Módulo Educativo 2015

Docente Coordinadora:

Bioq. y Farm. Marta Marzi

Facultad de Ciencias Bioquímicas y Farmacéuticas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO

Suipacha 531- 4804592/93/97

www.fbioyf.unr.edu.ar

MATEMÁTICA

Sumario *Unidad 1: Lógica Simbólica. Proposiciones. Conectivos lógicos. Cuantificadores. Valor de Verdad. Ejercicios. *Unidad 2: Los conjuntos numéricos. Operaciones. Correspondencia uno a uno. Operaciones y propiedades. Logaritmos. Propiedades de los logaritmos. Ejercicios *Unidad 3: Ecuaciones. Ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas, con una incógnita. Inecuaciones lineal. Valor absoluto. Distancia entre puntos de la recta. Ejercicios. Problemas de aplicación. *Unidad 4: Sistemas de ecuaciones lineales. Conjunto solución. Ecuaciones equivalentes. Resolución de sistemas de ecuaciones. Ejercicios. Problemas. *Unidad 5: Polinomios. Grado de un polinomio. Igualdad, suma, multiplicación, y división de polinomios. Regla de Ruffini. Valor numérico de un polinomio. Ceros o raíces de un polinomio. Teorema del resto. Factorización de polinomios. Ejercicios. Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificación. Operaciones. *Unidad 6: Sistema Cartesiano Ortogonal. Ángulos orientados. Sistemas de medición de ángulos. Relaciones y funciones trigonométrica. Resolución de triángulos rectángulos. Uso de la calculadora. Identidades trigonométricas. Ejercicios y problemas. *Unidad 7: Funciones: Definición. Clasificación. Inyectividad, suryectividad, biyectividad. Función inversa.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES...................................................... N

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES INCLUIDO EL CERO............ N0

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS............................................................ Z CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES..................................................... Q CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES................................................................. ℜ

CONJUNTO VACÍO…………………………………………………………………… { }, Ø

UNION…………………………………………………………………………………… U

INTERSECCIÓN……………………………………………………………………….. I

INCLUIDO………………………………………………………………………………. ⊂

INCLUYE..……………………………………………………………………………….. ⊃

PERTENECE…………………………………………………………………………….. ∈

NO PERTENECE…………………………………………………………………………∉

IGUAL…………………………………………………………………………………... =

DISTINTO....………………………………………………………………………………≠

MENOR……..…………………………………………………………………………… <

MENOR O IGUAL……………………………………………………………………… ≤

MAYOR……………………………………………………………………………… … > MAYOR O IGUAL……………………………………………………………………… ≥

PARA TODO……………………………………………………………………………. ∀

EXISTE………………………………………………………………………………...... ∃

IMPLICA, ENTONCE…………………………………………………………………. ⇒

SI Y SOLO SI…………………………………………………………………………… ⇔

CONJUNCIÓN (y)……………………………………………………………………… ∧

DISYUNCIÓN (o)………………………………………………………………………. ∨

POR LO TANTO…………………………………………………………………….… ∴

1

Unidad 1:

Lógica proposicional

Lucía Caraballo; Marta Marzi

Introducción La lógica proposicional o lógica simbólica es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utiliza un lenguaje artificial especialmente diseñado para representar y manipular declaraciones realizadas en lenguaje coloquial, evitado así la ambigüedad de éste. La lógica proposicional permite el razonamiento a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias compuestas, formadas mediante el uso de conectivos lógicos.

Proposiciones lógicas Las proposiciones son el lenguaje formal de la lógica simbólica por el cual están regidas todas las leyes de la matemática que utiliza la simbología como su principal fuente de estudio.

Una proposición es una oración declarativa a la que tiene sentido asignarle un valor de verdad. Será verdadera (V) o será falsa (F) pero no podrá tener ambos valores de verdad a la vez.

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas, tales como p, q, r, etc.

Por ejemplo: Son proposiciones las siguientes expresiones (pueden ser V o F):

p: Está lloviendo

q: 347 ≠−

r: J.R.R. Tolkien escribió El Señor de los Anillos

Sin embargo, no son proposiciones las siguientes expresiones:

¿Qué es la química? (no es proposición por ser una oración interrogativa)

¡Qué bonita tarde! (no es proposición por ser una oración exclamativa).

Vaya ahora mismo (no es proposición por ser una oración imperativa)

4-x = 5 (es una oración declarativa pero no puede decirse si es verdadera o falsa porque hay una letra cuyo significado no puede interpretarse)

Puede decirse entonces que, para que una expresión lingüística sea proposición debe:

1. ser oración

2. ser oración declarativa (aseverativa)

3. ser verdadera o ser falsa

2

Conectivos lógicos Los conectivos lógicos se utilizan para construir nuevas proposiciones a partir de proposiciones ya conocidas. El valor de verdad de la nueva proposición dependerá del valor de verdad de las proposiciones que la forman y de los conectivos involucrados.

