos:

a) Criterio de Tresca

b) Criterio de Saint-Venant

c) Criterio de von Mises

m= /;[(u, - .:Y + (Ul - u3)l + (u, - u,)' =

1.14. En un punto P interior de un sólido elástico existe el estado tensional indicado en la Figu- ra 1.14-a, estando expresadas las tensiones en MPa. Sabiendo que el diagrama tensión-defor- mación del material del sólido elástico es el de la Figura 1.14-b, calcular el coeficiente de seguridad, según el criterio sirnpiificado de hlohr.

De la observación de la kigura 1.14-0 se deduce que el eje z es dirección principal. La matriz de tensiones en el punto consickrado del sólido elástico es

o 601

Figura 1.14.

Las tensiones principales las podemos obtener a partir de la ecuación caracteristica

de donde:

o, 60 MPa ; u, = 50 M P a ; = 10 h f P 3

El criterio de Mohr establece que la expresión de la tensión equivalente es

i Como K = u,,/la,l, del diagrama de tensión-deformación se deduce el valor de K: K = 150/250 = 0.6. Una vez obtenida la tensión equivalente

1 la determinación del coeficiente de seguridad pedido es inmediata

.Lis. .. Calcular en julios el potencial interno del paralelepípedo de la Figura 1.15 sabiendo que la solícitaci6n exterior causa un estado tensional tal que en cualquiera de sus puntos la matriz de tensiones es

1 Datos: módulo de elasticidad E = 2 x i05 MPa, coeficiente de Poisoii p = 0.25.


rtplicaremos la formula (1.15-5) que expresa el potenc~al inrerno en función de las componentes de la matriz de tensiones I

Suhtituyendo valores, teniendo en cuenta el valor de G t I

E 2 x 10' - G = --- - = 8 x lo4 MPa

2(l + p ) 2 x 1.25

tenemos:

1

= {{{"{Z x 2 x 10) [SO2 + 30' + 10' - 0.5(80 x 30 - 30 x 10 - 10 x SO)] +

es decir

Traccióíz y compresión

2.1. Esfuerzo y estado tensional de un prisma mecánico sometido a tracción o compresión rnonoaxial

Diremos que un prisma mecánico está sometido a trocción o cotnpresión cuando al realizar un corte por cualquier sección recta el torsor de las fuerzas que actúan sobre la parte eliminada se reduce en el centro de gravedad de la sección al esfuerzo normal N, es decir, en todas las secciones rectas del prisma se anulan el esfuerzo cortante y los momentos torsor y flector.

Por convenio, tomaremos el esfuerzo normal positivo cuando la sección trabaje a tracción y negativo cuando lo haga a compresión. Aunque desde el punto de vista formal la tracción y la compresión no difieren más que en el signo de! esfuerzo normal N. pueden existir diferencias cualitativas entre estos dos modos de carga, como veremos en su momento que ocurre en el caso de barras esbeltas sometidas a compresión.

Aunque en lo que sigue consideraremos prismas mecánicos de línea media rectilínea, en este mismo capitulo estudiaremos más adelante algunos casos en los que el prisma mecánico trabzje a tracción o compresión si:ndo curva su directriz, como ocurre en los cables o en los arcos funiculares.

El esfuerzo normal en un prisma mecánico será, en general, una función dz la abscisa que determina la posición de la sección recta

La representación gráfica de esta función da lugar al diagrama de esfuerzos normales del prisma, tal como el indicado en la Figura 2.1.

Las correspondientes leyes de esfuerzos normales en este caso serán:

N = P, para O < x < a

N = P, - P, para a < x < b

N = P, - P, - P, para b < x < 1

70 R E S I S T E N C I A DE M A T E R I A L E S T R A C C I O N Y C O M P R E S I O N 71

Figura 2.1.

Veamos cómo se distribuyen las tensiones que se engendran en e1 prisma mec5nico. Considerando un elemento (Fig. 2.2). cuya cara sombreada forma parte de una sección recta. las componentes de la matriz de tensiones o,,, r,,, 7,: sobre esta cara habrán de vsrificar, por el principio de equivalencia:

o,, dy (i; = N

( T ~ = L - - r,,.:) dj ,

9 Figura 2.2.

Con estas seis ecuaciones no se pueden determinar las tensiones o,,, r,, y r,, que el esfuerzo normal N origina en la sección; es necesario recurrir a hipótesis simplificativas.

La hipótesis que nos resuelve la indeterminación del sistema de ecuaciones es la llamada l~iporesis de Beniolrlli o (le conservación de las secciones planas: Las secciones transversales del prisma mecánico, que eran planas y perpendiculares a su linea media antes de la deformación. permanecen planas y normales a dicha línea media después de producida ésta.

Se comprueba experimentalmente la verificación de esta hipótesis sometiendo a trac- ción una barra prismitica en la que se han dibujado sobre su superficie una reticula de lineas rectas, unas perpendiculares y otras paralelas al eje longitudinal. En efecto, después de producida la d e f ~ r n a c i ó n (Fig. 2.3) se observa que cada recta de la reticula sigue siendo paralela a la misma recta antes de someter la barra a tracción. Como es de suponer que en

Figura 2.3.

el interior del prisma se produce el mismo fenómeno, se deduce la verificación de 18

hipótesis de Bernoulli antes enunciada. Al ser constante la deformación longitudinal unitaria en todos los puntos de la secciór~

transversal, también será constante la tensión o,,. Por tanto, al existir una distribución uniforme de o,, en cada sección transversal de la viga, de la primera ecuación (2.1-2) se deduce:

N CT,,. al2 = N, es decir: o,,, = - n

siendo R el área de la seccióh recta que se considera. Por otra parte, cualquier paralelepipedo elemental que consideremos en la barra, de

lados paralelos a la reticula dibujada en su superficie, se deformará según otro paralelepipedo cuyas caras son paralelas a las de aquél, por lo que se conservará el paralelismo de sus aristas. Quiere esto decir que no existen distorsiones angulares, es decir,

y, por tanto, que

Se comprueba que con estos resultados se verifican idénticamente las ecuaciones segunda, tercera y cuarta de las (2.1-2). También <e verifican las dos restantes, pues ambas son el producto de una constante por el momento estático de la sección respecto de un eje que pasa por el centro de gravedad que, como sabemos, es nulo.

Fácilmente se comprende que en el tramo de una barra prismática en el que el esfuerzo normal es constante, las tensiones normales son constantes en todas las secciones del tramo, es decir, en todos los puntos del tramo del sólido elástico al estado tensional es el mismo. Este estado tensional se denomina esrado rensional homogéneo.

La hipótesis de Bernoulli no es válida para secciones cercanas a aquéllas en que se aplican fuerzas concentradas pero si es acorde con el principio de Sainr-Venant qq,e establece que, exceptuando un pequeño tramo inicial de !.: barra, las tensiones internas no varían si SP sustituye una fuerza externa concentrada pcr un sistema de fuerzas equivaleL8- te, como puede ser el formado por una distribución uniforme en la sección extrema.

72 RESISTENCIA D E M A T E R I A L E S i

Tampoco es aplicable a las secciones próximas a aquellas que presentan variaciones bruscas del área de la sección, como ocurre en entallas, agujeros, etc., ya que entonces hay ciertas zonas en las que se producen concentración de tensiones. como veremos más :idelanre.

El hecho que en los puntos de la sección recta y para la orientación de ésta se anule la tensión tangencia1 indica que la dirección del eje del prisma es dirección principal. Las tensiones principales son:

El vector tensión en un punto interior. para una orientación cuya normal n forme un angulo O con la dirección del eje del prisma (Fig. 2.4), será

Figura 2.4.

cos e a, cos O

= [Z 0 0 0 " [se; %] = [ ] Ce esta expresión se deduce que en cualquier sección oblicua el vector tensión tiene la dirección del eje del prisma.

Sus componentes intrínsecas serán

o, = a-u' = ( o l c o s 8 , 0 , 0 )

o (2.1 -7)

T = a . s e n O = u, coq 0 sen O = 'sen 2 8 2

T R A C C I O N Y C O M P R E S I O N 73

Para una sección oblicua ortogonal a la anterior, es decir, cuya normal n' forma un

ángulo O + f - con el eje .u (Fig. 2.4), el vector tensión es:

y por tanto, sus componentes intrínsecas serán

-sen 0 a:, = a ' . ü f = '(-o, sen o , o 7 O l [ c o l o ] - a l sen2 O

(2.1-9) D1

r' = a ' s e n % = -o, sen e c o s 0 = --sen 2 0 2

A los mismos resultados podríamos haber llegado utilizando el circulo de Mohr (Fic. 2.5)

o o OB = m + CB = - + - cos 20 = o , cos2 e = o, 2 2 (2.1-10)

0 BM = CM sen 28 = 2 sen 28 = r 2

o o - - = 2 - 2 cos 28 = o , sen2 0 = o: 2 2 (2.1-11)

- o1 D w = -FM sen 20 = -- sen 28 = T' 2

f TRACCIOIU' Y COMPRESION 75 i 4 RESISTENCIA DE M.4TERIALES

I Téngase presente que el signo de la tensión cortante para la representación de Mohr es,

por convenio. positiva si el momento respecto del interior de la porción de prisma que se considera tiene el sentido del eje i negativo (entrante rn el plano del papel).

En lo anttrior hemos considerado la sección constante. Pero es frecuente encontrar prismas mecánicos de sección variable sometidos a tracción o compresión monoaxial. En estos casos la solución rigurosa solamente se puede obtener aplicando la teoría de la Elasticidad. Sin embargo, si la variación es lenta y continua se puede admitir. si11 error apreciable, que el reparto de tensiones es uniforme en cualquier sección recta. como ocurre en las barras troncocónicas con semiringulo cónico z ,< 12" (Fig. 2.6-u), o en barras con forma de cuña, de espesor constante y de anchura variable (Fig. 2.6-b).

- 7 L--

(a) (h ) Figura 2.6.

Cuando la variación es brusca. como ocurre en los prismas mecánicos en los que varia apreciablemente la sección recta en un intervalo pequeño de línea media (Fig. 2.7-01, presentan entallas (Fig. 2 .74) o estln a~ujereados (Fig. 2.7-0. ya no es posible admitir en la sección recta de menor área una distribución uniforme de tensiones. El cilculo ri;u- ros0 y la comprobación experimental demuestran que en los bordes (puntos 177 y n de la Figura 2.7) la tensión presenta un valor amax bastante mayor que en la tensión media a que correspondería a un reparto uniforme.

Figura 2.7.

El valor de la tensión maxima se suele poner en la forma

siendo k un coeficiente superior a la unidad, llamado coejicienre de conceriiracidt~ tie iensiones. que se puede obtener aplicando \a teoría de la elasticidad o bien experimentalmente.

En la Tabla 2.1 se indican los valores del coeficiente de concentración de tensiones para los casos de tracción monoaxial indicados en la misma Figura 2.7 de: a ) eje de sección circular variable: b) placa de sección rectangular con entalla, y c) placa de seccicín rectan- oular agujereada en su centro.

t 1 Se observa que la concentración de tensiones en los puntos m y n del borde es tanto : mayor cuanto menor es el radio r del acuerdo y cuanto mayor es el cambio de sección.

En el caso de una placa sometida a tracción o compresión uniformes con agujero en el centro (Fig. 2.8-u), cuando la relación r /d disminuye, lo que equivale a decir que la anchura

i tiende a infinito o que, sin ser la placa muy ancha, el taladro es relativamente pequeño, se i comprueba que o,,, = 30. es decir. el coeficiente de concentración de tensiones toma el

valor 3. Pero si el taladro es elíptico (Fig. 2.8-b), la tensión máxima se puede expresar mediante la siguiente fórmula

Tabla 1.1. Coeficientes de concentración de tensiones

! por lo que el coeficiente de concentración de tensiones puede tomar un valor muy superior a 3 cuando la longitud a del semieje dc la elipse normal a! esfuerzo es mayor que la longitud O del semieje paralelo al mismo

1

1.22

1.72

2-02

0.8

1.28

1.3

0.9

1.25

1.26

0.6

1.38

1.4

2.06 / 1.04

0.7

1.32

1.34

2 ,h j / 1 5 / 2.3 1 2 . 1 2

0.1

1.5

1.62

d

a

b

0.5

1.4

1.5

0.2

1.66

2.05

2.2

0.3

1.57

1.8

i 0 . 0 5 I O . i

l

I . ~ I 1 2 . 1 / 2.08

1.92

5

1.8

2.35

76 R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E S

Todo lo dicho es vilido en régimen elástico, es decir, cuando el valor de a,,, no supera el del limite elástico a,. En el caso de materiales frágiles en los que el limite elástico es muy próximo al de rotura, el efecto de concentración de tensiones puede ocasionar la fractura de la pieza aún para valores de a muy inferiores a a,. Por el contrario. en el caso de materiales dúctiles, en los que se alcanza el límite elástico y tensión de fluencia mucho antes que se produzca la rotura. la formación de deformaciones plásticas hace que la distribución de tensiones sea aproximadamente uniforme.

2.2. Estado de deformaciones por tracción o compresión rnonoaxial

Conocida la matriz de tensiones, la obtención de la matriz de deformación es inmediata aplicando las leyes de Hooke generalizadas [ecuaciones (1.8-S)]

El corrimiento de una sección de abscisa .Y en dirección del eje .Y se puede calcular integrando la primera de estas ecuaciones, teniendo en cuenta que u depende exclusivamente de .r

La representación gráfica de la función u = u('c) da lugar al diagratna de desplaiamien- tos de las secciones recias.

El alargamiento absoluto Al del prisma no es otra cosa que el corrimiento u de la sección extrema. Por tanto, su valor se ot;:endrá particularizando el de u para x = 1

Figura 2.9.


Para un prisma tal como el de la Figura 2.9 en el que N = P y R es constante, se tiene

sxpresi6n que proporciona el valor del alargamiento total experimentado por el prisma. Para barras escalonadas en las que se produzcan saltos discretos de los valores del área

de la seccibn, o dcl esfuerzo normal, la fórmula a aplicar para el cálculo del alargamiento absoluto seria ,_--

" N,[, Al = 1 Al, = 2 -- 1 1

siendo 1, la longitud de la porción de prisma en la que son constantes los valores de IV,, ni y, por supuesto. el del módulo de elasticidad E¡.

Consideremos ahora el entorno elemental de un punto interior del prisma meciiiico de la Figura 2.9. Sea I.' el volumen de dicho entorno antes de la deformación y A V la ~ariación de volumen experimentada una vez aplicada la fuerza axial P

La ~lilatacroti ciihica ltniraria será, despreciando infinitésimos de orden superior

que se anula para 11 = 0.5. Esta expresión nos indica que la dilatación cúbica unitaria será tanto menor cuanto

más se aproxime el coeficien:: de Poisson a 0.5, como ocurre en algunos materiales tales como la goma y la parafina.

2.3. Tensiones y deformaciones producidas en un prisma recto por su propio peso. Concepto de sólido de igual resistencia

En algunas ocasiones la magnitud de las cargas que actúan sobre el prisma es muy grande, lo que hace que el peso propio del mismo se pueda considerar despreciable. En otras, por el contrario, sólo el propio peso puede producir por sí mismo unas tensiones que pudieran ser del mismo orden de magnitud, e incluso superiores, que las debidas a las cargas y que,

. evidentemente, habrá que tener en cuenta. Supongamos el prisma recto de peso P, longitud / y sección recta de área constante R

indicado en la Fisura 2.10, en uno de cuyos extremos está sometid, a una carga F, que supondremos uniformemente repartida en esa sección, creando un estado tensional de tracción en el caso (a) y de compresión en el (b).

-2


(u)

Figura 2.10.

Si el peso P fuera despreciable frente a la carga F podriamos considerar que la tensión normal a en cualquier seccion recta de área !2 seria* en valor absoluto

F a = -

R (2.3-1)

y el alargamiento o acortamiento, en su caso, del prisma en dirección axial

En el caso que el peso no fuera despreciable, la tensión dada por (2.3-1) solamente seria cierta para la sección extrema inferior en el caso (a), o la superior en el caso (b). Para cualquier sección intermedia la fuerza que habria que considerar seria F aumentada en el peso de la parte del prisma existente entre esta sección y la que está aplicada la carga. La tensión es variable, alcanzando su valor máximo er. la seccion de empotramiento. Su valor seria:

Para una sección cualquiera nn, a distancia s de la seccion extrema en la que se aplica la carga, la tensión toma el valor

siendo y el peso especifico del material de la barra.

* Suprimimos en este epígrafe los subíndices de la tensión normal por innecesarios. ya que solamente se van a considerar secciones rectas y no oblicuas.

8

[ Supongamos dos secciones rectas separadas d.y. El estado de tensiones definido por ' (1 3-41 produce un alargamiento o acortamiento de este prisma elemental.

El alarganiiento. o acortamiento, total del prisma se obtendri integrando 2St3 expre- 1 sión a lo largo de la barra: i

i

1 El resultado a que hemos llegado nos dice que cuando se considera un prisma de

1 sección constante sometidd a tracción (o compresión) y se tiene en cuenta el peso propio, i la variación de 1ongitud"que experimenta dicho prisma es la misma que presentaría un

prisma de peso despreciable sometido a un esfuerzo de tracción (o compresión) igual a la l

i carga aplicada incrementada en otra igual a la mitad del peso propio de la pieza.

I En el caso estudiado hemos supuesto constante la seccion R. Asegurando que la

i :ensión máxima dada por (2.3-3) sea menor o igual a la tensión admisible, en cualquier

j otra sección del prisma la tensión será inferior a la a,,, con toda seguridad. Esta circuns- : tiincia nos permite disminuir las secciones del prisma hasta conseguir que en cualquiera de

ellas la tensión sea la misma; con un consiguiente ahorro de material. i

Llegamos asi al concepto de sbliclo de igual resisrelicia. es decir, un sólido en el que se j tiene en cuenta su propio peso y es tal que en cualquier sección recta la tensión a es la

Consideremos el pilar de la Figura 2.1 1, y calculemos la función que da el valor de la sección 0 del mismo para que verifique estas condiciones.

i Figura 2.1 1. 1

l Sean dos secciones próximas mrn y nn; sobre la inferior ia carga es igual a la correspcfi- diente a la sección superior aumentada en el peso del prisma comprend:.lo entre ambas.


La superficie de la sección nn será mayor que la de nznz y la diferencia c112 entre una y otra h:i de ser tal que la tensión producida por el peso del prisma elemental sea o. es decir:

ecuación diferencial en la que separando variables e integrando, se tiene: . I

siendo C una constante de integración, cuyo valor es igual al área de la sección superior del pilar, según se desprende al particularizar esta ecuación para x = 0.

La ecuación (2.3-8) toma, pues, la forma:

La sección va aumentando y es máxima en la base del pilar, es decir, para .u = l. j

2.4. Expresión del potencial interno de un prisma mecánico sometido a tracción o compresión monoaxial

D2da la matriz de tensiones [TI y la matriz de deformación [D&de un sólido elástico sometido a una solicitación exterior, se demuestra que el potencinl interno o energía elástica de deformación por unidaa de volumen que el sólido posee, en función de las :cn;?vnerites de ambas matrices, según la expresión (1.15-4), es

En el caso de tracción o compresión monoaxial, según hemos visto, se anulan todas las componentes de la matriz de tensiones, excepto a,,. Por tanto, el potencial interno de un paralelepípedo elemental del prisma será

1 dG = - a,, E , d x dy dz

2

TRACCION Y COMPRESION 81

Si se considera la porción de prisma comprendida entre dos secciones rectas indefinida- mentz próximas, separadas du. esta expresión se puede poner en la forma

1 fl = - o,, c , R tf‘c (2.4-3)

7

Expresando la deformación unitaria E , en función de a,,, y i'sta en función del esfuerzo normal N, se tiene: __-A

Integrando, obtendremos el'potencial interno de todo el prisma

SI ,V = P es constante, as¡ como el área R de la sección

A partir de esta expresión se puede comprobar el alargamiento absoluto Al, aplicando el teorema de Castigliano

2.5. Tracción o compresián monoaxial hiperestática

Al plantear el equilibrio de un sistema sucede frecuentemente que el número de incógnitas es superior al número de ecuaciones que proporciona la Estática y, por lo tanto, no son suficientes para resolver el problema. Taies sistemas reciben el nombre de sistemas estuti- ca?)iente indeterminados o sisternas liiperestá~icos.

Llamaremos grado de hiperesiaticidad n al número que expresa la diferencia entre el número de ecuacjones independientes de que se dispone y el numero de incognitas.

La causa de que la Estática no resuelva esta clase de problemas está en que allí considerábamos el sólido como rígido. Las deformaciones que presentan las diferentes partes de un sistema, consideradas como sólidos elásticos, proporcionan el número de ecuaciones restantes necesarias para obtener la solución del problema. Estas ecuaciones adicionales expresan las condiciones gcométricas de las ligaduras impuestas a los sistemas deformables y reciben el nombre de ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones.

Consideremos en lo que sigce, con objeto de dejar clara la idea de equilibrio hiper- estático, algunos ejemplos de casos elementales de este tipo de sistemas.

El primer ejemplo que vamos a considerar es el sistema constituido por una barra de

sección constantz de area R empotrada en sus dos extremos sometida a una carg- P. tal como se indica en la Figura 7.12 y en la que deseamos conocer los esfuerzos normales que actúan en sus diversas secciones.

Figura 2.12.

En este sistema, las incognitas son las reacciones R, y R, de los empotramientos, mientras que la única ecuación de equilibrio es la que expresa la nulidad de la resultante de las cargas verticales.

Se trata, pues, de un sistema hiperestático de grado 1 o de primer grado. La ecuación de compatibilidad de las deformaciones que necesitamos la podemos

obtener sustituyendo un empotramiento, el superior por ejemplo (Fig. 2.12-b), por la reacción de la ligadura, en virtud del postulado de liberación, e imponer la condición de que el desplazamiento de esta sección es nulo

t TRACCIOS Y COMPRESION 83

remos el potencial interno de la barra en función de la incognita hiperestatica, de R,, por i ejemplo. i

1 ., +

A l ser nulo el desplazamiento del empotramiento A, en virtud del teorema de klena- / brea, se verificará

de donde se obtiene

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por esta ecuación y la (2.5-l), se obriens:

que nos permite dibu~ar , aplicando el método de las secciones que ya nos es familiar, el diagrama de esfuerzos normales a que están sometidas las diversas secciones de la barra (Fig. 2.12-c).

También podríamos haber resuelto este caso pc>r un método basado en los teoremas energéticos. En efecto, como se trata de un sistema hiperestático de primer grado, expresa-

! resultado que, evidentemente. coincide con el obtenido aplicando el nlitodo anterior. 1 Una vez obtenida R,, se-calcularía R, mediante la ecuación de eqiiilibrio (2.5-1)

Consideremos ahora el sistema de la Figura 2.13-a constituido por tres barras y en

1 cuyos extremos tienen articulaciones perfectas. Deseamos calcular los esfuerzos a que estarán sometidas las barras cuando se aplica en el nudo O una fuerza F en dirección de

Llamando N!! N?. N, a estos esfuerzos, las condiciones de equilibrio estático del / sistema son:

N, sen a - N, sen a = O (2.5-5)

N, + N, cos a + N, cos r - F = O

Figura 2.13.

84 RESISTENCIA DE MATERIALES 1 sistema de ecuaciones equivalen~c a: 1

+ 2iV, cos r = F

Por otra parte, la condición de momento nulo no aporta ninguna nueva ecuación ya que las fuerzas son concurrentes y necesariamente se cumple. Tenemos, por-tanto. dos ecuaciones algebraicamente insuficierites para calcular los esfuerzos N,, ?V2 y ,Y3.

El problema aparentemente está indeterminado, pero teniendo en cuenta la conipatibi- lidad de las deformaciones de las barras, el sistema adopta una configuración tal como la representada exageradamente en la Fizura 2.13-b.

Los ángulos r y p que forman las barras inclinadas, antes y después de la deformación respectivamente, respecto a la vertical. son sensiblemente iguales (r = 8). ya que las deformaciones son muy pequeñas, por lo que la ecuación (2.5-6) sigue siendo válida.

Los alargamientos Al y Al, de la barra vertical e inclinadas, respectivaniente, no son independientes, sino que están relacionadas por medio de la ecuación:

Al , = Al cos a (2.5-7) c.

que se obtiene considerando el triángulo ODO', rectángulo en D. ! Aplicando la ley de Hooke, pues suponemos que estamos en la zona de elasticidad t.

I proporcional, se tiene: i

Sustituyendo estos valores en (2.5-7) y teniendo en cuenta que 1 = 1, cos U se obtiene la ecuación:

que junto con (2.5-6) forma un sistema de solución única: I

De lo expuesto se desprende que cuando nos encontremos con un caso de tracción o compresión hiperestática, a las ecuaciones de equilibrio de la Estática hay que añadir la condición de compatibilidad de las deformaciones de las diversas partes del sistema. Una forma de expresar esta condición es hacer un esquema en el que figure el sistema deforma- d o (como se ha hecho en la Figura 2.13-b) y a la vista de la configuración geométrica que, éste adopta se deducen las relaciones que existen entre las deformaciones de las diferentes partes. Es evidente que el ntimero de ecuaciones independientes entre deformaciones que se necesitan para la deterniinación del problema es igual al grado de hiperestaticidad del sistema.

Otro posible método a aplicar para la resolución de problemas de tracción o compre- sión hiperestática está basado en el teorema de Casti~liano. Para exponerlo consideremos el mismo ejemplo representado en la Figura 2.13 que hemos contemplado anteriormente.

El método consiste en sustituir las barras superabundantes del sistema, que lo hacen hiperestitico. por fuerzas X, en los nudos extremos. En nuestro caso, suphmiendo una sola barra, pues se trata de un sistema hiperestitico de primer grado, la barra OA, por ejemplo, tenemos el sistema indicado en la Figura 2.14.

j. F Figura 2.14.

De las ecuaciones de equilibrio

N, sen r - N , sen r = O X + N , cos a + N 3 cos r - F = O

se deducen las expresiones

F - X N , = N , = -

2 cos r

que permiten expresar el potencial interno de! sistema en función exclusivamente de la incógnita X

Pues bien, el desplazamiento relativo de los nudos extremos de la barra suprimida que vale, en virtud del teorema de Castigliano

tiene que ser igual a la variación de longitud que experimentará esta barra sometida al esfuerzo normal X. Pero como la fuerza X que hemos considerado es sobre el nudo, por el


principio de acción y reacción la que actúa sobre la barra es igual y opuesta. Por tanto, tendremos que cambiarle de signo, es decir

Igualando. pues. estas expresiones, se tiene la ecuación adicional que nos hacia falta para la determinación del problema

de donde

que coincide. evidentemente, con el valor obtenido para .Vz por el otro método. El valor de la otra incógnita ;VI se obtiene de forma inmediata de la segunda ecuación

(3.5-1 1). En los dos métodos de cálculo expuestos se ha supuesto que las barras trabajaban en

régimen elástico. Es evidente que si vamos aumentando gradualmente el valor de F llegaremos al limite elástico en alguna de las barras antes que en otras.

Estudiemos ahora el comportamiento del mismo sistema considerado anteriormente cuando aumentamos F y sobrepasamos el régimen elástico. suponiendo que el material de !as barras presente un escalon dejluencia, es decir, el diagrama tensión-deformación fuera de la forma indicada en la Figura 2.15.

Figura 2.15. 1

De las expresiones (2.5-10) se deduce, al ser cos a < 1 y haber supuezf 1 que las barras son del mismo material e igual área de sección, que N, > N,. Por tantc, la brrra que alcanza antes la tensión del límite elástico o, es la OA.

E


I i Si N 2 < . g r . R, o 10 que es lo mismo

i siendo F, la carga máxima para que todo el sistema trabaje en régimen elástico. En una representacibn gráfica N - F (Fig. 2.16), las leyes de variación de los esfuerzos 1 normales N , y N- en función de 13 fuerza Faplicada vienen dadas por los seamentos m, !

1 respectivamente. i

O l 5 Fp F Figura 2.16.

! Para valores de F superiores a la curga ~násinici elásrira F,, la barra O;I se alarga sin variar el valor del esfuerzo normal N,, es decir, N? se rnan~iene constante. Las barra'

1 laterales trabajarán en régimen elástico hasta tanto el valor de F valga F,. para el quc ;v, = ~ , n .

Durante este periodo, que podriamos decir que el sistema trabaja en régitneri elástico- plástico, las expresiones que nos dan los valores de N, y N, son

Las lcyes grificas coirespondientes vienen representadas por los segmentos \. - A ,A , respectivamente (Fig. 2.16).

Al llegar F a tomar el valor Fp las dos barras entran en rigimen plástico producrénciosr la ruina del sirtenza. L ~ I carga Fp recibe el nombre de carga limite. N o es posible sobrepasarla pues las barras del sistema se alargarían indefinidamente manteniéndose constante F,.

Estudiemos ahora la variación del desplazamiento 6 del nudo O, punto de aplicación de la fuerza F, a! ir aumentando el valor de ésta.

Mientras la barra central trabaja en régimen elistico, es decir, si F < Fe, el valor de b >erá


Su valor, para F = F,, es

La expresión (2.5-19) es lineal. por lo que en un diagrama F - 6, tal como el representado en la Figura 2.17-a. la gráfica correspondiente viene representada por el segmento rectilíneo OA.

Si suprimimos la carga F antes de alcanzar el valor de Fe, el sistema seguiría la recta de descarga AO, es decir, al cabo de un tiempo suficiente se anularía la deformación b y el sistema adoptaría la misma configuración geométrica que tenía antes de empezar a cargarla.

En régimen elástico-plásticc (Fe < F < Fp), el valor de 6 se puede obtener a partir de la ecuación (2.5-18) que nos d a el valor del esfuerzo N , en las barras laterales, ya que al estar éstas en régimen elástico siguen la ley de Hooke.

C

I = 1, cos a 6 , = -, y como N,¡

ER = b c o s zi F -

6, = b cos a El; cos cí

G

6ep = N,¡ - - ( F -

ER cos2 U 2 ER cos3 a 1 + 2 cos3 U

A B

Veamos q u i ocurre a l sistema si cuando está cargado con una fuerza F comprendida entre Fe y FF,, se suprime ésta.

Sabemos que en el diagrama tensic. .-deformación de un material que ha superado la tensión de fluencia, la descarga viene representada por un segmento rccltilineo paralelo al de carga proporcional, es decir, si el material se encuentra en el estado representado por el punto B en la Figura 2.17-b, la descarga sigue el segmento BD, paralelo al m. Esto nos

indica que si se supera la tensión de fluencia y después se descarga, en el material queda

t iina deformación permanente cuyo valor unitario viene dado por la abscisa m. Volviendo a nuestro sistema hiperestitico de las tres barras. si la carga es F y e1 punto f representativo cn el diagrama F - 8 es B (Fi l . 2 . l i - r 1 ) , la deicarari seguiri la recta BD.

I Vernos que el sistema no recupera su posición inicial, cuando estriba descargado, sino que

1 existe una deformación permanente, cuyo valor es

o D E

Ahora bien, = F - Fe y las &gentes de los án_oulos r y f l son los coeficientes angulares de las rectas m y respectivamente, cuyos valores fácilmente se deducen de las ecuaciones (2.5-19) y (2.5-21).

Por tanto, el valor de la deformación permanente del sistema será

0 .

! Esta deformación permanente que ha sido causada porque una parte del sistema hiperestático. en nuestro caso la barra central, ha rebasado la tensión de fluencia. es

1 evidente que producirá en las barras laterales esfuerzos de traccion que. a su vez, producen

! un efecto de compresión sobre ella. En las tres barras del sistema descargado existirán 1 esfuerzos residuales.

Los valores de estos esfüerzos residuales se pueden obtener fácilmente de forma gráfica

t mediante la utilización de un diagrama N - F, tal como se indica en la Figura 2.15.

Figura 2.18.

Figura 2.17.

d,,rm

- Las barras laterales se descargaran siguiendo la recta que pasa por E y es paralela a OA,. Por tanto, el esfuerzo residual en ellas será

D J , J

iu) (h)

I F cos2 a N,, = ES = N,(F),,, - N,(F), = - (2.5-24)

2 cos a

C

&w

e- e= e- *- ti.

$r

B. * e- 4-

e P t CL

P e * e- C éc e-- * e - b

(b

6- C 6-

i. C b-

b b t- C C C-- C

90 RESISTEXCIA DE MATERIALES f TRACCION Y COMPRESION 91

ya que N,(F),, y N , ( F ) , son los valores dados respectivamente por la primera ecuación (2.5-18) y la segunda (7.5-lo), al particularizarlas para el valor de F considerado.

Por su parte. la barra central se descar~arri siguiendo la recta que pasa por P y es paralela a m'.

Por tanto

Si ahora volviéramos a cargar, el sistema seguiría la recta DB (Fig. 2.17-u) y se comportaria como elástico hasta alcanzar el punto B. O sea. que se ha conseguido aumentar la carga elástica máxima del sistema.

Si llegado nuevamente al punto B seguimos aumentando el valor de P, la ley gráfica seguirá los puntos del segmento K. Al llegar a C (para F = F,) la deformación (i crece indefinidamente a carga constante: se produce la ruina del sistema.

2.6. Tracción o compresión rnonoaxial producida por variaciones térmicas o defectos de montaje

Cuando tenemos un prisma mecánico recto y se calienta de forma uniforme de tal manera que su temperatura se eleva Ar 'C, la longitud 1 de cualquiera de sus dimensiones experimenta una variación Al dada por la ecuación

en donde a es el co~ficienre de dilaración lineal, que es constante para cada material y cuyos valores para un conjunto de materiales de uso bastante comun se recogen en la Tabla 2.3.

Tabla LL Coeficientes de dilatación lineal

Esta variación de las dimensiones iniciales no producirá tensión alguna si no hay ninguna causa que impida Ia libre diIatación. Pero si se pueden producir tensiones en la pieza si !a defcrmaci6fi se ve impedida total z parcialmente czms ocurre, gencralrnen:e, en los sistemas hiperestáticos.

3

Figura 2.19.

Material

Acero de alta resistencia Acero inoxidable Acero estructural Aluminio y sus aleaciones Latón Hormigón Niquel

Consideremos. por ejemplo. la viga isostática indicada en la Figura 2.19. A1 producirse una elevación Al "C de la temperatura experimentará un alargamiento Al = rl A f , puesto que no esta restringida su libre dilatación, pero no existirá en la viga ninguna tensión como consecuencia de esta variación térmica.

Por el contrario, si la misma viga en vez de tener un apoyo fijo y otro móvil tuviera dos apoyos fijos (Fig. 2.20-a) y es, por tanto, un sistema hiperestático, la dilatación ya no es libre. El sistema queda ep una situación equivalente a haber dejado libre la dilatación Ai y haber aplicado a contiriuación una fuerza N de tracción o compresión (de compresión en nuestro caso) de valor tal que la deformación producida sea precisamente Al.

Material

Hierro fundido Fundición gris Ladrillo Bronce Bronce al manganeso Vidrio Nylon

z 10-6 OC- I

14 17 12

23.4 19.1-21.2

11.3 13

t 1

Figura 2.20.

a 10-6 O C - 1

9.9- 12.0 1 O 5-7

18-21 20

5-1 1 75-100

Ahora sí existen tensiones en la viga, que llamaremos tensiones térmicas o tensiones de origen rérmico. Su valor se puede deducir fácilmente igualando, en este caso, las expresiones de Al

de donde:

En el caso que tengamos una barra como la representada en la Figura 2.9 sometida a tracción o compresión, las matrices de tensiones y de deformación son, respectivamente:

92 R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E S 1 T R A C C I O N Y COMPRESION 93

Cuando provocamos en esta barra una variación térmica uniforme de At 'C. la matriz de tensiones [TI es la misma, es decir. el estado tensional no varía. Sin embargo si se modifica la matriz de deformación. pues habr i que sumar a las deformaciones Ion-itudina- les el termino YA!, ya q u e la dilri~acibn unitaria es la misma en todas las direcciones por tratarse de un material isótropo

Para el mismo prisma de la Figura 2.9, supuesto un calentamiento uniforme que eleva la temperatura At "C, el alargamiento total en dirección axial será:

DI

Hemos supuesto que E es constante y esto es, generalmente. cierto para variaciones t

itrmicas pequeñas. Para grandes valores de At habrá que tener en cuenta la variación de E ! con la temperatura. S

i

Del ejemplo expuesto anteriormente se deduce una regla general: una variación de temperatura en un sistema isostático no produce tensiones de origen térmico, pero si las i produce. en cambio, si el sistema es hiperestático. i

También se deduce el procedimiento para determiliar las tensiones térmicas cuando se impiden las dilataciones: i

l." Se calcula la dilatación, como si ésta fuera libre. 2." Se aplica la fuerza de tracción o compresión monoaxial para que la pieza ocupe la

posición a la que está obligada por las ligaduras impuestas. 3." Se hace un esquema gráfico de los dos apartedos anteriores y se deducirá de él la

relación o relacignes geomitricas entre les defcxmaciones debidas a ¡as variaciones térmicas y las fuerzas de tracción o compresión aplicadas.

Las tensiones de origen térmico pueden llegar a alcanzar valores muy considerables. Para evitar si;s consecuencias en las edificaciones y construcciones en geneial se suelen colocar juntas de dilatación.

Hay otra causa de que los sistemas hiperestáticos presenten tensiones antes de ser cargados. Nos referimos a los casos en que las dimensiones teóricas de las diversas partes de un sistema no coinciden con las reales, bien por defecto de fabricación, bien por error o imprecisión en el mismo cálculo. Lo cierto es que en el montaje es necesario forzar las barras del sistema para enlazarlas, lo que da origen a unas tensiones que podríamos llamar tensiones por defectos de montaje.

Supongamos, por ejemplo, que en el sistema considerado en el epígrafe anterior (representado en la Figura 2.13) por un error en el corte de las barras la barra 0 2 no !,me longitud 1 sino 1 - A. Al forzar las barras para enlazarlas entre si la barra central sufre un alargamiento 6 mientras que las laterales se acortan 6, (Fig. 2.21)

La condición de equilibrio estático

N 2 - 2N, cos r = O

junto con la ecuación de compatibilidad de las deformaciones

y las relaciones entre las deformaciones de las barras y los esfuerzos normales que en ella se generan

- N,¡ , N , [ , b = : N11

, ~ , = E R = - EQ cos 1

forman un sistema de ecuaciones, cuyas soluciones que nos interesan son:

AER C O ~ ' r

~ ( i + 2 COS' Y)

2AER cos3 r

l ( 1 + 2 cos3 r )

Una primera consecuencia que se desprende df este resultado es que si ahora a p l i i - mos en el nudo O una carga F, las tensiones de las barras son menores que las que tendrían si^ el error en la longitud por defecto. Quiere esro decir que se ha ?levado el valor de Fe; carga nkxima elástica del sistema, y, consecuentemente, su capacidad resistente. De ahí que en ocasiones estos efectos en el montaje de los sistemas hiperestáticos se provoquen intencionadamente y permitan hacer una regulación artificial de los esfuerzos normales y las tensiones correspondientes.

Quizás el ejemplo mas característico de esta regulación artificial de esfuerzos a la que nos referimos sea la que se hace en el hormigón pretensado.

El hormigón resiste muy mal los esfuerzos de tracción, por lo que al estirar las armaduras previamente- al hormigonado y liberar los mecanismos de re tensado una vez fraguado el hormigón, se crea en la pieza un estado tensional inicial de compresión que permitirá auLentar el limite de la carga a tracción sin que se produzcan fisuras peligrosas.

Volviendo al ejemplo anterior (Fig. 2.21) nos damos cuenta que el sistema considerado

1 TRACCION Y COMPRESION 95 f

9.1 RESISTENCIA DE MATERIALES

i 1 i De la primera ecuación se deduce que la proyección horizontal del esfuerzo normal en L

f cualquier sección del hilo es constante

: ! !V cos O = if = constante (2.7-3)

es equivalente al que se obtendria si en la barra central se produjera una disminución de temperatura - A r "C. tal que crl At = A.

De ahí que hayamos estudiado estas dos causas de existencia de esfuerzos normales en el mismo epigrafe.

i Sustituyendo en la segunda ecuación, y teniendo en cuenta que tg 0 = 1.'. queda 2.7. Equilibrio de hilos y cables

l t ti(% sen O ) = d(H tg O ) = H 4.' = tlf i

Existen prismas mecánicos sometidos exclusivamente a tracción. sin que su linea media sea rectilínea. Es el caso de los hilos y cables flexibles, que han sido estudiados en Mecánica.

Recordemos que se denomina hiio a un sólido perfectamente flexible e inextensible, c1iya dimensión de la sección transversal es muy pequeña en comparación con su dimen- sión longitudinal. De la perfecta flexibilidad se deduce la existencia solamente de esfuerzo normal, - q u e en Mecánica llamábamos tensión del hilo-, anulándose tanto el esfuerzo cortante como los momentos íiector y torsor.

Al aplicar un sistema de cargas al hilo. éste adoptará una configuración geométrica de equilibrio que es isostatica. Es ficil ver que la directriz del hilo es una curva plana cuando la solicitaciori que actúa sobre e1 mismo está formada por cargas verticales, únicos casos que consideraremos.

Veamos cuál seria la curva de equilibrio del hilo. El esfuerzo normal en las secciones transversales del hilo será una función i\' = :Y(.<) de la abscisa curvilinea s. Consideremos una porción elemental de hilo, aislado, sometido a una fuerza externa dfque, como hemos dicho, supondremos actúa en dirección verticul (Fig. 2.22).

1 es decir

Se llega así a la ecuación diferencial de la curva de equilibrio. denominada curi,; funiculnr. Integráridola, se obtiene

' siendo C , y C, constantes de integración que se determinan imponiendo las condicionei 1 de contorno. es decir, obligando a 11 curva a pasar por dos puntos fijos ((.Y,. y ! B(.Y,.F~). t

1 Una vez obtenida la curva funicular (2 7-5) se obtiene el valor de H a partir de ia ! longitud L que es, generalmente, dato

(2.7-6)

y determinado el valor de H, el esfuerzo normal N se obtiene de la ecuación (2.7-3)

N = -- = H J ~ COS o

Integremos la ecuación diferencial de la curva funicular (2.7-4) en los casos más usuales de carga:

f a) Hilo sometido a su propio Deso Figura 2.22.

Sea q el peso por unidad de longitud del hilo. En este caso, la expresión de la fuerza df que actúa sobre el elemento del hilo es Planteando el equilibrio, tenemos

(N + d ~ ) ( o + do) - N 6 = O (N + dlyi sen (0 + do) - N sen 6 = df

! por lo que la ecuación diferencial de la curva funicular será: sistema de ecuaci3ries equivalente a:

y l V cos 6 ) = O

d(N sen o) = df I

que es de variables separadas y de integración inmediata

Integrando nuevamente. se obtiene

siendo C , y C 2 constantes de integración Esta ecuación corresponde a una catetzaria

Figura 2.23.

Tomando adecuadamente los ejes coordenadas podemos simplificar la ecuación de la catenaria. Así, si tomamos como eje y el que contenga al vértice V, punto de menor

H ordenada, y el eje x a distancia a = - por debajo de estc punto, se anulan las constantes

4 de integración y la ecuación (2.7-11) de la catenaria se redlice a su forma canónica

x y = ach -

a

Cuando la relrción f/l entre la flecha f y la cuerda 1 (Fig. 2.23) es m u j pequeña, se puede despreciar el valor de J' respecto a la unidad. La ecuación (2.7-9) se reduce a

4 dy' = - d , ~ (2.7- 13) H

Integrando, se obtiene


ecuación que corresponde a una parábola. Es decir, para valores peque:i~s de la relación f ' l . se puede considerar la parábola como figura aproximada de la catenaria.

b) Hilo sot~irricio u curgu ~rtifirnietlicntr repurtiriu s e g ~ i i ~ el e;(, .Y

Es el caso del puente colgante. Si es p la carga por unidad de longitud horizontal. la expresión de la fuerza dJque actúa sobre el elemento de hilo es:

dJ = p ~ l v __-- - ,

por lo que la ecuación dtferencial de la curva funicular sera

cuya integración nos da

ecuación que corresponde a-una parabola.

Tomando el sistema de ejes indicado en la Figura 2.14 esta ecuación se reduce a

Figura 2.24.

I TRACCION Y COMPRESION 99

i En los puntos en los que están aplicadas las cargas podemos poner L- longitud L del hilo es

1 es decir. se produce un punto an~uloso .

i La curva funicular se convierte. pues, en una poligonal (polígono funicular) ecuación que permite calcular H en función de f.

p12 De la condición ~ ' ( 0 ) = - f = -- se deduce

8 H 1 1 2.8, Arcos funiculares

En un hilo sometido a una carga arbitraria p = p(.u), su línea media adopta una forma tal que los esfuerzos en cualquier sección transversal se reducen exclusivamente a los esfuer

i zos normales: el hilo está sometido a tracción pura en todas las secciones.

Si ahora consideramos un prisma mecánico cuya línea media coincida con la curva ! funicular de un hilo solicitado por el mismo sistema de cargas, este prisma mecánico estará

/ tambiin sometido a tracción pura. Sin embargo. existe una diferencia entre el hilo y el sólido elástico. Mientras que aquél es inextensible y, por lo tanto, indeformable, en éste si que se producirá deformación. Esta circunstancia trae como consecuencia que en el sólido

S elástico aparezcan esfuerzos de cortadura y de llexion, que sc denominan esflrerios seci~r:- ! darios y que, generalmente, s o n despreciables.

Si el cable o hilo de la Figura 2.36-0 lo siramos 180' alrededor del eje x y lo sometemos ! al mismo sistema de fuerzas exteriores p = p(.x), es evidente que sus secciones quedarán j sometidas a compresión en vez de a tracción.

pl' H = - Sf

o bien. se obtiene la flecha f en función de H

Sustituyendo la expresión de y' en la ecuación (2.7-7) se obtiene el esfuerzo normal IV en función de la abscisa s

cuyo diagrama se representa en ia Figura 2.24-b. Se observa que el valor máximo de IV se presenta en los puntos de amarre y el mínimo en el vértice

c) Hilo sometido a cargas puntuales

En este caso, en los puntos en los que no hay .carga, se verificará: df = O, por lo que la integración de la ecuación de la curva f u n i c u l a ~ 2 o s da

que es la ecuación de una recta.

\

Figura 2.25.

d

Figura 2.26.

100 R E S I S T E N C I A DE M A T E R I A L E S

!

Si en vez de ser un hilo, que es perfectamente flexible y por tanto inestable, es un sólido elástico cuya linea media es coincidente con el hilo, tenemos un arco que recibe el nombre de orco jlrniculur (Fig. 2.364~). I

Es que en un arco funicular, respecto del hilo o cable que tuviera la misma I línea media, hay que aumentar las dimensiones de la sección transversal para evitar que 1 aparezcan fenómenos de inestabilidad. Pero este aumento de las dimensiones de la sección da lugar P la aparición de esfuenos cortantes y momentos ílectores. que serán tanto más 1 despreciables cuanto menos sea la deformación que experimenta el arco. g

i Por otra parte, como el XCO, considerado como una estructura, ha de soportar además 1 de las cargas permanentes otras variables. ya sean fijas o móviles, sólo será posible que [ coincida el eje del arco con el funicular correspondiente a una determinada posición de la carga exterior y, por tanto, no es posible evitar la aparición de esfuerzos cortantes y momentos flectores, cuando de aleuna manera se modifica dicha carga.

Para la determinación de la ley de esfuerzos normales en las diferentes secciones de un arco funicular, asi como su proyección horizontal que será constante en todas las secciones del arco, o cualquier otro parámetro que nos pueda interesar, será de aplicación todo lo expuesto en el epigrafe anterior para el caso de cables.

i 2.9. Tracción o compresión biaxial. Envolventes !

i de revolución de pequeño espesor ! l

Asi como hemos visto la existencia de sólidos elásticos de línea media no rectilinea que i trabajan a tracción pura (hilos o cables) o a compresión pura (arco funicular), es decir. a t

tracción o compresión monoaxial. tambikn es frecuente encontrar cuerpos elásticos no

encolcenres de pequeño espesor.

i planos cuya forma de trabajo sea a tracción o compresión biaxial. Tal es el caso de las 1

Podemos definir una envolvenre como el sólido elástico en el que una de sus dimensiones - e l espesores mucho mas pequeña que las otras. No cabe aqui hablar de linea media pero si de superficie media, entendiendo por tal la superficie formada por los puntos que equidistan de las dos superficies que limitan la envolvente.

Atendiendo a la forma de la superficie media podemos hacer una clasificación de las I

envolventes en: placas, si la superficie media es un plano, y envolvenres propiame~te dichas 1 si la superficie media iio es plana.

En lo que sigue considerarem~s solamente envolventes y dentro de éstas aquéllas cuya superficie media es de revolución y están cargadas simétricamente respecto a su eje.

El cálculo del estado tensional biaxial a que ~ s t á sometida una envolvente de revolu- ción con las hipótesis de carga señaladas se reduce de forma muy notable como a continuación veremos en los casos en los que se pueda a d ~ i t i r un reparto uniforme de tenriones en su espesor. Tal hipótesis es la base de la llamada teoría de la membrana, que no es zplicable a envolventes sometidas a flexión.

La aplicación más importante de esta teoría es a depósitos de pared delgada sometidos a presión interior p que, en general, estará provocada por un gas o un líquido. La presión p no tiene que ser necesariamente constante, pero si es necesario que presente simetría respecto al eje de revolución y varíe de forma continua.

Consideremos una envolvente de revolución de espesor constante e, tal corno la representada en la Figura 2.27.

TRACCION Y C O M P R E S I O N 101

(b)

Figura 2.27.

En la Figura 2.27-c se ha aislado un elemento del depósito limitado por dos planos meridianos y por dos secciones normales a las lineas meridianas. en el que se ha desig- nado:

p,. el radio de curvatura del arco de meridiano de la superficie media p,, el radio de curvatura de la sección normal perpendicular al arco de meridiano a,, la tensión en direccibn del meridiano o ret1sirjt1 nic.!-idiatia. a,. la tensión en dirección normal a la sección nieridiana o rrtisróti circlrnfeirt1cial d ~ , , longitud del slemento de arco meridiano ds,, longitud del elemento de arco perpendicular al arco de meridiano

Sobre el elemento considerado actúan las siguientes fuerzas:

-la debida a la presión interior ,o: pds, ds2 que tiene dirección normal al elemento -las engendradas por las tensiones o,: ame ds2 -las engendradas por las tensiones o,: 5,e ds,

La condición de equilibrio, proyectando las citadas fuerzas sobre la normal al elemen- to, nos da,

dQ 1 dQ2 pds, .ds2 - 20,e ds2 - - 2o,e ds1 - = 0 2 2

y como

ds, = p,dQ, ; ds2 = p,d@2

sustituyendo y simplificando, obtenemos

expresión que constituye la llamada ecuación de Laplace

TRA<'CIOS Y C O M P R E S I O N 105 r tensiones en el anillo será aplicable lo dicho anteriormente para el depósito cilíndrico. es

! decir. la tensión circunferencia1 a, ssr i


Sustituyendo en la ecuación (2.9-6), obtenemos

7 tg sc G, = - ~ ( 1 1 - F)

e cos r '

es decir. la tensión circunferencia1 varia según una ley parabólica (Fig. 2.30-b):cuyo valor mientras que la tensión meridiana ri, es nula por tratarse de un depósito abierto h

maximo armbr se presenta en los puntos del depósito de cota J = - 2

'i tg a h' Grmix =

4e cos a

Para calcular la tensión meridiana a, en los puntos de cota y cortamos el depósito por una superficie cónica de generatrices perpendiculares a las paredes del depósito (Fig. 2.30-(1).

La proyección vertical de las fuerzas de tracción engendradas por las tensiones meridianas a, sobre la sección del corte

2~ tg a. ea, cos r (2.9- 10)

se ha de equilibrar con el peso del volumen del líquido OAEFB

( b ) Figura 2.31.

Por la hipótesis admitida de la teoría de la membrana, la distribución de la tensión G, en el espesor del anillo es uniforme.

l En direcciór! circunferencia1 se producirá una deformación unitaria E, cuya expresión, en virtud de la ley de Hooke, seri:

Igualando ambas expresiones se obtiene

i' tg a a," = - j y )

2e cos a

La tension meridiana a, sigue también tina ley parabólica que se representa cn la Figura 2.30-c. Su valor máximo se presenta en los puntos del depósito que verifican ' ya que en este caso el estado iensional es monoaxial.

i Si la presión p actúa sobre la cara exterivr del anillo (Fig. 2.31-b) la tensión a, será de compresión y las expresiones de G, y de E, cambiarán de signo

- - 3 d G m - - 0 1 ( h - 4 y ) = 0 d.v 2~ cos U 4

Determinada la cota y, el valor máximo de la tensión meridiana será

3y tg h, ~ r n m ~ x =

16e cos a

d) Aiiillo de pequeno espesor sometido o presión uniforme p Aunque el radio que figura en las expresiones de las tensiones y de las deformaciones

corresponde a la superficie ciiindrica de la cara del anillo sobre la que actúa la presión p, se suele tomar en ambas el radio r de la superficie media.

Consideremos ahora el anillo de pequeño espesor e y radio interior r, sometido a presión uniforme p en su cara interna, representado en la Figura 2.31-0. Para el cálculo de las

TRACCION Y COMPRESION 107 106 RESISTESCIA DE MATERIALES

que .S equivalente r la fuerza que produciría una ~ r e s i ó n p actuando sobre su superficie

f i dF, = pLr dt)

(2.9-20)

Se puede calcular fácilmente el valor del radio r' de la superficie media deformada. En efecto, el incremento de longitud de la circunferencia media será

l Igualando ambas expresiones, se tiene

por lo que el nuelo radio r ' verificará

1 Será aplicable la expresión (2.9-14) del caso anterior, por lo que la tensión circunferen- / cial a, será

es decir:

1 y la deformación longitudinal unitaria correspondiente

e) Atlillo de pequeño espesor girarorio alrededor de su eje

El caso de un anillo de pequeño espesor e y peso especifico y que gira alrededor de su eje con velocidad angular w (Fig. 2.32) presenta cierta analogía formal con el caso anterior.

1 2.10. Tracción o compresión triaxial !

Si sobre un cuerpo elistico'de forma paraielepipedica ( F i g 2.33) actúan fuerzas super- ! ficiales uniformes perpendiculares a sus caras, el cuerpo est i sometido a un estado triaxial f de tracción o de compresión, según sea el sentido de las fuerzas superficiales aplicadas.

p pu-G2 Figura 2.33.

1 Figura 2.32. Si p,, p. y p , son las fuerzas superficiales aplicadas por unidad de superficie, el estado

tensional en iin paralelepipedo elemental interior al cuerpo elástico de caras paralelas a la. del cuerpo será, en virtud del principio de superposición, el indicado en la misma Figu- ra 2.33. En el interior del sólido elástico existe un estado tensional homogéneo y en cualquiera de sus puntos las tensiones principales son

o , = - p i ; o* = -pz ; a3 = -p3 (2.10-7,

Y En efecto, sobre la masa dm = - Ler de del elemento de anillo indicado en la figura S

actúa una fuerza centrífuga de valor

siendo coincidentes las direcciones principales con las correspondientes a sus ejes

108 RESISTENCIA DE LIATERIALES

En cualquier punto, el vector tensión correspondiente a un plano definido por el vector ;(T. /j. 7 ) . referido a un sistema de ejes coincidentes con las direcciones principales, es

( a , o o [a] = [T I [ ; ] = 1 O az (2.10-2)

cuyas componentes intrinsscas son:

a, = Z . i i = a , r 2 + oZD2 + f f , j Z

5 = JF = d i a ; r ~ + + a3r3

(2.10-3) - ( a , r Z + a2Dz + a,;.')'

Del circulo de Mohr ( F i g 2.34-0) re deduce que la tensión tangencia1 mixima tiene el 1 valor I

y se presenta en los dos planos del haz de vértice el eje 2 (que corresponde a la tensión de valor intermedio) y contienen respectivamente a las bisectrices de los ejes 1 y 3 (Fig. 2.344)

siendo e, , E ? y E , los alargamientos principales, que se obtienen de forma inmediata en iunción de las tensiones aplicando las leyes de Hooke.

1 ( E 3 = ~ G < . - / ' ( G , + a?)]

Si consideramos ahora el caso particular de ser p , = p , = p . p3 = q(Fig. 2.3jo), las tensiones principales en cualquier punto serán

La matriz de d4orrnación en cualquier punto será

Figura 2.34.

(h)

Figura 2.35.

El circulo de Mohr C, se reduce al punto A (Fig. 2.35-b) Para cualquier plano paralelo al eje 1 el vector tensión correspondiente tiene de componentes intrínsecas

por lo que cualquier dirección paralela al plano xy es dirección principal. Quiere esto decir que cualquier cilindro que imaginemos interior al prisma considerado, de seneratrices paralelas al eje r, estará sometido a una presión constante p, normal en todos los puntos de su superficie lateral (Fig. 2.35-c).

Si además se verifica que q = p, es decir

entonces las tensiones principales en cualquier punto de prisma son

a, = al = o, = - p (2.10-9)

Figura 236.

'igura 11.1-a. En este caso los tres circulos de Mohr se reducen al punto ,4 (Fig. 2.36-h). Para cualquier plano, el vector tensión correspondiente tiene de componentes intrínsecas

Para a < .Y < ?a

por lo que todas las direcciones ton principales. Quiere esto decir que cualquier cuerpo / = - R + P, + y(.r - a) = -5000 + 5000(.r - a) = 5000(.r - 2) kp que podrirnos imaginar interior al prisma considerado estará sometido a una presión ! : constante p, normal en todos los puntos de su superficie lateral (Fig. 2.36-0. IV 5000(.r - 2)

n F - = = 5W.r - 2) kp/'cm2 Como este estado tensional es anaiogo al que se engendra en un fluido ideal (no : 0 2 10

V ~ ~ C O S O ) recibz el nombre de esradc rrnsional Iiidrostcitico

EJERCICIOS l 1

11.1. Calcular el esfuerzo normal IV, las tensiones o y los desplazamientos verticales de las secciones transversales de la columna de acero, de módulo de elasticidad E = 2 x lo6 !ip/cm2, indicada en la Figura 11.1-a, representando grhficamente los resultados mediante los correspondientes diagramas. fa

Se prescindirá del posible efecto de pandeo.

esfuerzos normales

La reacción en el emputramiento es R = P, - P1 + P, + 3aq = 10 ton. Tomando e1 origen d e abscisas en el em~ot ramiento , las leyes de los esfuerzos r x m a l e s

N, tensionzs normales a y desplazamientos verticales u de las secciones transversales de la columna de acero considerada, expresando .Y en metros, son:

\ - Para O < .c < a

N = - R = -10000 kp

Diagrama de desplazamientos

Diagrama de tensiones normales

Figura 11.1-b

112 R E S I S T E N C I A DE M A T E R I A L E S 1 I

Para 3rr < .Y < 40 i

Los diagramas correspondientes se representan en la Figura 11.1-b.

IL2. El sistema articulado indicado en la Figura 11.2-a está formado por una barra de acero m y una viga de madera K, situadas ambas piezas en un plano vertical. Si se aplica en el nudo común una carga P = 1500 kp se pide: i l." Determinar las dimensiones de la barra de acero de sección circular y de la de madera de

sección cuadrada. 2." Calcular el desplazamiento del nudo B:

Figura 11.2-a

a ) a partir de las deformaciones longitudinales de la barra de acero y de la viga de madera;

b ) aplicando el teorema de Castigliano. Las tensiones admisibles del acero y de la madera son respectivamente a, = 800 kp/cmz; a, = 10 kp/cm2 y sus módulos de elxsticidad E, = 2 x lo6 i<p/rm2 y Ez = 1.2 x lo5 kp/cm2. Se prescindirá del posible efecto de pandeo de la viga ;le madera.

l." Calcuiemos primeramente los'esfuerzos normales a los que están sometidas ;as barras - A B y E. Por tratarse de un sistema isostático los valores de estos esfuerzos se determinan mediante las ecuaciones de equilibrio.

Si N, es el esfuerzo normal de tracción en la barra m y N, el de compresión en la viga K, las ecuaciones de equilibrio del nudo B, son (Fig. 11.2-b).

de donde se obtier-n:

.N, = 2 5 0 0 k p : .Nz = 2000 kp

Las secciones de las dos barras serán mínimas cuando las tensiones en ambos materiales alcancen los valores de las tensiones admisibles

--- N 7000 ,-

Q, = 2 = 1 = 200 cm: = a' = a = 14.2 cm - a z 10

Por tanto, las longitudes del diámetro d de la barra ;iB y del lado a de la sección cuadrada de la viga K son:

2." a) Supuestas las barras con las dimensiones calculadas. los alargamientos en ambas barras son:

N,¡, 2500 x 3000 - A l , = -- = mm = 1.19 mrn E,Q, 2 x 1 0 6 . n

Si (6,6,) son las componentes del corrimiento del nudo al que se aplica la carga P, referidas al sistema de ejes indicados en la Figura 11.2-c. proyectando sobre ainbas barras, tenemos:

Al, = 6, cos a + S, sen a

Al, = S,

TRACCION Y C O M P R E S I O N 113 RESISTENCIA DE MATERIALES

Sustituyendo valores:

de donde:

[ 6 , = -0.2Omm ; dy = 2.25 mm I

El signo negativo de 6, nos dice que el nudo B se corre a la izquierda del eje vertical y, como se ha indicado en la Figura 11.2-c.

b) Calculemos el potencial interno del sistema en función de P i !

1 N: 1 P21 N , = - F A B = - - 1 = --- ---

2 E ,R, 2 sen2 ct E, Q ,

P 1 N: 1 P'a S, = - b, ,=- - -a=- - - tg ct 2 EIRz 2 tg' a E2Q,

1 P z l 1 P'a F = EAB + FBC = --- - + - -

2 senZ ct E,O, 2 tg2 z E,R,

Por el teorema de Castigliano, el corrimiento vertical 6 , sera

Sustituyendo valores se tiene:

en la dirección y sentido de la carga P. 1 Para calcular el corrimiento horizontal 6, supondremos aplicada endel nudo B

una carga ficticia 4 horizontal (Fig. 11.2-4 l 1 I

T l

Ahora, el potencia! interno en función de Q tiene por expresión: l

por lo que 6,, será, en virtud del teorema de Castigliano

Sustituyendo valores se obtiene:

valor que. junto al de 6,. coinciden con los obtenidos anteriormente

11.3. La barra de la Figura 11.3 tiene forma de dos troncos de cono iguales de radios r = 20 cm 5 21 longitud 1 = 6m. unidos por sus bases mayores. La barra está sometida a fuerzas P = 600(! Li de tracción aplicadas en sus extremos.

Conociendo el módulo de elasticidad E = 2 x 105 XIPa y el coeficiente de Poi-sr~c. p = 0.3, se pide:

l." Calcular la variación unitaria del área de la sección recta. 2." Determinar la tariación de volumen de la barra.

I I Figura. 113-0.

l . " Por ser el semiángulo cónico muy pequeño

0.2 a = are tg i = arc tg - - z = 1.9"

1 6

admitiremos un r e p a ~ t o uniforme de tensiones en todas las secciones rectas de la bart.

i 1 Figura 113-6.


Considerando el area elemental d!2 = dy dz en una sección recta (Fig. 11.3-6) antes de la deformación, después de ella la nueva área se puede expresar de la siguiente forma

di2 + A d 2 = ((br + &&!(di + Adi) = ú~ di 1 1 - ~ , ) ( l + E,)

Como X1 = & dz, restando se tiene:

AdR = ( E , + E : ) & di

Ahora bien, por las leyes de Hooke

la expresión anterior toma la lorma

2~ dAR = -- a,, aQ E

Aunque la tension onI es variable y depende exclusivamente de .Y podemos hacer la integracion de esta ecuación, e.xtendida a una determinada sección recta

AR 2 p 2 ~ 1 P - - - -- u,, = = - 2itP 0 E E n p 2 Er[r + (1 - ri t_o r]'

Sustituyendo los valores dados, 1s variación unitaria del área de las secciones rectas situadas a distancia .r ue la sección media es

Figura 11.3-c.

que, como se observa en la Figura 11.3-c. toma su valor minimo en la sección media y el valor máximo en las secciones extremas.

2." La aplicación de la fórmula (2.2-6) de la deformación cúbica unitaria, a ia porción de barra comprendida entre dos secciones rectas indefinidamente próximas nos d a la variación de volumen d e esta parte d e la barra

7


Integrando a lo largo de toda la barra, la variación de volumen sera: -

Sustituyendo valores, se obtiene:

es decir:

11.4. Cn prisma mecánico de sección variable, longitud 1 = 30 m, y eje recto vertical tiene el extremo superior rígidamente fijo. En el extremo inferior está aplicada una carga P = 15 ton. - Conociendo la tensión admisible a,,, = 1200 kp/cm2, el módulo de elasticidad E = 2 x 106 kp/cm2 y el peso específico del material y = 7.8 ton/m3, se pide calcular:

l." El área de la sección recta del empotramiento, si el prima es un sólido de igual resistencia. 2." E1 volumen del prisma mecánico. - 3." El alargamiento total. 4" El potencial interno almacenado por el prisma.

+ P = 15 ton

1 Figura. 11.4

l." El area de la sección recta del empotramiento, en virtud de la formula (2.3-10). es

p 15000 e 7 . 8 x 1 0 - 3 x 3 0 0 0 n . = - :oadm = -- 1200

max = 12.75 cni2 adm 1200

118 RESISTENCIA DE MATERIALES TRACCION Y COMPRESION 1 19

2." La expresión del volumen de un solido de ieual resistencia, en general. serli

e izoo 7.8 103

3." Al ser u = constante, también lo es el alargamiento unitario, en virtud de la Iry de Hooke. El alargamiento total será

f P= 6 ron Figura. 11.5.

es decir De la ecuacion de Hooke

4." El potencial interno almacenado por el prisma. segun la fórmula (2.1-5) será lntrgrando. se obtiene el alargamiento total

Para los valores dados:

1200' x 15000

(-- 7 . 8 ~ lo-'a3000

b = e i zoo 2 2 lo6 7.8 x l o - ' kg-cm = 13632.5 kp.cm

o expresado en julios 2." Calcularemos la ensrgia de deformación aplicando la fórmula (2.4-5)

11.5. Una pieza prismática vertical de longitud 1 = 3 m y sección de Atea R = 4 cm' está empotrada por sd sección extrema superior. Eztá sometida a una fuerza de tracción P = 6 ton aplicada en si sección extrema inferior y a una fuerza antagonista que actúa de forma uniforme sobre su superficie, de valor p = 1 tonlm. Conociendo el valor del módulo de elasticidad E = 2 x lo6 kp/cmz, calcular.

l." E1 alargamiento total. 2." La energía de deformación acumulada en la pieza.

11.6. Las únicas fuerzas que actúan sobre la barra prismática escalonada de eje vertical indicada pn

la Figura 11.6-0 son las debidas a su propio peso. Conociendo el peso especíiico y del materi-.l. el coeficiente de dilatación lineal a y el módulo de elasticidad E, se pide:

l." La ley d e tensiones normales en la pieza, tomando como origen de abscisas la sección inferior, es

1." Calcular las reacciones en los empotrarnientos. 2." Dibujar el diagrama dc tensiones en las secciones rectas de la barra. 3." tCu$l sería la reacción en el empotramiento superior si se eleva la temperatura Ar "( '-


Figura 11.6-0.

l." Se trata de un caso hiperestitico de primer grado. Si R., y RE son las reacciones de los empotramientos inferior y superior respectivamente, el valor de RE deberi ser e1 de un esfuerzo de traccion que acruando en la sección superior de la barra escalonada produzca en ella un alargamiento nulo.

Aplicando. pues. la formula (?.M), tenemos

de donde se obtiene la reacción en el empotramiento superior.

De la única ecuación de equilibrio

se obtiene el valor de la otra reacción R, l

2." El sistema que se considera es equivalente a una barra igual a la dada, empotrada en su extremo inferior y actuando en su extremo superior una fuerza de tracción igual a R, (Fig. 11.6-b).


f RB

Figura 11.6-b.

- 2.27;.a M Diagrama de tensiones

Con los valores que se han obtenido de las reacciones, la construcción del diagrama de tensiones en las secciones rectas es inmediato. Se representa en la Figura 11.6-6.

3." Si se eleva la temperatura de la barra escalonada Ar "C, la expresión del alargamiento total de la barra sera

de donde se obtiene:

que será de compresión si se verifica

y de tracción en caso contrario.

11.7. Se quiere construir una viga de hormigón pretensado sometiendo la armadura metálica a una fuerza de tracción F antes de proceder al hormigonado. Una vez fraguado el hormigón Y liberado el mecanismo de pretensado se somete la viga a un esfuerzo N de tracción. Si las áreas de las secciones de acero y hormigón son Q, y R2 respectivamente y sus módulos de elasticidad E, y E,, calcular las tensiones a que van a estar sometidos ambos materiales.

Al aplicar la fuerza F a la armadura metálica de longitud 1, ésta experimenta un alargamiento FI

Al = r, (Fig. 11.7-a). Una vez fraguado el hormigón y liberado el mecanismo de pretenc.t- L , J i L , .

do la armadura estara sometida a un esfuerzo N, de tracción y el homigón a un esfuerzo N, de compresión. La condición de equilibrio exige que estos esfuerzos sean iguales y opuestos.

TRACCION Y COMPRESION 123 122 RESISTENCIA DE IMATEKIALES

! Simplificando. se tiene finalmente

11.8. Cna viga rígida e indeformable de peso P = 1000 kp está suspendida por cuatro hilos verticales de la misma longitud, de la misma sección, del mismo metal, situados en un mismo plano vertical, como se indica en la Figura 11.8-a.

Determinar el esfuerzo de tracción en cada hilo calculando las incógnitas hiperestáticas:

i a ) expresando la compatibilidad de las deformaciones;

6 ) aplicando el teorema de Wlenabrea.

---- Figura 11.7. Ni - Ní = O

Igualando los acortamientos que se producen en ambos materiales

habiendo despreciado en el segundo miembro Al frente a l. De estas dos ecuaciones se obtiene: P = 1000 kp Figura 11.8-a.

Se trata de un sistema hiperestático de grado 2, ya que tenemos cuatro incogitas: lo, esfuerzos en los cuatro hilos: y sólo dos ecuaciones de equilibrio: las que expresan nulidad dc

1 resultante y de momento Al aplicar ahora un esfucizo al conjunto formado solidariamente por los dos materiales, kste se reparte entre znibos: N', sobre la armadura y N; en el hcrmigón (Fig. 1!.7-c), que se superponen P los esfuerzos N, y h;, que existían anteriormente.

habiendo tomado momentos respecto del centro de gravedad de la viga.

a) Las otras dos ecuaciones qur necesitamos para la determinación de las incógnitas iaj podemos obtener expresando la compatibi!idad de las deformaciones (Fig. 11.8-b)

La armadura queda sometida a un esfuerzo d e tracción N, + h;; y el hormigón a un zsfuerzo d e N ; - N,, que es de traccion si es positivo o de compresión si es negativo.

Por tanto, en virtud del principio de superposición, las tensiones respectivas serán:

I ' = I m k p Figura 11.8-b.


- - ,4A" - /1D A l l - A l 4 - - = = 4 = A¡, 4- 3AIA = 4A/, CC" CD A13 - Al,

'V Como A1 = - 1. estas dos ecuaciones son equivalentes a:

ER

que, junto a las dos ecuaciones de equilibrio, constituyen un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, cuyas soluciones son:

b) También podiamos haber resuelto el problema de determinación de las incógnitas hiperestáticas aplicando el teorema de Menabrea.

En efecto, las dos ecuaciones de equilibrio

nos permiten expresar N, y N, en función d e N, y N,, que podemos considerar como incógnitas superabundantes

El potencial i n ~ e r n o del sistema constituido por los cuatro hilos de longitud 1 es:

que e.cpresarzmos en función de N, y N, exclusivamente

Por el teorema de Menabrea se habrá d e verificar:

Simplificando, se obtienen las dos ecuaciones siguientes:

que nos permiten obtener los valores de iV, y N2 y. a partir de éstos, los de :V, y N, mediante las ecuacicnes consideradas anteriormente.

En la Figura 11.9-a se indica un dispositivo hiperestático constituido por un cable de acero dulce. de módulo de elasticidad E, = 2 x lo6 kp/cm2, longitud 1, = 100 cm y área de la sección recta R, = 1 cm', y un tubo de duraluminio, de módulo de elasticidad El = 0.8 x 106 kplcm', longitud /? = 50 cm y área de la sección recta R, = 2 cm'. Las doi partes del sistema no están sometidas a tensión alguna cuando está descargado. A partir de este estado se aplica en su extremo inferior una carga P que vamos aumentando de forma lenta y progresiva. Conociendo los diagramas de tracción de ambos materiales indicados en la Figura 11.9-h, se pide:

0 ~<p,:cm'

n a de tracción le1 acero

1 3w 1-7v/ón , Diagrama del de

, duraluminio

) Figura. 11.9-a. Figura 11.9-b.

1." Estudiar el comportamiento del dispositivo al aumentar P desde 0 hasta el menor valor que hace que acero y dursluminio trabajen simultáneamente en régimen plástico, dibujan- do las curvas que indiquen los valores de los esfuerzos en el cable y en el tubo en función de la carga P.

2." Realizar un estudio análogo del proceso de descarga, es decir, cuando se alcanza el límite elástico de los dos materiales la carga P disminuye lenta y progresivamente hasta su valor inicial P = 0.

l." Llamemos .N, y N, los esfuerzos normales en el acero y en el duraluminio respectivamente. La Estática nos propi>rciona una sola ecuación de equilibrio

1

126 R E S l S T E N C l A D E M A T E R I A L E S

Por tanto. el dispositivo considerado es un sistema hiperestitico de primer grado. La ecuacibn necesaria para la determinación de 10s esfuerzos normales. mientras las dc.ormaciones sean elásticas, la podemos obtener expresando la iguafdad de alar, oamientos del ckible de acero y del tubo de duraluminio

Las ecuaciones que nos dan ahora los valores de !VI y I V ~ son:

que serán válidas mientras se verifiquen las dos condiciones siguienres: o ) quc la tensión en el tubo sea menor que el limite elistico del dur:iIumiiilo

Esta ecuación, junto con la de equilibrio, cocstituye un sistema dz dos ecuaciones con dos incógnitas. cuyas soluciones son:

6) que el alargamiento del cable esté comprendido en e1 escalón de plasticidad del 3CSTO.

De la primera condición se deduce:

A partir de los esfilerzos normales, la determinación de la tensión a, en el cable de acero y o, en el tubo de duraluminio es inmediata

Cuando P = Y500 kp el tubo alcanza su limite elástico (punto '1 en e1 dirigrarn,~ de tracción del duraluminio).

En cuanto a la segunda condición, calculemos el alaroamiento unitario del cable

Sustituyendo \,alares, se tiene:

P x 100 x 0.8 x lo6 u,, = - 0.8P - -

50 x 2 x lo6 x 1 + 100 x 0.8 x lo6 x 2 2.6 que como vemos, al observar el diagrama de tracción del acero. se encuentra dentro de1 esca!ón de plasticidad (punto a , en la Figura 11.9-c).

Para que se cumpla la hipótesis de deformaciones elásticas, se tendri que verificar:

k:-/ / 1 1 a I I 1 1 I I I

/ i 6 A

O a, 0.125 372j E 10- 2 Figura 11.9-c.

es decir, las dos partes del dispositivo trabajan en regimen elisticc micntras la carga P se mantiene inferior a 6500 kp. Cuando P alcanza este valor, los esfuerzos N, y N, valen

Por tanto, las curvas N - P que expresan la variación de los esfuerzos en e! cable y en el tubo en función de P serán, en el proceso de carga, las indicadas en la Figura 11.9-4 es decir, segmentos rectilineos: m, y para el acero; m, y m para el duraluminio.

2." Si la carga P se disminuye lenta y progresivamente a partir del valor de 8500 kp. la descarga del acero se realiza siguiendo el segmento rectilíneo G z . : p a r a l e l o a G (Figura 11.9-c).

EII este instante el acero inicia la fluc,icia. manteniéndose hr, constante cciaridn P aunlenta.

Figura 11.9-b.

El cable presentaria una deformación permanente unitaria dada por

que corresponde a un alargamiento Al,

Por tanto, a partir del momento en que se inicia la descarga, la relación entre esfuerzo y deformación en el cable de acero será

En el tubo la descarga se hace siguiendo la recta aü del diagrama de tracción, de forma reversible respecto del proceso de carga.

E202 N, = -- 12

A12 G)

La determinación de los esfuerzos N, y N , en función de P se hará resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones

E2Rz ( A l - Al*) + - Al = P

Al, = Al, [ Z

de donde


expresiones válidas mientras N, sea un valor positivo, ya que el cable no puede estar sometido a compresión, es decir, para valores de P menores de 8 5 0 0 kp y que verifiquen la inrcuacion:

Plz - E2QzAlo > O

ELRz 0.8 x lo6 x 2 P > - Al, = 0.0625 = 2000 kp

' 1 5 0

Para valores de P nienores de 2000 kp ___---

Las curvas :V - P del proceso de descarga, de acuerdo con los resultadosbtenidos. se representan en 13 Figura 11.94 mediante los segmentos rectilineos: ALA3 para el acero; m, y D,O para el duraluminio.

11.10. Se prevé la sujeccion de una barra T B perfectamente rígida mediante tres barras del mismo material enlazadas por medio de articulaciones como se indica en la Figura 11.10-a. Por un error cometido al cortar las hartas. la prevista situarla en posición vertical de longitud 1 presenta un defecto A en su longitud. El área de las secciones de todas las barras tienen el mismo valor R y el modulo de elasticidad es E. Calcular las tensiones de montaje

I Figura 11.10.

130 RESISTENCIA DE 'V14TERIALES

Al ser A pequeño en comparación con a podemos admitir que las dos barras inclinadas experimentan el mismo acortamiento Al-, por ]o qtle estarán sometidas a esfuerzos normales ieuales.

Para calcuiar los esfuerzos .V, de la barra vertical y NI de las barras inclinadas disponemos dc la ecuación de equilibrio de la barra rigida = que expresa la nulidad de momento respecto de la arriculación B (Fig. 11.10-b).

iL', 2a - 2.Y' cos z x a = 0 N, = N2 cos z A

y la ecuación de compatibilidad de deformaciones que se deduce de la Figura 11.10-c

Al2 A - A l , = 2 - COS 3:

Expresando las deformaciones en función d e los esfuerzos, de esta ultima ecuación se obtiene otra equivalente

1 2 N, 1 A - - = --- ER cos z E R ~ O S z

que junto con la ecuación de momentos permite calcular los valores de los esfuerzos normaies

EQA cos' a ERA cos'z !VI =

( (2 + c0s3 z) ; lVz ' l ( 2 + cos3 a )

11.1 l . Se considera el sistema articulado plano indicado en la Figura 11.11 formado por cinco barras del mismo material e igual sección. Conociendo el módulo de elasticidad E, la longitud a de las cuatro barras iguales que forman un cuadrado y el i rea R de la sección de las mismas, calcular la variación de la distancia entre los vértices A y B cuando se aplica en ellos una fuerza F en la dirección de la diagonal que los une, así como los alargamientos de las barras.

C D

Figura 11.11. 1 F

TRACCION Y COh.1PRESION 131

Por razoci de simetria los esíuerzos normales en las barras que forman los lados del ... cuadrado son iguales

De la ecuación de equilibrio en el nudo d o 5:

- ~ $ 2

2 .V, cos 45 = F. se deduce: .Vi = -- 2

es decir.

que bon esiuerzos de tracción El s~fuerzo .V, en la quinta barra, que es de compresion. se obtiene de la ecudcion de

equilibrio en el nudo C o D.

Obtsriidos los esfuerzos a los que estin sometidas las barras el cilculo del potencial inierno del sistema es inmediato:

V I F22a F ' o J F'a = r--= 4--+- = - ( 2 + ,,h)

2ER 8EO 2M SEQ

y expresado este en función de la luerza F, la variación 6 de la distancia entre los vkrtices A y B pedida. en virtud del teorema de Castigliano, será:

Las barras 1, 2, 3 y 4 están sonietidas a una fuerza de tracción del misnio módulo F :l

/V = V. 2

El alargamiento de estas barras 2s:

Na AFJ? L/, - AÍ2 = Al, - Al - - = -

" - E n 2ER

La barra diagonal está sometida a compresión. La iariacion de su longitud será:

El signo menos indica que la barra 5 ha experimentado un acortamiento.

132 RESISTENCIA DE MATERIALES i 11.12. El cable de acero indicado en la Figura 11.12-a cuando está descargado tiene una longitud

21 = 40 m y su peso por unidad de longitud es q = 4 N/m. Los puntos de amarre A y H eitán situados al mismo nivel y distantes 21. Suponiendo que la línea funicular es una parábola. >e pide:

1." Determinar la flecha que corresponde a la sección media del hilo. 2." Calcular el valor del esfuerzo normal en dicha sección media. 3." Hallar e! valor del esfuerzo normai en los puntos de amarre.

Datos: módulo de elasticidad E = 1.2 x 105 MPa area de la sección recta R = 0.5 cm2

Figura 11.1 2-a. 21

l." El cable esta sometido a tracción en todas sus secciones. Como consecuencia de ello se va a producir un alargamiento que vamos a calcular en función de la flecha, por dos caminos distintos:

a) a partir de la longitud del arco de paribola entre los puntos de amarre A y B, y

b) calculando el alargamiento producido por el esfuerzo normal a que está sometido el cable.

La figura de equilibrio del cable tendido entre los puntos A y B es una catenaria, pero cuando la relación f/l es pequeña, como es nuestro caso, sabemos que se puede considerar la pariboia como figura muy aproximada.

Tomando el sistema de ejes indicado en la Figura 11.12-h. la ecuación de la parábola, segun se deduce de la ecuación (2.7-14). es

que nos permite obtener la relación entre los valcces de la flecha f y del esfuerzo oormal H en la sección más baja

412 P a r a x = +l ; y = f - / = - 2H

Si L e s la longitud de la mitad del cable después de la deformación, de la ecuación de la parábola se deduce:

Por otra parte. podemos expresar el esfuerzo normal N en función de la flecha. cn virtud de la ecuación (2.7-7)

El alargamiento de un elemento de cable de longitud ds es

Integrando, obtenemos el alargamiento de la mitad del cable.

Por lo tanto, la longitud L del cable después de la deformación sera:

I_oualando las dou expresiones de L, tenemos

Despreciando f frente a 12, nos queda

de donde:

Sustituyendo valores en esta expresión, obtenemos la flecha

2." En la sección media el esfuerzo normal es precisamente H (Fig. 11.12-b). De la ecuación que da la flecha en función de H, se deduce

1' 412 f = 9 4 = - 2H 2f -.. -2 . -..-.>

i



3." Como se ha visto anteriormente, la Icy d e esluerzos normales es

1 i < = i ~ c m - ' Figura 11.13-h cuyos valores máximos corresponden a las seccioncs de los puntos dc amarre, y se obtienen haciendo .v = f 1 en esta expresion.

Obtenido sI valor de o,. de la ecuación 3 0 , - o, = 900 se deduce

o, = 3o, - 900 = 150 kp/cml

11.13. Un neumático de fornia tbrica, de las dimensiones indicadas en la Figura 11.13-a. está somctido a una presión in~erior p = 10 kp/cm2. Sí su espesor es e = 1 mni calcular las tcrisiones de membrana en cualquiera de los puntos m i s cercanos al eje de revolución.

Por tanto. las tcnsiories de nicmbrana pedidas son:

Represcniai zriíicanientc la variación de la tensihn equiva len~~ a lo largo de la gcneratriz dcl recipiriitc cilíndrico de p:trctics delgadas intlicado en la Figura 11.14~. lleno hasin una altura I I dc un líquido de peso especiíico y, aplicando los criierios de Tresca ! de ton >lises.

Se considerarán desprrcial~les las tensiones de flexibn engendradas en las paredes dcl recipicnte. asi conio en cl peso propio del mismo.

Figura 11.13-a

Aplicaremos la ecuación d e Laplace teniendo en cuenta qiie p , = 3 cni: p, = -9 crn

d e donde

t----l Figura 11.14-a.

La otra ecuación que necesitamos para determinar las tensiones de membrana en los puntos más cercanos al eje de revolución del toro, la obtenemos al plantear el equilibrio en el seccionamiento indicado en la Fisura 11.13-b. Figura 11.14-h.

De las do4 tsnsiones princijl;ilss del estado biaxial eiistctitr cn el cir.phsito (Fig. 11.14-b). o, es const:inrc j I;i poderrios c;ilziilar in1:iginarido un cor-ie dcl recipicntc por un plano horizontal

d e donde

1.:i dcrern1in;icii>n {Ic la tciisión circcinferencial la hacernos apl~c;~rido la ecuaci0n de Laplace. reniendo en ciienta que p,,, = %.

ya que la presión p sobre la pared interna del depósito e j la debidii ~i I;i acción hjdrosrática dril liquido que. como sabernos es

siendo .t. la distancia a la superficie libre. Por tanto. las tensiones principales en el deposito cilindrico, sin prejuzgar el orden de

mayor 3 rnenor, son:

Como en los criterios interviene el orden, es necesario sstablecer previamente Si u, 2 o,, que se verifica para

las tensiones principales son: o, = a,; o: = o,; o, = 0. H Si. por el contrario o, < o,, que se verilica para - < .v $ ti, eritonces las tensiones

princip3lts son: u , = o,; o, = o,; o, = 0. 2

Calculemos ahora la tensión equivalente. U ) Según el criterio de Tresca o,,,,, = o , - o,. Por consiguiente

cuya representación grilica se hace en la Figura 11.14-c 6) SI aplicamos el criterio de von Llises:

H 1 Para O $ .r ,< - ; oCqui, = - [(o, - u2l2 + (o2 - o,): + (o, - o ~ ) ~ ] = 2 2


Figura 11.14-c.

I f Para .v 2 Y: oequiv = /m, se obtiene Ir misnia expre-

I f sión que para O .Y < - 2 ' es decir, la expresion de la tension equivalente.

para ú < .r < ti, es:

cuya representación gráfica se'hace también en la Figura IL14-c. Se observa que la tensión equivalente según el criterio de von Mises es, en todas

las secciones del recipiente, menor que la que resulta de aplicar el criterio de Tresca, salvo en los puntos del anillo correspondiente a x = H/2 . Podemos, pues, decir que el coeficiente de seguridad del estado tensional en cualquier punto del depósito es mayor según el criterio de vor! Mises que según Tresca. Por consiguiente, el criterio de Tresca es más conservador que el de von Mises.

d 11.15. Una barra OA de sección constante pequeña tiene una longitud L y gira con una velocidad

angular uniforme o alrededor de un eje vertical fijo que pasa por e! extremo O de la barra y se mantiene perpendicular al eje longitudinal de la misma. Conociendo la densidad p del material de la barra, así como su módulo de elasticidad 2, se pide:

l." Hallar la ley de distribución de tensi0ne.i normales en las secciones de la barra en función de Ir distancia r al eje de giro.

2." Calcular el alargamiento experimentado por la barra.

l." La fuerza centrífuga sobre el elemento de barra dx es (Fig. 11.15-a)

dj; = dui 02x = pf2 dx w'x

siendo dm = pR d.r la masa del elemento considerado y f2 el área de la sección recta de la barra.


(4 Figura 11.15.

( b )

E1 esfuerzo normal en una sección a distancia r ael eje será

y, por tanto, la ley de distribución de tensiones normales en las secciones de la barra es

Se observa que la ley es parabdica tomando su valor maximo en la sección niis próxinia al eje de giro. Se representa gráficamente en la Figura 11.15-b.

2." Por la ley de Hooke, si u = 4.r) es el desplazamiento de la sección situada a distancia x del eje de giro, tenemos:

El alargamiento pedido es el desplazamiento de la sección extrema. Por tanto. integrando

es decir:

Cor tndurcr

3.1. C o r t a d u r a pura. T e o r í a e lementa l de la c o r t a d u r a

Cuando en iiria sección recta de un prisma mecinico la resultante de las fuerzas situadas a un lado de I:i niisnia esta contenida en su plano y el momento resultante es nulo, diremos que esa seccióri dcl prisma tfabaja a corradiira pirra (Fig. 3.1-0). Pero si esto ocurre en una determinada secsi6n. en las secciones próximas existe también un momento flector M producido por esta resultante, es decir, no es posible quc en un tramo finito dc un prisrnn mecánico se de en todo él un estado de cortadura pura. En el próximo capitulo veremos que el esfuerzo cortante es la derivada del moniento flector. Quiere esto decir que si existc un esfuerzo cortante no nulo, existe un momento flector variable, y éste sólo se anulará en una o varias secciones determinadas del prisma.

No obstante, en el cálculo de elementos de unión, como tornillos, remaches o cordones de soldadura, se suele admitir la presencia únicamente del esfuerzo cortante y la nulidad del momento flector en todas las secciones. Este es aceptable porque, en estos elementos, los electos (las tensiones y deíorrnaciones) debidos a! esluetzo cortante son mucho mayores que los debidos al momento flector.

En los prisrnas mecánicos rectos que admiten plano medio de simetria y las cargas verticales están contenidas en este plano, adoptaremos para el esfuerzo cortante T el convenio dc signos indicado en la Figura 3.1-6. La tendencia a la rotura de la barra para T positivo se indica asimismo en la Figura 3.1-c.

En la teoria elemental se admiten las siguientes hipótesis:

1. Hipó~c.~i .r [fe B~~rltolilli, según la cual las secciones rectas permanecen planas dss- pues de la deformación.

2. La tensión tangciicinl r que produce el csluerzo cortante tiene la misma dirección que Cstc. 1:s decir, para la rcfcrcricia dc 1;1 Figura 3.1 las coiiiponentes tangenciales de la matriz de tcnsioncs en los puntos dc la sección rccta soii:

r,; = O ; r,,. = T = constante (3.1-1,)

cbl Figura 3.1.

es decir, el esfuerzo cortante T se reparte uriiformernente en la seccióri recta. Si 0 es el área de la misma:

y la tension tangencia1 es constante en toda la seccion y paralela a T.

A esta teoria elemental se 12 puede hacer una seria observación que la Iiiice inadmisible, ya que contraviene las condiciones de equilibrio interior del sólido elástico y, eri particular, el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales.

Eri efecto, la tensión en un elemento superlicial adyacente al contorno de la sección recta tiene la dirección del eje vertical y se puede descomponer en dirección normal y tangente al contorno.

Por el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales deberá existir una tensión tangencial igual sobre la cara ortogonal al elemento, situada sobre la superficie lateral del prisma (Fig. 3.2), lo que no es posible al no existir fuerzas exteriores aplicadas a su superficie.

Figura 3.2.

3.2. Tensión cortante pura

LO dicho en el epigrafe anterior se refiere al esfuerzo de cortadura pura en la sección recta de un prisma niecanico. Pero puede ser de interés conocer en un determinado punto del solido elástico si existen planos para los cuales el vector tensión este contenido en el plano al que corresponde. Si existen. diremos que en ese punto el sólido elástico esta sometido segun esos planos a tr)~sióii cortante pura.

La condición para que esto ocurra se deduce fácilmente de los círculos de Mohr: ser i necesario que los puntos representativos de los planos sometidos a tensión cortante pura sstén situados sobre el eje de ordenadas, e>decir?si el área sombreada de la Figura 3.3 corta al eje de ordenadas. . .

Figura 33.

D e los circuios de Mohr se desprende, asimismo, que no existen planos de tensión cortante pura cuando las trps tensiones principales tienen el mismo signo.

En el caso de que existan, la deterniinación del plano correspondiente a cada punto M se puede hacer, como sabemos, mediante los círculos de Evlohr. En efecto. los círculos c , y c, (concéntricos a los de Mohr C, y C, respectivamente) que pasan por un puiito M perteneciente al eje de ordenadas, cortan a C, en sendos puntos H y K, según se indica en la Figura 3.3. Uniendo estos puntos con los extremos F y D del círculo C2 se obtienen los ángulos ci = H F D y 7 = KDF, que forma la normal al plano, cuyo punto representativo es M, con las direcciones correspondientes a las tensiones principales o, y a, respectivamente.

