MÓDULO DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA3+-+GEOMETRÍA+Y... · PRINCIPIOS DE GEOMETRIA: ÁNGULOS, ......

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [0] INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

SESIONES DE CLASES

MÓDULO DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS


UNIDAD 3: GEOMETRIA

SESIÓN 1

PRINCIPIOS DE GEOMETRIA: ÁNGULOS, TRIÁNGULOS,

CUADRILÁTEROS

LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión el estudiante resuelve problemas utilizando teoremas,

propiedades con respecto a ángulos , triángulos y cuadriláteros , relacionándolo

con la vida cotidiana.

PROBLEMA MOTIVADOR

A menudo, surge la necesidad de efectuar medidas que supondrían un penoso

trabajo si hubiera que realizarlas sobre el terreno, de ahí que se obtengan de forma

indirecta a partir de otras más fáciles de realizar. En la sección de Geometría

abordamos el tema de ángulos, triángulos que constituyen la primera base teórica.

Ahora completamos este estudio, tomamos la medida de los ángulos con la ayuda del

transportador, para calcular el ángulo exterior aplicando propiedades de triángulos y

luego calcular algunos líneas notable.


TRIÁNGULOS

MAPA CONCEPTUAL SOBRE TRIÁNGULOS

TRIÁNGULOS

Definición .- Un triángulo es la figura cerrada formada por la unión de 3

segmentos de recta (lados), cuyos extremos (vértices) son puntos no coloniales.


B

A C

vértice

exterior

interior

ladointerior

ladoexterior

Notación ∆ abc : Se lee: “Triángulo ABC”

Perímetro: Es la suma de las longitudes de todos sus lados.

Tipos de triángulos por la medida de sus ángulos interiores

Acutángulo.- Sus 3 ángulos interiores son menores a 90° , es decir son

ángulos agudos.

Ejemplo:

Obtusángulo.- Tiene únicamente un ángulo interior que es mayor a 90°

.esto quiere decir que es un ángulo obtuso.

Rectángulo .- Tiene un ángulo interior recto (90°)

2 2 290 x y a b c

Clases de triángulos por la longitud de sus lados

Escaleno.-Sus tres lados tienen diferente longitud

Isósceles.-Dos de sus lados tienen igual longitud y el lado diferente se

denomina base.


Equilátero.-Los tres lados son de igual longitud y sus tres ángulos son

iguales a

60°.

Teoremas Básicos

1. La suma de las medidas de los ángulos interiores es 180º

2. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los 2

ángulos interiores más lejanos a este ángulo exterior.

3. A mayor lado se opone mayor ángulo y a mayor ángulo se le opone mayor

lado. ( correspondencia de lados )

4. La longitud de uno cualquiera de sus lados es menor que la suma de los otros

y a la vez mayor a la diferencia posible de estos mismos lados. ( existencia

triangular )

a + b + c = 180º

b – c < a < b + c

c – a < b < c + a

b – a < c < b + a


ÁREAS DE REGIONES PLANAS

LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión el estudiante resuelve problemas utilizando fórmulas de

áreas de regiones triangulares, cuadrangulares y circulares, relacionándolo con la

vida cotidiana.

MAPA CONCEPTUAL SOBRE ÁREAS DE REGIONES PLANAS

Región: Es aquella parte de una superficie plana por una línea.

Área: Es el número que indica la medida de una región, es decir es igual al número de

veces que se utiliza la región unitaria.


CUADRO: ÁREAS Y PERÍMETROS

NOMBRE

FIGURA PERIMETRO (2P) ÁREA

Rectángulo

h

b

2P = 2b + 2h A = b x h

Cuadrado

a

a

D

2P = 4a A = a2 ó A =

2

D2

Triángulo

2P = a + b + c A = 2

hb x

Paralelogramo

b

h

A = h x b

Trapecio

h

b

B

h2

bBA x

Rombo

2P = 4L 2

dDA

x

Círculo r

L = 2r A = r

2

Corona Circular R r

A = (R

2 – r

2)

Sector Circular r

r

A = º360

r xx2

d D

L

h

b

a c


EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo: Un terreno tiene la forma de un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos miden

110 m y 30 m, y el lado oblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área.

Solución

Ejemplo: La plaza de mi pueblo tiene el siguiente diseño, donde la parte semicircular está

ornamentada con baldosas, la cual está destinada para la realización de eventos públicos.

Calcula el perímetro y el área de la figura sombreada:

Solución


Ejemplo: Observa la figura y calcula el área total.

Solución:

o Área del cuadrado = 2

2cm = 4 cm2

o Área del trapecio = 10 2

42

= 24 cm

2

o Área del rectángulo = 8 5cm cm = 40 cm2

o Área total de la figura = 4+24+40 = 68 cm2

Ejemplo: A Elidermao le venden un rancho que tiene las medidas que se muestran en el

siguiente plano.

Si le piden $1,675,000.00 por toda la propiedad, ¿en cuánto le están vendiendo cada metro

cuadrado?

Solución:

Lo primero que hace Elidermao es obtener el área de toda la propiedad. Como sabe que el

área de un rectángulo se obtiene multiplicando sus dos lados, hace lo siguiente:

A = 90 m x 150 m = 13,500 m2

Posteriormente, divide los 1,675 000 dólares entre los 13,500 m2 que tiene la propiedad, para

conocer cuánto vale cada metro cuadrado (use su calculadora).

2 2

$1,675000 $124.07

13500m m

Esto quiere decir que cada metro cuadrado vale $124.07.


HOJA DE TRABAJO

NIVEL 1.

1. El esquema muestra las dos rampas construidas en un puente. Calcula la longitud

del puente.

2. Para pintar un metro cuadrado se necesita 0,2 litros de pintura. ¿Cuánta pintura se

necesitara para pintar el frente de la casa?

3. En la figura mostrada, ABCD y EFCG son cuadrados de lados 12 cm y 3 cm

respectivamente. ¿Cuánto mide el perímetro del área sombreada?

El área de un triángulo rectángulo es 24cm2. Si sus catetos son como dos es a

tres. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

4. En un trapecio la mediana y el segmento que une los puntos medios de las

diagonales están en la relación de cuatro a tres. Hallar en qué relación están las

bases.

5. Un Felipe tiene un terreno cuadrado de 600 m de perímetro, mientras que Pedro tiene uno

rectangular del mismo perímetro, siendo la base de éste el triple del ancho. El dueño del

A

D C

B

E F

G


terreno rectangular propone al otro cambiarlo, ¿le conviene el cambio? ¿Ocurre siempre

lo mismo con cualquier rectángulo y cualquier cuadrado con el mismo perímetro?

