Mdm

A. Zambrano 1

MAYO 2014

A. Zambrano 2

A. Zambrano 3

SUBTEMAS:

1.0.INTRODUCCION

1.1.HIPÓTESIS DE LA MECÁNICA DE MATERIALES

1.2.ESFUERZO NORMAL

1.3.ESFUERZO CORTANTE

1.4.ESFUERZO DE APLASTAMIENTO

A. Zambrano 4

1.0. INTRODUCCION

Se entiende por FALLA de una estructura a la ruptura, o sin llegar a

ello, a la existencia de un estado inadecuado.

Esto último puede ocurrir por varios motivos:

- deformaciones demasiado grandes

- falta de resistencia de los materiales

- agrietamientos

- pérdida del equilibrio estático por pandeo

- abollamiento

- volteo

- etc.

La Mecanica de Materiales estudia los esfuerzos internos y las

deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas

exteriores.

La Mecanica de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos

simples de cálculo aceptables desde el punto de vista práctico, de los

elementos típicos más frecuentes de las estructuras empleando para ello

diversos procedimientos aproximados.

La necesidad de obtener resultados concretos al resolver los problemas

prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificativas que pueden ser

justificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos o con

los obtenidos aplicando teorías más exactas.

Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos:

1) Revisión (análisis). En este caso las dimensiones ya han sido prefijadas

y es necesario conocer si son adecuadas para resistir el estado de

solicitaciones actuantes

2) Dimensionamiento (diseño). En este caso se trata de encontrar el

material, las formas y dimensiones más adecuadas de una pieza de

manera que pueda cumplir con su función con seguridad, en perfecto

estado y con gastos adecuados.

A. Zambrano 5

1.1. HIPOTESIS DE MECANICA DE MATERIALES

H1: El material es continuo (sólido, macizo)

El comportamiento real de los materiales cumple con esta hipótesis aún

cuando pueda detectarse la presencia de poros o se considere la discontinuidad

de la estructura de la materia compuesta por átomos que no están en contacto

rígido entre sí, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen

vinculados, formando una red ordenada.

Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo de

las funciones continuas.

H2: El material en homogéneo

El material tiene idénticas propiedades en todos los puntos.

H3: El material es isótropo

El material tiene idénticas propiedades en todas direcciones.

H4: Las fuerzas interiores originales que preceden a las cargas son nulas

No se consideran las fuerzas moleculares que existen en un sólido no

sometido a cargas.

H5: Es válido el principio de superposición

Este principio establece que: “El efecto de un conjunto de causas actuando

simultáneamente es igual a la suma de los efectos individuales producidos por

cada causa actuando por separado”. Este principio es válido cuando:

Los desplazamientos en los puntos de aplicación de las fuerzas son

pequeños en comparación con las dimensiones del sólido.

Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido

dependen linealmente de las cargas. (estos sólidos se llaman linealmente

deformables)

Por otro lado, siendo que las deformaciones son pequeñas, las ecuaciones de

equilibrio correspondiente a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su

configuración inicial, es decir, sin deformaciones.

A. Zambrano 6

H6: Es aplicable el principio de Saint-Venant

Este principio establece que la distribución de esfuerzos en un elemento dado

es independiente del modo real de aplicación de las cargas, excepto en la

inmediata vecindad de los puntos de aplicación de las cargas.

H7: Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas

Las cargas se dicen que son estáticas cuando demoran un tiempo infinito en

aplicarse, mientras que son cuasi-estáticas cuando el tiempo de aplicación es

suficientemente prolongado. Las cargas que se aplican en un tiempo muy

reducido se denominan dinámicas y las solicitaciones internas que producen

son sensiblemente mayores que si fuesen estáticas o cuasi-estáticas.

A. Zambrano 7

1.2. ESFUERZO NORMAL

Consideremos una barra de sección transversal A sujeta a una fuerza axial

externa F en la cual hacemos un corte imaginario normal al eje longitudinal de

la barra (fig. 1.1).

1 1

Fig. 1.1. Barra sujeta a una fuerza axial

F

Si dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la parte inferior de la barra,

podemos ver las fuerzas internas distribuidas. Debido a que la fuerza F es

aplicada en el centroide de la sección, estas fuerzas internas serán

uniformemente distribuidas y de magnitud (fig. 1.2).

P

Fig. 1.2. Fuerzas internas uniformemente

distribuidas

F

Podemos ver que la resultante de las fuerzas internas debe ser una magnitud P

y dirigida hacia arriba. Entonces

A = P

Por lo tanto

P

= –––– (1.1)

A

A. Zambrano 8

Donde:

= esfuerzo normal (kg/cm2, MPa, ksi)

P = fuerza interna normal (kg, N, kips)

A = área de la sección transversal (cm2, m2, plg2)

Notas:

1MPa = 1,000,000 Pa

1Pa = 1 N/m2

1Kip = 1000 lb

1ksi = 1 kip/plg2

Sistemas de unidades: (MKS, SI, US)

Cuando la fuerza interna resultante P está dirigida hacia afuera de la sección

entonces se dice que el esfuerzo normal es una TENSION.

Por otra parte, si la fuerza interna resultante P está dirigida hacia la sección, se

dice que el esfuerzo normal es una COMPRESION.

Una convención común es asignar un signo positivo a la tensión y un signo

negativo a la compresión (fig. 1.3)

P P P P

(+) (–)

Fig. 1.3. Convenio de signos para la fuerza normal

A. Zambrano 9

1.3. ESFUERZO CORTANTE

Consideremos una barra corta de sección transversal A sujeta a una fuerza

externa tangencial F (fig. 1.4).

1 1

Fig. 1.4. Barra corta sujeta a una fuerza

F tangencial

Hacemos un corte en 1-1 y dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la parte

inferior de la barra (fig. 1.5)

V

Fig. 1.5. Fuerza interna cortante

F

Podemos ver que la fuerza interna V debe ser la resultante de un conjunto de

fuerzas internas distribuidas (no necesariamente uniformes) denotadas por

Entonces, la relación entre la resultante V (llamada fuerza interna cortante) y

la fuerza interna (llamado esfuerzo cortante medio) es

A = V

Por lo tanto

V

= ––– (1.2)

A

Donde:

= esfuerzo cortante medio (kg/cm2, MPa, ksi)

V = fuerza interna cortante (kg, N, kips)


A. Zambrano 10

P P P

V

P P

Fig. 1.6a. Corte simple (V=P)

V P

= –– = ––

A A

V

P P

P

V

Fig. 1.6b. Corte doble (2V=P)

V (P/2)

= ––– = ––––

A A

D=diámetro del punzón

P

punzón

placa

t=espesor de la placa

área de corte

Fig. 1.7. Punzonamiento (V=P)

El área a corte es A=*D*t

V P

= ––– = ––––––

A *D*t

A. Zambrano 11

1.4. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO

Es el esfuerzo que se produce en la superficie de contacto de dos

cuerpos distintos

No es debido a una fuerza interna ya que ocurre por la presión entre dos

cuerpos distintos

Siempre es un esfuerzo de compresión y también se le llama Presión de

contacto

F

Cuerpo 1 área de contacto =A

Cuerpo 2

Fig. 1.8. Esfuerzo de aplastamiento

El esfuerzo de aplastamiento p se define como la fuerza de contacto entre los

dos cuerpos dividida entre el área de contacto, es decir

F

p = –––– (1.3)

A

Donde:

p = esfuerzo de aplastamiento (kg/cm2, MPa, ksi)

F = fuerza de contacto (kg, N, kips)

A = área de contacto (cm2, m2, plg2)

A. Zambrano 12

Ejemplos de esfuerzos de aplastamiento:

F

Fig 1.9.

zapata

sobre el

terreno

F

Fig. 1.10. Placa base sobre pedestal

de concreto

F

Fig. 1.11. Columna sobre placa base

F Fig. 1.12. Tornillo sobre placa

F

A. Zambrano 13

A. Zambrano 14

SUBTEMAS:

2.1 DEFORMACIONES NORMALES

2.2 PROBLEMAS HIPERESTÁTICOS

2.3 DEFORMACIONES TÉRMICAS

2.4 DEFORMACIÓN CORTANTES

2.5 RELACIÓN DE POISSON

A. Zambrano 15

2.1 DEFORMACIONES NORMALES

Consideremos una barra de longitud L y área transversal A (fig. 2.1a). Luego

aplicamos una fuerza externa F, la cual producirá un alargamiento de la

barra. (fig. 2.1b)

L

A

F

(a) (b)

