Mecanica Calculo Engranajes Cilndricos

5/10/2018 Mecanica Calculo Engranajes Cilndricos - slidepdf.com

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Autor: Dr. Gonzalo González Rey,

Profesor Principal de Elementos de Máquinas.CUJAE, Facultad de Ingeniería Mecánica.Ciudad de la Habana. Cuba.Experto de ISO TC60 y Miembro Académico de AGMA.Email: [email protected]

Ciudad Habana 2001



Cálculo de engranajes cilíndricos Dr. Gonzalo González Rey 1

I - GEOMETRÍA BÁSICA PARA EL CÁLCULO DE RESISTENCIA DE LOSENGRANAJES CILÍNDRICOS .

Las transmisiones por engranajes es el grupo de transmisiones mecánicas más difundido e importante desdelos inicios de la Revolución Industrial hasta nuestros días. Este mecanismo de tres miembros, en el cual doselementos engranados son móviles y forman con el elemento fijo pares de rotación o traslación, esempleado en los más diversos campos y condiciones de trabajo: desde relojes y equipos de precisión hastamáquinas de grandes dimensiones.

Según una encuesta realizada, por los editores de la revista estadounidense Gear Technology en el año1996, se afirma que: la rueda dentada más pequeña en uso actualmente fue producida en Albuquerque(EUA) para un micromotor de sílicon y tiene un diámetro de cresta de 0,05 mm1, en cambio la mayor ruedadentada en explotación esta instalada en el accionamiento final de un agitador en Toronto (Australia) ypresenta un diámetro de referencia de 93 m2.

Lo anterior brinda una medida del amplio uso que en la actualidad tienen las transmisiones por engranajeslas cuales son capaces de soportar fuerzas circunferenciales comprendidas entre 0,001 N y miles de kN, conposibilidad de trasmitir momentos torsores de hasta miles de kN-m o potencias de hasta decenas de milesde kW en las transmisiones mayores.

1.1- Tipos de Engranajes.

De las numerosas formas de clasificar los engranajes, quizás la más empleada sea la que corresponda a ladisposición espacial que presentan los ejes geométricos de rotación de las ruedas, pues es muy fácil apreciarel arreglo para el montaje que presentan los árboles que soportan las ruedas dentadas y de esta formarealizar la agrupación de los engranajes para su estudio.

1.1.2- Clasificación de los engranajes según la disposición de los ejes en el espacio.

! Ejes paralelos.- Engranajes de ruedas cilíndricas con dientes rectos.- Engranajes de ruedas cilíndricas con dientes helicoidales.- Engranajes de ruedas cilíndricas con dientes bihelicoidales.- Engranajes de ruedas elípticas.- Engranajes de linterna.- Engranajes beveloide.

1 Gear Technology Staff, ̈ Addendum. Who’s Got the Biggest Gears?, ̈ Gear Technology, Vol 13, N° 3, 1996.

2 Gear Technology Staff, ̈Addendum. Big Gears from Down Under, ̈ Gear Technology, Vol 13, N° 5, 1996.

Rueda cilíndrica con 13 metros de diámetro ydientes helicoidales elaborada por la firmafrancesa Ferry. Precisión de fabricación ISO 8.




! Ejes concurrentes.

- Engranajes de ruedas cónicas con dientes rectos.- Engranajes de ruedas cónicas con dientes tangenciales.

- Engranajes de ruedas cónicas con dientes circulares.- Engranajes de ruedas cónicas con dientes cicloidales.- Engranajes de ruedas cónicas con dientes evolventes.- Engranajes de ruedas cónicas con dientes bihelicoidales.- Engranajes de rueda cónica plana y rueda cilíndrica.

! Ejes cruzados.- Engranajes helicoidales.- Engranajes de tornillo sinfín cilíndrico.- Engranajes de tornillo sinfín globoidal.- Engranajes hipoidales.- Engranajes espiroid

- Engranajes helicón.

1.2- Parámetros geométricos de las ruedas dentadas cilíndricas en engranajesde contacto exterior.

1.2.1- Planos fundamentales para la geometría del engranaje.

Figura 1.1- Planos geométricos fundamentales.

Plano transversal (t): Plano perpendicular a los ejes de rotación de las ruedas. Caracteriza dimensiones yparámetros de la rueda.

Plano normal (n): Plano perpendicular a las generatrices (flancos) de los dientes. Caracteriza dimensionesy parámetros de las herramientas de corte.

Plano axial (β): Plano paralelo a los ejes de rotación de las ruedas. Caracteriza parámetros asociadoscon el ancho del engranaje.

n

t

β cremalleraRueda

dentada




1.2.2- Parámetros fundamentales de la geometría de las ruedas.

Existe un grupo de parámetros geométricos, que una vez conocidos, puede ser realizado el cálculo completode la geometría de las ruedas dentadas. Ellos son :

z : Número de dientes.m : Módulo normal.β : Ángulo de la hélice en el cilindro de referencia.b : Ancho del diente.x : Coeficiente de corrección del diente.

α : Ángulo del perfil de la cremallera de referencia.c* : Factor de holgura radial (c / m).ha*: Factor de altura de cabeza (ha /m).

Usualmente es aceptado en los cálculosprácticos que ha* = hFP*

Para conservar la constancia de la relación de transmisión cinemática en el engranaje los dientes del piñón yla rueda deben tener los perfiles conjugados, es decir que : La normal común a los perfiles en contactodivide a la distancia entre centros en dos segmentos inversamente proporcional a las velocidadesangulares de las ruedas. Esta condición de contacto de los dientes entre el piñón y la rueda se observa siellos engranan correctamente con la cremallera de referencia. Los parámetros del perfil de la cremallera dereferencia pueden ser determinados de aquellos perfiles básicos más difundidos y normados.

Una de las formas más difundidas de altura y ángulo de flanco de los dientes del perfil de referencia en lascremalleras básicas corresponde a : α = 20°, ha

* = 1 y c* = 0,25, aceptada en la norma japonesa JIS B1701-72, la norma polaca PN-78/m-88503, la norma soviética GOST 13755-68, la estadounidense AGMA201.02-68 y la norma internacional ISO 57-74. Otras formas difundidas de perfil de referencia en lascremalleras básicas son presentadas en la tabla 1.

Tabla 1.2 - Valores de perfiles de referencia de cremalleras básicas.

α ha* c* ρF

* Norma que acepta20,0° 1,00 0,25 0,250 ---

20,0° 1,00 0,25 0,300 AGMA 201.02-68

20,0° 1,00 0,25 0,375 JIS B 1701-7220,0° 1,00 0,25 0,400 GOST 13755-6820,0° 1,00 0,35 0,300 ---20,0° 1,00 0,40 0,400 ---20,0° 1,20 0,50 0,300 ---22,5° 1,00 0,25 0,400 ---25,0° 1,00 0,25 0,318 AGMA 201.02-6814,5° 1,00 0,157 0,470 AGMA 201.02-68

ρF* : factor del radio de curvatura en la zona de transición del pie diente (ρF / m).

Figura 1.2- Perfil de referencia decremallera básica paraherramienta. Es usual adoptarperfiles de referencia igualespara la herramienta y elengranaje, es decir:

α=αp, ha= hfp, ρf = ρap.

1- perfil de herramienta,2- perfil de engranaje,3- fondo de herramienta,4- cresta de rueda.




Actualmente en varias de las normas relativas a engranajes, editadas por diferentes países, existe unamarcada coincidencia en los valores de módulo recomendados en la primera serie de preferencia. Con masfrecuencia son empleados los módulos recomendados en la norma internacional ISO 54-77 : 1 ; 1,25 ; 1,5 ;

2 ; 2,5 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 16 ; 20 ; 25 mm.

1.2.3- Ecuaciones para el cálculo geométrico de las ruedas dentadas.

A continuación se exponen las fórmulas principales para el cálculo geométrico de las ruedas dentadas,conociendo sus parámetros fundamentales. En las siguientes fórmulas son empleados los subíndices 1 y 2para el piñón y la rueda respectivamente.

Ángulo de la hélice del diente en cualquier cilindro de diámetro dy :

β⋅=β

−

d

tandtan

y1y

Ángulo del perfil de referencia de la cremallera básica en el plano transversal:

βα

=α−

cos

tantan

1t

Espesor normal del diente en el cilindro de referencia:

α⋅⋅+π

⋅= tanx22

msn

Diámetro de referencia: β⋅= cos / zmd

Diámetro de fondo:

−+⋅⋅−= xchm2dd **af

Diámetro de cresta: mc2da2d*

fwa 1,22,1⋅⋅−−⋅=

Diámetro básico: tb cosdd α⋅=

Altura del diente: ( ) affa hhdd5,0h +=−⋅=

Altura del pie del diente:

−−⋅= xchmh**

af

Altura de cabeza del diente: ( )dd5,0h aa −⋅=

Paso básico normal: 1kkb WWcosmp −−=α⋅π⋅=

Longitud de la tangente base (normal común) medida sobre k dientes:

( )[ ]tk invztanx25,0kcosmw α⋅+α⋅⋅+−⋅π⋅α⋅=




1.2.4- Ecuaciones para el cálculo geométrico del engranaje cilíndrico de ejes paralelos ycontacto exterior.

Anteriormente fueron brindadas algunas de la fórmulas básicas para el cálculo de la geometría de unarueda, pero al vincularse dos ruedas mediante su engrane surgen otros parámetros importantes que permitenvaloraciones importantes de su montaje y funcionamiento. A continuación son relacionadas las principalesfórmulas para el cálculo geométrico de un engranajes cilíndrico de ejes paralelos y contacto exterior.

Corrección sumaria: ( ) ( )21twt21 zztan2invinvxxx +⋅α⋅ α−α=+=Σ

Donde : inv tant t tα α α= −( )

inv tanwt wt wtα α α= −( )

Coeficiente de recubrimiento transversal:

( ) ( )

β

α

⋅π⋅

α⋅−

−+−⋅=ε α

cos

cos

m

senadddd5,0

t

wtw2

2b2

2a21b

21a

Coeficiente de recubrimiento axial:π⋅

β⋅=εβ

m

senbe, donde : be : Ancho de engrane (mm).

Coeficiente de recubrimiento total: β α γ ε ε ε +=

Razón de engrane:1

2

z

zu =

Distancia interaxial:

( )

⋅

⋅+⋅

=wt

t w

z zma

α

α

β cos

cos

cos221 =

wt

t aα

α

cos

cos⋅ ;

( )β⋅ +⋅=cos2

zzma 21

Ángulo de engranaje en el plano transversal:

⋅+

=α−

w

2b1b1wt

a2

ddcos

( )

⋅α⋅+⋅

=α−

w

t11wt

a2

cos1udcos =

α⋅=α

−

w

t1wt

a

cosacos




1.3- Coeficientes de corrección en los flancos de los dientes de evolvente deengranajes cilíndricos.

En la practica existen dos métodos básicos de elaboración de los dientes en las ruedas cilíndricas: el métodode copia y el método de generación. Durante el método de copia, el borde cortante o la matriz que forma eldiente es una copia exacta de la rueda a fabricar o de cierta parte de ella

En cambio durante el procedimiento de generación el borde cortante de la herramienta es capaz de crearmediante una rodadura controlada los perfiles de los dientes.

En un amplio rango de fabricación de ruedas dentadas cilíndricas el método de generación supera al métodode copia, pues el procedimiento de generación permite de forma muy simple variar una gran cantidad deparámetros de las ruedas dentadas con mayor racionalidad y precisión, además de permitir el tallado deruedas dentadas con corrección de los flancos de dientes, mediante el conveniente desplazamiento de laherramienta generadora con relación a la posición de referencia que se establece entre la rueda tallada y larecta de módulo en la herramienta empleada.

a) Rueda tallada sin corrección, b) Rueda tallada con corrección negativa, c) Rueda tallada con corrección positiva.

Básicamente la corrección de los dientes, empleando un desplazamiento radial de la herramienta en elengrane para el tallado, permite el mejoramiento de la resistencia del dentado mediante el trazado del perfilactivo de los dientes por diferentes partes de la curva de evolvente de la misma circunferencia básica. Lafabricación de ruedas con dentado corregido no es más compleja y costosa que las ruedas no corregidas. Sefabrican en la misma máquina herramienta que las empleadas para ruedas dentadas sin corrección, ladiferencia en su elaboración consiste en que los semiproductos exigidos se hacen con diferentes diámetros.

Tallado con fresas de disco yde vástago. Dos métodosconvencionales de copia parael tallado de ruedas dentadas.

La elaboración de ruedasdentadas con empleo defresa madre, es un de losmétodo de generación másdifundidos para el talladode ruedas dentadas.




Por supuesto, que una vez conocidas las expresiones de los epígrafes anteriores, el cálculo técnico de lasruedas con dientes corregidos no presenta dificultades.

Relacionada con la corrección en los flancos de los dientes de evolvente de engranajes cilíndricos existen

múltiples propuestas en dependencia del efecto deseado en el engranaje. A continuación son expuestasalgunas de estas relaciones.

1.3.1- Influencia de la corrección de los dientes en el engranaje.

Eligiendo de modo correspondiente los coeficientes de corrección en los dientes de evolvente puede seraumentada la capacidad de carga del engranaje y ajustar el montaje de las ruedas engranadas en unadistancia interaxial prefijada conservando la relación de transmisión cinemática dada. Con ayuda de lascorrecciones positivas en la rueda se puede prevenir la interferencia de los dientes engranados y posibilitarel tallado de piñones con número de dientes pequeños sin peligro del socavado de sus bases.

En la tabla 2, puede ser observado que : correcciones positivas producen un aumento de la resistencia delos dientes a la fractura y a la picadura, aunque el efecto favorable de mejorar la resistencia del dentado esmás significativo en ruedas con pequeños números de dientes. Sin embargo el aumento de los coeficientesde corrección pueden conducir a la disminución del espesor del diente cerca del vértice y provocardebilidad a la fractura en su cresta, por tal motivo los valores máximos del coeficiente de corrección serestringen por las condiciones que pueden provocar un tallado puntiagudo de los dientes.

Tabla 1.2. - Influencia de la corrección y el ángulo de la cremallera de referencia en la resistencia delengranaje3.

Tipo de engrane Resistencia a la fractura Resistencia a la picaduraz1 = 9 z2 = 27 z1 = 18 z2 = 54 z1 = 9 z2 = 27 z1 = 18 z2 = 54

α = 20°, x1=x2=0 1,00 1,00 1,00 1,00

α = 20°,x1=x2=0,5 2,03 1,26 1,60 1,33

α = 28°, x1=x2=0 1,53 1,12 1,68 1,29

3 Niemann, G., Maschinenelemente, Berlín 1965

Efecto en la forma de los dientes del númerode dientes y el coeficiente de corrección.

Mediante la corrección puede aumentar la capacidad portante delos engranajes debido a: un aumento del ancho del diente cercade su base, posibilidad de reducir el número de dientes yaumentar respectivamente el módulo, aumento de los radios decurvatura de las superficies de evolvente, posibilitar el engranede varios pares dentados cuando uno de ellos pasa por el polo ydisminución de la velocidad del deslizamiento.

Los parámetros principales para evaluar la corrección del dentado sonlos coeficientes de corrección, que cuantifican el desplazamiento

absoluto de la herramienta ∆abs relativo al módulo:

mx

1abs1

∆= y

mx

2abs2

∆= .




En el caso del engranaje se define la corrección sumaria como: xΣ = x1 + x2

Es considerado un coeficiente de corrección positivo ( x > 0 ) en caso de un alejamiento de la herramienta,en caso contrario se indica un coeficiente de corrección negativo ( x < 0 ).

1.3.2- Relaciones prácticas para aplicar las correcciones.

" Correcciones para ruedas con pequeño número de dientes, en las cuales se desea evitar el socavadodel fondo del diente.

β⋅

α⋅−≥

3

2*

acos2

senzhx

" Corrección parcial.

Si 5,0x0 ≤≤ Σ entonces x1 = xΣ y x2 = 0

Si 0x5,0 ≤≤− Σ entonces x1 = 0 y x2 = xΣ

" Correcciones recomendadas por normativas de algunos países, cuando no existen limitaciones en ladistancia interaxial nominal exigida para el montaje.

Según norma alemana: x1 = x2 = 0,5 xΣ = 1

Según norma soviética: x z= − ⋅0 61 0 0061, ,

Según norma belga: x z= − ⋅0 9 0 03, ,

" Correcciones recomendadas para el piñón, cuando existe un valor establecido de corrección sumaria para el engranaje.

Según el instituto alemán FZG :2

1z4,01u

1u

1u

xx

⋅++−

++

= Σ

Según la firma MAAG4:

⋅

⋅

+−+⋅= Σ

100zzlog

ulog

2

xxAx5,0x

21

211

donde: A = 0,71 para α = 15,0° A = 0,61 para α = 17,5° A = 0,50 para α = 20,0° A = 0,38 para α = 22,5° A = 0,23 para α = 25,0°

4 MAAG Gear Company Ltd., MAAG Gear Book, Zurich 1990




" Corrección proporcional básica.

