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1 Dinámica de Sistemas de Partículas:formulaciones newtoniana y lagrangiana

1.1. Un barco con velocidad inicial v0 se ve frenado por unafuerza de rozamiento F =−beαv . Se pide

1. describir su movimiento,2. hallar el tiempo que transcurre hasta que se para y la

distancia recorrida.

1.2. Una partícula de masa m cae verticalmente desde unaaltura h, en un medio viscoso, de tal forma que la fuerza derozamiento es proporcional a la velocidad. Al mismo tiempose lanza hacia arriba una segunda partícula igual que laanterior con una velocidad v0 según el eje vertical. Calcularel tiempo que tardan en encontrarse las dos partículas.

1.3. Una partícula de masa m se abandona sin velocidadinicial. El medio opone a su movimiento una fuerza F =mk2v2 siendo k una constante y v la velocidad. Tras recorreruna altura h choca contra un plano no horizontal rebotandoelásticamente. Hallar

1. la velocidad de la partícula al llegar al plano, el tiempoque tarda en ello y

2. el tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura trasel choque.

1.4. Una gota de agua cae en una atmósfera saturada devapor de agua. Durante la caída el vapor se condensa enla gota, que aumenta así de tamaño y masa. Estudiar sumovimiento, aceptando la hipótesis de que el aumento demasa por unidad de tiempo es proporcional a la superficie.

1.5. Demostrar que si un cohete parte del reposo, con unavelocidad de salida de los gases de 2 km/s, y la pérdida demasa por segundo es constante e igual a 1/60 de la masa inicial,para que alcance la velocidad de escape la razón del peso del

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combustible al del cohete vacío debe ser del orden de 300.

1.6. Una partícula de masa m se mueve bajo la acción delpotencial V (x) = cx/(x2 + a2) donde a y c son constantespositivas. Encontrar las posiciones de equilibrio estable y elperiodo de las oscilaciones pequeñas alrededor de dichas po-siciones. Si la partícula sale de cada una de dichas posicionescon velocidad v, determinar los valores de v para que

1. oscile,2. escape a +∞, y3. escape a −∞.

1.7. Una partícula de masa unidad se está moviendo en unadimensión bajo la influencia del potencial V (x) = 1

2 tan2( x` )

siendo ` una constante positiva. Se pide

1. determinar las zonas donde es posible encontrar la par-tícula, así como la energía que puede tener. Describircualitativamente el movimiento de la partícula.

2. Calcular la frecuencia de las oscilaciones de la partícu-la.

3. Determinar cuantitativamente la trayectoria de la par-tícula.

4. Calcular la frecuencia de las pequeñas oscilaciones ycompararla con el resultado obtenido en el apartado 2.

1.8. Hallar el periodo de oscilación de una partícula de masam que se mueve en el potencial V (x) = A|x |n siendo A unaconstante positiva y n ∈N. Analizar los casos n= 2 y n→∞.

1.9. Un hilo inextensible de longitud `, vertical y con uno desus extremos fijo, posee en el otro una masa m puntual. Secomunica a ésta una velocidad horizontal v0. Determínenselos valores de v0 para los cuales el hilo siempre permanecetenso a lo largo de su movimiento.

1.10. Un punto material se mueve a lo largo de una trayecto-

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ria horizontal formada por dos rectas enlazadas suavementepor un arco de circunferencia de radio R. Su velocidad esv = k`, siendo k > 0 una constante y t el tiempo transcurri-do desde que se inició el movimiento. Hallar la aceleraciónmáxima, sabiendo que el punto entró en la curva en t = 2s yque las normales a las dos rectas forman un ángulo de 60°.

1.11. Una partícula de masa m se mueve sobre una cicloidede ecuaciones x = R(ϕ− senϕ), y = R(1− cosϕ) pudiendoabandonar la curva por la parte superior de la misma. Tenien-do en cuenta que el eje de ordenadas es la vertical ascendente,se lanza una partícula desde el punto más alto de la cicloidecon una velocidad inicial V paralela al eje de abscisas. Sepide

1. Escribir las ecuaciones del movimiento cuando la partí-cula está en la curva.

2. Integrar dichas ecuacines.3. Reacción de la curva sobre la partícula.4. Punto en el que la partícula se despega de la curva.5. Valor máximo de V para que la partícula no se despe-

gue inmediatamente de la curva.

1.12. Estudiar el movimiento de una partícula no relativistade masa m y carga q

1. en un campo eléctrico uniforme y constante,2. en un campo eléctrico uniforme y dependiendo sinuo-

sidalmente del tiempo,3. en un campo magnético uniforme y constante, y4. en un campo eléctrico y otro magnético, constantes,

uniformes y perpendiculares entre sí.

1.13. En un instante determinado, cuatro moscas ocupanrespectivamente los vértices de un cuadrado de lado 2a. Sicada una de ellas está persiguiendo a la siguiente y todastienen la misma velocidad, determinar la trayectoria quedescriben.

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1.14. Dos partículas de masas M y m están unidas por unhilo inextensible de masa despreciable y longitud L. La par-tícula de masa m puede deslizar sin rozamiento sobre unacurva de ecuación y = a cosh x/a con el eje de ordenadasen la dirección vertical ascendente. La otra partícula puedeoscilar en el plano vertical que contiene a la curva. Se piden

1. las ecuaciones diferenciales del movimiento, y2. la tensión del hilo y la reacción de la curva sobre la

partícula de masa m.

