MD Estadistica y Probabilidades (INGENIERIA--UTP)

1

ESTADSTICA

La estadstica es una ciencia, con su propio campo de estudio, y tambin un instrumento (conjunto

de tcnicas) que utilizan ampliamente otras ciencias. La estadstica como ciencia es una rama de la

matemtica aplicada, cuyo objeto de estudio es el comportamiento de las variables que pueden

asociarse a una o ms poblaciones.

La estadstica es una ciencia que estudia la recoleccin, anlisis e interpretacin de datos, ya sea

para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algn

fenmeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo

estadstica es ms que eso, en otras palabras es el vehculo que permite llevar a cabo el proceso

relacionado con la investigacin cientfica.

Estadstica descriptiva

Se dedica a la descripcin, visualizacin y resumen de datos originados a partir de los fenmenos de

estudio. Los datos pueden ser resumidos numrica o grficamente

Estadstica inferencial

Se dedica a la generacin de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenmenos en

cuestin teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en

los datos y extraer inferencias acerca de la poblacin bajo estudio.

VARIABLES

Una variable es una caracterstica observable que vara entre los diferentes individuos de la

poblacin, dicha caracterstica debe ser susceptible de ser medido. La informacin que disponemos

de cada individuo es resumida en variables.

Ejemplos:

Peso corporal

Condicin econmica

Tiempo de espera

Utilidades de una empresa

..

..

TIPOS DE VARIABLE

Variable cualitativa o categrica.

Cuando la variable est asociada a una caracterstica cualitativa o atributo. Es decir, son variables

cuyos valores son cualidades. Dependiendo del nmero de categoras pueden ser dicotmicas o

politmicas.

Ejemplos:

Condicin econmica

Marca de auto

2

Dicotmica: Es aquella variable que solo puede adoptar dos atributos o caractersticas.

Ejemplos:

Resultado de un encuentro de vley

.

Politmica: Es aquella variable que solo puede adopta ms de dos atributos o caractersticas.

Ejemplos:

Estado civil

..

Variable cuantitativa o numrica

Cuando la variable est asociada a una caracterstica cuantitativa. Es decir, estas surgen cuando se

puede establecer cunto o qu cantidad posee una determinada caracterstica. Pueden ser discretas

o continuas.

Ejemplo:

Peso corporal.

Gasto por consumo de energa elctrica.

.

.

Discreta: En este caso la variable solo adopta valores enteros.

Ejemplos:

Nmero de televisores en casa

.

.

Continua: En este caso la variable toma cualquier valor real, no necesariamente entero.

Ejemplos:

Estaturas

...

.

MEDICIN

Es asignar un nmero o smbolo a objetos o sucesos de acuerdo a reglas predeterminadas.

ESCALA DE MEDICIN

Es el grado de precisin como se expresa la medida de la variable.

3 Nominal

Son aquellas que establecen la distincin de los elementos en las categoras sin implicar orden entre

ellas.

Ejemplo:

Sexo: Mujer Hombre.

Servicios Hospitalarios: Medicina - Pediatra Neurologa.

..

Ordinal

Son aquellas que agrupan a los objetos, individuos, en categoras ordenadas, para establecer

relaciones comparativas. Es decir, son susceptibles de ordenacin pero no de medicin cuantitativa.

Ejemplo:

Nivel educativo: Primaria Secundaria Tcnico - Universitario

Estado de salud: Muy saludable Saludable - No saludable

.

Intervalar

Se tiene una escala intervalar, cuando los valores asignados a las unidades estadsticas no solo

permiten ordenarlas sino que adems, las diferencias iguales entre estos indican diferencias iguales

en las cuantas de las propiedades a medir. El inicio de la escala (0) es arbitraria, convencional.

Ejemplo:

Temperatura

Razn

Se tiene una escala razn, cuando los valores asignados a las unidades estadsticas no solo permiten

que estas puedan ser ordenadas, sino que adems, las diferencias iguales entre estos indican

diferencias reales en las cuantas de las propiedades a medir. El valor cero representa ausencia de la

caracterstica que se mide.

Ejemplo:

Edad

4

Peso

POBLACIN

Es un conjunto de datos que consta de todas las observaciones concebibles (o hipotticamente)

posibles de un fenmeno determinado.

MUESTRA

Es un subconjunto de individuos extrados de la poblacin con el fin de inferir mediante su estudio,

caractersticas de la poblacin.

PARMETRO

Son todas aquellas medidas que describen numricamente las caractersticas de una poblacin.

Tambin se les denomina valor verdadero, ya que una caracterstica poblacional tendr un solo valor

del parmetro. Sin embargo una poblacin puede tener varias caractersticas y, por tanto, varios

parmetros.

ESTADGRAFOS

Es aquella descripcin numrica de una caracterstica correspondiente a los elementos de una

muestra. De una poblacin se pueden obtener M nmeros de muestra posibles y en cada una de

ellas se puede cuantificar la caracterstica, obtenindose por lo general, valores diferentes para cada

muestra.

5 EJERCICIOS

Clasifique las siguientes variables y seale su escala de medicin:

Variable Tipo de variable Escala

Nmero de solicitantes que llega a diario a una agencia de empleos.

Software estadstico.

Bancos comerciales.

Tiempo cronometrado en los 100 metros planos.

Velocidad de un automvil.

Empresas segn el nmero de trabajadores.

Nivel socioeconmico.

Partidos polticos.

Producto bruto interno del Per.

Nmero de asistentes a clase.

Pases de la Unin Europea.

Puntuacin de un test de coeficiente intelectual.

6

ORGANIZACIN TABULAR DE DATOS Y GRFICOS

Frente a un conjunto de datos, el primer paso a dar, debe ser expresarlo y clasificarlo de acuerdos a

criterios convenientes, de una forma simple que permita ver rpidamente todas las caractersticas

posibles para obtener conclusiones tiles, ya sea directamente o por medio de clculos posteriores.

Se consideran los siguientes pasos:

Revisin y recoleccin de los datos.

Construccin de tablas de frecuencias.

Representacin tabular o cuadros estadsticos y grfica.

REVISIN Y RECOLECCIN DE LOS DATOS

Ningn anlisis estadstico, por acabado y seguro que sea, es capaz de suministrar respuestas

adecuadas a un problema de estudio, si aquel se basa en informacin incorrecta. Por tanto antes de

utilizar los datos muestrales conviene aplicar tcnicas simples para probarlos, como dar respuesta a

las siguientes preguntas:

Los datos apoyan o contradicen la evidencia que se tena?

Es lgica la conclusin?

Hemos obtenido conclusiones que no estn sustentadas por los datos?

Cuntas observaciones se tiene?

TABLA DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Si los datos que se disponen son numerosos, es indispensable clasificarlos en un cuadro o tabla

resumen de las observaciones originales, a las que en adelante llamaremos tabla de distribucin de

frecuencias.

yi ni Ni hi Hi hi% Hi%

Y1 n1 N1 h1 H1 h1% H1%

y2 n2 N2 h2 H2 h2% H2%

y3 n3 N3 h3 H3 h3% H3%

y4 n4 N4 h4 H4 h4% H4%

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

ym nm Nm hm Hm hm% Hm%

7 Donde:

yi: representa los valores de la variable o el valor asignado a algn atributo de la variable

(caso de variables cualitativas).

ni: frecuencia absoluta del valor yi, representa el nmero de veces que aparece este valor en

el conjunto de observaciones.

Ni: Frecuencia absoluta acumulada, representa el nmero de observaciones menores o

iguales a yi.

hi: frecuencia relativa del valor de yi, es el cociente de la frecuencia absoluta de yi y el

nmero total de observaciones.

Hi: frecuencia relativa acumulada, es la frecuencia relativa total de las observaciones

menores o iguales a yi.

hi%: frecuencia relativa porcentual, es decir hi multiplicado por 100%; nos permite observar

la frecuencia absoluta en forma porcentual respecto del total.

Hi%: frecuencia relativa acumulada porcentual, es decir Hi multiplicado por 100%.

CUADROS ESTADSTICOS Y GRFICOS

Cuadro estadstico.- Es un arreglo ordenado, de filas y columnas de los datos o series estadsticas,

por tanto tienen dos entradas. En ellas pueden representarse caractersticas cualitativas,

cuantitativas o una combinacin de ambas. La finalidad es ofrecer informacin resumida de fcil

lectura, comparacin e interpretacin.

Grfico.- Es la representacin de un fenmeno estadstico por medio de figuras geomtricas cuyas

dimensiones son proporcionales a la magnitud de los datos representados. Su objetivo es la

representacin de los datos de forma grfica, que permite de un solo golpe de vista darse cuenta del

conjunto de elementos presentados y de evidenciar sus variaciones y caractersticas.

8

ORGANIZACIN Y REPRESENTACIN DE DATOS ASOCIADAS A VARIABLES CUALITATIVAS

En el caso de las variables cualitativas se pueden dar dos tipos de tratamiento segn la complejidad

de los datos.

En el caso que slo se tenga el valor de la caracterstica de la variables

Ejemplo:

Se tiene informacin acerca de la composicin de cartera de crditos (en millones de soles) del

Sistema Financiero Peruano para el ao 2010.

CONSUMO 25300

CORPORATIVOS 23364

MEDIANAS EMPRESAS 21428

GRANDES EMPRESAS 21170

HIPOTECARIOS 16006

PEQUEAS EMPRESAS 13941

MICROEMPRESAS 7874

Si se quiere obtener una informacin ms detallada que la que se muestra en la tabla, podemos

representar esos valores en forma porcentual. Primero, obtengamos el total

CONSUMO 25300

CORPORATIVOS 23364

MEDIANAS EMPRESAS 21428

GRANDES EMPRESAS 21170

HIPOTECARIOS 16006

PEQUEAS EMPRESAS 13941

MICROEMPRESAS 7874

TOTAL 129083

9 Luego, obtenemos el valor del hi, este se obtiene dividiendo cada valor entre el total. Una vez

calculado el hi multiplicamos por 100% (hi%), el resultado representar el porcentaje respecto al

total.