Por otra parte, tambikn sabemos que las normales de los planos sorxetidos a tensión cortante pura son coincidentes con las generr:;ices del cono asintótico de las cuádricas indicatrices.

Es de particular interés el caso de un estado de elasticidad plana en el que las tensiones

Id2 RESISTENCIA DE MATERIALES

principales contenidas en el plano director son iguales en valor absoluto, pero de signo contrario, o , = -o,. Los puntos Mi y M2 del círculo de Mohr (Fig. 3.44) indican que las caras del entorno ABCD (Fig. 3.4-6) paralelas a las bisectrices de las direcciones principales, están sometidas a tensión cortante pura.

Figura 3.4. (6 )

Inversamenic. si las cuatro caras del entorno de un punto están sometidas a tensión cortante pura en un estado d e elasticidad plana, las tensiones principales son una de traccion y otra de conipresión, ambas del mismo valor absoluto.

3.3. Deformaciones producidas por cortadura pura

Antes de estudiar la dcrormación de la rebanada del prisrna mecinico. es decir, 13 deíorriia- ción de la porcion de prisma con~prendida entre dos secciones indefinidamente próxinias, veamos cómo se produce la deformación de un elemento sometido a tensión cortante pura. como puede ser el caso de un es:ado de elasticidad plana en el que o, = -o,, al que nos hemos referido en el epigrafe anterior.

X

Figura 35. 6

C O R T A D U R A 143

Eri la Figura 3.5-a se ha dibujado el p;~ralclepipcdo elemental ya oricntiido, es decir, que 10s plancs quc trabajan a tensión cortante pura soii a los planos coordcna- dos.

Debido a la acciOn de las terisioncs tangenci;iles el paraIelepiprdo eleriicntal se dcforrria pero sin que las longitudes de sus lados vririen, o se: que el paralelepipedo inicialmenre rectangular cainbia de forma pasando a tener 1;i dc un paraleiepiped~ oblicuo. El reclan- culo ,JIBCD de 13 cara frontal se delorma en el romboide ,4'B'C'D1 (Fig. 3.54). El I:ido ,4B y la'cara qiic la contiene cxperinientiin el giro JC un ingulo q!7 respecto de sil plano xz inicial en sentido antihorario, asi como el lado / I D y e[ plano de la cara que la contiene sxperiiiicnta tanibién el giro de un ángulo ; / 2 respecto de su piano y; inicial. pero cstc giro en seritido horario.

Los in_eulos entre caras en los puntos .1 y C, inicialmente rectos. pasan a ser de ni2 - 7. Ei ángulo y que nos mide la distorsión o cambio de forma del elemento se denomiria dt'/or~>~(icii>r~ angirlur y viene niedida en radianes.

La rel~cióri cnrre r y"? viene dada por la ley de Hooke

siendo G, corno sabemos. el niódulo de cl;isricidnd transversal dcl niaterial, que estj relacionado con el modulo de elasticidad E y con el coeficiente de Poissóii 11 mcdiaiite la rcliición (1.8-6).

Uria observación convicric hacer rcspccio al signo dc las dcforrnaciorics ringuliircs. Para aclarar los convenios-de signos, [arito [>:ira las componc~ites car t~sianas dc las tensiones tangcnciales como para las eorrcqwndicntes deformaciones angulares, conviene distinguir entre caras positivas y caras negativas del paralelepipedo elemental.

Diremos que una cara es positiva si su nornial exterior tiene la direccion y sentido positivo de un eje coordenndo y negativa, en caso contrario. Pues bien. sentada esta distinción expresaremos de otra forma el convenio para las tensiones tangenciales que ya fuc cstnblecidu en el epigrafe 1.5: In tensión tangcnciril que actua sobre una cara positiva del elcniento es positiva si tiene la dircccióri y sentido positivo dc urio de los ejes coordenados, y es negativa si tiene el sentido negativo del eje. La tensicn tangencial que actua sobre una cara negativa del elemento es positiva si tiene la dirección y sentido negativo de uno de los ejes coordenados. y negativa si tiene el sentido positivo del eje.

En cuanto al convenio de signos para las deformaciones angulares es necesario qd sc relacione con el de las tensionc:. Asi, diremos que la deformación angular de un elemento es positivn cuando disminuye rl Sngulo entre dos caras positivas, o entre dos caras negativas; 1;i tlcformación angular es negativa cuando el ángulo entre dos caras positivas. o eritre dos caras negitivas. aumenta.

Pascmos atiora a estudiar la deformación de la rebanada en la quz existe un esfuerzo cortante I; tal corno la que existe en el pasador dsl mecanismo indicado en la Fisura 3.6. Si suponenios anulado el momento de la fuerza F. o consideranios despreciables las tensiones cluc engendra frente a las tcnsioncs tangencialcs producidris por el esfuerzo cortante T = E; es evidente que la jcccióri recta del pas~idor situadri ciitrc los dos trozos del rnecanismo cst i sometida a cortadura pura.

Expcriiiiciitainiente se observa que dos secciones CD y A 8 indefinidamente próximas. pcrtenccicntes a la zona del pasador situada entrc las dos piez;is que une. desliza ur;;

Figura 3.6.

respecto a la otra. Esta deformacion viene dada por el átigirlo de ciorliic~n~iento 7, cuyo valor. viene dado por la ley de Hooke.

Admitida la teoría elemental de la cortadura, la expresión de y será:

siendo R el área de la sección recta del pasador. Se comprueba experimentalmente dicha ley, ya que si construimos el diagrama tensión

cortante-Sngulo de deslizamiznto para un material dúctil tal corzo el acero de construc- ción obtenemos una gráfica como la representada en la Figura 3.7.

'A

Figura 3.7.

CORTADURA 145

klientras la tensión tansencial se mantiene inferior a T,, T y ;. son proporcionales y la deformación desaparece cuando cesa la fuerza que la ha causado. La zona representada por el segmento es la ~onr i de deforniacioti rlú.sricu. La fuerza F para la cual la tensión ~:ingzncial es r , deline la carga elástica límite. Para valores de T superiores a r , se entra en 21 campo de las deformaciones permanentes.

Otra forma de obtener el valor del ángulo de deslizamiento ;. seria aplicando el teorema de Castigliano.

En efecto, el potencial interno de la porcion de prisma entrz las secciones A B y CD (Fig. 3.6-c) es, particularizando la expresión (1.15-5) para u,, = o,, = o,, = 0; r,, = r;

-.-- Ti: = Ty, = O

El corrimiento 6 de la sección CD respecto de la A B sera:

3.4. Cilculo de uniones remachadas y atornilladas

Existen algunas estructuras e piezas de determinadas máquinas que están compuestas de partes que hay que unir de forma adecuada para que cumplan la función para la que han sido diseñadas. Si se trata de materiales metalicos, los medios de unión comúnmente enipleados son remaches, tornillos y soldadura. Las uniones con bulones tienen poca aplicación, y las uniones por medios adhesivos se encuentran aun en fase experimental.

La distribución de tensiones en estos medios de unión es bastante compleja, depen- diendo en gran parte de las deformaciones propias de los elementos que la constituyen. Esto hace que el cálculo riguroso de las uniones sea siempre dificil y muchas veces imposible de realizar. Por esto. en el terreno práctico es necesario contrastar los resultados obtenidos aplicando los métodos simplificados de cálculo, con el comportamiento real de los materiales de las uniones. Por ello, el cálculo de uniones remachadas o atcrnilladas que estudiarnos en este epígrafe y las uniones soldadas que estudiareinos en el siguiente, se basan en la teoria elemental de la cortadura que se ha expuesto anteriormente, cuyos resultados estin sancionados por la experiencia. N o considerarenios las uniories mediante tornillos de alta resistencia. en cuyo clilculo habría que tener en ciient? el electo del par de apriete (muy elevado) y la consiguiente compresión de las chapas, que hace que 10s esfuerzos puedan transmitirse solamente por rozamiento.

Las irt~ioties rettiacliacks se llevan a cabo mediante piezas denominadas roblones O

remaclies. Un remache es un elemento de unión que está formado por una espiga cilíndrica llanada caira, uno de cuyos extremos tiene una cabeza esférica, bombeada o plana. llamada cahezu de asiento. El remache se introduce, calentandolo previamente entre 1050 "C (rojo naranja) y 950 "C (rojo cereza claro), en un agujero efectuado en las piezas a unir y se golpea bien con martillo neumático o máquina roblonadora de presión uniforme en el otro extremo, para formar una segunda cabeza (cabeza de cierre) que asegure la unión.

146 RESISTENCIA DE MATER1At.ES

La parte de la caña que sobresale, con la que se va a forwar la cabeza de cierre. ticnc una longitud de 413 del diámetro del taladro (Fig. 3.8).

Figura 3.8.

El diámetro d, de la caña del roblón o remache se hace ligeramente inferior al diamctro d del agujero con objeto de facilitar la introducción del remache. No obstante, en el cálculo consideraremos el diámetro d del taladro, pues se supone que después del remachado y enfriamiento posterior la caña del remache llena completamente el agujero.

Las uniot~es atornilladas se llevan a cabo mediante piezas denominadas rorrlillos. Un tornillo es un elemento de unión formado por una espiga cilíndrica llamada cufiu, uno de cuyos extremos tiene una cabeza de forma determinada, estando el otro extremo roscado. La union se forma introduciendo el tornillo en un agujero efectuado en las piezas a unir y colocando en el extremo roscado una tuerca con su arandela correspondiente. Las dirnen- siones de los tornillos vienen definidas por las distintas nornias que regulan su uso en los diferentes paises. En España esta norma es la MV-106-1968. La suma de los espesores dc las piezas a unir es función dc la longitud del vistago del tornillo y esta definida por las normas.

El uso de uniones atornilladas resulta interesante en estructuras desmontables. Si la unión es permanente se suele fijar la tuerca bien con un ligero recalcado de la parte saliente de la espiga, matando el filete de la rosca o con punto de soldadura.

Los tornillos se clasifican en rornillos ordinarios y rornillos calibrados, segun sus carac- terísticas geomktricas y de colocación. En los tornillos ordinarios se permite un huelgo de hasta 1 mm entre el diámetro de la caña y el del agujero. En los tornillos calibrados ambos diámetros deben coincidir.

La elección de¡ diimetro d de los elementos de unión es función del espeso, mínimo de las chapas a unir. Como orientación se recomienda tanto para roblones como para tornillos que:

expresando d y e en cm. La suma de los espesores de las piezas unidas será menor que 4.5d para roblones y

tornillos ordinarios, y menor que 6.5d para tornillos calibrados. Las uniones remachadas y atornilladas se dice que trabajan a cortadura cuando las

fuerzas se transmiten por contacto entre las chapas a unir y la caña de los remaches o

Una interpretación dc csta fórmula se puede realizar en función del rallo de la uniOn por cortadura o aplas(amicnro. que analizaremos más adelante. Su inlenciOn es si:¿~ar la unión en el óptimo. de forma que los tornillos o roblones necesarios por ambos conceptos, cortadura y aplastamiento, sean aproximadamente iguales (a, = n<).

iorriillos. Ciitindo la trarisinisiGn sc re;ilir;i por coritncto erirre la ch ; l~a y la cabc.za dt.1 elc.mento de unión éste trabaja a tracción. El Caso mis nornial es el de unioncs triibajando 2 cortadura. y es éste el que vamos a estudiar a continu:ición.

Distin~uirenios dos tipos dc uniones reniacllndas o ritoriiilladns segun las car!?as nplic;idas cstcn centradas respecto al elcnienio de union o se trate de cargas cxcérltricls r e ~ p ~ ' c t 0 a estos.

Dentro de los del primer grupo distinzutrcmo~ a su vez si lo\ rctnaches o tornillos - . iriibajan a cor.roti1rr.u sir~iplt* (por U 1 1 3 sec~i j t i j (I'ig. 3.9) o 3 ~orl(i(iirrn doble (por dos srcciones) l Irle. 3.1 1).

Las posibles causas de fallo de una unión remachada o atornillada trabajando a cortadura se rcsuincn en las indicadas en la Fisura 3.9. y son las siguientes:

Figura 3.9.

a ) Fallo por corradura. Si la tensión de cortadura en los remaches o tornillos es superior a la tensión admisible r , , , del material de los remaches, la unión se reinpcria por la :ección del remache sometida a cortadura. Ze puede aumentar la resistencia de la unión aumentando el diámetro de los remaches o poniendo mayor núinero de ellos.

h) Fallo por aplasraniietito. La unión podría fallar si un remache aplastara el material de la placa en la zona dc contacto común, o bien, si el propio remache iuera aplastado por la acción de la placa. Como la distribución de tensiories en la zona de contacto es sumamente compleja, a efectos prácticos de cálculo se considera que el esfuerzo dc aplastamiento se reparte uniformemente en el i rea pro>ectadri de la espiga del remache sobre la placa, es decir, sobre el área d x e(Fig. 3.10). Se puede aumentar la resistencia 2 compresión de la unión aumentando el área de compresión, o sea, aumentando el diáme- tro del remache o el espesor de la placa, o ambos.

Figura 3.10.

C) Fullo por rofltra ile lo placo o rracción..En una pieza sometida ii tracción, de una unión mediante remaches, se puede producir el fallo por rotura de la seccion debilitada por los agujeros para los remaches. Al cargar la placa, antes que se produzca la rotura, se producen concentraciones de tensiones en los bordes de los agujeros de los remaches, como se ha visto en el capitulo anterior. N o obstante. en el caso de mareriales ductiles, que son únicamente los empleados en uniones remachadas, la distribucióri de tensiones en la sección debilitada tendera a ser uniforme en el punto de fluencia cuando aumenta la fuerza de tracción sobre la placa. A efectos prácticos del cálculo se admite la hipótesis de ser uniforme la distribución de tensiones en la sección neta de la placa, esto es, descontando al area de la sección recta de la placa la correspondiente a los agujeros de los remaches o tornillos. Se puede elevar la resistencia de la unión aunientando el espesor o el ancho de la placa, o ambos.

(1) Follopor cortodtrra de / i r plncn. Se produce este fallo por desgarro de la placa en la parte situada detrás del remache. Este fallo se evita aumentando la superficie de la placa sometida a cortadura, es decir, dando suficiente longitud a la placa detris del remache, como puede ser el de dos a tres veces el diámetro del remache.

Las roturas por fallo de la chapa a tracción o cortante no se suelen considerar en el calculo de la unión, ya que se evitan al tener en cuenta las recomendaciones de las normas en cuanto a distancias mínimas entre agujeros, y entre éstos y los bordes de las chapas. No obstante, la comprobación de una determinada unión a estos dos posiblcs fallos no reviste ninguna dificultad. Se utilizará la tensión admisible a tracción en el primer caso y la tensión admisible a cortadura en el segundo, tenrriones en. ambos casos referentes al material de la pieza que puede presentar esos falbs.

Nos centraremos, pues, en el clilculo dc las uniones remachadas o atornilladas atendiendo a su posible fallo por cortadura de los remaches o fallo por aplastamiento.

Supongamos que deseamos unir dos chapus de espesores e, y e, mediante una fila de remaches O tornillos (Fig. 3.10-a) y propongámonos calcular el número de ellos necesarios para que la unión resista la f:ierza P. Admitiremos que el esfuerzo P se distribuye .

uniformemente entre los n elementos de unión. El cálculo a cortadura se hace considerando un reparto uniforme de tensiones cortan-

tes sobre la sección recta. Si r,,, es la tensión admisible a cortadura, el número minimo n, ... de remaches O tornillos que se precisarían para no sobrepasarla verificaria la condición de equilibrio

CORTADURA 149

de donde:

siendo r l el diámetro del agujero para remaches y tornillos calibrados, o diámetro de la espiga para tornillos ordinarios.

En el cilculo a aplastamiento de la chapa contra la espiga del remache o tornillo se adrnite que la presión se reparte uniformemente sobre la superficie de contacto entre chapa y espiga, tomándose ésta como la supsrfici&.q~e resulta de multiplicar el diimetro del agujero por el espesor de la chapa o chipüs que transmiten el esfuerzo 1' (Fig. 3.10-b). Si U,,,, es la tensión admisible a compresión en la chapa, el mínimo número 11, de remaches o tornillos que se precisarán verificará

de donde:

P 11 , =

d . e . u,,,,

siendo e el espesor menor de las chapas a unir. De acuerdo con la norma española MV-103-1968, suponiendo P como carga ponde-

rada, podemos considerar como valores admisibles para cortadura y compresión los siguientes:

siendo:

p = Coeficiente que toma el valor 0.80 para roblones y tornillos calibrados, y 0.65 para tornillos ordinarios.

a, = Resistencia de cálculo del acdro del elemento de unión. Normalmente igual a 2400 kp/cm2 para roblones, y a 2400 Ó 3iN0 kp/cm2 para tornillos según la clase de acero, 4 0 o 5 0

siendo:

a = Coeliciente que toma el valor 2 para uniones con tornillos ordinarios y 2.5 para uniones con remaches o tornillos calibrados.

a, = Resistencia de cálculo del acero de la chapa. Nsrmalmente, 2400 kp/cm2 para aceros A-37; 2600 kp/cm2 para aceros, A-42; y 3600 kp/cm2 para aceros A-52.

D e los valores obtenidos para el número de remaches o tornillos dados por (3.4-3) y (3.4-S), se habrá de adoptar el mayor. Resulta fácil ver la condición que se ha de verificar

150 RESISTENCIA DE hlATERlr\LES

entre el valor del espesor menor de las chapas y el diimctro del elemento de unión, para que el cálculo se haga de una u otra forma.

En efecto, la condición para que 11: = n, seri:

4 P -

P -- d 2 . x . radm den, ,,,

de dondc:

siendo:

Los valores dc 7 para los distintos elementos de unión (remaches, tornillos ciilibrados o tornillos ordinarios) y las distintas clases de acero dc las chapas a unir (A-37, A-42 o A-52) pueden verse en la siguiente tabla.

Tabla 3.1. Valores de y

Las iensioiies estin expresadas e n kp!cm2.

Por tanto, las uniones mediante una lila de remaches o tornillos, cuando estos trabajan a cortadura simple, se calcularan a cortadura cuando el menor espcsor de las chapas a unir verifique c > yd, y a compresión o aplastamiento dc la chapa contra la espira cuando e < yci.

Una unión niedinnte costura simple tiene el inconvcnicntc dc que al efecto rlsl r \ r ~ i e r ~ o cortante en la sección recta se añade un momento debido a no tener !as íuerzas igualcs y opuestas aplicadas a las chapas la misma línea de acción. La existencia de este morncnto tenderá a provocar un3 deformación de la costura del tipo indicado en las Figuras 3.1 1-0 y 3.1 1-b, scgiin se trate de unión con una o dos filas dc remaches.

E

Elcmcnio de unión

Figura 3.11.

Tipo

R

T.O.

T.C.

Accro de las chapas

Estc efccto se puede evitar colocando las placas en alguna de las disposiciones indica das en la 1. iiriira 3.12.

Acero

A-37 b

(n, = 2400)

4 D

(a, = 2400)

5 D (o, = 3000)

A-37

o, = 2400

0.246

0.255

0.314 .

En estc caso los elcmcntos de unión trabajan a doble cor~ucl~rra. Para el c i l cu l t~ cortadura dcl numero niciior ti, de tornillos o remaches se tcndria:

mientras que para el cálculo por aplastamiento:

P P = n , r d ~ , , ~ , n, = --

adm

14-42

a, = 2600

0.227

0.235

0.290

Igualando las expresiones dc 11, y no se ticnc:

A-51 -- o, = 3600

O. 164

No se recomienda su uso

0.109

de donde:

es decir, las urici>:,c~ mediante tornillos o remacties, cuando éstos trabajan a doble coi:- dura, se calcularan a cortante cuando el menor espesor de las piezas a unir vcrific e > 2-id y a aplastamiento de la chapa contra la espiga del elemento de uniCili. e < 2yd (vnlores de y dados en la Tabla 3.1).

Hasta aqui Iicinos corisidcrado una o dos Cilas de rcmachcs Si el número dr .

152 RESISTENCIA D E M A T í ! R I A L E S

aumenta, el problema es hiperestático. El reparto de tension~; de c»rt;idiira en 10s remaches pertenecientes a distint;is filas ya no es la misma. sino que los pertcnecicntes a las filas e'ctremas aparecen mis cargados que los centrales. Puede ocurrir que los remaches de las filas extremas lleeuen a la fluencia. En esros casos, la plasticidad del niaierial actúa de reoulador - alejando el peligro de rotura, y3 que si el diagrama tension-deformación de los remaches es del ripo indicado en la Figura 3.13-b. cuando las dos filas extremas llegan a la tensión de fluencia la tension taneencial se mantiene constanre en los correspÓndientes remaches. Mientras, la rensión tangencia1 en la fila central (Fig. 3.13-0) se mantiene inferior a la de las filas extremas, absorbiendo posibles aumzntos de la carga P.

Figura 3.13.

Como en una unión por remaches o tornillos, de las que hasta aquí hemos considerado, los agujeros reducen el área de la sección recta de la placa y es evidente que la resistencia de 13 unión es siempre menor que la resistencia de la placa sin agujerear, definiremos como ejiciericia de la ur~iótl al cociente

carga admisible de la unión carga admisible en la placa sin remaches

x 100

Todo lo expuesto anteriormente se refiere al cálculo de uniones remachadas en las que la carga está centrada respecto a la posición de los remaches. Se presen!:ir. con frecuencia casas de uniones reniachadas en las que la carga es excénrrica, como ocurre en la unión indicada en la Figura 3.14-0, y cuyo calculo simplificado se basa en la teoria elemental de la cortadura.

La solicitación exterior (Fig. 3.14-a) es equivalente a una carga P y iin momento M = Pe, aplicados ambos vectores en.el centro de gravedad G de los taladros (Fig. 3.14-6). La cprga P se reparte entre los remaches de forma uniforme, es decir, sobre cada remache actuará en sentido vertical un esfuerzo cortante Pln, si n es el número de ellos (Fig. 3.14-e).

Admitiremos quc el momento es absorbido por fuerzas cortantes I;; de dirección perpendicular a la recta que une el centro del taladro Ai ron el centro de gravedad G y de módulo directamente proporcional a la distancia ri entre ambos puntos, siendo la constante de proporcionalidad la misma para todos los remaches, es decir, F, = kri. .

(a) Figura 3.14.

Por tanto, se tendrá que verificar

CORTADURA 153

Despejando el valor de k de esta expresión y sustituyendo en F, = kri, obtenemos el esfuerzo cortante F, sobre cada remache debido al momento Pe.

Respecto de un sistema de referencia C.ry este esfuerzo cortante tiene las componentes:

- Pe Pe F. = -F. sen ai = - LZ

ri sen zi = - Yi (3.4- 1 7 ) f r: (.Y; + Y;)

1 1

Pe Pe Ky = 6. cos ai = ñ- r, cos a, = .Y (3.4- 1 8)

C 't 1 (.Y? + 1

Figura 3.15.

154 RESISTENCIA DE hlATERlALES

Para calcular el esfuerzo cortante total sobre cada remache habr i que componer vectorialmente Pln en dirección de la carga P y c., cuyo modulo viene dado por (3.4-16), en dirección perpendicular a la recta que une el centro del taladro con el centro de gravedad G (Fig. 3.15).

3.5. Cálculo de uniones soldadas

En los últimos años la soldadura ha tenido un gran desarrollo en su aplicación a las uniones en construcciones metálicas. Es un procedimiento mediante el cual los metales se unen por fusión. Se reblandece y se funde el metal en los bordes a soldar mediantc el calor producido por un arco eléctrico o un soplete de oxiacetileno.

En la soldadura eléctrica se provoca el arco eléctrico entre las piezas que se van a soldar y un electrodo que constituye el nieral de aportación que queda depositado entre las piezas a unir formando lo que se llama el cordón de soldadura.

Los tipos de soldadura más frecuentes son: soldadiira a [ope (Fig. 3.16-0) y sol(l<~tlitra en át~gr~lo (Fig. 3.164). Del primer tipo solamente indicaremos quc se trata de una unión de penetración completa y forma una transición casi perfecta entre los elementos soldados. de forma que evita el erecto de entalla en la unión. Las especificaciones de las normas al uso establecen, en el caso de soldaduras a tope sornctidas a cargas estáticas en estructuras metálicas de edificios, la misma tensión de cortadura admisible para la soldadura y para el metal base. En general este tipo de soldadura no requiere cálculo de comprobación y su capacidad de resistencia mecánica es igual a la de la chapa de menor espesor de las dos que forman parte de la unión.

Figura 3.16.

Centraremos nuestro interés en el estudio de uniones mediante soldaduras del segundo tipo, ya que el calculo de éstas se basa en la teoría de la cortadura.

En las soldarlirrac en ángulo se distinguen co~donesfron~ales y cordorles Iarera~c~s, segiin que su siiuación respecto a la dirección del esfuerzo sea perpendicular o paralcla respccti- vamerite.

La mínima anchura del cordón recibe el nombre de gargatila y se designa por a. Llamaremos, asimismo, al~ura h del cordon a la distancia que hay en la sección recta de la soldadura entre los centros de los dos bordes IFig. 3.17). . -

Consideremos dos chapas unidas entre si mediante n cordones dc soldadur;~ de la misma !ongitud, paralelos al esfuerzo longitudinal aplicado ( t l = 2 eii el Psqucnia indicado en la Fig. 3.!7).

Supondremos que el plano que proyecta la línea de acción de la fuerza F de tracción aplicada sobre el plano de la superficie común de ambas piezas coniiene el centro de gravedad de los cordones.

En el cálculo de las soldaduras en ángulo se admiten las hipótesis dc que los cordones .4

Figura 3.17.

trabajan a cortadura y que la tensión cortante T se distribuye uniformemente sobrc '

sección longiiudirial de míriima anchura dcl cordón (sección de garganta). indepcndil- de la dirección de la fuerza aplicada. El esfuerzo cortante por unid~id de longitud s c : ~

La tensiSn r será variable a lo largo del cordón. Veiimos cuál es la ley de variaciór: : esta tensi011 cortante T = r(.i), que supondrcriios es una furición continua y diferenci,!i- respecto a la variable .T. abscisa en el sentido longitudinal del cordon.

Figura 3.18.

Para ello rerilicemos un corte transvsrsal i)itr de 13s dos piezas iiiiiclas (Fig. 3.18). La condición de equilibrio, si ,V, y N? son los esfuerzos normales sobre las secciones rectas de las dos piezas superior e inferior respectivamente, es

Considerando ahora la porción de piezn inferior comprendida entre dos p l a ~ o s transversales indefinidamente prhximos. el equilibrio nos proporciona I;i ecuación

o lo que es lo mismo

diV2 - - flor = O ri.r

Las dos ecuaciones (3.5-2) y (3.5-3) son las Únicas ecuaciones de equilibrio. Como es tres el número de incógnitas: N,, iV2 y r, esto nos hace ver el caricter hiperestático del problema. Para resolverlo tenemos que Iiacer intervenir las deforniaciories.

Por tanto, si A y 3 son dos puntos del cordón pertenecientes a las Iíntas medias de las superficies comiines del cordón y piezas superior c inferior respectivnnlsrite, y ambos están contenidos en el mismo plano transversal antes de aplicar la fuerza longitudinal F. después de la deformación habrán pasado a ocupar las posiciones respectivas A ' y B', tales que - - -A-

A A ' = ir,; Bó" = u2; B' A ' , B.4 = ;. (Fig. 3.19). Supondremos que ir,, ir2, 7, son funciones continuas y diferenciables de .Y.

Figura 3.19. k, j"

La condición de compatibilidad de las deformaciones, según se desprende de la Fi- gura 3.19 será:

U 2 - i t , - y11 = o (3.5-5)

Ahora bien, admitiendo la verificación de la ley de Hooke:

di11 . h l , E , = - , E 2 = - ; r = G y

</.Y

du 1 N, = o ,R, = E&,R, = ER, - dx (3.5-6)

d r , N z = o,R, = EE,R, = ER2 - d.r (3.5-7)

CORTADURA 157

j , r ~ d ~ E el modulo de elasticidad de las piezas a unir, que suponemos del mismo material. Con estas relaciones, las ecuaciones (3.5-2) y (3.5-4) se podrán poner de la siguiente

[orina:

Además, de la ecuación (3.5-5) se desprende

suponiendo la altura del cordón constante. Eliminando i r , entre las ecuaciones (3.5-8) y (3.5-10) se tiene

expresión que sustituida en (3.5-9) nos da

Si, como suele ocurrir, son constantes las i reas R, y 0, de las secciones rectas de las piezas a unir así como la garganta del cordón y su rfiódulo de elasticidad transversal, se tiene

O

siendo k una constante positiva. Por tanto, llegamos a ob:cner una ecuación diferencial de segundo orden de coeficien-

tes constantes

cuya integración nos permite obtener la función y = y(x) a lo largo del cordón y, Por consiguiente, la función r = r(.r) = Gy.

La solución integral de esta ecuacibn diferericial, al scr reales las raices de su ecu;ición caracteristica, se podrá expresar mediante [unciones hiperbólicas de la forma siguiente:

siendo C , y C, constantes de integracion que tendremos que deierminar imponiendo las condiciones de contorno:

De lo anteriormente expuesto se deduce la dificultad de un estudio rio,uroso para el - ~ á l c u l o de soldaduras trabajando a esfuerzo cortante. Téngase presente que solamente hemos estudiado un caso particular de la innumerable casuistica que se puede prcscntar en la prictica. Quede. pues, lo expuesto como ejemplo del tratarnicnto que deberiamos hacer en cualquier caso particular dc uriiories soldadas, en las condiciones de trabajo señaladas. para conocer de una forma mis aproximada la distribución dc las tensiones cortantes, respecto a las hipótesis simplificativas que se suelen hacer para el cálculo de las soldaduras en la práctica *.

Consideremos, finalmente, el caso de que la fuerza a que va a estar sometida una dc Iris piezas está situada en el plano de las soldaduras pero su liriea de acci<jn no pasa por el centro de gravedad de los cordones.

Para el cálculo de los cordones en este caso de excentricidad de la carga se puedc seguir un método aproximado similar al indicado para el caso de unión mediantc remaches (Fig. 3.20-0).

(0 ) (4 Figura 3.20.

Reduciendo la acción exterior al centro de gravedad G de los cordones, el sistema equivalente está constituido por una carga P equipolentc a la dada y a un momento M = Pe.

En el AF"ridicc I se rccogcn las fArmul;is dc cilculo quc figuran cn la Norma di sic:^ MV-103. p:irn Ir>$ casos de uniones soldadas solicitadas a eslucrzo corianlc.

La fuerz;i f d;i I i iy r a un;l tcilsión cortante r , . que adiiiitiirios sc disiribuyc ~iniforiiic- mente sobre los planos de garganta dc los cordorics

siendo ni y 1, i ; i lori~itiid de garganta y longi[ud propiamente dicha de cada cordorl. T , ticric la dirccci¿)ri de P. En el c;iso que la fuerza P no se3 vertical sino inclinada y t e n P unas COmpOnentCS r',. P,. respecto dc una referencia G.Y.. 13s componentes CrirteSian:lS de tensión T , scr in

En cuanto al rnomcnto Pe. queda absorbido por un sistema de fuerzas engendrada\ ri lensiorics r?. ~ ; I I C S que en cada punto dcl cordbn 7 , c.< pcrpcndiculiir al scgmcnio que kir:

dicho punto coi) el centro de gravcdiid G y su rn<jdulo cs dircciarnentc proporcioiial ;i 1 longitud dc este scgmcnto.

Como r 2 - k r , se tiene:

estando extendida Ia integral a todos los cordones. De aquí:

siendc, 1, el rnoniento de inercia de los planos de gareanta- de todos los cordoi:~-~ supuestos JiLlios planos coincidentes con el dc carga, respecto del centro de gravcdail (

Por tanto. la cxprcsion de la tension T , en un punto situado a distanci2 r de C es:

Tanto T , como r , son magnitudes vectorialcs. Toniniido un sistema de referencia I-i:c . . (Fig. 3.21) si los \.cctores TI y T, tiene11 coniporientes TI (T,,, r,,); 7,(rzx, s,,), la tcnsro cortante en cada punto del plano de garganta del cordon será

160 RESISTENCIA DE XIATEKIALES

Figura 3.21. i

El ancho d e la base de los cordones se determina a partir del rnásirno valor d e r dado por esta expresion.

EJERCICIOS

1II.I. Para troquelar un agujero en una placa de acero de espesor e = 8 mrii se utiliza un punzón de diimetro d = 5 cm (Fig. 111.1). Conociendo la tensión de rorura a cortadura del materiril de la chapa a, = 300 hlPa, se pide:

l." Calcular Iri fuerza F que riene que aplicarse al punz6n para realizar el corte de la placa. 2." Determinar la tensión de compresión adniisible mínima que debe tener el material del

punzón utilizado. I

Figura 111.1.

l." El punzón producirá en la chapa un esfuerzo de cortadura pura sobre la superficie lateral del agujero de área ndr. Corno en el proceso de troquelado hay que romper el material por esta superficie, la fuerza mínima que hay que aplicar al punzón será:

F = ndeo, = xO.05 x 0.008 x 300 x lo6 N = 376992 N

O bien en toneladas F = 38.5 ton a

CORTADURA 161

2." El punzon deber5 tener una tensión de compresion admisible mínima tal que al aplicar el esfuerro de compresion F la tensión engendrada no supere el valor de ksta

1- a,;, = 192 MPa

111.2. Las dos piezas A y B indicadas en la Figun 111.2 sometidas a tracción están unidas mediante la pieza en cuna C. Si la tensión de cortndura admisible tanto en las piezas como en la cuíia es de 120 MPa, indicar qué de la unión está mhs cercana al fallo por cortadura.

Figura 111.2.

c s . Veamos en cada una de las partes consideradas que planos estan some.tidos a cortadura pura.

0) Pieza A

La cortadura se produce en los planos ab y cd. Se trata, por tanto, de una doble cortadura. Como el área es

el esfuerzo cortante que puede scportar la pieza A es

162 R E S I S T E N C I A DE MATERIALES

b) Pieza B

La cortadura se produce en los planos e/ y gli. El área es

0 = 4 x 0.03 x 0.025 = 3 x 10.' rn2

por lo que el esfuerzo cortante que puede soporiar la pieza B es

F = rR = 120 x lo6 x 3 x lo- ' N = 360 kN.

c ) Piein C

La cortadura se produce en los planos mn y pq. Es una doble cortadura sobre una superficie de área total

El esfuerzo cortante máximo a que puede estar sometida la pieza C es

De los resultados obtenidos se deduce que la pieza más cercana al Fallo por cortadura es I;i pieza C.

1113. El eje de un motor acciona el eje de una máquina mediante la brida de unión indicada en la Figura 111.3. La unidn se realiza mediante 6 tornillos de dihmetro d = 24 nini cuyos ejes pertenecen a uri cilindro de diámetro D = 30 cm. Conociendo 13 tensión de cortadura admisible en los tornillos r,,, = 60 MPa, deierminar la potencia que puede transmitir el eje girando a n = 250 rpm.

Figura 1113.

Para transmitir el eje una potencia N a una velocidad angula! ci; rad/seg lo hace aplicando un par motor M, tal que

El par motor se transmite al eje de la máquina a travks de las seis secciones rectas de los tornillos pertenecientes al plano comun a las dos partes de la brida. que trabajan a cortadura pura.

La potencia máxima del motor que puede transmitir su eje corresponde al par motor que produce en las secciones de 105 tornillos una tensión de cortadura igual a la adriiisible. Por tanto el par motor seria

Como

111.4. Dos placas nietálicas de espesor e = 1 cm y anchura b = 10 cm cada una se unen mediante cuatro reriiaches de diámetro d = 20 mm conlo se indica en la Figura 111.4. Si las ~ l a c a s están sometidas a una tracción centrada de ialor F = 10 000 kp calcular:

1." La tensión de chrtadura en los reniaches. 2." La te~isiún de coinpresión conrra las paredes de los t:~ladros. 3." La tensiim normal niáxima en las placas.

Figura 111.4.

l." Si el i rea de cada remache es

nd' 3.14 x 20' o = - = mii~' = 3.14 cm' 4 4

la terisión de cortadura en los remaches, sup\~cstd distribuida uniíormemente, seri

2 " 1.3 icris10ri t i c . coniprc>i611 contra I;is paredes de los tala<iios x r i : .

3 o El i r r a neta de la seccion nin. si t i , es el numero de agujero, que corta diametralmente la hección. es

La tension normal máxima se presenta en las secciones qiie coritienen a los planos diametrales de los a;ujeros. Por tanto, la tensión normal mia ima en las placas sera

111.5. Dos placas methlicas de anchura h = 12.5 crn y espesor e, = 15 rilni estAn unidas mediante dos cubrejuntas del niismo ancho y espesor e, = 10 mrn. La unión se Iiace mediante tornillos de dijnietro d = 21 rnm como se indica en la Figura 111.5-a. Sabiendo que los agujeros tienen un diímetro D = 27 mm y que las placas esthn sometidas a un esfuerro de tracción de F = 10 000 kp, se pide calcular:

1." La tensión cortante en los tornillos. 2." La tensión de compresión sobre las paredes de los agujeros de las placas. 3." La tensión de conipresión sobre 13s paredes de los agujeros de los cubrejuntas 1." I,a tensibn normal en los puntos de la placa pertenecientes a la sección transversal m,n,. 5." La tensión norriial en los puntos de los cubrejuntas pertenecientes a la sección transversal

"',"l.

6." La tensibn normal en los puntos de la placa pertenecientes a la sección transversal m,n,. 7." La tensión normal en los puntos de los cubrejuntas perteriecientes a la sección transversal

mZn2.

I I

F -f--

Figura 1115-a

CORTADURA 165

l." Los tornillos trabajan ;i doble cortadura. La tensión cortante a ellos. si R es e1 árr: de su sección recta, es

2." Para el cálculo de la tensión de compresión o,, sobre las paredes de los agujeros de las placas admitiremos que la presión se reparte uniformemente sobre la superlicie de contacto entre chapa y espiga del tornillo, que tomaremos como el producto del diánietro del tornillo por e1 espesor-de la chapa

3." Análogamente. la tensión de compresión o,, sobre las paredes de los agujeros de los cubrejuntas será:

4." Para la determinación de la tensión normal o,,, en los puntos de la placa pertenecientes a la sección transversal nr,n, calculemos la seccion neta Q,

siendo n, el número de agujeros que comprende la sección considerada. Por tanto, el valor de o,,, será:

F IOOOO = _ = - = F] O,, 10.65

5: Para el cálculo de la tensión normal o,, en los puntos de los cubrejuntas pertenecientes a la sscción transversal m,n, tendremos en cuenta que la fuerza de tracción es aquí

F F d e 2 - = -. según se desprende ficilmente del esquema de fuerzas que actua sobre

10 5 cada tornillo indicado en la Fisura 111.5-b, y que la sección neta es:

Figura 111.5-6.


Por tanto

6." En la sección transversal nt,n,, el area neta de la placa es:

0, = ( b - nlD)e l = (12.5 - 3 x 1.7) x 1.5 = 6.6 cm'

? F Como la fuerza soportada por los tornillos de esta sección es -. la tensión normal

5 o.,,, será

7." Analogamente, el área neta del cubrejuntas en la sección nt2n2 es

0, = (6 - n Z D ) e , = (12.5 - 3 x 2.7)1 = 4.4 cm'

Teniendo en cuenta que el esfuerzo soportado por esta sección es F;'?, la tensión normal a,,, será

Se observa que ésta es la sección que va a estar sometida a la mayor tensión

111.6. Se desea proyectar el cuerpo cilíndrico de un recipiente a presión, de radio medio R = I m, para almacenamiento de gas a presi6n p = 15 atmósferas. Dicho cuerpo está formado por virolas de chapa unidas tal corno se indica en la Figura IIi.6-a. Se pide:

l." Determinar el espesor e de la chapa aplicando el criterio de von Mises. 2." Si las costuras verticales y ho:izonta!es se efictúan mediante rubrejuntas de espcsor e/2 y

una fila de remaches a s a d a lado, determinar en anibos casos el diiímetro d y la separación S entre !os remaches. Datos: tensión admisible a cortadura en los remaches: r,,, = 120 hlPa; tracción aáriiisible a tracción en 12s chapas r,,, = 100 RTPa; tracción admisible a aplastamiento en ¡as c i ~ a ~ a s : o,,, = 226 MPa.

1." Calculemos previamente las tensiones o, y o, (Fig. 111.6-b) aplicando las form~ilas de la teoria de la membrana, teniendo en cuenta en la ecuación de Laplace que p _ = m ; Pt = R

Figura 111.6-0.

CORTADURA 167

Figura 111.6-h.

rensiones priricipiiles en cualquier punto del cuerpo del depósito scran:

Aplic.indo el criterio de von Xlises

1 [(oi - n,)' t in, - o,)' + (cj - ~ , ) ~ 1 < a.dm

el espcsor mininio c vcriíicari

sustituyendo valores en esta expresión, teniendo en cuenta que

1 atmósfera = 1.01: x 10' Pa z 0.1 MPa

obtensmos el espesor e pedido

En t.1 calculo de este espesor no se ha tenido en iilciiia la reducción dcl área en 1:: chapa debida a los agujeros en la zoria de unión.

2.'" Si Ildrriari~os S la separación entre reniachss (S,. cn las costuras verticales y S,, en I:l:,

costuras horizontales), la fuerza F que soportzi cada reniaclic cs:

F = o,eS,. , en las costuras verticiilcs (Fig. 111.6-c)

F = o,eS, . en las costuras horizontales (Fig. 111.6-d)

(c) Figura 111.6-c.

Esta fuerza F la soporta cada remache trabajando a cortadura pura

o bien, la placa a aplastamiento

o los cubrejuntas, también a aplastamiento

que. como vemos. es la misma ecuación anterior referente al aplast:imientu de la placa. En ambos casos hemos supuesto las tensiones admisibles por considerar que cada

remache está simultáneamente al limite de su capacidad resistente en la zona admisible, tanto a cortaduia como a apiastamicnto.

Para que el número de remaches para cada costura sea el iidisnio, ya se haga el cálculo a cortadura o a aplastamiento. se tiene que verificar

:: .--' . - es decir, la expresión del diámerro de los remaches s e r a

fórmula válida tanto para los remaches de las costuras verricales como para las costoras horizontales.

<

CORTADURA 169

Sustituyendo valores, se obtiene

En cuanto a la separación entre remaches tendremos:

a) En las costuras verricales:

que equivale a 32 remacheslm. b) En las costuras horizontales:

que equivale a 16 remaches /m.

111.7. Determinar la mayor fuerza de cortadura que actúa en los remaches de la Figura 111.7-0 para los siguientes valores de-los parimetros: P = 5000 kp; r = 40 cni; a = 7 cm; b = IZ cm. Se indicar3 a que rernaclie o remaches corresponde.

Figura 111.7-a.

Reducid- el sistema d e fuerzas aplicadas al centro d e gravedad G de los remaches, la resultante P dará lugar a un esfuerzo^, vertical sobre cada remache en sentido ascendente de valor


Para el cálculo del esfuerzoj, que actúa sobre cada remache debido al momento Pe aplicaremos la formula (3.4-16) que podemos poner en la siguiente forma. .;eguri se d~spren- de dc la figura 111.7-b

Pe f,, fí COS 2 = f2 - =

r z (.y2 + y2) - Como

podemos resumir el cálculo de los esfuerzos que actúan sobre cada reniache en el siguiente cuadro.

Se desprende que los remaches sometidos a mayor esfuerzo cortantc son los numeros 2 y 6. L a fuerza dc cortadura es, en ambos remaches, de 3684.5 kp.

Remaches

1 2 3 4 5 6

111.8. L a unión que se indica en la Figu-a 111.8 utilizada en construcciones aeronáuticas se realiza con lornillos de dos tarnaiios distintos: los 1 y 3, de 6 mm de diámei.o, y el 2. de 8 rnm.

Calctilar la fuerza de cortadura que actúa sobre cada tornillo.

CORTADURA 171

1 ~ 1 Cotas en mm

Figura 111.8.

P

Calcuiiciiios el ccntro de gravcdad G dc las ireas de los rigujcros rcspecto dcl sisrciiin dc c)<\

G.r',/ indicado en la Figura 111.8.

p, f,, = - n

- - - - -

-

Supondremos que la carga P se reparte proporcionalmente al arca de las secciones de lo\ remaches. En cuanto a la distribución de esfuerzos debida a1 momento ,L/ = Pc aplicaremos la formula (3.4- 16).

Como las coordenadas expresadas en mm de los centros de _eravedad de los agujeros respecto a los ejes G.v con origen en el centro de gravedad G son:

p, f,,

833.3 831.3 833.3 833.3 833.3 833.3

iM

y. por tanto

13 (.r2 + $) = 11.95' + 13l + 13.15' + 11.95~ + 1 3 ~ = 804.5 mm'

F,=f,,+

+ f l ~ . 1

-2758.6 2758.6

O O

fb = PCY

E (xl + yl)

-2758.6 -2758.6

O O

2758.6 2758.6

podemos ordcnar los cálculos de las fuerzas sobrc cada tornillo en el siruiente cuadro:

F,=f,,+

+fl,

f1,=

Pex --=-

E (xl + yl)

- 1609.2 1609.2

- 1609.2 1609.2

- 1609.2 1609.2

F

k~

' 2751 6 1 -775.9 2758.6 1 2442.5

2865.6 3684.5 F

'ip

4

874.5 l Z h 4 8 7 4 5 j I 1

Tornillo

1 2 3

I -775.9 2442.5

-775 9 2442.5

2865.6 '3684.5

775.9 2442.5 P

p, /,, = - n

- .-

.-

S1

f " n

264.7 470.6 264.7

f, =/l. +

+f2z i

- 7 59.5 -

759.5

f 2 . =

Pry Z ( r 2 + y 2 )

- 759.5 -

759.5

F, =fr, +

f .

-433 4 1256.4

- 4 3 1 4

f = Pcx

--=- X ( r ' + y ' )

- 698. I 785 8

- 698. I

~ 3 1 3 labl;i tls\prendr quc rl tornilio que va a rstar so~nrtitlo ,i un mayor r5Cucrzo d r cortadur:~ es el 2 .

L3 tensión corrrinic en 21 seri

es decir. In tensión tangencia1 admisible del material del tornillo tizne que ser superior a 2500 kp;cm2.

111.9. La unión de una placa de espesor r = 14 mm a otra fija se renliza niediante seis reniaches de diimetro d conio se indica en 13 Figura 111.9. Conociendo las tensiones adriiisibles: a cortadura de los remaches T.,, = 105 iCIPa; a conipresión r, = 336 iv1Pa; y a traccihn de la placa T, =

168 XlPa. se pide:

1." Calcular la carga admisible cuando el diimetro de los remaches es d = 20 rnm y el ancho de la placa es b = ?O cm.

2." Deterniinar el valor de la anchura 6 de la placa para que la resistenci:~ a cortante de los remaches sea igual a la de la placa a tracción, manteniendo el diinirtro d = 20 nim.

3." I'ara un ancho b = 20 cm. determinar el diiimetro d de los retriaclies para que la resistericia a traccioii de la placa sea igual a la de los remaches a cortante.

4.' Calcular la eficiencia de la unión en los tres apartados anteriores.

l." Para calcular la carga admisible que se puede-aplicar a la placa determinarenios las cargas mliximas a cortadura, a aplastamiento y a tracción

CORTADURA 173

Por tanto, la carga admisible la determina la resistencia a cortadura de los remaches

Compruebe el lector que la tensión normal que existe en las secciones 2-2' y 3-3' d e la placa es siempre menor que la que existe en la sección 1-1'.

2." Igualando las expresiones de la carga.P, soportada a cortadura por los remaches y d e la carga P, a tracción de la plaea

nri2 n n d ' ~ , , ~ n = - T,,, = (b - 3d)eu, =. b = --- + 3rl

4 neo,

sustituyendo valores obtznenios

3." Utilizaremos la misrna ecuación pero ahora h zs dato y d e s la incbcnita

n'12 6 - 105 x 106 = (0.2 - 3d) x 0.014 x 336 x lo6

4

de donde:

4." Como In eficienciii d e la unión se define como el cociente

carga admisible de la unión x 100

carga admisible de la placa sin remaches

para cada uno d e !3s apartados anteriores tendremos:

a) Apartado l."

fa,, = Pc = 197 920 N

P,, = beo, = 0.2 x 0.014 x 168 x lo6 = 470400 N

eficiencia C I

RESISTENCIA DE hlATERlALES

b) Apartado 2."

fa,,,, = Pr = = 197 920 N

P,, = b c ~ , = 0.144 x 0.014 x 168 x 10" 338 658 N

eficiencia m C) Apartado 3."

P,,, = P, = P, = (0.2 - 3 x 0.0316) x 0.014 x 168 x lo6 = 247430 N

P,, = 470400 N

eficiencia E 3 Dos placas de espesor e = 1 2 mm y anchura 6 = 25 cm se unen mediante una soldadura a tope como indica la Figura I11.10. Si la tensión de trabajo para la soldadura es o, = 900 kp/cm2, calcular la íiierza de tracci6n F que podri ser aplicada a las placas.

Figura 111.10

De acuerdo con las prescripciones de la Norma h1V-103 referente a las soldaduras a tope, la fuerza máxima admisible a tracción será

Un angular 150 x 75 x 10 ha de estar unido a una pieza contigua dc una estructura methlica mediante dos cordones longitudinales de soldadura coma se indica en la Figura 111.'11-a. El angular esla sometido a una fuerza de tracción de F = 25 000 kp cuya línea de acción pasa por el centro de graredad de la sección. Sabiendo que la tensión tangencia1 admisible de la soldadura es r,,, = 800 kp/cm2, calcular las longitudes de los cordones.

Calcu~emos 10s esfuerzos que tienen que absorber cada cordon d e soldadura. Por las condiciones de equilibrio podemos poner

CORTADURA 175

ww Cotas en rnrn

Ahora bien, como las longitudes son directarncnte proporcionales a las f u e r z ~ s apl~ca- das, s i L = L, + L, es la longitud total de los cordones. las expresiones de lai longi:udcs L , y L, sc r in

FI Jl - !.

L , = L --- ; L : = L ! 11 11 -7 F -

A 7

F. -t-L

Figura 111.1 1-b.

Como la siiperricie resistente de la soldadura es La, se deberá verificar

Lo.r,,, = F

Sustituyendo valores, se obtiene

L , 1 x sen 45' x 800 = 25000 kp

dc donde

Por tanto:

Se tornarin

CORTADURA 177

111.12. D~~ unidas mediante dos cordories de soldadura, de igual tamaño y longitud, conlo se indica en la Figura 111.12. si la tensión adniisible de la solución es r,,, = 800 kp/cm2, determinar la fuerza F máxima que podrh ser aplicada a las placas.

Si u es la garganta de los cordones de soldadura. el esfuerzo que absorben los cordones longitudinales es. expresando u en cm

y el absorbido por los cordones frontales

~ , , , ~ . 2 b a = 1000 x 2 x 50 = IOOOOa k p

La suma de ambos tiene que serjguai á F Por tanto

(11250 + 1 0 0 0 0 ) ~ = 1Oo00Lp

de donde

Figura 111.12. Cotas en mm

Como la superficie rzsisrente de la soldadura es

L . u = Zlu = Z x 1-0 x 10 x sen 15" = 1697 nim'

se deberá verificar

F < Lrir,,, = 16.97 x 800 = 13 576 kp

Por tanto, la fuerza máxima que podrá ser aplicada a las placas será:

El ancho r pedido será

u = _ _ -

0.47 1 - sen 45' 0.707

111.11. Dos placas están unidas entre sí por medio de cuatro cordones de soldadura iguales, de 8 mm de ancho de base, como se indica en la Figura 111.14. Calcular la mixima tensibn de cortadura a que van a estar sometidas las soldaduras si se aplica un momento M = 600 m . kp.

111.13. Se han de unir dos piezas metdlicas mediante cuatro cordones de soldadura, dos longitudinales y dos transversales. como se indica en la Figura I!I.13. Sabiendo que las tensiones de cortadura admisibles para los cordones Id,lsitudinales es T,,, , = 750 kp/cm2 y para los cordones frontales T,,,, = 1000 kp/cm2. calcular el ancho de los cordones si las placas han de soportar un esfuerzo de traccibn de F = 10 000 kp.

Como la solicitación exterior es exclusivamente un momento. la máxima tensión de cortadura se c re sentará simultáneamente en los cuatro vértices del cuadrado formado por 10s cordones.

Calcularemos la tensión en estos puntos aplicando la formula (3.5-20)

Figura 111.13.


El momento de inercia de los cordones respccto de G es la suma de los momcntos de inercia respecto de los ejes .Y e y (Fig. II1.14). Como la longitud de garganta es

los momcntos de inercia áxicos son:

La tension máxima sera. pues

111.15. Una placa en mfnsula es16 unida a la columna de una estructura metálica mediante tres cordones de soldadura del niisrno anclio de garganta a = 1 cm, conio se indica en la F;- gura 111.15-o. Si la tensión de cortadura admisihle de la soldadura es r,,, = 750 kp/cm2 calcular el niásimo valor que puede tener la carga P.

Figura 111.15-o. Figura 111.15-h.

Reduciendo la acción exterior al centro d e gravedad G de los cordones. el sistema equivalen- tc cstf constiiuido por un3 carga P, equipolente a la dada, y por un momento

A-I = P(25 + 12 - 3) = 34P

' CI mente se Ya que c1 cCntrO de gravedad G se encuentra a 3 cm del cordón vertical, como f i -1 -r.l:')2 - ~ u c d c deducir.

i<,-; (aL4i.a fuerza P da lugar a una tención cortante ll. que distribuye uniformemente sobre 10s

planos d e garganta de los cordones. 1 l a ' . , .

cuando P cxpresa en kp.

E

por Su parte, el niomento .Lf da lugar a una tensión rl . Cuyo valor niixiciio sc vil .i

presentar en los puntos .4 y B (Fig. llI.15-6). de valor *.

el moriicnto de inercia polar I , sera:

1, = 1, + I , = (4904 + 800) cm' = 5704 cm'

El valor de r 2 en los momentos A y B es:

estando expresado P en k p . Las componentes de los vectorcs 7 , y i,. respecto de los cjes indicados en la figura son:

5 10 r2, = - r 2 sen 2 = -- 0.8 p = 7.152 x 1 0 - ' P kp/cm2

5704

que dan lugar a una tensión i que debcri ser menor eje la tension adinisible a cortadurr: Uc la soldadura

de d o n J c se obtiene

4. l . Introducción

Teorír~ general de lcl flexión. Anblisis de rensiones

Cuando en toda sección recta de un prisma mecánico la resultante de /:ir fuerzas situadas a un lado de la misma es nula y el vector moniento resultrnte esl i contenido en dicha sccción, diremos que el prisma está sometido a/b.ririi~ piirci. Esta es Jlct-i{jii poro asit>~irrica ( F i g 4.1-0) cuando el momento flector tiene componentes .M, y .II; según los ejes principales de inercia de la sección; y /Irrion pitru siti~irricu ( F i g 4.1-h). si el vector momento que aclua en esa sección tiene solamente componente según uno de los ejes principales de inercia.

(a) Flexion simple (b) Flexión desviada

Figura 4.2.

Finalmente. si en los casos de flexión pura o de flexión simple actúa sirnult' aiieamente el esfuerzo normal .V, a la Ilexión se le denominaJr.ri611 c.ot>rprrrsra (Fig. 4.3).

Figura 4.3.

/ (U ) Flrxión pura asimitrica (h) Flrxión pura sinietrica Figura 4.1.

Si además del momento ílector M, actúan esliierzos cortantes T. se dice que el prisma ~

trabaja a Jk>.~i<iti ritiiplc,. qiie piicdc ser jlta,ri(i,t ri»iph, prupiilmente dicli;~ cuando el momento flecior M, tiene I;i dircccion dc uno dc los ejes priiicipules de i n e r c i ~ de Ir sección ( F i g 4.2-0). O / l r .~ibt~ (Iriuiudo cuando el momento Ilcctor 07, tiene coniponentes según los dos ejes principales de inercia (Fie. 4.2-h).

d

En este capitulo analizaremos la distribución de tensiones en la sección recta en los casos de flexión pura simétrica y de flexión simple. La flexión desviada y 1;; flexión compuesta serán estudiadas en el Capitulo 6.

Para los casos de flexión pura o flexión simple adoptaremos el convenio usual de asignar el signo positivo al momento flector cuando el prisma flexa como se muestra en la Figura 4.4, es decir, cuando el momento flector hace que la libra inferior esté sometida a traccijn.

Figura 4.4.

4.2. Flcxión pura. Lcy de Navicr

Como hemos indicado, consideraremos en lo que sicue el caso de flexión pura. sobrecnten- dieridose que se trata de flcxión pura simétrica. como ocurre en los tramos A B dc las vigas indicadas en la Figura 4.5.

Figura 45.

Cuando consideramos un prisma mecánico y lo sometemos a flexion pura observamos que varia la curvatura de su línea media, acortándose unas fibras mientras que otras se alargan. Las primeras estarán necesariamente sometidas a esfuerzos de compresibn y las segundas a esfuerzos de tracción. Es evidente (admitidas las hipótesis de honiogencidad, continuidad e isotropia), que una fibra no se acortará ni se alargará. por lo que no estará sometida a tensión alguna y de ahí su nombre de ((jihra tleutrnu. M i s adelante, \.eremos que dicha fibra contiene los centros de gravedad de las distintas secciones del prisma.

En el estudio de la flexión admitiremos las siguientes hipótesis fundamentales:

1. El sólido en flexión se mantiene dentro de los limites de elasticidad proporcional. 2. Las secciones planas antes de la deíormación siguen siendo planas despues de ella

(hipbtesis de Bernoulli) . 3. Las deformaciones son suficientemente pequeñas para que la acción de las fuerzas

exteriores no se vea modificada, en primera aproximación, por la deforniacióri.

Una corisecuencia irimcdiata que se deduce de las hipótesis establecidas es que en la seccion no existen tensiones tangenciales. En efecto, en cualquier punto P del prisma. el ángulo inicialmente recto [armado por una fibra longitudlnal que pasa por él y la sección recta correspondiente, sigue siendo recto después de la deformación en virtud de la hipótesis de Bernoulli, por lo que según la ley de Hooke: 7 = Gy = O, al ser nula la distorsión y.

En la sección recta existirán, pues, solamente tensiones normales. Es intuitivo que las fibras extremas, al ser las más deformadas, serán las sometidas a

tensiones más elevadas. Pero. jcuánto valen dichas tensiones? i,Cómo varian al pasar de una fibra a otra? Vamos a deducir la ley de Nacier que nos expresa dicha variacibn.

Demostraremos Id citada ley siguiendo dos métodos distintos: método geométrico y método analítico.

a) Método geométrico

Sean DE y CF las trazas de los planos que contienen a dos secciones :cctas indefinidamente próximas de un prisma mecánico, sometido a ílexión pura (Fig. 4.6).

8

Figura 4.6.

-

Si unas fihr;is se alargan y otras se acortan. por la continuidad de las deformacioncr existiri una fibra ricutra q u e no experimente variacibn de longitud alguna.

-

Sea /IB la traza de la superficie neutra, cuyo radio de curvatura es p. Es ficil dcrnostr;ir quc ,\lSU - AB0 , por lo que se podrá escribir:

Conio = Adr; i l i = d.v; ,\IB = r.; ,m = p. se tienc:

A - .r - - - cLr p

?3

Ahora bien, en virtud de la ley de Hooke Ad.r/d.r = E = a,'E, por lo que:

a ? ' - - - - E P

o lo que es lo mismo:

habiendo pucsto cl signo i ic~ai ivu y;, que para la ordenad3 > posiiiia 13 tcnsihn U cs i c

compresión. y suponiendo positivo el radio de curvatura.

Corno el cociente E,'p es constante en cada sección podenios enunciar In /KV dc 1Vavier: ccEt1 iitiu sercldi~ ~oiilrrido u /lr.ric>ti pirrci. los t>ió<liil~s (ir 10s rrtisinri~~~ yicc, se ejerceti sobre /(,.y ~/ i .> / ; t~f~ l .~ /ihrus sori c/irrc~c~/~icti~e pr0~1orcior1~11e.s u .sus d i s r ~ t ~ c i a . ~ u 111 ! i / ~ r u tie~,tru.))

La represrntac~Ó~l ,orafic;i de diclias tensiones será lineal (Fig. 4.7) y, como era de esperar, las miiximas tensiones de compresión y de tracción correspunden a las libras extremas.

I Figura 4.7.

Vamos a demostrar ahora que la libra neutra contiene el centro J e gravedad de la sección. En efecto, a1 tenerse que cumplir las condiciones del equilibric> elástico, la resultante de las fuerzas exteriores 2 interiores debe ser nula en cualquier sección. Por tratarse de ílexibn pura, la resultante de las fuerzas exteriores es nula, por lo qiie la resultante de fuerzas interiores debe ser igual a cero.

Podemos escribir, pues, que:

Para que d R sea igual a cero, las distancias y deben contarse con relación a un eje qiie contenga el centro de gravedad, ya que j,v d R es el momento estático cit. una superficie plana respecto a un eje con:enido en sl iiiismo plano y solamente se anula en dicho caso.

Para garantizar el equilibrio elástico en cualquier sección no es suficiente la nulidad de la resultante. Se tiene que verificar, además, que el momeiito resultante del s isama de fuerzas engendradas pc.r !as tensiones normales tiene que ser igual al m(;mento flectcr en' dicha sección. Teniendo en cuenta que para un moniento Rector M, pcisitivc (Fig. 4.8) las tensiones normales sori negativas para ordenadas .v positivas, tendremos

siendo Ir el momento de inercia de la sección respecto del eje z. Este resultado nos permite expresar la constante de la ley de Nrivier en función del

momento íiector que actúa en la sección y las caracteristicas geométricas de ésta, .

TEORlA GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE TENSIONES 185

Figura 3.8.

6 ) hlétodo analítico

A este mismo resultado llegamos siguiendo un razonamiento puramente analitico. En erecto, si la flexión es pura, la única componente no nula de la matriz de tensiones

será la tension normal u,, = u sobre las caras coincidentes con la sección recta. Admitida la hipótesis de Bernoulli sobre las secciones planas, la tensión normal a será,

en virtud de la ley de Hooke, una función lineal de y, z

siendo n, 6, c, canstantes, estando esia ecuación referida al sistema usual de coordenadas. es decir, a los ejes principales de inercia de la sección en el centro de gravedad, que será el origen.


El sistema de fuerzas engendrado por las tensiones o tiene que ser tal que su resultante sea nula y su momento. respecto a G, igual y opuesto al niomento flector en la sección.

Sustituyamos el valor a, dado por (4.2-7). en estas integrales. En la primera, se tiene:

De aquí se obtiene directamente: a = O, ya que las dos últimas intezrales son los momentos estáticos de la sección respecto a los ejes coordenados, que se anulan, por pasar éstos por el centro de gravedad.

De la segunda:

ya que la segunda integral es el producto de inercia respecto a unos ejes que son principales y, por tanto, se anula.

Finalmente, de la ecuación (4.2-10) sc obtiene el valor del parámetro c: c = 0. Sustituyendo en (4.2-7) las constantes obtenidas, se llega a

que es, obtenida analíticamente, la ley de Navier. Esta expresión constituye la ecuación fundamental de la teoría de la ílexión y piiede

adoptar diferentes formas:

MF I z -- = - o bien: a = -- MF o Y 1: -

T E O R I A GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE TENSIONES 197

Si pretendcrrios Iiallar en una sección (en la que ,MF e 1: son constantes) el valor dc umlx, tendrcnios:

Al denominador de esta ultima expresión que, como se ve, depende exclusivamente dc las caractcris~icas ecométricas de la seccióri se le suele Ilarnar niódulo re.\iri<~t1ie ricr b sección; lo vamos a representar por W:, tiene dimensiones de [L]' y se expresa normal mente en cm3.

Como:

llamaremos a - ,LI,,'a,,, i~i(jclir1o resisrenfe eii la secciórl y éste dependerá de las solici~:~. nes que engendran el momento flcctor y dc la tensión máxima que pucdc admilir r

material. Dchrrci cirt,iplir.ie pitcfs, qire el t~ródirlo rc~si.srcn,e de la scccióti coloc(icl(~ sc3(i ~giiiil

sirpcrior al ,>i(;tlirl<) re.ii.if~n~2 e.risieriie e11 /o sccc~iuti consirlerada.

En perfiles I?minados, los fabricantes tienen tabulados los módulos resistentes i secciones cuyo Ii', no figure en las tablas se determina hallando (an.ilitica o gráficameiíi í= e y,,,. Asi, en una sección rectangular (Fig. 4.10), el módulo resistente M': será:

Como caso particular, si se trata de una seccióri cuadrada (o = h) tendríamos:

4.3. Flex ión simple. Convenio dc s ignos p a r a es fuerzos c o r t a n t e s

y m o m e n t o s f lectores

Hasta aquí hemos considerado que el prisma mecinico trabaja a fleti6r1 pura, es decir, cuando no hay esfuerzos cortaiites, como ocurre en los tramos AL? dr las vigas indicadas en la Figura 4.5.

Cabe preguntarnos si podemos aplicar la ley de Navier al cálculo dt: la distrib;ción de tensiones normales en la sección recta de un prisma mecánico sometido a jle-rión sitriple (momento flector acompañado de esfuerzo cortante), dado que la existencia del esfuerzo cortante produce cierto alabeo de las secciones rectas, como mis adelante tendremos ocasión de estudiar con detenimiento.

Para los casos de flexión simple admitiremos el prbicipio getirrrrliiurio (/e Naoier- Bernoulli.

((Dos secciones planas indefinidamente próximas experimentan un al;ibeo después de la deformación, pero cualquiera de ellas puede superponerse con la otra mediante una traslacion y un siron (Fig. 1 . 1 1 ) .

Figura 1.1 1.

Al aplicar este principio se admite alabeo de las secciones debido al esfuerzo cortante y lo que se.hace es despreciar el alabeo relativo de las dos secciones. Esto es admisible. pues, en general, las deformaciones producidas por el esfuerzo cortante son menores que las debidas al momento flector.

Admitido el principio generalizado de Navier-Bernoulli, veamos c ó n ~ o se deforma una fibra, tal como la AoBo indicada en la Figura 4.1 1 Si las secciones se hubieran mantecido planas, esta fibra habría pasado 3 ocupar la posición A'B' pero al existir alabeo ha pasado a ser AB. Por cI citado principio, el desplazamiento relativo ha sido el mismo, es decir, A'B' = AB.

Por tanto, si t n la ílexión simple las deformaciones son las mismas que en el caso de ílexión pura, las fórmulas deducidas para tales deformaciones serán válidas. aun cuando el momento ílector vaya acompañado de esfuerzo cortante. La pregunta que nos habiamos hecho de si seria válido aplicar la ley de Navier para el cálculo de la distribucion de tensiones normales en las secciones rectas de una viga sometida a flexión simple tiene, pues, contestación afirmativa.

Es evidente que la resultante, así como el momento, de las fuerzas situadas a la derecha de una sección tiene igual módulo, igual dirección y distinto sentido que la resultante, o momento, de las que se encuentran a su izquierda, ya que el equilibrio estitico exige que se verifique:

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALlSlS DE TENSIONES 189

En un prisma sometido a flexión simple la resultante de las fuerzas situadas en una de las partes en que el prisma queda dividido por la sección es el esfuerzo cortante.

Supuesto que el prisma o viga admite plano de simetria y que las cargas verticales pertencceri a este plano, el esfuerzo cortante tendrá dirección vertical y la ílexión se r i simétrica.

Figura 1.12.

En este caso, que es el que consideraremos en lo que sigue, será necesario adoptar un convenio para los signos de ambas magnitudes, con objeto de evitar ambigüedades.

Para el esfuerzo cortante, el convenio se ha establecido ya en el capitulo anterior. Si 12

resultante de las fuerzas verticales situadas a la izquierda de la sección está dirigida hacia arriba, diremos que el esfuerzo cortante es positivo, siendo negativo en caso contrario (Fig. 4.12).

Para el momento flector la regla se basa en el tipo de deformación producida: diremos que el momento flector es positivo cuando las fibras comprimidas estén situadas por encima de la neutra y negativo cuando por debajo. Aplicaremos este criterio siempre, teniendo en cuenta que el momento engendrado por cada fuerza tendrá el signo que le corresponda según rl tipo de deformación que dicha fuerza produciría prescindiendo de las demás.

Figura 4.13.


Asi, en una viga apoyada en sus extremos A y (Fig. 4.13) el momento en una sección mn a distancia .r de 4, considerando las fuerzas situadas a cu izquierda, será

y el esfuerzo cortante

Si consideramos las fuerzas situadas a la derecha de la sección, se tendría

Evidentemente se habrá de cumplir

El esfuerzo cortante y el momento íiector serán funciones de la abscisa s de la sección

La representación gráfica de estas funciones da lugar al (fiugnu~ra de esJrer-os rorranres y diagrur?ia de nronIentosj7ectores, respectivamente.

4.4. Determinación de momentos flectores

El problema de dimensionado, atendiendo exclusivamente a la flexión, exige el conocimiento de los valores que adopta el momento flector en cada sección de la viga. Vamos, por tanto, a determinar los momentos flectores insistiendo especialmente en su valor máximo, en diversos casos isostáticos de sustentación y carga.

Como norma geceral, la determinacion de momentos implica el conocimiento de todas las fuerzas que actúan sobre el prisma mecánico. En los casos que vamos a considerar se conocen directaaente las cargas exteriores y hay que calcular las equilibrantes. Estas últimas se hallarán imponiendo las condiciones de equilibrio ectiticc>. Tratxemos, a modo de ejemplo, los siguientes casos de susten;ación:

A) Viga simplemente apoyada. B) Viga en voladizo.

A) Viga simplemente apoyada

En todos los casos que estudian a continuación se :upone el peso propio de la viga despreciable respecto a las cargas que actúan sobre la misma.

TEORlA GENEKAL DE LA FLEXION. ASALISIS [ IE TENSIONES 191

a ) Carga centrada y concentrada (Fig. 4.14)

Determinación de las reacciones: Condiciór ,'r cvniporicnte vcrtical nula:

R., + R, - P = 0

Tomando rnc,,i.cnios respecto del punto mcdio:

Diagrania de

1-igura 4.14. niomentos flectores

de donde:

Leyes de momentcs neciores:

P 1 ,\fx, = R,.r = - S-, valida en O ,< x ,< -

2 2

El momento fiector máximo se presentará en el punto medio de la viga (observese que se trata de un riiisinio absoluto y, por tanto, la primera derivada PO es nulz) Su valor se obtendrá haciendo s = 112 en (4.4-2) o (4.4-3)

192 R E S I S T E N C I A BE M A T E R I A L E S

6) Carga desccntrada y concc*.itrada (Fig. 4.15)

Determinación de las reacciones: Coridición de componente verrical nula:

Tornando momentos respecto del extremo B: R , . / - Ph = O, dc donde

Diagrama de rnomrntos flectores

Figura 4.15.

Leyes de momentos flectores:

Pa Mxi = RA-r - P(x - a) = - !l - .Y), para o < .y Q / . (4.4-8)

/

El momento flector máximo tendrá lugar en la sección en la que esta aplicada la carga y su valor se obtiene haciendo .r = u en cualquiera de las ecuaciones de momentos:

c) Carga uniformer "te reF l a (t. .; 4.16)

Representaremos por ; ia carp- ; 2r uririad de longitud. Suele e~presars- rondadas por metro lineal (ton/rn).

La determinacion de las : Y - . . .oncs es muy sin~ple, ya quc ;2r simt

T E O R l A G E N E R A L D E LA FLEXION. A N A L I S I S DE TENSIONES 193

Diagrama de

I momentos flectores

1

En estc caso rige una sola ecuación de momentos para toda la viga: e C

.r pi iLf = R,.r - ps - = -.r - - , para O < .r < 1 (4.4- 1 1) f

Z 2 2 b

ecuación de una paribola, por lo que el diagrama de momentos flectores será un arco de e- este tipo de cónica. $

Para hallar el momento flector máximo igualaremos a cero la primera derivada, en C virtud de la continuidad de la función en toda la viga: -

C

valor que sustituido en (4.4-1 1) nos da:

rl) Carga triangular (Fig. 4.17)

Supondremos variable la carga por unidad de longitud, aumentando linealmente desde O en el apoyo A hasta el valor p,,, en el B.

Las cargas p d . ~ sobre cada elemento diferencial de viga constituyen un sistema de vectores paralelos cuya resultante, la carga total P. es:


7 y tiene por linea de acción la recta .r = - 1. Las condiciones generales del equilibrio nos

3 proporcionan las ecuaciones.

de donde:

I I

I 4 . b momentos ílectores

Figura 4.17.

La ecuación de monentos ser i Única y tendrá validez en O < x < 1

Derivando e igualando a cero, se obticne x = I,'J?;, por lo que:

B) Viga en voladizo

Vamos a suponerla perfectamente empotrada en un extrernc (iniposibilidad de giro en él), en todos los casos que se estudian a continuación.

u) Carga concenrrada en el extrerrio librc (Fig. 4.18)

La e c ~ i c i o n de momentos pucdc escribirse directamente:

;Ir = - P.Y. viilidri eri O s < I (4.4- 1 7)

Diagrama de -Pl

rnornencos ílccrores

El momento flcctor mliximo se dará en cl empotraniiento y valdrá:

y segun se comprende fácilmente se trata de un mriximo absoluto.

h ) Carga uniforniernente repartida (Fig. 4.19)

Sea p la carga por unidad dc longitud: La ecuación de momentos seri:

.Y pxZ M = -p.r - = --+ válida en O < .Y $ 1 (4.4-191

2 2

Diagrama de

-$ momentos "eciores

El momento ílcctor máxinio se dará en el empotramierito y valdri:

y, como en el caso anterior, se trata de un máximo absoluto

1%; R E S I S T E N C I A I>E MctTI:IIIALES

C) Carga ~riangular (Fig. -I.?U)

La ecuación de momentos scri:

de momentos fleccores

P . 1 Pl ---- -- = -- 6 3

Figura 4.20.

t ' 1 I -

El momento flector máximo se d a r i s n el empotramiento y valdri

Diagrama

4 . . Determinación de esfuerzos cortantes

Frescindamos por ahora de la po~ible relación existente entre esfuerzo cortante ysmomen- to flector. Hallaremos el esfuerzo cortante como la proyección sobre la sección que se considere de la resultante de las fuerzas situadas a un lado de la misma, adoptando el convenio de signos qüe se ha establecido anteriormente.

a) Carga centrada y concentrada sobre viga simplemente apoyada (Fig. 4.21)

Para una sección mn el valor del esfuerzo cortante será la suma geométrica de las fuerzas ,'.

que actúan sobre la viga a uno de sus lados (consideraremos las fuerzas situadas a la izquierda).

Asi tendremos: .. . - ,

P 1 T,, = R - -, \lálida para O < .r ,< - " - 2 2

P T = > = R , - P = - - = - R

1 7 E * p a r a - 2 ,< .Y I (4.5-2)

T E O R I A G E N E R A L DE LA F L E X I O N . A N A L l S l S D E T E N S I O N E S 197

Diagrama de p/2 es lue r ros cort.intes

b) Carga descentrada y coricentrada sobre viga simplemente apoyada (Fig. 4.22)

Conforme a lo establecido, tendremos en este caso:

Pb T,, = R, = -, válida para O < x < a

1

Pa T = R , - p = - - = - RE, para O < .r ,<

1 2 1

c) Carga uniforinemcnte repartida sobre viga siniplemente apoyada (Fig. 4.23)

La ley de esfuerzos cortantes será:

ecuación vilida para cualquier sección de la viga. Si se hace T = O, resulta x = 112, es decir, el esfuerzo cortante se anula en el punto

medio de una viga simplemente apoyada con carga uniforme.


P l - 2

Diasrama de

p l esfuerzos coriantes - A

2

Figura 4.23.

4 Carga triangular sobre viga simplcmcnte apoyada (Fig. 4.24)

También tenemos en este caso una íunción unica para la ley de esfuerzos cortantes.

2 p Diagrama de -- 3 csíuerzos cortantes

YVI I I Figura 4.24.

ecuación válida para cualquier sección dc la viga. El esfuerzo cortante se anula en una sola sección: la dc abscisa


e ) Viga en voladi7n con carga concentrada en el extremo libre (Fig. 4.25)

El esíuerzo es constante en todas las secciones dc la viga.

T = - P, para O < ,X S 1

Diagrama de

esruerzos constantes

P - P

Figura 4.25.

Viga en voladizo con carga uniformemente repartida (Fig. 4.26)

Diagrama de

- pl - - P esluerzos cortantes

La iey de rsf~.ierzos cortantes es:

T = - p x , p a r a 0 < .Y < 1

ecuación válida para cualquier sección de la viga. El valor máximo corresponde a la sccción de enipotramiento.

Haciendo .x = 1 en la ecuación (4.5-9), se obtiene:

que como se ve, se trata de un máximo absoluto.

200 RESISTENCIA DE S4ATERI.ALES

g) Viga en voladizo con carga triangular (Fig. 4.27)

1 En esre caso, como ficilmente se deducs de la Figura 4 27, si P = - p,,,,< 12s la Carga total

?

se tiene:

El diagrama de esfuerzos cortantes es una parábola de tangente horizontal en el punto correspondiente al extremo libre. El valor máximo (mriximo absoluto) se presenta en la sección de empotramiento. Haciendo .r = 1 en la ecuación (4.5-1 1) se obtiene:

4.6. Relaciones entre el esfuerzo cortante, el momento flector y la carga

Hasta aquí hemos estudiado independientemente momentos flectores y esfuerzos cortantes de una viga sometida a flexión siaple, sin tener en cuenta las relaciones que existen entre ambas magnitudes. Veamos cuáles son estas relaciones que nos serán de gran utilidad.

Antes de seguir adelante conviene que quede clara la inexistencia de fuerzas concentradas, ya que al actuar sobre una superficie de área nula engendrarían tensiones unitarias infinitas que sólo podrían resistir los sólidos rigidos que, como sabemos, no se dan en la Naturaleza. En rigor, las llamadas fuerzas concentradas son fuerzas uniformemente repartidas que actúan en superficies muy pequeñas o, lo que es lo mismo, dan valores d e p (carga por unidad de longitud) muy grandes.

Entre dos secciones indefinidamente próximas podemos considerar que actúa uiia carga uniformemente repartida p que será funcion de la distancia x, incluso en el caso de fuerzas concentradas, o, por el contrario, que no actúa carga alguna (Fig. 4.28). J


Figura 1.28.

En el primer caso, tomand6 momentos respecto al centro de gravedad de la sección situada a la derecha, tendremos:

de donde. despreciando infinitésimos de segundo orden, se tiene:

En esta expresion, como se ve, no interviene la carga. Por tanto, esta expresion sera aplicable tanto al caso en que sobre el elemento de viga exista carga repartida como si no.

Se puede afirmar pues: ((El esfuerzo cortante en wra seccibn de una oiga somericia a jTr.ribri sitriple coincide con la derivada de la fitnción montenio Jlector en dcha srcci6n.u Ceornétricamente, el esfuerzo cortante en una determinada sección viene medido por el valor de 13 tangente trigonométrica del ángulo que forma con el eje .Y (eje de la viga) la tangente al diagrama de momentos flectores en el punto de abscisa de esa sección.

Diagrama de hf

Diagrama de T

202 RESlSTENClA DE MATERIALES

Consideremos la porción elemental de prisma mecánico sometido a flexión siniple comprendido entre dos secciones rectas indefinidamente ptoximas. separadas d.1 (Fig. 4.30). Sobre las secciones de abscisas .y y .y + d.1 10s momentos flectores difieren en dlCf.

Basándonos en esta propiedad podriamos obtener el diagrama de esruerzos cortantes por derivación del de momentos flectores. inversamente, dado el diagrama de esfuerzos cortantes se obtendría. por integración, el de momcntos flectores.

Veamos ahora que el esfuerzo cortante T y la función de carga p. funciones ambas dc .x, están re1aciori;idas entre sí. En efecto, del equilibrio de fuerzas (Fig. 4.28-a)

se deduce

que podemos a su vez relacionar con M mediante (4.6-2) y poner: Figura 4.30.

Cortemos este elemento por un plano a distancia y de la fibra neutra y consideremos el equilibrio de la parte superior: la resultbnte de las fuerzas normales tiene que ser equilibrada por las fuerzas engendradas por las tensiones r sobre la porción de fibra longiiudinai

La resultante de las fuerzas norniales en la parte izquierda sobre el área sombreada R* es:

es decir. 10 poi<lirnrc dr la cirrva de esfuerzos cortanres coincide en c a d ~ seccióri cotr e/ ~.rllor de la carga trniiaric~, carnhiada de signo.

De lo anterior se deduce que si la carga distribuida varía segun una fiinción algcbraica, las funciones del esfuerzo cortante y del momento íiector serán también algebraicas de uno y dos órdenes superiores, respectivamente.

que se puede poner, en virtud de la ley de Navier, de la siguiente forma:

4.7. Tensiones producidas en la flexión sirnple por el esfuerzo cortante. Teorema de Colignon

Al principio de este capitulo se ha estudiado la distribución de tensiones debidas al momento flector. En los prismas mecánicos sometidos a íiexión pura, al ser el esfuerzo cortante nulo eri todas las secciones, la ley de Navier nos d a una información compieta, tanto cualitativa como cuantitativa, del estado tensional creado en el interior del medio elástico, ya que el conocimiento de la tensión principa5 Única n o nula, normal a la sección recta. lo determina plenamente.

En el caso que el prisma mecánico o viga trsbaje a flexión simple hemos indicado que las secciones rectas de la viga, inicialmente planas, presentan después de la deformación cierto alabeo producidct por el esfuerzo cortznte.

Admitido el principio generalizado de Navier-Bernoulli la distribución de tensiones normales sigue estando regida por la ley de Navier, si bien la direccion del eje de la viga ahora no es dirección principal. Para completar el estudio del estado tensional en flexión simple necesitamos, pues, conocer cómo se distribuye el esfuerzo T ( s ) a lo largo y a lo ancho de la superficie de la sección recta.

Para ello nos basaremos en el teorema de reciprocidad de las tensiones tangencialcs, es decir, la existencia de una tensión tangencial r en un punto de la sccción recta exige la presencia de otra también tangencial, del mismo valor, sobre la superficie de la fibra longitudinal que pasa por ese punto.

siendo m el moniento estático respecto al eje ; (fibra neutra) del area de la seccion situada por encima de la sección longitudinal (area sombreada en la Figura 4.30).

En la sección derecha, la resultante de las fuerzas normales será:

Su diferencia

tiene que ser equilibrada por la resultante de las fuerzas debidas a las tensiones r en la sección longitudinal.

Admitiendo que las tensiones tangenciaies se reparten uniformemente a lo largo de! segmento de longitud h. se tiene:

204 RESISTENCIA D E MATEKIALES

de donde obtenemos: Tt71

5 = - b i,

llamada f¿rt~iirlu de Colignon, que nos permite calcular la disrribución de tensiones tangensiales en las secciones rectas.

A [ ser las tensiones tangenciales en las secciones longitudinales (llamadas también tensiones rasantes) iguales a las correspondientes en las secciones rectas, la fórmula de Coligiion es válida para el cálculo de ambas.

Una primera consecuencia que se deduce de esta fórmula es que las tensiones cortantes son nulas en los puntos superior e inferior de la sección, ya que para ambos se verifica ni = O; en el punto superior por ser nula el área sombreada, y en el inferior por ser ni el momento estático de toda la sección, que es nula al ser el eje z principal de inercia.

A modo de ejemplo veamos cuál es la distribución de tensiones tangenciales en la sección recta de un prisma mecánico sometido a íiexión simple, aplicando a secciones de diferentes formas la fórmula de Colignon.

a) Sección rectangular (Fig. 4.31)

El momento estitico del área rayada es:

y el momento de inercia de la sección:

Sustituyendo en (4.7-6), se obtiene:

1 L ,A

siendo R = /lb el área de la sección.

3 T T,,, = - -

2 R

Figura 431.

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE TENSIONES 205

El diagrama de tensiones tangenr:~les según la altura de la sección es una parábola. LA tensión tangericial máxima se presenta en la fibra neutra (y = 0)

y representa un 50 por 100 más del que resultaria si T se repartiera uniformemente en toda la superficie.

b ) Sección circular (Fig. 4.32) . - El momento estático es:

Figura

y el momento de inercia:

Sustituyeíido en 13 fórmula de Colignon, se obtiene:

El diagrama de tensiones tangenciales según la altura de la sección es una parábola. La tensión tangencia1 máxima se presenta en la libra neutra (y = 0)

y resulta ser un 33 por 100 más del valor que resultaría si T se repartiera uniformemente en toda la superficie.

e 206 R E S I S T E W C I A DE X l A T E R I A L E S

c) Sección iriangular (Fig. 4.33)

En este caso se tiene

b') en el alma

0 d t Figura 133.

La Icy de tensiones cortantes será: 2

El esfuerzo rniximo se presenta en la fibra media ( y = O) y vale:

El valor máximo se przsenta a distancia h/6 dc la fibra neutra:

Q = área del alma ; C, = área del ala

y resulta ser un 50 por 100 más del valor que resultaría si T se repartiera u n i f ~ ~ m c m e n t c en toda la superlicie. y consideramos pequeños los valores de e y e , frente a h y h tendremos:

í2 = 2(h - e , ) e = 21ie

R , = 264,

4bh3 2(2h - e ) ( / ] - e,)' 11' I = - - - - (R + 6Rl)

3 3 - 3

d) Sección doble te simetrica (Fig. 4.34)

La T varia según tres leyes parabólicas, de las que por simetria bastará estiidinr dos (en el ala y en el alma).

a') en el ala

RESISTENC1.A DE M A T E R I A L E S

Por tanto. la T , , ~ , es prácticamente la misma que resultaria si la r se repartiera uniformemente en la superficie del alma. La aproximación szri mayor cuanto menor sea 21 valor de j..

e ) Sección rómbica (Fig. 4.35)

I- 1 ~ i g u r p 4.35.

T ti El esfuerzo en la fibra neutra (y = O) vale T = - 3 pero el máximo se da en y = - y

R 4 9 T

vale rmI , = - -. que representa un 12.5 por 100 más del que resultaría si se repartiera 8 fl

uniformemente el esfuerzo cortante T e n toda la superficie.

De los casos de sección circular. triangular o rómbica se deduce el carácter aproximado del razonamiento y, por ende, de la fórmula de Colignon obtenida.

En efecto, al no ser los lados laterales de la sección paralelos al eje vertical y haber obtenido la tensión tangencial r paralela a este eje, en los puntos próxirnos a los lados, T

tendrá componentes según la tangente y según la normal al contorno de la sección - (Fig. 4.36).

)'I

Por el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales, de ser esta descomposi- ción correcta, tendria que estar solicitada la superficie exterior del prisma mecánico por fuerzas tangenciales en sentido longitudinal, cosa que no es cierta.

Para obtener con rigor la distribución de tensiones tanp:nciales habría que aplicar los métodos complejos que utiliza la teoría de la Elasticidad. El resultado que se obtiene, en la mayoría de los casos. pone de.manifiesto que las componentes de r sobre el eje z son de un grado de importancia muy pequefio respecto a las componentes respecto del eje y, lo que justifica que se admita la fórriiula de Colignon para obtener, con suficiente aproximación, los valores de las tensiones tangenciales producidas por el esfuerzo cortante.

Por otra parte, si comparamos los valores de la tensión normal máxima a,,, y la tensión tangencial máxima rmiX de un prisma mecánico trabajando a ílexión simple, por ejemplo, en la sección media de la viga recta de sección rectangular simplemente apoyada con carga concentrada P (Fig. 4.37), tenemos:

El cocicntc de ambas:

r,,, 3 P 3PI I h - = - .- - - - - u,,, 4bli ' 2bli' 2 1

es del orden de /1/1. Este resultado hace q w el cálculo de la resistencia en ílexión simple se haga, si n o se trata de perfiles delgados, teniendo en cuenta sol amen!^ las tensiones normales debidas al momento flector y no tomando en consideración las tangenciales debidas al esfuerzo cortante.


Diagrama de hf

Figura 437.

4.8. Tensiones principales en flexión simple

Hemos visto cómo cii Ins secciones rectas de una viga sometida a ílexión simple existen tensiones normales, dadas por la i c j <le Navier, y tensiones tangenciales, que se calculan por la fórmula de Colignon. Si consideramos una viga simplemente apoyada, de sección constante y carga continua, de los diagramas de momentos Rectores y esfuerzos cortantes se deducen las variaciones relativas a las tensiones normales y tangenciales en los planos de las secciones rectas (Fig. 4.38).

~ o r n e n k s ílectores I

'4

Esfuerzos cortantes

'1 ! I

Figura 438.

En las secciones extremas la distribución de esfuerzos cortantes es de tipo parabólico. mientras que los csruerzos normales se anulan. Si vamos recorriendo las secciones, a ~ a r t i r de uno de 10s extremos. a medida que nos acercamos a la sección de momento flector máximo disniinuyen las tensioiics cortantes a la vez que aumentan las normales

En la seccirjn del rnáximo momento flcctor se anulan las tensioiies tangencialcs y 13

tensión normal mixima se presenta en los puntos más alejados de la hbra neutra. Salvo en esta sección en la que [as tensiones normales son tensiones principales en todos 10s puntos de ella, en cucilqiiicr otro punto de la viga el cálculo de los valores de las tensiones principales no es tan inmediato.

En una viga como la indicada en la Figura 4.38, que admita plano vertical de simetria. las coniponeritcs de la matriz de tcrisiones en los puntos de la misma son:

Se observa que las tensiones son constantes en los puntos pcrtenccientes al eje z. Sc

trata, por tanto, de un estado tensional plano. En cada punto P existen dos tensionc. principales a, . 0:. contenidas en el plano paralelo al de simetría de la viga.

Para un dctcrrninado pynto P la tensión máxima será la niayor de las tensiones priricipalcs, cuyos valores se pueden obtener fácilmente mediante la construcción gráfica de Mohr (Fig. 4.39-b).

Ahora bien. por medio de la ley de Navier y formula de Coiignon

(h)

Figura 139.

2 12 RESISTENCIA DE MATERIALES

siendo ,II y T el moniento Ilector y esfuerzo cortante. respectivamente, que actúan en la sección recta a la que pertenece el punto P. podemos expresar las tensiones principales en función de ,L/, T y de la distancia y del punto a la fibra neutra

e,xpresión que nos permite calcular el valor de la tensión máxima en los puntos de la sccción que se considera.

Del mismo circulo de klolir se deducen las direcciones principales definidas por el ángulo O, tal que

es decir, las direcciones principales en cualquier punto de la seccion están en un plano paralelo al de simetria vertical de la viga y la dirección principal 1 forma con el eje longitudinal de la misma un ángulo O, contado en sentido horario, como se indica en la Figura 4.39-c.

Para estudiar cómo varian las direcciones principales se pueden utilizar las lineas isostáticas. Se denominan así a las curvas tales que en cada uno de sus puntos las tangentes son coincidentes con las direcciones principales. Existen dos familias de lineas isostáticas que son ortogonales entre si.

De la ecuación (4.8-3) se deduce lo siguiente:

a) En las fibras extremas superior e inferior una familia de isostáticas es normal a la fibra, ya que en ellas r = O y, por tanto

es decir, las isostáticas en los bordes superior e inferior de la pieza los cortan ortogonal o asintóticamente.

b) En la fibra r.eur3;i: a = O

es decir, en los puntos de la línea neutra las isostiticas corta a ésta bajo ángulos de + 45".

En la Figura 4.40-a se han dibujado las isostáticas en el caso de una viga de sección rectangular con carga P en su extremo libre, obtenidas mediante la determinación en un cicrto número de puntos de las direcciones principales por el método grafito de Mohr, como se ha indicado anteriormente, y que es el método que se sigue en Resistencia de Ma [eriales.

1 En la Fisura 1.30-h se han dibujado, asimismo, las isostaticas de la misma viga anterior / sometida al mismo estado de carga, pero obtenidas experimentalmente mediante 10s 1 métodos propios de la fotoelasticidad, es decir, se obtienen las isoclinas en el banco

íotoelistico y a partir de éstas, mediante integración gráfica, se llega a las isostáticas.

Figura 4.10.

