A B

3 aviones

2 trenes

5 buses

Número de maneras de llegar desde A hasta B

Número de maneras de llegar desde A hasta C

avión O tren O bus No suceden simultáneamente

3 + 2 + 5 = 10

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

PRINCIPIO ADITIVO

AB y BC Sí suceden simultáneamente

3 x 2 = 6

A B C

2 pantalones:

4 camisas:

2 pares de zapatos:

¿De cuantas formas me podría vestir hoy?

¿Qué me pongo?

Me levanto por la mañana y al abrir mi armario me doy

cuenta que tengo:

16 formas de vestirme = 2 pantalones x 4 camisas x 2 zapatos

Esta herramienta para representar todos los posibles resultados se llama

Diagrama de árbol.

Principio de multiplicación: si hay n1 opciones para elegir un objeto, n2

opciones para elegir un segundo objeto, así hasta nm. El nº total de

maneras de elegir los m objetos es: N = n1 ·n2 ·…·nm

¿Influye el

orden de

colocación?

NO S I

Son Combinaciones

!

!( )!

m

n

m mC

n n m n

Permutaciones

¿Intervienen

todos los

elementos del

conjunto?

NO

¿Se pueden repetir

los elementos?

NO

m n

nP m

!

( )!

n

k

nP

n k

S I

S I

¿Se pueden repetir

los elementos?

, ,... !

! !... !1 2 rn n n

n

1 2 r

nP

n n n

S I

NO

!P n

Permutaciones

Si tres alumnos deben exponer en una clase especial,

y desean analizar todas las posibilidades del orden de

exposición que tienen . . . .

Es simple advertir que una alternativa es . . . . .

Primero expone Pablo

Pablo

luego expone Matías.

Matías

y por último Julio.

Julio

Una alternativa diferente será si Julio toma el lugar de Matías y éste el de Julio.

Pablo Matías Julio

Otra posibilidad es que Julio tome el lugar de Pablo y éste el de Julio.

Pablo

Matías Julio

Ahora si Pablo y Matías cambian sus posiciones, tenemos otra alternativa

Pablo Matías Julio

Luego es Matías el que toma el primer turno.

Pablo

Matías Julio

Y finalmente, puede haber nuevamente un intercambio entre el segundo y el tercer expositor.

Pablo Matías Julio

Todo lo expuesto podemos sintetizar en que para tres personas existen tres lugares (ordenes de exposición); así, si queremos saber cuántos son los órdenes en que pueden exponer estas tres personas podemos buscar . . . . . .

Así, para hallar la cantidad de posibilidades de colocar tres elementos (alumnos) en tres ubicaciones diferentes (orden de exposición) resolvemos . . .

P3 = 3 ! = 3 2 1 = 6

Calcular el número de palabras con o sin sentido que se forman con las letras de la palabra MESA, sin repetir letras. Solución:

Se trata de ordenar cuatro elementos (letras) en cuatro posiciones diferentes.

P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24

MESA EMSA SMEA AMES

MEAS EMAS SMAE AMSE

MAES ESMA SEMA AEMS

MASE ESAM SEAM AESM

MSEA EAMS SAME ASEM

MSAE EASM SAEM ASME

Ejemplo.

De cuantas maneras puedo ubicar los jugadores de un equipo de fútbol. ¿Y si el arquero siempre ocupa siempre la primera posición de cuantas maneras se pueden ubicar? Solución:

P11 = 11! = 11 10 9 . . . . . . . 3 2 1 = 39.916.800

Si el arquero ocupa siempre la primera posición

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Se pueden cambiar los lugares del 2 al 11 (entre 10 jugadores)

P10 = 10 ! = 10 9 8 . . . . . . . 3 2 1 = 3.628.800

1 A

Ejemplo.

Permutaciones con repeticiones.

, ,... !

! !... !1 2 rn n n

n

1 2 r

nP

n n n

Se sabe que el procesador de una computadora trabaja básicamente con elementos biestables llamados bit; y que 8 bit conforman 1 byte; . . . y 1.000 byte son 1 Kb, etc.

