OBJETIVO GENERAL DEL CURSO

Determinar el estado de esfuerzos, deformaciones y ecuaciones constitutivas de diferentes tipos de sólidos y fluidos para comprender su comportamiento cuando se encuentran sometidos a un sistema de fuerzas en equilibrio estático o dinámico.

Introducción: Estado de esfuerzos.

Antes que nada se debe tener una definición certera de lo que es la mecánica de los medios continuos, “ es una rama de la física (específicamente de la mecánica) que propone un modelo unificado para sólidos deformables, sólidos rígidos y fluidos. Físicamente los fluidos se clasifican en líquidos y gases. El término medio continuo se usa tanto para designar un modelo matemático, como cualquier porción de material cuyo comportamiento se puede describir adecuadamente por ese modelo”.

Tomando como punto de partida que los estados de fuerzas están integradas por fuerzas longitudinales, angulares, isotrópicas y distorsiónales. Y cada una de ellas cuenta con propiedades características como son: las propiedades extensivas ( que son las propiedades cuyo valores depende de la cantidad de sustancias presente, por ejemplo la masa, el peso el volumen y la cantidad de calor por mencionar algunas), las propiedades intensivas o también llamadas de punto( que son las propiedades que su valor no depende de la cantidad de sustancia, como son el peso especifico, la densidad, la presión, la temperatura, la densidad y peso especifico).

Otro característica muy particulares a la hora de evaluar loes estados de esfuerzos son; las dimensiones de estas propiedades. También lo que son las fuerzas y esfuerzos que actúan en un medio continuo se clasifican en fuerzas de cuerpo y fuerzas de superficie, Las fuerzas de cuerpo están distribuidas de manera continua en todo el medio. 

Para realizar una evaluación de los estados de esfuerzos se suelen utilizar varios teoremas entre ellos el teorema de Cauchy, en el cual se realizan evaluaciones por medio de análisis complejos, por integración, por análisis reales, por teoremas en grupo, mediante un resultado de de la convergencia de la series de potencias, con ecuaciones en derivadas parciales, por el teorema de Picard-Lindelof (se evalúa un resultado sobre ecuaciones diferenciales ordinarias) básicamente son los medios de evaluación utilizados por el teorema de Cauchy.

Sobre la tensión de esfuerzos únicamente tenemos la evaluación de las tenciones que actúan al realizar una tensión. En esta evaluación se analizan los esfuerzos de compresión, tensión y combinadas.

Al realizar la evaluación de los esfuerzos se debe tomar en cuenta su dirección para de este modo obtener las componentes que conformen cada tensión.

FUERZAS, TENSIONES Y DEFORMACIONES

Fuerzas externas.

Las fuerzas existentes sobre los cuerpos pueden ser de superficie -que como su nombre indica ejercen su acción sobre la superficie de los cuerpos, tales como: la presión hidrostática, la presión del viento, etc.-, y de volumen -como la acción de la gravedad, las fuerzas magnéticas, las fuerzas de inercia de cuerpos animados de movimiento acelerado, etc.

Algunas fuerzas se distribuyen sobre superficies tan reducidas que reciben el nombre de fuerzas o cargas puntuales -como las ejercidas por las ruedas de los vehículos ferroviarios y de carretera- considerándose por simplificación aplicadas sobre un punto-.

En general en las estructuras suelen diferenciarse las acciones constantes, que actúan o pueden actuar en todo momento o durante largos períodos de tiempo tales como,

• el propio peso

• la carga permanente (pavimentos, muros de fachadas, barandillas, cte.)

• el peso y el empuje del terreno, de las acciones variables que pueden actuar o no y que son:

• la sobrecarga de uso (personas, vehículos, presión de un líquido sobre las paredes de un depósito, cte.)

• las acciones de viento

• la sobrecarga provocada por la nieve

• las acciones sísmicas

Determinadas acciones tales como las térmicas y los asientos de las cimentaciones no son fuerzas externas, pero no obstante provocan, al igual que éstas, tensiones, o fuerzas internas al obligar a las estructuras a que realicen determinados desplazamientos.

Tensiones

En el plano s-s de la figura y para el elemento diferencial de superficie «dF» correspondiente al punto 0 actúa una tensión «p», que se representa por un vector y cuya dirección puede formar con la normal al elemento «dF» sobre el que actúa un ángulo

cualquiera; si es este ángulo se podrá descomponer el vector «p» en dos direcciones, figura I.A.2a, una normal a «dF» y otra en su plano, cuyas componentes son:

Si a un cuerpo elástico tal como el de la (figura-a), al que se aplica un sistema de cargas externas, se le hacen pasar por un punto O tres planos ortogonales dos a dos, sobre cada uno de estos planos y para este punto O se presentará una tensión normal «)» y otra tangencial «-»; esta última se descompondrá en las dos direcciones paralelas a los ejes principales del plano sobre el que actúa. Con el fin de definir las tensiones que inciden sobre cada plano se aplica el criterio siguiente: Cada tensión «)» o «-» se acompaña de dos subíndices, el primero corresponde a la letra del eje normal al plano considerado y el segundo a la letra del eje paralelo a la componente de que se trate (figura-b) Así «-zx » es la tensión tangencial que actuando sobre un plano normal al eje z resulta paralela al eje x.

