Mecánica de Fluidos I

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Rubio Arana J.C. 19/01/05

1

APUNTES DE MECANICA DE FLUIDOS I

JOSE CUAUHTEMOC RUBIO ARANA [email protected]

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA, ELÉCTRICA Y

ELECTRÓNICA

Salamanca, Gto., enero 19 del 2006.

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2

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, ELECTRICA Y ELECTRONICA

PROGRAMA DE: IMI.12.09 MECANICA DE FLUIDOS I TRIMESTRE DE INVIERNO DEL 2006 PROFESOR: M. en I. J. CUAUHTEMOC RUBIO ARANA BIBLIOGRAFIA: - J.R. Welty, C. E. Wicks Y R. E. Wilson, “Transferencia de Calor Momento y Masa”, Edit. LIMUSA S.

A. DE C. V. , 1984 * - F.M. WHITE, “Mecanica de Fluidos”, 4a. EDICION, Edit. John Wiley & Sons. - R. L. Mott, “Aplied Fluid Mechanics”, 4th Edition, Prentice Hall, 1994. - CRANE, “Flujo de Fluidos”, Mc Graw Hill, 1985.

FECHA ENERO 13 16 18 20 23 25 27 30 FEBRERO 01 03 06 08 10 13 15 17 20 22 24 27 MARZO 01 03 06 08 10 13 15 17 24

HORAS 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

CAPITULO 1.1-1.4, 2.1,2.2 2.3,2.4, PROBLEMAS PROBLEMAS 3.1-3.5, 4.1,4.2,4.3, PROBLEMASPROBLEMAS 5.1,5.2, PROBLEMAS 5.3, 5.4,5.5, PROBLEMAS PROBLEMAS 6.1,6.2, PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS EXAMEN I 7.1-7.5, PROBLEMAS PROBLEMAS 8.1-8.3, PROBLEMAS 9.1-9.3, PROBLEMAS PROBLEMAS 11.1-11.4 PROBLEMAS 14.1-14.2 14.3, PROBLEMAS 14.4, PROBLEMAS 14.5, PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS EXAMEN II

TAREAS TAREA 1 TAREA 2 TAREA 3 TAREA 4 TAREA5 TAREA 6 TAREA 7 TAREA 8 TAREA 9 TAREA 10 TAREA 11 TAREA 12 TAREA 13 TAREA 14 TAREA 15

*texto Forma de evaluación: La calificación final será el promedio de las calificaciones de los dos exámenes mas un punto por tareas y participación o actividad relacionada con la clase.

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3

INDICE

CAPITULO PAG.

1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES

4

2 ESTATICA DE FLUIDOS

15

3 DESCRIPCION DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO

33

4 LEY DE LA CONSERVACION DE LA MASA

34

5 SEGUNDA LEY DE NEWTON

48

6 LEY DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA

64

7 ESFUERZO CORTANTE EN FLUJO LAMINAR

82

8 ANALISIS DE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DEL FLUIDO EN FLUJO LAMINAR

89

9 ECUACIONES DIFERENCIALES DE FLUJO DE FLUIDOS

101

11 ANALISIS DIMENSIONAL

116

14 FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOS

125

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4

MECÁNICA DE FLUIDOS I

1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES

La transferencia de momento de un fluido es el estudio del movimiento de los fluidos, así como las fuerzas que se originaron. Ley de conservación de masa Ecuación de continuidad Segunda ley de Newton Ecuación de momento Primera ley de la termodinámica Ecuación de la energía Fluido Continuo.- Sustancia que se deforma que se deforma continuamente en la acción de un esfuerzo cortante.

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5

Continuo.-En ingeniería la mayor parte del trabajo se relaciona con el comportamiento por lotes por lo que en gran parte de problemas es mejor imaginar un fluido como una distribución continua de materia. Propiedades de un fluido: Cuando un fluido está en movimiento las cantidades que se asocian con el estado y el movimiento del fluido varían de un punto a otro. Variables del fluido en un punto: Densidad

)1.1(lim >−−−−−∆∆

=→∆ V

mdVV

ρ

Donde: ∆m Masa contenida en un volumen ∆V Volumen dV Volumen mínimo

||||


6

Propiedades del fluido y del flujo. Algunos fluidos (como los líquidos) presentan densidades que permanecen constantes con la presión y temperatura y se conocen como INCOMPRESIBLES Más los efectos de la compresibilidad son una propiedad de la situación mas allá del fluido mismo, como por ejemplo el aire a bajas velocidades se describe con las mismas ecuaciones que describen el flujo de agua. Desde un punto de vista externo el aire es un flujo compresible y el agua es incompresible. En lugar de considerarlos de acuerdo con el fluido, los efectos de compresibilidad de se consideran propiedad de flujo. Esfuerzo en un punto.

)2.1(lim −−−−=∆∆

→∆ii

dAA AFn σ

)3.1(lim −−−−=∆∆

→∆ij

dAA AFs τ

Donde: iiσ Esfuerzo normal ijτ Esfuerzo cortante dA Área más pequeña Las fuerzas ejercidas en un fluido son: 1.- Fuerzas que actúan sobre el cuerpo. (Gravedad, fuerzas eléctricas) 2.- Fuerzas superficiales. (Presión, fricción) Presión en un punto de un fluido. Para determinar el esfuerzo normal en un punto a partir de la aplicación de las leyes de Newton, a un elemento del fluido se hace que este tienta a ya que el elemento está en reposo el z=0 y las únicas fuerzas superficiales serán las debidas a esfuerzos normales y gravedad.

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7

PESO DEL ELEMENTO DEL FLUIDO…..W

[ ] NmmNVW =>⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 3

3δ

323 m

Nsm

mKgg =>⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ρδ

gVW ρ21

=

( ) )4(2

−−−−−−∆∆∆

=zyxgW ρ

PARA UN FLUIDO EN REPOSO:

)5(0 −−−−−=ΣF En eje x: )6(0 −−−−−−=⋅∆−∆ θSenFsFx

)7(0 −−−−−−−−=∆∆

∆−∆syFsFx

Dividiendo 7 entre ∆y ∆z y tomando como limites ∆V 0

0lim =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆⋅

∆∆∆

−∆∆

∆

→∆ sy

zyFs

zyFx

oV

)8(0lim −−−−−−−−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

∆−

∆∆∆

→∆ szFs

zyFx

oV

0=− ssxx σσ )9(−−−−−−−−−−−−−= ssxx σσ

||||


8

En el eje y:

0=ΣF ( ) )10(0

2−−−−−−=

∆∆∆−⋅∆−∆

zyxgCosFsFy ρθ

( ) )11(0

2−−−−−−=

∆∆∆−

∆∆⋅∆−∆

zyxgsxFsFy ρ

Dividiendo entre ∆x∆z y sacando limites cuando ∆V 0

( ) 02lim =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∆∆∆∆∆

−∆∆⋅

∆∆∆

−∆∆

∆

→∆ zxzyxg

sx

zxFs

zxFy

oV

ρ

( ) 02lim =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∆

−⋅∆∆

∆−

∆∆∆

→∆

ygzs

Fszx

FyoV

ρ

0)0(2

=++−g

ssyyρσσ

ssyy σσ = -----------------------(12) Por lo tantoθ no se aparece en las ecuaciones (9) y (12) ya que el esfuerzo normal σ en un punto de un fluido estático no depende de la dirección y por tanto es: UN ESCALAR

( ) )13(31

−−−−−−−++−= zzyyxxP σσσ

VARIACIÓN PUNTO A PUNTO DE LAS PROPIEDADES DE UN FLUIDO

De acuerdo al principio de continuidad para la transferencia d momento, se UTILIZARAN CAMPOS DE presión, temperatura, velocidad, densidad y esfuerzo. Como ya se vio se ha introducido el campo de gravedad, siendo la gravedad un campo vectorial.

||||


9

El cambio de presión entre dos puntos cuales quiera dentro de una región se da por: dP Separadas por las distancias dx, dy, y se representan por:

)14(−−−−−−−−−−∂∂

+∂∂

= dyy

dxx

dP ρρ

En la ecuación anterior las D.P. representan la forma de que la presión cambia a lo largo de los ejes X y Y. Cuando se tiene una trayectoria S en un punto x, y la derivada total es:

)15(−−−−−−−−−−∂∂

+∂∂

=dsdy

ydsdx

xdsdP ρρ

De la figura adyacente:

dsdySen

dsdxCos == αα ,

Sustituyendo en 15 los resultados anteriores:

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10

)16(cos −−−−−−−−−∂∂

+∂

= αραρ senydxds

dP

Hay infinidad de trayectorias en el plano X Y, más existen dos trayectorias muy importantes, a saber:

a) 0=dsdP

b) dsdP MAXIMA

Para el caso,

a) 0=dsdP

αραρ senydx ∂

∂+

∂= cos0

αραρ senydx ∂

∂=

∂− cos ;

yPxP

sen

∂∂∂∂

−=αα

cos

αtg

yPxP

dxdy

dsdP =

∂∂∂∂

−==0

; dxdy

=α

)17(0

−−−−−−−−−−==

αtgdxdy

dsdP

P= Constante y dicha trayectoria se le conoce como ISOLINEA

b) dsdP MAXIMA

Para encontrar la dirección donde P es máxima se tiene:

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dsdP

ddα

0coscos =∂∂

+∂∂

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

yP

xpsensen

yp

xP

dd

dsdP

dd αααα

αα

Ahora:

||||


11

)18(max

−−−−−−−−−

∂∂∂∂

=⋅

xPyP

tges

dsdpα

22maxcos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=⋅

yP

xP

xP

esdsdpα

22max

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=⋅

yP

xP

yP

senes

dsdpα

Sustituyendo cosα y senα en la ecuación 16:

22

22

2222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

∂∂

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

∂∂

=

yP

xP

yP

xP

yP

xP

yP

yp

yP

xP

xP

xP

dsdP

Factorizando:

22

22

22

22

22

baba

ba

ba

ba+=

+

+⋅

+

+

Por lo tanto:

)'18(22

−−−−−−−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=yP

xP

dsdP

MAX

Las ecuaciones (18) y (18’) indican que la máxima derivada direccional es un vector de la forma:

yx eyPe

xP

∂∂

+∂∂

Donde: yx ee , Son vectores unitarios La derivada direccional a lo largo de la trayectoria de máximo valor se aplicara mucho en análisis de procesos de transferencia y se conoce como

||||


12

GRADIANTE→∇

→∇P )19(−−−−−−−−−−−−−∂∂

+∂∂

+∂∂

zyx ezPe

yPe

xP

Donde: P=P(x,y,z)

zyx ez

ey

ex ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇

SISTEMA DE UNIDADES.

-Internacional Kg., m, seg., N -Ingles lb., ft, s, lbf Slug, ft, s, lbf PROBLEMAS Problema 1.2.- Encontrar el gradiante de presión en el punto (a,b) cuando el campo de presión está dado por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∞∞ a

xbysen

axsenvP 22ρ

Donde: bav ,,, ∞∞ρ son constantes

zyx Pez

Pey

Pex

P∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+=∇ ∞∞ yx eo

bby

axsene

aaax

bysen

axsenvP 1cos21cos)0(2ρ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∇ ∞∞ yx e

by

axsen

be

ax

bysen

avP cos12cos12ρ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∇ ∞∞ yxba e

bb

aasen

be

aa

bbsen

avP cos12cos12

),( ρ

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++= ∞∞ yx esen

besen

av 1cos1121cos112ρ

De la relación trigonometrica:

||||


13

Sen2x=2senxcosx; senxcosx=22xsen

Sustituyendo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∇ ∞∞ yxba esen

besen

avP

2212

2212

, ρ

1.6.- Demuestre que los vectores unitarios er y eθ en un sistema de coordenadas cilíndricas con los vectores unitarios ex y ey por medio de:

θθ seneee yxr += cos

θθθ seneee yx +−= cos

Cosθ=

yyrxxrr eeeee +=

yxr esenee θθ += cos

yx

yxlllll θθθ +=

yxsen lll θθθ cos+−= Por lo tanto:

||||


14

ysenxr lll θθ += cos

1.12.-Si el fluido del problema 1.10, cuya densidad es 1ρ obedece a la ley de los gases perfectos. Obtener la ecuación de estado de la mezcla, es decir;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xm

MRTsf ,, ρρρ ¿Es valido este resultado si se encuentra presente un líquido

en lugar de un sólido?

( )xsxsm

−+=

1ρρρρρ

Para un gas perfecto:

yx eesene θθθ cos+−=

||||


15

Sistema no inercial. ΣF = ma

( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )X

sm

Xm

Xsms

Xsm

mXsXsm

XsmsmXXsmsmX

sXsmXm

sXsmmX

Xsx

sm

Xsxsm

MRTpRTpv

ρρ

ρρ

ρρρ

ρρρ

ρρρρρ

ρρρρρρρρρρρ

ρρρρρρ

ρρρρρ

ρρρρ

ρρρρρ

ρ

−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−

=

−=+−−−=−

=−+

=−+

−+=

−+=

==

1

1

1

1

11

11

1

1

1

;

Sustituyendo @ ρ por ( )

MRT

Xsm

Xm

ρρ

ρρ−

−=

1

1

Si, si el fluido es incompresible

2 ESTATICA DE FLUIDOS

Aquí se analizara la variación de la presión∑ de un punto a otro de un fluido en reposo.

Tierra

Sistema inercial de referencia. ΣF = 0

||||


16

y

x

z

P1 P2

P3

P4 P5

P6

Fig. 2.1 Fuerzas de presión sobre Un elemento estático de

fluido

∆X ∆Y

∆Z

2.1.- VARIACION DE LA PRESION DE UN FLUIDO ESTATICO.

( ) ( )( ) 0

0

=∆∆−+∆∆∆−

∆∆−+∆∆−

=∑

∆+

∆+∆+

zZZZy

yYYYxXXX

YeXPPZeYXg

ZeXPPZeYPPF

ρ

Dividiendo por el V.C.

0=∆

−+

−∆

−+

∆

−

∆+

∆+∆+

zZZZ

zyYYY

xXXX

eZPP

geeYPP

eXPP

ρ

Sacando límites cuando 0,, →∆∆∆ ZYX . El V.C 0→

)22(

:

→=∇

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

gP

ezpe

ypxe

xpg zyx

ρ

ρ

La ecuación 22 es la ecuación básica de la estática de fluidos

||||


17

A

B C

D

d2

d1

Pat. g

Fluido manométrico

. . . . . . . ..

. . . . . . . ..

.

. . . . . . . .

. .

. . . . . . . .

.

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. ..

. . . . .

. . . . . . .

Ejemplo: *Determinar la presión en A

gP ρ−=∇ *Integrando entre C y D.

gdydP

gdyd

zPz

yPy

xPx

P

ρ

ρ

−=

−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ lll

*Integrando de C @ D

( ))1(→−=−

−−=−

−=∫ ∫

gdzPcPatCDgPcPat

dygdP

m

Pat

Pc

D

Cm

ρρ

ρ

*Integrando de B @ A

( )

CB

TBA

TBA

TBA

P

P

A

B

PPgdPP

gdPPBAgPP

dygdPA

B

=→−=→−=−−−=−

−=∫ ∫

)3()2(

1

1

ρρρ

ρ

De 1:

gdzPatP mC ρ+= Sustituir el valor de Pc en 3:

( )12

12

ddgPatPgdgdPatP

TmA

rmA

ρρρρ−=−−+=

Otra forma de cálculo:

( )( )

( )21

21

ddgPatPgdgdPP

PPyygPPyygPP

mTA

mTDA

BC

DBmDC

BATBA

ρρρρ

ρρ

+−=−−−=−

=−−=−−−=−

||||


18

Ejemplo 2.3 (WHITE). Encontrar la presión PA, si la Pa=2116 lbf/ft2, zA=7 plg, z1=4 plg, z2= 13 plg, el fluido 1 es agua y6 el 2 es mercurio. ¿Cual seria el valor de z2, si con la misma PA, se sustituyera el mercurio por la glicerina? PA=? Pa=2116 lbf/ft2 Za= 7 plg=0.5830’ Z1= 4 plg=o.333’ Z2= 13plg=1.083’

)()()()(

/9.2734

)25.0(4.62)75.0(8462116)()(

)()()(

(;

(;

/9.2734

846)25.0(4.622116

)()()()(

)()(

111222

122112

2

111222

111222

12221

22122

111

2

32

212112

212112

2121

111

22

2

1

2

1

1 1

2

ZZgZZgPPZZgZZgPP

ftlbfP

PZZgZZPP

ZZgZZgPPZZgPP

ZgPPdygdp

ZgPPdygdp

ftlbfPflb

ftftlbf

ftlbf

P

ZZZZPPZZgZZgPP

ZZgPPZZgPP

z

AA

AA

A

A

AA

AA

P

P

Z

Z

P

P

Z

Z AA

A

A

AA

AA

L

AA

glicerinaPCalculadoP

A A

A

−−−+=−+−−=−

=

−+=−−−+=

−−−+=−+=

−−=−−=

−=−−=

=

−−=

−−−−=−−−−=−

−−=−−−=−

∫ ∫

∫ ∫

=

===

ρρρρ

ργ

ρρρ

ρρ

ρρ

γγρρ

ρρ

ρ

Hg

Agua

ZA, PA

Z1, P1 P1, Z1

Z2, P2

P2

||||


19

2.2.-ACELERACION RECTILINEA UNIFORME Cuando el sistema de coordenadas x, y, z del volumen de control de loa fig. 2.1 no sea inercial, la ecuación (1), no es valida. Para el caso de aceleración rectilínea uniforme, el fluido estaría en reposo con respecto al sistema de coordenadas acelerado. Si hay una aceleración constante, se aplicara el mismo análisis que el caso del sistema inercial de coordenadas, a excepción que:

y )2()( →−=∆∆∆∆==Σ

agPzyxamaF

ρρ

Obteniéndose la máxima rapidez de cambio de la presión en la dirección (g-a) y las líneas de presión constante son perpendiculares a (g-a). Por ejemplo: Calcular la PB cuando el tanque se somete a una aceleración constante a

dagPP

dagPP

dagPP

dyagdp

eagedydpP

gP

aB

Ba

Ba

dP

P

yx

a

B

22

22

22

0

++=

+=+−

+−=−

−−=

−−==∇

−=∇

∫

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

a

Ventila

Bomba combustible

B

g

X

y

d

g g - a

B

Pa

90°

||||


20

2.3.-FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

La estática de fluidos calcula las fuerzas que actúan sobre las superficies sumergidas: dichas fuerzas se deben a la presión, por lo que se hará uso de las relaciones que describan la variación de la presión de un punto a otro, vistas antes. De la figura: A= Área del plano inclinado ρ = Densidad del fluido La fuerza en el elemento de área dA es:

αραρ

ρ

gnsenPnsengP

gyPdAPdF

G

G

G

G

=−−=

−==

)(

||||


21

Sustituyendo PG en (3) dAgnsendF αρ=

Integrando sobre la superficie de la placa

∫ ∫= ndAgsendF αρ Por definición el centroide de área es:

)4(

1

→=

∴= ∫AngsenF

ndAA

nA

αρ

P(X, Y) = Centroide del área Si y solo si es homogénea la placa.

