Mec´anica I Tema 4 Ecuaciones Generales de la Din´amica...M´as tarde (Lange, 1816) se introduce...
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Mecanica I
Tema 4
Ecuaciones Generales de la Dinamica
Manuel Ruiz Delgado
29 de octubre de 2010
Manuel Ruiz - Mecanica I 2 / 64
Principios y modelos
Ecuaciones generales
Trabajo y Potencial
Manuel Ruiz - Mecanica I 3 / 64
Principios y modelos
Leyes de NewtonComentarios a las leyes de NewtonSistemas inercialesLimitaciones de las Leyes de NewtonEcuaciones de Newton-EulerPostulados rigurososConsecuencias de los postuladosPrincipio de HamiltonLımites de la mecanica clasicaSistemas a considerarConceptos auxiliares
Leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 4 / 64
Las tres leyes de Newton son los principios de la Mecanica Clasica:1
Leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 4 / 64
Las tres leyes de Newton son los principios de la Mecanica Clasica:1
1. Inercia: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento
uniforme y rectilıneo a no ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresasa cambiar su estado.
F = 0 ⇒ m r = 0
Leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 4 / 64
Las tres leyes de Newton son los principios de la Mecanica Clasica:1
1. Inercia: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento
uniforme y rectilıneo a no ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresasa cambiar su estado.
F = 0 ⇒ m r = 0
2. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre
segun la lınea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.
F = m r =d
dt(m r)
Leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 4 / 64
Las tres leyes de Newton son los principios de la Mecanica Clasica:1
1. Inercia: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento
uniforme y rectilıneo a no ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresasa cambiar su estado.
F = 0 ⇒ m r = 0
2. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre
segun la lınea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.
F = m r =d
dt(m r)
3. Accion-reaccion: Con toda accion ocurre siempre una reaccion igual y
contraria. O sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y
dirigidas en direcciones opuestas.
Fij = −Fji
1Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1647
Comentarios a las leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 5 / 64
La constante de la segunda ley (masa inerte) es proporcional a la de la ley dela gravitacion (masa gravitatoria). No se ha detectado ninguna desviacion enla relacion. Escogiendo las unidades adecuadamente, se pueden considerarcomo la misma magnitud (principio de equivalencia de Einstein).
bb bb
Comentarios a las leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 5 / 64
La constante de la segunda ley (masa inerte) es proporcional a la de la ley dela gravitacion (masa gravitatoria). No se ha detectado ninguna desviacion enla relacion. Escogiendo las unidades adecuadamente, se pueden considerarcomo la misma magnitud (principio de equivalencia de Einstein).
La primera ley ya fue enunciada por Galileo. Es el comienzo de la cienciamoderna. Aristoteles pensaba que el movimiento necesita una accioncontinua que lo mantenga, lo que daba lugar a ideas bizarras y erroneas(torbellinos de aire propulsores).
bb bb
Comentarios a las leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 5 / 64
La constante de la segunda ley (masa inerte) es proporcional a la de la ley dela gravitacion (masa gravitatoria). No se ha detectado ninguna desviacion enla relacion. Escogiendo las unidades adecuadamente, se pueden considerarcomo la misma magnitud (principio de equivalencia de Einstein).
La primera ley ya fue enunciada por Galileo. Es el comienzo de la cienciamoderna. Aristoteles pensaba que el movimiento necesita una accioncontinua que lo mantenga, lo que daba lugar a ideas bizarras y erroneas(torbellinos de aire propulsores).
En la tercera ley se pueden distinguir dos grados o formulaciones:
• debil: igual direccion y sentido contrario, Fij = −Fji
• fuerte: ademas, son colineales, Fij = −Fji = λ rij
bbi j
bbi j
Comentarios a las leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 5 / 64
La constante de la segunda ley (masa inerte) es proporcional a la de la ley dela gravitacion (masa gravitatoria). No se ha detectado ninguna desviacion enla relacion. Escogiendo las unidades adecuadamente, se pueden considerarcomo la misma magnitud (principio de equivalencia de Einstein).
La primera ley ya fue enunciada por Galileo. Es el comienzo de la cienciamoderna. Aristoteles pensaba que el movimiento necesita una accioncontinua que lo mantenga, lo que daba lugar a ideas bizarras y erroneas(torbellinos de aire propulsores).
En la tercera ley se pueden distinguir dos grados o formulaciones:
• debil: igual direccion y sentido contrario, Fij = −Fji
• fuerte: ademas, son colineales, Fij = −Fji = λ rij
bbi j
bbi j
La 3a ley no se cumple en efectos relativistas (fuerzas de Lorentz)
Sistemas inerciales
Manuel Ruiz - Mecanica I 6 / 64
Las leyes de Newton tienen su forma mas sencilla en el espacio absoluto, queno es facilmente observable; el consideraba que se podrıa encontrar “en laregion de las estrellas fijas”.
Sistemas inerciales
Manuel Ruiz - Mecanica I 6 / 64
Las leyes de Newton tienen su forma mas sencilla en el espacio absoluto, queno es facilmente observable; el consideraba que se podrıa encontrar “en laregion de las estrellas fijas”.
Mas tarde (Lange, 1816) se introduce el concepto de sistema inercial, comosistema de referencia en el que se cumplen las leyes de Newton.
Sistemas inerciales
Manuel Ruiz - Mecanica I 6 / 64
Las leyes de Newton tienen su forma mas sencilla en el espacio absoluto, queno es facilmente observable; el consideraba que se podrıa encontrar “en laregion de las estrellas fijas”.
Mas tarde (Lange, 1816) se introduce el concepto de sistema inercial, comosistema de referencia en el que se cumplen las leyes de Newton.
Conocido un sistema inercial, cualquier otro sistema que se mueva convelocidad rectilınea y uniforme, sin girar —transformacion de Galileo— estambien inercial o galileano. Esto constituye el principio de relatividad deGalileo, y se deduce directamente de la segunda ley.
Sistemas inerciales
Manuel Ruiz - Mecanica I 6 / 64
Las leyes de Newton tienen su forma mas sencilla en el espacio absoluto, queno es facilmente observable; el consideraba que se podrıa encontrar “en laregion de las estrellas fijas”.
Mas tarde (Lange, 1816) se introduce el concepto de sistema inercial, comosistema de referencia en el que se cumplen las leyes de Newton.
Conocido un sistema inercial, cualquier otro sistema que se mueva convelocidad rectilınea y uniforme, sin girar —transformacion de Galileo— estambien inercial o galileano. Esto constituye el principio de relatividad deGalileo, y se deduce directamente de la segunda ley.
En la teorıa especial de la Relatividad de Einstein tambien se postula unsistema de referencia inercial global, pero ahora la transformacion no es la deGalileo sino la de Lorentz.
Sistemas inerciales
Manuel Ruiz - Mecanica I 6 / 64
Las leyes de Newton tienen su forma mas sencilla en el espacio absoluto, queno es facilmente observable; el consideraba que se podrıa encontrar “en laregion de las estrellas fijas”.
Mas tarde (Lange, 1816) se introduce el concepto de sistema inercial, comosistema de referencia en el que se cumplen las leyes de Newton.
Conocido un sistema inercial, cualquier otro sistema que se mueva convelocidad rectilınea y uniforme, sin girar —transformacion de Galileo— estambien inercial o galileano. Esto constituye el principio de relatividad deGalileo, y se deduce directamente de la segunda ley.
En la teorıa especial de la Relatividad de Einstein tambien se postula unsistema de referencia inercial global, pero ahora la transformacion no es la deGalileo sino la de Lorentz.
Finalmente, en la teorıa general de la Relatividad no hay sistemas inercialesglobales.
Limitaciones de las Leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 7 / 64
Los conceptos de masa y fuerza no estan claros: las definiciones pecan decirculares. Incluso cuando se define una fuerza por la deformacion estatica(dinamometros). Lo que sı es una magnitud perfectamente clara y medible esla aceleracion.
Limitaciones de las Leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 7 / 64
Los conceptos de masa y fuerza no estan claros: las definiciones pecan decirculares. Incluso cuando se define una fuerza por la deformacion estatica(dinamometros). Lo que sı es una magnitud perfectamente clara y medible esla aceleracion.
En la mecanica clasica, las fuerzas pueden depender de la posicion de laspartıculas, de su velocidad, y del tiempo, pero no de las aceleraciones:F(ri, ri, t) (¡lo que observamos son aceleraciones!)
Limitaciones de las Leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 7 / 64
Los conceptos de masa y fuerza no estan claros: las definiciones pecan decirculares. Incluso cuando se define una fuerza por la deformacion estatica(dinamometros). Lo que sı es una magnitud perfectamente clara y medible esla aceleracion.
En la mecanica clasica, las fuerzas pueden depender de la posicion de laspartıculas, de su velocidad, y del tiempo, pero no de las aceleraciones:F(ri, ri, t) (¡lo que observamos son aceleraciones!)
Por tanto, la segunda ley se puede expresar diciendo que las aceleraciones sepueden expresar mediante una relacion funcional sencilla de las posiciones,velocidades, y del tiempo.
Limitaciones de las Leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 7 / 64
Los conceptos de masa y fuerza no estan claros: las definiciones pecan decirculares. Incluso cuando se define una fuerza por la deformacion estatica(dinamometros). Lo que sı es una magnitud perfectamente clara y medible esla aceleracion.
En la mecanica clasica, las fuerzas pueden depender de la posicion de laspartıculas, de su velocidad, y del tiempo, pero no de las aceleraciones:F(ri, ri, t) (¡lo que observamos son aceleraciones!)
Por tanto, la segunda ley se puede expresar diciendo que las aceleraciones sepueden expresar mediante una relacion funcional sencilla de las posiciones,velocidades, y del tiempo.
La segunda ley se aplica tambien a sistemas de masa variable. Hay que usarentonces la forma d
dt(mv), que da lugar al empuje: −mv.
Limitaciones de las Leyes de Newton
Manuel Ruiz - Mecanica I 7 / 64
Los conceptos de masa y fuerza no estan claros: las definiciones pecan decirculares. Incluso cuando se define una fuerza por la deformacion estatica(dinamometros). Lo que sı es una magnitud perfectamente clara y medible esla aceleracion.
En la mecanica clasica, las fuerzas pueden depender de la posicion de laspartıculas, de su velocidad, y del tiempo, pero no de las aceleraciones:F(ri, ri, t) (¡lo que observamos son aceleraciones!)
Por tanto, la segunda ley se puede expresar diciendo que las aceleraciones sepueden expresar mediante una relacion funcional sencilla de las posiciones,velocidades, y del tiempo.
La segunda ley se aplica tambien a sistemas de masa variable. Hay que usarentonces la forma d
dt(mv), que da lugar al empuje: −mv.
Newton habla solo de cuerpos, sin aclarar mucho, lo que corresponde a lapartıcula material. Para poder tratar solidos o medios continuos hay quehacer hipotesis adicionales, como las de Euler.
Ecuaciones de Newton-Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 8 / 64
Para poder tratar solidos con las ecuaciones de Newton, hacen falta hipotesisadicionales:
Un metodo es suponer que las fuerzas internas entre las partıculas de unsolido siguen la tercera ley de Newton en su formulacion fuerte.
Otro camino, seguido por Euler, es postular la ecuacion del momento cineticocomo principio independiente.
Ecuaciones de Newton-Euler
Manuel Ruiz - Mecanica I 8 / 64
Para poder tratar solidos con las ecuaciones de Newton, hacen falta hipotesisadicionales:
Un metodo es suponer que las fuerzas internas entre las partıculas de unsolido siguen la tercera ley de Newton en su formulacion fuerte.
Otro camino, seguido por Euler, es postular la ecuacion del momento cineticocomo principio independiente.
