ESTATICA DE UNA PARTICULA 3D MATERIAL DE APOYO

CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA

CONCEPTOS QUE DEBE SABER PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS DE ÉSTA UNIDAD. MECANICA: La mecánica se define como la ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Se puede clasificar en tres partes:

1. Mecánica de cuerpos rígidos, la cual se divide a la vez en: ESTATICA: Se encarga de los cuerpos en reposo. DINAMICA: Estudia los cuerpos en movimiento. En esta parte del estudio se supone que todos los cuerpos son perfectamente rígidos. 2. Mecánica de cuerpos deformables: 3. Mecánica de los fluidos.

En ésta unidad se inicia con un repaso de vectores y luego finaliza con una aplicación sobre equilibrio estático. VECTORES: Un vector debe tener una magnitud y una dirección, ejemplos: fuerzas, velocidad, aceleración etc. COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA:

FsenF

FF

y

X

cos

F F es la magnitud es la dirección medida

desde el eje x positivo, sentido

contrario al de las agujas del reloj es positivo.

Eje x positivo ESCALAR: Es solo una cantidad que no tiene dirección, ejemplos, masa, trabajo, energía, etc.. RESULTANTE DE FUERZAS EN UN PUNTO: La resultante de las fuerzas que actúa en un punto es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan en un punto. Se puede calcular usando trigonometría y sumando vectores.

ZQPR ..........

ESTATICA DE UNA PARTÍCULA En esta parte para su análisis consideraremos a los cuerpos rígidos como partículas basándonos para su estudio en la primera ley de Newton. CONDICIONES DE EQUILIBRIO La suma vectorial de las fuerzas es cero.

ZQPR .......... = 0

en componentes

,0

xR 0xF , ,0

yR 0yF

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PROBLEMA 1

Para el sistema de fuerzas mostrado calcule el valor de la fuerza 4F y la dirección

Si el valor de la fuerza resultante es de 160 N y su dirección a 60º en el tercer cuadrante.

SOLUCION:

Eje y

1. COMPONENTES RECTANGULARES DE

CADA

FUERZA.

NF 651 jiF ˆ65ˆ01

(PARALELA AL EJE y+)

NF 502 jseniF ˆº3050ˆº30cos502

NF 2255 jiF ˆ0ˆ553

(PARALELA AL EJE x+)

30º eje X

60º F3 = 55 N jsenFiFF ˆˆcos 444

jiF ˆ0ˆ2255

jseniFRˆº60160ˆº60cos160

NFR 160 4F

Sabemos que la Fuerza resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas:

54321 FFFFFFR

90yF - senF4 = -138.56 (2)

80xF = - 126.66+ cos4F (1)

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos

= 78.5º y 4F = 233.3 N

PROBLEMA 2 Para W = 800 N, h = 75.6 mm y d = 600 mm determínese el valor de P que

proporcione el equilibrio.

SOLUCION :

Paso 1. Se elabora diagrama de cuerpo libre de cada masa

asumiéndolas como partículas.

La tensión en la cuerda es la misma en magnitud ya que solo

cambia en dirección.

Paso 2

Aplicar las condiciones de equilibrio, para W.

0yF , +

T T T

W P RESPUESTA P = 200 N

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T – W = 0, T = W, T = 800 N

Para P

0yF , +

T sen + T sen - P = 0

2 T sen = P, ( 2 )

del triángulo se calcula

tan = 75.6 / 600, de donde = 7.18º,

sustituyendo en (2) el valor de y T, calculamos el valor de

P

NOTA: Recuerde que siempre es recomendable hacer diagramas de cuerpo libre.

4. Del diagrama A

AB = BA = 1.15 N

0yF , +

AD sen 45º - AB sen 60º - 1 = 0

AD sen 45º = 1.15 sen 60º + 1

Despejando AD

AD = 2.82 N

0xF +

AD cos 45º + AB cos 60º - AC =

0

2.82 cos 45º + 1.15 cos 60º = AC

AC = 2.57 N

PROBLEMA 3 Cada una de las partículas A y B pesa 1 N (véase la figura).

Ambos se mantienen en equilibrio en las posición mostrada por

medio de las cuerdas. Determine

La tensión cada una de las cuerdas. Desprecie el peso de estas

últimas.. SOLUCION

5. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE de los puntos donde concurren todas las fuerzas. Eje y (B)

(A ) AD BA

AC

45º eje x 60º

60º BE

AB 1N

1N

6. Del diagrama B

0yF , +

BA sen 60º - 1 = 0, BA = 1.15 N

0xF +

- BA cos 60º +BE = 0, BE = BA cos 60º

BE = 0.58 N

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CALCULO DE UN VECTOR UNITARIO EN 3 DIMENSIONES

Dado el vector C

que une a los puntos de A a B, y

AB el vector unitario que tiene la dirección de la

línea que une a los puntos A y B.