6. Juan está interesado en comprar un departamento en el distrito de los Olivos,

cuyas dimensiones son las que se muestran en el gráfico. Según la información

que se le brinda en la página de internet, el departamento es de 80 metros

cuadrados.

Determine si la información que brinda la página es correcta.

NIVEL 2

7. Circuito Mágico del Agua - Parque de la Reserva - Lima Perú - Fuente de la

Ilusión. Esta fuente actúa como contrapunto en el eje acuático del Parque frente a

la estatua del General Sucre. Gran riqueza de caudal, que da salida a ”grandes

pompas de la ilusión”. Dicha fuente tiene su estructura de concreto armado que

consiste de dos círculos concéntricos de diámetros 8 m. y 6 m. respectivamente.

Calcular la relación entre las áreas de dichos círculos.

8. Se tiene una bodega cuyas medidas se indican en la figura:


a) ¿Cuál es el perímetro de la puerta?

b) ¿Cuál es el perímetro de la ventana?

c) El frente de la bodega se pinta color amarillo .Cuánto mide la superficie a

pintar?

9. En la figura se tiene un cuadrado de lado 2m. Calcular el área sombreada. (O:

centro del cuadrado)

NIVEL 3

10. Hallar el área de la región sombreada comprendida entre dos circunferencias de

centro "O" y un cuadrado con un vértice en "O" y lado 10 m.

O

11. Un empresario Peruano decide invertir en la construir un supermercado, cuyo

terreno tiene las siguientes características:

El largo mide el triple del ancho, y en su parte externa se dejara un pasillo de 2 m

de ancho como se muestra en la figura.

La parte interior se diseña el plano que mide un total de 144 m.

Con la ayuda de operaciones algebraicas, determine cuáles son las dimensiones

del terreno.


12. La piscina en el condominio el parque central. En verano voy a bañarme y a

hacer cursos de natación. Tiene forma de rectángulo y las siguientes medidas:

a) En el curso de natación que hacemos en verano, para calentar damos una

vuelta completa a la piscina andando y otra corriendo. ¿Cuántos metros

recorreremos en el calentamiento?

b) El que más nada del curso de natación ha realizado en una hora 4 anchos de

la piscina y 15 largos. ¿Cuántos metros ha nadado?

c) Si hago tres veces el largo de la piscina, (tanto la ida como la vuelta).

¿Cuántos metros recorreré?

d) Calcular el área de la piscina.


SESIÓN 2: POLIEDROS: PROPIEDADES. ÁREA LATERAL, ÁREA

TOTAL Y VOLUMEN

LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión el estudiante resuelve problemas utilizando teoremas ,

propiedades con respecto a ángulos diedros , poliedros : área lateral , área total ,

volúmenes , relacionándolo con la vida cotidiana.

MAPA CONCEPTUAL DE POLIEDROS


POLIEDROS

Determinación de ángulos en el espacio

Entre Recta y Plano.- Para hallar el ángulo entre un plano y la recta secante,

se proyecta sobre le plano y se halla el ángulo “” entre la recta “L” y su

proyección “BT”.

P

B T

L

BT proyección de L sobre P : ángulo entre L y P

Entre Planos (Ángulo Diedro).- Es la figura formada por dos semiplanos la recta

común se denomina arista y a dichos semiplanos se denomina caras.

Q

P

2L

1L

A B

Perpendicularidad entre rectas y planos

Si una recta es perpendicular a un plano entonces será perpendicular a todas

las rectas al plano.

P y Q: son caras del Diedro

AB: aristas del Diedro

Notación: Diedro AB

ABL

ABL

2

1


Pm n

L

Teorema de tres perpendiculares: Si tenemos una recta “L” perpendicular el plano

“P”; y del pie de esta trazamos una segunda perpendicular a una recta “m” contenida

en el plano entonces toda recta que pase por un punto de la recta “L” y por “B” será

perpendicular a “m”.

P

m

L

A

B

POLIEDROS:

Es el sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales planas denominadas

caras; a los lados de las caras se les denomina ARISTAS del poliedro y al segmento

que tiene extremos; dos vértices que no pertenecen a una misma cara se le denomina

diagonal.

Arista

Cara

Vértice

Diagonal

CLASIFICACIÓN:

1) Por el número de caras: Se clasifican los poliedros en tetraedros, pentaedros,

exaedros,

2) Según sus características:

a. Poliedro Convexo.- Si todos los ángulos diedros son convexos; una recta

secante lo corta siempre en dos puntos.

Si

)Pn(nL

)Pm(mL

PL


b. Poliedro Cóncavo.- Si tiene por lo menos un diedro cóncavo. Una recta

secante lo corta en más de dos puntos.

c. Poliedro Regular.- Todas sus caras son polígonos regulares iguales.

d. Poliedro Irregular.- Es aquel poliedro que no es regular.

Teorema de Euler

En todo polígono se cumple que el número de caras más el número de vértices es

igual al número aristas más dos unidades

Dónde: C = # de caras.

V = # de vértices.

A = # de aristas.

Poliedros regulares

Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí:

Los ángulos y los diedros son respectivamente iguales

Todo poliedro regular se pude inscribir o circunscribir en un esfera donde el centro de

las esferas viene a ser el centro del poliedro regular.

Teorema:

Solamente existen 5 poliedros regulares: tetraedro regular, exaedro regular, octaedro

regular, dodecaedro regular, icosaedro regular.

Tetraedro Regular.- Sus caras son cuatro regiones triangulares equiláteras

A

B

C

O

G

Notación: Tetraedro Regular O – ABC

Altura: OG , 6

3OG ; siempre cae en el baricentro (G)

2AVC


Volumen (V): 12

23V

Superficie total o Área (A): 32A

Nota:

El tetraedro regular es conjugado consigo mismo, es decir en un tetraedro regular

solamente se puede inscribir una esfera y un tetraedro regular.

El exaedro regular y el octaedro regular son conjugados, es decir en el exaedro

regular solamente se puede inscribir una esfera y el octaedro regular y viceversa.

El dodecaedro regular y el icosaedro regular son conjugados.

PoliedroTetraedroExaedroOctaedro

DodecaedroIcosaedro

# caras4681220

# vértices486

2012

# aristas6

12123030

Número de diagonales de un poliedro

Ad#CD# carasv2poliedro

Donde:

poliedroD# = Número de diagonales del poliedro.

v2C = Combinación del número de vértices de dos en dos.

#dcaras = Número de diagonales de todas las caras del poliedro.

A = # de aristas del poliedro.

a) Paralelepípedo rectángulo ó Rectoedro ó Ortoedro: Es aquel cuyas caras

son regiones rectangulares.