Si 0x ≥Σ entonces21

21

zz

zxx

+⋅

= Σ

Si 0x <Σ entonces

+−⋅= Σ21

21zz

z1xx

Adicionalmente, existen recomendaciones con empleo de gráficos para una distribución aceptable delcoeficiente de corrección. Algunas de ellas son mostradas a continuación.

Orientaciones de la relación2

21 x x + para valores de2

21 vv z z + en engranajes con α=20°.

Gráfico de los valores límites del coeficiente de corrección por aguzado del diente (en función de espesorde cresta) y por socavado del fondo del diente.

Límite por aguzado de los dientes

Límite por socavado de los dientes

zona recomendada

Socavado del diente.




1.4 - Descifrado de los parámetros geométricos fundamentales del dentado deun engranaje cilíndrico de contacto exterior y de ejes paralelos.

Las reglas para elaborar los planos de trabajo (de taller) de las ruedas dentadas cilíndricas con perfil deevolvente orientan la identificación de los parámetros geométricos fundamentales del dentado en larepresentación de las ruedas dentadas y en la tabla de parámetros que acompaña el plano.

Durante la representación de las ruedas dentadas en los planos de trabajo se requiere especificar:

- El diámetro de la circunferencia de cresta (da).- El ancho del dentado (b)- Dimensiones del destalonado de la cabeza del diente.- La rugosidad de los flancos del diente.- La profundidad de la corrección longitudinal del diente.

De todos estos parámetros, solo el diámetro de cresta da es importante para la geometría de la rueda y elengranaje, el resto de los parámetros tienen un variado nivel de influencia en la resistencia del engranaje. Enla tabla de parámetros incluida en el plano de trabajo de las ruedas dentadas cilíndricas es necesarioespecificar:

• El modulo (m).• La cantidad de dientes (z).• El ángulo de inclinación de la hélice en el

cilindro de referencia (β).• Sentido de la dirección de la hélice para el

diente helicoidal.• Coeficiente de corrección (x)• Clase precisión y el tipo de conjugación

• Diámetro de referencia de rueda conjugada (d).• Número de dientes de la rueda conjugada (z).• Parámetros de la cremallera básica:- ángulo de flanco (presión) ..................(α)- coeficiente de altura de la cabeza ........(ha

∗)coeficiente de holgura radial ...............(c*)coeficiente de radio de fondo ……… (ρf *).

Módulo mNúmero de dientes z1 Ángulo de inclinación de la hélice β Sentido de dirección de la héliceCoeficiente de corrección xClase de precisiónCremallera básica normalizada

sDatos para el control de la posiciónde los flancos opuestos hDiámetro de referencia

Número dedientes

z2

Rueda conjugadaCódigo del plano

Fig. - Parámetros fundamentales identificados en el plano de taller de

una rueda dentada.




Datos para el control de los flancos opuestos, según los parámetros seleccionados para el control:

a) Control del espesor del diente a una distancia determinada de la cresta.

b) Control de la medida sobre rodillos

c) Control de la longitud de la tangente base.

Fig. –Medición del espesor de un diente con un piede rey de dentado.Espesor de cuerda …………. (s).

Altura de medición de sC. …. (h)

h

s

Fig. – Medición de la distancia entre losrodillos de control con micrómetro.Dimensiones sobre rodillos:(M).

Diámetro de rodillos (D).

Fig. – Medición de la tangente base.Longitud de la tangente base:WK (W5).Cantidad de dientes en WK: k (5).




Con excepción de los datos para el control de la posición de los flancos opuestos y el coeficiente del radiode fondo, el resto de los parámetros de la tabla del dentado son fundamentales para el completamientogeométrico de las ruedas y el engranaje y necesarios a determinar durante el descifrado. Por ello un

descifrado conveniente de la geometría de un engranaje debe ser capaz de brindarnos información sobre losvalores de modulo (m), ángulo de inclinación de la hélice en el cilindro de referencia (β), ángulo de presiónde la cremallera (α), coeficiente de altura de la cabeza (ha

∗), coeficiente de holgura radial (c*) y coeficientesde corrección (x1 y x2).

1.4.1- Parámetros a medir.

Con el objetivo de realizar los cálculos ingenieriles que permiten obtener la geometría fundamental deldentado de las ruedas de un engranaje cilíndrico de contacto exterior y ejes paralelos, es necesario que seanobtenidos los siguientes parámetros:

z1, z2 : Número de dientes de las ruedas. Se debe tener especial cuidado al realizar el conteo de la

cantidad de dientes en las ruedas del par engranado analizado, es recomendable realizaralguna marca con tiza que ayude en este procedimiento.

da1, da2 : Diámetros de cresta de las ruedas. Esta medición debe ser realizada con un pie de rey dedimensiones adecuadas y que permita medir la distancia entre la cresta de dientes opuestosdiametralmente. La medida siempre será más precisa en ruedas con número par de dientes.También es prácticamente aplicable en ruedas con cantidad impar de dientes, siempre mejormientras mayor sea el número de dientes.

b1, b2 : Ancho de los dientes de las ruedas. El ancho de los dientes será medido en el plano axial de lasruedas (plano que contiene a los ejes de rotación de las ruedas). Puede ser empleado un pie derey, aunque puede ser suficiente una regla con graduaciones en milímetros.

Wk1,Wk2: Longitud de la tangente base medida en las ruedas en ¨k¨ dientes. La medida de esteparámetro de control es realizada a través de varios dientes y está dada por la distancia entredos planos paralelos, que tocan en dos flancos opuestos de los dientes, de forma tal que lascaras de medición del instrumento (pie de rey o micrómetro) estén en contacto con los flancosde los dientes en la tangente a la circunferencia básica. Esta medida debe ser realizada en unplano normal a los flancos de los dientes. Con el objetivo de realizar una buena medición de lalongitud de la tangente base es requerido que los dientes controlados estén perfectamentelimpios.

k1, k2 : Número de dientes donde se mide la longitud de la tangente base en las ruedas. Generalmente elnúmero de dientes donde debe ser medida la tangente base puede ser calculado por fórmulas y

gráficos en dependencia de la geometría del engranaje la cual es desconocida en el momento deldescifrado se desconoce. En estos casos, es prácticamente aceptable, una medición de lalongitud base cuando ambas caras de medición del instrumento son tangentes a los flancos delos dientes y el contacto se realice a la misma altura en los dientes (aproximadamente a lamitad de altura). Puede servir de orientación los valores dados en la siguiente tabla, obtenidosdurante repetidas prácticas de laboratorios del Departamento de Mecánica Aplicada del ISPJAEy corroborada con las recomendaciones brindadas en el Manual de Engranaje de la firmaMAAG3.




Tabla .- Orientaciones del número k de dientes para medir la longitud de la tangente base Wk ,

k1 ó k2 : Número de dientes donde se mide la longitud de la tangente base en las ruedas.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

β: Ángulo de

la hélicez1, z2 : Número de dientes de las ruedas.

0° 1118

1828

2836

3644

4455

5565

6575

7585

8595

95100

100110

110120

20° 1016

1624

2430

3042

4248

4855

5565

6575

7585

8595

95100

100110

40° 69

914

1418

1824

2428

2832

3236

3642

4246

4650

5054

5460

h1, h2 : Altura de los dientes en las ruedas. Esta medición puede ser realizada con un pie de rey que tengaextensión de profundidad, debe tenerse especial cuidado en realizar la medición desde la crestadel diente hasta su fondo, en un punto lo más cercano a la base del diente.

aw : Distancia interaxial. Es la distancia entre los centros de rotación de las ruedas y es un valor quedebe ser determinado con relativa precisión. Generalmente en los reductores de velocidad y cajasde velocidades la distancia interaxial de las ruedas dentadas engranadas coincide con números depreferencia establecidos, por lo que puede ser de ayuda el conocimiento de estos valores aldeterminar el valor de la distancia interaxial nominal. Esta magnitud puede ser medida tomandocomo referencia los centros de ejes de los árboles que soportan las ruedas, o preferiblementecomo la suma de los radios de los agujeros de alojamiento de los rodamientos y el espesor deseparación entre ellos.

β : Angulo de inclinación de la hélice en el cilindro de referencia. Este parámetro de las ruedas delengranaje es quizás de los más difíciles de precisar, cuando no se está en presencia de ruedas con

dientes rectos (β = 0°) o cundo no se dispone del equipo requerido para el control de lainclinación de la hélice de los dientes. Estos equipos son generalmente de elevados precios en elmercado internacional y solo se justifica su adquisición en centros donde el intenso empleo delcomprobador de hélice permita reponer en un plazo de tiempo aceptable la inversión realizada.La mayoría de los comprobadores de hélice basan su fundamento en un trazador patrón quepermite un movimiento combinado de traslación y rotación controlado.

Cuando no se disponen de comprobadores de hélices o equipos auxiliares para medir el ángulo deinclinación del diente en el cilindro de referencia, es necesario recurrir a procedimientos de medición menosprecisos, pero también más simples como el conocido y denominado: huella de contacto de la cresta. Con

este fin, la cresta de los dientes de las ruedas son untadas ligeramente con aceite (tinta sería preferible), de

Esquema de un comprobador de hélice con guía y disco intercambiable.Siendo:

1- Trazador deslizante para inspección de la hélice.

2- Disco guía con ranura a un ángulo βb.

3- Corredera guía.

4- Disco del circulo básico db.




forma tal que permita dejar una clara huella al hacer rodar la rueda en línea recta sobre una superficie limpia,lisa y blanca. En esta huella es posible medir con cierta precisión el ángulo de inclinación de la hélice deldiente en la cresta βa .

Fig. – Huellas marcadas en una superficie plana por crestas de dientes untados con aceite, al hacer rodar la rueda en línea recta.

El ángulo de inclinación de la hélice en el cilindro de referencia puede ser calculado como:

( )β

β=

−sen

. .1

m z tan

da

a

1.4.2 Cálculos ingenieriles

Tomando como referencias los valores previamente obtenidos, es posible determinar con suficiente precisiónpráctica los parámetros del dentado de las ruedas engranadas, en dependencia de la exactitud con que fueronobtenidos los datos iniciales.

m : módulo normal.

El módulo es un parámetro de las ruedas y del engranaje necesario para definir las dimensiones de lacremallera básica de referencia y las dimensiones de las ruedas y dientes. Es una dimensión normalizada enel sistema métrico por ISO 54-77 y por normas editadas en países cuyos Comités Técnicos de Normalizaciónhan optado por el sistema ¨módulo¨, pero que tiene su similar en el sistema ¨diametral pitch¨ normado porAGMA 120.01. Generalmente, un estudio de la procedencia de la máquina donde es empleado el engranajenos puede brindar información para definir el sistema geométrico del engranaje a descifrar.

Tabla . – Conversiones de los valores de módulo m y diametral pitch P.m (mm) 1 1,058 1,25 1,270 1,411 1,5 1,587 1,814 2 2,116 2,5 2,540 3 3,175 4

P (pulg) 25,40 24 20,32 20 18 16,93 16 14 12,70 12 10,16 10 8,466 8 6,350

m (mm) 4,233 5 5,08 6 6,350 8 8,466 10 10,16 12 12,7 16 16,93 20 25,40

P (pulg) 6 5,080 5 4,233 4 3,175 3 2,540 2,5 2,116 2 1,587 1,5 1,277 1

Nota: valores en negritas son preferidos.

El módulo, o su semejante diametral pitch convertido a módulo, puede ser determinado haciendo engranar

varias herramientas de corte con las ruedas dentadas, aquella con la cual exista un engrane perfecto tendrá elmismo módulo que el empleado para el tallado de las ruedas. Este procedimiento, aunque simple, tiene lalimitante de requerir un juego completo de herramientas para dar respuesta a todas las soluciones, por ello esmuchas veces necesario aplicar un método basado en la resta de las longitudes de las tangentes bases ennúmero de dientes consecutivos. El procedimiento toma en consideración que la diferencia antesmencionada coincide con el paso básico del engranaje y su solución matemática es bastante sencilla.

Un análisis de la geometría básica del engranaje en el plano normal permite conocer que:

bbk sp).1k(W +−= (mm)

bb1k sp).2k(W +−=− (mm)

( ) ( ) bbbb1kk sp2ksp1kww −⋅−−+⋅−=− −

recta de guía

huellas de las crestas




Así :

α⋅π⋅=−= − cosmWWp 1kkb (mm)

( ) ( )α⋅π−= − cos / WWm 1kk (mm)

En la fórmula para evaluar el módulo, el valor del ángulo de flanco (α) debe de ser supuesto. Como elmódulo es una magnitud normalizada, prácticamente es posible definir su valor suponiendo α = 20°, puesaunque el ángulo de flanco asumido inicialmente no sea correcto, debido al valor discreto ysignificativamente diferentes entre los módulos de las series de normalización, debe ser desigual en variosgrados el ángulo de presión para que se incurra en un error al evaluar inicialmente el módulo.

α : Ángulo de flanco.

Una de las vías posibles para determinar el ángulo de flanco del perfil de la cremallera básica de referenciadel engranaje es comparando la suma de las longitudes teóricas de las tangentes bases de ambas ruedas(Wt1k y Wt2k) con el resultado de la suma de las longitudes de la tangente base medidas en las ruedas (W1k y W2k).

El anterior procedimiento se realiza para diferentes valores de α y en aquel valor que las sumas de lastangentes presente más similitud corresponderá al valor de α más apropiado al ángulo de flanco del perfilde la cremallera básica de referencia empleado en el engranaje a descifrar.

La aplicación de la fórmula 6 tiene como ventaja que no requiere del conocimiento de las correcciones delperfil de los dientes de las ruedas y solo requiere evaluar el ángulo de engranaje en el plano transversal αtw.

A continuación es expuesta la deducción matemática que demuestra lo antes expresado:

( )[ ]t111k invztanx25,0kcosm1Wt α⋅+α⋅⋅+−⋅π⋅α⋅=

( )[ ]t222k invztanx25,0kcosm2Wt α⋅+α⋅⋅+−⋅π⋅α⋅= kkk 2Wt1WtWt +=Σ

( ) ( ) ( )[ ]t212121k invzzxxtan21kkcosmWt α⋅+++⋅α⋅+−+⋅π⋅α⋅=Σ

Conociendo que el término ( ) ( ) ( ) t21tw2121 invzzinvzzxxtan2 α⋅+−α⋅+=+⋅α⋅

tendremos que la suma de las longitudes teóricas de las tangentes base es igual a:

( ) ( )[ ]tw2121kkk invzz1kkcosm2Wt1WtWt α⋅++−+⋅π⋅α⋅=+=Σ (mm)

Siendo:

α αβt tan tan=

−1

cos , ( )a m z z= ⋅ +⋅1 2

2 cosβ (mm) , α αtw t

wa a= ⋅

−cos cos1

En la siguiente tabla se presenta un caso en que el ángulo de presión α = 20° es el correspondiente al delengranaje en proceso por observarse una coincidencia prácticamente exacta entre la suma de las longitudesteóricas de las tangentes bases de ambas ruedas (ΣWtk=Wt1k+Wt2k) con la suma de las longitudes de latangente base medidas en las ruedas (ΣWtk=Wt1k+Wt2k).




Tabla – Evaluaciones de diferentes ΣWtk=Wt1k+Wt2k y ΣWtk=Wt1k+Wt2k para estimar el valor deángulo de presión α en un engranaje en proceso de descifrado.

Datos Iniciales:Rueda 1:

Número de dientes z1 = 17Longitud de tangente base w3 = 39,90 mm

Rueda 2Número de dientes z2 = 52Longitud de tangente base w5 = 71,68 mm

Engranajem = 5 mmβ = 11° aw = 180 mm

Ángulo de presión propuesto α 14,5° 20°°°° 22,5° 28° Ángulo de engranaje αtw 19,25° 23,74° 25,91° 30,85°

inv αtw 0,01324 0,02546 0,03357 0,05887ΣWtk=Wt1k+Wt2k 110,87 111,57 112,28 115,02ΣWtk=Wt1k+Wt2k 111,58

x1 , x2 : Coeficientes de corrección.

Conociendo la interrelación geométrica entre la longitud de la tangente base y el coeficiente de correcciónpuede ser obtenido el valor del coeficiente de corrección de los dientes para cada una de las ruedasengranadas.

( )

α⋅−−⋅π−

α⋅⋅

α⋅= t11

11 invz5,0k

cosmWk

tan21x

( )

α⋅−−⋅π−

α⋅⋅

α⋅= t22

22 invz5,0k

cosm

Wk

tan2

1x

Una forma de corroborar estos resultados es comparando la suma de x 1 y x2 con el valor de correcciónsumaria del engranaje xΣ, si los valores son prácticamente aceptables el descifrado de los parámetrosgeométricos ha sido satisfactorio, en caso contrario convendría revisar los cálculos, las medicionesrealizadas o el valor de ángulo de flanco (α) aceptado .

( )21ttw

21 zztan2

invinvxxx +⋅

α⋅

α−α=+=Σ

La validez de estos resultados está en dependencia de la calidad de los datos iniciales obtenidos mediantemediciones en el dentado de las ruedas.

c* : Coeficiente de holgura radial.