Por tanto, Euler formula dos principios basicos para la dinamica de cualquiersistema:
1. Cantidad de movimiento: F = ddt (mvG)
2. Momento de la cantidad de movimiento: MG = ddt (HG)
Tambien fue Euler el primero en escribir la segunda ley en la forma hoy conocida,F = m rG
Postulados rigurosos
Manuel Ruiz - Mecanica I 9 / 64
Para superar las limitaciones de las leyes de Newton, se han buscado principios masrigurosos; por ejemplo:
Postulados rigurosos
Manuel Ruiz - Mecanica I 9 / 64
Para superar las limitaciones de las leyes de Newton, se han buscado principios masrigurosos; por ejemplo:
1. A cada partıcula material se le asigna un escalar positivo, que llamamos masa.
Postulados rigurosos
Manuel Ruiz - Mecanica I 9 / 64
Para superar las limitaciones de las leyes de Newton, se han buscado principios masrigurosos; por ejemplo:
1. A cada partıcula material se le asigna un escalar positivo, que llamamos masa.
2. En ciertos sistemas inerciales aislados, el sistema de vectores
ΣF = Σmi ri
que llamamos fuerzas, es nulo. Esto supone que se anula la resultante ΣF yel momento en cualquier punto MO.
Postulados rigurosos
Manuel Ruiz - Mecanica I 9 / 64
Para superar las limitaciones de las leyes de Newton, se han buscado principios masrigurosos; por ejemplo:
1. A cada partıcula material se le asigna un escalar positivo, que llamamos masa.
2. En ciertos sistemas inerciales aislados, el sistema de vectores
ΣF = Σmi ri
que llamamos fuerzas, es nulo. Esto supone que se anula la resultante ΣF yel momento en cualquier punto MO.
3. Las fuerzas tienen expresiones funcionales simples:
Fi = Fi(rj , rj , t) (≡ 2o Ley de Newton)
Fi =∑
j
Fij
Fij decrecen con la distancia → sistema aislado
Consecuencias de los postulados
Manuel Ruiz - Mecanica I 10 / 64
Masas: dependen de las unidades → masa patron.
b
b
b
b
b
b
Consecuencias de los postulados
Manuel Ruiz - Mecanica I 10 / 64
Masas: dependen de las unidades → masa patron.
Ax1y1z1 InercialBx0y0z0 Inercial
⇔ ω01 = 0 ; rB01 = 0
b
b
b
b
b
b
Consecuencias de los postulados
Manuel Ruiz - Mecanica I 10 / 64
Masas: dependen de las unidades → masa patron.
Ax1y1z1 InercialBx0y0z0 Inercial
⇔ ω01 = 0 ; rB01 = 0
Partıcula aislada: r = 0 ⇒ r = ~Cte (≡ 1a ley de Newton)
b
b
b
b
b
b
Consecuencias de los postulados
Manuel Ruiz - Mecanica I 10 / 64
Masas: dependen de las unidades → masa patron.
Ax1y1z1 InercialBx0y0z0 Inercial
⇔ ω01 = 0 ; rB01 = 0
Partıcula aislada: r = 0 ⇒ r = ~Cte (≡ 1a ley de Newton)
Dos partıculas aisladas: Fij + Fji = 0 (≡ 3a ley de Newton)
b
b
b
b
b
b
Consecuencias de los postulados
Manuel Ruiz - Mecanica I 10 / 64
Masas: dependen de las unidades → masa patron.
Ax1y1z1 InercialBx0y0z0 Inercial
⇔ ω01 = 0 ; rB01 = 0
Partıcula aislada: r = 0 ⇒ r = ~Cte (≡ 1a ley de Newton)
Dos partıculas aisladas: Fij + Fji = 0 (≡ 3a ley de Newton)
Definir que partıculas forman parte del sistema:
• Fuerzas interiores: ejercidas sobre una partıcula del sistema por otratambien del sistema
• Fuerzas exteriores: ejercidas por partıculas que no son parte del sistema
b
b
b
i
j
kTodasinteriores
b
b
b
i
j
k
ij interiores
ik, jk exteriores
Principio de Hamilton
Manuel Ruiz - Mecanica I 11 / 64
b b
La mecanica clasica puede basarse en un solo principio variacional.
Principio de Hamilton
Manuel Ruiz - Mecanica I 11 / 64
b b
La mecanica clasica puede basarse en un solo principio variacional.
Sistema material de coordenadas x1, . . . , xn. El movimiento xi(t) es unacurva entre dos puntos del espacio [x1, . . . , xn, t].
Principio de Hamilton
Manuel Ruiz - Mecanica I 11 / 64
t
xn
x2
x3
x1
b bt1 t2
La mecanica clasica puede basarse en un solo principio variacional.
Sistema material de coordenadas x1, . . . , xn. El movimiento xi(t) es unacurva entre dos puntos del espacio [x1, . . . , xn, t].
El sistema se mueve de modo que el funcional accion tenga un valorestacionario:
δI = δ
∫ t2
t1
L(xi, xi, t) dt = 0
donde L = T − V (mec. clasica)
Principio de Hamilton
Manuel Ruiz - Mecanica I 11 / 64
t
xn
x2
x3
x1
b bt1 t2
La mecanica clasica puede basarse en un solo principio variacional.
Sistema material de coordenadas x1, . . . , xn. El movimiento xi(t) es unacurva entre dos puntos del espacio [x1, . . . , xn, t].
El sistema se mueve de modo que el funcional accion tenga un valorestacionario:
δI = δ
∫ t2
t1
L(xi, xi, t) dt = 0
donde L = T − V (mec. clasica)
Las funciones xi(t) que hacen δI = 0 son las que cumplen las ecuaciones deEuler del calculo de variaciones:
d
dt
∂L
∂xi−∂L
∂xi= 0 , i = 1 . . . n
que en mecanica se llaman ecuaciones de Lagrange.
Principio de Hamilton
Manuel Ruiz - Mecanica I 12 / 64
Ventajas:
Unico, simple, elegante.
Da directamente un numero mınimo de ecuaciones (= GDL)
Mas generalidad: relativista, cuantica, medios continuos.
Principio de Hamilton
Manuel Ruiz - Mecanica I 12 / 64
Ventajas:
Unico, simple, elegante.
Da directamente un numero mınimo de ecuaciones (= GDL)
Mas generalidad: relativista, cuantica, medios continuos.
Inconvenientes
Base matematica no se explica en primeros cursos.
Forma mas sencilla no valida para:
• Fuerzas no potenciales
• Sistemas no holonomos (ej.: rodadura sin deslizamiento)
aunque puede extenderse, pero ya no es unico y simple.
No permite tratar el rozamiento (importante en ingenierıa).
No aparecen las fuerzas de ligadura (puede ser una ventaja, pero es uninconveniente en ingenierıa).
Matematico. La fısica esta en la Lagrangiana L , distinta en Mecanicaclasica, relativista, etc.: incompleto
Lımites de la mecanica clasica
Manuel Ruiz - Mecanica I 13 / 64
Teorıa especial de la relatividad: La velocidad de la luz es igual en todos los
sistemas inerciales: transformacion de Lorentz:[
1− v2
c2
]1/2, espacio-tiempo
de Minkowski. Apreciable en grandes distancias y cuando v → c
Lımites de la mecanica clasica
Manuel Ruiz - Mecanica I 13 / 64
Teorıa especial de la relatividad: La velocidad de la luz es igual en todos los
sistemas inerciales: transformacion de Lorentz:[
1− v2
c2
]1/2, espacio-tiempo
de Minkowski. Apreciable en grandes distancias y cuando v → c
Teorıa general de la relatividad: Espacio de Riemann (espacio-tiempo-masa)que incorpora la masa en la matriz metrica: la gravedad curva el espacio. Nohay sistemas inerciales globales. Valido en la proximidad de grandes masas.Despreciable cuando r r∗ ' KGm/c2 (K ' 105, espacio plano)
Sol: GM/c2 = 1,47 km; Mercurio: rmer
GM/c2= 260684; r⊕
GM/c2' 108
Lımites de la mecanica clasica
Manuel Ruiz - Mecanica I 13 / 64
Teorıa especial de la relatividad: La velocidad de la luz es igual en todos los
sistemas inerciales: transformacion de Lorentz:[
1− v2
c2
]1/2, espacio-tiempo
de Minkowski. Apreciable en grandes distancias y cuando v → c
Teorıa general de la relatividad: Espacio de Riemann (espacio-tiempo-masa)que incorpora la masa en la matriz metrica: la gravedad curva el espacio. Nohay sistemas inerciales globales. Valido en la proximidad de grandes masas.Despreciable cuando r r∗ ' KGm/c2 (K ' 105, espacio plano)
Sol: GM/c2 = 1,47 km; Mercurio: rmer
GM/c2= 260684; r⊕
GM/c2' 108
Mecanica Cuantica: A nivel de partıculas (atomos, moleculas), los intercambiosde energıa estan cuantificados: ~ν. Despreciable para un numero grande departıculas, cuando el momento cinetico sea grande frente a la constante dePlank: H ~
Lımites de la mecanica clasica
Manuel Ruiz - Mecanica I 13 / 64
Teorıa especial de la relatividad: La velocidad de la luz es igual en todos los
sistemas inerciales: transformacion de Lorentz:[
1− v2
c2
]1/2, espacio-tiempo
de Minkowski. Apreciable en grandes distancias y cuando v → c
Teorıa general de la relatividad: Espacio de Riemann (espacio-tiempo-masa)que incorpora la masa en la matriz metrica: la gravedad curva el espacio. Nohay sistemas inerciales globales. Valido en la proximidad de grandes masas.Despreciable cuando r r∗ ' KGm/c2 (K ' 105, espacio plano)
Sol: GM/c2 = 1,47 km; Mercurio: rmer
GM/c2= 260684; r⊕
GM/c2' 108
Mecanica Cuantica: A nivel de partıculas (atomos, moleculas), los intercambiosde energıa estan cuantificados: ~ν. Despreciable para un numero grande departıculas, cuando el momento cinetico sea grande frente a la constante dePlank: H ~
La mecanica clasica es el lımite exacto de estas teorıas cuando la relacion deparametros caracterısticos tiende a cero: v
c = r∗
r = ~
H → 0.
Lımites de la mecanica clasica
Manuel Ruiz - Mecanica I 14 / 64
rc/(Gm/c2
)
H/
TER
Mec. Cuantica
TGR
10,
1
v/c
0 105 108
1010 80
Tierra
Mercurio
Vehıculosterrestres
Aeronaves
Astronaves
Mercurio
Tierra
Vehıculos
Agujeronegro
Espacio plano
Sistemas a considerar
Manuel Ruiz - Mecanica I 15 / 64
Partıcula: 3 Grados De Libertad
• 2a Ley de Newton: F = mr 3 ECs ↔ 3 GDL
Sistemas a considerar
Manuel Ruiz - Mecanica I 15 / 64
Partıcula: 3 Grados De Libertad
• 2a Ley de Newton: F = mr 3 ECs ↔ 3 GDL
Sistema de N partıculas: 3N GDL
• 2a Ley de Newton: Fi = miri 3N ECs ↔ 3N GDL
• O bien combinaciones de las 3N ecuaciones:
Cantidad de movimiento:∑
Fi =∑miri 3 Ec
Momento cinetico:∑
ri ∧ Fi =∑
ri ∧miri 3 Ec
Energıa:∑
ri · Fi =∑
ri ·miri 1 Ec
Si no son suficientes, se divide el sistema (principio de corte).
Sistemas a considerar
Manuel Ruiz - Mecanica I 15 / 64
Partıcula: 3 Grados De Libertad
• 2a Ley de Newton: F = mr 3 ECs ↔ 3 GDL
Sistema de N partıculas: 3N GDL
• 2a Ley de Newton: Fi = miri 3N ECs ↔ 3N GDL
• O bien combinaciones de las 3N ecuaciones:
Cantidad de movimiento:∑
Fi =∑miri 3 Ec
Momento cinetico:∑
ri ∧ Fi =∑
ri ∧miri 3 Ec
Energıa:∑
ri · Fi =∑
ri ·miri 1 Ec
Si no son suficientes, se divide el sistema (principio de corte).