H

G F

E

D

C B

A

b

a

c

d

2222 cbad

Superficie Lateral (ASL): c)ba(2ASL


Superficie Total (AST): )acbcab(2AST

Volumen (V): cbaV

b) Exaedro Regular.- Sus caras son seis regiones cuadradas, también se le

denomina cubo

B

A

G

C

E

D

F

H

Notación:

Diagonal (BH ): 3BH

Volumen (V): 3V

Superficie total o Área (A): 26A

c) Octaedro Regular.- Sus caras son ocho regiones triangulares equiláteras.

B C

D A

M

N

Diagonal (MN): 2MN

Volumen (V): 3

2V

3

Superficie total o Área (A): 32A 2

d) Icosaedro Regular.- Sus caras son veinte regiones triangulares equiláteras.


a

Volumen (V): 2

537

6

a5V

2

Superficie total o Área (A): entonces 3a5A 2

PRISMA

A

B C

F E D

H J

K L

G

I

Base

Altura del

Prisma

Arista básica

Arista lateral

Base

Cara lateral

Es el poliedro donde dos de sus caras son paralelas y congruentes denominados

bases y sus otras caras son regiones paralelogramicas. Un prisma se nombra según la

cantidad de lados que tenga la base.

Clases de prisma

Los prismas se clasifican según la inclinación de su arista lateral con respecto al

plano de su base.

Prisma Oblicuo: Tiene las aristas laterales oblicuas con respecto al la base.

* En la figura se tiene un prisma triangular ABC – DEF

BaseD

A

E

F

C

B

Base

H SR

a


SR: Sección recta es perpendicular a todas las aristas.

En todo prisma se realizan los siguientes cálculos:

Área de la superficie lateral (ASL): a)P2(A SRSL

2Psr: Perímetro de la sección recta. y a: Longitud de la arista lateral

Área de la superficie total (ABASE):

)A(2AA BASESLST

Volumen (V):

H)A(V BASE

Prisma Recto: Es el que tiene las aristas perpendiculares a la base, puede ser

triangular cuadrangular, etc.; según sea la base.

Base

Base

B

E

F D

A C

a h

Área de la superficie lateral (ASL):

a)P2(A BASESL

Área de la superficie total (AST):

)A(2AA BASESLST

Volumen (V): h)A(V BASE

Tronco de Prisma Triangular Recto

C

B

A a b

Área de la Superficie Lateral (ASL):

lateralescaraslasdeAreasASL

Área de la Superficie Total (AST): BdeAreaAdeAreaAA SLST

Volumen (V): 3

cba)BdeArea(V

En la figura se

muestra el prisma

recto ABC – DEF

La arista igual a su

altura


PIRÁMIDE

A

B

C

O

D

Arista básica

Arista básica

Base

Vértice

Altura

Es un polígono limitado por una región poligonal llamada base y en su parte lateral

limitada por regiones triangulares consecutivas que tienen un vértice común, el cual

a su vez es el vértice de la pirámide.

En toda pirámide la perpendicular trazada desde su vértice al plano de la base se le

denomina altura de la pirámide.

Notación: Pirámide O – ABCD

Pirámide Regular:- Una pirámide es regular si sus aristas laterales son

congruentes y su base es un polígono regular. En toda pirámide regular el pie de

su altura coincide con el centro de su base y la perpendicular trazada desde su

vértice a cualquiera de las aristas básicas se denomina apotema.

En la figura se muestra una pirámide regular: P - ABCD

O

D A

C

P

B

M

Apotema (Ap)

Apotema (ap)

Ap: Apotema de la pirámide (PM)

ap: Apotema del polígono regular ABCD (OM)

PO : Altura de la pirámide; “O” es el pie de dicha altura y centro del polígono

regular.

: Medida del diedro formado por una cara lateral con la base.


En toda pirámide se cumple:

Área de la Superficie Lateral (SL): Apotemabaselade

troSemiperímeSL

222 )OP()ap()Ap(

Área de la Superficie Total (ST):

baseladeAreaSS LT

Volumen (V): 3

Altura)baseladeArea(V

CONO

Altura

Base

Superficie Lateral

Vértice o cúspide

El estudio sistemático de las pirámides y el conocimiento de la circunferencia y

algunas otras líneas curvas, han conllevado a la obtención y subsiguiente estudio de

otras figuras, entre las cuales destaca el cono, el cual es muy parecido a una pirámide

con la diferencia de que su base es una región curva en lugar de una poligonal.

Cono de Revolución o Cono Circular Recto.- Es aquel sólido geométrico

generado por una región triangular rectangular al girar 360° en torno a uno de sus

catetos.

r

Eje de giro

g

360°

r

hg

O

Superficie Lateral

Vértice o cúspide

Base

Generatriz

V

Nota: En un cono recto siempre se cumple: h2 + r

2 = g

2

Área de la Superficie Lateral (SL):

rgSL


Área de la Superficie Total (ST):

2LT rSS

Volumen (V): 3

h)r(V

2

CILINDRO

Es aquel sólido geométrico comprendido entre sus planos paralelos entre si y

secantes a una superficie curva cerrada denominada superficie lateral del cilindro y

en los planos paralelos se determinan secciones planos congruentes, las cuales se

denominan bases del cilindro.

En la superficie lateral del cilindro se ubican segmentos paralelos entre si y

congruentes, cuyos extremos son los puntos del contorno de las bases, dichos

segmentos se denominan generatrices.

Altura Generatriz

Superficie Lateral

Base

Base

Cilindro Circular Recto o Cilindro de Revolución

Es aquel cilindro recto cuyas bases son circulares. También denominado Cilindro de

Revolución porque es generado por una región rectangular al girar 360° en torno a

uno de su lados.

r

h

r

r

O 1

O 2

x

Eje de giro

h = g

O O : Eje1 2

r

r

g g

r2

Área de la Superficie Lateral (SL) rg2SL

Área de la Superficie Total (ST) )rg(r2ST

Volumen (V) grV 2


Circunferencia menorPlano secante

360°

R

0

Eje de giro

R

Plano tangente Circunferencia

Máxima

H

R 0

Semicirculo generadora

r

ESFERA

Superficie Esférica: Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar

360° en tono a su diámetro.

2SE R4A

ASE: Área de la Superficie Esférica.


HOJA DE TRABAJO

NIVEL 1

1. ABCD y ABEF son dos cuadrados que forman un diedro de 60°. Si el lado

del cuadrado mide 4. Calcular ED.

2. Determinar la suma de las caras del ángulo poliedro que se forma en cada

vértice de un dodecaedro regular.