El valor del coeficiente de holgura radial de la cremallera básica del engranaje usualmente coincide con elexistente entre las ruedas engranadas, si los dientes en las dos ruedas presentan la misma altura. Ladeducción de este valor puede ser obtenido mediante el empleo de las siguientes fórmulas.

( )[ ]c a da da h mw* , / 1 1 2 20 5= − ⋅ + +

( )[ ]c a da da h mw* , / 2 1 2 10 5= − ⋅ + +




En caso de disponerse de los calibres requeridos y la posición del dentado engranado permite que lamagnitud de la holgura radial pueda ser medida, simplemente puede ser calculado el coeficiente de holguraradial como:

c*1,2 = c1,2 / m

ha* : Coeficiente de altura de la cabeza.

Conociendo los parámetros geométricos anteriormente explicados pueden ser deducidas las fórmulas paradeterminar los valores de los coeficientes de altura de la cabeza. Generalmente estos valores son igualespara los dientes del piñón y de la rueda, por supuesto que diferencias en estos valores pueden ser atribuidasa imprecisiones en las mediciones o al empleo de dientes con alturas diferentes, debido a un recortadoarbitrario de sus crestas en la elaboración de los semiproductos.

d1,2 = m.z1,2 / cos β (mm)

hda a d

mxa

w*1

2 11

2

2=

− ⋅ +⋅

+

hda a d

mxa

w*2

1 22

2

2=

− ⋅ +⋅

+

Conclusiones.

El procedimiento presentado puede ser organizado mediante el empleo de las siguientes tablas.

Tabla 1- Datos iniciales para la obtención de los parámetros del dentado.

Parámetros Unidades Símbolo Piñón Rueda

Distancia interaxial mm aw

Ancho de diente mm b

Número de dientes - z

Altura de diente mm h

Diámetro de cresta mm da Longitud de tangente base mm Wk

Número de dientes de medición - k

Longitud de tangente base mm Wk-1

Número de dientes de medición mm k-1

Angulo de la hélice en cresta ° βa

Tabla 2- Organización de los cálculos

Parámetro unidad rueda α=14,5° α=17,5° α=20,0° α=22,5° α=25,0° α= ° mm 1

mm 2m

mm e

° 1β

° 2

Definir β e

αt ° ea mm e

αtw ° e

ΣWtk mm e

ΣWk mm e

Definir más cercano

x1 - 1

x2 - 2

x1 + x2 - e

xΣ - e

Definir más cercano

c* - 1

- 2

ha* - 1

- 2




II - COMPROBACIÓN DE LA CAPACIDAD DE CARGA DE LOS

ENGRANAJES CILÍNDRICOS.Para la verificación de la capacidad de carga de los engranajes cilíndricos han sido dos los criterios másdifundidos y estudiados: resistencia a los esfuerzos de contacto y resistencia a las tensiones en la base deldiente, los cuales han servido de base a diversas normas de comprobación de este tipo de engranaje.

El criterio de resistencia a los esfuerzos de contacto analiza la capacidad de trabajo de los flancos activos delos dientes considerando que no ocurra un deterioro por fatiga superficial (picadura) antes de un plazo detiempo previsto. En cambio, el criterio de resistencia a los esfuerzos en la base (fondo) del diente verificaque no ocurra la fractura de los diente por fatiga volumétrica y pueda ser cumplido el plazo de tiempoesperado para el servicio en explotación.

Los criterios de resistencia a la picadura y a la fractura de los dientes, aplicados a modelos adecuados decálculo, permiten la obtención de ecuaciones básicas que una vez mejoradas con la introducción de algunoscoeficientes teóricos y prácticos, permiten que su aplicación al cálculo de los engranajes sea un reflejo másfiel de la realidad. Por lo tanto, la verificación de la capacidad de carga de los engranajes se basan en lasconfrontaciones de los esfuerzos de contacto calculados con los admisibles que dependen de lascondiciones de contacto de los dientes en los puntos de posibles deterioros, y de los esfuerzos en la base deldiente con los admisibles a la flexión.

Un ejemplo del planteamiento anterior, es la Norma ISO 6336:96, para el cálculo de la capacidad de cargade engranajes cilíndricos, la cual toma en consideración las particularidades de las actuales transmisionespor engranajes cilíndricos y el estado del conocimiento derivado de la experiencia y estudios realizados.

2.1- Normas más conocidas para el cálculo de la capacidad de carga deengranajes cilíndricos de ejes paralelos.

2.1.1- Normas y Reportes Internacionales (ISO).

De las numerosas agrupaciones técnicas de ISO (siglas aceptadas internacionalmente para identificar a laOrganización para la Normalización Internacional), ha sido designado el Comité Técnico 60 (ISO TC60)para dedicarse plenamente a la elaboración, discusión y aprobación de las Normas Internacionales referidasa engranajes.

Desde 1993, la secretaría de ISO TC60 corre a cargo de la Asociación Americana de Fabricantes deEngranajes (en ingles, American Gear Manufacturers Association, AGMA) y es dirigida por William A. Bradley, quien es actualmente Jefe de la División Técnica de AGMA y personalidad de gran prestigiotécnico e intelectual entre especialistas vinculados con los engranajes. Anteriormente el Instituto Belga deNormalización había sido responsabilizado con la conducción del mencionado Comité Técnico, bajo ladirección del Dr. M.J.Sprengers.

Hasta el mes de Diciembre del 2000, ISO TC60 presentaba aprobadas 22 Normas ISO y 8 ReportesTécnicos (TR). De estas normas, son dirigidas al cálculo de la capacidad de carga de los engranajescilíndricos las siguientes:




ISO 6336-1 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.Introducción y factores de influencia general.

ISO 6336-2 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.

Cálculo de la durabilidad superficial (picadura).

ISO 6336-3 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.Cálculo de la resistencia en el pie del diente.

ISO 6336-5 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.Resistencia y calidad de los materiales.

ISO-TR10495 : Cálculo de la vida de servicio en condiciones de carga variable, para engranajes cilíndricos.

ISO-TR13989-1: Verificación de la resistencia de los flancos de los dientes al desgaste adhesivo.Criterio de temperatura de flash.

ISO-TR13989-2: Verificación de la resistencia de los flancos de los dientes al desgaste adhesivo.Criterio de temperatura media.

Derivada de la Norma ISO 6336, dirigida a engranajes con aplicación general, se han realizado un grupo depropuestas de normas con aplicaciones más especificas, como son los casos de:

ISO-CD9085-1: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos industriales.

ISO-CD9085-2: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos industriales. Cálculo simplificado.

ISO-CD9084 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos para altas velocidades.

ISO-CD9083 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos con aplicación en la marina.

ISO-CD9082 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos con aplicación en vehículos.

ISO-CD9081 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos con aplicación en la aviación.

2.1.2- Normas Estadounidenses (AGMA).

Es innegable el destacado aporte realizado, en el desarrollo de normas y orientaciones para el cálculo de lacapacidad de carga de los engranajes de la Asociación Americana de Fabricantes de Engranajes (AGMA),reconocida por muchos como la principal agrupación en el estudio de los engranajes. Fundada en 1916, por

nueve compañías productoras con intereses en la normalización de los engranajes, AGMA presenta unamembresía actual de 350 compañías vinculadas a la tecnología de engranajes y significativas personalidades deprestigio internacional en esta temática.5

Desde 1993, AGMA posee la dirección del Comité Técnico 60 de la Organización Internacional deNormalización (ISO), responsable del desarrollo de normas internacionales relacionadas con los engranajes.Actualmente posee 49 comités técnicos vinculados al desarrollo de normas AGMA para el diseño, fabricacióny aplicación de los engranajes y acoplamientos dentados.

Uno de los principales fundamentos de la asociación es el desarrollo y actualización de las normas AGMA.Debido al intenso trabajo desarrollado, actualmente cuenta con un total de 64 normas vinculadas al campo de

5 AGMA Staff, ̈ Keeping the World in Motion ̈ , Machine Design, Sept. , N° 12, 1991




los engranajes. De ellas, directamente asociadas al cálculo de la capacidad de carga de los engranajescilíndricos son las siguientes normas AGMA:

ANSI/AGMA2001: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos con dientes de evolvente.

(sistema ingles).

ANSI/AGMA2101: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos con dientes de evolvente.(sistema métrico).

AGMA 370.01 : Manual de diseño de engranajes cilíndricos.

2.1.3- Normas Alemanas (DIN) .

En los trabajos iniciales realizados para la discusión y la aprobación de la vigente Norma ISO 6336,tuvieron gran importancia como propuestas de normas preliminares las actuales normas alemanas:

DIN 3990-1: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.Introducción y factores de influencia general.

DIN 3990-2: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.Cálculo de la durabilidad superficial (picadura).

DIN 3990-3: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.Cálculo de la resistencia en el pie del diente.

2.1.4 - Normas Soviéticas (GOST) .

Las normas soviéticas fueron durante mucho tiempo el reflejo del elevado desarrollo alcanzado por lasinvestigaciones en el campo científico-técnico por la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas (URSS),observado en la detallada edición de las normas GOST, que comprendían en la mayoría de los casos losúltimos avances científicos-técnicos alcanzados por los investigadores en áreas especificas. En el caso delas normas para el cálculo de la capacidad de carga de los engranajes cilíndricos mucho tuvieron que ver lostrabajos de A. Petrusevich y V. Kudriavtsev entre otros investigadores de la URSS. Los trabajos de losinvestigadores soviéticos, además del estudio realizado de las normas CAME y las propuestas de normasISO contemporáneas, permitieron la elaboración de la siguiente norma:

GOST 21354-86 : Engranajes cilíndricos de dientes de evolvente. Cálculo de Resistencia.

2.2- Comprobación de la resistencia a los esfuerzos de contacto.

Este cálculo toma como referencia el modelo formado por dos cilindros en contacto, sobre los cuales seaplica una fuerza. El modelo empleado ha permitido desarrollar las ecuaciones de Hertz para evaluar losesfuerzos de contacto, considerando que los cilindros tienen un radio igual al de los flancos de los dientescuando realizan contacto en el polo.

La comprobación de la resistencia de las superficies activas de los dientes se basa en comparar el máximoesfuerzo de compresión por contacto con el esfuerzo admisible para que no ocurra el deterioro por picadura.

Aunque la forma de los dientes no corresponde con exactitud al modelo utilizado para evaluar los esfuerzosreales máximos, y se conoce también que la resistencia mecánica no solo depende del radio de curvatura

reducido ρ red y de la elasticidad del material, sino también de la calidad de la superficie de los dientes, del

tratamiento térmico y de la lubricación entre otros aspectos, es enmendada la falta de concordancia entre las




premisas teóricas de la fórmula de partida con las condiciones reales de carga en las superficies de losdientes designando los esfuerzos admisibles de contacto determinados por los experimentos por aquelloscalculados con la fórmula básica.

Figura 2.1 - Modelo de referencia para el cálculo de los esfuerzos de contacto.

2.2.1- Fórmula para determinar los esfuerzos de contacto.

La siguiente fórmula es la ecuación de Hertz para determinar los esfuerzos de contacto, en dos cilindros conradios ρ 1 y ρ 2 y longitudes lΣ , estableciendo un contacto exterior :

( ) ( )[ ] red

n

212

221

21H

l

F

1E1E

EE

ρ⋅⋅

υ−⋅+υ−⋅⋅π

⋅=σ

Σ(MPa)

En la ecuación anterior, empleada como ecuación básica para el cálculo de los esfuerzos de contacto en unengranaje cilíndrico con dientes de perfil de evolvente y contacto exterior, los términos son:

E1 y E2 : Módulo de elasticidad de los materiales de los dientes del piñón y de la rueda (MPa). ν1 y ν2 : Coeficiente de deformación transversal (Poisson) del material de los dientes del piñón y de los

dientes de la rueda.be : Ancho de engrane (mm).Fn : Fuerza normal en el flanco de los dientes (N).

ρred : Radio de curvatura reducido en el polo del engranaje. (mm)

Para engranajes cilíndricos de ejes paralelos con contacto exterior y dientes rectos :

12

21red ρ+ρ

ρ⋅ρ=ρ =

( )u12

utancosd t1

+⋅⋅α⋅α⋅

(mm)

lΣ

FN

FNρ2

ρ1




Para engranajes cilíndricos de ejes paralelos con contacto exterior y dientes helicoidales:

tw1b1 tand5,0 α⋅⋅=ρ (mm)

tw2b2 tand5,0 α⋅⋅=ρ (mm)

Plano transversal:

( )u12

utancosd twt1red

+⋅

⋅α⋅α⋅=ρ (mm)

Plano normal:

( ) b

twt1red

cosu12

utancosd

β⋅+⋅⋅α⋅α⋅

=ρ (mm)

lΣ : Longitud sumaria de contacto (mm).

en caso de ε β = 0 entoncesα

Σ ε−⋅

=4

b3l e (mm)

en caso de ε β ≥1 entoncesb

e

cos

bl

βε⋅

= αΣ (mm)

en caso de 0 1< <ε β entonces

( )

ε

ε+ε−⋅

ε−⋅β

=

α

ββ

αΣ

13

4cos

bl

b

e

Sustituyendo en la ecuación básica de Hertz, las fórmulas para la determinación del radio reducido, lalongitud sumaria y la fuerza normal en los dientes, y luego de realizar las agrupaciones necesarias, esobtenida la siguiente ecuación para el cálculo de los esfuerzos de contacto:

( )

ubd

1uKKKKFZZZZ

e1

HHVAtEHH ⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=σ αβ

βε (MPa)

donde:

ZH, ZE, Zε, Zβ : Son coeficientes obtenidos por un agrupamiento de términos durante la deducciónde la formula para el cálculo de los esfuerzos de contacto.

KA, KV, KHβ, KHα : Son factores obtenidos de forma experimental, con una fundamentación teórica,cuyos objetivos son modificar el valor de la carga nominal teórica y ajustarlo aun valor de carga nominal de cálculo.

Ft : Fuerza tangencial nominal (N). F T

d t =

⋅2000 1

1(N)

T1 : Torque nominal en el piñón (Nm).

d1 : Diámetro de referencia del piñón (mm).

be : Ancho de engrane (mm).

u : Razón de engrane.




2.2.1.1 - Factor de elasticidad ZE.

El factor Z E toma en consideración la influencia de las propiedades elásticas del material de los dientes enlos esfuerzos de contacto.

( ) ( )[ ]212

221

21E

1E1E

EEZ

υ−⋅+υ−⋅⋅π

⋅= (MPa1/2)

En el caso de igualdad de material entre los dientes del piñón y de la rueda tendremos que E 1 = E 2 = E yυ 1 = υ 2 = υ , pudiendo ser empleada la siguiente ecuación:

( )2E

12

EZ

υ−⋅π⋅

= (MPa1/2 )

La tabla 2.1 ofrece diferentes valores del factor Z E para distintas combinaciones de materiales empleados,con mayor difusión en la fabricación de ruedas dentadas actuales.

Tabla 2.1- Factor de Elasticidad ZE.

Material de los dientes en el piñón Material de los dientes en la rueda ZE (MPa1/2)

Acero Acero 189,8Acero Fundido 188,9

Hierro Fundido de Grafito Esferoidal 181,4

Hierro Fundido de Grafito Laminar 162,0Bronce al Estaño 159,8

Acero Fundido Acero Fundido 188,0Hierro Fundido de Grafito Esferoidal 180,5Hierro Fundido de Grafito Laminar 161,4

Hierro Fundido de Grafito Esferoidal Hierro Fundido de Grafito Esferoidal 173,9Hierro Fundido de Grafito Laminar 156,6

2.2.1.2 - Factor de zona ZH.

El factor Z H tiene en cuenta la influencia en el esfuerzo de contacto de la curvatura del flanco del diente enla línea polar y permite considerar el efecto de la fuerza tangencial en el cilindro de referencia a partir de lafuerza normal en el cilindro primitivo. Los parámetros de la fórmula para calcular el factor Z H están endependencia del lugar definido (zona), en el modelo de análisis, para considerar el contacto de los flancosactivos en los pares de dientes engranados. Generalmente la zona considerada para el contacto es el polo.




wtt2

bH

tancos

cos2Z

α⋅α

β⋅=

Algunos valores del factor Z H para ciertos tipos de engranajes son dado a continuación como referencia :

ZH = 2,50 cuando α = 20° , xΣ = 0,00 y β = 0°

ZH = 2,28 cuando α = 25° , xΣ = 0,00 y β = 0°

ZH = 2,30 cuando α = 20° , xΣ = 0,00 y β = 25°

ZH = 1,90 cuando α = 20° , xΣ = 0,00 y β = 45°

ZH = 2,30 cuando α = 20° , xΣ = 0,72 y β = 0°

2.2.1.3 - Factor por coeficiente de recubrimiento para esfuerzos de contacto Zεεεε.

El factor Z ε considera la influencia de la distribución transversal de la carga entre varios pares de flancosen contacto. Este coeficiente permite modificar la carga de cálculo teórica entre dientes debido a quecuando existen varios pares de dientes en contacto considera que la carga se distribuye entre ellos según larigidez de los pares, sin considerar errores de paso.