Fig. 2.1. Deformación normal de una barra

Podemos notar que el alargamiento o deformación total de la barra no

caracteriza el grado de deformación de la barra. Como una deformación

es un “cambio de forma”, para caracterizar completamente la

deformación de la barra, definimos la DEFORMACIÓN UNITARIA

como la deformación total por unidad de longitud original de la barra, es

decir:

= –––– (2.1)

L

donde:

= deformación unitaria (adimensional)

= deformación total o elongación (cm, mm, plg)

L = longitud no deformada de la barra (m, pies)

A. Zambrano 16

Por otra parte, la Ley de Hooke establece para una barra elástica sujeta a una

fuerza axial, que el esfuerzo normal es proporcional a la deformación unitaria,

es decir:

= E (2.2)

Donde:

= esfuerzo normal (kg/cm2, MPa, ksi)

E = modulo de elasticidad del material (kg/cm2, MPa, ksi)

= deformación unitaria (adimensional)

Para determinar la deformación total de una barra, sustituimos el esfuerzo y la

deformación por su definición, entonces:

P

––– = E –––

A L

Despejando la elongación obtenemos

P L

= –––– (2.3)

A E

Donde:

= deformación total (cm, mm, plg)

P = fuerza interna axial (kg, N, kip)

L = longitud no deformada (m, pies)


E = Modulo de elasticidad del material (kg/cm2, MPa, ksi)

Notas.

1. La deformación total puede ser alargamiento (+) o acortamiento (-) y

dependerá de la fuerza interna. Si P es tensión, producirá un

alargamiento; si la fuerza P es compresión, entonces producirá un

acortamiento.

A. Zambrano 17

2. El modulo de elasticidad del material se obtiene de una prueba de

tensión (tracción) en un laboratorio de resistencia de materiales. A partir

de una probeta del material se somete a una fuerza de tensión creciente

hasta llegar a la ruptura. De esta prueba resulta una grafica del esfuerzo

contra la deformación unitaria llamada grafica - que tiene los puntos

importantes señalados en la fig. 2.2

1=zona elástica

2=fluencia

u 3= endurecimiento por

e ruptura deformación

p y 4= estricción

1 2 3 4

Fig. 2.2. Diagrama esfuerzo-deformación de un material dúctil

Nota: un material dúctil es aquel que presenta grandes deformaciones antes de

la ruptura.

La deformación total de una barra AB también puede obtenerse a partir de los

desplazamientos de sus extremos como se muestra en la siguiente figura.

A B

uB

Fig. 2.3. Deformación de

una barra en función de

sus desplazamientos.

uA

Entonces

AB = uB – uA (2.4)

A. Zambrano 18

2.2 PROBLEMAS HIPERESTATICOS

Hay muchos problemas donde no es posible determinar las fuerzas internas

usando únicamente la estática. En la mayor parte de estos problemas, las

mismas reacciones, que son fuerzas externas, no pueden hallarse simplemente

dibujando el diagrama de cuerpo libre del elemento y escribiendo las

ecuaciones correspondientes. Estas deben complementarse con las ecuaciones

obtenidas considerando la geometría deformada del problema. Como la

estática no es suficiente para determinar las reacciones o las fuerzas internas,

los problemas de este tipo se dice que son estáticamente indeterminados o

hiperestáticos.

Algunos tipos de problemas hiperestáticos

Fig. 2.4. Barra rígida con reacciones redundantes y carga transversal

Fig. 2.5. Barra compuesta doblemente apoyada con carga axial

Fig. 2.6. Barra compuesta de dos materiales

A. Zambrano 19

Problemas tipo I: Barra rígida con reacciones redundantes y carga transversal

1-Se dibuja el diagrama de cuerpo libre y se escriben las ecuaciones de

equilibrio.

FA FB FC FD

L5

P1 P2

M = 0

Fy = 0

2-Se dibuja el diagrama de deformación y se escriben las relaciones

geométricas entre las deformaciones usado triángulos semejantes.

D

A B C

3-Se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas para las fuerzas internas.

4-Se calculan los esfuerzos normales con la fórmula

P

= ––––

A

A. Zambrano 20

Problemas tipo II: Barra compuesta doblemente apoyada con carga axial

1-Se dibuja un diagrama de cuerpo libre y se escribe la ecuación de equilibrio.

RA RB

Fx = 0

2-Se escoge uno de los apoyos como redundante y se elimina. Luego se

calcula la deformación libre L debido a las fuerzas externas.

L

3-Se aplica la reacción RA en el apoyo eliminado y se calcula la deformación

R debido solamente a esta reacción redundante.

R

RA

4- Se escribe la ecuación de compatibilidad y se despeja para RA.

L + R = 0

5-De la ecuación de equilibrio, se determina la otra reacción RB

6-Se determinan todas las fuerzas internas y se calculan los esfuerzos

normales con la fórmula

P

= ––––

A

P

P

A. Zambrano 21

Problemas tipo III: Barra compuesta de dos materiales A y B

1-Se dibuja un diagrama de cuerpo libre y se escribe la ecuación de equilibrio.

F

PA

PB

2-Se dibuja el diagrama de deformación y se escriben las relaciones

geométricas entre las deformaciones.

A = B

3-Se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas para las fuerzas internas.

4-Se calculan los esfuerzos normales con la fórmula

P

= ––––

A

A. Zambrano 22

2.3 DEFORMACIONES TÉRMICAS

Un cambio de temperatura producirá un cambio de longitud a una barra no

restringida. Se ha comprobado una relación casi lineal entre la deformación

unitaria de la barra T y el cambio de temperatura T, es decir

T = T (2.5)

Donde:

T = deformación unitaria por el cambio de temperatura (adimensional)

= coeficiente de dilatación lineal (ºC-1, ºF-1)

T = T2 – T1 = cambio de temperatura (ºC, ºF)

T1 = temperatura inicial (ºC, ºF)

T2 = temperatura final (ºC, ºF)

Entonces, la deformación total por un cambio de temperatura está dada por

T = T L

T = LT (2.6)

La deformación térmica ocurre independientemente de la deformación por

carga (mecánica). Entonces, la deformación total de una barra sujeta a una

fuerza interna axial P y a un cambio de temperatura T será:

= P + T

Es decir:

P L

= –––– + LT (2.7)

A E

A. Zambrano 23

Por otra parte, cuando una barra está impedida a deformarse (fig. 2.7), el

cambio de temperatura producirá una fuerza interna, la cual a su vez producirá

un esfuerzo llamado ESFUERZO TÉRMICO.

Para obtener la fuerza térmica en una barra, aplicamos el principio de

superposición. Primero eliminamos la restricción y consideramos que la barra

puede deformarse y determinamos la deformación T (fig. 2.8). Luego

aplicamos la fuerza térmica P y calculamos la deformación mecánica P (fig.

9).

L,A,E

P P

T > 0

Fig 2.7. Barra restringida a deformarse

T

T > 0

Fig. 2.8. Barra libre a deformarse

P

P

Fig. 2.9. Fuerza térmica en una barra simple

Como la barra real está impedida a deformarse, aplicamos la ecuación de

compatibilidad

P + T = 0 (2.8)

P L

–––– + LT = 0

A E

A. Zambrano 24

De la cual despejamos la fuerza P

P = -EAT

Entonces, como el esfuerzo térmico es T = P/A, entonces

T = -ET (2.9)

La formula II-8 solamente es válida para barras simples. Para barras

compuestas (fig. 10) por varios segmentos aplicamos la ecuación de

compatibilidad.