1.15. Una partícula de masa m se mueve sin rozamientosobre una élice circular de ecuaciones en coordenadas cilín-dricas dadas por ρ = a, z = kϕ, teniendo el eje z la direcciónvertical ascendente. Además de su peso, la partícula es atraí-da desde el origen con una fuerza proporcional a la distancia.Se pide

1. La reacción de la hélice sobre la partícula.2. Si la partícula en el instante inicial está en reposo en

z = 0, determinar su movimiento.

1.16. Una partícula de masa m se mueve sin rozamientosobre la parte interior de una semiesfera fija, hueca y deradio a. Se pide

1. Calcular las ecuaciones diferenciales del movimiento.2. Hallar la reacción de la semiesfera sobre la partícula.3. Encontrar la velocidad de giro de la partícula alrededor

del eje z para que su trayectoria sea una circunferenciasituada en el plano z = b < a.

4. Determinar dos constantes del movimiento y utilizarlaspara expresar mediante cuatraturas la trayectoria de lapartícula.

1.17. Una partícula de masa m se puede mover sin roza-miento, sometida a la acción de la gravedad, por la superficieinterior de un paraboloide de ecuación x2 + y2 = az, siendoel eje z la dirección vertical ascendente. Se pide

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1. Escribir las ecuaciones diferenciales del movimiento.2. Demostrar que la partícula describe una circinferencia

horizontal en un plano cualquiera con tal de que tengauna velocidad angular

√2g/a.

3. Supóngase que cuando la partícula pasa por la posiciónque corresponde a z = a, su velocidad es horizontal yvale

√8ga. Hallar la cota máxima de la trayectoria.

1.18. Un tubo horizontal CD de longitud `, gira alrededordel eje vertical que contiene al extremo C con velocidadangular constanteω. En su interior se encuentra un cuerpo demasa m. En el instante inicial su velocidad respecto al tubo esnula y se encuentra a una distancia x0 del eje. Despreciandoel rozamiento, calcular la velocidad que alcanza el cuerpo alsalir del tubo.

1.19. Un tren se desplaza del S al N con una velocidadconstante de 15 m/s, siendo su masa de 2000 t (toneladas).Se pide

1. Determinar la fuerza lateral que ejerce el tren sobre losraíles cuando la latitud es de 60° N.

2. Lo mismo en el caso de que se invierta el sentido deltren.

1.20. Un río en el norte de Argentina, con latitud 32° S,tiene de anchura 1 km y fluye de O a E con velocidad de2 m/s. Si el flujo es estacionario, calcular la diferencia dealturas de la superficie del agua en dos puntos situados uno acada lado del río, y decir en qué lado del mismo la superficiedel agua está más elevada.

1.21. El río Ebro fluye en Zaragoza del N O al S E aproxi-madamente. Suponiendo que su anchura es de 300 m y suvelocidad de 3 m/s, y que la superficie del agua es suave,¿qué diferencia de altura habrá entre las dos orillas y quéorilla estará más alta? La latitud de Zaragoza es de 41°40′ N.

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1.22. Se lanza una bala verticalmente hacia arriba con velo-cidad v0 y en un punto de la superficie terrestre de latitud ϕ.Suponiendo que la aceleración gravitatoria en el recorrido dela bala es constante, los efectos de la atmósfera son despre-ciables y trabajando hasta el primer orden de aproximaciónen la velocidad angular de giro de la Tierra alrededor de sueje, determínese el punto de impacto de la bala al caer sobrela superficie terrestre, y la velocidad y posición de la mismaen el punto más alto de la trayectoria.

1.23. Una varilla de masa m y longitud 2L tiene un extremoapoyado en una semicircunferencia de radio r y otro puntode apoyo en el borde de la misma. Suponiendo que no existerozamiento, determínese la posición de equilibrio utilizandoel principio de los trabajos virtuales. Lo mismo mediante laformulación newtoniana.

1.24. De la polea fija de la máquina de Atwood compuestade la figura adjunta, cuelgan una masa m1 y una polea móvilde masa m2. De ésta a su vez cuelgan dos masas m3 y m4.Suponiendo que las poleas no giran y los hilos inextensiblesque pasan por las poleas lo hacen sin rozamiento, se pidecalcular la aceleración de las masas,

1. utilizando el principio de D’Alembert, y2. utilizando la formulación lagrangiana.

1.25. Mediante el principio de D’Alembert, determínese laaceleración de una máquina de Atwood que tiene una cuerdaflexible e inextensible pesada de densidad lineal ρ. Se suponeque la polea no gira y que la cuerda desliza sobre la poleasin rozamiento.

1.26. Dos partículas de masas M y m están unidas por unhilo inextensible de masa despreciable y longitud L. La par-tícula de masa m puede deslizar sin rozamiento sobre unacuerva de ecuación y = a cosh x/a, con el eje de ordenadas

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en la dirección vertical ascendente. La otra partícula puedeoscilar en el plano vertical que contiene a la curva. Utilizandola formulación Lagrangiana, se pide

1. las ecuaciones del movimiento, y2. una constante del mismo, indicando las razones de su

conservación.

1.27. Hallar por el método de Lagrange las ecuaciones delmovimiento de un péndulo de longitud ` y masa m cuyopunto de suspensión oscila armónicamente en una recta hori-zontal con amplitud A y frecuencia angular ω.

1.28. Probar que se cumple la forma de Nielsen en las ecua-ciones de Lagrange:

∂T∂q j

−2∂T∂q j

=Q j( j = 1, . . . ,n).