Solido: 6 GDL
• Cantidad de movimiento:∑
F = m rG 3 Ec
• Momento cinetico: MG = HG 3 Ec
Conceptos auxiliares
Manuel Ruiz - Mecanica I 16 / 64
F = m ·r
Trabajo
Potencial
Ligaduras
Centro de masas
Tensor de inercia
Cantidad de movimiento
Momento cinetico
Energıa cinetica
Conceptos auxiliares
Manuel Ruiz - Mecanica I 16 / 64
F = m ·r
Trabajo
Potencial
Ligaduras
Centro de masas
Tensor de inercia
Cantidad de movimiento
Momento cinetico
Energıa cinetica
S
i
αM =N∑
i=1
αi mi
Modelo desolido comoN masasdistribuidas
Ω
δm = ρ dxdydz
αM =∫
Ω
α(r) δm
Modelo desolido comocontinuo
Conceptos auxiliares
Manuel Ruiz - Mecanica I 16 / 64
F = m ·r
Trabajo
Potencial
Ligaduras
Centro de masas
Tensor de inercia
Cantidad de movimiento
Momento cinetico
Energıa cinetica
S
i
αM =N∑
i=1
αi mi
Modelo desolido comoN masasdistribuidas
Ω
δm = ρ dxdydz
αM =∫
Ω
α(r) δm
Modelo desolido comocontinuo
Los dos modelos son equivalentes para N →∞, mi → 0
Tratamos el solido como N partıculas: evitamos el teorema del trans-porte para derivar la integral.
Manuel Ruiz - Mecanica I 17 / 64
Ecuaciones generales
Ecuacion de la cantidad de movimientoEcuacion del momento cineticoMomento cinetico en punto movilMomento cinetico absoluto en punto movilMomento cinetico relativo en punto movilEcuacion de la energıaIntegral de la energıaEcuacion de la energıa respecto al centro de masas7 Ecuaciones generales de los sistemasPrincipio de corte de Euler-Cauchy
Ecuacion de la cantidad de movimiento
Manuel Ruiz - Mecanica I 18 / 64
b
b
b
i
j
k
FEi
FIij
FIji
En un sistema de N partıculas, el movimiento esta deter-minado por las 3N ecuaciones de cantidad de movimiento(CM) de las partıculas:
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij = mi ri i = 1 . . . N
Ecuacion de la cantidad de movimiento
Manuel Ruiz - Mecanica I 18 / 64
b
b
b
i
j
k
FEi
FIij
FIji
En un sistema de N partıculas, el movimiento esta deter-minado por las 3N ecuaciones de cantidad de movimiento(CM) de las partıculas:
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij = mi ri i = 1 . . . N
Suele ser util obtener combinaciones lineales de estas ecuaciones. Por ejemplo,sumar para todo el sistema:
N∑
i=1
(
FEi +
3a ley (debil)
N∑
j=1
j 6=i
FIij
)
= RE
N∑
i=1mi ri =
d2
dt2
N∑
i=1mi ri =
d2
dt2M rG =M rG
Ecuacion de la cantidad de movimiento
Manuel Ruiz - Mecanica I 18 / 64
b
b
b
i
j
k
FEi
FIij
FIji
En un sistema de N partıculas, el movimiento esta deter-minado por las 3N ecuaciones de cantidad de movimiento(CM) de las partıculas:
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij = mi ri i = 1 . . . N
Suele ser util obtener combinaciones lineales de estas ecuaciones. Por ejemplo,sumar para todo el sistema:
N∑
i=1
(
FEi +
3a ley (debil)
N∑
j=1
j 6=i
FIij
)
= RE
N∑
i=1mi ri =
d2
dt2
N∑
i=1mi ri =
d2
dt2M rG =M rG
d
dt(M rG) = RE
Este es el teorema de la cantidad de movimiento, o la ecuacion de la cantidad demovimiento del sistema, M vG; a veces se llama momento lineal, p =M vG.
Ecuacion de la cantidad de movimiento
Manuel Ruiz - Mecanica I 19 / 64
El sistema se mueve como si toda la masa estuviera en el centro de masas,sometida a la resultante de las fuerzas exteriores.
Ecuacion de la cantidad de movimiento
Manuel Ruiz - Mecanica I 19 / 64
El sistema se mueve como si toda la masa estuviera en el centro de masas,sometida a la resultante de las fuerzas exteriores.
Las fuerzas interiores no influyen directamente en el movimiento del centro demasas (uno no puede levantarse tirandose de las orejas).
Ecuacion de la cantidad de movimiento
Manuel Ruiz - Mecanica I 19 / 64
El sistema se mueve como si toda la masa estuviera en el centro de masas,sometida a la resultante de las fuerzas exteriores.
Las fuerzas interiores no influyen directamente en el movimiento del centro demasas (uno no puede levantarse tirandose de las orejas).
• ¿Como se mueve una nave en el espacio?
• Si en el sistema rifle-bala se conserva la cantidad de movimiento, ¿porque la bala mata y el rifle no?
• Nube de basura espacial tras la explosion de un satelite.
Ecuacion de la cantidad de movimiento
Manuel Ruiz - Mecanica I 19 / 64
El sistema se mueve como si toda la masa estuviera en el centro de masas,sometida a la resultante de las fuerzas exteriores.
Las fuerzas interiores no influyen directamente en el movimiento del centro demasas (uno no puede levantarse tirandose de las orejas).
• ¿Como se mueve una nave en el espacio?
• Si en el sistema rifle-bala se conserva la cantidad de movimiento, ¿porque la bala mata y el rifle no?
• Nube de basura espacial tras la explosion de un satelite.
Pueden influir indirectamente: cambiando la disposicion de las partes delsistema pueden cambiar las fuerzas exteriores (mover los alerones →modificar la sustentacion).
Ecuacion de la cantidad de movimiento
Manuel Ruiz - Mecanica I 20 / 64
Se obtiene directamente una integral primera [ f(rj, rj , t) = Cte ] si se anula laresultante exterior en una direccion fija:
RE · u = 0 =d
dt(M rG) · u
u=0−−−→
d
dt(M rG · u) = 0 ⇒ rG · u = Cte
Si la direccion no es fija, u 6= 0, no hay integral primera por este motivo.
b
b b
Ecuacion de la cantidad de movimiento
Manuel Ruiz - Mecanica I 20 / 64
Se obtiene directamente una integral primera [ f(rj, rj , t) = Cte ] si se anula laresultante exterior en una direccion fija:
RE · u = 0 =d
dt(M rG) · u
u=0−−−→
d
dt(M rG · u) = 0 ⇒ rG · u = Cte
Si la direccion no es fija, u 6= 0, no hay integral primera por este motivo.
Ejemplo: tiro libre en el vacıo.
m
xyz
=
00−mg
⇒
⇒
F · i = 0 ⇒ x = CteF · j = 0 ⇒ y = CteF · k 6= 0 ⇒ E.D.O. para z
bvx
bvx
bvx
g
Ecuacion del momento cinetico
Manuel Ruiz - Mecanica I 21 / 64
O
rj
ri
b
b
j
i
FEi
FIij
FIji
Partiendo de las ecuaciones de cantidad de movimiento decada partıcula,
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij = mi ri i = 1 . . . N
se toman momentos en un punto fijo O y se suma paratodo el sistema.
Ecuacion del momento cinetico
Manuel Ruiz - Mecanica I 21 / 64
O
rj
ri
b
b
j
i
FEi
FIij
FIji
Partiendo de las ecuaciones de cantidad de movimiento decada partıcula,
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij = mi ri i = 1 . . . N
se toman momentos en un punto fijo O y se suma paratodo el sistema.
El momento de las fuerzas interiores se anula dos a dos, si se cumple latercera ley de Newton en su formulacion fuerte:
ri ∧ FIij + rj ∧ FI
ji =3a ley fuerte
(rj +rji
)∧ FI
ij + rj ∧ FIji = rj ∧
3a ley debil(
FIij + FI
ji
)= 0
Ecuacion del momento cinetico
Manuel Ruiz - Mecanica I 21 / 64
O
rj
ri
b
b
j
i
FEi
FIij
FIji
Partiendo de las ecuaciones de cantidad de movimiento decada partıcula,
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij = mi ri i = 1 . . . N
se toman momentos en un punto fijo O y se suma paratodo el sistema.
El momento de las fuerzas interiores se anula dos a dos, si se cumple latercera ley de Newton en su formulacion fuerte:
ri ∧ FIij + rj ∧ FI
ji =3a ley fuerte
(rj +rji
)∧ FI
ij + rj ∧ FIji = rj ∧
3a ley debil(
FIij + FI
ji
)= 0
Solo queda el momento resultante de las fuerzas exteriores:
N∑
i=1
ri ∧ FEi = ME
O
Ecuacion del momento cinetico
Manuel Ruiz - Mecanica I 22 / 64
O
rj
ri
b
b
j
i
FEi
FIij
FIji
El momento cinetico de una partıcula Mi en O es:
HMiO = ri ∧mi v
Mi
Ecuacion del momento cinetico
Manuel Ruiz - Mecanica I 22 / 64
O
rj
ri
b
b
j
i
FEi
FIij
FIji
El momento cinetico de una partıcula Mi en O es:
HMiO = ri ∧mi v
Mi
Como O es un punto fijo, vMi = ri , y al derivar,
d
dtH
MiO =
ri ∧mi ri + ri ∧mi ri
Ecuacion del momento cinetico
Manuel Ruiz - Mecanica I 22 / 64
O
rj
ri
b
b
j
i
FEi
FIij
FIji
El momento cinetico de una partıcula Mi en O es:
HMiO = ri ∧mi v
Mi
Como O es un punto fijo, vMi = ri , y al derivar,
d
dtH
MiO =
ri ∧mi ri + ri ∧mi ri
Sumado tenemos la derivada del momento cinetico (MC) del sistema en O:
N∑
i=1
ri ∧mi ri =d
dt
N∑
i=1
ri ∧mi ri = HO
Ecuacion del momento cinetico
Manuel Ruiz - Mecanica I 22 / 64
O
rj
ri
b
b
j
i
FEi
FIij
FIji
El momento cinetico de una partıcula Mi en O es:
HMiO = ri ∧mi v
Mi
Como O es un punto fijo, vMi = ri , y al derivar,
d
dtH
MiO =
ri ∧mi ri + ri ∧mi ri
Sumado tenemos la derivada del momento cinetico (MC) del sistema en O:
N∑
i=1
ri ∧mi ri =d
dt
N∑
i=1
ri ∧mi ri = HO
Finalmente tenemos la ecuacion del momento cinetico en un punto fijo O (oteorema del momento cinetico, MC o momento angular):
d
dtHO = ME
O
Ecuacion del momento cinetico
Manuel Ruiz - Mecanica I 23 / 64
El momento cinetico del sistema solo puede variar con momentos exteriores
• Conservacion del momento cinetico en el sistema solar
• Maniobras de satelites: cohetes/ruedas de maniobra
• Saltos de trampolın
Ecuacion del momento cinetico
Manuel Ruiz - Mecanica I 23 / 64
El momento cinetico del sistema solo puede variar con momentos exteriores
• Conservacion del momento cinetico en el sistema solar
• Maniobras de satelites: cohetes/ruedas de maniobra
• Saltos de trampolın
Si no hay momento en una direccion fija, se obtiene una integral primera:
MEO · u = 0 =
(d
dtHO
)
· uu=0−−−→
d
dt(HO · u) = 0 ⇒ HO · u = Cte
Ecuacion del momento cinetico
Manuel Ruiz - Mecanica I 23 / 64
El momento cinetico del sistema solo puede variar con momentos exteriores
• Conservacion del momento cinetico en el sistema solar
• Maniobras de satelites: cohetes/ruedas de maniobra
• Saltos de trampolın
Si no hay momento en una direccion fija, se obtiene una integral primera:
MEO · u = 0 =
(d
dtHO
)
· uu=0−−−→
d
dt(HO · u) = 0 ⇒ HO · u = Cte
• Momento cinetico constante y velocidad variable, distribuyendo la masa:patinador.