∫

∫∫

∫

=

=

=

=

YdAA

Y

YdAY

XdAA

X

XdAX

A

A

1

1

Por lo que: La fuerza debida a la presión es igual a la presión evaluada en el centroide del área sumergida multiplicada por el área sumergida. El punto en que actúa esta fuerza se conoce como centro de presión c. p. (No es el centroide del área). Para determinar el c. p. se deberá localizar un punto en el que esta concentrada la fuerza total ejercida sobre la placa para producir el mismo momento que la presión distribuida, es decir,

∫∫

∫

=

=

=

Apc

Apc

A

Cpc

dAgsennFn

dAgnsennFn

dFdAP

nFn

αρ

αρ2

.

.

.

||||


22

Sustituyendo F

AnnIaa

IaaAn

n

dAnAn

n

dAngsenAnngsen

pc

pc

Apc

Apc

.

.

2.

2.

)5(1

1

=

→=

=

=

∫

∫αραρ

Momento de Área ∫= A

dAnIaa 2

El momento del área cerca de la superficie se puede trasladar de un eje a-a que este en la superficie del fluido a un eje b-b que pase por el centroide por medio de: )6(2 →+= AnIbbIaa De (5) AnnIaa pc.= Sustituyendo en (6)

)7(.

.

2

.

2.

→=−

+=

+=

+=

AnIbbnn

nAn

Ibbn

AnAn

AnIbbn

AnIbbAnn

pc

pc

pc

pc

||||


23

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS Del diagrama de cuerpo libre:

)9(0`

)8(0`

→=−−=Σ

→=−=Σ

ACABCVZ

HBCX

FWFF

FFF

En donde

)11(`)10(`→+=

→=

ABCACV

BCH

WFFFF

De la incapacidad de cuerpo libre del Fluido para soportar esfuerzos de corte Se concluye que: HF` Debe ser colineal con BCF Y VF` Debe ser colineal con la resultante de ACABC FW , Para calcular ACF y BCF se emplean los métodos p/una superficie plana sumergida y planar ABCW es el peso del fluido y actúa sobre su c. de g.

||||


24

Manómetro con sistema impractico pero complicado, sin embargo es una aplicación muy buena e ilustrativa. Calcular PA-PB

KPaPP

mNPP

PPPP

ZZZZZZZZPP

ZZgPPZZgPPZZgPPZZgPP

mN

mN

mZmZmZmZ

mZ

BA

BA

BA

BA

BaBA

BB

L

aA

AM

881.284

/284881

119520117481859208811)8.19.0(132800)9.01.2(9790)1.27.0(132800)7.06.1(9790

)()()()(

)()()()(

/132800

/9790

8.19.01.27.0

6.1

2

3432321211

343

32332

2121

111

342

331

4

3

2

1

=−

=−

+−+−=−−−−−−−−−=−

−−−−−−−−=−

−−=−−−=−−−=−−−=−

==

==

=====

γγγγ

ρρρρ

γγ

γγ

||||


25

Prob. 2.3 (Welty).- En el agua el modulo β, definido en el problema 2.2 es casi constante y vale 300,000 psi. Determine al porcentaje de cambio de volumen en el agua debido a una presión de 2000 psi.

?2000

300000

==∆

=

=

psiPV

psi

dPdP

βρ

β

%66.0

00666.0

1066.6

3000002000

3

−=∆

−=∆

×−=∆

−=∆

−=∆

∴

−==

−

VV

VV

VV

psipsi

VV

dPVV

VdVdPdP

β

βρ

||||


26

2.9.- (WELTY).- Se usa un manómetro diferencial para medir el cambio de presión ocasionado por una reducción de flujo en el sistema de tubos del sistema. ¿Cuál es la P∆ entre los puntos A y B en lbf/plg2?¿Cual sección tiene la presión mas alta?

[ ]

[ ]

2

23

2121

2211

3

33

22

2121

11

lg/601.4

lg)100(489.0)1210()010(

lg0361.0

)()()(

)()()(

lg489.0

lg0361.04.62

)(

)()(

plbfPP

plbf

plbfPP

ZZZZZZPP

ZZZZZZPP

plbf

plbf

ftlbf

ZZPP

ZZPPZZPP

BA

BA

HgBAWBA

BWHgAWBA

Hg

W

BWB

Hg

AWA

=−

−−−+−−=−

−−−+−−=−

−−−−−−=−

=

==

−−=−

−−=−−−=−

γγ

γγγ

γ

γ

γ

γγ

||||


27

3.69.- En la figura 3.34 se muestra un manómetro que se utiliza para indicar la diferencia de presión entre dos puntos de un tubo. Calcule (PA-PB)

3

3

2

1

16.56

)4.62(98.0

4.62

'6'8'11

0

ftlbf

ftlbf

ZZZZ

ac

ac

W

B

A

=

=

=

====

γ

γ

γ

[ ] [ ][ ]

2

2

22

2121

22

2121

11

lg/73.2

lg1441lg/12.393

48.1686.561)8.11(16.56)68()'110(4.62

)()(

)()()(

plbfPP

pftplbfPP

PPPP

ZZZZZZPP

ZZgPPZZgPPZZgPP

BA

BA

BA

BA

ACBAWBA

BWB

AC

AWA

=−

=−

−=−−−+−−=−

−−−+−−=−

−−=−−−=−−−=−

γγ

ρρρ

||||


28

3.71.- En la figura 3.36 se muestra un manómetro del tipo pozo inclinado en el que la distancia L indica el movimiento del fluido manométrico a medida que la presión PA se aplica por encima del pozo. El fluido manométrico tiene una gravedad especifica de 0.87 y L = 115mm. Despreciando la caída en el nivel del fluido en el pozo, calcule PA.

KPaPmNP

mmNP

hP

mmmhhSon

PmL

A

A

A

MA

A

M

2527.0/7.252

02970.0978087.0

02970.076.29;115

15

?115

87.056

3

==

∗∗=

−=

===

==

=

γ

o

||||


29

FLOTACION

El cuerpo de la figura se sumerge en un fluido cuya densidad es ρ . La fuerza resultante F mantiene en equilibrio al cuerpo. Hay fuerzas debidas a la gravedad y a la presión que actúa en el cuerpo h dA. Componente en y de P2 :

)12(22 →− ydsCosP lα

El producto escalar de

)13(

)3(

2

2

2

→−

→=

ydAPCosds

dACosds

l

α

α

Sust. en (12)

La fuerza neta causada por la presión sobre el elemento es:

ydAPP l)( 21 − ∴La fuerza resultante ejercida Sobre el elemento h da es:

)5()(

)(

)14()(

21

21

→−=

−=

=−

→−−=

∫∫ygVF

ydAghghdF

ghPP

YghdAydAPPdF

B

B

B

l

l

ll

ρρ

ρρ

ρ

ρ

∴La ferza resultante se compone de: -El peso del cuerpo ygVB lρ -La fuerza boyante ygVlρ De ahí que: El cuerpo sufre una acción de una fuerza hacia arriba igual al peso el fluido desplazado (principio de Arquímides)

||||


30

Cuando Bρ es menor que ρ el cuerpo flota. 2.23.(white).- El manómetro A indica 250kPa de presión absoluta a 20°C. ¿Cuál s la altura h del agua en cm. de agua?¿Que indicara el manómetro B en kPa de presión absoluta?

PA= 250kPa p=ρgh TA= 20°C p=γh h= cm H2O pB= ?

kPa

plbf

kPaplbfpAIRE 9.137

lg1

895.6lg

202

2 ==

PA= paire + pagua + pHg

PA = 137.9 + 9.79h + 132.7(0.8) 250= 244.14 + 9.79h

mh 598.079.9

14.244250=

−=

PB= paire + pagua PB= 137.9 + γ(20+h) PB= 137.9 + 9.7(1.398) PB= 137.9 + 13.5

||||


31

PB= 151.5 kPa 2.101.(White).- La compuerta de la figura de 10m de ancho tiene forma parabólica y esta abisagrada en B. Calcular la fuerza necesaria F para mantenerla en equilibrio. Despreciar la presión atmosférica.

00 =−==Σ WFFy v VgAWWFv γρ ===

)10)(8)(5)(3/2(/9790 mNFv = MNFv 61.2=

gp ρ=< ghp ρ=

FH= pA; F=pghAproyectada FH= γHA= 9790(4)(80) FH= 3.132 MN

mmm

msenAhsenIy

proycg

XXpc 33.1

)80(4908)10(12/1

2

43

. =°

==θ

0)587.1()66.2()8( =−−=∑ VHB FFFM

MNF 655.18

)875.1(61.2)66.2(132.3=

+=

bax 3_

= ; 5

3hy =−

32ahA = ; H=am

5)8(3

=−

y= 4.8m

875.1=−

x 433 6.4266)8)(100(121

121 mbhI XX ===

||||


32

2.104.(White).- El bote de la figura flota en la posición indicada. ¿ Cuál es su peso en Newton?

γa= 9790 N/m3 W= PESO DEL AGUA DESPLAZADA W= γa Ah

)08.0(9

)09.0(mN9790 3

π=w

W= 4.98 N

||||


33

3 DESCRIPCION DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO

El desarrollo que describe analíticamente el movimiento de un fluido tiene como principio las leyes físicas relacionadas con el flujo de fluidos. De ahí que se expondrán leyes físicas necesarias y se mostraran los métodos utilizados para describir un fluido en movimiento. LEYES FISICAS FUNDAMENTALES. Ley Ecuación 1.- Conservación de la masa Continuidad 2.- Segunda ley de newton del movimiento

Teorema del momento

1.-Primera ley de la termodinámica Ecuación de la energía También se utilizaran relaciones auxiliares como la de los gases ideales, leyes de Hooke etc. CAMPOS DE FLUJO DE FLUIDOS. Campo es una cantidad definida como función tanto como de la posición como del tiempo en una región dada REPRESENTACIÓN DE CAMPOS. Lagrangiano.- Describe las variables físicas para un elemento particular de dicho fluido al moverse a lo largo del flujo:

),,,( tcbaνν = a,b,c son coordenadas en t=0 Euleriano.- Da el valor de la variable de un fluido en un punto y tiempo determinado.

),,,( tzyaνν = x,y,z,t son V.I Flujo permanente cuando es independiente de t Flujo no permanente cuando es dependiente de t Líneas de corriente son útiles para describir el movimiento de un fluido, y es la tangente al vector velocidad en cada uno de los puntos del campo de flujo

dxdy

xy=

νν

zdz

ydy

xdx

ννν==

||||


34

4 CONSERVACIÓN DE LA MASA.

En este apartado se desarrollara una relación integral que exprese la ley de conservación de la masa para un V.C. general. Esta relación integral se aplicara a algunos casos que con frecuencia se encuentran en mecánica de fluidos.

RELACIÓN INTEGRAL.

)1(012 >−−−=∆+− mmm n= vector unitario

dAcosθ= proyección de dA a un plano normal a v→

θ = ángulo formado por v→

y h→

dA= superficie de control de análisis vectorial

cos θ = nv

nv→→

⋅ producto punto (escalar)

v→

.h→

= θcosnv ⋅ El flujo de masa a través de dAcos θ es:

θρθνρθρν coscoscos nvdAdAdA ==

)2()(cos >−−−−−⋅=→→

dAdA nvρθρν

||||


35

La ecuación (2) designa la rapidez de flujo de salida a través de dA. Integrando la ecuación (2) sobre la superficie de control

∫∫ >−−−−−−⋅→

csdAnv )3()(ρ

La ecuación (3) dará el flujo neto de masa hacia fuera del V.C. En caso de que el flojo entre a la V.C. el producto es:

θcosnvnv→→→→

−=⋅

La rapidez de acumulación de masa dentro del V.C. es:

∫∫∫ >−−−−−−−∂∂

..)4(

CVdV

tρ

Por lo tanto el balance de masa en el V.C. es:

)4(0)(.:

>−−−−−−=∂∂

+⋅ ∫∫∫∫∫→→

CVdV

tdAnv ρρ

FORMAS PARTICULARES DE LA ECUACIÓN 1.- Para flujo permanente.

∫∫∫ =∂∂

.:0

CVdV

tρ

)5(0)( >−−−−−=⋅∴→→

∫∫ dAnvρ 2.- Para flujo incompresible.

;0.:∫∫∫ =

∂∂

CVdV

tρ .cte=ρ

∫∫ >−−−−−−−−=⋅→

csdAnv )6(0)(ρ

||||


36

PROBLEMAS 4.1. (White).- El vector velocidad en un flujo bidimensional esta dado por la ecuación

xeyex 210 +=ν m/s, donde x esta dada en m. Determine la componente de la velocidad que forma un Angulo de 30° con el eje x en el punto (2,2).

yx xee 210 +=ν

yx eee 21

23

−=→

La componente de v en dirección del vector unitario e en P(2,2)

( ) 23541021

23. −=+•⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

→→

yxy eeeeve

sftve /66.6. =→→

Sen30°=0.5=1/2 R2= x2+y2 X2= 4-1=3 X= 3

Cos30°=23

||||


37

4.3.- Esta fluyendo agua por un conducto circular con un perfil parabólico de velocidad dado

por la ecuación sftr /16

162

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ν . ¿Cuál es la velocidad promedio del agua en el tubo de

1.5ft?

)16

1(62r

−=ν

?=ν

∫∫ ∫∫∫ =∂∂

+⋅→

cs CVdV

tdAnv .:

0)( ρρ

∫∫∫∫ ∫∫ =⋅−⋅=⋅→→→

120)()()(

cscs csdAndAndAn vvv ρρρ

;)(1222 ∫∫ ⋅=

→

csdAnA vρνρ 12 ρρ =

∫ ∫ −=π

θν2

00

2

2

2 )16

1(61 R

rdrdrA

∫ −=R

drrrdrA 0

3

2

2 )16

()2(6 πν

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

64212

64212 4

12

1

20

42

22

RRA

rrA

Rππν

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

64256

216

)5.1(412

22 ππν

[ ] smv /33.854825.2

482 =−=

m2-m1=0 222111 νρνρ AA =

smsmAA /3/999.233.85

85.12

2

2

1

21 ≈=== νν

||||


38

4.4.(Welty).- Entra agua en un canal cuadrado de 4plg con una velocidad de 10ft/s. El canal converge hasta llegar a cambiar en una sección cuadrada de 2”x2”. La sección de salida esta cortada a 30° de la vertical, pero la velocidad media del agua que sale permanece horizontal. Encontrar la velocidad media de salida del agua así como la rapidez total de flujo.

A1=0.111ft2

sft /10=ν ?2 =ν

∫∫∫∫ =⋅−⋅→→

120)()(

cscsdAndAn vv ρρ

222111 νρνρ AA =

1122 30 νν ACosA =°

12

12

30cosνν°

=A

A

sftft

ft /10)866.0(0277.0

11.0 2

2 =ν

sft /85.452 =ν

)85.45(30cos0277.0222 °== νAQ

sftQ /1.1 3

2 =

||||


39

4.8. (Welty).- En la combinación de pistón y cilindro de la figura, el pistón grande tiene una velocidad de 2ft/s y una aceleración de 5ft/s2. Calcular la velocidad y aceleración del pistón más pequeño.

∫∫ ∫∫∫ =∂∂

+⋅→

cs CVdV

tdAnv .:

0)( ρρ

111222 νρνρ AA =

12

12 νν

AA

=

122

21

2 ννdd

=

sftsft /128/25.0

4 2

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ν

122

21

2 adda =

222

2 /320/55.0

4 sftsfta =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

||||


40

Calculo de la velocidad media en un tubo con perfil parabólico de velocidad

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

1Rrvv Max

Y flujo compresible

( )∫∫ ⋅=CS

dAnvAv rrr ρρ

( )∫∫ ⋅=

CSdAnvAv rrr

( )∫∫ ⋅=CS

dAnvA

v rrr 1

( )∫∫ ⋅=CS

dAnvA

v rrr 1 ; ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

1Rrvv Max = θ

ππ

rdrdRrv

RR

Max∫ ∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2

0 0

2

2 11

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∫∫

RR

MAX drRrrdrv

R 0 2

3

03 21 ππ

2

2

2

22

20

2

42

2 42

422

422

RvR

RvRR

Rv

Rrr

Rv MAXMAXMAX

R

MAX =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

2MAXv

v =

||||


41

6.41. (Mott).- UN conducto de 150mm lleva 0.072 m3/s de agua, el conducto se ramifica en dos como se observa en la figura 6.15, si la velocidad en el conducto es de 12m/s ¿Cuál es la velocidad en el conducto de 100mm?

mmm 15.01501 ==φ

V1=0.072m3/s V2=12m/s

mmm 05.0502 ==φ V3=?

mmm 1.1003 ==φ

∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ⋅−⋅+⋅==⋅→→→→

3 12)()()(0)(

cs cscsCSdAndAndAndAn vvvv ρρρρ

m2+m3-m1=0; m1=m2+m3; ρ1A1V1= ρ2A2V2+ ρ3A3V3

smm

xs

m

AV

m /177.40)12.0(

471.02

3

1

11 ===

πν

A1V1= A2V2+ A3V3

A3V3= A1V1- A2V2

3

21

2

223 A

VVA

AA vv −=

−=

ννν

smsmmAV /023.0/124

)05.0( 32

222 ===πν

||||


42

sm /23.6)1.0(

4)023.0072.0(23 =

−=

πν

6.59 (MOTT).- La boquilla de flujo mostrada en la fig 6.20 se utiliza para medir la velocidad de flujo. Si la boquilla se instala dentro de un tubo de 14 pulgadas calibre 40 y tiene un diámetro de 2 ¾ pulgada, calcule la velocidad de flujo en a sección 1y en el cuello de la boquilla cuando 7.5ft3/s de agua fluyen por el sistema.

"14=TUBOφ CAL 40

4"32=BOQUILLAφ

v1=? v1=?

sftV

3

5.7=⋅

240"141 93960 ftA CAL −==φ De tabla

11 AvV =⋅

sft

fts

ft

AVv 982.7

9396.0

5.72

3

11 ===

⋅

1

.

2

.mm =

222111 vAvA ρρ =

||||


43

12

12 v

AAv = =

sft

sft

pftp

ft 828.181982.7

lg12lg75.2

4

9396.02

2

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅π

3.36.- La bomba de chorro de la figura p3.36 inyecta agua a U1= 100ft/s a través de un tubo de 3” de diámetro y arrastra un flujo secundario de agua a U2=10ft/s en la región anular indicada. Los dos flujos se mezclan completamente aguas abajo, tomando una velocidad U3 casi constante. Si el flujo es estacionario e incompresible calcular U3 en ft/s.