3. Calcular el volumen de un cilindro si el área total es 100 y la suma del radio de

la base y la generatriz es 25.

4. La esfera circunscrita a un cubo tiene un radio igual a 3 . Calcular la arista del

cubo.

5. Se tiene un ladrillo donde las dimensiones son : largo : 20 cm , ancho: 15 cm y

de altura : 10 cm .cuantos ladrillo se necesita para levanta una pared de 900m3

6. Calcule la suma de las longitudes de las tres dimensiones de un paralelepípedo

rectangular, si su área total es 160m2 y su diagonal es 6m.

NIVEL 2

7. El volumen del cono menor es 48, calcule el volumen del cono mayor.

8

2


8. Las caras de un pedazo de madera con forma de paralelepípedo rectangular

tienen 6; 8 y 12 cm2 de área, respectivamente. Calcula el volumen del pedazo de

madera.

9. Calcule el volumen de hormigón que se ha necesitado para construir un túnel

igual al que se muestra en la siguiente figura:

10. Se tiene un tarro de leche gloria donde la dimensiones son: diámetro de la base:

10 cm y tiene una altura de 20 cm .Determinar el volumen que de la caja que

contiene 48 tarros distribuidos 6 tarros de largo por 4 tarros de ancho y2 tarros

de altura.

NIVEL 3

11. Se va a construir en cemento el sólido que se muestra en la figura, compuesto por

un cilindro circular recto de 18cm de altura y 7cm de radio con 2 semiesferasen

sus extremos. Cuanto cemento se requiere para la construcción del solido? Si se

quiere proteger el sólido con una lámina de acrílico, que cantidad de acrílico se

necesita?


12. Se va a construir en cemento el sólido que se muestra en la figura, compuesto por

un cilindro circular recto de 18cm de altura y 7cm de radio con 2 semiesferas en

sus extremos. Determine:

a) ¿Cuánto cemento se requiere para la construcción del sólido?

b) Si se quiere proteger el sólido con una lámina de acrílico.

¿Qué cantidad de acrílico se necesita?

13. Se tiene el diseño de un reservorio de agua para una ciudad con ciertas

dimensiones como se muestra en la figura. Halle el volumen y el área superficial

de dicho sólido.

14. ¿Qué porción de la caja ocupa cada uno de los siguientes tetraedros?.

15. Se tiene una maceta cuya dimensiones son de 20 cm de diámetro y 60 cm de

altura, calcular la cantidad de volumen de tierra de tal manera que esta, se

encuentre a 10 cm de la superficie de la maceta.


UNIDAD 4: TRIGONOMETRIA

SESIÓN 1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la unidad el estudiante resuelve problemas vinculados a su entorno,

haciendo uso de los principios básicos de la trigonometría como el uso de las razones

trigonométricas, permitiendo al estudiante incrementar su nivel de análisis y síntesis,

para aplicarlo en situaciones diversas en forma individual y grupal.

IMPORTANCIA DE LA TRIGONOMETRÍA EN LA VIDA DIARIA

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado epistemológico es

la medición de triángulos. En sus inicios se estudia las razones entre los ángulos y los

lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales

son usadas frecuentemente en cálculos técnicos. Puede ser aplicado en el diseño y

fabricación de las piezas que se producen en una máquina, en el sector construcción,

arquitectura, iluminación, desplazamiento de fluido en física y química, estática,

cinemática y dinámica, ondas luz y sonido, dirección e interferencia, resonancia y en

casi todas las ramas de la ingeniería y telecomunicaciones.

La aplicación en un inicio se dio en el campo de la navegación, la geodésica y la

astronomía, en la que el problema era calcular la distancia inaccesible, como la

distancia de la tierra a la luna. Hoy en día es muy utilizado para localizar de

forma muy precisa usando un sistema de posicionamiento global (GPS) de 24


satélites en órbita exacta. En la ingeniería civil se usa para trazos y

levantamientos en terrenos, en la construcción de estructuras exactas como

armaduras, pendientes

CÁLCULO DE LONGITUDES

La trigonometría es útil para resolver problemas geométricos y calcular longitudes

en la realidad. Con un teodolito como el de la figura 1, se pueden medir ángulos,

tanto en el plano vertical como en el horizontal, que nos permiten, aplicando las

razones trigonométricas, hallar distancias o calcular alturas de puntos inaccesibles.

Como la altura de un cerro para la construcción de torre de alta tención o torres de

señalización para helicópteros o aviones.

Fuente:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_4eso_

B_trigonometria/cuadernos/4esoB_cuaderno_7_cas.pdf

Figura 1

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_4eso_B_trigonometria/cuadernos/4esoB_cuaderno_7_cas.pdf

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_4eso_B_trigonometria/cuadernos/4esoB_cuaderno_7_cas.pdf


Aquí podemos observar la forma de cómo medir grandes alturas.

De igual manera para calcular la anchura de un río, como el de la figura 2, no

siendo el triángulo de partida ABC un triángulo rectángulo, se debe trazar una

altura y así poder obtener dos triángulos rectángulos; y con los datos que tenemos

calcular la anchura del río.


C B

A

a =5

c =13 b

RAZONES TRIGONOMETRICAS EN EL TRIANGULO RECTÁNGULO

Se les define como los cocientes que se obtienen al relacionar las distancias de

los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Ejemplos:

1. Hallar las razones trigonométricas del ángulo “B” de un triángulo rectángulo

ACB, recto en “C”. Sabiendo que: a = 5 y c = 13.

Solución:

Ahora, hallamos las 6 razones trigonométricas, respecto al ángulo “B”.

adyacentecateto

opuestocateto

hipotenusa

adyacentecateto

hipotenusa

opuestocatetoseno

tangente

coseno opuestocateto

hipotenusaecante cos

adyacentecateto

hipotenusaante sec

opuestocateto

adyacentecatetog cot

HIPOTENUSA

CA

TE

TO

OP

UE

ST

O

CATETO

ADYACENTE

12

5cot

5

12

5

13sec

13

5cos

12

13cos

13

12

b

aB

a

bBtg

a

cB

c

aB

b

cBec

c

bBsen

Hallamos el valor de “b” por medio del Teorema de

Pitágoras

Luego: 132 = 52 + b2 169 = 25 + b2

b =12

b = 12

c2 = a2 + b2

c2 = a2 + b2


C

A

a =5

b c = 12

B

En el triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, si: .Calcule el valor de:

Solución:

Ahora calculamos el valor de la expresión incógnita.