L1,A1,E1 L2,A2,E2 L3,A3,E3

P P

T > 0

Fig. 2.10. Fuerza térmica en una barra compuesta

Entonces, tenemos:

P Li

–––– + iLiT = 0

Ai Ei

Como P y T son no dependen de las propiedades de las barras pueden salir

de las sumatorias. Entonces

Li

P –––– + T iLi = 0

Ai Ei

A. Zambrano 25

Despejando la fuerza térmica nos queda

-T iLi

P = –––––––––– (2.10)

[Li/(Ai Ei)]

Y los esfuerzos térmicos en cada tramo de la barra esta dado por:

(T)i = P/Ai (2.11)

A. Zambrano 26

2.4 DEFORMACIONES CORTANTES

Consideremos una barra corta y robusta sujeta a una fuerza tangencial

externa F (fig. 2.11b)

L

F v

(a) (b)

Fig. 2.11. Barra corta sujeta a fuerza tangencial

De la fig. 11b, el ángulo está dado por

v

tan = –––

L

Para ángulos pequeños tan , entonces

v

= ––– (2.12)

L

Donde:

= ángulo de deformación cortante (radianes)

v = deformación total cortante (cm, mm, plg)

L = longitud de la barra (m, pies)

A. Zambrano 27

Por otra parte, la Ley de Hooke para esfuerzo y deformación cortante

establece que el esfuerzo cortante es proporcional al ángulo de distorsión, es

decir

= G (2.13)

Donde:

= esfuerzo cortante (kg/cm2, MPa, ksi)

G = modulo de rigidez cortante del material (kg/cm2, MPa, ksi)

= ángulo de distorsión (radianes)

Además, el esfuerzo cortante esta dado por

V

= –––– (2.14)

A

Entonces, sustituyendo en la ley de Hooke (2.13) el esfuerzo cortante (2.14) y

el ángulo de distorsión (2.12), obtenemos

V v

––– = G ––––

A L

Despejando la deformación total cortante nos queda

V L

v = –––– (2.15)

A G

Donde:

v = deformación cortante total (cm, mm, plg)

V = fuerza interna cortante (kg, N, kip)



G = Modulo de rigidez cortante del material (kg/cm2, MPa, ksi)

A. Zambrano 28

2.5 RELACIÓN DE POISSON

Cuando una barra está sujeta a una fuerza axial, se produce una deformación

en dirección de dicha fuerza llamada deformación longitudinal (o normal).

Esta deformación viene siempre acompañada de una deformación lateral (o

transversal) de signo contrario a la deformación longitudinal.

La relación entre la deformación unitaria lateral y la deformación unitaria

longitudinal es una constante del material llamada la RELACIÓN DE

POISSON.

Entonces:

t

= - ––– (2.16)

l

Donde:

= relación de poisson (adimensional)

t = deformación unitaria transversal (adimensional)

l = deformación unitaria longitudinal (adimensional)

Nota: Hasta aquí se han mencionado tres constantes del material: E, G y . Sin

embargo, estas constantes no son independientes y solamente bastan dos

constantes para definir un material. La relación entre estas variables está dada

en la siguiente fórmula:

E

G = ––––––– (2.17)

2(1 + )

Donde:

G = modulo de rigidez cortante (kg/cm2, MPa, ksi)

E = modulo de elasticidad (kg/cm2, MPa, ksi)

= relación de poisson (adimensional)

A. Zambrano 29

Para determinar la deformación transversal total, consideremos una barra

sujeta a una fuerza longitudinal (fig. 12)

P

Lt

Ll

P

Fig 2.12. Deformación transversal

Las deformaciones unitarias transversal y longitudinal son

t = t/Lt

l = l/Ll

Entonces, sustituyendo en la formula (2.16) nos queda

t/Lt t Ll

= - –––– = - ––––

l/Ll l Lt

Despejamos la deformación transversal total t

-lLt

t = ––––––

Ll

A. Zambrano 30

Pero

P Ll

l = ––––

A E

Sustituyendo en la formula anterior obtenemos

-Lt P Ll

t = ––––––––

Ll A E

-Lt P

t = –––––– (2.18)

A E

A. Zambrano 31

A. Zambrano 32

SUBTEMAS:

3.0 INTRODUCCIÓN

3.1 DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO

3.2 ESFUERZOS NORMALES

3.3 ESFUERZOS CORTANTES

3.4 ESFUERZOS DE TORSIÓN

3.5 ESFUERZOS COMBINADOS

A. Zambrano 33

3.0 INTRODUCCIÓN

Una barra sujeta a fuerzas transversales a su eje (fig. 3.1) se llama VIGA y los

esfuerzos inducidos por dichas fuerzas producen esfuerzos normales y

esfuerzos cortantes.

Fig. 3.1. Viga simplemente apoyada

El método general para determinar las fuerzas internas que actúan en cualquier

sección de una viga en equilibrio consiste en imaginar un corte hipotético a

través del elemento en el punto que interesa (fig 3.2) . Cualquier parte de la

viga es considerada como un cuerpo libre aislado y la fuerza cortante vertical

V y el momento requerido M en la sección para mantener esta parte de la viga

en equilibrio se determinan mediante la aplicación de las ecuaciones de

equilibrio (fig. 3.3).

P

S1 w M0

S1

R1 R2

Fig. 3.2. Sección hipotética en un punto de la viga

P

M

R1 V

Fig. 3.3. Diagrama de cuerpo libre de una parte de la viga y sus fuerzas

internas

A. Zambrano 34

En la fig. 3.4 se muestran algunos tipos de vigas más comunes.

(a) simplemente apoyada

(b) con un voladizo

(c) Con dos voladizos

(d) En cantiliver

Fig. 3.4. Algunos tipos de vigas

En la fig. 3.5 se muestran algunos tipos de cargas más comunes

A. Zambrano 35

(a) Cargas concentradas

(b) Carga uniformemente distribuida

(c) Carga triangular

(d) Carga trapecial

(e) Momentos concentrados

Fig. 3.5. Algunos tipos de cargas

A. Zambrano 36

CRITERIO DE SIGNOS DE LAS FUERZAS INTERNAS EN VIGAS

Una fuerza cortante es positiva si tiende a hacer deslizar hacia arriba la parte

izquierda de la viga respecto de la parte derecha y viceversa cuando es

negativa.

(a)

(+) (–)

(b) V V V V

(+) (–)

V V

(c) V V

(+) (–)

Fig. 3.6. Criterio de signos para la fuerza cortante

A. Zambrano 37

Un momento flexionante es positivo si la flexión que produce en la viga

presenta concavidad hacia arriba y negativo cuando presenta la concavidad

hacia abajo.

(a)

(+) (–)

(b)

(+) (–)

Compresión Tensión

(c)

Tensión Compresión

(+) (–)

Fig. 3.7. Criterio de signos para momento flexionante

A. Zambrano 38

ECUACIONES DE CORTE Y MOMENTO

Para determinar la fuerza cortante y el momento flexionante en cualquier

punto a lo largo de la viga, se selecciona un punto localizado por una

coordenada x y se evalúan el corte V(x) y el momento M(x) en función de la

coordenada x. Esto se repite para cada tramo de la viga donde cambie la

condición de carga. Entonces, V(x) es la ecuación de corte y M(x) es la

ecuación de momento. Generalmente el origen de coordenadas x se selecciona

en el punto izquierdo donde inicia la viga (fig. 3.8)

C D E F

A B

x

Fig. 3.8. Origen de coordenada x para las ecuaciones de corte y momento

La viga de la fig. 8 tiene 5 tramos: AB, BC, CD, DE y EF que son donde

cambian las condiciones de carga. Entonces, deben escribirse las ecuaciones

V(x) y M(x) para cada uno de los tramos haciendo un corte imaginario en

algún punto intermedio de cada tramo.

A. Zambrano 39

3.1 DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO

Los diagramas de corte y momento son la representación grafica de las

ecuaciones de corte y momento.

Entonces, una forma de dibujar los diagramas de corte y momento es la

siguiente:

1. Escribir las ecuaciones de corte V(x) y momento M(x) para la viga

2. Hacer una tabla para valores consecutivos de x, V(x) y M(x)

3. Dibujar la grafica para valores de x, V(x)

4. Dibujar la grafica para valores de x, M(x)

Existe otro procedimiento para dibujar los diagramas de corte y momento que

requiere de conocer las relaciones entre la carga, la fuerza cortante y el

momento flexionante.

Consideremos una viga sujeta a una carga distribuida variable en forma

arbitraria y cortemos imaginariamente un tramo de la viga mediante dos

secciones espaciadas una distancia dx (fig. 3.9).

W

dx

Fig. 3.9. Viga con carga distribuida variable

A. Zambrano 40

Tomemos el diagrama de cuerpo libre de este tramo y establezcamos las

fuerzas internas necesarias para el equilibrio (fig. 3.10)

w

Fig. 3.10. Diagrama de

Cuerpo libre de tramo

M+dM diferencial de la viga

M V V+dV

dx

Por equilibrio vertical:

V + wdx – (V+dV) = 0

V + wdx –V – dV = 0

wdx = dV

dV

w = ––– (3.1)

dx

Despejando la variable dV e integrando, obtenemos

V = wdx (3.2) La fuerza cortante en una sección es la suma

de las fuerzas externas en dicha sección

Por equilibrio de momentos respecto al extremo derecho

M – (M+dM) + (w dx)(dx/2) + V dx = 0

0

M – M – dM + w(dx)2/2 + V dx = 0

V dx = dM

dM

V = –––– (3.3)

dx

A. Zambrano 41

Despejando la variable dM e integrando, obtenemos

M = Vdx (3.4) El momento flexionante en una sección es la suma

de las áreas del diagrama de fuerzas cortantes en

dicha sección.