Ahora la tabla se puede presentar de la siguiente manera

Interpretaciones:

El 19,6% de los crditos otorgados van a los crditos por consumo.

El 16,4% de los crditos otorgados van destinados a las grandes empresas.

Solo el 6,1% de los crditos son asignadas a las microempresas.

NOTA: En el ejemplo se est trabajando con valores no con frecuencias.

Para una mejor ilustracin de los datos se puede realizar un grfico.

GRFICO DE SECTORES O DE PASTEL

Para construir el grfico de sectores se utiliza una circunferencia, cuyo crculo se divide en sectores,

tales que sus medidas de los ngulos centrales, y por tanto la superficie del sector circular, sean

proporcionales a las magnitudes de los valores de la variable que representan. Al total le

corresponde el crculo completo, es decir los 360 de la circunferencia.

10

20%

18%

17%

16%

12%

11%

6%

Composicin de la cartera de creditos: 2010

CONSUMO

CORPORATIVOS

MEDIANAS EMPRESAS

GRANDES EMPRESAS

HIPOTECARIOS

PEQUEAS EMPRESAS

MICROEMPRESAS

CONSUMO 20%

CORPORATIVOS 18%

MEDIANAS EMPRESAS

17%

GRANDES EMPRESAS

16%

HIPOTECARIOS 12%

PEQUEAS EMPRESAS

11%

MICROEMPRESAS 6%

Composicin de la cartera de crditos: 2010

11

Si los datos no estn contabilizados

Ejemplo:

Se realizo una encuesta en un conjunto habitacional a 45 vecinos, la cual estaba orientada a saber si

estos estaban satisfechos con el servicio de vigilancia y seguridad que brinda una empresa. Se

obtuvieron los siguientes datos.

B B R M M R B R B B M R R M B

B B B R B M B M R B M R M B B

B R B B R M R M B R B B R B B

B: buena R: regular M: mala

El primer paso es contabilizarlos mediante alguna marca o palotes

Luego anotamos las frecuencias absolutas de cada caracterstica de la variable y los valores de las

frecuencias relativas de la misma forma que en el ejemplo anterior.

Interpretaciones:

Casi la mitad de los vecinos consideran que el servicio que se les brinda es bueno.

Un 22% cree que el servicio que se les ofrece es malo.

12 GRFICO DE BARRAS

Es aquel en el cual el fenmeno que se estudia queda representado por una serie de rectngulos,

barras o paraleleppedos, los cuales pueden dibujarse horizontal o verticalmente.

CUADROS ESTADISTICOS

Se define como el conjunto de datos estadsticos ordenados en filas y columnas, que permiten leer,

comparar e interpretar las caractersticas de una o ms variables. Los datos son el resultado de la

ejecucin de una investigacin estadstica o el aprovechamiento de un registro administrativo con

fines estadsticos.

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

Buena Regular Mala

Po

rcen

taje

Calidad del servicio de vigilancia

Buena

Regular

Mala

22

13

10

Calidad del servicio de vigilancia

14 EJERCICIOS

1.- Se tiene informacin Sistema de Privado de Pensiones obtenida de la SBS

(http://www.sbs.gob.pe)

a. Realizar un cuadro estadstico mostrando en valores porcentuales del nmero de afiliados

por AFP para cada una de las cuatro semanas y realice el grfico de sectores para la semana

de 30 julio al 3 de agosto.

Del 23 al 27 de julio

Del 30 de julio al 3 de agosto

Del 6 al 10 de agosto


Horizonte

Integra

Prima

Profuturo

Total

Cuadro estadstico





Horizonte

Integra

Prima

Profuturo

15

Grfico de Sectores

b. Realizar un cuadro estadstico mostrando en valores porcentuales de los trabajadores

independientes para cada AFP para cada semana y realice un grfico de barras para la

semana del 13 al 17 de agosto.

Trabajadores Independientes





Horizonte

Integra

Prima

Profuturo

Total

Cuadro estadstico





Horizonte

Integra

Prima

Profuturo

16

Grfico de Barras

c. Muestre un grfico (elija uno a su criterio) donde se puede observar el comportamiento de la

afiliacin al sistema de fondo de pensiones para las cuatro semanas.

17

ORGANIZACIN Y REPRESENTACIN DE DATOS ASOCIADAS A VARIABLES CUANTITATIVAS

En esta parte del curso se trabajar con los datos que se obtengan de las variables cuantitativas,

como sabemos estas pueden ser discretas o continuas. De la misma manera como se organizaron los

datos de las variables cualitativas, tambin organizaremos estos datos mediante una tabla de

distribucin de frecuencias, para luego obtener cuadros estadsticos y las grficas.

ORGANIZACIN DE LOS DATOS DE VARIABLES CUANTITATIVA DISCRETAS

Recordemos que una variable cuantitativa discreta es aquella que solo toma valores enteros, en

funcin a ello se establecen algunas propiedades con los elementos de la tabla de distribucin de

frecuencias.

Propiedad relacionada con la frecuencia absoluta

18

Propiedad relacionada con la frecuencia relativa

Propiedad relacionada con la frecuencia relativa porcentual.

Ejemplo:

A las familias de una comunidad alto andina se le pregunt por el nmero de hijos, obtenindose los

siguientes resultados

2 0 2 4 4 6 6 4 6 7 4 4 7 4 2 0 4 6 7 7

Construiremos la tabla de distribucin de frecuencias para luego realizar algunas interpretaciones.

El primer paso es realizar un conteo o registro de valores de la variable que se repiten, es decir

obtener las frecuencias absolutas.

19

Una vez hecho registro procedemos a completar la tabla

En la cuarta columna lo completamos con las frecuencias relativas y a partir de ella todas las dems

columnas.

Interpretaciones de las frecuencias relativas:

n1=2; Hay dos familias que no tienen hijos.

n2=3; Tres familias que tienen dos hijos.

n3=7; Siete familias que tienen cuatro hijos

n4=4; Cuatro de estas tienen seis hijos.

n5=4; Y cuatro familias con siete hijos.

Interpretaciones de las frecuencias relativas:

N3= 12; significa que el nmero de familias que tienen a lo ms 4 hijos es 12 existen 12

familias que a lo ms tienen 4 hijos.

20

N4 = 16; significa que el nmero de familias que tienen a lo ms 6 hijos es 16 existen 16

familias que a lo mas tienen 6 hijos.

Interpretaciones de las frecuencias porcentuales:

h1% = 10% significa que el 10% de las familias no tienen hijos.

h2% = 15% significa que el 15% de las familias tienen 2 hijos.




Interpretaciones de las frecuencias absolutas porcentuales:

H2% = 25% significa que el 25% de las familias tienen a lo ms 2 hijos.



DIAGRAMA DE FRECUENCIAS

Se usa para representar los diferentes tipos de distribuciones de frecuencias de variables

cuantitativas discretas.

Representacin grfica de las distribuciones de frecuencias absolutas y relativas.

Considerando la tabla de distribucin de frecuencias del ejemplo anterior.

Observaciones:

Generalmente los valores de la variable se deben ubicar en el eje horizontal, indicando el

nombre de la variable.

Grficamente los valores estn representados por lneas, esto es debido que se est

trabajando con variables cuantitativas discretas (valores enteros).

21

Representacin grfica de las distribuciones de frecuencias absolutas acumuladas y relativas

acumuladas.

22 EJERCICIOS 1.- La siguiente informacin muestra la inasistencia a la junta de accionistas de 20 accionistas

principales de una empresa de construccin en el ltimo semestre del 2014.

0 1 2 2 1 3 2 1 4 2 4 3 2 0 0 2 2 3 0 3

a. Construye la tabla de frecuencias a partir de estos datos. b. Construye el grfico que consideres ms adecuado con las frecuencias no acumuladas.

2.- El Ministerio de Desarrollo e Inclusin Social encarga a una consultora recabar informacin de una

regin selvtica del pas acerca del nmero de hijos en 50 familias con el fin de brindar apoyo

asistencial por parte del ministerio. Obtenindose los siguientes datos.

2 4 2 3 1 2 4 2 3 0 2 2 2 3 2 6 2 3 2 2 3 2 3 3 4

3 3 4 5 2 0 3 2 1 2 3 2 2 3 1 4 2 3 2 4 3 3 2 2 1

23

a. Construye la tabla de frecuencias a partir de estos datos.

b. Cuntas familias tienen exactamente tres hijos?

c. Qu porcentaje de familias tienen exactamente cuatro hijos?

d. Qu porcentaje de las familias de la muestra tienen ms de dos hijos?

e. Construye el grfico que consideres ms adecuado con las frecuencias no acumuladas.

f. Construye el grfico que consideres ms adecuado con las frecuencias acumuladas.

24 3.- En la tabla de frecuencias que se muestra faltan algunos datos. Completarla

yi ni Ni hi Hi

0 2

1 5

2 9

3 14 0.7

4 0.2

5

4.- Para medir la variable adaptacin sensorial en un trabajo de investigacin se utiliz una prueba

elaborada ad hoc para esta investigacin, donde la puntuacin mxima es 10 (mxima adaptacin) y

la puntuacin mnima 0 (mnima adaptacin). Dicho trabajo se aplic a 36 ingenieros participantes de

un curso de capacitacin de las fuerzas armadas.