?3 =u

( ) ∫∫∫∫∫ =∂∂

+⋅.:

0CVCS

dVt

dAnv ρρ rr

0123 =−−⋅⋅⋅

mmm

123 mmm⋅⋅⋅

+= = 222111 vAvA ρρ +

( )2211 vAvAm +=⋅

ρ = ( )2221

214

vv φφπρ+

= ( ) ( ) ( ) 52.64694.625.649101210100

123

44.62

2

=+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π

slb

sftft

ftlb

→⋅⋅ 23

slbm 52.6463 =

⋅

;3333vAm ρ=

⋅

3

33 A

v mρ

⋅

=

||||


44

sft

ftftlb

slb

v 99.18

1210

44.62

52.464

22

3

3 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=π

4.6.- Se midieron las velocidades de un conducto circular de 20” de diámetro. Encuentre a).- La velocidad media y b) la rapidez de flujo en ft3/s

vAQ =

r plg Velocidad ft/s

0 7.5 3.16 7.1 4.45 6.75 5.48 6.42 6.33 6.15 7.07 5.81 7.75 5.47 8.37 5.1 8.94 4.5 9.49 3.82

10.00 2.40

drrvdrrvdrrvQ ∫∫∫ ++=10

49.9 10

45.4

16.3 2

16.3

0 1 2......22 πππ

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2222

2222

2222

2222

222

1249.9

1210

240.282.3

1294.8

1249.9

282.35.4

1237.8

1294.8

25.410.5

1275.7

1237.8

210.547.5

1207.7

1275.7

247.581.5

1233.6

1207.7

281.515.6

1248.5

1233.6

215.642.6.6

1245.4

1248.5

242.675.6

1216.3

1245.4

275.61.7

1216.3

21.75.7

πQ

||||


45

sftQ

3

214.12214.0292.0328.0366.0394.0

0411.0438.467.0472.0506.0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

+++++= π

sfts

ft

AQv 598.5

1220

4214.122

3

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅==

π

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

PIDE RADIOS Y VELOCIDADES

REALIZA LA OPERACIÓN INDICADA:

q=q+(v[i+1]+v[i])*((r[i+1]*r[i+

1])-(r[i]*r[i])); q = (3.14159/288)*q;

PIDE LAS (N) ITERACIONES

NO

FIN DEL PROGRAMA

SI

HACE EL NUMERO DE

ITERACIONES PEDIDAS

MUESTRA EL RESULTADO

EL PROGRAMA FUNCIONA PARA CUALQUIER VALOR DADO POR EL USUARIO

||||


46

MECANICA DE FLUIDOS 1. GRAFICA DE RADIO CONTRA VELOCIDAD.

>>A=[7.5,7.1,6.75,6.42,6.15,5.81,5.47,5.10,4.5,3.82,2.40]; >>B=[0,3.16,4.45,5.48,6.33,7.07,7.75,8.37,8.94,9.49,10.00]; >>plot(A,B); >>grid on; >>hold on; >>C=[0,-3.16,-4.45,-5.48,-6.33,-7.07,-7.75,-8.37,-8.94,-9.49,-10.00]; >>plot(A,C); >>grid on, xlabel('Velocidad en (ft/s)'), ylabel('Radio en (Plg)'); >>title('Grafica de Flujo Masico') >>gtext('Velocidad Maxima') >>gtext('Mecanica de Fluidos 1')

||||


47

SOLUCIÓN AL PROBLEMA QUE VIENE ILUSTRADO EN LOS ACETATOS:

||||


48

5 SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON Relación integral para momento lineal. La segunda ley de Newton se enuncia como: La rapidez de cambio de momento de un sistema es igual a la fuerza neta que actúa sobre el sistema y seda en la dirección de la fuerza neta.

( )tyttIIIttII

tI

∆+→∆+→

→

( )

( ) )1(>−−−−−−=Σ

=Σ

==Σ⋅

PdtdF

mvdtdF

vmaF m

Donde: P Momento lineal del sistema. En tt ∆+ : ttIIIttIItt PPP ∆+∆+∆+ += En t: tIIItIt PPP += Restando la segunda ecuación de la primera y dividiendo por ∆t:

tPPPP

tPP ttIIItIttIIIttIIttt

∆

−−+=

∆

− ∆+∆+∆+∆+

Sacando limites cuando ∆t 0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

−=

∆

− ∆+

→∆

∆+

→∆

∆+

→∆ tPP

tPP

tPP tIIttII

t

tIIIttIII

t

ttt

tlimlimlim

000

||||


49

Donde: ΣF Es la suma de fuerzas que actúan sobre el V.C.

( )( ) θρθρ

θρcoscos

cosnvdAvdAvv

dAvvvP m

rrr

r

r

=

=⋅

El flujo de momento es: ( ) ( )dAnvvdAvv rrr

⋅= ρθρ cos Integrando esta ecuación:

dAv nv )(→→

∫∫ ⋅rρ Flujo neto de salida de momento lineal del V.C.

∫∫∫∂∂

.:CVdVv

tρr Rapidez neta de acumulación de momento lineal dentro del V.C.

Y el balance total de momento lineal para un volumen de control es:

)4()(.:

>−−−−−∂∂

+⋅=Σ ∫∫∫∫∫→→

CVdVv

tdAvF nv ρρ rr

La ecuación (4) es muy importante en mecánica de fluidos y se conoce como: Teorema del momento Se debe notar que la ecuación 4 es una expresión vectorial muy diferente a la forma escalar de equilibrio total de masa. En coordenadas rectangulares:

||||


50

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

∂∂

+⋅=Σ

∂∂

+⋅=Σ

∂∂

+⋅=Σ

→→

→→

→→

.:

.:

.:

)(

)(

)(

CV zzz

CV yyy

CV xxx

dVvt

dAvF

dVvt

dAvF

dVvt

dAvF

nv

nv

nv

ρρ

ρρ

ρρ

rr

rr

rr

------------------ > (5)

Cuando se aplican cualquiera de las ecuaciones (5), se debe recordar que cada termino tiene un signo con respecto a las direcciones x. y e z y que se han definido como positivas. Aplicaciones de la expresión integral para el momento lineal.

Fuerzas externas 1.- Debidas a la presión en (1) y (2) 2.- Debido al peso del fluido. 3.- Ocasionadas por la presión de las paredes del codo así como del rozamiento: Pw

ByWsenAPFyBxAPAPFx

+−=Σ+−=Σ

θθ

22

2211 cos

Bx y By son las componentes de la fuerza resultante que el tubo ejerce sobre el fluido (Pw y ZW). Fuerzas internas:

∫∫∫∫∫ ∂∂

+⋅=Σ→→

.:)(

CVdVv

tdAvFx nv ρρ rr

∫∫∫∫∫∫→→→→→→

⋅−⋅=⋅1..2....

)()()(SC xSC xSC x dAvdAvdAv nvnvnv rrr ρρρ

( ) ( )11112222 cos vAvvAv ρρθ −+=

∫∫∫∫∫∫→→→→→→

⋅−⋅=⋅1..2....

)()()(SC ySC ySC y dAvdAvdAv nvnvnv rrr ρρρ

||||


51

( )2222 vAsenv ρθ−= Igualando FΣ :

ByWsenAPBxAPAP +−=+− θθ 222211 cos

( )222222 vAsenvByWsenAP ρθθ −=+−

θρθρ coscos 2211112122

22 APAPAvAvBx +−−=

WsenAPsenAvBy +−−= θθρ 2222

22

Las relaciones serán:

θρθρ coscos 2211112122

22 APAPAvAvRx −++−=

WsenAPsenAvRy −+= θθρ 2222

22

( ) θθ coscos 221112 APAPvvRx m −++−=⋅

( ) WsenAPsenvRy m −+=⋅

θθ 222 Las fuerzas debidas a PW y ZW son denominadas por B.

||||


52

PROBLEMAS 5.6.- (WELTY) La bomba de la figura bombea 3ft3/s del agua del acueducto sumergido, que tiene un área de 0.25ft2 en la popa. Determine la tensión en la cuerda de amarre. Suponiendo que las presiones de entrada y salida son iguales.

21

22

21

3

?15.0

25.0

3

PPT

ftA

ftA

sftV

===

=

=⋅

∫∫∫∫∫ ∂∂

+⋅=Σ→→

.:)(

CV xx dVvt

dAvFx nv ρρ rr

( ) ( )11112222 cos vAvvAvFx ρρθ −=Σ

f

f

f

lbT

lbFxTTFx

lbFx

lbflbmft

lbfss

lbmft

ftsft

ftlbm

AAAA

AA

VVV

VVVV

69.53866.05.46

30cos;30cos

5.46

5.462.32

6.1497

125.01

15.0134.62

112

2

2

22

22

3

121

2

2

2

12

2

=

===

=Σ

==

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

o

o

ρρ

ρρ

||||


53

RELACIÓN INTEGRAL PARA EL MOMENTO DE MOMENTO

pdtdmv

dtdF ==Σ

Aplicada a un sistema de partículas:

=>ΣFxrrr Momento resultante, ( MΣ ) con respecto al origen.

MFxrFxrrrrrr

Σ=Σ=Σ∴ Donde:

Mr

Es el momento total (impulso total) con respecto al origen de todas las fuerzas actúan sobre el sistema.

Pdtdxrrr Es el impulso de la rapidez de cambio de momento lineal con respecto al

tiempo y se puede representar:

( ) ( )

( ) )6(

)(

>−−−−−−−−−−−=Σ

===

HdtdM

HdtdPxr

dtdvxmr

dtdP

dtdxr

rrrrrr

||||


54

RAPIDEZ NETA DE LA EMISIÓN DEL IMPULSO EN EL VOLUMEN DE CONTROL

( ) ( ) )7()(.:

>−−−−−−∂∂

+⋅=Σ ∫∫∫∫∫→→

CVdVvxr

tdAvxrM nv ρρ rrrr

La ecuación (7) se expresa por medio de tres escalares para coordenadas ortogonales inerciales e las direcciones x. y. z como:

( ) ( )∫∫∫∫∫ ∂∂

+⋅=Σ→→

.:)(

CV xx dVvxrt

dAvxrMx nv ρρ rrrr I

( ) ( )∫∫∫∫∫ ∂∂

+⋅=Σ→→

.:)(

CV yy dVvxrt

dAvxrMy nv ρρ rrrr -I---------- >(8)

( ) ( )∫∫∫∫∫ ∂∂

+⋅=Σ→→

.:)(

CV zz dVvxrt

dAvxrMz nv ρρ rrrr I

Las direcciones asociadas a MX y (rxv) son las consideradas en mécanica y se rigen por la regla de la mano derecha para determinar la orientación de las cantidades que tienen un sentido de rotación.

( ) ( )∫∫∫∫∫ ∂∂

+⋅=Σ→→

.:)(

CV zz dVvxrt

dAvxrMz nv ρρ rrrr

FLECHAMFz =Σ Momento externo aplicado al eje que actúa sobre el volumen de

control.

||||


55

Donde Mflecha es el momento que la flecha ejerce sobre el rotor y es el único que actua sobre el v. c. La integral de superficie: ( ) ( )∫∫ SC

dAnvsr.

** ρ

Es la rapidez neta de emisión del impulso. La componente del fluido que sale del volumen de control en la dirección X es:

( )[ ]( ) ( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ] VrvVrwvrwrMVrvVrwvrwrMM

VrvVrwvrwrdAuvvxr

rvrw

OOSOOSZ

SC oo

Xwo

ρρθρρθ

ρρθρ

θ

−−−−=−−−−==∴

−−−=•↓∴

−−

∑∫∫

coscos

cos

cos

.

l

||||


56

PROBLEMAS Prob.5.2 (WELTY). La figura muestra un motor estacionario de jet. El aire con

3/0805.0 ftlbm=ρ entra en la forma indicada. Las áreas transversales de entrada y salida son de 10.8 ft2. La masa de combustible representa el 1% de masa de aire que entra a la sección de prueba. Calcule el impulso que desarrolla dicho motor para las condiciones dadas.

( )

( )( )

lbfRx

lbfFxlbmft

lbfssftft

ftlbm

sft

sft

sftft

ftlb

VVAVVAVVA

VVAVVAVAVAFx

dVvt

dAuvvFx

mm

CV XSC X

aC

9.4932

9.4932

9.49322.32

4.158839

300900*01.13008.10*0805.0

01.101.1

01.0

2

2

22

3

23

121

21112122

11112222

2111

2222

..

−=

=

==

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

−=−=

−=−=

∂∂

+•=

=

∑ ∫∫∫∫∫

ρρρ

ρρρρ

ρρ

||||


57

5.27.- Una presa vierte agua en un canal ancho constante como el de la figura se observa que una región de agua tranquila se encuentra detrás del chorro a una altura H. Tanto que la velocidad como la altura de flujo en el canal están dadas por v y h, respectivamente, siendo su densidad ρ . Aplicando el teorema de momento así como la superficie de control que se indica, determine lts desprecie el momento horizontal del flujo que esta entrando al volumen de control desde la parte superior y suponga que se desprecia la fricción. La presión del aire existente en la cantidad que hay bajo la cresta del agua que esta cayendo se debe tomar como la atmosférica. H=?

( )( )

( )

( )( )∫∫

∑

∑

∫∫

∑ ∫∫∫∫∫

=•

−=

−=

−=•∂∂

+•=

SCX

SC X

CV XSCX

vAdAnvv

hHgFx

ghgHFx

vAvvAvdAnvv

dVvt

dAnvvFx

.

2222

22

22

. 11112222

..

2121

ρρ

ρ

ρρ

ρρρ

ρρ

Igualando fuerzas externas a internas:

( )

←+=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

=−

=

=−

=

=−

222

22

222

222

2222

2

22222

2

2222

22

22

22

2

1*

;2

21

hg

hvh

gv

hH

hgv

hhg

hvH

ghv

hH

hAg

vAhH

vAhHg

ρρ

ρρ

||||


58

FUERZAS SOBRE OBJETOS ESTACIONARIOS E 16.1(L. MOTT) Un chorro de agua de 1” de diámetro que tiene una velocidad de 20 ft/s se reflecta por medio de una paleta curvada a 90º como se muestra en la figura 16.1. El chorro fluye libremente en la atmósfera sobre un plano horizontal. Calcule la fuerza en x o y que ejerce la paleta sobre el agua.

º90"1

==

θφ

v=20 ft/s Fx=? Fy=?

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

←=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

==+=

=

•=

←−=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=−+=•

=∂∂

+•=

∫∫

∑∑ ∫∫

∫∫

∑∑ ∫∫ ∫∫∫

lbfFylbmft

lbfstsft

ftlbmFy

vmvvAvvAdAnvv

RyFy

dAnvvFy

lbfFxlbmft

lbfsftft

lbmsft

ftft

lbmsftFx

mvvAvAvvdAnvv

RxFx

dvvt

dAnvvFx

SC yYYY

SCY

SC XXXX

SC CVX

227.42.32

1*121

4*20*4.62

0*

227.42.32

*13.136

121

4*4.62*20

22

2

2

22

3

.

º

2222222222

.

22

32

2

22

2

2.

º

1111112222

. .

π

ρρρ

ρ

π

ρρρ

ρρ

||||


59

16.2(L.MOTT).- En una fuente decorativa de 0.05 m3/s de agua que tiene una velocidad de 8 m/s están siendo reflectados por la caída en un ángulo mostrado en la figura. Calcule las reacciones sobre la caída en las direcciones x o y mostradas. También calcule la fuerza resultante total y la dirección en que actúa. Desprecie los cambios de elevación.

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

←=

=

==

==

==

=

==

=

=+=+=

←==

+=

+=−−=•

+−=

←⇒−=

−=−=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=•

+=∂∂

+•=

==

=

∑

∫∫∑∑

∫∫

∑∑ ∫∫ ∫∫∫

º47.743.179

646

27.7º75

656.5º45

07.2º75

656.5

º458º45

/7.6707.6706463.179

646646

656.527.705.010

º75º45

/3.179

3.179656.507.205.010

º75º45

?,,,/8

05.0

2

1

2

1

1

2222

2

3

33

12. 12

21

2

3

33

12

º

.

º

1

º

2

21

3º

θ

θ

ρρρρ

ρρρρ

ρρ

θ

tg

smvSenv

smvSenv

smvCosv

smv

CosvCosv

smFFyFxF

NsmkgFy

sm

sm

mkg

vvvvvvvdAnvv

SenFSenFFy

NskgFx

Nsm

sm

mkg

vvvvvvvdAnvv

CosFCosFFx

dVvt

dAnvvF

RRyRxsmv

smv

Y

Y

X

X

X

YYSC YYY

XXSC xXX

CS

||||


60

E. 16.5 (L.MOTT).- En la figura se muestra un chorro de agua a una velocidad v1 que impacta a una paleta que se mueve con velocidad vo. Calcule las fuerzas por la paleta sobre el agua si v1=20 m/s y vo=8 m/s. El chorro tiene un diámetro de 50 mm.

( ) ( )

( )

( )

( )

←=

==

==

←=

=++−=

=++−=

=+−−=

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∂∂

+•=

===

=⇒=−=

⇒

===

∑

∑∑

∑

∑ ∫∫ ∫∫∫

NRys

mmkgSen

smRy

RyvSenvFy

NRx

Rxsm

sm

mkg

RxCosvvFx

RxvvCosvvFx

RxvvvCosvFx

dvvt

dnnvvFx

smm

smAvv

QefectivovolumetricFlujoQsmv

efectivavelv

mmsmvsmv

ee

ee

eeee

eeee

SC CV XX

ee

ee

e

e

o

132.195

132.195023.0*10º*4512

º45

1.471

;0707.0112*023.0*10

0º451

0º45

0º45

023.005.04

20

,./12820

.

50/8/20

3

33

º

3

33

º

ºº

ºº

. .

322

º

1

ρ

ρ

ρρ

ρρ

ρρ

π

φ

||||


61

3.57.-Un chorro de agua empuja a una cuchara 160º de una turbina como la de la figura a 40 ft/s hacia la derecha. Calcular la fuerza ejercida sobre la cuchara en lb y b).- La potencia comunicada. (WHITE)

( )

( )

←=

==

=

==

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==

←=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=−−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−=

∂∂

+•=

=

==

∑

∑ ∫∫ ∫∫∫

KWW

HPKWHPW

slbfft

HPsftlbf

sftlbfFxvW

vv

sftftsftAvv

lbfFx

lbmftlbfs

sft

sft

ftlbm

vvvvvv

vvvvvv

dVvt

dAnvvFx

W

Fsftv

C

ee

ee

eeeeee

eeeeee

SC CVX

C

C

15.37

15.371

746.080.49

550

198.27393

/40*84.684

/945.2123

440100

84.684

2.32*945.2*60*4.622

2

;

?