1.29. Una partícula de masa m desliza sin rozamiento desdela parte superior de un plano inclinado de masa M y ánguloθ . A su vez, el plano puede deslizar sin rozmiento sobre elplano horizontal y está en reposo inicialmente.

1. Mediante la formulación newtoniana, encontrar la reac-ción del plano inclinado sobre la partícula.

2. Hallar la trayectoria de la partícula utilizando el princi-pio de D’Alembert.

3. Utilizando la formulación lagrangiana, determinar laaceleración de la partícula respecto al plano inclinado.

1.30. Un sistema etá constituido por una partícula de masam que puede moverse sin rozamiento por una elipse consemiejes de longitudes a y a/4. El eje menor lleva la direcciónvertical y la elipse gira alrededor de él con velocidad angularconstante ω = (g/a)1/2. Además de la gravedad, sobre lapartícula actúa una fuerza elástica producida por un muelleque la une al centro de la elipse y de constante recuperadorak = 8mg/15a. Se pide

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1. Las ecuaciones del movimiento de la partícula.2. Deducir razonadamente una constante del movimiento

del sistema.3. Determinar en qué puntos de la elipse lapartícula se

mantiene indefinidamente en ellos, si es colocada enlos mismos sin velocidad inicial respecto a la curva.

4. Calcular la reacción de la elipse sobre la partícula enlos puntos hallados en el apartado anterior y que noestén en el eje de giro de la elipse.

5. Supóngase que colocamos la partícula en el instanteinicial en la posición más alejada del eje de giro yla velocidad nula respecto a la elipse. Determínese laparte de ésta recorrida por la partícula.

1.31. Un plano Oxy gira alrededor de la vertical ascendenteOy con una velocidad angular ω constante. En dicho planoestá situada la rama de una cicloide cuyas ecuaciones para-métricas son: x = a(1−cosθ ), y = a(θ − senθ ), 0 É θ É 2π, ypor la cual puede deslizar sin rozamiento una partícula demasa m. Se pide

1. Plantear las ecuaciones diferenciales del movimiento.2. Determinar las posiciones en las que se mantiene inde-

finidamente la partícula, cuando se coloca en ellas convelocidad inicial nula respecto a la cicloide.

3. Hallar, dejándola expresada mediante una cuadratura,la trayectoria de la partícula en el caso de que en elinstante inicial la misma se encuentre en reposo conrespecto a la cicloide en la posición más alejada del ejeOy.

4. Suponiendo las condiciones iniciales del apartado ante-rior, hallar la componente en la dirección perpendicularal plano Oxy de la reacción de la cicloide sobre la par-tícula, cuando ésta pasa por la posición definida porθ = 2π/3.

1.32. Una partícula de masa m se puede mover sin roza-miento por una curva de ecuación z =−a cos(πx/a), situada

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en un plano vertical Oxz donde el eje Oz es la vertical as-cendente y el eje Ox está en el plano horizontal. El planoOxz gira alrededor del eje fijo Oz con velocidad angular ωconstante. Se pide

1. Utilizando la formulación lagrangiana, hallar las ecua-ciones del movimiento de la partícula.

2. Calcular ω para que colocada la partícula en el puntox = a/2, z = 0 y en reposo con respecto a la curva, semantenga indefinidamente en esa posición.

3. Determinar la zona en la que se realiza el movimientode la partícula en el caso de que ω = (2πg/a)1/2 ysuponiendo que inicialmente la partícula se encuentraen la posición de coordenadas x = 0, z = −a y estádotada de una velocidad v0 =

√ag(2−π/2) respecto a

O. ¿Cuánto tarda la partícula en alcanzar la posiciónmás alejada del eje Oz? (déjese el último resultadoexpresado por medio de una cuadratura)

4. Hallar la reacción que ejerce la curva sobre la partícu-la en el instante inicial del movimiento del apartadoanterior.

1.33. Una partícula de masa m está obligada a moverse sinrozamiento por un aro de radio a que gira con velocidad an-gular constante ω alrededor del diámetro vertical del mismo.Además de la fuerza gravitatoria, sobre la partícula actua unafuerza dirigida hacia el punto superior del aro y proporiconala la distancia entre ese punto y la partícula, con constante deproporcionalidad α. Se pide

1. Mediante la formulación lagrangiana, determinar lasecuaciones del movimiento de la partícula.

2. Hallar las posiciones en que colocada la partícula convelocidad nula respecto al aro permanece indefinida-mente en esas posiciones. Discútanse los casos ω2 É∣∣ g

a − αm

∣∣ y∣∣ g

a − αm

∣∣<ω2.

3. Supóngase que ω= 2√

ga − α

m y que en el instante ini-cial la partícula se coloca en reposo relativo respecto

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al aro en la posición más alejada del eje de giro. Deter-minar la zona del aro accesible a la partícula.

4. Con las condiciones del apartado anterior, hallar lasolución de las ecuaciones del movimiento. Déjese ex-presado el resultado por medio de una cuadratura.

5. Aceptando las condiciones iniciales del apartado 3,calcular la componente normal al plano del aro de lareacción del mismo sobre la partícula cuando ésta pasapor su posición más baja.

