Mecánica Aplicada Tema 4

8/18/2019 Mecánica Aplicada Tema 4

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Tema 4

DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO (1ra y 2da EC.)

MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO: El momento es lamedida de la acción de una fuerza sobre la rotación de un cuerpo. Si se considerauna fuerza F aplicada en un punto “Q” y sea “P” un punto cualquiera del espacio,entonces se llama momento de la fuerza F respecto al punto “P” al vector:

F PQ M P

sen F PQ M P

PQ

b sen sen PQb

F b M P

sen F PB M P

PB

b sen sen PBb

Brazo de la fuerza (b): Es la menor distancia desde en centro de momentos (P)hasta la línea de acción de la fuerza.

NOTA: LA MAGNITUD DEL VECTOR MOMENTO ES EL PRODUCTO DELBRAZO POR LA FUERZA, NO DEPENDE DEL PUNTO DE APLICACIÓN, SUDIRECCIÓN ES PERPENDICULAR AL PLANO DEFINIDO POR EL BRAZO Y LAFUERZA, Y EL SENTIDO DE ACUERDO A LA REGLA DE LA MANO DERECHA.

MOMENTO DE UN SISTEMA DE FUERZAS: Si se tiene un sistema de fuerzas

n F F F S ,......., 21 aplicadas en los puntos {Q1, Q2,……Qn}, entonces se llama

resultante de momento o momento total respecto a un punto “P” cualquiera, alvector:

n

i

ii P F PQ M 1

b F

PQ θ Q

P F

PB B


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PAR DE FUERZAS, PAREJA O MOMENTO DE UN PAR: Es un sistema formadopor dos fuerzas que tienen líneas de acción paralelas entre sí, igual magnitud ysentidos contrarios.

MH = a F MC = (a/2) F + (a/2) F = a FMB = a F MD = (a+e) F - e F= a F

El par de fuerzas posee resultante nula 0 R y se demuestra que el momento

total que ellas producen es independiente del centro de momentos y tiene pormagnitud M = a F.

NOTA: El par de fuerzas es un vector libre, porque no depende del punto escogidopara la toma de momento y es perpendicular al plano definido por la pareja.

MOMENTO LINEAL: Se define como una función vectorial evaluada mediante elproducto simple de la masa de la partícula por su vector de posición.

Se considera un cuerpo rígido (2) en movimiento respecto al marco inercial (1),sea “Q” una partícula cualquiera del cuerpo a la cual se asocia un elementodiferencial de masa (dm), “O” en una partícula fija al marco (1) y “P” una partículacualquiera del espacio; entonces se llama momento lineal del cuerpo (2) respecto

P

QP (2)

dmQ

OP OQ

O(1)

H C

F a

F B

e

D

La partícula “C”, se encuentra equidistantea las dos líneas de acción.

En el plano, el par se representa con unaflecha curva.

+ -


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a “O” al vectorO

ml OQ dm y momento lineal de dicho cuerpo respecto a “P” al

vectorP

ml PQdm

PQOP OQ mmm

dm PQdmOP dmOQ ....

Sustituyendo:0

m ml OP dm PQ dm

0 pl OP m l (1)

CENTRO DE MASAS DE UN CUERPO RÍGIDO (C): Se define como una partículaficticia perteneciente al cuerpo rígido, respecto de la cual el momento lineal totaldel cuerpo representa siempre un vector nulo, cumpliéndose adicionalmente que,en forma hipotética, la masa total del cuerpo se considera concentrada en dicha

partícula y que sobre ella actúa una fuerza igual a la resultante del sistema defuerzas actuante.