• Separacion del sistema Tierra-Luna al disipar energıa por las mareas.
Ecuacion del momento cinetico
Manuel Ruiz - Mecanica I 23 / 64
El momento cinetico del sistema solo puede variar con momentos exteriores
• Conservacion del momento cinetico en el sistema solar
• Maniobras de satelites: cohetes/ruedas de maniobra
• Saltos de trampolın
Si no hay momento en una direccion fija, se obtiene una integral primera:
MEO · u = 0 =
(d
dtHO
)
· uu=0−−−→
d
dt(HO · u) = 0 ⇒ HO · u = Cte
• Momento cinetico constante y velocidad variable, distribuyendo la masa:patinador.
• Separacion del sistema Tierra-Luna al disipar energıa por las mareas.
Ecuacion poco intuitiva: giroscopo.
Momento cinetico en punto movil
Manuel Ruiz - Mecanica I 24 / 64
riO1
r′iO
S0
b i
FEi
FIij
S2 A veces es util tomar momentos en un punto O movil:
N∑
i=1
r′i ∧ FEi = ME
O =N∑
i=1
r′i ∧mi ri
Momento cinetico en punto movil
Manuel Ruiz - Mecanica I 24 / 64
riO1
r′iO
S0
b i
FEi
FIij
S2 A veces es util tomar momentos en un punto O movil:
N∑
i=1
r′i ∧ FEi = ME
O =N∑
i=1
r′i ∧mi ri
La parte derecha es mas complicada: ahora r′i 6= ri y elmomento cinetico tiene dos formas:
Momento en O de las cantidades de movimiento absolutas:
H21O =
N∑
i=1
r′i ∧mi rMi21
Momento cinetico en punto movil
Manuel Ruiz - Mecanica I 24 / 64
riO1
r′iO
S0
b i
FEi
FIij
S2 A veces es util tomar momentos en un punto O movil:
N∑
i=1
r′i ∧ FEi = ME
O =N∑
i=1
r′i ∧mi ri
La parte derecha es mas complicada: ahora r′i 6= ri y elmomento cinetico tiene dos formas:
Momento en O de las cantidades de movimiento absolutas:
H21O =
N∑
i=1
r′i ∧mi rMi21
Momento en O de las cantidades de movimiento relativas:
H20O =
N∑
i=1
r′i ∧mi rMi20
S2 es el sistema de puntos; S0 son paralelos a los fijos con origen en O.
Momento cinetico absoluto en punto movil
Manuel Ruiz - Mecanica I 25 / 64
ri
rO
O1
r′iO
S0
b i
FEi
FIij
S2
Buscamos una relacion
MEO =
N∑
i=1
r′i ∧mi rMi21 ←→ H21
O
Momento cinetico absoluto en punto movil
Manuel Ruiz - Mecanica I 25 / 64
ri
rO
O1
r′iO
S0
b i
FEi
FIij
S2
Buscamos una relacion
MEO =
N∑
i=1
r′i ∧mi rMi21 ←→ H21
O
Por campo de momentos, MEO1
= MEO + rO ∧RE
Momento cinetico absoluto en punto movil
Manuel Ruiz - Mecanica I 25 / 64
ri
rO
O1
r′iO
S0
b i
FEi
FIij
S2
Buscamos una relacion
MEO =
N∑
i=1
r′i ∧mi rMi21 ←→ H21
O
Por campo de momentos, MEO1
= MEO + rO ∧RE
Partimos de la ecuacion del MC en el punto fijo O1, y sustituimos ri = r′i + rO :
H21O1
=d
dt
∑[(r′i + rO
)∧mi ri
]=
=d
dt
∑
r′i ∧mi ri︸ ︷︷ ︸
H21
O
+ rO ∧∑
mi ri︸ ︷︷ ︸
vO01∧M vG
21
+ rO ∧∑
mi ri︸ ︷︷ ︸
rO∧RE
Momento cinetico absoluto en punto movil
Manuel Ruiz - Mecanica I 25 / 64
ri
rO
O1
r′iO
S0
b i
FEi
FIij
S2
Buscamos una relacion
MEO =
N∑
i=1
r′i ∧mi rMi21 ←→ H21
O
Por campo de momentos, MEO1
= MEO + rO ∧RE
Partimos de la ecuacion del MC en el punto fijo O1, y sustituimos ri = r′i + rO :
H21O1
=d
dt
∑[(r′i + rO
)∧mi ri
]=
=d
dt
∑
r′i ∧mi ri︸ ︷︷ ︸
H21
O
+ rO ∧∑
mi ri︸ ︷︷ ︸
vO01∧M vG
21
+ rO ∧∑
mi ri︸ ︷︷ ︸
rO∧RE
Momento cinetico absoluto en punto movil
Manuel Ruiz - Mecanica I 25 / 64
ri
rO
O1
r′iO
S0
b i
FEi
FIij
S2
Buscamos una relacion
MEO =
N∑
i=1
r′i ∧mi rMi21 ←→ H21
O
Por campo de momentos, MEO1
= MEO + rO ∧RE
Partimos de la ecuacion del MC en el punto fijo O1, y sustituimos ri = r′i + rO :
H21O1
=d
dt
∑[(r′i + rO
)∧mi ri
]=
=d
dt
∑
r′i ∧mi ri︸ ︷︷ ︸
H21
O
+ rO ∧∑
mi ri︸ ︷︷ ︸
vO01∧M vG
21
+ rO ∧∑
mi ri︸ ︷︷ ︸
rO∧RE
como MEO1
= H21O1
→ MEO = H21
O + vO01 ∧M vG
21
Por ser O movil, aparece un termino corrector.
Momento cinetico relativo en punto movil
Manuel Ruiz - Mecanica I 26 / 64
ri
rO
O1
r′iO
S0
b i
FEi
FIij
S2En la ecuacion del MC absoluto en punto movil,
MEO = H21
O + vO01 ∧M vG
21
Momento cinetico relativo en punto movil
Manuel Ruiz - Mecanica I 26 / 64
ri
rO
O1
r′iO
S0
b i
FEi
FIij
S2En la ecuacion del MC absoluto en punto movil,
MEO = H21
O + vO01 ∧M vG
21
aplicamos composicion de movimientos
H21O = H20
O + H01O
Momento cinetico relativo en punto movil
Manuel Ruiz - Mecanica I 26 / 64
ri
rO
O1
r′iO
S0
b i
FEi
FIij
S2En la ecuacion del MC absoluto en punto movil,
MEO = H21
O + vO01 ∧M vG
21
aplicamos composicion de movimientos
H21O = H20
O + H01O
La derivada del momento cinetico de arrastre vale:
H01O =
d
dt
∑
r′i ∧mi vO01 =
∑
mi vMi20 ∧ vO
01 +∑
mi r′i ∧ vO
01 =
=∑
mi
(
vMi20 + vO
01
)
∧ vO01 +MOG ∧ vO
01 =M vG21 ∧ vO
01 +MOG ∧ vO01
Momento cinetico relativo en punto movil
Manuel Ruiz - Mecanica I 26 / 64
ri
rO
O1
r′iO
S0
b i
FEi
FIij
S2En la ecuacion del MC absoluto en punto movil,
MEO = H21
O + vO01 ∧M vG
21
aplicamos composicion de movimientos
H21O = H20
O + H01O
La derivada del momento cinetico de arrastre vale:
H01O =
d
dt
∑
r′i ∧mi vO01 =
∑
mi vMi20 ∧ vO
01 +∑
mi r′i ∧ vO
01 =
=∑
mi
(
vMi20 + vO
01
)
∧ vO01 +MOG ∧ vO
01 =M vG21 ∧ vO
01 +MOG ∧ vO01
Sustituyendo, tenemos la ecuacion del MC relativo en punto movil; tambienaparece un termino corrector, pero distinto:
MEO = H20
O +MOG ∧ vO01
Ecuacion de la energıa
Manuel Ruiz - Mecanica I 27 / 64
drj
dri
b
b
j
i
FEi
FIij
FIji
Otra manera de obtener combinaciones de las ecuaciones de CM esdar un desplazamiento a cada partıcula y multiplicar escalarmente:
N∑
i=1
dri ·
[
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij = mi ri
]
Ecuacion de la energıa
Manuel Ruiz - Mecanica I 27 / 64
drj
dri
b
b
j
i
FEi
FIij
FIji
Otra manera de obtener combinaciones de las ecuaciones de CM esdar un desplazamiento a cada partıcula y multiplicar escalarmente:
N∑
i=1
dri ·
[
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij = mi ri
]
Por definicion, el termino de la izquierda es el trabajo elemental de las fuerzas:
N∑
i=1
dri ·
[
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij
]
= δWE + δW I
Ecuacion de la energıa
Manuel Ruiz - Mecanica I 27 / 64
drj
dri
b
b
j
i
FEi
FIij
FIji
Otra manera de obtener combinaciones de las ecuaciones de CM esdar un desplazamiento a cada partıcula y multiplicar escalarmente:
N∑
i=1
dri ·
[
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij = mi ri
]
Por definicion, el termino de la izquierda es el trabajo elemental de las fuerzas:
N∑
i=1
dri ·
[
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij
]
= δWE + δW I
El de la derecha se puede relacionar con la energıa cinetica:
midvi
dt· dri = mi dvi
dridt
= mi dvi vi =1
2mi d
(v2i
)= dTi
Ecuacion de la energıa
Manuel Ruiz - Mecanica I 27 / 64
drj
dri
b
b
j
i
FEi
FIij
FIji
Otra manera de obtener combinaciones de las ecuaciones de CM esdar un desplazamiento a cada partıcula y multiplicar escalarmente:
N∑
i=1
dri ·
[
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij = mi ri
]
Por definicion, el termino de la izquierda es el trabajo elemental de las fuerzas:
N∑
i=1
dri ·
[
FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij
]
= δWE + δW I
El de la derecha se puede relacionar con la energıa cinetica:
midvi
dt· dri = mi dvi
dridt
= mi dvi vi =1
2mi d
(v2i
)= dTi
Se obtiene la Ecuacion de la energıa: δWE + δW I = dT
Integral de la energıa
Manuel Ruiz - Mecanica I 28 / 64
Se ha obtenido la ecuacion de la energıa en forma diferencial:
δWE + δW I = dT
Integral de la energıa
Manuel Ruiz - Mecanica I 28 / 64
Se ha obtenido la ecuacion de la energıa en forma diferencial:
δWE + δW I = dT
Se puede expresar como derivada (potencia) o como integral (trabajo finito):
WE + W I = T
∫ 2
1δWE +
∫ 2
1δW I = T2 − T1
Integral de la energıa
Manuel Ruiz - Mecanica I 28 / 64
Se ha obtenido la ecuacion de la energıa en forma diferencial:
δWE + δW I = dT
Se puede expresar como derivada (potencia) o como integral (trabajo finito):
WE + W I = T
∫ 2
1δWE +
∫ 2
1δW I = T2 − T1
En general, δW no es una diferencial exacta. Lo es si las fuerzas derivan de unpotencial. Entonces, la ecuacion de la energıa se integra directamente para obtenerla integral de la energıa:
δW = −dV = dT ⇒ T + V E + V I = E
donde la constante E es la energıa mecanica del sistema.
