COLEGIO ALTOARAGÓN. Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Ejercicios de Probabilidad. Probabilidad Total. (Ed. SM)

1 Un taller tiene distribuidos los vehículos en tres naves. En la nave A hay 12 vehículos de los cuales 4 están

averiados; en la nave B hay 6 vehículos y la mitad están averiados, y en la nave C, de los 8 vehículos que

contiene, hay 3 averiados. Si se elige una nave y un vehículo al azar, se pide:

a) ¿Qué probabilidad hay de esté en perfectas condiciones de funcionamiento?

b) Si el vehículo está averiado, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la nave B?

Solución:Sean los sucesos: A = “seleccionamos la nave A para elegir un vehículo”

B = “seleccionamos la nave B para elegir un vehículo”

C = “seleccionamos la nave C para elegir un vehículo”

D = “un vehículo seleccionado se encuentra averiado”

De las condiciones del enunciado, y considerando que los sucesos A, B y C son igualmente probables, se tiene:

( ) ( ) ( )

85

/CDP ;21

63

/BDP ;32

128

/ADP

83

D/Cp ;21

63

D/Bp ;31

124

D/Ap

___=

==

==

=====

La probabilidad de que un vehículo no esté averiado es:a)

0,59727243

85

31

21

31

32

31

/CDpp(C)/BDpp(B)/ADpp(A)Dp____

==⋅+⋅+⋅=

⋅+

⋅+

⋅=

Se trata de aplicar Bayes, para calcular la probabilidad de que un vehículo averiado proceda de la nave B:b)

0,41382912

83

21

31

21

p(D/C)p(D/B)p(D/A)p(D/B)

p(D/C)p(C)p(D/B)p(B)p(D/A)p(A)p(D/B)p(B)

p(B/D) ==

++

=++

=⋅+⋅+⋅

⋅=

2 Dos profesores A y B, comparten el mismo número de teléfono. De las llamadas que llegan, el 40% son parael profesor A y el resto para el profesor B. Sus ocupaciones docentes les alejan de este teléfono, de modoque el profesor A está ausente el 50% de las veces que llaman y el profesor B, sólo el 25% de las veces. Sepide:a) La probabilidad de que no esté ninguno de los dos cuando se produce una llamada.b) Probabilidad de que una llamada sea atendida por alguno de ellos cuando ésta se produce.

1

Solución:Consideremos los sucesos siguientes:

A”una llamada es para el profesor A”; y, B “una llamada es para el profesor B”.

N “ninguno de los dos profesores está para responder a su llamada” y su contrario.

De estos sucesos se conocen las siguientes probabilidades:

41

0,25p(N/B) ;53

p(B) ;21

0,50p(N/A) ;52

p(A) ======

Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que una llamada no sea atendida es:a)

0,35207

41

53

21

52

p(N/B)p(B)p(N/A)p(A) ==⋅+⋅=⋅+⋅

La probabilidad de que una llamada sea atendida es, evidentemente:b)

( ) 0,650,351Np1Np_

=−=−=

3 Se sabe que la probabilidad de que un autobús de línea regular entre Madrid y Burgos sufra un accidente enun día nublado es 0,09 y en un día seco es 0,005. Durante un período de 10 días ha habido 7 días secos y 3nublados. ¿Cuál será la probabilidad de que se produzca un accidente?

Solución:Consideremos los sucesos:

A = “el autobús de línea tiene un accidente”

N = “un día del período considerado está nublado”

S = “un día del período considerado es seco”.

Tenemos que hallar la probabilidad del suceso A, cuyas causas son, evidentemente, los sucesos N y S.

Para ello aplicamos el teorema de la probabilidad total:

p(A/S)p(S)p(A/N)p(N)p(A) ⋅+⋅=

De las condiciones del problema, se tiene:

10005

p(A/S) y 107

p(S) ;100

9p(A/N) ;

103

p(N) ====

Por tanto la probabilidad de tener un accidente es:

0,03052000

611000

5107

1009

103

p(A) ==⋅+⋅=

4 Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una bola al azar, se descarta y se colocan 2

bolas del otro color en la urna. Luego se saca de la urna una segunda bola. Determina la probabilidad de

que:

a) La segunda bola sea roja.

b) Ambas bolas sean del mismo color.

c) La primera sea roja, si la segunda lo es.

2

Solución:Los apartados a y b son una aplicación del teorema de la probabilidad total.