Si en un momento dado P = C (centro de masas del cuerpo), entonces0l OCm

mOQ dm

OCm

(2) 0

ml mOC OQ dm (3)

m Xdm

Xcm

m Ydm

Ycm

m Zdm

Zcm

CENTRO DE MASAS DE UNA FIGURA COMPUESTA (CUERPOS UNIDOS

RÍGIDAMENTE): Si se considera un cuerpo rígido formado por la unión de unconjunto de cuerpos, cuyas masas y posiciones de sus centros de masas seconocen; para determinar la ubicación del centro de masas del cuerpo compuestorespecto a un punto cualquiera se utilizan las siguientes expresiones:

n

i 1

n

i 1

PCi mi

PC

mi

(4)

C

P

n

i 1

n

i 1

Xci mi

Xc

mi

(5)

n

i 1

n

i 1

Yci mi

Yc

mi

(6)

C1 C2 C3 Cn

m1 m2 m3 mn


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CANTIDAD LINEAL DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO: Se define comouna función vectorial, evaluada mediante el producto simple de la masa de lapartícula por su vector velocidad absoluta. Para el cuerpo rígido (2) es el vector

Q2

1m

p V dm (7)

RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO LINEAL Y LA CANTIDAD LINEAL DEMOVIMIENTO: Derivando la expresión (3) respecto al tiempo y al marco 1, se

tiene lo siguiente 0m

l dOC dOQm dm

dt dt dt

C2

1 p m V (8)

C2 Q2

1 1m

m V V dm p 01

d l p

dt

MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RÍGIDO EN UN PLANO “XY”RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA DEL PLANO:

P 2 2ZZm

I x y dm

TEOREMA DE STAINER: Si se conoce la masa de un cuerpo y el momento deinercia respecto a su centro de masa; el momento de inercia respecto a un puntoP cualquiera del plano se calcula con la siguiente expresión

P C 2

ZZ ZZI I m (PC)

MOMENTO DE INERCIA DE UNA FIGURA COMPUESTA: Si se tiene un cuerporígido formado por la unión de un conjunto de cuerpos cuyas masas y momentosde inercia respecto a sus centros de masas se conocen, para determinar elmomento de inercia de la figura compuesta respecto a un punto P cualquiera del

plano se aplica la siguiente expresión: n

2P C i

ZZ ZZ

i 1

I I mi PCi

EJEMPLO:

22 2 Rm BC M I I C ZZ B

ZZ

NOTA: Las partículas no tienen momento de inercia propio, debido a que susdimensiones son despreciables.

ARO m(M, R)

CB


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ECUACIONES UNIVERSALES DE LA MECÁNICA

Se considera un cuerpo rígido (2) en movimiento plano respecto a un marcoinercial (1), sujeto a la acción de un sistema plano de fuerzas externas (dichoplano contiene al centro de masa (C) y constituye un plano de simetría para dicho

cuerpo), donde Q es una partícula cualquiera del cuerpo, P una partículacualquiera asociada al plano y la partícula O fija al marco (1).

1ª ECUACIÓN UNIVERSAL

Se postula que para un cuerpo rígido, se cumple que la derivada de la cantidadlineal de movimiento respecto al tiempo, es igual a la resultante de fuerzasexternas que actúan obre él.

n

i 11

dpF F Fi

dt

De la expresión (8) se tiene que C21

1

d m VF

dt

C2

1F m a (1ª ECUACIÓN UNIVERSAL DE LA MECÁNICA)

El centro de masa de un cuerpo se mueve como una partícula cuya masa es iguala la masa total del cuerpo y sobre la cual actúa una fuerza equivalente a la

resultante de fuerzas actuante. (n

i

i 1

R F

)

P1

F

2

F

QP (2)

dM3

F

Q

4 F

OP OQ

O(1)


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PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD LINEAL DEMOVIMIENTO: Si sobre un cuerpo, la resultante de fuerzas externas es nula, lacantidad lineal de movimiento permanece constante y el centro de masa se muevecon velocidad constante.