Integral de la energıa
Manuel Ruiz - Mecanica I 28 / 64
Se ha obtenido la ecuacion de la energıa en forma diferencial:
δWE + δW I = dT
Se puede expresar como derivada (potencia) o como integral (trabajo finito):
WE + W I = T
∫ 2
1δWE +
∫ 2
1δW I = T2 − T1
En general, δW no es una diferencial exacta. Lo es si las fuerzas derivan de unpotencial. Entonces, la ecuacion de la energıa se integra directamente para obtenerla integral de la energıa:
δW = −dV = dT ⇒ T + V E + V I = E
donde la constante E es la energıa mecanica del sistema.
De las ecuaciones globales (CM, MC, EN), solo la de la energıa recoge elefecto de las fuerzas interiores.
Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas
Manuel Ruiz - Mecanica I 29 / 64
O1
S2
i
Tenemos la ecuacion de la energıa en ejes inerciales:
δWE21 + δW I
21 = dT21
Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas
Manuel Ruiz - Mecanica I 29 / 64
O1
G
S0
S2
i
Tenemos la ecuacion de la energıa en ejes inerciales:
δWE21 + δW I
21 = dT21
Podemos plantearla respecto a unos ejes S0 paralelos a los fijos(ω01 = 0) con origen en el centro de masas del sistema G:
N∑
i=1
drMi20 ·
(FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij
)=
N∑
i=1
mi vMi21 · dr
Mi20
Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas
Manuel Ruiz - Mecanica I 29 / 64
O1
G
S0
S2
i
Tenemos la ecuacion de la energıa en ejes inerciales:
δWE21 + δW I
21 = dT21
Podemos plantearla respecto a unos ejes S0 paralelos a los fijos(ω01 = 0) con origen en el centro de masas del sistema G:
N∑
i=1
drMi20 ·
(FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij
)=
N∑
i=1
mi vMi21 · dr
Mi20
Por definicion,∑N
i=1 drMi20 ·
(FEi +
∑Nj=1
j 6=iFIij
)= δWE
20 + δW I20
Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas
Manuel Ruiz - Mecanica I 29 / 64
O1
G
S0
S2
i
Tenemos la ecuacion de la energıa en ejes inerciales:
δWE21 + δW I
21 = dT21
Podemos plantearla respecto a unos ejes S0 paralelos a los fijos(ω01 = 0) con origen en el centro de masas del sistema G:
N∑
i=1
drMi20 ·
(FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij
)=
N∑
i=1
mi vMi21 · dr
Mi20
Por definicion,∑N
i=1 drMi20 ·
(FEi +
∑Nj=1
j 6=iFIij
)= δWE
20 + δW I20
Por composicion de aceleraciones, vMi21 = v
Mi20 + v
Mi01 + 2ω01 ∧ v
Mi20
Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas
Manuel Ruiz - Mecanica I 29 / 64
O1
G
S0
S2
i
Tenemos la ecuacion de la energıa en ejes inerciales:
δWE21 + δW I
21 = dT21
Podemos plantearla respecto a unos ejes S0 paralelos a los fijos(ω01 = 0) con origen en el centro de masas del sistema G:
N∑
i=1
drMi20 ·
(FEi +
N∑
j=1
j 6=i
FIij
)=
N∑
i=1
mi vMi21 · dr
Mi20
Por definicion,∑N
i=1 drMi20 ·
(FEi +
∑Nj=1
j 6=iFIij
)= δWE
20 + δW I20
Por composicion de aceleraciones, vMi21 = v
Mi20 + v
Mi01 + 2ω01 ∧ v
Mi20
Podemos sustituir en el termino de la derecha y aplicar dadt db = dadb
dt :
N∑
i=1
mi
(
vMi20 + v
Mi01
)
· drMi20 =
N∑
i=1
mi
(
dvMi20 + dvMi
01
)
· vMi20
Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas
Manuel Ruiz - Mecanica I 30 / 64
O1
G
S0
S2
i
δWE20 + δW I
20 =N∑
i=1
mi
(
dvMi20 + dvMi
01
)
· vMi20
Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas
Manuel Ruiz - Mecanica I 30 / 64
O1
G
S0
S2
i
δWE20 + δW I
20 =N∑
i=1
mi
(
dvMi20 + dvMi
01
)
· vMi20
El movimiento de arrastre es una traslacion: vMi01 = vG
01:
N∑
i=1
mi dvMi01 · v
Mi20 = dvG
01 ·
N∑
i=1
mi vMi20 = dvG
01 ·M
G≡G
vG20 = 0
Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas
Manuel Ruiz - Mecanica I 30 / 64
O1
G
S0
S2
i
δWE20 + δW I
20 =N∑
i=1
mi
(
dvMi20 + dvMi
01
)
· vMi20
El movimiento de arrastre es una traslacion: vMi01 = vG
01:
N∑
i=1
mi dvMi01 · v
Mi20 = dvG
01 ·
N∑
i=1
mi vMi20 = dvG
01 ·M
G≡G
vG20 = 0
Solo quedaN∑
i=1
mi dvMi20 · v
Mi20 =
N∑
i=1
1
2mi d
(
vMi20
)2= dT20
Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas
Manuel Ruiz - Mecanica I 30 / 64
O1
G
S0
S2
i
δWE20 + δW I
20 =N∑
i=1
mi
(
dvMi20 + dvMi
01
)
· vMi20
El movimiento de arrastre es una traslacion: vMi01 = vG
01:
N∑
i=1
mi dvMi01 · v
Mi20 = dvG
01 ·
N∑
i=1
mi vMi20 = dvG
01 ·M
G≡G
vG20 = 0
Solo quedaN∑
i=1
mi dvMi20 · v
Mi20 =
N∑
i=1
1
2mi d
(
vMi20
)2= dT20
Podemos ya plantear la ecuacion de la energıa respecto al centro de masas:
δWE20 + δW I
20 = dT20
Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas
Manuel Ruiz - Mecanica I 30 / 64
O1
G
S0
S2
i
δWE20 + δW I
20 =N∑
i=1
mi
(
dvMi20 + dvMi
01
)
· vMi20
El movimiento de arrastre es una traslacion: vMi01 = vG
01:
N∑
i=1
mi dvMi01 · v
Mi20 = dvG
01 ·
N∑
i=1
mi vMi20 = dvG
01 ·M
G≡G
vG20 = 0
Solo quedaN∑
i=1
mi dvMi20 · v
Mi20 =
N∑
i=1
1
2mi d
(
vMi20
)2= dT20
Podemos ya plantear la ecuacion de la energıa respecto al centro de masas:
δWE20 + δW I
20 = dT20
Respecto al centro de masas: respecto a unos ejes paralelos a los fijos con origenen el centro de masas del sistema.
7 Ecuaciones generales de los sistemas
Manuel Ruiz - Mecanica I 31 / 64
Hemos visto siete ecuaciones globales de los sistemas:
CM RE =M rG 3
MCa MEO1= H21
O1
3MCb MEO = H21
O + vO01 ∧M vG
21
MCc MEO = H20
O +MOG ∧ vO01
ENa δWE21 + δW I
21 = dT21 1ENb δWE
20 + δW I20 = dT20
7 Ecuaciones generales de los sistemas
Manuel Ruiz - Mecanica I 31 / 64
Hemos visto siete ecuaciones globales de los sistemas:
CM RE =M rG 3
MCa MEO1= H21
O1
3MCb MEO = H21
O + vO01 ∧M vG
21
MCc MEO = H20
O +MOG ∧ vO01
ENa δWE21 + δW I
21 = dT21 1ENb δWE
20 + δW I20 = dT20
Las tres formas de MC y dos de EN no son independientes:
MCb = f (CM,MCa)
MCc = f (CM,MCa)ENb = f (CM,ENa)
7 Ecuaciones generales de los sistemas
Manuel Ruiz - Mecanica I 31 / 64
Hemos visto siete ecuaciones globales de los sistemas:
CM RE =M rG 3
MCa MEO1= H21
O1
3MCb MEO = H21
O + vO01 ∧M vG
21
MCc MEO = H20
O +MOG ∧ vO01
ENa δWE21 + δW I
21 = dT21 1ENb δWE
20 + δW I20 = dT20
Las tres formas de MC y dos de EN no son independientes:
MCb = f (CM,MCa)
MCc = f (CM,MCa)ENb = f (CM,ENa)
Toda la informacion esta en las 3N ecuaciones de las partıculas.
Las 7 globales pueden ser mas sencillas o convenientes.
Si no son suficientes, se divide el sistema
Principio de corte de Euler-Cauchy
Manuel Ruiz - Mecanica I 32 / 64
Considerando el sistema completo, lasfuerzas internas no aparecen en las ecua-ciones de CM ni MC:
Fij = −Fji
al sumar para todo el sistema se anulala resultante (3a ley debil) y el momentoresultante (3a ley fuerte).
Si se necesitan mas de las 7 ecuaciones ge-nerales, se puede dividir el sistema en par-tes, pero entonces las fuerzas internas en-tre partıculas de ambas partes deben con-tarse como exteriores.
ij
k
ij
k
Manuel Ruiz - Mecanica I 33 / 64
Trabajo y Potencial
Trabajo elementalTrabajo finitoCalculo del trabajo: Caso F(r, r, t)Calculo del trabajo: Caso F(r)Calculo del trabajo: fuerzas conservativasPropiedades del potencialCalculo del potencial: EDPCalculo del potencial: integracionPotenciales simples: peso-centrifuga-muelle-gravedadPotencial de un par de fuerzasEnergıa potencial - Potencial de un campoTrabajo de un par de fuerzasTrabajo sobre un solidoPotenciales no estacionariosEjemplo: potencial de un solido
Trabajo elemental
Manuel Ruiz - Mecanica I 34 / 64
bdr
F
α
M
b
Una partıculaM esta sometida a una fuerza F. Se le da a la partıcu-la un desplazamiento diferencial dr. Se llama trabajo elemental alproducto escalar de la fuerza por el desplazamiento:
δW = F · dr = |F| · |dr| cosα
Trabajo elemental
Manuel Ruiz - Mecanica I 34 / 64
bdr
F
α
M
bdr
F
α
M
Una partıculaM esta sometida a una fuerza F. Se le da a la partıcu-la un desplazamiento diferencial dr. Se llama trabajo elemental alproducto escalar de la fuerza por el desplazamiento:
δW = F · dr = |F| · |dr| cosα
El trabajo elemental es positivo (motor), nulo (⊥) o negativo (re-sistente) segun el angulo de la fuerza con el vector desplazamiento(S π/2)
Trabajo elemental
Manuel Ruiz - Mecanica I 34 / 64
bdr
F
α
M
bdr
F
α
M
Una partıculaM esta sometida a una fuerza F. Se le da a la partıcu-la un desplazamiento diferencial dr. Se llama trabajo elemental alproducto escalar de la fuerza por el desplazamiento:
δW = F · dr = |F| · |dr| cosα
El trabajo elemental es positivo (motor), nulo (⊥) o negativo (re-sistente) segun el angulo de la fuerza con el vector desplazamiento(S π/2)
El trabajo es aditivo respecto a la fuerza y respecto al desplazamiento:
δW =∑
δW i = (F1 + · · ·+ Fn) · dr
δW =∑
δW i = F · (dr1 + · · ·+ drn)
por ser distributivo el producto escalar respecto a la suma de vectores.Se usa δ porque, en general, δW no es la diferencial de una funcion.
Trabajo finito
Manuel Ruiz - Mecanica I 35 / 64
O
r1r2
b
b
MC
F
Una partıcula M se mueve a lo largo de la trayectoria Cdesde el punto r1 al r2 sometida a la fuerza F.Se llama trabajo de la fuerza F en ese desplazamiento a laintegral de lınea
W12 =
∮ r2
r1
F · dr =
∮ r2
r1
(Fxdx+ Fydy + Fzdz)
calculada a lo largo de la curva C.
Trabajo finito
Manuel Ruiz - Mecanica I 35 / 64
O
r1r2
b
b
MC
F
Una partıcula M se mueve a lo largo de la trayectoria Cdesde el punto r1 al r2 sometida a la fuerza F.Se llama trabajo de la fuerza F en ese desplazamiento a laintegral de lınea
W12 =
∮ r2
r1
F · dr =
∮ r2
r1
(Fxdx+ Fydy + Fzdz)
calculada a lo largo de la curva C.