Se pueden obtener nuevas proposiciones mediante los siguientes conectivos lógicos:

Nombre del conectivo

Representación Ejemplos de expresiones en las que aparece

Valor de verdad

Negación p

(no p)

p: Está lloviendo

p: No está lloviendo.

Si p es verdadera entonces p es falsa y, si p es falsa

entonces p es verdadera.

Disyunción ( p ó q)

p: Juan aprueba matemática

q: Juan aprueba lengua

: Juan aprueba matemática o lengua

es falsa si y sólo si tanto p como q son falsas; de otro modo, la disyunción es verdadera.

Conjunción (p y q)

p: María hoy entra a las 8 hs a la escuela

q: María hoy tiene matemática

: María hoy entra a las 8 hs a la escuela y tiene matemática.

es verdadera si y sólo si tanto p como q son verdaderas; de otro modo la conjunción es falsa.

Condicional

(Implicación)

qp ⇒

(Si p entonces q)

p: llueve

q: voy al cine

qp ⇒ : si llueve entonces voy al cine

qp ⇒ es falsa si y sólo si p es verdadera y q es falsa; en cualquier otro caso, la condicional es verdadera

Bicondicional

(Equivalencia)

(p si y sólo si q)

p: 4 es múltiplo de 2.

q: 2 es divisor de 4.

: 4 es múltiplo de 2 si y sólo si 2 es divisor de 4.

es verdadero si y sólo si ( qp ⇒ ) es verdadero y ( pq ⇒ ) es verdadero; o sea cuando p y q son ambas verdaderas o son ambas falsas.

3

Cuando combinamos dos o más proposiciones simples mediante los conectivos lógicos, decimos que la nueva proposición obtenida es compuesta.

Observaciones:

• En la disyunción usamos la palabra “o” en el sentido inclusivo. En consecuencia, p q es verdadera si una o la otra o ambas proposiciones p, q son verdaderas. La “o” excluyente significa que una u otra es verdadera pero no ambas. Por ejemplo si tenemos la proposición: “Juan tiene 21 años o tiene 23 años”, es obvio que no pueden ser ambas expresiones verdaderas a la vez. En este caso, el “o” sería excluyente. Sin embargo, de aquí en más sólo usaremos el “o” en su sentido inclusivo.

• Existen otras formas de enunciar la condicional qp ⇒ :

p implica q

p es condición suficiente para q

q es condición necesaria para p

Si p, q

• Cada condicional “directa” qp ⇒ tiene asociada tres condicionales que llamamos recíproca, contraria y contrarrecíproca:

Recíproca:

Contraria:

Contrarrecíproca:

Por ejemplo:

qp ⇒ : Si es un cuadrado entonces es un cuadrilátero (directa).

pq ⇒ : Si es un cuadrilátero entonces es un cuadrado (recíproca).

: Si no es un cuadrado entonces no es un cuadrilátero (contraria).

: Si no es un cuadrilátero entonces no es un cuadrado (contrarrecíproca).

¿Cuál es el valor de verdad de cada una de estas proposiciones? Observa aquellas que tienen el mismo valor de verdad, ¿pasará esto siempre?

Se puede demostrar que la directa y la contrarrecíproca son equivalentes, es decir, tienen siempre el mismo valor de verdad.

• Existen otras formas de enunciar la bicondicional :

p es condición necesaria y suficiente para q.

q es condición necesaria y suficiente para p.

si p entonces q, y recíprocamente.

4

Ejercicios 1. Decide cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones. En caso de serlo, indica si

son simples o compuestas. De ser compuestas, identifica sus componentes y escríbela en forma simbólica.

a. En 1990, George Bush era el presidente de los Estados Unidos.

b. x + 3 = 5

c. Si todas las mañanas fueran tan soleadas y despejadas como ésta

d. Quince es un número par.

e. Si 7 es un número impar entonces el doble de 7 es un número par

f. ¿Qué hora es?

g. 2 + 4 = 6 y 6 es múltiplo de 3.

h. 27 es un número par ó 27 es múltiplo de 3.

i. Los ingresantes a la facultad están felices de estudiar lógica.

2. Dadas las proposiciones:

p: 12 es divisible por 3

q: 12 es un número primo

a. Indica el valor de verdad de p y q.

b. Traduce las siguientes proposiciones compuestas al lenguaje coloquial y determina su valor de verdad:

b1.

b2.

b3.

b4.

b5.

3. Vuelve a escribir cada una de las siguientes proposiciones como una implicación de la forma si-entonces. Determina el valor de verdad de cada una.

a. Que un número termine en 0 es condición necesaria para que sea divisible por 5.

b. x = 3 es condición suficiente para que 92 =x

c. Si un número es menor que dos, es negativo.

d. Si 42 =x , x = 2

e. Que un polígono sea un rectángulo es necesario para que sea un paralelogramo.

f. Que un número sea divisible por 9 es condición suficiente para que sea divisible por 3.