V

V

dx x

Fig. 3.11. Diagrama de cortante

Puede verse en la fig. 3.11 que el área de un rectángulo elemental es Vdx y

Vdx es el área del diagrama de cortante hasta la sección considerada.

Reglas para dibujar el diagrama de fuerza cortante

El diagrama de cortante puede ser construido usando el diagrama de cargas

distribuidas y fuerzas concentradas del diagrama de cuerpo libre de la viga.

Los principios básicos para determinar la forma y los valores de diagrama de

corte son:

1. La pendiente del diagrama de cortante es igual al valor de la carga

distribuida en cualquier punto.

dV

––– = w(x)

dx

2. El cambio en el valor del corte entre dos posiciones es igual a la integral

de la carga distribuida entre esas dos posiciones (suponiendo que no hay

fuerzas concentradas entre las dos posiciones).

V2 - V1 = w(x)dx

A. Zambrano 42

3. Una fuerza concentrada causa una discontinuidad vertical en el

diagrama de corte. Una fuerza hacia arriba causa un incremento en el

valor de la fuerza cortante en la localización de la fuerza.

Reglas para dibujar el diagrama de momento flexionante

El diagrama de momento puede ser construido usando el diagrama de corte y

los momentos concentrados del diagrama de cuerpo libre de la viga. Los

principios básicos para determinar la forma y los valores del diagrama de

momento son:

1. La pendiente del diagrama de momento es igual al valor de la fuerza

cortante en cada punto

dM

–––– = V(x)

dx

2. El cambio en el valor del momento entre dos posiciones es igual a la

integral de la fuerza cortante entre esas dos posiciones (suponiendo que

no hay momentos concentrados entre las dos posiciones).

M2 - M1 = V(x)dx

3. Un momento concentrado causa una discontinuidad vertical en el

diagrama de momento. Un momento a favor del reloj causa un

incremento en el valor del momento en la localización del momento.

A. Zambrano 43

w w

V2

V1

V2

M2 V1

M1 M1

M2

(a) (b)

w w

V1 V2

V1

M2 M1 V2

M1

M2

(c) (d)

Fig. 3.12. Diagramas de corte y momento para carga distribuida

A. Zambrano 44

3.2. ESFUERZOS NORMALES

En esta parte se estudian y deducen las relaciones entre el momento

flexionante y los esfuerzos normales de flexión que se producen. Para obtener

estas relaciones se hacen las hipótesis siguientes:

H1: Las secciones inicialmente planas de la viga, permanecen planas después

de la flexión (fig. 3.13)

H2: El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke.

H3: El modulo de elasticidad del material es igual a tensión que a compresión.

H4: La viga es inicialmente recta y de sección constante.

H5: El plano en el que actúan las fuerzas externas contiene a uno de los ejes

principales de la sección recta de la viga y las cargas actúan

perpendicularmente a su eje longitudinal (fig. 3.14).

Fig. 3.13. Las secciones planas permanecen planas

Fig. 3.14. Las cargas actúan en un plano principal de la sección

A. Zambrano 45

Deducción de la formula de la flexión

Consideremos una viga con dos secciones separadas una distancia diferencial

dx (fig. 3.15a)

1 2

E.N.

(a)

1 2

dx

d

1 2

(b)

y d

dx

1 2

Fig. 3.15. Geometría de la viga flexionada

Del triangulo grande tenemos

dx

d = –– (1)

A. Zambrano 46

Del triangulo pequeño que es semejante al grande, tenemos

d = –– (2)

y

Igualando (1) y (2), nos queda

dx

–– = ––

y

Despejando , nos queda

y dx

= –––– (3)

Por otra parte, la deformación unitaria es

y dx y

= –––– = –––– = ––––

dx dx

Ademas, la Ley de Hooke establece que

y

= E = E ––– (4)

También, podemos escribir la ecuación anterior como sigue

1

–– = –––– (4’)

E y

A. Zambrano 47

El momento flexionante interno M es el resultado de las fuerzas internas (fig.

3.16)

L.N.

Fig. 3.16. Momento resultante interno

dA

y

Entonces, el momento flexionante esta dado por

M = y dA (5)

Sustituyendo la ecuación (4) en la (5) nos queda

M = (E/) y2 dA

M = (E/) y2 dA

Pero I= y2 dA es el MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A LA LINEA

NEUTRA del área de la sección. Entonces

E I

M = ––––

Sustituyendo (4’) en la ecuación anterior, obtenemos:

E I I

M = ––––– = –––––

E y y

A. Zambrano 48

De donde despejamos el esfuerzo normal

M y

= ––– (3.5)

I

Donde:

M = momento flexionante interno (kg-m, kN-m, kip-pie)

y = distancia desde la línea neutra al punto considerado (cm, mm, plg)

I = momento de inercia de la sección (cm4, mm4, plg4)

El esfuerzo normal en una sección es máximo cuando ‘y’ es máxima.

Entonces, tenemos

c = ymax

M c

max = ––– (3.6)

I

Nota: Para secciones simétricas respecto a su eje horizontal, c = peralte/2

La variación del esfuerzo normal para un momento flexionante M esta dado en

la siguiente figura

M M

Fig. 3.17. Variación del esfuerzo normal por flexión

Algunos valores de I y c están dados en la tabla 3.1

A. Zambrano 49

Tabla 3.1 Momentos de inercia de algunas secciones comunes

Sección figura I c

Rectangular

solida

L.N.

h

b

b h3

––––

12

h

––

2

Circular

Solida

L.N.

D

D4

––––

64

D

––

2

Circular

Hueca

d

L.N.

D

(D4 – d4)

–––––––––

64

D

––

2

Rectangular

hueca

b

h H

B

B H3 – b h3

––––––––

12

H

––

2

Perfil I B

h b b H

B H3 – 2b h3

––––––––––

12

H

––

2

Triangular

solida

h c2

c1

b

b h3

––––

36

h c1 = ––––

3

2h c2 = ––––

3

A. Zambrano 50

3.3. ESFUERZOS CORTANTES

Consideremos una viga sujeta a carga arbitraria y tomemos el elemento de

viga sombreado (fig. 3.18)

1 2

Fig. 3.18. Viga sujeta a

E.N. y c cargas arbitrarias

1 2

dx

Dibujemos ahora el cuerpo libre del elemento sombreado (fig. 3.19)

1 2

c c

(M y/I)dA (M+dM)(y/I)dA

y yb

b dx

yb

Fig. 3.19. Equilibrio horizontal de elemento diferencial de viga

De la fig. 3.19, tenemos

c c

(M y/I) dA + b dx – (M+dM)(y/I) dA = 0

yb yb

c c c

(M y/I) dA + b dx – (My/I) dA – (dM y/I) dA = 0

yb yb yb

A. Zambrano 51

c

b dx – (dM y/I) dA = 0

yb

c

b dx = (dM y/I) dA

yb

1 dM c

= –– ––– y dA

Ib dx

yb

Pero

dM

V = –––

dx

c

Q = y dA es el primer momento de área entre ‘yb’ y c respecto a la línea

yb neutra

Entonces, el esfuerzo cortante queda

V Q

= –––– (3.7)

I b

Nota: Puede verse que el esfuerzo cortante en la viga está en la dirección

horizontal. Puede demostrarse que debido al equilibrio de momentos en un

elemento diferencial de la viga, el esfuerzo vertical es igual en magnitud al

valor dado por la ecuación (3.7)

A. Zambrano 52

La variación del esfuerzo cortante para una sección rectangular está dada en la

siguiente figura

L.N.

Fig. 3.20. Variación del esfuerzo cortante

A. Zambrano 53

3.4. ESFUERZOS DE TORSION

Para deducir las formulas de la torsión, se deben establecer una serie de

hipótesis que pueden demostrarse matemáticamente y algunas de ellas

comprobarse experimentalmente. Las formulas que aquí se derivan son validas

solamente para secciones circulares (macizas o huecas).

H1: Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.

H2: Las secciones inicialmente planas permanecen planas después de la

torsión.

H3: La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una

sección, permanece radial después de la torsión.

H4: La barra está sometida a la acción de momentos torsionales que actúan en

planos perpendiculares a su eje.

H5: Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.