El apartado c es una aplicación del teorema de Bayes.

Para la solución construimos el diagrama de árbol que describe las dos extracciones sucesivas, con la reposición

de color.

Además la notación R1; R2; B1; B2 designa los colores de las bolas en las extracciones 1ª y 2ª

La probabilidad de que la 2ª bola sea roja es:a)

( ) 0,56947241

7221

7220

Rp 2 ==+=

La probabilidad de que ambas bolas sean delb)

mismo color es:

( ) ( )( ) 0,36113613

726

7220

BBRRp 2121 ==+=∩∪∩

La probabilidad de que la 1ª sea roja, si la 2ª lo fue es:c)

( ) 0,48784120

7221

7220

7220

/RRp 21 ==

+

=

5 Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3, nos vamos a la URNA I; si el resultado es 3 o más nos

vamos a la URNA II. A continuación extraemos una bola, se pide:

a) Probabilidad de que la bola sea roja y de la URNA II.

b) Probabilidad de que la bola sea blanca.

URNA I: Contiene 6 bolas rojas y 4 blancas.

URNA II: Contiene 4 bolas rojas y 8 blancas.

3

Solución:A partir del contenido de las urnas formamos el siguiente diagrama de árbol:

Considerando los sucesos:

B extraer bola blanca, R extraer bola roja

U1 extraer de la URNA 1, U2 extraer de la URNA 2

Se tiene:

92

124

64

R)p(U2 =⋅=∩a)

4526

128

64

104

62

p(B) =⋅+⋅=b)

6 En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería

y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por la persona B sea una novela?

b) Si se sabe que B eligió una novela. ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea depoesía?

Solución:Formamos el diagrama de árbol:

Si B es el suceso “la persona B eligió una novela”, se tiene:a)

43

316237

7960

8020

7959

8060

p(B) ==⋅+⋅=

Si A es el suceso “la persona A eligió un libro de poesía”, se tiene:b)

7920

205920

7960

8020

7959

8060

7960

8020

p(A/B) =+

=

⋅+⋅

⋅

=

4

7 En una universidad en la que sólo hay estudiantes de ingeniería, ciencias y letras, acaban la carrera el 5%

de ingeniería, el 10% de ciencias y el 20% de letras. Se sabe que el 20% de los estudiantes estudian

ingeniería, el 30% ciencias y el 50% letras. Tomando un estudiante cualquiera al azar, se pide:

a) Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de ingeniería.

b) Si un estudiante ha acabado la carrera. Probabilidad de que sea de ingeniería.

Solución:Consideremos los siguientes sucesos: I = “un estudiante estudia ingeniería”

C = “un estudiante estudia ciencias”

L = “un estudiante estudia letras”

A = “un estudiante acaba la carrera”

El siguiente diagrama de árbol describe las posibilidades de acabar un estudiante la carrera, según el tipo de

carrera

0,010,050,2p(A/I)p(I)I)p(A =⋅=⋅=∩a)

b) 0,714141

0,10,030,010,01

p(A/L)p(L)p(A/C)p(C)p(A/I)p(I)p(A/I)p(I)

p(I/A) ==++

=⋅+⋅+⋅

⋅=

8 En un instituto se imparten sólo dos idiomas, inglés y francés. El 80% de los alumnos estudian ingles y elresto francés. El 30% de los alumnos que estudian inglés juegan al ajedrez y de los que estudian francés el40% juega al ajedrez. Si se elige un alumno al azar de ese instituto, halla la probabilidad de que juegue alajedrez. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los alumnos del centro no juegue al ajedrez? Razona enqué teorema basas el cálculo.

5

Solución:Se trata de aplicar el teorema de la probabilidad total de un suceso.

Siendo B el suceso “alumnos que juegan al ajedrez” se tiene que los sucesos:

A1 “alumnos que estudian inglés” y A2 “alumnos que estudian francés” son las causas del suceso B.

La probabilidad del suceso B, viene dada por:-

p(B) = p(A1)⋅p(B/ A1) + p(A2)⋅p(B/ A2)

sobre el diagrama de árbol de la figura, se tiene:

p(B) = 0,8⋅0,3 + 0,2⋅0,4 = 0,24 + 0,08 = 0,32

El suceso contrario de B, describe a los alumnos que no-

juegan al ajedrez, por tanto su probabilidad es:

( ) 0,680,321Bp1Bp_

=−=−=

9 En una unidad militar compuesta por 12 soldados, 5 de ellos son tiradores de primera y el resto de segundacategoría. La probabilidad de hacer blanco de un tirador de primera es de 0,9, en tanto que estaprobabilidad es de 0,6 en los de segunda categoría. Si se elige un tirador al azar para efectuar un disparo aun blanco, ¿cuál es la probabilidad de que se haga blanco?