Como tensiones positivas se eligen aquellas que se orientan en el sentido creciente de los ejes, si las caras sobre las que actúan miran también el sentido creciente, o si se orientan en el sentido decreciente de los ejes mirando las caras correspondientes el sentido decreciente de los mismos. Son negativas las tensiones dirigidas en sentido contrario. Por consiguiente todas las tensiones representadas en la (figura-b) resultan positivas.

Deformaciones

La deformación es, en sentido generalizado, el cambio geométrico que experimenta un cuerpo no rígido bajo la acción de las fuerzas externas y de volumen o de inercia que a él se aplican.

Al deformarse un cuerpo, las partículas cambian de posición. Así, al aplicar las cargas PI, P2 ... Pi al cuerpo de la (figura 2) un segmento PQ se deforma pasando a la posición P'Q'. El recorrido que experimenta el punto P viene dado por las funciones

/(x,y,z), (x,y,Z) y 7(x,y,z).

Por otro lado el segmento PQ varía tras la deformación su longitud de «dl» a «dl » y además, si asociasemos a la deformación otro segmento tal como el «PR> normal a PQ, se observaría la variación angular de 90º a 90º - . Esta variación angular es muy pequeña -se pueden sustituir las tangentes por los ángulos- y recibe el nombre de distorsión.

Si nos referimos un paralelepípedo elemental en las deformaciones. Sucede entonces que el paralelepípedo PABCDEFQ tras la deformación del cuerpo pasa a la posición P A B C D E F Q, según se aprecia en la figura, indicándose las deformaciones por los recorridos -u, v y

w- que experimentan los diferentes vértices.

Los lados del paralelepípedo modifican sus longitudes iniciales - dx, dy, y dz - de manera que proyectadas sobre los tres ejes primitivos alcanzan los valores siguientes:

(1 +x ) dx, (1 +y ) dy, y(1 +z) dz. De la misma manera los ángulos rectos que forman las caras del paralelepípedo antes de la deformación varían tras ella alcanzando los valores: 90º - xy , 90º - yz y 90º - zx

.

En la terminología habitual se denominan alargamientos unitarios a: x , yy z y distorsiones a: xy ,yz y zx.

Las componentes del vector PP' según las direcciones de los ejes coordenados se denominan:u, v, y w. En la mecánica de los medios continuos se supone que estas componentes son funcionesdel punto y continuas -admiten al menos primera y segunda derivada- Es decir:u = u (x, y, z) = (x, y, z) w = w (x, y, z).

Las tensiones normales « ) » dan lugar a alargamientos mientras que las tensiones tangenciales «» provocan distorsiones « ». El conjunto de las variaciones lineales y angulares delos diversos paralelepípedos elementales en que pueden suponerse descompuestos los cuerpos, es lacausa de los recorridos finales, lineales y angulares de los mismos.

Teorema de CauchySi f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto

c El valor del primer miembro es constante:

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.

Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.

EjemplosAnalizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las

funciones:f(x) = x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 20x − 5.En caso afirmativo, aplicarlo.Las funciones f(x) y g(x) son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4) por ser

polinómicas, además se cumple que g(1) ≠ g(4).Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:

Analizar si el el teorema de Cauchy es aplicable a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervalo [0, π/2].

Las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas y derivables en toda la recta real.

Y en particular son continuas en el intervalo [0, π/2] y derivables en (0, π/2).g(π/2) ≠ g(0)Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Cauchy:

g' (c) ≠ 0 −sen(π/4 ) ≠ 0.El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto

c

BIBLIOGRAFIA:

http://www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/FUERZAS%20TENSIONES%20Y%20DEFORMACIONES.pdf

http://www.unioviedo.es/Areas/Mecanica.Fluidos/docencia/_asignaturas/mecanica_de_fluidos_lmarina/2.ESTATICA%20DE%20FLUIDOS%200708.pdf 

[1]  http://html.rincondelvago.com/propiedades-del-medio-continuo.html

http://www.sociedadgeologica.es/archivos/geogacetas/Geo36/Art15.pdf

http://www.fimee.ugto.mx/profesores/chema/documentos/An%C3%A1lisis%20Num%C3%A9rico/EsfuerzosPrincipalesYEigenvalores.pdf

http://www.dgf.uchile.cl/~gf40a/apuntes/TENSOR-ESFUERZOS.pdf