5

4. Escribe la recíproca, la contraria y la contrarrecíproca de las siguientes proposiciones condicionales. En cada caso indica el valor de verdad:

a. Si un número es menor que cero entonces es menor que 4.

b. Si x = 1 entonces 3x-1 = 2

c. Si un número es múltiplo de 4 entonces es par.

Indica cuál de las anteriores puede transformarse en una bicondicional verdadera. Justifica.

5. Asígnale un valor de verdad a las siguientes proposiciones bicondicionales (para hacerlo, determina primero el valor de verdad de qp ⇒ y de pq ⇒ ).

a. Un número es par si y sólo si es divisible por 2

b. x = 0 si y sólo si 02 =x

c. Si x = 5 entonces 252 =x y recíprocamente.

d. Que dos números enteros sean positivos es condición necesaria y suficiente para que su producto sea positivo.

e. x = 2 si y sólo si 2x+4 = 8

f. Si un número es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 3 y recíprocamente.

g. Que un triángulo sea equilátero es condición necesaria y suficiente para que sea equiángulo.

Cuantificadores Anteriormente, se dijo que la expresión “4 - x = 5” no es una proposición ya que no puede decirse si es verdadera o falsa porque se desconoce el significado de la letra “x”. A expresiones de este tipo las denominamos “abiertas” ya que con sólo definir “x” puede transformarse en una proposición.

Por ejemplo:

p: para todo 54, =−ℜ∈ xx

Ahora sí podemos asignarle un valor de verdad, hemos obtenido una proposición falta puesto que para x = 7, por ejemplo, la igualdad no se cumple.

Observemos que también podríamos obtener la proposición:

q: existe ℜ∈x tal que 54 =− x

En este caso q es verdadera ya que si x = -1 se cumple la igualdad.

Estas palabras “para todo” y “existe” que se anteponen a expresiones “abiertas” para convertirlas en proposiciones se denominan cuantificadores.

● Cuantificador universal: Se representa:∀

Se lee: “para todo”, “para cada” o “para cualquier”.

6

Si a la expresión abierta la simbolizamos ( )xp , siendo x la variable a definir y U el conjunto de elementos posibles para x, la proposición se escribirá: ( )xpUx ,∈∀

● Cuantificador existencial: Se representa: ∃

Se lee “existe”, “para algún” o “para al menos un”.

Y la proposición se simbolizará: ( )xpUx /∈∃

Observación:

Al conjunto U se lo llama conjunto universal. Si el valor de verdad depende del conjunto universal que se considere, es imprescindible escribirlo claramente justo después de la variable cuantificada.

Por ejemplo la proposición 15/ =+ℜ∈∃ xx , es verdadera pues x = - 4 es un número real que verifica la igualdad. En cambio la proposición 15/ =+∈∃ xNx , es falsa porque ningún número natural satisface la igualdad ( N∉− 4 ).

Valor de verdad de las proposiciones cuantificadas

Proposición ¿Cuándo es verdadera? ¿Cuándo es falsa?

( )xpUx ,∈∀ Si para cada ( )xpUx ,∈ es verdadera.

Si existe al menos un Ux∈ para el cual ( )xp es falsa.

Basta un contraejemplo para demostrarlo.

( )xpUx /∈∃ Si para al menos un ( )xpUx ,∈ es verdadera. Basta un ejemplo para demostrarlo.

Si para cada ( )xpUx ,∈ es falsa.

Ejemplos:

1. Dada la proposición p: 2, nNn∈∀ es par

¿Es verdadera o falsa?

Probando con varios valores, parecería que es verdadera:

7

n

2 es par 4 es par

4 es par 16 es par

6 es par 36 es par

8 es par 64 es par

10 es par 100 es par

Pero no basta con esos pocos valores para demostrar que es verdadera, debemos probarlo para cada número par.

A un número natural par lo representamos: kn .2= , con Nk ∈ .

Luego: ( ) ( )2222 2.2.4.2 kkkn === y puesto que 2.2 k es también un número natural al que podemos simbolizar K, hemos demostrado que Kn .22 = , con NK ∈ , o sea que 2n es par.

2. Sea p: xZx .7,∈∀ es impar

¿Cuál es su valor de verdad?

Probando por ejemplo con x = 2 resulta que 7.x = 7.2 = 14 que es par. Entonces p resulta falsa.

Hemos demostrado que existe al menos un número entero (x = 2) para el cual la proposición es falsa. El ejemplo que muestra la falsedad de una proposición recibe el nombre de contraejemplo.

3. La proposición p: 0/ >−ℜ∈∃ xx

¿Es verdadera o falsa?

Vemos que si 8−=x , su opuesto: ( ) 088 >=−−=− x . Hemos encontrado al menos un número real para el cual la proposición es verdadera. Con este ejemplo ( 8−=x ) basta para mostrar que una proposición con cuantificador existencial es verdadera.