Para dientes rectos (εβ = 0)3

4Z α

εε−

=

Para dientes helicoidales con εβ > 1αε=ε1

Z

Para dientes helicoidales con εβ ≤ 1 ( )α

ββ

αε

ε

ε+ε−⋅

ε−= 1

3

4Z

2.2.1.4 - Factor por ángulo de la hélice para esfuerzos de contacto Zββββ.

El factor Z β considera la influencia que ejerce el ángulo de la hélice en la inclinación de la línea de rotura yen la resistencia a la picadura, aparte del efecto que produce en la capacidad de carga del engranaje desde elpunto de vista geométrico y que es tomado en cuenta por otros factores. El aumento de la inclinación deldiente, produce que la línea de contacto también se incline, produciendo una distribución de la carga másventajosa en el flanco de los dientes.

Ha sido aceptada una evaluación empírica de este factor según :

β=β cosZ




2.2.1.5 - Factor por Aplicación de Carga KA.

El factor K A permite ajustar la fuerza nominal F t , para compensar los incrementos de la carga en elengranaje debido a fuerzas externas. Estas carga externas dependen de las características de la máquinamovida y la motriz, como también de las masas y rigidez del sistema, incluyendo los árboles yacoplamientos empleados. El factor K A es definido como la relación entre el torque máximo del ciclo y eltorque nominal.

Generalmente son orientadas dos formas de valorar la magnitud de K A, una de ellas recomienda elestablecimiento de los valores exactos a través de un análisis de la experiencia de servicio en una aplicacióndeterminada y mediante mediciones prácticas, en cambio si no se dispone de los equipos necesarios o laexperiencia en explotación suficiente puede ser empleada la otra opción, más simple pero menos precisa,basada en tablas de orientación.

Las tablas 2.2 y 2.3 son dos de las formas más frecuentes de ser presentadas las tablas de orientación delvalor del factor K A.

Tabla 2.2 - Valores recomendados del factor por aplicación de carga K A según ISO 6336-1, en dependenciadel tipo de trabajo de la máquina motriz y la movida.

Trabajo de la máquina motrizTrabajo característico de la máquina movida uniforme choques

ligeroschoques

moderadoschoquesfuertes

uniforme 1,00 1,25 1,50 1,75choques ligeros 1,10 1,35 1,60 1,85

choques moderados 1,25 1,50 1,75 2,00choques fuertes 1,50 1,75 2,00 2,25

Tabla 2.3 - Valores recomendados del factor por aplicación de carga K A según la firma MAAG,para engranajes en reductores y multiplicadores.

Máquina motrizMáquina movida motor

asincrónicomotor

sincrónicoMotor de combustión

internaTurbinas de

gasTurbo-compresor, bomba

centrífuga, ventilador1,25 1,35 1,50 1,25

Compresor de pistón 1,50 1,60 1,75 1,50Generador ----- ----- 1,35 1,10

2.2.1.6 - Factor de Carga Transversal para Tensiones de Contacto KHαααα.

El factor K H α toma en consideración la distribución no uniforme de la carga cuando varias parejas dedientes engranan simultáneamente. Un cálculo exacto de este coeficiente requiere de un análisis de lasdeformaciones elásticas bajo carga de los dientes y de la influencia que ejercen las imprecisiones del paso ydel perfil de los dientes en el reparto transversal de la carga, además de cuantos pares de dientes y en quelugar engranan ellos en la línea práctica de engranaje. El factor K H α es definido como la relación entre lamáxima carga que soporta un diente cuando engranan dos ruedas, que se mueven a baja velocidad, y la

correspondiente máxima carga en los dientes de un engranaje similar sin imprecisiones en su dentado.




El factor K H α en unión del factor Z ε ajusta la distribución de carga entre los dientes engranados en la líneapráctica. El termino Z ε considera una distribución de la carga entre los dientes según el coeficiente derecubrimiento y la rigidez del engrane, pero K H α ajusta esta distribución considerando que los errores de

elaboración pueden producir sobre la línea práctica de engrane que exista solo un par de dientes encontacto, incluso para casos de engranajes con coeficiente de recubrimiento transversal mayor de 2.

Una de las formas simplificadas para evaluar con cierta exactitud este factor, es brindada en siguiente tabla.

Tabla 2.4 - Factor de carga transversal K H α según Norma ISO 6336-1 (método C).Ft KA /be mayor de 100 N/mm menor de 100 N/mm

Grado de precisión (ISO 1328-1) 5 6 7 8 todosdientes

endurecidos rectos

helicoidales

1,00

1,00

1,00

1,10

1,10

1,20

1,20

1,40

2,1Z

1

2≥

ε

4,1cos b

2≥

βεα

dientes noendurecidos rectos

helicoidales

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,10

1,10

1,20

2,1Z

1

2≥

ε

4,1cos b

2≥

β

εα

Nota : Si solo una de las ruedas del par dentado tuviera sus dientes endurecidos, entonces debe ser usado unvalor medio de K H α . Si las ruedas tuvieran diferentes grados de precisión, debe ser tomado la menor precisión

en la selección del valor (usualmente es la rueda).

2.2.1.7 - Factor por carga dinámica interna KV.

En la norma ISO 6336 son aceptados un total de cinco métodos para evaluar el coeficiente Kv, conocidoscomo método A, B, C, D y E, con diferencias en la complejidad de cálculo y en los factores consideradoscon influencia en las cargas dinámicas internas.

2.2.1.7.1 - Coeficiente de carga dinámica según el método A.

Este método es aplicable cuando se dispone de una suficiente información del comportamiento y magnitudde la carga dinámica generada internamente durante la transmisión del movimiento entre las ruedas,soportando los dientes una carga plena en el régimen de explotación nominal. Se prevé que este coeficientede carga dinámica sea evaluado a partir de mediciones exactas y con un amplio análisis matemático delsistema de transmisión.

Este es un método recomendado cuando se dispone de toda la información referida a la carga en los dientesy la posibilidad de definir con exactitud practica la magnitud de la fuerza interna generada por los impactosentre los dientes, permitiendo una evaluación del factor de carga dinámica Kv según la siguiente relación :

t

td

F

FFKv

+=




donde:

Fd : Incremento dinámico de la carga en los dientes, debido a la respuesta dinámica del engranajea la excitación producida por los errores de transmisión, sin incluir la fuerza tangencialnominal trasmitida [N].

Ft : Fuerza tangencial nominal trasmitida [N].

2.2.1.7.2 - Coeficiente de carga dinámica según el método B.

El procedimiento de cálculo según el método B, toma como referencia la norma alemana DIN 3990-1 y fueaceptado con ligeras modificaciones en la Norma ISO 6336-1. Para la evaluación del coeficiente de cargadinámica K V este método propone que el par de ruedas engranadas sea considerado semejante al modelomostrado en la figura 2.2, compuesto por dos masas reducidas m1

* y m2*, las cuales son vinculadas a un

muelle de rigidez cγ . En el modelo de análisis, los parámetros m1* y m2

* son representativos de las masasdel piñón y de la rueda por unidad de ancho y el termino cγ del valor unitario medio de la rigidez.

Figura 2.2 - Modelo de análisis del engranaje de dos ruedas cilíndricas con contacto exterior, para el cálculodel coeficiente de carga dinámica, según el método B de la Norma ISO 6336-1.

El modelo de análisis previsto para evaluar K V considera la influencia de la frecuencia de resonancia en elincremento de la carga dinámica en los dientes, según es mostrado en la figura 2.3, aunque para ciertoscasos los valores esperados no son lo suficientemente precisos, pues no es considerada la influencia de otrasetapas de la transmisión en el engranaje analizado, ni los efectos que puede producir la vibración torsionalen todo el sistema de transmisión, entre otros aspectos.

Las fórmulas para evaluar K V corresponden con los siguientes cuatros regímenes, definidos al considerar la

posible resonancia del engranaje y la relación entre la frecuencia de rotación del piñón n1 y la frecuencia deresonancia nE1 :

I. Régimen subcrítico. [n1 /nE1 ≤ 0,85]II. Régimen de resonancia. [0,85 < n1 /nE1 ≤ 1,15]III. Régimen intermedio. [1,15 < n1 /nE1 <1,5]]IV. Régimen supercrítico. [n1 /nE1 ≥ 1,5]

0,85 1,15 1,50 N=n1 / nE1

I

II

III

IV

Kv

Figura 2.3 - Comportamiento del coeficiente de carga dinámica Kv endependencia de la razón de resonancia (N = n1 / nE1), para unacarga nominal constante en los dientes, según el método B.




Para establecer el régimen de trabajo del par de ruedas analizadas, es empleado el factor adimensional N ,denominado Razón de Resonancia y calculado para el modelo de la figura 2.2 según la ecuación (2) :

γ ⋅

⋅π⋅

== c

m

30000

zn

n

n

N

red11

1E

1

donde :n1 : frecuencia de rotación del piñón (min-1).z1 : número de dientes en el piñón.cγ : rigidez media por ancho de diente en el engrane (N/(mm.µm)),mred : masa por unidad de ancho de ruedas, reducida y ubicada en la línea de engranaje (kg/mm).

Para el cálculo de la masa reducida mred , pueden ser empleados los procedimientos clásicos de Teoría deMecanismos y Mecánica Teórica. Para el caso particular de un par de ruedas cilíndricas con contactoexterior puede ser empleada la ecuación siguiente :

21b

*2

22b

*1

*2

*1

redrIrI

IIm⋅+⋅

⋅= (kg/mm)

donde :

I1*, I2* : momentos polares de inercia de las masas de las ruedas, por unidad de ancho (Kg.mm2 /mm).rb1 , rb2 : radios básicos de las ruedas (mm).

Para caracterizar la rigidez media del engrane es empleado el valor medio de rigidez de todos los dientes enel engrane. En cálculos aproximados, la siguiente ecuación es apropiada para el caso de engranajescilíndricos con valores de coeficientes de recubrimiento transversal ε α ≥ 1,2 y ángulos de hélice β ≤ 45°6.

( )25,075,0cc ' +ε⋅⋅= αγ (N/(mm.µm))

donde :

εα : coeficiente de recubrimiento en el plano transversal.c’ : rigidez de un par de dientes engranados (N/(mm.µm)).

La rigidez de un par de dientes c’ en la anterior ecuación es considerada como la rigidez máxima del par dedientes en contacto durante su trayectoria por la línea de engranaje. Este valor es aproximadamente igual ala máxima rigidez del par de dientes en la zona en que solo ellos trasmiten la carga. Para una cargaespecifica en los dientes del engrane mayor de 100 N/mm, es orientada la siguiente ecuación para calcularla rigidez del par de dientes.

( )β⋅⋅⋅⋅= cosCCc8,0c BRth

''

(N/(mm.µm))donde :β : ángulo de la hélice de los dientes en el cilindro de referencia.CR : factor por tipo de rueda. Para ruedas macizas debe ser tomado CR = 1, en caso de ruedas con

vaciados en sus llantas puede ser tomado hasta un valor mínimo de CR = 0,7.CB : factor por tipo de cremallera básica. Para engranajes con cremallera básica de referencia

según ISO 53 -1974 puede ser empleado CB = 1, para otras condiciones es orientado evaluarcomo :

( )[ ] )α−⋅−⋅−ρ+⋅+= ο2002,01*h*15,01C fpfpB

6 Hohn, B., ̈Calculation of the Mean Value of Mesh Stiffness ¨, Doc. 690 en ISO/TC60/WG6, Munich 1997




siendo :ρ*

fp : factor del radio de curvatura en el pie de la cremallera de referencia.h*

fp : factor de altura del pie del diente en la cremallera de referencia.α : ángulo de flanco del perfil del diente en la cremallera de referencia (°).

c’th : rigidez teórica de un par de dientes engranados (N/(mm.µm)).

El valor de la rigidez teórica c’th puede ser obtenido mediante la siguiente ecuación y la tabla 2.5.

1229

218

2v

2726

1v

1514

2v

3

1v

21th

' xCxCz

xCxC

z

xCxC

z

C

z

CCc

−

⋅+⋅+

⋅+⋅+

⋅+⋅+++= (N/(mm.µm))

donde :x1 , x2 : coeficientes de corrección de los dientes del piñón y de la rueda.

zv1 , zv2 : número de dientes de las ruedas equivalentes (virtuales).

Tabla 2.5- Valores de los coeficientes C1 ,C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9 . Unidades en (N/(mm.µm)).C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 0,04723 0,15551 0,25791 -0,00635 -0,11654 -0,00193 -0,24188 0,00529 0,00182

Los errores inevitables, durante la elaboración de las ruedas dentadas, en la magnitud del paso y la formadel perfil , así como los desplazamientos elásticos de los dientes bajo carga, provocan cierta irregularidaddel movimiento en la rueda conducida a pesar que la rueda motriz gire uniformemente. Esta irregularidaddel movimiento provoca cargas dinámicas sobre los dientes y el trabajo del engranaje con vibraciones yruidos.

Las principales cargas dinámicas en los dientes de las ruedas se producen al engranar los dientes ydesengranar el par de dientes precedente. Para conseguir el trabajo sin colisiones, es necesario que losdientes al trasmitir la carga establezcan contacto sobre la línea de engrane, es decir, que sean iguales los

pasos de los dientes de las ruedas engranadas y que los perfiles de los dientes garanticen que la normal alpunto de contacto pase por el punto de tangencia de las circunferencias primitivas. Por ello, a pesar de quelas ruedas se fabricaran con absoluta exactitud, tendrían lugar las colisiones, ya que las deformaciones,inevitables de los dientes a causa de la carga, influyen en el engrane del mismo modo que los errores delpaso o del perfil. Además de la influencia que ejercen los errores de fabricación en los valores de cargasdinámicas, es necesario considerar el efecto que produce la inevitable variación de la rigidez de los pares dedientes engranados, originada por la variación del número de dientes en contacto y la posición ocupada porellos en la línea practica del engrane.

Figura 2.4- Rigidez de un par de dientes helicoidales(.z1 = 53 z2 = 65 m = 1,5 β = 15° x1 = 0x2 = -0,08 εα = 1,7 εβ = 1,1 Ft /b = 484 N ). Figura 2.5- Rigidez en un engrane de dientes rectos a

lo largo de la línea de engranaje, para 1,2 ≤ εα ≤ 1,8.

0 2 4 6 8

10 12 14 16

Línea de engranaje

Cth [N/(mm. m)]

2ares

2ares

C

1 par

Línea de engranaje




Según puede ser observado en la figura 2.4, la rigidez de un par de dientes engranados varía endependencia de la zona del contacto. Pero más significativa es la variación de la rigidez cuando esanalizado el comportamiento conjunto de los pares de dientes engranados a lo largo de la línea práctica,

como es apreciable en la figura 2.5. Esta variación de la rigidez provoca una influencia significativa en laredistribución no uniforme de la carga sobre los dientes y produce deformaciones abruptas que generancargas dinámicas apreciables

La influencia en la carga dinámica de la precisión del engrane y la variación cíclica de la rigidez esconsiderada en el cálculo del coeficiente de cargas dinámicas mediante los siguientes parámetrosadimensionales :

e

At

pbeff'

p

b

KF

fcB

⋅

⋅=

e

At

teff'

f

b

KF

fcB

⋅

⋅=

e

At

'

k

b

KF

Cac1B

⋅

⋅−=

siendo :Bp , Bf , Bk: Coeficientes modificadores de la carga dinámica nominal por efecto de errores del

perfil, el paso y variaciones de la cresta del diente.KA : coeficiente de aplicación de la carga.be : ancho de engrane (mm),f pbeff : desviación efectiva del paso básico después del asentado (µm)f teff : desviación efectiva del perfil del diente después del asentado (µm)Ca : cantidad de modificación del perfil en la cresta del diente (µm).

En caso de no ser conocidos los valores de desviación efectiva del paso básico y del perfil del dientedespués de producirse el ajuste funcional, ellos pueden ser estimados mediante las siguientes fórmulas :

ppbpbeff yff −= (µm) ffteff yff −= α (µm)siendo:

f pb : desviación del paso básico (µm) según ISO 1328-1.f f α : desviación del perfil (µm) según ISO 1328-1.yp : asentamiento permisible para el paso (µm).yf : asentamiento permisible del perfil (µm).

donde :

Para dureza superficial en el diente: pbp f075,0y ⋅= (µm) ; α⋅= ff f075,0y (µm)

Para dureza volumétrica en el diente: pb

Hlim

p f160

y ⋅σ

= (µm) ; α⋅σ

= f

Hlim

f f160

y (µm)

siendo

σHlim : Esfuerzo límite por fatiga superficial del material, para un contacto intermitente (MPa).

2.2.1.7.2.1 - Coeficiente de carga dinámica según método B en el régimen subcrítico.

Este régimen es considerado por debajo de la zona de peligro de resonancia. Por seguridad es definida esazona cuando N < 0,85, debido a que el cálculo de la razón de resonancia no considera la influencia de larigidez de otros componentes de la transmisión como son los árboles, rodamientos y carcaza, los cualesinfluyen en la precisión del cálculo de la resonancia del engranaje. Para la evaluación del coeficiente decarga dinámica en el régimen subcrítico es empleada la siguiente ecuación y los coeficientes de la tabla 2.6:




NBCBCBC1Kv k3Vf2Vp1V ⋅⋅+⋅+⋅+=

Tabla 2.6 - Valores y fórmulas para el cálculo de los factores C V .