9 8 6 5 3 4 7 6 4 5 7 5 2 4 1 7 6 4

5 1 3 7 8 7 4 2 1 7 2 2 5 4 3 2 1 2

Construya la tabla de distribucin de frecuencias y realice algunas interpretaciones.

25

ORGANIZACIN Y REPRESENTACIN DE DATOS ASOCIADAS A VARIABLES CUANTITATIVAS

CONTINUAS

En este caso debido a que la magnitud de la caracterstica puede tomar, al menos tericamente,

infinitos valores, el proceso de reduccin, agrupacin o condensacin de los datos originales que

conducen a la construccin de tablas de frecuencia, no es tan simple como en el caso de los datos

discretos; es ms bien un problema de clasificacin de los datos donde la subjetividad del

investigador tiene una influencia que no debe de ignorarse.

Mediante un ejemplo se explicar el procedimiento que se debe seguir para la organizacin de estos

datos.

Ejemplo:

La informacin que se muestra a continuacin es referida 50 observaciones referentes a los pesos de

50 lingotes de acero producidos por una empresa minera. La muestra fue obtenida de la produccin

semanal, las unidades estn dadas en Kg.

El primer paso a seguir consiste en determinar el mximo y mnimo valor, esto nos llevar a obtener

la amplitud del recorrido.

Amplitud del recorrido o rango ()

= Xmax Xmin

= 96.4 91.6 = 4.8

Nmero de intervalos (m)

Criterios

5 m 20 (Eleccin subjetiva)

m = 1 + 3,3 log n (mtodo de Sturges)

n: nmero de observaciones

Para nuestro ejemplo elegimos m = 5, si en caso se hubiese elegido el mtodo de Sturges m=6.6 la

cual podramos aproximar a 6 a 7

Amplitud del intervalo (C)

26

Al trabajar con este nmero se nos puede hacer complicado la construccin de los intervalos, debido

a que es un nmero decimal, por ello es preferible trabajar con un nmero entero pero este nmero

debe ser ms prximo y superior a 0.96, en este caso el valor elegido es c = 1, al hacer este cambio

de c hace que el rango se modifique.

Rango = c x m = 1 x 5 = 5 4.8

Para ello modificamos la amplitud del recorrido, como la diferencia es de 0.2 entonces corremos 0.1

a la izquierda y 0.1 a la derecha.

Los lmites de clase vienen a ser los extremos de cada intervalo (o clase) con amplitud c, y

para construir los intervalos se comienza con el mnimo valor, que en nuestro ejemplo ser

con el nuevo mnimo 91.5.

La marca de clase es un valor que representa al conjunto de valores que pertenecen a un

intervalo, este valor se calcula con el propsito de obtener alguna caracterstica de los datos

como la media, mediana, varianza, etc. que ms adelante se calcularan.

27

Se debe tener en cuenta que los intervalos que se construyan deben ser semi-abiertos, es decir en un

extremo abierto y en otro cerrado (o viceversa).

Una vez construido los intervalos se procede a hacer el conteo de cuntos de estos datos pertenecen

a cada intervalo. De esta manera se obtendrn las frecuencias absolutas.

Ahora completamos la tabla:

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

Se usa para representar grficamente las distribuciones de frecuencias absolutas o relativas de datos

cuantitativos continuos agrupados en clases. Estos estn representados mediantes rectngulos cuya

base es la amplitud de la clase.

28

Histograma de frecuencias: Peso de cincuenta lingotes de acero

POLGONO DE FRECUENCIAS

Los polgonos de frecuencias absolutas o relativas, se obtienen uniendo los puntos medios de las

bases superiores de los rectngulos en el histograma de frecuencias absolutas o relativas,

respectivamente.

Polgono de frecuencias: Peso de cincuenta lingotes de acero

POLGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS: OJIVAS.

La ojiva es la representacin grfica de una distribucin de frecuencias absolutas acumuladas o

frecuencias relativas acumuladas menor que. En el eje horizontal se ubican los lmites de los

intervalos de clase.

29

Ojiva: Peso de cincuenta lingotes de acero

30 EJERCICIOS

1.- Los sueldos mensuales (en dlares) de 60 operarios de la empresa TELCOM S.A. fueron los siguientes:

440 560 335 587 613 400 424 466 565 393

453 650 407 376 470 560 321 500 528 526

570 430 618 537 409 600 550 432 591 428

440 340 558 460 560 607 382 667 512 492

450 530 501 471 660 470 364 634 580 450

574 500 462 380 518 480 625 507 645 382

Construya la tabla de frecuencia para estos datos y realice los grficos respectivos.

31 2.- Dada la siguiente distribucin de frecuencias que muestra las utilidades netas (en miles de nuevos soles) de 200 pequeas empresas del rubro de telecomunicaciones.

Cuntas empresas tienen utilidades comprendidas entre 260 y 320?

3.- La siguiente tabla muestra las puntuaciones obtenidas mediante una prueba a 36 ingenieros de

una empresa minera luego de recibir una capacitacin, las puntuaciones van de 0 a 80 puntos.

69 68 38 50 57 33 30 38 39 22 20 37 62 35 41 50 43 19

55 30 24 47 21 23 68 60 70 31 28 46 50 48 37 35 42 17

Organice los datos en una tabla de distribucin de frecuencias y realizar el histograma de frecuencias.

si LL ni Ni

- 12

- 270

- 300 30 90

- 126

330 -

- 50

32

4.- En el artculo Determination of representative Subdivision (J. of Energy Engr, 1993: 43-55) se

muestran los datos de varias caractersticas de subdivisiones que se podran usar para decidir si se

suministra energa elctrica por medio de lneas areas o subterrneas. A continuacin se dan los

valores de la variable x = longitud total de calles dentro de una subdivisin:

1280 5320 4390 2100 1240 3060 4770 1050 360 3330 3380 340 1000 960 1320

530 3350 540 3870 1250 2400 960 1120 2120 450 2250 2320 2400 3150 5700

5220 500 1850 2460 5850 2700 2730 1670 100 5770 3150 1890 510 240 396

1419 2109

Organice los datos en una tabla de distribucin de frecuencias y realizar el histograma de frecuencias.

33

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor

representativo, es decir, resumir la informacin con un solo nmero. Este nmero que, para tal fin,

suele situarse hacia el centro de la distribucin de datos y se denomina medida o parmetro de

tendencia central.

MEDIA

Se define como la suma de todos los valores observados de la variable dividida entre el nmero total

de observaciones n. Tambin es conocido como media aritmtica o promedio.

En general

Ejemplo:

El curso de estadstica tiene 15 alumnos y se han registrado el nmero de das que llegaron tarde en

todo el ciclo.

1 2 0 5 3 5 7 1 2 1 3 4 3 3 2

Interpretacin: En todo el ciclo los alumnos llegaron en promedio 2,8 das tarde.

MEDIANA

Se define como aquel valor de la variable que supera a no ms de la mitad de las observaciones y al

mismo tiempo es superado por no ms de la mitad de las observaciones. La mediana es el valor

central.

Ejemplo:


todo el ciclo.

Primero: Ordenamos los valores de las observaciones de menor a mayor

Interpretacin: El valor central del nmero de tardanzas de los alumnos es de 3 das.

34 En el ejemplo anterior el nmero de observaciones era 15, un nmero impar. Pero que sucede si el

nmero de observaciones es un nmero par, como por ejemplo:

1 2 0 5 3 5 7 1 2 1 3 4 3 3 2 0

En este caso se tiene 16 observaciones.

Ordenando los valores de las observaciones de menor a mayor

Interpretacin: El valor central del nmero tardanzas de los alumnos es de 2,5 das.

MODA

Es aquel valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia; es decir es el valor que ms se

repite.

Ejemplo:


todo el ciclo.

1 2 0 5 3 5 7 1 2 1 3 4 3 3 2

Como se puede observar el valor que ms se repite es de 3 das, entonces el valor modal (Mo) es 3.

En este caso se conoce como unimodal.

Presentamos otra situacin

Ejemplo:


todo el ciclo.

1 2 0 5 3 5 7 2 2 1 3 4 3 3 2

En este caso se tiene dos modas: 2 y 3, se conoce como bimodal. En el caso que haya ms de dos

modas se conocen como multimodal.

A continuacin se presenta las ventajas y desventajas que cada medida de medida de tendencia

central tiene una respecto a otra.

35 MEDIA

VENTAJAS DESVENTAJAS

Es un concepto familiar a la mayora

de las personas e intuitivamente claro.

Es una medida que puede ser calculada y nica.

Para su clculo, es tomada en cuenta cada una de las observaciones del conjunto de datos.

La media puede verse afectada por

factores extremos que no son representativos del resto de las observaciones.

Ejemplo: 1 0 3 2 2 0 2 M(x) = 1,42 1 0 3 2 2 0 24 M(x) = 4,57

MEDIANA


La mediana es fcil de entender y

puede ser calculada a partir de cualquier tipo de datos.

La mediana est afectada por el nmero de observaciones y no por la magnitud de cualquier valor extremo.

Ejemplo: 0 0 1 2 2 2 3 Me(x) = 2 0 0 1 2 2 2 24 Me(x) = 2

Se debe organizar los datos antes de

realizar algn clculo para obtener la mediana, esto puede consumir mucho tiempo.

Ciertos procedimientos estadsticos que usan a la mediana son mucho ms complejos que si se usara la media

MODA


Se puede usar como una localizacin

tanto para datos de variable cualitativas como cuantitativas.

No est afectada por valores extremos.

A menudo no hay un valor modal,

porque el conjunto de datos no contiene valores que se repiten ms de una vez.

Cuando el conjunto de observaciones contiene dos, tres o ms modas, stas son difciles de interpretar y comparar.