Si C211

dpF 0 p ctte V cttedt

NOTA: SI Fx = 0 IMPLICA QUE ctteV C X 2

1, POR LO TANTO EN UN CUERPO

QUE PARTE DEL REPOSO, SOBRE EL CUAL ACTÚAN SOLAMENTEFUERZAS VERTICALES, SE PUEDE CONCLUIR QUE EL VECTOR VELOCIDADDE SU CENTRO DE MASA SOLAMENTE POSEE COMPONENTE VERTICAL.

EJEMPLO: D.C.L (al cortar la cuerda)


SeaP

M la resultante de momentos respecto al punto P de todas las fuerzas

externas que actúan sobre el cuerpo.

n

P i

i 1

M PQ F

Se postula que para un cuerpo rígido la resultante de momentos respecto a unpunto P del plano, se determina mediante la siguiente expresión:

Q2

P 1m

M PQ a dm

fuerza

NOTA: SE DEBEN CUMPLIR SIMULTÁNEAMENTE LAS DOS CUACIONES DEMOMENTO.

W Fx = 0

ctteV C X 2

1= 0

(Parte del reposo)c

C2 C2

1 1ˆV V j

N 21C es vertical


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CANTIDAD ANGULAR DE MOVIMIENTO: Se define como una función vectorialevaluada mediante el producto vectorial del vector de posición asociado a lapartícula por su cantidad lineal de movimiento. Para un cuerpo rígido (2) lacantidad angular de movimiento respecto a un punto P cualquiera es el vector

Q2

P 1m

h PQ V dm

Como P y Q están relacionadas al cuerpo, entre ellas se puede aplicar ladistribución de velocidades (P es la partícula respecto a la cual se está trabajandoy Q representa las infinitas partículas del cuerpo rígido)

Q2 P2

1 1 21V V PQ

Sustituyendo, se tiene que:

P2P 1 21m m

h PQ V dm PQ PQ dm

P2 p 1 21 21m m

h PQ dm V PQ PQ PQ PQ dm

= 0 (perpendiculares)

Si ˆ ˆPQ x i y j P 2 2ZZm

I x y dm

P2 P

p 1 ZZ 21h m PC V I

Derivando respecto al tiempo y al marco 1:

OQ OP PQ 1 1 1

dOQ dOP dPQ

dt dt dt Q2 P21 1

1

dPQV V

dt

p P2 P2 P

1 1 ZZ 21

11

dh dPCm V m PC a I

dt dt

Si Q = C:

p C2 P2 P2 P

1 1 1 ZZ 21

1

dhm V V 0 m PC a I

dt


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Q2

P 1m

h PQ V dm p Q2 Q2

1 1m m

11

dh dPQV dm PQ a dm

dt dt

Q2

P 1m

M PQ a dm

p Q2

1 Pm

11

dh dPQV dm M

dt dt

p Q2 Q2 P2 Q2

1 1 1 1 Pm M

1

dhV V dm V V dm M

dt

Si Q = C

Igualando ambas expresiones, se tiene que:

(2ª ECUACIÓN UNIVERSAL DE LA MECÁNICA)

CASOS PARTICULARES:

1. Si P = C CC ZZ 21M I

2. Si P = I PP ZZ 21M I

a) I es una partícula fija a tierra I21a 0

b) I es C.I.R en el instante que parte del reposo, I21a 0 (porque la

aceleración del C.I.R solamente depende de velocidades y parámetrosgeométricos) t=0, V=0 y = 0

c) I es C.I.R de un disco que rueda sobre una superficie fija a tierra, porque suvector aceleración es paralela a la dirección

NOTA: LA 2ª ECUACIÓN DE LA MECÁNICA ESTABLECE EL EFECTO QUETIENEN LAS FUERZAS EN LA ROTACIÓN DE LOS CUERPOS. POR LO TANTOSE PUEDE DECIR QUE LA 1ª Y 2ª ECUACIÓNES UNIVERSALES DE LAMECÁNICA, SON NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA RESOLVER TODOPROBLEMA DE DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS, PERO SU MEJORUTILIDAD ES LA DE DETERMINAR FUERZAS Y/O ACELERACIONES EN UNINSTANTE DADO DEL MOVIMIENTO DEL CUERPO.