Si 1 byte tiene 8 bit, significa que puede almacenar 8 símbolos (que pueden ser ceros ó unos)

Ese byte con sus 8 símbolos emitirá señales como por ejemplo:

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0

Supongamos un byte en el que hay 5 ceros y 3 unos

Ejemplo.

0 0 1 1 0 0 0 1

etc. etc. . .

¿ Cuántas señales diferentes podrá emitir ese byte ?

En este caso, el conjunto de elementos es { 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1 }

conjunto de 8 elementos,

de los cuales uno se repite 5 veces;

y el otro se repite 3 veces

358

,P

!!

!

35

8

1235

5678

!

!

358

,P 56

Señales diferentes se pueden emitir desde 1 byte con 5 ceros y 3 unos

y la operación que resuelve . . .

La palabra I N D E P E N D E N C I A tiene 13 letras

De las cuales

I se repite 2 veces

N se repite 3 veces

D se repite 2 veces

E se repite 3 veces

Las demás letras de la palabra, no se repiten, aparecen solo una vez

13P2 3, 2, 3,

!!!!

!

3232

13

1231212312

12345678910111213 43.243.200

palabras

!

( )!

n

k

nP

n k

Si disponemos de los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5 para formar números de tres cifras.

debemos resolver

Si los números de tres cifras buscados deben ser pares, la última cifra debe ser un número par

par cifra 2 cifra 1

Asignamos el lugar de la cifra par al 2

2 cifra 2 cifra 1 y quedan 2 lugares para cuatro dígitos posibles

pero en vez del 2, el último dígito pudo ser el 4 4 cifra 2 cifra 1

60

Ejemplo.

! !

( )! !

5 5 4 3 2

5 3 2

! !

( )! !

4

2

4 4 3 2P 12

4 2 2

5

3P

! !

( )! !

4

2

4 4 3 2P 12

4 2 2

Luego se tiene 24 cifras pares

Si deseo saber en cuántas palabras de 5 letras (que no se repiten) formadas por 22 consonantes y 5 vocales, la letra central es una vocal

Podemos pensar que la palabra será:

Si el lugar central debe ocupar una vocal (por ejemplo la A)

A

Quedan 4 lugares para completar con 22 consonantes y 4 vocales (porque una vocal ya fue ubicada en el centro)

La operación que resuelve esto es:

26

4

)!(

!

426

26

!

!

22

26

!

!

22

2223242526358.800 palabras

Ejemplo.

Pero, el lugar central puede ser ocupado por cinco vocales distintas

Entonces a lo multiplicamos por 5 porque la letra central puede ser

A E I O U

5 x 358.800 = 1.794.000 palabras

26

4P

!

( )!

26

4

265 P 5

26 4

Combinaciones.

!

! !

n

k

nC

k n k

Ejemplo.

Si hay 12 hombres y 8 mujeres para formar la delegación (tengo en total 20 personas) y debemos elegir 5 personas (sin distribuir cargos ni considerar el orden)

Las cantidad de delegaciones posibles estará dada por la combinación . . .

C

de 20 personas (total de elementos)

)!(!

!

5205

20

!!

!

155

20

!

!

1512345

1516171819203

15.504 maneras distintas

205

tomadas de a 5 (cantidad de miembros de cada delegación posible)

Si en la delegación deben haber tres hombres y dos mujeres

Primero busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con

los 12 hombres disponibles tomados de a 3

123C

)!(!

!

3123

12

!

!

9123

91011122

220 delegaciones de tres hombres

Y busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con las 8 mujeres disponibles tomadas de a 2

82C

)!(!

!

282

8

!

!

612

6784

= 28 delegaciones de dos mujeres

Para hallar el total de delegaciones posibles de tres hombres y dos mujeres, planteamos los siguiente . . . .

para cada delegación de 3 hombres hay 28 delegaciones posibles de 2 mujeres

como tengo 220 delegaciones posibles de 3 hombres . . .

las delegaciones de al menos tres hombres y dos mujeres son . . .

8

2123 CC 220 28 = 6.160 formas de componer la

delegación solicitada