1.34. Un sistema mecánico consiste en una esfera fija y hue-ca de radio a y dos partículas enlazadas. La esfera tiene unpequeño orificio situado de modo tal que éste y el centrode la esfera están en la misma vertical, estándo situado elorificio por debajo del centro de la esfera. La primera partícu-la de masa m1 puede deslizar sin rozamiento por el interiorde la esfera sin separarse de ella, mientras que la otra masam2 se mueve a lo largo de la vertical citada anteriormente.El enlace entre las dos partículas consiste en un hilo idealde longitud ` siempre tenso que pasa sin rozamiento a tra-vés del orificio. Utilizando exclusivamente la formulaciónnewtoniana, se pide

1. Obtener las ecuaciones del movimiento del sistema.2. Deducir dos constantes del movimiento.3. Calcular la trayectoria general del sistema, dejándola

expresada por medio de cuadraturas.4. Determinar unas condiciones iniciales del sistema de

modo tal que en su evolución la partícula de masa m2

permanezca en reposo, mientras que la otra de masam1 se está moviendo.

5. Los apartados 1 y 2 pero utilizando exclusivamente laformulación lagrangiana.

1.35. La acción de un sistema es

S =∫

L(q1, . . . ,qn, q1, . . . , qn, t)dt con qi ∈C 1[t1, t2].

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Supóngase que el sistema es esclerónomo y admite un po-tencial generalizado que a lo sumo depende linealmente delas velocidades generalizadas. Probar que en el principio deHamilton se puede escoger el intervalo [t1, t2] lo suficiente-mente pequeño para que dicho principio sea de míninmo.

1.36. Una partícula de masa m se mueve en un potencialV (r) = kr4, con k > 0.

1. ¿Para qué valores de la energía y del momento angular,la órbita será una circunferencia de radio a y con centroen el origen?

2. ¿Cuál es el periodo de la órbita?3. Si la partícula se perturba separándola de dicho movi-

miento circular, ¿cuál será el periodo de las oscilacionesradiales alrededor de r = a?

1.37. Una partícula se mueve en unacircunferencia de radioa, bajo la acción de una fuerza central que le atrae hacia unpunto fijo O. Sean v1 y v2 los valores máximo y mínimo desu velocidad. Probar que el periodo es

πa(v1 + v2)

v1v2.

1.38. Un punto material de masa 1 kg se mueve en un campode fuerzas F =−km/r2 con k = 4 (unidades del SI). En t = 0,el punto se encuentra a 1 m del centro de fuerzas y con unavelocidad de 2 m/s perpendicular al vector posición. Calcularla órbita y el módulo de la velocidad en función de r.

1.39. Una partícula es lanzada con velocidad (2µ/3a3)1/2 per-

pendicularmente al radiovector a una distancia a del centrode fuerzas atractivo. Si la fuerza por unidad de masa es m/r4,se pide determinar la órbita y probar que cae al centro defuerzas en un tiempo 3π

√3a5/2µ/8.

1.40. Sabiendo que la excentricidad de la órbita de la Tierra

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es 0.01673 y que su semieje mayor mide 1.495×108 km,encontrar las distancias máxima y mínima al Sol. Hallar lasvelocidades de la Tierra en el perihelio y en el afelio, en losextremos del eje menor y en los del latus rectum.

1.41. Calcular el tiempo durante el que un cometa parabóli-co está entre los extremos de sus latus rectum en función dela distancia al perihelio de la órbita.

1.42. Un satélite artificial de masa m está en órbita circular auna altura de 1600 km sobre la superficie terrestre. Se deseaque pase a otra a 3600 km de altura, y para ello se decideutilizar una órbita de transferencia que consiste en una semi-elipse tangente a las órbitas y final (órbita Hohmann). Paraconseguirlo se hacen actuar los cohetes del satélite en variosmomentos, de modo que producen cambios instantáneos enla velocidad.

1. Calcular la energía por unidad de masa en las órbitasinicial y final.

2. Hallar la energía por unidad de masa y la ecuación dela órbita de transferencia.

3. Determinar en qué momentos deben actuar los cohetes,en qué dirección y qué incremento de velocidad debenproducir.

4. ¿Cómo cambiarían los resultados si la masa del satélitefuese el doble?

Datos: Radio terrestre= 6500km, GM = 4×1014 (unidadesdel SI) siendo M la masa terrestre.

1.43. Un satélite artificial se mueve en una órbita circularalrededor de la Tierra. En un instante dado sus motores re-ducen la velocidad sin variar la dirección instantánea delmovimiento. Encontrar la nueva velocidad para que la tra-yectoria que describa el satélite roce la superficie terrestre.

1.44. La estación espacial Mir fue colocada en órbita elíp-

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tica alrededor de la Tierra en 1986 por la Unión Soviética,estando su apogeo y perigeo a una altura sobre la superfi-cie terrestre de 398 km y 370 km, respectivamente. Debido alos problemas económicos que atravesaba Rusia, se decidióacabar con la existencia de dicha estación. Supóngase quepara ello, se colocó a la Mir en órbita circular a una altura de150 km, antes de lanzarla definitifamente sobre la atmósferapara su total desintegración. Para conseguir el paso de laórbita elíptica inicial a la circular, se hacen actuar los cohetesde la estación en dos momentos, de modo que producen cam-bios instantáneos en su velocidad pero no en su dirección. Elprimer momento es cuando la Mir está en el perigeo de laórbita elíptica. Se pide

1. Determinar los dos cambios de velocidades.2. El tiempo transcurrido entre los dos citados momentos.

Datos: En unidades del SI: G = 6.68×10−11, radio terrestre=6371×103 y masa terrestre= 5.98×1024.