A. Zambrano 54

Deducción de las formulas de la torsión

Consideremos una barra circular solida sujeta a un momento torsionante Mt en

un extremo y empotrada en el otro (fig. 3.21)

Mt

A L

E

C B D

Mt max

B O

(a) perspectiva (b) sección transversal

Fig. 3.21. Barra circular en torsión

De la fig. 3.21b, la deformación total de una fibra a la distancia del centro,

es igual al arco DE, es decir

=

Además, el ángulo de distorsión está dado por

= ––– = –––

L L

La Ley de Hooke para esfuerzo cortante establece que

= G

A. Zambrano 55

G

= –––– (1) Ecuación de compatibilidad

L

Por otra parte, el momento torsionante es el resultante de los esfuerzos

cortantes (fig. 3.22)

Fig. 3.22. Momento torsionante

dA dA debido a los esfuerzos cortantes

Entonces

Mt = dA = ( G/L) dA = (G/L) 2 dA

Pero Ip = 2 dA es el momento polar de inercia de la sección, por lo tanto

GIp

Mt = ––––

L

De la ecuación anterior, despejamos

Mt L

= –––– (3.8)

G Ip

Donde:

= ángulo de torsión (radianes)

Mt = momento torsionante (kg-m, kN-m, kip-plg)


G = modulo de rigidez cortante (kg/cm2, MPa, ksi)

Ip = momento polar de inercia (cm4, mm4, plg4)

A. Zambrano 56

Sustituyendo la ecuación (3.8) en la ecuación de compatibilidad, nos da

G Mt L

= –––– ––––

L G Ip

Mt

= –––– (3.9)

Ip

Donde:

= esfuerzo cortante a una distancia del centro (kg/cm2, MPa, ksi)

= distancia radial a un punto (cm, mm, plg)

Ip = momento polar de inercia (cm4, mm4, plg4)

El esfuerzo cortante será máximo cuando sea máximo, es decir

r = max

Entonces

Mt r

max = –––– (3.10)

Ip

En la tabla 3.2 están dados los momentos polares de inercia para secciones

circulares solidas y huecas.

A. Zambrano 57

Tabla 3.2 Momentos polares de inercia de secciones circulares

Sección figura Ip

Circular

Solida

L.N.

D

D4

––––

32

Circular

Hueca

d

L.N.

D

(D4 – d4)

–––––––––

32

A. Zambrano 58

3.5. ESFUERZOS COMBINADOS

Las fuerzas externas pueden producir en el interior de un miembro varios tipos

de esfuerzos, los cuales se pueden sumar de acuerdo al principio de

superposición. A este estado de esfuerzos se le llama ESFUERZOS

COMBINADOS.

Tipos de * Fuerza axial + Momento flexionante

Esfuerzos

combinados * Fuerza cortante + Momento torsionante

*Fuerza axial + Momento flexionante

En este caso se suman algebraicamente los esfuerzos normales (fig. 3.23)

P M y

= ––– –––– (3.11)

A I

1=+P/A + 2=-My/I = +P/A –My/I

P

+ M

1=+P/A + 2=+My/I = +P/A +My/I

(a)

1=-P/A + 2=-My/I = -P/A – My/I

P

+ M

1=-P/A + 2=+My/I = -P/A + My/I

(b)

A. Zambrano 59

1=+P/A + 2=My/I = +P/A +My/I

P

+ M

1=+P/A + 2=-My/I = +P/A -My/I

(c)

1=-P/A + 2=My/I = -P/A + My/I

P

+ M

1=-P/A + 2=-My/I = -P/A - My/I

(d)

Fig. 3.23. Esfuerzos combinados de fuerza axial y flexión

*Fuerza cortante + Momento flexionante

En este caso se suman vectorialmente los esfuerzos cortantes (fig. 3.24)

V Mt

L.N.

Cortante por flexión Cortante por torsión

Fig. 3.24. Esfuerzos combinados de fuerza cortante y torsión

A. Zambrano 60

A. Zambrano 61

SUBTEMAS:

4.0 INTRODUCCIÓN

4.1 FORMULA DE EULER

4.2 LIMITACIÓN DE LA FORMULA DE EULER

4.3 MODIFICACIÓN DE LA FORMULA DE EULER

4.4 COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE

4.5 ANÁLISIS DE VIGAS-COLUMNAS

A. Zambrano 62

4.0 INTRODUCCIÓN

Una columna es una barra sujeta a una fuerza axial de compresión. Si la

columna es robusta y corta, entonces la falla ocurrirá por la fluencia o ruptura

del material. Por otra parte, si la sección transversal de la columna es muy

pequeña y su longitud es grande, entonces la falla ocurre mediante una flexión

súbita de la columna. A esta flexión súbita se le conoce como PANDEO.

P P

P

P

Fig. 4.1. Columna corta Fig. 4.2. Columna larga

Las columnas se clasifican como sigue:

-Cortas fallan por aplastamiento

COLUMNAS -Intermedias empieza la falla por aplastamiento y luego

se pandean

-Largas fallan por pandeo

A una columna larga también se le denomina columna ESBELTA.

Este problema de la posibilidad de la falla por pandeo de una columna se le

conoce como un problema de INESTABILIDAD.

A. Zambrano 63

ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO

Existen tres tipos de equilibrio según su estabilidad

-ESTABLE Las fuerzas externas tienden a regresar al

sistema a su configuración original.

EQUILIBRIO -INDIFERENTE El sistema permanecerá en su nueva

configuración.

-INESTABLE Cualquier pequeña fuerza hará que el

sistema se aleje de su configuración

original.

Fig. 4.3. Tipos de equilibrio (a) estable, (b) indiferente, (c) inestable

A. Zambrano 64

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA ELÁSTICA

Primero necesitamos deducir la ecuación diferencial de la curva elástica.

Consideremos una viga deformada como se muestra en la siguiente figura

d

dy

dx

Fig. 4.4. Geometría de la viga deformada

Del triangulo pequeño de la figura, tenemos

dy

tan = ––––

dx


dy

= ––––

dx

A. Zambrano 65

Derivando respecto a x la ecuación anterior, obtenemos

d d2y

–––– = –––– (1)

dx dx2

Por otra parte, del triangulo grande de la figura, tenemos

dx

tan d = ––––


dx

d = ––––

d 1

–––– = –––– (2)

dx

Igualando (1) y (2), obtenemos

d2y 1

–––– = –––– (3)

dx2

Por otra parte

E I M 1

M = –––– –––– = ––––

EI

Entonces

M 1

–––– = ––– (4)

EI

A. Zambrano 66

Igualando (3) y (4), obtenemos

d2y M

–––– = –––– (5)

dx2 EI

Si escribimos

d2y

y = ––––

dx2

La ecuación (5) nos queda

M

y = –––– (4.1)

EI

Donde:

y = deflexión de la viga en la coordenada x

M = momento flexionante interno en la coordenada x

E= modulo de elasticidad del material

I = momento de inercia de la sección

Una forma alternativa de la ecuación (4.1) es

EIy = M (4.2)

La ecuación (4.1) o (4.2) es la ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA

ELÁSTICA o simplemente la ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA.

A. Zambrano 67

4.1 FORMULA DE EULER

Consideremos ahora una columna pandeada como se muestra en la siguiente

figura. Se va a establecer el equilibrio en su configuración deformada.

Y

x

P P

X

L

Fig. 4.5

Consideremos el diagrama de cuerpo libre en una sección cortada a una

distancia x del extremo izquierdo

M

P

P y

x

Fig. 4.6. Diagrama de cuerpo libre de columna pandeada

Tomando momentos en la sección en x, obtenemos el momento interno

M = -Py

Entonces, la ecuación de la elástica queda como sigue

EIy = -Py

EIy + Py = 0

P

y + ––– y = 0

EI

A. Zambrano 68

Para simplificar, definimos

P

k2 = ––––

EI

Entonces, la ecuación queda

y + k2 y = 0 (1)

La ecuación (1) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden,

homogénea y con coeficientes constantes.

La solución general está dada por

y = A sen kx + B cos kx

Las constantes de integración se obtienen de las condiciones de frontera

(i) En x=0, y=0

(ii) En x=L, y=0

De (i)

0 = A sen (0) + B cos (0) B = 0

Entonces

y = A sen kx

De (ii)

0 = A sen kL = 0

Como A debe ser distinta de 0, entonces

sen kL = 0

Esto implica que

A. Zambrano 69

kL = , 2, 3, …., n

Entonces

n

k = –––

L

n22

k2 = –––

L2

Sustituyendo k2 por su valor P/(EI), nos queda

P n22

––– = –––

EI L2

Despejando la carga P, obtenemos

n22EI

P = ––––– (n=1, 2, 3, …)

L2

Para cada valor de n, se obtiene una forma de pandeo

n=1 n=2 n=3 n=4

Fig. 4.7. Formas de pandeo de una columna

2EI

P = ––––

L2

42EI

P = –––––

L2

92EI

P = –––––

L2

162EI

P = ––––––

L2

A. Zambrano 70

La carga de pandeo que primero se alcanza es la más pequeña. Entonces, la

FORMULA DE EULER nos da la carga crítica de pandeo:

(4.3)

4.2 LIMITACIÓN DE LA FORMULA DE EULER

Para que sea aplicable la formula de Euler, el esfuerzo que se produzca en el

pandeo no debe exceder el límite de proporcionalidad.