1. RAZONES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS

Teorema: “El producto de dos razones reciprocas es siempre igual a la unidad”

Ejemplos:

1. Si se cumple que: Sen(2x + 5°) . Cosec 21° = 1.

Asen

A

1

cos

13

1813

12

|13

51

13

12

11

cos

b

a

b

c

senA

A

Por definición:

Calculamos el valor de “b” por medio del Teorema de Pitágoras

Luego: b2 = 52 + 122 b2 = 169

b = 13

5

12

a

cCtg

5

12Ctg

3

2

18

12

1

cos

senA

A

1sec a

b

b

aACoSenA

1c

b

b

cSecACosA

1a

c

c

aCtgATgA

b2 = a2 + c2

b2 = a2 + c2

c2 = a2 + b2


Halle el valor de “x”.

Solución:

Como el producto de Seno y Cosecante es igual a 1, los ángulos deben ser

iguales.

2x + 5° = 21°

2x = 21° - 5°

2x = 16° entonces x = 8°

2. Si Tg (15x – 31°) . Cotg (3x – 25°) – 1 = 0


Solución:

La expresión dada se puede escribir así:

Tg (15x – 31°) . Cotg (3x – 25°) – 1 = 0

Tg (15x – 31°) . Cotg (3x – 25°) = 1

Por definición de razones reciprocas: (15x – 31°) = (3x - 25°)

12x = 6° entonces x = 0,5°

2. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS

COMPLEMENTARIOS

“Toda razón trigonométrica de un ángulo es igual a la Co-razón trigonométrica

del complemento de dicho ángulo.”

Ejemplo:

1. Siendo: Tg(x + 10°) = Ctg(x + 40°)

Hallar el valor de “x”.

CosBSenA

c

aCosB

c

aSenA

CtgBTgA

b

aCtgB

b

aTgA

BCoSecA

b

cBCo

b

cSecA

sec

sec


Solución:

En la expresión dada la cotangente es co- razón de la tangente, los ángulos

son complementarios o sea deben sumar 90°.

(x + 10°) + (x + 40°) = 90°

2x = 90° - 10° - 40°

2x = 40° entonces x = 20°

3. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS NOTABLES

3.1. Triangulo rectángulo de ángulos agudos 30° y 60°

3.2. Triangulo rectángulo de ángulos agudos 45°

2

1

22º30

l

l

l

l

sen

2

3

2

32

3

º30cos l

l

l

l

3

3

3

1

32

2

2

3

2

1

º30 tg

3

2

º30cos

1º30sec

2º30

1º30cos

senec

33

33

3

3

º30

1º30cot

tgg

2

2

2

1

2º45

l

lsen

2

2

2

1

2º45cos

l

l

2

2

2

1

2º45cos

l

l

2

2

º45cos

1º45sec

2

2

º45

1º45cos

senec

11

1

º45

1º45cot

tgg


HOJA DE TRABAJO

NIVEL I

1. Determinar las 6 razones trigonométricas del ángulo “A” de un triángulo

rectángulo ABC recto en “B”, si se sabe que: b = 4a

2. En el triángulo ABC, recto en “B”, se sabe que: 5 Cos A = 3. Hallar el valor de:

3. En el triángulo ACB, recto en “C”, se sabe que: 7 Sen B = 5. Hallar el valor de:

4. En el triángulo BAC, recto en “A”, se sabe que: 3 Cos C = 1. Hallar el valor de:

5. Si: cos (x +y + 20°). sec (6x + y – 60°) = 1. Hallar el valor de “x”

6. Si: cos (x + y +30°).sec (3y + x – 10°) = 1. Hallar el valor de “y”.

NIVEL II

7. Si: tg (a + b + 40°) . cotg (3a – b – 60°) = 1 y a + b = 70°.

Halle el valor de “a”.

8. Si: sen (x + y) . cosec (2x – y) – 1 = 0 y sec (3x – y) . cos (100°) = 1.

Halle “x”.

9. Si: cot(3m – n + 10°).tg(n + m + 50°)+21 = 22 y m = 3n

Halle el valor de “m”.

10. Si: sen [(a – b) + x – 4°].cosec [5x – (b –a) – 36°] = 1.


11. Si: sen (x + 2y) = cos (y – x) y tg (2x – y) = ctg(20°)


SenA

CtgATgA

5

12

CosB

TgASenA

3

4

4

22 BTgBCtg


12. Si: , además: x – y = 10°.

Calcular el valor de “k”

13. Si:

Halle: K = a + b + ab

14. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC, son:

a = sen2 45° sec 60°

b = cos2 30° cos 37°

Halle la tangente del menor ángulo agudo.

NIVEL III

15. Una torre de petróleo de 135 pies de altura está situada sobre un lago. El ángulo de depresión

desde la punta de la torre hasta una cabina situada cerca a la base de la torre es de 36.3°. ¿Cuál

es la distancia desde la base de dicha torre hasta la cabina?

16. Si el ángulo de elevación del Sol es 42°. ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada sobre el

suelo de una persona que mide 6.1 pies de altura?

14

3

334

3

kytg

kxtg

304545sec2

30cos.60cos3

sentgb

eca

36.3°

135 pies


17. Los puntos A y B están en una misma recta horizontal con el pie de una colina, y ángulos de

depresión de estos puntos desde la cima son 30.2° y 22.5°, respectivamente. Si la distancia entre

A y B es de 75 m ¿Cuál es la altura de la colina?

18. Un aeroplano vuela a 10500 pies sobre la tierra. El ángulo de depresión del avión a la base de un

árbol es de 13°50´. ¿A qué distancia horizontal debe volar la nave para que esté directamente

arriba del árbol?

19. El ángulo de depresión de un edificio a un punto del piso es de 32°30´. ¿ Qué tan lejos queda el

punto en el suelo de la parte superior del edificio si este mide 252 metros de altura ?

10500 pies

32°30´

252 metros


20. Supongamos que el lado AC mide 4m. y en su punto medio se encuentra una

persona que mide 1,50m. Con dicha información ¿Calcular la altura del mástil?

21. Pedro una albañil de construcción desea calcular la longitud de las vigas que

colocara en el techo(es decir la distancia CD), para tal propósito consulta con su

hijo que estudia Ingeniería Civil en la UPN qué determine la longitud del techo.

22. El extremo superior de una escalera está apoyada en una pared de forma que

alcanza una altura de 3m. Si forma un ángulo 51º con el suelo. ¿Cuál es el largo

de la escalera?

23. Desde lo alto de un faro, a 160 m del nivel del mar, se observa un barco con un

ángulo de depresión de 18º. ¿A qué distancia se encuentra el barco de la base del

faro?