?/40

º

º

º

21

332º

23

3

ººº

21

º

1

º

2

. .

º

π

ρρρ

ρρ

ρρ

||||


62

5.22.-(WELTY). Un irrigador de agua consta de dos chorros de 3/8” de diámetro en los extremos de una varilla hueca. Si el agua sale con una velocidad de 20 ft/s. ¿Qué par será necesario para mantener el irrigador en su lugar?

?/20

"8/3

2

===

Msftv

φ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

∑

∫∫

∑ ∫∫ ∫∫∫

∑

←=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=

−=•∂∂

+•=

=

ftlbfMo

ftlbmlbfs

slbmft

ftft

lbmsftft

Avr

AvvrdAnvvxr

dvvxrt

dAnvvxrMo

Mo

Y

SC Y

SC CV

*594.0

2.3214.19

8*123

44.62205.02

2

2

0

2

2

2

22

32

22

2.

. .

π

ρ

ρρ

ρρ

||||


63

16.23(L.MOTT).- Para la rueda descrita en el prob. 16.22 calcule la fuerza ejercida sobre el remo cuando la rueda gira a 40 rpm.

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

←=

===

==

=

=

=

==∂∂

+=

===

=

=

==

====

−

−−

−

−

−

−

∑∑∑

∑

∑∫∫

∫∫ ∫∫∫∑

NxF

Nxm

mNxrM

F

FrMFxrM

mNxM

msmkgx

mxmkg

smm

MvrvdAnvvxr

dvvxrt

dAnvvxrM

mxmA

smvsrev

radmrevrWv

mkg

smvmmrpmW

F

Z

ZZ

Z

ZSC A

SC CVZ

aire

aire

R

7

56

6

26

2432

22

.

. .

2422

3

10209

1009.2075.010568.1

;

10568.1

10568.1

10767.1*20.1*314.0*075.0

*

*

10767.14

015.04

/314.060min1

12075.0*

min40

*/20.1

/35.01540?

ρρ

ρρ

ππφ

π

ρ

φ

||||


64

6 CONSERVACION DE LA ENERGIA

La primera ley de la termodinámica que es útil en el análisis de flujo es la tercera ley fundamental o ecuación de la energía. RELACION INTEGRAL PARA LA CONSERVACION DE LA ENERGIA.

( )∫ ∫ →= 11 WJ

Q δδ

Donde:

JmN

BtuftlbfJ

calordemecanicoeEquivalentJ

117.778 ==

⇒

El calor total que el sistema adquiere de la región circundante es proporcional al trabajo realizado por el sistema sobre la región circundante.

( )

( )3

22

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

→+=+

→+=+

∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫

a bab

a aaa

WWQQ

WWQQ

δδδδ

δδδδ

Restando (3) de (2)

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫ ∫∫

→−=−

−=−1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

4a b

a b ba

WQWQ

WWQQ

δδδδ

δδδδ

Como cada lado de la ecuación 4 representa el integrando calculado entre los mismos puntos pero a lo largo de trayectorias diferentes:

dEcomodesignadaesxpuntofuncionunaEsWQ ⇒−δδ

( )

( )( )( )( ) salrededorelosderecibesistemaelCuandoW

salrededorelosadonaseCuandoWsistemadelsaleCuandoQ

sistemaalagregaseCuandoQsistemadeltotalenergialaesquepuntofuncionunaEsdE

dEWQ

−⇒+⇒−⇒+⇒

⇒→=−∂

.5δ

Para un sistema durante un tiempo dt la ecuación 5 se transforma en:

||||


65

( )

tEtEtE

ttEttEttEEnergia

tddE

tW

tQ

IIII

IIIII

///

///:

6

+=

∆++∆+=∆+

→=∂∂

−∂∂

Restando la segunda ecuación de la primera:

tEttEtEttEtEttE IIIIIIIII ////// −∆++−∆+=−∆+ Dividiendo entre t∆ y sacando limites cuando 0→∆ t

EEEdtdE

ttEttE

ttEttE

ttEttE IIIIIIIII

t

∆+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

−∆++

∆−∆+

=∆

−∆+→∆

12

0

//////lim

E2 – E1= Razón neta de energía abandonando el sistema de control.

=∆ t Acumulación de energía en el sistema de control

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

cvelenenergiadenacumulacio

deRapidez

fluidodejoflualdebidocvalentra

queenergiadeRapidez

fluidodefujoalcvelabandona

queenergiadeRapidez

ecircundantregionsusobre

cvporzadorealitrabajodelRapidez

vecinaregionlaadebido

cvelencalordeaumento

elenRapidez

.

..

..

||||


66

Aplicamos esta ecuación a un volumen de control: Rapidez de flujo de energía a la salida:

( )dAuve

CosuveCosvdAe

uvyge

especificaenergia

CosvdAem

•=

=

++=

↓

ρ

θρθρ

θρ

2

2

º

La forma integral de la ecuación de la energía es:

( ) ∫∫∫∫∫ ∂∂

+•=∂∂

−∂∂

CVSCdve

tdAuve

tW

tQ

..ρρ

Existen tres tipos de trabajo a saber: 1.- Trabajo en la flecha, WS 2.- Trabajo de flujo, que es el realizado sobre la s.c. para vencer los esfuerzos normales que hay en la s.c. donde hay flujo de fluidos, Wσ . 3.- Trabajo cortante es el realizado sobre la región de control para vencer los esfuerzos cortantes que hay en la s.c., Zij. Intensidad de esfuerzo con componente ijij z,σ en dirección normal y tangencial a la superficie. Rapidez de trabajo realizado por el fluido que fluye a través de dA.

( )

sJ

smNm

mN

sm

dAsvW

⇒⇒

→•=

22

º10

La rapidez neta de trabajo realizado por el v.c sobre su región circundante es

( )∫∫ →−−SC

dAsv.

11

El signo (-) indica el hecho que la fuerza por unidad ejercida sobre la región circundante es (-s).

||||


67

Por lo tanto la ecuación de la primera ley de la termodinámica queda como:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )13

12

..

.. ....

. ..

→∂∂

+•−∂∂

=∂∂

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

•=•=−

→∂∂

+•=•+∂∂

−∂∂

∫∫

∫∫ ∫∫∫∫

∫∫ ∫∫∫∫∫

tWzdAuv

tWs

tW

tWz

tW

tWs

tW

dAuvdAuvdAsv

dvet

dAuvedAsvt

WstQ

SC ij

SC SC ijijSC

SC CVSC

σ

σ

σσ

ρρ

Sustituyendo la ecuación (13) en (12):

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )14

:,modPr

:

:

.. ..

.. ....

....

.....

→∂∂

+∂∂

+•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

−∂∂

∂∂

+∂∂

+•+•=∂∂

−∂∂

⇒⇒

∂∂

−•−=∂∂

−•

∂∂

+•=∂∂

−•+∂∂

−∂∂

∫∫ ∫∫∫

∫∫ ∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫

SC MCV

SCM

CVSC

ij

MSCSC ij

CVSCSC ij

Wt

dvet

dAuvPet

Wst

Q

tW

dvet

dAuvPdAuvet

Wst

Q

entoncesPdenegativoelEsinamicaTeresionP

Dondet

WdAuvP

tWzdAuv

siY

dvet

dAuvet

WzdAuvt

Wst

Q

ρρρ

ρρ

σ

σ

ρρσ

La ecuación 14 es la ecuación de la primera ley de la Termodinámica. Aplicaciones: Condiciones:

• Flujo permanente • Perdidas por fricción Se desprecian Aplicando la ecuación de energía:

||||


68

( )

ρρρ

ρρ

ρρρ

PuvPuhvAvAM

PuygvPe

Wt

dvet

dAuvPet

WstQ

CV MSC

+=+===

+++=+

∂∂

+∂∂

+•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

−∂∂

∫∫∫∫∫

222111

º

2

....

2

La ecuación general se transforma:

( )

sKJ

sKJ

KgKJ

sKg

sKJ

yygvvhhmWQ

ygv

hygv

hmWsQ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−+−=−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−

;

2

22

12

21

22

12

1

21

12

22

2

ooo

ooo

||||


69

LA ECUACION DE BERNOULLI

( )

∫∫∫

∫∫∫∫∫

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

+•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

−∂∂

..

....

0,0,0,0

:

CV M

CV MSC

Wt

dvett

WstQ

Cuando

Wt

dvet

dAuvPet

WstQ

ρ

ρρρ

La ecuación de la primera ley de la Termodinámica se convierta en: La Ecuación de Bernoulli:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

{CARGA

SC

mg

Pg

vy

gP

gv

y

BERNOULLIDEECUACION

mNPvygPvyg

Pvyg

Pvyg

PPvvyyg

AvPvygvAPvyg

vAPevAPe

dAuvPedAuvPedAuvPe

ρρ

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρ

ρρ

ρρ

ρρ

ρρ

ρρ

ρρ

ρρ

222

21

21

1

22

22

21

21

1

212

222

21

121

1

1221

22

12

1111

121

12222

222

2

12

12..

22

22

;22

02

220

1

++=++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+++++

=++=++

=−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++•⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=•⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∫∫

NICA: Restricciones a la primera ley de la Termodinámica: Flujo permanente Incompresible No viscoso No hay trabajo en la flecha No hay transferencia de calor No hay transferencia de energía interna.

||||


70

Aplicación de la ecuación de Bernoulli

( )

←==

==−

=−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

1222

22

1

22

1

2122

21

21

2;2

20

2

02

ygvygv

gv

yg

vy

gPP

gvv

yyρ

E-2 (WELTY).- Si fluye agua en condiciones continuas en las que la bomba entrega 3 HP al fluido, encuentre la rapidez de flujo de masa si se desprecia las perdidas por fricción.

0?

3

=∂∂

=

=

tW

m

HPW

Mo

Aplicando la primera ley de Termodinámica:

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

;

2

22

2211650

211650

36001

1778

1

25453

.

2

21

1212

21

22

1111

11

21

2222

222

22

..

22

22

22

..

.. ..

vhh

uuPu

Pvuhmhhyygvv

vAPuygvvAPuygvdAuvPe

hhvvhh

sftlbfWs

vhhs

ftlbfW

hhhs

hrBtu

ftlbfHP

hBtu

HPsWt

Ws

dAuvPet

Ws

Wt

dvet

dAuvPet

WstQ

ST

SC

STsT

sT

dST

SC

SC MCV

=−

=+=

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=•⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=⇒=−

⋅=−

+=⋅

=

+=⋅

==∂∂

•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

−

∂∂

+∂∂

+•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

−∂∂

∫∫

∫∫

∫∫ ∫∫∫

ρ

ρ

ρρ

ρρ

ρρ

ρρ

ρ

ρρ

ρρρ

o

o

o

o

||||


71

( )

( ) ( )

( )

( )

[ ]

←=

=

←≅

≠=+−

=++−=+++−

⋅−=−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=•⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=•⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∫∫

∫∫

slbm

sftft

ftlb

vAm

sftv

vvs

ftlbfvvsftvft

ftlbmslbf

sftv

ftlb

Hgpftp

plbf

Hgp

sftvft

datosdosustituyen

vhhvA

vhhmm

vhhdAuvPe

Entonceshhv

siY

mvv

mvv

dAuvPe

ST

STSTSC

ST

SC

/15.784

1614

*4.062

/16

0313034263113

0165017763113;0165011160.0

165076.01117854.0

2

2.32*4.62

lg036.21

lg144lg

1lg2*2

14

:2

2

22

2

:2

:222

223

1

131

3111

2

2

2

2213

2

2

122

1

21

111

21

21

..

22

21

22

21

22

..

o

o

oo

oo

πρ

π

ρρ

ρ

ρρ

ρρ

ρ

ρ

ρρ

||||


72

E-3.-Una flecha gira con una velocidad angular constante, w en el cojinete que aparece en la figura. El diámetro es d y el esfuerzo constante que actúa sobre el eje ej. E. Encuentra la rapidez con la que se debe remover energía del cojinete para que la temperatura del lubricante que hay entre el eje que jira y la superficie estacionaria del cojinete permanece constante, supóngase que la flecha tiene poco peso y es concéntrico con el eje.

cteTtQzdcte

==

∂∂

=?

,,ω

1.- El flujo masico no atraviesa el s.c. 2.- El trabajo de la flecha no atraviesa la s.c. 3.- El flujo es permanente.

( )

ZM

CVM

SC

Wtt

WtQ

tWdve

tdAuvPe

tWs

tQ

∂∂

=∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

+•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

−∂∂

∫∫∫∫∫ ....ρρ

ρ

Todo el trabajo viscoso se utiliza para Vencer los esfuerzos cortantes:

( )∫∫ •=∂∂

..SC tM evZWt

En la frontera exterior, v=0 y en la Frontera interior:

( )

( )

cteTaricanteelmantener

pararequeridacalorde

enciadeTransferRapidezdZtQ

ddZtQ

AdZdAevZSC

=

→−=∂∂

−=∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=•∫∫

lub

2

12

2

2

..

ωπ

πω

ω

Donde: eT = indica el sentido del esfuerzo constante

||||


73

Si no se disipa energía del sistema:

0=∂∂

tQ y entonces:

tWdve

tM

CV ∂∂

−=∂∂∫∫∫ ..

ρ

Ya que solo la energía interna del lubricante alimentara con respecto al tiempo:

( )2

14

222 dZt

WtduddDdve

tM ωππρρ∫∫∫ −=

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

∂∂

Con calor específico constante: C

( )

( )

( ) ←−

−=

=−

−=

−=−

22

2

22

2

222

2

;22

dDdZ

tdTdc

dtcuddD

dZtdud

dZtduddD

ρω

ρω

ωρ

Notar que: 1.- El trabajo viscoso solo incluye cantidades que se encuentran en el v.c.

2.- Cuando la velocidad desarrollada sobre la s.c. del v.c. es nula, 0=∂∂

tWM

||||


74

Ejemplo 4. (WELTY).- En el conducto de la figura se presenta un ensanchamiento súbito, la presión que actúa sobre la región y es uniforme y es P1 encontrar el cambio de u entre las regiones 1 y 2 para un flujo permanente e incompresible. Desprecie el esfuerzo constante que actúa sobre las paredes y exprese u∆ en términos de A 1, A2 y v1.

( )121

1

,,0,

,?,

vAAfuZbleincompresie

permanenteFlujouP

=∆=

=∆

Aplicando la ecuación de Continuidad:

( )

←=

==−

=∂∂

+• ∫∫∫∫∫

12

12

21111222

....

0

0

vAA

v

vAvA

dvt

dAuvCVSC

ρρρρ

ρρ

Aplicando la ecuación de momento

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆←−=

−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆−=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆=−=−

−+−=∆−=

−+

−=−−+=•

=−

+−+−

+−−=

+++=+++∂∂

+•=

∫∫

∑

∫∫∫∑ ∫∫

122

221

21

2;

int22

22

02

22

2

1

2

2

1212

12

122

21

212

12

121

2

2

11

212

22221

21

2

2

1212

12

121

2

2

1121

212

222211

22

212

12

1221

212

22

22121

121111222.. 2

1212

21

22

122211

1

111

21

2

222

22

....

AA

AAv

uvAA

vPP

vv

AA

vAA

uAvAvAPP

vAAv

vAA

vAA

uAAAvAvAPAP

externasaernasfuerzasIgualando

vvv

AA

vuAvAv

vvPPuuvAvvAvdAuvv

PPyyg

vvuuAPAPFx

Puyg

vPuyg

vdvv

tdAuvvFx

SC X

CV XSC X

ρ

ρ

ρ

ρ

ρρρρ

ρ

ρρρρ

||||


75

Aplicando la ecuación de la energía. 2

2

121 12 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=∆

AAvu

( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−→=−−+

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+∂∂

+•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

−∂∂

∫∫∫∫∫

2

2

121

121

11

2

22

21

112

22

.

12

0

0*

AAv

uuP

eP

e

mm

mPemPe

Wt

dvet

dAuvPet

WstQ

MSC

ρρ

ρρ

ρρρ

oo

oo

Esta ecuación muestra que la energía interna aumento con el ensanchamiento súbito. El cambio de temperatura con este u∆ es expresable por ser insignificante por lo que el cambio de u∆ total E:

( )

( ) ←−+−

+−

=

←−+−

+−

=−

++=−++

21

22

2121

2

12

21

2212

2

2

222

21

211

2

2

22

yygvvPP

h

yygvvPP

h

ygvP

hygvP

ρ

ρ

ρρ

||||


76

PROBLEMAS 3.122 (WHITE) Calcular despreciando las perdidas el nivel del agua h, de la figura para el cual comienza a formarse burbujas de vapor en la garganta de la tubería.

Aplicando la ecuación de Bernoulli; Entre (1) y (2):

2;

2

.22

22

22

21

22

2112

21

222

211

22

221

1

21

vvPvPavvPP

PatPyPvPqueYa

vPvP

Pyg

vPyg

v

−=

−−=

−

==

+=+

++=++

ρρ

ρρ

ρρ

Aplicando la ecuación de continuidad: Entre (1) y (2)

2121

221

22

21

21222111

56.2;2564

,

vvvv

vvAA

vvAvA

==

===φφ

ρρ

Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli ( )

( )

( ) ( )

←=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=

−=

=−

=−

smvmkg

Nsmkg

mN

mN

PvPav

vvvPvPa

/89.5

99677.2

1/14242100000

77.2

77.22

56.2

2

3

2

22

2

22

22

22

ρ

ρ

Y si se sabe que:

tablasmkgdeagua

devaporPaPvCTh

3/996

4242:º30@?

=

===

ρ

||||


77

←=

=

==

=

mhsmsmh

gvhhgv

hgv

76.1/81.9*2/89.5

2;2

2

2

222

222

2

2

||||


78

6.3.- (WELTY) Fluye aire a 70º F hacia un deposito de 10 ft3 con una velocidad de 90 ft/s. Si la presión en el depósito es de 14 psig y sus temperaturas de 70 ºF. Determinar la rapidez de aumento de la temperatura dentro del depósito. Suponga que el aire que entra esta a la presión del deposito y fluye a través de un tubo de 3” de diámetro. De la ecuación de la energía:

( )

( )

( )

Mut

dvet

hm

mvPumP

uygv

mP

uygv

dAuvPe

Wt

dvet

dAuvPet

WstQ

CV

SC

MCV

∂∂

=∂∂

−=

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++=•⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+∂∂

+•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

−∂∂

∫∫∫

∫∫

∫∫∫∫∫

..

11

111111

11

21

22

22

22

..

..