4. Sea p: 122/ +=∈∃ xxZx

¿Cuál es su valor de verdad?

Dado que 122 += xx es equivalente a 1.0 =x y puesto que cualquier número entero, multiplicado por 0 da por resultado 0 y no 1, puede afirmarse que la proposición es falsa.

8

Ejercicios: 1. Asigna un valor de verdad a las siguientes proposiciones y justifica tu elección.

a. xxx =−ℜ∈∀ ,

b. 625/ +=∈∃ xxZx

c. Todo número par multiplicado por un número impar, da como resultado un número par.

d. 0/ <∈∃ xNx

e. Todos los cuadrados son rectángulos.

f. Todos los rectángulos son cuadrados.

2. Dadas las siguientes expresiones abiertas:

p(x): x>0

q(x): x es par

r(x): x es divisible por 5

a. Escribe las siguientes proposiciones en forma simbólica:

i. Al menos un entero es par.

ii. Existe al menos un entero positivo que es par.

iii. Si x es un entero par, entonces no es divisible por 5.

iv. Ningún entero par es divisible por 5.

v. Existe al menos un entero par divisible por 5.

b. Determina si las proposiciones son verdaderas o falsas, justificando en cada caso.

9

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Expresiones Algebraicas Racionales

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Llamaremos expresiones algebraicas racionales a las de la forma )x(B)x(A donde A(x) y B(x) son

polinomios de variable x, y B(x) ≠ 0.

Por ejemplo, 2x

7−

es una expresión algebraica racional porque el numerador A(x) = 7 es un

polinomio y el denominador B(x) = x − 2 también es un polinomio.

También es una expresión algebraica racional x7x

3x2x2

3

+

+− .

¿Es 3xx3x 35

−+ una expresión algebraica racional?..............................................................................

La expresión x 2 − 9 es también racional porque x 2 − 9 es un polinomio y 1, su denominador, también lo es.

Simplificación de expresiones racionales

Recordamos que, dado el racional 32 podemos hallar otros equivalentes con él: ...

2114

64

32

===

donde 0nconnbna

ba

≠⋅⋅

= .

Análogamente para la expresión racional )x(B)x(A pueden hallarse expresiones racionales

equivalentes: )x(N)x(B)x(N)x(A

)x(B)x(A

⋅⋅

= siendo N(x) cualquier polinomio no nulo.

En Z muchas veces se nos presenta el problema de encontrar la fracción equivalente más simple

que una dada. Por ejemplo, 127

1132117

13277

2 =⋅⋅

⋅=

También es posible simplificar expresiones algebraicas racionales cuando existen factores comunes al numerador y al denominador, de lo contrario la expresión racional es irreducible.

Consideremos 3xx3x

1x23

2

−−+

− . Factorizamos su numerador y su denominador:

)1x()1x(1x2 −+=−

)1x()1x()3x()1x()3x()3x()3x(x3xx3x 2223 −++=−+=+−+=−−+

Entonces 3x

1)1x()1x()3x(

)1x()1x(3xx3x

1x23

2

+=

−++−+

=−−+

− si x ≠ 1 y x ≠ −1

Las dos expresiones racionales, 3xx3x

1x23

2

−−+

− y 3x

1+

son equivalentes para x ≠ 1 y x ≠ −1.

54

Expresiones Algebraicas Racionales

La expresión final es equivalente a la dada para todo valor de x que no anule el factor cancelado

porque ello equivaldría a dividir por cero. Veamos otros ejemplos:

I) 2xsi2x

)2x(x3)2x()2x(

)2x()2x(x3)2x(

)4x(x34x4x

x12x32

2

2

3≠

−+

=−−−+

=−

−=

+−

−

II) Rx5x

1)5x()5x(

5x25x5x

222

2

4

2∈∀

−=

−+

+=

−

+ ¿Por qué esta expresión es válida para

cualquier número real?........................................................................................................................... Actividad Nº1

Simplificar, indicando para qué valores de x la expresión resultante es equivalente a la dada.

a) 9x6x

6x22 +−

− b) 1xx2

+x + c)

x49x14xx49x

23

3

+−

− d) 2x3x6x

2

2x++

−−

Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales

Para operar con expresiones racionales, aplicamos las mismas propiedades y técnicas que para operar con fracciones numéricas.

Adición y Sustracción

Recordamos que para sumar 211

143+ necesitamos hallar fracciones equivalentes a los sumandos,

de igual denominador: 4211

7322133

731

723

211

143

=⋅⋅⋅+⋅

=⋅

+⋅

=+ .

Para sumar (o restar) expresiones racionales de distinto denominador, debemos sumar (o restar) expresiones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. Para hallarlo, factorizamos los denominadores y luego multiplicamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente con el que figura (mínimo común múltiplo).