Clculo de la media para datos agrupados

En este caso los datos se encuentran organizados en una tabla de distribucin de frecuencias, el

mtodo de obtener la media aritmtica es diferente.

En general

36 Ejemplo:

A las familias de una comunidad alto andina se le pregunt por el nmero de hijos, obtenindose los


2 0 2 4 4 6 6 4 6 7 4 4 7 4 2 0 4 6 7 7

Interpretacin: El nmero promedio de hijos de las familias de una comunidad alto andina es 4,3

Ejemplo:

La informacin que se muestra a continuacin es referida 50 observaciones referentes a los pesos de

50 lingotes de acero producidos por una empresa minera. La muestra fue obtenida de la produccin

semanal, las unidades estn dadas en Kg.

En este caso multiplicamos la marca de clase con la frecuencia absoluta

37 Interpretacin: En promedio el peso de un lingote de acero es de 94,04 Kg.

PROPIEDADES

Propiedad 1

Si todos los valores observados son iguales a b (donde b es una constante), entonces

Ejemplo:

Propiedad 2

Si a cada valor de las observaciones se le suma (o resta) una constante, la media

aritmtica del nuevo conjunto transformado , es la media aritmtica del conjunto original

ms (o menos) la constante.

Ejemplo:

Propiedad 3

Si a cada valor de las observaciones se le multiplica por una constante diferente de cero,

la media aritmtica del nuevo conjunto transformado , es la media aritmtica del conjunto

original multiplicado por la constante.

Ejemplo:

38 Propiedad 4

De una poblacin de n observaciones se obtiene dos muestras de tamao n1 y n2 respectivamente.

Sean las medias aritmticas de las muestras, entonces la media asociada a las n

observaciones est dada por:

Donde n = n1 y n2

Ejemplo:

En general

Sean las medias aritmticas de m muestras cada una de tamao

respectivamente.

Donde:

39 EJERCICIOS

1.- Calcular la media, mediana y moda para los siguientes datos:

11 5 4 8 9 8 6 11 3 7 10 2 7 3 8

2.- Determinar la media de la siguiente tabla de frecuencia:

40 3.- Calcule la media a partir del siguiente histograma:

4.- El precio medio de un centenar de artculos escolares es de S/. 8 570, los artculos se dividen en dos grupos, con medias S/. 7 580 y S/. 9 780 Cuntos artculos hay en cada grupo?

41 5.- Un grupo de 100 atletas viaja en dos aviones. El primero lleva 40 atletas y el segundo los

restantes. Se sabe que el peso promedio de los 100 atletas es de 186,3 libras y los del segundo grupo

es de 10 libras menos que el de los atletas del primer avin. Cul es el peso medio de los atletas en

cada avin?

6.- Las notas del examen parcial del curso de estadstica de 20 alumnos son:

11 13 09 13 15 13 14 10 12 16 11 08 10 11 14 12 16 17 09 10

Siendo el promedio de 12,2. Debido a los trabajados presentados por los alumnos el profesor decide

aumentarle 3 puntos a cada alumno. Cul ser el nuevo promedio?

42

CUANTILES

Como una consecuencia del estudio de la mediana, es fcil ampliar este concepto a otros

estadgrafos que dividen a los datos en otras proporciones y no solo en el valor central como lo hace

la mediana.

CUARTILES

Los cuartiles son valores que divide a un conjunto de datos ordenados en forma ascendente o

descendente en cuatro partes iguales.

PRIMER CUARTIL: Q1

Es el valor que deja 25% de las observaciones menores o iguales a l y el 75% superiores a l.

Ejemplo:

Al examinar los registros de facturacin mensual de una empresa que vende al crdito, el auditor

toma una muestra de 11 de las facturas no pagadas. Las sumas (en miles de nuevos soles) que se

adeudan a la empresa son:

4 18 11 7 7 10 21 5 33 9 12

Primero se ordenan los datos en forma ascendente

En este caso se tiene 11 observaciones (n=11) luego realizamos el siguiente clculo para obtener la

posicin de primer cuartil.

es un nmero entero, entonces

43

Interpretacin: La deuda que es superada por el 75% de todas las deudas es de 7 mil soles, que

corresponde al primer cuartil.

TERCER CUARTIL: Q3

Es el valor que deja 75% de las observaciones menores o iguales a l y el 25% superiores a l.

En este caso se tiene 11 observaciones (n=11) luego realizamos el siguiente clculo para

obtener la posicin de tercer cuartil.

es un nmero entero, entonces

Interpretacin: La deuda que supera al 75% de todas las deudas es de 18 mil soles, que corresponde

al tercer cuartil.

Nota:

El cuartil Q2 coincide con la mediana la cual ya conocemos el mtodo para obtenerlo.

En el ejemplo anterior, para el clculo de Q1 y Q3

se obtuvieron valores enteros, pero eso no siempre va ocurrir.

Ejemplo:

Los siguientes datos representan el nmero de asistencias al policlnico hechas por 12 jubilados en un

ao de una comunidad asistencial para personas de la tercera edad.

9 10 12 3 5 7 15 10 9 11 13 11

Primero se ordenan los datos en forma ascendente


posicin de primer cuartil.

44 No es un nmero entero, entonces Q1 = 7 + (9-7)(0.25) = 7 + 0.5= 7.5 asistencias

Interpretacin: El nmero de asistencias que es superado por el 75% de todas las asistencias es de

7.5 asistencias, que corresponde al primer cuartil.


posicin de tercer cuartil.

No es un nmero entero, entonces Q3 = 11 + (12-11)(0.75) = 11 + 0.75= 11.75 asistencias

Interpretacin: El nmero de asistencias que supera al 75% de todas las asistencias es de 11.75

asistencias, que corresponde al tercer cuartil.

Nota:

DECILES: Son valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en forma ascendente (o

descendente) en diez partes iguales.

PERCENTILES: Son valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en forma

ascendente (o descendente) en cien partes iguales.

MEDIDAS DE DISPERSIN

Son cantidades que miden el grado en que los datos numricos tienden a extenderse alrededor de

un valor medio.

La importancia que tienen es porque proporcionan ms informacin que permite juzgar la

confiabilidad de las medidas de tendencia central. Si los datos estn muy dispersos, las medidas de

tendencia central son menos representativas de los datos que cuando estn ms agrupadas

alrededor de la media.

Utilidad

Para medir el grado de variacin de los datos del conjunto; as por ejemplo, si existe poca dispersin

en la productividad de los obreros de una compaa, esto quiere decir, que los obreros tienen un

rendimiento muy homogneo, es decir, que existe poca variabilidad en el rendimiento; pero si la

dispersin es alta, esto quiere decir, que el rendimiento es heterogneo o que existe gran

variabilidad en el rendimiento.

45 Para complementar un promedio; es decir, entre ms baja sea la dispersin de un conjunto de datos,

ms altamente representativo ser el promedio de ese conjunto. Si se tiene el conjunto 10, 12, 68, 9,

40, 97, 33, 14, 15 y 8, la media aritmtica de este ser 30.6, que no es un promedio representativo,

pues como vemos los datos son muy variables. En ste caso, el clculo de la dispersin nos dara alto,

significando con ello, que existe alta variabilidad entre los datos.

Para comparar dos o ms conjuntos referentes a un mismo fenmeno. Si por ejemplo, tanto el

ingreso promedio mensual de un barrio A como el de un barrio B de una cierta ciudad es $370.000,

pero se sabe adems que existe ms variabilidad de los ingresos en el barrio A que en el barrio B,

entonces podemos afirmar que el promedio de los ingresos en el barrio A es menos representativo

que en el barrio B., es decir que existe peor distribucin del ingreso en el barrio A que en el B.

Rango o recorrido de la variable (R)

R = Xmax - Xmin

Recorrido intercuartlico (RI)

RI = Q3 Q1

Desviacin del cuartil (QD)

Ejemplo:


toma una muestra de 11 de las facturas no pagadas. Las sumas que se adeudan a la empresa son:

4 18 11 7 7 10 21 5 33 9 12

46

Desviacin Media

Es la media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones de los valores observados

respecto a la media aritmtica de stas.

Ejemplo:



4 18 11 7 7 10 21 5 33 9 12

En este caso los datos estn sin tabular, primero debemos calcular la media

DM = 6.04

Varianza

Se define como la media aritmtica del cuadrado de las desviaciones de las observaciones con

respecto a su media.

Ejemplo:



4 18 11 7 7 10 21 5 33 9 12

Nota: el valor de la varianza no es interpretable, porque su valor estn dadas en unidades al

cuadrado.

47 Ejemplo:

A las familias de una comunidad alto andina se le pregunto por el nmero de hijos, obtenindose los

siguientes resultados 2 0 2 4 4 6 6 4 6 7 4 4 7 4 2 0 4 6 7 7

Se tiene la tabla de distribucin de frecuencias, ya realizada anteriormente, de la cual slo nos

interesa las dos primeras columnas

No olvidemos que la media es 4.3

La varianza para ste conjunto de datos es:

Desviacin estndar

Se define como la raz cuadrada de la varianza.

Para el ejemplo anterior, la desviacin estndar es:

Coeficiente de Variacin

Las medidas de dispersin que vimos anteriormente son absolutas y son tiles para describir la

dispersin de un solo conjunto de datos, pero si se quiere comparar ms de dos conjuntos de datos

tendremos que usar una medida de dispersin relativa, como el coeficiente de variacin; la cual est

definida como el cociente entre la desviacin estndar y la media.

48

Ejemplo:

Se tomaron dos exmenes a estudiantes del primer ciclo en los cursos de matemtica y economa,

las notas estn sobre 100 puntos. En el curso de matemtica la media fue de 72 puntos y una

desviacin estndar de 9 puntos; en el curso de economa se obtuvo una media de 80 puntos y

desviacin estndar 6 En cul de los cursos hay mayor dispersin?