Para calcular el trabajo, hay que conocer F y dr como funciones del mismoparametro:
∮ r2
r1
F · dr =
∮ r2(u)
r1(u)F(u) · r′(u)du =
∫ u2
u1
f(u) du
En general, esto solo se conoce una vez resuelto el problema, por lo que estaecuacion no es muy util al principio.
Calculo del trabajo: Caso F(r, r, t)
Manuel Ruiz - Mecanica I 36 / 64
En el caso mas general, la fuerza depende de la posicion, la velocidad y eltiempo: F(r, r, t) . Para calcular el trabajo necesitamos conocerlos los tres enfuncion del mismo parametro.
Calculo del trabajo: Caso F(r, r, t)
Manuel Ruiz - Mecanica I 36 / 64
En el caso mas general, la fuerza depende de la posicion, la velocidad y eltiempo: F(r, r, t) . Para calcular el trabajo necesitamos conocerlos los tres enfuncion del mismo parametro.
Lo normal es que el parametro sea el tiempo: necesitamos las ecuacioneshorarias r = r(t) ; es decir, solo podemos calcular el trabajo cuando elproblema esta completamente resuelto.
Calculo del trabajo: Caso F(r, r, t)
Manuel Ruiz - Mecanica I 36 / 64
En el caso mas general, la fuerza depende de la posicion, la velocidad y eltiempo: F(r, r, t) . Para calcular el trabajo necesitamos conocerlos los tres enfuncion del mismo parametro.
Lo normal es que el parametro sea el tiempo: necesitamos las ecuacioneshorarias r = r(t) ; es decir, solo podemos calcular el trabajo cuando elproblema esta completamente resuelto.
Conocidas las ecuaciones horarias se calcula el trabajo:
∮ r2(t)
r1(t)F [r(t), r(t), t] · r(t)dt =
∫ t2
t1
f(t) dt =W (t1, t2)
Calculo del trabajo: Caso F(r, r, t)
Manuel Ruiz - Mecanica I 36 / 64
En el caso mas general, la fuerza depende de la posicion, la velocidad y eltiempo: F(r, r, t) . Para calcular el trabajo necesitamos conocerlos los tres enfuncion del mismo parametro.
Lo normal es que el parametro sea el tiempo: necesitamos las ecuacioneshorarias r = r(t) ; es decir, solo podemos calcular el trabajo cuando elproblema esta completamente resuelto.
Conocidas las ecuaciones horarias se calcula el trabajo:
∮ r2(t)
r1(t)F [r(t), r(t), t] · r(t)dt =
∫ t2
t1
f(t) dt =W (t1, t2)
Obviamente, en el caso general esta ecuacion no es muy util para resolver elproblema directo, porque para calcularla hay que tenerlo ya resuelto.
Calculo del trabajo: Caso F(r)
Manuel Ruiz - Mecanica I 37 / 64
Si la fuerza depende solo de la posicion, F(r) , solo necesitamos conocer latrayectoria C sin referencia al tiempo.
Calculo del trabajo: Caso F(r)
Manuel Ruiz - Mecanica I 37 / 64
Si la fuerza depende solo de la posicion, F(r) , solo necesitamos conocer latrayectoria C sin referencia al tiempo.
Lo mas comodo es conocer las ecuaciones parametricas de la trayectoria,r(u). No es necesario que el parametro sea el tiempo ni el parametro naturallongitud de arco.
Calculo del trabajo: Caso F(r)
Manuel Ruiz - Mecanica I 37 / 64
Si la fuerza depende solo de la posicion, F(r) , solo necesitamos conocer latrayectoria C sin referencia al tiempo.
Lo mas comodo es conocer las ecuaciones parametricas de la trayectoria,r(u). No es necesario que el parametro sea el tiempo ni el parametro naturallongitud de arco.
Conocidas las ecuaciones parametricas se calcula el trabajo:
∮ r2(u)
r1(u)F(u) · r′(u)du =
∫ u2
u1
f(u) du
Calculo del trabajo: Caso F(r)
Manuel Ruiz - Mecanica I 37 / 64
Si la fuerza depende solo de la posicion, F(r) , solo necesitamos conocer latrayectoria C sin referencia al tiempo.
Lo mas comodo es conocer las ecuaciones parametricas de la trayectoria,r(u). No es necesario que el parametro sea el tiempo ni el parametro naturallongitud de arco.
Conocidas las ecuaciones parametricas se calcula el trabajo:
∮ r2(u)
r1(u)F(u) · r′(u)du =
∫ u2
u1
f(u) du
Esta ecuacion es algo mas util que la anterior: la velocidad con que serecorra, o el momento en que se pase por cada punto no influyen en eltrabajo. Hay movimientos en que es facil calcular la trayectoria pero no lasecuaciones horarias (orbitas keplerianas, por ejemplo).
Calculo del trabajo: fuerzas conservativas
Manuel Ruiz - Mecanica I 38 / 64
El trabajo elemental es la diferencial exacta de una funcion si la fuerza esconservativa, es decir:
Calculo del trabajo: fuerzas conservativas
Manuel Ruiz - Mecanica I 38 / 64
El trabajo elemental es la diferencial exacta de una funcion si la fuerza esconservativa, es decir:
La fuerza es el gradiente de una funcion escalar de la posicion:
F (r) = −∇V (r) = −
[∂V
∂x,∂V
∂y,∂V
∂z
]
Se dicen entonces que la fuerza deriva de un potencial V (r).
Calculo del trabajo: fuerzas conservativas
Manuel Ruiz - Mecanica I 38 / 64
El trabajo elemental es la diferencial exacta de una funcion si la fuerza esconservativa, es decir:
La fuerza es el gradiente de una funcion escalar de la posicion:
F (r) = −∇V (r) = −
[∂V
∂x,∂V
∂y,∂V
∂z
]
Se dicen entonces que la fuerza deriva de un potencial V (r).
El trabajo depende de los puntos inicial y final, pero no del camino recorrido:
W 12 =W 12 (r1, r2) = −V (r2) + V (r1)
Calculo del trabajo: fuerzas conservativas
Manuel Ruiz - Mecanica I 38 / 64
El trabajo elemental es la diferencial exacta de una funcion si la fuerza esconservativa, es decir:
La fuerza es el gradiente de una funcion escalar de la posicion:
F (r) = −∇V (r) = −
[∂V
∂x,∂V
∂y,∂V
∂z
]
Se dicen entonces que la fuerza deriva de un potencial V (r).
El trabajo depende de los puntos inicial y final, pero no del camino recorrido:
W 12 =W 12 (r1, r2) = −V (r2) + V (r1)
El campo de fuerzas es irrotacional:
∇∧ F =
∣∣∣∣∣∣
i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
Fx Fy Fz
∣∣∣∣∣∣
= 0
Calculo del trabajo: fuerzas conservativas
Manuel Ruiz - Mecanica I 39 / 64
Las tres condiciones son equivalentes (⇔):
F (r) = −∇V (r) ⇒ δW = −
∫ r2
r1
[∂V
∂x,∂V
∂y,∂V
∂z
]
· dr =
= −
∫ r2
r1
(∂V
∂xdx+
∂V
∂ydy +
∂V
∂zdz
)
= −
∫ r2
r1
dV = V (r1)− V (r2)
Calculo del trabajo: fuerzas conservativas
Manuel Ruiz - Mecanica I 39 / 64
Las tres condiciones son equivalentes (⇔):
F (r) = −∇V (r) ⇒ δW = −
∫ r2
r1
[∂V
∂x,∂V
∂y,∂V
∂z
]
· dr =
= −
∫ r2
r1
(∂V
∂xdx+
∂V
∂ydy +
∂V
∂zdz
)
= −
∫ r2
r1
dV = V (r1)− V (r2)
O bien
∇∧ F =
∣∣∣∣∣∣
i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
Fx Fy Fz
∣∣∣∣∣∣
=
∂Fz∂y −
∂Fy
∂z
∂Fx∂z −
∂Fz∂x
∂Fy
∂x −∂Fx∂y
= −
∂2V∂z∂y −
∂2V∂y∂z
∂2V∂x∂z −
∂2V∂z∂x
∂2V∂y∂x −
∂2V∂x∂y
= 0
que resulta ser la igualdad de derivadas cruzadas; y ası hasta las seisdemostraciones. . .
Propiedades del potencial
Manuel Ruiz - Mecanica I 40 / 64
El trabajo de una fuerza conservativa en una curva cerrada es nulo:
W 11 = V (r1)− V (r1) = 0
Propiedades del potencial
Manuel Ruiz - Mecanica I 40 / 64
El trabajo de una fuerza conservativa en una curva cerrada es nulo:
W 11 = V (r1)− V (r1) = 0
La funcion potencial esta definida ± una constante arbitraria:
V = V (x, y, z) + Cte.
que no influye para nada porque se usa la derivada o el incremento:
F = −∇V W 12 = V (r1)− V (r2) +C − C
Propiedades del potencial
Manuel Ruiz - Mecanica I 40 / 64
El trabajo de una fuerza conservativa en una curva cerrada es nulo:
W 11 = V (r1)− V (r1) = 0
La funcion potencial esta definida ± una constante arbitraria:
V = V (x, y, z) + Cte.
que no influye para nada porque se usa la derivada o el incremento:
F = −∇V W 12 = V (r1)− V (r2) +C − C
A veces se usa la funcion de fuerzas, que es la misma funcion potencial con elsigno cambiado:
F = −∇V = +∇U
Se usa en mecanica orbital y geofısica, mientras que el potencial se usa enmecanica general.
Propiedades del potencial
Manuel Ruiz - Mecanica I 41 / 64
C1
C2
C3
∇V
dr
La funcion potencial esta definida mas/menos una cons-tante arbitraria:
V = V (r)± Cte.
Dando valores a la constante, se tiene una familia de su-perficies
fi ≡ V (r) = Ci i = 1, · · · , n
en las que la funcion potencial es constante: las superficiesequipotenciales.
La fuerza es normal a la superficie equipotencial que pasa por ese punto:
F = −∇V ‖ n
Al moverse por la superficie equipotencial, el trabajo es nulo:
dW =⊥
F · dr = 0
Calculo del potencial: EDP
Manuel Ruiz - Mecanica I 42 / 64
Dos caminos:
Sistema de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (EDP).
Integrar el trabajo entre un punto fijo arbitrario y otro generico.
Calculo del potencial: EDP
Manuel Ruiz - Mecanica I 42 / 64
Dos caminos:
Sistema de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (EDP).
Integrar el trabajo entre un punto fijo arbitrario y otro generico.
El primer metodo puede ser el mas sencillo si se aprovechan las simetrıas de lafuerza:
Cartesianas: F(x, y, z) = −∇V (x, y, z) =
[∂V
∂x,∂V
∂y,∂V
∂z
]
Cilındricas: F(r, θ, z) = −∇V (r, θ, z) =
[∂V
∂r,1
r
∂V
∂θ,∂V
∂z
]
Esfericas: F(r, θ, φ) = −∇V (r, θ, φ) =
[∂V
∂r,
1
r cosφ
∂V
∂y,1
r
∂V
∂φ
]
Hay que tener cuidado con la definicion de las esfericas: latitud desde el ecuador φo colatitud desde el polo ϕ = π
2 − φ.