Solución:Clasificamos los tiradores en dos clases:

P tiradores de primera y S tiradores de segunda.

Sea B el suceso hacer blanco con un disparo por uno de los dos tiradores.

Se conocen las siguientes probabilidades:

0,6p(B/S) y 0,9p(B/P) ;127

p(S) ;125

p(P) ====

Las causas de hacer blanco (B), cuando dispara un soldado de la unidad son los sucesos P y S.

Aplicando el teorema de la probabilidad total, se tiene:

0,72504029

0,6127

0,9125

p(B/S)p(S)p(B/P)p(P)p(B) ==⋅+⋅=⋅+⋅=

10 Tenemos tres urnas U1, U2 y U3 con las siguientes composiciones de bolas blancas (B) y negras (N):

U1 = {3B, 7N}; U2 = {5B, 5N}; U3 = {8B, 2N}

Tiramos un dado perfecto, de modo que si sale 1, 2 o 3, extraemos una bola de la primera urna; si sale 4 o 5,extraemos una bola de la segunda urna y, finalmente, si sale un 6, extraemos una bola de la tercera urna.Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea de color negro.

6

Solución:Consideremos los sucesos: U1 = “seleccionar la primera urna para extraer una bola”

U2 = “seleccionar la segunda urna para extraer una bola”

U3 = “seleccionar la tercera urna para extraer una bola”

N el suceso extraer una bola negra de la urna.

Consideramos el siguiente diagrama de árbol:

La probabilidad del suceso N, viene dada por:

2011

6033

602

6010

6021

102

61

105

62

107

63

p(N) ==++=⋅+⋅+⋅=

11 Se tienen dos urnas, una con 8 bolas blancas y 4 verdes; la otra con 6 bolas blancas y 10 verdes. Se extrae

una bola de cada urna. Se pide:

a) Calcula la probabilidad de que sean del mismo color.

b) Si se sabe que las dos bolas son del mismo color. Probabilidad de que la bola que se extrajo de laprimera urna haya sido de color verde.

7

Solución:Consideremos los sucesos: B1 = “la bola extraída de la primera urna es blanca”

V1 = “la bola extraída de la primera urna es verde”

B2 = “la bola extraída de la segunda urna es blanca”

V2 = “la bola extraída de la segunda urna es verde”

El siguiente diagrama de árbol describe la extracción de bolas de la primera y de la segunda urna

La probabilidad de extraer dos bolas del mismo color:a)

Se trata de aplicar el teorema de la probabilidad total

( ) ( )( ) 0,45832411

1610

124

166

128

VVBBp 2121 ==⋅+⋅=∩∪∩

Se trata de aplicar el teorema de Bayes:b)

Para simplificar la nomenclatura, si designamos por

A = (B1∩B2)∪ (V1∩V2); la probabilidad que piden es:

( ) 0,4545115

8840

1610

124

166

128

1610

124

/AVp 1 ===

⋅+⋅

⋅

=

12 De las personas que padecen la hepatitis, la cuarta parte la sufren en su modalidad B y el resto la C. Alhacerse un análisis para detectar la enfermedad, la probabilidad de que resulte positivo una persona quepadece la hepatitis B es de 2/5, en tanto que esta probabilidad es de 3/5 para las personas que padecen lahepatitis C, ¿cuál es la fiabilidad del análisis?

8

Solución:Consideremos los sucesos siguientes:

B “una persona padece la hepatitis B”; C “una persona padece la hepatitis C” y P “el análisis de la enfermedad da

positivo”.

La fiabilidad del análisis, será tanto mayor cuanto mayor sea el porcentaje de resultados positivos en las personas

enfermas de hepatitis.

Se trata de hallar la probabilidad del suceso P.

Para ello se conocen las siguientes probabilidades:

53

p(P/C) ;52

p(P/B) ;43

p(C) ;41

p(B) ====

Aplicando el teorema de la probabilidad total, se tiene:

0,552011

209

202

53

43

52

41

p(P/C)p(C)p(P/B)p(B)p(P) ==+=⋅+⋅=⋅+⋅=

Por tanto sólo en el 55% de los casos el análisis es fiable.