Como se puede observar, la mayor dispersin se dio en el curso de matemtica.

PROPIEDADES

Propiedad 1

Si todos los valores observados son iguales a b (donde b es una constante), entonces

Ejemplo:

Propiedad 2

Si a cada valor de las observaciones se le suma (o resta) una constante, la varianza del

nuevo conjunto transformado , es la misma del conjunto original, o sea

Ejemplo:

49 Propiedad 3

Si a cada valor de las observaciones se le multiplica por una constante diferente de cero,

la varianza del nuevo conjunto transformado , es la varianza del conjunto original

multiplicado por la constante elevada al cuadrado, es decir

Ejemplo:

50 EJERCICIOS

1.- De los siguientes datos calcule los cuartiles y el coeficiente de variacin.

4 11 5 2 7 8 8 9 10 8 3 6 11 7 3

2.- Establezca, con base estadstica, en cul de las siguientes empresas el salario (en cientos de

nuevos soles) est repartido de forma menos dispersa.

51

3.- Sean X e Y tales que Sabiendo que yi = axi + b y que

a>0, determinar los valores de estas dos constantes a y b.

52 4.- Se cuenta con datos del peso y la estatura de un grupo de 20 nios entre 8 y 10 aos, y se desea

saber cul de las dos variables tiene mayor variabilidad.

5.- Los salarios de los obreros en una empresa presentaban en el ao 2013 una media de $412 y

desviacin estndar de $62 y para el ao 2014 la empresa decret para cada obrero un aumento de

$41, entonces Podramos decir que la empresa propone una distribucin ms equitativa de los

salarios de sus trabajadores para este ao? Sustente su respuesta.

53

MEDIDAS DE FORMA

COEFICIENTE DE ASIMETRA

Nos indica la asimetra de una que presenta un conjunto de datos (o distribucin). Este coeficiente

caracteriza el grado de asimetra de una distribucin con respecto a su media.

Para calcular el coeficiente de asimetra se usa la siguiente frmula:

En funcin al valor que tome esta se presentarn las siguientes situaciones:

CAs < 0: Distribucin asimtrica hacia la izquierda (asimetra negativa)

CAs = 0: Distribucin simtrica.

CAs > 0: Distribucin asimtrica hacia la derecha (asimetra positiva)

Por ejemplo: El caso de las notas de un examen final.

MEDIDA DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS

Se entiende por curtosis, la medida de deformacin vertical de una distribucin de frecuencias, es

decir la medida de apuntamiento o achatamiento de una distribucin. La frmula a usar es la

siguiente:

54

A manera de aplicacin de las medidas de forma tomaremos un ejemplo ya trabajado

anteriormente.

Ejemplo:

A las familias de una comunidad alto andina se le

pregunto por el nmero de hijos, obtenindose los


2 0 2 4 4 6 6 4 6 7 4 4 7 4 2 0 4 6 7 7

Donde: = 4,3 S = 2,71 n = 20

55

TCNICAS DE CONTEO

Las tcnicas de conteo son usadas para enumerar eventos difciles de cuantificar. Comprende un

conjunto de procedimientos que permite determinar el nmero de resultados de un evento o

experimento aleatorio sin necesidad de utilizar una enumeracin e identificacin directa de todos los

posibles resultados de dicho evento o experimento.

PRINCIPIO DE ADICIN

Si una accin puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda accin puede realizarse de n2

maneras diferentes, pero no es posible realizar ambas acciones conjuntamente, entonces n1 o n2

pueden realizarse alternativamente de n1 + n2 maneras diferentes.

Ejemplo:

Claudio va a comprar el repuesto de su automvil que se venden en 3 tiendas de La Victoria y 5

tiendas del Rmac. De cuntas maneras diferentes puede adquirir el repuesto?

Por lo tanto Claudio podr adquirir dicho repuesto de 8 maneras diferentes

Este principio aditivo se generaliza para cualquier nmero de acciones alternativas a realizar, esto es,

si una primera accin se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda accin se puede

realizar de n2 maneras diferentes,..., y una r-sima accin se puede realizar de nr maneras diferentes,

entonces las r acciones alternativas se pueden realizar de n1 + n2 +...+ nr maneras diferentes.

Ejemplo:

Para viajar de Lima al Cusco se puede optar por avin, autobs o tren; existen tres rutas para el

avin, cuatro para el autobs y dos para el tren. Cuntas rutas hay para viajar?

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIN

El principio multiplicativo es aplicable cuando el experimento se puede descomponer en un conjunto

de acciones secuenciales o independientes, de modo que cada resultado del experimento se

conforma con una posibilidad de cada una de esas acciones.

Si una accin puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda accin puede realizarse de n2

maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de n1 x n2 maneras

diferentes.

56 Ejemplo:

Si Lorena tiene 2 blusas y 3 faldas diferentes, De cuntas maneras se puede vestir de manera

adecuada?

Este principio multiplicativo se generaliza para cualquier nmero de acciones a realizar, esto es, si

una primera accin se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda accin se puede

realizar de n2 maneras diferentes,..., y una r-sima accin se puede realizar de nr maneras diferentes,

entonces las r acciones se pueden realizar de n1 x n2 x...x nr maneras diferentes.

Ejemplos:

De cuntas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas,

suponiendo que cada persona no puede obtener ms de un premio?

Aplicando el principio de multiplicacin, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio.

Una vez que ste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente

quedarn 8 personas para el tercer premio. De ah que el nmero de maneras distintas de repartir

los tres premios.

Cuntas placas de automvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras?

No se admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468 000

Se tendran 468 000 placas de automvil.

DIAGRAMA DE ARBOL

Un diagrama de rbol es una herramienta grfica que permite enumerar todas las posibles maneras

de realizar un conjunto de acciones secuenciales o independientes. El rbol se construye a partir de

un nodo, que representa la primera accin a efectuar; de ste se desprenden tantas ramas como

maneras diferentes se pueda realizar esa accin; en las terminales de cada rama se dibujan otros

nodos, que representan la segunda accin a efectuar y de los que se desprenden tantas ramas como

maneras lgicas diferentes pueda realizarse esa segunda accin, considerando la manera en que se

realiza la primera. Y as, sucesivamente.

57

Ejemplo:

Se tienen en un estante de 3 libros; uno de lgebra, uno de Contabilidad y otro de Biologa. De

cuntas formas distintas se pueden ordenar los libros?

= {ACB, ABC, BAC, BCA, CAB, CBA}

Ejemplo:

Considere el experimento consistente en lanzar una moneda tres veces consecutivas y observar, cada

vez, la cara que queda hacia arriba.

58 Ejemplo:

Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde un

dlar. El hombre empieza con un dlar y dejar de jugar si antes de la quinta vez pierde todo su

dinero o si gana tres dlares, esto es, si tiene cuatro dlares. Realizar un diagrama de rbol para

dicho experimento aleatorio.

PERMUTACIN

Las permutaciones son los diferentes arreglos u ordenamientos que se pueden realizar con una parte

o con todos los elementos de un conjunto.

Permutacin lineal.- Son los diferentes arreglos que se hacen en una lnea referencial.

Ejemplo:

De cuntas maneras diferentes se ordenan A, B, C y D tomados de dos en dos?

Se tienen cuatro elementos: A, B, C y D

Entonces tenemos 12 maneras diferentes de ordenar A, B, C y D

Otra manera

Adems se puede expresar

59 En general

Factorial de un nmero.- Es el producto de todos los nmeros enteros positivos y consecutivos des

de la unidad hasta n. Se denota n!

n! = 1 x 2 x 3 x 4 xx (n-1) x n

Ejemplos:

4! = 1 x 2 x 3 x 4

7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7

Nota: Por convencin se asume que 0! = 1

Permutacin Circular.- Es un arreglo u ordenamiento de elementos alrededor de un objeto o

punto de referencia.

Ejemplo:

De cuntas maneras diferentes se pueden sentar 4 personas alrededor de una mesa circular?

Sean A, B, C y D las personas que se van a ubicar alrededor de la mesa.

Se tiene 6 maneras.

En general

Permutacin lineal con elementos repetidos.- Es un ordenamiento lineal cuyos elementos no

todos son distintos entre s, es decir, hay elementos que se repiten.

Ejemplo:

De cuntas maneras diferentes se pueden ordenar en una fila dos fichas iguales de color negro y

dos fichas iguales de color blanco?

60 Sean las fichas N, N, B y B

Se observa que hay seis maneras diferentes de ordenar.

Otra manera

En general

Ejemplo:

Cuntas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra CASACA?

Se pueden formar 60 palabras diferentes con la palabra CASACA

COMBINACIN

Viene a ser los diferentes grupos que se pueden formar con una parte o todos los elementos de un

conjunto determinado sin considerar el orden de los agrupamientos.

Ejemplo:

De cuantas maneras diferentes se pueden agrupar A, B, C y D al tomar de 2 en 2?

Tenemos cuatro elementos, la cual se agrupa de 2 en 2.

Se observa que hay 6 maneras diferentes de agrupar de 2 en 2.

Otra manera

61 Es una combinacin de 4 elementos que se toman de 2 en 2 y se obtiene:

En general

Ejemplo:

Un grupo de 7 estudiantes se desea conformar dos comisiones. La primera comisin debe estar

integrada por 4 estudiantes y la segunda comisin por 3 estudiantes. De cuntas maneras diferentes

se puede elegir a los alumnos que deben conformar la primera comisin?

El grupo tiene 7 estudiantes, entonces n = 7

La primera comisin est conformada por 4 estudiantes, entonces k = 4.