Coeficientes 1 2< ≤εγ

εγ

> 2

CV1 0,32 0,32CV2 0,34 ( )0 57 0 3, ,εγ −

CV3 0,23 ( )0 096 156, ,εγ −

CV4 0,90 ( ) ( )0 57 0 05 144, , ,− ⋅ −ε εγ γ

CV5 0,47 0,47CV6 0,47 ( )012 174, ,ε γ −

Nota : εγ : Coeficiente de recubrimiento total = εα + εβ

2.2.1.7.2.2 - Coeficiente de carga dinámica según método B en el régimen de resonancia.

Este régimen es caracterizado por una vibración intensa del engranaje, donde las amplitudes provocadaspor la resonancia pueden destruir la transmisión, en caso de ser mantenido el trabajo del engranaje duranteun tiempo prolongado en esta zona. En este régimen son alcanzados los máximos valores del coeficiente decarga dinámica según puede ser observado en la figura 2.3. La aproximación a esta zona de resonancia serevela exteriormente por un aumento constante de las vibraciones, por tal motivo, se considera como rangopara este régimen aquel que esta comprendido entre los valores de razón de resonancia de 0,85 y 1,15.

Puede ser calculado el coeficiente de carga dinámica en este régimen mediante la siguiente ecuación y los

factores CV de la tabla 2.6.

k4Vf2Vp1V BCBCBC1Kv ⋅+⋅+⋅+=

2.2.1.7.2.3 - Coeficiente de carga dinámica según método B en el régimen supercrítico .

En este régimen pueden ocurrir picos disminuidos de cargas dinámicas en zonas donde la razón deresonancia sea igual a N=2 ó N=3. Es necesario tener en consideración, que para algunas transmisiones eneste régimen, es importante tomar en cuenta las cargas dinámicas debido a la vibración transversal de otrosengranajes y árboles. En caso de que el efecto de los otros componentes de la transmisión sobre las cargas

dinámicas no sea tenido en cuenta, el coeficiente Kv puede ser valorado mediante la siguiente ecuación :7Vf6Vp5V CBCBCKv +⋅+⋅=

La anterior ecuación es aplicable en la zona donde la razón de resonancia toma valores superiores a 1,5.Los factores CV5 y CV6 pueden ser obtenidos de la tabla 2.6, en cambio el factor CV7 debe ser evaluadocomo :

75,0C 7V = para 5,11 ≤ε< γ

2sen125,0875,0C y7v −ε⋅π⋅+= para 5,25,1 ≤ε< γ

1C 7V = para 5,2>ε γ




2.2.1.7.2.4 - Coeficiente de carga dinámica según método B en el régimen intermedio.

Este es un régimen de transición entre el régimen crítico y el supercrítico, por ello el coeficiente de cargadinámica es determinado mediante interpolación lineal entre estos regímenes.

( )( )

( ) ( )[ ]5,1N15,1N5,1N KvKv35,0

N5,1KvKv === −⋅

−+=

2.2.1.7.3 - Coeficiente de carga dinámica según método C.

La determinación del coeficiente de carga dinámica mediante el método C está basada en el procedimientobrindado por el método B, pero con la introducción de algunas consideraciones simplificadoras como :

" Es considerado un régimen subcrítico de resonancia para el engrane.

" Se asume que el piñón y la rueda son masas aisladas." El cálculo orientado es para valores de cargas específicas F t .K A /be ≥ 100 N/mm.

A partir de las consideraciones anteriores, el coeficiente de carga dinámica para engranajes cilíndricos dedientes rectos o de dientes helicoidales con un coeficiente de recubrimiento axial mayor que 1 ( εβ ≥ 1),puede ser calculado mediante la siguiente expresión :

( ) 1u

u

100

vz2K

b / KF

1K1Kv

2

21

eAt +⋅

⋅⋅

+

⋅+=

donde:v : velocidad circunferencial (m/s).

u : razón de engrane.K1 y K2 : factores de cálculo evaluados según la tabla 2.7.

Tabla 2.7- Factores K1 y K2 para el cálculo del coeficiente de carga dinámica según el método C.

Valores de K1 según el grado de precisión ISO1328-1 Valores deK2

Tipo dediente

5 6 7 8 9 10 todosRecto 7,5 14,9 26,8 39,1 52,8 76,6 0,0193

Helicoidal 6,7 13,3 23,9 34,8 47,0 68,2 0,0087

Para engranajes cilíndricos con dientes helicoidales y coeficiente de recubrimiento axial menor que 1 el

valor del coeficiente de carga dinámica es determinado mediante la interpolación lineal del valor de Kvpara dientes rectos y para dientes helicoidales.

( )β−α⋅ε−α= β KvKvKvKv

donde:Kvα : factor dinámico considerando dientes rectos.Kvβ : factor dinámico considerando dientes helicoidales con εβ ≥ 1.εβ : coeficiente de recubrimiento axial del engranaje analizado.




2.2.1.7.4. Coeficiente de carga dinámica según método D.

Este es un método mucho más simple que el anterior, pero prevé la influencia de menos parámetros yfactores en el cálculo del coeficiente de cargas dinámicas. Toma en cuenta las consideraciones del método

C, asumiendo que la carga lineal en el diente es de F t .K A /be = 350 N/mm, un valor aceptado como medio enengranajes industriales. A partir de las anteriores consideraciones la ecuación para el cálculo del coeficientede carga dinámica es :

1u

u

100

vz2k

350

1K1Kv

2

21

+⋅

⋅⋅

++=

2.2.1.7.5. Coeficiente de carga dinámica según método E.

El procedimiento de cálculo del coeficiente Kv, según este método, toma como referencia la normaestadounidense ANSI/AGMA 2001-B88 y fue aceptado con ligeras modificaciones en ISO 6336-1. El

fundamento del cálculo es empírico y conveniente para engranajes industriales de uso general, según constaen las referencias que sirven de base al método. Este procedimiento no considera las cargas dinámicasproducidas en un régimen de resonancia y no debe ser empleado cuando la frecuencia de rotación del piñónexceda el 80% de su frecuencia de resonancia.

Para el cálculo del coeficiente de carga dinámica es empleada la siguiente ecuación :

B

v200A

AKv

−

⋅+=

donde : ( )B15650A −⋅+= y ( ) 667,05C25,0B −⋅=

siendo :C : grado de precisión según ISO 1328-1v : velocidad circunferencial (m/s).

2.2.1.7.5 – Algunas conclusiones del cálculo del coeficiente de cargas dinámicas según ISO.

En la tabla 2.8 son mostrados algunos valores del factor de carga dinámico para engranajes cilíndricos dedientes rectos, obtenidos mediante el método C (recomendado para engranajes industriales). Los resultadosbrindados en la mencionada tabla permiten recomendar las mayores precisiones posibles en la elaboraciónde aquellas ruedas dentadas que presenten sus dientes con pequeñas carga en explotación, en estos casos

son convenientes los menores errores de paso admisibles para el engranaje. Esto es también valido pararuedas dentadas de dientes helicoidales, aunque las carga dinámicas son algo menores.

Tabla 2.8 - Algunos valores del coeficiente de carga dinámica K V en engranajes cilíndricos de dientesrectos, para grados 6 y 9 de precisión ISO.

z V u

u

12

2100 1

⋅⋅

+m/s

Ft.KA /be = 100 N/mm

6 9


6 9


6 9

1 1,168 1,547 1,062 1,170 1,034 1,0725 1,841 3,736 1,309 1,850 1,171 1,360

10 2,683 6,473 1,619 2,700 1,342 1,721




Al parecer la realización de ensayos (método A) es la única evaluación que permite precisar un valor delcoeficiente Kv. Pero la realización de estas evaluaciones es una tarea difícil con mucho gasto en tiempo yen recursos, por lo tanto, solo se justifica en determinados casos y cuando no se está en presencia de un

nuevo diseño. Por ello, contar con un método de cálculo seguro, pero no muy conservador, para el cálculodel coeficiente de carga dinámica es una de las tareas que se proponen muchos de los estudiosos de ladinámica de los engranajes.

A pesar de los muchos esfuerzos realizados para lograr una evaluación precisa del coeficiente de cargasdinámicas, aún existen discrepancias entre los diferentes procedimientos y los resultados que se obtienen apartir de los métodos de cálculo del coeficiente Kv7. Guiándose por diferentes metodologías de cálculoanalítico se pueden obtener, para un mismo engranaje en iguales condiciones de explotación, valores delcoeficiente Kv con diferencias entre un 20% y un 36%, las mayores discrepancias son para engranajes depoca precisión.

Figura 2.6.- Valores del coeficiente de carga dinámica Kv en dependencia de la velocidad circunferencialde las ruedas, calculados según los métodos B (Kv-B), C (Kv-C), D (Kv-D) y E (Kv-E) deISO 6336-1 y los obtenidos en ensayos (Kv-A), en un engranaje cilíndrico de grado deprecisión ISO 7 con cargas en sus dientes de 185 N/mm.

2.2.1.8 - Factor de carga en el flanco del diente para esfuerzos de contacto KHββββ.El factor K H β ajusta los esfuerzos calculados en los dientes para posibilitar que sean considerados losefectos de una distribución no uniforme de la carga en el flanco del diente. Uno de los procedimientos decálculo aceptado en las Norma ISO referidas a la verificación de la capacidad de carga de los engranajescilíndricos es el denominado método C 2, el cual permite tomar en cuenta la influencia de:

" La alineación del engranaje." Las deformaciones elásticas del conjunto piñón - árbol." Los errores de fabricación.

7 González-Rey, G., y García, M.E., ¨Coeficientes de Carga Dinámicas en Engranajes Cilíndricos según ISO 6336 ,̈ 3er CongresoIberoamericano de Ingeniería Mecánica, ISPJAE, Ciudad Habana, 1997

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

0 1,5 3 4,5 6 7,5

Velocidad circunferencial m/s

C o

e f i c i e n t e d e c a r g a d i n á m i c a

K v

Kv-A

Kv-C

Kv-E

Kv-D

Kv-B




Cálculos más exactos que este procedimiento pueden ser encontrados en la Norma ISO 6336 (pero a la vezmás complejos), considerando otras influencias en la alineación del engranaje como:

" Deformaciones elásticas causadas no solo por la fuerza en el engrane, sino además porotras transmisiones vinculadas al engranaje como: correas, cadenas, acoplamientos, etc." Deformaciones elásticas de la rueda y su árbol." Deformaciones elásticas e imprecisiones de fabricación de la carcaza." Deformaciones y holguras en los rodamientos.

Con este método, es calculable un valor de K H β mayor de 2, aunque usualmente el valor verdadero esmenor que este. Sin embargo, es recomendable que debe ser reconsiderado el diseño si el valor calculado esmayor que 1.5, por ejemplo aumentando la rigidez del árbol, cambiando la posición de los apoyos y/omejorando la exactitud de la hélice.

Las siguientes fórmulas son básicas para el cálculo del factor de carga en el flanco del diente para los

esfuerzos de contacto:

( )eVAt

yH

b / KKF2

CF1K

⋅⋅⋅

⋅+=

γ ββ valida para KHβ < 2,0

etVA

yH

b / FKK

CF2K

⋅⋅

γ ⋅⋅=

ββ valida para KHβ ≥ 2,0

donde :

KA : Factor de aplicación de carga.KV : Factor de carga dinámica.Ft : Fuerza tangencial (N).

be : Ancho de engrane (mm).

Cγ : Rigidez del engrane (N/(mm.µm)). Es generalmente aceptado un valor de rigidez media delengrane de C γ = 20 N/(mm.µm).

Fβy : Desalineación del engranaje después del asentamiento (µm). Este valor coincide con el errortotal en la dirección de la hélice del diente.

Tabla 2.9 - Algunos valores del factor K H β , con diferentes cargas en el engrane y desalineaciones F β y ,para una rigidez media de C γ = 20 N/(mm.µm).

Carga lineal en el engrane KA KV Ft / be (N / mm)Fβy (µm) 100 300 600 900 1200 1500

5 1,50 1,16 1,08 1,05 1,04 1,0310 2,00 1,33 1,16 1,11 1,08 1,0615 2,45 1,50 1,25 1,16 1,12 1,1020 2,83 1,66 1,33 1,22 1,16 1,1325 3,16 1,83 1,42 1,27 1,20 1,1630 3,46 2,00 1,50 1,33 1,25 1,2040 4,00 2,31 1,66 1,44 1,33 1,2660 4,90 2,80 2,00 1,66 1,50 1,40




Se ha podido comprobar que, después de un periodo de trabajo, las ruedas dentadas engranadas con algunadesalineación sufren una pequeña y favorable modificación de la desalineación que atenúa la distribuciónirregular de la carga en los flancos conjugados de los dientes. Este favorable efecto es debido al ajuste

durante el funcionamiento de los dientes engranados (asentado), que está en dependencia del material ydureza de los flancos de los dientes y las velocidades de trabajo, por ello:

βββ −= yFF xy (µm)

donde :

Fβy : Desalineación del engranaje después del asentamiento (µm).

Fβx : Desalineación inicial del engranaje sin asentamiento (µm).

yβ : Asentado permisible en el engranaje (µm). En la literatura especifica y en la misma NormaISO 6336 es brindada información relativa a su cálculo aproximado.

Algunas de las recomendaciones más conocidas para evaluar la magnitud del asentado permisible orienta

que para dientes de acero con dureza volumétrica sea empleado un asentado permisible igual a :

Hlimx

Hlim

19200F

320y

σ≤⋅

σ= ββ (µm)

En el caso de dientes de acero cementados, nitrurados o nitrocementados la magnitud de asentadopermisible es orientada en la magnitud de:

m6F15,0y x µ≤⋅= ββ

Prácticamente la determinación exacta de la desalineación del engranaje, a partir de los factores que puedeninfluir en este aspecto, no es del todo posible, existen orientaciones en literatura especializada y en ISO6336 donde es planteado que la desalineación del engranaje puede ser determinada como:

Fβx

= f ma

+ f sh1

+ f sh2

+ f be

+ f ca

+ f te

Siendo:f ma : Desalineación debido a imprecisiones de fabricación.f sh1 : Desalineación por deformación del árbol del piñón. f sh2 : Desalineación por deformación del árbol de la rueda.f ca : Desalineación por deformación e imprecisión en la carcaza.f be : Desalineación en los cojinetes. f te : Desalineación por efecto de la temperatura.

Generalmente durante el cálculo de la desalineación del engranaje en ruedasdentadas cilíndricas con aplicación industrial, son consideradas con influenciapreponderantes las desviaciones de fabricación y las deflexiones producidas enel piñón y su árbol. Usualmente la desalineación inicial del engranaje esevaluada como :

ma21sh1x fBfB33,1F ⋅+⋅⋅=β (µm)

siendo :f ma :Desalineación debida a imprecisiones de fabricación. Para evaluar f ma se debe tomar la mayor

desalineación posible, esto se logra considerando la máxima tolerancia de desviación de la

hélice admitida para el piñón o la rueda: f ma = f β.

B1 y B2 : Constantes que consideran las modificaciones realizadas en la hélice de los dientes. Sonevaluados en la tabla 2.11.




Tabla 2.10 - Algunos valores recomendados como máxima tolerancia de desviación de la hélice f β (µm).

Grado

de

Ancho del dentado

(mm)Precisión hasta 40 40 .... 100 100 .... 160 160 .... 250

5 7 10 12 166 9 12 16 207 11 16 20 258 18 25 32 409 28 40 50 63

Tabla 2.11 - Constantes B1 y B2 para evaluar la desalineación equivalente Fβx.

No Tipo de modificación de la hélice. B1 B2

1 Sin ninguna modificación 1,0 1,0

2 Con abarrilamiento central 1,0 0,5

3 Con corrección de la hélice según la carga aplicada 0,1 1,0

4 Corrección en la hélice y abarrilamiento (caso 2 + 3) 0,1 0,5

5 Extremos del diente achaflanados 0,7 0,7

La fórmula anterior para el cálculo de la desalineación inicial del engranaje, es empleada en casos demontajes donde no se garantice una ubicación favorable de la huella de contacto a lo largo de la línea decontacto, de forma tal que las deformaciones elásticas y las desviaciones por fabricación no se compensen yocurra la desalineación máxima del engranaje. En cambio para engranajes con una verificación de laposición favorable del contacto, con ajuste de la transmisión durante el montaje, debe ser empleada lasiguiente fórmula:

51sh1x ffB33,1F ββ −⋅⋅= (µm)Siendo:

f β5 : máxima tolerancia de desviación de la hélice para un grado de precisión 5to, según la tabla 2.10.

Una ubicación favorable de la huella de contacto permite una mejor distribución de la carga en el flanco deldiente durante la transmisión de la carga. Además el control de la huella de contacto, garantizando suubicación en la zona menos cargada del diente durante las verificaciones de la transmisión con pequeñacarga, posibilita una disminución apreciable de la desalineación efectiva del engrane.