2

2

ρ

ρ

ρρ

ρ

ρρρ

o

oo

o

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

↑→→⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

∂∂

−=∂∂

−=∂∂

←=∂∂

−=∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=∂∂

−=∂∂

===+∂∂

=∂∂

+∂∂

==

=∂∂

+−

=∂∂

+•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∫∫∫∫∫

0111

011

11

11

11

3

22

11

00111

11

1

11

..

/º48.94

º530530171.024.0

10

90123

4

º171.0,

º24.0

º70@mod

::

0

0

TTCvCp

VvA

tT

CvTCpTVvA

tTCv

uhMm

tTCv

sRtTuhm

tTCvM

Rft

sftft

tTuhm

tuM

RlbBtuCv

RlbmBtuCphmmu

tuM

FaireelparainamicasTerTablasDehmt

MutuM

EntoncesCvTuyCpThSi

Mut

hm

dvet

dAuvPeCV

ρρ

π

ρρρ

o

o

o

oo

o

o

||||


79

6.7.- (WELTY) Un ventilador succiona aire de la atmósfera a través de un conducto circular de 0.30 m de φ , que tiene una entrada suavemente redondeada. El manómetro diferencial conectado a una apertura que hay en la pared del conducto registra una presión de vacío de 2.5 mm H2O. La densidad del aire es de 1.22 Kg/m3. Determine la rapidez de flujo del volumen de aire del conducto. ¿Cuál es el rendimiento de salida en HP del ventilador?

?

?

/22.1

5.23.0

32

1

=

=

=

==

o

o

W

V

mKg

OHcmhm

AIRE

VACIO

ρ

φ

Aplicando la ecuación de Bernoulli, entre (1) y (2)

( )

←=

=

⋅==

←=

=

++=++

sftV

mft

sm

msmAvV

smvmKg

OHcmmNOHcm

v

PygvPygv

/1.50

0283.01418.1

3.04//20

/20/22.11

/2.985.2*2

22

3

3

33

22

2

32

2

222

22

221

1

21

o

o

π

ρρ

Aplicando la ecuación de la energía Entre (1) y (2)

( )

( ) ( )

←===∂∂

−

===∂∂

−

==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

−

====

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−+−+

−=

∂∂

−∂∂

+

∂∂

+•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

−∂∂

∫∫∫∫∫

HPW

HPWsJ

WmN

Joules

mNt

Ws

sm

smkg

sm

sm

mkgv

Vt

Ws

VmvvY

vm

vm

tWs

uuPPPyy

PPuuyyg

vvm

tWsW

t

dvet

dAuvPet

Wst

Q

atm

M

CVSC

463.07461346

/11

11346

*3462

400*418.1*22.12

,

22

,2

22

23

3

23

23

23

23

131313

131313

21

23

....

o

oo

oo

o

ρ

ρ

ρ

ρρρ

||||


80

6.18 WELTY. Un automóvil viaja a 90 MPH en contra de la dirección del viento de 50 MPH. Si la lectura del Barómetro es de 29 plg Hg y la temperatura de 40 ºF. ¿Cuál es la presión de un punto del automóvil en el que la velocidad del viento es de 120 ft/s con respecto al auto?

RlbmftlbfR

sftPRFT

psiHgpPsftMPHv

autoVvAUTO

am

at

a

º34.53

/120º500º40

28.14lg29/3.13995

/

=

=

====

==

Aplicando la ecuación de los gases para determinar la densidad del aire:

3

2

2

2

077.0

º34.53

1lg144*

lg28.14

;ft

lbm

Rlbmftlbf

ftp

plbf

TRPTRP

==== ρρ

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre un punto del auto ( )AP en el que la sftv autoV /120/ = y el auto.

←=

=+=

==−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−

−=

−+=+

++=++

2

2

22

2

2

2

2

222

3

2/

2

2/

222

/

22

73.14

73.1469.140418.0

lg0418.0

lg144102.6

02.62.32

*2

1203.139077.0

;2

2;

2/

2

2/

2

inlbfP

inlbfP

plbf

pft

ftlbfPP

ftlbmslbf

sft

ftlbmPP

PPvv

PP

vvP

PPAPvPv

Pyg

vPyg

v

A

A

aA

aA

atmaautova

aA

autovaaAautovaa

Aautov

autovaa

a

ρ

ρρ

ρρ

||||


81

6.61.-( MOTT) Agua a 10 ºC fluye del punto A al punto B por el conducto mostrado en la fig. 6.22 a una rapidez de 0.37 m3/s si la presión en A es de 66.2 KPa. Calcular la presión en B.

?2.66

/37.0

º10@

3

==

=

→=

B

A

PKPaP

smv

BACTAgua

o

Aplicando la ecuación de Bernoulli Entre A y B

( )

( )

( )

←=

==+−=

==−=−

=−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−=−

==−=−=−

−=

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−

−+−

=−

++=++

KPaPsmvKPaKPaKPaP

sm

vKPaPP

smv

PaKPa

mNPa

mNPP

vmm

smkgPP

AvvAvv

sm

mkg

mkg

smPP

sm

msm

smPP

yygvvPP

PygvPygv

B

BB

BAB

AAB

AAB

AB

AB

BABAAB

BB

BAA

A

9.34

3.19.342.66290.31

3.16.0

4*37.0290.31

234.5101

1

131290

37.03.044

31290

;312901029.31

29.31

5.4081.92

3.1234.5

2

22

2

3

3

2

2

22

32

2

2

333

2

2

2

2

22

222

22

22

π

πφπ

ρ

ρ

ρρ

oo

||||


82

7 ESFUERZO CORTANTE EN FLUJO LAMINAR

FLUIDOS NEWTONIANOS En los fluidos no Newtonianos Z depende de la rapidez de deformación cortante, en los fluidos Newtonianos se deforman continuamente bajo la acción de Z. Los plásticos soportan un cierto Z antes de que se produzca la deformación.

||||


83

Esfuerzos Cortantes En Flujos Laminares. El esfuerzo cortante es una cantidad tensorial que requiere magnitud, dirección y orientación con respecto a un plano para su identificación

sPa

sPa

msm

mN

dyd

dyd

⋅→

⋅=

⋅

⇒=Ζ

=

=Ζ

µ

νµ

νµ

2

Z i j Z Magnitud.

i Dirección del eje normal al plano de acción del esfuerzo cortante. j Dirección de la acción.

||||


84

La rapidez de deformación cortante en un punto se define como dtd∂

− de la figura anterior:

( ){ }⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∆∆−−

=

∆

∂−∂−=

∂−

∆+

→∆∆∆

∆+

→∆∆∆

t

ytvvarctg

tdtd

yyy

tyx

ttt

tyx

22lim

lim

0,,

0,,

ππ

En el limite: dydv

dtd

=∂

− Rapidez de deformación cortante -------- > (7.3)

Sustituyendo (7.3) en (7.2), resulta:

dydνµ=Ζ ---------- >(7.4)

La ecuación 7.4 es la ley de Newton para la viscosidad. Para un flujo que se encuentra entre dos placas paralelas el perfil de velocidad es parabólico, así como la deformación cortante es proporcional a la derivada de la velocidad. Z varía en forma lineal.

||||


85

PROBLEMAS Problema.- Si la viscosidad cinemática del benceno es de 7.42x10-3 stokes y su densidad es de 860kg/m3, calcule se viscosidad dinámica en kg/m3. D=7.42x10-3 stokes ρ=860kg/m3 1stokes=10-4m2/s µ=?

;ρµ

=∂ ∂= ρµ

poisex

scmg

poisescm

gx

scmgx

cmm

kgg

smkgx

smkgx

mkg

smx

stokess

m

stokesxmkg

33

32

34

43

24

24

33

1038.611038.6

1038.610

11

101038.6

1038.61038.6

1

101042.7860

−−

−−

−−

−

−

=

⋅⋅

=

⋅⇒

⋅=

⋅=⇒⋅=

∗=

µ

µ

µµ

µ

||||


86

Problema.- El espacio entre dos placas paralelas horizontales separadas por 5mm en donde está lleno con aceite crudo de viscosidad dinámica de 2.5kgm/s. Si la placa inferior está en reposo y la superior es jalada con una velocidad de 1.75m/s, determine el esfuerzo cortante sobre la placa inferior.

h=5mm µ=2.5kg/m·s vplaca inferior=0 vplaca superior=1.75m/s Z=?

dydνµτ =

2

3

875

1015

75.15.2

mN

mmmmm

sm

smkg

=

∗=

τ

τ

||||


87

Problema 7.3.- El pivote cónico de la figura tiene una velocidad angular y descansa sobre un capa de aceite cuyo espesor uniforme es h. Determine el momento de fricción en función del ángulo α, de la viscosidad, de la velocidad angular ω, de la distancia que separa las dos superficies y del diámetro del eje.

dLrddA φ=

;αsen

drdL = dLrdh

rdAdF φϖµ=Ζ=

απµϖ

απµϖ

πα

µϖ

φα

µϖ

φα

µϖα

φϖµφϖµ

φϖµ

π

π

hsenDM

rDsihsen

rM

hsenrM

drhsen

M

dsen

drrh

dM

sendrd

hrdLd

hrdM

dFrdM

dLdh

rdF

r

32

2....;.......

2

24

4

4

4

4

2

0

4

2

0 0

3

23

2

=

==

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

==

⋅=

=

∫

∫ ∫ ∫

||||


88

Problema 7.6.- La rapidez de trabajo cortante por unidad de volumen está dado por el producto Z·v en un perfil parabólico de velocidad en un tubo circular (ver ejemplo 2 capitulo 4). Determine la distancia a la pared en el cual es máximo el trabajo cortante.

dydvZ

siM

Rdxdpv

Rrvv

rZvW

MAX

MAXX

MAXW

z

z

µ=

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=

=

=

4

1

?

2

2

&

&

( )

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

3

013

1320

132

2

RrRr

Rr

Rv

Rr

Rv

vdrd

rRr

Rv

v

MAX

MAXPROM

MAXPROM

=

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Ζ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Ζ

µ

µ

µ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

=Ζ

=

=Ζ

4

4

2

22

2

212

2

2

Rr

Rrv

drd

drdvv

drdvv

Zv

drdv

vv

MAX

MAXPROM

MAXMAXPROM

MAXMAX

µ

µ

µ

µ

3

31

31

2

2

Rr

RrRr

=

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Ζ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

rRr

Rvv

Rr

Rrv

Rr

Rrv

Rr

Rrv

MAXPROM

MAX

MAX

MAX

2

3

2

2

24

32

4

3

22

4

3

2

2

2

2

22

442

µ

µ

µ

µ

||||


89

8 ANÁLISIS DIFERENCIAL DE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DEL FLUIDO EN UN FLUJO LAMINAR.

El análisis de un elemento en flujo de fluidos como ya se mencionó anteriormente se puede realizar desde dos puntos de vista al microscopio (volumen de control) visto hasta aquí y el microscópico o diferencial, que es el que se vera en los siguientes capítulos, por lo que las expresiones resultantes de este análisis serán ecuaciones diferenciales. La solución de estas ecuaciones diferenciales darán información sobre el flujo de forma diferente a la obtenida en un análisis macroscópico (integral). Esta información puede ser de menor interés para el ingeniero que requiere de la información global para el diseño, pero puede dar un conocimiento más profundo de los mecanismos de transferencia de masa, momento y energía. Es posible cambiar una forma de análisis en otra, es decir, pasar fácilmente por integración de un análisis diferencial a un análisis integral y viceversa. La solución completa de las ED. del flujo de fluidez es posible solo si el flujo es laminar. Flujo laminar totalmente desarrollado en un conducto circular de sección transversal constante. Flujo totalmente desarrollado es cuando se perfil de rapidez no varía a lo largo del eje del flujo. Aplicando la segunda ley de Newton a este volumen de control se conoce la fuerza y los términos del momento para ka sección X.

||||


90

∫∫∫∫∫ ∂∂

+⋅=Σ→→

.:)(

CV XXX dVvt

dAvF nv ρρ

Fuerzas externas:

( ) ( ) ( ) ( ) )1(02222 >−−−=Ζ−Ζ+−=Σ∆+∆+ rrXrrrXXXXX xdxxdxrdrprdrpF ππππ

Fuerzas internas:

( ) ( )

)3(0

)2(022)(

.:>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=

∂∂

>−−−−−=∆−∆=⋅

∫∫∫

∫∫ ∆+

→→

CV X

XXXXXXXX

dVvt

rvrvrvrvdAv nvρ

πρπρρ

De (1) ( ) ( ) ( ) ( ) 02222 =Ζ−Ζ+−

∆+∆+ rrXrrrXXXXxdxxdxrdrprdrp ππππ

( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ][ ]

)4(0

0

>−−−−−−−−−−−−−−−−−=∆

Ζ−Ζ+

∆

−−

Ζ−Ζ∆+−∆

=∆Ζ−∆Ζ+∆−∆

∆+∆+

∆+∆+

∆+∆+

rrr

xr

rrxrr

xrxrrrvr

rrxrrrxXXX

rrxrrrxXXX

rrXrrrXXXX

ρρ

ρρ

ρρ

Evaluando y sacando límites cuando ∆x∆r 0, se tiene:

( )( ) )5(0 >−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=Ζ+− rXrdrd

dxdr ρ

Recordando que para un flujo completamente desarrollado: ctedxd

=ρ

( )( )

)6(2

02

02

0

1

1

1

2

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+=Ζ

=+Ζ+−

=+Ζ+−

=Ζ+− ∫∫

rC

dxdr

rC

dxdr

Crdxdr

rddxdrdr

rx

rx

rx

rX

ρ

ρ

ρ

ρ

||||


91

La C1 de (6) se puede calcular conociendo un valor de Zrx para una r determinada. Esta condición se conoce en el centro del conducto en:

r=0 0=Ζ rX Debido a que esto es físicamente imposible, el único calor real para C1=0 y por tanto la distribución del esfuerzo cortante para las condiciones y geometría especificadas es:

)7(2

>−−−−−−−−−−−−−−−−=Ζdxdr

rXρ

Como se podrá observar que Z varía linealmente a través del conducto, desde un valor de Z=0 en r=0 hasta un valor máximo en r=R, es decir

MAXΖ→Ζ ; Rr =

Además si el fluido es laminar y con viscosidad Newtonica

)8(−−−−−−−−−−−−−−−−−−=Ζdr

d XrX

νµ

Sustituyendo (8) en (7)

dxdr

drd X ρν

µ2

=

Separando variables

)9(22

121

2

2

−−−−−−−−−−−−−−−−+=

=∫ ∫

Crdxdv

rdrdxddv

X

X

ρµ

ρµ

Aplicando la condición de frontera de no deslizamiento: En r=R, vx=0

µρ

ρµ

ρµ

4

1410

2210

2

2

2

2

2

2

RdxdC

CRdxd

CRdxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

+=

+=

Sustituyendo C2 en (9):

||||


92

[ ]

)10(14

41

4141

22

22

22

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

+−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

RrR

dxdv

Rrdxdv

Rdxdr

dxdv

X

X

X

µρ

µρ

µρρ

µ

La ecuación (10) gobierna un perfil parabolico de velocidad asi como también que la velocidad máxima esta en r=0 por tanto:

)11(4

2

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

µρ R

dxdvMAX

Sustituyendo (11) en (10)

)12(12

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Rrvv MAXX

Como se recordara:

2MAX

Xvv =

Sustituyendo vmax en la ecuación (12)

)13(8

2

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

µρ R

dxdvPROM

Y el gradiente de presión queda entonces expresado como:

)14(8

2 >−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=−Rv

dxd PROMµρ

En función del diámetro:

)15(32

2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=Dv

dxd PROMµρ

La ecuación (15) se le conoce como la ecuación de:

||||


93

Hagen-Poiseville.

Esta ecuación se puede integrar sobre una longitud dada del conducto para encontrar el descenso de presión y arrastre asociado que se ejerce sobre e conducto como resultado de un flujo de fluido viscoso. Las condiciones para las cuales se obtuvo y se puede emplear son:

1.- Fluidos: a).- Newtoniano. b).- Se comporte continuo. Flujo: a).- Laminar. b).- Permanente. c).- Totalmente desarrollado. d).- Incompresible.

||||


94

FLUJO LAMINAR DE UN FLUIDO NEWTONIANO QUE FLUYE HACIA ABAJO POR UNA SUPERFICIE PLANA INCLINADA. Aplicando la ecuación de momento al V.C

∫∫∫∫∫ ∂∂

+⋅=Σ→→

.:)(

CV XXX dVvt

dAvF nv ρρ

θρ ysenxgxxypypF

yyXyyyXXXXX ∆∆+∆Ζ−∆Ζ+∆−∆=Σ∆+∆+

( ) ( )XxXXxX yvYvdAv nv ∆−∆=⋅

∆+

→→

∫∫ 22)( ρρρ

Por que ;0=dxdv v=cte

Por lo tanto:

0=∆∆+∆Ζ−∆Ζ∆+

θρ ysenxgxxyyXyyyX

Dividiendo esta ecuación entre el V.C

0)1(

0)1(

=+∆

Ζ−Ζ

=+∆∆

∆Ζ−∆Ζ

∆+

∆+

θρ

θρ

gseny

gsenyx

xx

yyXyyyX

yyXyyyX

Si ∆y 0 y sacando el limite:

( ) 0=+Ζ θρgsendyd

yx

Separando variables:

( )

)16(

0

1

1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+−=Ζ

=+Ζ

=+Ζ ∫∫

Cygsen

Cygsen

dygsend

yx

yx

yx

θρ

θρ

θρ

Sujeta a las condiciones de frontera:

0=Ζ yx en y=L Aplicándola a la ecuación (16)

||||


95

LgsenCCLgsen

θρθρ

=+−=

1

10

Sustituyendo C1 en la ecuación (16):

1Cygsenyx +−=Ζ θρ

( )

)17(1 >−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Ζ

−=Ζ

+−=Ζ

Lygsen

yLgsen

Lgsenygsen

yx

yx

yx

θρ

θρ

θρθρ

Si:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Ζ=

=Ζ

LygLsen

dyd

dyd

dyd

X

rXX

XyX

1

1

µθρν

µν

νµ

Separando variables e integrando:

2

2

2

1

CL

yygLsenv

dyLygLsendv

X

X

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫∫

µθρ

µθρ

Sujeta a las condiciones de frontera: vx=0 en y=0 por lo tanto:

200 C+= ; C2=0 y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

LyygLsenvX 2

2

µθρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

22

21

Ly

LysengLvX µ

θρ

Ahora:

||||


96

MAXLyX vv ==

Entonces:

)18(2

211

2

2

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

µθρ

µθρ

sengLv

sengLv

MAX

MAX

En la superficie libre: y=L

||||


97

PROBLEMAS Problema 8.6.- Un conducto hidráulico de 0.635cm se rompe repentinamente a 8m de un depósito cuya presión manométrica es de 207kPa. Compare la rapidez de flujo laminar con una rapidez de flujo no viscoso del conducto roto en m3/s.