Entonces, el ESFUERZO CRITICO esta dado por

Pcr

cr = ––– (4.4)

A

Donde Pcr es la carga de Euler y A es el área de la sección transversal de la

columna

Sustituyendo la ecuación (4.3) en (4.4) obtenemos

2EI

cr = ––––– (a)

AL2

Por otra parte,

I = Ar2 (b)

Donde r es el radio de giro de la sección respecto a su eje de flexión.

Sustituyendo (b) en (a), se obtiene

2EAr2

cr = ––––––

AL2

Reacomodando términos, obtenemos

2EI

Pcr = –––––

L2

A. Zambrano 71

2E

cr = ––––––

(L/r)2

Esta expresión puede escribirse como

2E

cr = ––––––

(Le/r)2

Donde

Le = longitud efectiva de la columna (en este caso, Le = L)

Le/r = relación de esbeltez

La formula de Euler es válida solamente si

cr e

Donde

e = limite elástico

A. Zambrano 72

4.3 MODIFICACIÓN DE LA FORMULA DE EULER

A continuación se presentan algunas cargas críticas de pandeo para otros tipos

de apoyos

Fig. 4.8. Cargas criticas en columnas con diferentes apoyos

En general, la carga critica de pandeo para cualesquiera tipos de apoyos puede

escribirse como

(4.5)

Donde k se llama FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA de la columna y el

producto kL=Le se llama LONGITUD EFECTIVA de la columna. Entonces

(4.6)

2EI

Pcr = –––––

(.7L)2

2EI

Pcr = –––––

(.5L)2

2EI

Pcr = –––––

(2L)2

2EI

Pcr = –––––

(kL)2

2EI

Pcr = –––––

L2

2EI

Pcr = –––––

(2L)2

2EI

Pcr = –––––

Le2

A. Zambrano 73

4.4 COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE

Consideremos ahora una columna pandeada como se muestra en la siguiente

figura. Se va a establecer el equilibrio en su configuración deformada.

Y

x

P e X

P

L

Fig. 4.9

La carga excéntrica puede sustituirse por un momento M=Pe y una carga axial

P

Y

x

P P*e

X

P*e P

L

Fig. 4.9

Consideremos el diagrama de cuerpo libre en una sección cortada a una

distancia x del extremo izquierdo

M

P

P y

P*e

x

Fig. 4.10. Diagrama de cuerpo libre de columna con carga excéntrica

A. Zambrano 74

Tomando momentos en la sección en x, obtenemos el momento interno

M = -Py - Pe

Entonces, la ecuación de la elástica queda como sigue

EIy = -Py - Pe

EIy + Py = -Pe

P Pe

y + ––– y = - –––

EI EI

Para simplificar, definimos

P

k2 = ––––

EI

Entonces, la ecuación queda

y + k2 y = - k2 e (1)

La ecuación (1) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, no

homogénea y con coeficientes constantes.

La solución general está dada por

y = yh + yp

donde:

yh = solución homogénea = A sen kx + B cos kx

yp = solución particular = C = constante

yp =yp = 0

Sustituyendo en (1) obtenemos

0 + k2C = - k2 e C = -e

A. Zambrano 75

Entonces, la solución general de (1) es

y = A sen kx + B cos kx – e

Las constantes de integración se obtienen de las condiciones de frontera

(i) En x=0, y=0

(ii) En x=L, y=0

De (i) obtenemos

0 = A sen 0 + B cos 0 – e B = e

Entonces

y = A sen kx + e cos kx – e

y = A sen kx + e (cos kx – 1) (2)

De (ii) obtenemos

0 = A sen kL + e (cos kL – 1)

A sen kL = e(1 – cos kL)

Pero

Sen kL = 2 sen (kL/2) cos (kL/2)

1 – cos kL = 2 sen2 (kL/2)

Sustituyendo, nos queda

A [2 sen (kL/2) cos (kL/2)] = e [2 sen2 (kL/2)]

A = e*tan (kL/2)

Sustituyendo en A en (2) nos queda

y = e tan (kL/2) sen kx + e (cos kx – 1)

y = e [tan (kL/2) sen kx + cos kx – 1]

A. Zambrano 76

La deflexión máxima ocurre en el centro, es decir, en x=L/2. Entonces

ymax = e [tan (kL/2) sen (kL/2) + cos (kL/2) – 1]

ymax = e [sen (kL/2) sen (kL/2) + cos (kL/2) – 1]

cos (kL/2)

sen2 (kL/2) + cos2(kL/2) – cos (kL/2)

ymax = e –––––––––––––––––––––––––––––––

cos (kL/2)

1 – cos (kL/2)

ymax = e –––––––––––––

cos (kL/2)

ymax = e [ sec (kL/2) – 1]

sustituyendo el valor de k, se obtiene

P L

ymax = e sec –––– –– – 1 (3)

EI 2

Nótese que en la ecuación (3), ymax se vuelve infinita cuando el coseno del

ángulo se hace cero, es decir, en /2. Entonces

P L

–––– –– = ––

EI 2 2

2 EI

Pcr = ––––

L2

Despejando EI = Pcr L2/2, sustituimos en (3)

A. Zambrano 77

P

ymax = e sec –– –––– – 1 (4.7)

2 Pcr

El esfuerzo máximo también ocurre en el centro del claro y esta dado por

P Mmax c

max = ––– + –––––– (4)

A I

Donde:

Mmax = P*(ymax + e)

P

Mmax = Pe sec –– –––– (5)

2 Pcr

Además

I = Ar2 (6)

Sustituyendo (5) y (6) en (4), obtenemos

P P c

max = ––– + Pe sec –– –––– –––

A 2 Pcr Ar2

P ec P

max = ––– 1 + –– sec –– –––– (7)

A r2 2 Pcr

A. Zambrano 78

Recordando que, en general

2 EI

Pcr = –––––

Le2

Entonces, sustituyendo en la ecuación (7) nos queda

P ec PLe2

max = ––– 1 + –– sec –– ––––

A r2 2 2EI

P ec Le P

max = ––– 1 + –– sec –– ––––

A r2 2 EI

Como I=Ar2, escribimos

P ec Le P

max = ––– 1 + –– sec –– ––––

A r2 2 EAr2

P ec Le P

max = ––– 1 + –– sec –– ––––

A r2 2r EA

Si definimos la RELACIÓN DE ESBELTEZ como

Le

= ––––

R

A. Zambrano 79

Entonces se obtiene

P ec P

max = ––– 1 + –– sec –– –––– (4.7)

A r2 2 EA

La ecuación anterior es conocida como la FORMULA DE LA SECANTE.

A. Zambrano 80

4.5 ANÁLISIS DE VIGAS-COLUMNAS

La deducción la formula exacta para el momento flexionante máximo de una viga-columna requiere de resolver una ecuación diferencial. En esta parte, deduciremos las formulas exactas para el cálculo del momento flexionante máximo de vigas-columnas para algunos tipos particulares de cargas Consideremos la siguiente viga-columna mostrada w P P EI = constante L Para determinar su momento máximo, consideraremos la viga-columna deformada y establecemos unos ejes coordenados X-Y en el extremo izquierdo Y w P P X wL/2 L wL/2 Ahora hacemos un corte a una distancia x y hacemos el diagrama de cuerpo libre de esta parte Y wx x/2 M P P y x wL/2 El momento M esta dado por M= -Py – wLx/2 + wx2/2 Entonces, escribimos la ecuación de la curva elástica

EIy = M

EIy = -Py – wLx/2 + wx2/2

EIy + Py = – wLx/2 + wx2/2 Dividimos toda la ecuación entre EI

y + (P/EI)y = – wLx/(2EI) + wx2/(2EI)