El cálculo de la desalineación por deflexión del árbol del piñón, está en dependencia del tipo de montaje, dela rigidez del conjunto, de la fuerza actuante, del ancho relativo al diámetro del piñón y del perfil de losdientes. En el caso de engranajes cilíndricos con dientes de acero rectos o helicoidales, es posible obtener lasiguiente ecuación:

2

1

14

1sh

1

21

'

1

tVA1sh

d

b3,03,0

d

d

d

slK1023,0

b

FKKf

⋅

+−

⋅

⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅= (µm)

donde:

dsh1 : diámetro medio del árbol (mm).

d1 y b1 : diámetro de referencia y ancho del piñón (mm).Los términos l , s , y K’ son referidos en la tabla 2.13.

modification encresta

abarrilamientocentral




Tabla 2.12 - Reglas para la determinación de una posición favorable de la huella de contacto con los dientessometidos a pequeñas carga.

T

T

Posición de la huella de contacto. Ubicación

favorable

favorable

desfavorable

desfavorable




Tabla 2.13 - Valor del factor K’ empleado en el cálculo de f sh1.

T

0,5.l 0,5.l

S

T

0,5. l 0,5.l

S

l s

0,5. l

S

0,5. l

S

Esquema de montaje del piñón.15,1

dd

1sh

1 ≥

0,48 0,80

-0,48 -0,80

1,33 1,33

-0,36 -0,60

-0,60 -1,00

15,11

1 <shd

d




2.2.2 - Esfuerzo de contacto admisible.

Los esfuerzos de contacto admisibles en los flancos de dientes de las ruedas cilíndricas son determinados

previendo la resistencia al deterioro por picadura. Los valores de esfuerzos admisible son obtenidos a partirde esfuerzos límites para un contacto intermitente y bajo determinadas condiciones establecidasexperimentalmente, posteriormente estos esfuerzos límites son ajustados a esfuerzos admisibles empleandoun conjunto de factores modificadores que permiten precisar el valor del esfuerzo admisible a lascondiciones del diseño exigido.

En las Normas ISO, referidas al cálculo de engranajes cilíndricos, es recomendada la siguiente expresiónpara evaluar el esfuerzo de contacto admisible:

XWRVLNHmin

HlimHp ZZZZZZ

S⋅⋅⋅⋅⋅⋅

σ=σ (MPa)

Siendo :

σHlim : Esfuerzo límite para una tensión de contacto intermitente (MPa)SHmin : Coeficiente de seguridad para esfuerzos de contacto.ZN : Coeficiente de durabilidad.ZL : Coeficiente de lubricación.ZV : Coeficiente por velocidad.ZR : Coeficiente por rugosidad del flanco.ZW : Coeficiente por endurecimiento durante el trabajo.ZX : Coeficiente de tamaño.

2.2.2.1 - Esfuerzo de contacto límite σσσσHlim.

Este valor es definido como el esfuerzo límite para una tensión de contacto intermitente sostenida duranteun número de ciclos básicos, sin que ocurra la picadura (pitting) progresiva. En la tabla 14 son brindadosvalores de esfuerzos límites según la Norma ISO 6336-5, para los cuales durante su determinación fueronestablecidas las siguientes condiciones experimentales :

- Distancia interaxial aw = 100 mm- Ángulo de la hélice β = 0° - Módulo m = 3....5 mm- Rugosidad de flanco Rz = 3 µm- Velocidad circunferencial v = 10 m/s- Viscosidad del aceite ν50 = 100 mm2 /s- Ruedas engranadas del mismo material- Grado de precisión del engranaje (ISO 1328-1) Q = 4...6- Factores de influencia general KA = KV = KHβ = KHα = 1- Probabilidad de fallo del engranaje previendo picadura de un 1 %

En los ensayos fue considerado que el engranaje fallaba, cuando :

a) Engranajes con dureza volumétrica presentaban un 2 % del total de las áreas de los flancos activoscon picadura.

b) Engranajes con endurecimiento superficial presentaban un 0,5 % del total de las áreas de losflancos activos con picadura o el 4 % del área del flanco activo de un diente era dañado porpicadura.




Tabla 2.14- Esfuerzos límites de contacto σHlim.

Materiales y tratamientos Rango de durezasuperficial

Valores de σ Hlim. (Mpa)

Acero normalizado 115 .. 220 HB 188 + HBAcero fundido 145 .. 210 HB 279 + 0,93 (HB -140)Hierro fundido nodular 200 .. 300 HB 470 + 1,38 (HB - 175)Hierro fundido gris 150 .. 235 HB 280 + 1,12 (HB - 150)Acero al carbono con temple volumétrico 150 .. 220 HB 345 + HBAcero aleado con temple volumétrico 200 .. 360 HB 630 + 1,35 (HB - 200)Acero cementado 57 .. 63 HRC 1500Acero con temple superficial 52 .. 57 HRC 1160 + 7,94 (HRC-50,5)Acero nitricementado 52 .. 58 HRC 950Acero nitrurado 50 .. 58 HRC 1000Acero nitrurado 60 .. 65 HRC 1250

2.2.2.2 - Coeficiente mínimo de seguridad para esfuerzos de contacto.

Generalmente sobre el coeficiente de seguridad no existen recomendaciones precisas en normas deverificación de la capacidad de carga de engranajes. Usualmente son aceptados los valores a partir deacuerdos entre el productor y el usuario.

Algunas normas recomiendan valores en dependencia de la fiabilidad exigida, por ejemplo: la NormaAGMA 2001-C95 establece los siguientes valores tomando como base un estudio realizado por la marinade E.U.A.

Tabla 2.15 - Coeficientes mínimos de seguridad para esfuerzos de contacto (Norma AGMA 2001-C95).

Probabilidad de ocurrir el fallo SHmin 0,01 % 1,500,10 % 1,251,00 % 1,00

10,00 % 0,85

Otras normas recomiendan valores de coeficiente de seguridad para esfuerzos de contacto en función de ladispersión de las tensiones límites en el ensayo y de la probabilidad del fallo. En este caso la Norma BDS

17108-89, desarrollada en Bulgaria, es una clara muestra de ello. Según la mencionada Norma Búlgara, elvalor recomendado del coeficiente de seguridad para contacto es S Hmin = 1,3, aunque este valor puede sermodificado en caso de que:

" La estimación de las cargas reales haya sido realizada con precisión:

- para materiales con dureza volumétrica: SHmin = 1,1

- para materiales con dureza superficial : SHmin = 1,2

" La rotura puede producir graves consecuencias : SHmin = 1,3 .... 1,4" Es admisible en el trabajo normal de la transmisión un cierto nivel de picadura en los flancos de los

dientes sin que ocurra la fractura de ellos : SHmin ≤ 1,0.




2.2.2.3 - Factor de durabilidad ZN.

El factor Z N permite graduales aumentos del esfuerzo límite de contacto durante el cálculo de engranajes

que soportan un número de ciclos de carga menor que el número de ciclos básico establecido durante losensayos para la determinación de los esfuerzos límites por fatiga superficial. Este factor puede ser evaluadosegún las siguientes orientaciones :

Para dientes de acero templados, cementados o con dureza volumétrica, o para dientes de hierro conestructura perlitica o bainitica :

ZN = 1,60 para un número de ciclos efectivos de carga menor de 105.

ZN = 1,19 para un número de ciclos efectivos de carga igual a 5 ⋅ 106.

ZN = 1,00 para un número de ciclos efectivos de carga igual o mayor de 5 ⋅ 107.

Para dientes de acero nitrurados o nitrocementados, o para dientes de hierro con estructura ferritica ;

ZN = 1,30 para un número de ciclos efectivos de carga menor de 105.

ZN = 1,06 para un número de ciclos efectivos de carga igual a 106.

ZN = 1,00 para un número de ciclos efectivos de carga igual o mayor de 2 ⋅ 106.

2.2.2.4 - Factor de tamaño ZX.

El factor Z x toma en cuenta la aparición de los defectos por debajo de la superficie, debido a la ocurrencia

de pequeños concentradores de tensión y a la influencia del tamaño en la calidad del material (efecto de losprocesos de fundición, forja y de ocasionales variaciones de estructura). Todos estos efectos en el dientetienen una evidencia estadística, provocando que los valores de esfuerzos en los cuales ocurre el dañodisminuyan con el incremento del tamaño del diente.

En la etapa actual de las investigaciones, sobre este aspecto y referido a los engranajes de ruedascilíndricas, no se dispone de una información verdaderamente confiable, por tal motivo este factor esevaluado cautelosamente. Generalmente es orientado que Z X = 1 para el cálculo de engranajes industriales.Algunas investigaciones han permitido recomendar que:

" Para dientes de acero con dureza volumétrica Z X = 1." Para dientes de acero y cementados Z X = 1, si el módulo es menor de 12 mm.

" Para dientes de acero y nitrurados Z X = 1 , si el módulo es menor de 8 mm.

2.2.2.5 - Factor por endurecimiento durante el trabajo ZW.

El factor Z W considera el aumento de la resistencia de la superficie de los dientes no endurecidos, cuandoellos trabajan con otra rueda de dientes endurecidos, debido a que los dientes de menor dureza sufren unproceso de endurecimiento en frío que le permiten aumentar su resistencia a la picadura. Este efectocomienza a verse de forma significativa si la diferencia de durezas entre los flancos de los dientes del piñóny de la rueda supera los 200 HB y la rugosidad de los flancos es menor de 6 µm.




Tabla 2.16 - Valores del factor por endurecimiento durante el trabajo Zw, para dientes de acero yrugosidades medias máximas ( Rz) en los flancos menor o igual que 6 µm, cuando ladiferencia de dureza entre los flancos conjugados es mayor de 200 HB.

Dureza menor de los dientes engranados Zwmenor o igual que 130 HB 1,200

200 HB 1,159300 HB 1,100

mayor o igual que 470 HB 1,000

2.2.2.6 - Factores con influencia en la formación de la película de lubricante.

En la resistencia al deterioro por picadura de los flancos activo de los dientes tiene gran influencia lacalidad y espesor de la película de lubricante formada en la línea de contacto, Algunos de los factores conmayor influencia en la resistencia a la picadura son considerados en la valoración del esfuerzo de contacto

admisible mediante los siguientes coeficientes: ZL : Coeficiente por viscosidad del lubricante.ZV : Coeficiente por velocidad.ZR : Coeficiente por rugosidad .

Como es conocido, valores elevados de la viscosidad del aceite y de la velocidad en la zona del contactoprovocan mejores condiciones de lubricación hidrodinámica. Además si disminuye la rugosidad superficialde los flancos activos de los dientes aumenta la resistencia a la picadura por ser menor la cantidad demicrogrietas que favorecerían este tipo de deterioro. El efecto de estos tres factores en la resistencia delflanco del diente a la picadura pueden ser observado en el comportamiento de los factores ZL , ZV y ZR ,según es mostrado en la tabla 17.

Tabla 2.17. Algunos valores de ZL , ZV y ZR.

ν50 (mm2 /s) ZL V (m/s) ZV RZ (µm) ZR

43 0,947 2 0,950 2 1,05089 0,991 5 0,975 3 1,000100 1,000 10 1,000 5 0,950125 1,016 20 1,025 10 0,880

El cálculo más preciso de estos coeficientes puede ser obtenido en la norma ISO 6336-2, aunqueusualmente se opta por un método simplificado que establece el valor del producto ZL . ZV igual a launidad, si la viscosidad del aceite es seleccionada adecuadamente para las condiciones de trabajo. Por ello,dependiendo de la rugosidad superficial asociada con la forma de elaboración, pueden ser orientados lossiguientes valores:

Para engranajes con dientes rectificados o afeitados:

00,1ZZZ RVL =⋅⋅ si la rugosidad máxima media en flanco es no mayor de 4 µm.

92,0ZZZ RVL =⋅⋅ si la rugosidad máxima media en flanco es mayor de 4 µm.

Para engranajes con dientes sin rectificar:

85,0ZZZ RVL =⋅⋅




2.3 - Comprobación de la Resistencia a los Esfuerzos de Flexión.

Este cálculo toma como modelo de referencia la semejanza existente entre una barra prismática con cargaen voladizo y un diente con la carga aplicada en la cresta. Este modelo ha permitido desarrollar lasecuaciones necesarias para evaluar los esfuerzos que surgen en la raíz del diente y están asociadas con lafractura que puede ser producida en la base del diente.

Figura 2.7- Modelo de referencia en el cálculo de los esfuerzos en la base del diente.

2.3.1- Fórmula para determinar los esfuerzos de flexión.Del análisis del modelo de referencia pueden ser obtenidas las ecuaciones de los diferentes tipos deesfuerzos que actúan en la raíz del diente.

Esfuerzo normal por flexión:

6

bs

h)cos(F

2fn

FaFannF

⋅

⋅α⋅=σ

(MPa)

Esfuerzo normal por compresión:bs

)sen(F

fn

FannC

⋅

α⋅=σ (MPa)

Esfuerzo tangencial por cortante:bs

)cos(F

fn

Fann

⋅

α⋅=τ (MPa)

30°

αan

γ a

sFn

hFn

αFan

ρf

rb

Fn




De estos tres esfuerzos, el más significativo por su magnitud es el correspondiente al esfuerzo por flexión,por tal motivo, y para simplificar el análisis del esfuerzo resultante en la base del diente, generalmente sondespreciados los esfuerzos por compresión y por cortante en el cálculo del esfuerzo en la raíz del diente

(este procedimiento es el seguido en la norma ISO 6336). De tal forma que la ecuación básica paradeterminar los esfuerzos de flexión en la base del diente es:

6

bs

h)cos(F

2fn

FaFannF

⋅

⋅α⋅=σ (MPa)

Siendo:

Fn : Fuerza normal (N). Es considerada toda la fuerza actuando en un solo par y aplicada en lacresta del diente analizado.

αFan: Angulo de incidencia de la fuerza normal cuando actúa la carga en la cresta.

hFa: Altura desde la zona critica por rotura en la raíz del diente hasta el punto de intersección de

la línea de acción de la fuerza normal y el eje de simetría del diente (mm).sfn : Espesor cordal en la zona critica del diente por rotura de su base (mm).b : Ancho del diente en la base (mm).

Conociendo la dependencia entre la fuerza normal y su componente tangencial, y empleando valoresrelativos al módulo del espesor y de la altura, para generalizar el cálculo es posible obtener la siguientefórmula para el cálculo del esfuerzo básico en la raíz por flexión del diente:

α⋅

α⋅⋅⋅

⋅=σ

)cos(

m

s

)cos(m

h6

mb

F

2fn

FanFa

tF

(MPa)

Por definición, la relación entre corchetes se reconoce como el Factor de Forma y se identifica como YFa.Adicionalmente se introducen, para el cálculo del esfuerzo por flexión, otros factores que consideran lainfluencia de concentradores de tensión en la base del diente, la distribución irregular de la carga en elengrane y la inclinación de los dientes, entre otros aspectos. La inclusión de estos factores, comocoeficientes teóricos y prácticos, hace posible la obtención de una ecuación básica para el cálculo de losesfuerzos de flexión mucho más ajustada a la condición de carga verdadera, permitiendo que su aplicaciónal cálculo de los engranajes cilíndricos sea un reflejo más fiel de la realidad.

Sustituyendo en la ecuación básica de los esfuerzos de flexión los referidos factores, y luego de realizar lasagrupaciones necesarias, son obtenidas las siguientes ecuaciones para el cálculo de los esfuerzos actuantes

en la base de los dientes del piñón (σF1) y la rueda (σF2) :

Para el piñón: αββε ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=σ FFVA1sa1Fa1

t1F KKKKYYYY

mb

F (MPa)

Para la rueda: αββε ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=σ FFVA2sa2Fa2

t2F KKKKYYYY

mb

F (MPa)

Donde:

Ft : Fuerza tangencial (N).

b1 : Ancho del diente del piñón (mm).




b2 : Ancho del diente de la rueda (mm).m : Módulo del engranaje (mm).

Yε : Factor por razón de contacto.

Yβ : Factor por ángulo de la hélice.YFa1 : Factor de forma de los dientes del piñón.

YFa2 : Factor de forma de los dientes de la rueda.

Ysa1 : Factor de concentración de tensiones de los dientes del piñón.

Ysa2 : Factor de concentración de tensiones de los dientes de la rueda.

KA : Factor por aplicación de carga.

KV : Factor por carga dinámica interna.

KFβ : Factor de carga en el flanco del diente.

KFα : Factor de carga transversal.

2.3.1.1 - Factores de forma y de concentración de tensiones ( YFa y Ysa ).

El factor de forma Y Fa permite que sea referido el cálculo a la flexión que se produce en la base del diente,cuando es considerada la carga en la cresta, Su valor está en dependencia básicamente del espesor decuerda normal en la sección critica de la raíz del diente por fractura y del momento flector producido por lafuerza normal.