QNV=? QV=? a).- Flujo laminar

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2 (para flujo no viscoso).

( )

( )

( )ρ

π

ρπ

ρρ

ρρ

2122

2122

22

212

2221

2

222

1

211

24

24

.;.........

2;.........

2

22

ppDQ

ppDQAvQ

ppv

vpp

gzvp

gzvp

NV

NVNV

−=

−==

−==

−

++=++

b).- Para flujo viscoso.

- 2

32Dv

dxd PROMµρ

=

||||


98

µπ

µπ

µ

µρ

LPDQ

DDLpAvQ

DLpv

Lp

dxd

V

V

PROM

128

3232

32..;.........

42

22

2

22

2

∆=

∆==

∆=

∆=−

Problema 8.9.- Un fluido fluye entre dos placas paralelar separadas una distancia h. La placa superior se mueve con una velocidad vo, la inferior está estática. ¿Para que valores del gradiente de presión será igual a cero el esfuerzo cortante sobre la pared inferior?

h, vo

dyC

dvydydxdp

Cdy

dvy

dxdp

dydv

ddydxdp

dydv

dyd

dxdp

dyd

dxdp

p

X

X

X

X

yx

henZ yx

µµ

µ

µ

µ

1

1

0..0

1+=

+=

=

=

Ζ=

=∆

∫∫

==

∫∫∫ =+ XdvdyC

ydydxdp

µµ11

21

2

21 Cv

yCydxdp

X +=+µµ

||||


99

Aplicando las C.F. en: y=0; vx=0

( ) ( )

µµ

µ

yCydxdpv

C

CCdxdp

X1

22

21

21

0

001

+=

=

=+

Ahora en: y=h, vx=vo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

+=

dxdphv

hC

hh

dxdpvC

hChdxdpv

O

O

O

µµ

µµ

µµ

2

21

21

2

1

2

1

12

Sustituyendo C1 en la sol. General

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

dxdphv

hyy

dxdpv

dxdphv

hyy

dxdpv

OX

OX

µµ

µµ

µµ

22

221

22

22

Si

0==oy

X

dydv :

02

2

21

21

22

0

2

2

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

= hvhy

dxdp

dydv

dxdph

hv

dxdpy

dydv

dxdphv

hdxdpy

dydv

dxdphv

hy

dxdp

dydv

O

y

X

OX

OX

OX

µµ

µµ

µµ

µµ

||||


100

2

22

20

hv

dxdp

hh

v

dxdp

hvh

dxdp

O

O

O

µµ

µ

=

=

+−=

||||


101

9 ECUACIONES DIFERENCIALES DE FLUJO DE FLUIDOS

Las leyes fundamentales de flujo de fluidos (continuidad, segunda ley de Newton y

conservación de energía), expresadas en forma integral para un volumen de control arbitrario, también pueden expresarse en forma diferencial para un volumen de control, de elemento diferencial. Estas ecuaciones diferenciales para el flujo de fluidos proporcionan un medio para determinar la variación en las propiedades del fluido punto a punto. 1.-ECUACIÓN DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad que se desarrollará, es la ley de conservación de la masa expresada en forma diferencial. Considérese el volumen de control ∆x∆y∆z que se muestra en la figura 1.

Figura 1.- Volumen de Control para el análisis de la ecuación de continuidad

La expresión del volumen de control para la conservación de masa es:

∫∫ ∫∫∫ =∂∂

+⋅ 0)( dVt

dAnv ρρ (4.1)

El flujo de masa )( nv ⋅ρ dA en cada una de las caras del volumen de control se ilustra en la figura 1. La masa dentro del volumen de control es zyx ∆∆∆ρ por lo tanto, la razón de que la masa dentro del volumen de control cambia con respecto al tiempo es:

)( zyxt

∆∆∆∂∂ ρ

||||


102

Debe de tenerse en cuenta que la densidad en general es una función de la posición y del tiempo, esto es: ).,,,( tzyxρρ = El flujo de masa que sale del volumen de control es: en la dirección x

zyvvxxxxx ∆∆−

∆+)( ρρ

en la dirección y

zxvvyyyyy ∆∆−

∆+)( ρρ

en la dirección z ( yxvv

zzzzz ∆∆−∆+

)ρρ El flujo total neto de masa es la suma de los tres términos anteriores. Al sustituir en (4.1) se obtiene:

0)()()()( =∆∆∆∂∂

+∆∆−+∆∆−+∆∆−∆+∆+∆+

zyxt

yxvvzxvvzyvvzzzzzyyyyxyxxxxx ρρρρρρρ (2)

El volumen no cambia con el tiempo, de manera que puede dividirse ambos miembros de la ecuación (2) entre el volumen de control ∆x∆y∆z. En el límite a medida que el volumen de control se aproxima a cero, se obtiene:

0)()()()( =∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ ρρρρ

tv

zv

yv

x zyx (9.1)

Los tres primeros términos comprenden la divergencia del vector ρv. La divergencia de un vector es producto punto con ∇ .

AdivA .∇= Por lo tanto la expresión más compacta de la ecuación de continuidad es:

0=∂∂

+⋅∇t

v ρρ (9.2)

La ecuación de continuidad anterior se aplica al flujo transitorio y tridimensional. Es evidente que cuando el flujo es incompresible la ecuación se reduce a:

0=⋅∇ vρ (9.3)

en la cual el flujo puede ser transitorio o no.

||||


103

Para introducir la definición de la derivada sustancial se reordena la ecuación (2):

cialSusDerivada

zv

yv

xv

zv

yv

xv

tZyX

ZyX

tan.............................................

0

⇑

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ ρρρρρ

zv

yv

xv

tDtD

ZyX ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= (9.4)

Aplicando esta definición se obtiene:

)5.9(. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⋅∇+ vDtD ρρ

||||


104

2.- ECUACIONES DE NAVIER-STOKES Las ecuaciones de Navier-Stokes son la forma diferencial de la segunda ley de Newton del movimiento La cual se estableció para un volumen de control arbitrario como

∑ ∫∫ ∫∫∫∂∂

+•=.. ..

)(sc vc

vdVt

dAnvF ρρ (5.4)

En la forma diferencial, (esto es cuando el volumen de control tiende a cero), esto se refiere a las propiedades y análisis de un punto, en el fluido. Puesto que la expresión matemática para cada uno de los términos de la ecuación anterior es bastante larga, cada uno de ellos se evaluará por separado. A cada una de las partes se de la ecuación se divide entre (∆x, ∆y. ∆z) y se saca el limite cuando (∆x, ∆y. ∆z) tiende a cero.

zyx

vdVt

zyxdAnvv

zyxF

zyxzyxzyx ∆∆∆∂∂

+∆∆∆

•=

∆∆∆

∫∫∫∫∫∑→∆∆∆→∆∆∆→∆∆∆

ρρ000

lim)(

limlim

(1) (2) (3) (9.8)

• ANÁLISIS DE SUMA DE FUERZAS EXTERNAS: Las fuerzas que actúan sobre el volumen de control son las que se deben al esfuerzo normal y al esfuerzo cortante y a las fuerzas sobre el cuerpo, como la gravedad.

Figura 2 Volumen de control para el análisis de las fuerzas externas

||||


105

Al sumar las fuerzas en dirección x se obtiene:

zyxxgyxzzxzzzx

zxyyxxyyxzyxxxxxxxF x∆∆∆+∆∆−

∆++

∆∆−∆+

+∆∆−∑ ∆+=

ρττ

ττσσ

))()((

))()(())()((

Donde gx es el componente de la aceleración gravitacional en la dirección x. En el limite a medida que las dimensiones del elemento se aproximan a cero, esto se convierte en

xzxyxxxx

zyxg

zyxzyxF

ρττσ+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆∆∆

∑→∆∆∆ 0

lim

Para las sumas de fuerzas en las direcciones y y z se obtiene expresiones parecidas:

zzzyzxzz

zyx

yzyyyxyy

zyx

gzyxzyx

F

gzyxzyx

F

ρσττ

ρτστ

+∂∂+

∂∂

+∂∂

=∆∆∆

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆∆∆

∑

∑

→∆∆∆

→∆∆∆

0

0

lim

lim

• MOMENTO NETO DE FLUJO A TRAVÉS DEL VOLUMEN DE CONTROL

El momento neto de flujo a través del volumen de control se ilustra en la figura 3.

Figura 3 Flujo de momento a través de un Volumen de Control diferencial

||||


106

Analizando el primer miembro de la derecha de la ecuación de la segunda ley de Newton que corresponde a la rapidez de momento lineal neto en el volumen de control. Tenemos que:

EntradasalidadAnvvdAnvvdAnvv )()()( ⋅−⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫ ρρρ

Entonces:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆∆+∆∆+∆∆−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆∆+∆∆+∆∆=⋅

∆+∆+∆+∫∫ zzyyxxzzzyyyxxx yvxvzvxvzvyvyvxvzvxvzvyvdAnvv ρρρρρρρ )(

Agrupando términos:

(i) )()()()(zz

zzzyy

yyyxx

xxx vvyxvvvzxvvvzyvdAnvv −∆∆+−∆∆+−∆∆=⋅

∆+∆+∆+∫∫ ρρρρ

Dividiendo la ecuación (i) entre el volumen de control (∆x∆y∆z) y haciendo el límite cuando este tiende a cero, se tiene que:

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆

∆∆−+

∆∆∆

∆∆−+

∆∆∆

∆∆−∆+∆+∆+

→∆∆∆ zyxyxvvv

zyx

zxvvv

zyxzyvvv

zzzzzyyyyyxxxxx

zyxLim

)()()(

0

ρρρ

(ii) ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∆

−+

∆

−+

∆

−= ∆+∆+∆+

→∆∆∆ zvvv

y

vvv

xvvv

zzzzzyyyyyxxxxx

zyxLim

)()()(

0

ρρρ

Aplicando la definición de derivada x

xfxxfdx

df Limx ∆

−∆+=

∆

)()( a la ecuación (ii),esta tomo la

forma:

(iii ) )()()()(

zyx vvz

vvy

vvxzyx

dAnvvρρρ

ρ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆∆∆

⋅∫∫

Haciendo la diferenciación que se indica en el lado derecho de la ecuación (iii),

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂ )()()()()()()()()( v

zvv

zvv

zvv

zvv

yvv

xvvv

zvv

yvv

x xxxzyxzyx ρρρρρρρρρ

(iv) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

= )()()()()()( vz

vvy

vvx

vvz

vy

vx

v zyxzyx ρρρρ

||||


107

Pero la ecuación de continuidad en forma diferencial esta dada por:

(a) 0)()()( =∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zyx vz

vy

vxt

ρρρρ

al despejar de (a) la derivada parcial de la densidad respecto al tiempo se obtiene:

(b) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂ )()()( zyx v

zv

yv

xtρρρρ

Sustituyendo la expresión obtenida en (b), en la ecuación de momento de flujo en el volumen de control descrita por la ecuación (iv), tenemos:

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆∆∆

⋅∫∫ )()()()()()()(

vz

vvy

vvx

vvz

vy

vx

vzyx

dAnvvzyxzyx ρρρρ

ρ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−= )()()( vz

vvy

vvx

vt

v zyxρρ

Por lo tanto el término de flujo de momento a través del volumen de control queda da la siguiente manera:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∆∆∆

⋅∫∫ )()()()(

vz

vvy

vvx

vt

vzyx

dAnvvzyxρρρ

• RAPIDEZ DE CAMBIO DE MOMENTO CON RESPECTO AL TIEMPO DENTRO DEL VOLUMEN DE CONTROL.

La relación de cambio del momento con respecto al tiempo puede evaluarse directamente:

tv

tvv

zyxzyxvt

zyx

Vvtlím

zyx ∂∂

+∂∂

=∂∂

=∆∆∆

∆∆∆∂∂=

∆∆∆

∂∂ ∫∫∫→∆∆∆

ρρρρρˆˆˆˆ)/(ˆ/

0,,

(9-14) Así, se han evaluado todos los términos en la ecuación (9-8):

||||


108

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∆∆∆

∑→∆∆∆

zzzzyzxz

yyzyyyxy

xxzxyxxx

zyx

egzyx

egzyx

egzyx

zyxF

lím

r

r

r

)(

)(

)(

0,,

ρσττ

ρτστ

ρττσ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∆∆∆

⋅∫∫→∆∆∆

)()()()(

0,,v

zvv

yvv

xv

tv

zyx

dAnvvlím zyxzyx

ρρρ

tv

tvv

zyxzyxvt

zyx

Vvtlím

zyx ∂∂

+∂∂

=∂∂

=∆∆∆

∆∆∆∂∂=

∆∆∆

∂∂ ∫∫∫→∆∆∆

ρρρρρˆˆˆˆ)/(ˆ/

0,,

Puede verse que las fuerzas se expresan en forma de componentes, mientras que los

términos que corresponden a la rapidez de cambio del momento se expresan como vectores. Cuando los términos del momento se expresan como componentes, se obtienen tres ecuaciones diferenciales que corresponden a los enunciados de la segunda ley de Newton en las direcciones x, y y z:

zyxg

zv

yv

xv

tv

zyxg

zv

yv

xv

tv

zyxg

zv

yv

xv

tv

zzyzxzz

zz

zy

zx

z

zyyyxyy

yz

yy

yx

y

zxyxxxx

xz

xy

xx

x

vvv

vvv

vvv

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂∂∂

+∂

∂+

∂∂

+=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

σττρρ

τστρρ

ττσρρ

)(

)(

)(

Se observará que en las ecuaciones (9-15) anteriores, los términos del miembro

izquierdo representan la rapidez de cambio del momento con respecto al tiempo y los términos del lado derecho representan las fuerzas.

Si se enfoca la atención en los términos de la izquierda de la ecuación (9-15), se observa que:

xzyxx

zx

yx

xx v

zv

yv

xv

tzvv

yvv

xvv

tv )(

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

||||


109

donde la rapidez local de cambio es:

x

x

tv∂∂

donde la rapidez de cambio debida al movimiento:

zvv

yvv

xvv zyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

El primer término, tvx ∂∂ / , involucra a la rapidez de cambio con respecto al tiempo de

xv en un punto y se denomina aceleración restringida. Los términos restantes contienen el cambio en la rapidez de punto a punto, esto es, la aceleración convectiva. La suma de los dos términos, entre paréntesis, es la aceleración total. El lector puede verificar que los términos en el miembro de la izquierda de las ecuaciones (9-15) son todos de la forma

izyx vz

vy

vx

vt ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

donde zyxi vovvv ,= . El término anterior es la derivada verdadera de iv .

Cuando se utiliza la notación de la derivada verdadera, las ecuaciones (9-15) se transforman en

zyxg

DtDv

zyxg

DtDv

zyxg

DtDv

zzyzxzz

z

zyyyxyy

y

zxyxxxx

x

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+=

σττρρ

τστρρ

ττσρρ

Las ecuaciones anteriores son válidas para cualquier tipo de fluido. Ahora se utilizaran las relaciones de viscosidad de Stokes que son las siguientes: Esfuerzo cortante:

||||


110

)(xv

yv yx

yxxy ∂

∂+

∂∂

== µττ

)(yv

zv zy

zyyz ∂∂

+∂

∂== µττ

)(zv

xv xz

xzzx ∂∂

+∂∂

== µττ

Esfuerzo normal:

Pvxvx

xx −⋅∇−∂∂

= )322( vµσ

Pvyvy

yy −⋅∇−∂

∂= )

322( vµσ

Pvzvz

zz −⋅∇−∂∂

= )322( vµσ

Sustituyendo estas ecuaciones de Stokes en las ecuaciones obtenidas nos da lo siguiente:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )zzz

yyy

xxx

vzvv

zzPg

DtDv

vyvv

yyPg

DtDv

vxvv

xxPg

DtDv

∇⋅∇+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅∇+⋅∇∂∂

−∂∂

−=

∇⋅∇+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅∇+⋅∇∂∂

−∂∂

−=

∇⋅∇+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅∇+⋅∇∂∂

−∂∂

−=

µµµρρ

µµµρρ

µµµρρ

rr

rr

rr

32

32

32

Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones de Navier- Stokes y son las expresiones diferenciales de la segunda Ley del movimiento de Newton para un fluido newtoniano. Éstas ecuaciones son válidas tanto para flujos compresibles e incompresibles. En Mecánica de Fluidos nos limitaremos a estudiar flujos incompresibles. Restricción para flujos incompresibles: 0=⋅∇ v

||||


111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

zv

yv

xv

xPg

DtDv

zv

yv

xv

yPg

DtDv

zv

yv

xv

xPg

DtDv

zzzx

x

yyyx

x

xxxx

x

µρρ

µρρ

µρρ

Esta ecuación puede expresarse en forma más compacta en la ecuación vectorial simple:

vPgDtDv 2∇+∇−= µρρ

Las ecuación anterior es la ecuación de Navier-Stokes para un flujo incompresible. Las suposiciones, y por lo tanto las limitaciones son: 1. Flujo incompresible. 2. Viscosidad constante. 3. Flujo laminar. Todas las suposiciones anteriores se asocian con el uso de la relación de viscosidad de Stokes. Si el flujo es no viscoso 0=µ la ecuación de Navier-Stokes se convierte en:

PgDtDv

∇−= ρρ

Se conoce como la ecuación de Euler la cual tiene solo una limitación: que el flujo sea no viscoso.

||||


112

3.-ECUACIÓN DE BERNOULLI El análisis de la ecuación de Bernoulli se comenzará con la ecuación de Euler que puede integrarse directamente para un caso particular y para el flujo a lo largo de una línea de corriente. La Ecuación de Euler nos dice que:

PgDtDv

∇−= ρρ

Para integrar la ecuación anterior es muy útil hacer uso de las coordenadas de las líneas de corriente. Las coordenadas de las líneas de corriente son, s y n, que se ilustran en la figura siguiente. La dirección s es paralela a la línea de corriente y la dirección n es perpendicular a dicha línea, alejándose del centro de curvatura en cada instante de tiempo. Este tipo de coordenadas se asemejan a las coordenadas normal – tangencial en movimiento curvilíneo. Por esto la velocidad y presión estarán dadas de esta manera, v = v(s, n, t) y P = P(s, n, t).

Las derivadas verdaderas de velocidad y de presión en la ecuación de Euler deben expresarse en términos de las coordenadas de las líneas de corriente, de manera que pueda integrarse dicha ecuación.