62 EJERCICIOS

1.- Un artculo de computo se vende en tres galeras; en el primero se tienen disponibles 4 tiendas,

en el segundo 7 y en el tercero 6 tiendas. De cuntas maneras se puede elegir una tienda para

comprar dicho artculo?

2.- De cuantas maneras pueden ubicarse 8 personas en una banca de capacidad para 5 personas?

3.- Un entrenador de ftbol tiene 16 jugadores a su cargo, de los cuales uno est lesionado y no

puede jugar. De cuntas maneras podr formar su equipo, si cualquiera de los jugadores puede

desempearse en cualquier puesto?

4.- En el hipdromo de Monterrico se va alargar una carrera donde competirn 6 caballos. De

cuntas maneras podrn ocupar los primeros 3 puestos? De esta manera se puedan repartir los

premios.

63 5.- De cuntas maneras distribuiramos 3 monedas de S/.5 y 4 monedas de S/. 2 en una misma

lnea?

6.- En el comedor de la ciudad universitaria se ofrece un men que consiste en una sopa, un

segundo, un postre y una bebida. Cuntos almuerzos son posibles, si podemos elegir 4 tipos de

sopas, 3 tipos de segundo, 5 postres y 4 bebidas?

7.- Se debe formar una comisin de tres ingenieros: uno de sistemas, uno de electrnica y otro de

industrial Cuntas posibilidades de formar dicha comisin hay? Si se cuentan con tres de sistemas,

cuatro de electrnica y seis industriales.

64

PROBABILIDADES

El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas

como las que se mencionan a continuacin:

Cul es la probabilidad de que me saque la lotera?

Qu posibilidad hay de que me pase un accidente automovilstico?

Qu posibilidad hay de que hoy llueva? para llevar mi paraguas o no.

Existe alguna probabilidad de que repruebe el examen final?

Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan como respuesta una medida de confianza

representativa o prctica de que ocurra un evento futuro, o bien una forma sencilla de interpretar la

probabilidad. En este tema lo que se quiere es entender con claridad su contexto, como se mide y

como se utiliza al hacer inferencias.

El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadstico. El clculo de

probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que

constituyen la base para la estadstica inferencial.

Experimento determinstico

Un experimento determinstico es aquel cuyos resultados del experimento estn completamente

determinado y puede describirse mediante una frmula matemtica llamada tambin modelo

determinstico.

Ejemplos:

Lanzar una pelota en un tanque de agua y ver si flota o se hunde.

Soltar una piedra en el aire.

Experimento no determinstico

Un experimento no determinstico se da cuando los resultados de los experimentos no pueden

predecirse con exactitud antes de realizar el experimento.

Ejemplos:

Lanzar una moneda y observar la cara superior (cara o sello)

Lanzar un dado y observar el nmero que aparece en la cara superior.

EXPERIMENTO ALEATORIO

En la vida podemos encontrar situaciones que no se pueden predecir, como cuando se realiza un

partido de ftbol, se lanza una moneda, etc. En todos estos casos no sabemos qu resultado se

tendr y por eso a estas situaciones se les llama experimentos aleatorios.

Un experimento aleatorio, tiene dos propiedades en comn:

Uno de estas es que cada experimento tiene varios resultados posibles que pueden

especificarse de antemano.

La segunda propiedad es que estamos inciertos acerca del resultado de cada experimento.

65 Ejemplos:

Conocer el nmero de alumnos que faltaran a clases, la prxima semana.

Preguntar a un profesor de secundaria la especialidad que tiene (Matemtica, Qumica,

Biologa, etc.)

Verificar la legalidad de un billete de $100 (legal o falso).

ESPACIO MUESTRAL

El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, es el conjunto de todos los resultados

posibles de dicho experimento aleatorio.

Lanzar una moneda y observar la cara superior (cara o sello)

1 = {C, S}

Lanzar un dado y observar el nmero que aparece en la cara superior.

2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Tiempo de espera hasta ser atendido en el banco.

3 = { t / 0 t}

EVENTOS

Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio y lo denotaremos

por A, B, C, D, etc.

SUCESO

Un suceso es todo elemento del espacio muestral y lo designaremos por w, x, y, etc.

Ejemplos:

Consideremos el experimento aleatorio de lanzar un dado

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Un evento podra ser: A: ocurre un nmero par

A = {2, 4, 6}

Observar el tiempo de vida del foco de una lmpara.

= { t / 0 t}

Un evento podra ser: B: el foco dura ms de 200 horas

B = {t / t > 200}

Evento imposible

Evento que no ocurre nunca en un experimento aleatorio. Algunos eventos nunca pueden ocurrir en

el experimento aleatorio, y por eso se llama imposible. Se simboliza con .

66 Ejemplo:

Sea el evento A: Lanzar dos dados y que la suma del resultado sea 14.

A =

Evento seguro

Evento que siempre ocurre en un experimento aleatorio.

Ejemplo:

Sea el evento B: Sacar una bola roja, de una urna que contiene 6 bolas rojas

B = Sacar una bola roja es un evento seguro, pues todas son rojas.

OPERACIN CON EVENTOS

Unin de eventos

Dado dos eventos A y B, se llama unin de eventos A U B al evento formado por los sucesos que

pertenecen a A o a B a ambos.

A U B = {w / w A v w B}

Ejemplo:

Se realiza el experimento de lanzar un dado y se dan los siguientes eventos:

Evento B B: los resultados son mayores o iguales a tres

Evento D D: los resultados son nmeros impares

Entonces:

Interseccin de eventos

Dado dos eventos A y B, se llama interseccin de A con B A B al evento formado por todos los

sucesos favorables a A y a B. Es decir ambos eventos ocurren.

AB = A B = {w / w A w B}

Evento B B: Los resultados son mayores o iguales a tres

67

Evento D D: Los resultados son nmeros impares

Entonces:

Eventos mutuamente excluyentes

Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral, se dice que son mutuamente excluyentes

si no pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro.

A B =

Ejemplo:

Evento C C: Los resultados son nmeros pares.

Evento D D: Los resultados son nmeros impares

Los eventos C y D son mutuamente excluyentes

C D =

Complemento de un evento

Si A es un evento del espacio muestral , se llama complemento de A, al evento formado por todos

los sucesos que no pertenecen a A. Es decir, no ocurre A.

A= = {w / w A}

Ejemplo:

Evento A A: Los resultados son mayores o iguales a tres

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON EVENTOS

68

DEFINICIN DE PROBABILIDAD

ENFOQUE CLSICO DE PROBABILIDAD

La probabilidad de un evento es la razn entre el nmero de casos (sucesos) favorables y el nmero

total de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos sucesos

debe tener preferencia a los dems, lo que hace que sean igualmente posibles.

La probabilidad de un evento A: P(A), es un nmero, que mide el grado de certeza en el que un

evento A ocurre, y se obtiene con la frmula conocida como regla de Laplace.

Ejemplo:

En una urna se tienen tres bolas blancas y siete bolas rojas. Cul es la probabilidad de que cuando se

extraiga una bola este sea de color rojo?

ENFOQUE DE FRECUENCIA RELATIVA

Si un experimento bien definido se repite n veces (n grande) y sea nA el nmero de veces que el

evento A ocurre en los n ensayos (nA < n), entonces la frecuencia relativa de veces que ocurre el

evento A nA/n, es la estimacin de la probabilidad que ocurra el evento A, o sea:

69

Observacin:

La frecuencia relativa de un evento, est comprendido entre 0 y 1, por lo tanto 0 P(A) 1

ENFOQUE SUBJETIVO DE PROBABILIDAD

Este enfoque nos dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por

parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposicin. Bajo

esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de

ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrir o no ocurrir esa sola vez. El valor de

probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

Ejemplo:

La probabilidad que apruebe el curso es de 0,86

La probabilidad que mi equipo de futbol gane el campeonato es de 60%

AXIOMAS DE PROBABILIDADES

Independientemente de la forma como definimos la probabilidad, esta cumple los siguientes

axiomas.

Axioma 1 0 P(A) 1, para cada evento A en

Axioma 2 P() = 1

Axioma 3 Para cualquier nmero finito de K eventos mutuamente excluyentes

Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes en , entonces

P[A U B] = P[A] + P[B]

TEOREMA DE PROBABILIDADES

Teorema 1 Si es el evento imposible, entonces P() = 0

Teorema 2 Para cada evento A, se cumple que

70

P[] = 1 P[A] o P[A] = 1 - P[]

Teorema 3 Si A y B son eventos tales que

P[A] P[B]

Teorema 4 Si A y B son dos eventos cualesquiera en , entonces

P[A U B] = P[A] + P[B] - P[A B]

Teorema 5 Si A, B y C son tres eventos cualesquiera en , entonces

P[A U B U C] = P[A] + P[B] + P[C] - P[A B] - P[A C] - P[B C] + P[A B C ]

Ejemplo:

De acuerdo con la tabla cul es la probabilidad de que una familia escogida al azar tenga un ingreso

familiar a) Entre $20 000 y $40 000, b) menor que $40 000, c) en cada uno de los extremos, o sea

menor que $20 000 o cuanto menos de $100 000?

De la tabla, podemos decir que los eventos (categoras) son mutuamente excluyentes.

Ejemplo:

De 300 estudiantes de la facultad de ingeniera, 100 se encuentran inscritos en matemtica y 80

estn inscritos en estadstica aplicada. Estas cifras incluyen a 30 estudiantes que estn inscritos en

ambos cursos. Cul es la probabilidad de que un estudiante elegido de manera aleatoria est

inscrito en matemtica (A) o en estadstica aplicada (B)?

Por lo descrito, podemos concluir que los eventos no son mutuamente excluyentes. Lo pedido se

puede expresar como P(A U B).