De la observacióii de ambas figuras se desprende que las isostáticas determinadas por la Resistencia de Materiales coinciden con las obtenidas experimentalmente, salvo en las zonas próximas a la aplicación de las cargas, como, por otra parte, establece el principio de Saint-Venant.

4.9. Vigas armadas

El diseño de una viga que va a estar sometida a nexión simple se suele reducir a la elección de su sección recta entre perfiles comerciales normalizados, de tal forma que las tensiones máximas en la viga no superen los valores de las tensiones admisibles.

Si las tensiones admisibles a tracción y a compresión son iguales en valor absoluto, se debera elegir una viga cuya sección recta tenga su centro de gravedad a mitad de su altura. Si, por el contrario, no son iguales en valor absoluto, es aconsejable emplear vigas de sección recta asimétrica tal que las distancias del centro de gravedad a las fibras extremas estin aproximadamente en la rnisma relación que la de los valores absolutos de las tensiones admisibles.

De las fórmulas de Navier y Colignon se puede deducir la forma estimada de la sección recta ideal de un2 viga sometida a flexión simple, en el caso de ser iguales en valor absoluto las tensiones admisibles a tracción y a compresión, con la condición de utilizar la menor cantidad posible de material.

En electo, de la ley de Navier, aplicada a la fibra más alejada de la neutra

se desprende que para soportar el momento flector M, la capacidad resistente será tanto mayor cuanto más pequeña sea la tensión máxima o, lo que es lo mismo. cuanto mayor sea el momento de inercia I,, para un valor de y,,, constante.


Esta condición se verifica cuando la superficie de la sección se encuentra lo más alejada posible del eje z, como seria el caso indicado P-I la Figura 4.41-a.

Evidentemente. desde el punto de vista constructivo, seria imposible la utilizacijn de tal perfil, por lo que la continuidad de la superficie nos Ilevaria a la obtención de una sección ideal como la representada en la Figura 4.31-h.

Por otra parte, de la fórmula de Colignon

Tni T = -

bfz

se deduce que la tensión tangencia1 máxima originada por el esfuerzo cortante T, que se presenta, como vimos, en la fibra neutra, será tanto menor cuanto menor sea ni . y esto se verifica cuando sobre la fibra neutra se concentra la mayor superíicie posible del perfil. Aunque la anchura b e también tienen influencia, éstas son menores que la del momento estático ni.

La sección ideal para soportar el esfuerzo cortante será tal como la indicada en la Figura 4.4 1-c.

Figura 4.41.

Por taiito, la sección ideal de la viga para trabajar a flexión simple será la super- posición de las dos secciones ideales para el momento ,M y para el esfuerzo cortante T, que acabamos de ver (Fig. 4.41-d).

Teniendo en cuenta que la tensión debida a i esfuerzo cortente suele ser menor que la debida al momento flector, este perfil se acercará bastante en su forma al perfil doble T . (Fig. 4.41-e). De ahi la importa;icia de este tipo de vigas y de las llamadas uigns arniodns o oigas en clable T, de cuyo estudie nos vanos u ocupar.

Una viga armada está compuesta de diversos perfiles laminados unidos entre si mediante roblones, tornillos O cordones de soldadura, formando una sección cloble T.

Las vigas armadas se construyen, generalmente, cuando es necesario obtener secciones con forma o dimensiones diferentes a las de los perfiles comerciales.

En una viga armada se distinguen las siguientes partes fundamentales: hierro plano, de altura I I , , que constituye el alma de !n viga; hierros planos (dos o más), situados en las partes superior e inferior, que se llaman platabandas.

Nos referiremos en primer lugar a las vigas armadas remachadas, en las que además de los elementos citados hay que considerar como parte fundamental cuatro hierros anguia-

T E O R l A G E N E R A L D E L,\ FLEXION. ANALISIS D E T E Y S I O N E S 215

l Figura 4.42. 1

res que van a actuar timo elementos intermedios para la unión del alma y platabandas por medio de remaches.

Se admite la hipótesis de que las partes que componen la viga armada se unirán d s forma tal que su comportamiento sea el mismo que si la viga fuera una pieza única El cilculo de una viga armada constará, pues, de dos partes. En la primera. se dimensiona 13 viga como si fuera maciza tenieiido en cuenta los valores miximos de las magnitudes

1 ílectorns a que va a estar sometida. En la segunda, sc dimerisionan los elementos de unión. 1 Es decir, una vez fijadas las dirnensiories del alma y de las platabandas, el diseño de una

viga armada sc rcduce al cl;lculo de los remaches de unión entre alma y angulares, asi ' como de los rcniaches dc unión entre angulares y platahandas. deterniinando el di imetr i

1 dc los reniactics y el paso de ronciclicirlo, es dccir, la distancia entre los ejes dc dos remaches consecutivos. Generalmente, el diamctro dc los taladros está determinado por consideraciones constructivas y suele venir indicado en los catálogos de perfiles laminados.

Consideremos la viga armada indicada en la Figura 4.43 trabajando a flexión simple. Para el dimensionamiento de la sección se considera que esta es neta, es decir, se descuen- ti111 los huccas de los elenientos de unión, aunque en la práctica se considere en la mayoria de los casos la sección !lena. sin descontarlos.

Todos los remaches van a estar sonietidos a cortadura. En efecto, los remaches que 1

0 i o + A n

21 6 RESISTENCIA DE SIATERIALES

unen platabanrJ:is y angulares han de soportar los esfuerzos rasantcs que existen en la superlicie plana común de ;imbas partes de la viga armada. También, los remaches que unen angulares y alrna han de soportar los esfuerzos rasantes que se engendran entre alma v el conjunto formado por angulares y platabanda de la correspondientt cabeza de la viga armada.

Para la determinación del paso de remachado consideraremos la porción de viga que comprende una pareja de remaches con sus ejes en un plano medio, lirnitadá por dos planos que cquidisian de esta pareja de remaches y las otras dos parejas de remaches coniiguas a un lado y a otro de ella (Fig. 4.43-c).

Sobre la sección de la izquierda en la que actúa un momento ílector X f existe una distribución de tensiones normales a, y sobre la sección de la derecha, en la que el momento flector es 2I. f + AM, las tensiones normales serán u + A o (Fig. 4.43-c). Esta diferencia de tensiones normales es causa de una fuerza rasante que tiende a hacer deslizar el ala de la viga, formada por la platabanda y los dos angulares, a lo largo del eje lonpitudinal del alma, deslizamiento que es impedido por Las fuerzas de rozamiento e.~isrentes entre las superlicies en contacto de ala y alma y por los remaches que unen angulares y alma.

Suponiendo despreciable el efecto de rozamiento, la fuerza F que iictúa sobre cada pareja de remaches será:

estando extendida la integral a la superficie R,, formada por la sección recta de las plata bandas.

Por la ley de Navier, al ser constante la sección, podemos poner

y como de la ecuación de momentos en el equilibrio de la rebanada considerada (Figura 4.43-c)

( M + AiI.1) - hl - Teb = O*

se deduce:

AM = Te, (4.9-5)

la ecuación (4.9-4) toma la forma

siendo n i el momento estático respecto al eje z de la sección recta de la platabanda.

En el caso que T sea variable en la porción de viga considerada, se tornara un valor medio T*.

TEORLA GENERAL DE LA FLEXION. AN.ALlSlS DE TENSIONES 217

Ahora bien, esta. f u e r a F es absorbida por la pareja de roblones a través de sus secciones rectas pertenecientes al plano de separación entre platabandas y angulares. Suponiendo un reparto uniforme de F en estas secciones, la tensión cortante r en ellas verilicari:

2s decir:

dc dondc se obtiene la expresión'del valor máximo del paso de remachado en las platabandas

n (/'Ir Tadm el <

2 Tni

Por otra parte, los roblones que unen angulares al alma están sometidos a doble cortadura como consecuencia de la existencia de una fuerza rasante. Razonando análoga- mente a cómo se ha hecho para el cálculo de la fuerza F que actiia sobre los roblones que unen los angulares a la platabanda. llegariamos a obtener como expresión de la f u e r a rasante

en docde e , es el paso de remachado en el alma, y m' el momento estático respecto del eje z de las secciones de la platabanda y de la pareja de angulares de una de las cabezas de la viga armada (Fig. 4.4-a).

Figura 4.44.

U b

b +

Figura 4.45-d. b

Los vértices de la poligonal, que pertenecen al contorno del di&rama de momentos flectores. determinan, como Iácilrnente se deduce de la observación de la Figura 4.45-(1. las longitudes teóricas de las platabandas. En la prictica se prolongan una longitud b a ambos lados.

Los espesores de las platabandas se fijarán de tal forma que se verifique en el tramo con n platabandas:

siendo IVzfl. el modulo resistenle de la seccibn con las n platabandas, y iI&mii el momento nector máximo en el tramo correspondiente.

4.10. Vigas compuestas

En todo lo ariterior hemos considerado que el material del que está fabricada una viga trabajando a nexión era homogéneo. Pero existen razones que pueden aconsejar utilizar en las estructuras vigas que estén construidas de más de vn material. A estas vigas se íds denomina vigas cotnpiiesras. Son ejemplos de secciones de vigas compuestas las indicadas en la Figura 4.46, aunque el ejemplo más generalizado de este tipo de vigas lo constituye las vigas de hormigón armado (Fig. 4.464).

. , Figura 4.46. (4

TEORIA G E N E R A L DE LA FLEXION. ANALISIS DE TENSIONES 221

1 La hipótesis que se admite en este tipo de vigas es la de la conservación de las secciones planas, es decir, las secciones rectas que son planas antes de ]a deformación permanecen planas despuis de ella.

Consideremos la viga formada por dos materiales, cuya sección es la indicada en la Figura 4 . 4 7 4 Suponiendo que esta sección esti sometida a un momento positivo M, la deformación que e.xperimenta la sección en sentido longitudinal será tal como la representada en la Figura 4.174.

(b) Figura 4.47.

Unas fibras se alargan y otras se acortan, existiendo. como en el caso de vigas de un solo material. una fibra que no se alargari ni acortará: es la íibra neutra, pero ahora esta fibra neutra no contzndri al baricentro de la sección.

Las leyes de lar tensiones normales en cada una de las partes se pueden obtener aplicando la Isy de Navier en su forma (4.2-3)

siendo E, y E2 los módulos de elasticidad de los materiales 1 y 2. respectivamente; p, el radio de curvatura de la fibra neutra en la sección considerada; e y, la distancia de la fibra quz se trate a la fibra neutra. La distribución de tensiones en la sección se representa en la Figura 4.47-c.

Ahora bien, la fuerza que se ejerce sobre un elemento de i r e a dR del primer material es

mientras que la expresión de la fuerza que se ejerce sobre un elemento de área I y a l a OQ

del segundo material es

222 RESISTENCIA DE XlATERlALES

Si hacemos

la expresión (4.10-3) toma la forma

De la observación de las expresiones (4.10-2) y (4.10-4) se dcdiice que la misma fuerza dl;, se podria ejercer sobre un elcriiciito de área n d R del primcr niateriril. es decir. la rcsisteiicia a la flexión de la viga compuesta sería la misma si toda la sección fuera del primer matenal, pero muitiplicando el ancho de la parte del segundo material por el factor t1. Se obtiene de esta forma la llamada sección ~rurtsforrirada. En la Fisura 4.48 se representan las secciones transformadas para los casos de viga binietálica (ri) y viga de madera reforzada con placas de acero (h). En ambos casos la seccion transformada la hemos referido al primer material, pcro es evidente que podianios haberla rcícrido al segundo sin mas que haber multiplicado el ancho de la parte del niaterial 1 por el factor

Figura 4.48.

Con la utilizacicn de la sección transformada es inmediata la obtención del eje neutro. es decir, la intersección de la fibra neutra con el plano de la scccibn recta. En efecto, de la condición de ser nulo el esfuerzo normal en la sección

J , a l i * + J z G 2 d * = O (4.1 O- 5 )

que podemos ooner en la forma

r r r- C -

se deduce que el eje neutro de la viga compuesta contiene el ccriiro de gravedad de 1;i

sección transformada. Para la determinación de las leyes de tensiones normales en íuncion del momento

flcctor rLf expres;ircmos la condición de ser éste igual. con si-no canibi:itI(>. al rnomcnto de las fuerzas engendradas por las tensiones normales en anibas partes de la seccion.

siendo 1, e I I los momentos de inercia de las secciones de los materiales 1 y 2. respectivamente, respecto del eje neutro.

De aquí se obtiene^ 1 i\ 1 - = (4 10 Y ) P El¡, + E212

siendo el denominador E , 1, + El¡, la rigidez a la /le..íióti c/c, /o i.i.yci coriipir~,.ctn. Sustituyendo la expresibn de la curvatura en las ecuricioncs (4.10-1) se obticricn 135

lsyes de disiribiición de las tensiones normales

Se observa que en el caso qiie las dos partes fueran del niismo material: E , = E, = E: 1, + 1, = I z , ambas expresiones se reducen a la fórmula de Navier.

Como antes se ha dicho. quizás el ejemplo más extendido de vigas compuestas lo constituya las visas de hormigón armado. El hormigón es un material qiie tiene una gr..!; capacidad resistente a conipresión. pcro no asi a tracción. Por eso. en las vigas 8~ hormigón que van a es:ar rometidvs ~1 flexión se cc~lociiii unos redondos de acero. llamados arr,rad~rrns, que van a absorber los esfuerzos de tracción (Fit. 4.49-a)?

( ( 1 ) Figura 4.49.

En las vigas de hormigón armado se supone que la resistencia a tracción es nula, por lo que en la sección transformada (Fig. 1.19-b) se prescinde de Iri zona sometida a tracción. La sección trarijí~rm;ida del acero seri tiA, siendo .A el irea de la seccibn de las armaduras V 11

es la relación entre los niodiilus de elasticidad del acero y dcl hormig0n. El eje n u t r o . dado que contiene el centro de gravedad de la secciirl transformada, se

puede determinar imponiendo la condicibn de ser nulo respecto de él el inomento estitico de dicha sección

Se obtiene asi la ecuacion de segundo grado

c~iya raiz valida dstennina la distancia del eje neutro a la fibra superior cit la sección de la viga compuesta

Las expresiones de las tensiones en hormigón y acero, en virtud del (4.10-9), son

ME, a* = -

M y = - ---- M y = -- v

EA[, + E,[, fk + lzra - 1: -

siendo:

Ih e I,, los momentos de inercia respecto del eje neutro de la parte de hormigón sometida a compresión y del acero de las armaduras, respectivamente. 1,. el momento de inercia de la sección transformada, referida al hormigón, respecto del eje neutro.

Una vez determinada la situación de éste, la expresión de seri

I = - bu3 + nA(h - a)' = Ih + t i l a

3 (4.1 O- 14)

TEORIA CENER.\L DE LA FLExION. ANALISIS DE TENSIONES 225

4.1. Estudio de las tensiones cortantes en el caso de perfiles delgados sometidos a flexión simple

Llamaremos perfil (/e pared (/eIgu(/u o, simplemente, per/il &yado a un prisma mecánico cuya seccion recta esta limitada por dos curvas próximas, cuya distancia e entre ellas se denomina espesor de Iu pured.

Anteriormente se ha indicado que en el cilculo de una pieza que trabaja a flexión simple, si no se trata de un perfil de pared delgada, juegan un papel importante las tensiones normales debidas al momento t,ector y tienen poca importancia las tangenciales debidas al esfuerzo cortante. .'

Por el contrario, cuando consideramos perfiles delgados, el conocimiento de cómo se distribuyen las tensiones tangenciales en la sección recta del perfil tiene un extraordinario interés.

Figura 4.50.

Con objeto de ir fijando las ideas, consideremos el perfil delgado representado en la Figura 4.50 sometido a una carga vertical situada en el plano principal Gxy. La distribu- ción de tensiones norniales se resirá por la ley de Navier. Por ello, al considerar un corte ideal i ~ i t i , riormal a la línea media del contorno, si razonamiento para calcular el valor de la tcnsión cortante r, i g u a l 3 la tensión rasante en el plano paralelo al eje longitudinal del perfil, es idéntico al seguido para la obtención de la fórmula de Colignon. Por tanto, la expresión de la tensión tangencia1 en los puntos de la traza del plano rnn de corte será

en donde T, es el esfuerzo cortante en la sección en la dirección del eje y; m,, el momento estático de la sección rayada en la figura respecto del eje z; e, el espesor del perfil, e I,, el momento de inercia de toda la sección respecto del eje z.

Hay, sin embargo, una diferencia importante respecto al estudio hecho anteriormente sobre la tensión cortante en perfiles no delgados. Allí suponíamos que la tensión cortante tenía la dirección del eje vertical, no obstante hacer la observación de que esta suposición estaba en contradicción con el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales. En

226 RESISTENCI..\ DE MATERIALES

los perfiles delgados. por el contrario, supondremos que las tensiones tangenciales son paralelas al contorno y sensiblemente constantes según el espesor.

Como la dirección de la tensión tangencia1 en un punto depende de la forma del prril y no de la carga aplicada, si las cargas son tales que el esfuerzo cortante T e n la scrción tiene componentes 7;. y T= respecto de los ejes principales de inercia, la fórmula (3.1 1-l) sc convertirá en:

r , 1 ? 1 ; Kf?lv - - . - -- + -

el: el,

expresión del valor modular de la tensión cortante en los puntos de la sección del perfil. La dirección ya hemos indicado que es paralela al contorno. En cuanto al sentido, la reciprocidad de las tensiones tangenciales permite determinarlo sin que exista ambigüedad.

El producto re recibe el nombre dej711jo de cortadura y lo designaremos por r . Es evidente que en el caso de un perfil de sección abierta, corno es el iridicado en la

Figura 4.50, la fórmula (4.1 1-1) determina el valor de la tensión tangcncial r. De esta fórmula se deduce que en los extremos del perfil r = 0, que tiene que ser así, pues, en caso contrario tendría que estar sometido en el borde a una tensión tangencia] que rio existe.

Pero cuando se trata de uii perfil de sección cerrada, ya no se puede afirmar que esta fórmula nos da el valor de la tensión tarigencial, porque, ¿qué significado tiene entonces cl momento estático ni?

1,

Figura 451.

Consideremos la porción de perfil delgado de sección cerrada conteriido entre dos planos indefinidamente próximos, separados entre si dx, y en ella la parte coniprendida entre las secciones longitudinales que contienen los puntos A y B (Fig. 4.51).

Como consecuencia de actuar en la sección izquierda una tensión normal a y en la de la derecha a + do, existirá una fuerza resultante, de valor

TEORIA GENERAL DE L h FLEXION. ,ANALISIS DE TENSIONES 227

en donde rti es el momento estitic0 de 13 superficie rayada 0' en la Figura 4.51 respccto al el";.

Si e , y soii los cspcsorcs de la pared del en 11 y B. y r , y r,, las tcrlsiorlcs

tanecnciaies rcspectivas. proyectando sobre el eje .\- las fucrrLis que iictúaii sobre ~1 - elsmerito de perfil indicado en 13 Figura 4.51. se ticne

T171- r8 . e8 (/.Y - r., . e,, (t.\- - -,+ (/.Y = O (4. l 1-41

de donde:

Esta expresiOn nos permite obtener el flujo de cortadura r en una seccióii transversal de la pared del perfil si es coriocida esta magnitud en otra. Es evidente que si la seccibn del perfil tiene un cje dc sinietria y el esfuerzo cortante tiene su dirección y esti contenido en el plano loiigitudinal que le contiene, los puntos dc intcrscccion del ejc con el contorno son puiitos de cizaliamisnto nulo. como fi~cilmcnte se deduce. por rlizon dc sinietria. Tornando uno de estos puntos como punto .a, la fórinula (4.1 1-5) nos permite conocer el flujo de cortadura a lo largo de todo cl contorno.

Pcro si la scccion es de forma cua1quier:i. la ccu;ición (4.1 1-5) es insuficiente para ciilcularlo. Consideremos en este caso un recting~ilo clcmental. cn un plano tanccrite al prisnia, limitado por dos eencratrices /IB, CD, y dos arcos ,4C. BD. de dos secciones indefinidamente prbximas (Fig. 3.52).

Al producirse la delormación del perfil, una vez cargado. las generatrices A B y CD del prisma no giran. Sin embargo. las aristas AC y BB del rectingulo giran un angulo 7. tal que E, = y lis, siendo ds la longitud del arco AC.

Si llamarnos ir al desplazamiento de A en la dirección del eje .y, el desplazamiento de (111

C scri u + - t i s . l is

Figura 4.52.

El desplazaniiento rel;iiivo lor~gitudiiial del plinto C respecto del /I seri:

y como la integral curvilíneli a lo largo del contorno cerrado c es

se tiene. finalmente

Si susiituimos ahora T por su expresión (1 .1 1-S), tenemos

de donde:

expresión que, como vemos. nos permite calcular 1,. Una vez conocido el flujo de cortadura t, en el punto A, origen de arcos, la ecuación

(4. I 1-5) nos permitirá obtener el flujo de cortadura en cualquier otro punto del contorno.

4.12. Secciones de perfiles delgados con eje principal vertical que no lo es de simetría. Centro de esfuerzos cortantes

Coiisideremos ahora un perfil de sección aoierta que presenta simetría respecto al eje principal horizontal, pero no respecto al eje principal vertical, como es el perfil cuya sección sernicircular se indica en la Figura 4.53. Supondremos constante el espesor e y que el esfuerzo cortante que actúa en la sección está contenido en el plano Gy.

Como

aR3e 1. = 2 [' eR(R sen o)' do =

rn, = eRR sen CI dzi = - R2e tos 0

T E O R I A GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE TEUSIONES 229

Ili tensión cortante en la sección mn es, en viriúd de la fórmula de Colignon

T/?l: = - - = r -3 2T c o s e

rrRr

Podemos comprobar que la resultante de las fuerzas de cortadura engendradas por estas lensiones tangenciales en toda la sección es igual al esfuerzo cortante.

Eii electo. proyectando las fuerzas de cortadura sobre el eje vertical y tomando sentido positivo el descendente, se tiene

Si calculamos ahora el momento de las fuerzas de cortadura respecto del centro O del arco, tenemos

Esto nos indica que ap!icando el esfuerzo cortante en el plano vertical, la reducción del sistema de f u e r ~ a s de cortadura de la sección recta en el centro O del arco se compone

4R de una fuerza, igual al esfuerzo cortante T, y un momento M. = - x T,, (Fig. 5.54-U)

Si rediicimos el sistema de fuerzas al centro de gravedad G (Fig. 4.54-b), la resultante T, es la misma y el momento

RESISTENCI : \ D E M A T E R I A L E S

(6) (4 Figura 454.

Veamos que en el caso que nos ocupa existirá un punto C en el eje i la1 que el sistema de fuerzas de cortadura que actúan en la sección recta del perfil se reduzca exclusivamente a la resultante T;., anulándose el momento. Este punto C, que llamaremos cetlrro de esjirerios sor~anres, no es otro que el de interseccibn con el eje z del eje central del sistema de vectores constituido por las fuerzas de cortadura sobre I;i sección recta dcl perfil.

La posición del cenlro de csfuer:os corronies C se determinará con la condición de pertenecer al eje z y de que se verifique en el la nulidad del momento

TEORIA G E S E R A L DE LA F L E S I O X . A N A L I S I S DE T E N S I O N E S 231

Figura 4.55. 1

en la secci8n actúa un esfuerzo cortante 7 dc coriiponcniei 7, y < respecto de los q c s G i y Gz. respectivamcnie.

El momento de las íuerzas de cortadura respccto de un punto C dcl plano de la scccicr~ es

h T c = . K + = x c=O o, lo que es lo mismo, en escalares

(4.12-5) siendo = r (1s una magnitud que depcridt. exclusiramcn~e de las caracteristicas georn.2- (ricas de la sección y de la posición del punto C, que dcnominaremos iirea secrorio/

1 elei?ietital, y estando extendida la in te~ra l a toda la liriea nicdia de la sección recta del

de donde:

perfil. Sustituyendo T por su expresión (4.1 1-2). válida para este caso. tenemos

(J. 12- 101

Integraremos por partes cada una de estas integrales Por tanto, el sistema de fuerzas de cortadura que se engendran en la sección recta del

perfil de pared delgada es equivalente a una fuerza igual al es fuerz~ ccrtante que ictiia en c f t u

dicha sección y a un momento torsor alrededor del eje longitudinal del perfil. del valor = t ] - (4.12-11)

dril: / ya re anula en 10s puntos A y O, extremos de la linca media del contorno. Y - siendo C el cerlrro ue esfuerzos corlarzres. d o

Quiere esto decir que a1 efecto de flexión producida por la carga aplicada en su plano 1 igual a la coordennda del clcnicn~o de área c(* de la secciun. principal vertical se superpone un efecto dc torsión que producirá un giro de la scccióri Anilogarncntc haríamos con la segunda ¡ntegr:rl (4.12-:o), Con 10 que Ilcgaríamos a transversal de la placa, como consecuencia de la no simetría del plano vertical.

Veamos ahora cómo calcular el centro de esfuerzos cortantes en el caso gencrai dc que

la sccción recta del perfil n o presente ningún eje de simetría. (4.12-!2,1 Sea un perfil de seccion arbitraiin, como la indicada en la Figura 4.55. Suporicmoc que

232 RESISTENCIA D E M, \TERlALES 1 T E O R l A G E N E R A L D E L A FLEXION. A N A L l S l S D E T E N S I O N E S 233

El punto C ssr i el centro de esfiierzos cortantes si esta expresión se rtnlilri, independien- tsrnents ds los valores qus tengi~n 7, y Y-, es decir, si

l ... Ccnsideremos ahora dos polos P, y PL, a los que correspondeii las áreas sectoriales

wI(.s) y OJ?(S), respectivamente, y veamos cuál es la relación entre anibos valores. Toni:indo los sistemas de ejes indicados en la Figura 4.58 tcnemos

Estas serin, pues. las ecunciones que definen el centro de esfuerzos cortantes del perfil que. como vernos, no depende del esfuerzo cortante aplicado, sino solamente de las caracteristicas geometricas de la sección recta del mismo.

Haremos. firialmente, algunas observaciones sobre la forma práctica de aplicar estas ecuaciones.

La niaenitud

w2(s) = SI:, dy. - y , k2 = -S:(=,-- c,)dy, - ( y , - b , ) é , =

= w ~ ( s ) - ~ ~ ( 1 , - yOi) + b2(z1 - zO1) (4.12- 1 7)

sirnilo (jrOl, zOl) las coordenadas:del origen O de la abscisa curvilinea s. Como z, = z - c,; y , = y - b,, podemos expresar esta relación en funcion de las

coordenadas del punto de la linea media del contorno, respecto de los ejes principales de inercia de la sección.

llamada área secrorrul, presupone la elección de un punto P, llamado polo, y la elección, tambikn, de un punto arbitrario pero fijo O sobre la línea media del contorno, como origen de la abscisa curvilinea s (Fig. 4.56).

Vemos que el i rea sectorial es el doble del área barrida por el radio vector con origen en el polo y extremo en la linea media del contorno. Convendremos en tomarla positiva si el radio vrclor gira en el sentido de 13s agujas del reloj. y negativa en caso contrario.

El i rea vectorial asi definida será una función del arco S y depeiideri del origen de arcos y de la posición del polo P.

Tomando un sistema de ejes con origen en el polo P (Fig. 4.57), el área sectorial elemental se puede expresar de la forma siguiente:

Supong;inios ahora que tomamos un polo arbitrario P, y hacemos coincidir P, con el centro dc esfuerzos cortantes C. Teniendo en cuenta la expresión (4.12- 18). las ecuaciones (3.1 7-1 3) se pueden poner de la forma sguiente:

y, por consiguiente, el área sectorial en un punto de abscisa curvilínen s sera, de acuerdo c0.n el convenio de signos adoptado

J. i w d R = z[o, + y,(: - z,, - c,) - :,(y - y,, - b,)]dO = J.

De estas ecuaciones se deducen las expresiones de las coordenadas (y,, z,) del centro de esfuerzos cortantes respecto del sistema de ejes con origen el polo arbitrario P,

Figura 4.56. Figura 457. Figura 458.


EJERCICIOS

IV.1. Hallar los módulos resistentes IV,, W: del perfil en ti indicado en la Figura 1v.l-a.

I Cotas cn cm I

Figura iV.1-a. Figura IV.l-b.

Respecto de los ejes Gyz, principales de inercia d e la sección. las expresiones de los momeritos resistentes Vi, y lVZ son:

Calculemos las coordenadas del centro d e gravedad G (y;, z;) del perfil respecto del sistema de ejes Oy'i'.

Por razón d e simetria y; = 0. Para el cálculo d e ~2 supondremos descompuesta la sección recta del perfil cii tres

superficies, cuyos centros d e gravedad y áreas, respec.' tivas son:

G, (4.5; 2.5) ; n, = 5

G2 (3; 0.5) ; R2 = 8 G3 (-4.5; 2.5) ; n3 = 5

X Rizi 2(5 x 2.5) f 8 x 0.5 29 í G = - - - = - -

Z ni 18 18 - 1.61 cm

Respecto a los ejes d e este mismo sistema d e referencia, los momentos de iricrcia son:

Los momentos de inercia respecto de los <es principales de inercia scriin. en viriud dcl teorenia dc Stciner.

791 I , = 1,. - Q:; = 86 - 1 8 x 1- = 39.77 cm'

18'

1 Por tanto. los módulos resistentes pedidos serin:

IV.2. Una viga. cuya sección rectd es la indicada en la Figura 1V.Z-o. trahdja a fleuión simple, ds tal forma qiic en una determinada seccihn la fibra superior esti sometida a una tertsi0ii di compresión o,,,, = 1000 kp/cnl2. niientras que en la inferior l a tensión es de iraccibn ) \I

talor es o,,,, = 500 kp/cni2. Se pide:

1P Situación de la fibra neutra. 2." Calculsr la anchura h del 313 de 13 riga. 3." Deierriiinar el riionutnto flccior que aciua en la seccihn considerada.

Figura IV.2-o. Figura 1V.2-h.

1." Conocidos los valores de las tensiones normales en las fibras extremas se deduce inmcdiatarnente la situaciGn de la fibra neutra.

En erecto, conlo la variación de la tensión normal es lineal. de la semejanza de 10s triángulos G A A ' y GB6 (Fig. 1V.2-b). se deduce:

1 , c . - - - -- = 2 /l, o,,,, 500

RESISTENCIA DE MATERIALES

y el del momento máximo positivo

igualando los valores absolutos de ambos, se tiene:

de dondc se obtiene la relacibn pedida

2." Si d = 4 ni. la relación obtenida anteriormente nos da la longitud de la viga

a) Si la viga es de madera. el modulo resistente es:

C o m o el momento flector máximo es Afm,, = Fa, sc tiene

Sustituyendo valores se obtiene la mínima longitud que deberi tener el canto d e la viga d e madera

TEORIA C;ENER,\L DE LA FLEXION. ANALISIS DE TENSIONES 239

6) si ic t r a t a ,jc u n pcrhl norirl,ll (i,,blc T. Cqtr:irr.;, .; la t:il>!:i :!e pcrfilcs laniin:idos ron el talor del módulo resistente

y encontramos

al que corrcspocidc un r n d u i o rcsisteriic dc 214 c1iiJ. cl iiiis proxiriio por e.Tccs() al \.alar necesario.

IV.4. El perfil croquizado es el estrictamente necesario para resistir el niinimo momento ntixirno de la viga dibujada. En la sección sonieiida al niiximo momento flcctor la fuerza total que actúa en los rrcránguJos rayados es de F = 1400 kp.

Sabiendo que el "úrnero qiic esprc\a 13 carxa lincal sobre C I trarno ilfl en kplrii cs iguzf al de Ia carga concéntrada en el extremo del voladizo expresada en kp, determinar los diagramas de monienros flectores y de esfuerzos cortantes.

1

Fig ura IV.4-a.

Al conocer la fuerza total S O L , ~ cl área r ~ y a d a queda determinado el momento flector máximo.

En efecto. sean o y u' las tensiones normales que corresponden a las libras extremas del área rnyadn (Fig. IV.4-b).

En la expresión d e i

o + o' F = 2 --- Irle = (a + a')lr,e

2

podemos poner u y o' en íuncion dc o,,, (Fig. IV.4-b)

u' 4 u c v 4 - - = - 3 2 "Cr-R g 9 = _ n , , , ; - - -- = -- - 0 = j Umb,

u,,, a 10 > n,,, GS 10

-- Figura IV.1-¿J.

Sustituyendo valores, se tiene

Por otra parte, el momento de inercia de la sección respecto al eje horizontal z. cuyo valor es

nos permite calcular el módulo resistente del perfil I 1. - 3936

)Vz = - - = 393.6 cm' Y 10

Por tanto. el momento flecfor máximo será

,CI,,, = [\.O,,, = 393.6 x 291.7cmAkg = 1148 m . k p

Este momento flector máximo. con signo negativo, se presenta en la sección del apoyo 5, según sc despreride de :a condición de ber el perfil croquizado el estrictamente necesario para resistir el mínimo momento máximo. Además, este momento flector es, en valor absoluto, igual al momento flector maximo que se presenta en la zona de momentos positivos.

Calcularemos ahora las reacciones RA y R E en los apoyos tomando momentos respecto de B y A, respectivamente.

TEOKIA G E N E R A L DE LA FLEXION. A N A L I S I S DE TENSIONES 211

Lar leyes de momentos flectores y de esfuerros cortantes en el tramo A B serán

El momento flector positivo máximo en esre tramo se presenta en la sección para 13

cual es nulo el esfuerzo cortante ,

Por tanto, el momento flector máximo positivo

p(8 - a)' P (8 - P(8 - u)' - !\Im1,( +) = - -- - 16 2 16 3 2

teiidri que ser igual al valor absoluto del momento máxinio negati\o

hl ( - ) = -Po n>li

es decir

de donde se obtiene la longitud a del voladizo:

o = 1.37 m

El valor de la carga P se obtendrá a partir del momento flector máximo.

Con estos valores, las reacciones valdrán

P(8 - a) 837.95(8 - 1.37) = ,388.9 k p R A = --- 4 = 4

P(12 + a) - 837.95(12 + 1.37) Ra = . - = 2800.8 kp

f 4

Con estos resultados el dibujo de los diagramas pedidos es inmediato (Fig. IV.4-e).

k 232 R E S I S T E N C I A DE M A T E R l A L E S

I Diagrama de mO~lCnios flecrores

837.95 k p

Diagrama de esfuerzos cortanres

\VJ 1962.9 kp Figura IV.4-c.

IVS. Sobre una viga recta AB de longitud i = 6 m y sección rectangular actúa la solicitación exterior indicada en la Figura IV.5-a. Se pide:

l." Dibujar el diagrama de momentos flectores 2." Dimensionar la sección a x b, imponiendo la condición a + b = 30 cm para que sea

mhxirna la resistencia a la flexión. 3." Calcular la tensión rnixirna provocada por la flexión, indicando la sección o secciona

en que este valor mix imo se alcanza.

Figura IV.5-a.

l." Cálculo d e las reacciones

R . + R. - 1500 = O 1

T E O R I A G E N E R A L D E LA FLEXION. AXALISIS DE T E N S I O N E S 243

Si x es la distancia de la seccion que se considera al extremo .A. las IeY'es dc momentos flcctores son:

,M = R;.r = 7 0 r para O m .r < 2 m ,\f = 700r - 1500(.r - 2) = -8Wr + para 2 m < .r < J in

,Lf = -800 .~ + 3000 + 1800 = - 8 0 0 . ~ + 4800 para 4 m S .r < 6 m

Ol>tcnidas las lcyes de momentos flectores, el dibujo del diagrama correspoiidie~~te es inmediato (Fig. IV.5-b)

1;igura 1V.5-h. Diagrama de rnomenios flectores

2 " La resistencia será máxima cuando para un momento flector dado. la tcnsion máxima cs min~ma.

es decir, cuando el modulo resistente es mixinio. Como o + b = !i ( k = 30 cm), podemos expresar el módulo resistente en función

de la altura b

E.1 valor de If': máximo lo dará el valor de b, tal que

b = O (solución no válida) dlt', 1 - = - (2kb - 3b2) = O 2k 60 cfb 6 { b = = = i O c m

Por tan?", la seccion más resistente a la flexion es la que tiene por dimensiones

3." La mayor tensión máxima se presentara en la sección situada a la derecha del apoyo L). en la que el momento flector es maximo IL~,,,,, = 1600 m - kp

f , 1600 x 10' cm k p gml, = - = - - 240 kp/cm2

' 1 - x 10 x 20' cm' 6

244 RESISTENCIA DLI ,\IATEKIALfiS

IV.6. S e considera una viga recta sometida al sistenia de cargas indicado eri la Figura IV.6-a. 1-a scyción es iubulvr-rectangular de espesor constante r = 10 rnni. Sabizrido que la tensión adriii\ible es o,,,, = IZO0 kp/crii2 y el niodulo dl' elasticidad E = 2.1 i 10" kp/cm2, se pide:

1." Dibujar el diagrama de esberros cortantes. 2." Dibujar el diagrama de momentos flectores.

h 3." Calcular las dimensiones de la sección sabiendo que se verifica la relación - = 2.

b 4.. Calcular la fuerza nornial sobre la mitad superior del perlil. en la sección soriierida a

niornento flector máximo.

Figura IV.6-o.

l." Calcularemos en primer lu-ar las reacciones en los apoyos, consldrrando en ;i sola- nirnre la componente verticcil V,, ya que 13 horizontal no influye en sl resto de la viga. Para ello utilizaremos el diagrama equival¿nte de cargas indicado cri la Figura 1V.6-b.

"A R, Figura 1V.ó-b.

Proyecrando fuerzas sobre la vertical: Y, + R, - 450 - 300 - 250 = O

Tomando momentos respecto d e A : 150 - 450 x 0.5 - 3R, + 250

se obtienen: R, = 752.8 k p ; Y, = 747.2 k p

Obtenidos estos valores, las leyes d e esfuerzos cortantes son:

para O m <.r<O.S m para 0.5 m < . r < l m para i m i . r < 4 m

T= - 2.8 + 252.8 - 500 + 500(5 -.Y)

2 (.r - 4) = 250(.r - 5)' para 4 m < .K < 5 m

- TEOKIA GENERAL DE LA FLE.YION. Ap4ALISIS DE TENSIONES 245

Su diagrama se representa en la Figura IV.6-c.

250 kp

lllmlll de e.sfuerzos cortanres

y 4 5 0 kp Figura 1V.6-c.

2." Las leyes d e nioriientos flectores son:

.YL ,\/ = - 250 - = - 125.1' para Orn<.r<0.5 m -

- ,M= - 125.r2 -200(.r-0.5)= - 125.r'-200.r+ 100 para O . j m $ . r < l m

IM= -350(.r-OS)+ 150 +(747.2 - 300)(.r- 1 ) = - 2.8.~-72.2 para 1 m <.r < 4 rn 500 - (5 - ) 250 -

l\{= --()-.K)~-= Z 3 - - ( 5 - . ~ ) ~ 3 para 4 m < . r < 5 m

Su diasrama se representa en la Figura IV.6-d.

Diagrama de momentos flectores

Y 225 m. kp Figura IV.6-d.

3." El momento flector maximo se presenta en el apoyo A. Su valor absoluto es:

M,,. = 225 m . kp

Para esta sección, la tensión normal máxima es:

M,,, - 225 x 10' c m . k p * w= - - 0,~. = "adm =- = 18.75 cm'

w: O.<im 1200 kp/cm2

Expresemos el módulo resistente en función d e las dimensiones, teniendb *n cuenta la relación dada /,lb = 2, y q u e e = 10 m m = 1 cm.

I . l/12[bli3-(b-2e)(lr-2e)'] -8b4-(b-2e)(b-e)'.8 - &y- = - = - = 18.75 c m 3

- 1112 1112 126

RESISTENCIA D E M A T E R I A L E S

Se obtiene la ecuacion

IOb3 - 186' - 42.256 - 4 = O

cuya solución es b = 3.2 cm

Descomponsmos la mitad superior del perfil en [res zonas. como indic~i 1:i fisura 11

La fuerza normal sobre la zona l. teniendo en cuenta que - = h. es: 2

M",, . b yhdy = - [b' - (b - e)'] 2 1:

Sobre cada zona 2, analogamente:

M,*, - e j e dy = -- (b - e)' 2 1,

'3 La fuerza normal pedida. que es d e tr&ción por ser zi rnomenro flector ncfn t i \ r~ .

zerá

M,,, 1\fm,, . e N = N , + 2N, = - [(t' - b(b - e)' + 2e(b - e)'] = - (4h2 - 5 h ~ + 2~9') 21, 24

Sustituyendo valores. y teniendo en cuenta que:

T E O R I A G E N E R A L D E LA FLEXION. ANALISIS D E T E Y S I O N E S 2 4 7

1v.7. conctruir los diagranias de esfuerzos cortantls, rnumentos flectorcs y esfuerzos nornlales del pórtico indicado en la Figura IV.7-a.

1 2 ion

El sistcrn;i es isost?ico. Cnlculcmos 1;is rcaccioncs:

Proyeccion íucrzas sobrc la vertical: R A + Ro - 2 = O

Tomando momentos respecto de A : 2 - 2 x 1 + J R , = O

se obtiene

R , = 2 ron ; R, = O

Este resultado indica que las barras BC y CB del portico dado no están soliciradas por ningun tipo de esfuerzo.

barra /1B

barra EB

barra BC

barra ClJ

Esfuerzos normales Esfuerzos cortsntes

6 N = R, cos z = ---

J i o

hlomentos flectores

Los diiigramas de esfiicrzoc cortantes. niorncntos flectorcs y e~fucrzos riormales indican cn la Figura IV.7-h.

,

1 ion Figura IV.7-h. J'10

IV.8. Dada la riga 1 de la Figura lV.8-a se pide:

1." Calcular en la secci6n nn' la distribución de la tensión cortante, calculando el rriiixirno valor de ésta.

2." El porcentaje del esfuerzo cortante que absorbe el alma.

Figura lV.8-a. Cotas en cm

pl 1 x 3 l." Como el valor de la reacción del apoyo A es R, = - = - - 2 2

- 6 ton, el esfuerzo

cortante T e n la seccijn ntr' d r á

T = R, - pa = 6 - 4 x 0.75 = 3 ton = 3000 kp

Por otra parte, el momento de inercia de la sección respecto al eje z es:

Con estos valores podernos calcular la distribución de las tensiones cortantes en la sección nn' d e la viga. aplicando la fórmula de Colignon.

a) En las alas

1s + y 3000 x 20(15 - y) --- Tnt 2

- 3(22S - y') = = bl; = . 20 x 35+x 10'

- 70

k p/cm

T E O R I A GENERAL DE LA FLEXION. ,&NALlSlS DE TENSIONES 249

vilida par^ 10 > lyl 2 0. ~, . - Obtenidas 13s leyes anali!icas de distribución de la tensión cortante, se hace la

rrprrsrntación zriíica en la Figura IV.8-b.

------

------ Figura 1V.8-b.

La ~sns ión cortante máxima se presenta en la libra neuira. Su valor es:

2." El esfuerzo cortante absorbido por el alma será

(600 - y') Jy = 2428.6 kp

por lo que el porcentaje pedido sera

IV.9. La Figura IV.9-a representa la sección recta de una viga sometida a flexión simple:Conocien- do el esfuerzo cortante T e n la misma, calcular la distribución de tensiones tangenciales.

La distribución de tensiones tangenciales, en cuanto a valores modulares se refiere, es simitrica respecto ai eje z, por lo que será suficiente estudiar las leyes correspondientes en

"); ( : ), ($ > y 2 O) (Fig. IV.9-b). puntos tales como: 1 - 2 y > 7 - 2 y = . y 3 ,.


p- -4 Figura IV.9-a.

/. -j Figura 1V.9-h.

Tm Aplicareriios la fórmula de Colignon T = -. En esta fórmula son consrariies T e

(/ir' - 0 ~ 1 1 ; bl*

1: = 12

-En los puiitos 1 (i 2 > $)

- En los puntos 2 J = - ( - ?)

-En los puntos 3 ($ > y 2 0)

El diagrama de tensiones tangenciales se ha dibujado en la niisma Figura IV.9-b.

t

IV.10. llallar la Icy de distribución de tensioncc ~nngericiales e11 las secciones rectas de 11 viga en

voladizo, de anchura constante y espesor variable, indicada en 13 Figura lV.10-a. qite est i sometida en su extremo a una carga P uniformemente repartida sohre el borde transversal. Dibujar los diagrarrias correspondientes en las secciones e\-tremas en la secciíin rnedi~i de la viga.

!/ Figura I\'.lO-o

Si realizariios un corte por un pl;tno longitudinal paralslo 3 I J fibi:i rieiiira. J. la pcircibn cit.

prisnili cornprendidii cntre dos pl,inos transicrs:ilcs tridcíiriicl~riiente próir i ios \ep.ircido\ entre si d r (Fig. IV.10-b). 13 condición de equilibrio nos da

en donde T es la tensión rasante en los puntos del pl;iiio longrtudinal de corte que, por el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales. es igual a las rensiones tangenciale% en los puntos de la sección recta de In viga. comunes 3 ambos planos.

Coriio por la ley de Navier

3"

Figura IV.10-h.

152 R E S I S T E N C I A DE LtATERI .+LES

la ecuación de cqu~librio ioma la lornia:

de donde:

Ahora bien. expresarido I r y .1I en función de .r

expresión que corresponde a la ley de distribución pedida de tensiones tangenciales en los puntos de la viga.

Obsérvese que. salvo en la sección extrema, las tensiones tangenciales en los puntos de las fibras superior e inferior no se anulan.

- .

.. .:' .. Figura 1 V . l ~ - C . 2 x - 1 a .

. . . . . .. , Pafliculancemos esta ecuación para las secciones extremas y sección mcdia d e la viga. Para = 0, la ley de teniunes tangenciales es parabolica

T E O R I A G E N E R A L D E LA F L E X I O N . A N A L l S l S D E T E N S I O N E S 253

con el valor niiximo para la fibra neutra, es decir. para y = O

3 P Trmi " - --

2 611,

1 Para .r = - ,e tiene:

que es constante en roda la sección Finalmenic. para r = l.

que iiene su valor rna.<irno en los punros de las fibras superior s inferior, es decir, para p = +Ir,

3 P rmi, = - -

4 bli,

El valor de la ienjiyn tangencia1 minima en esta sección se presenta en la fibra neutra

IV.11. Calcular los módulos y direcciones respectivas de las tensiones en los puntos situados a distancia d = 6 cm por debajo de la libra neutra en la sección mn de la viga en voladizo indicada en la Figura IV.11-a, solicitada en su extremo libre por una carga P = 1500 kp. La sección recta de la viga es rectangular, de anchura b = 1 2 cm y altura h = 24 cm.

Figura IV.11-a.

1..

1 O0 COTAS EN cm

Calculemos el momento de inercia de la sección respecto al eje z, y el momento estático d e la sección rayada en la figura


Las tensiones normal y cortante, en virtud de la ley de Nacicr y dc 1:) íorniula de Colignon, son

Coii estos valores. la obtencion de las tensiones principales es inmediata

A los mismos resultados llegariamos mediante los circulos de hlohr (Fig. 1V.I I-h)

' 1 Figura iV.11-b.

Si D (-65.10; -5.86) es el punto representativo de la cara perpendicular al eje .r y D' (0; 5.86) el correspondiente al plano perpendicular al eje y, la construcción del circulo de Mohr es inmediata, ya que el centro C es el $unto medio del segmento DD'.

De la misma figura del circulo de tvlohr ce deduce que el ángulo I que forma el eje y con la dirección principal que corresponde a la tensión principal positiva. contado en sevtido antihorario, es tal que

1V.12. Se d a e a construir una viga cajón uniendo mediante remaches dos perfiles UI'N 200 y planchas de 25 riim de espsor, forniando la secci6n recia indicada en la 1:igtira 1V.12.

Sabiendo que la tensi6n adniisihle a cortadura es T,,, = 900 kp/eni2 y que el esfuerzo cortante máximo a que va a estar soineiida la viga es de T = 3000 kp, calcul3r las uniones remachadas

l-4 cotas en mni I Figura IV.12.

Del prontuario dc perfiles laminados se obtienen para el U P N 700 los siguie~itcs c:ilore.

El rnonicnto dc inercia rcsptcto dcl eje : de la sccción de 1;i vir:i cajón. aplicarido ( * '

tcorern;i de Stciner para cl cilculo de los momentos de inercia de los pcrfilc.; cii U. <ci:i

El momento estitico de uno de los perfiles respecto al eje i. es

ni = 32.2 x 17.99 = 579.27 cm3

Si F es la fuerza de deslizamiento que soporta cada reniriche de la c a k z a por unidad de longitud de viga. en virtud de la ecuación (4.9-6) aplicada a nuestro caso, se vcrificdia

Tc 2 F = -ni 1:

Si fijamos el paso de remachado e = 25 cm, M valor de la fuerza' F será

La fuerza F suponemos que se reparte uniformemente en la scrción recta del rernacht,

F 4 F = - = --

nclz nd'

De esta ecuación obtenemos el diámetro de los remaches

IV.13. Se considera la viga corripu&ta indicada eri la Figura 1\'.13-u formada por una viga de acero eri forma de -1' que se ha reforzado con dos vigas r ~ ~ t a n g u l a r e s de niadcra, fijadas conveniente- rner~te riiediante tornillos pasanfrs.

Cuando la ,iga compuesta irlibaja a flexión pura simétrica de inoniirito .\f = 30 m . k ~ , se pide:

l." Determinar 13 posición del eje neutro. 2." Calcular la tensión niiuima en la niadera. 3." Calcular la di>tribuciún de fensiories normales en el acero.

Duros: &íódulos de elasticidad: de la m a d e r ~ : E, = 1.25 x 10' .\/Po; del acero: E, = 2 x 10' . lfPu.

Cotas eii cni

Figura 1\'. 13-u

l." Como 13 relacion entre los niódulos de elasticidad de los dos matsrialei de la viga compuesta es

obtenemos la seccióii transrormada niultiplicando las dimensiones horizontales de In . -- .-

parte de acero de la sección por ti = 16, es decir. una sección tral~sforniada exclusivamente de madera (Frs. IV.13-b).

"1 32 4 4

Figura IV.13-h.

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE TENSIONES 257

El eje neutro pedido en la sección de !a viga compuesta considerada está a la misnia altura que el crntro de sravedad de la sección transformada. Para c;~IcuIar éste tOr13- remos un eje I' coincidenrc con el borde inferior de la VIK;L. 1-3 drstanci;l 11 del crnrro de gravedad será:

Por tanto, el eje neutro será una recta paralela al borde inferior de la viga compuesta y a una distancia de 16.88 cm d i este. El momerito de inercia 1, de la jección respecto del eje I (eje neutro) será:

La tensión máxima en la madera se presenta en los puntos de la fibra inferior

La distribuci6n de tensiones en el acero se regira por Iü ley de Navier para vigas coinpuestas

cuando y se expresa en centimetros. Se representa en la Figura IV.13-c.

Figura IV. 13-c.

IV.1-l. Cdlcular el centro de esfuerzos cortantes del perfil delgado en U representado en la Figu- ra IV.14.

Si reducimos el sistema de fuerzas engendradas por las tensiones tangenciales al punto medio A del alma, vemos que las tensiones tangenciales en el alma no tienen influencia, para el cálculo del centro de esfuerzo cortante. sino solamente las de las alas.


(0) (6) ( c) Figura IV.14.

La tensión r en un corte ntn d e la sección (Fig. IV.14-o) será, en virtud d c la formula de Colignon

Pero conio el monicnto estatico es

y el momento d e inercia

sustituyendo. se obtiene

expresión válida para los puntos d e las alas del perfil. El momento d e las fuerzas engendradas p o r estas tensiones r, respecto al punto .4 del

alma. sera

de donde se deduce q u e el centro d e esíuerzos cortantes C se encuentra a una distancia

, -. 3b2

A 7 = - h + 66

d e la línea media del alma, al otro lado del centro d e gravedad (Fig. IV.14-c).

T E O R ~ A G E N E R A L D E LA F L E X I O N . A N A L I S I S DE T E N S I O N E S 259

Un prisnia recto de longitud 1 = 4 rn y sección rectangular, de aiicho b = 3 ni y altiira 6 = 1 11. e s t i sometido a la solicitación exterior indicada en la Figura 1\'.15-a. además dc una tracción uniforme de 2.5 kp/cm2 que actúa en las caras laterales ABFE y D C H J ,

Adniitiendo una distribución de tensiones de acuerdo con las tcorias de la Resistencia de Materiales y no teniendo en cuenta el peso propio, se pide:

t." tlallnr In matriz de tensiones en un punto cualquiera del prisnia. referida a iin sisterrla de ejes paralelos a las aristas del niismo.

2." Dibujar en perspectiva las tensiones norrnalcs y tangenciales que actúan sohre el paralele- pipcdo eleniental que rodea al centro jieoniétrico del prisma.

Figura I\'.l5-o. Y

l." El problema propuesto es equivalente a la consideracion d e uri;i vigii rccta d e 1 m dt.

aiicho. sonietida a las cargas representadas cn la Figura IV. 15-b.

1 e ton

I

Figura 1\'.15-h.

7i.oriiando el sistema de cjcs iridicn<lo eri la misniii figura. 13 tensión norrilal a., cs

eii \itiutl de I;i ley d e Navicr

Las otras d o s tensiones son inmediatas

= O : a,, = 2.5 Ip,'cm2 = 25 ton,'m2

Conio p i ra e1 riioriicrito .\/ existen dos leyes:

,\,i = 1.r. vilida para O 6 .r 6 3 m

.II = 21- - 8(.r - 3) = 6(4 - .r), vilida parri 3 m $ .r < 4 m

las tensiones normales en los puntos del prisma son

a) para O .Y < 3 m

a,, = - 24\->' ; o,, = O ; a"; = lj 1on:m'

estando q,, expres~ida en tonini2 si las coordenadas .r e y se miden ambas en metros

h) para 3 m 6 .Y < 4 m

o,, = - 72(4 - .r)? ; a,, = O ; a,; = l j ton ni'

Las ~ensiones tari~enciales r,; y T,: se anulan en iodos los puntos del prisma

7,: = T,; = O

Para calcular r,, aplicaremos la formula de Colisnon, teniendo en cuenta que existrn tambtin dos leyes para el esFuer/o cortante

T = 2 ton. valida para 0 < .Y < 3 m

7' = - 6 ton. vál~dii para 3 m < s < 4 rn

y que la expresión del momento estitico es:

b) para 3 m < .r < 4 m

Por tanto. la matriz de tensiones en los puntos tales que O < .Y < 3 m es


y en los puntos que verifiquen 3 m < .r < 4 ni

., - -

2." En el centro geometrico del prisGa, la matriz de tensiones es la primera. Particulariza~i- d o para sus coordenadas .r = 2, y = O. se tiene

Se representan las tensiones que actúan en las caras del paralelepipedo eleniental que rodea al centro geometrico del prisma en el croquis indicado en la Figura IV.15-c.

Figura IY.15-c. \X 4i

Análisis de de formaciones

5.1. Introdiicción

Teoría general de la j'lexión.

Asi como hemos dedicado el capitulo anterior al estudio de la distribución de tensioncs en una pieza prismática de linea media rectilínea, solicitada a flexión pura o a flexión simple, dedicaremos éste al análisis de las dcforrnaciones que se producen en la pieza cuando se la somete a estos tipos de solicitación. Es decir, nuestro objetivo es ahora el estudio de la rigidez de las vigas.

Hay que hacer notar que el diseño de una pieza que va a constituir un elemento estructural, bien como órgano de una máquina, tal como un tomo o una fresadora, O bien formando parte de una estructura de edificación, viene con frecuencia determinada más por su rigidez que por su resistencia.

Por eso, en las normas dc los diferentes países, tanto de construcciones de máquinas como de edificaciones, se fijan las deformaciones máximas o deforrnacioties od~nisibles que pueden presentarsr en los elementos estructurales sometidos a flexióti. F.sto hace que, frecuentemente, determinadas piezas de las estructuras se diseñen haciendo que las deformaciones máximas sean iguales a las deformaciones admisibles. En tales casos, se realiza la coniprobación de que las tensioncs no superen los valores admisibles.

En este capitulo se expondrán varios niétodos que nos permitan deterniinar la delor- mación de las vigas solicitadas a flexión bajo ufi sistema de cargas externas dado y siendo conocidas las condiciones de sustentación. En primer lugar, u: obtendrá la deformada de la línea media de la viga por el metodo clásico de la doble integración y basándonos eri este método estableceremos el procedimiento más moderno de la eruacibn uniclersal, que simplifica de forma muy notable su aplicación.

Otro método, el del área de rnoinetlfos, basado en los llamados teoremas de Mohr, Presenta notables ventajas en el caso que nos interese conocer la deformación de una determinada sección de la viga, asi como el tnérodo de la viga conjugada que es, c;i realidad, una variante del anteriormente citado. pero que se distingue en su aplicación práctica.

N o odia faitar algún método que se fundamente en los teoremas energéticos. Tal cs el

TEORlr\ GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE DEFORMACIONES 263

, ? ik l~(h de Molir, que más adclantc considcrarclrios corno el rnás gencral para cjlcuio dc

deformaciones d- prismas mecánicos sonlctidos a solicitaciones arbitrarias. Finalmente, hemos de decir que 10s conocimientos que nos proporciona el estudio de

I:i deformación de las vigas, los habremos dc lcncr presentes para obtcncr las ecuaciones dc deformación necesarias que. junto a 1;is ccuacioncs dc equilibrio estático. 110s permitan la rcsolucion dc 10s sistemas hipercstiticos quc estudiaremos cn rl Capitiilo 7 .

5.2. Método de la doble integracibn para la determinación de la deformación de vigas rectas soinetidas a flexión simple. Ecuacion de la línea elástica

Consideraremos un prisma mecinico de sección recta constante, inicialmente recto, que admite plano medio dc simetria tal qiic las cargas están contenidas en el. Este prisma esta sometido, pues. a flcxión simple simétrica sicndo para cada sección el cje ; el eje neutro, es decir, el lugar geomi~rico'de los puntos dc la scccion en los cuales se anula la tensión normal debida al momento flector. La superficie que está formada por los cjcs ncutros de todas las secciones rectas del prisrna es la llamada sirprrjicre tieirtrci. Esta superficie neutra contcndri las fibras longitudirialcs de la pieza qiic habrán variado dc forrnn (Icbido a I:i

acción del sistcrna de fuerzas exteriores, pcro que no han variado dc longitud. La intcr- sección de la siiperficie neutra con cl plano medio es la deformada de la linea media dcl prisma mecánico. A esta curva sc la denomina iinea elúsric~cr o, sirnplenicntc, cliísticu.

Para estudi;ir la delormacióii de la pieza considcrada obtendrcnios la ectiación dc la linea elistica rcfcrida a un sistenia cartesiano ortogonal cuyo eje .Y sea coincidente con la linea media del prisma mecinico antcs de producirse la deformación, eje positivo cl eJC vertical ascendente y el origeri de coordenadas el baricentro de la sección estrema A (Fig. 5.1). Toda sección C experimcntari un corrimiento que tendrá, en general, componentes horizontal y vertical. En el caso de carpas verticales, unico quc corisideraremos en este epígrafe, supcndremos despreciab!~ e! valor de las componentes en la dirección del eje longitudirial frente a las componenies en la d~rrcción pcrpcndicular al riiismo. Quiere esto dccir que la dcform:ición de cualquier sccción C estará dcfinida por las dos mrignitiides siguientes (Fig. 5.1):

a) y,, desplazamiento perpendicular al cjc loneitudinal. b) O,. ángulo de flexión o ángulo zirado por la seccion

264 R E S I S T E N C I A DE h I . A T E R I A L E S

El haber tomado el sisteni;i de referencia indicado implica el convenio de signos, tr.,to para 10s drsplaznmientos como para 10s áneulos ;irados por las secciones: el signo del desplazamiento será 21 que corresponda a su ordenada en la ecuación de la elástica, [nientras que 21 ingulo -irado, que es igual al ángulo que forma la tangente a la elástica con 21 eje .\-, seri positivo si el giro se realiza en sentido antihorario.

Para determinar la ecuación de la linea elástica consideremos dos secciones rectas indefinidamente próximas separadas y sea d el ingulo que forman despúes de ]a deformación y p su mdio de curvatura (Fig. 5.1).

Recordando la definición de curvatura C de una curva plana:

y sabiendo que:

se llega a la expresión de la curvatura en coordenadas cartesianas

Ahora bien, de (4.2-3) y (4.7-6) se deduce:

expresión en la que va implicito el convenio de signos para la curvatura (Fig. 5.2):

Figura 5.2.

Curvatura posirivu, cuaqdo la linea elástica presenta concavidad respecto del punto del infinito del semieje y positivo.

Curvatura negativa, cuando la elástica es coniexa, también hacia arriba. . De esta ecuación se deduce que en el caso de ser el momento flector constante a lo

largo del prisma mecánico, es decir, cuando la viga está sometida a flexión pura. el radio de curvatura p es constante y, por tanto, la elástica será un arco de circunferencia.

Para el caso de ser variable el momento flector ,CfZ, es decir, cuando la viga está sometida a flexión simple, de las expresiones (5.2-2) y (5.2-3) se obtiene:

que representa la rciiuciót~ c/i/ereticial e.racra cle Iri litirn elas~icc~. El producto & que depende del material empleado y de las caracteristicas geométricas de la sección recibe el nonibre de t>ió(fit/o </e rigidez o lo jlexión d e .la--viga.

La integración de esta ecuación difeFncial no lineal es, generalmente, bastante dificil, va que su integración, que para grandes deformaciones es ineludible, conduce a integrales elipticas cuyos valores vienen tabulados. Sin embargo, cuando es posible admitir la hipótesis de pequeñez de las deformaciones, podemos suponer despreciable y'' frente a la unidad. Entonces obtenemos la eciracióti d$ereticial r~prosiniuc/ri [/e leu Iítieu elustica

cuya integración no presenta nin-una dificultad especial. En lo sucesivo, y mientras no se diga lo contrario, utilizaremos esta ecuación diferencial aproximada dada la simplificación que introduce en los cilculos.

Una doble intqración nos permitirá hallar la ecucicion y = y(.\-). que nos indica para cada sección cuanto ha bajado (o subido) el centro de gravedad de la sección a causa de la deformación flectora. Será muy interesante hallar en qué sección se presenta y cuánto vale la mixima deformación vertical que denominaremos flecha, por lo que la expresión (utilizada por algunos autores)j7eclia nik.rinia, resultaría una redundancia.

Al integrar las ecuaciones diferenciales de la linea elástica aparecerán, en cada ecuación integral, dos constantes arbitrarias que deberemos determinar imponiendo las condiciones de contorno. Las ecuaciones admiten, pues, infinitas soluciones desde un punto de vista matemático, pero físicamente cada problema tiene una solución que deberemos identificar.

Una primera consecuencia que se deduce de la ecuación (5.2-5) es que en las secciones de !a viga en las que se anula el moinento flector la curva elistica presenta puntos de inflexión en los puntos correspcmdientes a dichas secciones.

Si la rigidez EI= es variable a lo largo de la viga. será necesario expresarla en función de la abscisa .Y antes de integrar la ecuación diferencial (5.2-5).

A modo de ejemplo, calculemos la ecuación de la linea elástica de m:: viga simplemente apoyada en la que exista una o dos leyes de momentos flectores.

a) Viga simplcmenie apoyada con carga uniformemente repartida

Vamos a determinar la ecuación finita de la linea elástica y la flecha de una viga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente repartida (Fig. 5.3).

Suponemos conocidos los valores de E y de 1,. A partir del momento flector máximo, dividiendo por amix hallaremos el módulo resistente W, que nos permitirá escoger la escuadría o perfil más adecuado al que corresponderá un determinado valor del momento de inercia A de la sección recta respecto al eje z.

266 RESISTENCIA DE XIATERIALES

l

1 por lo quc la cciircion de la linca cidstica es:

La flecha sc dnri donde ~ ' ( r ) = O. Es Ocil ver que esta coiidici6i1 sc i:uiiipic Par:' .y = 112. Sustituycrido en (5.2-8) tendremos:

I '

1 de donde simplificando, se obtiene:

b) Viga simplenlcnic apoyada con carga concentrada ' Veamos como se rcruclrc el misnio problcma cuando no rigc una iinica cciiacion dc 1 momentos flectores para todo el intervalo (O, 0.

1 Sea una viga simplemente apoyada con una carga concentrada y descentrada ( F i g 5.4).

I I I P

Como la ley de momcntos flectores es

en [o& la viga (O < x ,< I ) , la ecuación direrencial dc la elástica será:

Integrando dos veces, se tiene

Para determinar las constantes de integración C, y K, que nos deíinirán la única solución de la ecuación diferencial, que además de solución matemática se adapta al problema mecánico o íísico en cuestión. impondremos las condiciones de contorno

Por tanto, sustituyendo en (5.2-6) se obtiene:

Figura 5.3.

266 RESISTENC1.-\ DE .Ll.ATERIALES

Las I sye~ d s niorrisnio, 11eciorc.s son. en este caso

f'h >L/- = -~ .v para 0 6 .v < u

- 1

Pb = - .K - P(.Y - U )

1 a < . r < a + b

Su,tituyendo estos valores en la ecuación de la elástica, se tiene:

Ph .uz = El:),; = -.Y Pb

1 : J./, = El:?' = -.Y - P(.Y - t l ) 1

Ph Pb . P(.Y - 0)' El,!,; = -.Y' + C , EIZv> = -.Y- - 21 21 - , +cz

PD El,!., =-.r3 + C , . r + K , ; Pb P(.Y - (1)'

61 EIZv2 = - r3 - 61 . 6

+ Cz.r + Kz

(5.7-10)

Sabemos. por la continuidad de la linea elástica, que la deformacion en todo punto de la misma tiene un solo valor y la tangente es única. Tambikn se cumplirá que en los apoyos la deformación es nula. De ahi, pues. imponiendo estas condiciones, se obtiene:

f'h , Pb .\",(o) = .!.>(o) 3 -- 11- + C , = - a' + C', de donde C , = C r 21 21

Ph .i'[(u) = .1.:((1) =. -- o' Pb

61 + C,o + K, = - n3

61 + C2a + K 2 , de donde K , = K2

. r l , (0 )=O - O = K ,

Pb y 2 ( [ ) = 0 = > O = - / ' - P(1 - u)' Pl>

61 + C z l , d c d o n d e C 2 = - - ( / , 2 - ~ 2 ) 61

Por lo tanto:

Pb El,-vz = - y' - P(.Y - al3 P5

61 . 61 61 (5.2-12) + - (b2 - 1') x para a < .y ,< a + b

La flecha corresponde a un valor de .yf tal que y'(.r,) = O. Por consiguiente, haremos ?",(.rf) = O e ~;(.r,) = O. De las dos soluciones que anulan dichas primeras derivadas se adaptará a nuestro problema aquella que corresponda al intervalo de existencia real o fisica de la curva en cuestión. Compruebe el lector que esta circunstancia si n > 112 sólo se da para una solución de y; = 0.

d, donde:

por lo que el valor de la flecha es:

En el caso de estar I;i carga centrada, la flecha se presentará en la seccion media de la viga, es decir, su valor vendri dado por la ecuación (5.2-14) particularizada para .r = 112.

PI' = -- 48 El,

3 Ecuación universal de la deformada de una viga de rigidez constante

El segundo caso que hemos considerado en el epígrafe anterior para ilustrar la obtención de la ecuación de la línea elástica de una viga recta nos hace ver la dificultad analitica que el método expuesto presenta, cuando existen varias leyes de momentos flectores a lo largo de su luz. Porque si existen n tramos sera necesario resolver 2n ecuaciones para la determinación de las 211 constantes de integración, ya que el número de constantes es el doble del númcro de tramos.

Para disminuir esta dificultad se trata de buscar una ecuación universal que, independientemente del número de tramos que existari en la viga, sea preciso determinar solamente dos constrintes de integraci6n.

Para la forrnulnci<jii de esta ecuación universal utilizaremos las Ilanindas jirrrcioties (lc, <liscotifitii~it!~/, que se definen de la siguiente forma:

cuando ..r < a F,(.K) = (.Y - a)" = - a)" cuando .x 2 a

para n = 0, 1, 2, ... número entero. En esta ecuación n es el valor a partir del cual la función de la variahle independiente .r tiene un valor no nulo, es decir, los paréntesis angulares, que son el símbolo matemático de una función de discontinuidad, nos indican que la función se anula cuando la expresión entre estos paréntesis es negativa y que toma el valor (.c - a)" para .Y mayor o igual que a.

Indicado esto sobre las funciones de discontinuidad, consideremos una viga de sección transversal constante a la que est l aplicado un momento exterior ,/f, una fuerza concen-

w

w C

P

C

C

C

e e- e

B

B e== Q

cP P B

ac Be-

e F

e- @

C - e 4

e - b

k

e e e bK

b

b

6- C

* *-

270 R E S I S T E N C I A DE b4ATERlALES

trada P, una carga uniformemente repartida p y una carga triangular. que consideraremos de signo positivo si tienen los sentidos indicados en la Figura 5.5, es decir, el momento exterior A' será positivo si tiene sentido horario, y las cargas concentrada. uniformemente repartida y triarigular son positivas si tienen sentido ascendente.

tramo 3: b $ .Y < c

El,!.: = A(..( - ajo + P(.i - b)

tramo 4: c S .u ,< d

p(.r - c ) ~ el,!^^ = A(.Y - ojo + P(x - 6) + -- 2

I J 4 Figura 55.

tramo 5: d 6 .K S r

p(.r - c)' p(.i - d)' El,?;' = J/(i - (1)' + P(.i - h) + 7 - 2

Si tomamos cl extremo izquierdo de la viga como origen de abscisas, sean n y b las correspondientes a las secciones en las que están aplicados el rnomento exterior ,// y la fuerza concentrada respectivamente. Sean, asimismo, c y d las abscisas del comienzo y final de la carga uniformemente repartida, así como e y/ las abscisas de comienzo y final de la carga triangular.

Para llegar a obtener la ecuación universal que vamos buscando expresaremos el momento flector en cada uno de los siete tramos que se distinguen en la viga poniendo el rnomento exterior en la forma Jf(.r - a)'.

Con este artificio, el momento flector y la ecuación de la línea eiástica en cada uno de los tramos serán:

En este tranio se ha supuesto que la carga uniformemente rzpartida se prolonga hasta la sección que se considera, descontando, naturalmente, la parte añadida (Fis. 5.6).

tramo 1: O < x < a $2 '

tramo 2: a < .Y < b

EIzy; = df4(.r - a)'

El,y; = , / f (x - a) + C,

Figura 5.6.

274 RESISTENClr\ DE MATERIALES

expresión constituye la ecuaciori utiioc~rsal de lu df/artrrcl~lc~ de una viga dc rigidcz constante, y en la que los parametros Jf , P, p y q son los momentos exteriores, cargas concentradas, cargas uniformemente repartidas y valor rniximo dc las cargas trian_eulares que hubiera, respectivamente, situadas entre el origen de coordcnadas y la sccción que se considere. Evidentemente, las reacciones de los apoyos están incluidos en estos pará- metros.

Derivando la ecuación (5.3-12) se obtiene la eciración rrnicersnl para los ángulos de giro

cn virtud del principio de pequeñez de las deíormacioncs, ya que entonces y' = O, siendo O el ángulo girado por la sección.

Eii los epiyrafes antcriorcs hemos calcul:ido el desplazamicrito !(.l.) dc 12s scccioncs dc una viga sometida a íiexión siniplc. as¡ como los ángulos girados O(.v), rncdiantc uri procedimiento matemitico como es el de integrar una ecuación diferencial. El resultado es aplicable a cualquier sección de la viga.

Existen, sin embargo, numerosos casos en los que no es necesario hacer el cilculo completo de la elristica. ya que sólo sc requiere conocer el dcsplazaniiento del centro de gravedad O el giro de determinada sección. Para estos casos. y fundamentalmente cuando la seccióri transversal es variable, son especialmente aplicables los llamados leorenias de Afolir, denominados por muchos astores reoretrins de las arcas de niorrieti~os, que vamos a exponer a continuación.

Estos teoremas son dos, y en ambos se considera a lo largo de la viga el diagrama obtenido dividiend~ en cada punto de la elástica el momento flector M: en la seccijn correspondiente por la rigidez a la flexión El,.

a) Prim" teorema de hIohr

De la expresión de la curvatura:

se obtiene la correspondiente al ángulo que forman dcspuEs dc I:i flcxión dos scccioncs indefinidamente próximas, separadas inicialrncntc dic.

M - hf . hl,ds dO=Lcis=-fi++);;rd-rj,-

El, Elz E Ir d

T E O R I A C E S E K A L DE LA FLEXION. .ANALISIS DE DEFORSIACIONES 275

'CI, -- El ,

Figura 5.8.

ya que y' = O en virtud de la pequeñez dc las deformaciones. Esta cxprcsibn rios iridica quc cl iri_eulo elcinciitiil ti0 ciitrc las norrnalcs o las tangentes

en dos puntos iiidcfinidamcnte próximos de la clristica, es igual al i rea clcmcnial itf: dr del diagrama dc nionicntos flcltores dividida por el módulo de rigidez a la flexión El, (Fig. 5.8).

El angulo O,, que forman las tangentes a la elástica en los puntos de abscisas .Y, y .Y,.

quc no cs otra cosa que el giro relativo de la sección D rcspccto dc la C. se obtcridri integrando (5.4-1).

expresión del primer ~ e o r e t r ~ ~ de ~Molir, que podemos enunciar as¡: el a~~grrlo OC,joritrndo por 10s Iangetiles rrc:adas en dos pirnros G la linea elásrica de irna viga de rigidez E L es igiral a l nrea del dingratrln M,/EI, interceprada por las ~erricales tra:ad(is por aqrrellos pirritos.

Se observa quc el ángulo O,, tiene el mismo signo que el diagrama de momentos flectores, es decir. que para un área positiva dcl diagrama de morneritos flcctores, el giro de la tangente en la sección D respecto a la tangente en la seccinn C se mide en sentido antihorario, corno es el caso representado en la Figura 5 8. Por el contrario, si el área dcl diagrama de nionicntos flectores es negativa entre las secciones C y D, el signo de 17

tangente en la sección D respecto de In tangente en la sección C se produciria en sentido horario.

Si, como suclc ocurrir frecuentemente. el módulo de rigidez a la nexión es constante, csta ccuación sc puede poncr eri la forma:

En este caso la expresión admite una sencilla interpretación y el primer teorema de blohr se piiede enunciar asi: el ringit10 B m j ~ r m u ( l o por 11s lungenres rrcl:cl(las rti (los punlos

lo /itrc,(l r/ci.yljco dc, irtic1 oj,yu (Ir ri,yidc: c.uti.srrairr 1,s igucll 01 Nreu r l r l rliayrclt~rc~ rle yottirnros / l rcrorrs r,r~er<.c~~rar/a por los vrrricairs lrniuc/us por aq~rr / /os pirnro.s. c~ ' i~~ i ( l~ r l~ r por e l p r o d ~ ~ , - ~ ~ El,.

h) Seguiido teorema de Molir

Las tangentes en los puntos 1V y N' de la linea elástica de una viga recta (Fig. 5.9), corrrjpondientes a las secciones de abscisas .Y y .y + (/.y respectivarnenrr, cortan a la vertical trazada por la sección C. de abscisa .y,, en dos puntos P y P'. La longitud del seemento m', que representamos por do en la Figura 5.9, en virtud de (5.4-1) valdrá:

h~ibiendo puesto el signo menos consecuente con el convenio de asignar el signo positivo cii:iriclo el vector PP' es ascendente, y ncgativo en caso contriirio.

Figura 5.9.

Si llamamos 6,, la distancia desde la sección C hasta la intersección D' de la tangente en la sección D a la elástica, con la vertical trazada por C. el valor de esta distancia se obtendr5 integrando la expresión (5.4-4) entre las abscisas de la viga correspondientes a las secciones C y D.

1LI- Veamos el significado de la expresión (5.4-5): - d.r representa el área infinitesimal

E& rayada en el diagrama de momentos flectores dividido por El:. SU multiplicación por (.y - .Y,) nos da el momento estático de dicha área respecto a un eje vertical de abscisa x,.

Podemos enunciar e1 se,oirncio reoretlicl (le ibfolir diciendo: el sryni<,ilto ( i f i i ic lo sobre irn eje cerric-al de abscisa .y, por el pirtrro de la elasrica, coniún a l eje (putzro C) y el de itrrrrsrcción (pitnro D') coti la !ungenre u ku elásrica r n el putito D (Ir uhsri.su .y,, vale lo clirr el tno~>retiro esrárico c/c/ área del rliclgratno rW=/EI= conzprrnciicla enrrr las verricales de ubsciras .uc y .Y, respecro a l eje consitler~t~lo. .,

En el caso de tratarse de vigas de rigidez constante, la expresión (5.4-5) se puede poner en la forma

y el segiindo teorema de ~Llol i r se puede enunciar así: la lotigiritil ScD (Ir1 seg~~retrro <Irfini(lo por itn pirtiro C (ir la elásricci .v el pirtiro D' de itirersrcción rlr la ratiyenre eti o t ro p i t n ~ o D rfr la niisnia. es iguul a l t?ionirriro estirico, rrsprcro a l eje oerricul que pasrr por C, del area (le1 cli(~gr<rtiirr cle tnotnctiros jlecrores enrre los pitnros C y D, cliui~li(io por lu rigidez El..

De la expresión (5.4-5) se desprende que el signo de Jm es el del sentido del vector c?', es decir, es positivo si el punto C está situado por debajo de la tangente a la elástica en el punto D, y negativo si está por encima.

5.5. Teoremas de la viga conjugada

Además de contar con los teoremas de Mohr para calcular el desplazamiento vertical o el giro de determinada sección de una viga sometida a ílexión simple, puede ser particularmente útil la aplicación de otro método constituido por los llamados reorenias de l a viga conj~rga(l(~.

Dada una viga sometida a un sistema arbitrario de cargas, llamaremos viga conjugada de ésta a la misma viga sometida a una carga ficticia distribuida igual al diagrama de niomentos flectores dividido por Elz, con una sus:entaciÓn regida po i las reglas que más adelante se verán, y de tal forma que cuando el momento ílector sea positivo la carga ficticia de la viga conjugada está dirigida hacia arriba y cuando el momento flector sea negativo la carga ficticia está dirigida hacia abajo.

Considerenios un2 viga simplemecte apoyada sometida a un-sistema arbitrario de cargas (Fig. 5.10-a) y construyamos su viga conjugada (Fig. 5.10-b)

En la viga dada, si se toma el sentido ascendente como sentido positivo para las cargas, las expresiones (4.6-5) que relacionan carga, esfuerzo cortante y momento flector son:

d T d'hf P = - = - (5.5- 1) d.r dx'

Su liiiea elástica viene dada por la ecuación diferencial

PP 278 R E S I S T E N C I A DE M A T E R I A L E S i )

# d

4

H (0) $$$ = Viga dada

Elástica de la vign d;ida

(ci

A'

Diagrama de T

Ahora bien, la visa conjugada, sometida a la carga

tendrá una ley de esfiicrzos cortantes T y de momentos íiectorcs n i z que, cn viriiid dc las dos ecuacioncs antzriores, estarán relacionados entre si de la siguiente forma

De la ecuación

S es decir

T E O R l h G E N E R A L O E L,A F L E X I O N . ANALISIS D E D E F O R h l A C I O N E S 279

Se ~ C ~ U C C el sigiiiente teorema: los giros de 10s diversas secciones de la V ~ F ? d(ld(1 cofJl[i(lc'Jl Coi1 10.7 ~ s f ~ e r ; ~ . ~ cortantes tic /(I viga conjrrgorh.

A un valor dc 7 positivo corrcspondc "11 ing~i lo girado cn scritido :iiitili(lr~irio. Como Caso particular dc este tcorcnla, aplicado a la jcccion exlrcrna /I de 1;i vig~l (lada.

se ticnc

es decir: e/ út1g~110 glrado por la seccion que corrrspo~~cie al upoyo articirlodo e.rtrciiio A de la cig(1 d (~du ~ ie t i c t~icdido por lu reocci(jt~ R., cti ciiclro upoj30 tle lo oigo cori/icgodu.

Por otra parte, de la ecuación

d2y (12 ,v - = -- d.Y2 d.?

se dcducc:

es dccir: los cl~~spl~~:ottiierrroz (ILJ 1 ~ s iiistitr~us seccivrlt~s dc 1010 oigo sorrie~icl~~ u jlexióri sri~iplc cic~ric~ri ilrztlos por los t~ivttic.rrro.\~jlccrorcs c/c . sir cigo corijr~gu(ia.

/\ u11 valor dc 'U, posiiivo Ic corrcspondc un tizsplazrimicnto vcriical del centro de gravedad dc [a sección C en-scritido asccridcntc, y dsscendcnte si l i i , es negativo.

De los dos uliirnos teoremas sr deduce que la flcclia de la viga dada se prcscntari en una sección de esfuerzo cortante nulo de la viga conjugada y valdrií lo quc el momento flcctor M en clla.

Los tcorcmas que acabamos de exponer reciben el nombre de teoret>tas (/e lo oigo c~o~~jrcgacla. Es cvidcnte que la viga conjugada dc una viga dada siniplcnientc apoyada es asirnisnio una viga simpleniciitc apoyada, coriio hcnios visto. Pcro ipodcnios afirmar que para una viga dada de varios tramos con cxtrenios libres o empotrados la viga conju-nda tiene la misma sustentaci8n? Evidentemente, la respuesta a nucstra pregunta es negativa. ya que las corrcspondencias entrr los enlaces y las condiciones en los extremos de las vigas dada y conjugada tienen que i~crilicar los teoremas que he:nos obtenido.

Así, podemos establcccr lr. correspondencia qi:: resumimos en el siguicntc cuadro: 4

Viga dada

Enlace

Apoyo articul;ido cntreiiio

Apoyo articulado iiitcriiicdio

Extrcrno librc en voladizo

E.xtrenio einpotr;i<lo K9tiila interrncdi;i

Viga conjugada

Caractrricticas

I Enl;ice de la secciim

Características de la sccci611

0 , f O ; ).,=O

O,, =Ocz # O ; J., = O

0, # 0 . ,,,. # o U, = O ; .l., = O

O,., # O < - ? ; J.^ + o

Tc = O ; ,U, = O

fc, = Tcl 1 0 ; 10, = O

7, # O ; ,Uc # O r, = 0 ; M e = O

+ Tc., : ,U, # 0

Apoyo articulado

Rotula intermedia

Exireino empotrado Extrcino libre Apoyo intermedio ¡

280 RESISTENCIA DE SIATEKIALES TEOKIA G E N E R A L D E LA FLEXION. . - \NALISIS DE DEFORMACIONES 281

tiabiendo indic;ido coi] los stibiridices ., y c2 1;is secciones indelinidanicrite próximas a Para obtener la expresión del potencial interno del prisma mecánico podemos aplicar izquierda y dereclia. respc.ctivameritc. dc la sección C I;i fbrmula (1.15-5) que nos da éste en función de las componeiites de la matriz de

( iensioncs. en la que a,, = a, s,, = r siendo nulas las restantes componentes.

n 1

n 4

1 1 1

1 1 I

I i 1

El potencial interno del elemento considerado será:

4 1 m I I

1 I I

1 , , 4

8 4 I 1 I

dZ = - a' dv L(V dz + - T' r1.v dy d-7 4 1 2E

(5.6- 1 ) < 1 . . 2 G

1 I 1 1

A 1 Si el eleniento de prisma que se considera .es el comprendido entre dos secciones rectas

13 1 . indelinid;iniente próximas separadas d.\-, el potencial interno correspondiente se obtendria mmz w

1;igura 5.1 l. 1 iriregrando esta ecuacibn y extendiendo la integral a la sección recta: I

Este cuadro nos permite establecer las siguientes reglas para obtener la sustentacibn de la viga conjugada de una dada:

1 ) el apoyo articulado, extrznio libre o empotramiento, en un extrenio de la viga dada, permanece siendo apoyo arriculiido o pasa a ser empotramiento o extremo libre, respectivamente, en la viga conjugada;

2) el apoyo articulado de la vida dada que no esté situado en un extremo, pasa a ser una articulación o rótula en la viga conjugada;

3) la articulación o rótula de la viga dada pasa a ser apoyo articulrido de la viga conjugada;

Ahora bien, sustituyendo los valores de a y s dados por la ley de Navier y por la ! lbrmulr de Colignon respectivamente, tenemos: i

que se representan en la Figura 5.1 1. Como normalmente el material utilizado es homogéneo y la sección recta no varia y,

por tanto, el módulo de rigidez a la Ilexión es constante, resulta cómodo trabajar con una carga ficticia igual al diagrama de momentos y dividir luego los resultados por EI:.

1 Como IJn iiir es el momento de inercia respecto al eje de flexión, haciendo:

!

5.6. Expresión del potencial interno de un prisma mecánico sonietido a flexión simple. Concepto de sección reducida I la expresión (5.6-3) se puede poner en la forma:

M; fis + T j <is - 1 - J-:=

Según hemos visto, sobre un elemento del prisma de aristas paralelas a los ejcs, las e

tensiones que se engendran sobre sus caras, cuando el prisma mecánico se somete a flexiór.

1 siendo dr el elemento de arco de linea media. Vemos que el potencial interno consta de dos términos: el primero representa el

potencial debido al momento Fector; y el segundo, el debido al esfuerzo cortante. En este últii ,~? aparece i r , , que, segun se ha definido, depende exclusivamente de las características geometricas de la sección. Por comp:iración con la expresión que nos da el potencial de un

( prisma debido al esfuerzo cortante, ya estudiado anteriormente, llamaremos a n,, sección reri~rcirln.

Mi & = - f i . + 2 dr (5.6-5)

rJ 2 E;, 2Gn1,

/"-- Figura 5.12.

simple, se reducen a las indicadas en la Figura 5.12. EL potencial interno del prisma se obtendrá inregratiilo n 10 Iflrgo fiel eje del mismo

I

282 RESISTENCIA DE M A T E R I A L E S

Si comparamos la expresión (5.6-4) con la (3.3-3) que obtuvimos en cl Ciipitulo 3 a[ estudiar la teoría elemental de la cortadura, vemos que podemos considerar la sección reducida R,, como el área dc una sección ficticia de la viga tal que manteniéndose plana la sección recta y, por tanto, actuando sobre ella uria tensión tan-encial constante, el poiencial interno es el mismo que tiene la viga cori la sección relil y la tensión tcingericial variable.

A modo de ejemplo calculemos las secciones reducidas en caso de secciorics rectas de forma rectangular, circular y rómbica.

Irt: a) Seccicin rectangular (Fig. 5.1 3)

1 - - 9 - -- A h2(h2 - y')' 3 1 R,, 4 6 ' 1 1 ~ ~ ~ ~ 46 J y = - - 5 hlr

Figura 5.13.

Como 2 blr = R, q u e d a

5 R,, = - 0 '

6 b) Sección circular (Fig. 5.14)

i +

2 ~ 3 2 R cos cpR scn cpR cos cp dcp = 2R3 cos2 cp scn cp drp = - cos3 O 3

16 "12 4R6 cos6 O 10 * P@ RI, n2R' J0 9 . 2 R cos O c0s6 O do = _i .

9rrR

E . P. Puig A<l.im. ~Cilculo Integral>>. pág. 87.

Figura 5-14. 1

Como R = nR" queda:

C) Sección rbmbica (Fig. 5.15)

l I b , J Figura 5.15. ,

h 1 1 - y - - 60

Como - -5 b = - ( h -.l.)

ho 11 11

bli3 (11 - cl!. = - 6

11 1 6,1i5 31 (Ir - !.)? (I1' + Ii!. - 2!.?)2 - d,. =

36 Ii2 ho (Ir - J.) . 1s 60

Por tarito.

dz donde

5.7. D e f o r n i a c i o n c s p o r es fuerzos c o r t a n t e s

En el estudio de la deformación de una viga sometida a flexión simple hecho hasta aqui se ha considerado solarnente el momento flector, es decir, se ha supuesto despreciable el efecto producido por e1 esfuerzo cortante. En la mayoria de los casos se puede considerar, efectivaniente. despreciable la deformación debida a1 esfuerzo cortante, pero para vigas cortas el efecto del esfuerzo cortante frente al del momento flector puede ser apreciable, como veremos mis adelante y, por tanto, habría que tenerlo en cuenta.

Como la tensión tangencia1 T debida al esfiierzo cortante no se mantiene constante en todos los piintos de la sección, la distorsión angular que sufren las fibras de la viga es vdriable. Las secciones rectas, por tanto, no se manteridrin planas despuks de la deíorma- c15n sino que experimentaran cierro alabeo.

Figura 5.16.

No obstante, lo que vamos a determinar es el desplazamiento rclntivo civ = y dr (Fig. 5.16) entre dos seccioiies indefinidamente próximas a causa del esfuerzo cortante T,. Del segundo termino d¿l segundo miembro de la ecuación (5.6-S), que expresa el potencial interno del prisma elemental limitado por ambas secciones Jebido al esfuerzo cortante T,, se obtiecz, aplicando el teorema de Castigliano, el desplazamieiito relativo (/u.

a([tq r, [ / E = = -- clx

O? Gflly (5.7-1)

y como (/u = y r1.r. se deduce que el ángulo de d~slizamiento ;l (en realidad se trata de un valor medio) tiene por expresion:

La expresión (5.7-1) nos permite calcular de forma inmediata, si la sección reducida de la viga es constante, la línea elástica de la deformación debida exclusivamente al esfuerzo - cortante.

(/M. En efecto, teniendo en cuenta que T. = -.z e integrando, se obtiene:

d.x

,:. - en donde :Cl,(.r) es e1 momento en una sección de abscisa .r y 1% el momento en el origen.

En realidad esta deformación habria,que superponerla a la dada por la elástica que hemos visto en el episrafe 5.2, en la que solamente haciamos intervenir el momento flector, pero como ya se ha indicado la deformación debida al esfuerzo cortante se suele despreciar - respecto a la producida por 61 momento flector.

A modo de ejemplo, calculemos la relación entre las flechas debidas a una y otra causa en los casos de una viga simplemente apoyada sometida a carga uniformemente repartida y a carga concentrada aplicada en su punto medio, ambas de sección rectangular. -

En ambos casos las expresiones del momento de inercia de la sección respecto al eje z y de la sección reducida, son:

a) Viga bajo carga uniíormemente repartida (Fig. 5.17-a) - La flecha debida al momento flector fue calculada anteriormente y su valor, según la ecuación (5.2-9), es:

5 plJ 5pI4 = ---= --

( l . 354 EI, 32Ebli3

Para calcular 13 debida al esfuerzo cortante aplicaremos la ecuación (5.7-3). teniendo - en cuenta que la ley de monientos es

y quc la flecha se presenta eri el punto medio de la viga.

(b) Figura 5.17. (0)


Por tanto. tomando el sentido positivo del eje y el vertical asccndentc. tcncriios: Aunque 10s c5lculos realizados 10 Iian sido para un viga dc scccioii rcctangul:ir pucclc

el lector considerar distintas formas de la sección recta y diversos casos de carga Y comprobará que Ilcga a análogos resultados a 10s cn nuestros ejemplos, es decir. concluirá que en la niayoria dc los casos 1;)s dcforrnaciones debidas al esfucrzo cortailtc son despreciables frciite a las producidas por el monicr;iú flcctor.

3 Si el material de la viga es acero, G = - E, la relación entre fTy y Jwz ser;: 8

5.5. Método de Wlolir para el cilciilo de deforniaciories

Otro mEtodo para el c:ilculo de deformacioncs. basado en consideraciciries encrg&ticas, es el llamado nl>rotk) ti. ~Llolir que vamos a exponer a conti~iuacióii. Aunque el método es aplicable a cualquier sistema elistico somctido a una solicitación arbitraria, como veremos en el Capitulo 10, ahora lo aplicaremos a un prisma mccinico sometido a flexióri sirnplc

Considcrcmos la viga dc.la Figura 5.18 quc adriiitc plario medio de simetría. somctid:i a un sistema de cargas vcrticalcs situadas cn su plaiio incdio y proporigimonos ca1cul:ir I:i

deformación de la sección C. Para calcular el Jcsplazamicnto de esta sccción el nictodo consiste en suponcr situada

uiia carga ficticia á> aplicada cri la scccibn ciiyc, corrii~iicnío qiicrcmos calcular. dc dircccióri aquella cii que querciiios niedir la proyecciciri dcl \.cctor corrimicnto. Se calciilii el potencial interno de la viga sonictida a la solicitiicion forrnada por 1;i carga real mris la c.I o. r . ' -. . r=a I L L I L I ~ (D. El corriiiii~'11t~) 2, di: la sección ('en I;i tiirccciSii de cD se calcril:i aplicarido el tcorcma dc Castisliano patticiilariziirido cl rcsulrndo para (ú = 0.

b ) viga bajo carga concentrada y centrada

La flecha debida al momento flector se puede calcular rncdiarite la expresión (5.2-15).