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DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO (3ra EC.)


ECUACIÓN DE LA ENERGÍA

Se considera un cuerpo rígido (2) en movimiento respecto a un marco inercial,desde una posición inicial dada hasta otra final también dada, esto bajo la acciónde un sistema de fuerzas externas aplicadas al cuerpo.Se postula que la forma de la ecuación de la energía dada para una partícula, esválida para un cuerpo rígido.

i f f i K K W (3ª)

ENERGÍA CINÉTICA.

Sustituyendo:

2P2 P2

1 1 21 21 21m

1 1

K V dm 2 V PQ dm PQ PQ dm2 2

Pm

l PQ dm m PC

Si ˆ ˆPQ x i y j P 2 2ZZm

I x y dm

P1

F

2

F

QP (2)

dm3

F

Q

4 F

OP OQ

O(1)

Se postula que la ecuaciónque evalúa la energíacinética para un cuerporígido es la siguiente:

Q2 Q21 1m

1K V V dm

2

Recordando que “P” es unapartícula cualquiera delplano asociada al cuerpo, setiene que:

PQV V P Q 212

1

2

1


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10

2

P2 P2

1 1 21 21 21m m M

1 1K V dm V PQdm PQ PQ dm

2 2

cbacba

2P2 P2

1 1 21 21 21m

1 1K m V V mPC PQ PQ dm2 2

2

P2 P2

1 1 21 21 21 21m

1 1K m V V mPC PQ PQ PQ PQ dm

2 2

= 0 (perpendiculares)

2

P2 P2 P 2

1 1 21 zz 21

1 1K m V V mPC I

2 2

Término de Término Término deTraslación desviador Rotación

NOTA: ES RECOMENDABLE ESCOGER ADECUADAMENTE LA PARTÍCULADEL CUERPO ES ESTUDIO, PARA SIMPLIFICAR LO MÁS POSIBLE ESTAECUACIÓN.

CASOS PARTICULARES:

1) Si P = I (centro instantáneo de rotación, centro de rotación o partícula de

velocidad nula)

2

212

1

I

zz I I K

2) Si P = C (centro de masa)

2

c2 c 2

C 1 zz 21

1 1K M V I

2 2

NOTA: EN UN INSTANTE DADO, EL VALOR DE LA ENERGÍA CINÉTICA DE UNCUERPO NO DEPENDE DE LA PARTÍCULA QUE SE HAYA ESCOGIDO PARADETERMINARLA.

.


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RECOMENDACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE DINÁMICA DESISTEMAS FORMADOS POR MECANISMOS DE DOS O MÁS CUERPOS

1. Dibujar las posiciones, inicial y final.

2. Ubicar los C.I.R de todos los cuerpos que formen el sistema material.

3. Dibujar los D.C.L de todos y cada uno de los cuerpos del sistema.

a. En la posición donde este la pregunta.

b. En dos posiciones distintas: si hay cambios de curvatura o cambios deotras condiciones. Por ejemplo si hay un tramo rugoso y otro liso.

4. Plantear las ecuaciones donde aparezca la incógnita o que conlleven aobtenerla.

5. Escribir solo aquellas ecuaciones de movimiento que contengan las incógnitascomunes a cada par de cuerpos.

6. Si un cuerpo está en traslación pura, la ecuación útil es la suma de fuerzas enla dirección del movimiento.

7. Si un cuerpo está en rotación pura, es recomendable tomar momento en elcentro de rotación. (Para resolver el problema dinámico).

8. Para los discos en rodadura, se recomienda tomar momento en el C.I.R

9. Las ecuaciones de movimiento se escriben para cada cuerpo.

10. El sistema de ecuaciones se complementa con la relación cinemática entrecada par de cuerpos.

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