α⋅

α⋅

⋅=

cosm

s

cosm

h6

Y2

fn

Fan

2Fa

Fa

El cálculo analítico de este factor se refiere en la Norma ISO 6336-3 y otras de aplicación en engranajescilíndricos industriales. En el caso de engranajes con parámetros de cremallera básica correspondientes alos previstos en la Norma ISO 53, su valor puede ser obtenido mediante curvas ploteadas en gráficos, enfunción del número de dientes y el coeficiente de corrección. A continuación son presentados 2 gráficos delfactor YFa y un diagrama de bloque para el cálculo del mencionado coeficiente.

Gráficos de Yfa para engranajes cilíndricos de contacto exterior.

Izquierdo con: α = 20°, ha* = 1, c* = 0,25 yρ*f = 0,25. Derecho con: Izquierdo con: α = 20°, ha* = 1, c* = 0,25 y ρ*f = 0,3




Algoritmo para el cálculo del coeficiente de forma YFa.

Datos:Parámetros de la herramienta: α , m, ha*, ρf *, c*Parámetros de la rueda: z, β , d, da , db , x

β⋅=β −

d

tandtan b1

b

mchh afp ⋅+= ∗∗

mffp ⋅ρ=ρ ∗

β⋅β=

coscos

zz

b2n

( )α

ρ⋅α−−α⋅−⋅

π=

cossen1tanhm

4E

fpfp

xm

h

mG

fpfp +−ρ

=

3m

E

2z

2H

n

π−

−π

⋅=

6

π=θ

Htanz

G2

nI −θ⋅

⋅=θ

001,0I ≤θ−θ Iθ=θ

Iθ=θ

1




El factor de concentración de tensiones Ysa es la razón entre el esfuerzo máximo provocado por losconcentradores de tensión y el esfuerzo de flexión básico definido de forma puramente geométrica. Estefactor considera la influencia en el esfuerzo de flexión real del radio de curvatura en el filete de la raíz deldiente ρf .

1

sFa

fnsa

fns

Fah3,221,1

qh

s13,02,1Y

−

⋅+

⋅

⋅+=

siendo:f

fns

2

sq

ρ⋅=

El cálculo analítico del factor YSA es explicado en la Norma ISO 6336-3 y en otras de aplicacionesespecíficas de los engranajes cilíndricos. Generalmente su valor puede ser obtenido mediante curvasploteadas en gráficos, para diferentes parámetros de la cremallera básica del engranaje, en función del

número de dientes y el coeficiente de corrección.

1

ρ−θ

⋅+

θ−π

⋅= ∗∗fnfn

cos

G3

3senzs

( )G2coszcos

G2

2n

2

ffmn⋅−θ⋅⋅θ

⋅+ρ=ρ ∗

⋅−+

α=α −

n

a

1an

zmdd1

coscos

ann

a invinvz

tanx25,0α−α+

α⋅⋅+π⋅=γ

aanFan −α=α

θ−ρ⋅+

θ−π

−α

α⋅⋅=∗

cos

G*5,0

3cos

cos

cosz5,0h f

Fan

annFa

( ) α⋅

α⋅⋅=

∗

∗

coss

cosh6Y

2

fn

FanFaFa




Como ambos factores consideran la influencia de la forma del diente en el esfuerzo de flexión real, cuandola carga es aplicada en la cresta del diente, ha sido tomada la decisión practica de evaluar el producto deellos en un solo factor denominado :

saFaFS YYY ⋅= Con el objetivo de simplificar el cálculo de estos factores han sido confeccionadas gráficas, con los valoresde este producto ploteados en curvas, que permiten la evaluación de Y FS en función del coeficiente decorrección x, de parámetros de la cremallera básica del engranaje y del número de dientes virtuales zv. Esteúltimo parámetro puede ser determinado como:

Para dientes rectos:

zv1 = z1

zv2 = z2

Para dientes helicoidales:

z z

bv1

12

=⋅cos ( ) cos( ) β β

z

z

bv2

2

2= ⋅cos ( ) cos( ) β β

En la tabla 18 son brindados algunos valores del factor YFS en función de algunos parámetros geométricos de larueda dentada y su cremallera de referencia. Un análisis de los valores de YFS , en la mencionada tabla, permiteapreciar la influencia tan significativa que ejercen en el factor YFS parámetros como : el número de dientesvirtuales ZV, el coeficiente de corrección x, el ángulo de la cremallera de referencia α, el factor de altura de lacabeza del diente ha

*, el factor de holgura radial c* y el factor del radio de curvatura en la raíz del diente ρf *.

Tabla 2.18 - Valores del factor YFS en dependencia del número de dientes virtuales ZV y el coeficiente decorrección x, para diferentes tipos de cremalleras de referencia.

Valores del factor YFS

ZV x α=20° ha*=1 c* =0,25

ρ* =0,25α=20° ha

*=1 c* =0,25ρ* =0,375

α=22,5° ha*=1

c* =0,25 ρ* =0,415 0,5 4,33 3,94 3,6815 0 --- --- 4,3220 0,5 4,30 3,92 3,6520 0 4,66 4,36 4,0520 -0,2 4,95 4,65 4,3130 0,5 4,32 3,91 3,6530 0 4,39 4,10 3,8530 -0,5 4,85 4,60 4,2550 0,5 4,43 3,94 3,6950 0 4,28 3,98 3,72

50 -0,5 4,38 4,15 3,85100 0,5 4,50 3,98 3,71100 0 4,30 3,96 3,70100 -0,5 4,18 3,93 3,65




2.3.1.2 - Factor por coeficiente de recubrimiento para esfuerzos de flexión Yεεεε.

El factor Yε es usado para modificar el efecto de YFa (considera toda la carga aplicada en la cresta deldiente). La condición empleada en el modelo para el cálculo del esfuerzo de flexión es en extremo critica ycon poca probabilidad de ocurrir en la práctica, pues solo cuando estemos en presencia de un engranaje deejes paralelos formado por ruedas cilíndricas de dientes rectos y coeficiente de recubrimiento ε = 1 ocurriráque solo un par de dientes trasmitirá la carga y el punto más peligroso será cuando la carga sea aplicada enla cresta de los dientes, en otras circunstancias es muy posible que solo un par trasmita toda la carga, pero elpunto critico de aplicación será por debajo de la cresta del diente y por consiguiente el momento flector enla base del diente será menor que el supuesto en el modelo. Una de las alternativas para la evaluación del

factor Yε es la siguiente fórmula, brindada en la Norma ISO 6336-3 y con aceptación de aplicación en elcálculo de engranajes cilíndricos industriales:

625,0)(cos75,025,0Y2

b ≥ε

β⋅+=α

ε

2.3.1.3 - Factor por ángulo de la hélice Yββββ.

Mediante el factor Yβ , el valor preliminar del esfuerzo por flexión en la base del diente recto, que haservido como modelo, puede ser modificado para que sea posible la aplicación de este método al cálculo delesfuerzo por flexión en un diente helicoidal. Además permite considerar la orientación oblicua de las líneas

de contacto en los flancos activos y la correspondiente distribución de la carga según la rigidez del diente.

Para εβ ≤1

°βββ

⋅ε−=120

1Y si β ≥ 30° tomar ββ ε⋅−= 25,01Y

Para εβ>1

°ββ

−=120

1Y si β ≥ 30° tomar 75,0Y =β

2.3.1.4 - Factor de carga transversal para esfuerzos de flexión KFαααα.

El factor KFα toma en consideración la distribución irregular de la carga entre varias parejas de dientes queengranan simultáneamente. Un cálculo exacto de este coeficiente requiere de un análisis de lasdeformaciones elásticas bajo carga de los dientes y de las imprecisiones del paso y del perfil de los dientes,además de cuantos pares de dientes y en que lugar engranan ellos en la línea práctica de engranaje, los

efectos considerados por este factor son semejantes a los tomados en cuenta por KHα durante el cálculo delos esfuerzos de contacto.




Una de las formas simplificadas para evaluar con cierta exactitud este factor, es brindada en la siguientetabla.

Tabla 19 - Factor de carga transversal KFα según Norma ISO 6336-1 (método C).

Ft KA /be mayor de 100 N/mm menor de 100 N/mmGrado de precisión (ISO 1328-1) 5 6 7 8 todos

dientesendurecidos rectos

helicoidales

1,00

1,00

1,00

1,10

1,10

1,20

1,20

1,40

11 2

Y ε

≥ ,

ε

β

α

cos,

21 4

b

≥

dientes noendurecidos rectos

helicoidales

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,10

1,10

1,20

11 2

Y ε

≥ ,

ε

β

α

cos,

21 4

b

≥

Nota: Si solo una de las ruedas del par dentado tuviera sus dientes endurecidos, entonces debe ser usado un valormedio. Si las ruedas tuvieran diferentes grados de precisión, debe ser tomado la menor precisión(usualmente es la rueda).

2.3.1.5 - Factor de carga en el flanco del diente para esfuerzos de flexión KFββββ.

El factor KFβ ajusta el esfuerzo de flexión calculado en la base del diente de forma que sean considerado elefecto de una distribución no uniforme de la carga en el flanco del diente. Uno de los procedimientos decálculo aceptado en las Norma ISO referidas a la verificación de la capacidad de carga de los engranajescilíndricos es el denominado método C2, el cual permite tomar en cuenta la influencia de:

" La alineación del engranaje." Las deformaciones elásticas del conjunto piñón - árbol." Los errores de fabricación." La relación ancho / altura del diente (be /h) .

Según este método el cálculo es referido según la siguiente fórmula:

Para be / h ≥ 3 tomar

( )

( )

++ββ =

2hebheb1

2heb

HF KK

Para be / h < 3 tomar K K F H β β = 9 13 /

Cálculos más exactos que este procedimiento pueden ser encontrados en la Norma ISO 6336 (pero a la vezmás complejos), considerando otras influencias en la alineación del engranaje como fueron explicadas

anteriormente en el procedimiento de cálculo del factor KHβ .




2.3.2 - Esfuerzo de flexión admisible.

El esfuerzo de flexión admisible en la raíz de los dientes de ruedas cilíndricas engranadas es determinadopreviendo la resistencia al deterioro por fractura en la base del diente. Los valores de los esfuerzos

admisibles son obtenidos a partir de esfuerzos límites por fatiga, considerando una flexión intermitente ybajo determinadas condiciones establecidas experimentalmente. Posteriormente estos esfuerzos límites sonajustados a esfuerzos admisibles empleando un conjunto de factores modificadores que permiten precisar elvalor del esfuerzo admisible por flexión bajo las condiciones del diseño exigido.

En las Normas ISO, referidas al cálculo de engranajes cilíndricos, es recomendada la siguiente expresiónpara evaluar el esfuerzo admisible por flexión del diente:

En el piñón : 1X1Rrel1rel1NFmin

1Flim1Fp YYYY

S⋅⋅⋅⋅

σ=σ δ (MPa)

En la rueda : 2X2Rrel2rel2NFmin

2Flim2Fp YYYYS

⋅⋅⋅⋅σ=σ δ (MPa)

Siendo :σFlim : Esfuerzo límite por fatiga por flexión (MPa).

SFmin : Coeficiente mínimo de seguridad para esfuerzos de flexión.

YN : Factor de durabilidad.

Yδrel : Factor por sensibilidad relativa de la raíz del diente.

YRrel : Factor por rugosidad relativa del fondo del diente.

YX : Factor de tamaño.

2.3.2.1 - Esfuerzo de flexión límite σσσσFlim.

Este valor es definido como el esfuerzo límite para una flexión intermitente sostenida durante un número deciclos básicos, sin que ocurra la fractura del diente en su base producto de una fatiga volumétrica en la zonade la curva de transición del diente. En la tabla 20 son brindados valores de esfuerzos límites por flexiónsegún la Norma ISO 6336-5, para los cuales fueron establecidas las siguientes condiciones experimentalesen su determinación:

- Ángulo de la hélice β = 0°

- Módulo m = 3....5 mm- Entalladura en la zona de transición qs = 2,5- Rugosidad en la zona de transición Rz = 10 µm- Grado de precisión del engranaje (ISO 1328-1) Q = 4...7- Ancho del diente b = 10...50 mm- Cremallera básica según ISO 53- Factores de influencia general KA = KV = KFβ = KFα = 1- Número básico de ciclos de carga Nb = 3.10

6...10

4

- En los ensayos fueron aplicadas cargasunidireccionales en los dientes(esfuerzos por flexión intermitente en la base)




Tabla 2.20 - Esfuerzos límites por flexión en la base del diente σFlim.

Materiales y tratamientos Rango de dureza

superficial

Valores de σFlim. (Mpa)

Acero normalizado 115 .. 220 HB 240 + 0,90 (HB-115)Acero fundido 145 .. 210 HB 210 + 1,08 (HB -145)

Hierro fundido nodular 200 .. 300 HB 380 + 0,70 (HB -200)Hierro fundido gris 150 .. 235 HB 100 + 0,55 (HB -150)

Acero al carbono con temple volumétrico 150 .. 220 HB 380 + 0,38 (HB -120)Acero aleado con temple volumétrico 200 .. 360 HB 550 + 0,86 (HB - 200)

Acero cementado 57 .. 63 HRC 1000Acero con temple superficial 52 .. 57 HRC 730

Acero nitrocementado 52 .. 58 HRC 780Acero nitrurado 50 .. 58 HRC 720Acero nitrurado 60 .. 65 HRC 850

Nota : Los esfuerzos límites en la tabla son validos para una flexión intermitente en la base del diente (cargaunidireccional), en caso de cargas en ambos sentidos aplicadas sobre los dientes los esfuerzos limites en latabla deben ser multiplicados por 0,7.

2.3.2.2 - Coeficiente mínimo de seguridad para esfuerzos de flexión SFmin.

De igual forma que en la evaluación del esfuerzo admisible de contacto, generalmente sobre el coeficientede seguridad a flexión no existen recomendaciones precisas en las normas de verificación de la capacidadde carga de engranajes. Usualmente son aceptados los valores acordados entre el productor y el usuario.

Algunas normas recomiendan valores en dependencia de la fiabilidad exigida, por ejemplo: la NormaAGMA 2001-C95 establece estos valores tomando como base un estudio realizado por la marina de E.U.Ay reflejados en la tabla 21. Aunque los coeficientes de seguridad previstos para esfuerzos de flexión yrecomendados en las normas AGMA son iguales que los orientados para los esfuerzos de contacto, debe deser tenido en consideración que debido al deterioro catastrófico del fallo por fractura del diente usualmenteson orientados mayores coeficientes de seguridad para esfuerzos de flexión que para esfuerzos de contacto.

Tabla 2.21 - Coeficientes mínimos de seguridad para esfuerzos de flexión,según Norma AGMA 2001-C95.

Probabilidad de ocurrir el fallo SFmin 0,01 % 1,50

0,10 % 1,251,00 % 1,0010,00 % 0,85

Otras normas recomiendan valores de coeficiente de seguridad para esfuerzos de flexión en función de laprecisión de las cargas o las condiciones de trabajo. En este caso, al igual que para los coeficientes deseguridad a esfuerzos de contacto, la Norma BDS 17108-89 es una clara muestra de ello, recomendándoseun valor del coeficiente de seguridad para esfuerzo de flexión es SFmin = 1,7, aunque este valor puede sermodificado en caso de :

- aceros aleados de gran calidad con precisión de la carga : SF = 1,6

- engranajes que trabajan sometidos a elevadas temperaturas : SF = 2,2

- engranajes sometidos a cargas de impacto : SF = 2,0.




2.3.2.3 - Factor de durabilidad YN.

El factor YN, toma en cuenta la posibilidad de emplear valores mayores de esfuerzos limites a flexión en la

base del diente, cuando se estima que en los dientes de la rueda analizada actuara una cantidad de ciclos decarga menor que el número de ciclos básicos, establecido durante los ensayos para la determinación de losesfuerzos normales de flexión límites por fatiga volumétrica. Este factor puede ser evaluado según lassiguientes orientaciones:

! Para dientes de acero con dureza volumétrica y un esfuerzo limite de rotura a tracción superior a 800MPa, o para dientes de hierro nodular con estructura perlítica o bainítica, o para dientes de hierrofundido maleable con estructura perlítica :

YN = 2,50 para un número efectivo de ciclos de carga menor de 104.

YN = 1,73 para un número efectivo de ciclos de carga igual a 105.


YN = 1,00 para un número efectivo de ciclos de carga igual o mayor de 3 ⋅ 106.

! Para dientes de acero cementado, o para dientes de acero con endurecimiento superficial en todo elcontorno de la zona de transición :





! Para dientes de acero con un esfuerzo límite de rotura a tracción menor de 800 MPa, o para dientes deacero nitrurado, o para dientes de hierro con estructura ferrítica ;




2.3.2.4 - Factor por sensibilidad del material a la concentración de tensión Yδδδδrel.

El factor Yδrel indica aproximadamente la tolerancia a los concentradores de tensión del material en la zonade transición. La intensidad de la concentración de tensiones en la raíz del diente es valorada por la relación

entre el espesor del diente en el plano normal sfn y el doble del radio de transición de la raíz del diente ρf .