La flecha debida al esiucrzo cortante. dado que la ley de momcntos flcctores cs ,\I;(.t-) = (P;?).r, válida para O ,< s $ 1/2, será:

(j< = (E) i.Q, , X, La relación entre fT y f,,, en este caso, es:

Obtenidas las relaciones entre las flechas debidas al esfuerzo cortante y al momento íiector en los dos casos estudiados, podemos calcular el porcentaje que representa jTy respecto a /Mz para los valores niSs usuales de la relación Ir/!.

( 6 ) Figura 5.18.

Tabla 5.1. Valores dcJr;//,= en %

Por el principio clc superposición. el moniento flcctor y csfiierzo cortante de la visa Con la carga dada nihs la car9;i ficticia (1) scrA la siiriia dc momentos flcctores y esfuerzos cortantes rcspcctivairicntc, corrcspoiidicrites a la ciirca r a l por iiria parte, y a la carg:! licticia actuando sola sobre la viga, por otra.

Ahora bien, por la liiicalidad entre causa y cíccto. cl riiomcnto flcctor O esfucrr« cortantc en una sccción dcbidos a la carga <D es igual al cfccto producido por una carga unidad aplicada en C, de la misma dirección y sentido que (1) (Fi:. 5.18-h), multiplicado por el módulo de I;i carga 0,.

Viga bajo carga uniformemente repartida

Viga bajo carpa concentrada y ccnfrada

Dei anterior cuadro de valores se deduce que la influencia de las deformaciones debidas al esfuerzo cortantc es muy pequeña respecto a las producidas por el momento ílcctor y que esta influencia disminuye a medida que lo hace la rel3cióri li/I. De a t . i i quc podamos considerar despreciables las primeras respecto a las segundas.

Iil[

116

7.1 1

8.88

i 18

4.00

5.00

i l i a

2.56

3.20

1/12

1.77

2 22

2x8 RESISTENCIA Dfi \ 1 A T 1 - K I A L E S i Por tanto, las leyes de momentos Ilcctores y esfuerzos cortantes en la viga con la carga

real más la carga licticia (D serin:

en donde:

. l o 2s la ley de rnomenios flectores de la viga dada sonletida a la carga real.

T,, es la ley de esfuerzos cortantes de la viga dada sometida a la carga real.

l 1 es la ley de momentos flectores producidos por una carga unidad aplicada en la sección C.

T,, es la ley de esfuerzos cortantes producidos por una carga unidad aplicada en la seccion C.

El potencial interno de la viya, en virtud de (5.6-6), es:

Por el teorema de Castiglilino, el corrimiento vertical de la sección C será:

Como ya vimos anteriormente. el termino debido al esfuerzo cortante podemos despre- ciarlo respecto al debido al momento íiector, por lo que podemos poner como expresión del corrimiento de cualquier sección C la siguiente:

t

en donde 1MZ, es, como ya se ha dicho. 1i1 ley de momentos flectores debidos a una cerga 1 I

unidad apiicada en dicha sección C. Puede ocurrir, como en el ejemplo que hemos puesto, que las leyes de momentos

íiectores pueden ser distintas en los diversos tramos de la viga o del sistema elástico que se considere. En estos casos la expresión (5.8-5) seria de la forma:

en donde las integrales estarían extendidas a las líneas nizdias de los tramos en cuyos intervalos de la abscisa S tuvieran validez simultánea las leyes de LIZO y A<,.

Si se presentara el caso de calcular el desplazamiento de uiia sección C de un sistemn

clistico, tal como el indicado en la Figura 5.19, en el que no es posible suponer despreciable la componente horizontal, como se ha hecho en el caso de vigas rectas sometidas a - cargas verticales, la apliciición del método exigiria la consideración de una carga licticia vertical U, (Fir. 5.19-0) para calcular la componente vertical j,, del desplazamiento, mientras que para calcular la componente horizontal 6,, sería necesario considerar una carga ficticia horizori.!al 0, (Fig. 5.19-b). -

Figura 5.19.

Si se trata de ciilcular el ángulo de giro de la sección C aplicando este método suponemos aplicado en ella un momento ficticio cD (Fig. 5.30-u).

(4 -1-

(4 Figura 5.20.

Se calcula el potencial interno de la viga sometida a la solicitación formada por 1,

teorema de Cas!igliano particularizando el resultado para O = O f carga real más el momento ficticio O. El giro 8, de la sección C se calcula aplicando e

Procediendo análogamente a como hemos hecho anteriormente para el cálculo del desplazamiento, las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes en la viga con la carga dada más el momento ficticio 0 serán:

290 RESISTENCIr\ DE MATERIALES

en donde ,M,, y T,,, tieiien el mismo sigriificado que en las ecuacioncs (5.5-2), pero ahora:

1 es la ley de momentos ílectores producidos por un morncnto unidad aplicado en la sección C.

T es la ley dc esfuerzos cortantes producidos por un niorncnto unidad aplicado en la seccion C.

La expresión (5 .5 -3 ) del potencial interno sigue siendo valida. por lo que la aplicación del teorema de Castigliano nos dará:

- - El,

e igualniente que arites podemos considerar despreciable el ttrrnino debido al esfuerzo cortante, y si existen varias leyes d c niomcntos ílectores a lo largo de la viga, la expresión del ángulo girado por la seccion 1 será

Indicaremos, finalmente, que si el signo; tanto del desplazamiento 5, como del giro O,. es positivo quiere decir que el desplazamienio o el giro de la seccion que sc considera coincide con el de la solicitacibn unitaria aplicada.

5.9. filétodo de multiplicación de los gráficos

La aplicación del mitodo de Mohr nos lleva a calcular integrales del tipo (5.8-5) o (5.8-9), es decir, integrales en las que aparecen el producto de dos funciones de la misma variable .Y.

Teniendo en cuenta que el diagrama de momentos Rectores en la pieza de la íuerza o momento unidad van a ser rectilíneos, vamos a exponer el denominado método tic riiitltipli- cación de los grirficos que permite encontrar los valores de las iritegrales de hlohr sin necesidad de calcularlas.

Supongamos que queremos calcular la integral del producto Fo(.r) - Fl(.r) de dos funciones, una de las cuales al menos es lirieal en un intervalo de loiiyitud t'.

Si F, es una función lineal

la expresión (5.9-1) se convierte en:

Lii scgundii iiiicgral es el arca del dia3r;ii;ici &(.Y). que Ilarniirernos n o , inicr1tr:is que la .;egurida es el iiiorncrito estiiico dc este arca respecto al eje y

.Y&( 1.) <l.\. = Ro . .u<; (5.9-4)

sicrido .u,- I;i nb5cis;i dcl ceiitro cic gravedad del d;:i~r;iriia caricsp~iidicnte :i 13 fuilci«n F,)(.\.) (Fig. 5.2 1).

Siistituyciido cri In cxprcsióii (5.9-3). tericmos:

es decir: 10 iiiregrul t ielprori~rcro Fo(.u) . F,(.Y) r l ~ p dos/tr,icioiic.c, .riciidu l i i~er i l F, prrtlietrrh ser

F,, de corifigitracióii arbitraria, es iguc~l 01 protlircro del hrea del diagrai~ia iie F, por I(I or<lc.tiuíin riel ciitrgr(liiiu liileol yite corrcspuii(1c. (1 /u cr/~sci.~c~ c/c./ cctr[r(i (1. ,qrn~.e<lctcl del area

no. Para el signo dc / s e tendrin en cuenta los sicrios que tcngrin los dos diri~r:iiii:is. segun

la forma de trabajar que tenga la pieza somctidii a la solicitacióii exterior dada o a la acción unitaria (fuerza o momento).

Si el signo de 1s multiplicacióri de los gráficos es positivo, el rcsulta(io nos indica que el sentido del corrimiento o giro de la sccciSn qiie se considcr:~ coiricidc con cl de la solicitación unirnriii aplicada.

Conviene haccr la observación que el producto dc los dos gráficoc. si uno dc cllos es de conliguración arbitraria, no es coriinutativo. Sin embargo, si lo ser5 si Ics dos íunciones F,(s) y F,(.r) son ambas lineales.

5.10. Cálctilo (Ir desplazarniciitos en vigas sometidas 3 flcsión siniplc riiediante uso de series de I;ouricr

Oiro niitodo quc sc piic(lc utilizar p;ir;i cl cilciilo tlcl dcsp1iir;imicnto tle sccciorics de vigas soiiictid¿is a ncxii)ii siniplc cs cl biis;ido eri I;i iiiili/;ición clc wrics clc Icoiiricr.

Consideremos en primer lugnr una viga simplemente apoyada de Ion-itud 1 y rigidez E/ : corist:inte, sometidli 3 u n 2 Jistribiicióri de carga delinida por la ecuaciSn

11 71.T p = po sen -

1

siendo ri un numero entero y p,, una constante, que es el valor r n i ~ i m o de la carga aplicada a la viga. Tomaremos el semiqe positivo de ordenadas el vertical ascendente.

Como la ecuación diferencial de la elástica es

y, como vimos en (4.6-j), la carga es la derivada segunda del momento Ilector, la ecuación (5.10-2) la podemos poner en la siguienre forma

d-' 1. (I' .i,f E/ . - = =

nr.r po sen -

d . ri.rL 1

cuya integración nos da

siendo C, y C, constantes de integración que podemos determinar imponiendo las condiciones de contorno de ser nula la curvatura de la elástica en los extremos de la viga.

De la ecuación resultante

d2 v nn.r E = p ) sen -

d.r - 1

comparándola con la (5.10-2) se deduce que la ley de momentos flectores en la viga sometida a una carga senoidal es también senoidal.

Integrando una y otra vez la ecuación diferencial anterior, tenemos

Imponiendo la condición de contorno de ser nulos 10s desplazamientos en los extremos, se deduce la nulidad de las dos constantes de integración. -

La ecuación (5.10-8) se reduce a

E- = g o - sen - ' ( n L y nT

Si la carga que actúa sobre la viga tiene la forma niás general de un desarrollo en serie de Fourier.

n . ~ 2x.r 3 n.r n n . ~ p = p l sen - + p2 sen - + p, sen - + - = f p. se" - (5.10-10)

1 1 1 n = l 1

se puede aplicar el principio de superposición para obtener la ecuación integral de la elistica

' nn.r . y = f p. (i) sen -

" = , 11n 1

siendo p,(n = 1, 2 , ...) los coeficientes de Fourier, cuyos valores se obtienen multiplicando nk.r

los dos miembros de (5.10-10) por sen - 1 dx e integrando a lo largo de la viga

Las integrales del segundo miembro se anulan todas salvo la correspondiente a p, que -

vale l / 2 * , por lo que los coeficiertcs de Fourier serán

A modo de ejemplo veamos a qué resultado nos conduce la aplicación de este método para obtener las flechas en dos de los casos que hemos visto anteriormente aplicando el - método de integración.

El primer caso a que nos referimos es al de una viga cargada con carga uniforme p por unidad de longitiid (Fig. 5.22-u) -

Véssc ~<C.ílculo Integral» de P. Puig Adam. Lección 10 5 7. o cualquier texto de matemiticas que contenga el csiudio de series de t'ourier. -.

294 RESISTENCIA DE hlATERIALES

(0) t--- (b) --A Figura 5.22.

Los cocficientcs de Fouricr para este caso, segun la ecuación (5.10-13). scran

n n x I n n u ' p. = -:j:sen -dr = -2p[--cos -1 = - - - ( ( - 1 1 n n

2p cos nr j O lln

cuyo valor depende de que n sea par o inipar:

para 11 par: cos iln = 1 =. p, = O

" P para n impar: cos tln = - 1 3 p, = - - n n

La ecuación (5.10-1 1) de la clástica tomará la lornia

n s 1 3n.y 1 5nx Elz.v = -2 (-!)I (scn - + 7 sen

n 1 3

Por tarito. la ecuación de Ia íicclia se obtendrá particularizando csta ccii:icii'n par;i .Y = 112

Desprcciando los términos a c serie a partir dcl segurido, se obticnc como valor aproxiniado de la flecha

Si comparamos esta expresión con la (5.2-9) de la flecha obtcnida por doblc intcgración observamos que el error por exceso cometido al tomar el primcr térrnino de la cxprcsión (5.10-15), obtenida al aplicar el método que utiliza series de Fouricr, cs del ordcri dcl 0.3 por 100.

El scgundo caso al que vamos a aplicar el método quc Iicmos expuesto cs cl dc una r,

viga simplemenie apoy;ida somcti<In ulia c;irga P cli la seccibn niedi:~ C ( F i g 5.22-hl. este c:iso la carga cquivalcn~c se puedc exprcscir así:

x n x Zn Zn.< jz 3n.Y seii - scn - + scn - sen - + scil -, ,crI - + ..,) (5.10-17)

1 2 1 L 1

y la ecuación de la clásticn, segun (5.10-1 l ) , scrá

n . Y 1 2n 2 . I 3 n 3x.y EI;!, = - E ( s C n s e n - + -sen-scn -- + - pen-scn- +

n " 2 1 Z S 2 1 3" ' 2 1

dc dondc, particularizarido para .Y = Ii2:

Dcspreciandn 10s términos dc 1:i scric a partir del segundo, se obticnc conio valor aproximado de la flecha cri este caso

2 ~ 1 ' PI' 0.985 P13 f 2 = ------ = - z L E I z 48.7.Fr, 45 El ,

Comparando csta expresión con la (5.2-1 5 ) que nos d:i cl valor dc la flcclia de la vig;i que criarnos corisidcran<io ciiaiido sc a p l i c ~ cl riiktodo dc I:i doble irilcgración, sc deduce que el error conletido tom;indo solanicritc cl pririicr tkrniino dc la cxprcsion obtcriida aplicando el método basado en la utilización dc las series de Fourier es del orden de 1.5 por 100 por defecto.

5.í1. Deforriiaciones de una riga por efecto de la teniperatura

Ya vimos en el epigraíe 2.6 el cornportan~icnto de un prisma mecánico cuando se producc una variación térmica. Alli se consideraba unifornic dicha \variación, es decir, todas lar p:irticulas dcl rnatcriai cxpcrirncntaban ci misnio increniento dc temperatura. En tales circunstancias, si la dilatación de un prisma mecánico recto de longitud 1 es librc. el incremento de lcnzitud del prisn~a, cuando se producc una variación d t temperatura Al, cq

siendo a el cocricientc dc dilatación lineal. que cs constantc para cada material. En una viga simplcriiciiic ;ipuya.la, sin carg:i y de j)cro dcsprcci;iblc, la linca nledia seguir5 sicnda recta.

Ahora vamos a considerar una viga simplenicntc apoyada (Fig. 5.73) de sección recta rectangular, quc cst i inicialniente toda clln :i tcrnpcratura r , , pcro se produce una varis- ción térmica que hncc quc cxistn i i r i gradieiitc tfrriiico coristantc dc a b i o a arrib:i,

decir. la teniperatura entre liis clirvs inferior y superior varia linealmente (l:ig. 5.73-c). Sea I , la temperatur:~ de la cara iriferior y I , la correspo~~diente 3 la cara superior 1

1

J-l-----i 11

(al ( b ) (4

Figura 5.23.

El comportamiento de la vira es ahora totalmente diferente. ya que los alargamientos d s las fibras longitudinales son distintos. Por esre motivo, la linea media se curvará. lntuitivamente vemos que el eircro producido por la temperatura es equivalente a un

í , + r z ai~irgamiento uniforme AI = lr(r, - r,) siendo r, = ---- , la teniperatura media,

- seguido de una ílexi6n pura como la que genera un momento flector aplicado eri las secciones. extremas.

I'arii obtener la ecuación diferencial de la elistica veirnos cual seria I:i expresión de su

cara inferior, según se desprende de la Figura 5.23-b

i curvcirura que podemos obtener expresando e1 sllirgamiento relativo de las fibras de la 1

I

De aquí se obtiene I por lo que la ecuación diferencial de la elástica de la viga debida a la variación térmica ind idda , en virtud de (5.2-2), será

La ecuación de la elástica se obtendría a partir de esta por doble integración. Se observa que desde un punto dc vista formal, y en lo que al cilculo de dcsplazarnientos verticales se refiere, la ecuación (5.1 1-2) se oblendria a partir de la (5.2-5) reemplazando 1LlL/EI: por a(¡, - f?)/li, por lo que E,ta seria la sustitución que tendríamos que hacer si aplicamos los teoremas de Mohr o de la vi;a conjugada.

Si la temperatura media r, difiere en un valor notable de la inicial t , podría interesar tener en cuenta el desplazamiento horizontal. Para una sección de abscisa .Y sería

S,, = ~ ( l , - í0).x (5.1 1-3)

TEOKlA GENEKAL DE LA FLEXION. ANAL[S[S DE DEFORb1ACIONES 297

Los giros de las secciones vendrian dados por la ecua-,bn obtenida al realizar la primera integracióri de la ecuación diferencial de la elistica (5.1 1-2).

5.12. Flexión sirnple de vigas producida por impacto

tlasta aqui siempre hemos considerado cargas estáticas actuando sobre un prisma mecáni- co. es decir, cargas que se aplican al prisma de forma lenta y progresiva y que quedan en estado de reposo relativo respecto del mismo: Pero ahora vamos a considerar que la flexión sobre una viga. que admite plano.midio de simetría vertical, tal como la representada en la Figura 5.24 es producida por, una carga de masa 1í4 que cae sobre la sección media desde una altura h. El impacto produce una flecha 6 que queremos calcular.

La resolucion de problemas de este tipo se hace siempre por consideraciones energéti- cas. Supondremos que no hay páididas de energia por rozamieiito externo o interno, así como que la masa :I.I sigue unida a la viga hasta que ésta alcance la deformación máxinia d. En estas condiciones, la pSrdid3. de energía potencial de la masa M, cuyo valor es

siendo g la aceleración de la gravedad, tiene que ser igual al potencial interno o energia de deformación almacenada por la viga.

Figura 5.24.

Ahora bien, para calcular el potencial interno de la vigri tengamos presente el valor de la carga estatica P que produciría una flecha 6, que según (5.2-15) seria ta! que

PI' 48EL 6 6 = - d e d o n d e P = ---- 45 EIz I3

y que el potencial interno se puede expresar en función de las fuerzas exteriores mediante La ecuación (1.15-3) de Clapeyron

Igualando las expre~13nes (5.12-1) y (5.12-2), tenemos


Esta condicib~i te podr:i cxprcsnr dc la siguieritc k~rirla:

ccuaci8ii dc scguiido grado, cuya solución válida cs

siendo K una constante. es decir, 3 - = ~ ~ l ~ i ' + k/'r,cfm+ 96ElzJbfgl'/~ - ,\lgI3 ,/v -- + 211 -- ( 5 . 12-5)

4S E L 4SEL 4SEI: 48 El, (F. 1 3-2)

Si Ilariian~os a,., a la ilcclia que correspondcria ;I la c;irga i l lq coloc:ida ric í'orinri estática eii la seccióri inedia de la viga. la ecuación aiitcrior sc puedc poner eri la forma

el modulo resistente de la sección es proporcional al valor absoluto del mornento ilector en ella.

En cuanto a 1:i deformación de la linea media de estas visas, si el eje z es de simetria, la ecuación difcrcncial de la linca elástica sera De la observación de esta ecuación y del razonamiento seguido se dcducc:

l ." El desplazamiento vertical de la sccción media de la viga producida por una carga dinámica es siempre mayor que el corresporidicnte a la carga conlo cstitica.

2." Si 11 = O, es decir, si la carga se aplica subitarncnte sobre la viga y no de fornia lenta y progresiva, el desplazamiento vertical debido a la carga dinimica cs el doble del correspondiente a la carga como estática.

3." Si la altura 11 de caida es muy grande comparada con 5. se puede despreciar 61,, frente a 2/16,,, en la ecuación (5.12-6), y la expresión dcl desplazainicnro debido a la carga diriámica seria

tomando como sisicrna de rcferencia el formado por el eje .r coincidcntc con la linca media no deformada y el cje y positivo ascendente.

Como

4." El valor de d dado por (5.12-6) es cl máximo que puedc tener el dcsplazan~iento vertical de la sección media. toda vez que en sii obtención se ha supuesto qiie no había ptrdidas de energia durante el iinpacto, es decir, no se ha coiisiderado la eiiergia disipada cn la dcCormacicin local de las superficics de contacto, taiito de la masa como de la viga, ni la energia necesaria para el posible rebote hacia arriba de la masa que choca con la viga.

siendo p el radio de curvatura de la linca clbstica, de la ecuacihn (5.13-3) se deduce que si la altura 11 de 13 viga es constante tanibicn lo es p y. por tanto, la linea elástica es un arco de circunferencia.

A modo dc cjempio estudiaremos varios casos de interés en la práctica, de vigas en voladizo de seccion rectangular de igual resistencia a la flexión.

'a

a ) Viga en \oladizo con altura constante y anchura variable. sometida a carga concentrada cn el estrcmo !ibre (Fig. 5.25)

A! ser la secciori transversal rectangular dc ancho b, y altura h. el módulo resistente es:

5.13. Vigas de sección variable sometidas a flexión sirnple

En la exposizión de la teoría general de la ilexión que se ha tiecho hasta aqui nos heinos referido fundamentalniente a prisnias mecánicos de sección recta constante. Pero hay innumerables casos cn la práctica en los que las piezas que trabajan a ílexión ticnen sección variable, ya sea porque ello va a significar una disminución del coste de la pieza o por necesidades de la construcción de la que la pieza forma parte.

Admitiremos para estas vigas la validez de la ley de Navier y dc las fórmulas fundamentales de la teoria de la ilexión. Supondremos, asimismo, quc no es brusca la viiri;iciciri de las secciones, ya que si así fuera se prescntarian concentración de tensiones.

Estudiaremos exclusivamente las vigas de igrral resistericia a la/Ie.rióri, enteridicndo por tales aquellas vigas en las que la tensión maxima, correspondiente a los puntos en cada sccción más alejados de la linea neutra, cs constante en todas ellas.

El momento flector en la sección dc abscisa .Y es:

1\1: = -P.r

Figura 5.25.

Como en esta sección ger~érica la tensión máxima de tracción

ricne que ser igual a la a,,,, en el e m p o t r a r n i e n t o ~

igualando a y b a s expresiones, se tiene

de donde:

es decir, el ancho de 13 viga ha de variar linealmente (Fig. 5-75).

(5.13-5)

(5.13-6)

(S. 13-7)

(5.13-8)

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE DEFOK~~ACIONES 301

Como en la sección extrema libre del voladizo el momento flector es VIO, pero e1 esfuerzo cortante es igual a P, no se puede admitir anchura nula. La anchura bo de la sección c x ( r c ~ ~ I a se determina imponiendo la condición de resistencia a las tensiones

de donde

(S. 13-9)

Podemos comprobar que la línea es un arco de circunferencia. En efecto, el radio de curvatura tiene por expresión ,

que es constante. Una forma sencilla de calcular la flecha es la de aplicar el segundo teorema de Mohr

que nos da la distancia desde el extremo libre A a la tangente horizontal en el empotramiento B.

12Pl 6P13 xk= - Ebli3 (S. 13- 1 1)

También se puede hallar el valor de la flecha calculando la ecuación de la línea elástica y particularizarla para x = 0.

Determinaremos las constantes de integración mediante las condiciones de contorno

6p13 12P13 6 Pl' y ( f ) = O ; -- + - j . + K = O = . K = - y

E ~ / J ' Ebli Ebli


Por tanto, la ecuación de la linea elistica es:

Se comprueh:~ que el valor de la flecha que se deduce de eita eciiación [ f = ).(O)] coiricide con el obtenido aplicando el segundo tcorcnia de hlolir.

b ) Viga en voladi~o con altura variable y ancho constante sometida a carga uniformemente repartida (Fig. 5.26)

Considerando la linea media horizonral. si h es el ancho constante cn toda la viga y h la altura en la sección del empotramienro, el módulo resistente de una sección de abscisa x es:

Figura 5.26.

y el momento flector

Por consiguiente, de la condición de igual resistencia a la flexión. la tensión máxirna en la sección de abscisa .r

tiene que ser igual a la tensión máxima en la seccion del empotramiento

3pI2 ama, = -- hll'

Igualando n:;ihns expresiones se deduce:

es decir, la altura de la viga presenta una variación lineal. La flecha es el corrimiento vertical del extremo libre y se puede ca1cul;ir aplicando el

segundo teorema de Molir.

ps'

siendo 1, el momento de inercia de la sección recta en el empotrarniento. respecto del eje :

I,a deicrminaciciri dc la ecuac~on de la linea elástica se puede Ii:iccr licilrnentc por doble integracion. conlo se h'ri hecho eri el caso estudiado anteriorrricnte.

c) Viga en voladizo con altura ~ar iab le y ancho constante, sometida a carga concentrada en el extremo libre (Fig. 5.27)

Considerando tambiEn en este caso la linea media horizontal sea b el ancho de la viga y 1 1

la altura en la sección del empotramiento. El niódulo resistente de uiia seccióri dc abscisa .Y es:

y el momento flector

,ir, = - PX


Veamos ahora la variación del valor absoluto dc la curvatura de la elástica en ambos casos. En la viga de laminas, se tiene:

I l1W-I Plln 12Pl .

mientras que en la viga normal:

1 liM,I - = - P f 12Pf =-=-

P EI: 1 Ebli E , bh3

Como las flechas varian proporcionalmente a la variación de la curvatura, los resultados anteriores nos indican que la viga formada por n láminas es nZ veces más flcxible y solamente n veces menos resistente que la viga de una pieza de las mismas dimensiones.

Precisamente en la particularidad de deformabilidad que presentan las vigas formadas por láminas reside el fundamento de los denoniinados resortes dej7e.rión o balfesius.

La balles~a es una viga recta o de pequeña curvatura, compuesta de varias láminas superpuestas llamadas hojas, destinadas a absorber con su deformación el máxinio de energia.

Se utilizan principalmcrite en los sistemas de suspensión de vehiculos cuya misión fundamental es amortiguar las percusiones debidas a las irregularidades de las carreteras y la inercia del propio vehiculo.

Se fabri,can de acero de alto límite elástico, con objeto de que puedan acumular el máximo de energia interna. Suelen ser de acero al carbono aleado con manganeso y silicio o con manganeso, silicio y cromo.

La lijación de la ballesta al bastidor o a la estructura portante del vehiculo se realiza por los extremos de la hoja más larga llamada Iioja i>iaes[ra. Las restantes hojas son de longitud decreciente a medida que se alejan de la hcja maestra. Se determirlan las longitudes de estas hojas de modo que la ballesta resuite una viga de igual resistencia a la flexión, que permita acumular el máximo de energia interna media.

Generalmente, las hojas tienen una curva:ura' creciente a medida que las hojas se alejan de la hoja maestra, aunque no se aprecien por su aspecto exterior. ya que para lorinnr el resorte se prensa el paquete de hojas manteniéndolas unidas mediante abrazadcras.

En la Figura 5.29 se representan dos tipos de muelles de ballesta: (a) semieliptica; (0) Tecta.

(4 Figura 5.29.

Para que la longitud y curvatura de [a b;illesta pucdan canibiar bajo carga es necesario que uno de sus exlrcrnos se hjc al bastidor m ~ d i a ~ i t c las getiir/<n. sistcma de articuíaci6n que permite los movimientos necesarios de flcxión y alargamiento.

Consideremos una ballesta cuyas hojas están obtenidas a partir de una viga 1riangul;ir <ic espcsor constariic h (Fig. 5.30).

Figura 5.30.

Suponiendo despreciable el rozamiento entre las diferentes hojas y que el momento PI en la sección del empotramiento es absorbido en partes iguales por las n hojas, la tensib:! normal máxima en la sección de cada una de las láminas será:

M: Plin l i 6Pl LJ = -- ,Vmr, = - = --

1; - 1 bi1' 2 nbli' 1 1

Se comprueba que esta tensihn máxima tiene el mismo valor que la que corresponderi3 a la .liga triangular de partida (Fig. 5.30-0). En cfecto. la tensibn n ~ i x i m a es:

que coincidc con la tcnsibn máxima en cada una de las hojas. Las ballcstrs ¿escritas son resorie.7 de hoj<ii rria~igiiliires. Son frecuentes iambiin 105

resortes de Iiojas rcctangularcs, pero tanto en éstos como en aquéllos el ancho h suele sir constante.


1 . I)ererliiinar las dimensiones de la viga de sección rectangular que puede obrenerse de un rollizo de niaderi de radio K para que pre3enre riiininia deforiiiación cuando e516 sometido a flexión siniple.

L b 4 Figura Y.,.

Integrando la ecuacion direrenci3l aprox~rnada de la línea elistica. o b t c ~ i c r n o ~

E/>l." =

,; = j-"' +

El;

" = j(j-;7-) '"Y + " + " siendo C y K constantes de inregración que dependen de las condiciones de sustentación.

Si suponemos que el material del rollizo es honiogineo E = c:e, de esta expresión se deduce que para varias posibles vigas que obtuviéramos del rollizo. sometidas al mismo sisienia de cargas, la nccha f = y,,, será minirra para el mayor valor posible del momento de inercia -. 'A

Comc

1 1: = - b h J y b 2 = 4 R 2 - I l 2

1 2

se puede expresar & en función exclusivaniente de h.

Los extremos relativos de esta función 1, = I,(h) se obtendrán de la ecuación que >nula la derivada

T E O R I A G E N E R A L DE LA FLEXION. ANALISIS DE D E F O R ~ ~ A C I O N E S 309

De aqui y de la rrlacion entre b y h se obtiene

que son las soluciones que corresponden al máximo de &, ya que se comprueba que para d' l.

estos valores -+ < O. La solución ii = O de la ecuación que anula la derivada carece de -

dli - sentido

V.2. Dimensionar la viga de la figura para un perfil IPN. sabiendo que la tensión admisible es - o,,, = 1000 kp/cm2 y el módulo de elasticidad E = 2 x 10' kp/cm2. Una vez determinado el IPN a utilizar. calcular la deformación en el punto medio del vano y en los extremos de los voladi~os, así como el ingulo girado por las secciones extremas

1 P= 4 ton I P = 4 ton

I 1 i A

2 m - Figura V.2-a. 1

El cálculo de las reacciones en los apoyos es inmediato, ya que son iguales por razón de sirnttria

R, + R, = 12 ton =S R., = R, = 6 ton

Si dibujamos el diagrama de momentos ilectores (Fig. V.2-b) observamos que el valor absoluto máximo del momento flector es

,W,,,, = 4 m ton

I I 161 Linca

t deformada

I Diagrama de momentos fleciorcs

3 1 0 R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E S 1 - E O R [ A G E N E R A L D E LA F L E X J O N .ANALISIS D E DEI 'OR ' I lACIONiIS 31 1

El módulo resistente necesario será: El án-ulo que ha cirado la sección extrenia C se determina particularizando Iii ccuacii)ri

que se ohiiene en la prinlcra integración de la ecuacion diferencial de la elástica para r = 0 hf,,,, 4 x lo5 kp . cm IV, -- - - = 4 0 cm'

O2dm loJ kp/cm2

El valor más próximo por exceso d a d o por 1:)s tnblris de perfiles larniriados es 14': = 442 cm'. que corresponde a un I P N 260 y cuyo momento de iiiercia respecto al eje c es 1: = 5740 cmJ.

Por tanto, el perfil necesario es El signo positivo nos indica que el ciro del extremo C tiene sciitido nntihorar10

V.3. En las secciones C y B de una viga A B simpleinente apoyada. de I U L 1 = Su, estin alilic;lrlo\ monientos .// y -.//. rcspectivamente. La abscisa de la secci0n C es 20 y la de D. 4u. contarlas arnhas a partir del extremo A. Se pide:

Para calcular las cicformaciones pedidas determinaremos la ecuacion de la linea elistica l." Calciilar la ecuación de la elástica. 2." Dihiij:ir la deformada de la viga. a estima, indicando el valor de la flecha y 12 seccihn

EIz',' = - 4 .r para O ,< .Y < 1

E = - 4 + 6 - 1) para 1 .Y < 3 que se presenta.

3." El 3ngiiIo que fornian los planos de las scccionri C y D.

1." La v i y dada se coiiipone de tres tramos, en (,ida uno ds los cuales existir3 un.1 le> p . i r . : habiendo considerado solamente la mitad d e la viga, ya que la deformada de la otra mirad se deduce por simetria.

Integrando estas dos ecuaciones. la dcforninda.

I';ira su cilculo aplical-ernos In ecuación universal (j 3 - 1 2 ) tenicndo en cuenta quc l < l \

pnrinictros de la misma para nuestro caso jon exclusi\amente los indicados cri I;i l ~ , - gura V 3 - 0 .

El? = El,jg + EI1O, .t. = t ' i ,O, , .r p;rra O < .r <;

ya que Iii condición de contorno en el a p o j o .-1 nos da !, = O Las constantes de integración se determinan imponiendo las condiciones de contorno

= El,O, .r + 2 .//u.\- - 6<z1.//. para 4[i < .r < 50

La linca elástica de la mitad de la viga está, pues, de5nida por las ccuaciones Para I ~ I deterniiriación de la constante O, aplicnrnos la condición de scr nulo ti

desplazaiiiiento en el extrerno B. ['ara Q

yI = - para O < .r ,< 1

2 - + (X - 1)' + 6 - para 1 < .y < 3

Por tanto. las leyes que definen la linca elistica son:

r Las deformaciones pedidas las podemos obtener particularizando estas ecuaciories para x = O la primera, y para x = 3 m la segunda

4 El-y = - - J / u . r para O < .Y ,< 2a

5

4 -/((.x- - 2(:!.. El,)' - -.,/tu .r + para 2 1 S .r 6 41

5 2

-0.464 cni n 6

para 40 i .r < 5 0

i I 31 2 R E S I S ~ . E N C I , \ 111: X I A T T - K I A I - E S !

I 2." El iiigiilo girado por la seccibn extrernli .-l es precisamenit. Uo, que figura eri la constante 1

de iriic.graiibn que henios c:ilculado anieriormente 1 I

T E O R I A G E N E R A L DE L A F L E X I O N . ANALISIS DE DEFORMACIONES 313

3." Aplicando el primer teorema de klohr, el ángulo que forman los planos de las secciones C y D será

V.4. Calcular el IPN rnhs adecuado de una viga simplemente apoyada. de lur 1 = 6 m, que ha de soportar las cargas iiidicadas en la Figura V.4-a, sabiendo que la tensión admisible es o,,, = IZO0 I;p/cni' y el metodo de elasticidad E = 2 x lo6 hp/cm2.

Una vez fijado el perfil, deterniinar la flecha e indicar la sección en la que se presenta.

8 .// u' U,, ---. .

S El, A'

Figura V.3.

Las reacciones en los apoyos extremos son:

I 1

Al misiiio valor Ilegarianios aplicando el segundo teorenia de hlohr. En efecto. la distancia de B i A'. intcrsecc~6ii de la tangeiite en i l con la vertical por U, es el momento 1 c>iiiico de¡ área de momentos respecto de B. dividido por EI,(Fig. V . 3 - b ) 1 Con estos valores es rácil expresar la ley de momentos flectores. válida para toda la viga

px' 2x2 Af; = --L/ + RA.r - -=- = - 12 + 8.r - y = - .r2 + 8.r - 12

y dibujar el correspondiente diagrama de mcmentcs flectores (Fig. V.4-b) De su observación se desprende que rl valor del momento íiectcr máximo es

0 [MmA,[ = 12 m ton

- BA' -4 , / /a2 - 4 A a u A - - - - - -- A B Sa Elz 5 EL

La flecha se presenta en el segundo tramo - y se presenta en la sección extreiiia ..f. El módulo resisterite minimo d e la sección tiene que ser

M,,,, 12 x loS cm kp [yz = - - - = 1000 cm3

a,,, 1200 kp cm-' y su valor se obtiene particularizando la ecuación de la elástica del segundo tramo para X = Xo

Según la tabla de perfiles laminados, el módulo resistente más cercano por exceso a iste es d e 1090 cm', correspondiente a un perfil

- - Con estos datos y observando que 10s tramos AC y DB son rectilineos, fácilmente se

dibuja la elástica (Fig. V.3-c). cuyo momento de inercia es 1: = 19 610 cm4.

T ~ - O R I , \ C L N E K \ ~ - L,\ ~ L E ~ I O N ISALISIS DE DLIORUACIONLS 315 RESISTENCIA DE MATERIALES

elástica

Se obtienen dos valores: .Y, 1 0.62 111 . . 1 ~ 5 3.8 ni

para cada una de estas secciones se ricne

Por tanto. la flecha es

( J ) Figura V.4.

Calculemos ahora la elástica aplicando la ecuación universal (5.3-12), que se rcdiicc a

. R,Y' p\" El,? = EI,.vo + EI:O0 .r + -- + - + --

2 6 24

. .-. -

la \iga de la Figura V.5-a. s31iiendo I r fuerza rrsuliante dchida 3 12s ten<ioncs nornialcs sobre el Arca raiada

C D E F scccibn c o ~ r ~ ~ o n d i e n ~ c al a p ~ y o B cs de 3857 kp se pide:

Sustituyendo valores, se tiene:

12rZ 8.r' 2s' E I y = Ely , + EIOo.r - - + - - -

2 6 24

y 4 ni.

El de elasticidad S E = 2 x 10' k ~ l c i l l ' .

1.' Calculemos primeramente Ir posicion del centro de gravedad G del ~ h l . r e s p ~ c t o ilc' sistenia de ejes indicados en la Figura V.5-a.

siendo Elzyo y EIzOo constantes de integración, que determinaremos a partir de las coiiclicio- nes de contorno.

.Y = O ; y = O=. El,y, = O

4 1296 . r = 6 ; y = O = ~ O = 6 E I , 0 0 - 6 x 36 f - 2 1 6 ---=.El,Uo = 6

3 12

Por tanto, la ecuación de la elistica es

4 1 El, y = 6.r - 6.r2 + ;.Y' -I - -.Y' 12

Como E = 2 x lo7 ton;m2 e I, = 19 610 x lo-' m4. esta ecuación sc piiedc cxpresrir asi

en la que y viene dada en centímetros cuando la x se expresa en metros.

6

Descoriiponiendo el i rea toi.11 d t l pcrlil en dos partes, se tiene:

I . G , ( o ; o . ~ ) ; R , = 9 c i n 2 \ ,, _ LR,!,; = 9 x 0.5 i 9 x 5.5 -- - - - -- -

2. G,(o, j S ) ; n2 = 9 cni'j - = 3 cni r R, 9 + o

Del dato de ser la fuerza que actúa sobre el irea rayada de valor 3857 kp, se deduce (Fig. V.5-bJ

de donde:

Figura \'.5-h.

Como el momento de inercia respecto al eje es

el momento resistente será

De esta expresión de deduce el valor del niomento flector niixinio en la viga considerada

1: M,,,, = - 173 u m ~ i = - 1200 = 29 828.5 cm . kp = 0.298 m ton

Y m i x 7

TEORIA GEYERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE DEFORtMAClONES 317

Esre momento ha de presentarse en la sección del apoyo B y en la sección C. media de AB, psra que se verifique la condición del enunciado.

Tomando momentos respccto del apoyo B tenemos:

P aP 4 R., + u P - Z P = O = = R., = - - -

2 3

Ig~ialando los valores absolutos de los momentos flectores miximos en C y B.

Se obtiene la longitud a del'voladizo

Por otra parte, como : I í m , , = aP = 0.298 m ton. una vez conocido el valor de a. la determinación de la carga P es inmediata

-0.447 ton m 2." Del primer teorema de blohr se deduce que el ingulo O,, formado por las tangentes a la

elistica en los centros de las secciones C y B se anula por ser el área d e momentos, comprendida entre las dos abscisas correspondientes, igual a cero. como fácilmente se desprende de la observación de la Figura V.5-c.

Se comprueba analiticamcnte que, en efecto

Diagrama de monlentos flectores

Y Figura V . k .


V.6. Dado el sistema el5stico indicado en la Figura V.6-o, se pide:

l." Dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes y niomentos flectores de la viga AF. 2." Dibujar la correspondiente liga conjugada con su sistema de cargas. 3." Calcular el desplazamiento vertical y giro de la sección C, así como el despla7arnicnto

vertical de la rótula D. 4.' Suponiendo que la barra HC se comporta como sólido rígido. hallar el despla7;rmiento

horizontal de la sección If. 5." Dibujar a estima la elástica de todo el sistema elástico seiialando claramente los rcsulta-

dos obtenidos y los puntos de inflexión, si los hubiere. Las barras AD y DF son de la misma seccidn, y su n~ódulo de rigidez a la flexibn es

E l ,

2 ton .,

Figura V.6-a.

l." Calculemos las reaccioncs en el empocramiento A y en el apoyo E proyectando sobre la vertical, tomando momentos respectos de la sección A y poniendo la condición de que el momento flector se anula en la rotula D.

R, + RE = 9 ton A{, + 31 + 21 - 41 RE + 6 x 51 = O 6 x 2/ - R E / = O

No hemos considerado la componente horizontal de la reacción en el enipotraniien- to. porque iio interviene en la resolución del problema.

De este sistema de ecuaciones se obtiene

RE = 12 ton ; R, = - 3 ton ; M, = 131 m ton (1 en metros)

Obtenidos estos valor;;, las leyzs dc ecrccrzos cortantes y d e momentos flectores son:

tramo BC : 1 ,< .r < 21

T(.r) = - 6

M,(x) = 131 - 3.T - 3(.< - 1) = 161 - 6,r e

t ramo EF : 4 1 < .r S 1

T(.t-) = 6

A ~ , ( . I - ) = 181 - 6.r + 12(.i - 4,') = - !o/ + 6\-

6 ion

6 ton

Diagrama de (c) esíuerzos corranies

3 ton

(4 131

Diagrama de momentos neciores

61 Figur:~ V.6.

Los valores de los momentos flectores vendrán d:idos en ni ton cuando 1 sc exprcsc . en metros.

2." Aplicnndo las reglas de sustcntacion quc sc lian vi510 cri cl epigrníc 5.5. la viga conjilgn d 3 ticric: un extremo libre cri la sección A, i in apoyo a::iculado cri L). una rótula en E ! un cnipotraniicnto cri la sccci<ín estrcrnn F [ s t i sornciid,? n un;c carga distribuida i~ui i l

al diagr:ir~~:i de 111o111ento~ ~lccrorcs dividido por Id rigi<lcz El,. Se representa en I;i ~ j - gura V.6-L.

Figura V.6-r.

3." Aplicando el segundo teorema de hfohr, el desplazamiento vertical de la seccion C sera:

El signo negativo nos indica qur el centro de gravedad de la sección C de la elástica queda por encima de la tangenre en .-l. es decir, la ordenada jt, es positiva.

Para calcular el giro de la secci6n C aplicarenios el primer teorenia de Mohr

. - 23 1' 71' -- + - = Z El, El,

El signo positivo nos inuica que el giro de la sección C se ha producido en sentido anrihorario.

El desplazamiento vertical de la rótula D lo calcularemos aplicando el segundo , teorenia de Mohr.

- 291' 111' 213 - El, El, El,

El signo neg;itivo nos indica, como ya se ha dicho antes para la seccion C. que el centro de gravedad de la sección D queda por encima de la tangente a la elistica en A.

J." S I la barra CN se comporta como sólido rigido, de la Figura V.6-fíacilmente se deduce el cilculo dcl desplazamiento horizontal de la seccior; extrema W

Figura V.6-J

Sustituyendo el valor de O, obtenido en el apartado anterior, se tiene:

5." Con todos los resuliados obtenidos, se puede dibujar la elástica dcl sistema considerado (Fig. V.6-g)

Figura V.6-g. \F-

Se observa que no existe ningún punto de inflexión.

V.7. Dado el sistema elistico de la Figura V.?-a, en el que las vigas AB y BE son de la misma sección y rigidez, se pide:

l." Dibujar los diagranias de esfuerzos cortantes y de momentos flectores. 2." Calcular el desplazamiento vertical de la rótula B y de la sección C. por aplicación del

segundo teorenia de Mohr. 3." Determinar el giro y el desplazamiento vertical de la sección extrema libre E, por

aplicación de los teoremas de la viga conjugada. 4.. Dibujar a estima la elistica, señalando los resultados obtenidos.

1." Calculemos las reacciones en el empotramiento y en el apoyo D. Proyectando las cargas sobre la vertical:


Figura V.7-a.

Tornando momentos respecto de la rótula, de la solicitaciori :i uno y oiro lado de la misma

'U, + R, . 1 = O IM - R D . 2 1 + PI = O

De este sistema d e ecuaciones se obtiene

P 2 p . R - - ; R , = - PI - ' - 3 ' M , = - j

Las leyes d e esfuerzos cortantes y de momentos flectores seran:

tramo A C : O ,< x ,< 21

Figura V.7.

En nnibos c:iso< cl ser pcisiiivos los dcsplnzaniicntns indic;~ qiic los puntos (le 1.1 e l ás i ic~ corrcspcirid~cntcs :i 1;is sccciories B y C qiicd;iri por dehriju de la i;in:erirc 3 l:i

misma en cl extremo A .

3." A partir del diagram;~ de nioiiienios flcctorcs y ienicndo en ciieriia Ins rcglnc correipon- dientes sobrc la sustentriciijii. podemos dibu~;ir la viy:i conjuyadd de In viga d<id;i i.11

como se indica en la Figura V.7-e Pl -

tramo CD : 21 < x < 31

2 P T(.r) = R, - P = - -

3

Los d i a g r a m a d e esfuerzos cortantes y de momentos nectores se representan en I?.s Figuras V.7-c y V.7-d.

2." Ei desplazarniento vertical d? la rótiila B es igual a la distancia dc la scccion B a la tangente trazada a la elástica en el empotrami-nto A. Por el segundo tcorcrna d e Mohr:

Calciilcmos las rcacciones dc I;is ligadur:i( en la viga conjugad;^. Proycciarido la< cargas sobrc la vertical:

- 1 PI' - R , + R E = --

EL 3

Análogamente, para la sección C Tomando momentos respecto de la rótula D. dc la solici[aciOn quc aclua a uno )

otro lado de la niisma:

9 E?: ioi


De este sistema de ecuscionzs se obtiene

- P12 R , = - .

- PI' PI ' R - - ; ,e,= ----

2 L / E - 4 El, 12 E/:

Por ianro. el giro y el de5plazamiento de la secciljn extrema E ssrin, en virtud de los teoremas de la viga conjugada

PI ' R E = -- l 4 E l , I 12 El,

El signo negativo de 0 , indica que 13 sección extrema E tia experimentado en la deformación un giro de sentido horario, asi como el negativo de la expresión de y, indica que el desplazamiento de esla sección es hacia abajo.

4." Con todos estos resultados ficilmente se dibuja la elástica (Fig. V.7-j).

D \

y!', r .I'c E

C punto de inflexión

rótula

Figura V.7--

V.8. Calcular el valor de la energía de deformacibn de una viga recta AB de longitud 1 = 5 m, sección rectangulir de ancho b = 1C cm y altura h = 20 crn, sometida a un niomeii!o exterior -K = 20 m ton, aplicado en su extremo derecho B. en sentido antihorario.

Se conoce el m6dulo i e elasticidad E = 2 x 10t kplcm' y el valor del coeficiente de F o i s s d ~ p = 0.25.

La viga que se considera esta sometida a flexión simple. Según la ecuación (5.6-6) la expresión del potencial interno es

La: leyes de momentos flectores y esfuerros constantes, según se desprende de la Fi- gura V.8 son:

T E O R l A GENERAL DE LA FLEXION. ANALlSlS DE DEFORMACIONES 325

1 Sustiiuyendo estas expresiones en la de 6. teniendo en cuenta que 1: = --611' y 12

5 R , , = - h11, se tiene

6

$ = --- $, J-; .y. d.. + -7 d.. = 2 J-;

V.9. Un anillo circular de fundición de sección recta rectangular h = 6 mm; b = 4 mm y radio medio R = 50 mm, como indica la Figura V.9-a esta cortado radialmente. En ausencia de fuerzas exteriores. la separación entre las secciones del corte es despreciable.

Despreciando el efecto del esfuerzo normal calcular la separación de las secciones extremas cuando se aplican dos fuerzas iguales y opuestas F = 50 N, perpendicularmente a dichas secciones.

Datos del niaterial del anillo: E = 12 x 10' MPa; G = 48 x 10' MPa.

326 RESISTENCIA DE MATERIALES I

Figura V.9-a. Figura V.9-b.

Calcularemos la separacion S de las secciones extremas igualando la expresibn del trabajo realizado por las fuerzas exteriores

al potencial interno dado por la expresion (5.6-6) 1

El potencial interno, despreciando el efecto del esfuerzo normal, es

1 F'R2(I - cos 0)' R dO + -

2G121y jO2' F2 sen2 O R dO =

sen' O dO -

- 3nFR3 nFR -- + - 2EI, GR,,

Sustituyendo los valores dados

3 n x 50 x 60' n x 50 x 60 6 = mm = 11.78 + 0.008 mni

120 O00 x 72 + 48 000 x 20

Las leyes de esfuerzos cortanies y de momentos flectores en el anillo son (Fis. V.9-b) l !

= F sen O ; M , = FR(1 - cos 0) I

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. AS.IALISIS DE DEFORMACIONES 327

se obtiene

Determinar, aplicando el niétodo de hlohr, la infliieílcia rclativa del esriler7o cortanre en e ' ~ a l o r de la flecha de una viga simplcrnente apoyada de longitud f = 4 rii somciida a dos cargas concentradas como se indica en la Figura V.10-a, siendo la viga de sección constante rCccangu- lar de din~ensiones b = 8 cm. h = 12 cm y de un material cuyo coeficiente de Poisson es ii = 0.35.

Figura V.10-a.

Segun hlohr, el desplazamiento vertical de la sección nicdia de la viga que consideramos debido al momento ílcctor, es

micntr~is que el debido al esfuerzo cortante vienc dado por

teniendo los tCrrninos que figuran en ambas inte-rales el sigiiificndo indicado en el epigrafe 5.8. y situando la carga unidad en la sección media. quc es donde se presenta la flecha.

Las leyes de niumentos ílectores y de esluerzos cortantes que figuran en las integrales anteriores. wgun se deduce de las Figuras V.10-b y V-10-c. son:

Para la carga real

21 PI 113 < .r < -: 3 A!,, = - 3 ; T,, = O

2/31 < .K S 1: hizo = f'[l - .c) : 50 = -

Para la carga unidad

I 1 O < .r < 112: M,, = - x ; T,, = 5 2 -

328 RESISTENCIA DE XtATERIALES

Figura V.10.

Por tanto, considerando la niitad de la viga y multiplicando por 2 por razón d e simetria. tenemos:

1 5 Como I, = - bh3 y R , = bh. susrituyendo, se tiene

12 6

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALlSlS DE DEFORMACIONES 329

Dividiendo ambas expresiones

jT, - PI 54 Eblr3 - f . Ebh 23 P13

= 2.34 (g2 para los valores dados. se obtiene

El resultado nos dice que la influencia del esfuerzo cortante en el valor de la flech,~, rcbpccio de la produc~da por el momento flector. es del orden del 0.2 por 100.

Compruebe el lector que obreniendo la flecha debida al momento íicctor por aplicación - . de la ecuacion universal de la elástica y la correspondiente al esfuerzo cortante mediante la ecuacion (5.7-3). se llega al mismo resultado.

V.ll. Dado el sistema indicado en la Figura V.11-a, se pide:

1." Dibujar los diagramas de esfuerzos normales, esfuerzos cortantes y momentos flectores. 2." Determinar el I P E necesario, sabiendo que:

a,,, = 1000 kp/cmZ ; E = 2 x ¡O6 kp/cm2

3." Calcular el giro del qudo F.

Figura V.11-o.

l." Las reacciones en los apoyos A y B del sistema considerado son ambas verticales. ya que el apoyo articulado A , aunque es fijo, n o existe ninguna otra fuerza hoiizontal. Proyec- tando sobre la vertical y tomando momentos respecto de B tenemos:

R, + R, = 7 ton

6 R A - 6 - 3 ~ 5 - 4 ~ 2 = 0

de donde:

R, = 4.83 ton ; R, = 2.16 ton

330 RESISTENCIA DE MATERIALES 1-EORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE DEFORMACIONES 331

Ol>tcnitloc los valores Js las reacciones. las leyes de esruerios nornialcs. esíuerzos cortantes y iiionieritos ílcctores son inmediatas.

Esfuerzos normales 7

A C : ,V = R , = 4 83 ton - C I ) : N = /<, cos 45' = ;4l ton

-m: ,v = o m: iV = R, cos 45: = 1.53 tori

m: rV = - R , = -1.16 ton

Esfuerzos cortantes 7

A C : 7; = O

TU. 7; = R, sen 45: = 3.41 ton - DE: 5 = R, - 3 = 1.83 ton

n: 7; = 1.83 - 2(x - 2) = 5.83 - 2 1

m: T, = - 2 . 1 6 ~ 0 ~ 1 5 ' = -1.53 - ffB: ? . = O

Morncntos flcciores

z: M, = O

m. M , = - 6 + 3.4i.r - f JE : M, = R,(x + 1 ) - 6 - 3.r = 1.83.r - 1.17

m: M= = 1 . 8 3 ~ - 1.17 - (.r - 2)2 Sm

rn : Ai', = R,0.707.r = 1.52.~

m: M: = o

Los diagr:inins correspondientes se representan en las Figiiras V.1 1-c, V.1 1 - < / y V.1 1-e

R" I

A

C 3 ron

Figura V.11-6. W/

1.53 ton

Figiira \..lI-c. 2.16 ton Figura V.11-d.

.v:, o Figura V. 1 1 -j:

i 2." Del diagrama de momentos flectores se deduce el valor del momento flector miximo

l ilí, ,,, = 6 m . ton = 6 x 10' c m . kp

El riiódulo rcsistcntc sera

f . 6 x lo5 lb; = --- = ---

10' cm' = 600 cm'

uidrn

Obser\.ando la tabla correspondiente a los perfiles IPE. el valor m i s prkximo. por exceso, corresponde al perfil

3." Para el cálculo del giro de la scccion Fdesprcciarcmos el efecto de los esfuerzos normal y cortante. frente al momento flector.

Siguiendo el mctodo de hlolir. aplicnmos un momento unidad en sentido horario. como se indica en la Figura V.1I1/i y dibujnnios el diagrama de morneiitos ílectores que tal aplicación produce en el sistema, una vez calculadas las reacciones

6R, - 1 = 0 de dondc: /:, = R , - 0.16 ton

R, - R, = O

TEORIX GENERAL DE LA FLEXION. ANALlSlS DE DEFORMACIONES 333

El drsp1a;r;irliicnto vertical del extremo A es la flecha de \a barra AU. La ~ l i ! ~ ~ ¡ a r e t n o s igualando dos e.xpresiones del potencial interno del sistema.

I'or una parte, hallaremos el poiencial interno en funcitjn del momento flecior. despre- ci:iiido e1 electo de los esfuerzos normal y cortante.

Potencial iiitzrno de 1a barra .A 8:

1 P' P'l'

, ZEl, 6EI, El rin-u10 0 , ?irado por In sección F será: I

i Poiencial interno de la barra CB..'

El potriicial interno del sistema será: !

l Por otra parie. el poiencial interno en funciún de las fuerzas cxreriorcs es

Sustituyendo cstos vrilores:

Igualando ambas expresiones

El signo negativo indica que tiene sentido distinto al del momento unidad aplicsdo, es decir, la sección F gira rn sentido antihorario. se obtiene el valor de ia flecha

l . Calcular el dtsplazamiento vertical experinientado por el extremo .-l del sisteriia representado en la Figura V.12-a, al a p l i c ~ r una cirga P en diclio punto.

Las rigideces a la ficxion en los tramos A S y B J son respectivairiente ¿1'1, - El,.

Al niismo resulradc se puede liegnr aplicando el ieorema de Castigliano

Figura V.12-6.

V.13. Calcular el desplazamiento del punto A, extremo de una barra eliistica de sección constz-te, empotrada en un extremo, cuya ibea media es una semicircunferencia, cuando se aplica una carga P en dirección diametral. como se indica en la Figuri V.13-a.

a- - --y Calcular tanibién el ángulo de rotación de la sección transtersal que por el mismq

punto. j : Se despreciara el efecto producido tanto por el esfuerzo normal como por e1 -+- cortante. - ' 3

334 RESISTENCIA DE !MATERIALES TEORlri GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE DEFORA,IACIONES 335

V.14 Una barra curva de rigidez El. cuya línea media es una seniicircunferencia esta ernporrada por uno de sus estrenlos. Sobre la barra y en el plano de la misnia actúa una carga lineal uniforme P en dirección radial como indica la Figiira V.14-U. Calciilar riiedianic el mbtodo de hlohr el giro de la wcción B. así cnnio el corririiicriir~ Iiori~ontnl qiic rlichn seccihri cxpcrirrienta.

A Figura V. 13-n.

El corrimiento 3 del punto A tiene dos componentes: S,, y d,,, según los g c i indic;idos en la Fisura V.13-b.

Para la determinación de ambas aplicareinos el método de bfolir coi is idcr~ndo una luerza unidad cii la direcciOn de P. para calciilar ia coniponcritc &,, cn In dircccibii r, y otra fiicrza, tnnibieri d e modulo unidad. eri dirección dcl ejc y p;ir;i el cilcirlo de 6 ,,.

Figura V.14-o.

En la secci0ri definida por el i n g u l o O, la resultanre F de la c;irga radial rituada a la dcrc, ' 2 . :

de la secciori cs (Fig. V.14-h):

Figura V.13-b. X

Figura V.13-c. Figura V. 134. i/

por lo que el rnornento flector .\lo debido a la carga aplic~ida scr3

La ley de momentos flectores en una sección delinida por el ingu lo O es

:\Izo = PR sen O

Por otra parte. las leyes d e momentos flectores debidos a la carga uriidad cn la diiccción de los ejes .Y e y respectivamente son:

AI,,, = R sen 0 ; M,,, = R(l - coso)

P o r tanto. las coniponentes de¡ vector corrimiento son:

d.Y = - nPR'

2 El: Figura V.14.

W C o m o la ley de nicimentos flectores debidos a un momento unidad aplicado en la seccion

B (Fig. V-14-c) es

A í l o ~ a m e n l e . Para el cilcuio del giro d e Ir a c c i ó n A aplicamos un momento unidad en dicha :cion extrema (Fig. V. 1

el método de hfohr nos pcrmite obtencr O,

hfzo = PR sen O ; M,, = 1

= J--- 2 P R 1 s e n 2 - . K < / U = 0 El, 2 . . , m = J;~f:~hf:, & = - I

El, EI,J: ~ R x n o - Rr,o =

valor del ingu lo girado por la sección extrema B. en sentido horario.

Para detrrmin;ir el corririiiento horizontal dc 13 misma scccion B apllcvremos una fuerza unidad en la dircccióri en que qusrzmos calcular 12 pr0ysCCion del vrctor ~ o r r i f i i i e r i [ ~ (PIS . V.14-cl1

.L/:, = R sen O

.Lí:*.If: A,, = j - ? p R L s r n ' R scn U R (10 = . 0

El:

- - 2 p R J - ' 11 U U 4pRJ 2 --L7:- J o jsn' 2 rrn - cos - ini = -

2 2 El: 3

El ciyno menos nos indica que el corriniisnto horizontal es hacia Id i~quierda. I l . Calcular los desplaz~rnientos tertical. horizontsl y angular de la sección eitrenia de una barra

en L con la sustentación y carga indicadas en la Figura 1'-15-0. El trniiio horizontal vertical tiene rigidez E l , y el vertical El,.

Se harii el cilculo apliciindo Iits integrales de hlolir y resoliierido éstas nicdiante el nictodo de niultiplicaci6n de gráficos.

Sr prescindirá de los efectos producidos por los esfuerzos nornial j cortxnte.

En las Figuras V.15-b, c. (1. e dibujamos los dirigcimas de inomenros flrtctores: de I;i c:\rga P(it,ío); de una carga unidad vcrtical aplicada en A(~t1 , ) ; dc una carga unidad horizontal aplicada tarnbirn en A(;L/,); y de un momento unidad aplicado en la misma seccion A ( M , )

6. = 1% I a P U ' ~ = - Pbn - = -- E& E l , 2 2E1,

1 1 1 2 dy = - Pbab + 7 - Pb2 - b

El, El1 t l , 2 3

M,&/, 1 I Pb dj' = - Pab + - b -

E11 El, 2

TCORIA GENERAL DE L A FLEXION. ANALISIS DE DEFORMACIONES 337 -

1

Figura V.15.

es decir, resumiendo, los desplazamientos pedidos son:

que tienen los sentidos indicados en la Figura V.15-j:

F L E X I O N DESVIADA Y FLEXION COXlPCT.S~I,\ 339

En csios tipos dc flcxion. el convenio de signos para el momcnto llcctor cri I)risiii;is meciriicos somctidos a flexjón simple que sc ha establecido cri el Capitulo 4 carccc de scntido. Aunquc. si nos damos cuenta, e l convenio de dccir que cl momcnto flcctor JCJ, positivo cuando I:i libra inferior esti sorne[ida a traccibn. cs equivalente a dccir que rriorncrito flector en la sección que considcranios tiene positiva su cornponcntc ~ c f , rcspccio dc la reícrcriciii J.: definida en el prisma, corno fácilmente se dcsprendc dc la observación dc la Figura 4.4. siempre y cuando el scmieje j9 positivo se tome hacia arriba.

Ahora. consideraremos que los sienos de los momentos Al, y M, son los que corresponden segun los ejcs y: adoptados que, como sabernos, son corncidcntcs con los ejes centrales de inercia de la sección.

No perdamos de vista que M, y 11.I: son. en cada sección, las componcntcs del nioniento de las fuerzas que actúan sobre la parte eliniinada situada a la derecha de la seccibn o, lo que es lo riiismo, el mornento de las fuerzas que actuán sobre la parte que esla a la izquierda de la sección, cambiado de signo.

Flexiórz desviada

6.2. Flesión desviada en el doniinio elástico. Análisis de tensiones

Consideremos tina viga, tiil como la rcprescntada en la Figura 6.2, cargada cri un pl:inc; quc no coniicric a riingurio dc los dos ejcs ccntralcs de inercia de las scccioncs rcctas. St. ,\TI. cl morncnto llcctor en una secciori y iLf,, ,Ct, sus cornponcritcs rcspccto dc los c!!

ccritralcs Gj, y í;;, rcspcctivameritc. Ciilculcmos el valor dc la icnsióri norriial a cn i i r i

purito P (J.. :) CJC la sccciOn por aplic;icion dcl principio de supcrposición. suriiiindu los valores corrcsporidicntcs a cada una dc las componcntcs dcl nionicnto flcctor, calcul:idos mediante la Icy de Navier.

6.1. Introducción

En capitulos anteriores hemos considerado que el momento ílcctor cn una scccióri dcl prisma mecánico tcnia la dirección coincidente con uno de los cjes centrales dc inercia dc la misma* (Fig. 6.1-0). Estudiaremos ahora las particularidades que presenta un prisma mecánico en el que la solicitación exterior produce en una sección recta un momento contenido cn su plano, pero cuya dirección no coincide con ninguno de los dos ejes centrales de inercia. Si, además, el esfuerzo normal es nulo, diremos que el prisma niecáni- co está sometido aflexión desviada (Fig. 6.14).

Cuando el esfuerzo normal no es nulo y existe, aderriis, uri mornento flector ,\T,, diremos que el prisma trabaja a fle-~ibri conrpuesta.

Figura 6.2.

Así. la tcrisibri normal a' dcbida al momento Alz es Figura 6.1.

rriicntrns quc 1;) cxprcsion dc la tcrisiori a" producida por Al, cs Se habrá obsemado que la existencia del esfueno cortante implica la existencia en gcncral dc u n momento

flcctor. Por tanto. cuanr'o decimos que en la sccciSn existe u n esfuerzo cortante P entcrrdcrcmos qiie existe impliciiarnente u n momento flector ,Üp

338 a

3-10 RI:SIS~~ENC'IA 011 X.1A.I fiRIAI.ES

con e1 signo 1.3 que para ,\f, positivo corresponden tensiones de tracción en el seniiplano r > O, como fácilmente se desprende de la Figura 6.3.

Por tanto, la ien,i<jn normal correspondieriie al punto P strá

Al mismo resultado hubiiramos llegado por via analitica. En efecro, adrniiiendo la hipótesis de Bernoulli de conservación de las secciones planas, la tensión normal a será una función !inea! de !as coordenadas de la forma

siendo u, b, c parámetros que determinaremos imponiendo las condiciones de ser nulo el e-fuerzc norma! y tener ¡as componentes del iriomento los valorc; y ,I/,.

Ya que Iil J' = IIn 2 d o = 0, por tratarse de momenios estáticos iespecto de ejes que

contienen al centro de gravedad de la sección. La condición de equilibrio exige que el momento flector en la sección sea igual al

momento de las fuerzas engendradas por la distribucióri de tensiones noriiiales

- -

Identificarido se tizne:

y;, que jj,,!: ,iQ = O, por tratarse de un producto de inercia respecto a ejes principales de

inercia. Luego, la expresión de la tensión normal será:

idSntica a la obtenida aplicando el principio de superposición. El eje treirrro de la sección se puede obtener como lugar geométrico de los puntos P

cuya tensión normal es nula. Su ecuación será:

que corresponde a una recta que pasa por el centro de gravedad de la sección. De esta ecuación se desprende que el eje neutro no coincide con la línea de acción del

monientc flector, ya que despejando y en ella, se tieie

Como 5 = tg O, la ecuación del eje neutro se puede poner en la forma lMT

de donde se deduce que el eje neutro forma con el eje z un ángulo 4 tal que

1. t g d = t g e

1,

342 RESISTENCIA DE MATERIALES FLEXION DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA 343

Vemos, en efecto, que salvo el caso en que se verifique 1, = 1,. el eje neutro no coin- cidirá con la linea d e acción del momento flector. Por eso se denominajlexibn desviada a este tipo de íiexión.

Ahora bien, como 6 e I, son magnitudes esencialmente positivas, los ángulos 4 y O tendrán el mismo signo. Si > I,., el ángulo 4 es mayor que el ángulo O: el eje neutro estará situado entre la linea de acción del momento flector y el eje y. Si, por el contrario, Iz < 1,. el ángulo q5 es menor que el ángulo O, y el eje neutro estará situadoentre la linea de acción del momento flector y el el eje z. Se desprende, pues, quc el eje neutro est i situado siempre entre el momento flector en la sección y el eje principal que corresporide al momento de inercia mínimo.

El eje neutro divide a la seccibn en dos zonas. una traccionada y otra comprimida. Para distinguir cada una de ellas se puede tomar un punto cualquiera de la sección perteneciente a una de las zonas y sustituir sus coordenadas en la ecuación (6.2-3). Si el valor de <r es positivo, el punto elegido pertenece a la zona traccionada; si es negativo, a la zona comprimida.

La tensión normal en un punto P (3 z) se puede expresar en función de la distancia d al eje neutro (Fig. 6.4). En efecto, por geometría analítica sabemos que la distancia d de un punto P ( y , z ) a una recta cuya ecuación es la (6.2-6) tiene por expresión

Figura 6.4.

Pero el numerador de esla expresión es ~recisamente el valor de la tensicin u en el punto P, por 10 que podemos poner:

o lo que es lo mismo a = k d

habiendo toinado como serniplano positivo el correspondiente a la zona traccionada. De esta expresion se deduce que la tensión norniai es uii,i función lineal dc la distanci~i

al eje neutro, por lo que los puntos de la sección sometidos a la tensión normal máxima serán los m5s alejados del eje neutro. La determinación de estos puntos se hace fácilmente en el caso de secciones de fornin sencilla. Pero si la sección es de forma compleja. i;l

ecuación (6.2-1 1 ) nos sugiere poder dctcrminar los puntos soriietitfos a tcnsicincs mrixirn:is a tracción y a coriipresibn. de forma gráfica como se indica en la Figura 6.5.

Figura 6.5.

Se dibuja la sección y se trazan los ejes centrales de inercia y, ;. asi como el eje neutro. Trazando las tangentes a la sección paralelas al eje neutro obtenemos los puntos A y R, que son los que van a estar sometidos a tensiones normales niásimas. En la Figura 6.5, en el punto A. la tensión norrnal es de compresióii y en cl B de traccion. De la ecuaci<>ii (6.2-1 1 ) tambien se deduce !a posibilidad de representar la distribucion de tensiones no;- inales en el plano de la sccción (Fig.. 6.5).

Para la distribución dc tensiones tancenciaies, debidas al esfuerzo cortante T (T,.. Ti. podenios admitir que cada una de sus coniponentes se rige por la fórmula de Colignon. 5i

bien insistimos en el caracter aproximado de la niisma. En cada punto P (y, z ) de la sección existiri, pues, una tensión tangzncial 7 de

componentes r,, y T,:, dadas por ¡as siguiectes expresiones:

en las que Ias coinponciitcs T,. dcl esfuer70 cortante tienen el signo que les corresponda respecto de los ejes indic;idos en la figura*, y siendo:

Tengasc prcscliic quc cl csfucrzo cortanie que acrúii en la scccibn cs igual y opuesto a la proyscci6n s o h e plano de la niisn1.1 dc la rcsulianrc dc 12 so1icii;iciSn quc actúa sobrc 1.1 pxrtc dcl prisma ~on:~rc~idi<i':< encrr: 1, scccion origcn y I:i quc se considera.

i FLEXION DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA 345

i Para obtener la expresión del potencial interno podemos aplicar la fórmula ,1.15-5) que nos da éste en función de las componentes de la matriz de tensiones, en la que o,, = o, teniendo en cuenta que

I El potencial interno del elemento considerado será: I

1 Figura 6.6.

in,.. tnl, los momentos estáticos de las áreas de la sección situadas por encima o a la izquierda de las libras de coordenadas y, z del punto considerado (arras rayadas en la Figura 6.6).

O, c. la anchura y altura, respectivamente, de las fibras que pasan por cl punto P. I r Figura 6.8.

Si nos planteanios determinar el perfil idóneo de las secciones rectas de un prisma mecánico sornetido a flexión desviada, seguiriamos un razonamiento análogo al expuesto cuando tratábamos esta cuestión en el caso de flexión simple. Llegariamos a la conclusión que, en el caso de ser M, = M,, la forma óptima para la sección recta es la de una corona circular, capaz de resistir el mismo momento flector en cualquier dirección (Fig. 6.7-a).

En los casos en los que M , Z' Mí sera aconsejable ulilizar uigus c t i ~ h t ~ de contorno rectangular (Fig. 6.7-6).

1 Si el elemento de prisma que se considera es el comprendido entre dos secciones rectas

6 indefinidamente próximas separadas entre si d.r, el potencial interno correspondiente se

/ obtiene inregrando esta ecuación y extendiendo la integral a la seccion recta

I I Ahora bien. sustituyendo los valores de la tensión normal u y las tensiones tangenciales

l r,,, r,; por sus expresiones (6.2-1) y (6.2-9). se tiene:

1 Siniplificando, nos queda: I i Figura 6.7.

(fl) (6) ,e MI T2 d& = - rl.r + -- d.Y + --- d.^ + - T: ([.Y

2 EI, 2 EIz 2CQly 2GQlz

6.3. Expresión del potencial interno de un prisma niecánico sometido a flesión desviada. Análisis de deformaciones I siendo:

Según hemos visto, sobre un elemento del prisma de aristas paralelas a los ejes, las tensiones que se engendran sobre sus caras, cuando el prisma mecinico se somete a flexión desviada, se reducen a las indicadas en la Figura 6.8. I las secciones reducidas de la sección recta del prisma.

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COhlPUESTA 347 346 RESISTENCIA DE MATERIALES

El potencial interno del prisma se obtiene integrando la expresión (6.3-4) a lo largo del eje dcl mismo

El calculo de las deformaciones se puede hacer a partir de esta expresión del potencial interno, aplicando el método de Mohr expuesto en el epígrafe 5.8, es decir, si queremos hallar la proyección del corrimiento del centro de gravedad de una sección C sobre una determinada dirección, aplicaremos en dicha seccion una fuerza unidad en esa dirección. Actuando únicamente esa fuerza unidad sobre el prisma dado, dará lugar en el niismo a unas leyes de momentos ílectores M,,, M-,, y de esfuerzos cortantcs T,,,, T; , .

La proyección del corrimiento de la seccion C. en la dirección de la carga unidad aplicada, es:

Figura 6.10. / ' Existc ur.3 !~~[Cresante relacióri entre la traza del plano de carga. el ejc neutro y la elipsc

central de iriercia de la sección. En efecto, consideremos la elipse central de inercia, cuya ecuación es:

I y y Z + 1,z2 = K 2 = I J , (6.4-1)

Resulta más fácil, sin embargo, para calcular las deformaciones en los casos en los que sc puede considerar la ílexión desviada como superposici6n de dos flcxioncs simples, componer vectorialmente los desplazamientos 6,, 6,-, en las direcciones de los respectivos cjcs a que cada una de ellas daría lugar actuando independicntcmenic de la otra. Por tanto, el desplazamiento total de la seccion C será (Fig. 6.9) o lo que es lo niismo: -

sicndo t la coordenada hornogénca. El punto iriipropio de la recta. t r l m del plano dc carga, tiene de coordenadas

(M,. -M,, 0). La direccijn conjugada de esta recta respecto de la elipse de inercia es la polar del puiiio impropio.

Su ecuación es:

-

Figura 6.9.

siendo/; y las semiderivadas de la funciÓn/(.r, y, i ) respecto de las coordenadas y Y 2- rcspectivan~cntc

Sustituyendo en (6.4-3), se obtiene 6.4. Relación entre la traza del plano de carga y el eje neutro

Supondremos en lo que sigue un prisma mecánico de línea media rectilinea que admite plano de carga, es decir, que las fuerzas que actúan sobre él son perpendiculares a la línea media y ambas, carga y linea media, están contenidas en un mismo plano. En estas condiciones, el momento flector y la traza del plano serán perpendiculares (Fig. 6.10).

\ que es precisamente la ecuación del eje neutro.

Luego, I/jrPcc,&rf (/L./ r j r tr(,,/tro rrsrr//t~ ser I(i </irrccidtf rorijicgar/ii I /L*/ plcrtfu [/e cargo respecto (/c. /a c / j p s ~ c.r/ilrti/ r/c, ~ t r~~rc . iu c/cp /o src-Ci<j/f.

1 \'lo Figura 6.1 1.

En la Figura 6.1 1 se representa una construccióii grifica del eje neutro: basta trazar por el centro de gravedad G una paralela a las tangentes a la elipse de inercia en los puntos de intersección con la traza del plano de carga.

6.5. Flexión compuesta

Diremos que un prisma mecánico está sometido a j l r s i o i ~ cor~ipuesro cuando el sistema de fuerzas que le solicitan, situadas a un lado de la sección, se reducen eri su centro de gravedad a un momento flector y a un esfuerzo normal.

Si M, y &fz son las componentes del momento de las fuerzas sitiiadas a 1:i derecha de la sección r e ~ i a y si N es el esfuerzo nornilil, la teiisióii r.or.ii:il eii un punto /'(j., z), e11 virtud del principio de superposición, será:

siendo fl el área de la sección recta. ! Cuando el esfuerzo normal es de compresióri, el valor de N será neg;itivo, y positivo i

cuando es d e tracción. i Sin embargo, cuando N es de compresión, la fórmula (6.5-1) sólo es válid:~ para prismas !

i mecánicos de gran rigidez, ya que, como vcrcinos en el Clipitulo 8, la iiplicnción de esfuerzos de compresión en barras esbeltas puede poner en peligro su estabilidad.

i

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COtvlPUESTA 349

El eje tirurro, luear geométrico de los puntos de tensión normal nula. tendrá por ecu:ición:

que reprcsertta una recta que no pasa por el centro de gravedad. Se observa que cuando se superpone un esfuerzo normal a una ílexión desviada, el eje

neutro que corresponde a la ílexión desviada experimenta una traslación en la dirección 1v-

del eje y, de valor -- R .\f.

Para hallar las deformaciones calcularemos el potencial interno de un elemento de prisma comprendido entre dos secciones Z y E' indefinidamente próximas, separadas d'c, aplicando la fórmula (1.15-5) en función de las componentes de la matriz de tensiones

Simplificando, nos quedrt:

El potencial interno del prisma se obtiene integrando esta expresión a lo largo del eje del niismo

El cilculo de las deformacionts se puedc hacer a partir de esta expresión del potencial interno aplicando el método de Motir, análogamente a como se ha expuesto para la ílexión desviada en el epígrafe 6.3.

6.6. Tracción o compresión excénirica. Centro de presiones

Cuando sobre la stccibn recta de un prisma mechnico actúa solamente una carga N paralela a su eje pero aplicada en un punto C que n o coincide con el centro de gravedad, diremos que el prisma está sometido a una tracción o compresi6n e.~cénfrica. El efecto producido por tal solicitación es equivalente a una flexión compuesta.


En eíccto. si reducimos el sistema de fuerzas formado por la carga Ñ aplicada en el punto C ( e , e;), llamado centro de presiones. al centro de gravedad de la sección (Fig. 6.12), el torsor equivalente está constituido por una fuerza normal Ñ, equipolente a la aplicada en C, y un momento contenido en el plano de la sección, de componentes:

M, = N . e_ ; M; = - N . e, (6.6-1)

magnitudes que caracterizan a la flexión compuesta.

Figura 6.12.

El eje neutro se puedc obtener sustituyendo en la ecuacibn (6.5-2) los valores de los momentos flectores dados por las expresiones (6.6-1)

D e esta ecuación se deduce que la posición del eje neutro no depende de la magniiud de la carga normal N aplicada.

Si el centro de presiones está situado sobre uno de los ejes centrales de incrcia de la sección, de la misma ecuación (6.6-2) se desprende que el eje neutro correspondiente es perpenciicular a esc eje principai. En efeclo, si el ceiitro de prcsioncs C , está sobrc el c;e principal z :

[Y e, = O = el eje neutro es : = - - (6.6-3) e,R

Si C, está sobre el eje y:

J . ex = O 3 el eje neutro es y = - - (6.6-4) e,Q

Los signos negativos de las expresiones (6.6-3) y (6.6-4). al ser los momentos de inercia y cl área de la seccibn magnitudes esencialmente positivas, indican que los ejcs neutros cortan a los ejes principales en puntos cuya coordenada no nula tiene signo opuesto a la correspondiente del centro de presiones.

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA 351

l

' 1 e.n. 1 Figura 6.13.

De lo ar?is:ior se deduce otra interesante propiedad de la tracción o compresión excentrica. Supongamos que el centro de prcsioncs se desplaza a lo largo de una recta qric corta a los ejes priiicipales en los puntos C , y C, (Fi9. 6.13). Por el principio de super- posición. e1 efecto producido por el esfuerzo normal ,V aplicado en el centro de prcsioiics (

es equivalente a ln acción de dos csíiierzos noriiialcs ,V, 1. A', aplicados en C, y respectivamenic. tales que

Ahora bien. los ejes ncutros correspondiciitcs a ambas tracciones o comprcsioncj excéntricas se ccirtaii en el punto C ' cuyas coordenadas son:

que son constantes e indepeiidicnies. por tanto. de la posición C sobre la r a t a cgnsidcra- da. Quiere esto decir que cuando eri una iracción o coriipresión excentrica, el centro de presiones - , se dcii~ldza sobrc una recta, su correspondiente cjs neutro pasa por un punto fijo L .

- Hemos victo que una tracción o conipresi6n exckntrica es equivalente a una ~lesiori com'puesta. Recíprocamente, toda flexion compuesta es equivalente a un esfuerzo norrnii

! excéntrico, es decir, a iina fuerza de traccióii o compresion aplicada en un punto rio coincidente cnii el centro de gravedad.

En efecr~i. sc;i f i el momento ¡lector y Ñ es el esfuerzo normal en una determinada sección (Fi?. 6.12). Fl ejc ccnir;ii (ici ,ibiciiia tic vcctores constituido por estc torsor es

; , paralelo a I\' y perperidicular, por tanto, al plano de la sección. Corno el eje centra! único, y cl segurido invariante del sistema de vectores es cero por ser Hr perpendicul;jr 8

Ñ, existe un punio C (e,, e;) , tal que el momento en El es nulo

352 R E S I S T E N C I A D E XfATEKIALES

Del desarrollo de esta expresión vectorial

se obtiene:

El punto C (e,, e,) es el que liemos llamado cenrro c/c presiones. Existe una interesante relación entre el centro de presiones y el eje neutro. Para

encontrarla consideraremos la elipse de inercia de la sección, cuya ecuacion pondremos en la forma:

o lo que es lo mismo, en coordenadas homogéneas

La polar del centro de presiones C

corno -'Y r . = x . f.=: I , , ; f' = -- 1.- IY R

sustituyendo estos valores, se tiene:

1 Si comparamos esta ecuacibn con la (6.5-2) del eje neutro, deducimos que esta recta es 1

simétrica del eje neutro respecto del centro de gravedad. Podemos afirmar. por tanto. que / el eje neutro es la antipolar del cetirro de presiot~es respecto (le la elipse cenrral de inercia de la sección.

En la Figura 6.14 se indica una construcción gráfica para obtener el eje neutro a partir 1 del centro de presiones C: a ) cuando C u exterior a la elipse de tensiones; h) cuando C es ! interior.

La tensión normal a en un punto P (y, z) dada por la ecuación (6.5-1) se pucde expresar en función de la distancia d del punto al eje neutro. En efecto, hemos visto en el

FLEXION D E S V I A D A Y F L E X I O N C O M P U E S T A 353

fl l\X v i \

Figura 6.14.

epígrafe 6.2 que en la flexión desviada, la tensión normal es una función lineal de la distancia al eje neutro. Por lanto, considerando la flexión compuesta como la superposi- ción de una flezióii desviada y una tracción o.compresión uniforme, seguiri siendo válida la foririii de I:i ecuación (6.2-1 1 ) 0 = ktl.

Para determinar la constante k en nuestro caso, expresaremos la proporcionalidad entre las tensiones del punto P y del centro de gravedad G, y las distancias de ambos puntos al eje neutro (Fig. 6.15).

siendo a la distancia dcl centro de gravedad al cje neutro.

Figura 6.15.


Como

la expresión de la tensión normal en P será

De esta expresión se deduce la fórmula para obtener el valor de la terisióri normal máxima

en donde (I,,, es la distancia al eje neutro del punto'de la sección más alejado del mismo (Fig. 6.15).

6.7. Núcleo central de la sección

Una sección recta de un prisma mecánico sometido a tracción o compresión excéntrica puede ser cortada o no por el eje neutro. En caso afirmativo, el eje neutro divide a la sección en dos partes. una de las cuales está sometida a tracción y la otra a compresión. Si no la corta, toda la sección está sometida a tracción o a compresion.

Hemos visto en el epigrafe anterior que el eje neutro depende de la situación del centro de presiones. De la expresión de la distancia a del centro de gravedad de la sccciGn al eje neutro, cuya ecuación es la (6.6-2)

Figura 6.16.

FLESIOIU' DESVIADA Y FLEXIOIU' COhlPUESTA 355

se deduce que a medida que el centro de presiones C se aproxima al centro de gravedad de la sección, el eje neutro se aleja de El.

Existirá en el plano de la sección una curva cerrada -,J que rodea al centro de gravedad. tal que considerando cualquiera de s u ~ ~ ~ ü ~ - ~ ~ ~ ~ ~ ~ i ~ ~ - d - , - Q " S r o ñ e s e T e j c ñ e u t e e t r o _ _ _ ._.- _ _ - __ es tangenre a la sec~iÓn_d+~isma mecáriico. p z o dicho en el párrafo anterior, SI tomamos como centro de presiones cualquicr punto interior ai -_._____. i r e a encerrada ._ por la curva .) cslari asegura(io que las tensiones normales eri toda la sección sean de tracción o de com_erg-- A la zona delimitada por esta curva 7 se la denomina . nljcleo - ceilrrc~l cie ¡o sección.

Podemos dcfinir. pues. el tliiclro cetirral (/L. (a seccióti tomó el lugar yeoniétrico de l o ~ puntos tales que t o m a d o ~ - c ~ m a s c ~ 3 r a _ - ~ e - - p ~ ~ 1 o n ~ ~ e ! ~ !na , t ~ i o ~ o $ g m p r c s ! ó n excéntrica, las tensiones normales en todos los puntos de ~ - s ~ c ~ ~ n l j e . n e n - ~ l ~ ~ m i s n ~ ~ ~ ~ i g ~ ? ~ -

Figura 6.17. u Veamos cómo determinamos cl núcleo central de la sección: considerenios uri punto C,

tal que su antipol:ir c , respecto de la elipse central de inercia d c la sección sea tarigeriic LI

la misma. Para las infinitas tangentes a la sección, los antipolos correspondientes dcci-i-i- ben una curva cerrada 7 (Fig. 6.17). Si el centro de presiones es uno de los puntos situadnr en el interior de dicha curva, el eje rieutro correspondiente no cortara a la sección.

Por consiguiente, el núcleo central de una sección está formado por los puritos interiores a una curva cerrada, lugar geometrico de los antipolos de las tangeritcs que envuelvci~ a ia sección.

A modo de ejemplo calculemos ei núcleo central de algunas secciones particulares:

a) Sección rcctangular

Si sustituimos los valores dc los momentos de inercia y e¡ área de la seccióii

b/13 hh' I = = - ; I , = - ; n=bh

12 12

y Z 1 en la ecuación de la elipse de inercia - + - = - - + queda:

1: ly R

356 RESISTEXCIA D E M A T E R I A L E S F L E X I O N D E S V I A D A Y F L E X I O N C O M P U E S T A 357

... Sean A. B. .4'. B', los antipolos de las rectas PQ, Q N , .\'i\I y 'MP, respectivamente (Fig. 6.18). Los antipolos de las recta, tangentes en uno de los vertices del rectángulo. por ejemplo, e1 virtice ,L/, por las propiedades de la polaridad serán puntos ;ilineados comprendidos entre los antipolos de iI1iV y ,\{P. es decir, puntos del segmento A'B'.

El núcleo crniral de la sección será el rombo .4BA1f3' (Fig. 6.18).

Figura 6.1 9.

es decir. el núcleo central de una sección en doble T es un rombo cuyo centro es coincidente con el centro de zravedad, tiene los vertices sobre los ejes principales, y las longitudes de las diagonales vienen dadas por las ecuaciones (6.7-4).

c ) Sección circular

k--- 6 --A Figura 6.18. La elipse de inercia es una circunferencia, ya que los momentos de inercia I, e son iguales: 4. = = nRA/4. Como R = xR" la ecuación de la elipse de inercia es:

Podemos calcular fácilmente las longitudes de las diagonales de este rombo, expresan- clo la condición de que la antipolar del punto A (11, O) es la recta PQ, o lo que es lo mismo, por razones de simetria, que la polar d s A es la recta MN (y = Ir/?).

La ecuación de la polar de .4 es: que corresponde a una circunferencia de radio R/2.

Por tanto, las longitudes de las diagonales del rombo resultan ser:

- /l AA' = - 3 ; ~3 = b 3 (6.7-3)

b) Sección en doble T

La Familia de rectas tangente? a la sección en doble T (Fig. 6.19) es idéntica a la de sección rectangular. Por consiguiente, el núcleo central será también un rombo, si bien las longi- tuaes de las Siagonales se obtendrian en este caso de la siguiente forma:

La polar A respecto de la elipse de inercia será: Figura 6.20. 1

El núcleo central se r i un círculo, cuyo radio r podemos calcular expresando la condi- ción de que la polar del pünto A (r, O), perteneciente a la curva que limita el núcleo central, es la recta y = R(Fig. 6.20)

luego

- 41- AA' = 2 ; ~3 = 3

/IR bR de donde R

r = - (6.7-5) 4

358 RESISTENCIA D E MATERIALES FLEXION DESVIADA Y F L E X l O N COhlPUESTA 359

es decir, el núcleo central de una sección circular es un circulo cuyo radio es la cuarta parte del correspondiente a la sección.

6.8. Caso de materiales sin resistencia a la tracción

Como se ha visto anteriormente, si el esfuerzo normal excéntrico aplicado tiene el punto de aplicación fuera del núcleo central, el eje neutro corta a la sección y l a divide en dos zonas: una comprimida y otra traccionada.

Existen diversos iiiateriales, tales como la fábrica de ladrillo y el hormigón en masa. muy poco resistcntcs a la tracción. por lo que en el cálculo se supondr i nula la tensión en la zona sonielida a tracción. En estos casos, para la determinación del eje neutro no son válidas las formulas obtenidas en los epigrafes anteriores. La condición que tendremos que imponer para determinarlo será que el sistema de fuerzas engendrado por la distribución de tensiones en la zona de compresión exclusivamente sea equivalente al esfuerzo normal N y al momento flector M en la sección y admitiremos la hipótesis de que la tensión de compresión es proporcional a la distancia al eje neutro.

Cuando se trate de una sección cualquiera, la determinación del eje neutro se puede hacer por aproximaciones sucesivas: en primer lugar se calcula el eje neutro apiicriiido la formula (6.5-2) y se suprirne la parte de la sección sometida a tracción; se vuelve a calcular el eje neutro para la parte de sección restante y se suprime la parte que estE sometida a tracción ..., y as¡ sucesivamente. Se llegará a obtener por este procedimiento una sección residual sometida exclusivamente a compresión.

Consideremos el caso, muy frecuente en la práctica, de sección simétrica y el punto C de paso de la fuerza exterior esté sobre el eje de simetría (Fig. 6.21).

I'

--- C

A

Figura 6.21.

La distancia q, del punto de paso de la fuerza exterior a la recta A B que limita la zona comprimida se puede obtener impcniendo las condiciones de equilibrio. La resultante de las fuerzas de compresión engendradas por las tensiones normales ha de ser igual a N

siendo 171, el momento estático de la Lana comprimida respecto de la recta A B que la limita.

El momen:o respecto de esta recta / I B del sistema de fuerzas debidas a las tensioiies normales ha de ser igual al niomento de la fuerza ,V respecto de la misma recta:

siendo I , el momento de inercia de la zona comprimida rcspccto de la recta AB. Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones, se tiene:

expresión que permite determinar la posición de la recta .4B que limita la zona compri mida.

En el caso de una seLción rectangular (Fig 6.22), caso que se da con mucha frecueriil;~ en la práctica, el momento de inercia de la zona comprimida respecto de la recta AB eq

El momento estático, anilogamente, tiene por expresión:

b- 4 Figura 6.22.

Por tanto, la distancia del centro de presiones al eje neutro es:

FLEXION DESVIADA Y FLEXION C O M P U E S T A 361

El valor dc la tcrlsi0i1 rnixiina se obtirne igualando Iii resultante de las fuerzas engendradas por las tensiones riormales y la fuerza N aplicada

f o,,= . blr, = 3 -

de donde

2 iv o m ~ z = - bh,

es decir, la tensión m a ~ i m a es el doble de la que corresponderia si el esfuerzo normal iV se repartiera de forma uniforme sobre la sección eficaz.

6.9. Flexibn de piezas curvas

A pesar de que iniciamos nuestro estudio considerando un prisma rnecinico en general, en toda la exposición que se ha hecho hasta aqui hemos particularizado para vigas cuya linea media o directriz era una recta. Hay, sin embargo, iririumer3bles ejemplos pricticos en los que las piezas presentan inicialmente cierta curvatura, como es el caso de los arcos, ganchos de grua y eslabones de cadena.

En piezas de curvatura pequeña se obtienz una buena aproximación aplicando las fórmulas obtenidas para las vigas rectas. Solamente habría que tener en cuenta que la variación de curvatura, que en el caso de piezas rectas viene dada por la ecuación (5.2-3), habria que sustituirla por

siendo p,, el radio de curvatura de la linea media de la barra antes de la deformación, y p el radio de curvatura de la linea media deformada.