A. Zambrano 81

Definimos la constante P k2 = ––– EI Entonces k2 1 –––= ––– P EI Y la ecuación queda como sigue -wLk2x wk2x2

y + k2y = –––––– + –––––– (1) 2P 2P La ecuación (1) es una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. La solución general de esta ecuación está dada por y = yh + yp donde yh = A sen kx + B cos kx (solución homogénea) yp = Cx2 + Dx + E (solución particular) Los coeficientes indeterminados de la solución particular se obtienen derivándola dos veces y sustituyéndola en (1)

yp = 2Cx + D , yp = 2C -wLk2x wk2x2

yp + k2yp = –––––– + –––––– 2P 2P -wLk2x wk2x2 2C + k2(Cx2 + Dx + E) = –––––– + –––––– 2P 2P Entonces

A. Zambrano 82

wk2 w k2C = –––––– C = –––– 2P 2P -wLk2 -wL k2D = –––––– D = –––– 2P 2P -2C -w 2C + k2E = 0 k2E = -2C E = ––––– = –––––– k2 k2P La solución particular es wx2 wLx w yp= –––– - ––––– - –––– 2P 2P k2P Y la solución general está dada por wx2 wLx w y = A sen kx + B cos kx + –––– - ––––– - –––– (2) 2P 2P k2P Para determinar las constantes A y B utilizamos las condiciones de frontera de la viga-columna que son las siguientes:

(i) En x=0, y=0 (ii) En x=L, y=0

De (i), tenemos w w 0 = A sen (0) + B cos (0) + 0 – 0 - –––– B = –––– k2P k2P Sustituyendo B en (2) se obtiene w wx2 wLx y = A sen kx + ––– (cos kx – 1) + –––– - ––––– (3) k2P 2P 2P De (ii),tenemos

A. Zambrano 83

w wL2 wL2 0 = A sen kL + ––– (cos kL – 1) + –––– - ––––– k2P 2P 2P w 0 = A sen kL + ––– (cos kL – 1) k2P w A sen kL = ––– (1 – cos kL) k2P w(1 – cos kL) A = –––––––––– k2P sen kL Sustituyendo A en la ecuación (3) obtenemos finalmente la solución de la ecuación diferencial w(1 – cos kL) sen kx w(cos kx – 1) wx2 wLx y = –––––––––––––––– + –––––––––––– + –––– - ––––– (4) k2P sen kL k2P 2P 2P Por la simetría, la deflexión máxima ocurre en el centro, en x=L/2, entonces w(1 – cos kL) sen(kL/2) w[cos(kL/2) – 1] w(L/2)2 wL(L/2) ymax = ––––––––––––––––––– + ––––––––––––– + –––––– - ––––––– k2P sen kL k2P 2P 2P Sustituimos en la educación anterior las identidades trigonométricas siguientes Sen kL = 2sen (kL/2)cos(kL/2) 1 – cos kL = 2sen2(kL/2) w[2 sen2(kL/2)]sen(kL/2) w[cos(kL/2) – 1] wL2 wL2 ymax = ––––––––––––––––––––– + –––––––––––––– + ––– - ––– k2P[2sen (kL/2)cos(kL/2)] k2P 8P 4P w sen2(kL/2) w[cos(kL/2) – 1] wL2 ymax = –––––––––– + –––––––––––––– - ––– k2Pcos(kL/2) k2P 8P

A. Zambrano 84

w sen2(kL/2) wL2 ymax = –– –––––––– + cos(kL/2) – 1 – ––– k2P cos(kL/2) 8P w sen2(kL/2)+ cos2(kL/2) wL2 ymax = –– ––––––––––––––––––––– – 1 – ––– k2P cos(kL/2) 8P w 1 wL2 ymax = ––– ––––––––– – 1 – ––– k2P cos(kL/2) 8P w wL2 ymax = ––– sec (kL/2) – 1 – ––– (5) k2P 8P El momento flexionante máximo también ocurre en el centro del claro, en x=L/2. Utilizamos la ecuación de momentos M =-Py – wLx/2 + wx2/2 Mmax = -Pymax – wL(L/2)/2 + w(L/2)2/2 Mmax = -Pymax – wL2/4 + wL2/8 Mmax = -Pymax – wL2/8 Sustituyendo la ecuación (5), nos queda -w wL2 wL2 Mmax = ––– sec (kL/2) – 1 + ––– – ––– k2 8 8 -w Mmax = ––– sec (kL/2) – 1 (6) k2

A. Zambrano 85

Este momento incluye el efecto de las cargas transversales ‘w’ y la fuerza axial ‘P’. El signo negativo se debe a que el sentido de la carga ‘w’ produce un momento negativo en el centro. Entonces, para cada viga columna tiene que plantearse y resolverse una ecuación diferencial para obtener el valor exacto del momento máximo. MÉTODO DE AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS Existe un procedimiento aproximado para obtener este momento máximo en una viga-columna. Consideremos una viga-columna con una deflexión inicial dada por la siguiente función

y0 = e sen x/L Y y ymax P y0 e P X x L El momento flexionante en una sección a una distancia x del apoyo izquierdo es M=-P(y+y0) La ecuación de la elástica es

EIy = -P(y+y0) = -Py – Py0

EIy + Py = -Py0

y + (P/EI)y = -(P/EI)y0 Pero k2 = P/EI

y + k2y = -k2y0

y + k2y = -k2e sen x/L (7)

A. Zambrano 86

Las condiciones de frontera de la ecuación (7) son:

(i) En x=0, y=0 (ii) En x=L, y=0

Una función que satisface las condiciones (i), (ii) es

y = A sen x/L (8)

Entonces, derivamos dos veces la función (8) y la sustituimos en la ecuación (7)

y = A/L cos x/L , y = -2A/L2 sen x/L

y + k2y = -k2e sen x/L

-2A/L2 sen x/L + k2(A sen x/L) = -k2e sen x/L

A(-2/L2 +k2) sen x/L = -k2e sen x/L

A(-2/L2 +k2)= -k2e -k2e e A = ––––––––– = –––––––––

-2/L2 +k2 2/k2L2 – 1 Pero k2= P/EI, entonces

2/k2L2 = 2EI/(PL2) = (2EI/L2/P) = Pe/P

Donde Pe = 2EI/L2 e A = –––––––––

Pe/P – 1 Entonces, la solución es e

y = ––––––––– sen x/L (9) Pe/P – 1

A. Zambrano 87

Por simetría, La deflexión máxima ocurre en x=L/2, entonces e

ymax = ––––––––– sen (L/2)/L Pe/P – 1 e

ymax = ––––––––– sen /2 Pe/P – 1 e ymax = ––––––––– Pe/P – 1 El momento máximo también ocurre en x=L/2 Mmax = -P(ymax+y0) e Mmax =-P ––––––– + e Pe/P – 1 1 Mmax =-Pe ––––––– + 1 Pe/P – 1 1+ Pe/P – 1 Mmax =-Pe –––––––––– Pe/P – 1 Pe/P Mmax =-Pe –––––––––– Pe/P – 1 Multiplicando el numerador y el denominador de la expresión anterior por P/Pe, obtenemos 1 Mmax =-Pe –––––––––– 1 – P/Pe

A. Zambrano 88

El momento flexionante inicial, antes de la aplicación de la carga P es M0 = Pe Entonces 1 Mmax =-M0 ––––––– 1 – P/Pe 1 El factor ––––––– se conoce como FACTOR DE AMPLIFICACIÓN. 1 – P/Pe

A. Zambrano 89

A. Zambrano 90

SUBTEMAS

5.1 TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS

5.2 ESFUERZOS PRINCIPALES

5.3 CIRCULO DE MOHR

A. Zambrano 91

5.1 TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS

Supóngase que existe un estado de esfuerzos planos en el punto de un material

y definido por las componentes x, y y xy asociadas con el elemento de la

figura

y

y

xy

x x

Fig. 5.1. Componentes de esfuerzos planos en un punto.

Hállense las componentes del esfuerzo ’x, ’y y ’xy asociadas con el

elemento después que ha girado un ángulo con respecto al eje Z y

exprésense estas componentes en función de x, y, xy y .

y

y x

y

xy x

x

Fig. 5.2. Transformación de esfuerzos planos en un punto.