Para un parámetro de entalladura qs ≥ 1,5 puede ser evaluado Yδrel = 1,0

Para un parámetro de entalladura qs <1,5 puede ser evaluado Yδrel = 0,95

Siendo :f

fns

2

sq

ρ⋅=




A continuación algunas condiciones límites que cumplen con qs < 1,5 :

Para α = 20°, ha*

= 1 , c*= 0,25 , ρf

*= 0,25 si x = -0,2 y zV ≤ 18

x = -0,3 y zV ≤ 24

x = -0,4 y zV ≤ 32

x = -0,5 y zV ≤ 38

Para α = 20°, ha*

= 1 , c*= 0,25 , ρf

*= 0,375 si x = -0,2 y zV ≤ 25

x = -0,3 y zV ≤ 30

x = -0,4 y zV ≤ 38

x = -0,5 y zV ≤ 50

Para α = 22,5°, ha

*= 1 , c

*= 0,25 , ρ

f

*= 0,4 si x = -0,1 y z

V ≤ 16

x = -0,2 y zV ≤ 22

x = -0,3 y zV ≤ 30

x = -0,4 y zV ≤ 35

x = -0,5 y zV ≤ 45

2.3.2.5 - Factor por rugosidad en la curva de transición YRrel.

El factor YRrel considera la influencia que ejerce, en la resistencia a la fatiga, el estado de la superficie detransición en la raíz del diente, cuando la base del diente es solicitada por un esfuerzo de flexión. Otrosaspectos como la forma y la textura de las rugosidades, tensiones superficiales que pueden surgir por untratamiento de chorreado de perdigones en la zona de transición o simplemente los normales procesos deoxidación del material, pueden influir significativamente en el estado real de la superficie y porconsiguiente de la resistencia a la fatiga, pero debido al estado actual del conocimiento de esta problemáticano es posible contar con una información completa y práctica que permita precisar con exactitud estosaspectos, por tal motivo la influencia del estado de la superficie en la zona de transición del diente esconsiderada simplemente como:

YRrel = 1,00 si la rugosidad máxima media es Rz ≤ 16 µm . Esta condición puede ser alcanzadacon engranajes fresados cuidadosamente sin rectificar su curva de transición.

YRrel = 0,90 si la rugosidad máxima media es Rz > 16 µm. Dientes fresados normalmente, sinun cuidado extremo.

2.3.2.6 - Factor de tamaño YX.

El factor YX permite considerar la influencia del tamaño del diente en la resistencia a la fatiga del material,pues toma en cuenta la distribución de probabilidad de los puntos débiles en la estructura del material y lainfluencia de las dimensiones en los procesos de forja y fundición de los semiproductos, entre otros

aspectos.




A pesar de ser conocido que el tamaño del diente ejerce influencia en la resistencia a la fatiga aún es pocala información que se dispone de este aspecto. Son pocas las normativas que dan una información precisapara evaluar la influencia del tamaño en los esfuerzos admisibles, dentro de ellas están la Norma ISO 6336-

3 y la propuesta de norma ISO/CD 9085-1 que orientan la evaluación de este factor en dependencia del tipode material y tratamiento térmico-químico a que se somete el dentado de las ruedas.

Para dientes de acero con dureza volumétrica, o dientes de hierro con estructura perlítica o bainítica :

si m ≤ 5 entonces YX = 1,00

si 5 < m < 30 entonces YX = 1,03 - 0,006 . m

si m ≥ 30 entonces YX = 0,85

Para dientes de acero con dureza superficial :

si m ≤ 5 entonces YX = 1,00si 5 < m < 25 entonces YX = 1,05 - 0,01 . m


Para dientes de hierro con estructura ferrítica :

si m ≤ 5 entonces YX = 1,00

si 5 < m < 30 entonces YX = 1,075 - 0,015 . m





III- FÓRMULAS PARA EL DIMENSIONADO PREVIO DE ENGRANAJESCILÍNDRICOS SEGÚN EL CRITERIO DE RESISTENCIA MECÁNICA.

La primera dificultad con que se inicia un proyecto de transmisiones por engranajes coincide con el hechode que es necesario conocer todas las dimensiones fundamentales del engranaje y de las ruedas, así como laforma y tamaño de los dientes, antes de que se puedan determinar con exactitud las fuerzas y esfuerzos.

Aunque la más antigua información disponible sobre el cálculo de engranajes, según estudios realizados porDarley W. Dudley, se han encontrado en el libro A Treatise on Steam Engine (en español : Tratado acercade motores de vapor) de John Farey, publicado por primera vez en 1827, es aceptado por muchos que elverdadero inicio del diseño ingenieril de los engranajes fue dado con los tratados, acerca de engranajes, delestadounidense George B. Grant, en los primeros años de este siglo.

Desde estos inicios hasta la actualidad, la tecnología especializada en engranajes se ha desarrollado a una

velocidad sin precedente, nuevas máquinas herramientas han aparecido continuamente en la escenaindustrial con inmensas capacidades, modernos procesos de tallado de acabado en dientes con durezassuperiores a los 60 HrC y rectificado de CBN (Nitruro de Boro Cúbico Cristalino) de los flancos activos delos dientes de las ruedas, son algunos de los ejemplos de la moderna elaboración rápida y precisa de losengranajes.

A pesar de estos avances tecnológicos, aun el diseño de los engranajes continua siendo un arte pococonocido, que a menudo se resuelve con una combinación de conocimiento, experiencia y suerte, incluso enmuchos casos, los métodos de tanteo es la única forma efectiva de diseñar engranajes. Durante años laexperiencia ha posibilitado producir y emplear transmisiones por engranajes que trabajan satisfactoriamenteen la mayoría de las aplicaciones, pero las actuales exigencias de mayor precisión, suavidad de marcha ydurabilidad de las ruedas dentadas a menudo fuerzan a los proyectistas a buscar alternativas de diseño.

La practica generalizada del cálculo de engranajes ha hecho necesario estimar la dimensión de losengranajes utilizando métodos simplificados y luego comprobar esta estimación, empleando las ecuacionesbásicas más exactas para verificar la capacidad de carga del engranaje según las diversas normas vigentes.

Uno de los problemas para la obtención de las expresiones de cálculo simplificadas para el dimensionadoprevio del engranaje es la reducción de los datos requeridos a un conjunto de simples especificaciones.Estos datos previos exigen normalmente la siguiente información :

- Magnitud y carácter de la carga trasmitida.- Frecuencia de rotación del piñón.- Razón de engrane.

- Material y tratamiento empleado en la elaboración de los dientes.- Tiempo previsto de funcionamiento.- Relación entre algunos de los parámetros básicos del engranaje.

Usualmente es empleada la razón entre el ancho y la distancia interaxial.

Un análisis de las ecuaciones básicas para verificar la capacidad de carga del engranaje, que permitadespejar un parámetro básico de la transmisión, brinda la posibilidad de obtener fórmulas simples para eldimensionado previo del engranaje. Muchas relaciones empíricas permiten obtener una dimensión básicadel engranaje y realizar un adecuado proyecto.

A continuación son presentadas algunas fórmulas empleadas para el dimensionado previo de los engranajescilíndricos de ejes paralelos.




3.1 - Fórmulas Empíricas Empleadas para el Dimensionado Previo.

En casos de transmisiones por engranajes cilíndricos, donde se requiera conocer aproximadamente algunadimensión básica de ella, es posible emplear dependencias empíricas establecidas según las tendenciasestadísticas entre parámetros de carga y dimensiones del engranaje, en aquellos casos que han demostradosu efectividad práctica.

Algunos ejemplos de fórmulas empíricas obtenidas de estudios estadísticos de diseños verificados enexplotación, son brindadas a continuación :

! Para reductores de velocidad de una etapa, compuesto por ruedas cilíndricas de dientes cementados yrectificados (según estudio de una serie de reductores alemanes FLENDER realizado en el ISPJAE,Cuba).

a Mtw = ⋅92 97 23.... (mm)

Donde:aw : Distancia entre centros de ruedas (mm)Mt2 : Momento torsor en la rueda (kNm)

! Para reductores de velocidad de dos etapas, compuesto por ruedas cilíndricas con dientes de baja durezano rectificados (según estudio de una serie de reductores soviéticos PM realizado en el ISPJAE, Cuba).

a Mtwrap s= ⋅118 121 3.... (mm)

a Mtwlen s= ⋅168 183 3.... (mm)

Donde :awrap : Distancia entre centros de ruedas del engranaje rápido (mm).awlen : Distancia entre centros de ruedas del engranaje lento (mm).

Mts : Momento torsor a la salida del reductor de velocidad (kNm).

! Para engranajes empleados en cajas de velocidad, compuesto por tres árboles, siendo coaxiales losárboles de entrada y de salida (según estudio de varias cajas de velocidades en autos ligeros y camionesrealizado en el ISPJAE, Cuba).

Para autos ligeros : a Mmotw = ⋅120 3(mm)

Para camiones con cajas de 4 velocidades : a Mmotw = ⋅ ⋅ ⋅140 1953 (mm)

Donde :aw : Distancia entre centros de ruedas (mm).

Mmot : Momento máximo del motor (kNm).

Es indiscutible que el dimensionado previo a partir de las dependencias empíricas es muy simple, pero nodebe de pasar inadvertido que es un procedimiento de empleo solo cuando se desea copiar exactamente unatransmisión por engranajes, sin pretensiones de un diseño óptimo o modificaciones del proyecto original.




3.2 - Fórmula para el Dimensionado Previo según Norma AGMA 370.1.

El propósito de la norma AGMA 370.01-73 es brindar orientaciones para el diseño, fabricación, inspeccióny ensamble de engranajes pequeños (con módulo menor de 1,5), pero el importante aporte que ha realizadoal dimensionado previo de engranajes cilíndricos ha permitido el empleo de su fórmula básica para estimarel tamaño del engranaje, después de ser sometida a las necesarias conversiones de símbolos y parámetrosvigentes según las nuevas denominaciones internacionales.

( ) 3

1baW

unK

P1u888a

⋅⋅⋅ψ ⋅+⋅≥ (mm)

donde:

P : Potencia a trasmitir (kW).

u : Razón de engrane.n1 : Frecuencia de rotación del piñón (min-1).K : Factor auxiliar de cálculo (tabla 3.1)ψ ba = be / aW : Ancho relativo a la distancia entre centros. Como orientación

pueden servir los siguientes valores:

ψ ba = 0,1 ........... 1,2 General

ψ ba = 0,25 .......... 0,6 Transmisiones usuales

ψ ba = 0,25 .......... 0,3 Dientes endurecidos muy cargados

ψ ba = 0,4 ............ 0,6 Dientes no endurecidos poco cargado

Tabla 3.1- Valores para el factor auxiliar de cálculo K.

Material de los dientes engranados Dureza superficial KAcero - Acero menos de 257 HB hasta 100

260 ... 290 HB 130295 ... 380 HB 18541 .... 45 HRC 23046 .... 55 HRC 340

más de 56 HRC 500Hierro Fundido - Hierro Fundido ------- 70

Acero - Aluminio ------- 30Aluminio - Aluminio ------- 5Acero - Nylon ------- 75

3.3 - Fórmula para el Dimensionado Previo Deducida a partir de las ecuacionesbásicas en Normas ISO .

En todo dimensionado previo de un engranaje es necesario determinar sus dimensiones mínimas, para lascuales no aparece el peligro del deterioro de los dientes. La solución más racional de este problema esposible solo con un cálculo donde sea relacionada mutuamente la resistencia mecánica y la geometría del

engranaje, puesto que, cambiando el número de dientes, los coeficientes de corrección y el ángulo de




inclinación de los dientes, entre otros parámetros geométricos, puede ser aumentado considerablemente lacapacidad de carga del engranaje.

Del análisis de aquellos deterioros de los dientes que pueden limitar la capacidad de carga del engranaje se

deduce que los engranajes cerrados con lubricación adecuada deben de ser dimensionados previamenteempleando el criterio de resistencia a la picadura, mucho más conveniente cuando la dureza de los dienteses baja y garantiza poca resistencia en los flancos, para durezas elevadas en los dientes puede ocurrir que lacapacidad de carga se vea limitada por la resistencia a la fractura y no por la resistencia a la picadura.

En las transmisiones abiertas, donde la lubricación es insuficiente o su cantidad es completamenteinsignificante, la picadura superficial se observa muy raramente, puesto que la capa superficial, en la cualse producen las grietas iniciales, se desgasta antes de que en ella tenga lugar los procesos de rotura porfatiga. Por ello, el tamaño previo de la transmisión se define calculando los dientes a fractura.

3.3.1 - Cálculo del diámetro de referencia previo para el piñón según criterio de resistencia ala picadura.

Recordando la ecuación básica para el cálculo de los esfuerzos de contacto en los dientes de engranajescilíndricos de ejes paralelos y con contacto exterior, tendremos:

( )

ubd

1uKKKKFZZZZ

e1

HHVAtEHH

⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=σ αβ

βε (MPa)

Además:

Conociendo que : F Mt d

t = ⋅2 1

1,

Definiendo : ψ bd eb

d 11

= ,.

Agrupando : K K K KV H HV Hβ α β α= ⋅ ⋅ ,

Planteando el criterio de resistencia a esfuerzos de contacto : σ σ H HP≤ .

Puede ser obtenido, mediante un simple despeje y un conveniente agrupamiento de términos, una fórmula

para el cálculo del diámetro de referencia d1 :

( )( )

32

HPbd

VA12EH1

u

1uKKMt2ZZZZd

1σ⋅⋅ψ

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥ αβ

βε (mm)




Considerando un valor aproximado de Z Z H ε ⋅ = 2 5, y sustituyendo( )

ψ ψ bd bau

1

1

2= ⋅

+

se obtiene:

( )32

HPbd

VA12E1

u

KKMt25ZZd

1σ⋅⋅ψ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥ αβ

β (mm)

donde:Mt1 : Momento torsor aplicado al piñón (Nmm).ZE : Factor de elasticidad (MPa).σHP : Esfuerzo de contacto admisible (MPa).

Para un engranaje de ejes paralelos y ruedas cilíndricas con dientes de acero la fórmula anterior puede ser

simplificada como:

32

HPba

VA11

u

cosKKMt6,96d

σ⋅⋅ψ

β⋅⋅⋅⋅≥

αβ(mm)

Como podrá suponerse, el valor del coeficiente auxiliar de cálculo KβVα tiene amplias variaciones endependencia de las condiciones de explotación y de fabricación del engranaje, como puede ser observadoen la tabla 3.2. Para un dimensionado previo puede ser recomendable emplear un valor de KβVα = 2.

Tabla 3.2 - Valores del coeficiente auxiliar de cálculo KβVα para algunas condiciones de carga, velocidad de

trabajo y precisión en la fabricación del engranaje.

Condiciones establecidas Factor KβVα Ft / be = 100 N/mm , QISO = 9no y

z u

u1

2

2100 1

⋅ ⋅+

v= 10 m/s

30,0

Ft / be = 100 N/mm , QISO = 6to 5,60Ft / be = 500 N/mm , QISO = 9no 1,82Ft / be = 500 N/mm , QISO = 6no 1,00




Bibliografía básica en idi oma ingles:

Colbourne, J. R., The Geometry of Involute Gears, Springer-Verlag, 1987

Drago, R. J., Fundamentals of Gear Design. Butterworths,1988

Dudley, Darle W., The Handbook of Practical Gear Design, Technomic Publishing Co., 1994

Ewert, Richard H., Gears and Gear Manufacture. The Fundamentals, Chapman & Hall, 1997

Gear Design, Manufacturing and Inspection Manual, Edit. Society of Automotive Engineers, 1990

Litvin, Faydor L., Gear Geometry and Applied Theory, Prentice Hall

Lynwander, P., Gear Drive Systems, Marcel Dekker, 1983

MAAG Gear Co., MAAG Gear Book, 1990

South, David W.; Ewer, Richard H., Encyclopedic Dictionary of Gears and Gearing, McGraw-Hill, 1995

Normas básicas para el cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos:

Norma ISO 6336 (partes 1,2,3 & 5): Cálculo de la Capacidad de Carga de Engranajes Cilíndricos de Dientes Rectos yHelicoidales (en ingles).1996

Norma ANSI/AGMA 2101: Cálculo de la Capacidad de Carga de Engranajes Cilíndricos con Dientes de Evolvente(en ingles). 1996

Norma DIN 3990 (partes 1,2,3,4 y 5): Cálculo de la Capacidad de Carga de Engranajes Cilíndricos de Dientes Rectosy Helicoidales (en alemán).

Norma GOST 21354-86: Engranajes Cilíndricos de Dientes de Evolventes. Cálculo de Resistencia (en ruso). 1986

Alguna de la literatura disponible en idioma español:

Baranov, G., Curso de la Teoría de Mecanismos y Máquinas, Editorial MIR, 1979

Dobrovolski, V.; Zablonski, K., Elementos de Máquinas, Editorial. MIR, Moscú, 1980

Niemann, G., Tratado Teórico Práctico de Elementos de Máquinas, Vol I y II, Editorial Labor, España, 1973

Reshetov, D., Elementos de Máquinas, Editorial Pueblo y Educación, Habana, 1985

Mecanica Calculo Engranajes Cilndricos

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