Me to Do Simplex

mejorando la solucin en cada paso. Larazn matemtica de esta mejora radicaen que el mtodo consiste en caminardel vrtice de un poliedro a un vrticevecino de manera que aumente odisminuya (segn el contexto de lafuncin objetivo, sea maximizar ominimizar), dado que el nmero devrtices que presenta un poliedrosolucin es nito siempre se hallarsolucin.

MTODO SIMPLEXEl Mtodo Simplex es un mtodo analtico de solucin deproblemas de programacin lineal capaz de resolvermodelos ms complejos que los resueltos mediante elmtodo grco sin restriccin en el nmero de variables.El Mtodo Simplex es un mtodo iterativo que permite ir

Este famossimo mtodo fue creado en el ao de 1947 por el estadounidense GeorgeBernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el nimo de crear unalgoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.

QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?Una matriz puede denirse como una ordenacin rectangular de elementos, (o listadonito de elementos), los cuales pueden ser nmeros reales o complejos, dispuestos enforma de las y de columnas.

La matriz idntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo nmero tantode columnas como de las) de orden n que tiene todos los elementos diagonales igualesa uno (1) y todos los dems componentes iguales a cero (0), se denomina matriz idnticao identidad de orden n, y se denota por:

La importancia de la teora de matrices en el Mtodo Simplex es fundamental, dado queel algoritmo se basa en dicha teora para la resolucin de sus problemas.

OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MTODO SIMPLEXVARIABLES DE HOLGURA Y EXCESOEl Mtodo Simplex trabaja basndose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se

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modelan mediante programacin lineal no lo son, para ello hay que convertir estasinecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y excesorelacionadas con el recurso al cual hace referencia la restriccin y que en el tabulado nalrepresenta el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos programas deresolucin de investigacin de operaciones, estas variables adquieren un gran valor en elanlisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creacin de la matriz identidadbase del Simplex.

Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restriccin es designo "=".

Por ejemplo:

VARIABLE ARTIFICIAL / MTODO DE LA "M"Una variable articial es un truco matemtico para convertir inecuaciones ">=" enecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original, la caractersticaprincipal de estas variables es que no deben formar parte de la solucin, dado que norepresentan recursos. El objetivo fundamental de estas variables es la formacin de lamatriz identidad.

Estas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las restricciones, sucoeciente es M (por esto se le denomina Mtodo de la M grande, donde M signica unnmero demasiado grande muy poco atractivo para la funcin objetivo), y el signo en lafuncin objetivo va en contra del sentido de la misma, es decir, en problemas deMaximizacin su signo es menos (-) y en problemas de Minimizacin su signo es (+),repetimos con el objetivo de que su valor en la solucin sea cero (0).

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MTODO SIMPLEX PASO A PASOEL PROBLEMALa empresa el SAMN Ltda. Dedicada a la fabricacin de muebles, ha ampliado suproduccin en dos lneas ms. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas ybibliotecas. Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezascuadradas de 4 pines. Cada silla requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezascuadradas de 4 pines, cada cama requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines, 1 cuadradade 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y nalmente cada biblioteca requiere de 2piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales de 2 pines y 4 piezas rectangularesde 2 pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende en $ 30000, cada silla cuestaproducirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada cama cuesta producirla $ 20000 y se vendeen $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende en $ 60000. El objetivode la fbrica es maximizar las utilidades.

PASO 1: MODELACIN MEDIANTE PROGRAMACIN LINEALLas variables:

X = Cantidad de mesas a producir (unidades)X = Cantidad de sillas a producir (unidades)X = Cantidad de camas a producir (unidades)X = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)

Las restricciones:

2X + 1X + 1X + 2X

De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las variablesde holgura las cuales solo tienen coeciente 1 en su respectivo recurso, por el ejemplo lavariable de holgura "S1" solo tiene coeciente 1 en la restriccin correspondiente a elrecurso 1.

La funcin objetivo no sufre variaciones:

Z = 20000X + 20000X + 20000X + 20000XPASO 3: DEFINIR LA SOLUCIN BSICA INICIALEl Mtodo Simplex parte de una solucin bsica inicial para realizar todas susiteraciones, esta solucin bsica inicial se forma con las variables de coeciente diferentede cero (0) en la matriz identidad.