13 En cierto juego con dados, se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 puntos en una jugada?

b) Si en una jugada se han obtenido 4 puntos, ¿cuál es la probabilidad de haber jugado sólo con dosdados?

9

Solución:Podemos jugar hasta con 4 dados, para obtener 4 puntos jugando con varios dados, por tanto consideraremos los

siguientes sucesos: C = “obtener 4 puntos en una jugada” de modo que este suceso puede obtenerse de las

siguientes maneras:

Si D1 es el suceso jugar con 1 dado ⇒ sólo hay 1 caso favorable a C: sacando un 4, frente a 6 posibles

Si D2 es el suceso jugar con 2 dados ⇒ hay 3 casos favorables a C: sacando un 1-3; 2-2 y 3-1, frente a 62 posibles

Si D3 es el suceso jugar con 3 dados ⇒ hay 3 casos favorables a C: sacando un 1-1-2; 1-2-1 y 2-1-1, frente a 63

posibles

Si D4 es el suceso jugar con 4 dados ⇒ hay 1 caso favorable a C: sacando un 1-1-1-1, frente a 64 posibles

Por otro lado, supondremos que los sucesos D1, D2, D3, D4, son igualmente probables.

Aplicando el teorema de la probabilidad total, al suceso C, se tiene:a)

( ) ( ) ( ) 0,06625184343

6

1

6

3

6

361

41

C/DpDpCp432

4

1kkk ==

+++⋅=⋅=∑

=

Se trata de una aplicación del teorema de Bayes:b)

( )( ) ( )

( ) ( )

0,3149343108

6

1

6

3

6

361

41

6

341

C/DpDp

C/DpDp/CDp

432

2

4

1kkk

222 ==

+++⋅

⋅

=

⋅

⋅=

∑=

14 Se tienen dos urnas: la primera con 4 bolas verdes y 6 negras; la segunda con 2 verdes y 4 negras. Se

procede a sacar 3 bolas de la primera que se introducen en la segunda, y a sacar a continuación 2 bolas de

esta última urna.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color las 5 bolas extraídas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sean 4 verdes y 1 negra?

c) Si las bolas extraídas han sido 4 verdes y 1 negra, ¿cuál es la probabilidad de que las 3 bolas extraídasde la primera urna hayan sido verdes?

10

Solución:El esquema de extracción de bolas de las urnas es como el de la figura adjunta.

Sea A el suceso extraer 5 bolas del mismo color, se tiene:a)

p(A) = p(3 verdes de A y 2 verdes de B) + p(3 negras de A y 2 negras de B) =

= p(3 verdes de A)⋅p(2 verdes de B) + p(3 negras de A)⋅p(2 negras de B)

Por tanto la probabilidad de A es:

21623

86

97

84

95

106

84

95

82

93

104

p(A) =

⋅⋅

⋅⋅+

⋅⋅

⋅⋅=

Sea B el suceso extraer 4 bolas verdes y 1 negrab)

p(B) = p(3 V de A y 1V y 1 N de B) + p(2 V y 1 N de A y 2 V de B) =

= p(3 V de A)⋅P(1V y 1 N de B) + p(2V y 1 N de A)⋅p(2 V de B) =

Por tanto la probabilidad de B es:

54037

83

94

86

93

104

384

95

282

93

104

p(B) =

⋅⋅

⋅⋅+

⋅⋅

⋅⋅=

Es una aplicación del teorema de Bayes:c)

p(3 verdes de A/sabiendo que en B se extrajeron 4 verdes y 1 negra)

como consecuencia del apartado anterior:

3710

201

541

541

83

94

86

93

104

384

95

282

93

104

84

95

282

93

104

B) de N 1 V y 4 A/de V p(3 =

+

=

⋅⋅

⋅⋅+

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

=

15 En una clase el 60% de los alumnos son chicas. El 8% de los chicos de la clase usan gafas, en tanto que

sólo el 2% de las chicas usan. Si se elige al azar un estudiante de la clase, se pide:

a) La probabilidad de que no use gafas.

b) Si usa gafas, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica?