1.45. Un satélite artificial describe una órbita circular alre-dedor de la Tierra, a una altura de 16000 km.

1. ¿Cuál es su velocidad?2. ¿Cuánto tiene que variar su velocidad para que pueda

escapar de la acción gravitatoria de la Tierra?3. Al volver de un paseo espacial, un astronauta olvida

en el exterior del satélite su máquina fotográfica quetiene una masa de 5 kg, ¿qué trayectoria seguirá dichamáquina?

4. En una de sus maniobras, el satélite se separa en dospartes. Una de ellas, con una masa igual a la quinta par-te del total, se separa con una velocidad de 4000 m/s,formando un ángulo de 60° con el radiovector del sa-télite respecto al centro de la Tierra, acercándose a lamisma y en el mismo sentido de giro que antes. Deter-minar las órbitas de las dos partes y si alguna de ellascae a la Tierra.

Datos: Masa del satélite = 5000kg, masa de la Tierra M =

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6×1024 kg, GM = 4.002×1014 (SI), radio terrestre= 6400km.

1.46. Una estación espacial describe una órbita circular al-rededor de la Tierra con una velocidad de 6316 m/s. En unmomento dado, mediante la acción de unos cohetes que ac-túan instantáneamente sobre la nave espacial acoplada a laestación, aquélla se separa y parte con una velocidad respectoa la Tierra de 2000 m/s y con la misma dirección y sentidoque la estación. Una vez concluida la maniobra de desatran-que, el cosmonauta de la nave se da cuenta que, debido a unfallo técnico, no puede actuar sobre la misma. Despreciandola acción de la atmósfera, se pide

1. ¿Caerá la nave a la Tierra o seguirá orbitando alrededorde ella?

2. En caso de caída a la Tierra, calcular el ángulo queforma la trayectoria con la vertical en el punto decontacto. Si no hay caída, calcular el periodo de laórbita de la nave.

Datos: Radio terrestre= 6400km, masa terrestre= 5.97×1024 kg,G = 6.67×10−11 (SI).

1.47. Dos satélites de la misma masa se mueven en dos ór-bitas coplanarias en el mismo sentido alrededor de la Tierra.Una de ellas es circular de radio R y la otra elíptica de apogeo8R y perigeo R. Los dos satélites coinciden en el punto decontacto de las dos órbitas, se acoplan instantáneamente que-dando perfectamente unidos y continuando su movimientode esta forma. Calcúlese el apogeo de la nueva órbita.

1.48. Se desea situar un satélite en órbita circular a unadistancia r0 del centro de la Tierra. Para ello, cuando seestá a esa altura, se le debe comunicar una cierta velocidadv0 perpendicular a la dirección radial. Sin embargo, debidoa un fallo, el satélite no se impulsó perpendicularmente ala dirección radial y, como resultado, entró en una órbitaelíptica. Se pide

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1. Demostrar que la proyectada órbita circular y la órbitaelíptica resultante se cortan en los extremos del ejemenor de la elipse.

2. Deducir la ecuación de la órbita elíptica.3. Calcular la velocidad areolar del satélite en esta órbita.4. Calcular la duración de una revolución del satélite en

la órbita elíptica.5. Deducir de estas observaciones el valor de la constante

G de la gravitación universal.

Datos: Masa de la Tierra = 6×1024 kg, perigeo de la órbitaelíptica OA= 6630km.

1.49. Finalizada su misión de exploración en la Luna, elastronauta del módlo de exploración lunar se dispone a re-unirse con el del módulo de mando que orbita circularmentesobre la Luna a una altura de 150 km. Con este objetivo, en-ciende los motores del módulo de exploración y sigue unadeterminada trayectoria hasta un punto P, situado 10 km porencima de la superficie lunar y apaga los motores. Supóngaseque en ese instante la velocidad del modulo de exploración esparalela a la superficie lunar, coplanaria con la ya citada ór-bita dircular e indicando el mismo sentido de giro alrededorde la Luna que el del módulo de mando. Se pide

1. La velocidad en P, del módulo de exploración, paraque pueda encontrarse y acoplarse con el módulo demando en el punto Q situado radialmente opuesto a P.

2. El tiempo empleado por el módulo de exploración enir de P a Q.

3. La velocidad relativa con que el módulo de mandoalcanzará al de exploración en Q.

Datos: Radio de la Luna = 1738km, masa de la Luna =7.35×1022 kg, G = 6.67×10−11 N m2/kg2.

1.50. A una nave espacial, que denominaremos módulo demando, se le ha acoplado otra, que llamaremos módulo deexploración, y que proviene de la superficie lunar una vez

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completada su misión de exploración. El complejo constituidopor ambos módulos orbita cirularmente alrededor de la Lunaa una altura de 150 km. Pasado un tiempo indeterminadoen esa órbita, los astronautas del complejo, con el fin defacilitar su regreso a la Tierra, se desprenden del ya inserviblemódulo de exploración para que choque en un punto dela Luna. Esto lo consiguen soltando los anclajes de ambosmódulos y comunicando instantáneamente al módulo deexploración una velocidad en sentido opuesto al movimientodel complejo espacial para que de este modo entre en unaórbita de impacto y no se convierta en chatarra espacialorbitando alrededor de la Luna. Se pide

1. La velocidad relativa inicial mínima del mósulo deexploración respecto al de mando para que la órbitasea de impacto.

2. Tiempo de media entre la separación de los dos módu-los y el del contacto dle módulo de exploración con laLuna en el caso de la órbita del apartado anterior.

Datos: Radio de la Luna = 1738km, masa de la Luna =7.35×1022 kg, G = 6.67×10−11 N m2/kg2.