Para estudiar las piezas de gran curvatura, es decir, piezas en las que ios valores del radio de curvatura po y las dimensiones de' la sección recta son del mismo orden de

$4. magnitud, es necesario hacer una revisión de las hipótesis que se admitieron y del método seguido en el estudio de las piezas rectas.

Corisideraremos en lo que sigue prismas mecánicos de directriz curva y plano medio, cs decir, prismas que posean un plano de simetría y se verifique que las fuerzas que les soliciten estén contenidas en dicho plano. Esto equivale a decir que la linea media es una curva plana, que la intersección de cualqliier sección recta con el plano medio es una dirección principal de inercia de dicha seccion, y que la curva elástica está contenida en el citado plano medio.

Consideremos una pieza de curvatura constante como la indicada en la Figura 6.23-a Y apliquemos momentos M en las secciones extremas (Fig. 6.23-b), con lo que la pieza considerada estará sometida a ílexión pura. Seguiremos admitiendo la hipótesis de Ber- noulli, es decir, las secciones rectas que son planas antes de la deformación, siguen siendo planas después de ella. El centro de curvatura C de la línea media de la pieza pasa a la

Figura 6.23.

C ro(k A,, A ,

1 !I , E*

6 B B'

posicion C'. Observanios que la fibra superior se acorta y la inferior se alarga, por lo que txistiri una superficie neutra, es decir, formada por fibras que ni se alargan ni se acortan.

Pero ahora la fibra neutra. es decir, la intersección de la superficie neutra con el plano medio de simetria, no coincide con la línea media, como demostraremos más adelante. Sea r , e1 radio de curvatura de la fibra de la pieza que va a ser neutra después de la deformación. Para estudiar la distribución de tensiones en la sección consideremos el eleniento de pieza comprendido entre dos secciones indefinidamente próximas (Fip. 6.23-c) que forninn un ángulo riO, y sea DD' la fibra neutra de este elemento. La deformación relativa de la sección .4'B1 respecto de la A B sera un giro de ángulo AtiO alrededor de D'. punto perteiieciente a la fibra neutra.

Fijémonos en la fibra EE' que dista y de la fibra neutra. El alargamiento longitudinal unitario que experimenta esta fibra es

pero corrio ETEE; = yAr1f.I ; EE' = (r, - y)dB

la expresión (6.9-2) toma la Iorma

Ahora bien, de la expresión de la longitud de la fibra neutra

siendo r el radio de curvatura de la superficie neutra, se deduce:

362 RESISTENCIA D E MATERIALES FLEXlON DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA 363

Sustituycrido en la ecuación (6.9-3). se tiene: Sustituyendo eri la primera de estas ecuaciones la expresión de o dada por (6.9-61, se tiene

- E.,, (; - 6) Jc, + ',R = o - Y

Por lanlo, la tensión normal en los puntos de la seccion recta sera. en virtud de la ley de Hooke de donde se deduce:

Procediendo igualmente en la segunda ecuación (6.9-7), se tiene Esta expresión nos dice que en piezas de gran curvatura las tensiones normales en una sección se distribuyen según una ley hiperbólica (Fig. 6.24-0). Se observa que las tensiones mBximas a tracción y a compresión se presentan en las fibras superior e inferior de la sección.

De esta últiriia expresión se deduce que el eje neutro no pasa por el centro de gravedad, ya que si pasara, la primera in te~ra l se anularia por ser nulo el momento cstatico de 1 . 1 sección respecto de un eje que pasa por el centro de gravedad. y como se anula la segundn en virtud de (6.9-8). tendria que ser ccro IM,. lo que no es posible. Por tanto, el valor dc la primera integral es Re, sieiido e la distancia del ejc neutro al centro dc gravedad, pues es el momento estitico de la.sección respecto del eje neutro, que tornarenios conio eje :.

La expresión del momento ílector sc reduce a

que nos permite expresar la tensión normal en función de iLfF

Para determina: la posición del eje neutro haremos en t6.9-S) el cambio de variable d

(4 Figura 6.24.

Se ha dicho antes que la fibra neutra no coincide en las piezas de gran curvatura con la línea media, es decir, el eje neutro de una sección recta n o pasa por el centro de gravedad de la misma. Calculemos la localización de la fibra neutra imponiendo la condición de ser la resultante y momento resultante de las fuerzas engendradas por las tensiones normales en toda la sección un sistema estaticamente equivalente al momento flector n;ÍF, es decir

Así, se obtiene:

R

expresión de la qiic sc dcducc que, al ser el dcnoniinador una iritegrril que es una caracteristica georiiétrica de la sección, In situacibn del eje neuiro en una pieza curva

F L E X I O N D E S V I A D A Y F L E X I O N C O M P U E S T A 365

sornetida a flexión pura depende ex,.:i,sivamente de la geometría de la sscción y es, por tanto. independiente del valor del momento íiector.

Se demuestra que e1 eje neutro en una seccion transversal 2515 siempre localizado entre el cenrro de gravedad de la misma y el centro de curvatura.

A modo de ejemplo, cslculsmos la posición del eje neutro en una sección rectangular de una pieza de gran curvatura sometida a flexión (Fig. 6.15).

Figura 6.26.

EJERCICIOS IJ-l Figura 6.25. V1.I. La correa . 4R de u n tejado de pendiente a = 30" esti solicitada por u n a carga vertical uni-

foririemente repartida p. = 600 kplm. Si la sección recta de la correa es rectniigular de dimen- hiones h = 9 cm y h = 20 cm, se pide: El dcnorninador de la fhrrnula (6.9-1 1) en este caso tcndri por exprcsióii 1." Calcular las tensiones normales que se producen en la sección de miximo momento

flecror. 2." Deterniinar analítica y grálicamente el eje neutro correspondiente a dicha solicitación.

Por tanto, el radio de curvatura de la fibra que después de aplicar el momento ilector va a ser la fibra neutra srrá

(id Figura VI.1. Y (b )

l." El momento flector miximo se presenta en la sección media de la viya. Su valor es: I'ara cualquier otra sección se procedería de aniloga forma. En In Figura 6.26 se

indicrrn las expresiones de los radios de curvatura de las superficies neutras que posicionan el eje neutro de diversas rpcciones que se utilizan con bastante frecuencia en piezas de eran curvatura.

En el caso que la sección estuviera sometida, además de un momento flector, a una tracción o compresión, para calcular la distribución de tensiones se apiicarí~i, obviamente, e1 principio de superposición.

Sus componentes respecto a los ejes coordenadas son:

hfI = hf sena = 1200 x szn 30" = 600 m . kp

rCll = iL1 cosa = 1200 x cos 30" = 1039.2 m. kp

366 RESISTENCIA DE hlATERlALES FLEXION DESVIADA Y FLEXION COkIPUESTA 367

Figura VI.1-c.

Los momentos de inercia respecto a los mismos ejes son:

1 1 1, = - hlr' = - 9 x 20' = 6000 cm'

12 12

1

P o r tanto. la distr ibución de tensiones normales en los puntos de la sección recta j que se considera vendrá definida p o r l a ecuación: ;

en la que o viene expresada en kp/cm2 cuando las coordenadas se miden en cm.

2." L a ecuación del eje neutro se obtendrá anulando la tensión o I

1039.2 600 -- 6000 y + - z = o 1215

Simplificando. sc obtiene

La tensión m i x i m a . scgiin sc dcsprcndc dc la Figura VI.1-U se prcscnia en los puntos C ( - 10; 4.5) (tracción) y D (10: -4.5) ~ c o m p r c s i ~ ~ l l

L a construcción para la determinación gráfica del eje neutro queda indicada en la F igura VI . l -d .

F igura VI.1-d. /r"

Se dibu ja l a elipse central de inercia de la sección cuya ecuación analitica podernos poner en l a fo rma

W en la que s i m p l i f i c a ~ d o y sustituyendo valores, se tiene:

y se calcula la dirección conjugada respecto de ella de la dirección definida p o r el plano de carga, trazando tangentes a la elipse paralelas a la traza de d icho p lano de carpa. Si D y E son los puntos dc tangencia. ei c;c neutro es la recia que une dichos puntos.

VI.2. Una vixa de madera de ceccihn rcctangtrlar y lur I = 3 rc tá apoyada en sus extrcrnos y acfila sol>rc cl la uria carga uiiiforrricrncriie repari id:~ p = 300 kp/m. E l plano de carga es iert ic.* l y contiene los centros de gravedad de las secciones, inclinadas un ángulo a = arc t~ 117 (Fis. V1.Z-a). El módulo de clastlcidad es E = lo5 kp/crn2. Deterrninar la tensión norni.! n iáx ima y el corr imiento vertical de la sección en que ésta se presenta.

Figura VI.2-U.

Al ser la seccion constante. la tensión normal máxima se presenta en los puntos más alejados del eje neutro en la seccion de máximo momento flector. Esta es la seccion media de la viga, en la que el momento flector vale

1 1 1 pl' ,w,,, = R - - p - - = - = 3 3 7 5 O c m . k ~ " 2 2 4 Y

Los momentos flectores respecto a los ejes principales de inercia de la sección son:

1 .ti, = ,L/,,, sen a = 3 3 750 -= = 10 6 7 1 cni . kp

J I O

3 M: = .I.I,,, cos I = 33 750 -- = 32 OIS c m . kp

Jio La distribución de tensiones normales en la sección se obtiene aplicando la fórmula (6.2-3)

y como

La ecuación del eje czutro será:

La tensión normal máxima pedida se presenta en los vértices A y B más alejados del eje neutro (Fig. VI.2-b): en A será de tracción y en B de compresión. Su valor modular es:


\, 3'

\

Figura VI.2-c.

Figura VI.2-6.

Para calcular el cbrrimiento vertical tendremos en cuenta los corrimientos 6 , y 6 , debidos a ,\I_ y ,U,, respectivamente (en este caso los corrimientos son las flechas corres- pondienfes. es decir. Iris deformaciones máximas) (Fig. VI.2-c).

El corrimiento tiene de componentes. en valor absoluto

5 p cos z P . 5 p sen z P 6 = - --- , 'j =---- y 384 E. ' 384 Ely

Proyectando sobre la vertical se obtiene corrimiento pedido

6, = 6, c o s a .t 6 , sen a

Sustituyendo valores

se obtiene:


I V 1 3 . La seccion recia de una viga en voladizo de longitud 1 = 1.5 m es la indicada en la Fi- 1

gura V1.3-a. La viga esta sometida a una carga uniformemente repartida p = 350 kplm, contenida en el plano vertical que contiene la línea media del perfil. Pa ra la sección del empotramiento, se pide:

1." l.lall:tr analítica y gráficamente el eje neutro. 2." Calcular las tensiones rnaximas de tracci6n y de compresión.

cotas

Figura VI.3-a.

1 l." Para la determinación del plano d e ca rga calculemos previainerite la situación del ) centro de gravedad d e la sección. T o m a n d o el sistema d c ejes u, ii- indicado en la Figu- 1

ra V1.3-b y descomponiendo la seccion en tres áreas parciales. se tiene i

Z v , R , 0.5 x 6 + 5 x S + 9.5 x 4 81 oG=-- - = - -

1 Ri 6 + 8 + 4 - 4.5 cni 1 S

\'e;inios aliora la situ:ición dr los ejes princip;ilcs de irisrci;~ 1.. : p;ir;i. unti \L.

C O I I O C ~ ~ O S . c3IcuI;lr 10s nlomenloj de inrrcia 1,. 1,. Para cll0 c l i l ~ u i ~ l n 0 S 10s l i i O ~ i C l l i ~ ~

de inercia áxicos Ir,, I,, y producto dc inercia P,.,,., respecto de los ejes c,. ti.,. ~ L I

paj;lri por el centro de eravedad y son paralelos a los c. ti..

1

vi o

1 1 I 1, = - 3 ( 1 x 7' - 1 x 1') + - 3 (8 x 5' - S x 2' ) + - 3 I x 4' = 186 cni'

Aplicando el teorema d e Steiner, tenemos:

3-j .-

r . . " W c

I,, = 1, - R1t.i = 186 - 18 x 2.88' = 36.7 cm'

I., = 1, - RrG = 606 - 18 x 4.5' = 241.5 cm'

P ,,.., = I,, - n ~ . ~ ~ ~ ~ = 188 - 1 8 4.5 x 2.88 = - 4 5 . 2 8 cm'

Con estos valores podemos calcular las direcciones principales dc incrcid dr

seccion en el centro de gravedad G *

7 Figura V1.3-h.

. ' - 2

de donde 22 = 23.854" =. 1 = 11.927" = 11' 55' 38" Los monientos d e inercia principales serán:

w o

1, = I,, sen' r + 1, cos2 a + PYOCO sen 22 = 27.13 cm'

1, = l.., cos2 2 + 1, sen2 2 - P ,,,., scn 22 = 251.06 cm'

G L . 1

La distribución d e tensiones normales. en virtud de la ibrmula (6.2-3). será:

C o m o las componentes del momento flector en la sección del empot ramien t~ respecto d e los ejes principalrs, son:

- p12 - 3 5 0 x 1.5' A l l = - IU cos 3 = - COS a = 0.970 = -385.24 111. k p

2 2

- j7I2 -350 x 1.5' Af, = - Xf sen z = - sen I =

2 0.206 = -81.37 m . k p

2

372 RESISTENCIA DE ~ ~ A T E K I A L E S

-

I'LEXION DESVIAI>A Y FLEXION COMPUESTA 373

la Icy de distribución dc la teiisii>~i normal vendrá dada por: ,

en kp,crn: cuando las coordenadas y. : se cxpres;in en cm. La ecuación del eje neutro se obtiene haciendo o = O en la anterior expresión

que forma un ángulo O = 27" 5'23" con e1 eje .v.

0 Figura VI.3-c. \

Gráficamente, para encontrar la posición del eje neutro, procedemos como se indica en la Figura VI.3-c. Dibujada la elipse central de inercia buscarenios el diámetro conjugado d e la traza del plano de carga. para lo cual por el punto Q de intersección de la traza JcI plano de cargii con la elipse trazamos la t~itigcriir Q R a la misma. y por G una pariilcla a QR, que será rl eje neutro buscado.

2.0 Para determin;ir las tensiones niáximas de compresibn y tracción es necesario encontrar en qué puntos se dan estos extremos. Una vez deterniinado el eje neutro se comprueba que los p u n t ~ h más alejados de él y, por tanto, sometidos a las tensiones máximas son los vértices 2 y 6 (Fig. VL3-c): el vSrtice 2 a traccion y el vértice 6 a compresión.

Veanios cu;ilr<i son las coordenadas de dichos vértices respecto de los ejes y. I. 1.3s -

fórmulas de transformación son:

I' = u0 cos z - sen z

- : = u0 ser1 z + ti., cos z

Para el vértice 2: uO2 = 5.5 cm; )voz = 4 - 2.88 = 1.12 cm

y, = 5.5 x 0.978 - 1.12 x 0.206 = 5.14cm

:, = -5.5 y 0.206 - 1.12 x 0.978 = -2.22 cm

Para e1 vértice 6: = -4 .5 cm; lvo6 = - 1.88 cni

\'l.4. En la Figura VI.4-a ;e representan las secciones de los perfiles I P N 80 y tubular, de - dimensiones 10 x 80 mm y espesor e = 2 nim. que se pueden utilizar como correas en un tejado de pendiente a = 20".

Si ambas vigas van a estar sometidas a carga vertical, se pide: -

l." Indicar cual de las dos secciones es mas resistente. 2." Valor que tendría que tener el hngulo z para que ambas secciones presenten igual resis-

tencia.

IPN SO

Q Figura V1.4-a. Cotas en mm

l." Del Prontuario de perfiles laminados (véase Apéndice) se obtienen las caractcristicas mecánico-geométricas del perfil IPN 80

1, = 6.29 cni4 ; I , = 77.8 cm4

374 RESISTENCIA DE MATERIALES FLEXION DESVIADA Y F L E X I O N C O M P U E S T A 375

Las correspondientes a la sección tubular son:

1 1, = (SO x 403 - 76 x 36') x = 13.12 cm4

Como:

IM, = M sen I = 0.342,M ; I\II = M c o s a = 0.9401Cf

y en el punto B (-4, 2): a,,, = 14.86i\l que son de compresión en A y de tracción en R.

De los valores de las tensiones maximas obtenidas a que van a estar sometidas ambas secciones se deduce que la sección rirbular es c.as; irti 10 por 100 t>ii;.~ resklenre que el IP,V.

para un mismo momento íiector A I actuando sobre ambas secciones, las tensiones

normales que se producen en cada una de ellas serán:

a ) En la sección IPN: La formula a aplicar para el cálculo de la tensión normal es:

2." De la expresión de la tecsión normal

ilt cos x ,M sen z 0 = - --- 1' + ----- : ': - 1,

Las tensiones máximas se producen en los vertices A y 8 (Fig. VI.4-h).

se deduce que el valor máxiirio de esta depende del ingulo 3. El valor de este ingiilo para el que ambos perfiles presenten igual resistencia. vendri dado por la ecuacibrt o,,, = o',,,. es decir. igualanios las tensiones niiximiis en ambos casos.

cos I sen z - COS 2 sen 3 , 4 + -2.1 = -- 4 + - - -

77.8 6.29 38.97 13.12

Simplificando:

0.051230 c o s z = 0.181424 s e n z

de donde se obtiene el valor del ángulo z para que los dos perfiles considerados presenten igual resistencia

Para el punto A (4; -2.1)

Una viga en voladizo de sccción rectangular constante, ancho b = 30 cm, altura h = 40 crri que viene dada en kp/cmz cuando el momento llector se expresa en m - kp.

Para el punto B (-4; 2.1) se obtiene la misma terisión en valor absoluto, pero de tracción.

p longitiid 1 = 2 rii, ~ 5 t h sometida en su sección extrenia a una fi~crza F = 500 kp y coja linca de acción contiene a 13 diagonal AC de dicha sección, como se indica en la Figura V1.5-c Se pide: b) En la sección tubular:

Análogamente. para el punto A (4, -2). obtenemos: l." IInllar las leyes de variacihn del vecior tensihn en los puntos de la línea mcdia de la vi;;^

sohre los planos diagoiialei de la niisriia. 2." Calcular. en el piano qiic coniicrrc a la scccibn recta riiedia. el tecfor trrisihn en los puniír.

medios de los lados del recthngulo que la lirnita.

F L E X I O N D E S V I A D A Y F L E X I O N C O h l P U E S T A 377 -

El vector unitiirio del plano diagonal determinado por la linea media y la línea de acción d r la fuerza T' 25:

Lb+' 1 Figura Vi.5-a.

1." La visa que se considera está sometida a flexión desviada. Como en la linea media se anulan las tensiones normales debidas al momento flector, s6lo habrá tensiones tangenciales producidas por el esfuerzo cortante

Los valores dr las tensiones tanpericiales eri los puntos de la linea media son:

Las restantes tensiones son nulas. por lo que la matriz de tensiones en los puntos de la linea media d e la viga. referida a la terna de ejes indicados en la Figura VI.5-b, sera

A Figura VI.5-6.

ú(0, sen z, cos Z) = (O; 0.6; 0.8)

El vector tensión correspondiente será:

[ü] = [TI[.] = [-u7, 0.5 :: -(yi] ["" ] = [;j o 0.8

es decir. la rension es nulrr a lo largo de roda l a litreu niedia en el plutio defitri~lo por la litieu ttie(1iu y Iu dirigoriul AC de la sección e-rrrema libre.

Consiiferando ahora el otro plano diagonal, de vector unitario ri (0, sen 2, -cosz) = = (O; U 6; - 0.Y). se tiene:

Este resultado I ~ L ili(ryoti(il BB, 1'1 drrrccióti yite ésru.

nos indica que sobre el pluno dinyonol dr/inido por Irr litrra nir</ia y retrsidtr es corisrunre a lo largo de roda Iri IUiru trrrilrn rrrne lo rrrrsnia

2." Las coniponentes del moniento fiector en la sección media de la viga (.r = 100 cm) son:

3 rbf, = hf s e n z = F.Y s e n z = - 5 0 0 x 100 x - = -3 10' cm . kp

5

En los puntos P y Q, puiitos medios de las aristas superior e inferior, respectiva- minte, la tcnsión normal debida a M, se anula, así como la tangencia1 debida a T,

hl: 4 x 10' a,, = -- Y 20 = 5 kp/cm2, que es d e tracción

1: - 30 x 40' 12

h f * aax = -- y = -5 kp/cm2, que es de compresión [=

dirigida en la dirección del eje z negativo.

R E S I S T E N C I A DE M A T E R I A L E S F L E X l O N DESVIADA Y F L E X I O N C O M P U E S T A 379

Los vcctores tensión tienen igu;il valor absoluto en ;iriibos puntos

y se representan en la Figura V1.5-c. En los puntos R y S. puntos medios de las ;irist;is vert~c:iies. se anulan. 1;) rcnsion

normal debida a itl, y la tangencia1 producida por E

Figura i'1.5-c.

'V, - - 3 lo4 un= = - L - - 15 = - 5 kp/cm2, que es de compresion '

1, I - 40 x 30' 12

y en Q: bf, - - un= = -- - 5 kp/cm2. que es de !?acción 1,

dirigida en la dirección del eje y positivo. Los módulos de los vectores tensión correspondientes son:

Sobre un pilar de sección rectangular 20 x 30 cm actúa una carga P = 10 ton en la íorriia esquematizada en la Figura V1.6-o.

1." Determinar la posición del eje neutro. 1" G k u l a r el valor de o,,,,indicando si es de tracción o de compresión.

0

Figura VI.6-a.

l." El pilar dado trabaja a flexion compuesta, superposición de una compresión unir:)rmt

y d e una ílexión simple, cuya tensión maxima o, ,,. vale:

b / , b Pe b 6 P e 6 x lOo00 x 25 - = - - = - - = - - = 83.7 kp/cm2 1, 2 1 2 abz 20 x 30'

- ab' * m

La posición del eje neutro viene determinada por su distancia .Y ? I ejc principal i'.

inercia d e la sección (Fig. V1.6-b)

u , = .Y-tgz a, b 16.6

0 2 "71, = -- = - x 15 = 3 c m

t g z = - G ~ ~ , . 2 83.3 bl2

2." La tensión máxima (de compresión) será:

umIZ = u, + U,,,, = 16.6 + 83.3 = 100 kp/cm2


Figura V1.6-d. Y V1.7. Un pilar de 3 m de altura esta formado por dos perfiles normales U P N 180 yuxtapuestos.

Sobre esre pilar actúa una carga vertical P = 10 ton en el punto C indicado en la Fi- gura V1.7-U.

l . " Indicar razonadamente si el punto de aplicación pertenece al níicleo central de la sección. 2." Calcular el punto o puntos sometidos a mayor tensión indicando el valor de esta. 3." ~ C u l l seria la posición más desfavorable del plano de carga si esta sección estuviera

solicitada por flesión desviada?

U P N 180

Figura VI.7-a. 1 Cotas en cm

l." Del Prontuario de perFiles laminados (véase ~ p k n d i c e ) se recogen los siguientes daros para un perfil U P N 180

R = 28 cm' ; 1: = 1350 cm.' ; 1, = 114 cn14 ; c = 1.92 cm

de donde se deducen las caracteristicas mecánico-geométricas de los dos perfiles yuxtapuestos. referidas a los ejes indicados en la Figura V1.7-a.

Para contestar a la primera pregunta calcularemos el eje neutro para la carga aplicada en C como antipolar de este punto respec!3 de la elipse de inercia d e la sección

- La antipolar del punto C (ey, e x ) tiene la ecuación

Susrituyendo valores. se tiene

de donde la ecuacion del 45 neutro es:

y = 4.86.1 - 10.71

que corra a los ejes en los puntos:

A(-10.71;O) ; B(0;2.20)

cuyas coordsnad~s est in expresadas en centimetros. En Iri Figura V1.7-h se observa que el eje neutro corta a la seccion, por lo que el

ptrnro C zs e.rrerror nl niiclro cetrlral.

Figura \'1.7-b. \

2." El punto sometido a la tensión normal máxima es el más alejado del eje neutro, es decir, e1 D. La expres ih de dicha tensión máxima será:

P M , MY P Pe, Pe (ID= Y D + - Z D = - - - - Y D f L Z D n 1: 1, 1, 1,



La máxima terision normal de tracción se presenta en el verrice E ( -9 . 7)

3." Si la sccciOn estuviera solicitada a íiexion desviada. la traza del plano de carga pasnria por el centro de gravedad. Si llamamos a al ángulo que forma la traza del pl;?r?o de carga con el eje i. (Fig. VI.7-e). la tensión máxima se presentará en los vertices D o E. una a traccion y otra a compresión. Su expresióri será:

. . Figura VI.7-c. \

Se obtiene as¡ una expresión que nos d a u,,, en función del in_eulo 3. La posición más dcsíavorable del plano de carga correspondera al valor de z que haga que la función u,,, sea un máximo relativo, es decir, se tiene que anular su derivada respecto de a

'A

de donde, sustituyendo las cocrdenadas del punto D (9, -7). o E ( - 9 . 7)

Por tanto. Iñ posición más desfavorable del plano tle carga si la sección cstuvicra solicitada a íiexibii desviada, vendría dada por el ángulo a

habiendo puesto el doble signo por razón de simetría.

V1.8. La Figilra V1.8-a represcrita la seccióri de una p i l~s i ra airavesada por una bajanre de diinictro 2r = 15 cm. Se pide:

1." Calciilar el nócleo ceniral de la scccihn. 2." Siil>i~esra en B una carga de P = 30 corl cIctvrriiiri:ir cl estado de icriioiies clc la scccii~il.

Figura

1." Las caractcristicas mecánico-gcomeiricns de la sección son:

R = hlr - nr' = 100 x J O - n x 7.5' = 3823.3 cm2

A partir de estos valores se tiene la ccuaciori de la elipse central de inercia


1'- - 1

+ - - = 1 138.8 8i1.2

El núcleo central es el paralelogramo .1 BA'B' [Fig. V1.S-b). Calcularemos las p o ~ i - ciones d e los vértices .4 y B imponiendo la condición de que la polar d e A ( t i . 0; respecto de la elipse de inercia es la recta :if.:'(y = 20)

y que la polar de B (O. i) es la recra .\/P (: = 50)

El núcleo centra! es un rombo cuyas lor._:itudes de las diagonales so?: AT = = 7 x 6.94 = 13 88 cm, y BB = 2 x 17.42 = 34.Y-l cm.

1." La carga P = 30 ton aplicad~t en D origina un ebiado de tensioiies equivalente a !a superposición de una conipresion uniforme !

!

y la tensión origin3da por un momento :Cf, = P x 30 = 30000 x 30 = 9 x lo5 c m . kp. Esre momento d3 lugar s una disrribución lirieal, cuyo valor miximo (de traccion en .LfP y de compresión en IVQ) e3

Figura VI.8-c.

De la Figura VI.;;]^ se deduce ficilmenie la situación del eje neutro

.Y b =- = .Y =

(13.5 - 7.81)lOO = 71 crn

a 2 m i x - oi 2n>,ix 2 x 13.5

En la misma Figura V1.8-c se indica la distribucion de tensiones pedida

V1.9. Un pilar cuya sección recta se representa en la Figura V1.9-a está sometido, a travks de una placa suficientemente rígida situada en su parte superior, a una carga de compresión IV = 15 ton aplicada en el punto A. Se pide:

l." Determinar analítica y grAficamente la situación del eje neutro. 2." El estado de tensiones que la carga N origina, indicando los valores rii;ísimos de las

tensiones a tracción y a compresión.

Figura

Cotas

l." Las criracteristicas mecánico-geométricas de la sección. respecto de los ejes vii) indicados en la figura, tienen los siguientes valores:

I 80 x lo3 + 2 - 10(45' - 5') = 613 333.3 cm'

3

Las direcciones principales vienen dadas por:

de donde 2a = 60.255" = a = 30.1275". Los momentos de inercia principalcs serán:

1, = 1, sen2 a i 1, cos2 a + Py, sen 22 = 207 107 cm'

1 = I , COS' a + I , sen2 a - P,, sen 22 = 1 819 559 cm'

El momento flector M en la sección tiene de módulo

M = N. d = 15 000,/= = 903 119.6 c m . kp

y forma un ángulo /l con el eje w (Fig. VL9-b), tal que

FLEglON DESVIADA Y FLEXION COblPliESTA 387 386 RESISTENCIA DE bIATERIALES

Figura V1.9-b.

Las componentes del momento flector fi respecto de los ejes principales de inercia de la seccion son:

M, = M sen (T + 0) = 903 1 19.6. sen 78.49; = Y84 969 c m . k p

iM, = M cos (a + /l) = 903 119.6. cos 78.49" = 180 208 c m . k p

La tensión normal eri la seccion tiene por expresiun:

por lo quc la ecuación del eje neutro sera:

o = O 5 -9.375 - 0 . 0 9 9 ~ + 4.273: = O Figura Vi.9-c.

Como las formulas de transformación son:

Para calcular gráficamente el eje neutro dibujamos la elipse central d e inercia

- - ti sen z + w cos z

'.J tenemos:

que ticne de longitudes de semiejes 33.73 cm y 11.38 cm. El eje neutro es la an:ipolar del punto A respecto de ests elipse (Fig. V1.9-c).

2." La distribución de tensiones viene dada por la ley

Sustituyendo estos valores en la ecuación d e a, se obtiene:

que nos indica que por encima del eje neutro las tensiones son de compresión y por debajo de tracción. Los puntos sometidos a las tensiones maximas son los m i s alejados dcl eje neutro. es decir. el punto B a compresión y el D a tracción (Fig. V1.9-c.).

Calculsmos las coorderiadas y, i de ambos puntos. Referidos a los ejes v. i t . las coordcnauas d e B son ( - 30.45) y las de D (30, -45).


~ 1 . 1 0 . se corihidera pri,rili< niechnico rccto cuya hecciúri trarihversal es la iridicxia en la Figu-

ra V1.10-a. !+ pide:

1." Determinar grlficamenre el núcleo central. 1 o C;<IcuIar el eje neurro psrd una fuerra ,Vde compresión que actúa en el punro P ( - 4 , -2), -.

referido al sistema de ejes y, :. principales de inercia de la sección. 3." Valor de las tensiones normales máximas a tracción y a compresión cuando iV = 5 ton. J." Si la tensión admisible es o,,, = IZO0 kp/cm2 y E = 2 x ] O 6 kp/cni2, h3llar el nláximo

valor que puede tomar la carga (V.

Se supondrá el prisnia lo suficienteniente corto para no tener en cuenta el efecto de pindeo.

Figura VI.10-a.

l." Determinemos primeramente la posicion del centro d e gravedad G. Por razon de simetria G cs t i en el eje y. Para su cilculo descompondremos la secciori en !res i r eas parciales

Calculemos ahora los valores d e los niomeiitos d e inercia áxicos. q u e necesitamos conocer para dibujar la elipse de inercia.

I 1 1. = - (7 x 5.4' - 6 x 3.4)) + - (3 x 8.6' - 2 x 6.6') = 733.2 cm' - 3 3

La cc .sción d r la elipse de inercia es:

Dibujada la elipse central d e inercia (Fig. VI.10-6). los vértices IWIVPQ del núcleo central son los aiitipolos de las tangentes al perfil ni, n. p. y, respectivamente.

Figura V1.10-6.

Figura VI.10-c.

RESISTENCIA D E MATERIALES FLEXION DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA 391

2." El momento flcctor ,I.I forma con el eje i un ángulo ir cuya tangentc valc:

Sus componentes son:

,\f, = itf sen a = Nd sen 2

114: = - lI! COS a = - ,V<l cos x

I -- siendo d = J2 ' + 4' = 4.472 cm la distancia de P al ceritro de gravedad G


La distrihlici6n de tensiones normales en la sección vicnc regida por la ecuación

en la que o vendrá dada en kplcrnZ cuando N se expresa en kp y las coordenadas cn cm. La obieiicibn de la ecuaciori del eje neutro es inmeciint;~

de donde. simplificando, se obtiene

Podcmos ohtcner el eje neutro gráficaniente calculando la aiitipolar dcl punto P respecto dc la eiipsc central de inercia.

El procediniiento griifico queda indicado en la Figura V1.lO-d

3." Los puntos sonietidos a mayor tensión son los más alejados del eje neutro, es decir, los ,>u-tos R y S indicados en la misma Figura VI.lO-d.

Para cl punto R d e coordenadas (-5.4; - 3 3 , se tiene

Para S (8.6; 1.5)

(cnniprcsión)

(tracción)

Figura VI.10.-d.

4." Corno la máxiriia tensibn se presenta en el punto R. podemos poner

Nmir a%",,, 21v,,, = -- - - 5.4 - -- 3.5 = -0.1741V,,,

30 733.2 62.5

de doride se obtiene el niáximo valor que puede tener la carga IV

Calcular la anchura h del muro de tina presa de altura ii = 5 m (Fig. V1.11-o) para que en ¡os punto5 de la sección de su base no se prod~zcan ienjioncs de i:acción. El l u r o ec d.' horrnigóii, de peso específico 7, = 2.4 ton/niJ.

Considerenins la porción de muro de longitud unidad (1 m) en la dirección del ejt r (Fic. VI.1 1-h). Sobre la base de este prisniii actua:

-la compresiijri dcl psso propio del muro

estando expresado el ancho h en nietros; y

FLEYION DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA 393

dc d o i ~ d e ,e deduce la correspondien!,- al eje neutro

Para que no se produzcan tensiones de tracción en la seccicjn de la base, el eje neutro tiene que ser exterior a la base, es decir,

Figura VI.ll-u. de donde se obtiene la anchura minima del muro para que no se produzcan tensiones de tracción en los puntos de la sección de la base. -un monierito flector debido a la fuerza F resultante de la acción hidrostitica sobre

la cara e11 Contacto con el 32u3.

Coriio el valor de F es:

VI.12. Ilallar el núcleo central de una corona circular. y su linea de acción rstj. a 113 de 13 altura. sobre la base, el valor del rnoniento flsctor seri: 1

Sean R , y R, los radios interior y exterior, respectivamente, de la corona circular. Por razón de jimetria, el núcleo Eentral se r i un circulo de radio, r , que determinaremos imponiendo la condición de que la polar del punto A ( r , O) respecto de la elipse de inercia

es la recta y = R.

/ Z Figura VI.11-b.

Se trata, pucc, de un caso de flexión compuesta. La ecuación que nos da la tensibn normiil en los puiitos dc la base es:

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COhlPL'ESTA 395 394 RESISTENCIA DE MATERIALES

Calciilarenios la posicibn dc /I' (v. 0) imponiendo la coiidicion de quc este punto es el antipolu OC respecto de la elipse de inercia

, z2 I I* + ~ , = ñ

de donde:

Ahora bien, como R = n(Rt - R:) y los momentos de inercia de la sección respecto a los ejes son:

Ii es decir, que la polar dcl punto de coordenadas ( -1 . O) cs Y = - - 3

Sustituyendo las expresiones de R e I:, en luncion de los radios exterior R2 e interior R,, se ticne:

dc donde:

I El núcleo central de la sección de una corona circular es, pues, un circulo dc radio r.

El nuclco central será. pues, el triángulo equilátero A'B'C' indicado en la Figura V1.13-h V1.13. Hallar el núcleo central de un triángulo equilátero de altura h.

Por razón de simetria, el núcleo central se r i un triángulo, equilatero también, que tiene el mismo centro de gravedad que el triángulo dado. Bastará, pues, determinar la posicion de algunos d e los vértices. por ejemplo. la posición de A'

I

/ VI.14. La sección recta de un prisma mec5nico sometido a comprsión e x d n t r t a es un triángulo ! cquil5iero. de lado a = 3 ni. Sabiendo que el material del prisma no resiste a tracción calcular

i la sección parcialmente eficaz y el valor de la tensión maxima, si la carga de compresión es I N = 80 tori y está aplic'ada en un punto a distancia d = 0.5 m de uno de los vertices y sobre ! i el eje de siiiietria de la sección que pasa por el mismo. I

I Sea C el punto de aplicación de la carga ,V. La carga da lugar a una distribución lineal de tensiones dc compresión o(.r). No existen tensiones de traccion Calcularemos la longitud D que determina la sección parcialmente eficaz imponiendo la condición que la resultante de las fuerzas engendradas por la distribución d e tensiones es un vector igual a la carga N )

con su misma linea de acción (Fig. V1.14).

I N = joD .(.Y) . b(.Y) d.Y

Nd = joD a(.r) . b(.v).r d.^

1 Como a(.') y b(r) tienen por expresiones I - 1

Figura VI.13-a. Figura VI.13-b.

q m 1 , b(r) = x ; U(.') = U,;, - --

h D Calculemos el momento de inercia respecto del eje z' (Fig. VI.13-a)

I I como Gcilmente se desprende observando la Figura VI.14, sustituyendo, se tiene:

Respecto al eje z. paralelo al z', en virtud del teorema d e Steiner, cl momento de incrcia 1, es:


A

Figura VI.14.

Dividiendo estas dos expresiones obtenenios:

es decir, la sección parcialmente eficaz es un triángulo eqiiilátero de altura B = I m, situado como se indica en la Figura V1.14.

Sustituyendo en la primera ecuación el valor de D. se obtiene el va!x dc la tensión máxiina pedida.

( o,,, = 41.57 kp/cm2 1 V1.15. bledianie la soldadura de tres plarís con la forma y dimensiones adecuadas se construye la

viga curva de sección en doble te indicada en la ligura V1.15-u. Se pide:

l." Calcular la distancia e entre el centro de gravedad de la sección y el eje neutro que produce exclusivamente el monienio flector.

2." l~lallar la distribución de tensiones normales en la seccibn m-n, ilidicarido los valores correspondientes a los puntqs que estan sometidos a tensión normal máxima a tracción y a compresión.


3." Sabiendo que la tensión admisible a comprensión de material es a,,,, = 65 hlPa. determinar el mir imo valor de P que puede aplicarse a la viga.

- Figura V1.15-a.

l." Según se desprende de la Figura VI.15-u el radio de curvatura de la linea media en la sección considerada es po = 55 mm. Para calcular el radio ro de la superficie neutra aplicaremos la íorniula dada por la ecuación (6.9-1 1)

La distancia e entre el centro de gravedad G de la sección y e! eje neutro que produce exclusivamente el momento flector será:

2." La distribiición de tens icss normales debidas al momento flector viene dada por la ecuacion (6.9- 10)

mientras que la debida al esfuerzo normal es

,;endo: M, = P(40 + 55) = 95P mm- N. expresando P en newtons

Ci 398 RESISTENCIA DE MATERIALES

Aplicando el principio de superposición y sustituyendo valores se obtiene

& estando expresada la coordenada g en rnrn.

Flexión hipevestatica

7.1. Introducción '

Figura V1.15-6. En todos los casos de flexion de vigas estudiadas hasta ahora hemos supuesto que Cstas eran isostáticas, cs decir, que la sola aplicacion de las ecuaciones de la Estatica perniitc determinar las rcncciones de las ligaduras y, por consiguiente, son suficientes para calcular la distribución dc tensiones en el interior de las vigas.

Sin embargo, hay infinidad de casos en los que las ecuaciones de equilibrio son insuficientes para determinar las rcacciones dc las ligaduras, como ocurre, por ejemplo, en las visas rectas xcpresentadas en la Figura 7.1.

Las tensiones maximas a tracción y a compresión se presentan en los puntos A y B, respectivamente (Fig. VI.15-b). Sus valores se obtendran sin mis que sustituir y = -31 mm para A. e y = 19 mm, para B, en la ecuacion anterior

3." El rniximo valor de P que se puede aplicar a la viga curva considerada seri aquel que haga que la tensión en B sea igual a u,,,

de donde

(4 Figura 7.1.

En todos los casos indicados supondremos qiie las visas admiten plano medio de simetría y las cargas estin contenidas en dicho plano. En todos los casos, son tres las ecuaciones de equilibrio de las que se dispone para calcular las reacciones dz las ligaduras, dos que expresan la nulidad de la resultaritc de las fuerzas exteriores y las reaccionci de las ligaduras, y otra que traduce la condición de scr nulo el vomcnto resultante d c todas estas fucrzas respccto tfc cualquier punto.

-100 RESISTENCIA DE MATEKIALES FLEXION HIPERESTATICA 401

Si el de incógnitas que determinan la totalidad de las reacciones sobre la viga

es superior a tres, es evidente que la viga esta indeterminada desde el punto de vista estático. si, en la vigii empotrado-apoyada con el apoyo móvil indicada en I;i Figura 7.1-0, el número de incógnitas es de cuatro: tres, que definen la reacción R., y el momento ,M, en la Y otra, la reacción en Otro extremo B que sólo tiene componente vertical por tratarse de un apoyo móvil. Si en vez de ser el apoyo móvil es fijo (Fig. 7.14). exrste una incógnita mis respecto del caso anterior. que es la componente horizontal H, de la reacción en la sección extrema B, es decir, existirian cinco incógnitas.

La indeterminación aumenta en la viga biempotrada (Fig. 7.1-c), ya que son seis las incógnitas, tres por cada empotramiento. Obsérvese que eii este caso existirisn componentes horizontales de las reacciones en las secciones extremas, aun cuando todas las cargas fueran verticales. Para obviar esta circunstancia. las vigas biempotradas que consideraremos en lo que sigue serán en realidad empotradas en un extremo y con una corredera longitudinal en el otro (Fig. 7.1-d).

Finalmente, en la Figura 7.1 se han representado vigas de dos tramos: la primera, con tres apoyos (Fig. 7.1-e). tiene cuatro incógnitas; la segunda, con un extremo empotrado y dos apoyos (Fig. 7.1-/), el número de incógnitas para la determinación de las reacciones es de cinco. Para vigas de más trarnos, cada apoyo móvil introduce una incógnita más en el problema. Las vigas que tienen m i s de un tramo reciben el nombre de - u;,qos conrinuas.

En todos los casos indicados es posible eliminar ligaduras sin que la viga deje de estar en equilibrio. Podenios decir, por consiguiente, que existen ligaduras que son superfluas para mantener el equilibrio.

Estas vigas reciben el nombre de vigas hipcresráricas o esrhricatnenre iticlrren~iitiad~~s. Llamaremos pudo de (.iiperrstcitici~/nd a1 numero de incógnitas superfluas, es decir, a la diferencia entre el numero de incógnitas y el número de ecuaciones de equilibrio que tenemos al aplicar las leyes de la Estática.

En el caso de que alguno de los extremos de la viga esté empotrado, distinguiremos entre empotrarniento elástico y empotramiento perfecto. Diremos que el rni orraniiento elusrico se presenta cuando el ángulo girado por la sección extrema es proporciona a n i m o que en ella actúa:

-----m

Cuando la constante de proporcionalidad se anula, k, = O, tenemos et~ipotratiiieriro -- .-

perfecto. Se deduce entonces: 9, = O, es decir, cuando el empotramiento es perfecto el án-gijgigi;ado por la sección extrema es nulo.

Así pues, los grados de hiperestaticidad de las vigas representadas en la Figura 7.1 son: a) uno; b) dos; c) tres; d ) dos; e) u n o ; n dos.

Es evidente que las ecuaciones de equilibrio son necesarias para la resolución de los problemas hiperestáticos, pero no son suficientes. Habrá que completarlas haciendo intervenir las características de deíormación de la viga, en niimero' igual a su grado de - - - hiperestaticidad. Tales ecuaciones se denominan eciraciones de cor~tpatibili~latl (le las Mor - t?iaciones.

En este capitulo estudiaremos la flexión hiperestática de vigas de un solo tramo, y de - varios, como es el caso de las vigas continuas. Extenderemos el estudio de las vigas al caso de sistemas hiperestáticos y se expondrán algunos métodos entre los que se utilizan para hacer su cálculo.

7.2. Métodos de cálculo de vigas hiperesthticas de un solo tramo

Como ya se ha indicado, cuando nos encontramos con una viga hiperestática es necesario considerar junto a las ecuaciones de equilibrio otras que hemos llamado ecuaciones de -

compatibilidad de las deformaciones. Existen varios métodos para el cálculo de vigas hiperestáticas de un solo tramo, únicas

que consideraremos en este epígrafe. Veamos en qué consisten los métodos, que están basados en:

a) la ecuación diferencial de la linea elástica, 6 ) 1 0 s teoremas de Mohr. ----- c) el principio de superposición, -

viendo cómo se aplica cada uno de ellos en casos concretos, a modo de ejemplo.

a) klétodo basado en la ecuación diferencial de la elhstica

El procedimiento a seguir es esencialmente el mismo que el descrito en el Capítulo 5 para la determinación de la deformada de la viga, mediante doble integración. Se formula la ecuación diferencial de la elástica considerando las incógnitas como si fueran valores conocidos. Se determinan éstos, más los valores de las dos constantes de integración que este método introduce como nuevas incógnitas, mediante el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de equilibrio y las que se obtienen al imponer las condiciones de contorno en la ecuación de )a elástica.

Veamos cómo se aplica el método al caso de una viga empotrado-apoyada sometida a una carga uniforme p (Fig. 7.2).

Figun 7.2. c3

Existen tres incógnitas: las reacciones R, y R, cr, las secciones extremas y el momento de empotramiento A{,. Como en este case las ecuaciones de equilibrio son dos, ya que n o existen fuerzas oblicuas, tenemos:

p12 Z M = O : M , + - - R,I=O 2

(7.2-2)

1' El sistema es, pues, iiirerestáticode primer grado. La ecuación de la linea elástica será _<'.


Integrando, se tiene niisnios diagranias para cada una de las incógnitas superfluas, por otra. y se aplican los teoremas de Mohr que proporcionan las ecuaciones necesarias para el cálculo de las incógnitas superfluas.

Veamos cómo se aplica el método considerando el' ejemplo de una viga ernpotrado- apoyada sonictida a una carga concentrada P, comn !a indicada en la Figura 7.3-a.

Las condiciones de contorno son:

Para determinar las reacciones de las ligaduras tenemos, pues, el sistema de ecuaciones formado por las (7.2-l), (7.2-2) y (7.2-6)

Figura 7.3.

Como se trata de una viga hipercstática de prinier grado podemos tomar como ligadura superflua el apoyo en el extremo B. Lo suprimimos sustituyéndolo por la reac- ción R, que tal ligadura pioduce (Fig. 7.3-6). El diagrama de momentos flcctores de esta viga es la superposición del correspondiente a la carga P (Fig. 7.3-c) y a la carga R, (Fig. 7.3-4.

Como la tangente a la elástica en el extremo A pasa por el otro extremo B. es nula la distancia de éste a aquélla. Si aplicamos el segundo teorema de blohr. esta circunstancia se expresa anulando el momento estático del diagrama M,/EL respecto del extremo B.

que nos da las siguientes soluciones

Cuando sea necesario calctilar un gran numero de constantes, la resolución de: sistema de .ecuacioncs puede resultar excesivamente laborioso, por lo que es rcconsejable aplicar es$ método solamente en casos de' carga relativamente sencilia.

De esta expresijn se obtiene directamente el valor de R,

6) Método basado en los teoremas dc klohr

Los teoremas de Mohr se pueden aplicar a vigas hiperestáticas proporcionándonos las ecuaciones complementarias a las de equilibrio que son nectsarias para la resolución de un problema estáticamente indeterminado. Estas ecuaciones complementarias expresan condiciones sobre las pendientes y deformaciones de la viga, en número igual al de incógnitas superfluas.

El método consiste en elegir la incbgnita o incógnitas superfluas, eliminando O modificando convenientemente la ligadura o ligaduras correspondientes. Cada incógnita superflua se considera como una carga desconocida que, junto con las otras cargas, conocidas o desconocidas, ha de producir deformaciones compatibles con las ligaduras reales. En la práctica, se dibuja el diagrama IM,/EI, de las cargas conocidas, por una parte, ssí como los

Esta ecuación, junto a las dos de equilibrio

permite calcular las otras dos reacciones

Ph Pub R - -(312 - h 2 ) ; A f A = - - ~ ( 1 + 6)

A - 2 i J 21

FLEXION HIPEKESTATICA 403

Hemos indicado que se elige una incógnita superfl1i:i. eliminando o

modificando convenientemente la ligadura correspondiente. En la resoluci0ri que acaba- r , , ~ ~ de e,-poner se ha elegido la reacción del apoyo B y, consecuentemente. se ha suprimi- do dicho apoyo. Pero podiamos haber elegido e1 momento de empotramiento M , como incógnita superflua. En este caso habria que modificar la ligadura del enipotramiento convirtit.nd~la en un apoyo simple fijo, ya que lo que hay que liberar es la posibilidad de giro de la seccióri A, pero no dejar libre el desplazamiento pues se considerariun dos incógnitas superfluas - e l momento i\.l,, y la reacción R,- cuando en realidad sólo existe una incógnita superflua ya que si así se hiciera, la viga se convertiria en un mecanismo inestable.

Si se hubiera elegido e1 momento M, como incógnita superflua (Fig. 7.4) dibujariamos los diamamas ICI-/EJ. indicados en la misma figura y aplicaríamos el segundo teorema de - -. - - ~.

Mohr.

(7.2- 14)

P B

(1

I

Figura 7.4. ----, I !

Se obtiene, evidentemente, el mismo resultado anterior ¡

Pub i kfA = -7 (1 + b)

21- 1 !

- - . . . . . . . . . s . . . P i Una vez determinadas todas las reacciones a e las lignauras, las tensiones y oeiormaclo-

nes se calcu!arian como se ha expuesto en e1 Capitulo 5. Ur?a forma de calcular el giro de cualquier seccion o, lo que es lo mismo, la pendieiite a la elástica, asi como la deformación de cualquier sección de la viga es, precisamente, aplicar los teoremas de Mohr.

c) Metodo basado en el principio de superposición

En algunas ocasiones puede ser de utilidad la aplicación del nr>rodo de sirperposicidn que está basado en el principio del mismo nombre.

El método consiste, igiialnierite al basado en los teoremas de Mohr, en elegir la incógnita o incógnitas superfluas, eliminando o modificando convenientemente la ligadura o ligaduras correspondientes. Cada incógnita superflua se considera como una carga desconocida que, junto con las otras cargas, conocidas o desconocidas, ha de producir

delormaciones conipatibles con las ligaduras reales. Lii pendiente o desplazamiento de la seccion. en la que se ha eliminado o modificado la ligadura, se obtiene superponiendo los valores obtenidos de las dsíormaciones que producen las cargas conocidas y las incógnitas superflu:is, actuando cada una de ellas separadamente.

Veamos con un ejemplo cómo se aplica el método. Consideremos la viga biempotrada sobre la que actúa una carga concentrada P, indicada en la Figura 7.5. Supondremos, como ya se ha indicado, que uno de los empotramientos es una corredera horizontal para evitar la apariciSn de coniponentes horizontales de las reacciones en las secciones extremas.

Figura 7.5.

Al tratarse de una viga hiperestática de segundo grado tenemos que elegir dos incógni- tas superfluas. Consideremos como ligadura superflua el empotramiento de la sección B. Esta ligadura comprende dos incógnitas superfluas, la reacción R, y el momento M,, por lo que podemos eliminar el smpotramiento. De esta forma obtenemos la viga en voladizo indicada en la Figura 7.6..

Figura 7.6.

Calculemos las deformaciones que producen la carga P. la reacción R,, y el momento de empotramiento M,, actuando separadamente.

La carga P produce una deformación angular que se puede obtener Gcilmente aplican- d o el primer teorema de Mohr, teniendo en cuenta que la elástica es rectilinea en la porción de viga CB

El desplazamiento vertical de B debido a P se puede obtener asi:

1 Paz 2 Paz Paz (!>,)P = ()>c)P + (O,)pb = -- - - a - - b = - -- (2a + 3h) (7.2-16)

EI: 2 3 2EI, 6EI:

habiendo calculado ( jr ,)p mediante el segundo teorema de ~Mohr. Análogamente, se calculan las deformaciones debidas a la reacción R,

1 y al momento M,

R,/ 2 R , I ~ 21 R,I' (O,), = - ; (J,), = - - = -

2EL ZEI, 3 3EI=

Las ecuaciones de compatibilidad de las deforniaciones son en nuestro caso

O , = O ; y , = O (7.2-19)

El principio de superposición nos permite poner:

Paz R,lZ M,¡ o, = (O,), + (O,), + (O,).,, = -- + - + - = O (7.2-20) 2EI: 2EI, El,

Paz R I' ~ \ f , , ¡ ~ = ( , ~ . ' B ) P + (F,)R + (YB).\~ = - - (2a + 3b) + 2- + -- (7.2-2 1)

6 EI, 3EL ZEI,

lli¡¡¡c Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (7.2-20) y (7.2-21) se obtienen los valores de las dos incógnitas que hemos elegido como superfluas

Las otras incógnitas se determinan mediante 15s ecuaciones dC3equilibrio

F, = O: R., + R, - P = O

L M = O: M , + R,I - Pb - hfB = O

De aquí se obtienen:

con lo quc se da por resuelta la viga considerada, ya que conociendo todas las reacciones de las ligaduras se obticncn con toda facilidad las lcyes de esíucrzos y morncntos en la viaa.

FLEXION JiIPERESTATICA 407

7.3. Viga empotrada en sus extremos

En el epigrafe anterior hemos expuesto diversos métodos para el cálculo de vigas hiper- estáticas de un solo tramo, y 10s hemos aplicado a casos sencillos de carga. Podcmos observar cómo en los dos ultimas lo que hemos hcclio en realidad, al clirninar las

. ligaduras superfluas, es convertir la viga hipcrestática dada en una viga isostática con SU

carga real. y superponerla con otra igual sometida exclusivamente a las incógnitas superfluas.

Esto es lo que haremos ahora para calcular las iricósnitas ~uperfluas de una viga biempotrada. sometida a una carga p í x ) por unidad de longitud (Fig. 7.7-u). Tomando como incógnitas hiperestáticas los momentos de empotramiento. esta viga biempotrada se puede considerar como la superposición de una viga isostática simplemente apoyada en sus extremos sometida a la carga p(.\-) (Fig. 7.7-b), y otra, que podemos llamar viga hiperestatica. en cuyos extremos actúan exclusivamente las incógnitas hiperestáticas. es decir, los momentos b1: y M, (Fig. 7.7-c).

El diagrama de momentos isostáticos podrá hallarse facilrnente (Fig. 7.7-d). Sea su ecuación ,/¿(.Y). El diagrama correspondiente a la segunda viga sometida en sus extremos a los momentos hiperestáticos scra lineal. tal como el representado en la Figura 7.7-e.

El diagrama de momentos flectores de la viga biemrotrada que se considera será. en virtud del principio de superposición, el resultado de sumar algebraicamente las lcyes dc ambos.

Para la dctcrminación analítica dc los irlomenios de empotr:imienio A I , y M,, i.1

condición de eriipotramientos perfectos exige la nulidad dc glro dc ambas seccioncC

FLEXlON HIPERESTATICA 409

sxtremas. Por tanto, aplicando e1 primero Y segundo teoremas de Mohr. supuesto que el material es homogkneo ( E = cte) y la seccibn recta se mantiene constante, ienemos:

) J: 1; (l.., +

'M, - M, J; Af=(.r).r d.Y = ",lz(.y,.Y '/-Y i- 1

.Y .rd.r = o (7.3-3)

sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución nos resuelve el problema. De las-ecuaciones (7.3-7) y (7.3-3) se deduce:

a) El área del diagrama de momentos flectores isostáticos es igual. en valor absoluto, al área del diagrama de momentos hiperestáticos.

b) Los momentos estiticos de los citados diagramas, respecto al eje vertical que pase por uno de los extremos, tienen igual valor absoluto.

De aqui se desprende que los centros de gravedad de los diagramas de momentos isostáticos e hiperestáticos estan a la misma distancia de las verticales que pasan por los extremos.

En algunos casos en que se presente simetria de cargas y se verifique IM, = M,, la viga biempotrada que es hiperestática de segundo grado pasaría a ser hiperestitica de primer erado, por lo que seria suficiente aplicar solamente el primer teorema de Mohr para calcular los momentos hiperestáticos.

Determinemos ahora las reacciones verticales en los empotramientos, que nos perrniti- rán representar los diagramas ds esfuerzos cortantes. Nos limitaremos a derivar la ecua- ción de momentos flectores (7.3-1) haciendo .Y = O y x = 1 respectivamente. Asi, pues:

M , - M, = - R,, +

1 (7.3-5)

es decir: (3

suendo RAi y R,, las reacciones en los apoyos de la viga isostática. Vemos que los momentos de empotramiento hacen variar los valores de las reacciones

(excepto si 1% = M,) y, como es lógico, el aumento en una presupone una disminución idéntica en la otra.

7.4. Viga empotrada por un extremo y apoyada en el otro

Consideremos ahora una viga empotrada por un extremo y apoyada en el otro, que está sometida a una carga p(x) por unidad de longitud (Fig. 7.8). Esta viga es hiperestática de

pnmer grado. Podemos elegir como incógnita hiperestática el momento de empotramiento *\14.

La ley de momentos flectores se obtiene de forma inmediata particularizando la ecuación (7 3-1) al hacer M, = O

El valor del momento hiperestáiico M, se puede obtener aplicando el segundo teorema de blohr. tomando c o p o referencia el extremo B.

Sustitiiyendo la expresión de M;(.Y), dada por (7.4-l), queda:

ecuación que nos permite obtener M,

Las reacciones en el empotramiento y en la sección extrema B ser in


es decir:

AfA . R., = R,/ - - , , R, = R,i + - 1

siendo RAi y RBi las reacciones en los apoyos de la viga isostática.

7.5. Vigas continuas

Con frecuencia se encuentran en las estructuras de edificios, en las cubiertas de naves industriales y en otras clases de estructuras, vigas de varios tramos o vigas co~iril~tras que son estáticamente indeterminadas.

Podemos definir la ciga conriiiita como un prisma mecinico recto sometido a flexión, apoyado simplemente en una o varias secciones intermedias y cuyos extremos son apoyos siriiples o empotramientos. La Figura 7.9 representa la viga continua más sencilla, o sea, uiia viga recta sobre tres apoyos, uno articulado fijo y dos móviles. Con objeto de evitar componentes horizontales de las reacciones en los apoyos intermedios, no dcscables, consideraremos que todos los apoyos intermedios son articulados móviles. Asi, un extremo es siempre apoyo fijo o empotramiento perfecto y el resto de ligaduras son apoyos articulados móviles.

Diagrama de momentos ilectorcc

Figura 7.9.

De la simple observación de [a Figura 7.9 se deduce la principal ventaja de las vigas continuas: la disminución de 10s momentos flectores niiximos en 10s tramos. Como consecuencia. resultarán más económicas que una serie de vigas de longitudes iguales a la de cada tramo, y sometidas a las mismas cargas, apoyadas independientemente.

LOS diíereiites tipos de vigas contiiiuris que sc pueden presentar se esquematizan cn la Figura 7.9. Estudiemos el grado de hiperestaticidad de una visa continua. Para ello tendremos en cuenta que el apoyo articulado fijo equivale a dos incógnitas, el apoyo móvil a una y el empotramiento a tres, como ya hemos visto en repetidas ocasiones.

Figura 7.10.

Supuesto CI sistema de cargas contenidas en un plano vertical, el numero de ecuaciones de equilibrio es de tres. I'or tanto, el grado de hipcrestaticidad de los tres tipos señalados será:

tipo (a): (u.+ 2) incógnitas - 3 ecuaciones = n - 1

tipo (6): (n + 3) incógnitas - 3 ecuaciones = n

tipo (c): (n - 1) + 3 + 2 incógnitas - 3 ecuaciones = n + 1

En una viga continua la rigidez de un tramo dificulta la deformación del tramo contiguo por lo que cadz apoyo actúa como un empotramiento elástica. La acción del d traxpo i-esirno de longitud li sobre el i+ 1-ésimo de longitud I,,, equivale, pues, a la

aplicacion de un nomento rw. El cálculo de una viga continua se simplifica de forma muy notable eligiendo como incogni!as superfluas los momentos ílectores Mi que actúan en las secciones rectas correspondientes a los apoyos intermedios. Tomaremos como incOgnitaz hiperestáticas estos momentos Mi en los apoyos. Una vcz conocidos dichos momentos quedan perfectamente determinadas las leyes de los momentos ílectores en los diversos tramos de la viga. Las leyes de esftierzos cortantes se podrán obtener por derivacibn.

Aunque uii;i viga continua se ~iucde resolver ayiic;tndo cualquiera de los métodos descritos en el epigrale 7.2 es particularmente aconscjable aplic;ir el método de super- posición y elegir como iricógnitas superfluas los momentos ílectorcs en las secciünes de los apoyos intermedios, como ya se ha indicado. De esta forma cada tramo se convierte cri una viga simplemente apoyada solicitada por la carga real y los momentos hiperestático: en los extremos (Fig. 7.1 1).

112 RESISTENCIA DE M A T E R I A L E S * FLEXION HlPERESTATlCA 413

Figura 7.1 1

Tomando como incógnitas superfluas los momentos [lectores en las secciones correspondientes a los apoyos, veamos como se resuelve una viga continua.

Comenzaremos considerando una viga continua, uno de cuyos extremos está empotrado. Basándonos en la horizontalidad de la tangente a la línea elastica en un empotramien- to perfecto vamos a establecer una relación analítica entre el valor del momento M, en el empotramiento y M, en el apoyo inmediato (Fig. 7.12).

Figura 7.12.

Si 0, es el Arca del diagrama de momentos isostáticos y G, el centro de gravedad de dicha área, por aplicación del segundo teorema de Mohr respecto del apoyo móvil, tenemos

Si la línea elástica presentara un punto anguloso en alguno de los apoyos significaría que en ese apoyo habriamos sobrepasado las deformaciones elásticas. Como nos movemos en el campo de elasticidad, la derivada de la linea elástica ha de ser una función continua. Esto signilica que la tangente a dicha linea, en cualquier apoyo, es unica. Esta condición nos permite escribir (Fig. 7.13)

Figura 7.13.

Supondremos la viga homogénea y de sección constante (E l , constante). Por el segun- d o teorema de Mohr, tenemos:

de donde:

expresión analítica del llamado reorenia de la;r dos momentos.


Despejando de estas expresiones a,, a,, Be P,, y sustituyendo en (7.5-2), se obtiene

de donde:

expresión analítica del denominado feorenia de los [res t~ronrenros. Este teorema es dcno- miiiado también de Clripe.vroil, ya que es Clapeyron (1799-1864) quien estableció que debido a la continuidad de la elástica y de su derivada en los apoyos intcrmcdios de una viga continua, las pendientes en los extremos de dos tramos contiguos en el apoyo común deben ser iguales.

Ahora se compreride muy bien porqué la elcccion como monlentos hipcrestliticos de los momentos flectores en las secciones correspondientes a los apoyos inierniedios simplifica de forma notable los cálculos. ya que mediante la aplicación del teorema dc los tres momentos tenemos un sistema de ecuaciones en el que en cada una de ellas aparecen como máximo tres incógnitas, independientemente del número de incógnitas que existan.

La aplicación de este teorema a cada terna de apoyos consecutivos nos proporciona en casos de vigas continuas del tipo (o) n - 1 ecuaciones, que resuelven la hiperestaticidad del problema.

Si las vigas son del tipo (h) o (c) aplicaremos tambitn el teorema de los dos momentos obteniendo una o dos ecuaciones más, segiin el tipo de que se trate.

Una vez que se conocen los momentos hiperestáticos, se obtienen, de forma inniediata sin dificultad aiguna, los diagramas d e momentos fiectores y de esfuerzos cortantes, lo que permite determinar las tensiones en los puntos de cualquier seccicn de la viga continua.

7.6. Sistemas hiperestáticos. Grado de hiperestaticidad de un sistema .

Cuzndo se nos presenta la necesidad de estudiar un sistema hiperestático. esto es, cuando tenemos que calcillar las leyes de momentos fiectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales, lo primero que hay que hacer es analizar su esquema para determinar el grado rle l~iperes~aricidad, que ya hemos definido en 7.2 en el caso de vigas.

En lo que sigue consideraremos sistemas hiperestáticos planos en los que las cargas estén contenidas en su plano.

Fijémonos en el sistema representado en la Figura 7.14-a formado por un doble pórtico cuyos nudos supondremos perfectamente rígidos y sus tres soportes perfectamente empotrados en terreno firme.

Figura 7.14.

Segun vimos en el epigrafe 1.1 1 un empotramiento equivale a tres incógnitas: dos componentes de la reacción y 13 tercera que corresponde al momento. Por tanto, par3 conocer las acciones de las ligaduras externas sobre el sistema de la Figura 7.14-0 sr necesita determiniir nueve incógnitas. Como el numero dc ecuaciones de equilibrio es trcs. por tratarse de un sistema plano. tenemos scis incógnitas estáticamentc indetcrriiinada: (1

hiperestiticas. Es evidente que conocidas las reacciones y los momentos en las scccioiics dc los crnpoirarnientos de los soportes del sistenia considerado están perfectamente dctermi- nadas 13s leyes de momentos flectores. esfuerzos cortantes y esfuerzos norniales en lodas y cada una de las partes del sistema. Pero si consideramos el pórtico de la Figura 7.14-h, q u ~ tiene las mismas ligaduras externas que el anterior. vemos que el conocimiento de las se¡\ . cien de nioiiicii- incógnitas estáticariicnte iiidetcrminadas es insuficiente para la deterrniii,~ -. '

tos y esfuerzos en todas las barras del sistema. Esto es debido a que se han iiitrodiicido contornos cerrados.

Pero antes de seguir adelante y ver a cuantos grados de hiperestaticidad equivale u n contorno cerrado, nos damos cuenta que existcii dos causas que hacen que el sistema scii hipcrestático: I;is incógnitas en exceso de los enl:iccs provenientes de las ligaduras extern:i\ al sistema, y las que se derivan de la forma que esttn conectadas entre si las diversas partcs del propio sistema. En el primer caso tenemos los sisren~as e.rreriorn:etire Iriperesróticos. como es el caso de la viga continua representada en la Figura 7.15-a; y en el segundo, los sistet~ras it:!criorr~ictrrc lriperes~áricos, como es el pórtico de la Figura 7.154 con un apoyo Iijo en A y otro móvil en B.

Si llamamos li3adtrns sirpcrj71tas a aquéllas cuya eliminación se puede realizar sin perjudicar la invariabilidad del sistema, d i ren i9 que el grado de hiperesrariciriades igual al

116 RESISTENCIA D E XfATERlALES

número de ligaduras superfluas, tanto e-<teriores Como interiores. Cuy2 eliminación convierte el sistema dado en isostático invariable. entendiendo por tal el sistema cuya c o n f i p - ración geométrica no puede cambiar sin deformación de sus elementos, ya que en caso contrario se trataria de un t>~rcanirt~io.

Si llamamos n al grado de hiperestaticidad del sistema y 11,. ti, los correspondientes a las ligaduras superfluas exteriores e interiores respectivamente. se verificará:

Calcularemos el grado de hiperestaticidad aplicando esta relación, es decir, hallaremos el número de incógnitas superfluas que corresponden a las ligaduras externas, por una parte,'y a las internas, por otra. y después sumaremos ambos números.

El cálculo de n, es muy simple, pues se obtendrá como diferencia entre la suma de las incógnitas que corresponden a todas las ligaduras externas y tres, ya que este número es el de ecuaciones que tenemos al plantear las ecuaciones de equilibrio del sistema, que suponemos plano, según hemos indicado antes.

Asi, en el sistema representado en la Figura 7.16 el número de incógnitas debidas a las ligaduras externas en A, B. C. D es 3, 3.1, 3, respectivamente. Por tanto. el valor de t t , sera

Figura 7.16.

Para calcular ni veamos primeramente que un contorno cerrado (Fig. 7.17-a) equivale a trer, grados de hiperestaticidad. En efecto, si realizamos un corte en uno de los lados del contorno (Fig. 7.17-b) Este se convierte en isostlitico. Este seccionamiento equivale a eliminar tres ligaduias internas, cuyas reacciones senan el esfuerzo norn?d, el esfuerzo cortante y el rnomcnto flector.

Figura 7.17. (0)

FLEXION H I P E R E S T A T I C A 417

Si en vez de hacer un corte introducimos una articulación (Fig. 7.17-c) se mantienen los -

esfuerzos normal y cortante, pero se elimina el momento flector. Por tanto. la introducción de una articulación, que calificaremos de ordinaria, en uno de los elementos de un sistema hipzresiático equivale a eliminar una incógnita y rebaja en una unidad el grado de - hiperestaticidad del sistema.

Cuando estudiamos un sistema tendremos en cuenta el número C de contornos cerrados y el número de barras que concurren en cada articulación existente. ya que una articulacion en el que concurran b barras equivale a (b - 1) articulaciones ordinarias, - szgiin se desprende fácilmente de la Figura 7.15, al ser equivalentes los dos esquemas indicados.

Podriamos resumir lo dicho proGoniendo como fórmula para calcular el grado de hiperestaticidad interior 12 siguiente: -

Figura 7.18. F F en donde C es el número de contornos cerrados y A el número de articulaciones, tomando - cada una de ellas el valor del número de barras menos una que concurran en la misma.

Hay que hacer la observación que el terreno no cierra contornos, es decir, que el pórtico simple de la Figura 7.19 es de grado de hiperestaticidad tres, siendo las tres ligaduras superfluas ligaduras externas, ya que ligaduras interiores no tiene ninguna.

Así, el número de contornos cerrados en el sistema de la Figura 7.16 es C = 9; la articulación a rebaja una unidad el grado de hiperestaticidad; la articulación b, dos; y tres, la articulación c. El grado de hiperestaticidad interior es

n i = 3 x 9 - ( 1 + 2 + 3 ) = 2 1

Por tanto, el grado de hiperestaticidad del sistema será:

n = n , + n , = 7 + 2 1 = 2 8

es decir, el sistema dado tiene 28 ligaduras superfluas.

418 RESISTENCIA DE MATERIALES FLEXION HIPERESTATICA 419

Convertido un sistema hiperestático en isostático eliminando las ligaduras superfluas, la eliminación de una ligadura más cualquiera de este sisterna isostático lo transforma en mecanismo y, por consiguiente, un sistema i,ustático tiene el número de ligaduras estrictamente mínimo necesario para asegurar su invariabilidad.

Por el contrario, si introducimos en un sistema isostático cualquier ligadura por encima de este número mínimo, la ligadura es superflua y transforma cl sisterna dado en sistema hiperestático.

Al eliminar las ligaduras superiluas hay que tener buen cuidado, de no eliminar aquéllas que puedan convertir el sistema en mecanismo.

Figura 7.20.

Por ejemplo, en el pórtico de la Figura 7.20-0. de grado de hiperestaticidad tres, no podriamos eliminar el apoyo móvil e introducir la articulación a (Fig. 7.20-6). ya que se convertiria en un sistema variable, es decir, en un mecanismo. Si podríamos, por el contrario, realizar un corte en cualquiera de los lados del contorno cerrado (Fig. 7.20-c).

El grado de hiperestaticidad de un sistema puede disminuir cuando la estructura admite un plano de simetria y la carga aplicada presenta simetria o antisimetría respecto a él. Decirnos que la carga es sin~itrica, cuando la carga sobrc la parte del sistema que queda a un lado del plano de simetría es imagen especular, respecto de dicho plano. de la carga que actiia sobre la otra parte. Y entendemos que la carga cs atlrisir~~érrica cuando la carga sobre la parte del sistema que quedv a un lado del plano de simetría es iniagen especular, resFecto de dicho plano, de la carga que actúa sobre la otia parte, pero de scntido contrario.

De la misma lorma se definen los esfuerzos interiores simétricos y antisimhtricos, según presenten esta particularidad respecto del plano de corte. De la Figura 7.21 se deduce que existen tres esfuerzos simétricos res lc to del plano de corte: los momentos flectores M,, 12.1, y el esfuerzo normal N. Los otros tres esfuerzos: momento torsor M , y esfuerzos cortantes T, y T,, son antisimétricos.

Por razón de simetría podemos afirmar que en los cortes que el piano de sirnetria determina en el sistema, los esfuerzos interiores siniétricos son nulos cuando la carga es antisimétrica. En el caso de ser la carga simétrica los que se anulan son los esfuerzos antisimétricos.

Es evidente que cualquiera de estas circunstancias hace disminuir el grado de hiper- estatici¿z.rl del sistema. Por ejemplo, en el pórtico indicado en la Figura 7.22-0 la carga que actúa en su plano es simétrica. De !os tres esfuerzos interiores que existen, pues, es un

Figura 7.21.

caso plano, dos son sirnftricos (N y M:) y el tercero ( T ) es antisimttrico. Si la carga no lucra simétrica. cl grado de tiipcrcstaiicidad del sistema seria 3. Sin cmbargo. como ci esíucrzo cortante es nulo en la sccción pcrtenccicrite al plano de sinietria, el grado dc Iiiperestaticidad es realmente 2.

Figura 7.22.

Análogamente, en el pórtico simhtrico con carga antisimétrica indicado en la Figura 7.22-0, son nulos los esfuerzos interiores siniétricos LV y iw,, por lo que e! grado de hiperestaticidad real es l .

7.7. Método de las fuerzas para el cálculo de sistemas Iiipercstáticos

En epígrafes anteriores se han considerado exclusivamcnic vigas rectas hipcrestaticas y se han resuelto los casos niuy frecuentes cn la práctica de vigas biempotradas o empotrado-apoyadas aplicando los teoremas de Mohr. No es Este el único método para la resolución de tales vigas. Ya hcmos visto que existen otros. como puede ser el que se basa en la utilización de la ccuacióri de la línea elistica o ;iqufl!os quc tienen su

420 RESISTENCIA DE M A T E R I A L E S FLEXION HIPERESTATICA 421

fundamentn en los teoremas energéticos. Por un canlino O por otro Ilsgariamos, evidentemente, a los mismos resultados.

Pero en la practica nos encontramos con sistemas ciertamente m i s complejos, como pueden ser los compuestos por barras unidas rigidiimente. Su resoluci6n pertenece al campo de rcrroriu ríe los rsrrucrurus)). Sin embargo, vamos a exponer aqui un método reneral de cálculo de sistemas hiperestáticos reticulados, denominado niéroclo de las .. jirrrzas, que nos permitirá resolver sistemas de relativa complejidad.

a

Consiste el nzérodo de Iasfiterzas en liberar el sistema hiperestático de las ligaduras superfluas sustituyendolas por las fuerzas y momentos correspondienies. una vez determinado el grado de hiperestaticidad del sistema que, como hemos visto anteriormente, es igual al número de ligaduras superfluas. El sistema estiticamente determinado así obtenido se denomina sisfenza base. Hay que hacer notar que se pueden elegir arbitrariamente las n reacciones hiperestáticas entre las ti + 3 incógnitas del sistema, pudiendo obtenerse

sistemas base a partir del mismo sistema hiperestitico. Es evidente que el resultado a que se llega es el mismo independientemente del sistema base que se haya ele-ido, pero una elección afortunada del mismo puede simplificar los cilculos de lorni;~ notable.

Asi, por ejemplo, dado el pórtico de la Figura 7.23-u es ficil ver que el grado de hiperestaticidad es dos. Eliminando, pues, dos incógnitas superfluas conio pueden ser las correspondientes al apoyo fijo. sustituyendo éste por las fuerzas .Y, y S,, obtenemos el .si.rret?ia busr indicado en la Figura 7.23-b.

Figura 7.23. x2

Volvamos al caso general de un sistema de grado de hiperestaticidad 11. En virtud del principio de superposición de efectos si A, es el desplazamiento del punto de aplicación dc la fuerza X,. la condición de compatibilidad de este desplazamiento del sistema base respecto del sistema hiperestático dado se puede expresar d e la siguiente forma:

Ai(Xl , X2. .-.. Xm, P ) = A i x , + Air2 + .m. + Aix, + Aip = O (7.7-1)

Este despl:tzamiento siempre será nulo, pues la .Y, es una reaccióri que existe debido a - que el movimiento de la correspondiente sección esta impedido en esa direccihn.

Ahorii bien. corno

justituyendo. se obtiene:

t n donde j i j es el desplazamiento en el sistema base del punto de aplicación de la fuerza .Y,. en la dirección de ella misma, al aplicar la fuerza .Yj = 1 , y siendo A, , el desplazamiento en el sistenis base del punto de aplicación de la fuerza Xi, en su dirección. debido - 3. la carza que actú3. sobre el sistema.

Conio je tienen r r incógnitas .Y,, se obtendrán 11 ecuaciones (7.7-3)

b , , X 1 + S I I X 1 + -.. + S l n X n + A l , = O ...

-

b 2 , . Y , + b z l X z + + b z n X . + A Z P = O (7.7-4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b , , .Y , + b n 2 X 2 + ... + 6,,.Y, + A, , = O

Las ecu:iciones de este sistema reciben el nombre de eciraciones cntr~jrricas del nititodo de las fuerzas. Se pueden expresar matricialmente de la siguiente forma:

siendo [ D I la matriz de los coeficientes de las ecuaciones canónicas; [ X ] el vector cuyas componentes son las incógnitas hiperestáticas, y [ D p ] el vector de los desplazamientos debidos a las cargas

Los coeficientes aij de las incógnitas se pueden calcular, en caso de barras rectas ú

barras curvas de pequeña curvatura, mediante el método de Mohr expuesto en 5.8

- siendo:

M , , N,, T,,, las leyes de momentos flectores, esfuerzos normales y esfuerzos cortantes, respectivamente. del sistema base sometido a la fuerza X, = 1. -

M,,. N,. Ty,. lai leyes de momentos flectorcs, esfuerzos normales y esfuerzos cortantes, respectivamente, producidos por la fuerza X, = 1.


que constituyen un sistema de ecuacioncs que nos permite obtcrier todas las incógnitas hiperestaticas.

Una vez obtenidas Estas. el cálculo de las reacciones isostáticas se puede hacer mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio de la Estatica.

Ilustramos la aplicación del método expuesto resolviendo el pórtico de rigidez constante E L indicado en la Figura 7.24-u

Por otra parte. los dcsplazan~ientos A,,. términos independientes de las ecuaciones se calculan de igual forma aplicando el método de Mohr.

siendo:

,W,,, ,V,, T.,. las leyes de momentos ileciores, esfuerzos normales y esfuerzos cortantes, respectivamente, en el sistema base sometido a la carga aplicada al sistema.

En el caso de sistemas de barras de sección constante cada una de las integrales que aparecen en las expresiones (7.7-7) y (7.7-8) se pueden calcular por el método de multipli- cación de los grificos expuesto en 5.9. Como ya se ha indicado. la influencia de los esfuerzos normal y cortante se pucde considerar despreciable frente al inoniento flector, por lo que las citadas expresiones se reducen a

El cálculo de estas integrales se pucde simplificar adoptando iin sistema basc iidecua- do. de entre los sisternas base posibles. Figura 7.24.

Se trata de un pórtico de extremos empotrados, de tercer grado de hipercstaticidad. Elegimos como incógnitas superfluas las tres debidas al enipotramiento en la sección ,4 (Fig. 7.24-b). Liberado el portico del empotramiento en A, las lcyes de momentos ilectores, esfuerzos normales, y esfuerzos cortantes en el soporte A B y en el diniel BC son:

7.8. Aplicación del teorema de Castigliano para la resolución de sistemas hiperestáticos

Uno de los métodos que se pueden utilizar para el cilculo de las incógnitas superfluas de un sistema hiperestático consiste en aplicar el teorenia de Castigliano. Se empieza procediendo de la misma forma a como se hace aplicando el método d e las fuerzas. esto es, se eligen las incógnitas superfluas Xi que sustituyen a las correspondientes ligaduras. Tales incógnitas superfluas se consideran como cargas desconocidas que, junto a las cargas que actUan sobre el sistema considerado, deben de dar lugar a deformaciones compatibies con las condiciones que imponen las. ligaduras reales.

Como el movimiento de una determinada incógnita hiperzstática, que será un desplazamiento en su dirección si es una fuerza, o un giro si se trata de un momento, viene dado por la derivada parcial del potencial interno respecto de ella, calcu!aremos previa- ineiite la expresión del potencial interno del sistema debido a la accibn conjunta de las cargas dadas y de las reacciones superfluas. Se obtiene así una expresión

Soporre A B: M: = X ) - ?jl.y

7;. = -,Y, Dfrirel BC:

El potencial interno dcl pórtico que se considera, es

Si las ligaduras n o permiten el desplazamiento de la reacción de I:i ligadura X, en la dirección de la misma, o el giro alrededor del eje definido por el momento, en su caso, las condiciones de compatihilidad de los desplazamientos serán

x; , + Joh - d.. + d.^ ZGR,,.

Como ya se ha indicado,.>\. pueden despreciar 10s terminos debidos a los esfuerzos normal y cortante frente a los debidos al momento flector, por 10 que e1 potencial interno

reduciri a los dos primeros sumandos de la expresión anterior. Tenierido en cuenta esta circunstancia y aplicarido las condiciones de compatibilidad

de las deformaciones, se tiene:

Ec 2.Y2 El,

o bien

Sustituyendo los valores numiricos indicados en la Figura 7.24-0 y simplificando, este sistema se reduce a

3X3 - 16X1 + 6,Y, = 32

X; - 6Xl + 4.Y2 = 24

2.Y3 -- 9 x 1 + 3 x 2 16

cuyas soluciones son:

.íl - 1 ton ; X, = 7 ton ; X, = 2 m - ton

La obtención ahora de la reacción, así como el mom-nto de empotramiento en la sección C, es inmediata aplicando las ecuaciones d e equilibrio (Fig. 7.24-c)

H, = l ton

=5 VC = 9 ton

7.9. Construcción de los diagramas de momentos flectores, esfuerzos cortantes y normales en sistemas hiperestáticos

Una vez obtenidas las incógnitas hiperestáticas ,Y,(; = 1, 2, ..., n) mediante la aplicación -

de alguno de los mitodos expuestos para la resolución de sistemas hiperestáticos, las leyes de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales, en virtud del principio de superposición de efectos, se pueden hallar mediante la expresión

siendo:

S, la magnitud a determinar. S,, la magnitud a determinar que se produce en el sistema básico al aplicar Xi = 1.

S,, la magnitud a determinar producida en el sistema básico al actuar la carga aplicada al sistema.

En el caso de sisteinas hiperestáticos de barras rectas podemos construir los diagramas de momentos Rectores representando gráficamente las leyes que en cada una de dichas barras vienen dadas por la aplicación de la ecuación (7.9-1)

Los diagramas de esfuerzos cortantes se pueden construir a partir de los correspondientes a los momentos flectores, simplificando de este modo la aplicación de la formula (7.9-1). En electo, consideraremos un prisma mecánico (Fig. 7.25-0) obtenido al realizar dos cortes en las secciones A y B. Aislando el prisma indicado del sistema hiperestatico, éste estará sometido, en el caso más general, a:

a) las cargas exteriores que están airectamente aplicadas al sistema hiperestático dado,

b) los momentos flectores M,, y M,, que el resto del sistema ejerce sobre el prisma aislado y cuyos valores pueden ser obtenidos del diagrama de momentos correspondientes,

cj los esfuerzos cortantes T,, y TE, y los esfiierzos normales N, , y N,, que ejerse también el resto del sistema sobre el prisma. Análogam-nte a como hemos hecdo en 7.3 la acccion general descrita sobie la pieza se puede descomponer en la acción cobre una viga isostática con la misma carga (Fig. 7.25-b) y sobre otra no cargada en cuyos extremos actúan los momentos M,,, y M,, respectivamente (Fig. 7.25-c).

El momento flector en una sección de abscisa x, en virtud del principio de super- posición, será:

siendo .A'L(.r) la ley de momentos sobre la viga isostática.


Figura 7.25.

'E Por la relación existente entre esfuerzo cortante y momento flector, tenemos: l

l d * I . I ) d./(=(.r) + M B A - M A 8 ! Ty(.<) = - = ---

d . ~ ci'r I (7.9-4) 1

d- /fL (1) siendo - la ley de esfuerzos cortantes sobre la viga isostática (Fig. 7.25-b).

dx La ecuación nos muestra que es posible determinar los esfuerzos cortantes en las

secciones de un sistema hiperestático conociendo el diagrama de momentos flectores y las cargas directamente aplicadas al mismo,

Figura 7.26. ~ A C

A partir del dizgrama de esfuerzos cortantes se puede obtener el correspondiente a 10s esfuerzos normales aislando los nudos del sistema y aplicando a los mismos las

p cargas exteriores que les crtuvieriri direct-.nenlc aplicadas los cslucrms cortantes y los

C momentos flectores anteriormente determinados. Los esfiicrzos normalcs se calcularrin expresando la condición de equilibrio de los nudos (Fig. 7.26).

7.10. Cálculo de deformaciones y desplazaniientos en los sistemas hiperestáticos

El razonamiento seguido en 5.8 cuando se expuso el método de Motir para el calculo d~ desplazamientos en un sistema elástico es válido tanto para sistemas isostáticos cornt hiperestáticos. Por ejemplo, si se quiere hallar el desplazamiento de I:i sección D de pórtico reprcscntado en la Figura 7.27-a aplicamos en clla una carga ficticia unidad. E. desplazamiento en 1;i tlirección de esa carga es, segun el citado método de Molir

Figura 7.27.

en donde:

M,,, No, T,,, son las leyes de momentos flectores, esfuerzos normales y csruerr~s cortantes del sistema hiperestitico sometido a la carga real,

Af,,, N,, T,,, son las leyes de momentos flectores, esfuerzos normalcs y esfuerzr.r cortantes producidas en el sistema hipercstático descargado cuando se rpli- ca una carga unidad en D.

Si son despreciables los efectos producidos por los esfuerzos normal y cortarlle, suposición que haremos en lo que sigue, la anterior expresión se reduce a:

Pcro cstc niétodo prcscntn el gran inconvcnicritc (Ic tener que c;ilcular dos ~ C C C ? ( '

sisiema hipcrcstático, por lo que no es útil su aplicación.

128 RESISTENCIA D E XtATERI.4L.ES

La utilización del referido mitodo de M3hr se puede simplificar notablemente teniendo en cuenta la equivalencia del sistema hiperestitico dado y cualquiera de los sistemas isostiiicos que se obtienen al eliminar las ligaduras superfluas, sustituyéndolas por las reacciones correspondientes.

Asi, por ejemplo, si en el pórtico considerado en el epígrafe 7.8 (Fig. 7.24-0) eliminamos las ligaduras superfluas del empotramiento A, y las sustituirnos por las fuerzas X,, .Y, y momento .Y, (Fig. 7.28-0). el desplazamiento 6, buscado seri:

siendo:

.LIZO, la ley de momentos flectores en el sistema base cuando está solicitado por la carga aplicada al sistema y por las reacciones que sustituyen a las ligaduras superfluas (Fis. 7.28-6) (equivalente al sistema hiperestitico dado).

i L l z , , la ley de momentos fleciores en el sistema base debidos a la carga unidad aplicada en el punto D cuyo desplazamiento, en la dirección de dicha carga unidad, queremos calcular (Fig. 7.28-c).

(4

Figura 7.28.

Para los valores numéricos del'citado ejemplo y para el unto D situado a la altura de un tercio de la longitud del soporte AB, se tiene:

Este cúlculo podriamos hacerlo también considerando el diagrama M:, de momentos flectores en el sistema base isostático, debido a la carga. y el diagrama w, de momentos flectores en el sistema hiperestático debido a la carga unidad aplicada en el punto D.

6

l En este caso la expresióri del desplazamiento del punto D es:

1 I

Las leyes d s momentos Tlectores son, respectivamente

4 3 en el soporte: lL l , , = - 1 + - x ; O < .Y < 2 ni

54 1 1

l C I Z , M,, = -- 54

. Y + l ; 2 m < x < 6 m

2 1 en el dintel: lMz, = -- + - .Y ; O < x < 6 m

9 18

en el soporte: M,, = O

iLfZp en el dintel: MxP = -7 4 xZ

Por tanto, el valor de 6, será:

1 8 6, = -& Io6 (-i + E .Y)(-; 12) dx = -- 3 EI,

A la vista de este ejemplo y pudiendo aplicar este proceder a cualquier caso, podemos dar la siguiente regla para calcular el desplazamiento de un punto de un sistema hiperestático: Integraremos a lo largo de todas las barras del sistema el producto de dos leyes d e momentos flectores divididas por El,, de las cuales una de ellas puede ser la engendrada por las cargas reales, o bien la debida a la carga unitaria en el sistema hiperestático dado; la o t ra puede ser obtenida pira el sistema auxiliar derivado del d a d o por eliminación de las ligaduras superfluas.

430 RESISTENCIA DE KtATERIALES

Ademis de los desplazamientos que los distintos puntos de un sistema hiperestático experimentan cuando se carga éste, pueden existir otras causas que modifican el estado de deformaciones sin variar la carga. Nos referimos a las deformaciones producidas por la acción de variaciones térmicas a que pueda estar sometido el sistema, asi como a los asientos que puedan experimentar los apoyos.

El cálculo de los efectos producidos por la variación de temperatura se puede hacer mediante ecuaciones canónicas del tipo

en las que A;, es el desplazamiento en el sistema base del punto de aplicación de la fuerza Xi en su dirección, debido a la variación térmica.

En cuanto al calculo de los efectos a que dan lugar los asientos en los apoyos, si se obtiene el sistema base seccionando e introduciendo articulaciorics, las ecuaciones canó- nicas se pueden poner en la forma

en donde A:, es el dssplazamierito en el sistema base del punto de aplicación de la fuerza ,Y, en su dirección, debido al asiento de los apoyos.

1%: EJ EKCICIOS

VII.1. Una viga recta horizontal, de longitud I = 6 m y sección constante, esta perfectamente enipotrada en uno de sus extremos y apoyada en el otro. En las secciones situadas a distancias 2 ni y 4 n~ del empotramiento actuan cargas concentradas de 10 y 5 ton. respectivaniente. Se I pide: i

l." Dibujar los diagíamns de momentos flectores y esfuerzos cortantes 2." Calcular la distancia ai ernpotramiento del punto, o puntos de inflexión de la elistica. 3." Determinar el perfil IPN necesario para o,,, = 1200 kp/crn2. 4." La situación y valor de la flecha, conociendo W = 2 x lo6 kp/cm2. 5." Calcular el ángulo que forma con la horizoatal la tangente a la elástica en el extremo

apoyado.

l." La soiicitación que actúa sobrz la viga s i descompone en las tres accioncs parciales indicadas en la Figura VII.1-a.

Las reacciones en los extremos A y B que origina cada una de estas acciones es:

20 10 RA = - ton ; R i = - ton

3 3 5 1 o Ru - - ton ; R; = - ton

A - 3 3

F - l G ton +! , b: l: = 5 ton&;

A

2 m 2m 2m

Figura VII.l-a.

El momento de empotramiento A l A lo calculamos aplicando el segundo tcorcnin dc Mohr

dc donde obtenemos:

A l , = - 15.55 m - ton

Las reacciones tendrán los siguientes .valores

20 5 15.55 RA = R; + RA + R;" = - 3 3 + - + - 6 = 10.93 ton

10 10 15.55 RB = R; + R; + R; = - + - - - = 4.07 ton

3 3 6

Las leyes de momentos flectores son:


y las corrrsporidiente~ de c s fue~os cortantes:

7 = R , = 10.93 ton ; O < . v < l m

7 = R., - P, = 0.93 ton ; 2 m < . r < J r n

7 = R, - P, - P2 = -4.07 ton ; 4 n~ < .Y < 6 m

P, = 10 ton I I

Para resistirlo, es necesario que la seccion tenga como minimo un modulo t resistente W, de valor 4r

e L f 15.55 x 10' c m . kp -- u', = -- = - 1296.25 crn3 O.dm 1200 kp.cm- '

que corresponde a un

cuyo momento de inercia es: I z = 29 210 cm'.

10 ton

IS ton

10.93 ton I

Diagrama de esfuerzos constantes

Figura VII.1-b. 4.07 ton

Los diaeramas pedidos de momentos flectores y de esfuerzos cortantes se represen- ¡ - tan en la Figura V1I.I-b.