P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B)

71 EJERCICIOS 1.- Se extraen dos bolas de una urna que se compone de una bola azul, una roja, una verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:

a. La primera bola extrada se devuelve a la urna antes de sacar la segunda (con reposicin). b. La primera bola extrada NO se devuelve a la urna antes de sacar la segunda (sin reposicin).

2.- En una urna que tiene 10 bolas enumeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.

a. Cul es el espacio muestral? b. Describe los eventos:

A: "Mayor que 6" B: "No obtener 6" C: "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos. c. Hallar la probabilidad de los eventos: AUB, AB y B'A'.

3.- Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Calcular la probabilidad de que la suma sea:

a. par b. mltiplo de 3 c. mltiplo de 5 d. mayor que 6

72 4.- Dos amigos juegan con dos dados. Uno apuesta a obtener suma igual a 6 y el otro apuesta a obtener suma igual a 7. Te parece el juego justo? 5.- Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un nmero del 1 al 5. Cul es la probabilidad de que las dos elijan el mismo nmero?

6.- Sean A y B los eventos tales que: P[A] = 0,4 P[A' B] = 0,4 P[A B] = 0,1

Calcula P[A U B] y P[B]

73 7.- En una clase en la que todos practican algn deporte, el 60% de los alumnos juega al ftbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si adems hay un 60% que no juega al ftbol, cul ser la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

a. juegue slo ftbol b. juegue slo baloncesto c. Practique uno solo de los deportes d. No juegue ni al ftbol ni al baloncesto.

8.- En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar ingls, 36

saben hablar francs, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.

Escogemos uno de los viajeros al azar.

a. Cul es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

b. Cul es la probabilidad de que hable francs, sabiendo que habla ingls?

c. Cul es la probabilidad de que solo hable francs?

74

9.- Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la

televisin. Los resultados son:

- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.

- A 92 personas les gusta leer.

- A 47 personas les gusta ver la tele.

Si elegimos al azar una de esas personas:

a. Cul es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

b. Cul es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?

c. Cul es la probabilidad de que le guste leer?

75 10.- Considere elegir al azar un alumno de cierta universidad, y sea A el evento de que el individuo seleccionado tenga una tarjeta de crdito Visa y B el evento anlogo para una MasterCard. Suponga que P(A)=0.5, P(B)=0.4 y P(AB)=0.25

a. Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las dos tarjetas (es decir, la probabilidad del evento A U B)

b. Cul es la probabilidad de que el individuo elegido no tenga ninguna de esas tarjetas? c. Describa, en trminos de A y B, el evento de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta

Visa, pero no una MasterCard, y luego calcule la probabilidad de este evento.

76

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Cuando se defini las probabilidades, en cualquiera de sus enfoques, se relacion a todo el espacio

muestral y utilizamos el smbolo P(A) para denotar la probabilidad de estos eventos; podramos

haber usado el smbolo P(A/), que se lee probabilidad del evento A dado que ha ocurrido .

Frecuentemente estamos interesados en obtener la probabilidad de un evento, donde dicho evento

est condicionado a la ocurrencia de un subconjunto del espacio muestral. Es decir, se da que el

evento B ha ocurrido, y se quiere saber la probabilidad que ocurra el evento A.

Se dice que ya ha ocurrido B, entonces se tiene que el espacio muestral se ha restringido al

subconjunto B.

Por lo tanto sera razonable definir la probabilidad del evento A dado que ha ocurrido B la cual se

denota por P(A/B)

De la misma manera como se hubiera expresado la P(A) como una probabilidad condicional.

Ejemplo:

Si se lanza un dado, cul es la probabilidad de que se observe un nmero impar, dado que el

nmero que ha salido es mayor que 3?

A: se observa un nmero impar

A = {1, 3, 5}

B: se observa un nmero mayor que 3

B = {4, 5, 6}

77 Del grfico adjunto se calculan algunas probabilidades

P(AB) = 1/6 y P(B) = 3/6

Reemplazando en:

Ejemplo:

Una revista especializada en asuntos polticos realiz una encuesta sociolgica acerca de la actitud

poltica (progresista o conservadora), realizada a 375 universitarios de ambos sexos, las cuales estn

registradas en la siguiente tabla.

Cul es la probabilidad de que al seleccionar a uno de los universitarios sea progresista dado que se

sabe que es varn?

REGLA DE MULTIPLICACIN

De la definicin de probabilidad condicional, obtenemos una frmula para hallar la probabilidad de

la interseccin de dos eventos.

Ejemplo:

Una urna contiene 5 bolas rojas y 6 negras; se extraen al azar sucesivamente y sin reposicin dos

bolas, cul es la probabilidad de que las dos resulten rojas?

78

La probabilidad pedida es la del evento E. E = AB

Entonces P(E) = P(AB) = P(A)P(B/A)

El siguiente paso ser calcular P(A) y P(B/A)

Con estas probabilidades tenemos la probabilidad del evento pedido.

TEOREMA Si A, B y C son eventos en , entonces P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB)

PARTICIN DE UN ESPACIO MUESTRAL

Se dice que la coleccin de eventos B1, B2, B3,BK del espacio muestral representa una particin del

muestral , si cumple las siguientes condiciones:

a) Los eventos B1, B2, B3,BK son mutuamente excluyentes Bi Bj = i j i,j=1,2,3 k

b) Los eventos B1, B2, B3,BK son colectivamente exhaustivos

TEOREMA PROBABILIDAD TOTAL

Sean B1, B2, B3,BK una particin del espacio muestral , entonces para cualquier evento A en , se

cumple:

79

Ejemplo:

En un criadero de aves se tienen palomas de color blanco y negro, adems se tienen tres jaulas. En la

jaula 1 hay dos palomas negras y tres blancas, en la jaula 2 cuatro palomas negras y dos blancas y en

la jaula 3 cinco negras y cinco blancas. Se selecciona al azar una jaula y se saca una paloma al azar de

esta jaula. Cul es la probabilidad que la paloma escogida sea blanca?

El espacio muestral est dado por las palomas de las tres jaulas y estas forman una particin del

espacio muestral.

= B1 U B2 U B3

Adems A = B1A U B2A U B3A, entonces por el teorema de probabilidad total

P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + P(B3)P(A/B3)

Como se tiene que escoger una jaula al azar, las tres jaulas tienen la misma posibilidad de ser

seleccionadas, entonces P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3

Si se selecciona la jaula I : P(A/B1) = 3/5

Si se selecciona la jaula II : P(A/B2) = 2/6

Si se selecciona la jaula III : P(A/B3) = 5/10

Reemplazando en el teorema de la probabilidad total

P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + P(B3)P(A/B3)

Supongamos ahora que la paloma elegida aleatoriamente se ve que es blanco. Cul es la

probabilidad que provenga de la jaula I?

80 Para responder a ello debemos calcular P(B1/A)

El P(A) ya lo calculamos por la probabilidad total y reemplazando los valores, se tiene:

TEOREMA DE BAYES

Si los eventos B1, B2, B3,BK forman una particin del espacio muestral y A es un evento cualquiera

de , entonces:

para r = 1, 2, 3 k

Ejemplo:

La probabilidad de que un autobs que va del Callao a Chosica sufra un accidente en un da lluvioso

es del 9% y en da seco del 0.5%. Durante un perodo de 10 das ha habido 7 das secos y 3 lluviosos.

Sabiendo que se ha producido un accidente en esos das cul ser la probabilidad de que haya

ocurrido un accidente: a) en da lluvioso, b) en da soleado?

a) En da lluvioso

81

b) En da soleado

EVENTOS INDEPENDIENTES

En los ejemplos, sola suceder que P(A/B) era distinta a la probabilidad P(A), indicacin de que la

informacin ocurri B produjo un cambio en la probabilidad de la ocurrencia de A. Sin embargo,

hay otras situaciones en las que la probabilidad de que ocurra, o ya haya ocurrido, A no resulta

afectada si se sabe que ocurri B, as que P(A/B) = P(A). Entonces es natural pensar en A y B como

eventos independientes, lo que significa que la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene

nada que ver con la probabilidad de que ocurra el otro.

En conclusin:

Dos eventos A y B, se dice que son independientes cuando se cumple que:

P(B|A) = P(B) y P(A|B) = P(A)

Cuando dos eventos son independientes la probabilidad de su interseccin es igual al

producto de las probabilidades de cada uno de ellos.

A y B independientes P(AB) = P(A)P(B)

Ejemplo

Se sabe que 30% de las lavadoras de cierta compaa requieren servicio mientras est vigente la

garanta, en tanto que slo 10% de sus secadoras necesitan este servicio. Si alguien compra una

lavadora y una secadora de esta compaa, cul es la probabilidad de que ambas mquinas

requieran servicio de garanta?

Sea A el evento en el cual la lavadora necesite servicio mientras est vigente la garanta y sea B el

evento definido de manera anloga para la secadora. Entonces, P(A) = 0.30 y P(B) = 0.10. Suponiendo

que las dos mquinas funcionan de modo independiente, la probabilidad deseada es

P(A B) = P(A) P(B) = (0.30) (0.10) = 0.03

La probabilidad de que ninguna mquina requiera servicio es

P(A B) = P(A) P(B) = (0.70) (0.90) = 0.63

82 EJERCICIOS

1.- Un gato persigue a un ratn. Este puede entrar en uno de los callejones A, B o C. La probabilidad

de que elija cada uno de ellos es del 30%, 50% y 20%, respectivamente. Y de que sea cazado en cada

uno de ellos del 40%, 60% y 10% respectivamente. Calcula la probabilidad de que el gato cace al

ratn. (prob total)

2.- Supongamos, siguiendo con el ejercicio anterior, que vemos al gato perseguir al ratn. Al poco

rato llega con l en la boca, en cul de los tres caminos es ms probable que lo haya cazado?