A. Zambrano 92

Se considera la cuña siguiente

y

xy dA x

xdA

x(dA cos) x

xy(dA cos)

xy(dA sen )

y(dA sen )

Fig. 5.3. Cuña de transformación de esfuerzos

Fx = 0

x dA–x(dA cos)cos –xy(dA cos)sen –y(dA sen )sen –

– xy(dA sen )cos = 0

Fy = 0

xydA+x(dA cos)sen –xy(dA cos)cos –y(dA sen )cos +

+ xy(dA sen )sen = 0

de la primera ecuación

x = xcos2 + ysen2 + 2xy sen cos

xy = – (x – y)sen cos + xy (cos2 –sen2 )

A. Zambrano 93

Consideremos las identidades trigonométricas siguientes:

sen 2 = 2 sen cos

cos 2 = cos2 –sen2

1 + cos 2

cos2 = ––––––––––

2

1 – cos 2

sen2 = ––––––––––

2

Usando estas identidades, obtenemos:

x = ½(x + y) + ½(x – y)cos 2 + xy sen 2 (V-1)

xy = –½(x – y)sen 2 + xy cos 2 (V-2)

La expresión para el esfuerzo normal y puede obtenerse reemplazando en

la ecuación (V-1) por el ángulo +90 ya que el eje y forma un ángulo recto

con el eje x.

y = ½(x + y) – ½(x – y)cos 2 – xy sen 2 (V-3)

A. Zambrano 94

5.2 ESFUERZOS PRINCIPALES

Un problema de interés es determinar el ángulo para el cual el esfuerzo

normal x es un valor máximo. Utilizando el criterio de la primer derivada

d (x)

–––– = 0

d

d

–––– [½(x + y) + ½(x – y)cos 2 + xy sen 2] = 0

d

-2(½)(x – y) sen 2 + 2xy cos 2 = 0

-(x – y) sen 2 + 2xy cos 2 = 0

-(x – y) sen 2 = -2xy cos 2

sen 2 2xy

––––– = –––––––

cos 2 x – y

2xy

tan 2 = –––––––

x – y

A este ángulo se le llama Angulo Principal y se representa por p, es decir

2xy

tan 2p = ––––––– (V-4)

x – y

Despejando el ángulo principal, obtenemos

2xy

p = ½ tan-1 ––––––– (V-5)

x – y

A. Zambrano 95

Entonces, el esfuerzo normal máximo esta dado por

max = ½(x + y) + ½(x – y)cos 2p + xy sen 2p (a)

Consideremos el siguiente triangulo

Fig.5.4. Triangulo para la

sustitución del ángulo

R=[½(x – y)]2+(xy)

2 principal.

xy

2p

½ (x – y)

Del triangulo, obtenemos

xy ½ (x – y)

sen 2p = ––– cos 2p = –––––––––

R R

Sustituyendo estas dos expresiones anteriores en la ecuación (a), nos da

max = ½(x + y) + ½(x – y) ½ (x – y)/R + xy(xy/R)

1

max = ½(x + y) + ––{ [½(x – y)]2 + (xy)

2}

R

1

max = ½(x + y) + ––R2

R

max = ½(x + y) + R

Si definimos

m = ½(x + y)

A. Zambrano 96

Entonces, el esfuerzo normal máximo esta dado por

max = m + R (V-6)

Similarmente, el esfuerzo normal mínimo esta dado por

max = m – R (V-7)

En la figura siguiente se muestra el estado de esfuerzos principal

min

max

p

x

Fig. 5.5. Esfuerzos principales en un punto

A. Zambrano 97

Otro problema de interés es determinar el ángulo para el cual el esfuerzo

cortante xy es un valor máximo. Utilizando el criterio de la primer derivada

d (xy)

–––––– = 0

d

d

–––– [–½(x – y)sen 2 + xy cos 2] = 0

d

-2(½)(x – y) cos 2 – 2xy sen 2 = 0

-(x – y) cos 2 – 2xy sen 2 = 0

-2xy sen 2 = (x – y) cos 2

sen 2 -(x – y)

––––– = –––––––

cos 2 2xy

-(x – y)

tan 2 = –––––––

2xy

A este ángulo se le llama Angulo de Corte Máximo y se representa por s, es

decir

-(x – y)

tan 2s = ––––––– (V-8)

2xy

Despejando el ángulo de corte máximo, obtenemos

-(x – y)

s = ½ tan-1 ––––––– (V-9)

2xy

A. Zambrano 98

Entonces, el esfuerzo cortante máximo esta dado por

max = –½(x – y)sen 2s + xy cos 2s (b)

Consideremos el siguiente triangulo

Fig.5.6. Triangulo para la

sustitución del ángulo de

R=[½(x – y)]2+(xy)

2 corte máximo.

-½ (x – y)

2s

xy

Del triangulo, obtenemos

xy -½ (x – y)

cos 2s = ––– sen 2s = –––––––––

R R

Sustituyendo estas dos expresiones anteriores en la ecuación (b), nos da

max = –½(x – y)[ -½ (x – y)]/R + xy(xy/R)

1

max = ––– {[½(x – y)]2 + (xy)

2}

R

1

max = ––– R2

R

max = R (V-10)

A. Zambrano 99

El esfuerzo normal correspondiente al esfuerzo cortante máximo se obtiene de

la siguiente expresión

= ½(x + y) + ½(x – y)cos 2s + xy sen 2s

= ½(x + y) + ½(x – y) (xy/R) + xy [ -½ (x – y)]/R

= ½(x + y) + ½xy(x – y)/R – ½xy (x – y)/R

= ½(x + y)

= m (V-11)

En la figura siguiente se muestra el estado de esfuerzos principal

max

max s

max x

max

Fig. 5.7. Esfuerzo cortante máximo y esfuerzo normal asociado en un punto

Ejercicio: Demostrar que |p| + |s| = 45

A. Zambrano 100

5.3 CIRCULO DE MOHR

Escribamos de nuevo las ecuaciones para x y xy

x = ½(x + y) + ½(x – y)cos 2 + xy sen 2 (1)

xy = –½(x – y)sen 2 + xy cos 2 (2)

De la ec. (1), pasamos al lado izquierdo el primer miembro del lado derecho

x – ½(x + y) = ½(x – y)cos 2 + xy sen 2

Elevamos al cuadrado ambos términos de la igualdad

[x – ½(x + y)]2 = [½(x – y)]

2 cos2 2 + 2(½)(x – y) xy cos 2 sen 2 +

+ 2xy sen2 2 (3)

Ahora, elevamos al cuadrado ambos términos de la ecuación (2)

(xy)2 = [–½(x – y)]

2sen2 2 – 2(½)(x – y) xy cos 2 sen 2

+2xy cos2 2 (4)

Sumando las ecuaciones (3) y (4), obtenemos

[x – ½(x + y)]2 + (xy)

2 =[½(x – y)]2+2

xy (5)

Recordemos que

m = ½(x + y)

R2 = [½(x – y)]2+2

xy

Entonces la ecuación (5) queda

(x – m)2 + (xy)2 =R2

(6)

A. Zambrano 101

La ecuación (6) es la ecuación de un círculo de la forma

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Donde, x = x, y=xy son las variables y es la ecuación de un circulo de radio

r, con centro en el punto de coordenadas (h, k). En este caso el centro está en

el punto (m, 0) y el radio es R.

Este es el llamado CIRCULO DE MOHR para esfuerzos planos. Este círculo

lo introdujo el Ingeniero Alemán Otto Mohr (1835-1918) y puede considerarse

como un método alternativo para la solución de problemas.

PROCEDIMIENTO PARA DIBUJAR EL CIRCULO DE MOHR

1- Dibuje un eje horizontal para las abscisas y un eje vertical para las

ordenadas.

2- Localice el punto X de coordenadas (x, -xy) en el plano -

3- Localice el punto Y de coordenadas (y, xy) en el plano -

4- Trace una línea recta que una los puntos X y Y. La intersección de esta

línea con el eje horizontal es el centro del circulo. Este será el punto

C.

5- Dibuje un circulo con centro en C y radio CX o CY.

6- La línea CX representa el eje X en el circulo de Mohr y la línea CY

representa el eje Y en el circulo de Mohr.

7- Todos ángulos en el circulo de Mohr están duplicados

8- Los puntos de intersección del circulo con el eje nos los esfuerzos

normales max y min. Estos puntos se marcan como los puntos A y B,

respectivamente.

9- El menor ángulo entre la línea CX y CA es 2p, es decir el doble del

ángulo principal. Este ángulo es positivo si la línea CX se mueve a la

línea CA en contra del reloj y es negativa si es a favor del reloj.

A. Zambrano 102

10- La ordenada máxima es el esfuerzo cortante máximo. Esta

ordenada será el punto D.

11- El ángulo menor entre la línea CX y la línea CD es 2s, es decir el

doble del ángulo de máximo esfuerzo cortante. Este ángulo es positivo

si la línea CX se mueve a la línea CD en contra del reloj y es negativa si

es a favor del reloj.

12- El esfuerzo normal asociado con el esfuerzo cortante máximo es

la coordenada horizontal del centro del círculo.

D

Y max

O B C 2p A

min 2s

X

max

Fig. 5.8. Circulo de Mohr para esfuerzos planos.

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