2." Los puntos de inflexión de la elástica se presentan en las secciones en las que se acula el momento flector. Por tanto. en la viga que consideramos solamente existe un punto da inflexión. segIn se deduce de la observación del diagrama de momentos flectora. Si . 1 x, es la distancia de dicho punto al empotramiento. se hdbrá de veriLcai I de donde:

3." De la simple observación del diagrama de momentos flectores de la viga se deduce que el valor absoluto del momento flector máximo es -

M,,, = 15.55 meton = 15.55 x lo5 cm- kp

t- .Y , Figura VII.1-C.

4.. Para determinar la situación de la flecha se intuye que deberá presentarse en una sección del tramo comprendido entre las dos cargas P, y P, aplicadas. Por el primer teorema de Mohr, si x, es la abscisa de la sección que buscamos, se tiene (Fig. VII.l-c):

ecuación de segundo grado cuya solución válida es:

434 R E S I S T E N C I A DE MATERIALES F L E X l O N HJPERESTATICA 135

Para c:ilcular el valor dc la flecha aplicarcriios cl scgirndo tcorcina dc Molir d:i cii los extrcnios. D e s ~ o t n ~ o i i i e n d o la solicitacion dada sobre la viga hipcrcsiitic:~. en I;is acciones indicadas sobre la viga isostiiica. sc ticnc:

- 1500 R i = - 5 = - 3 0 0 k p ; R i = 300 kp

rl.1 .tí, R" A - - -A . R ; ; = - 5 > 1 24.09 m'. ton

(4.45 + 0 . 9 3 . ~ ) ~ dx = El, k p . c m 2

Con las reacciones isostiticas el diagrama de momentos flectorcs e s t i perfecta- riicriie dcicrriiinado (Fig. VII.2-a).

5." Aplicando el primer teorema d e Mohr; el ángulo 0, que forma con la horizontal el extremo apoyado sera igual al área del diagrama de momentos flectores. dividida por El,.

Area de momentos positivos:

1 I 1 - 0.58 x 6.31 + - (6.31 + 8.17)2 + - 2 x 8.1 7 = 24.48 m' - ton 2 2 2

Area de momentos negativos:

I - 1.42 x 15.55 = 11.04 m2- ton 2

Area total:

24.48 - 11.04 = 13.44 m*. ton = 13.44 x lo7 c m 2 . kp

Por tanto

1 3 . 4 x 107

= 2 x 10' x 29210 = 2.3 x lo-' rad =

Diagrama de momentos flectores ' 1 . 2 . Una viga recta A R de longitud 1 = 5 m esta empotrada en uno de sus extremos y apoyada en

el otro. La sección es constante, de forma rectangular. de anchura b y altura h. En urt punto, a 3 m de distancia del er~i~otramiento A, se aplica un mometito ilf, = 1500 ni - kp de eje perpendicular al plano vertical de sinietria de la viga. Se pide: 756 m - kp Diaerama de

1." Dibujar los diagramas de momentos flectores y de esfuerzos cortanles. 2P Deterniinar las dimensiones de la sección sabiendo que Ia relaci6n entre los lados de la

misma es blh = 113 que la tensión mhxima admisible es u,,, = 1200 kp/cm2.

1 " Considerarnos la solicitación equivalente formada por el momento M , y por el momento de cmpotramienio, actuando sobre una viga igual pero simplemente apoya-

375 kp Figura VII.2-a.

FLEXION HIPERESTATICA 437 136 RESISTENCIA DE hlATERlALES

Suponiendo que el momento hipzrestático tiene el sentido indicado en la figura, aplicando cl segundo teorema de blohr se tiene:

1 1 ' 5 2 - - 3 x 900(2 + 1 ) ~ - 2 x 6 0 0 - ? + ? M , - 5 = O

2 2 3 - 3

de donde:

Figura i'ii.2-b.

Las reacciones hiperestáticas son: Se tomaran, pues:

Las reacciones definitivas serán:

RA.= R i + R: = -300 - 78 = -378 kp

R., = Ri + R, = 300 + 78 = 378 kp

V113. Una viga A B de longitud 1 que tiene su extremo A perfectamente empotrado y el extremo B sobre apoyo móvil, esti sometida a una carga uniformemente repartida p. Se pide:

l." Calcular la reacción en el apoyo móvil a) por los teoremas de Mohr, b) por el metodo de las fuerzas, c ) por el metodo de iMohr

2." Dibujar el diagt'ama de momentos íiectores indicando los valores de los momentos positivos y negativos miximos, así como las secciones en las que se presentan.

3." Calcular el angulo que forman las tangentes en los extremos de la viga. 4." Deterniinrr la situación de la flecha y el valor de esta.

Las leyes de momentos ilectores son:

h! = 390 - 378x vilida para O < x < 3 m

,\[ = 390 - 378.r + 1500 = -1890 - 378; 3 m < x < 5 m

y la de esfuerzos cortantes:

T = -378 kp l." a) Por los reorenias de ibíohr

Análogamente a como se ha procedido en ejercicios anteriores dibujamos los diagramas de momentos ilectores isostáticos y de momentos flectores hiperestáticos, obteniendo el diagrama definitivo de momentos por superposición (Fig. VII.3-a).

Para calcular el valor del momento de empotramiento M, aplicando el segundo teorema dc Mohr, se tiene:

constante en todas las secciones de la viga. Los diagramas correspondientes se representan en la misma Figura VII.2-a.

2." El módulo resisten!e necesario es:

M,, 75 600 cm. kp q - - - = = 63 cm' o,,, 1200 kp.cm-'

Como de donde:

pl' M,, = -- 8

Las reacciones isostáticas e hiperestáticas son:

se deduce:

138 R E S I S T E N C I A DE M A T E R I A L E S

D

Diasrama de momentos nectores

Por tanto, las reacciones definitivas scrin:

5pl R, = R,, + R,, = -

S

3/71 R, = RBi + R,, = - 8

La reacción pedida es R,

b) Por el mélodo de las fuerzas

Se !rata de un sistema hipcrestático de primcr grado. Obtenemos el sistcmn base eliminando el apoyo móvil y sustituyéndolo por una fuerza X, (Fig. VIJ.3-b).

En este caso tendremos solamente una ecuación canónica

d,,X, + A,, = o

F L E X I O N H I P E R E S T A T I C A 439

I Sistema base 1 1x1 1

314 1 Figura V11.3.

~a lcúdremos los valores de los coeficientes S , , y A , , aplicando el mitodo de multiplicacion de los grificos (Fig. VII.3-c y d)

d.^ = - - 8 El,

Por tanto. el valor de la reacción X , cn el apoyo móvil es:

-110 RESISTENCIA DE \IATERI.ALES

C J Por '4 ,tl>l,t'/O l'c, . I / ~ I / I ~

Susrituinios r.1 apoyo móvil por 13 reacción .Y1. El corrimiento del extrenio B es nulo

. \ f . \ / l "B = 'Ir = O

El,

de donde:

Figura 1'11.3-/. t l a

2." La ley de momentos flectores seri

cuya represent:ición gráfica sc iiidic;~ en I:i Figura V11.3-e. En este diagrama se señala el valor del momento de empotramiento

qiie coincide con el niornento flrcior negativo iniximo. El niomcnto flcctor positivo miximo es

3.' Como en el empotramiento es horizontal la tangente a la viga. el ángulo que forman las iangentes en los exiremos es igual al ángulo que forma la iringente a la elásiica en el exirenio B. Calcularenios éste aplicando el primer teorema de ~Mohr

4." Tomando como origen de abscisas el empotramiento A. la ley de momentos flectores es:

La flecha se presenta en una sección tal que la tangente a la elástica es horizontal. es decir, el ángulo que forman las tangentes a la elástica, en el empotramiento y en la sección de la flecha, es nulo. Por el primer teorema de Mohr, la abscisa .y, d e la sección que experimenta el mayor corrimiento vertical verificará

de donde

Para calcular el valor de la íiecha tendremos en cuenta que ésta es la distancia del extremo A a la tangente en la sección correspondiente. Aplicando el segundo teorema de Mohr. se tiene:

R E S I S T E N C I A D E h l A T E R l A L E S

1 5 ton de donde:

El ,

La viga recta de la Figura VII.4-a est i empotrada por sus extremos y se encuentra sometida a la carga indicada. Se pide:

1." Calcular los momentos en los empotraniientos. 2." Determinar las reacciones verticales en ambos estremos. 3." Dibujar los diagramas de momentos flectores y de esfuerzos cortantes. 4." Calcular la situaci6n de los puntos de inflexión de la elhsrica.

= 0"ton R , = 0.4 ton 2m.ton

.. .%* 1

C 3 m 1 - Z m Figura VII.4-a. I

1." Del sistema dado pasamos al sistema equivalente indicado en la Figura V11.4-h. que descornponemos en forma aiiáloga a como hemos hecho en ejercicios anteriores.

El calculo de los momentos de empotramiento lo haremos por aplicricion de los teoremas d e Mohr.

Por el primer teorema:

- Figura VII.4.

y aplicando el scgundo:

y las hiperestaticas: B

t - 1 , - - -3.84 + 1.76 R A * = = -0.416 ton

1 5

,tf, - J L f , R,, = - / = 0.416 ton

se obtiene el sistema de ecuaciones


M, + 2h1, = -9.44 M , = - 1.76 m . ton; M, = - 3.84 m . tori

por lo que las reacciones definitivas serin:

2." Las reacciones isostaticas son:

R,, = RÁ + R; = 2 - 0.4 = 1.6 ton

Rai = RB + R i = 3 + 0.4 = 3.4 ton

b

FLEXION HIPERESTATICA 447

La construcción de los diagramas de momentos flectores (Fig. VII.5-d) y de esfuerzos cortantes (Fig. Vll.5-e) es inmediata.

4 ton 3

I <.) D13yrarna rls

csluerzos curi.inte5

Figura VlI.5.

2." De la observación del diagrama de momentos flsctores se deduce sl momento flector 17

miximo ,If,., = - m . ton. 3

Como el módulo resistente de la seccióii es:

ya que 11 = 26, de la condición

V11.6. Dada la viga continua dc la Figura Y11.6-a con las dimensiones y cargas indicadas, y siendo A una articulaci611, se pide:

1." Dibujar los diagranias de momentos flectores y de esfuerzos cortantes, acotando sus valores.

2." Dibujar la deformada a estima. 3." Calcular e1 desplazamiento vertical del extremo del voladizo. La rigidez a la flexión E[,

es constante en toda la viga.

n m/

l a 3a 2u Figura VIL&. 1 1 -

Sobre la viga continua dada actúan la carga y las reacciones indicadas en la Figura V11.6-b. Se trata de una viga hiperestática de primer grado. ya que tenemos cuatro incógnitas: M,. R,, R,. R,, y dos ecuaciones de la Estática mis una articulación.

m 2a

I 1 Figura V11.6-6.

Para la resolución de esta viga continua llamemos M , y M2 a los momentos flsctores en los apoyos 1 y 2, respectivamente. y I L ~ , al momento en el cmpotramisnto.

La aplicación de los teorenias de los dos y tres momentos nos da:

2M0 + M , = O Mo3a + 2M,(3a + 3a) + M,3a = O

Como M, = - R a , de este sistema de ecuaciones se obtiene:

Por otra parte, las ccuaciones de la Estitica y la condición de ser nulo el momento 2ector en la articulación A, nos propcrcionan las ecuaciones:

De aquí se obtienen las reacciones R,, R , y R,

Tomando como origen de abscisas el extremo empotrado, las leyes de momentos flectores en los diversos tramos serán:

448 RESISTENCIA D E XlATERlALES F L E S I O N HII'ERESTATICA 44'

Las Iebes de esfuerzos cortantes se obtienen facilmente por derivacion de estas ultimas

2P 6 P r ; = - . r z - - T ; T 2 = p 7 p I -

Los diagramas pcdidos se dibujan en las Figuras V11.6-c y d.

Z Pa - 7 Diaerania de

mornentos flectores (4

kf) Diagr;in~a dc esíurrzos cortantes

I

Elisiica (e)

Punto de inllexibn B

Figura V11.6.

2." Obtenido el diagrama de momentos flectores se puede dibujar, sin ninguna dificultad. la elástica de la viga continua considerada. Es lo que se hace en la Figura VII.6-e, en la que se ha señalado el punto de inflexión que existe. En la articulación A la elástica presenta un punto anguloso.

3." Para el cálculo del desplazamiento de la sección extrema B podemos aplicar cualquiera de los mttodos que se han expuesto en el Capitulo 5. Sin cmbargo, en nucstro caso. es particularmente aconsejable aplicar el método de Mohr y calcular las integrales correspondientes mediante la aplicacibn del método de multiplicación de gráficos, ya que el d i a ~ r a m a de momentos flectores M , de la carga real ya lo hemos calculado (Fig. V11.6Y). y el correspondiente a la carga unidad aplicada en B es partici~larizad~ el anterior para P = 1 (Fie. VII.6-g).

- .. 7

Figura V11.6.

es decir, el desplazaniisnto de B es

6.09 Pa' ) S B = -

i

' l . 7 Dada la viga continua indicada en la Figura V11.7-a. se pide: l

i Figura V11.7-a.

1 i l." Dibujar los diagramas de momentos íiectores y de esfuerzos cortantes. l 1

2." Calcular el I P N iiecesario si la tensión admisible del material de la viga es a,,, = 11 bl Pa.

1 !

I i i

C l." Dibujemos los diagramas de momentos isostiticos de cada tramo de la viga con¡:::

considerada, indicando las distancias de los ccntros de gravedad de I;is áreas de uno de estos diagramas a los apoyos extremos (Fig. V11.7-6).

4 ni I I l 1

2 ni . ?m__- 3 m 3 rn

450 RESISTENCIA DE hfATERIALES

, o , = 2 tonim IP = 3 ton ,p, = 2 toii/m f.,.

Figura VII.7-6.

Si ,Mo es el momento en el empotramiento y Al,, M,. Al, son los momentos tlectores en las secciones de los apoyos 1. 2 y 3, respectivaniente, aplicando los teoremas de los dos y tres rnomentos tenemos:

Como:

1 Pa2b2 i2, =?- 1, = 9 m'. ton

1,

p31: R, = - = 4.5 m2 . ton I I

sustituyendo valores, se tiene:

1 14 Como se conoce M, = , -- pl, - = - 2 m . ton. este sistema nos da: 2 3

C~lculemos ahora las reacciones defiriitivcis (Fi-. V11.7-c)

Figura VII.7-c.

p l l , lbl, - lWo -2.4 + 2.8 R o - - + - = 4 + = 4.1 ton

2 11

M , - M , Pb M 2 - M , R - pil, - -- I - + > + = 5.97 ton 2 11 1, 12

1 ~, - M, Paz 111, - M, R,=-+ + - - = 3.75 ton

2 I3 Iz l 2

R - ~313 M, - M1 1 3 - + - p14 = 6.23 ton

2 13 2

Una vez obtenidas las reacciones definitivas. calcularemos las leyes de momentos flectores tomando como origen de abscisas en cada tramo el apoyo izquierdo, salvo en el voladizo que tomaremos como origen la sección extrema

-.

FLESION tHIPERESTATICA 453 RESISTENCIA DE MATERIALES

' 8 En el pbrtico de nudos rigidos de la Iigura V1I.X se pide:

1." Construir los divgramas de momentos ílectores, esfuerros cortantes y esfuerzos normales.

2.' Diiiicnsionnr el ~ " r t i c o con un iinico IPN, de tensión adniisible a,<,, = 1400 hp/crii2.

3." Calcular el desplazamiento del apoyo nió\il. conociendu e! valor del módiilo de elasticidad E = 2 x 10' kp/cm:.

Se representan en In Fisura VII.7-d. Las leyes de esfuerros cc'rtanres son:

Td = R, - p i s = 4.1 - 2.r ton

T; = R, - p,l , + R, = 2.02 ton

7,' = 2.02 - 3 = -0.98 ton

Ti = -0.98 + R, - p , . ~ = 2.77 - 2.r ton

Se representan en la Figura VII.7-e

Figura V11.8. I 2.8 m . ton 1.4 m . ton I A 2 m . ton

l." El sisteina considqrado es isostitico. Del sistema de ecuacionzs que traducen las ~oiidiciones de equilibrio íFi_o. VI1.S-11)

1 2.05 m 4 (1.4 m . ton 11.64 m . ton

se obtienen los siguientes valores de las inc6gniras 4.1 ton

8 8 H A = 4 ton ; IÁ = -- ton ; R, = - ton

9 9

Conocidas estas reacciones quedan drterniinadas las leyes de momeiitos flectorcs y el diagrama correspondienic ( F i g . V11.8-c)

.\-- eii AB: M, = 4.r - - ; O < . r < 4 m

2

8 8 e r i ü C M,= - - s + J x 4 - 4 x 2 = S - - . r 9 9 ; 0 < . r < 6 m

Figura V11.7.

2." El mixirno momentc flector se presenta e q el e~pa t ra rn ien to : hl,,,,, = 2.8 m . ton. El modulo resistente mínimo necesario sera

M,,, 2.8 x lo3 x 9.8 N . m W , = - = = 274.4 crn'

O.dm 100 x lo6 N/m2 a*.¡ coiiiq I:i !?y de: csfiierzos cortaritcs (dingrnnin en Fig. VI1.X-<f)

en AB: T, = 4 - x 8

eri BC: T, = - - = - 0.89 ton 9

que corresponde a un

4 JZ en DC: T, = = = 00.3 ton

9 con un momento d e inercia = 3060 cm4.

O

8 rn.ton

1 ton

Figura V11.8-d.

y de esfuerzos normales (diagrama en Figura VI1.8-e)

en A B: iV = - VA = 0.89 ton (tracción)

en BC: N = O

8 J 3 en DC: N = -- - = -0.63 ton (compresión)

9 2

0.89 to

0.63 ton

Figura VI1.8-e.

2." Para el dimensionado tendremos en cuenta que la secci6n más desíavorable es la del extremo B del soporte AB que trabaja a flexión compuesta en la que los valores del momento y esfuerzos son:

M,= 8 m ton ; N = 0.89 ton ; T, = O

La tensión normal máxima en la sección es:

Los valores de un perfil IPN que verifican esta inecuación (véase Apéndice 2) son:

Wz = 653 cm3 ; fl = 69.1 cm2

que corresponde a un perfil

FLEXION tílPERESTATICA 455

de momento de inercia 1, = 9800 cni'. 3." Calcularemos el desplazamiento del apoyo móvil D aplicando el método de blohr.

Para ello dibujarnos el diasrama de momentos flectores que produce en el sistema sin carga la aplicación en D de una íuerza horizonial unidad (Fig. V11.8-1).

Figura V11.8-f

1 1 32 2 195.65 + - - 4 f i - - 4 = --- El; 2 9 3 El,

Sustituyendo valores

V11.9. En el pórtico representado en la Figura Vil.9-o forniado por tres barras de las rigideces indicadas, se pide:

cI l." Calcular, por aplicación del teorema de Menabrea, las reacciones en las articulaciones

de los apoyos fijos 2." Dibujar los diagramas de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos auiales. 3." Calcular el desplazamiento del punto B en el que esta aplicada la fuerza F. 4." Dibujar a estinia la deformada del pórtico señalando la situación de los puntos de in-

ilexi6n, si los hubiere.

l." El sistema tiene cuatro incógnitas: las componentes verticales VI, V,, y las horizontales ti,. I/, de las reacciones e:: las articu!aciones de los apoyos Iijos (Fig. VII.9-b). Por tanto, se trata de un sistema hiperestático de primer grado. Para resolverlo por el mttodo de Menabrea. las tres ecuaciones de equilibrio

Por e1 teorema de Menabrea:

pcrmitcn c\prcs;ir tres incbgnitas en funcihn de la otrJ

F L B I C 7

.Y El3

€1, El ,

- - Calcularemos el potencial interno del sistema como suma de las energías de

deformación de cada una de las barras que lo constituyen, despreciando 'los efectos produc;dos por esfuerzos normales y cortantes.

FLEXION HIPEKESTATICA 357

El potencial iriterrio del sistema es:


La otra coniponente horizontal se obtiene de la ecuación de equilibrio

Los signos menos nos indican que las componentes horizontales calculadas tienen seniido conirlirio al supuesto en la Figura V11.9-b.

Las componentes verticales ya se obtuvieron directamente

Los sentidos de las reacciones se indican en la Figura VII.9-c. 2." Una vez obtenidas las reacciones en las articulaciones, la construcción de los dia-

grarnas de momeritos flectores, esfuerzos cortan:es y esfuerzos norniales es inmediata (Fig. V11.9-d).

Figura V11.9-c.


Figura VIL9-d.

3." Para el cálculo del desplazamiento horizontal 6, del punto B igualaremos el trabajo exterior realizado por la fuerza F y el potencial interno del sistema

1 2 5 b = - F . 6 , - 6 , = 7

2

Figura Y11.9-e.

4." La deformada del sistema presenta un solo punto d e inflexión y éste se encuentra en la elástica del dintel, en el punto en el que se anula el momento flector

Para el dibujo d e la deformada del pórtico hay que tener en cuenta que las tangentes en los nudos B y C forman ángulos de 90" en cada uno d e ellos. por tratarse d e nudos rígidos. El punto de inflexión E se corresponde con el punto d e momcnto flector nulo.

1 FLEXION HIPERESTATICA 459

V11.10. Un cuadro rectangular que tiene la forma y dimensiones indicadas en la Figura VII.10-a esta solicitado por dos fuerzas F, iguales y opuestas, aplicadas en los puntos medios de dos lados OpUeStM Si la sección de las barras es constante y los vertices del cuadro son nudos perfectamente rígidos, se pide:

l." Calcular la energía de deformación del cuadro. Lo Construir los diagramas de mornentos ílectores en las barras del mismo. 3." Dibujar la deformada a estima, indicando la situación de los puntos de inflexión. 4.' Calcular la variación de la distancia entre los puntos de aplicacibn de las fuerzas F. 5." Calcular la variación de la distancia entre los puntos medios de las barras AD y BC.

En el c4lculo de los incógnitas hiperest4ticas se despreciar6 el efecto producido por los esfuerzos cortantes y axiales.

-4 Figura VII.10-a.

l." Un contorno cerrado es un sistema hiperestático de terccr grado. Sin embargo. el sistema que se considera es de primer grado, debido a la simetria geomitrica del cuadro respecto de la solicitacion aplicada. En efecto. si realizamos un corte por el plano de simetria perpendicular a la línea de acci6n de las fuerzas F se tiene como incógnita solamente el momento M,, ya que M, es igual y opuesto a M,; los esfuerzos

F normales son conocidos: N, = iV, = -. y los esfuerzos cortantes son nulos, por razon

2' de simetría: TE = T, = 0.

Consideremos una cuarta parte del cuadro, por ejemplo EAP. Las leyes de mo- mer.!os flectores son:

en el tramo EA: A l = M, F b

en el tramo AP: A l = ilí, - Ner = ME - -.r O < x G - 2 2

El potencial interno del cuadro sera cuatro veces el de la parte considerada

FLEXION HIPERESTATICA 461 RESISTENCIA DC \IATEKI;\LES

f~ Figura VII.lO-b.

Por el teorema de blenabrea

6 F Fb' F b 2 -- = O 2 2,1í,(o + b) - -- = O 3 , t íE = ---- i n í , 1 8(a + bl

Sustiiuysndo en la expresion del potencial iiiterno, se tiene:

y simplificando:

2." Se represeniri el diagrania de momentos fleciores en la Figura VII.lO-c.

3." DcI diagraniii de rnornentos flecrores Gciliiieiiie se deduce la forma dc la dcformad;~ (Fiz. Vll.10-(1).

LOS puntos de inflexión se presentan en los tramos AB y DC a una distancia .V de 10s v~rtices tal que verifica:

de donde:

4." La variacion hqu de la distancia entre los puntos P y Q de aplicación de las fuerzas se puede obtener igualando el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas y el potencial interno

I F'b' 4a + b - F . & , , = H =-- 2 192EL u + b

de donde:

5." El cálculo de la variación S,, de la distancia entre los puntos E y L lo haremos teniendo en cuenta que las barras AD y BC trabajan a flexión pura y. por consiguiente. la elistica de cualquiera de estas barras es un erco de circ~nferencia de radio

De la relación

siendo f la mitad de 12 variación A,, pedida, se deduce:

Figura VII.10. o


ecuación de segundo grado. cuya raíz valida es:

VII.11. En el sistema plano indicado en la Figura VI1.II-a se pide:

1." Construir el diagrama de momentos flectores. 2" Dibujar a estima la deformada del sistema seiialando la situación de los puntos de

inflexión.

1." Calcularemos las incógnitas hiperestáticas del pórtico por aplicación del mktodo de las fuerzas. Como el grado de hiper~taticidad dcl sistema es dos, eliminamos las dos

B C

ligaduras superfluas correspondientes 21 apoyo fijo y las sustituimos por las fuerzas X , y X,, obteniendo de esta forma el sistema base (Fig. VIT.11-b).

Las ecuaciones canónicas son:

P

6 , , X , + 6 , , X , + A , , = O 6 , , X , + 6, ,X2 + A,, = O

Los valores de los coeficientes y términos independientes los podemos obtener multiplicando los correspondientes d iz~ramas de momentos M , , . M, , , hí,,, reprc- sentados en la Figura VII.11-c.

Figura VII.ll.

- - - - - - - - --C -

1 1 a' S,, = 6,, = -- < 1 2 - " = ---

E& 2 2E1,

1 I , 2 (1' 5,, = - - a - - o = -

El: 2 3 3E1,

2 8EI:

1 I , PO' pul A I P =

EI,2 a T = -- 4 El1

Xl (b)

t l P

Figura VIL1 1-c.

Por consiguiente, el sistema de ecuacioncs canónicas es: 5

3 0 ~ 3ap e

cuyas soluciones son: X i = --; A', = - 7 8 4

inflexión

(4 Figura VII.11.

16-4 RESISTENCIA DE XtATEKlALLiS

Conocidos los valores de .Y, y .Y2. la construcción del diagrama d e momentos ílectores es inmediata. Se representa en la Figura VII.11-d, en la que se han indicado los valorcs del niorneriro (1s crnpotramienro. del momento ílector po>itivo miximo asi corno su siiii:ición y I ; i :tbscisl sobre cl dintel Jel punto dc momento nulo.

2." Teniendo en cuenta cl d i a ~ r a n i a de morneritos Ilsctorss. cori toda Iii iriforrnnci6n que del mibmo ,e deduce, se representa la deformada del pbrtico en 13 Fisura VII. l 1-r, en la que se indica la situación de los puntos de inílesion.

1'11.12. Sobre el sistern.i plncio de la Figura VII.12-u actúa la carga indicada. Se pide:

l." Calcular las reacciones en los extremos articulados r( y B. 2." Dibujar los diagramas de esfuerzos normales. esfuerzos cortantes y momentos flectores

pnra la siguiente aplic3ciÓn numérica: q = 5 kN/rn; u = 16 in; h = 6 m. 3." Dibujar u estirna la elistica.

Figura VII.12-u.

l . " El sistcnia considerado cs d e prinler gr:ido d e hipsroi;iricidad. Tomaremos coino incógnita hiperestitica la componente horizontal del apoyo B, por lo que el sistema base se obtendra modificando el apoyo fijo B en apoyo movil (Fig. V11.12-b).

Figura VII.12-b.

W Calcularemos esta incógnita aplicando el mttodo de las fuerzas

S,,X, + S,, = o

Para la determinación de los coeficientes S, , y S,, dibujemos los diagramas de moinentos ílectores ,\1, y ill,

La obtención del primero es inmediata (Fig. V11.12-c). Para la determinación de las leyes de monientos ílectores en el sistema base calculemos previamente las reacciones en los apoyos

Z F , = O: q ~ i + H; = O = wA = -y11

.YF ,=O: v; + v ; = o


Figura VI1.12.

Por tanlo, las leyes de ,LI, seran:

Borro r( C:

qx2 M, = (Y; cos I - H; sen z).r - - sen' z = 2

Burro BC:

Los coelicientes de la ecuación canónica son:

1 1 1 2q1i2 di, = - J,,fi bf#i.~ = L J; (-;.Y)(!!!': - - -- /,I - - = El* El: 21 5- EIz2 3 4

1 qh3f 5 qh'f El, 21' o El, 12 24 El,

Una vez deterininados los coeficientes, la ecuacien canónica nos permite obtener e! valor d e la incógnita hiperestitica

El resto de las reacciones se obtienen aplicando las ecuaciones d e equilibrio


Por tanto, las reacciones pedidas en los extremos articulados A y B seran:

Figura VIL12-e.

Para la aplicaciOn numérica, tenemos

VA = - 5000 x 36 11 ~ 5 0 0 0 x 6

32 = -5625 N ; H A = -

16 = -20625 N

Las leyes de esfuerzos normales son:

Borra AC:

N = 5625 sen a + 20625 cos a - q.r sen a w s a =

=S625 x 0.6 + 20 625 x 0.8 - 5000 x 0.8 x 0.61 = = 19 875 - 2400x

Barra BC:

N = -5625 sen a - 9375 cos a = -5625 x 0.6 - 9375 x 0.8 = - 10 875 N

El diagrama de esfuerzos normales se representa en la Figura VII.12-J

A B Figura VII.12-/.

Las leyes de esfuerzos cortantes son:

Burra AC:

7' = 20 625 sen z - 5625 cos z - q.r sen' zt = a-

Barra BC:

T = 9375 sen z - 5625 cos a = 9375 x 0.6 - 5625 x 0.8 = 1125 N B

El diagrama de esfuerzos cortantes se representa en la Figura V11.12-g. 4

h

Figura V11.12-)7.

Las leyes de momentos flectores son:

Barra AC:

.r2 sen2 z M = (20 625 sen a - 5625 cos a).\- - q ---- =

2

Barra BC:

hl = (5625 cos a - 9375 sen a).\- = (5625 x 0.8 - 9375 x 0 . 6 ) ~ = - 1125.r 6 L

El diagrama de momentos flectores se representa en la Figura YII.12-h. b

Figura VII.12-h.

RESISTESCIA [>E \!A-l tHI.ALES

3." En los rrsuliiidos ohtsiiidos. rcllrjados cn sl diiigrarna dc P nioriirritos flectorcs. $e d11>11jii 5111 ningui1~1 dificultiid 1.1 dcformad:~ (l:ig. Vll.12-1).

Dada la estructurd indicada en la Figura V11.13-a. constituida por barras de la misma rigidez El, se pide:

l." Calcular el grado de hiperestaticidad del sistema. 2." Ilisgramas de esfuerzos normales, de ~ f u e r z o s cortantes y de momentos flectores. 3." I>ibujar a esiinia la deforni;i<l;i, indicando la situacibn de los puntos de inflexión, si los

Iiubiere.

No se considerarjn las deformscionrs debidas a los esfuerzos normal y cortante.

Figura \'11.13-a.

l." La estructura dada es un sistenia que es exteriormente isostitico. ya que sólo hay tres incógnitas debidas a las ligaduras externas: dos en el apoyo fijo A y una en el apoyo móvil E. Interiorriienie existe un contorno cerrado, por lo qiie el grado de hiperestaticidad scría de tres, pcro al existir una rótuia en C disniinuye en una unidad. Asi pues. el grado de hiperestaticrdad es

Figura VII.13-6.

Las reacciones de las ligaduras externas se obtienen aplicando las ecoaciones de equilibrio

2." Tomaremos como incógnitas hiperestáticas los esfuerzos normal y cortante transmiti. dos a través de la rótula C. Al realizar el corte por esta rótula podemos descomponer el sistema dado. en virtud del principio d e superposición. como se indica en la Figu- ra V11.13-c.

I ?P Figura V11.13-c.


Las ecuaciones canónicas del método de las fuerzas son:

Para el cálculo de los coeficientes Si j consideraremos los diagramas de momentos flectores M,. M , y M, (Fig. V11.13-d).

Figura VII.13-d.

51) S,, = L EI (l 2 11 3 r + 121) =

1 15 A,, = - - pIII + - pI - -

EI I (' 2 2 . 2 8

P! ' A,, = EI j P12 - 1 = --

- ' ( I ) 3.51

El sistema de ecuaciones será:



Con estos resultados, la obtenciGii de los diagramas de esfuerzos normales, esruer- - zos cortantes y momentos flectores es inmediata (Fig. VII.13-c,J g )

Puntos de inflexión

Y ra e) 6% (11)

. Figura VII.13.

3." Con el diagrama de momentos obtenidos se dibuja sin ninguna dificultad la deformada a estima de la ehiructura dada (Fig. V11.13-11).

V11.14. El sistema elástico plano indicado en la Figura VII.14-a es16 formado por las pletinas verticales de acero AC y BD y por el tablero horizontal AB, que tiene rigidez prácticamente infinita. Ambas pletinas estan empotradas por sus extremos inferiores, e igualmente resultan empotradas al tablero por sus extremos superiores. En el nudo superior izquierdo actúa una fuerza' horizontal F = 200 kp. Se pide:

l." Dibujar los diagramas de esfuerzos normales, esfuerzos cortantes y momentos !lectores, en todas las partes dc la estructura.

2." Calcular el desplazaniiento horizontal del punto de aplicación de la fuerza F.

El mhdalo de elasticidad de las pletinas es E = 2 x lo6 kp/cm2.

472 RESISTENCIA DE SlATERIALES

cni

Figura VI1.I-í-u. i l." La estructu~ii diida es un sistema hiperestitico de tercer grado. Tomaremos como

inc9gnitas hiperestiticas las componentes vertical y horizontal de la reaccion en el empotraniiento D, asi como el momento en dicho empotramiento (Fig. VII.IJ-6). El sistema base es la estructura dada. liberada del empotrarniento D (Fig. VI1 14-c).

F 1

Figura VII.1-í.

Por tiinto, para C I ..rlculo de los coclicientes del sistema de ecuaciories canonic~s I

del metodo de las luerzas 1 hli.YI + d12.Y2 + d13X, + Al, = O &,,.Yl + d;,,.Y, + b2,,Y, + A,, = o 6,,.Y, + 6,?.Y2 + 6,,S3 + A,, = O

aplicnreiiins el mitodo de niultiplicacion de los grilicos. para lo cual consideraremos los diagramas de niomentos flectores Af,, Af,, 111, y h.[, (Fio. VII.14-(o*.

......

Figura V11.14-d. ni ' k p

En el dibujo de las leyss de nionientos Rectores adoptaremos el convenio de dibujar el diagrama en la parte que corresponde a 11 libra traccionadd.

E

Sea 1 el momento de inercia de la sección de las pletinas respecto al eje :. perpendicular al plano de flexijn. Teniendo en cuenta que la rigidez del tablero I IB es infinita, los valores de los coeficientes bi j serin:

Con estos valores, tenemos el sistema

cuyiis soluciones son:

Las restantes incógnitas. debidas al empotramiento en la sección extrema C, .SI obtienen aplicando las ecuaciones de eq~iilibrio


F A

Figura VIl.14-e.

Obtenidas todas las reacciones. fhcilmente se dibujan los diagramas de esfuerzos normales (Fig. VII.14-f), de esfuerzos cortantes (Fig. V11.14-g) y de momentos ilectores (Fig. VII.14-h).

Figura VII.14.

2.' Considerando despreciable el efecto producido por los esfverzos normal y cortante, ca!cularemos el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza F siguiendo dos métodos distintos:

a) Aplicando el segundo teorema de Mohr

Dado que la rigidez del tablero horizontal es infinita, el desplazamiento vertical se puede calcular aplicando el segundo teorema de Mohr, ya que el momento ilector M en los extremos de la pletina CA es el momento Mc calculado anteriormente.

Asi pues, del diagrama de momentos flectores de la Figura V11.14-i se deduce

Como

V

se tiene:

Figura VII.14-i.

b) Aplicando el mirodo de Mohr

El desplazamiento A sera

siendo M el momento flector en el sistema dado, representado en la Figura VII.14-h. A f , el momento flector que se obtiene en el sistema base al aplicar la carga unidad en el punto de aplicación de la fuerza F y en la direccibn de tsta (Fig. V11.14;i)

Figura V1I.IJ-j.

476 RESISTENCIA DE XtATFRI.4LES

~11.15. Se considera un anillo cuya linea riiedia es una circunferencia de rndio K = 2 m, de sección recta constante y sometido 3 las fuerzas conienidas en el plano de su directrir que se indicjn el1 13 Figura V11.15-u. ~ ' ~ l c u l i t r Iiir leyes de monientos flectores y de ebfuerzos normala y

cortantes, dibujiiridu y 3c.oc:iriilo I ( r \ ccirrespontlicnres di3griiriiiir. Eii el cilculo de las incbgniiab Iiiperrstáiici~ be dcspreciarin los efectos producidos por los

esfuerzos nornili y cortante.

Figura VI1.15-a.

El anillo que se considera, por ser cerrado, es interiormente hiperestiiico de tercer grado. Sin embargo. por tratarse de uri sistema simétrico y con carga simi'trica respecto del

di imetro AD coincidente con la linea de acción de la fuerza de 6& ton, el grado de hiperesiaticidad se reduce a segundo grado.

Tomaremos como incógnitas hiperestaticas el esfuerzo normal y el moinento íiector en la sección A (Fig. VII.15-b).

6 tori

Figura VII.IS-b.

Las leyes d e momentos flectores son:

3n M, = NR(I - cos 0) - rL1 - 3 4 R sen O ; O < O < -

4

3rr M, = NR(1 - c o s 0) - dl - 3 4 R sen O - 6 R s e n O -- ; - < O < n ( ) 4

6

Calcularemos las incógnitas hiperestáticas N y aplicando el teorema de Menabrea Para ello. crilculemos el potencial interno d e medio anillo

j: [Hn( i - cos 0) - A l - R sen O] 110 +

,VR[O - sen 018 - n,\f +. 3 f i ~ [ c o s 01: + 6R cos O - - [ ( :)]:.r = O

Teniendo en cuenta R = 2 m, d e aqui se obtiene la ecuación

j: [NRII - cos O)' - IM(I - cos O) - 3 4 ~ sen O(1 - cos o)] do -

- M[O - sen O]: + 3 & ~ [ c o s O]: +

+ 3 , / ? R [ e ] 1 + 6R[cos (0 - $)]:x14 + 6R {:N,4 sen (B - :) COS O do = O

Como

13:. [-n (28 - F) + sen (-F)] dO =

t3 = 1 3:: 4 - sen 4 [O];,,, = -- 3-14 16

sustituyendo valores y simplificando se obtiene la ecuación

- - que junio con

forman un sistema d e dos ecuaciones con dos incógnitas, cuyas soluciones son:

1\1 = -4.4 m . ton ; N = 1.06 ton


Conocidos los valores de las incógnitas hiperestaticas. la obtención de las leyes dc momentos flectores, esfuerzos normales y esruerzos cortantes en la mitad del anillo es inmediata. En la otra mitad se obtendrán por simetria

3 n M, = 2.12(1 - cos 0) + 4.4 - 8.48 seno ; O S O < -

4

M, = 2.12(1 - c o s o ) + 4.4 - 8.48senB - 12sen

Se dibuja el diagrama acotado de momentos nectores en la Figura VII.15-c.

4.4 m ton 0.15 m. ton

Figura VI1.15-c.

Las leyes de esfuerzos normales son 1 1 N, = - 1.06 cos O - 4.24 sen O - 6 sen 8 - - - < 0 <

Se dibuja e l diagrama acotado de esfuerzos normales en la Figura V11.15-d

(3

1.06 ton 3.18

Figura VII.15-d.

FLEXION tlIPERESTATICA 479

Las leyes de esfuerzos cortantes son:

T, = 1.06 sen 9 - 3.24 cos O

Se dibuja el diagrama acotado de esfuerzos cortantes en la Fisura VlI.15-e.

4.24 ton

Figura V11.15-c.

Flexión lclternl. Pandeo

8.1. Introducción

El coniportamiento de los materiales cuando se les somete a tracción ya ha sido descrito y estudiado en los primeros capitulas. Sin embargo, cuando la fuerza axial que se ejerce sobre un prisma mecinico recio es de compresión, el comportamiento es tanto más distante del qiic corresponde a un esfuerzo de tracción cuanto mriyor es la relación eiiire la longitud y la climeiisi6ri de la sección recta. es decir, cuanto m i s esbelta sea la ~ i e z a .

Si estudiamos e1 comportamiento de materiales tan distintos como son el acero, hormigón y madera, cuando se someten a compresión prismas de estos materiales cuya altura sea de 5 a 10 veces la dimensión de la sección transversal, experimentalmente se obtiene que el agotamiento se produce para tensiones de rotura que son: superiores a la tensión de fluencia por tracción en los aceros; de 7 a 12 veces las tensiones de rotura por trlicción en los hormigones y piedras naturales; y sólo el 40 por 100 de la resistencia por tracción en el sentido longitudinal de las fibras, en el caso de maderas.

A medida que atimenra !a relación entre la altura y la longitud de la sección recta, experimenta una variación más marcada el comportamiento. Por ejemplo, para piezas prismáticas en las que esta relación es superior a 100. cuando la carga toma un cierto valor crítice, el eje de la pieza abandona su forma ricta y adopta forma curva. Este fenómeno, pcr el cüai la pieza sometida n compresión flexa lateralmente, recibe el fiambre de parrrieo o Jesibn lareral.

También observamos que si sometemos a compresión axial piezas de la misma 5-cción recta, del mismo m;iteriril, pero de diferentes longitudes, la carga qiie produce el cambio de forma de la línea media es menor cuanto más esbelta es la pieza, y que tina vez producido el cambio de forma, si la carga de compresión sigue aumentando lentamente, las deformaciones que se producen en la pieza crecen muy ripidamente y la pieza se rompe para un valor de la carga ligeramente superior a la carga critica.

De lo dicho se deduce que al llegar la carga exterior a alcanzar el valor de la carga crítica, la pieza prismática considerada deja de estar en equilibrio estable, por lo que el fenómeno de pandeo es un problema de estabilidad elástica.

~ FLEXION LATEK.4L. PANDEO 481

En este capítulo analizaremos las causas y efectos del pandeo en las piezas rectas, que llamaremos colrrr>uc~i.s, sometidas a compresión, asi como la influencia que tienen los posibles tipos de ligaduras a que se puede ver sometida la pieza. Y puesto que, como hemos dicho, el fenómeno de pandeo es un problema de estabilidad, comenzaremos nuestro estudio con el anilisis de ésta.

8.2. Estabilidad del equilibrio elástico. Noción de carga crítica

Para entender con claridad este nuevo concepto de pandeo recordemos el ejemplo que se suele poner en Mecanica. Sea la barra rígida OA, articulada en el extremo fijo O. Por medio de un resorte de constante k se mantiene la barra en posición vertical (Fig. 8.1-a)

Supongamos que el extremo ' 4 , contado a partir de su posición de equilibrio, sufre un pequeño desplazamiento m = ,Y. Sobre el extremo A' actúa una fuerza horizontal de módulo k x que ejerce el resorte y que, en caso de desaparecer la fuerza causante de! desplazamiento, hace que la barra vuelva a ocupar su posición vertical de equilibrio. El equilibrio en este caso es estable.

Suponganios que en el extremo de la barra actúa una fuerza F dirigida hacia abajo (Fig. 8.1-b).

Para estudiar la estabilidad del sistema en este caso consideraremos el momento respecto del extremo O de las fuerzas que actúan sobre la barra: por una parte, el momento 15 de la fuerza F que tiende a separar la barra de su posicióii de equilibrio y, por otra, el momento ks-1, antagonista del anterior, producido por la fuerza horizontal k.r del resorte que tiende a recuperar el equilibrio. El equilibrio de la barra será estable si se verifica:

kxl > Fx

F < kl

es decir, el equilibrio es cstable solamente si la fuerza F aplicada es inferior a un cierto valor critico FC, = kl. Superado este valor el equilibrio ya es inestable.


Veamos cómo aplicamos estos conceptos al estudio del comportamiento de una columna de sección constante con extremos articulados, sometida a una carga de compre- sión P (Fig. 8.2-a). Supondremos que la fuerza P está aplicada en el baricentro de la sección extrema, es decir, que la línea de acción de la fuerza F es coincidente con el eje longitudinal de la columna, asi como que el plano .ry indicado es un plano de simetria, en el que se lleva a cabo cualquier flexión a que se puede someter la columna.

lb ) Figura

Para valores pequeños de la carga P la columna permanece recta. La tensión de compresión axial es, como sabemos

siendo R el área de la sección recta. Para analizar la estabilidad del equilibrio se aplica una carga transversal F (Fig. 8.2-b)

que da lugar a que la columna flexe en el &no y, seguidamente, se retira la carga F. En este instante, la solicitación que existe en una sección cualquiera C (Fig. 8 . 2 - 4 está compuesta por un esfuerzo normal igual a la carga de compresión P y por un momento flector M,, que no depende de la carga P sino solamente de 1:: curvatura de la elástica, en virtud de la relación que se vio en el Capitulo 4 al obtener la ley de Navier

, I

Analicemos el comportamiento de la columna a partir del momento en que retiramos la carga transversal F, estudiando el equilibrio de la porción AC de columna. El riionicnro de la solicitación que actúa sobre AC respecto del extremo A es

FLEXION LATERAL. P A N D E O 483

Para que la columna se quedara flexada como estaba antes de ser retirada la carga transversal. es decir. para que la columna se encuentre en una posición de equilibrio indiferente, tendna que ser M, = O, para lo cual se tendria que verificar Py = M,.

Si no se cumple esta igualdad, la columna no es t i en equilibrio y se moverá a partir del instante en que retiremos la carga transversal. Si Py < :MT. entonces /M,, > O y el movimiento hará que la columna recupere su forma rectilinea de equilibrio: el equilibrio es estable.

Si, por el contrario, Py > M;, entonces M, < O y la columna sigue curvándose progresivamente hasta la rotura: el equilibrio es inestable.

El valor de la carga que hace que el equilibrio de la columna sea indiferente se denomina carga crítica. Dicho de otra forma, podemos definir la carga cririca como la fuerza de compresión para la cual son formas igualmente de equilibrio tanto la forma rectilinea como la curvilínea próxima a ella.

La experiencia demuestra que mientras la carga de compresión se mantenga inferior al valor de la carga crítica, las deformaciones de la columna son pequeñas, pero cuando el valor de la carga alcanza el valor critico, la columna pierde la estabilidad y las deformaciones aumentan de forma rápida produciendo su rotura.

La columna que hemos considerado en nuestro razonamiento es una columna ideal. es decir, de material homogéneo, de sección recta constante, inicialmente recta y sometida a una carga axial de compresión que se aplica en el baricentro de la sección extrema.

Sin embargo. las columnas suelen presentar pequeñas imperfecciones en la composi- ción del material, defectos de fabricación, asi como una inevitable excentricidad cn la aplicación de la carga, que hzce que la columna flexe incluso para pequeños valores de la carga. Aun tratándose de una columna ideal, cuando la carga de compresión alcanza el valor P,, la columna pierde la estabilidad, ya que cualquier perturbación, entre las que se encuentran las imperfecciones inevitables aludidas. hará que se produzcan bruscamente grandes deformaciones que provocaran su rotura.

Queda, pues. patente el peligro que corre la coiiimna cuando la carga de compresión alcanza el valor de P,,. Para evitarlo, se considera una carga de pandeo admisible PP.,,.

siendo n el coeficíenre de seguridad por pandeo, que se suele tomar mayor que el correspondiente coeficiente de seguridad por resistencia, ya que hay que tener en cuenta factores de riesgo desfavorables como son las imperfecciones de la columna. a que antes hemos hecho referencia, así como a posibles d e f e c t ~ s de fabricación, excentricidad de la carga, etc.

8.3. Pandeo de barras rectas de sección constante sometidas a compresión. Fórmula de Euler

Consideremos una barra rccta AB de sección constante R articulada en sus extremos y sometida a comprcsión mediante una fuerza P. Si pul un dcíccto de siill:tria. o por falta de homogeneidad, la barra se dcfornia lateralmente, aparece en cada sección un momento flector.

181 RESISTENCIA DE X 1 A l E K I A L F S

-' I

Figura 8.3.

Asi, en una sección de la viga. de iibscisa .r (Fig. S.?), existiri uri moriiento flector -Py. producto de la fuerza de compresibn por la ordenada de la elástica, suponiendo que la flexión se produce eii el plano .ry.(nias adelante justificnremos cual es el plano en que se verifica esta, que dependerá dc 1:i forrna de la sección recta).

La ecuación diferencial aproximada de la linea elistica será:

o lo que es lo mismo

ecuación diferencial dc szgiindo orden cuya ecuacion caracteristica es:

Por ser siempre P/EIz > O, las raices de esta ecuacion característica son ixaginari2~ conjugadas, por lo que la solución general de la ecuación (8.3-1) es:

siendo C, y C, con5iantes de iniegracibn que determinaremos iinponiéndo las condiciones de contorno

r = O ; ) * = O ; . Y = [ ; y = O

d

FLEXION LATERAL. PANDEO -185

La primera condición nos conduce a la nulidad de la segunda constante, C, = 0, con lo que la ecuacion (8.3-2) se reduce a:

= C, ren 6 r Para .r = 112 la ordenada y toma su valor máximo y = y,,,, por lo que

fuego la ecuación finita de la línea elástica será:

que deberi cumplir la segunda condición de contorno:

. y = / : y = o =. C, sen J-& I = O

De esta ecuación se deducen las dos soluciones siguientes:

Solución trivial. Nos indica que la barra permanece recta, es decir, existe la posibilidad de que la barra conserve su forma recta aun cuando esta posición no sea de equilibrio estable, y

siendo ti un númelo eniero. La e!istica toma la'i'orida de infinitas sinusoides de amplitudes C, infinitésimas. las

cunlcs representan infinitas posiciones de equilibrio próximas a la recta. El menor valor de P (para n = 1) que verifica esta ecuación se denomina cargo criricu

dc. pnn(!eo.

Cuando la carga P adquiere el valor critico. el equilibrio estable de la pieza recta se convierte en equilibrio inestable o indiferente, ya que la ecuación de la elástica sería

La expresión (8.3-5) es Ilamadafbrnzula de Euler NOS dice que si la fuerza de compre- sión que actiia sobre la viga de sección recta constante aicanza la carga critica de pandeo, la constante C, de la ecuación de la elástica (que representa la máxima deformación) se puede hacer arbitrariamente grande, lo que produciria inexorablemente la ruina o rotura de la viga.

Es notable que esta fórmula, expuesta por Euler en 1744 en la memoria ((De curvis elasticis», hace aproximadamente doscientos cincuenta años, fue obtenida en una época en la que los materiales empleados comúnmente en la construccion eran la madera y la piedra, y para los que no tenia especial interés el problema de la estabilidad elástica.

Hemos supuesto que la viga recta de sección constante y sometida a compresión íiexaba en el plano determinado por la fibra media y los ejes Gy de las secciones rectas Pero podemos preguntarnos ¿por qué la flexión no se realiza en otro plano distinto?, o aún dicho de otra forma ;qué condiciones deben cumplirse para que la flexion se produzca, en efecto, en el plano supuesto?

Esta condición la deducimos directamente por simple inspección de la fórmula (8.3-5). El plano de pandeo vendrá determinado por el menor valor de la carga critica de pandeo, pues corresponderá al menor valor del momento de inercia (ya que todos los restantes factores que aparecen en la fórmula son constantes). Pero como G,v y Gz son ejes principales de inercia de la sección, uno de ellos es el máximo y otro el mínimo. Suponien- do que I , < 1, la íiexión lateral se produce en efecto en el plano supuesto. Dt: una forma general se podrá decir que el pandeo se producirá en el plano perpendicular al eje mayor de la elipse de inercia de la sección.

La fórmula de Euler, que nos da la carga crítica de una columna con sus extremos articulados

se puede poner en función de la relación 1. = A llamada e.ykl<ez mechnico de la pieza. 'mln

siendo i,,, el radio de giro mínimo de la sección de área R.

P,, vendrá expresada en kp, si E lo está en kp/cm2.y fl er. cm2.

8.4. Compresión excéntrica de barras esbeltas

Consideremos una barra empotrada en uno de sus extremos. y con una carga que la comprime excéntricamente en el otro. Para valores pequeños de la carga P (Fig. 8.4-a), el momento en cualquier sección de la barra, despreciando la deformación quc se produce, es Pe, por lo que i~ tcuación diferencial de la línea elástica será:

FLEXlON LATERAL. PANDEO 487

Figura 8.4.

La barra se deformará presentando la flecha en la sección extrema libre. Aplicando el segundo teorema de Mohr se puede calcular la flecha como la distaiicia de la sección B a la tangente trazada por A a ra línea elastica

Este resultado nos dice que para valores pequeños de P la íiecha crece proporcionalmente a ia carga.

Sin embargo, a medida que vamos aumentando la carga P, no es posible despreciar la deformación. La ecuación diferencial de 12 elástica de la barra, considcrando la posición de equilibrio final, sera

d 2 y EIz - d.^ = M, = P(/ + e - y)

P Haciendo - = k2, queda:

ElZ

dZy - + kZ,v = kZ(/ + e ) ds2

cuya solución es:

y = C, sen k.x + C2 cos !íx + / + e

-192 RESISTENCIA D E S I A ~ I ~ t l < l . A L E S

Ahora bien, como en dicho punto de momento íiector es nulo, se verilic:iri:

1 1 (il) - -

A - = o p El, lis

y de la ecuación (S.5-lo), se deduce el valor de 4,

X Z b t r cos I), = O = tos $0 = O a $0 = 2

por lo que la integral anterior se puede poner en la forma siguiente:

en la que las integrales vienen tabiiladas en función del Sngulo $ y del valor del pará- metro 111.

Hagamos la discusión cualitativa de los resultados analíticos obtenidos. Si integramos (5.5-14) entre el origcn y el punto medio de la viga. piinto en el que O = O y, por tanto, C1/ = O en virtiid de (8.5-8). la scgund~i integral de (8.5-14) se anula, por lo que dicha ecuación se reduce a

De 12 circunstancia de ser niinima esta integral para I>I = O se deduce la condición para que la forma de semionda sea una forma de equilibrio

y por tanto:

El menor valor de esta expresión es precisamente el valor de la primera carga crítica de pandeo que fue obtenida en (8.5-5).

es decir, la condición para que, además de la elástica rectilínea como forma de equilibrio. tenga la viga una efdjtica en forma de semionda, In carga aplicada tiene que ser mayor qilt: la primera carga critica.

Figura 8.6.


Pero también adopta la elástica de la viga la forma de dos semiondas (Fig. 8 . 6 4 ) . Er' este caso 3 = O y, por tanto, $ = O, para s = 1/4, por lo que la condición para que estit; dos semiond:is sea forma de equilibrio será:

de donde:

es decir, la carga aplicada tiene que ser mayor que la segunda carga crítica de pandeo

Podíamos seguir considerando como posibles formas de equilibrio elásticas de tres semiondas, cuatro semiondas, ... y asi sucesivamente hasta n semiondas. En este caso genérico, 3 = O para s = //2n, por lo que la condición correspondiente será ahcra:

de donde:

es decir, la carga de compresión tendría que ser superior a la n-ésima carga critica de a 'pandeo

P Haciendo -- = k2, esta ecuación diferencial se puede poner en la forma:

EIz

y como dr = p d3, queda:

Derivando esta ecuación respecto al arco s y teniendo en cuenta que

dv - - 9 3 ak

- sen 3 = 2 sen - cos - 2 2

tenemos:

dv 3 3 $ ($) = - k 2 d; = -2k2 sen - cos - 2 2

o bien:

9 9 d ( g ) = -2k2 sen - 2 cos - 2 ds

Multiplicando los dos miembros de esta ecuación por d9/& e integrando, se tiene:

Haciendo

ya que el primer miembro siempre será positivo, la ecuación anterior se puede expresar así: :.

en donde m se puede considerar aquí como una constante arbitraria de integración.

FLEXlON LATERAL. PANDEO 491

Hagamos ahora el cambio de la función 3 por orra t+b, quc verifique:

3 sen - = tn sen i I /

2

Susrituyerido en (8.5-7). sc tienc:

en donde:

d3 - = 2km cos J, (8.5- 10) ds

Eliminando 3 entre esta ecuación y la que se obtiene derivando la (8.5-8) respccto del arco s

1 3 d,? & - cos - - = -tt1 cos J, - 2 2 ds ds

d3 COS t+b dJ, - = -- ds 3 ds

cos - 2

y teniendo en cuenta, en virtud de (8.5-8), que

3 tos - = J I - ni' sen' J,

2

se tiene:

COS J, 2km cos 1(1 = -2m dJ, - (8.5- 12)

JI - rn2 sen2 Ijl d-'

ecuación diferencial de variables separadas, cuya integración nos conduce a una integral elíptica de primera especie*

siendo $, el valor de J, para J = O, es decir, el valor de 1(1 en el origen de la abscisa curvilínca s quc es el extremo dc la viga en el que sc aplica la carga dc compresión P.

' Esto cs asi porque r: puede demostrar que m e, cstrictanicr.tc menor que la unidad y, por tanto. es igual al seno dc un cierto ángulo x, que a la condición para que csta inlcgral sea cliprica.

Ahora bien, como en dicho punto de momento flector es nulo, se veriíic:irii:

1 'W: (/:> - - - - = o p El, lis

y de 13 ccuaclón (S 5-10), se deduce el valor de *, Z k t l l cos l,b, = O => COS *, = o =. * = E

O 2

por lo que la integral anterior se puede poner en la forma siguiente:

en la que las integrales vienen tabuladas en función del iingulo $ y del valor del pará- metro 111.

Hagamos la discujióri cunlitntiva de los resultados analíticos obtenidos. Si integrarnos (3.5-14) entre el origcn y el punto medio de la viga, punto en el que O = O y, por tanto, i1, = O r n \.irtiid dc (8.5-3). la s c ~ u n d a integral de (8.5-14) se anula, por lo que dicha ecuación se reduce a

De la circunstancia de ser mínima esta integral para 111 = O se deduce la condición para que la fornia de seriiionda sea una forma de equilibrio

y por tanto:

El menor valor de esta expresión es precisamente el valor de la primera carga crítica de pandeo que fue obtenida en (8.5-5).

es decir, la condición para que, además l e la elástica reciilinea como forma de equilib;io, tenga la viga una elástica en forma de semionda, la carga aplicada tiene que ser mayor que

. . la primera carga critica.

8 ._'

Figura 8.6.

F L E X I O N LATERAL. PANDEO 493

PI

Pero también adopta la elástica de la viga la forma de dos semiondas (Fig. 8 .64 ) . En este caso 3 = O y, por tanto, i1/ = O, para s = 114, por lo que la condición para que estas dos semiondas sea forma de equilibrio sera:

de donde:

es decir, la carga aplicada tiene que ser mayor que la segunda carga critica de pandeo

Podíamos seguir considerando como posibles formas de equilibrio elásticas de tres semiondas, cuatro semiondas, ... y asi sucesivamente hasta n serniondas. En este caso genérico, 3 = O para s = 1/2n, por lo que la condición correspondiente será ahora:

de donde:

es decir, la carga de compresión tendría que ser superior a la n-ésima carga crítica de a pandeo

I n2n2E& Pcr = ---

l2

+.


Pero no todas estas formas son de equilibrio estable. Se demuestra que cuando la carga de compresión P es inferior a la piimera carga critica de pandeo, la Única forma de equilibrio estable es la rectilínea. Para valores de P supeflores a esta primera carga critica la única forma de equilibrio estable es la semionda, siendo inestables todas las demás. ,

Calculemos ahora la elástica de la viga por medio de sus ecuaciones paramétricas

Teniendo en cuenta (8.5-8) y la que se deduce de (8.5-13) en su forma diferencial, se tiene:

sen2 JI) JI - m2 sen i )

1 d* - - 2m dy = - 2 ni sen i ) J-* -- sen $ d+

k J1 -m2 sen2 tj k

e integrando:

ecuaciones paramétricas de la elástica que, al ser i I / , = z/2, se pueden expresar en la fo m a:

x = 5 [/y JI - m2 wn2 JI dtj - J0' JI - m2 sen2 tj ci* - s 1 (8.5-22) 2/11

y = - COS tj O k

es decir, la primera ecuación viene dada en función de integrales elípticas de segunda especie, cuyos valores vienen tabuládús en función t$ y de m.

Varias consecuencias importantes se deducen del análisis que acabamos de hacer. La primera, que la expresión de la flecha de la viga, que se presentará rn la sección media de la misma, se obtiene particularizando la segunda ecuación (8.5-22) para iI/ = O

K . . ' I a

Veamos también que esta ectlación, junto a la (8.5-15), nos permite calcular y,,, en función de la carga de compresión P.

F >N LA-:?AL PANDEO 495

En erecto, +:a un d¿-,:;minado v _ sr de !- ~ b l ~ ltegra~cs elipticas de primera especie nos permite calcular k

y, por tanto. la y,,, dada por (8.5-23). Ahora bicn, dividiendo miembro a miembro las expresiones de la carga de compresión

en función de k y la que nos da la carga critica de pandeo. tenemos:

P = k 2 E l , P k'12 4 k 1 2 .'m

P,, = -- i 2 ] = T ( T )

y como:

eliminando k1/2 entre estas dos últimas ecuaciones, se tiene:

ecuación que nos relaciona la carga de compresión y la flecha que dicha carga produce en la viga.

Utilizando una tabla de integrales elipticas de primera especie* podemos confeccionar la siguiente tabla:

Véase Puig Adnni. acálculo integral», pig. 77.

Tabla 8.1.

n~

kl - 2

m )>mrl = - 1 kl/2

P 4 - = -(kl/2)' P, n l

O

1.5708

O

1

0.0872

1.5?38

0.0554

1.0038

0.1736

1.5828

0.1097

1.0153

0.2588

1.5981

0.1619

1.0351

0.3420

1.6200

0.21 1 1

1.0636

0.4226

1.6190

0.2563

1.1021

0.5000

1.6858

0.2966

1.151F

0.6428

1.7868

0.3597

1.2939

0.5736

1.7313

0.3313

1.2148

0.7071

1.8541

0.3814

1.3933

0.7660

1.9356

0.3957

1.5184

496 RESISTENCIA DE 1 I A T E K I A L E S

X p;irtir de esta t:ibla podcriios construir la griilíc;~ iiidic:id;i en la ITigura 8.7..

o Y

!",A. -- 1 Figura 8.7.

La gráfica obtenida nos hace ver que las flechas crecen niiiy deprisa cii:indo la carga de compresión supera e1 valor de Iii c:irga critica. Asi, para una c a r g P que sobrepase en un 15 por 100 el valor critico. la Ileclia se hace aproximadamerite un 30 por 100 del valor de la longitud de la viga.

De lo dicho se deduce que cuando la carga P tom:i un valor superior al valor de la carga critica no es vilida 1:i siiposicii7n de peqiieñas deformaciones. pero es suficiente la utilización de la fórmula de Euler para la determinación de las cargas criticas, con las limitaciones que se verán m i s adelante.

Si hacemos un estudio tensional en la barra cuando la carga P es mayor que la carga critica, es decir, cuando la forma de equilibrio es la seniiond:~, vemos que la tensión en la barra se puede corisi<l~rar conlo I:i superposición de la dcbida a la compresión

y la debida a la flexión

siendo J* la distancia de la fibra que consideremos al eje z de la sección (Fig. 8.8).

FLEXION LATERAL. PANDEO 497

El valor ml.xinio de U, sc presenta en la seccibn media de la barra en la que y = y,,,, y . dentro de esta sección en las fibras periféricas.

'es decir. a2 aumenta muy rlipidamente, igual a como lo hace y,,,. De ello se deduce que en el caso de piezas muy esbeltas, como son los íiejes, varillas.

etcétera, la carga P,, tiene un valor muy pequeño y, por consiguiente a , , así como es pequeiio el valor jt*. lo que hace posible que P supere notablemente el valor de P,, y que la pieza adquiera prandes deformaci~nes sin roniperse.

Por el contrario. en las estructuras normales no se suelen emplear barras de esbelteces exageradas, por lo que la carga crítica toma valores de consideración, así como a, , sin que quede apenas margen para a,. En estos casos, un pequeño incremento de y,,, en la el5stic:i de la columna haró que a2 aumente muy rópidamente y en seguida se alcance el valor de la tensión de rotura del material. Por tanto, con las esbelteces y materiales que normalniente se emplean en las estructuras no se puede aceptar la forma curva de equilibrio. De ahi que consideremos iguales, a efectos prácticos, la carga critica y la carga de rotura.

8.6. Valor de la fuerza crítica según el tipo de sustentación de la barra. Longitud de pandeo

Tanto la fórmula (8.3-5) como su equivalente (8.3-5) en función de la esbeltez se han obtenido considerando articulados los dos extremos de la barra comprimida. Ahora bien, en el caso de modificar las condiciones de articulación en los extremos de la barra podenios utilizar ta fórmula citada para calcular la carga critica de pandeo sustituyendo la longitud 1 por la que llamaremos longitud de pandeo lp, que es la que existe entre dos puntos consecutivos de inflexión de la línea elástica. Así, si consideramos, por ejemplo, la barra empotrada en un extremo y libre en el otro (Fig. 8.9-a) este sistema elástico es equivalente a una barra biarticulada de longitud 1, = 21. P o r tanto, la carga crítica de pandeo en este caso sería:

. Asimismo, para los casos de s~tjeción indicados en la Figura 8.9-b y c la longituü de pandeo es 1, = 112 y, por tanto, la carga crítica de pandeo será:

La consideración de la longitud de pandeo 1, = al nos permite generalizar la fórmula de Euler para calcular la carga crítica de pandeo de una barra comprimida


Figura 8.9.

donde a es el coeficiente de red~rcción de la longitud de la barra, que depende del tipo de sujeción de sus extremos.

El calculo de la longitud de pandeo de un prisma mecánico recto sometido a compre- sión, sujeto en los extremos de una forma arbitraria, se hará integrando la ecuación diferencial de la linea elástica. Imponiendo las condiciones de contorno se determinará el valor de la constante k = m y a partir de ella la carga de pandeo, igualando k al menor valor que verifique la ecuación que resulte. Finalmente, identificando con la fórmu- la de Euler, se obtiene la longitud de pandeo 1, o, si se quiere, el coeficiente de reducción de la longitud.

A modo de ejemplo, apliquemos lo dicho al cálculo de la longitud de pandeo de una barra empotrada en Un extremo y articulada en el otro (Fig. 8.10)

En este cazo. en la expresión del momento habrá que tener en cuenta ia reacción R de la articulación causada por el moniento de empotramiento en el otro extremo. En una sección dc abscisa .r. el momento flector es:

por lo que la ecuación diferencial de la línea elástica sera

o bien, dividiendo por EI, y haciendo PIE4 = k2 9

1 FLEXION LATERAL. PANDEO 499

1

Y

/ t .Y

1 ' \\\\\\hV

S Figura

La solucion de esta ecua'ción diferencial es:

R y = C, sen kx + C, cos kx + -7 (i - .Y) (8.6-6)

El*k

siendo'c, y C, constantes de integración que determinaremos imponiendo las condiciones de contorno:

x = l ; y = O =S C , sen kl + C, cos kl = 0'

Estas tres ecuaciones constituyen un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas. La condición para que el sistema tenga solución distinta de 13 trivial, que carece de interés, es:

' sen k1 cos kl O '

500 RESISTENCIA DE MATIIRI-\LES FLEXION LATERAL. PANDEO 301

Desarrollando el determinante, se llega a la ecuación trascendente:

que se puede resolvcr ~r.ilicanicrirr coirio se indica en la Figura 3.1 1 . El menor valor de kI que verilica esta ecuación es k l = 4.49. Por tanto:

= J- 1 = 4.49 El:

de donde:

es decir. la longitud dc. pandeo es 1, = 0.71 y el coeliciente de reducción de la longitud r = 0.7.

Tanto en el caso expuesto de barra empotrado-articulad en rl que ;r = 0.7, como en cl

I de barra biempotrada en el que 1 = 0.5 se han supuesto los empotraniientos perfectamente rígidos. En el caso de que los empotramientos no presenten rigidez perfecta, el coeficiente de reducción de la loiilitud r se acercari tanto más a la unidad cuanto más 1

elásticos sean éstos. i I

8.7. Límites de aplicacióri de la fórmula de Euler . L

Por lo expuesto anteriormente, la carga crítica de pandeo de cualquier barra de sección constante sometida a compresi6n, dada por la fórmula de Euler. se puede expresar de la siguiente forma: 1

Est:~ expresión demuestra que la carga critica que puede producir el pandeo para una determin:tda sujeción no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo de elasticidad. De esta forma, dos barras de dimensiones iguales e igualmente sujetas. una de acero ordinario y otra de acero de alta resistencia, pandearán bajo cargas criticas pricticamente iguales, ya que si bien sus capacidades resistentes son bien distintas, son casi iguales sus módulos de elasticidad. Por tanto, para optimizar la resistencia al pandeo de una barra, cuya sección tiene un área dada, habremos de conseguir que el momento de inercia de la sección, respecto a cualquiera de los ejes principales, tenga el valor minirno posible, es decir, tendremos que alejar el material lo más posible del baricentro de la sección, de tal manera que los momentos de inercia respecto de los ejes principales sean iguales, como ocurre en'las barras de sección tubular (Fig. 5.12).

Figura 8.12. I

Cuando se llega al valor d e la carga critica, el estado tensional simple de la barra viene dado por una tension critica a,,, cuyo valor es:

P,, n2E a<, = - - - - n j.2


Si representamos la función a,, = /O.) (Fig. 8.13) para valores de a,, menores o iguales al limite elástico, la curva correspandiente es. la llamada h;pérhola de Euler.

Figura 8.1 3. r!


De] estudio de e r t l curva se deduce que para piezas de esbeltez elevada, la tensión critica es muy pequeña, es decir. que una pieza muy esbelta pandea para una tension de compresión muy pequeña.

ir disminuyendo la esbeltez, la tensión critica aumenta, pero la hipérbola de Euler sólo es válida hasta un valor A,,, de la esbeltez a la que corresponde una tension critica igual al limite elastico a, (pues para valores supenores no tiene sentido hablar de la ley de Hooke).

A partir de este valor, el módulo de elasticidad E, disminuye con lo quc la Iórmula de Euler se convierte en:

llamada fórmula del nlódulo rangencial o de Engesser para pandeo inelástico, cuya repre- sentación se ha indicado en la misma Figura 8.13.

La fórmula de Euler es válida solamente para piezas de esbeltez superior a aquélla para la cual la tensión critica coincida con el límite elástico u,. Para esbelteces 1 < i,,,, el problema de estabilidad de la barra exige un planteamiento consecuente con el estado de plastificación a que va a estar sometida la misma, por lo que n o vanios a entrar en él.

Para el acero de construcción de bajo contenido en carbono, cuyo módulo de elasticidad vale E = 2 000 000 kp/cm2 y u, = 2000 kp/cm2. la esbeltcz mínima que deberá tener la pieza para que sea aplicable la fórmula de Euler es:

En construcciones metálicas, las piezas que generalmente se emplean tienen esbelteces inferiores a este valor. No es aplicable, por tanto, la fórmula de Euler para el cálculo de la carga critica.

Tenemos que tener en cuenta que la fórmula de Euler nos d a la carga critica y no In carga de trabajo. Para calcular la carga admisible P,,,, habrá que dividir la carga critica por un coeliciente de seguridad a pandeo.

8.8. Fórmula empírica de Tetmajer para :a determinación de las tensiones criticas en columnas intermedias

Cuando decimos que la fórmula de Euler es aplicable a columnas esbeltas estamos admitiendo que colui?~nas eshetras son aquellas cuya esbeltez es superior a Á,,,. El valor de A,,, depende, como hemos visto, del módulo de elasticidad y del límite eliístico, por lo que cada material tendrá su esbcltez A,,, a partir d e la cual la barra se considera esbelta.

Por otra parre, se dice que una coltintna es corta cuando su longitud n o excede de diez veces su menor dimensión transversal. Para estas columnas se considera como tensión

FLEXiON LATERAL. PANDEO 503

critica la tensión de fluencia u, del material y su ~ á l c u l o se hace, por tanto. a compresión y- no a pandeo.

Las columnas que tienen esbelteces comprendidas entre los valores limite superior de las columnas cortas y el limite inferior de las columnas esbeltas, se denominan colunlnas- inrerrnedias. Se han propuesto diversas fórmulas para el cálculo de la carga critica de pandeo en este tipo de columnas, aunque ninguna de ellas ha sido generalmente aceptada. Este problema, como ya se ha indicado, exige, en rigor, la consideración del comportamiento inelistico del material. A pesar de ello. se han intentado establecer fórmulas- obtenidas experimentalmente ensayando gran numero dc piezas de distinta esbeltez, siempre de valor inferior al mínimo para la que es aplicable la fórmula de Euler. Una de ellas es la del módulo tangencia1 o de Engesser, a la que ya nos hemos referido. que tiene en cuenta la variación del módulo de elasticidad al superar la tension limite de proporcionali- - dad.

En la Figura 5.14 se ha representado la forma tipica de la curva que nos da la carga critica en función de la esbeltez aplicando para el limite de la estabilidad elástica la - fórmula de Engesser.

Tertnajer propuso, para la zona inelástica, la Iórmula:

'J - siendo a, la resistencia a la compresión simple, I. la esbeltez mecánica, y a y b dos coeficientes a determinar experimentalmente para cad; material.

En la Tabla 8.2 figuran los valores correspondientes para fundición gris, acero dulce, maderá de pino y hormigón. '

-

Tabla 8.2.

MATERIAL E 1 a, = o. - a l + bl '

Fundición gris Acero dulce Madera de pino tlormigón

1OOOOOO 2100000

100oOO 210000

1620 1900

99 29

SO 1 O S 100

S S

77ó0 - 1202 + 0.54;' 3100 - 11.41. 293 - 1.941. SOa,(l - 0.00321.)

Tanto 211 la obteiición de la fórmula teórica de Euler como en las empíricas de Tzimajer se admitiii qiic la picza compriinida era inicialinente prrfectamcnte recta y que la carga actuaba totaliiientz crnrr~ida. En realidlid, ni las cargas estin gcncr;ilmentc centradas ni las pirz'is son perfectanienle rrctds, sino que pueden presentar :ilguria curvatura inicial. Por [arito, con objeto de cubrir estas imperfecciones es necesario considerar un coeficiente de seguridad que aumente con la esbeltez.

En la Figura 8.15 se representan, para una columna de acero A 37, la función del coeficiente de seciiridnd n = t i ( ; . ) . asi como la curva dc Euler-Tetm3~c.r G,, = a,,(j.) adoptadas por las normas dc diversos paises. A partir dc ellas, por división, se obtiene la curva de la tensión critica adniisible a,,,,,

Figura 8.15.

8.9. Nlétodo de los coeficientes o para el cAlculo de barras comprimidas

En los casos en los qiJe pueden resolt,erse los problemas de pandeo mediaiite la introduc- ción de la longitud de pandeo, es decir, en el supuesto de que se mantengan constantes la, sección transversal y la fuerza de compresión, se puede exigir que se verifique simplemente

P 6 G ndni (8.9-1)

en donde u,,.,, es la tensión adniisible a compresión, que depende de la esbeltez l.. Ahora' bien, para no tener que establecer tablas especiales de los valores de a,,,,, para diferentes hipótesis de carga, para facilitar el cálculo numérico y, finalmente, para poder establecer fórmulas aproximadas sencillas para el cálculo de barras rectas sometidis a compresión axial. se escribe I;i condición (8.9-1) en la for::i?


Tabla 8.3. Coeficientes w para aceros A 33 y A 37

506 RESISTENCIA D E MATERIALES I Tabla 8.4. Coeficientes w para aceros A 42

FLEXlON LATERAL. P A N D E O 507

Tabla 85. Coeficientes w para aceros A 52

508 RESISTENCIA DE \ { .A7 E R I A I - E S

en dondc nA,,, es I;i tcnsi;)n de conipresión ;idmisiblc dcl material e ~ ~ i p l c a d o que coincide con la tensibn critica de uria Liarr~i de esbeltez riul;~, y

el coe>1;cietrre rlr pci~lrlro. Los coeiicienres de pandeo dependen del tipo de material y del grado de esbeltez de la

barra. Eri las Tablas S.3, S.4 y 3.5 figuran los vrilores de los coeficientes u, de pandco para los aceros de los tipos A 33 o A 37, A 42 y A 57, respectivamente.

Se observa que la esbeltez menor que figura en las tablas de los coeficientes o es 20. La causa de es10 es que, según las diversas nornias, para barras con esbelteces menores a 20 no hay que hacer la comprobacibn al pandeo. En estos casos se tomará w = 1. La esbeltez mayor que figura en las tablas es de 250 ya que las normas no permiten utilizar columnas de esbeltez mayor de este valor.

Con estas tablas podemos resolver el problema directo de calcular la carga admisible de pandeo dada la sección de la pieza comprimida, o bien el problema inverso de dada la carga que va a comprimir la pieza. calcular la seccion minima necesaria para soportarla.

de donde:

El problema se resuelve como si se tratara de una compresión simple considerando no la carga real sino una carga ficticia igual a wP.

8.10, Flexión compuesta en vigas esbeltas ?3

Consideremos ahora una viga esbelta que además de la fuerza P de compresión que actúa sobre ella, está sometida a cargas tran:versales, es decir, la viga trabaja a ílexión compuesta (Fig. 8.16).

\

Figura 8.16. --.:

FLEXION LA1.EKAL. PANDEO 509

La ecuación diferencial de Iri eliistica sera:

EI,yU = - Py + M,,

en donde .W,, es el rnorncnto flector debido a las cnrzas transversales. Como :Lf,, es independiente de P y de .v, depeiidiendo exclusivamc.rite de .u, la ecuación

diferencial (8.10-1) se puede poner en la forma

Jf,, "" + k ? = --- ' El,

P siendo k2 = -.

EI. .

La solución integral de esta ecuación diferencial es:

y = A sen kx + B cos k.x + y* (8.10-3)

siendo jl* una solución particular de la ecuación diferencial (8.10-2). Ya se comprende la dificultad que existirá cuando el momento nector M,, debido a las

cargas transversales venga dado por diferentes leyes en los diversos tramos de la viga. par^

subsanar esta dificultad existen métodos aproximados, entre los cuales quizás el mi,, utilizado sea el que consiste en suponer que la deformada de la visa sea una sinusoide

así como también la deformada de la viga sometida exclusivamente a las cargas transversales

En este supuesto, la ecuación (8.10-l), se puede expresar de la forma siguiente:

Si susti!uimos en esta ecuación diferencial las soluciones (8.10-4) y (8.10-5) supuestas, se tiene

n2EII Si suponemos los extremos articulados, la carga critica de pandeo es P,, = -- l2 Re

la ecuación anterior se deduce:


de donde:

Finalmente, si se admite que los momentos ílectores son proporcionales a las flechas, se puede poner

8.11. Pandeo de columnas con empotramientos elásticos en los extremos sin desplazamiento transversal

La teoría de ílexion lateral expuesta hasta aquí para barras rectas puede ser aplicada a estructuras aporticadas compuestas de piezas de línea media rectilinea, ya que cualquier soporte de la estructura se puede considerar aislada sometida a unos momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales en sus extremos, que no son sino la acción que sobre esa pieza ejerce el resto de la estructura. Nos referimos a los soportes y no a los dinteles porque no es frecuente encontrarnos con piezas horizontales sometidas a fuertes cargas de compresión, aunque el razonamiento que vamos a seguir es válido tanto para unos como para otros.

Supondremos que sobre la barra A B (Fig. 8.17) no actúa mas solicitación que la formada por la fuerza de compresión P. unos momentos M, y M, en los extremos, asi como los esfuerzos cortantes que equilibran a éstos.

Figura 8.17.

f

FLESlON LATERAL. PANDEO 51 1

Se trata. pues, de una barra con sus extremos cmpotrridos clisticamente sin desplazamiento transversal.

Tomando la referencia indicada en la Figura 8.17, la ley de momentos flectores en la barra es

por lo que la ecuación de 13 elistica será:

P Dividiendo por El: y haciendo k 2 = -. El, se tiene

ecuación diferencial cuya solución cs

y = A scn k.r + B cos k s + P

siendo A y B constantes de integración que determinaremos imponiendo las condiciones de contorno

. y = ¡ ; y = o M, O = A sen kl + B cos kl + - P

de donde:

M M , ní, I B = -2 , . A = - P P sen kl P sen kl

Sustituyendo cn (8.1 1-4) las expresiones de A y U obtcriidas. sc tienc

sen k x - cos k.r + 1 -

Se pueden obtener los i n ~ u l o s U , y O,, en I;i> szccic,ries extremas de I:i pieza considerada dcribrindo la expresión (8.1 1-61 y particulariz:iiido I;i ecuación resultante para .r = n y

= 1, respectivarneiire.

cos k.r\ k.\- + X jeii r(-.r -

20s ~ - 1 cos k.r + sen X-I srn k.r %( cos X-.Y X( - + -- 1 - k / - - - PI =-i serl kI 1 , sen kl ) -

. L l , k / cos k ( / - r) cos k.r

. - . - - - - = 1'1 [ se,,,/

Haciendo:

El. 1 - k l cotg kl 1;1 cosec k l - 1 K = -: ; m , = ( k l ) 2 ; Oi = ( k l ) . (8.1 1-10) 1

en las ecuaciones (8.1 1-8) y (8.1 1-9), ss tiene:

Las expresiones (8.1 1-1 1) y (8.1 1-12) permiten despejar los monientos h.I, y MB en función de los ángiilos O , y 9,

c, decir:

Si ahurii hacemos

las expresiones (S. 1 1-13) y (8.1 1-14) toman la forma

El- M , = -- 1 ( z lO , + a,O,)

y si expresamos los ángulos girados en [unción de las constantes de empotramiento e13s- tico. según (7.1 - 1 ) cenemos:

O El- o , = k ,M, - M - A = --( A - ~ I O A + z 2 0 ~ ) (8.11-18) k ,4 1

O El- 0 , = k B M , => M , = -!? k , = - 1 (a,O, + a,O,) (8.1 1-19)

En la barra se tendrán que verificar simultáneamente estas dos últimas expresiones que constituyen un sistema de ecuaciones homogéneo.

Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial se habrá de verificar 1s ' condición de compatibilidad, que se traduce en la anuiacibn del determinante de lo.:

coeficientes


Teniendo en cuenta las expresiones (8.-;1-15). se llega a

en la que los valores de 4, y 4, vienen dados por (8.1 1-10) y que nos permite calcular el menor valor de kl que corresponde a la carga critica.

8.12. Estabilidad de anillos sometidos a presión exterior unifornie

Cuando aplicamos a un anillo una presión exterior p. es decir, lo sometemos a una compresión radial y vamos aumentando el valor de p observamos que para un determinado valor de p la forma circular se hace inestable.

Nos proponemos hacer un anilisis de este fenómeno y obtener una expresión que nos permita calcular el valor crítico de la compresión radial p, que supondremos uniforme.

Para ello consideramos una porción elemental del anillo de longitud dr (Fig. 8.18-6). Llamaremos R al radio inicial del anillo y p al radio de curvatura del elemento considerado.

(4 Figura 8.18.

Sobre este elemento actúan los esfccrzbs normales, cortantes y momentos flectores indicados en la Figura 8.18-6, habiendo considerado el esfuerzo normal compuesto de dos términos: N,, que es el esfuerzo normal antes de que el anillo pierda la estabilidad, N. ei esfuerzo normal debido a la fiexión del aiiiiio.

La condición de equilibrio de medio anillo antes de la deformaci6n (Fig. 8.18-c) nos permite obtener la expresión de No . .<

Por otra parte, la condicitn de equilibrio del elemento del anillo deformado nos perliii!e obtener, proyectando sobre un eje radial, la siguiente ecuación:

de de de p h + dTcos - - (NO + N ) sen - - (No + N + d N ) sen - = O (8.12-2) 2 2 2


Por ser el ángulo dO un infinitésirno podemos considerar el coseno igual a la unidad y el serio igual al iingulo.

Dcsprcciiiiidu irifinitcsinios dc ordcn supcrior, esta cc~i;iciori sc rcducc a:

pcls + dT - (N, + N)clU = O

o bien

Dividiendo por R ds y tcnicndo en cuenta (8.12-1). se tiene:

(S. 12-4)

1 R Si llamamos = - - - la variacibn dc la curvatura que experimenta el anillo,

P R supuesto que el valor de p difiere poco del valor de R(p 2 R). la ecuación (8.12-4) toma la forma:

Obtenemos otras ecuaciorics de equilibrio proyectando sobre la tangente al elemenio:

no do 2T sen - + d1V cos - = O

2 2

y tomando momentos:

Eliminando T y N entre las tres ecuaciones (8.12-5). (8.12-6) y (5.12-7). derivando la dN diLI

primera y sustituyendo -- y despejadas dc las otras dos, sc frene (1.7 dr

(S. 12-9)

siendo C una consranrs. Ahora bien, tri iin;i pieza cori fuerte curvatur:i inicial el niomerito flector ,2/ esti

reliicionado con la variación de curvatura mediante la ecuiicihn

de la que se deduce

Estas dos ecuaciones nos perniiten eliminar en (8.1 2-9) el riiomento .M, obteniendo una ecuación exclusivamenre en

o bien

CR R 1 d2% - + kZy = -, siendo k 2 = + - <lsz El El R'

La soliición integral de esta ecuación diferencial es:

C R = A sen ks + B cos ks + -- (8.12-14)

k Z E l (3

Ahora bien, esta soliición en la que la variable S es el arco de circunferencia, línea media del anillo, tiene que ser periódica, es decir, tiene que verificar:

siendo n un número entero. La carga critica se obteridri elirniriando 111 variablc aiixili:ir k entre esta relación Y la

(8.1-13) i


de donde:

'

P:~ra un anillo libre de ligaduras fijas la carga critica vendri dada por el riienor viilor de est3. ecua~ión. es decir, para n = 2

El :inillo se dsforrna adoptando una configuración como la indicada en la Figura 8.19.

Figura 8.19.

EJERCICIOS

VI1I.I. Calcular la carga de un soporte sometiio a compresi6n. formado por dos perfiles UPN 160 soldados por sus alas, de longitud 1 = 8 m y cuyos extremos estin articulados. El rnbdulo de elasticidad es E = 2 x lo6 kp/cm2.

Cc la t:ibla de perliles laminados (véase Apéndice 2) se obtienen los siguicniss datos para un perfil U P N 160

Par:i los dos perfiles soldados por sus alas tendremos:

= 2 x 925 = 1850 cm4

1, = 2(85.3 + 24 x 4.66') = 1213 cm4

R = 2 x 24 = 45 cm'

1- *cm 4 Figura VIlI.1.

Al momento de inercia mínimo, que es I,, le corresponde un radio de giro

Como los extremos están articulados. la longitud d e pandeo es

I , = I = S m

Por tanto. la esbeltez es:

Por ser I. > 105 calcularemos la carga crítica pedida por aplicación de la fórmula dc Euler

VIII.2. Calcular la carga critica de un sopor:e formádo por dos perfiles de U, camo el icdicado en la Figura VIII.2-u. q u ~ d i e n e una longitud 1 = 5 m y esta articulado en ambos extremos La tensión admisible es o,,, = 120 M P a y el mbdulo de elasticidad E = 2 x 10' RIPa.

1 Figura VIILZ-a.

F L E X I O N LATERAL. P A N D E O 519 @

Para determinar las posibilidades de resistencia de una pieza a flexion lateral es necesario y conocer el plano de pandeo que, segun se sabe está relacionado con el eje que pasa por el centro de gravedad respecto del cual el momento de inercia de la seccion es minimo. a Situaremos los perfiles de tal forma que la tenclcncia a f l e ~ a r cn los planos definidos por 5

los ejes principales de inercia sca la misma. es decir. tcndran que ser iguales los morncnros - principales de inercia 1: e 1,. e'

e

( 1 Cotas en cm C"

Figura VIII.2. (h) S

I- = 4 - - - = 492 cm' - ( :) Pero por otra parte, llamando s a la distancia entre el eje y 5 la cara exterior del perfil,

b

aplicando el teorema de Síeiner, se tiene: r

Desarrollando y simplificando se tiene:

ecuación de segundo grado, c u y ~ s soluciones son:

Existen. por tanto. dos soluciones de idintica resistencia a la flexión Iatcral. represcnta- das en las Figuras VIII.2-b y c. C5

Las caracrsrísticas geonllrricas y meciriicas son:

Is, = 3-56 cm : 1, = I2 = 197 cm'

Por r\i&ir el soporie ariiculiido cn sus eniremos. la Ion-iiud de pandco coincide con 13

loneirud rral:

l p = I = 5 n 1

Corno la esbeltez mscinicd

es riplicsbls 1ii forniula de Eulcr. Por tanto. 13 carga c r i i i c ~ del S O P O ~ I S es

V111.3. Determinar la fuerza crítica de una barra sonielida a compresión, forniada por dos partes de igual longitud, teniendo una de ellas doble rigidez a la íiexión que Ir otra, y estando ariiculada en ambos extremos.

Figura 1'111.3.

Las ecuaciones de In elásiica son:

1 El!,',' + Py, = O O < .y < -

2

F L E X I O N LATERAL. P . I N D E O 521

cuyas ecuaciones iniegr;iles son: "-

ir, = C , sen k ,,/& + C 2 cos k&.r

= C, ser) k.v + C2 co, k.r

Condiciories de coniorno:

1 !>Al) = 0 C, sen x. / + C, cos ICI = O

1 1 1 (;) = y;(;) = c; f i cos kJ' = C, cos k - - C, sen k - - - - 2 I

Sisie~nri horiioglneo que para que tenga soluciOn distinta de la trivial C, = C, = C, = O, se tiene que verilicar:

, O sen kl cos kl

Poniendo:

k l k l k l kl sen k l = 2 sen - cos - ; cos kl = cos2 - - sen' -

2 2 2

1 k l k l sen k f i -sen - -cos - - 2 2

k f i l k l kl f i cos 7 -tos - srn -

y simplificando, 53 obtiene la ccuacihn

= o

k l k f i l f i t g - = -tg-

2 2

Haciendo .

kl - - 2 - O = J 2 t g O = - tg&o

- 2 -

P Haciendo - = k' queda:

2 E l


de donde

La carga critica será

VIII.4. Calcular el valor critico de la carga vertical P aplicada en la seccibn media de una barra esbelta de longitud I y sección constante, que se encuentra en posici0n vertical unida en sus. extremos a dos articulaciones f i jas

Sobre la barra deformada actuan las fuerzas indicadas en la Figura V111.4. Las ecuaciones de equilibrio son:

-y 1 Figura V111.4.

El qlt-. la fuerza P estS aplicada en la seccibn media C implica que el acor tami~~i l* longitudinal del t ramo AC es igual al alargamiento del t ramo BC, por lo quc las rcacciones verticales VA y V, serán iguales.


De este sistema se deduce:

siendo d el valor arbitrario del desplazamiento lateral de la seccion C en la posicion critica. ya que planteamos el equilibrio indiferente.

Los momentos flectores son:

Con estas expresiones podemos obtener las ecuaciones diferenciales de la elástica

d P l; - k z y l = -ZZ - 1 .r, siendo k2 = - 2EI

d y, = C sen k x + D cos k.r - 2 - x + 2d 1

Determinemos las constantes de integracion imponiendo las condiciones de contorno

x = o ; y , = o - B = O

1 k l . = - 2 ; y , = d e. , 4 5 1 1 - + d = d 2 A = O

= / ; y , = O C sen Xl + B cos k1 = O

1..i ; I I I ~ I ~ ~ C I O I ~ dc 133 corl>t;inics A y B nos indicaii que el tramo BC es rectilinco, rr>iilt.i<lo ;il que sc podría Ilcglir irit~~itiv;im~nie. Obtencinos rl si~icma de ecuacioncs

k 1 X-1 I<I 1 CX- coi - D i sen - - - = O Z 1

( C ssn k l + D cos k l = O

LJ condicion para que esie sistema tenga solución distinta de la trivial es que se anule c.1 drterminliritr de los coelicientes de C. D y J

k l I 1 o 1 1 sen - COI 7 - -

' sen kl cos kl O I

Des;irrullindolo par los elementos de la ultima columna, se tiene:

kl El menor valor de que verifica esta ecuación es n. -

kl --

In' = n k Z = - = P ! L

Z 1' 2EI

de donde:

8n2EI P,, = -

V111.5. Un soporte AB de longitud I = 10 m y sección constante está articulado en su extremo inferior A y con un arriostramiento en su punto medio C que impide los desplazamientos horizontales de esa sección. Se sort~ete el soporte a un esfuerzo de conipresión mediante la aplicación en su esiremo superior B de una carga P. Sr pide:

1." Calcular la carga critica de pandeo. 2." Si P = 7 ton deterniiiiar el valor critico del momento de inercia minimo del soporte.