Calculo del potencial: integracion
Manuel Ruiz - Mecanica I 43 / 64
Para fuerzas conservativas, el trabajo solo depende del punto inicial y final, no delcamino. Se puede calcular el potencial integrando el trabajo de la fuerza entre unpunto fijo r0 y otro generico r :
x
y
z
b
b
r0
r
W (r0, r) = V (r0)− V (r) ⇒
⇒ V (x, y, z) = −W (r0, r) + V (r0)
Calculo del potencial: integracion
Manuel Ruiz - Mecanica I 43 / 64
Para fuerzas conservativas, el trabajo solo depende del punto inicial y final, no delcamino. Se puede calcular el potencial integrando el trabajo de la fuerza entre unpunto fijo r0 y otro generico r :
x
y
z
b
b
r0
r
W (r0, r) = V (r0)− V (r) ⇒
⇒ V (x, y, z) = −W (r0, r) + V (r0)
Como es independiente del camino, se busca el mas sencillo:
W (r0, r) =
∫ x,y,z
x0,y0,z0
F · dr =
=
∫ x,y0,z0
x0,y0,z0
Fx(ξ, y0, z0) dξ +
∫ x,y,z0
x,y0,z0
Fy(x, η, z0) dη +
∫ x,y,z
x,y,z0
Fz(x, y, ζ) dζ =
= −V (r) + V (r0) = −V (x, y, z) + C
Potenciales simples: peso
Manuel Ruiz - Mecanica I 44 / 64
xy
z
bM
mg
O
Cerca de la superficie, la gravedad se puede considerar cons-tante y vertical descendente:
F = −mg k = −∇V (r)
Es trivial calcular el rotacional ∇ ∧ F y comprobar que esnulo, o ver que las derivadas cruzadas son todas nulas.
Potenciales simples: peso
Manuel Ruiz - Mecanica I 44 / 64
xy
z
bM
mg
O
Cerca de la superficie, la gravedad se puede considerar cons-tante y vertical descendente:
F = −mg k = −∇V (r)
Es trivial calcular el rotacional ∇ ∧ F y comprobar que esnulo, o ver que las derivadas cruzadas son todas nulas.
El sistema de EDP en cartesianas es trivial:
−∂V
∂x= 0
−∂V
∂y= 0
−∂V
∂z= −mg
⇒ V = V (z) = mg z + C
Potenciales simples: fuerza centrıfuga
Manuel Ruiz - Mecanica I 45 / 64
xy
z
bM
ω
Fc
O
Suponemos un sistema de referencia que gira alrededor deleje Oz con velocidad angular ω. La fuerza centrıfuga tienela forma:
Fc = mω2 (x i+ y j) = −∇V (r)
Por derivadas cruzadas, se ve que es potencial: ∂Fx∂y =
∂Fy
∂z
Potenciales simples: fuerza centrıfuga
Manuel Ruiz - Mecanica I 45 / 64
xy
z
bM
ω
Fc
O
Suponemos un sistema de referencia que gira alrededor deleje Oz con velocidad angular ω. La fuerza centrıfuga tienela forma:
Fc = mω2 (x i+ y j) = −∇V (r)
Por derivadas cruzadas, se ve que es potencial: ∂Fx∂y =
∂Fy
∂z
El sistema de EDP en cartesianas es bastante simple:
−∂V
∂x= mω2 x
−∂V
∂y= mω2 y
−∂V
∂z= 0
⇒ V = f1(x) + f2(y) =
= −1
2mω2
(x2 + y2
)+ C
Potenciales simples: fuerza centrıfuga
Manuel Ruiz - Mecanica I 46 / 64
x
y
z
bM
ω
Fc
θ
r
O
La fuerza centrıfuga es mucho mas simple si se aprovechala simetrıa axial: se toman coordenadas cilındricas de eje elde revolucion:
Fc = mω2 r ur = −∇V (r, θ, z)
Potenciales simples: fuerza centrıfuga
Manuel Ruiz - Mecanica I 46 / 64
x
y
z
bM
ω
Fc
θ
r
O
La fuerza centrıfuga es mucho mas simple si se aprovechala simetrıa axial: se toman coordenadas cilındricas de eje elde revolucion:
Fc = mω2 r ur = −∇V (r, θ, z)
El sistema de EDP en cilındricas es trivial:
−∂V
∂r= mω2 r
−1
r
∂V
∂θ= 0
−∂V
∂z= 0
⇒ V = V (r) = −1
2mω2 r2 + C
Potenciales simples: muelle
Manuel Ruiz - Mecanica I 47 / 64
x
y
z
b
bM
FO
Se tiene un muelle ideal de longitud nula, con un extremofijo en el origen:
F = −kOM = −k (x, y, z) = −∇V (x, y, z)
Es obvio que la fuerza es potencial, porque todas las deri-vadas cruzadas son nulas.
Potenciales simples: muelle
Manuel Ruiz - Mecanica I 47 / 64
x
y
z
b
bM
FO
Se tiene un muelle ideal de longitud nula, con un extremofijo en el origen:
F = −kOM = −k (x, y, z) = −∇V (x, y, z)
Es obvio que la fuerza es potencial, porque todas las deri-vadas cruzadas son nulas.
Como la fuerza es lineal, el sistema de EDP en cartesianas es relativamente sencillo:
−∂V
∂x= −k x
−∂V
∂y= −k y
−∂V
∂z= −k z
⇒
V = f1(x) + f2(y) + f3(z) =
=1
2k(x2 + y2 + z2
)+ C =
=1
2kOM2 + C
Potenciales simples: muelle
Manuel Ruiz - Mecanica I 48 / 64
x
y
z
b
b
θ
φ
M
FO
La fuerza de un muelle con un extremo fijo en el origentiene simetrıa central, por lo que lo mas simple es tomarcoordenadas esfericas:
F = −kOM = −k r ur = −∇V (r, θ, φ)
Potenciales simples: muelle
Manuel Ruiz - Mecanica I 48 / 64
x
y
z
b
b
θ
φ
M
FO
La fuerza de un muelle con un extremo fijo en el origentiene simetrıa central, por lo que lo mas simple es tomarcoordenadas esfericas:
F = −kOM = −k r ur = −∇V (r, θ, φ)
El sistema de EDP en esfericas es trivial:
−∂V
∂r= −k r
−1
r cosφ
∂V
∂θ= 0
−1
r
∂V
∂φ= 0
⇒ V = f(r) =1
2k r2 + C
Potenciales simples: gravitacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 49 / 64
x
y
z
b
b
m2
Fm1
Lejos de la superficie de la tierra, hay que usar la expresiongeneral de la gravitacion. Tomando origen en una de lasmasas, m1, la fuerza que actua sobre la otra es:
F = −Gm1m2
(x2 + y2 + z2)3/2
xyz
= −∇V (x, y, z)
Potenciales simples: gravitacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 49 / 64
x
y
z
b
b
m2
Fm1
Lejos de la superficie de la tierra, hay que usar la expresiongeneral de la gravitacion. Tomando origen en una de lasmasas, m1, la fuerza que actua sobre la otra es:
F = −Gm1m2
(x2 + y2 + z2)3/2
xyz
= −∇V (x, y, z)
La fuerza es no lineal, y el sistema de EDP en cartesianas no parece simple:
−∂V
∂x= − Gm1m2
(x2+y2+z2)3/2x
−∂V
∂y= − Gm1m2
(x2+y2+z2)3/2y
−∂V
∂z= − Gm1m2
(x2+y2+z2)3/2z
Potenciales simples: gravitacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 50 / 64
x
y
z
b
b
θ
φ
m2
Fm1
Parece conveniente aprovechar la simetrıa central, y usarcoordenadas esfericas:
F = −Gm1m2
r2ur = −∇V (r, θ, φ)
Potenciales simples: gravitacion
Manuel Ruiz - Mecanica I 50 / 64
x
y
z
b
b
θ
φ
m2
Fm1
Parece conveniente aprovechar la simetrıa central, y usarcoordenadas esfericas:
F = −Gm1m2
r2ur = −∇V (r, θ, φ)
El sistema de EDP en esfericas es trivial:
−∂V
∂r= −Gm1m2
r2
−1
r cosφ
∂V
∂θ= 0
−1
r
∂V
∂φ= 0
⇒ V = f(r) = −Gm1m2
r+ C
Potencial de un par de fuerzas
Manuel Ruiz - Mecanica I 51 / 64
x y
z M2
M1
F12 F21
Potencial de un muelle con un extremo en el origen:
V (r2) =1
2kOM2
2 =1
2k(x2
2 + y22 + z2
2)
Potencial de un par de fuerzas
Manuel Ruiz - Mecanica I 51 / 64
x y
z
x y
z
O
M2
M1
F12 F21
Potencial de un muelle con un extremo en el origen:
V (r2) =1
2kOM2
2 =1
2k(x2
2 + y22 + z2
2)
Trasladando el origen, tenemos el de un muelle conlos dos extremos en puntos arbitrarios:
V (r1, r2) =1
2kM1M2
2 =
=1
2k[
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)
2 + (z2 − z1)2]
Potencial de un par de fuerzas
Manuel Ruiz - Mecanica I 51 / 64
x y
z
O
M2
M1
F12 F21
Potencial de un muelle con un extremo en el origen:
V (r2) =1
2kOM2
2 =1
2k(x2
2 + y22 + z2
2)
Trasladando el origen, tenemos el de un muelle conlos dos extremos en puntos arbitrarios:
V (r1, r2) =1
2kM1M2
2 =
=1
2k[
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)
2 + (z2 − z1)2]
El potencial es simetrico respecto los dos puntos: potencial del par.
Potencial de un par de fuerzas
Manuel Ruiz - Mecanica I 51 / 64
x y
z
O
M2
M1
F12 F21
Potencial de un muelle con un extremo en el origen:
V (r2) =1
2kOM2
2 =1
2k(x2
2 + y22 + z2
2)
Trasladando el origen, tenemos el de un muelle conlos dos extremos en puntos arbitrarios:
V (r1, r2) =1
2kM1M2
2 =
=1
2k[
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)
2 + (z2 − z1)2]
El potencial es simetrico respecto los dos puntos: potencial del par.
El mismo potencial genera la accion y la reaccion, derivando respecto a lascoordenadas del punto sobre el que actua la fuerza:
−F12 = ∇1V =
[∂V
∂x1,∂V
∂y1,∂V
∂z1
]
− F21 = ∇2V =
[∂V
∂x2,∂V
∂y2,∂V
∂z2
]
Potencial de un par de fuerzas
Manuel Ruiz - Mecanica I 51 / 64
x y
z
O
M2
M1
F12 F21
Potencial de un muelle con un extremo en el origen:
V (r2) =1
2kOM2
2 =1
2k(x2
2 + y22 + z2
2)
Trasladando el origen, tenemos el de un muelle conlos dos extremos en puntos arbitrarios:
V (r1, r2) =1
2kM1M2
2 =
=1
2k[
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)
2 + (z2 − z1)2]
El potencial es simetrico respecto los dos puntos: potencial del par.
El mismo potencial genera la accion y la reaccion, derivando respecto a lascoordenadas del punto sobre el que actua la fuerza:
−F12 = ∇1V =
[∂V
∂x1,∂V
∂y1,∂V
∂z1
]
− F21 = ∇2V =
[∂V
∂x2,∂V
∂y2,∂V
∂z2
]
Lo mismo con el potencial gravitatorio: V = −Gm1m2
|r1−r2|
Energıa potencial - Potencial de un campo
Manuel Ruiz - Mecanica I 52 / 64
Potencial: Funcion potencial de una fuerza que actua sobre una partıcula:
Fi = −∇V (ri, . . . )
Es el efecto: solo existe si una partıcula recibe esa fuerza. La causa serıa lapartıcula que ejerce la fuerza y crea el campo de fuerzas.
Energıa potencial - Potencial de un campo
Manuel Ruiz - Mecanica I 52 / 64
Potencial: Funcion potencial de una fuerza que actua sobre una partıcula:
Fi = −∇V (ri, . . . )
Es el efecto: solo existe si una partıcula recibe esa fuerza. La causa serıa lapartıcula que ejerce la fuerza y crea el campo de fuerzas.