1.51. Un cometa describe una trayectoria tal que su mínimadistancia al Sol es la mitad del radio a de la órbita de laTierra, supuesta ésta circular y coplanaria con la del cometa.En el perihelio de la órbita del cometa su velocidad es eldoble de la velocidad de la Tierra. Se pide

1. Determinar la órbita del cometa.2. Calcular la velocidad del cometa en los puntos en que

corta a la órbita terrestre y la distrancia entre ellos.3. Determinar el tiempo que pasa el cometa dentro de la

órbita de la Tierra.

Nota: Se desprecia la interacción gravitatoria entre el cometay la Tierra.

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2 Sólido rígido

2.1. Un disco homogéneo de masa M y radio R se mueve enel plano Oxy de modo que en un instante dado las velocidadesde los puntos A y B del disco son i + j y − j/2, mientras quesus coordenadas en ese instante son respectivamente (0,2) y(3,0). Se pide

1. Determinar la posición del centro instantáneo de rota-ción del disco.

2. Energía cinética del disco, sabiendo que en ese instantelas coordenadas del centro de masas son (1,1).

2.2. Un sólido rígido se mueve con respecto a un sistemade ejes cartesianos Oxyz. En un momento dado, la velocidaddel punto del sólido de coordenadas (1,1,1) es v = (3,2,1).Decir justificadamente si es posible que el punto del sólidode coordenadas (0,1,0) tenga en ese momento alguna de lasvelocidades siguientes:

1. va = (2,1,1),2. vb = (1,1,2).

2.3. Una varilla AB de longitud L y masa M está articuladapor su extremo A a una guía horizontal a lo largo de la cualpuede moverse sin rozamiento, ietras que el extremo B puedemoverse en el plano vertical que continene a la guía. En elinstante inicial, la varilla está en reposo, alineada con la guíay se deja caer. Se pide

1. la base y la ruleta del movimiento, y2. el módulo de la velocidad del extremo B cuando pasa

por su posición más baja.

2.4. El sistema de la figura adjunta consiste de un aro deradio R y una varilla AB de longitud 3R y masa M , estandodicho sistema contenido en un plano vertical. El aro está fijo,mientras que el extremo A de la varilla desliza sin rozamientoa lo largo del aro. La varilla en su movimiento está siempre

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en contacto con el punto del aro C, intersección del aro consu diámetro horizontal. En el instante inicial, el segmento ACde la varilla está situado por encima del diámetro horizontalformando con él un ángulo de 30° y se deja caer la varilla sinvelocidad inicial. Se pide

1. la base y la ruleta del movimiento, y2. el módulo de la velocidad del extremo A de la varilla

cuando pasa por la posición horizontal.

2.5. Hallar la frecuencia de las oscilaciones pequeñas deun semidisco uniforme de masa M y radio R que rueda sindeslizar sobre una superficie horizontal.

2.6. Un sólido rígido de masa M , radio R y forma de trescuartos de círculo puede rodar sin deslizar en el plano sobreuna recta horizontal. Si inicialmente el sólido está en reposocomo indica la figura adjunta, se pide

1. Ecuaciones del movimiento.2. Calcular la velocidad del cntro de masas cuando pasa

por su posición más baja.3. La velocidad máxima que alcanza el punto P.

2.7. El sistema de la figura adjunta está constituido porcuatro varillas iguales articuladas de masa m y longitud 2`cada una. Suponiendo que no existe rozamiento y que elmovimiento sólo tiene lugar en el plano de la figura mante-niéndose fijo el punto A, se pide

1. las ecuaciones del movimiento, y2. la velocidad del punto C cuando D ocupa su posición

más baja y suponiendo que el sistema haya partido deuna posición inicial en reposo con las cuatro varillasformando una recta horizontal con A y D coincidiendo.

2.8. Un aro de masa m1 y radio r sube rodando sin desli-zar por un plano inclinado de ángulo ϕ, accionado por uncontrapeso de masa m2 como indica la figura adjunta. El hilo

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es flexible, inextensible, sin masa y tira del aro por su eje.La polea es un anillo de masa M y radio r. Utilizando laformulación lagrangiana, calcular la aceleración del sistemay la tensión del hilo a ambos lados de la polea.

2.9. Una placa pesada BAC de masa m, con forma de triángu-lo rectángulo isósceles (longitud de los catetos 2a) se mueveen un plano vertical de modo tal que sus catetos AB y ACdeslizan sin rozamiento sobre los puntos fijos M y N situadosen una horizontal y distantes entre sí una distancia 2a. Sepide

1. Hallar la base y la ruleta del movimiento.2. Las ecuaciones del movimiento.3. Si en el instante inicial la placa se encuentra en reposo

en una posición tal que el punto medio del cateto ACcoincide con el punto N, calcular la velocidad del centrode masas en el instante en que la hipotenusa pasa porprimera vez por la posición horizontal.

2.10. Un aro de masa M y radio R rueda sin deslizar sobreuna recta horizontal, manteniéndose siempre en el planovertical que contiene a dicha recta. Un disco homogéneo dela misma masa y radio R/2 rueda sin deslizar por el interiordel aro en el mismo plano vertical. Se pide

1. Ecuaciones del movimiento del sistema.2. Supóngase que inicialmente la recta que une los centros

del disco y del aro forma un ángulo de π/4 con lavertical descendente que pasa por el centro del aro yque todo el sistema está en reposo. Expresar medianteuna cuadratura el tiempo que tarda el centro del discoen pasar por primera vez por us posición más baja.