1S = 24 1S = 20 1S = 201S = 16PASO 4: DEFINIR LA TABLA SIMPLEX INICIAL

Solucin: (segundo trmino)= En esta la se consigna el segundo trmino de la solucin,es decir las variables, lo ms adecuado es que estas se consignen de manera ordenada,tal cual como se escribieron en la denicin de restricciones.Cj = La la "Cj" hace referencia al coeciente que tiene cada una de las variables de la la"solucin" en la funcin objetivo.Variable Solucin = En esta columna se consigna la solucin bsica inicial, y a partir deesta en cada iteracin se van incluyendo las variables que formarn parte de la solucinnal.Cb = En esta la se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su derecha"Variable solucin" en la funcin objetivo.Zj = En esta la se consigna la contribucin total, es decir la suma de los productos entretrmino y Cb.Cj - Zj = En esta la se realiza la diferencia entre la la Cj y la la Zj, su signicado es un"Shadow price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de la variablecorrespondiente que no forme parte de la solucin.

Solucin inicial:

MAX 1 2 3 4

12 34

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PASO 5: REALIZAR LAS ITERACIONESNECESARIASEste es el paso denitivo en la resolucinpor medio del Mtodo Simplex, consisteen realizar intentos mientras el modelova de un vrtice del poliedro objetivo aotro.

El procedimiento a seguir es el siguiente:

1. Evaluar que variable entrar y cualsaldr de la solucin ptima:

Maximizar MinimizarVariable que

entra La ms positiva de los Cj - Zj La ms negativa de los Cj - Zj

Variable quesale

Siendo b los valores bajo la celdasolucin y a el valorcorrespondiente a la interseccinentre b y la variable que entra. Lamenos positiva de los b/a.

Siendo b los valores bajo la celdasolucin y a el valorcorrespondiente a la interseccinentre b y la variable que entra. Lams positiva de los b/a.

2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solucin implica unaserie de cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarn a continuacin.

- Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en estecaso el "a = 4".

- Lo siguiente es comenzar a rellenar el resto de la tabla, la x la.





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- Se repite este procedimiento con las dos las restantes, ahora se harn los clculoscorrespondientes en el resto de las celdas.

De esta manera se culmina la primera iteracin, este paso se repetir cuantas veces seanecesario y solo se dar por terminado el mtodo segn los siguientes criterios.

Maximizar MinimizarSolucin ptima Cuando todos los Cj - Zj sean = 0

- Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos anteriores.




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En esta ltima iteracin podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj

El segundo procedimiento, el cualpretende conservar la minimizacinconsiste en aplicar los criterios dedecisin que hemos esbozado conanterioridad, en los casos de lavariable que entra, que sale y el casoen el que la solucin ptima esencontrada. Aqu recordamos losprocedimientos segn el criterio dadoel caso "minimizar".

Podemos observar como existe una solucin ptima alternativa en la cual la combinacinde variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado que el hecho deque se encuentre la variable "S1" en la solucin ptima con un coeciente de "3" signicaque se presenta una holgura de 3 unidades del recurso (pieza rectangular de 8 pines).

X = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0)X = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7)X = 6 (Cantidad de camas a producir = 6)X = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4)S = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3)

Con una utilidad de: $ 340000

PROBLEMAS DE MINIMIZACIN CON EL MTODO SIMPLEXPara resolver problemas de minimizacin mediante el algoritmo simplex existen dosprocedimientos que se emplean con regularidad.

El primero, que a mi juicio es el ms recomendable se basa en un articio aplicableal algoritmo fundamentado en la lgica matemtica que dicta que "para cualquierfuncin f(x), todo punto que minimice a f(x) maximizar tambin a - f(x)". Por lotanto el procedimiento a aplicar es multiplicar por el factor negativo (-1) a toda lafuncin objetivo.

a continuacin se resuelve el algoritmo como un problema de maximizacin.


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9MinimizarVariable que entra La ms negativa de los (Cj - Zj)

Variable que saleSiendo "b" los valores bajo la celda solucin y "a" el valorcorrespondiente a la interseccin entre "b" y la variable queentra. La ms positiva de los "b/a".

Solucin ptima Cuando todos los (Cj - Zj) sean >= 0.

Ver tambin... - Mtodo Grco- Dualidad en Programacin Lineal- Problema del Transporte o Distribucin- Mtodo de Aproximacin de Vogel

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