11

Solución:Consideremos los sucesos: H = “un alumno de la clase es un chico”

M = “un alumno de la clase es una chica”

G = “un alumno de la clase usa gafas”

De esos sucesos, se sabe que H y M son contrarios, y además de ellos se conocen las siguientes probabilidades:

p(M) = 0,6; p(G/H) = 0,08 y p(G/M) = 0,02

Por ser M y H sucesos contrarios, la probabilidad de H es: p(H) = 1 - 0,6 = 0,4.

La probabilidad de que un alumno no use gafas:a)

Aplicando el teorema de la probabilidad total al suceso G, se tiene:

0,0440,0120,0320,020,60,080,4p(G/M)p(M)p(G/H)p(H)p(G) =+=⋅+⋅=⋅+⋅=

Por tanto la probabilidad de que un alumno no use gafas, es:

( ) 0,9560,0441Gp1Gp_

=−=−=

Se trata de aplicar el teorema de Bayes:b)

0,2727113

0,0440,012

0,0440,020,6

p(G/M)p(M)p(G/H)p(H)p(G/M)p(M)

p(M/G) ===⋅

=⋅+⋅

⋅=

16 Las probabilidades de que cierto artículo esté fabricado por las máquinas A y B son 0,7 y 0,3,

respectivamente. La máquina A produce artículos defectuosos con probabilidad de 0,02 y la B con

probabilidad de 0,06. Se observa un artículo y se pide:

a) Si es defectuoso, calcula la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A.

b) Si no es defectuoso, calcula la probabilidad de que haya sido fabricado por la otra máquina.

Solución:Sean los sucesos: A = “un artículo ha sido fabricado por la máquina A”

B = “un artículo ha sido fabricado por la máquina B”

D = “un artículo es defectuoso”

El siguiente diagrama de árbol, describe las condiciones del problema:

Se trata de aplicar el teorema de Bayes:a)

( ) 0,4375167

0,0180,0140,014

0,060,30,020,70,020,7

p(D/B)p(B)p(D/A)p(A)p(D/A)p(A)

A/Dp ==+

=⋅+⋅

⋅=

⋅+⋅

⋅=

De nuevo, aplicando Bayes, se tiene:b)

0,2913484141

0,2820,6860,282

0,940,30,980,70,940,3

/B)Dp(p(B)/A)Dp(p(A)

/B)Dp(p(B)DB/p

__

__

==+

=⋅+⋅

⋅=

⋅+⋅

⋅=

12

17 Se tienen seis cajas, cada una de ellas contiene 1 bola blanca, pero el número de bolas negras es, en cadacaja, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. Se sabe, además, que la probabilidad de elegir una caja esproporcional al número de bolas negras que contiene. Se sabe que al elegir una bola de una de las cajas,ésta resultó ser blanca, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la primera caja?

Solución:Si B es el suceso extraer una bola blanca de una urna, se trata de calcular su probabilidad.

Como disponemos de seis posibles cajas, resulta obvio que tenemos que aplicar el teorema de la probabilidad total,

para ello:

Las composiciones de las cajas en bolas de color banco (B) y negras (N) es la siguiente:

{ } { } { } { } { } { }NB,61C ;NB,51C ;NB,41C ;NB,31C ;NB,21C ;NB,11C 654321 ======

Se tienen las siguientes probabilidades de extracción de bola blanca en cada caja:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )71

B/Cp ;61

B/Cp ;51

B/Cp ;41

B/Cp ;31

B/Cp ;21

B/Cp 654321 ======

Sean C1, C2, C3, C4, C5 y C6 los sucesos que describen la selección de cada caja para realizar la extracción de una

bola.

Se trata de un sistema completo de la experiencia, cuyas probabilidades, valen respectivamente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x6Cp x;5Cp x;4Cp x;3Cp x;2Cp x;Cp 654321 ======

Por ser un sistema completo de sucesos, la suma de sus probabilidades es la unidad, por tanto:

211

x121x1x6x5x4x3x2x =⇒=⇒=+++++

Con el valor de x encontrado pueden calcularse las probabilidades de selección de las urnas, y por tanto, la

probabilidad de extraer una bola blanca, vale:

( ) ( ) ( )2940617

71

216

61

215

51

214

41

213

31

212

21

211

B/CpCpBp k

6

1kk =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=∑

=

Aplicando el teorema de Bayes, se tiene:

( )( ) ( )

( ) ( )

0,113561770

2940617

21

211

B/CpCp

B/CpCp/BCp

k

6

1kk

111 ==

⋅

=

⋅

⋅=

∑=

13