El valor del m6dulo de elasticidad es E = 2 x 10' hlPa.

1." De las condiciones de equilibrio en la posición de equilibrio indilerente (Fig. VIII.5)

Figura VI11.5. 1

se deducen los valores de las reacciones en las ligaduras A y C

V , = P ; R , = R - qr

C - -7

Las leyes de momentos flectores en el soporte someiido a carea son:

por lo que las ecuaciones de la elástica serán:

P ); + k'y, = k2f siendo k2 = - El

y, = A sen kx + B cos k.r + f

2P/ 1 EIyY = Pf - Py2 - -.r + Pf ; - < .Y < 1

1 2

2kzf y;' + k'y, = 2k2f - -.y 1

2f y , = C sen k.r + D cos k.r + 2f - - 1 .r


Determinación de las constantes de integracion

x = O ; y , = / =- f = B + f B = O

1 kl .r = ; y, = O 3 A s e n - + / = O 2

1 kl kl x = ~ ; y 2 = 0 = C s e n - + D c o s - + 2f - / = O

2 2

1 k l kl kl 2/ .r = ; J', = y; * Ak cos - = Ck cos - - Dk sen - - -

2 2 2 1

.y = 1 ; y, = O =- C sen k l + D cos k l + 2f - 2f = O

Estas condiciones de contorno constituyen un sistema homogkneo de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: A, C, D y j: La condición para que este sistema tenga solución distinta de la trivial, que no interesa. es que el determinante de los coeficientes sea igual a cero

O sen k l cos k l O

k l

Desarrollándolo por los elementos de la primera fila, se tiene:

3- o o 1

o k l kl sen - cos - 1

2 2 kl k l k l 2

k c o s - - k c o s - k s e n - 2 2 2 7

= o

' sen k l cos k l , 0 '

k l kl

Simplificando:

k l sen -

2

k l k l (se. k l cos 2 - cos k l sen cos kI + son

. 1 2

2 k l k l k l - sen - - 2k cos - = 0 = tg - = lk 1 2 2 2

sen - cos - i 2 2

kl k l 2 - k c o s - k s e n - -

2 2 1

F L E X I O N LATERAL. P A N D E O 527

kl 1 1 sen o s 1 = o + k cos -

sen kl cos k l

-- Haciendo kl = O, tenemos la ecuación transcendente

cuya solución menor no nula es O = kl = 2.331. Por tanto, la carga critica pedida para 1 = 10 m sera

que viene dada en newtons cuando E se expresa en pascales e I en m'. - 2." Si P,, = 7 ton, el momento de inercia mínimo del soporte será:

VII1.6. Hallar la carga critica de pandeo de un puntal de longitud 1, de sección variable, constituido por u n tramo de longitud 112 de secci6n cuadrada de lado a y otro de la misma longitud y - sección cuadrada de lado 012. Ambos tramos, unidos rígidamente entre sf. admiten los mismos planos de sitnetria. El puntal esta empotrarlo en el extremo de mayor sección y soporta una carga axial en el de seccibn menor. El niódulo de elasticidad es E.

- Al ser distintas las rigidcces en los tramos OA y A B existirán dos cxpresiones analiticas de la ecuacion de la elástica

1 El,)",' = P ( / - y , ) ; 0 ,< x ,< -

2

P y',' + k i y , = k:/. siendo k : = - El1

1 El2,'; = P(/ - y,) ; - 2 ,< x < 1

P y; + kiy2 = k:J siendo k: = -

El*

1 P Figura VIll.6-a.

525 RESISTEYCIA DE ~IATERIALES I L35 ecuiic~ones integrrilcs de estas ecuiiciones difercriciales son:

.vi = A sen k,.r + B cos kl.r + f 1': = ( ' W I I k'r + B cos k,r + f

Determinernos las constantes de inierración imponiendo Iris coridiciones de contorno:

1 k 1 k,l k, l .Y = : y; = 6 j k , sen 2 = Ck, cos 2 - Dk, sen - - - 2

.Y = 1 ; = / - f = C sen k,l + B cos k,l + /

La condición para que este sistema homo~Ciieo de tres ecuaciones con las incógnitas C. B. /tenga solución distinta de la trivial es

k,l -k, sen - - A - , sen - 2 2

1 sen k , l cos k21 O l

Desiirrollando por los elementos d s I;i Ultima colunina se tienc:

Simplilicando:

k 1 k,l k , l k,l k , cos 2 cos 2 - k, sen - sen - = O

2 2 2 2


la ecuación anterior torna la forma

k , l k , l tg- tg 4 -- = 4

2 2

k , l o bien haciendo O = - -

Figura

ecuación trascendente. cuya solución es O = 0.368 rad

de donde:

A hora bien, como

de donde se obtiene la carga l e pandeo pedida

V111.7. Un soporte de longitud 1 = 3 m, que tiene articulados sus extremos, tiene forma tubular de diimctro exterior 2R = 80 mm y diimetro interior 2r = 64 mm. El soporte esta sometido a u11 esfuerzo de compresión niediante una fuerza P paralela al eje pero excéntrica. Calcular la excentricidad maxima para una carga de pandeo igual a 0.75 del valor de la carga critica de Euler. La tensión de fluencia es o, = 320 hlPa y el ni6dulo de elasticidad E = 2.1 x 105 MPa.


El momento de inercia de la sección tubular respecto de un eje diametral es:

Por tener articulados los extremos, la carga critica de Euler para carga centrada es:

La carga excéntrica aplicada, segun el enunciado, es:

P = 0.75P,, = 205016 N

Figura VIII.7. Ip

Veamos cuál es la ecuación de la defrrmada del soporte para, a partir de ella, obtener la expresión del momento flector máximo que se presenta en la sección media del sopurtc.

Respecto de los ejes indicados en la Figura VIII.7. la ecuación diferencial de la el& t i a es:

siendo

FLESION LATERAL. PANDEO 531

La solución iciteprnl es:

J. = A sen k.r + 8 cos k.r L / + e

cuyas constantes de integración obtendremos aplicando las condiciones de cocitorno

y = -(/ + e) cos k.7 + / + e = (/ + e)(l - cos k.r)

Esta ecuación nos permite obtenerfen función de e

y expresar así el momento flector máximo en furicióri de e

Pe M,,, = P(e + f) = ---

k l COS -

2


205 O 16e lv,,, = 9.069 x 10- ' x 300 = 9815 e m . N

cos 2

estando expresada la excentricidad e en metros. De la expresión de la tensión máxima

se obtiene:

V111.8. Sobre el soporte biempotrado representado en la Figura \'lII.R actúa una fuerza de compre- sión P. Si la longitud del soporte es I = 150 m y el material es fundición determinar el valor critico de la carga P.

en cni Figura V111.8.

Las cariicteristiclis de la seccion recta son:

1 I 129 nionierito de inerci~i: Ir = - I x 5' + 2 - 2 x 1 ' = -- cm' = 10.75 cm"

12 I 2 12

área: R = 5' - 4 x 4 = 9 cm'

Con estos datos obtenemos el valor del radio de giro

Al estar los extremos empotrados, la longitud de pandeo es

Como la esbeltez del soporte

es menor del valor Iiniite para una pieza de fundición, según la Tabla 5.2. calcularemos la tensión critica aplicando la fórmula empirica de Tetmajer

o,, = 7760 - 130.1. + 0.541.2 = 7760 - 120 x 68.68 + 0.54 x 68.68' = 2065.54 kp/cm2

Por tanto, la carga critica pedida será


VIII.'l. Una barra cuya aren R de la sección recta es constante se calienta. de 131 riianera que un extremo esta a doble temperatura que el otro, sierido lineal la variación de temperatura a 10 largo de la longitud 1 de ella. ti1 e\treiiio superior cst5 unido a unn articulición fija mientras que el inferior esti articulado. pero no esti impedido el desplazanliento de la articulacióli en la direcrcioii de la barra. Se coloca un resorte de constante de rigidez k, conio se indica en la '¡gura V111.9-u, para contrarrestar la dilatación termica. El resorte no está sometido a nirigúci esfuerzo para la temperitura i = O. Se pide:

l." Calcular el esfuerzo normal en la barra cuando se calien~a, conociendo el valor del coeficiente de dilatación lineal a del niaterial de la barra.

2." Si la rigidez a la flexión es El, determinar la temperatura I, para la cual paridea la barra.

Figura VI11.9.

l." Si la teniperatura en un extremo es t y en el otro 21, la dilatación que experimentaría la barra, si no existiera el resorte. seria:

Ahcra bien, si N es el esfuerzo que el resorte ejerce sobre la barra, éste provúca un acortamiento sobre la misma. de valor

Por tanto, igualaremos el alargamiento real de la barra al acortamiento Ai del N

resorte Al = -


de donde:

2 . O Por tener ambos extremos articulados la barra pandeará cuando


VIII.10. Las barras A B y BC de la Figura VI1l.lO-a tienen la misma longitud y estan situadas en un plano vertical. La barra A B esta empotrada en B y la barra B C es biarticulada. Calcular las citadas barras. sabiendo que AB es un periil IPN y BC esta formado por dos angulares en L de lados desiguales.

Figura VIII.10.

Por la disposición de la figura, la fueza horma1 que actúa en las barras A B y BC es precisamente N = P.

Calculo de lo barra AB

La longitud de esta barra es:

h ¡=-- - 8 m

cos 60"

pero la longitud que nos interesa para el cálculo es la de pandeo, que por tratarse de una barra empotrado-articulada es:

FLEXJON LATERAL. P A N D E O 535

Procederemos por tanteo: consideremos un IPN 200

R = 33.5 cm'

I,,,, = 1.87 cm

Se excluye este pcrfil por darnos una esbeltez superior a 250. Ensayamos el IPN 300

de donde:

o = 555 kp/cm2 < o,,,

luego es válido este perfil

(Compruebe el lector si existe otro perfil más pequeño comprendido entre este y el IPN 200 ensayado anteriormente, que sea asimismo válido.)

Cálculo de la barra BC

Se pueden considerar dos disposiciones 1 L o 7 r. Para la disposición primera y considerando el angular de mayores dimensiones que se

fabrica 75 x 150, teniendo en cuenta que en este caso la longitud de pandeo es

el valor de la esbeltez seria

, Al ser la esbeltez de valor srtperior a 250, coz la disposición adoptada no tiene solución el proLlema.

Para la disposición segunda y para el mismo perlil de dimensiones máxima

R = 43.2 cm2 i,,, = 2.10 cm

la esbeltez seria

es decir, tampoco tiene solución con esta disposición, por lo que habri que recurrir a otro tipo de perfil más robusto.

1 1 . 1.3 Figura VI1I.I 1-d rel~resenta uii soporte de longitud 1 = 1 m. sornetido a uria carga P = 10000 kp zii su e\rrenio hiiperiur (que es19 libre parli dc5plazsrse trinsversaimeriie) v eiripotrado eii sil extremo inferior. Se quiere dimensionar con una sección anular de di6nietro r\terior D = ?O cm. Se pide:

l." Espe~or iiiininio e de la wcción para que no exista riesgo de pandeo. (;\cero A 42; u,,, = 1500 Ll>/crii'; E = 2 x 10' kp/cni2).

7 0 . .-\cortarriiento total del soporte en estas condiciones.

Figuri VI1I.I 1-0.

1." Aplicando el mitodo de los coeficientes o, se iirne que verilicar

es decir

Procederemos por ianreo - Para e = 2 cm

El soporte tiene una longitud de pandeo

1, = 2 1 = 8 m = 800cm

por lo que la esbeltez es

correspoiidiendole un coeficiente o. o = 2.86, según la Tabla 8.4 para aceros A 42.

8

F L E X I O N LATERAL. P A N D E O 537

Como

20 000 x 2.86 = 505.79 kplcm' < o,,,

1 13.09

vemos que podemos disminuir el e s p s o r notablemente. - Para r = I cm

0 = ~ ( 1 0 ' - 9') cm' = j9.69 cm'

410' - 9') 1: =

4 cm' = 2700 cm'

Como

podemos seguir disminuyendo cl espesor. - par;^ L. = 0.6 cm

R = n(102 - 9.4') cm' = 36.56 cm'

n(104 - 9.4') I: = cm' = 1722 cm'

4

800 A = - = 116.56 U = 2.53

6.86

20000 x 2.53 = 1384 kp/cm2 < a,,, 36.56

- Para r = 0.5 cni

R = n(102 - 9.5') cm2 = 30.63 cm'

n(104 - 9.5') I, =

4 cm4 = 1456.86 cm4


Como

20 000 x 2.53 = 1651 > u,,,

30.63

este espesor no es válido. Por consiguiente, el menor valor d e e pedido es

2." El desplazamiento vertical de una sección recta situada a distancia x de la base (Fig. VII1.11-b) viene d a d o por la expresión

Figura VilI.11-b.

El acortamiento total del soporte será el desplezamiento de la base siiperior del soporte. Por tanto:

V111.12. Un soporte de acero A 37, cuya sección recta viene representada en la Figura VIII.12-a, se encuentra articulado-empotrado según el plano xz y biempotrado segbn el xy, tal como indica la Figura VIII.12-b. Se pide:

l." Calcular el valor de b para el cual la estabilidad según los planos xy y xz es la misma. - 2." Para el valor de b hallado, deteminar la longitud maxima del soporte sabiendo que ,

la carga de compresión es P = 365 ton. 3." Manteniendo la condición de igualdad de estabilidad, rato,,-r si el valor de b debe '

aumentar o disminuir cuando la rótula cilíndrica se sustituye por una esfera.

La tensión admisible del acero A 37 es o,,, = 1000 kp/cm2.

-

FLEXIOK LATERAL. P A N D E O 539

Figura VII1.12.

l." En el plano .r: el soporte es articulado-empotrado. por lo que la longitud de pandeo para que el soporte flexe en ese plano es

La esbeltez correspondiente será:

1;: lx; = -. riendo i, = /;

5

De las tablas de perfiles laminados se obtienen los datos de los perliles I P N 120 y - UPN 300

est.ando expresada la distancia d e n cm. Como R = 2(ZiupN + n,,,) = 2(58.8 + 14.2) cm2 = 146 cm2 la esbeltez es:

-

En el plano xy el soporte es bicmpotrado, por lo que la longitud dc pandco es: -.

1;. = 0.51

= 2 x 328 I[ l95 + 58.3(2 7 + 6 ) ' ] cm' = 10547.14 cm

Para que la estabilidad en los planos ,ry y .r: sea la misma, se tiene que verificar la igualdad de las esbelteces. Por tanto, igualando i." a A'':

de donde se obtiene

2.' Considerando la carga P como la carga de pandeo admisible, al soporte le corresponder i un coeficiente w que tendrá que verificar

Para la longitud maxima del soporte, de esta ecuación se deduce

En la Tabla 9.3 a w = 4 le corresponde una esbeltez 1 = 157. Por tanto, igualandc a 157 una de las expresiones de las esbelteces obtenidas anteriormente. se tiene:

de donde:

FLEXION LXíERAL. PANDEO 541

3." Si la rótula cilindrica se sustituye por una &!..la eslerica. la sustentación del soporte en el plano . r ~ pasa a ser del tipo articulado-empotrado por 10 que la esbeltez i"' aumsrita un 40 por 100 (pasa de 0.51 a 0.71).

Para que sisa cumpliendosr la igualdad de estabilidad sn arnbos pldnos, es decir. la igualdad de las esbelteces correspondientes, la esbeltez en el plano .r: debe aunien- lar, lo que se conseguiria disr~iúiuyenclo la <lirraticia b.

\'111.13. l:n pilar de una instalación industrial de 9.80 m de altura está empotrado en su base inferior. y la disposición constructiva de la estructura hace que el eytremo superior pueda moverbe libremente en la dirección de un eje, pero no puede hacerlo en la dirección perpendicular (el giro no está impedido en ninguna dirección). El pilar deberá soportar una carga en punta de 145 k N y estará constituido por 2 UPN de acero A 42. Se pide:

l ." Calcular los perfiles U P N a emplear para la construcción del pilar. 2." Dibujar un croquis acotado de la sección del pilar. 3." Hallar el coeficiente de seguridad.

Los datos del acero A 42 son:

E = 2 x 10' MPa; a,,, = 170 MPa; a, = 260 hIPa

l." Supongamos la disposición indicada en la Figura VII1.13-a y que el extremo superior del pi1:ir puede moverse libremente en la dirección del eje :. pero no puede hacerlo cn

la dirección del eje y.

Figura VIILI3-a.

Según lo indicado en el enunciado, las longitudes de pandeo son:

Aplicaremos el mitodo d e los coeficientes o determinando cl mayor coeficiente w que verifique

oP < a,,, .R

para lo cual procederemos por túateo. <;.nsideremos dos perfiles U P N 100. En la tabla correspondiente de perfiles

laminados U P N se tiene:


por lo que la esbelleq si el pilar ílexa en el plano .ry, es

a la que corresponde un coeficiente w = 5.39. La tensión normal en los pilares es

5.39 x 145 x loJ o =

27 x 10-4 Pa = 290 MPa > o,,,

Por tanto, al ser este perfil insuficiente. ensayaremos el inmediato superior, es decir. el UPN 120.

La esbeltez, en este caso, en el que

seria

a la que corresponde un coeficiente w = 3.96. Por tanto. la tensión en los perfiles que componen el pilar es

3.96 x 145 x lo3 6 =

34 x 1 0 -~ Pa = 169 MPa < a,,,

Los perfiles a emplear son. pues UPN 120 u 2." Estos perfiles sí son válidos. pero para asegurar que la estabilidad del pilar respecto a

los planos xy y xz sea la misma es necesario separar los dos perfiles una distancia d entre centros de gravtdad (Fig. VIII.13-a).

Esta estabilidad se asegura cuando el plano de pandeo es indeterminado, y esto ocurre cuando las esbelteces son iguales

de donde se obtiene

Por la definición de radio de giro y por el teorema de Steiner tenemos


Su~tituyendo valores:

d1 13.1' = 1 . 5 9 ~ + -

4

se obtiene

d = 26 cni

El croquis acotado de la seccion del pilar se indica en la Figura V111.13-h. en el que se ha tenido en cuenta el valor e = 1.60 cm obtenido de las tablas de perfiles laminados.

Figura VIII.13-b.

3." Para calcular el coeficiente de seguridad calcularemos la tensión critica aplicando la fórmula de Euler por ser la esbeltez mayor que l.,,, = 105

z 2 E n2 x 2 x 10' - o,, = -- - MPa = 87.73 MPa

l.l 150'

9 Como ia tensión real a que esti sometida este soporte es

el coeficiente de seguridad sera

V111.14. Calcular el soporte BC de la Fipra V111.14-a formado por dos perfiles UI'N soldados por los extrenios de sus alas. Lus perfiles son de acero A 37 de tensión adniisihle u,.,,,, = 1200 kp/cni2.

La fuerza norrii:il que aciiia sobre el soporte es igual y contraria a la reacción que corresponde a la viga horizontal AB, apoyada eri la articulacii>ri B. Esta rraccion la obtenemos pur superposici8n:

o ) dzbid;i a la c;irga unilorme de p = 1 ton/m actuando a lo largo de toda Is viga

R',, = &, = 5 ton

Aplicarido el segundo teorema de Moh:

se obtiene el momento M, en el empotramiento

rCf, = -6.15 m - ton

de donde:

ñ,, = 1.15 ton ; R',, = - 1.25 ton

GI b) debido n la carga P = 8 ton

RA, = 1.6 ton ; KL, = 6.4 ton

Aplicando el segundo teorenia de Mohr:

de donde:

M, = - 3.84 m . ion

R:, = 5 = 0.768 ton ; X,, = -0.768 'lon >

f


La reacción en B es, pues:

RB = + R'é = RUI + Rek + Gi + K;, = 5 - 1.25 + 6.4 - 0.768 = 9.382 ton

Este es el esfuerzo normal que actúa sobre el soporte BC, cuya longitud de pandeo, por tratarse de barra empotrado-articulada, es

Ensayemos el pefil más pequeño UPN 80. Las caracteristicas de los dos perfiles son:

R = 22 cm' ; i,,, = 3.10 cm

por lo que la esbeltez del soporte será


a la que corresponde un coeficiente w = 2.30

WN = o 0 =. 2.30 x 9 3 8 2 = a. 22

de donde:

o = 981 kp/cm2 < o,,,

El soporte BC considerado se construirá, pues, con dos perfiles U P N 8 0 soldados los extremos de sus alas formando una viga cajón.

V111.15. Un marco rectangular de nudos rigidos está formado por dos soportei verticales .4B y CD de longitud 2a unidos por dos dinteles AD y BC de longitud a, sustentado y cargado como indica la Figura V111.15-a. Sabiendo que las secciones de soportes y dinteles son iguales. calcular el valor critico de la carga P.

a

Figura VIII.15-a.

Supondremos que las barras del marco flexan en el plano d e la iigura (plano xy), por lo que el momento de inercia rninimo es I, .= 1.

Considerando la cuarta parte del rnatco (Fig. VIII.15-6) los esfuerzos cortantes en las secciones E y F son nulos, por razón de simetría. Por la misma razón es nulo el esfurrzo normal en la sección F.

La ley de momentos flectores en EB en la posici8n de equilibrio indiferente es:

La ecuación diferencial de la línea elástica es:

Efx" = -(ME + Px) ; O < y ,< a

o bien:

M, P A" + k'x = --, siendo kr = - El El

F L E X I O N LATERAL. P A N D E O 5.17

Se deduce la solucioc .iitegral

ltf , r = A sen k y + 6 cos ky - --

/ !ilEI

cuyas constantes de integración determinaremos imponiendo las condicioiies de contorno

Al IM ; . y = O O = B - 2 5 B = c

P P

y = O ; x ' = O =. O = r l k 3 A = O

1Lf .r = 2 (COS rC.2, - 1 ) O y < O P

Figura VIII.15-h. I Se puede expresar rii, en fu~ción de la flechafdel sopo;te y de la carga P igualando en

B los giros del soporte y del dintel, por tratarse de nudos rigidos. En el soporte:

seii ka

En el dintel, la ley de momentos es i\I = -M,. Tomando momentos respecto de E tenemos

M = nr, - Pf

Por el pr1rnr.r teorema de h4olir

ya que O F = I) Igualiindo ~ n i b a s expresiones de O,, se tiene:

Lf,k Pf - i\fE -- sen kri = --- Pf - M,

0 = k'a - P 7 E1 ZP

de donde:

k Pfa ,\f - ' E - Z se11 ku + ku

Por tanto. la deformada de E 5 es:

F L E S I O N LATERAL. P A N D E O 549

Finalmeriie. de I;i condición ,v = a ; .r = -/

kf i -J- = ----- (&S ka - 1)

2 sen PCI + ku

se obtiene:

2 tg ka + ka = O

ecuación trascendente, cuya menor solución de k (Fig. VlIl.15-c) nos determina la carga critica de pandeo

ka = 0.2888

Como

se obtiene:

Teoría de la torsión

9.1. Introducción

Ya vimos que al realizar un seccionamiento en un prisma mecanico y eliminada una de sus partes (por ejemplo, la parte de la derecha en la Figura 9.1). hemos de considerar en el centro de grabedaci de la sección, para que le parte aislada siga en equilibrio. una fuerza y un par equivalentes a la acción externa que se ejerce sobre la parte eliminada. Fuerza y par que no son otra cosa que la resultante y el momento resultante respecto del centro de gravedad de la sección, de las fuerzas que solicitan a dicha parte eliminada.

Descompuesta la resultante según los ejes del triedro trirrectángulo definido por la tangente a la línea media y las direcciones principales de inercia de la sección, obtencrnos una cornponente normal segun el primer eje (que origina e r el prisma un trabajo de r r ~ c c i ó n o can~presión) y otra componente en el plano de la sección (que origina el ícnómec:, de cor~adura). Ambos efectos ya han sido tratados.

Por otra parte, descompuesto el momento resultante en estas tres mismas direcciones da origen a tres componentes: la primera, tangente a la línea media, es llamada r~lo~nenlo forsor; las otras dos, en las direcciones de los ejes principales de inercia de la sección, son los nlornenlosf7ectores, que y a hemos estudiado.

TEORIA DE LA TORSION 551

Diremos que un prisma mecánico está sometido a rorsion sir?ipie cuando el momento en cualquier sección del mismo tiene solamente componente en la direccion del eje .Y. es decir, es nulo el momento flcctor además de anularse los esfuerzos normal y cortante. Si el momento torsor es constante diremos que el prisma mecánico está sonictido a torsiori pura.

Para la representación de momentos torsores emplearemos indistintamente flechas curvas, que indican el sentido de giro, en representaciones axonomktricas (Fig. 9.2-b), o una línea perpendicular al eje de la barra con dos círculos en representaciones planas. En uno de ellos se coloca un punto que indica la salida de la flecha curva hacia cl lector, y en el otro un aspa que significa que la flecha curva entra en el plano alejándose del lector (Fig. 9.2-c) n

Figura 9.2.

El convenio de signos que adoptaremos para el momento torsor es el indicado en la Figura 9.3, en la que se. ha representado una rebanada del prisma mecánico, es decir, la porción de barra comprendida entre dos secciones rectas indelinidamente próximas.

O O Figura 9.3.

En este c;tpítuio se hará un estudio de la distribución de tensiones y deformaciones que sc producen cn barras rectilincas d c scccibn recta circular sometidas a torsión, que tiene aplicación inmediata ai c5lculo de ejes de transniisión de potencia. Se expondrá la teoría de Saint-Venant para el estudio de la torsión en barras de sección recta no circular desde

el purito de vist;i de 1;i teoria de I:i Elasticidad, y se estudiarin, asiniisrno, las tensiones y dcí'ormaciones que el rnoincnto torsor produce en perliles de sección recta de pequeño cLpcsor, 1:11ito abier~os como cerrados.

9.2. TL'oI.~.! : !<.111enta1 de la torsióo en prisriias de seccióii circular

En la teoria elen1ent:il de la torsión se admite que en un prisnia mecánico sometido a torsiciii pura Iiis jrcsione, ia.;ras permanecen planas y Is deformacibn se reduce, para dos secciones intlrlllnidarnentc prbxinias distantas entre si dv, a una rotación de eje perpendi- c~iliir a las mismas y ingulo dd .

Con estas hipótesis de la teoria elemental se consiguen resultados exactos en barras prisrniiticas cuya sección recta sea un circulo o una corona circular.

Considersmoj. pues, iin prisma recto de sección circular constante sometido a un rnoniento torsor A!, conseguido aplicando pares iguales M, y -,\,f, a las secciones extremas, tal como se indica en la Figura 9.4.

Sean 2: y 2:' dos secciones rectas muy próximas distantes entre si d , ~ . Si es la porción de una fibra del prisma comprendida entre estas dos secciones, el punto A' pasará

- - después de la deformación a ocupar la posición A', , tal que /~'C'A', = d b y G'A' = G'A',, en virtud de la segunda hipótesis admitida.

El útrgitlo (Ic ~orsioti, 4, es el de giro relativo total de los extremos de la barra cilíndrica. El ángulo de torsión por unidad de longitud serael cociente U = rlg/tl.r.

Fácilmente se comprende que el giro relativo de una sección respecto de otra indefirj damrnte próxima es constante en el prisma considerado por lo que <i+b/d.u también lo es.

tlacieiido (l<P/<l.v = l/k, siendo k una constante, resulta:

en dondc C es una constante de integración. Este resultado indica que la distancia de cualquier punto del prisnia a un plano lijo arbitrario perpendicular al eje del mismo, es directamente proporcional al ángulo total girado en la deformrición. Como, por otra parte, en la deformación se conservan las distancias al ejc del prisnia, de ambas condiciones Se

deduce que la deformada de cualquier fibra del prisma es una hélice cilíndrica. Así, si BC (Fig. 9.4) es una generatriz (fibra periférica) de la barra considerada, después de la defor- mación producida por el moniento torsor, ésta pasará a ocupar la posición BC,, [al quz BC, es un arco de hélice. , b


Las hélices cilindricas, según sabemos, tiencn la propiedad de que las tangentes traza- d3s en cualquiera de sus puntos forman ángulo constante con el eje del cilindro al que pertenecen. Lliimarcmos átr~irlo ríe hélice de [or.y;ón, al desplazamiento angular de un elemento longitudinal, inicialmente recto en l a superficie de una barra cilindrica circular en eLtado tensional neutro. que se vuelve helicoidai después de la torsión. - -

Para deformaciones pequefías, el arco c?, se confunde con la cuerda CC,, y BC, se puede considerar como un segmento recto. Igualando el valor de CC, en los triángulos CG,C, y CBC,, se obtiene la expresión

que relaciona el ángulo de torsión con el helicoidal. Lo indicado hasta ahora se refiere al estudio cualitativo de la deformación. El estudio

cuantitativo entraña el conocimiento del estado tensional que se crea en el interior dei prisrna al aplicarle el momento M,.

En virtud de las hipótesis admitidas, la deformación consiste en un desplazamiento relativo de dos secciones próximas, por lo que las unicas tensiones que actuan sobre una sección recta son terisiones de cortadura, de dirección, para cada punto, perpendicular al segmento que le une con 21 centro del circulo.

Figura 95. (4 (b)

Consideremos el elemento de barra comprendida entre las secciones E y 1' (Fig. 9.5). El punto A' perteneciente a la sección E' pasa, después de la deformación, a la posición

A; . La fibra AA' ha sufrido una distorsión angular

AZ?~ r d 4 - Y = AA' = d.,.

Si C es el módulo de elasticidad transversal del material de la barra, la tensión cortante T será:

Al ser d~$/d*x de valor constante en toda la barra, resulta que la tensión cortante r e: una funcibn lineal de la distancia al centro de la sección por lo que el espectro tensional para los puntos de un radio G'D', es el representado en la Figura 9.5.


La tensión cortante mixima se presenta en los puntos periféricos de la barra y su valor será:

La distribución de tensiones en la sección del prisma engendra un sistema de fuerzas, de resultante nula, cuyo momento resultante es el momento torsor. Esto nos permite obtener la relación entre la tensión cortante T y el momento M,.

Figura 9.6.

En la superficie sombreada en la Figura 9.6 la distribución de fuerzas es circunferencial. Si dR es el área de esta superficie, el momento de las fuerzas sobre ellas es:

Considerando toda la superficie, el momento total es, en valor absoluto, igual al momento torsor. Por tanto:

siendo Io el momento de inercia polar de 12 sección circular respecto de su centro. E1 producto GIo recibe el nombre de rigidezia la torsión.

d4 Sustituyendo el valor de G - dado por esta expresión, en la fórmula (9.2-4) de la d~

tensión cortante, se obtiene:

ecuación que relaciona la tensión cortante con el momento torsor. El valor de la tensión cortante máxima es:

-

T E O R I A DE LA TORSION 55:

Si hacemos R = r,,, tratando de buscar una analogia con la teoria de la flexión, es_ expresión se puede poner en la forma:

Al segundo miembro, que depende exclusivamente de las características geométricas ( la sección, se le suele llamar módulo resistente a la torsión de la sección. Lo represeritar- mos por LV, y sus dimensiones son [LJ3 .

Al primer miembro le llamaremos n~ódirlo resistente a la rorsió~r en la sección y ésil

dependerá de las solicitaciones que engendran el momento torsor y de la tensión maxima cortadura que puede admitir el material. -

Deberá cunlplirse pues, que el modulo resistente a la torsión de la sección colocnda se.

igual o superior al módulo resistente existente en la sección considerada. Por otra parte, la expresión (9.2-7) nos permite calcular el ángulo de torsión 4:

Una vez realizado el estudio del estado tcnsional en el interior de la barra prismátic, de sección circular, se puede deducir la forma de rotura que se puede presentar en 1.

misma, si el material de qce está hecha no resistiese por igual a tracción y a compresi6 En efecto, según sabemos, las tensiones cortantes correspondientes a dos planos Fer

pendiculares entre si son iguales en valor absoluto. Por tanto, las tensiones tangenciales er las secciones transversal y longitudinal a lo largo del radio G'D' presentan un espectro t i

como se indica en la Figura 9.7.

Figura 9:l. Y Ahora bien, consideremos un elemento de superficie cilíndrica de la barra tors ionada

limitado por dos generatrices muy próximas y por dos secciones rectas también muy próximas entre si (Fig. 9.8-a). Por lo dicho anteriormente, sobre los lados de esta superfici elemental solamente actúan tensiones tangenciales.

El circulo de Mohr ccrrespondiente a este caso (Fig. 9.8-h) indica que las dos direcr ciones principales son las bisectrices de los ejes de la superficie elementa: considerada

- - 1 , 1, Cornp5rcsc con la , igualdad que se obtenía cn la flcxiitn -- = --.

3 . Y".,,

556 RESISTENCIA DE I I A T L ' R I A L E S

turbin;~ dc vapor / i a un generador rli.ctrico represer~ tad~ en la Figura 9.10. Otros casos muy corrientes que se presentan en prictica son los irboles que transmiten la potencia del moior de un aiitomóvil al eje de transmisión, o de] árbol que transmite el movimiento dc un iiiotor a uria rnliquina-lierramienta.

(Fig. 9.8-c). Las tensiones principiiles son una de tracción y otra de compresión. Si el material es nienos rssistrrite a la tr;tcc'iAri que a la conipresión y el momento torsor es lo suficientemerite graridr para que la tensión cortante mixiina supere el vzilor de la tensión de rotura a tracción, se producirán grieras norm:iles a I:i dirección de la tracción c,. Las grietas se rnanifes~arán, pues, segun h~liccs sobre la superficie de la barra torsiona- da, formando un ángulo de 45" con el eje de la misma.

Este fenómeno ocurriri tanibikn en los puntos interiores del prisnia. pero como los valores riiisinios de la tensión cortante se tienen en la siiperficie exterior del mismo, sera en esta superficie donde primero se manifiesten las grietas (Fig. 9.9).

L. Figura 9.10.

Si el giro del eje de la turbina de la Figura 9.10 es el indicado, este ejerce sobre el árbol uri rriorncnto torsor ,CI, que transniite el eje del generador, que a su vez. por el principio de iicción y reacción, ejerce sobre el extremo del árbol un momento torsor igual y opuesto -,M,. El árbol estar i sometido a torsión pura.

Nos interesa conocer, en el caso que un i rbol o eje esté sometido a torsión simple, la ley de momentos torsores que actuan eri rl eje. con t>i<rto dr. potler ~ ; i l i l i l t i : las dinrr.siones que este tiene que tener para que sea capaz de trarisniitir la potencia quc se Ir exija, sin riesgo de rotura ni siquiera que se produzcan deformaciones plásticas.

Para ello, consideremos un prisma mecánico de revolución, para que las secciones sean circulares aunque no necesariamente de sección constante, sometido a un sistema de pares cuyos momentos tengan la dirección de la línea media del prisma (Fig. 9.1 1-a). Tenemos de esta forma una pieza trabajando a torsión simple.

Figura 9.9.

9.3. Determinación de momentos torsores. Cálculo de ejes dc transmisión de potencia . j

M4 Figura 9.1 1.

Entre las aplicaciones prácticas de la ingeniería es muy frecuente encontrarnos con piezas sonietidas a torsión. Quizis la m i s usual sea la de los arboles de transmisión de potencia. conlo puede ser e[ caso del árbol o eje que transniite el niovirniento de rotación de una

Una sección recta Z divide al prisma en dos partes. ES evidente que el momento torsor sobre la sección Z como perteneciente a la parte de la izquierda es igual a la suma de los momentos de los pares que actúan sobre la parte de la derecha. Podemos, por tanto, obtener analíticamente el momento torsor M, a 10 largo de lodo el prisma en función de la distancia .r desde la sección recta al extremo de la izquierda

Esta función se puede representar gráficamente obteniendose el llamado diagratna de momenros rorsores (Fig. 9.1 1-b).

En el prisma indicado en la Figura 9.1 1-a las leyes de momentos torsores serán:

MT1 = - M , ; O < . r < o

M,, = -M , + M, ; a < . r < b

M,, = - M 1 + M, - M , = -,M, ; b < . Y < 1

Cuando se presenta la necesidad de diseñar un eje, suelen ser datos la potencia N que tiene que transmitir y el numero de revoluciones. Como sabemos, la potencia y el par aplicado al eje (momento torsor) cstán rc!3cien::dc: por la ecuación

siendo w la velocidad angular del eje. En esta ecuación, la potencia N viene dada en k p . m/seg cuando M, se expresa en k p - ni y w en radianes por segundo (rad/seg).

Como la potencia N suele venir dada en CV y la velocidad de rotación en revoluciones por minuto, la expresión (9.3-2) tomara la forma

de donde podemos despejar el momento torsor

60 x 75 M, = - 225 O0ON

N m - k p = --- c m . kp 2nn nn

Esta fórmula nos da, por tanto, el momento torsor Al, en función de la potencia N expresada en C V y la velocidad de rotación n expresada en revoluciones por minuto.

Por su notable importancia en la práctica, a modo de ejemplo, consideraremos algunos casos particulares de barras de sección circular constante o tubular sometidas a torsión cuando se utilizan como ejes de transmisión de potencia, obteniendo en cada caso el radio o radios correspondientes a partir del diagrama de momentos torsores.

Eje sometido a pares aislados (Fig. 9.12)

Si se trata de una barra cilíndrica sometida a pares aislados a lo largo de la longitud de la misma, el diagrama de momentos torsores seria el indicado en la Figura 9.1?. A partir del diagrama obtendríamos la sección sometida a mayor momento torsor. . . . . -

TEORIA DE LA TORSION 559 b

I

Figura 9.12. o Si r,,, es la tensiói~ máxima admisible a cortadura que admite el material y M,,,, el

B e

momento torsor maximo obtenido del diagrania, el módulo resistente lV de la sección sera -

tal que: P M T ~ J , w. radrn (9.3-5) e

Ahora bien, el módulo resistente W ticne. para las secciones circular y tubular e

(Fig. 9.13), los siguientes valores: 6-

Para la sección circular:.

I l Figura 9.13.

Para la seccion anular:

Por tanto, se verificara para la primera sección: Y

-51.6 einS!g el ua opes!pu! la sa saiosiol s o i u a u o u ap eurci8e!p [a anb 01 ~ o d

:sa 'aiq![ ouraiixa lap r e!suels!p e uo!ssas eun ua J O S ~ O I oluauiou [a 'pn1!5uo[ ns epoi ap o S ~ e [ o[ e pni!9uol ap pap!un ~ o d oruauiour ap atuJoj!iin ~ c d un e souralauios o[ 'aluauuo!ialue OpEJap!SUO3 gp. a. le opels!e i ~ d un ies!ldc a p zaA ua !S

' I ! ~ U O ~ S J J J O ~ anb JT:[od c!sJ2U! ap O l U ~ l i i O u i

[ap i o l c ~ la solla ap oun cpcs ua J!ni!isns anb syui u!s sosc3 Soquie c ~ c d CP![I;A U O ! S S J ~ X ~

: p p l c ~ uys io i . ~ p olnSriy 13 'so!pr?i sol ap uo!3cu!uiiaiap el e ~ c d oiep OJIO ~ c p oses oui~i lv aisa u;, o!icsasau n p u a ~ s

"p.1 '.¿ ll =

( ; A - f.)

.p1'6 E ' J ~ ~ A r?uis!tu el ua opeJ -!pu! la vias sa ios~oi soluauioui ap s u c ~ 5 c ! p la anb 01 ~ o d . i u ~ c q i i ~ vpoi iia aiuelsuos sa JOSJO] oiuauiour 13 jy ~ e d un 8 aiqg ouaJixa [a ua opcs!ldc y s a !S .I:~!S!J s o ~ u a ~ p u o d n s anb crg eza!d eun u2 o p ~ ~ l o d u i a y o u a ~ l x a ns >U?!] anb 1 pni!Ziiol ap g y ala la eas

( ~ 1 . 6 .S! J) o ~ ) o la ua ~ a d un e op!iauios 1C ouial~xa un ~ o d ope~ioduia $3

:sci!uSo~u! sop u03 u013en3;i B ~ O S Cun S O W ~ U ~ I sand " J - ' J = J ~ o s 3 d ; i 12 01dru;il;i J0d ' so~pcl sol ap uo!scu!iu~a]ap el e ~ c d oicp oJio JI!!~ O!Ji:Sa~U 5m0":3 OLUIII? ali'3 U 3


CI-'I CLI Las diiiíensiones de 111 scrin ---- = [ F ] , es decir. las mismas que una íucrza. En el

[Ll sistema técnico vendri expresado en kp.

El diagrama nos indica que la sección sornctida al momento torsor rnixirno (rnriximo absoluto) es la correspondien[e al extremo empotrado.

El radio mínimo necesario para resistir este momento se obtendria de:

Para una secciori circula::

y para una sección anular

El ángulo de torsión sera:

que como se ve es igual al valor del área del diagrama de momentos torsores dividido por la rigidez a la torsión.

Eje empotrado en sus extremos sometido a un par aislado (Fig. 9.16)

Es este un caso de torsion hiperestática En efecto, sea el eje AB de longitud /. Si en la sección de centro C situada a distancia 1, del extremo A se aplica un par de momento M aparecerán en los extremos empotrados unos momentos que l!amaremos /M, y Al, . Por tratarse de pares, la resultante es nula, con lo que las ecuaciones de la Estática se reducen a una sola: = O

M = MA + M, (9.3-71)

- - f " Figura 9.16 . . - - ' - ,

Para la de~erminacion de los momentos en 10s empotrarnientos es necesario hacer intervenir la deíorrnacion. Fácilmenle se ve que la condicion necesaria la obtencrnos considcrando los ernpotramicntos fijos. ser esto así. cl ingulo de torsibn total dcl eje es riulo. Por t:irito. se vcrificriri:

siendo iCt, , y .\/,!, los rnornentos torsores en los intervalos [O. l , ] y [l,. l] respectivamente

/L/ , , = ,L/., para O < . i < l ,

M,, = ,M, - iLf = -lb/, para 1, < .Y < 1

es decir,

El sistema formado por las ecuaciones (9.3-21) y (9.3-23) resuelve el problema:

El resultado nos indica que el máximo momento torsor se presenta en la seccion del empotramiento más próxima al par A4. Este momento máximo es el que interviene para el cálculo del eje, que se haria de forma exactamente igual a como se ha indicado en los casos anteriores.

1 Eje empotrado en sus extremos sometido a un par de torribn uniforme (Fig. 9.17)

2 - -

-2 Figura 9.17.

TEOKIA [)E LA TORSION 565

EII el caso d s Joblc. erii[>oir:iiiiicnro. \ i III es el niorncriio torsor por unidad de lorigitiid :i lo largo del eje. e1 nionieriro torsor eii un:i seccibri :I distaiiciri .( ddcl extrerno A es:

.u,. = ,\l., - !Ir.\- (9.3-25)

jicrido .\l., cl inornc.rito rorsor crl Iii ~ccci0n ~lcl cxircrilo .-I dcbido a1 ernpotramiento. En este c;i';o. 31 3c.r los rnoiiicntos cii los c,xtrcnios igu:ilcs, por razóii de simetria. el

problzrnri es i~o j t i t i co .

'\f = Al, + Al8 = ?.\f., = l t l l

dr donde: 1

El di:i_rramn de niomriitos torsores seri lineal. Según se ve, para .r = (í2 el momento torsor es nulo. Por t;iiito. el ánsulo 2ir;ido por la seccion media respecto a una de las seccicines extremas szrii:

El momento torsor iiiiixiiiio se prsjenta en las seccioiies extremas: I

y ;sic es el valor quc nos permitirá diniensionar el eje.

9.4. Expresión del potencial interrio de un prisma mecánico sonietido a torsión pura

Ds ;a expuesto en el epigrafe 9.7 se deduce que sobre las caras del entorno aemental dc un punto interior de un prisma mecánico de sección circular sometido a torsion pura, ac:Úan las tensiones indicadas en la Figura 9.18-c.

Par.\ obtener la expresión del potencial interno podemos aplicar la fór-ala (1.15-5) que nos da este en función de las coniponentes de la matriz de tensiones, en la que a,, = any = a,,: = T y : = 0.

El ~o tenc ia l interno de la porción de prisma comprendido entre dos secciones rectas indefinidamente próximas, separadas A, será: !

estando extendida la integral a la sección recta del prisma. i

Figura 9.18. (111 ( N

Sustituyendo T por su expresión (9.2-8). se tiene:

El puteiicial interno del prisma se obtendrá inregrando a lo largo del eje del mismo:

9.5. Torsión en prismas mccinicos rectos de sección no circular

Si sometemos una barra cilíndrica de sección no circular a unos pares en los extremos de !a misma, que producen un momento torsor constante en todas sus secciones, se comprueba experimentalmente que las secciones rectas (planas antes de la torsión) no se mantienen planas despuis de la deformación, sino que se alabean.

Soitrr Vrriniir demostró en 1853 que este alabeo es provocado por el aumento de las tensiones tangenciales en unas partes de la sección y por la disminución en otras, compa- radas con 1:is que le corresponderían si se cozservaran las secciones planas, como ocurre eri el caso de piezas prismáticas de sección circular.

Que las secciones planas no se conservan en caso de sección no circular se puedr comprobar experimentalmente de una forma fácil, sometiendo a torsión una pieza pris- niitica de goma de sección cuadrada en la que previamente se ha dibujado una reticula (Fic. 9.19-0) coincidiendo con lados de secciones rectab y líneas paralelas al eje de la pieza. Se coniprueba que después de la deforniación las secciones rectas, inicialmente planas, sufren uri cierto alabeo (Fic. 9.19-6).

Consideremos el elemento de esquina de una sección recta de la barra de sección rectangiilar sometida a torsión indicada en la Figura 9.20-a. Si sobre la cara de este elemento, perteneciente a la sección recta, existiera la tensión tangencia1 r, esta tensión se podría dcscomponer en dos componentes paraleles a los bordes de la barra. P o r ci teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales, a estas componentes les correspon- derian tensiones cortantes que actuarían en los planos de las superficies exteriores. Como

(0) (b) Figura 9.19.

esto no es posible, ya que estas superficies están libres de todo esfuerzo, se deduce que T

debe ser nula. También se obtiene experimentalmente que para una pieza prismática de seccion no

circular, por ejemplo elíptica, la tensión de cortadura toma sus valores máxirnos en los extremos del eje menor, o sea, en los puntos del contorno más cercanos al eje de la pieza. Para una seccion rectangular, mediante un estudio teórico, siguiendo los métodos de la teoria de la Elasticidad. se llega a obtener la distribución de tensiones tangenciales indicadas en la Figura 9.20-b. Estos resultados, comprobados experimentalmente. nos indican que las tensiones máximas r,,, se presentan en los puntos del contorno más cercanos al centro de la sección, mientras que las tensiones se anulan en los vértices del rectángulo, que son los puntos más alejados del centro.

T . - 1

b

- I a -1

Figura 9.20. (4

Esto está en contradicción con las hipótesis admitidas en la teoria elemental que, de ser generalizable a secciones cualesquiera, seria condición necesaria aunque no suficiente, que la tensión máxima de cortadura se presentara en los puntos más alejados dcl eje y nunca en los más cercanos.

ES por ello nccesaric abandonar la teoria elemental cuando las secciones de las picws prismáticas no son circulares. En estos casos calcular la distribución tensional cn el interior del prisma es un problema que solamente se resuelve de forma rigurosa aplicando

r

la teoria de la Elasticidad, considerando que la distorsión de un ángulo recto. uno de e cuyos lados coincide con una fibra del prisma. es debida no solamente a la rotación relativa de dos scccioncs muy próximas, sino t;imbii.n al alabeo de las misnias.

6-

Expondrcnios a continuaci0ri la rroriu de s ~ r i ~ i l - k ' c ' r r < ~ ~ ~ ( referente a la torsiori, en la que * se admiten las siguientes hipótesis: W-

l." La delormación de cualquier sección recta es un giro alrededor de un punto O e aconipañado de un alabeo que es igual para todas las secciones. e=

?."El ingulo 3 girado por unidad de longitud es constante. e En virtud de la primera hipótesis de ser el alabeo el mismo para todas las sec-

ciones, la componente u del vector corrimiento b de un punto de una sección de abscisa .Y C (Fig. 9.21-a) será independiente de .Y. Por tanto, si llamamos iI, a la /icricióri de uluheo, -

podemos poner: CI e

I d = 3$(?., :) (9.5- 1) P-

Figura 9.21. k-4 Por otra parte, las otras dos componentes 11 y 11.. teniendo en cuenta la constancia del

ti

ángulo girado por unidad de longitud, serin: b -

v = - p 3 x cos a = - 3.r:

ti. = p3s sen a = 3s.r

Conocidas las componentes del vector corrimiento. la obtención de las componentes dc la matriz de de1orrnacii.n es inniediata '

/\ partir de k i a , ob[ic~ic la nl;l[riL ~ 1 c t c r ~ ~ i o r ~ c s ;ipIic;i~~do las ccu;i~iones de Larné.

Podemos cornprob:ir que la solución obtenida verifica todas las condiciones que requiere la solución del problcrn~ elistico.

Eri cfccto. las ecuiiciones de equilibrio interno se reducen a las siguientes:

Las dos úItini:is se vrr ihc~n idéritic:imentc. yii que tanto r,, como r,, no dependen de En cuarito a la primera ecuación, también se cumple si se considera una función de

tensiones (DI?., 1) t:11 que:

¿ID 511) T r v = --- ; T x z =

0': 2.v

Podeiiios ver I t i condicibn que time que cuniplir esta función de tensiones eliminando la función de alabeo I) entre las rcuaciones que resultan de sustituir en (9.56) las expresio- nss de r,, y T,: d;id:~s por 12 matriz de tensioiles

Derivando la priniera ecuación respecto a 2, la segunda respecto a y. y sumando niiembro a niiembro, se tiene:

d

es decir, la función de tensiones es tal que su laplaciana es constante e igual a -2G9. Que la matriz de deformación, cuyas coniponentes vienen dadas por las ecuaciones

(9.5-3), verifican las condiciones de compatibilidad es evidente, ya que hemos partido de la solución de corrimientos.

En ciiarito a las condiciones de contorno, por ser éste libre (Fig. 9.22), se habrá de verificrir:

T,, O O cos n

d

es decir:

Como

Figura 9.22.

T,, sen a + r,= cos a = O

teniendo en cuenta (9.5-6), resulta:

Este resultado nos dice que la función de tensiones U) es independiente de 13 absrisn curvilinea S en el contorno de la sección. por lo que liii de tener un valor conhtante +:i

todos los puntos del mismo.

Figura 9.23. 1

Finalmente. comprobemos que en cualquier sección recta la resultante de las fueii.:. engendradas por las tensiones tangenciales T,, y T,, es nula, así como que el rnornerl:~. resultante respecto de O de dichas luerzias es igual al momento torsor M,.

En efecto, las componentes de la resultante son:

Por otra parte. el momento ha de verificar:

Tntegremos por partes estas dos ultimas integrales teniendo en cuenta que si se trata de secciones que sean recintos simplernente conexos la función <D. que es igual a una constante en los puntos de contorno según hemos visto anteriormente, podemos considerar que se anula en dicho contorno, ya que en este caso la constante se puede elegir arbitrariamente.

Sustituyendo en (9.5-9). se obtiene:

Los resultados anteriorec nos indican que es necesario que la laplaciana de la función de tensiones O, que nos resuelve el problema elástico de la torsión, sea constante en todos IVS puntos de la sección recta, y que el valor que toma dicha función en los puntos del contorno es también igual a una constante, que puede ser elegida arbitrariamente.

Ci

TEORIA DE LA TORSION 571 4 Veamos otra rclación de intercs entre la tcr15ión taii-cnci;il F y la funcióii de tensiones

d). La tensión F se puede expresar asi:

A - ¿cD - ¿Q> - = T J + / i T- . /i = - . ;.Y grad (D (9.5-1 1 )

L.: ¿y

Ahora bicn, la función (D rcprcsenta una superficie o. mejor diclio, un casqucte de superficie quc sc apoya en el contorno de la sección, ya que <1, se anula en el citado contorno.

Si cortamos el casquete por planos paralelos al plano de la sección se obtienen una serie de curvas que no son otra cosa que las lineas de nivel del campo escalar O = O(!., :) (Fig. 9.25).

Figura 9.25. 1

Como el gradiente de la función O es, en cualquier punto P de la sección, perpendicular a la linca de nivel que pasa por él, y la tensión tangencia1 viene dada por (9.5-1 l), F resulta ser tangente a dicha curva de nivel.

En cuanto al módulo de T, de la misma ecuación (9.5-1 1) se desprende:

duJ r = 1i.r grad <DI = Iprsd O/ = -

rir 1

es decir, el módulo de la tensión !angcncial en un puntc cualquiera de la sección es igual a la derivada de la funciin 0 en la dirección normal a la linea de nivel que pasa por él.

De lo anterior :e deduce que dibujadas en el plano de la sección las curvas de nivel de la [unción dc tensiones. la tensión tanrencial creada en un determinado punto P por un momento torsor es tangente a la curva de nivel que pasa por t.1 y su módulo será tanto mayor cuanto más próximas se encuentren enire si las lineas de nivel.

Veamos, corno aplicación de lo expticsto. c0mo podriamos resolver el cálculo de la distribución dc tensiones en ci ca,o dc sección recta cuja ecuación arialitica de la curva de su contorno fuera de la forma:

y tal quc su I~placi~ir i ;~ íucr;i c<irisiririie

E n tal C:ISO. c011iproh~111i<>i 1 1 1 1 ~ cu;ilqu~cr furición del iipo

bicrido C' una constanre. puede ser tornada como furición de tcnsiones que nos resuelve el problema eli5tico de I,i torciOri.

En efecto, la I'unci6n (D sc ,iiiul:i en los puntos del contorno. en virtud de (9.5-13)

La constante C se determina teniendo en cuenta la ecuación (9.5-10) que relaciona @ y el moniento torsor .l/,

Obtenida esta constante, el valor 3 del angulo girado por unidad de longitud, en virtud de (9.5-7), será:

de donde:

Al punto O, Jrededor del cual gira una sección respecto a la indefi:iid,imente prAxirr.a se denomina cetrrro cle rorsióti.

Es evidente que si la seccion admite dos ejes de simetría, el centro de torsión coincide con el centro de gravedad.

En la Tabla 9.1 figuran las tensiones máximas de cortadura y ángulos de torsión por unidad de longitud, correspondientes a las secciones más usuales dc prismas mecánicos sometidos a un momento torsor constante M,.

En el caso de sección rectangular la tensiirn máxima de cortadura y el ángulo de torsión se expresan en función de los parámetros 2 y f i que varían con la rel~ción alh Y cuyos valores se recogen en la Tabla 9.2.

TEOKIA DE 1.A TOKSION 573

I CUADRADO I I

TIIIII 9.1. Valores 13 tensi j n mixinla de cortadura y anplos de torsión en prismas niccinicos de srcción no circular

1 Para los valores de y j3 véase Tabla 9.2

1 FLEJE , 1 3 1i1

Angulo de torsión por unidad de longitud SecciSn

Tensión rnhxima de cortadura

1 T U 8 0 RECTANGULAR 1

TRIANCULO EQUILATERO 1

ELIPSE I 16MT nab2

O = 16(a1 + b l ) M T Gnu'b'


Tabla 9.2. Valores de r y /J para secciones rectangulares

De la Tabla 9.2 se deduce que cuando la relación a/b es muy grande, alh > 10, como es el caso de los flejes, ambos coeficientes son iguales y su valor común es 1/3.

9.6. Estudio esperirnental de la torsión por la analogía de la membrana

La resolución matemática del problema elástico en un prisma mecánico sometido a torsión puede presentar cierta dificultad, especialmente si la sección carece de simetria. Para estos casos. el análisis de las tensiones cortantes en la sección se realiza expcrimental- nicnte. El método empírico que más se aplica es el conocido con el nombre de nrrulogía de la rne~~ibruna. Fue presentado por el ingeniero y cientirico alemán L. Pra~idtl en el año 1903, y se basa en la semejanza de la ecuación de la superficie de equilibrio de una membrana sometida a presión en una cara. con la ecuación diferencial de la función de tensiones en problemas de torsión.

En efecto. consideremos un prisma mecánico sometido a torsión pura (Fig. 9.26). En el epígrafe anterior hemos visto que la función de tensiones ú> en torsión iiene que verificar las siguientes condiciones:

en los puntos de la sección, y

en los puntos del contorno.

Veamos ahora cuál es la ecuación de la superficie de equilibrio de una membrana dclgada. por ejemplo una pelicula de jabón. colocada en cl contorno plano dc la scccion de un tubo de pnrcdcs indcíinidamcnte delgadas de la misrlia forma que la scccion quc se estudiii. cuando se provoca cn el interior dc cstc tubo lirnitado por la rncnibrana una preiión unirorrne p.

La superíicie de equilibrio de esta será de la forma

La perfecta flexibilidad de la membrana nos permite asegurar que ésta no puede estar sometida a esfuerzos de flexión, por lo que las tensiones que actúan en los lados que limitan un elcmcnto dc superficie de la deformada de la membrana han dc estar contenidas en el plano tarigerite (Fig. 9.27-b).

Figura 9.27. Y

Si la membrana no soporta momentos flectores, tampoco podrá resistir esfuerzos cortantes. Del circulo de hlohr se deduce que las tensiones normales a en los lados del elemento que rodee a un punto O iian de ser iguales en cualquier dirección.

Si en el punto O tomamos una terna de vectores unitarios trirrectangulares (Ti, 11); los dos primeros en el plano tangente a la superficie deformada de la membrana en el punto O y de direcciones las de los Iridos de la superficie clcmental; el !Trcero en dirección de la normal exterior. las tensiones por u ~ i d a d de longitud dcl contorrio* serán las indicadas en la Figura 9.274.

Se supone la rncnibrana muy liria. de espesor constante.

Sobre ( 1 slcnieriiu coiisidcr~ido ;iccu:irrin l;is fiic.rz:is dc.bid;ib a est:is icnsioiies iideniiis de la producid~i por la presibn uniforme p, de valor i Vemos que esta ecuación diferencial de la superficie deformada de la nieinbrlina tiene 1 IapiAciana constante

P A.r = -- = constante u Pl;inic.ciiiclo, piic\. el equilibl.i~) d r fuerz;is sobre e1 rleint.nto superticiiil, se tirne:

y, ridernlis, se verifica en el contorno

Ahor;i I , i t r i . conio o es soiistante y por las f6rniulas de Frenet

ya quc la función .r se anula en todos los puntos del mismo. La ecuación diferencial de la superficie de la membrana s = f ( y , 1) presenta, pues,

analogia íormnl con la función de tensiones @ en torsión. La relación entre ariibiis se puede obtener dividiendo las expresiones (9.6-1) y (9.6-8) sierido p , . 1): los radios de curvatura de 105 arcos (/', y (/.s2, respectivamente, sustituyendo

en (9.6-4) y dividiendo por G (/S, 1 1 . ~ ~ . SL' tiene:

2GU Como -- es constante, de esta expresión se deduce

P ~ U

Como las expresiorics de las curvaturas de los arcos que limitan el elemento superficial coiisider:ido son:

D e todo lo expuesto se desprende que la simple observación de la forma de la membrana permite deducir importantes relaciones cualitativas acerca de la distribución de tensiones tangenciales en una sección debidas a la acción de un moniento torsor.

Puesto que

si suponemos que Iii presión 1, es 1i1 suficiente para no pravocar tina gran deforniación de Iii membrana. podenios despreciar los valores de las derivadas de .r respecto de y, y de -' frente a la ~ in id~id cn los denomin:idorcs de las ¿interiores expresiones, quedando

las tt.risiones tangenci:iles rXy y r,, son proporcionales a las pendientes de las curvas que se obtierien al cortar la membrana por planos paralelos a los coordenados .Y? y .ry respeciiva- mente.

Vimos también que el vector tangencial T en un punto de la sección es tangente a Iü

línea de nivel del campo escalar O = O(): :) que pasa por dicho punto. Por consiguiente, la tensi6n tangencia1 T sera tangente a la línea de nivel del campo escalar .r = f(y, z ) que define la configuración de equilibrio de la membrana.

Además, el módulo de la tensión tangencial total en un punto también resulta ser proporcional a la pendiente máxima de la membrana en el punto considerado

Siistiiiiyendo en (9.6-6), se tiene:

Por tanto, la tensión tangencial será tanto mayor cuanto m i s Ce--arias estén las lineas de nivel del campo escalar .Y = /(y. 1) que define la superficie de la membrana.

Según esto. en una elipse, en la que las curvas de nivel son del tipo indicado en la Figura 9.28, la tensión tangencia1 máxima se presentari en los extremos de los serniejes menores, que son los puntos del contorno más cercanos al ccntro.

1'

Figura

Resumiendo. cuando sea necesario estudiar la distribución de tensiones en una barra rectilinea de sección no circular, independientemente de la forma de la sección. el problema de la torsión de la barra se puede resolver mediante la analogia dc la membrana. Dicho método consiste en obtener experimentalmente la superficie de equilibrio de una membrana estirada sobre un contorno de la misma configuración que la sección recta de la barra y solicitada por una presión uniforme. La simple observación de la membrana deformada nos da la siguiente información:

1." La tensión cortante en un punto de la barra en estudio es proporcional a la pendiente en el punto correspondiente de la membrana estirada.

2." La dirección de la tensión cortante en un punto es perpendicular a la linea de máxima pendiente de la membrana en ese punto.

3." El volumen encerrado por la membrana es proporcional al momento torsor que resiste la sección.

ca 9.7. Torsión de perfiles delgados ;

En construcciones mecánicas se presenta con frecucncia la n~cesidad de micular barras de paredes delgadas sometidas a torsión. Diremos que un prisma m ~ c i z i c o o barr i es un perfil delgado cuando el espesor que presenta su sección recta es muy pequeño en compa- ración con las otras dimensiones lineales de la misma.

En epígrafes anteriores hemos visto cómo para dcterminar la distribución de tensiones tangenciales en barras de sección recta no circular ha sido necesario utilizar los métodos matemáticos de la teoria de la Elasticidad, y ya se comprende la complejidad del problcma cuando la sección carezca de simetrías. Sin embargo, n o es este el caso de pcrfilcs dc pared delgada, en los que mediante ciertas hipótesis simplificativas es posible dcterminar de forma bastante sencilla la distribución de tensiones con suEciente aproximación para nuestros propósitos.

Así como en una barra de sección circular el ángulo de torsión por unidad dc longitud

es el cociente entre el momento torsor :\f, y el módulo de torsión GI,, segun se deduce de (9.2- l 1)

en una barra de seccion no circular. o en un perfil delgado, el anyulo de torsión por unidad dc longitud se suele expresar en la forma

,Cí H = T GJ

en donde J es el tnódiilo de ~ors ián y el producto G J se denomina rigidez a lo lorsiótl. Los perfiles delgados admiten una clasificacion, seguri la forma de la sección recta, que

podemos resumir en el siguiente cuadro.

(sin ramificar

Cperliies cerr

En todos ellos Il:imarcmos Iitlca tlrc<ii<r al l u p r geométrico de los puntos niedios de los espesores en una sección recta. Un punto cualquiera A vcridra definido por su abscisa s medida a partir de un origen O que podemos elegir arbitrariamente sobre la linea media.

Estudiemos separadamente los perfilcs abiertos y los cerrados.

Perfiles delgados abiertos

c o m o se acaba de indicar. dentro de éstos distinguiremos perfiles sin ramificar y ramificados.

a) Per3Ics abiertos sin raniijicar (Fig. 9.29-0)

Figura 9.29. 1


generatrices paralelas a la línea media. Existen, [lo obstante, puntos en 10s cuales no Se da esta circunstancia. cc,.:io son 10s puntos de ramificación y los extremos libres de cada uno de 10s tramos que forman la sección. Prescindiendo de las perturbaciones que esos puntos produce11 en la deformación de la membrana, podemos considerar la sección del perfil como formada por 11 tramos rectangulares de espesores ri y loiigitudes si. Como supone-

Coiisidcreriios el pcrlil delp;ido cuy:i sección es I:i indicada en la Figura 9.29-u sometido a torsión. Si eri la scccii)ri recta dc iin tubo de paredes iridcliriitl:iniente dclg;idas, de la forma de este perfil, coloc:imos uii:i menibrann y aplic:inios una presión uniforme p. como henios iridiccido sn el spisrarc .inicrior, I;i intersecci0ii de la membrana deformada con un plano perpendicular a la línea iiieiiiii es una paribola (Fig. 9.30-0). Esto nos indica que la tensión tnnfencial. que es proporciorisl a la pendiente a la curva deformada, es una función lineal cuyos valores mixinios se presentan en los puntos psriféricos de la sección recta del perfil y se anula en la linc:i mcdia (Fig. 9.30-6).

S. mos que se verifica la condición de fleje, 2 > 10, es aplicable a cada una de sus partes las

e; Iormulas dadas por la Tabla 9.1 de la tensión tangencial mixima y del ángulo de torsión por unidad de longitud

en donde ,M;., es el momento torsor que absorbe la parte de sección rectangular. Conio 21 momento torsor 'L/, en la sección es igual a la suma de todos los lb./;, y el

ingulo de torsión es el niismo para todas las porciones rectangulares del perfil conipuesto, de esta expresión se deduce:

La aplicrición de la analogia de la membrana nos hace ver también que la deformación del perfil delgado y. por consizuienre. las tensiories cortantes en todo 21, apenas dependen de la curvatura del contorno de la seccion rect:i. Quiere esto decir que los resultados, para iin perfil como el representado en la Figura 9.29-0, son los mismos si consideramos recto el contorno de su sección recta, es decir, que a erectos de calciilar los valores de la tensión tiinzencial máxima r,,,, y el ángulo de torsión por unidad de longitud O es equivalente considerar un perfil cuya sección sea rectangular de espesor e y longitud s.

Por tanto, podemos aplicar las fórmulas de la Tabla 9.1 para sección rectangular

y de aqui:

expresión que nos da el valor del ángulo de torsión por unidad de longitud en función del momento torsor y de las características geométricas de la sección.

Veamos ahora cuál es la expresión de la tensión tangencial máxima en el tramo i en función del espesor e,. Eliminando entre las dos ecuaciones (9.7-3). y teniendo en cuenta (9.7-5). se tiene:

S cuando se verifica - > 10, en la que los coeficientes u y p toman ambos el valor de 1/3.

P

La tension tangeiicial niixiiiia en el perfil delgado, cuya sección recta tiene espesor e comtante y cuya línea media tieiie una longitud s es

En este caso, el ángulo de torsión por unidad de longitud del perfil será Se deduce que el máximo valor absoluto de la tensión tangencial en la sección del perfil

se presenta en PI tramo de espesor inhximo, por :o que es cspernble que cuando numenta- mos el valor del momento torsor M, el perfil rcmpa por el tramo m i s grueso y n o por el más delgado. como podría dictarnos la intuición.

b) Per/iI~,s abiertos ratriijícados (Fig. 9.294) c) PerJIes delgados ccrrahs de una sola célula

Consideremos ahora un perfil delgado cuya sección recta sea cerrada de una sola célula (Fig. 9.31-0). En este tipo de secciones es necesario hacer una observación respecto a la aplicación de la analogía de la membrana.

Consideremos ahora un perfil de pequeño espesor abierto ramificado conio el indicado en la Figura 9.29-h. El que sea ramiricrido impide que el perfil pueda ser enderezado par que la sección se transforme en un rectángulo. Si aplicamos la analogía de la membrana, obscrvrimos que I:i deforniadii de 13 membrana está formada por superficies cilíndricas de

(b)

Figura 931.

Si aplicamos la membrana como se indica en la Figura 9.31-0. la aplicación de la analogía de esta manera presenta la dificultad de no verificar la deformada la condición

en todos los puntos del contorno interior c,, aunque se verifique en el contorno exterior r , , y se verifique también la otra condición

Ax = constante

siendo x = .u(): :) la ecuación de la deformada de la membrana. Por eso la analogía de la membrana descrita para perfiles abiertos se modifica en el

caso de perliles cerrados mediante el artificio indicado en la Figura 9.31b. Se cubre el hueco limitado por el contorno c, con una placa plana perfectamente rigida unida a la membrana, de superficie igual a la limitada por c , y c,, de tal forma que al aplicar la presión p la placa se mueve paralelamente a sí misma.

De la observación de la deformada, utilizando el artificio descrito, se deduce que en los perfiles delgados de una sola célula sometidos a torsión, la distribución de tensiones tangencio!es a lo largo del segmento perpendicular a la línea media del perfil, es aproximadamente uniforme {Fig. 9.3 1-c).

Según esto, sean r, y s, las tensiones tangentiales en los puntos 1 y 2 (Fig. 9.32), en 10s que el perfil presenta espesores e, y e, respectivamente. Sobre las caras de un prisma elemental (representado en la misma figura) paralelas al eje dei perfil, ectúan tensiones rasantes, iguales a las tangenciales que actúan sobre las caras contenidas en pianos normales al eje del perfil, en virtud de la propiedad de reciprocidad de las tensiones tangenciales. . . - ,

La condicióri de equilibrio dc este prisma elemental cxigc que la proyección dc las fuerzas que actúan sobre el mismo en la dirección del eje del perfil, ha de ser nula

de donde se dcduce, al hzibcr tomado los puntos 1 y 2 de forma totalmente arbitraria, que

( = re = constante (9.7-7)

Esto indica que el flujo de cortadura / = re se m;intiene consianic a lo 1;irgo de todo el contorno cerrado, presentandose la tensión tangencia1 máxima en los puntos de espesor mínimo.

Para calcular el valor de la tensión tangencial r veamos cual es la expresión del momento torsor en función de ésta. Como el momento es independiente del punto (por tratarse de torsión pura) tomarcrnos un punto O arbitrario (Fig. 9.33)

siendo ;' la línea media del contorno del perfil.

Ahora bien:

es el doble del árca R* delimitada por la línea media y. Por tanto, el valor de la tensión deducida en (9.7-8) es:

expresión que sc denomina for~irula cle Bred! y que nos da la tensibn tangencia1 en los puntos de la sección recta dc un perfil delgado cerrado. de una sola cElula, sometido a torsión.

b

ti

t 1

t

C:

6 '

t_'

6 ' O - '

F * e- P"

9

P F F ' F

e- €

O

4

t 4

C. 6. C L 4- b 4 *

6%

e 4

c. t

4

* t

Si 21 espe~or es variable. I:I tensibn tangencia1 mixima se presentriri en los pun!os del >cglnsnto corrrspondicn~e al minimo espesor.

Para el ciilculo tltl ingulo ds torsión por unidad de longitud 0, consideremos la t~prcs ion del potr.nci:il interno de una rebanada de perlil liniitada por dos secciones rectas jeparadas unii distancia (/.Y

Para el perfil de longitud l. el potencial interno seri

\ 1 v como r e = esta expresión toma la fornin

32'

El valor de la integral que aquí aparece depende de cónio varie el espesor a lo largo del contorno ;l, es decir. es una caracteristica geomitrica de la sección.

Por otra piirte, podemos expresar el potencial interno en función del momento torsor ,\I, y del á n ~ i i l o de torsión 4 = 81, ya que O es el i n g ~ i l o de torsión por unidad de longitud

Ig~ialando las expresiones (9.7-13) y (9.7-14). se obtiene finalmente:

d) Perji;Lr d~,lgados cerrados de 11arias células

Consideremos ahora un perfi! cerrado cuya sección es multicelular, como el indicado en la Figura 9.34-0.

Cada célula es un perfil cerrado, por lo que el flujo de cortadura r = re es constante en cualquier segniento perpendicular a la linea media de la sección recta. Llamemos t i al flujo de cortadura eri las paredes que rodeap a In celdilla i, y t i j el flujo de cortadura en la pared

1 I l , . , 1 , I

(a)

Figura 934.

comtin a las celdillas i y j. Realizando el corte alrededor del nudo indicado en la Figu- rri 9.34 y planteando el equilibrio en la dirección longitudinal del perfil

se obtiene Iri ecunción de continuidad del flujo

que nos permite obtener los flujos de cortadura en las paredes entre celdillas. En una sección cerrada como la indicada, son incógnitas los flujos de cortadura t , ,

r z , ..., r , en las paredes superior e inferior, pues los flujos de cortadura en las paredes intercelulares están determinados en función de éstos, en virtud de (9.7-17).

Como la unica ecuación de la Estática es la que expresa la quivalencia entre el momento torsor M, y los flujos cortantes de la sección

siendo R: e1 i rea encerrada por la línea media de la celdilla i, el problema es de grado de hiperestaticidad 11 - 1. Por tanto, para pcder calcular los flujos de cortadura se necesitan t i - 1 ecuaciones complementarias, que se tienen que obtener considerando la deforma- ción de la sección r e c t ~ .

Se obtiener! estas n - 1 ecuaciones expresando la condición de girar todas las celdillas el mismo angulo de torsión pvr unidad del longitud.

En un perfil cerrado. el ángulo de torsión dado por (9.7-15) se puede expresar en función del flujo de cortadura


Aplicando esta expresión a la celdilla i (Fig. 9.35) de línea media 7, se ticne

' i - l . ,

El sistema d e ecuaciones formado por la ecuacion (9.7-18) y las n - 1 (9.7-19) permite ob tene r los flujos d e cor tadura t , , r , , ..., t,. Una vez obtenidos estos, se determina el valor del ángulo d e torsión por unidad d e longitudinal aplicando (9.7-21).

EJERCICIOS

IX.1. Dirnensionar un eje cuyo esquema es el indicado en la Figura IX.l-a, sabiendo que las poleas A y C son matrices, de potencias N, = 3 CV y N, = 6 CV respectivamente y que las B y D, mediante correas accionan una fresadora y un torno, de potencias N? = 4 CV y N, = 5 CV respectivamente. La velocidad angular del eje es n = 200 rpm y la tinsi6n mhxima admisible T.,, = 700 kp/cm2. Se supondrh que existe el número de apoyos, de rozamiento despreciable, necesarios para no considerar el efecto del momento ílector.

Figura IX.l-a. . 1

La potencia transmitida por una polea es igual al producto del momento ,Mr por la velocidad angular o

cn donde N es la potencia en CV, M, viene expresada cn m. kp y o en radianeslseg. .:: . Si la velocidad angular se expresa en rpm

de dondc:

Ahora bien, el momento torsor ,\í, estj relacionado con la r,,, por rncd~o del módulo resistente

Si T,~, , , viene expresada en kp/cm2, R vendrá dado en cm. Igualando las dos ultimas expresiones

de donde

Apliquemos este resultado al arbol de la Figura 1X.I-a. De la relacion:

resulta que la potencia que transmite el eje es proporcional a1 momento torsor Haciendo n = 200 rpm. queda:

M - 22S0 N r n . k p = 3 5 8 . 2 5 N c m . k p - 3.14 x 2000

de donde se deduce el diagrama de momentos torsores en la Figura 1X.I.-b.

Figura 1S.I-h. 358.25 cm. kp

[II r i ioni~r~ii i iOr\or rii;i~rriio cn v.ilor absoliiro ,\/, .,,, = 1791.25 ciii - kp correspond~ 3

la purcion de eje C'D qiic tiene qi ic ir;~nsniiiir uiia poteiicia :V = 5 CV. Sustituyerido este valor sri la formula que ,<r 113 oblcriido anleriormenie. se tiene:

i( = 35.72 Ji j cm = l .? cni 200 x 700

es dtcir. el diinietro riiiriirno qiie tiene que tener el eje para transmitir las poterisias indic~idas es

IS.2. Cn eje debe trinsniitir una potencia de ,Y = 700 C\' a n = 180 rprn. Sabiendo que las condicionec de t r ~ b a j o de uri eje que transmite potencia son que el hiigulo de torsión no debe ser wpcrior a un ~ r a d o eri un^ longiiud de 15 seces el diimetro. y que la tensión admisible es rrdm = 600 Lplcrn', se pide:

1." Determinar la tensión cortante máxinia. 2." Calcular el diánietro mininio del eje.

El módulo de elasticidad transrersal es G = 800 000 kp/cm2.

l." Vt.arno.s cuil es el niomento tursor m á i m o 3 que puede estar sometido el eje para qiie verifique simuli3iic:iri~cntr las condiciones de trabnjo indicadas.

De la ecuación (9.2-1 1) se deduce para la primera condicion:

1 800000 x nD4 n M r = - &

1 - = 91.38D3 cm . kp

ISD x 32 180

si el di imetro D viene expresado en cm. Por otra parte, de Id ecu~tci6n (9.2-9) se desprende par3 la segunda condición

Tomaremos el valor niás pequeño de las inscuaciones obtenidas, que nos asegura que la tensión de t r a b ~ j o es menor que la adniisible.

2." L3 expresión de la potencia N en runción del momento torsor es:

siendo w I i i velocidad angular en rad/seg. Si A, se expreza en m - b p la potencia vicne dada en k p . rn/seg.

IX.3. Un eje que debe transniitir una potencia de 300 kW estii formado por dos tramos de distinto material. rigidaniente uilidos entre sí: el primero. macizo, es de una aleación que ticiie de diinietro D = 6 cni; el segundo, tubular de acero, tiene el inismo diimetro exterior que el primer trdmo. Sabiendo que las tensiones de cortadura admisibles en la aleación y en el acero son T.,, , = 600 kp/cni2. y T,,, , = 800 kp/cm2. respectivamente, y que el ingulo de torsión por unidad de longitud del eje de acero es un 75 por IUU del correspondiente al eje de alI?dc¡Ón, se pide

l." Calcular el diimetro interior del eje de acero. 2." Hallar la velocidad angular a que debe girar el eje.

Se conoce la relación de los módulos de elasticidad transversal del acero G2 y de la aleación G ,

1." De la ecuación (9.2-1 1) y d e la rrlación dada entre los ángulos d e t o ~ s i o n de anibos materiales. se tiene:

expresión en la que el indice 1 se refiere a la aleación y el indice 2 al acero.


n.6 ' = 0.75 x 2.2

n(6' - d")

de donde:

2." Como la expresión de la tensión de cortadura máxima es:

la relación entre las tensiones máximas en el acero y en la aleación será:

De esta relación se desprende que en el acero la tensión dc cortadura es la admisible T , , . ~ = 800 kp/cm2, mientras que en la aleación la tensión cortante máxima es

rm4.2 r, ,,, = - = 484.85 kp/cm2, inferior a su tensión de cortadura admisible. 1.65

Se puede obtener fácilmente el valor del momento tonor. En efecto, de la expresión de la tensión tangencia1 en el tramo macizo, se tiene:

de donde: O

D 3 R x 6' x 484.85 M, = --- - - 16 16

= 20 563 cm. k p = 205.63 m . kp

Como la expresión de la potencia es

despejando el niimero n de revoluciones por minutos y sustituyendo valores, se tiene:

1422 rpm I


IX.4. .'. un eje de acero de longitud 1 = 2 m se han fijado 6 poleas de rndios r , = 10 cm, r , = 15 cm, r , = 8 cm, r, = 20 cm, r , = j cm, r , = 10 cm, y si~uadas como indica la Figura IX.4-a. El eje gira a velocidad angular constante alrededor de dos gorrones fijos .l y B de rozamiento despreciable. Si el módulo de elasticidad transversal es G = 850 000 kp/cm' la tensión rn5xinia admisible a cortadura es r,,, = 720 kp/crn2, calcular:

1." Diámetro del eje. 2." Angulo niáximo de torsión, expresado en grados.

(Se considera despreciable el peso propio).

Figura IX.4-u. 'Ocd

l." El eje que se considera está sometido a torsión pura. Los momentos de los pares actúan sobre cada una de las poleas son:

Con estos valores se dibuja el diagrama de momentos torsores (Fig. IX.4-b) del que se obtiene el valor del momento torsor riiiximo Al,,,,

M,,,, = -9400cm.kp

.1f ,_,, = -91M cm. kp

Si R es el r idio dr.1 eje, como éste es de seccion circular, el modiilu resistente es:

n R' I I ' = -

7

por lo que.

de donde:


El diámetro pedido será:

2." Según se deduce de la observación del diagrama de momentos torsorcs. al ser el área de momentos negativos mayor, en valor absoluto, que el de positivos. resulta que el

.e

ináxirrio i i ig~i lo de torsii~n seri el ángulo relativo girado por la polea C, respecto de la C',. SU valor es. en rridianes:

1 ' 1 0 = -- .blr,/, = - [zL/l/l + ()L/, i- 1bf2)/> + ( M i + 1+11 + . l f>) /J ] Gfo r G / ,

Sustiruyendo valores y operando en el sistema técnico

o = 1 [40 x 0.4 + (40 + 30)0.4 + (30 + 30 + 14) .0.3] rad

n2.l' A lo-" Y S x 1 OM -----

-

de donde

O = 0.0278 rad

l cuyo valor pedido en erados es:

l 1X.5. Cri eje horizontal de longitud I = 6 m tiene los extremos perfectamente empotrados. A partir de uno de sus extremos actúan dos niomentos torsores aislados de IW,, = 10 m . ton y

I ~\l , . , = 15 rn . ton en las secciones situadas s distancias a , = 2 m y a, = J m, respectivamente, de dicho extremo. Los momentos torsores tienen el sentido indic~do en la Figura 1x5-a. Se pide:

l." Determinar los monientos de empotramiento. 2." Calcular el miniriio d iámet ro del eje s i la tensión de cortadura admisible es

T , ~ ~ = 800 kp/crn2. 3." Hallar la expresión O = O(x) del lngulo girado por las secciones, representándola

grlficamente e indicando el valor máximo y sección en la que se alcanza. Se tomará C = 8 x 10S kplcni'.

4.. Si el material se fisura por tra'cción. determinar las líneas de rotura.

l." Scrin 'M, y ILI, los momentos d e empotramiento (Fig. IX.5-a). La condición d e equilibrio

M , - M,, + M,, + M, = O

I junto a la condición de ser nulo el giro relati.,o d e las secciones empotradas:

nos permiten obtener los valores de M, y X I ,

de donde

5 20 ,U - - m - ton ; M, = -- m. ton

, - 3 3

El signo menos de M, significa que este momento torsor tiene sentido contrario al supuesto en la Figura IX.15-a.

2." Del diagrama de momentos torsores (Fig. IX.5-b) se deduce que el momento torsor máximo se presenta en el tramo comprendido entre los dos momentos torsores aplicados. Su valor es:

25 M, ,,, = - m . ton

3

De la expresión de la tensión cortarite :a

se deduce:


Tomaremos

C 3." La ecuación (9.3-1 1) nos permite expresar el ángulo de torsión 4 en la función de la

abscisa x 6 6

para O G x G a , r

Sustituyendo valores. se tiene: 6

- Figura 1X5-c. 3 GIo e

6 6

Del diagrama del ángulo de torsion (Fig. IX.5-c) se deduce que la sección que más ha girado es aquClla en la que esta aplicado el par torsor Alr2 . El valor del ángulo '- girado por esta sección es: 6

e

4.' Si considtramos dos planos del haz de virtice un riidio: uno coincidente con la sección recia: el otro. un pl.1110 longirudinril (Fig. lX.5-</), Jel circulo de Xlohr (Fiz. IX.5-r) se

De la T;ibla 9.1 se obtienen los valores de Iri tensión mixima de cortridiiri y del ringulo de torsión. ambos en función del momento torsor 111,

dtdiice qiis Iii, linc:is cle roturd iori hrlic.r.s cu>:ii t;iiigeiirss fornl;iii 45 coi1 21 eje. ya quc I:is ;risr.is s t iorrn:iriri cii ciirrcociri psrpei~drciil.ir :i Id tensioti priiicip:il de iraccion O , I P I ~ . iX. j - / . ) .

'M, 7.1 l l , i f , Tmi. = - 0.208<i3 ; = ---- G(I'

r

i Diagrania de 1 niomentos torsores

i l Figura IX.6-6.

l De la primera ecuación se obtiene: 1 (6')

Figura 1.Y.5.

IS.6. Cna barra de latón de seccibn cuadrada de lado u = 10 cni. que está ernporrada en sus extrenlo>, $e torsigina riicdiariie iin par de fuerras Fcciyas lirieas dc accióii ~ $ f a n separadas una di3rancia J = 50 crii. eciuarido dicho par en uiia scrcicin a disiaricia 1 , = I m de uno de sus exrrcriios. Si la longitcid dr la barra es 1 = 3 m, c ~ l c u l a r el valor niáxinio de Fcon la condición de que el Iiigulo mi\ i ino de torsión sea de 114'. Sr tomará cumo nibdulo de ela,ricidad transrersal G = 3.51 x l o 5 kp/ciri2 y conio tensión mis in ia adniisible el valor r,,,, = 600 kp/cii12.

I de donde

i I F < 6.24 x 600 = 3744 kp

es decir, 13 primera ecuación acota el valor d e F para que e1 valor d e la tensión máxima de cori;iclurli no sobrepase el valor d e la tensión admisible.

La segunda nos darla o t ra acotación al establecer que el ángulo de torsión entre 1s sección en la que se aplica el par y cualquiera de las extremas es menor o igual a 0.25".

Por tanto

t I Figura lS.6-a.

de doiide

Se trata de un caso de torsión hipercstática. Si ,VI es el momeiito torsor producido por el par d e fuenris F

1 El valor máximo d e F q u e c u n ~ p l e ambas acotaciones es. por consiguiente

Los moriieiitos d e einpotrnmienro son:

I IX.7. En un eje hueco de transmisibn de potencia, que tiene diámetro exterior D e interior d. soiiietido a iorsibn pura s e alcanza una tensión cortante máxirn:: T,,,.

1, 1 ' F A l , = A { - = F - y i = - m . k p

1 2 3 3

1 sr:i* 1." Sabiendo qiie el potencial interno por unidad de rolunien es -. determinar la relacibil

16C

f de los dihnietros del eje. estando expres:ida 1s fiisrza F en kp 6

598 RESISTENCIA DE MATER~ALES

2." Si es conocido el potencial interno por unidad de volumen 6, = 2200 m . kp/rnJ y el módulo de elasticidad transversal G = 8 x 10' kp/cm2, calcular los diámetros del eje si ha de transmitir una potencia de N = 500 kW a n = 180 rpm.

l." De la expresion (9.4-1) que nos d a el potencial interno

d.x ,U: 1 n(D2 - d') =--- G 1 : 1 6 . 4

(D' + d Z )

se deduce la correspondiente al potencial interno por unidad de volumen

Igualando esta expresión a la dada en el enunciado, se tiene:

d e donde:

2." El valor d e la Y,,, se puede obtener a partir de la expresión del potencial interno por unidad de volumen

Sustituyendo valcres. se tiene: , t9

Por otra parte, el momentor torsor M , a que está somctido el eje, en función Oe la potencia N a transmitir. es:

La tensiór cortante máxima s e presenta en los puntos perifericos. Por tanto:

Despejando y sustituyendo valorec. se tiene:

de donde:

IX.8. Una barra recta tiene como sección una elipse cuyas longitudes de los semiejes son a y b e (a > b). Se somete la barra a torsión pura.

-7.

1." Determinar la función de tensiones. 2." Hallar las tensiones tangcncisles en la sección, deduciendo el valor de la tensión másima

y punto. o puntos, donde se produce e- 3." Hallar la función de alabeo y deducir la solución de corrimientos. 9- l." La ccuación analitica d y la curva del contorno de la sección es

8

,'l ;: f ( g , : ) = - + - - 1 = o

u2 b'

Esta ecuación. evidentemente, se anula en su contorno. Además, su laplaciana es constante

3 e'

En estas condiciones, según sabemos, la función de tensiones es d e la forma d' 4

siendo C una constante que determinaremos aplicando la Fórmula (9.5-16) 4

sustituyendo. tenemos:

.-' I C = = --

noh u' b' noh 2g(2+bi-4)

Por i:lnro. l;i Tiinciáii de trnsio~ies pedida es de donde se obtiene la expresión del ángulo de torsión por unidad de longitud

Allora bien. de (9.5-4) y de la solución de tensiones obrenida en el apartado rinterioi se deduce:

de donde:

La, isnsiones t:ingsncislcs resiilran ser funciones lineales de las coordenadas. Como ' 1 > h. 1.1 irnsion niisiina de cortadura es r X i para ( .v = 0; : = h). En esir

punro r,, = O

Integrando, se obtiene la expresión de la runcion de alabeo $

En la Fi-urn 1X.S ss representan I:ts tensiones tangenciales en los punlos de los sjes de la elipse sección.

Se obscrva qiir Ir: ten,ijn mixima se presenta en los cxtrenios del semieje menor, es decir. cn los puntos del coiiioriio m l s ccrcanos iiI ccniro. Con la teoria elemental la máxinia ~rns ión se presenr3ria en los plintos m i s alejados.

siendo 4, una constante de integración que habr i que determinar imponiendo condiciones de contorno.

Si el centro d e la sección es fijo $, = O. En este caso la función de alabeo es

La solución de corrimientos s e r a

LJ

IX.9. Se tiene un rollizo de madera de roble de radio R = 10 cm, empotrado en uno de sus extrer+.:i' y muy corto para poder despreciar los efectos de flexión. En el otro extremo y perpendicuiri a- eje del mismo se tiene, perfectamente empotrado, un perrii laminado de aluminio de secoc... cuadrada y de longitud tal que la distancia de su extremo libre al eje de rollizo es 6 = 0.5 t í .

3." Aplicando la expresión (9.5-7) se tiene:

0'4 a2d 2 1 ~ 1 A Q = - ~ G o = - + - = -2

,3.2 6-1 nub

Se ejerce una cierta fuerza f en el extremo libre de la barra de aluminio, de dirección la perpendicular común a los ejes de ambas piezas, alcandndose simultineamente los límites admisibles de tensiones de cortadura en el rollizo y de tracción en la barra de aliiminio. Calcular el valor de la fuerza P y la dimensión del lado del cuadrado de la sección de perfil. Datos: Tensión admisible a cortadura del roble r,,, = 70 kp/cm2.

Tensión admisible a tracción del aluminio a,,, = 450 kp/cm2.

b Figura IX.9.

El rollizo trabaja a torsión y la barra de aluminio a flexion. 1' El momento torsor sobre el rollizo es:

que provoca una tensión maxima de cortadura

igual a T.,, cuando alcanza el valor limite. De esta ecuación se obtiene el valor de P para que esto ocurra

3.14 x lo' x 70 2 x 50

Consideremos ahora el perfil cuadrado d e aluminio. El momento !lector máximo se presenta en la seccion de empotramiento con el rollizo y su valor es:

Q que se puede expresar en función de las carac:tr~sticas geométricas de la sección.

a' P.I, = w* . o,,, = - a,,,

6

Igiialando ambas expresiones:

a' - u*,, = P(b - R ) 6

de donde:


Sustituyendo valores se obtiene la longitud del lado del cuadrar'; de la seccion

I

i a = 10.6 cm l

1 a

1 IX.10. Se considera una viga cilíndrica de sección elíptica de longitudes de semiejes o y h (o > h ) sometida a tonibn pura. Determinar los puntos de la sección en los cuales el módulo de la

1 tensión tangencia1 tiene por valor la semisuma de los valores modulares que ésta toma en los extremos de los serniejes.

1

Figura IS.10. 1

Las tensiones tarigenciales en los puntos de la seccion elíptica son (véase ejercicio 1x3)

El modulo de T es:

En A(y = a; ; = 0):

En B(y = 0; = = b);

La ,einisumli de estos valores es: i 1

Si el cocliciente de seguridad es n = 2.5, la tensión limite de traccion es:

I_iualando esta expresión a la obtenida anteriorniente, las coordenadas de loi puntos P(! , :), en los cuales la tensión tan~encial es T, verifican: 1

Con estos datos veamos cual es el momento torsor máximo que puede transmitir el tubo:

a ) /'vi. el r r / r r i o tic. TI-rrc[ i :

En este caso 13 condición sera ,M, 1 .- - - -(!+;j=-J; nub U + b :;

de doiide:

o bien

,,- ' :- ' (a + b)' - + - = ---- 114 b1 -111'b2 es decir:

- -- = h(a + h ) '

(7)- (T) de donde

b) Por el c r i r c ~ i o I/C lo errrrgiu (Ir ~lefirnrución ~~l i í .r i r>tr i :

La expresión de la energia d e deformación por unidad de volumen es

Esta ecuación representa una elipse, cuyas longitudes de los semiejes son:

, u(n + b) b((i + b) o = ------ > a : h'=--- < b

2h 211

ya que a > b. Por tanto, los puntos en los cuales el módulo de la tension tangencial es r son los de los

arcos de elipse CD y FT indicados en la Figura IX.10. Como en el ensayo a tracción esta magnitud tiene por expresión

Un tubo de acero de diirnetro exterior D = 50 rnrn e interior d = 46 mrn está solicitado a torsión pura. Sabiendo que la Tension de fluencia drl acero es u, = 25UU kpjcrn2 y el coeficiente de Poisson 11 = 03. calcular el rn9xirno ntomento torsor que puede transmitir el tubo si el coeficiente de segeridad es n = 2.5, aplicando: se tendrá que verificar

L.) el criterio de Tresca, 6) el criterio de la energia de deformación rnisima, c ) el criterio de von Mises.