- Primero encontraremos la derivada verdadera de la rapidez de las líneas de corriente.

dnnvds

svdt

tvdv

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ; dividiendo por un diferencial “dt”.

dtdn

nv

dtds

sv

tv

dtdv

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ; Si conocemos que vsdtds

== & , y que 0== ndtdn

& .

dsdvv

dtdv

dtdv

DtDv

+== (9.22)

- Ahora se determinara el gradiente de presión en coordenadas s – n.

ns enPe

sPP

∂∂

+∂∂

=∇ (9.23)

Sustituyendo la ecuación (1) y (2) en la ecuación de Euler.

||||


113

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

ns enPe

sPg

svv

tv ρρ ; Tomando el producto punto esds con la ecuación.

dseenPe

sPdsegdse

svvdse

tv

snssss ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+⋅∂∂ ρρ

Si conocemos que svev

se

sv

ss ∂∂

=⋅∂∂

=⋅∂∂ )( ; además que 0=⋅ ns ee ; 1=⋅ nn ee .

dssPdsegds

svvdse

tv

ss ∂∂

−⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⋅∂∂ ρρ ;

dssPdsegdsv

sdse

tv

ss ∂∂

−⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⋅∂∂ ρρ

2

2

(9.24)

Si se escoge la gravedad “g” de manera que actúe en la dirección – y, se tiene gdydseg s −=⋅ . Tomando en cuenta que estamos considerando un flujo continuo e incompresible, la ecuación anterior puede integrarse:

dssPgdydsv

sdse

tv

s ∂∂

−−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⋅∂∂ ρρ

2

2

; En donde el término 0=⋅∂∂ dse

tv

s , para un flujo

incompresible. Dividiendo entre ρ.

dssPgdydsv

s ∂∂

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ρ1

2

2

; integrando esta ecuación.

∫∫∫ ∂∂

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ sys

dssPdygdsv

s 000

2 12 ρ

ssPgysv

s ∂∂

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ρ1

2

2

; Derivando Implícitamente obtenemos.

ρPgyv

−−=2

2

; reordenando la ecuación, Obtenemos la Ecuación de Bernoulli.

EPgyv=++

ρ2

2

;

Donde E = constante. La cual se maneja para un flujo no viscoso, continuo e incompresible; además se puede aplicar solo a lo largo de una línea de corriente.

||||


114

NOTA: Es importante observar que la suposición de energía interna constante en la ecuación de la energía es equivalente a la suposición de flujo no viscoso. Por lo que se puede interpretar que la viscosidad en el fluido provocará un cambio en la energía interna.

La expresión anterior constituye la ecuación de Bernoulli para un flujo irrotacional y

establece que la energía disponible es constante a través de todo fluido.

El termino de la presión se puede descomponer en dos partes: la presión hidrostática ps y la presión dinámica pd, de tal manera que se tenga p = ps + pd. Si se introduce esta relación en la ecuación se obtiene:

Eqppgh ds =+++

2

2

ρρ

Los primeros dos términos se pueden escribir como

( )hpp

gh ss γ

ρρ+=+

1

Donde h se mide verticalmente hacia arriba. La expresión anterior es igual a una constante, puesto que el lado derecho resulta ser la ley hidrostática de la presión. De este modo, como la suma de los dos términos del lado izquierdo es una constante, se puede, se puede incluir en la constante E de la ecuación de Bernoulli. Una vez eliminado el subíndice de la presión dinámica, esta ecuación quedaría como:

Eqgh =+2

2

Esta ecuación tan sencilla permite calcular la variación de presión si se conoce la

velocidad; o a la inversa, se conoce la presión, es posible calcular la variación de la velocidad. Suponiendo que se conozcan la presión dinámica po y la velocidad qo en un punto:

22

22 qpqp oo +=+ρρ

||||


115

EJEMPLO: Un submarino se desplaza en el agua con una velocidad de 30 ft / s. con respecto al agua en un punto A situado a 5 ft arriba de la punta, la velocidad del submarino es de 50 ft/s. determínese tanto la diferencia de presión dinámica entre este punto y la nariz o punta del submarino, como la diferencia de presión entre los mismos puntos. Si el submarino se encuentra estacionario y el agua se mueve alrededor de él. La velocidad en la punta será cero y la velocidad en el punto A será de 50 ft/s. al seleccionar la presión dinámica en el infinito como cero, se obtiene:

2

2oo qp

E +=ρ

; 2

3002

+=E

sluglbftE /*450= Para la punta

450==ρpE ; p = ρE

2/870935.1*450 ftlbp == Y para el punto A

2

2qEp−=

ρ;

250450

2

−=ρp

Y también:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

250

230935.1

22

p

2/1548 ftlbp −= Por tanto, la diferencia de presión dinámica resulta

2/24188701548 ftlb−=−− La diferencia de presión total se puede obtener aplicando la ecuación al punto A y la nariz n

22

22nn

nAA

Aqp

ghqpgh ++=++ρρ

Obteniéndose

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=−

2505935.1

22

222

gqq

ghghpp AnAnnA ρ

nA pp − =-2740 lb/ft2

Se puede obtener este mismo resultado si se razona que la diferencia de presión total varia en 5γ de la presión dinámica ya que el punto A se encuentra 5 ft arriba de la nariz; así -2418-5*62.4=-2740 lb/ft2.

||||


116

11 ANÁLISIS DIMENSIONAL Variables importantes en la transferencia de momento

Variables Símbolo Dimensión Masa M M

Longitud L L Tiempo t t Rapidez v L/t

Aceleración gravitacional G L/t2 Fuerza F ML/t2

Presión P M/Lt2 Densidad Ρ M/L3

Viscosidad µ M/Lt Tensión Superficial Г M/t2

Rapidez Sonica a L/t Similitud Geométrica y cinemática. La aplicación de los datos experimentales que se obtienen en un modelo y prototipo de tamaño natural requiere de que existan ciertas similitudes entre el modelo y el prototipo. Dos de estos tipos de similitudes son la geometría y la cinemática. Hay similitud geométrica entre dos sistemas si la relación de dimensiones significativas es la misma para los dos sistemas.

Hay similitud cinemática, si en los sistemas geométricamente similares (1) y (2) las velocidades en los mismos puntos se relacionan de acuerdo con las relacione:

||||


117

21⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

y

X

y

X

vv

vv

21⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Z

X

Z

X

vv

vv

Lo que conlleva a declarar que una condición para la similitud cinemática es que también exista una condición de similitud geométrica. Método de Buckinham El análisis dimensional se usa en donde no existe ninguna ecuación diferencial principal y el método a usar será el de Buckinham que establece: El numero de grupos adimensionales utilizado para describir una situación dada que involucre n variables es igual a n-r donde r es el rango de la matriz dimensional de las variables, por tanto:

rni −= Donde: i Número de grupos adimensionales independientes. n Número de variables implicadas. r Rango de la matriz.

||||


118

Ejemplo: Determine los grupos s/n dimensión formados con las variables incluidas en el flujo externo del fluido hacia un cuerpo sólido. La fuerza ejercida sobre el cuerpo es una función de v, ρ, M y L que es una función significativa del cuerpo. F=f(v,ρ,µ,L)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

010131131101101

.........

tLM

LvF µρ

3=r 5=n 235 =−=−= rni π2 Escribiendo π, en forma adimensional:

23000 1

tMLL

LM

tLtLM c

ba

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

Igualando sus exponentes:

2000:130:

100:

−++−=++−=

++=

atcbaL

bM

Variable Símbolo Dimensiones Fuerza F ML/t2

Velocidad v L/t Densidad ρ M/L3

Viscosidad µ M/Lt Longitud L L

||||


119

1−=b 2−=a ( )

20132

01132

−==+++−

=++−−−

ccc

2

2

1

2

2

221

2121

vL

FE

vL

F

LvF

FLv

U ρ

ρρ

ρ

==Π

==Π

=Π −−−

Para Π2:

23000 1

LtML

LM

tLtLM f

ed

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

10:130:

10:

−−=−+−=

+=

dtfedL

eM

1−=d 1−=e

10131

−==−++−

ff

µρρµ

µρ

vLR

RLv

FLv

e

e

=

==Π

=Π −−−

12

1112

El análisis dimensional permite que se relacionen las 5 variables en términos de solo dos parámetros adimensionales de la forma

( )eU RE φ=

||||


120

PROBLEMAS Problema 11.7.- Un automóvil viaja sobre una carretera a 22.2m/s. calcular el Re: a).- Con base en la longitud del automóvil b).- Con base en el diámetro de la antena de radio. La longitud del automóvil es de 5.8m y el diámetro de la antena es de 6.4mm.

3

325

5

525

25

109

109105689.1

64.2.22

)1082

1082105689.1

8.52.22

)

105689.1

298250064.0

8.5/2.22

xR

xs

mx

mooosm

vdR

bxR

xs

mx

msm

vdR

as

mx

KCTm

mlsmv

e

e

e

e

ANTENA

=

==∂

=

=

===

=∂

===

==

−

−

−

µρ

φo

||||


121

Problema 11.12.- EL funcionamiento de una chumacera sobre una flecha giratoria es una función de las siguientes variables: θ, rapidez del flujo del aceite lubricante al rodamiento en volumen por unidad de tiempo; D, diámetro del rodamiento; N, rapidez de la flecha en rpm; µ, viscosidad del lubricante; ρ, densidad del lubricante, y Г, tensión superficial del aceite lubricante. Sugerir los parámetros apropiados que se deben utilizar para correlacionar los datos experimentales en este sistema.

Rapidez de flujo Q L3/t

Diámetro del rodamiento D L Rapidez de la flecha N 1/t

Viscosidad µ M/Lt Densidad ρ M/L3

Tensión Superficial Г M/t2

ρµ ........ ΓNDQ

tLM

021101301013

111000

−−−−−−

336 =−=−= rni

Grupo básico propuesto:

Γ=Π

=Π

=Π

ihg

fed

cba

DN

DN

QDNND

ρ

µρ

ρ

ρ

3

2

1

||||


122

( )

10:330:

:

1 3

31000

−−=++−=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Π=

btcaL

aoMt

LLtL

MtLM cba

0=a 1−=b 3−=c

31

311

NDQ

QDNo

=Π

=Π −−ρ

( )

10:130:

1:

132

000

−−=−+−=

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Π=

etfdL

doMLtML

tLMtLM f

ed

1−=d 1−=e

22

2112

2013

ND

DNf

f

ρµ

µρ

=Π

=Π

−==−+

−−−

( )

20:30:

1:

1233

000

−−=+−=

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Π=

htigL

goMtML

tLMtLM i

hg

1−=g 2−=h

33−=

=i

gi

32

3213

3 −

−−−

Γ=Π

Γ=Π

DN

DN

ρ

ρ

( )

0,,

0,,

3223

321

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Γ

=ΠΠΠ

−DNNDNDQF

F

ρρµ

||||


123

PRACTICA DEL PERFIL DE VELOCIDAD EN FLUJO

COMPLETAMENTE DESARROLLADO.

Válvula abierta al 100%; 2730rpm, pa=83991.6N/m2; Ta=22°C= 295K.

sTv

vsT

v

hhhhhh

OcmHh

−=+=

= 25.5

Calculo de la velocidad medida con la presión dinámica.

smU

U

PaThU

98.326.83991

2955.53.237

3.237

=

∗=

=

( )

smv

smmv

UDv

3

22

2

15.0

98.324076.0

4

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

&

&

&

π

π

Calculo de la velocidad medida por presión en la tobera.

smV

V

PaTh

V

OcmHh

b

b

3

2

1577.0

6.839912967006.1

006.1

7

=

∗=

=

=

&

&

&

( )

smv

ms

m

v

AVv

vAV

77.34

076.0

41677.022

3

=

∗=

=

=

π

&

&

||||


124

Graficas:

||||


125

14 FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOS. En este apartado se analizara el flujo de fluidos tanto en régimen laminar como turbulento en conductos cerrados, haciendo notar que esto tiene una gran aplicación en ingeniería. Análisis Dimensional del flujo en conductos

Variable Símbolo Dimensiones Caída de presión ∆p M/Lt2

Rapidez v L/t Diámetro tubo D L Longitud tubo L L

Rugosidad tubo e L Viscosidad fluido µ M/Lt Densidad fluido ρ M/L3

Recordando los resultados del análisis dimensional se tiene:

µρ

ρvd

de

dL

vP

=Π=Π

=Π∆

=Π

43

221

,.......

,....

Π1 es el número de Euler. Como ∆P se debe a la fricción del fluido se tiene que:

LghP=

∆ρ

Donde hL es perdida de carga, transformando 1Π en:

gvhL

21 =Π

El tercer número de Π, Π3 es la relación entre la rugosidad de la tobera y el diámetro conocida como rugosidad relativa.

⇒=Πde

3 Rugosidad relativa

Y

||||


126

⇒==ΠµρvdRe3 Número de Reynolds

Una expresión funcional que viene del análisis dimensional se representa como:

)1(,,12 >−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= e

L RDe

DL

gvh

φ

Determine un conjunto apropiado de números adimensionales con:

( )eLdvfP ,,,,, µρ=∆

Variable Símbolo Dimensiones

Caída de Presión ∆P M/Lt2 Densidad ρ M/L3 Velocidad v L/t Diámetro D L Longitud L L

Viscosidad µ M/Lt Tamaño de la variación de

radio interno e L

010010211111310100011

.....

−−−−−−

∆

tLM

eLdvP µρ

437 =−=−= rni

edv

Ldv

dv

Pdv

lkj

ihg

fed

cba

ρ

ρ

µρ

ρ

=Π

=Π

=Π

∆=Π

4

3

2

1

||||


127

( )

20:130:

1:

231000

−−=−++−=

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Π=

btcbaL

aoMLtML

tL

LMtLM c

ba

21

−=−=

ba

00123

==−+−

cc

21

0211

v

Pdv

ρρ

ρ∆

=Π

∆=Π −−

( )

10:130:

1:

3000

−−=−++−=

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Π=

etcedL

doMLtML

tL

LMtLM f

ed

11

−=−=

ed

Re1

2

1112

==Π

=Π −−−

vd

dv

ρµ

µρ

( )

htihgL

goM

LLtL

LMtLM i

hg

−=+++−=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0:130:

:

3000

dL

Ldvihg

=Π

=Π

−===

−

3

1003

100

ρ

||||


128

( )

de

edvlk

ojkt

lkjLjoM

LLtL

LMtLM l

kj

=Π

=Π

−===

−=+++−=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

4

1004

3000

10

0:130:

:

ρ

Por lo tanto

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∆=Π

de

dLf

vP ,,

Re1

21 ρ

Experimentos realizados han demostrado que hL (perdida de carga) para flujos totalmente desarrollados es directamente proporcional al L/D, de ahí que esta no va dentro de la relación funcional:

)2(Re,22 >−−−−−−−−−−−−−−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

De

DL

guhL φ

La función 2φ que varia con la rugosidad relativa x el Re se representa como f, y el factor de fricción. Expresando la perdida de carga de la ecuación 2, en términos de f se tiene:

)3(22

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=gu

DLfh fL

El factor 2 de la ecuación (3) es la relación que define ff conocido como factor de fricción de Fanning. Otro factor de fricción de uso común es el factor de fricción de Darcy f0, que se escribe como fD;

gu

DLfh DL 2

2

=

Siendo entonces: hL obtenida a través de dos factores, ff o fD, siendo fD=4ff, por lo que hay que tener cuidado en notar cual factor de fricción se está aplicando para determinar en forma apropiada la perdida de carga por fricción usando cualquiera de las ecuaciones 3 ó 4. En este curso se utilizara el factor de Fanning ff. Se podrá verificar que el ff es el coeficiente de fricción superficial, Cf :

ff Cf = A continuación se encontraran las relaciones para ff a partir de la teoría y los datos experimentales.

||||


129

Factores de fricción para flujo laminar incompresible. Se debe notar que para los conductos cerrados el flujo es laminar para:

2300Re < Como ya se vio para flujos laminares:

( )

)6(32

32

32

32

)5(32

2Pr

2Pr

0

2Pr

0

02

2

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=∆

=−

=−−

=−

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−=−

∫∫

DLvP

DLvPP

DLvPP

dxD

vdp

Dv

dxdP

om

om

om

LPROMP

P

PROM

o

µ

µ

µ

µ

µ

Y si

)7(32

32

2

2

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=

==∆

∆=

DLvh

DLvghP

Pgh

PROML

PROML

L

µ

µρ

ρ

Combinando (7) con (3)

)8(Re16

16

16

322

2

2

2

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=

=

=

=

f

f

PROMf

PROMf

f

Duf

DuLvf

DLv

gu

DLf

ρµρµ

µ

Por lo tanto es inversamente proporcional a Re para flujos laminares. El ff no es una función de la rugosidad del tubo para Re<2300

||||


130

Factor de fricción para flujo turbulento Para este tipo de flujo el ff no se obtiene de forma sencilla como el caso laminar, ya que no hay una relación como la de Hagen-poiseville, mas se puede utilizar en cierta forma los perfiles de velocidad para flujos turbulentos basados en conductos circulares. A continuación se resumen las variaciones de ff de acuerdo con las condiciones de superficie y flujo dadas: Para flujos laminares:

)9(Re16

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=ff

Para flujos turbulentos (tubos lisos):

( ) )10(4.0Relog0.4110 >−−−−−−−−−−−−−−−−−= f

f

ff

Para flujos turbulentos (tubo rugoso)

01.0Re

1<

ff

)11(28.2log4110 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+=

eD

f f

Para flujo en transición

)12(1Re

67.4log428.2log0.411010 >−−−−−−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∗−+=

ff fe

D

eD

f

Factor de fricción y cálculo de hL para flujo en tuberías. Moddy ha presentado un diagrama de solo ff basado en las ecuaciones 4, 10, 11 y 12. La figura 14.1 del texto (welty) es el diagrama de Moddy que grafica ff contra el Re en un conjunto de valores del parámetro rugosidad e/D. Al usar esta grafica se requiere conocer el valor e/D usado en un tubo de material y tamaño dado. Si una tubería o cañería ha estado trabajando por un tiempo, su rugosidad cambia notablemente, haciendo que e/D sea difícil de determinar Por esto Mdoddy hizo otra grafica (fig. 14.2) que determina e/D para un tamaño dado en un tubería o cañería de cierto material dado. Combinando las figuras 14.1 y 14.2 del texto se puede calcular hL para un tubo de longitud L y diámetro D, usando la ecuación (3)

gv

DLfh fL

2

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

||||


131

Pérdida de carga en accesorios. La pérdida de carga debida a la fricción calculada por la ecuación (3) es solo una parte de la perdida total de carga que se debe vencer en una tubería y otros conductos que transporten fluidos. Las otras partes de la perdida total es por la presencia de válvulas, codos y otros accesorios que alteren la dirección del flujo del tamaño del conducto las perdidas de carga de estos accesorios son función de la geometría, del Re y de la rugosidad,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

DeGeometriahH Re,,φ

Como una primera aproximación se ha encontrado que la perdida de carga en los accesorios independiente de Re y se puede evaluar como:

)13(2

2

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=∆

=g

ukphL ρ

Donde k coeficiente que depende del accesorio. Otra forma de evaluar hL es introduciendo la longitud equivalente, Leq:

)14(2

22

>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

uDL

fh eqfL

De las ecuaciones (13) y (14) se ve que:

DLf

k eqf4=

En la tabla (14.1) se dan valores de k y Leq para accesorios de tuberías. Para un ensanchamiento súbito:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∆

2

121

22 A

AvvPρ

Diámetro equivalente: Las ecuaciones anteriores se aplican para conductos circulares. Estas ecuaciones también calculan la perdida de carga en un conducto cerrado de cualquier configuración si se usa un diámetro equivalente para un conducto no circular.