24. Jorge tiene un gato muy juguetón, que siempre se sube al árbol que se encuentra

en frente de su casa. Cuándo quiere ubicarlo se da con la sorpresa que se

encuentra en lo alto de dicho árbol formando un ángulo de 30º con el piso,

cuándo se acerca 10m hacia al árbol para tratar de bajar al gato observa por

segunda vez con un ángulo de 60º. ¿Cómo ayudarías a Jorge ha encontrar la

altura de dicho árbol?

25. Un globo aerostático está situado a 300 km. sobre el nivel del mar. Hay dos

barcos estacionados en el mar. El tripulante del globo mide un ángulo de

depresión hacia el primer barco de 40° y otro de 25° hacia el segundo barco.

¿Cuál es la distancia entre los dos barcos?

Bibliografía:

# CÓDIGO-L AUTOR TITULO PÁGINAS

1 515

STEW/P 2007

James Stewart Lothar Redlin

Saleem Watson

“Matemáticas para el Cálculo” 5ta. Edición - 2007

408 – 414 478 - 500

2 515 DEMA

Franklin Demana Bert Waits

Gregory Foley Daniel Kennedy

“Pre cálculo. Gráfico, numérico, algebraico” 7ma. Edición - 2007

360 – 375


PÁGINAS ELECTRÓNICAS:

http://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyej

http://www.sectormatematica.cl/proyectos/como aprender.htm

http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_0

4/APPUNTI.HTM

http://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm

http://www.sectormatematica.cl/proyectos/como%20aprender.htm

http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/APPUNTI.HTM

http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/APPUNTI.HTM


SESIÓN 2

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

LOGRO DE UNIDAD


haciendo uso de los principios básicos de la trigonometría como el uso de las

reducciones al primer cuadrante; permitiendo al estudiante incrementar su nivel

de análisis y síntesis, para aplicarlo en situaciones diversas en forma individual y

grupal.

Se llama reducción al primer cuadrante al proceso mediante el cual se puede

expresar cualquier ángulo trigonométrico en términos de un ángulo agudo.

IMPORTANCIA DE LA REDUCIÓNA LA PRIMER CUADRANTE

La reducción al primer cuadrante nos permite estimar el comportamiento de los

modelos matemáticos que represente el comportamiento de cualquier objeto de

estudio, como puedes los costos, ingresos, oferta, demanda, volumen de ventas,

etc.

En el caso de la demanda donde se puede apreciar la relación entre el precio con

el número de productos vendidos, se puede estimar mediante la tangente del

ángulo α° como se puede apreciar en la figura 1, reduciendo al primer cuadrante

si el ángulo es mayor que 90°.


REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Consiste en comparar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de

cualquier magnitud con respecto al valor de la función trigonométrica de un

ángulo del primer cuadrante. (Angulo agudo).

Veremos las propiedades que cumplen estos ángulos por la periodicidad que

tienen las F.T. en la C.T.

1.1. ÁNGULOS COTERMINALES

)(TR.2kπkθR.Tó)R.T()k.360θR.T(

1.2 R .T. DE ÁNGULOS NEGATIVOS

θ)Cos(θ)Cos(yθ)Sen(θ)Sen(

Generalizando:

Tg (- ) = - Tg ( )

Ctg (- ) = - Ctg ( )

Sec (- ) = Sec ( )

Csc (- ) = - Csc ( )

1.3 FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN:

impar:K,).(T.CoR)s(

par:K,).(T.R)s()90.K(T.R

El ( s = signo ) viene dado, por el cuadrante donde se encuentre ubicado el

ángulo inicial: ( K.90° ).

α°

Figura 1


1.4 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS SEGÚN EL CUADRANTE

Según el cuadrante donde se encuentre el ángulo, variarán los signos de las

coordenadas x, y obteniéndose:

Ejemplos:

2. Reducir al primer cuadrante: sen 240°.

Solución:

El ángulo 240° al Q3, lo descomponemos como: (180° + 60°).

Luego:

sen 240° = sen (180° + 60°) = – sen 60°

La función seno en Q3, es negativa, entonces al resultado se colocara (-);

también se debe tener en cuenta que no es la única respuesta ya que: sen 60°

= cos 30° por el complemento que dice así:

sen 10° = cos (90° - 10°) = cos 80°

cos 20° = sen (90° - 20°) = sen 70°

tg 40° = cotg (90° - 40°) = cotg 50°

3. Reducir al primer cuadrante: cos 140°.

Solución:

El ángulo 140° al Q2, lo descomponemos como: (180° - 40°).

Función () = Cofunción (complemento de )


Luego:

cos 140° = cos (180° - 40°) = – cos 40°

Aplicando el concepto de cofunción, el resultado puede también ser así:

4. Simplificar:

Solución:

La expresión dada se puede escribir así:

Sabemos que:

Reemplazamos valores en ( I ):

1. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Se le define como una igualdad de términos de

razones trigonométricas que a

diferencia de la igualdad algebraica se satisface

con casi la totalidad de los valores angulares,

veamos:

sen2 + cos2 = 1

cos 140° = - cos 40° = - sen 50°

)....(..........360270cot

270cos180I

xsenxg

xxtgR

11

1

senxtgx

senxxtgR

tg (180° + x) = tg x

cos (270° - x) = - sen x

cotg (270° + x) = - tg x

sen (360° - x) = - sen x

xsenxg

xxtgR

360270cot

270cos180

xsenxg

xxtg

R

360270cot

2

3cos


Comprobando para algunos valores del ángulo “ “:

Para:

Para:

1.1. IDENTIDADES FUNDAMENTALES

Se clasifican en:

a) Reciprocas:

b) Por división:

= 45°

11

14

221

4

2

4

2

12

2

2

2

145cos45

22

22

sen

= 30°

11

14

311

4

3

4

1

12

3

2

1

130cos30

22

22

sen

sen

sen

1csc

csc

1

cos

1sec

sec

1cos

tan

1cot

cot

1tan

costan

sen

sen

coscot


c) Pitagóricas:

Ejemplos:

1. Demostrar que: sec - tg sen = cos

Solución:

Expresando en función de seno y coseno.

Por identidad: se tiene

2. Simplifique la siguiente expresión: A = (1- sen x) (sec x + tg x)

Solución:

Expresando en función de seno y coseno.