AB

AB

AB

BAAB

B 222 ,, zyx

A 111 ,, zyx

COSENOS DIRECTORES

F

FCOS X

X F

FCOS Y

Y F

FCOS Z

Z

XCOS 2 YCOS 2 + 12 ZCOS

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER

PROBLEMAS DE EQUILIBRIO EN 3 DIMENSIONES.

1. Se elabora el diagrama de cuerpo libre.

2. se calculan las coordenadas de todos los puntos.

3. se calculan todos los vectores unitarios para darle dirección a todas las fuerzas.

4. se expresan todas las fuerzas vectorialmente.

5. se procede a sumar todas las fuerzas respecto a los ejes x, y, z, se igualan a cero y se resuelve el sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas.

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CONCEPTOS QUE DEBE SABER PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS DE

EQUILIBRIO EN 3 DIMENSIONES PARA ESTATICA DE UNA PARTICULA.. En esta parte para su análisis consideraremos a los cuerpos rígidos como partículas basándonos para su estudio en la primera ley de Newton. CONDICIONES DE EQUILIBRIO La suma vectorial de las fuerzas es cero.

ZQPR .......... = 0

en componentes

,0

xR 0xF ,0

yR 0yF

Para la solución de problemas que involucra tres dimensiones solamente se agrega la tercera ecuación.

,0

zR

0zF

PROBLEMA 1 Una caja se sostiene por tres cables como

se indica en la figura.

Determínese el peso W de la caja sabiendo

que la tensión en el cable AB es de 1378 lb.

SE RECOMIENDA SEGUIR ESTE PROCEDIMIENTO:

1. AC AD AB W

2. CALCULE LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS.

A( , , ) B( , , ) C( , , ) D( , , ) 3. APLIQUE LAS CONDICIONES DE

EQUILIBRIO Y CALCULE LOS

VECTORES UNITARIOS QUE LE DAN

LA DIRECCIÓN A CADA FUERZA.

0F

, 0 WFFF ADACAB

Y

X

Z

VECTORES UNITARIOS:

AB

ABAB

AC

ACAC

AD

ADAD

4.EXPRESAR TODAS LAS FUERZAS COMO VECTORES:

ABF

= AB * MAGNITUD DE LA

TENSIÓN AB.

ACF

= AC * MAGNITUD DE LA

TENSIÓN AC.

ADF

= AD * MAGNITUD DE LA

TENSIÓN AD.

W

= - j * MAGNITUD DE LA

FUERZA DE GRAVEDAD.

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4. APLIQUE LA SUMA DE LAS

FUERZAS, EN COMPONENTES.

0xF

0YF

0ZF .

5. Resuelva el sistema de

ecuaciones y encuentre las

incógnitas.

Problema 2

Al tratar de moverse a través de una superficie resbalosa por el hielo, un hombre de l75 lb usa las dos cuerdas AB y AC. Si se sabe que la fuerza ejercida por el hombre sobre superficie congelada es perpendicular a la superficie:

Determínese La tensión en cada cuerda.

SOLUCION:

1. Se analiza y se elabora el diagrama de cuerpo libre del hombre de 175 lb.

ABF

ACF

N W

2. COORDENADAS DE LOS

PUNTOS.

A( 30 , -16 ,12) B( 0 ,8 , 44 ) C(0 , 4 , 0 )

3. APLIQUE LAS CONDICIONES

DE EQUILIBRIO Y CALCULE

LOS VECTORES UNITARIOS

QUE LE DAN LA DIRECCIÓN A

CADA FUERZA.

0F

,

0 WNFF ACAB

4. VECTORES UNITARIOS:

50

32,24,30

AB

ABAB

AC

ACAC

38

12,20,30

5. EXPRESAR TODAS LAS

FUERZAS COMO VECTORES:

ABF

= AB * MAGNITUD DE LA ABF

TENSIÓN AB.

ABF

= 50

32,24,30ABF

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-TENSIÓN AC.

ACF

= AC * MAGNITUD DE ACF

TENSIÓN AC.

ACF

= 38

12,20,30 ACF

- COMPONENTES DE LA Fuerza Normal

34 p N

16 p 30 p En base a la figura anterior se determinan las componentes de la

- Fuerza normal

jsenNiNN ˆ*ˆcos*

jNiNN ˆ34/30*ˆ34/16*

- FUERZA DE GRAVEDAD

W

= - j * MAGNITUD DE LA

FUERZA DE GRAVEDAD.

W

= -175 j

6. ECUACIONES DE EQUILIBRIO

0xF

-30/50 ABF - 30/38 ACF + 16/34N= 0

0YF

24/50 ABF + 20/38 ACF + 30/34N – 175 = 0.

0ZF

32/50 ABF

- 12/38 ACF = 0

AL RESOLVER EL SISTEMA DE

ECUACIONES CON 3 INCOGNITAS

CALCULAMOS :

ABF = 30.8 lb

ACF 62.5 lb

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