(bayes)

3.- Una comercializadora de ventas de automviles usados ofrece tres tipos de marca de autos. De

las ventas el 50% son de la marca 1, 30% son de la marca 2 y 20% de la marca 3. Cada fabricante

ofrece un ao de garanta en los repuestos y servicio tcnico. Se sabe que 25% de los autos de la

marca 1 requieren garanta, en tanto que los porcentajes correspondientes para las marcas 2 y 3 son

20% y 10% respectivamente. Cul es la probabilidad de que un comprador elegido al azar tenga un

auto que requiera reparacin mientras est en garanta? (prob total)

83

4.- El 20 % de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de

los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50 % de los economistas tambin, mientras que de los

no ingenieros y no economistas solamente el 20 % ocupan un puesto directivo. Cul es la

probabilidad de que un directivo elegido al azar sea ingeniero? (bayes)

5.- Un jugador de baloncesto suele acertar el 75 % de sus tiros desde el punto de lanzamiento de

personales. Si acierta el primer tiro, puede tirar de nuevo a canasta. Calcula la probabilidad de que:

a) haga dos puntos b) haga un punto c) no haga ningn punto (princ de multiplicac)

6.- En una empresa hay 200 empleados: 100 hombres y 100 mujeres. Los fumadores son 40 hombres

y 35 mujeres. Determina las probabilidades P(Mujer/Fumador) y P(Fumador/Mujer) (prob. condic)

84

7.- Una compaa de prospeccin petrolera tiene dos proyectos activos, uno en Asia y otro en

Europa. Sea A el evento donde el proyecto asitico tiene xito y B el evento donde el proyecto

europeo sea exitoso. Suponga que A y B son eventos independientes con P(A) = 0.4 y P(B) = 0.7.

a. Si fracasa el proyecto asitico, cul es la probabilidad de que tambin fracase el proyecto

europeo? Explique su razonamiento.

b. Cul es la probabilidad de que por lo menos uno de los proyectos tenga xito?

c. Dado que por lo menos uno de los dos proyectos es exitoso, Cul es la probabilidad de que

slo el proyecto asitico tenga xito?

85

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES

Una distribucin de probabilidades muestra los posibles resultados de un experimento y la

probabilidad de que cada uno se presente.

Ejemplo:

Suponga que le interesa el nmero de caras que aparecen en tres lanzamientos de una moneda.

Los posibles resultados son:

Este experimento se esquematiza en la siguiente tabla:

De la tabla obtenemos la distribucin de probabilidad.

A la distribucin de probabilidades tambin se le puede acompaar de un grfico, de esta manera se

puede analizar mejor dicho experimento aleatorio.

86

Caractersticas de una distribucin de probabilidad

1. La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1.

2. Los resultados son mutuamente excluyentes.

3. La lista es colectivamente exhaustiva. As, la suma de las probabilidades de los diversos

eventos es igual a 1.

Algunos experimentos aleatorios dan origen a resultados de ndole cuantitativa (estatura, peso o

nmero de hijos de una familia); otros dan origen a resultados de naturaleza cualitativa (estado civil,

creencia religiosa, gnero, etc.) A los atributos de este tipo de variables se les puede asignar un

nmero, por ejemplo en el caso de gnero (masculino: 1 y femenino: 2)

Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un

resultado determinado.

VARIABLE ALEATORIA

Cantidad que resulta de un experimento que, por azar, puede adoptar diferentes valores. A

continuacin algunas situaciones.

Si se cuenta el nmero de alumnos ausente a la clase de estadstica, el nmero puede ser 0,

1, 2, 3 El nmero de ausencias es una variable aleatoria.

Si se pesan lingotes de oro, los pesos pueden ser 2453 libras, 2456 libras, 2500 libras, etc. El

peso es una variable aleatoria.

El nmero de focos defectuosos que se puedan contar en una caja de 1000 de estas.

El nmero de taxis que llegan a la estacin del aeropuerto Jorge Chvez al cabo de una hora.

Variable aleatoria discreta.- Es aquella que slo adopta valores claramente separados. Este tipo de

variables pueden asumir cualquier nmero finito de valores o una sucesin infinita de valores como

0, 1, 2,

Por ejemplo

Si hay 100 empleados en una empresa, el recuento de la cantidad de ausentes el lunes slo

puede ser 0, 1, 2, 3, 100

Nmero de automviles que pasarn por las casetas del pago de peaje en la panamericana

sur un fin de semana: 0, 1, 2, 3,

87 Variable aleatoria continua.- Estas pueden tomar una infinidad de valores, con ciertas limitaciones.

Por ejemplo

Si se mide algo, como la anchura de una pizarra, la estatura de una persona o la presin de la

llanta de un automvil.

Los tiempos de vuelos comerciales de Lima al Cusco pueden ser 1.02 horas, 0.987 horas,

1.012 horas, etc. La variable aleatoria es la cantidad de horas.

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD DISCRETA

Para el caso de una variable aleatoria discreta x, la distribucin de probabilidad se define por medio

de una funcin de probabilidad, denotada por f(x). La funcin de probabilidad proporciona la

probabilidad para cada valor que puede asumir la variable aleatoria discreta.

Consideremos el ejemplo anterior (nmero de caras que aparecen en tres lanzamientos de una

moneda) para poder ilustrar mejor lo explicado:

Nota: En algunos textos la funcin de probabilidad tambin lo denota con P(x).

Media

Constituye un valor tpico para representar la localizacin central de una distribucin de

probabilidad. Alternativamente se podra decir que es un valor promedio de la larga duracin de una

variable aleatoria. Es tambin conocida como valor esperado.

Se trata del promedio ponderado en el que los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan

con sus correspondientes probabilidades de ocurrir.

Donde P(x) es la probabilidad de un valor particular x.

Nota.- La media o valor esperado tambin de denota por E(x). Es decir = E(x).

88 Varianza y desviacin estndar

Describe el grado de dispersin en una distribucin de probabilidades.

La desviacin estndar se determina al extraer la raz cuadrada de la varianza.

Nota.- Una alternativa al clculo de la varianza es: 2 = E(x2) [E(x)]2

Ejemplo:

Luis Snchez vende automviles en Maquinarias S.A. Luis sabe que el da de mayores ventas son los

das sbados. Con la experiencia en ventas que tiene llega a elaborar la distribucin de

probabilidades de la cantidad de automviles que espera vender un sbado determinado.

De qu tipo de distribucin de probabilidades se trata?

Si la variable aleatoria es el nmero de automviles vendidos, entonces se trata de una distribucin

de probabilidades discreta.

Cuntos automviles espera vender Luis un sbado normal?

Para ello se debe calcular la media de la distribucin de probabilidades, es decir el valor esperado.

Interpretaciones:

Este valor indica que, a lo largo de una gran cantidad de sbados, Luis espera vender un

promedio de 2.1 automviles un sbado cualquiera.

Si Luis trabaja 50 sbados en un ao, puede esperar vender (50)(2.1) 105 automviles solo

los sbados.

Cul es la varianza de la distribucin?

Haciendo uso de la tabla, se sistematizan los mtodos para el clculo de la varianza.

89

La desviacin estndar:

Interpretacin:

Si su compaero Jos ngeles tiene el mismo promedio de venta los das sbados (2.1) y una

desviacin estndar de 1.830 automviles, concluiramos que hay ms variabilidad en las

ventas sabatinas de Jos que en las ventas de Luis (1.830 > 1.136).

90 EJERCICIOS

1.- Dada una variable aleatoria donde su distribucin de probabilidades est dada por la siguiente

tabla:

x P(x)

3 0,25

6 0,50

9 0,25

Calcule el valor esperado, la varianza y la desviacin estndar de x, es decir E(x), 2 y .

2.- Se presenta la distribucin de probabilidad para la variable aleatoria x.

x P(x)

20 0,20

25 0,15

30 0,25

35 0,40

a. Es vlida esta distribucin de probabilidad? Explique por qu.

b. Qu probabilidad existe de que x sea menor o igual a 25?

c. Cul es la probabilidad de que x sea mayor que 30?

91 3.- Una prestigiosa universidad realiz un estudio acerca de la cantidad de veces que postularon sus

alumnos hasta ingresar a la universidad. Dicho estudio se realiz el 2013 y la universidad contaba con

4000 alumnos. La informacin se muestra en la siguiente tabla.

Nmero de veces

Nmero de estudiantes

1 309

2 1203

3 2017

4 348

5 123

a. Sea X una variable aleatoria de indica el nmero de veces que postul el estudiante hasta

ingresar a la universidad. Muestre la distribucin de probabilidades de esta variable

aleatoria.

b. Cul es la probabilidad de que el alumno haya ingresado luego de 4 intentos?

c. Calcule el valor esperado e interprete, luego obtenga el coeficiente de variacin.

92

DISTRIBUCIN BINOMIAL

En el mbito profesional tenemos muchas situaciones donde se espera que ocurra o no un evento

especfico. ste puede ser de xito o fracaso sin dar paso a un punto medio. Por ejemplo, en la

produccin de un artculo, ste puede salir bueno o malo. Casi bueno no es un resultado de inters.

Para situaciones como stas se utiliza la distribucin binomial.

ENSAYO DE BERNOULLI

Es cualquier ensayo de algn experimento que conduce slo a uno de dos resultados mutuamente

excluyentes.

Ejemplo:

Vivo o muerto

Enfermo o saludable

Positivo o negativo

Ganar o perder

.

.

De una sucesin de ensayos de Bernoulli se obtiene la distribucin binomial.

La formacin de un proceso de Bernoul

MD Estadistica y Probabilidades (INGENIERIA--UTP)

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