MojadoPerímetroFlujoTransSecciónAreaulicoRadioHidra

MojadoPerímetroFlujoTransSecciónAreaDeq

..........

..........4

=

=

En procesos de transferencia de calor es muy común encontrar áreas angulares como:

||||


132

( )

( )io

iTRANSV

DDojaPerimetroM

DDA

+=

−=

π

π

.4

220.

||||


133

Ejemplo 1.- Fluye agua a 59°F a través de la sección recta de un tubo 6’’ de diámetro de hierro colado con una velocidad de 4ft/s. El tubo tiene una longitud de 120ft y existe un aumento de altura de 2ft entre la entrada y salida del tubo. Encuentre la potencia requerida para producir este gasto en dichas condiciones:

sftx

Wft

lbmsftvFT

25

3

1022.1

?

3.62

/459

−=∂

=

=

==

&

o

ρ

Aplicando la ecuación de la energía:

( )

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=∂∂

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

−

∂∂

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂

∂−

∂∂

−∂∂

∫∫

∫∫

∫∫∫∫∫

11

1

21

22

2

22

22uPgyvuPgyvAvdAnvpe

Wt

w

dAnvpet

w

edVt

dAnvpet

wt

wtQ

ss

s

s

ρρρ

ρρ

ρρ

ρρ

ρµ

&

( )

( ) ( )122

1212

12

21

22

2

uuyygAv

W

uuPPyygvvAv

W

s

s

−+−=−

−+−

+−+−

=−

ρ

ρρ&

&

||||


134

Y si Lghuu =− 12

( )( )( )[ ]

gu

DLfh

hyygwghyygw

ghyygw

fL

L

L

L

22

)1(2

21

21

12

=

>−−−−−−−−−−−−−−=−−=+−=−

De la figura 14.2 para hierro colado:

4.163934Re

1022.1

1264

Re

0017.0

'''6

25

=

=∂

==

=

=

−

sftx

ftsft

vDvD

De

µρ

φ

Por lo tanto el flujo es turbulento. Con Re y e/D de la figura 14.1

006.0=ff Calculando ahora hL

( )

fthsft

sft

ft

fth

L

L

435.1

1.32

16

126

129006.02

2

2

2

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

Sustituyendo hL y valores en la ecuación (1)

( )[ ]

( )

ftlbfHPs

s

ftlbfW

lbmft

lbfs

s

lbmftW

s

ftft

ft

lbm

s

ftmWW

s

ftW

ftfts

ftW

⋅

⋅=

=

∗=∗=

=

−−−=

5501

8.167

2.32

17.5403

44

5.04.6226.110

26.110

435.1201.32

2

3

2

22

32

2

2

2

2

&

&

&&π

kWWHP

kWHPW

2273.01745.0305.0

=

=

&

&

||||


135

PROBLEMAS Problema 14.1.- Un aceite cuya viscosidad cinemática es de 0.08x10-3ft2/s y una densidad de 57lbm/ft3 fluye por un tubo horizontal de 0.24plg de diámetro con una rapidez de 106PH. Calcule la caída de presión en 50ft de tubo.

ftLP

hGalQ

pft

lbmsftx

50?

10

lg24.0

57

1008.0

3

23

==∆

=

=

=

=∂ −

φ

ρ

( )

sftv

pftp

sh

Galft

hGal

v

AQv

vAQ

182.1

lg1441lg24.0

43600

148.7110

2222

3

=

∗=

=

=

π

52.295Re

1008.0

1224.0182.1

Re

Re

23

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

∂==

−

sftx

ftsft

vDvDµρ

Por lo tanto el flujo es laminar Re<2300

||||


136

054.052.295

16Re16

=

==

f

f

f

f

L

L

ghP

ghP

ρρ=∆

=∆

2

2

2

2

uDLfP

gu

DLfgP

f

f

ρ

ρ

=∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∆

( ) ( )

2

2

2

2

2

2

2

22

3

lg64.4

lg144175.667

2.3274.21501

182.157

1224.0

50054.02

plbfP

pft

ftlbfP

lbmftlbfs

ftslbmP

sft

ftlbmP

=∆

=∆

=∆

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∆

||||


137

Problema 14.2.- Una tubería de lubricación tiene un diámetro de 0.1plg y una longitud de 30plg. Si la caída de presión es de 15P si G. Calcule el gasto del aceite, use las propiedades del problema 1.

3

23

2

57

1008.0

?

15

lg30lg1.0

ftlbm

sftx

QinlbfP

pLp

=

=∂

=

=∆

==

−

ρ

φ

2

2

2

2

2

2

2

)2(

)1(32

uDLfP

gu

DLfgP

gu

DLfh

ghPD

LvP

f

f

fL

L

ρ

ρ

ρ

µ

=∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∆

=

>−−−−−−=∆

>−−−−−=∆

De (2) y (1)

232gD

LvgPhL ρ

µρ

=∆

=

LPDv

DLvP

gDLvgP

∂∆

=

=∆

=∆

ρ

ρρµ

ρµρ

32

32

32

2

2

2

||||


138

sftv

lbfslbmft

slbmlbfv

sftx

ftlbm

ftpftp

ftp

plbf

v

416.13

1.32416.0

1008.05732

121.0

lg121lg30

1lg144

lg15

2

33

3

2

2

2

2

=

∗=

∗∗

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−

6.1397Re

1008.0

121.0416.13

Re 23

=

=∂

=−

stfx

ftsft

vD

Por lo tanto el flujo es laminar y las ecuaciones utilizadas son las correctas.

hGalQ

hs

ftGal

sftQ

ftsftQ

vAQ

7.19

13600

148.7317.7

121.0

4912.13

3

3

22

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

π

||||


139

Problema 14.3.- Una tubería de 280km de longitud conecta dos estaciones de bombeo. Si se van a bombear 0.56m3/s por una línea de 0.62m de diámetro. La estación de descarga está a 250m más abajo que la estación corriente arriba y se debe mantener una presión de descarga de 300 000Pa. Calcule la potencia que se requiere para bombear el aceite, el cual tiene una viscosidad cinemática de 4.5x10-6m2/s y una densidad de 810kg/m3. El tubo es de acero comercial. La presión de entrada se tomara como la presión atmosférica.

2

26

2

3

810

105.4

?

30000025062.0

56.0

200

mkg

smx

W

PaPmH

ms

mV

kmL

=

=∂

=

==∆

=

=

=

−

ρ

φ

&

&

Acero comercial.

( )

5

26

22

3

1

1055.2Re

1045

62.0854.1Re

854.162.0

456.0

xs

mx

msm

vD

sm

ms

m

v

AVv

vAVPP ATM

=

=∂

=

==

=

=

=

−

π

&

&

||||


140

Por lo tanto el flujo es turbulento. Para tubo de acero comercial

lg5.240254.0

lg162.0

pm

pm

=

=

φ

φ

De la figura 14.2: e/D=0.000075 Con Re y e/D de la figura 14.1 ff=0.0049 Calculo de hL

( )

mhsmsm

mm

gv

DLfh

L

fL

75.1550

81.9

854.1

62.02800000049.022

2

2

2

22

=

==

Aplicando la ecuación de la energía entre 1 y 2

( )

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=∂∂

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

−

∂∂

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂

∂−

∂∂

−∂∂

∫∫

∫∫

∫∫∫∫∫

11

1

21

22

2

22

22uPgzvuPgzvAvdAnvpe

Wt

w

dAnvpet

w

edVt

dAnvpet

wt

wtQ

ss

s

s

ρρρ

ρρ

ρρ

ρρ

ρµ

&

( ) 1212

12

21

22

2uuPPzzgvv

AvWs −+

−+−+

−=−

ρρ

&

Si Lghuu =− 12

( )

( ) L

L

ghPPzzgvvW

ghPPzzgvvW

−−

+−+−

=

+−

+−+−

=−

ρ

ρ

2121

22

21

1212

21

22

2

2

Como A1=A2 y ρ=ρ1= ρ2, v1=v2

||||


141

( )

( ) ( )[ ]

( )

2

2

2

2

2

3

2221

2

2

221

2121

5.1520575.155081.9

2.245810

300000101325

5.2452250081.9

smm

smgh

sm

mkg

Nskgm

mN

PP

smm

smzzg

ghPPzzgW

L

L

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=−

−=−

=−

−=−−−=−

−−

+−=

ρ

ρ

Sustituyendo datos en la ecuación del W

[ ]

kgJW

smkgJ

smW

smW

8.12507

8.12507

5.152052.2455.2452

2

22

2

2

2

=

=

+−−=

kWW

WkW

s

WsJW

skg

kgJW

skg

smm

mkgAvm

mwW

S

S

S

S

8.5670

101

115670860

4.4538.12507

4.453854.162.04

810

3

223

=

=

=

=∗==

⋅=

&

&

&

&

&&

πρ

||||


142

Problema 14.9.- Calcule la presión a la entrada de una bomba que esta a 3’ sobre el nivel del fluido. La tubería tiene 6’’ de diámetro, 6ft de longitud y esta fabricada de acero comercial. El gasto a través de la bomba es de 500 galones por minuto. Usar la suposición errónea de que el flujo es totalmente desarrollado.

min500

'6''6

?2

GalQ

L

P

=

===

φ

Tubería de acero comercial. Flujo totalmente desarrollado Aplicando la ecuación de Bernoulli en 1 y 2

sft

ft

sft

AQv

sftQ

sGalftGalQ

hzg

vP

zv

PatmP

zg

vPhzg

vP

L

L

57.5

126

4114.1

114.1

60min1

48.71

min500

2

00

22

22

3

3

3

2

233

1

1

1

2

222

1

211

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∗==

=

=

++=−

=≅=

++=−++

π

δ

δδ

||||


143

e/D=0.0003 de figura 14.2

52

5

1032.21022.1

5.067.5Re x

sftx

ftsft

vD==

∂=

−

Con Re y e/D de la figura 14.1 ff=0.0046

( )

( )

ftg

P

ftg

Psftsft

ft

sft

sft

gP

61.3

011.35.0

1.32

67.5

5.060046.023

1.322

67.5

2

2

2

2

22

2

2

2

2

=−

++=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++

∗=−

ρ

ρ

ρ

22

2

2

22

2

2322

lg55.1

lg14415.224

2.3217232014.621.3261.3

plbfP

pft

ftlbfP

lbmftlbfs

ftslbm

ftlbm

sftftP

−=

=−

=∗∗=−

||||


144

Ecuación de Bernoulli

gv

zP

gv

zP

gvz

gP

gvz

gP

22

2222

22

21

11

22

22

21

11

++=++

++=++

γγ

ρρ

Ecuación de la energía

gvzPhh

gvzP

LA 22

22

22

21

11 ++=−+++

γγ

gvzPE2

21

11

1 ++=γ

gv

zP

E2

22

22

2 ++=γ

Perdidas de energía: hL= h1+ h2+ h3+ h4+ h5 +h6 hL Perdida total h1 Perdida en la entrada h2 Perdida por fricción en la L.D.S. h3 Perdida en la válvula. h4 Perdida en los codos de 9.5’ h5 Perdida por fricción en la L.D.D h6 Perdida à la salida. En el diseño o análisis de un sistema de flujo de tuberías haY 6 parámetros básicos involucrados a saber: 1.- hL o hA 2.- m& 0 V& 3.-φ Tubería (succión y descarga) 4.-L Tubería (succión y descarga) 5.- E Rugosidad en la pared de la tubería 6.- Propiedades del fluido.

||||


145

Normalmente se calcula uno de los tres primeros parámetros en tanto los demás se conocen o especifican para el diseñador. Métodos para realizar el análisis de diseñó: Clase I.- Se calculan las perdidas o adiciones de energía. Clase II.- Se calcula el flujo volumétrico. Clase III.- Se calcula el diámetro de la tubería.

||||


146

Problema 11.1.- De un deposito grande fluye agua a 10°C con un flujo volumétrico de 1.5x10-

2m3/s a través del sistema mostrado en la figura. Calcular la presión en B.

Agua a T=10°C

?

105.13

2

=

= −

BPs

mxV&

A T=10°C de la tabla A.1

smx

msNx

mkgmN

26

23

33

3

103.1

103.1

10

81.9

−

−

=

⋅=

=

=

υ

µ

ρ

γ

Con ''4=φ de la tabla H

2310538.7

97.97

mxA

mm

f

IN−=

=φ

||||


147

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y B

( )

)1(2

02

02

22

2

2

2

22

>−−−−−−−−−−−−−−−=

=−−−+−

=−−−+−

++=−++

gvhzzP

gvhzzP

gvhzzPP

gvzPh

gvzP

BLBA

B

BLBA

B

BLBA

BA

BB

BL

AA

A

δ

δ

δ

δδ

Calculo de la velocidad vB

smv

sm

mxs

mxv

AVv

AvV

B

B

B

B

989.1

989.110538.7

105.1

;

23

32

=

==

=

=

−

−

&

&

( )

mg

v

m

smsm

gv

B

B

2016.02

2016.081.92

989.1

2

2

2

22

2

2

=

=∗

=

Calculo de las perdidas totales hL: Perdida a la entrada

( )( ) mhfiguraladek

gvkh B

2016.02016.0113.10................1

2

1

2

1

===

=

Calculo de las perdidas por fricción en la tubería

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

gv

DLfh B

2

2

2

f Factor de fricción Darcy

||||


148

Calculo de f

5

26

1049787.1Re149787Re

103.1

09797.0989.1Re

x

smx

msm

vD

=

=

=∂

=−

Con Re y Tubería de cobre (sin rugosidad) del diagrama de Moody f=0.018

( )

mh

mh

87.2

2016.009797.0

5.77018.0

2

2

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Calculo de las perdidas en los codos. De la tabla 10.4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

gv

DLefh

DLe

BT 2

30

2

3

fT =f por ser tubería lisa ( )( )mh

mh108.0

2016.030018.0

3

3

==

Calculo de hL

( )mh

hhhhh

L

L

L

17.3108.0387.22016.0

321

=++=

++=

Sustituyendo valores en la ecuación 1.

( )

kPaPmkNkPa

mkNP

mP

mmmP

B

B

B

B

64.84

1181.9

6284.8

2016.017.3012

2

2

=

=

=

−−−=

δ

δ

||||


149

Problema 11.6.- Para el sistema mostrado en la figura, calcule la distancia vertical entre las superficies de los dos depósitos cuando el agua a 10°C fluye entre A B a una rapidez de 0.03m3/s. Los codos son estándar. La longitud total de la tubería de 3’’ es de 100m. Para la tubería de 6’’ es de 300m. Utilice E= 6x10-5m para la rugosidad de la tubería.

?=AZ Agua T=10°C flujo de A B

smV

3

03.0=& Codos estándar

smx

mx

mLmL

T

T

26

5''6

''3

103.1

106

300100

−

−

=∂

∈=

==

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y B

( )BLA

LBA

BB

BL

AA

A

zhzhzz

gvzPh

gvzP

+==−

++=−++22

22

δδ

Calculo de las perdidas de energía, hL *Perdidas a la entrada del tubo ene. Tanque A, h1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

gvkh2

23

1

De la tabala I-1 con diámetro nominal de 3’’

||||


150

233

10585.5

3.84

mxA

mmD

f−=

=

smv

mxs

m

AQv

AvQ

128.5

10585.5

03.0

3

23

3

33

33

=

==

=

−

De la figura 10.13, k=1.0

34.12

81.92

128.5

2

23

2

2

23

=

∗

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

gv

sm

sm

gv

( ) mmg

vkh 34.134.112

23

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Perdida de la energía por fricción del tubo de ''3=φ , h2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

gv

DLfh

2

23

1

Obtención de f

5

26

33

103.3Re

103.1

0843.02

128.5Re

Re

xs

mx

mm

Dv

=

=

∂=

−

Por lo tanto el flujo es turbulento: La rugosidad es mx 5106 −∈=

14051060843.0

5 ==∈

= − mxmDe

Con Re y e del diagrama de Moody : f= 0.0195

||||


151

Sustituyendo valores en la ecuación de h2

mh

mm

mh

99.30

34.10843.01000195.0

2

2

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Perdida de energía en los codos de 90° de 3’’, h3

De la tabla 10.4, 30=DLe

También de la tabla 14.1 k=0.7

( )( )( )

mhmh

mmhg

vkh

gv

DLefh T

876.1938.02

938.034.17.022

2

3

3

3

23

3

23

3

==

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Perdida de energía en los codos de 90° Perdida de energía en el ensanchamiento subito, h4 De la tabla I-1

smvv

mm

DD

DD

mxA

mDDD

f

IN

128.5

85.10843.0156.0

10910.1

156.0'''6

31

3

6

1

2

226

62

==

===

=

===

−

Con 3

6

DD y v3 de la figura 10.2; k=0.45

( )

mhg

vkh

603.0

34.145.02

4

23

4

=

==

||||


152

Perdidas de la energía por fricción en la tubería de 6’’, h5:

188400Re

103.1

156.057.1Re

2

1256.081.9

57.1

2

57.10191.0

03.0

26

66

26

65

2

2

26

2

3

66

66

=

=∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

===

=

−

smx

msm

Dv

gv

DLfh

m

smsm

gv

sm

ms

m

AQv

AvQ

Por lo tanto el flujo es turbulento.

2600106156.0

106

56

5

==∈

∈=

−

−

mxmD

mx

Con Re y ∈

6D del diagrama de Moody:

f=0.0188

( )

mh

mm

mh

54.4

1256.0156.0

3000188.0

5

5

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Perdida en los codos estándar de 90° de 6’’, h6: De la tabla 14.1 WELTY, k=0.7

mh

mg

vkh

1758.0

1256.07.022

6

26

6

=

∗∗==

||||


153

Perdida de energía en la descarga, h7:

( )

mh

mg

vh

1256.0

1256.012

1

7

26

7

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Perdida de energía en la válvula de compuerta abierta a la mitad, h8: De tabla 14.1 WELTY, k=4.4

( )

mh

mg

vkh

896.5

34.14.42

8

23

8

=

==

Cálculo de la pérdida total, hL:

( )mh

mhhhhhhhhhh

L

L

L

546.45896.51256.01758.054.4603.0876.199.3034.1

87654321

=+++++++=

+++++++=

Calculo de ZA

mzz

zhz

A

A

BLA

546.450546.45

=+=

+=

Mecánica de Fluidos I

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