Veamos el siguiente ejemplo: =−+

++− 4x3x

x3x6x3

222

Factorizamos los denominadores: = =+−

+−

=+−

++− )4x()1x(

x)1x(3

2)4x()1x(

x)1x2x(3

222

Buscamos expresiones equivalentes con igual denominador: =+−

−⋅+

+−

+

)4x()1x(3)1x(3x

)4x()1x(3)4x(2

22

Operamos en el numerador y sumamos: =)4x()1x(3

8xx3)4x()1x(3x3x38x2

2

2

2

2

+−

+−=

+−

−++

El numerador no tiene raíces reales, por lo tanto la expresión obtenida es irreducible.

55

Expresiones Algebraicas Racionales

Vamos a calcular =−

+−

−+

−

4x4x2

10x3x10x

22

Factorizamos los denominadores: =−+

+−

+−−

= )2x()2x(

4x2)5x()2x(

10x

Elegimos un denominador común y hallamos las expresiones equivalentes:

2 =++−

++−

++−+−

=)2x()5x()2x(

)5x()4x2()2x()5x()2x(

)2x()10x(

Aplicamos propiedades y restamos: =++−+++

−++−

−−+=

)2x()5x()2x(20x4x10x2

)2x()5x()2x(20x10x2x 22

)5x()2x()20x(

)2x()5x()2x()2x()20x(

)2x()5x()2x(40x22x

)2x()5x()2x(20x14x220x8x 222

+−+−

=++−

++−=

++−−−−

=++−

−−−−−=

La suma de expresiones algebraicas racionales es asociativa, conmutativa, cumple la ley de cierre y posee elemento neutro: 0. Recordemos que restar es sumar el opuesto.

Actividad Nº2

Calcular: a) =−

−++

++

− x31

9x6x1x

9x2

22 b) =+

−−−

++

−

+2x2

2120x6x2

2x25x 225x

c) =+

+−

−− 222 )1x(

11x

2)1x(

1

Multiplicación

Para multiplicar dos expresiones racionales ,)x(D)x(Cy

)x(B)x(A procedemos así:

)x(D)x(B)x(C)x(A

)x(D)x(C

)x(B)x(A

⋅⋅

=⋅

Por ejemplo: I) 3x2x

x3x6)1x()3x(

x3)1x2(1x

x33x1x2

2

2

−−

+=

+−+

=+

⋅−+

II) Calculamos ahora =−−

++−=

−

+⋅

−

+−

)x4x()9x()15x5()x4x(

x4x15x5

9xx4x

232

2

232

2

Factorizamos cada uno de los polinomios: =−−+

+−−=

)4x(x)3x()3x()3x(5)4x(x

2

Simplificamos y obtenemos el resultado: 3xy4xsi)3x(x

5−≠≠

−−

= .

La multiplicación de expresiones algebraicas racionales cumple con la ley de cierre, es asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro (1) y es distributiva respecto de la suma y la resta.

¿Existe inverso multiplicativo para toda expresión )x(B)x(A ?................................................................

56

Expresiones Algebraicas Racionales

Actividad Nº 3:

Resolver: a) 8x12x6x

12x6x2

4x423

2x−+−

−⋅

+− b) 1x2x

11xx

1x)1x 223(

++⋅

+−

+⋅+

División

Se llama inverso multiplicativo de una expresión algebraica racional )x(B)x(A a la expresión

)x(A)x(B ,

si A es no nulo.

Para dividir dos expresiones algebraicas racionales )x(B)x(A y

)x(D)x(C operamos igual que en el

conjunto Q: )x(C)x(B)x(D)x(A

)x(C)x(D

)x(B)x(A

)x(D)x(C:

)x(B)x(A

⋅⋅

=⋅= con C(x) ≠ 0

Por ejemplo: 2

2

x2x62xx

x2)x3()2x()1x(

2xx2:

x31x

−

−+=

−+−

=+−

−

Actividad Nº 4

1) Con las expresiones 6xx

3x)x(Ty9x4x2)x(P 22 −−

+=

−

+= calcular:

a) P(x) . T(x) b) P(x) : T(x) c) T(x) : P(x).

2) Resolver: a) 3x16x:

9x4x 4

2

2

+−

−

− b) 1x6x3:

1x10x5

2 ++

−

+ c) 1x

4x3x:1x1x

1x4x

4

2

22 −

+−−

+

+−⋅

−

+

Actividad Nº 5 Efectuar los siguientes ejercicios combinados:

a) 10x49x

6xx2x

4x

2

22 −−

⋅

−−

++

+

2x −

b) 4x

4:2x

12x 2 −

−−

+1

c) 4x

4:2x

12x 2 −−+

1−

d)