2.11. Un aro de masa M y radio R se mueve en un planovertical fijo manteniendo inmóvil uno de sus puntos O. Undisco homogéneo de masa m y radio r (r < R) rueda sindeslizar sobre el aro por la parte interior del mismo. Se pide

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1. Ecuaciones del movimiento del sistema.2. Una constante del movimiento, indicando la causa de

su conservación.

2.12. El sistema de la figura adjunta está constituido pordos poleas y tres masas. La masa de la polea que cuelga deltecho es M y su radio es R, mientras que la masa y el radiode la otra son M ′ y R′. La masa que cuelga de la polea deltecho es m, mientras que las que cuelgan de la otra son m1 ym2. Suponiendo que los hilos son ideales, se pide

1. Ecuaciones del movimiento del sistema.2. Las tensiones en los hilos.

2.13. El sistema articulado de la figura adjunta está consti-tuido por tres varillas AB, BC y CD de la misma longitud ` yla misma masa m. El movimiento del sistema se realiza enel plano vertical, pudiendo girar libremente las varillas ABy CD alrededor de los puntos fijos A y D separados por unadistancia `. Una partícula P, de masa m, puede deslizar sinrozamiento sobre la varilla BC, que a su vez está articuladacon las otras dos. Inicialmente el sistema está en reposo, Pse encuentra en el punto medio de BC y la varilla AB formaun ángulo π/6 con la vertical descendiente. Se pide

1. Ecuaciones del movimiento del sistema.2. La posición que ocupa el sistema cuando P llega al

extremo de la varilla BC.3. La fuerza que ejerce la varilla BC sobre P en el instante

inicial.

2.14. Dos varillas iguales de masa m y longitud ` estánunidas por dos hilos de longitud a que unen sus extremos ysiempre tensos. Las varillas se mueven en un plano vertical yuna de ellas puede girar alrededor de su centro de masas fijo.Hallar las ecuaciones del movimiento.

2.15.

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1. Calcular la situación del centro de masas de un conode altura h, y radio de la base R.

2. Hallar los momentos de inercia del cono respecto a sueje y respecto a dos ejes perpendiculares a éste y quepasan por el vértice del cono.

2.16. Probar que la energía cinética de una varilla homogé-nea de masa m es T = m(u2 +u · v + v2)/6, donde u y v sonlas velocidades de los extremos de la varilla.

2.17. Hallar la energía cinética de un cono cuya base ruedasobre un plano orizontal y cuyo vértice está fijo a una alturasobre un plano horizontal igual al radio de la base del cono.

2.18. Una varilla AB de longitud L y masa M se muevemanteniendo fijo el extremo A. Calcular

1. las ecuaciones del movimiento, y2. la velocidad angular de giro de la varilla respecto al eje

vertical que pasa por A, para que el ángulo que formala varilla con la vertical sea constante.

2.19. Dos varillas de longitudes a y b y de igual masa m,están soldadas formando un ángulo recto y cuyo vértice Oestá fijado a un eje vertical, como indica la figuar adjunta. Sila unión de las varillas con el eje sólo permite el movimientode modo tal que las varillas y el eje son coplanarios, calcularla velocidad angular constante del sistema alrededor del ejepara mantener fijos los ángulos que forman las varillas conel eje.

2.20. Una varilla de masa m y longitud 2a, se mueve res-pecto a un sistema inercial OXYZ (OZ vertical ascendente) deforma que su centro de masas G está obligado a moverse sinrozamiento sobre una guía recta que pasa por O. Dicha guíaforma un ángulo constante α= 30° con la misma direcciónpositiva del eje OZ y puede girar libremente alrededor del

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mismo. En el instante inicial la varilla se encuentra en reposoen el plano OYZ, alineada con la guía y siendo OG= 2a. Enesta situación, se comunica una velocidad angular inicial ωa la guía. Se pide

1. Las ecuaciones del movimiento.2. Integrar dichas ecuaciones, reduciéndolas a cuadratu-

ras.3. Si ω2 = g/(

p3 a), determinar las posiciones extremas

de G, la velocidad angular de la guía y la reacción dela guía sobre la varilla en esas posiciones.

4. Hallar la velocidad angular inicial ω de la guía paraque colocada inicialmente la varilla como se dice ante-riormente, su centro de masas G permanezca en reposorespecto a la guía.

5. Describir el movimiento de la guía en el caso del apar-tado anterior.

2.21. El extremo A de una varilla homogénea de masa my longitud 2`, desliza por una recta vertical; mientras queel otro extremo B lo hace sobre un plano horizontal, siendoambos deslizamientos sin rozamiento. Determinar las ecua-cionnes del movimiento de la varilla.

2.22. Se considera una placa homogénea de masa m y quetiene la forma de un triángulo equilátero ABC de lado 2a.Dicha placa se mueve de forma que su vértice A está obligadoa desplazarse sin rozamiento a lo largo del eje vertical as-cendente OZ, mientras que el lado BC desliza sin rozamientosobre el plano horizontal OXY. En el instante inicial la placase encuentra en reposo formandu un ángulo 2π/3 con el ejeorientado OX y el mismo ángulo con el plano OXY. Se pide

1. Ecuaciones del movimiento.2. Calcular la velocidad del centro de masas de la placa

en el instante en que la placa conincide con el planoOXY.

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2.23. Determinar las ecuaciones del movimiento de un conode revolución que rueda sin deslizar sobre un plano inclinadofijo.