El momento de inercia polar de la sccción tubular respecto de un diámetro es: I n(D4 - d4) n(504 - 46")

Io = - - 32

= 174 019 mm" 3 7

La tensión tangencial máxima en kp/cm2. si el momento ibf, se expresa en m . kp, es:

de donde:

;M,D A 1 , . 2 5 T~~~ = - - = - 10' = 14.36 A l , kp/cm2

1, 2 174019

TEORIA DE LA TORSlON 607

c) Por e l crirerio de uotr Mises: Sustituyendo valores. se tiene:

Según este criterio (o, - a,)' + (a, - 0,)' + (o3 - u,) ' < 2nl,,. Pero los valores de las tensiones principales son:

810000(100 x d' + ? x 60 r 5'). !O- ' 6n M, = -- - - 605 c m . kp

3 x 100 140

Tomaremos el menor de los valores obtenidos:

como fácilmente se deduce del circulo de Mohr. Por tanto:

IS.13. Se consideran dos tubos de pared delgada, de las mismas dimensiones y material. El radio medio es R y espesor e. Uno de ellos es de sección cerrada y el otro será abierto longitudinal- mente. Si a ambos se les somete a torsión pura, se pide:

de donde: l." flallar las relacionés entre las tensiones tangenciales máximas. y entre las rigideces a torsión cuando ambos tubos están sometidos al mismo momento torsor M,.

2." Calcular la relación entre los momentos torsores qiie se pueden aplicar a los tubos. 3." Determinar la relación de los ángulos de torsion de ambos tubos.

15.12. Un perfil delgado, cuya sección es una 1 de las dimensiones indicadas en la Figura IX.12, esti sometido a torsión pura. Si el módulo de elasticidad transversal es G = 810 000 kp/cm2, calcular el máximo valor del momento torsor si la tensión tangencial admisible es r,,, = 450 kp/cm2, no debiendo de superar el ángulo de torsión por metro de longitud el valor de 6'.

Figura 1S.13. ( (1)

1." E I I el tubo cerrado, en virtud de la ecuación (9.7-10). tenemos:

5r&i 1 c o t a s en mm

Figura IX.12. siendo R* = n R 2 el área delimitada por la linea media p de la sección.

La rigidez torsional es. scgun sabemos: r3

De la expresión (9.7-6) que nos d a la tensi& tangencial máxima en función del momento torsor, se deduce

1 L s,e; M, = --

(100 x 4' + 2 x 60 x S3)10-' rm4. = 450 = 642 c m . kp

3 emrx 3 x 5 x 10-i y tcnicndo en cuenta la ecuación (9.7-15) que relaciona ángulo de torbion po: unidad de longitud y momento torsor, se tiene

Este seria el valor del momento torsor aplicado al perfil que produciria en el miscio una tensión tangencial máxima igual a la tensión admisible.

Para ver si cumple la otra condición referente al ángulo de torsión veamos qué momento torsor tendríamos que aplicar al perfil para que el ángulo gira50 por dos secciones separadas entre sí 1 m sea d e 6". Para ello expresamos el momcnto tnrsor en función d~ O despejándolo de la ecuación (9.7-5) Eii el tubo abierto. dc (9.7-1) se deduce

D i ~ i d i t i ~ d o entre si I J , ecii:iciories correspondientes, tenemos:

Se ob,crva que el cociente de las tensioriss es un valor grande. Por el contrario, la reliición snrre 1.1, rigidece, s j un valor pequeño.

2." Aplicarsmos a anibos tubos, cerrado y abierto, sendos momentos torsores M , y ,Lí./,,, respectivamente, para que en ambos se alcance la tensibn tangtricial adniisible.

En el tubo cerrrido, en birtud de (9.7-1 1). se tiene:

. t íT , = ?i?*r~ ,,,, = 7nR2rr,,,

En el tubo ablerto. por (9.7-1). podemos poner

Di\idierido ambas sspresiones:

3." Ahora el moniento iorsor aplicado a cada perfil es el mismo. pues se trata de coriiparar los ángulos de torsión para una misma solicitación de torsión.

Di- la ecuación (9.7-1 5) se deduce:

y de (9.7-2). análogamente

Dividiendo, se tiene

1 IX.14. [.a varilla del agitador representado en la Figura IX.14-a tiene una longitud 1, siendo su sección 1 1 iranwersal la indicada en la Figura IX.14-h. 1.3s ciratro aletas de la varilla tienen idtnticas

dimensiones, pudiéndose considerar la sección como de pared delgada. Se pide:

I . " Determinar el mhxirno momento torsor que es capaz de resistir la sección. 2." Suponiendo que la acción del fluido agitado es un momento por unidad de longitud m,

tal como se indica en la Figurn IX.14-a, determinar el giro relatiio entre las secciones estrenias de la varilla.

Datos: a,,,, G. Nota: El ángulo de torsión por unidad de longitud es único para el conjunto de la sección.

(h)

Figura IX.11.

1." El momento torsor M, es absorbido por las secciones de las cuatro aletas y por la sección del tubo.

Veamos cuáles son las expresiones del ángulo de torsión de cada una de las aletas, por una parte, y del tubo por otra. El de la aleta, en virtud de (9.7-2). será

y el del tubn, segiin (9.7-15)

Igualando ambas expresiones, se obtiene la ecuacion

que junto con M, = 4M,, + M, constituye un sistema d e ecuaciones que nos permite obtener M, y I M ,


Calcu!emos las tensiones tangenciales máximas en aletas y cilindro. r~spectivamcnt~ ] I

~ M T , - 3rMT T r n l i . = - - se' 6nRJ + 4se'

Como R » e, se deduce que r,,,, > T,,,. por lo que la condición que se tiene que verificar será

de donde se obtiene el momenio torsor máximo que es capaz de resistir la sección

2." La variación del momento torsor en la varilla es lineal desde un valor nulo en el extremo libre hasta el valor 1111 en el otro extremo

Para el cálculo del angulo de torsión por unidad de longitud es indistinto hacerlo en una aleta o en el tubo. Considerando una aleta, tenemos:

31\fra o , = - = 3 M , do = -

GseJ Ge(6nR' + 4se2) d.r

por lo que el giro relativo pedido entfe las secciones extremas de la varilla sera

IX.15. Las paredes del perfil delgado cuya seccibn es la indicada en la Figura 1X.15-a tiene espesor constante e = 1 cm. El perfil esta sometido a un momento torsor hf, = 8 m . ton en sentido antihorario. Conociendo el módulo de elasticidad transversal del material C = 41 GPa, se pide:

l." Hallar la distribución de tensiones tangenciales en la sección del perfil. 2." Calcular la rigidez a torsión del perfil.

TEORIA DE LA TORSION 61 1

Figura IX.15-a. Figura IX.15-b.

l." Aplicando la ecuación (9.7-21) obtenemos los ángulos de torsión por unidad de longitud, correspondiente a cada una de las células que forman la sección, en Función de 10s flujos de cortadura (Fig. IX.15-h).

Corno los angulós de torsión por unidad de longitud de ambas células tienen que ser i_~usles

d e donde

Por otra parte, de la expresión (9.7-18) que expresa la equivalencia entre el momen- to torsor y los flujos cortantes de la seccion se obtiene la ecuaciljn

que junto con la anterior relación entre r , y t 2 forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuyas soluciones son:

Sustituyendo el valor de Af,, obtenemos

El flujo de cortadura en la pared coiriún, según (9.7-17). es

El ,i:no negativo indica que el f lujo de cortadura tiene sentido contrario al supucs- to y, por tanto. la [ensión tangcnciril T.

2." La rigidez a la torsion. por definicion, es

Como

41, = 8 m - ron = 8 x 10' x 9.8 m. N = 78 400 n i . N


Solicitaciones combir~adas

10.1. Expresiór i del potencial intcrno de un prisma rnecánico s o m e t i d o a u n a so l ic i t ac ión e x t e r i o r a r b i t r a r i a

En los capitulas precedentes hemos estudiado separadamente las tensiones y deformaciones producidas en un prisma mecánico por las cuatro solicitaciones simples: esfuerzo nornl;il, csruerzo cortante. momento flector y momento torsor.

Se trata ahora de encontrar un metodo que nos permita obtener los estados icnsional y dc deforniaciones que se producen en el prisma mecinico cuando, en el caso mi5 general, esti sometido simultáneamente a los cuatro tipos de solicitaciones citadas.

En cuanto al estado tensional, el problema queda resuelto al admitir el principio de superposición: la tensión normal a, en un punto de la sección es la suma algebraica de las tensiones normales debidas al esfuerzo normal N y a los momentos flectores M, y M-, actuando cada uno de ellos separadamente. Por la misma razón, la tensión tangencia1 7 es la suma vectorial de las tensiones tangenciales engendradas por T, T, y M,.

El conocimiento del estado de deformaciones ya no es tan simple. Se trata, pues, de encontrar una forma sistemática de resolver este problema. Iniciaremos nuestro análisis obteniendo la expresión del potencial interno de un prisma mecánico sometido a una solicitación exterior arbitraria.

Si realizamos un corte ideal del prisma por una sección recta de centro de gravedad G y elimiiiamos Ir parte de la derecha (Fi,o. 10.1). la reducción en G del sistema de fuerzas que equivale a la solicitación sobre la parte elimiiiada consta de i in i r e d t a n t e R y de un momento resultante hi, cuyas componentes respecto de la terna G . y , siendo el eje x tangente a la línea media y los ejes J., : los principales ¿e inercia de la sección, son:

La resultante y e! .>omento resultante fl serán, en general, funciones de la abscisa curvilinea s de linea media, por lo que al considerai el tramo elemental de prisma mecinico limitado por dos secciones rectas 2: y I' que interceptan un elemento de línea

Dcsprcciando inrinitksirnos de orden superior, 13 expresibn de la energia de deformación es:

Veamos ahora cuáles son las expresiones de - - A los vectores (17 y dg referidos a la terna de : ejes G-Y!.: definidos por los vectores iinitarios i . J . k . I El ingulo (ig es la sunia vectorial de los efecios de giro debidos n l a flcxión y a la

torsion. El ángulo (/OF debido al momento flector se puede obtener aplicando el tcorema 1 de Castigliano a la expresión (6.3-4)

i ?(di;) t(tfF) 1 - ,tl_ -

do, = - + m k = 2 &; + - (1s k a M, Ely El:

'/ Figura 10.1. l I En cuanto al ángulo (lp, debido al momento torsor , \ i r tenemos:

i media de longitud ds (Fig. 10.2). la reducción de la acción que ejerce el resto del prisma sobre este elemento consta: ' siendo / el módulo de torsión, pero hay que tener en cuenta que iG se compone del

l , momento bZx, de rnódulo la componente del momento resultante en la dirección del cjc .Y,

! y del momento debido al esfuerzo cortante aplicado en el centro de esfuerzos cortantes

l C. según se vio en el epigrale 4.12

M, = izTx + CG' x I (10.1-4)

Por tanto, d g se obtendrá sumando las expresiones (10.1-2) y (10.1-3)

- M, 11/ - iif. dO = - dsi + 2 ds j + - tlsz

GJ , El, Elz

Análogamente emontraremos Iz expresión correspandiente a dT que determina el dcspiazamiento de G' respecto de Z debido al esfuerzo n ~ m a l , al esfuerzo cortante y a la rotación alrededor del centro C de esfuerzos cortantes Figura 10.2.

en G (abscisa S), resultante - R y momento resultante -M; en G' (abscisa s + ds),

d R d f l resultante R + - ds y momento resultante M + - ds.

(/S ds 1 De las expresiones (10.1-5) y (10.1-6) se deduce:

Al aplicar la solicitación externa al prisma mecanice, en el elemcnto considerado se ha producido una deformación, de forma que la variación relativa de la sección X' respccto de la sección Z sc puedc considerar como la composición de una traslación d z , quc hacc pasar el centro de gravedad G' a la posición G", y de un giro dj .

En virtud del teorema de Clapeyron podemos expresar el potencial interno dcl elemen- to considerado en función de las deformaciones relativas de la sección Z' respecto de C.

616 u ~ s i s - r t s c i . \ DE . L I A T E K I A L E S

r\t10r3 bien, como:

y;i qus .V es colineiil con ;\ir y el producto mixto es nulo. Adcmij, en virtud de (10.1-1)

- -- .\l.r !\TT 'U+ - - !uT

.\f., . - (1.5 - (.\IT + GT x f).-11s = -(/S + (GC x T ) . - ( ~ s = G J G J G J GJ

Tenicndo en cuenta estos resultados, si sumsnios (10.1-7) y (10.1-SI y sustituimos en (10.1-1) se tiene

Esra expresión nos indica q. el potencial interno por unidad de longitud de linea media del prisnia no es sino la supsrposición de los potenciales internos debidos a cada

i i uns de 1'1s solicitaciones actuando independientemente unas de otras.

El potencial iritsrno de todo el prisma se obtendrá integrando la expresión anterior

en donde S, y S, son las abscis¿s curvilineas de los centros de gravedad de las dos sscciones extremas del prisma mecánico.

Esta expresión del potencial interno es la que utilizaremos para aplicar los teoremas Je Castisliano, blenabrea y Maxwell-Betti.

(3 10.1. hlétodo de Mohr para el c5lculo de desplazamientos en el caso

general de una solicitación arbitrarin

En el epígrafe 5.8 se expuso el método de Mohr para el cilculo de desplazamientos de los puntos de un prisma mecánico sometido a ílexión simple. Ahora veremos que el método es ocneralizable al calculo de desplazamientos, tanto para corrimientos de puiitos como para siros de las secciones, en el caso general de una solicitación arbitraria.

En efecto, siguiendo la metodología allí expuesta supondremos aplicada una carga ficticia 6, que sera una fuerza en e: caso que queramos calcular el corrimiento del punto en el que se aplica, o bien un momento si se trata de hallar el giro de la sección s o b l ~ la quc se hace actuar.

Por el principio de superposición, e! esfuerzo n o m a l , los esfuerzos cortantes, el morncnto torsor y los momentos flectores del prisma mecánico seran la s i m a de los esfuerzos

SOLlClTAClONES COMBINADAS 617

normales, esfuerzos cortantes, momentos torsores y momentos flectores respectivos, debidos a la carga real, por una parte, y a la carga ficticia actuando sola sobre el prisma, por otra.

Por la linealidad entre causa y efecto, cualquiera de estas magnitudes dcbidris a la carga 6 es igual al efecto producido por una carga unidad aplicada en el mismo punto o sección. de la misma dirección y sentido que 6, multiplicado por el módulo de la carga (F.

Ssgun esto. las leyes de esfuerzos y momentos en las secciones del prisma serin:

iV = N, + 4 N i

7;. = T,O + 4 7 , z = T0 + 4c,

M, = M,, + dM,,

1LI, = Myo + ~ I M , ,

M, = Mzo + 41Mz1

en donde:

I . T son las leyes de esfuerzos normales y cortantes en el prisma mecánico sometido a la solicitación real dada.

1i4T0, iMY0, MI, son las leyes de momentos torsores y flectores en el prisma mecinico sometido a la solicitación real dada.

N , , son las leyes de esfuerzos normales y cortantes producidos en el prisma por una solicitación formada exclusivamente por una carga unidad, o un momento unidad aplicada al punto, o sección. en el que se quiera medir el corrimiento. o giro, respectivamente.

M,,, IM,,, M,, son las leyes de momentos torsores y flectores producidos en el prisma por una solicitación formada exclusivamente por una carga unidad. o un momento unidad aplicada al punto, o sección, en el que se quiera medir el corrimiento, o giro, respectivamente.

El potencial interno de la viga, en virtud de (10.1-12) y teniendo en cuenta (10.2-I), es:

+ MTO + 4h,fTl)2 + (Myo + 4iVy1)2 + (Mzo + 4j4z,)2 GJ El, El, 1 ds (10.2-2)

Si 6 es una fuerza y se trata de calcular la proyección sobre dicha fuerza del corrimien- to del punto C en el que se aplica, por el teorema de Castigliano, se tiene:


Análogamente, si & es un momento y s e quiere calcular la proyección del vcctor dcl giro de una sección Z sobre el monlento 4 aplicado a la misma tendremos:

10.3. F l e x i ó n y torsión c o m b i n a d a s

Es poco frecuente que en los problemas que se le pueden plantear a un técnico se presente la torsión en su forma simple. Por el contrario. son abundantes los casos en que aparece combinada con flexión, como ocurre en el caso de ejes motrices utilizados para transmitir potencia, en los que el peso propio, reacciones en cojinetes, etc. producen un momento fiector que hay que considerar; o en el caso de una viga curva plana horizontal (llamada . viga-balcón) sometida a la acción de cargas verticales.

Figura 10.3. . .

Consideremos un eje sometido a torsión y en el cual se considera su propio peso. Suponemos que actúan sobre el mismo fuerzas verticales (cargas directamente aplicadas o reacciones). Al ser la sección circular, las direcciones principales de inercia están indeterminadas. por lo que tomaremos como eje Gy el radio vertical. En estas condiciones el momento torsor MT tiene la d i r e ~ i 6 n del eje x, el fiector M, la del eje z, y el esherzo c g t a n t e T, la del $e y (Fig. 10.3).

Veamos qué estado tensional produce en la sección cada uno de ellos: M, sólo produce cortadura, según sabemos. En la Figura !0.4-a se representa el

espectro de tensiones en una sección para :os puntos de su diámetro vertical. El valor máximo es:

M,, por su parte, causa una distribución de tensiones normales a la sección, dada por una funcióti lineal de la distancia de cada punto al plano Gxz, y cuyo valor máximo corresponde a los extremos del diámetro vertical (Fig. 10.4-6):

SOLICITACIOi.;ES COMBINADAS 619

" 1

Tensiones debidas Normales Tangencialcs a la iorsian Terisioncs debidas a la íiexion

(0 ) (4 (4 Figura 10.4.

Finalmente, la distribución dc tensioncs verticales de cortadura debidas al esfuerzo cortante T, sigue una ley parabólica. que se anula en los extremos del diámetro vertical y toma su valor maximo en los puntos del diámetro horizontal (Figs. 10.4-c y 10.4-4

Este valor es, generalmente, muy pequeño frente a r,,. y a,,,. por lo que no se suclc tener en cuenta. Por el contrario, se considera que en todos los puntos de la sección, a electos del cilcuio del elemento resistente, actúan las tensiones; o,,, en dirección normal a la sección (de sentido positivo si se trata de tracción, y negativo si están sometidos a compresión), y rmaX, de dirección perpendicular al radio que le corresponda.

Ahora bien. a,,, y r,,, son las componentes normal y tangencia1 del vector tensión en una superficie elemental contenida en la sección recta. Considerando otra sección elemental. ortogonalmente a la anterior (Fig. 10.5-a), los valores de las tensiones principales se obtienen inmediatamente a partir del circulo de Mohr correspondiente (Fig. 10.5-b):

Figura 10.5.

620 RESISTENCIA DE XtATER1,ALES

Asimismo, se obtienr el valor de In tensión de cortadura mixima:

Sustituyendo los valores de r,,,, y o,,, dados por (10.3-1) y (10.3-2). se tiene:

Las miximas tensiones principales se produciriii. en gerieral. donde las tensiones debidas a la Ilesion son mayores. es decir. en la parte supcrior o inferior de la sección del prisma que esiii soinetida al momento flector máximo. No obstante, esto puede no ser cierto y hay que considerar otras posibilidades, y calcul;ir, por ejemplo, las tensiones principales sn los puntos de la seccion que son extremos del eje neutro, aunque, como ya liemos dictio, por lo general, los valores de T,,,, sean pequeños frente a T,,, y o,,,.

u Figura 10.6.

Si la sirstentación de la viga no es el apoyo simple, o si 13 sección del prisma no es circular, se puedcn calcular los valores de las tensiones principales en diversos puntos del prisma, en los que bien la tensión normal o bien la tcnsión cortante tomen valores máximos, y compararlos. Se tendrá de esta forma una razonable seguridad de haber obtenido los niriximos valores absolutos de Iás tensiones.

Si se trata de calcular el diámetro de un eje. éste se determinará a partir de estos máximos valores absolutos que, en general, serán los dados por las ecuaciones (10.3-61, aplicando alguno de los criterios de resistencia que ya conocemos.

Dentro de éstos es quizás el de Tresca el que nos resulte de más comodidad a la par que nos aporta la mayor seguridad. Según este criterio. si el limite elástico es a, se tendrá que vcrificnr:

SOLICITACIONES COMti lNADAS 621

y. en virtud dc (10.3-6). resulta:

10.4. Torsióri y cortadura. R e s o r t e s de torsión

Otro ejernplo tipico de torsion combinada es el de los muelles o resortes de torsión. Consideremos un alambre de seccion transversal constante, que supondremos circular,

cuya fibra media adopte la configuración geornétrica de una hélice y esté sometido a un esfuerzo de tracción k- en la direccibn de su eje.

Realizando un corte en una sección recta, en el centro de gravedad de la misma existirá una fuerza igual y coniraria a F y un momento M opuesto al de la fuerza F respecto de G

i (Fig. 10.7).

Tomaremos como eje Gy la intersección del plano de la sección con el plano que contiene a F y es tangente a la fibra media cn G (plano que, para la sección que se ha tornado en !3 !ígara, 2s pardelo al plano del papel, por lo que los vectores F y M, así como sus componentes según los ejes Gx y Gy pertenecientes a este plano, aparecen representa- dos en verdadera magnitud).

La fuerza F admite dos componentes:

siendo U) el ángulo helicoidal que es constante para todas las secciones del muelle.

La primera componente N produce un efecto de tracción O compresión. mientras que la segunda T, lo produce de cortadura.

También el momento M tiene dos componentes:

FD M, = ,Cf cos O = - cos O

2 ( 10.4-2)

FD M, = M sen O = - sen O

2 siendo D el diámetro medio del resorte.

La primera componente M, es un momento flector que causará un efecto de tracción en media sección (en > 0. por ejemplo) y compresión en la otra media (en r < O). La segunda componente, de dirección tangente a la fibra media en G, es un momento torsor.

Para muelles que tengan las espiras muy próximas, el ángulo helicoidal 0 tiende a n/2, por lo que tanto N como M, se pueden considerar despreciables. En este caso las tensiones en la sección recta son exclusivamente de cortadura.

Tensiones debidas Tensiones debidas al momento torsor al esfuerzo cortante

Figura 10.8

En la Figura 10.8 se han indicado los espectros de las tensiones debidas al momento torsor y al esfuerzo cortante para los puntos del diámetro A B (coincidente con el eje Gz dc la Figura 10.7). Se observa que la tensión máxima aparece en el punto A, es decir, en el lado interior de la espira.

Para estudiar la deformación del resorte podemos considerar, caso dc ser las espiras muy próximas, que el radio de curvatura de la línea media es, con gran aproximación, igual al radio medio del muelle.

Sea el resorte de la Figura 10.7. La expresión del potencial interno, despreciando los' términos debidos al esfuerzo normal. al esfuerzo cortante y al momenio flertor, por :caer valores muy pequeños respecto al correspondiente al momento torsor, es

Por el método dc Mohr, el desplazamiento total 6 de los extremos del rcsortc scrá:

SOLICIT,ZCIONES COMBINADAS 623

estando extendida la iniegral a lo largo de toda la linca media del rcsortc. y siendo

! M T = F . R ; hd,, = R

Sustituyendo en (10.4-4) y suponiendo que el mucllc tiene t~ espiras. se tiene

Esta expresión de S se puede poner en función de los diameiros D de la espira y [í del alambre.

FD' 32 8 FD3n 6 = -- - 2nn = --- 8G nd4 G<i4

Si de esta ecuacion se despeja F

se deduce la expresión de la rigidez del resorte

Además de esta deformación. el alambre ha experimentado un giro debido al momento torsor cuyo valor para un tramo comprendido entre dos sccciones rectas, de longitud As medida sobre la línea media, es, en virtud de (9.2-1 1):

10.5. Fórmulas de Bresse

Por considerarlas de gran interés con vistas a las aplicaciones al cálculo de las deformaciones de !as piezas curias, obtendrenios aqui las fórmulas generales de Bresse que nos permitirán calcular los corrimientos de los puntos dc la Iínea media asi como los giros experimentados por cualquier sección recta de un prisma rnccár,ico.

Admitiremos que se verifica la ley de Navier referente a ;a conservación de las secciones planas. Aiin en el caso de sufrir las secciones un cierto alabeo producido por el esfuerzo cortante o por el momento torsor, sustituiremos la ley de Navier por cl principio e Navier-Bernoiilli getieralizarlo que sc ciiuncia así:

((Dos secciones rectas 1 y X, dc un prisrna niccrinico. indcfinidamcnte próximas, sc convierten despuks dc la deformación en dos secciones 1' y Y, indcfinidamcnic próximas superponibles medianic un movimiento quc, en el caso general, estari compuesto dc una traslación y una rotación indefinidamente pequeñas ambas.))

624 RESISTESCIA DE LIATCRIALLS SOLICITACIONES COhlBINADAS 625

Consideremos. pues, dos secciones rectas Z y 'rl correspondientes a las absciscis curvilineas s y s ; tls, medid:is sobre la linea media.

Antes de la deformiicitin. sl rnobiniiento par:i superponer 1 y E , consta de una rraslnción 7.- ds y de uri3 rot:ician ('7 (1) iFig. 10.9-0). si ;. y c7 son I i i tr;isl:icibn y giro, respc.c[ivamenre, por unitlad de longitud de linea media entre las sc.cciones rectas del prisma mecinico.

Después de la deformación, la traslación tiene por valor (7 + 6 7 ) (1s y la rotación (W + So) ds (Fic. 10.9-h).

Figura 10.9.

Por tanto. dejpurs de Iri deforrnlisibn 13 sección 1': sufre un despl:izainiento relativo respecto de la misma sección Z, antes de la deformación. compuesto de una traslación

y de una rotación:

(W + 6W)ds - Wtis = 6WrI.7 (10.5-2)

Obsérvese que se ha despreciado la traslacihn debida al ángiilo de giro. Esto es válido por tratarse de un infinitésimo de orden superior respecto a 67-ds. En 62ct0, el módulo de la traslación de El debida al ángulo de giro de 1 será:

Considcrrmos ahora dos secciones rectas Zo y 1, de abscisas curvilineas so y S ,

respectivamente. En este raso no seri válido despreciar la traslación debida al ángulo de giro, pues el radio rio será, en general, un diferencial, y al girar cualqiiier sección intermedia ., un cierto ángulo arrastrará en su giro a todo el resto de la pieza (Fig. 10.10).

Debido a! giro de la sección S la sección 1, de centro de gravedad G, experimenta una traslación:

De d.s x G T ,

Figura 10.10.

, La tr:islación de IR sección Z, debida al giro de todas las secciones intermedias,

! considerando el efecto de todas estas secciones intermedias, es:

Por consiguiente, la traslación total seri:

- 1 i. = l ( s ~ + ao 4 I

/ y la rotación:

i S. u's (10.5-5)

Si 13 sección 1, pasa a la posición Yo mediante la trasi'ación &, y el giro 6,. las

1 ccuaciones (10.5-4) y (10.5-5) se convierten en:

Veamos cómo están relacionados 6T y 60' con los esfuerzos que se derivan en el prisma mecánico antp una solicitación externa general.

Del razonamiento hecho anteriormente se deduce que 62 y 6 6 son la trailación y el giro de una sección debidni a la deformación. La causa de la traslación definida por 61 en la sección X (Fig. 10.1 1) es la resultante R de las fuerzas que actúan sobre la parte situada


a la derecha de la misma. Es decir, como las componentes de R son (N, T,, T,) referidas a la terna G.ryz con origen en el centro de gravedad de la sección considerada, de la ecuación (10.1-1 1) que nos expresa el potencial interno y aplicando el teorema de Casti- gliano, se deduce:

siendo R , , y R,, las secciones reducidas. Por otra parte, la causa del giro definido por 6 0 es el momento resultante respecto

de G de las fuerzas que actúan sobre la parte situada a la derecha de la sección E. Como :

las componentes de M respecto de la terna G.ryr son (M,. M,, M,), se tiene: 1

Teniendo en cuenta las componentes de 6 1 y 6 0 dadas por (10.5-8) y (10.5-9). poderilos expresar la traslación %tal X de la sección X, & la siguiente forma:

I

- - siendo C el centro de torsión e (i, j , k ) los vectores unitarios en las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente.

Análogamente, el ángulo girac!o por la sección 2, sería:

SOLICITACIONES COMBINADAS 627

Proyectando estas ecuaciones vectorialcs sobre los ejes de un sistema de referencia fijo 0-z (Fig. 10.1 1 ) se obtienen seis ecuaciones escalares denominadas jornrirlas de Bressc, que permiten conocer los desplazamientos (corrimiento y giro) de una sección cualquiera del prisma conociendo los desplazamientos (zo, 6 , ) de una determinada sección Lo.

Estas fórmulas son completamente generales, es decir, se pueden aplicar a cualq~iier prisma mecinico, independientemente de la forma que pueda tener éste. La aparente dificultad que presentan se deben precisamente al carácter de generalidad que las mismas tienen, aunque aplicadas a casos particulares se simplilican de forma muy considerable.

Una característica que presentan las f<jrmulas de Bresse es que pueden ser aplicadas a sistemas hiperestáticos, ya que las ecuaciones complementarias que rclacionari las deformaciones, necesarias para completar las eciiaciones de la Estatica, van iniplicitas en ellas.

EJERCICIOS

1 Un t u h de acero forma un codo de 90" y tiene la sustentación y dirnenrioncs indicada en la Figura X.I. 1.0s diametros exterior e inrerior del tubo son D = 11 cni y d = 9 cm, respectivamente, y su línea media se encuentra situada en u n plano horizontal. Conociendo los m6dulos de elasticidad E = 21 x lo6 kp/cm2 y G = 8.2 x 10' kp/crn2, calcular el descenso vertical y el giro de la sección extrema libre ,4 cuando se aplica en la misma una carga P = 500 kp.

(c) Fi~ura S.1.

Las leyes de esfuerzos y de momentos en los tramos AB y BC del codo son:

. u) Debidos a la carga P = 500 kp

-en el tramo AB: 7, = -500 kp hI, = -5OO.rcm.kp; O < .r < 1OOcm h f , = O

- En el tramo BC T, = -500 kp hfI = -5OO.rcm.kp; O á . r á 150crn M, = 50000 cm. kp


y.?. Un irbol de acero de alta rebistencia, de longitud 1 = 1.80 m, traiismite una potencia rV = 800 CV girando a n = 300 rpm. El árbol lleva fiin un volante que equidisti de las poleas y pe3a P = 1500 kp. Se supone que los cojinetes estin situados en los centros de las poleas. Calcular el radio niiniino del irbol si la tensióii adniisible a traccihri e, o,,, = 1600 kp/cni2.

h) Debidos ii iin;i c:irr;i uriidad :iplic:ida eii la ~ c c i ó n extrem;i A (Fig. 8.1-h)

Volante

m P = 1.5 ton en cl tranio BC: T,, = - 1

.\f:, = + .v . O .Y < 150 cnl .1/,, = 100

c ) I>ebidos a un moiiierito unidad aplic:ido a la seccibri etirema .-í (Fiz. X.l-c) -en sl rrcinio Aí l : 7;, = O

.\f:, = l = o

-en el tramo BC: T,, = O , 2 - I , , = o . \ l l , = - 1

Par3 c~lculnr el descenso vertical de la sección A aplicnreinos e1 niitodo de Mohr. Despreciando el efecto producido por el esfuerzo cortants. isnenios:

El árbol est i solicit:ido a torsión y a flexión. Secun se ve en la Figura X.2 la sección del eje sometida a m;iyor momento flector es la situada en la mitad del eje.

El niomento flector M, origina una distribución lineal de tensiones norm;iles, cuyo valor niriximo se presenta en los puntos de 13s fibras superior e inferior:

Por su piirte. el niomento torsor produce una distribución de tensiones d e cortadura cuyo valor máximo, para los puntos perifericos, es:

El sigilo positivo nos indica que el desplazamiento de la sección extrema A tiene el mismo sentido que el de la carga ficticia aplicada. es decir, que tiene seniido descendente.

Anilogamente. para calcular el giro de la seccióii A aplicarenios tambien el método de .

Mohr

De las condiciones dadas en el enunciado se deduce el valor d e A{,. Si N se expresa eri CV. se tiene

60 x 75 2250 x 800 M, = - N = = 1910 m - k p

Zntr 3.14 x 300

En los ptintos que presentan simultáneamente los valores de a,, y r,,, se pueden calcular los valores d e las tensiones principales y la tensión de cortadura mixima r,,,, mediante el circulo de Mohr.

0 , = -0.00186 rad EII El signo negativo nos indica que el giro de la sección extrenia A tiene el sentido opuesto

al del momento licticio :iplic:ido, es decir. el giro experinientado por la sección tiene sentido I 4

antihorario. i

SOLIC!TACIONES COMBINADAS 631

1 Figura X.2-h.

Sustituyendo los valores d e o,,, y T,,, en función de los momentos Af, y M, queda:

t... = 2 = R = 4 10 n R

Aplicando el criterio de Trcsca. se habra de verilicar

de donde

4 4 x 10- R3 2 - .,/m = m J675' + 1910' cm3 = 161.20 cm'

no.dm

X3. Un redondo de acero al carbono que tiene la forma y dimensiones indicadas en la Figura X.3-a esta perfectamente empotrado en un paramento vertical. Calcular el radio necesario para resistir una carga P = 250 kp aplicada en el punto medio del ! lado paralelo al paramento, si las tensiones mhximas admisibles a tracción y cortadura son

O o,,, = 1200 kp/cm2 y r,,, = 720 kp/cm2 respeciivarnente. I

Supondremos la dimensión b pequcíia en relación a a. Esto nos permite considerar la ?arte A B empotrada en sus extremos.

Esta parte trabaja a flexión, mientras que las BC y AD a torsión principalmeiate. Los momentos de empotramiento en A y B son precisamente los momentos torsores que actúan sobre AD y BC.

Supongamos, pues, una viga recta de longitud a = 1.20 m empotrada en sus extremos: y cargada en su punto medio con P = 250 kp. Los momentos d e empotramiento en B y A son iguales, por razón d e simetría.

De la observación del diagrama de momentos flectores en esta viga (Fig. X.3-b), se deduce que los momentos d e empotramiento son, en valor absoluto:

' \

, .., .- -

Figura

Figura X.3-b.

y que el niomento fiector máximo tiene también este valor.

nr' hf,,, = 3750 c m . kp = W Z . o , , , = - ozdm

de donde:

r 3 = 4 x 3750

= 4 cm' 3.14 x 1200

el diámetro del redondo sera:

Este resultado sera valido si no se supera en AD y B C la tensión admisible a cortadura. Se comprueba, en efecto, que la tensión de cortadura niasima en estos tramos es:

X.4. Un prisma mechnico de línea media rectilinea y seccibn recta constante est i sometido a íiesión y torsión combinadas. En un punto P del prisma, se pide:

1." Determinar la matriz de tensioner 2." Calcular las tensiones principales. 3." [lallar las relaciones que tienen que verificar las componentes dc la matriz de tensiones

para que el material del prisma en el punto P no se ~~lastifiquc si se tonia como criterio: a) el criterio de la tensión principal rnhxitiia. b) el criterio de I'rnca. b) el criterio de von Mises.

SOLICITACIONES CO~.I»INADAS 633

l." Toiii.iiido ur i ,iitcin:i CIC rcfcrciici:i de eje .r coincidcriic con Id línea iiic<li;i y cjcs J.. : los principales dc iricrcia de 12 seccibn eii la que se encuentra siiuado el plinto P. el niomento n ~ c t o r . que. i-ri ~cner.11. tr.ndr.i componentes .il,, .ll,. d:iri l u ~ a r a terisiones fin-. y , , , :,, ,obre I;!z cnr:i, Jt. u n sriiorno elc.rnr.ntal que cnvur lv~ ;iI puriiu 0. E1 v:ilor de 13 pr1rner.i \eiicir;i d.ida por la ley de Naiicr: las otr:is dos. por la fbrniul:~ ds Coli:noii.

III momenio torsor. por su p.irte. diiri ¡usar a tensioiies r,,, r,;. E n virtud del principio de juperposicióri. la niatriz de iensiories sera

Sustituyendo las expresiones de las tensiones principales antsriornientc obtenidas y simplificando se obtiene:

X.5. Uo prisma cilíndrico de sección recta circular de radio R = 5 cm y loi~gitud I = I ni es i i eiripotrado en un extremo y libre en el otro, de lornia que su linea niedia esta coiiienida en un plano Iiorizontal. Mediante una pieza de rigidez infinita, unida a la sección del extrenio libre, se aplica una carga P = 500 kp cuya línea de acción se encuentra a distancia d = 30 cm drl rje verticsl que contiene el centro de la :sección. Se pide:

l." Determinar la ley de variación del módulo del vector tensión en los puntos de l a generatriz superior del prisma para planos perpendiculares a la Iínea media.

2." Conocierido los ralores de los módulos de elasticidad E = 2.1 x 106 kp/crn2 y C = 8.4 x lo5 kplcm', calcular el corrimiento vertical del punto de la linea de accióri de 1 i carga que antes de ser aplicada pctrrnece al plano hurirontal que contiene a la línea media del prisnia.

2 " De la nisirir J e i~.nsione'; se dcdiicr la ecuación caracteristica

de I:i que se obricncn las tensiones princip;iles:

1." Una sección a distancia .r del extremo libre se encuentra sometida a un momento flector ICI, = - P.r y a un momento t o n u r M, = Pd.

En el punto de la generatriz superior @ y en el plano d e la sección el vector tension correspondiente tiene de componentes intrínsecrts la o,,, debida 21 momento íiector y la

debida al momento torsor.

3." U ) Segun el criterio de In tensión principal mixima el valor de ésta tiene que ser menor que el lim::e elistico u,

U,, + JCix + J(T;, + T;;) <

b ) Si se aplica el criterio de Tresca se tiene que verificar

Por tanto, la ley de

o

variación del módulo

= \ki' + di; =

del vector tensiQn

(.) Segun el criterio de von hlises:

(CI - o')? + (U2 - o,)? + (o, - U,)' < 20:

6

Sustituyendo valores. se obtiene:

m=- 7." El descenso del punto C consta de dos términos: uno. el correspondiente al descenso del

centro O de la sección extrema debido a la flexión que, como sabemos, tiene por expresión

y otro, debido a la torsión del prisma. El giro de la sección extrema. segun (9.2-1 1 ) es:

El corrimiento debido al giro sera

Por tanto, el corrimiento vertical del punto C s e r a


6 , = 'O2 ) cm = 0.216 cm

se obtiene:

X.6. Sobie una pieza de forma paralelepipédica, cuyas :ongitudes i e las aristas son: a = 40 cm; b = 1 20 cin; c = 10 cm, actúa la solicitaci6qjndicada en la Figura X . 6 6 y compuesta por:

a ) un momento flector M, = 200 m - kp, que se supondra uniformemente repartido en planos perpendicalares a las curas de aristas de longitudes a y c.

b ) un momento !r>rsor M; = 80 m . kp, de eje paralelo a la arista de longitud a. c) un momento torsor Mf = 210 m , kp de eje paralelo a la arista de longitud b. l Calcular el vector tensión en el punto L, centro de la cara superior, para la orientación definida por el plano que pasa por L y por 10s vertices E y J.

Veamos qué tensiones existen en las caras del elemento que rodea al punto L, referida al sistema O.ryr indicado en la Figura X.6-b..

El momento flector M, produce una tensibn normal u,, (Fig. X.6-c), de valor


' D b C / - C

Figura X.6-a. 3" i i~11ra X.6-b.

Figura X.6-c. Figura X.6-d. Figura X.6-e.

Por su parte, el momento torsor da lugar a una tensión tangencia1 r,, (Fig. X.6-d) cuyo valor se deduce dé las Tablas 9.1 y 9.2, teniendo en cuenta que es en el punto L de la sección rectangular en cl quc se presenta la tensi6n mixima

b ya que para - = 2: cr = 0.246.

C

Análogamente. el momento torsor Att da lugar a otra tensión r,, (Fig. X.6-e), de valor

M; 210 x 10' = - = = 18.67 kp/cm2

nac' 0.232 x 40 x 10'

ya que para = 4: a - 0.282. C

La cuprposicibn de los tres erectos d a lugar r un estado ten&onal, cuya matriz de tensiories en L es .

Veamos ahora cuál es el vector unitario normal al plano BEJ

636 RESISTENCIA DE rMATERlALES SOLlClTACIONES COMBINADAS 637

De elte producio vcct~~rial , noriiial al plano. sr dscliice el vcctor unit;irio N a1 mismo La tensión tarigenciiil r es drbidzi 31 momento iorsor. Su valor. si R., es el radio medio. es:

Podrnios considerar que el elcnicnto ,,ti soniciido a deformación plana. Teniendo en cuent:i que la terisióii principal máxima no puede superar el valor o,,,, = 12(H kp!cni2, del circulo de Xlohr (Fig. X.7-e) se deduce:

El vrctor irii~ióri pedido e,, pus,

es decir, el vector tension en L, para la orieniacion definida por el vector unitario C. es paralelo al plano de la cara superior de la pieza. S u modulo es:

S.7. Cn tubo de acero de radio exterior R = 10 cm y espesor e = 1 cm y de longitud prácticamente indefinida e>ta ~orritrtido a un nioniento torsor d.1, = 600 m . kp y a una pre3ión interna p. Conociendo el valor de la ierisión adniisible en el materi~l . tanto a tracción coirio a compresi6n, o,,, .- 110 kp/crii' y admitiendo que las tensiones tangenciales debidas al inoincnto torsor son uniforines eri el espesor. dcierrninar el rniximo valor que puede tornar la presión interna p.

( (1) Figura X.7.

I (4

(1200 - 4 .5~ ) ' = ( 4 . 5 ~ ) ' + 105.52'

Aislando un elemento limii3do por dos planos diameirales y por dos planos transversales. indefiriidamente pró.rimos entre si ambos (Fig. X.7-o). se tienen sobre sus caras las tensiones indicadas en la Figura X.7-h.

de donde:

S.8. Un eje vertical de acero dulce del tipo A 37, que está empotrado por su extremo inferior. tiene un radio R = 5 cm. En la sección extrema superior se splica un momento torsor M , = 1000 i i i .i.p y sobre ella dscanba una carga P = 10 ton.

. Estudiar el estado tensional exisgnte en el interior del eje calculando en particular las tensiones principales en magnitud y dirección para un punto a distancia r = R/2 del eje geométrico de la pieza. Comprobrr si es superada en algún punto la tensión máxima admisible. Datos del acero A 37: u,,, = 1200 kp/cm2; T,,, = 800 kp/cm2.

, , . , Figura IX.7.

El eje considerado está solicitado pc; una acción combinada de compresión y torsión. Sea P un punto interior a distancia r del centro de la sección recta que la contiene. El

primer efecto de compresión se traduce, para una superficie elemental que rodea a P y está contenida en la sección recta, en una tensión normal o, a la superlicie, de valor:

El valor d e la tensión normal o se puede obtener planteando el equilibrio en medio tubo (Fig. X.7-c) de longitud unidad

siendo R , el radio interior. que es constante cn toda la pieza.


de donde:

1 Figura X.8-a. Figura A.8-b.

Por otra parte el momento torsor M, causa una tensión d e cortadura T contenida en el plano de la sección recta. perpendicular al radio G P y de valor:

Sea n el plano que contiene a ambas tensiones. Este plano resulta paralelo al eje de la pieza y perpendicular por tanto a la sección recta. Considerando un haz de planos que contienen el radio G P se pueden obtener para estas orientaciones las componentes normal y tangencia1 del vector tensión utilizando cl circulo d e Mohr (Fig. X.8-b).

Fácilmente se deducen los valores de las tensiones principales:

Sustituyendo valores se obtiene:

Las tensiones principales están contenidas en el plano n y valen:

o, = 198.8 kp/cm2 (tracción)

o, = -326.1 kp/cm2 (compresión)

del mismo circulo de Mohr se qbtienen las direcciones principales:

direcciones contenidas en el plano n indicado en la Fisura X.8-o. Las tensiones tansenciales rnixirnas se dan en los puritos periícricos en los que

Las tensiones principales en estos puntos son:

que no supera el valor de la tensiRn adniisible

X.9. Un eje hucco de acero, de diámetro exterior D = 12 cm e interior d = 6 cm, ha de transmitir una potencia de N = 800 CV girando a n = 500 rpm. El eje esta sometido a una compresión de r" = 5 ton y es lo suficientemente corto pJra que no haya que considerar fenbmenos de pandeo. También lleva un volante quc produce en el eje uii niomcnto ilector mi\imo Af,. Calcular el niayor valor que puede tcner ,VI, para que el ~ a l o r de la nihsinia tensión principal no supere el valor a,,, = 1000 Lp/cm2. El eje que se considera esta sometido a una solicitación combinada de compresión, ilexión y torsión.

Los valores miximos de la tensión tangencia1 debida al momento torsor y la normal d:bida al momento fleclor se presentan en los puntos dc las secciones rectas que pertenecen a las generatrices superior e inferior del eje. Sus correspondicatec expresiones son:

Conio la tcnsión priricip;il mixima es:


2." Si o = bfi. a, es también una función creciente. Su máximo se presenta también en el vértice A. Su

valor es:

3.0 si o > bfi. Estudiemos la función o, = /(!). Veamos si tiene máximos relativos. Si los tiene se tiene

que verificar: - - do, 2 M - = - y .nab

d e donde

solución válida si y < a.

X.11. Un resorte helicoidal de una balanza para carga máxima P = 10 kp tiene un diámetro de espira de 2 R = 4 cm. Se pide calcular:

l." El diametro del alambre, si la tensibn maxima admisible a cortadura es T.,, = 1000 kp/cm2.

2." El alargamiento del muelle cuando esta aplicada la carga máxima, si n = 12 es el número de espiras.

Se tomara como módulo de elasticidad transversal G = 85 x los kp/cm2.

Figura X.ll.

SOLICIT4CIONES COMBINADAS 643

l . " Segun se ha visto (Fig. 10.8). la tensión mixjinn d e corradura en la seccihn de un mucllc se presenta en el punto i n ~ e r i o r de la espira. Esta tensión rnrixima consta de dos términos: T,. debida al momento torsor

y r , . debida al esfuerzo cortante

Se tendrá que verilicar,

Sus~iiuyendo valores:

en donde r viene expresado en milimetros. Esta inecu:icion sc piicdc rcsolver por tanteo viendo el menor valor entero de r que la satislace.

Resulta:

2." Aplicando !; eciiición (10.4-5) tenemos:

X.12. Un resorte helicoidal compuesto esta formado por dos resortes, coloc-do uno en el interior del otro. Las caracterlsticas del resorte interior son las siguientes: tiene n , = 10 espiras de diámetro d, = 5 ,nm, el dilrnetro medio es D I = 60 mni y su longitud cuando no esta sometido a esfuerlo alguno es 1, = 80 mrn. El resorte exterior tiene n2 = 8 espiras de diáinctro d , = 7 mm, su diimetro medio es D, = 75 nlrn y su longitud cuando no está comprimido 1, = 70 mm. Se comprimen ambos resortes entre dos placas paralelas hasta que la distancia entre las dos placas es de 60 mrn. Si cl módulo de elasticidad transversal c i G = 8.4 x 10* kp/cm2, se pide:

1." Calcular la rigidez de cada uno de los resortes. La Hallar la carga aplicada a las placas. 3." Determinar el valor dc la terisión maxirna de cortadura en cada resorte.

1." 1-a rigidcr de cada rchorte ch. bcgiin la exprrsibn (10.4-Y) 1-a condicit,n de lorigitud del resorte c!s;i~ido las espiras se tocan nos proporciona la

eciiación

,ir/ = 1 = 60 mni

y d ~ . la coritlicion dc ser la tensión tangencia] niixiina i-u~il a I;i terisión ;idiiii>iblc 3

cortadura. se tiene:

2." L3 c3rp.1 que j o p o r t ; ~ cada uno de los resortes es:

Sustituyendo en la primera ecuación. teniendo en cuenta la segunda:

L.I carga 10131 aplicada 3 1.1s pIac9s se r i

d c doiide:

Lo Despreciando e1 efecto del esfuerzo cortante la tensiOn tangencial en un resorte será la dcbida al momento torsor. Su valor minirno cs:

Finalmcnie. el numero ti d e espiras es:

Particularizando esta ecuacion para los resortes interior y exterior. respectivamente. tenemos S.14. Cuando se comprime un resorte helicoidal de n = 10 espiras cerradas, produciéiidose un acorta-

miento 6 = 5 cm, se absorbe una enerbía F = 2 5 m - kp. Si el diúmetro medio de la espira es nueve veces el del alambre, calcular los diámetros de la espira y del alambre, asi como el valor de la tensión tangencial niixima. El rnódulo de elasticidad transversal es G = 8 4 x 105 kp/cm2.

De la expresión de la energía d e deformación. expresada como trabajo d e las fuerzas exteriores,

X.13. Se quiere construir un resorre helicoidal de rigidez X- = 1 kplcm, tal que su longitud con las espiras tocandose entre si sce I = 60 mm, para una carga nihsima de P = 5 kp. Sabiendo que la tensión tangencial admisible del material es r,,, = 800 kp/cm2 y que su módulo de elasticidad rransversdl es G = 6 x 105 kp/crn2 se pide calcular el diiritctro del alambre, el diimetru medio del resorte y el número de espiras.

se deduce el valor d e In fuerza que coriiprime el resorte

De la expresión (10.4-8) quz nos da la rigidez se deduce una relación entre las incógnitas C o m o B = 9íi y ti = 10. cn virtud de (10.4-6), se tiene:

SOLICITACIONES COLIBINADAS 647

de donde:

d = 13.88 mrn D = 125 rnm

La tensión tangencia1 rn ix ima, despreciando el efecto del esfuerzo cortante, es:

r,,, = 1190 kp/crn2 EIIIl X.15. Una viga de seccion circular constante, que admite un plano vertical como plano de simetría,

tiene por linea media una semicircunferencia de radio R. E l extremo A esta sujeto a una articulación lija, mientras que el extremo B l o está a una articulación móvil, ambas en el mismo plano horizontal. L a viga está sometida a una carga vertical F aplicada en su punto medio C. Calcular, mediante la aplicacibn de las fórmulas de Bresse, el corrimiento vertical del punto Cy el giro de las secciones extremas A y B.

Consideraremos el t ramo AC, es decir. las secciones para valores de O comprendidos entre O y 4 2 . Los csfuerzos y momentos en l a sección de ccntro de gravedad G son:

L a ecuación (10.5-10) que nos da el vector corr imiento de una dcterniiriada seccion. aplicad;^ a la sección C de la viga que corisideramos. se reduce a

- /. = <;i, x rt c 4 m + -J-y)Rl/u GQ,, L ,O 1"' (?-5 E / , 1- x E ) / ~ ( / o

s ient lo i . 7. los vectores unitarios en las direcciones de los ejes .Y. J.. r. rop~ct ivnrner i tc

C;ilciilcrnos previ:inicrite el r i r o de I:is scccioiies cxtrernns. L a proyección de la ccu;icibn (10.5-1 1). sobre el eje :. tcriiendo sn citt.rir,t que I:i rotacibri

de l a seccibn C es nula p o r razón de sinietria. nos perniite obtener estos sirus

de doride:

F R ~ F R ? O),, = (7l - 2 ) . ( l J 8 = -- ( X - 2)

J El: J E I ,

Para calct113r el corr imiento vertical c , del punto C proyectaremos los térrninos de esta ecuación vectorial sobre el eje vertical Y.

n / z Aí, 9 0 - 0 9 0 + 0 + jo EI Z R sen-sen - R 110 = 2 2

+ $ jin" COS o([ - COS o,,

Por t;into. el corr imiento vertical del punto C es:

Apéndice

FOvlnt~las gelzerales de ln Norma Básica M V- 103 para el cúlculo

RESISTENCIA DE U N C O N J U N T O DE CORDONES DE SOLDADURA 1 Caso 1 h lk i tac ibn .

F6rmulas generales de la Norma B4sica MV-103

La distribución de los esfuerzos en cada cordón se hace segun los procedimientos de la Rcsis- tcncia de Materiales. La Norma Básica MV-103, en su anejo 6. recoge los casos estudiados en la UNE-14035, debidamente adaptados al cálculo en agotamiento, quc reproducimos en las pigi- niis 651 y 652.

Tracción

Caso

Sólo soldaduras laicrala

/ Sólo ioldaduras f r on iab ' 1 1

Solicitaci6n

Tracción

1 Sólo soldrduras oblicuas . 1

F.

UniOn

Soldaduras frontales y latcralcs, combinadas

Expresión practica

Para L, 2 1.5h. S610 sc consideran los cordoncs latcralcs.

F.

0,75Z,iL

Sc dcbe evitar cl cordón L, dc! caso 6.

Tracción

Soldaduras Ironialcs y laicralcs. combinadas

Para O.5h < L, < 1.511 Esfucrro mirlmo apnz dc irans- miiir la unión.

F,,, = A'F, + F, F, =/iL,n,a. Fl =O.75Zo,L1n.

En estas erprcsiones:

I K = I + 2 scn' O

Tracción

e -- 0 10 20 10 U)

(O M)

70 S0 YO

Soldaduras Ironialcs y laicralcs. combinddas

* F . F. 4

"1 ,":

K

1.m 0.95 Los valorcs dc 8 0.81 vgUn cl caro 3 0.66 0.9 Dcbc curnpllrsc 0.46 0.40 F. < Fma, fl.36 0.34 0.33

Para 0.5h < L, < 1.5h. Fxfucno ni;irimo capaz dc transmitir la univn.

1.0s valorcs de @segun el caso 3. Dsbc cuniplirw:

i

Para L, a O.5h. Esfuerzo mjrirno rapaz dc Irans- mitir la unión

F,,, = f , + 113 F, F, =/?L,u,a. Fl =0.7SZLlala.

Los valores dc B según cl caso 3. U c k cumplirse:

F. < Fmj,

7

Soldaduras frontales y laicrala, combinadas

Tracción

- - - 'T," <l.!+ ¡ .Y(;:>+ r:?~ <

4 O"

Eri cstas ciprclioncs:

3 F.? m . = - . -

7 oL2 V - 3 t-.<

r.--- -. Ti oL' v -

F. r - - . .-. ?dL

Para t. » L

F'r o,.=3.ji <

"12 .. O.

Torsibn y C S ~ U C ~ ~ O

COr13nIe cornbinridos

,+e

G i )

06: 4

c 4

1: . d

'P 19 iJ

b @

c 3

r-4 f

I

1 Sblo soldaduras front3les

Torsibn y

12 csfucrzo cortante

coinbinad«s

u

Dos soldaduras laterales y do, fronralcs

Ton ikn y esfuerzo l 3

1 cortante

@9@ e

a'. = Ju,lj(::)' + --

F'r 1 F. +l.$ -- =-

h ,dX

9

Para 0,511 < L , < ?h. blarimo momciito torsor admisible para las soldaduras 1:

t-lcxi;>n >irnplc

l

con1 binados 1 I

Sol4 mld.iJurlii irontalcs tr jnb\crs~lcs

Saldaduras fronr3lcs. lonpitudinalcs

r- F.P o,. = J 1.4 - q

IY F-e

. 1 2 1.18 - < 0.

El momento tonor M: P P e Y

dcscdmpone proporcionalmente a A l , y hf,. El csfucrzo cortante I.'* x des-

I F'r o-= -

7 11' v -

1 F'e T. = -- - . -

/i !Y \ -

o ~ . = v , G 2 m = F.r, - --- F'r - ,,'Ti ' 1,lY - < o.

I 1' Sicndo 11' cl niodulo rcsisicnrc dc las sold.iduras. F'ar~ 11

F.t. o<. 2 1.18 - o"

Lhu

Soldadura o,

FlcriOn sirnple

compone proporcionalmcnre a I & Y & .

1:' Soldaduras a,

A,-a, F*c o,, 2 -- - /,,+u, IV < O '

Soldaduras u,

a<. = ii' h , + a ,

+ I ,*(L)= < a. 1L,u,

Sicndo Jk' cI mGdulo rcsistenic dc las soldaduras. Puede tambiin considerarw absorbido el rnonicnto por las soldaduras u, y a> y el esfuerzo

cortanre por 12s soldaduras u,.

( Las soldaduras 1 se calculan ! como el caso iZ

Las soldaduras 2 'se calculan como el caso I l .

Máximo niomento t o m r admisible para las soldaduras 2:

M, = 0.750.Lza,(h + a,)

Máximo esfuerzo cortante admisible para las soldaduras 1:

hl is imo nfucrzo cortante admisible para las soldaduras 2:

l Expresi6n prlctica I Caso

Tonion y afucrzo cortante

combinados

Para O.5h < L, < 2h. Maximo morncnto admisible pan la soldadura 1:

M, =0.14a,L:a,

Mix imo momento ionor admisible para las soldaduras 2:

hf, =0.75a,L1a,(h+o,)

El momento ,M' = F'e se descompone proporcionalmcntc a Af, y M2. El csfucrzo cortante F. (si ssti contenido en el plano de la jun- ta. o su excentricidad es peque- ña) se considera absorbido por las soldaduras 2. La soldadura 1 se calcula a IicxiSn pura. La soldadura 2 se calcula como

Solicitaci6n

en el caso I 1.

Uni6n

Dos soldaduras laterales y una frontal

Para 0.5h < L i .?h. Caso a:

M; = F*c* ; M: = F*r ,

Los valores de o. r. y T, debidos a A!, y F*. se obtienen como cn el caso 13. Los valores dc a y r.. debidos a hf;. se obtienen como en el caso 10 (r.'=01. Caso b: debido a M:. obtcnc- mor unas tensioncs:

M: rr=2Ao ; aw'=0 ; r,Y'=O

Donde: A. área encerrada por la linea mcdia de la sección de garganta de las soldaduras. aba- tida sobre et plano de la uniiin; o, dimension de garganta de la soldadura en el punto q ~ z x considera. E l resto de las tcnsioncs y la wmprobación de las soldadutdz como en el caso a. Debe cumplirse en todos los casos:

u n = ~ u " + 1.8(r:1+~:') < u,

En general. se pueden omitir en 16 atas uniones los ci lculm de las ,

wrtantc tensiones dcbidas a la torsión. comb;.,*dos

6-

G 4r

Apéndice e= w -

@= Tablas de pe~fi les lanzinados

S DOBLE T I'ERFIL NORhlAL (IPN)

APENDICE Z 657

A = Area de la scc ión I = Momento de inercia

W = Módulo resistente - I

i = J; = Radio de giro

S, = blomento estático de media sección

fx S, = - = Distancia entre los centros de compresión y tracción

S, q = Rendimiento u = Superficie lateral por metro lineal


DOBLE T PERFIL EUROPEO (IPE)

ri = Area de la sección I = hfomento de inercia

IV = Modulo resistente -

i = /; = Radio de giro

S. = hloniento estático de media seccion

5 =I '=D. istancia entre los centros de compresión y iracción = S. q = Rendimiento u = Perimetro

Referido al eje y-y

1 )I W 1 S, Jr '1= mm mm

IPE cm3 cm IVx/P m2/rn

1, W, IY l mm

cm4 cm' cm

i I I 8.49 3.69 1.05 25 10.5 6.4 11.6 6.90 3.34 0,328 80

15.9 5.79 1,24 30 12.5 19.7 8,68 4.22 0,400 100 8.4 27.7 8,65 1.45 35 14.5 8.4 30.4 10.5 5,ll 0,475 120 44.9 12.3 1,65 40 16,s 11 44,2 12.3 6,00 0.551 140 68.3 16.7 1.84 44 19 13 61.9 14.0 6.89 0.623 160 1 Io1 1 2í2 2,05 45 21.5 13 83.2 15.8 7.78 0,698 180

142 28.5 2.24 52 24 13 1 10 17,6 8-69 0,768 2u0 205 37.3 2.48 58 26 17 143 19.4 9,62 0,848 220 284 47.3 2.69 65 27.5 17 183 2i.2 10.6 0,922 240 420 62.2 3.02 72 31.5 21 242 23.9 11.9 1,041 270

604 80.5 3.35 80 35 23 374 26.6 13.2 1.159 300 788 98,s 3.55 85 37,s 25 402 29,3 14.5 1,254 330 1 O 123 3.79 90 40 25 510 31.9 15.8 1,353 360

1.320 146 3.95 95 42.5 28 654 35.4 17.4 1.467 400 1.680 176 4,12 100 45 28 851 39.7 19.3 1,605 450

2.140 214 4,31 110 45 28 1 100 43.9 21.3 1.744 500 2.670 254 4.45 115 47,s 28 1390 48.2 23.1 1,877 550

3.390 308 4.66 120 50 28 1760 52.4 25.1 2315 600

IPE

80

100 120 140 160 180

200 220 240 270

300 330 360

400 450

500 550

600 -

Dimensiones (mm) Sección

A cm2

7,64

10.3 13.2 16,4 20.1 23.9

28,5

h

80

100 120 140 160 180

200

Peso P .

kg/m

6.00

8,lO 10,4 12.9 15,8 18.8

22,4 220 240 270

300 330 360

400 450

500 550

600

26.2 347 36.1

422 49,l 57.1

66.3 77.6

947 106

122

b

46

55 64 73 82 91

100

Referido al eje x-x

r~

5

7 7 7 9 9

12

1, cm'

80.1

171 318 541 869

;.32@

1.94C 2.770 3.890 5.?9(!

8360 11.770 16 270

23.130 33.740

48.200 67.120

92.080

- h ,

59

74 93

112 127 146

159 110 120 135

150 160 170

180 190

200 210

220

e

3.8

4.1 4.4 4.7 5.0 5.3

5.6 12 15 15

15 18 18

21 21

21 24

24

el

5.2

5.7 6,3 6.9 7.4 8.0

8.5

W, cm'

20.0

34,2 53,O 77,3

109 146

194 252

324 429

557 713 904

1.160 1.500

1.930 2.440

3.070

5.9 6.2 6.6

7.1 7.5 8,O

8,6 9,4

10.2 11.1

12.0

i, cm

3.24

4.07 4.90 5.74 6.58 7.42

826 9,11 9,97

112

1 2 s 13,7 15,O

16.5 18.5

20.4 22.3

24.3

9.2 9.8

10,2

10,7 11.5 12.7

13.5 14.6

16,O 17.2 ' 19,O

177 190 219

248 271 298

331 378

426 467

514

33.4 39.1 45.9

53,8 62,6 72,7

84,5 98,8

116 134

156

I

q ;

* DOBLE T ALA ANCHA. SERIE bIED1.A (HEB)

A = Area d e la sección

LV = Módulo resistente

Radio de giro

compresión y tracción

q = Rendimiento

1

1-IEB I'rso

P kgjm

- 100 120 140 160 180

700 220 240 260

Scccion A

cm'

Dimensiones (rnm)

Rcferido al cjc x-.ic

h i, cm

.- --

6 20.4 6.5 1 1 26.7 7 12 33.7 8 13 42.6 8,5 14 51.2

9 15 61.3 9.5 16 71.5 10 83.2 10 93,O

f, cm'

b

---- 100 120 140 160 180

200 220 240 260

U

m 2 / m

12.1 .

13,0, 13.8 14.6

11, V

cm3 -

100 120 140 160 130

200 220 240 260

e

HEB tv2 !

i I

4.16 $04 593 6,78 7.66

8.51 9.43 10.3 112

450 864 1.510 2.490 3.830

5.700 8.090 : 1.260 149201

1.62

1.73 1.77 1.81

)Y

89,9 144 216 311 426

570 736 938 1.150

280

300 300 300

6' 1

210 1 280

G

280

300 320 340

1.85

1.93 2.03

2.12 2,22

2,32

0,567 0,686 0,805 0.918 1.04

1.1 5 1.27 1.38 1.50

40

40 40 40

rnm )vl

1 1

1.380

1.680 1.930 2.160

r

Referido al eje y-*v

10.5 103 1 19:270 300 320 340

360

400 450

500 550

600

100 120 140 160 180

200 220 240 260

40

40 40

45 45

45

y- 27.5 32.5 37,5 40

45 50 40 40

110

1?0 . 120 120

1 1 11.5 12

300 320 340

25

25 25 25

45

50 50 50

120

120 120

120 120

120

53 65 75 85 100

110 120 90 100

i, cm

2,53 3,06 3,58 4,05 4.57

5,07 559 6.08 6,58

1, cm4

167 318 550 889 1.360

2.000 2.840 3.920 5.130

25

25 25

28 28

28

13 ii 21 23 25

25 25 25 25

r,=

W/P

50

50 50

45 45

45

- - - - - - - 35 40

S, cm3

15.5

17.1 19.1 : 212 1 . 232;

25.2 .

7.09

7.58 7.57 .7,53

1% cm3

----- 33.5 52,9 78.5

1 1 1 151

200 258 327 395

6.590

8.560 9.24U 9.690

19 20,5 21.5

S,

cm

-~ -

767

934 1.070 1.200 ,

7,39

7,40 7,33

7.27 7.17

7.05

471

571 616 646

10.140

10.820 11.720

12.620 13.080

13.530

1.340

1.620 1.990

2.410 2.800

3.210

52.1 82.5 123 177 241

321 4!4 527 641

300

300 300

300 300

300

676

721 781

842 1

872

902

27 27 27

360

400 456

500 550

600

2.400

2.880 3.550

4.290 4.970

5.700

25,l

26,9 28,7 30,4

12,5

13,5 14

14.5 15

15.5

360

400 450

500 550

600

13.4

14.4 15,2 16,l

32.2

35,7 40,l

44,5 48.9

53.2

8,63 ( 4.41

208 225 243

16.9

18,6 20.8

22,9 25,O

26,9

!U,5 12,3 14,l 15.9

17.7 19.6 21.4 23,3

22.5

24 26

28 29

30

5.39 6,41 7,30 8.32

9,30 10.3 11.3 12.4

149 161 171

27

27 27

27 27

27

117 127 134

261

298 344

390 435

486

25.170 30.820 36.660

181

198 218

239 254

270

142

155 171

187 199

212

43.190

57.680 79.890

107.200 136.700

171.000


DOBLE T ALA ANCHA. SERIE LIGERA (HEA)

p , w , d w ,u. rl = Area de la sección

Dimensiones (mm)

1 = hlomento de inercia ii' = h.lódulo resistente

; = = Radio de giro x --- \ A

S, = h$omento estático de media sección

= Distancia entre los centros de compresión y tracción

11 = Rendimiento u = Perimctro

Sección Peso Referido al eje x-x

@ 666 KESISTEYCI.I Dt- .\lr\Tii ' ,l,4LES - PERFIL I<N U hOI1&4,4L (UPN)

APENDICE 1 667

d = Area de la seccion 1 = Momento de inercia

W = Modulo resistente

i = & = Radio de oiro

S, = Momento estirico de media sección

1, S, = - = Distancia entre los centros de compresión y tracción

S, m = Distancia del baricentro G al centro de esfuerzos cortantes iL1

4JL- q = Rendimiento

7 u = Superficie lateral por metro lineal

4 M--

riNGULAR D E LADOS IGUALES (L)

1 1 Dimensiones 1 1 1 Posicion de los ejes

4 = Area de In seccion

, 1 = h~loniento de inerci,i -

Lt' = iCtodulo r~s i r t en re

i = E = Rsdio de i i r o l j t 4 . 1 I i ;

\' .4 -

I i i = Superiicie lateral por nieiro lineal >] /~</I l l )

Perlilcs recomcndad;~ en la norma UNE 36-531-72. ** Perfiles recomend3dos en la n o m a NBE 102. . - '

670 RESIS 1 E.wCIA DT. LIATCKI , \LES P

* ANGULAR D E LADOS IGUALES (L)

A = Area d e la sección I = Momento d e inercia

PY = Modulo resistente

Radio de giro

u = Superficie lateral por metro lineal

',--

, - Perlilss recomendados en la nonna UNE 36-531-72 " Perfiles recomendados c n la riorrna NBE 102 -


ANGULAR DE LADOS IGUALES (L)

PENUICE 2 673

A = Area de la sección I = Momento de inercia

W = Módulo resistente

= & = Radio de y r o

u = Superficie lateral poi metro lineal

L

1C3x8** 100x lo** 100 x 12 100x15

130x lo** 1iOx 12** 120x 15

15Ox 12** 150x 15** 1!10x 18

180x 15* 180x 18 180x20

200x 16* 200x 18* 200 x20 200 x 24 0

Dimensiones (mm)

* Perfiles recomendados en la norma UNE 36-531-72. ** Perfiles recomendados en la norma NBE 102.

L

100 x 8** 100 x lo* 100 x 12 100x 15

d mm

25

b~ mm

74,O 72,O 70,0 67,O

b

100 100 100 100

Sección A

cm3

15,5 19,2 22,7 27,9

I,, cm4

85,1 104 121 145

u

m2/m

0,390

"3

mm

60

W i

mm

45

l

120 120 120

150 150 150

180 180 180

200 200 200 200

Peso P

kg/m

12,2 15,O 17,8 21,9

W 3

mm

40

e

8 10 12 15

23,2 27,5 33,9

34,8 43,O 51,O

52,l 61,9 68,3

61,8 69,l 76,3 90.6

7

Reterido a los ejes

10 12 15

12 15 18

15 18 20

16 18 20 24

Posición de los ejes (cm)

18,2 21,6 26,6

27,3 33,8 40,l

40,9 48,6 53,7

48,5 542 59,9 71,l

r

12 12 12 12

2,74 2,82 2,90 3,02

"1

6,O 6,O 6,O 6,Q

13 13 13

16 16 16

18 18 18

18 18 18 18

3,31 3,4O 3,51

4,12 4,25 4,37

4,98 5,10 5,18

5,52 5,60 5,68 5,84

6,5 6,5 6,5

8,O 8,O 8,O

9,O 9,O 9,0

9,O 9,O 9,O 9,O

w'

7,07 7,07 7,07 7,07

8,49 8,49 8,49

10,6 10,6 10,6

12,7 12,7 12,7

14,l 14,l 14,l 14,1

cm

1,96 1795 1,94 1,93

1, cm4

59,8 723 85,7 104

1,

cm

3,06 3,04 3,02 2,89

5-e x-x

1, cm4

145 177 207 249

u'

3,87 3,99 4,11 4,27

7-7

w, cm3

15,5 18,3 20,9 24,4

1, cm4

230 280 328 393.

= y-y

w x cm3

19,9 24.6 29,l 25,6

120x lo** 120 x 12** 120 x 15

150 x 12** 150 x 15" 150 x 18

180 x 15* 180 x 18 180 x 20

200 x 16* 200 x 18* 200 x 20

25

28

28

28

90,5 88,s 85,5

114 131 128

138 135 133

157 155 153

d1

3,52 334 3,57 3,61

4,69 4,80 4,97

5,83 6,Ol 6,17

7,05 7,22 7,33

7,81 7,93 8,04 8,26

1, cm

3,85 3,83 3,80 3,75

184 216 260

434 530 612

933 1096 1198

1380 1530 1680 1950

0,469

0,586

0,705

80

105

135

150

50

50

60

60

1 j l

t

, l

1

4,23 4,28 4,31

5,29 5,33 5,38

6,36 6,41 6,44

7,09 7,12 7,15 7,21 149

40

45

45

50

200 x 24

2,36 2,35 2,33

2,95 2,93 2,92

3,54 3,52 3,51

3,94 3,93 332 3.90

129 152 185

303 370 435

653 768 843

960 1070 1170 1 380

3,67 3,65 3,62

4,60 4,57 4,54

5,52 5,49 5,47

6,16 6,13 6,11 6,06

497 584 705

1 170 1430 1 670

2 520 2960 3 240

3720 4 130 4530 5280

313 368 445

737 898

1050

1 590 1870 2 040

2540 2 600 2850 3 330

27,5 31,5 37,l

52,O 61,6 70.4

92,6 106 115

123 135 146 167

4,63 4,60 4,56

5,80 5,76 5,71

6,96 6,92 6,89

7,76 7,73 7,70 7,64

36,O 42,7 52,4

67,7 83,5 98,7

122 145 159

162 181 199 235


ANGULAR DE LADOS DESIGUALES (LD)


W = Modulo resistente

i = & = Radio de giro

1 Dimensiones / / 1 Posición de los ejes Referldo a los ejes

X-x Y -Y t-t V-7 LD

* Perfiles recomendados en la norma lJNE 36-532-72 i \




W = Módulo resistente -

i = d; = Radio de giro

* Perfiles recomendados en la norma UNE 36-532-72 ** Perfiles recomendados en la norma NBE 102

J.

1

LD l a l

i75 * 50 x 5* 75 x 50 x 6 175 x 50 x 7"

1::; :: * i* 1 8 0 x 4 0 ~ 7 80 x 40 x 8*

8 0 x 6 0 ~ 6 80x 60 x 7* 180 x 60 x 8

'100 x 5Ox 6* 1100 x 50 x 7 1100 x 5 0 x 8*

100 x 65 x 8* 100x65x10*

100 x 75 x 8** 100 x 75 x l o * * 100x75x12**

Dimensiones

Sec A

cm2

6,05 7,19 8,31 9,41

5,80 6,89 7,96 9,01

8,11 9,38

10,6

8,73 10,l 11,4 4 ,

11,2 12,7 15,6

13,s 16,6 19,7

75 75 75 75

80 80 80 80

80 80 80

100 100 100 100

100 100 100

100 100 100

Peso P

kg/m

4,75 5,65 6,53 7,39

4,56 5,41 6,25 7,07

6,37 7,56 8,34

6,85 7,93 8,99

111

8,77 9,94

12,3

10,6 13,O 15,4

50 50 50 50

40 40 40 40

60 60 60

50 50 50 50

65 65 65

75 75 75

(mm)

a b e r r ,

5 6 7 8

5 6 7 8

6 7 8

6 7 8

10

7 8

10

8 10 12

7 7 7 7

7 7 7 7

8 8 8

9 9 9 9

10 10 10

10 10 10

3,5 3,5 3,5 3,5

3,5 3,5 3,5 3,s

4,O 4,O 4,O

4,5 4,5 4,5 4

5,0 5,O 5,O

5,O 5,O 5,O

I

i 1 I 1 1

l 1 1 1

l 1 1 !- 1

Posición de los ejes

LD

75 x 50 x 5* 75 x 50 x 6 75 x 50 x 7 * 75 x 50 x 8

80 x 4 0 x 5 80 x 40 x G* 80 x 40 x 7 8Ox 40 x 8*

80 x 60 x 6 80 x 60 x 7* 80 x 60 x 8

100 x 50 x 6' 100 x 50 x 7 100 x 50 x 8* 100 x 50 x 10

100 x65 x 7 100 x 65 x 8* 100x 65 x lo* 100 x 7 5 x 8** 100 x 75 x lo** 100 x 75 x 12"

c, cm

2,39 2,44 2,48 2,52

2,81 2,85 2,90 2,94

2,47 2,51 2,55

3,49 3,54 339 3,67

323 3,27 3,36

3,lO 3,19 3,27

1, cm4

34,4 40,5 46,4 52,O

38,2 44,9 51,4 57,6

51,4 59,O 66,3

89,7 103 116 141

113 127 154

133 162 189

c, cm

1,17 1,21 1,25 1,29

0,84 0,88 0,92 0,96

1,48 1,52 1,56

1,04 1,08 1,12 1,20

1,51 1,55 1,63

1,87 1,95 2,03

x-x

w, cm3

6,74 8,01 9,24

10,4

735 8,73

10,1 11,4

9,29 10,7 12,2

13,8 16,O I8,l 22,2

16,6 18,9 23,2

19,3 23,8 28,O

Referido a los ejes

w' cm

5,15 5,12 5,lO 5,08

5,24 5.20 5,17 5,14

5,57 5,55 5,53

6,56 6,52 6,49 6,43

6,83 6,81 6.76

6,95 6,92 6,89

1 ,

cm

2,38 2,37 2,36 2,35

2,56 2,55 2,54 2,53

- 2,52 2,51 2,50

3,21 3,20 3,18 3,16

3,17 3,16 3,14

3,14 3,12 3,lO

1, cin4

12,3 14,4 16,5 18,4

6,49 759 8,63 9,61

24,8 28,4 31,8

15,3 17,4 19.5 23,4

57,6 42,2 51,O

64,l 77,6 90,2

Ig a

0,436 0,435 0,433 0,430

0,260 0,258 0,256 0,253

0,548 0,546 0,544

0,260 0,259 0,257 0,253

0,415 0,414 0,410

0,547 0,544 0,540

u' cm

2,03 2,08 2,13 2,18

1,51 1,55 1,61 1,65

2,50 2,53 2,58

1,91 1,93 2,OO 2,08

2,66 2,68 2,78

3,12 3,23 3,34

5-5

It cm4

39,6 46,6 53,3 59,7

40,5 47,6 54,4 60,9

62,8 72,O 80,8

95,1 109 123 149

128 144 175

163 197 230

Y -Y

w, cm-m

3,21 3,81 4,39 4,95

2,06 2,44 2,81 3,16

5,49 6,34 7,16

3,85 4,46 5.04 6,17

733 8,54

10,5

11,4 14,0 16,s

't cm

2,56 2,55 2,53 2,52

2,64 2,63 2,61 2,60

2,78 2,77 2,76

3,30 3,29 328 3,25

3,39 3,37 3,35

3,47 3,45 3,42

0-rl

Iv cm4

7,tl 8,36 9,57

10,8

4,19 4,92

. 5,64 6,33

13,4 15,4 17,3

9,85 11,3 12,7 15,4

22,O 24,8 30,1

34,6' 42,2 49,5

u" cm

2,65 2,63 2,63 2,62

2,40 2,38 2,36 2,34

2,92 2,92 2,92

3,OO 2,98 2,96 2,93

3,48 3,47 3,45

3,65 3,65 3,65

1 ,

1,43 1,42 1,41 1,40

1,06 1,05 1,04 1,03

1,75 1,74 1,73

1,32 1,31 1.31 1,29

1,83 1,83 1,81

2,18 2,16 2,14

I* cm

1,08 1,08 1,07 1,07

0,85 0,85 0,84 0,84

1,29 1,28 1,27

1,06 1,06 1,05 1,05

1,40 l,40 1,39

1,60 1,59 1,59

u"' cm

1,32 1,35 1,38 1,42

0,91 0,89 0,97 1,04

1,72 1,77 1,80

1,15 1,15 1,18 1,22

l,73 1,73 1,78

2,19 2,24 2,29

678 RESISTENCIA DE MA7 ERIALES



W = Módulo resistente

i. = 4 = Radio de giro

* Perfiles recomendados en la norma UNE 36-532-72 ** Perfiles recomendddos en la norma NBE 102, 1

j l

- - r i

Peso P

kg/m

12,2 15,O 17,8

11,8 14,6 17,3

15,4 17,O 20,2 24,8

18,2 21,6 26.6

23,O 27,3 33,7

26,9 32,O 39,6 47,l

Sec A

cm2

15,5 19,l 22,7

15,l 18,6 22,l

19,6 21,6 25,7 31,6

23,2 27,5 33,9

29,2 34,8 43,O

34,2 40,8 50,5 60,O

LD

120 x 80 x 8** 120 x 80 x lo** 120 x 80 x 12**

130 x 65 x 8 130x 65 x 10* 130 x 65 x 12*

150 x 75 x 9 150 x 75 x lo* 150 x 75 x 12* 150 x 75 x 15

150 x 90 x lo* 150 x 90 x 12 150 x 90 x 15*

200 x 100 x 10 200 x 100 x 12 2 0 0 x 1 0 0 ~ 1 5

200 x 150 x 10 200 x 150 x 12 200x 150 x 15 200 x 150 x 18

/

1

1

1 --

1 i

1 1

i I

z 1 1

- 1 l

¡ 1

\

II

1-

Posicion de los ejes Dimensiones

LD

120 x 80 x 8** 120 x 80 x lo** 120 x 80 x 12**

130x 65 x 8 130 x 65 x lo* 130 x 65 x 12*

150 x 75 x 9 150 x 75 x lo* 150 x 75 x 12* 150x75 x 15

150 x 90x lo* 150 x 90 x 12 150 x 90 x 15*

200 x 100 x 10 200 x 100 x 12 200x 100 x 15

200 x 150 x 10 200 x 150 x 12 200x 150 x 15 200x 150x 18

tg a

0,437 0,435 0,431

0,261 0,258 0,255

0,262 0,261 0,259 0,254

0,361 0,358 0,354

0,265 0,262 0,260

0,553 0,552 0,551 0,548

(mm)

11 cm4

226 276 323

263 320 375

456 501 589 713

533 627 761

1220 1440 1760

1400 1650 2020 2380

c, cm

3,83 3,92 4,OO

456 4,65 4,74

5,27 5,32 5,41 5,53

5,OO 5,OX 5,21

6,93 7,03 7,16

599 6,08 6,21 6,33

r

11 11 11

11 11 11

11 11 11 11

12 12 12

15 15 1 s

15 15 15 15

a '

120 120 120

130 130 130

150 150 150 150

150 150 150

200 200 200

200 200 200 200

u" cm

4,23 4,21 4,20

330 336 3,83

4 9 4,48 4,45 4,41

5,03 5,OO 4,9F

6,05 6,00 5,95

7,35 7,34 7,33 7,33

r ,

5,5 5,5 5,5

5,5 5,5 5,5

5,5 5,5 5.5. 5,5

6,O 6,O 6,O

7,5 7,5 7,5

'1,s

7,j 7,5 7,5

x-x

Wz cm3

27,6 34,l 40,4

31,l 38,4 45,4

46,9 51,8 61,4 75,3

53,3 63,3 77,7

93,2 111 137

99,6 119 147 174

Referido a los ejes

c, cm

1,87 1 9 5 203

1,37 1,45 1,53

1,57 1,61 1,69 1,81

2,04 2,12 2,23

2,01 2,lO 2,22

3,53 3,61 3,73 335

b

80 80 80

65 65 65

75 75 75 75

90 90 90

100 100 100

150 150 150 150

1,

cm

382 330 3,77

4,17 4,15 4,12

433 4,81 4,79 4,75

4,80 4,77 4,74

6,46 643 6,40

6,38 6,36 6,33 6,29

4 cm4

80,8 98,l

114

44,8 54,2 63,O

78,3 85,s

- 99,9 120

146 171 205

210 247 299

680 803 979

1150

u"'

cm

2,16 2,19 2.25

1,47 1,54 1,60

1,72 1,73 1,81 1,91

2,24 2,30 2,46

2,22 2,26 237

455 4,17 3,99 3,69

u'

cm

3,27 3.37 3,46

249 2,58 2,66

290 2,90 2,99 3,11

3,60 3,70 3,84

3,75 3,84 3,94

5,98 6,09 6,26 6,41

e

8 10 12

8 10 12

9 10 12 15

10 12 15

10 12 1s

10 12 15 18

e;-( w' cm

8,23 8,19 8,15

651 8,44 8,38

931 9,77 9,71 9,62

10,l 10,l 9,98

13,2 13,l 13,O

14,O 13,9 13,9 13,8

Y -Y

W, cm3

13,2 16,2 19.1

8,2 10,7 12,7

13,2 14,6 17,2 21,O

21,O 24,8 30,4

26,3 31,3 38,4

59,2 70,5 86,9

103

4 cm4

260 317 371

278 339 397

484 532 624 754

591 695 841

1290 1530 1860

1710 2030 2480 2900

V-V

4 cm4

46,6 56,8 76,6

28,9 35,2 41,2

50,4 55,3 64,9 78,8

88 104 126

135 159 194

364 430 526' 618

1 , cm

2,28 2,26 2,24

1,72 1,71 1,69

2,OO 1,99 1,97 1,94

2,51 2,49 2,46

2,68 2,67 2,64

4,46 4,44 4,40 4,37

*< cm

4,lO 4,07 4,04

4,30 4,27 4,24

4,97 4,96 4,93 4,88

5,05 5,02 4,98

6,65 6,63 6,58

7,07 7,05 7,OO 6,96

IV cm

1,73 1,72 1,71

1,38 1,37 1,37

1,60 1,60 1,59 1,58

1,95 1,94 1,93

2,15 2,14 2,12

3,26 3,25 3,23 3,21

Bibliografia

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Índice analítico

Analogia de la menibrana, 574 Angulo

de deslizan~iento, 144 de hélice de torsión, 553 de torsión, 552

Anillo de pequeño espesor giratorio alrededor de su eje, 106 sometido a presión uniforme, 104

Apoyos articulado fijo, 30 articulado móvil, 30 empotrado, 3 1

Arco funicular, 99 Area sectorial, 212

elemental, 23 1 Armadas, vigas, 212

Barra, 6 Barras esbeltas:

compresión excéntrica de, 486 grandes desplazamientos en, 489 pandeo de, 483

Berrioulli, liipótesis de, 70 Betti, teorema de reciprocidad de, 40 Rredt, fórmula de, 583

Carga critica de pandeo, 485 Cargas, tipos de, 28 Cáscara, 7 Castigliano, teorema de, 40 Catenaria, 96

Centro de esfuerzos cortantes, 229 /ntro de torsión, 572 Círculos de Mohr:

de deformaciones, 16 de torsiones, 12

Clapeyron, fórmula de, 39 Coeficiente:

de concentración de tensiones, 75 de dilatación lineal, 90 de ponderación, 35 de Poisson, 23 de reducción de la longitud, 498 de seguridad, 34

Colignon, fórmula de, 204 Columnas cortas, 502 Columnas esbeltas, 502

pandeo con empotramientos elásticos en los extremos, de 510

Columnas intermedias, 503 fórmula empírica de Tetmajer para la de-

terminación de tensiones~críticas, 502 Contpatibilidad de las deformaciones, ecuacio-

nes, de 400 Componentes intrínsecas:

del vector deformación unitaria, 15 del vector tensión, 9

Compresión monoaxial: estado de aeformaciones en, 76 estado tensional en, 69

Compuestas, vigas, 220 Continuas, vigas, 410

682 . INDICE ANALITICO

Continuidad de los solidos elásticos, 4 . Convenio de signos

para deformaciones angulares, 143 para esfuerzos cortantes, 139 para esfuerzos normales, 69 para momentos flectores, 188

Cortadura doble, 147 simple, 147

Criterios de resistencia, 37 de la deformación longitudinal máxima, 38 de la energía de distorsión, 38 de la tension principal máxima, 37 de la tension tangencial máxima, 38 de los estados limites de Mohr, 38

Deformaciones principales, 15 Depósito

cilindrico sometido a presión uniforme, 102 conico abierto conteniendo líquido, 103 esférico sometido a presion uniforme, 103

Diagrama de desplazamiento de las secciones rectas, 76 de esfuerzos cortantes, 190 de esfuerzos normales, 69 de momentos flectores, 190 de momentos torsores, 558 tensión-deformacion, 21

Direcciones principales de la matriz de deformación, 14 de la matriz de tensiones, 11

Ecuación: diferencial aproximada de la línea elástica,

265 diferencial exacta de la línea elástica, 265 universal de la deformada de iina viga'de

rigidez constante, 274 universal de los ángulos girados por las sec-

ciones de una viga, 274 Ecuación de Laplace, 101 Ecuaciones de compatibilidad de las deforma-

ciones, 81, 400 Ecuaciones de equilibrio, 4

interno, 11 Eficiencia de la unión, 152 Eje neutro, 341 Ejes de transmisión de potencia, 556 Elipsoide:

de deformaciones, 16 de tensiones de Lamé, 12

Endurecimieiito por deformación, 22 Energía de deformación (vease Potencial inter-

no) Ensayo de tracción, 20 Equilibrio elástico, 8 Esbeltez, 486 Esfuerzo cortante, 26 Esfuerzo normal, 26 Estabilidad, 2 Estado tensional hidrostático, 110 Estáticamente indeterminadas (uéa~e Hiper-

estáticas) Estricción, 22 Euler, fórmula de, 483

Flexión compuesta, 348 de piezas curvas, 360 desviada, 339 pura, 182 resortes de, 305 simple, 188

Fluencia, limite de, 21 Flujo de cortadura, 226, 583 Formula de Colignon, 204 Formula de Euler, 483 Funcion de alabeo, 567 Funciones de discontinuidad, 269

Garganta de un cordón de soldadura, 154 Grado de hiperestaticidad, 81, 414

Hilos, equilibrio de, 94 Hipótesis de Bernoulli, 70 Hbmogeneiddd de los sólidos elásticos, 4 Hooke, ley de, 23

leyes generalizadas de, 24

Isotropía de los sólidos elásticos, 4

Lamé, elipsoide de, 12 Laplace, ecuación de, 101 Ligadura, reacciones de, 29 Limite aparente de elasticidad, 22 Límite de elasticidad, 21 Límite de fluencia, 21 Límite de proporcionalidad, 21 Línea elástica, 263 Línea media de un perfil delgado, 579 Línea media de un prisrna mecánico, 5 Longitud de pandeo, 497. Lüders, líneas de, 21

hlatrir de tensiones, 11 Metodo de los coeficientes w, 504 Metodo de las fuerzas para el calculo de siste-

mas hiperestaticos, 419 Metodo de Mohr para el cálculo de desplaza-

todo de multiplicacion de los graficos, 290 odulo de elasticidad

primer teorema de, 274 segundo teorema de, 276

Momento flector, 27 Momento torsor, 28

Navier, ley de, 182 Níicleo central, 354

Pandeo de barras rectas, 483 Paso de remachado, 215 Perfiles delgados sometidos a flexión, 225 Perfiles delgados sometidos a torsión

abiertos ramificados, 580 abiertos sin ramificar, 579

- cerrados de una sola celula, 581 cerrados de varias células, 584

Placa, 6

n compuesta, 344

de Saint-Venant, 19 de superposición de efectos, 18 generalizado de Navier-Rernoulli, 188

Pilsrna mecánico, 5

Rankine, criterio de la tensión principal máxi- ma o de, 37

Relaciones entre el esfuerzo cor mento flector y la carga, 200

Resistencia característica, 36 Resistencia mecánica, 1 Resortes:.

de flexión, 305 de torsion, 621

Rigidez, 1 a flexión, 265 a flexión de una viga compuesta, 223 a torsión, 554, 519

Saint-Venant: criterio de, 38 principio de, 19 teoría de torsión de, 567

Sección reducida, 281 Sección transformada, 222 Sistemas:

hiperestáticos, 31, 414 isostáticos, 31

Soldadura: a tope, 154 en ángulo, 154

Sólido: elástico, 4 rígido, 3 verdadero, 5

Sólido de igual resistencia: a esfuerzos normales, 79 a flexión, 298

Superficie media, 8

Tensión: admisible, 34 equivalente, 37 normal, 9 principal, 12 tangencia], 9

Tensíones de origen térmico, 91 Tensiones por defectos de montaje, 92 Teorema:

de Castigliano, 40 de los dos momentos, 412 de los tres momentos, 414 de Maxwell-Betti, 40 de Menabrea, 40 de reciprocidad de las tensiones tangencia-

les, 11 Teoremas de Mohr, 274

vo-i i i Y V I L t ANALI 1 ICU

Teoremas de la viga conjugada, 277 Teoria de la membrana, 100 Torsión, 550

nrlgulo de. 552 de perfiles delgados, 578 eii prismas de sección circular, 552 en prismas de sección no circular, 565 pura. 551 . simple. 551 y cortadura, 621 y nexión combinadas, 618

Tracción o compresión nionoaxial, 69 hiperestática, 81

Uriiones: atornilladas, 146 remachadas, 145

Vector: deíormacióri unitaria, 15 tensión, 9

Vigas: armadas. 213 compuestas, 220 coritinuas, 410

Von Mises, criterio de, 38

Young, niódulo de, 23

[Mcgraw-hill] Resistencia de Materiales - Luis Ortiz Berrocal

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