−1

x1:)x3 − x(

57

Expresiones Algebraicas Racionales

EJERCICIOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Realizar las siguientes operaciones, simplificando los resultados cuando sea posible:

a) 1x

1x

1x

x4

4

2

2

−

++

+

−

b) 2

2

23 )1x(x

1x2x

xx

1x31

+

+++

+

++

c) 1x

2x:

xx

6xx43

2

−

−−

+

−−

d) 5

7x:7x

x7x3x

9x6x2

2−

++

−+

−

+

e) 9x

1

)3x(

23x

122 −

−−

+−

f) 3

22

22

2

x91x2x:

x3)1x2(

1x41x2

x31x2 ++

−

−

+−

+

g)

−−

−+

1xx

x:1x

xx

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

Temp. (ºC) h

Volumen (cm3)

10 200 12 240 14 280 16 320

Unidad 7 Funciones Una aproximación a conceptos fundamentales mediante sus gráficas Mancilla Canales, Manuel – Molina, Gabriel “Los matemáticos no estudian objetos, sino las relaciones entre objetos -Henri Poincaré- .”

¿Que es una función? A una cantidad cambiante la podemos representar mediante una variable. Si dos variables están relacionadas y una depende de la otra muchas veces es posible vincularlas mediante una función matemática. Podemos decir entonces que una variable es dependiente de otra a la que llamaremos independiente. Al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente se lo denomina Dominio (el conjunto de partida) y al conjunto que contiene los valores de la variable dependiente Codomino (el conjunto de llegada). La comprensión del uso del verbo contener es clave en el entendimiento de una propiedad importante de las funciones que veras más adelante. Tenemos entonces que una función está compuesta por tres elementos en un orden dado. De ahí que se define como una terna ordenada y se simboliza: (A; f; B), estos 3 componentes son el dominio (A), el codominio (B) y la ley f que a cada elemento de A le asigna un único elemento del conjunto B. Dominio: Es el conjunto de partida, constituido por los elementos a los cuales es aplicable la ley Codominio: Es el conjunto de llegada, entre todos sus elementos están los asignados por la ley Ley: es la regla que nos permite asignar a un elemento del dominio, un único elemento del codominio.

Formas de representar una función

. Diagramas de Venn: cada flecha une un elemento del conjunto de partida con un único elemento del conjunto de llegada.

A B . Tabla de Valores: Útil y manejable cuando son pocos los valores de las variables.

A B

x yf

A B

x yf

Son ampliamente utilizadas en las ciencias experimentales como Física, Química y Biología, donde el fenómeno de interés se reproduce en el laboratorio. Los resultados de las mediciones de las variables se vuelcan en tablas para su posterior interpretación.

72

. Gráfica cartesiana: La gráfica nos permite visualizar, observar el comportamiento global de la función, la tendencia que tiene, etc. . Fórmula: es una expresión matemática que relaciona las dos variables. Si x indica la variable independiente e y la dependiente, entonces la relación entre las dos variables se expresa a través de una formula del tipo y = f(x). La fórmula nos dice qué operaciones debemos hacer con cada valor de x para obtener su correspondiente valor y.

y = x2 y = |x| y = cos(2.x)

Cómo reconocer una relación funcional

Como habrás notado, en la definición de función se encuentra resaltada la frase “único elemento” ; esto se hizo así porque es fundamental para que una relación sea función. Hay formas prácticas de recnocer una relación funcional:

Diagramas de Venn La correspondencia indicada por las flechas será función si de cada elemento del primer conjunto parte una y sólo una flecha.

Ejercicio 1: a) Determina si las siguientes relaciones entre conjuntos corresponden o no a representaciones de funciones. b) Modifica de dos formas diferentes los esquemas de los conjuntos que representan funciones para que no lo sean. c) ¿Qué modificarías en los esquemas que no representan funciones para que se transformen en una relación funcional? d) Si intercambiáramos el conjunto de partida por el de llegada, analiza si la nueva relación representa una función. Relación 1 Relación 2

a

b

c

1

2

3

4

A B

En el eje de las abcisas (eje x) se representa la variable independiente y en el de las ordenadas (eje y) la dependiente.

A B

73

Relación 3 Relación 4

Gráfica cartesiana Si se trabaja con una gráfica cartesiana, existe una prueba para determinar si la relación entre los dos conjuntos es función. “Prueba de la recta vertical”: ninguna recta vertical debe cortar a la gráfica en dos o más puntos. Si esto ocurriera habría dos o más imágenes para una misma preimagen y la grafica no representaría a una función.