22

22

22

csccot1

sec1tan

1cos

sen

cos

cos

cos2

coscos

1obtienesecos

coscos

1

cossec

2

sensen

sen

sentg

22 cos1 sen

coscos

xx

x

x

xsenA

x

senxsenxA

x

senxsenxA

x

senx

xsenxA

coscos

cos

cos

1

cos

11

cos

11

coscos

11

22

xA cos


2. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS

a. SUMA DE DOS ÁNGULOS

b. DIFERENCIA DE DOS ANGULOS

Ejemplo:

2. Calcular : sen 75°

Solución:

Sabemos que:

75° = ( 45° + 30°), ahora tomamos “sen” a ambos miembros

sen 75° = sen (45° + 30°)

sen 75° = sen 45° cos 30° + cos 45° sen 30°

sensensen coscos)(

sensen coscos)cos(

tgtg

tgtgtg

1)(

sensensen coscos)(

sensen coscos)cos(

tgtg

tgtgtg

1)(

4

2

4

675

2

1

2

2

2

3

2

275

sen

sen

4

2675

sen


3. Si: tg (45° + x) = 2 Hallar “tgx”

Solución:

De la condición: tg (45° + x) = 2 ; obtenemos:

1 + tg x = 2 (1 – tg x)

1 + tg x = 2 – 2 tgx

3 tg x = 1

2.11

1

2.451

45

tgx

tgx

tgxtg

tgxtgpero: tg 45° = 1

21

1

tgx

tgx

3

1tgx


HOJA DE TRABAJO

NIVEL I

1. Simplifique la siguiente expresión:

2. Halle el valor numérico de:

M = 3 tg2 300° - 6 cos

2 240° + cos (- 360°)


A = (1 – sen x) (sec x + tg x)

4. Reduza la siguiente expresión:

M = tg x (1 – ctg2 x) + ctg x (1 – tg

2 x)

5. Calcular: tg 82°


:

M = sen 50° - 2 cos 40° sen 10°

7. Reduza la siguiente expresión:

70° cos 10° + cos 70° sen 10°

8. Hallar el valor de :

Q = (a + b) tg 225° - 2a sen (- 270°) + (a – b) cos 180°


NIVEL II

10. Calcular el valor de :

A y B pertenecen al Q.

ActgAtg

AtgActgE

180270

450360

ctgx

ctgx

tgx

tgxS

11

5

4cos

13

5:;cos ByAsenSiBA


11. Calcular el valor de :

A y B pertenece Q

12. Si:

Halle el valor de: tg (A – C)

13. Si se cumple la identidad:

cotg2 x – cos

2 x = cotg

m x . cos

n x

Evalúe: m . n-1

+ m.n

14. Si : sen x + cos x = b ;

Hallar el valor de : R = 2 sen x . cos x + 1

15. En la siguiente identidad hallar el valor de “ n “:

16. En la siguiente identidad hallar el valor de “ n “:

NIVEL III

17. Juan posee un terreno de forma de un trapecio recto, que desea vender. Si se sabe que el

costo por metro cuadrado es de 80 dólares. Determine el costo total del terreno si la

figura muestra las características del terreno.

5

1;

3

1 CBtgBAtg

12

5cot

13

12cos:;cos gByASiBA

nxxtgxsenx sec11cos22

tgnsenx

senx

sec13

1

1

210° 12m

12m


18. La municipalidad de Lima puso a la venta un terreno de forma triangular. Determine el

costo de dicho terreno si se sabe que el metro cuadrado cuesta 75 dólares.

19. Una empresa colocará en la parte superior de sus muros unos soportes como muestra la

figura, con el propósito de sostener el techo de madera. De la misma forma desean tapar

las ranuras de dichos soportes con triplay de cedro. Calcule el área triangular formada

por los soportes, de acuerdo a las características que muestra la figura.

Tener en cuenta:

20. Se tiene una estructura de forma triangular tal como se muestra en la figura. Si se sabe

que la estructura tiene forma de un triángulo isósceles, y que sus lados iguales tienen una

longitud de: 4m. y que el ángulo mayor mide 127°. Calcule su área de dicha estructura.

8m 8m

143°


Bibliografía:

# CÓDIGO-L AUTOR TITULO PÁGINAS

1

515

STEW/P

2007

James Stewart

Lothar Redlin

Saleem Watson

“Precálculo. Matemáticas para el Cálculo”

5ta. Edición – 2007

414 – 418

2

515

DEMA

Franklin Demana

Bert Waits

Gregory Foley

Daniel Kennedy

“Precálculo. Grafico, numérico, algebraico”

7ma. Edición – 2007

443 – 470


http://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htm

http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htm

http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html

http://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htm

http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htm

http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html


B

2x

A

C

x + 1

SESIÓN 16: LEY DE SENOS Y COSENOS

LOGRO DE UNIDAD:


haciendo uso de los principios básicos de la trigonometría como el uso de las Leyes

del Seno y cocino; permitiendo al estudiante incrementar su nivel de análisis y

síntesis, para aplicarlo en situaciones diversas en forma individual y grupal.

1. LEY DE SENOS

“En cualquier triangulo ABC, los lados son proporcionales a los senos de los

ángulos opuestos”

Ejemplos:

5. En la figura mostrada, hallar “ x “.

Solución:

Por ley de senos:

Pero,

a b c

senA senB senC

53° 30°

7°

30

1

53

2

sen

x

sen

x

5

453 sen

2

130 sen


b = 5

C

a = 8

x

25

24

Luego:

6. En la figura mostrada, hallar “ x “.

Solución:

Por ley de senos:

El valor de “sen A”, hallado lo llevamos a un triángulo:

Por el Teorema de Pitágoras:

x2 = 25

2 – 24

2

x2 = 625 – 576

x2= 49

37°

828810

124

10

2

1

1

5

4

2

xxx

xxx

4x

25

24

5

3

5

8

375

8

:

8

37

5

senA

sensenA

Donde

senAsen

25

24senA

7x


A

B

C

c = 8

b = 9

73a

2. LEY DE COSENOS

“En todo triangulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de

los otros dos menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que

forman”

Ejemplos:

1. En un triángulo sus lados son: 8 ; ; 9. Hallar el coseno del ángulo

opuesto a

Solución:

Aplicamos ley de cosenos:

Luego:

2. Reducir la siguiente expresión:

Solución:

Abccba cos2222

2

1cos A

Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

73 73

144

72cos

cos144648173

cos8928973 222

A

A

Axxx

222

cos2cos2cos2

cba

CabBacAbcK


Por ley de cosenos:

i) a2 = b

2 + c

2 – 2bc cos A

ii) b2 = a

2 + c

2 – 2ac cos B

iii) c2 = b

2 + a

2 – 2ba cos C

Luego reemplazamos los valores hallados en “K”

3. ANGULOS VERTICALES

Se llaman así a todos aquellos que se denominan en un plano vertical. El

instrumento para medir estos ángulos se llama TEODOLITO.

Tenemos dos clases de ángulos verticales. Ángulos de Elevación y Ángulos de

Depresión.