2.24. Una varilla AB de masa despreciable y longitud 2`tiene en sus dos extremos dos partículas de la misma masa m,que firan uniformemente con velocidad angular constante ωalrededor del eje vertical que pasa por el punto medio de lavarilla y formando un ángulo constante α con dicho eje. Si lasdistancias a los soportes superior e inferior del punto mediode la varilla son respectivamente a y b, se pide calcular lasreacciones sobre dichos soportes del eje.

2.25. Un sistema material está constituido por una placaplana de masa M , de forma un rombo de lado a y cuyoángulo en A es DAB=π/3, y dos partículas iguales situadasen los vértices B y D de la palanca, cada una de las cualestiene masa m. El sistema gira con velocidad angular constanteω alrededor de una recta horizontal que siendo paralela alos lados AD y BC de la placa, pasa por su centro de masas.Se pide

1. Calcular la energía cinética del sistema.2. La relación entre m y M para que el momento angular

del sistema con respecto a D sea paralelo a la velocidadangular.

2.26. Un cono de altura h y semiángulo α rueda sin deslizardentro de otro fijo, hueco y semiángulo β (α < β) coninci-diendo los dos vértices de los conos. El eje del cono móvilrota alrededor del eje del cono fijo con una velocidad angularconstante Ω. Hallar la energía cinética del cono móvil.

2.27. Deducir las ecuaciones de ligadura y de Lagrange deun disco homogéneo de radio r y masa m que rueda sindeslizar sobre un plano horizontal.

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2.28. Una esfera homogénea de masa M y radio R rueda sindeslizar sobre un plano horizontal, el cual rota alrededor deun eje vertical con velocidad angular constante Ω. Se pide

1. Ecuaciones de la ligadura.2. Probar que el centro de la esfera se mueve en una

circunferencia con velocidad angular 2Ω/7.

2.29. Una esfera de radio R y masa M rueda sin deslizarsobre un plano vertical que gira con velocidad angular cons-tante Ω alrededor de un eje vertical contenido en el plano.Si en el instante incial la esfera está en reposo respecto alplano, se pide

1. Ecuaciones de la ligadura.2. Probar que la longitud máxima de descenso de la esfera

por el plano vertical es 5g/Ω2.3. Hallar la distancia horizontal del centro de la esfera al

eje de rotación del plano en función del tiempo.

2.30. Un cilindro hueco de radio Rc está fijo con su ejeen la dirección vertical. Una esfera homogénea de radio Re(Re < Rc) rueda sin deslizar por la superficie interior delcilindro. Se pide

1. Ecuaciones de la ligadura.2. Probar que el centro de la esfera tiene una velocidad

constante alrededor el eje del cilindro.3. Probar que cuando el centro de la esfera no se mueve

paralelamente al eje del cilindro, dicho centro realizaun movimiento, y que en un periodo el plano que pasapor el eje del cilindro y el centro de la esfera gira unángulo de

p14π.

2.31. Un disco de masa M , radio a y centro C, tiene fijo a élen C una varilla OC, de masa m y longitud

p3 a, de modo que

OC es ortogonal al disco. El extremo O de la varilla está fijo,pero pivota libremente en el centro O de una placa giratoriahorizontal y el borde de un disco puede rodar sin deslizar

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sobre la misma. La placa es obligada a girar alrededor deleje vertical que pasa por O con una velocidad angular Ω(t).Inicialmente el sistema está en reposo. Si P es el punto decontacto entre disco y placa, y ϕ el ángulo entre OP y unalínea radial fija en la planca, determinar ϕ en función de Ω.

2.32. Un sistema mecánico está constituido por un discohomogéneo de masa m, radio a y centro B, unido a una varillaAB de masa m, longitud 2a y colocada perpendicularmente aldisco de modo que éste puede girar libremente alrededor deaquélla. Además, por la varilla puede deslizar sin rozamientouna partícula de masa m, la cual está unida al extremo Apor un muelle sin masa de longitud natural b y constante derigidez K . Todo este sistema, se coloca sobre una plataformahorizontalque está girando con velocidad angular constanteΩ, alrededor de un eje fijo perpendicular a la plataforma yque pasa por un punto O de ella. La colocación se realiza demodo que el extremo A de la varilla se mantiene inmóvil enun punto del eje de giro de la plataforma y tal que OA = a,mientras que el disco rueda sin deslizar sobre la plataforma.Se pide

1. Ecuaciones de la ligadura de rodar sin deslizar.2. Ecuaciones del movimiento.3. Si en el instante inicial, el sistema está en reposo res-

pecto a la plataforma y la partícula está en el puntomedio de la varilla, calcúlese la trayectoria del sistemapor medio de cuadraturas.

2.33. Una esfera de radio a y masa m, rueda sin deslizarsobre un plano inclinado fijo de ángulo α. Probar

1. Que la componente de la velocidad angular de la esferasegún la normal al plano inclinado es constante.

2. Que la trayectoria del centro de masas de la esferaes una parábola cuyo latus rectum es 14V 2/(5g senα),siendo V la componente de la velocidad inicial delcentro de masas paralela a la arista del plano.

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Supóngase ahora que el plano inclinado gira con velocidadangular constante Ω alrededor de un eje vertical fijo. Se pide

3. Ecuación de la ligadura de rodar sin deslizar, expresadaen función de la velocidad angular de la esfera ω, elversor k normal al plano y el vector de posición r delcentro de la esfera respecto al punto de interseccióndel eje vertical con el plano inclinado.

4. Probar que ak ·ω+Ω · r es una constante del movi-miento.

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