Ejercicio 2: a) Determina si las siguientes gráficas cartesianaas representan funciones. b) Modifica aquellas gráficas que representan funciones para que no lo hagan. c) ¿Que parte de las gráficas borrarías en aquellas que no representan funciones para que si lo hagan? Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3 Gráfica 4

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Lager

Ale

Bock Indian Pale Ale Kölsch

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

74

Gráfica 5 Gráfica 6 Ejercicio 3: A continuación se comentan situaciones particulares en las cuales aparece una relación funcional. Para cada una de ellas completa el cuadro final. Situación 1: En la Argentina hay varias enfermedades endémicas. Algunas de estas enfermedades son: el paludismo o malaria causado por el parásito Plasmodium; el Chagas-Mazza, causado por el parásito Tripanosoma Cruzi; la leptospirosis, ocasionada por la bacteria Leptospira spp; la fiebre hemorrágica argentina producida por el virus Junín; entre otros. Mediante la salud, la ciencia y la tecnología lograremos erradicarlas. Situación 2: La historia de los antibióticos comienza con el concepto de “bala mágica” de Ehrlich en 1901 y el descubrimiento del “salvarsán” para el tratamiento de la sífilis. En 1928 Alexander Fleming descubre la “penicilina” y permitió tratar infecciones por Streptococcus. Otra contribución importante fue el descubrimiento de la “estreptomicina” para el tratamiento de la tuberculosis por el Prof. Waksman entre otras drogas. Hoy día, el descubrimiento de nuevos fármacos es todo una ciencia y también se da en nuestra facultad. Situación 3: En el pulmón de un individuo se introduce una micobacteria, la misma se duplica cada 24 hs. Tras una división celular, tendremos 2, tras dos divisiones tendremos 4, luego 8, etc. Resultando el número de células: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... Situación 4: Para cierto antibiótico administrado a un individuo, se observa que el mismo se elimina a razón de 0,5 μg/ml cada hora. Si la concentración inicial en sangre del antibiótico es de 5 μg/ml, al cabo de una hora, el nivel del mismo será de 4,5 μg/ml; a la segunda hora de 4 μg/mL; a la tercer hora de 3.5 μg/mL; y así sucesivamente hasta que el mismo es eliminado por completo.

Variables Dominio Codominio Representación

75

Algunas propiedades de las funciones

Inyectividad Una función es inyectiva si y sólo si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. Simbólicamente: ∀x1, x2 ∈ Domf, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

Diagramas de Venn En el caso de la representación mediante diagramas de Venn se tienen las siguientes posibilidades de funciones inyectivas:

Diagrama 1 Diagrama 2

La función no es inyectiva en los siguientes casos:

Diagrama 3 Diagrama 4 Actividad: Observa los diagramas del ejercicio 1 y caracteriza a los que representan funciones en inyectivas o no inyectivas. Ejercicio 4: a) Determina si las siguientes relaciones entre conjuntos corresponden o no a representaciones de funciones inyectivas. b) Modifica las relaciones de los conjuntos que representan funciones no inyectivas para que lo sean (mediante el agregado o eliminación de elementos y/o flechas). c) Modifica las relaciones de los conjuntos que representan funciones inyectivas para que no lo sean (mediante el agregado o eliminación de elementos y/o flechas).

Domf Imf = Cf

x1y1

f

x4

x2

x3y3

y2

y4

Domf Imf = Cf

x1y1

f

x4

x2

x3y3

y2

y4

Domf Imf = Cf

x1 y1

f

x4

x2

x3 y2

x5y3

Domf Imf = Cf

x1 y1

f

x4

x2

x3 y2

x5y3

y5

y6

Domf

x1y1

f

x4

x2

x3y3

y2

y4

Imf ⊂ Cf

y5

y6

Domf

x1y1

f

x4

x2

x3y3

y2

y4

Imf ⊂ Cf

y5

y6

Domf

x1y1

f

x4

x2

x3

y3

y2

y4

Imf ⊂ Cf

y5

y6

Domf

x1y1

f

x4

x2

x3

y3

y2

y4

Imf ⊂ Cf

76

Relación 1 Relación 2 Relación 3 Relación 4

Gráfica cartesiana En el caso de encontrarnos con la gráfica cartesiana de una función existe una prueba para determinar si es inyectiva. “Prueba de la recta horizontal”: indica que ninguna recta horizontal debe cortar a la gráfica en dos o más puntos. Si esto ocurriera habría dos o más preimagenes para una misma imagen y la función no sera inyectiva.

Ejemplos de gráficas de funciones inyectivas: Ejemplos de gráficas de funciones no inyectivas:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

-6 -4 -2 2 4 6

-2

2

4

6

8

x

y

-6 -4 -2 2 4 6 8

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Leloir

Milstein

Houssay

1970

1984

1947

Trypanosoma cruzi

Bacillus anthracis

Vibrio cholerae

chagas

ántrax

colera

tuberculosis

Marie Curie

Alexander Fleming

Nelson Mandela

Nobel química

Nobel física

Nobel medicina

Nobel de la paz

Newton

Leibniz

Euclides

Cálculos diferencial e integral

Geometría euclidiana

Álgebra

77

Ejercicio 5 a) Determina cual o cuales de las siguientes gráficas corresponden a funciones inyectivas. b) En aquellas gráficas que correspondan a funciones que no sean inyectivas, ¿podrías borrar una parte de la gráfica para que las funciones resulten inyectivas? c) En aquellas gráficas que corresponden a funciones inyectivas, ¿como modificarías las gráficas para que no lo sean? Suryectividad Incluido en el Codominio tenemos un conjunto formado únicamente por los valores de las imágenes, a este conjunto lo denominamos “Conjunto Imagen”. Es importante notar que solo hay dos posibilidades de relación entre el Conjunto Imagen y el Codominio: Conjunto Imagen ⊂ Codominio o Conjunto Imagen = Codomino. Indicándose estas dos posibilidades de la siguiente manera: Conjunto Imagen ⊆ Codomino Una función es suryectiva si y sólo si todos los elementos del Codominio tienen preimagen. Es decir el Codominio coincide con el conjunto de las imágenes. Simbólicamente: ∀y ∈Cf, ∃x ∈Domf / f(x) = y