3.1 ANGULO DE ELEVACION

Es aquel cuya medición se realiza entre la línea visual y la línea horizontal; pero

cuando el objeto se encuentra por encima de la horizontal.

222cos2 acbAbc

222cos2 bcaBac

222cos2 cabCba

222

222

222

222222222

cba

cba

cba

cabbcaacbK

1K


3.2 ANGULO DE DEPRESION

Es aquel cuya medición se realiza entre la línea visual y la línea horizontal; pero

cuando el objeto se encuentra por debajo de la horizontal.

Ejemplo:

4. Una persona que mide 1.75 metros esta parada en el extremo de un muelle

que sobresale 4.5 metros por encima del agua. Si observa una lancha de

pecadores con un ángulo de depresión de 4° grados. ¿A qué distancia del

observador esta la lancha?

Solución:

5. Un observador, cuya estatura es de 1.65 metros se aleja 15 metros de la base

de un edificio y desde esta posición dirige la vista al punto más alto de la

4

75,15,4

75,15,44

tgx

xtg

adyacentecateto

opuestocatetotg

mx 38,89


fachada de dicho edificio. Si el ángulo de elevación es de 64°. ¿Cuál es la

altura del edificio?

Solución:

6415

1564

tgx

xtg

adyacentecateto

opuestocatetotg

mx 38,89

Altura del edificio:

30,75 + 1,65

= 32, 4 metros.


HOJA DE TRABAJO

NIVEL I

1. En un triángulo ABC, si se cumple que: , B = 60° ; A = 45 °.

Calcule el lado AC.

2. En un triángulo ABC, se tiene: , b = 2 u ; C = 75 °. Calcular el lado

AB.

3. En la figura encontrar .

4. En un triángulo ABC. A = 60° ; b = 2 u ; B = 45°. Calcular el lado BC

5. En un triángulo ABC ; Si a = 2b. Hallar:

6. En un triángulo ABC: , A = 60° ; B = 45°. Calcular el lado

AC.

7. En un triángulo ABC, simplificar:

NIVEL II

8. Un observador situado a 30m de una torre de alta tensión, observa la parte

superior de esta con un ángulo de elevación de 30°. ¿Cuál es la altura de la torre?

ua 2

Bsen

AsenE

ua 6

32a

cbsicsenAasenC

bsenAasenBE 3:;

30 m

30°


9. Una niña observa una nube con un ángulo de elevación de 37°, luego de avanzar

cierta distancia acercándose a la nube, el ángulo de elevación con el cual ve a la

nube es de 53°. Si la nube se mantiene estática a una altura de 121 m. ¿Qué

distancia caminó el niño, si se sabe que la niña mide 1m?

10. Desde el puesto de vigía de un barco que tiene 48m de altura, se observa que el

ángulo de depresión de un bote es de 30°. Calcule la distancia a la que está el

barco. (en metros)

11. Desde un avión se observa un barco con un ángulo de depresión de 53°. Si en ese

instante el avión vuela a 3 000m de altura. ¿Cuál es la distancia “d” entre el avión

y el barco?

37° 53° 121 m

30°

d

53°


12. Calcular la altura “h” de un edificio observado con un teodolito de 1,50m d

altura, si el observador, está ubicado a 50m del edificio y el ángulo de elevación

es de 37°.

13. Desde un helicóptero que vuela sobre el mar a 470 m de altura, se divisa una

boya. La amplitud del ángulo que forman la visual y la vertical es de 52º.

¿Calcular a que distancia de la boya se encuentra el helicóptero?

NIVEL III

14. Desde el extremo superior de una torre de 24 m de altura se observan los puntos

“A” y “B” con ángulos de depresión de 37º y 53º respectivamente si los puntos A

y B se encuentran alineados con la torre. Determinar la distancia entre dichos

puntos.

h 37° h

A B

24 m

37° 53°


15. Un satélite que orbita la Tierra pasa directamente arriba de las estaciones de

observación en Phoenix y Los Ángeles, apartadas 340 kilómetros. En un instante

cuando el satélite esta entre estas dos estaciones, su ángulo de elevación es

observado de manera simultánea como 60° en Phoenix y 75° en los Ángeles.

¿Qué tan lejos está el satélite de Los Ángeles?

16. La trayectoria de un satélite que orbita la Tierra ocasiona que pase directamente

sobre dos estaciones de rastreo A y B separadas 50 kilómetros. Cuando el satélite

esta sobre una de las dos estaciones, los ángulos de elevación en A y B son 87° y

84,2° respectivamente. ¿Qué tan lejos está el satélite de la estación A?

17. Para hallar la distancia a través de un rio, una topógrafa elige los puntos A y B,

que están separados 200 pies sobre un lado del rio. La topógrafa elige entonces

un punto de referencia C sobre el lado opuesto del rio y encuentra que el ángulo

BAC es 82° y el ángulo ABC es 52°. Hallar la distancia de A a C.

340 k m

60° 75°

50 km

87° 84,2° A B


18. El campanario de la catedral en Pisa, Italia, se inclina 5,6° desde la vertical. Un

turista se para a 105 m de su base, con la inclinación del campanario

directamente hacia él. El turista mide el ángulo de elevación hasta la parte

superior del campanario como 29,2°. Encuentre la longitud del campanario, si se

sabe que el turista mide 1,87 m.

19. En el triángulo ABC, que representa la posición de sus casas de José y Lupe

como se muestra en el gráfico.

A

B

C

200 52°

82°

105 m

29.2°


Con la ayuda de sus conocimientos de leyes de senos.

¿Calcule la distancia entre las casas de José y Lupe?

20. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras rectas y planas. La distancia

entre A y B es de 6 km y la que hay entre B y C, de 9 km. Si el ángulo formado

por ambas carreteras es de 60º, ¿cuál es la distancia entre A y C?

Bibliografía:

# CÓDIG

O-L AUTOR TITULO PÁGINAS

1

515

STEW/

P

2007

James Stewart

Lothar Redlin

Saleem Watson

“Precálculo. Matemáticas para el

Cálculo”

5ta. Edición – 2007

501 – 524

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DEMA

Franklin Demana

Bert Waits

Gregory Foley

Daniel Kennedy

“Precálculo. Grafico, numérico,

algebraico”

7ma. Edición – 2007

478 – 500


http://www.matematicaytrenes.cl/ecuacionTrig.PDF

http://genarozorrilla.com/zorrilla/attachments/113_Ejercicios%20

%20%20Resueltos%20de%20Ecuaciones%20Trigonom%C3%A

9tricas.pdf

http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad3/u3trigreto.pdf

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