Diagramas de Venn Los diagramas de Venn utilizados anteriormente para representar funciones inyectivas y no inyectivas nos sirven también como ejemplos de funciones suryectivas y no suryectivas.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

-6 -4 -2 2 4 6

-2

-1

1

2

3

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

10

x

y

-6 -4 -2 2 4 6

-2

-1

1

2

x

y

78

Ejemplos de funciones suryectivas:

Ejemplos de funciones no suryectivas:

Actividad: Completa la siguiente tabla con los diagramas 1-4? Ejercicio 6: a) Determina si los siguientes esquemas corresponden o no a representaciones de funciones suryectivas. b) Modifica los esquemas de los conjuntos que representan funciones no suryectivas para que lo sean (mediante el agregado o eliminación de elementos y/o flechas). c) Modifica los esquemas de los conjuntos que representan funciones suryectivas para que no lo sean (mediante el agregado o eliminación de elementos y/o flechas).

Relación 1 Relación 2

Domf Imf = Cf

x1y1

f

x4

x2

x3y3

y2

y4

Domf Imf = Cf

x1y1

f

x4

x2

x3y3

y2

y4

Domf Imf = Cf

x1 y1

f

x4

x2

x3 y2

x5y3

Domf Imf = Cf

x1 y1

f

x4

x2

x3 y2

x5y3

Diagrama 1 Diagrama 3

Diagrama 2 Diagrama 4

FUNCIÓN Suryectiva No Suryectiva Inyectiva

No Inyectiva

y5

y6

Domf

x1y1

f

x4

x2

x3y3

y2

y4

Imf ⊂ Cf

y5

y6

Domf

x1y1

f

x4

x2

x3y3

y2

y4

Imf ⊂ Cf

y5

y6

Domf

x1y1

f

x4

x2

x3

y3

y2

y4

Imf ⊂ Cf

y5

y6

Domf

x1y1

f

x4

x2

x3

y3

y2

y4

Imf ⊂ Cf

electrón

protón

Thompson

Rutherford

Chadwick

H2CO4

H3PO4

HClO

ácidos

79

Relación 3 Relación 4

Gráfica cartesiana En la representación cartesiana de una función no puede apreciarse el codominio, sólo podremos inferir el conjunto de las imágenes.

El codominio debe ser explicitado en la terna (podemos explicitar cualquier conjunto siempre y cuando sea mayor o igual al de las imágenes) y a partir de la comparación entre el Codominio y el conjunto Imagen podremos decir si la función es suryectiva o no. En el caso de que no se indique la terna, podremos asumir que el Codominio coincide con el conjunto Imf y la función será suryectiva (Este tema será desarrollado con mayor profundidad en la asignatura Matemática I). Biyectividad Una función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y suryectiva al mismo tiempo. Función Inversa La función inversa de una función dada es aquella que hace corresponder a cada una de las imágenes su preimagen. Es decir el dominio y el conjunto de las imágenes intercambian sus roles y las flechas van ahora en sentido contrario. Actividad: Para cada una de las funciones diagramadas, analiza si la relación inversa representa también una función. ¿Puedes arribar a alguna conclusión?

Diagrama 1 Diagrama 2 Diagrama 3 Diagrama 4

y5

y6

Domf

x1y1

f

x4

x2

x3y3

y2

y4

Imf ⊂ Cf

y5

y6

Domf

x1y1

f

x4

x2

x3y3

y2

y4

Imf ⊂ Cf

y5

y6

Domf

x1y1

f

x4

x2

x3

y3

y2

y4

Imf ⊂ Cf

y5

y6

Domf

x1y1

f

x4

x2

x3

y3

y2

y4

Imf ⊂ Cf

1º año

3º año

Matemática I

Química Analítica

Electiva I

Domf Imf = Cf

x1 y1

f

x4

x2

x3 y2

x5y3

Domf Imf = Cf

x1 y1

f

x4

x2

x3 y2

x5y3

Caenorhabditis elegans

Mus musculus

Drosophila melanogaster

Reino animal

Reino vegetal

Domf Imf = Cf

x1y1

f

x4

x2

x3y3

y2

y4

Domf Imf = Cf

x1y1

f

x4

x2

x3y3

y2

y4

80