Funcion de fuerzas: La misma funcion potencial, cambiada de signo:
Fi = −∇V (ri, . . . ) = +∇U(ri, . . . ) U = −V
Energıa potencial - Potencial de un campo
Manuel Ruiz - Mecanica I 52 / 64
Potencial: Funcion potencial de una fuerza que actua sobre una partıcula:
Fi = −∇V (ri, . . . )
Es el efecto: solo existe si una partıcula recibe esa fuerza. La causa serıa lapartıcula que ejerce la fuerza y crea el campo de fuerzas.
Funcion de fuerzas: La misma funcion potencial, cambiada de signo:
Fi = −∇V (ri, . . . ) = +∇U(ri, . . . ) U = −V
Energıa potencial de una partıcula o sistema: Suma de los potenciales detodas las fuerzas conservativas que actuan sobre la partıcula o sistema:
V (ri, . . . ) =N∑
i=1
[
V E(ri, . . . ) +12
N∑
j=1
j 6=i
V I(ri, rj)
]
Energıa potencial - Potencial de un campo
Manuel Ruiz - Mecanica I 52 / 64
Potencial: Funcion potencial de una fuerza que actua sobre una partıcula:
Fi = −∇V (ri, . . . )
Es el efecto: solo existe si una partıcula recibe esa fuerza. La causa serıa lapartıcula que ejerce la fuerza y crea el campo de fuerzas.
Funcion de fuerzas: La misma funcion potencial, cambiada de signo:
Fi = −∇V (ri, . . . ) = +∇U(ri, . . . ) U = −V
Energıa potencial de una partıcula o sistema: Suma de los potenciales detodas las fuerzas conservativas que actuan sobre la partıcula o sistema:
V (ri, . . . ) =N∑
i=1
[
V E(ri, . . . ) +12
N∑
j=1
j 6=i
V I(ri, rj)
]
1/2 porque sumamos dos veces el potencial del par V I(ri, rj).
(. . . ) por coordenadas de partıculas exteriores al sistema.
Energıa potencial - Potencial de un campo
Manuel Ruiz - Mecanica I 53 / 64
Campo de fuerzas: Una masa o carga produce una fuerza sobre cualquier otracarga/masa del espacio. Es la causa; el efecto es la fuerza que experimentauna partıcula, y la funcion potencial.
Energıa potencial - Potencial de un campo
Manuel Ruiz - Mecanica I 53 / 64
Campo de fuerzas: Una masa o carga produce una fuerza sobre cualquier otracarga/masa del espacio. Es la causa; el efecto es la fuerza que experimentauna partıcula, y la funcion potencial.
Potencial del campo: Trabajo que hay que realizar contra el campo para llevaruna carga/masa unidad desde ∞ hasta el punto r.
Vc(r) =
∫ r
∞−
F
m· dr =
V (r)
m−V (∞)
m
Energıa potencial - Potencial de un campo
Manuel Ruiz - Mecanica I 53 / 64
Campo de fuerzas: Una masa o carga produce una fuerza sobre cualquier otracarga/masa del espacio. Es la causa; el efecto es la fuerza que experimentauna partıcula, y la funcion potencial.
Potencial del campo: Trabajo que hay que realizar contra el campo para llevaruna carga/masa unidad desde ∞ hasta el punto r.
Vc(r) =
∫ r
∞−
F
m· dr =
V (r)
m−V (∞)
m
Vcr
Se mira la causa, no el efecto: carga/masa unidad (carga de
prueba)
Medir el trabajo desde∞ equivale a escoger la constante paraque V (∞) = 0.
Tiene sentido para fuerzas que decrecen con la distancia: elpotencial tiene tangente horizontal en ∞.
Para aplicarlo a fuerzas crecientes (muelle, centrıfuga), habrıaque partir desde 0, no de ∞
Energıa potencial - Potencial de un campo
Manuel Ruiz - Mecanica I 54 / 64
x
y
z
b
b
r
θ
φ
m2
m1
b
bb
Ejemplo: Se tiene una masa m1 fija en el origen, y otra masam2 en un punto arbitrario.
Potencial de la fuerza sobre m2: −Gm1m2
|r2|
Potencial del campo creado por m1: −Gm1
r
Energıa potencial de m2: −Gm1m2
|r2|
Energıa potencial - Potencial de un campo
Manuel Ruiz - Mecanica I 54 / 64
x
y
z
b
b
r
θ
φ
m2
m1
x
y
z
b
bb
m2
m1
m3
Ejemplo: Se tiene una masa m1 fija en el origen, y otra masam2 en un punto arbitrario.
Potencial de la fuerza sobre m2: −Gm1m2
|r2|
Potencial del campo creado por m1: −Gm1
r
Energıa potencial de m2: −Gm1m2
|r2|
Anadimos otra partıcula m3 en un punto arbitrario:
Potencial del campo creado por m1: igual −Gm1
r
Energıa potencial de m2: −Gm1m2
|r2|− Gm3m2
|r2−r3|
Energıa potencial del sistema m2,m3: −Gm1m3
|r3|− Gm1m2
|r2|︸ ︷︷ ︸
E
−Gm3m2
|r2−r3|︸ ︷︷ ︸
I
Energıa potencial del sistema m1,m2,m3: −Gm1m3
|r3|− Gm1m2
|r2|− Gm3m2
|r2−r3|︸ ︷︷ ︸
I
Trabajo de un par de fuerzas
Manuel Ruiz - Mecanica I 55 / 64
x y
zM2
M1
F12 F21u
O
Sean dos partıculas M1 yM2 sometidas a un par de accionreaccion. Por la 3a ley de Newton (fuerte):
F12 = −F21 = f(r)u donde u =r2 − r1
|r2 − r1|
Trabajo de un par de fuerzas
Manuel Ruiz - Mecanica I 55 / 64
x y
zM2
M1
F12 F21u
O
Sean dos partıculas M1 yM2 sometidas a un par de accionreaccion. Por la 3a ley de Newton (fuerte):
F12 = −F21 = f(r)u donde u =r2 − r1
|r2 − r1|
El trabajo del par al moverse las partıculas sera:
δW = F12 · dr1 + F21 · dr2 = f(r)u · (dr1 − dr2) = f(r)u · d (r u) =
= f(r)u · (dr u+ r du) = f(r) dr + f(r) r:⊥u · du ⇒ δW = f(r) dr
Pues u es un vector unitario, u · u = 1, y por tanto, derivando, u · du = 0.
Trabajo de un par de fuerzas
Manuel Ruiz - Mecanica I 55 / 64
x y
zM2
M1
F12 F21u
O
Sean dos partıculas M1 yM2 sometidas a un par de accionreaccion. Por la 3a ley de Newton (fuerte):
F12 = −F21 = f(r)u donde u =r2 − r1
|r2 − r1|
El trabajo del par al moverse las partıculas sera:
δW = F12 · dr1 + F21 · dr2 = f(r)u · (dr1 − dr2) = f(r)u · d (r u) =
= f(r)u · (dr u+ r du) = f(r) dr + f(r) r:⊥u · du ⇒ δW = f(r) dr
Pues u es un vector unitario, u · u = 1, y por tanto, derivando, u · du = 0.
Un par de fuerzas solo trabaja si las partıculas varıan su distancia mutua
En un solido (distancias constantes), las fuerzas internas son pares de accionreaccion y no trabajan.
Trabajo sobre un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 56 / 64
x1
y1
z1
OMi
Fib
O1
Sea un solido formado por un numero grande de partıculas Mi
(en el lımite, ∞); sobre cada una actua una fuerza Fi (en ellımite, diferencial). El trabajo del sistema de fuerzas sobre elsolido es:
δW =∞∑
i=1
Fi · dri =
∞∑
i=1
Fi · vi dt
Trabajo sobre un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 56 / 64
x1
y1
z1
OMi
Fib
O1
Sea un solido formado por un numero grande de partıculas Mi
(en el lımite, ∞); sobre cada una actua una fuerza Fi (en ellımite, diferencial). El trabajo del sistema de fuerzas sobre elsolido es:
δW =∞∑
i=1
Fi · dri =
∞∑
i=1
Fi · vi dt
Podemos aplicar el campo de velocidades del solido: vi = vO + ω ∧OMi
Trabajo sobre un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 56 / 64
x1
y1
z1
OMi
Fib
O1
Sea un solido formado por un numero grande de partıculas Mi
(en el lımite, ∞); sobre cada una actua una fuerza Fi (en ellımite, diferencial). El trabajo del sistema de fuerzas sobre elsolido es:
δW =∞∑
i=1
Fi · dri =
∞∑
i=1
Fi · vi dt
Podemos aplicar el campo de velocidades del solido: vi = vO + ω ∧OMi
δW = dt∞∑
i=1
Fi · vO + dt
∞∑
i=1
Fi · ω ∧OMi =
prod. mixto
=
(∞∑
i=1
Fi
)
· vO dt+ ω ·
(∞∑
i=1
OMi ∧ Fi
)
dt ⇒
⇒ δW = RE · vO dt+MEO · ω dt
Trabajo sobre un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 57 / 64
Propiedades del trabajo sobre un solido:
Las fuerzas internas sobre un solido no trabajan: sus puntos mantienendistancias constantes.
Trabajo sobre un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 57 / 64
Propiedades del trabajo sobre un solido:
Las fuerzas internas sobre un solido no trabajan: sus puntos mantienendistancias constantes.
Si las fuerzas son conservativas, el potencial puede depender de la posiciondel punto de referencia y de los parametros de orientacion:
δW = RE · vO dt+MEO · ω dt = RE · drO +ME
O · dΘ =
= −dV (xO, yO, zO, ψ, θ, ϕ)
Trabajo sobre un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 57 / 64
Propiedades del trabajo sobre un solido:
Las fuerzas internas sobre un solido no trabajan: sus puntos mantienendistancias constantes.
Si las fuerzas son conservativas, el potencial puede depender de la posiciondel punto de referencia y de los parametros de orientacion:
δW = RE · vO dt+MEO · ω dt = RE · drO +ME
O · dΘ =
= −dV (xO, yO, zO, ψ, θ, ϕ)
Un sistema de fuerzas nulo (RE = 0, MEO = 0) puede trabajar sobre un
sistema deformable, pero no sobre un solido.
Potenciales no estacionarios
Manuel Ruiz - Mecanica I 58 / 64
Potencial ordinario estacionario V (r): Depende solo de las posiciones de laspartıculas. Se conserva la energıa:
dV = Vxdx+ Vydy + Vzdz = ∇V · dr = −δW
dT − δW = dT + dV = d(T + V ) = 0 → T + V = E
Potenciales no estacionarios
Manuel Ruiz - Mecanica I 58 / 64
Potencial ordinario estacionario V (r): Depende solo de las posiciones de laspartıculas. Se conserva la energıa:
dV = Vxdx+ Vydy + Vzdz = ∇V · dr = −δW
dT − δW = dT + dV = d(T + V ) = 0 → T + V = E
Potencial ordinario no estacionario V (r, t): Depende de la posicion y deltiempo. La fuerza sigue siendo F = −∇V , pero no se conserva la energıa.
dV = Vxdx+ Vydy + Vzdz + Vtdt = ∇V · dr+ Vtdt = −δW + Vtdt
dT − δW = dT + dV − Vtdt = 0 → d(T + V ) = Vt dt 6= 0
Potenciales no estacionarios
Manuel Ruiz - Mecanica I 58 / 64
Potencial ordinario estacionario V (r): Depende solo de las posiciones de laspartıculas. Se conserva la energıa:
dV = Vxdx+ Vydy + Vzdz = ∇V · dr = −δW
dT − δW = dT + dV = d(T + V ) = 0 → T + V = E
Potencial ordinario no estacionario V (r, t): Depende de la posicion y deltiempo. La fuerza sigue siendo F = −∇V , pero no se conserva la energıa.
dV = Vxdx+ Vydy + Vzdz + Vtdt = ∇V · dr+ Vtdt = −δW + Vtdt
dT − δW = dT + dV − Vtdt = 0 → d(T + V ) = Vt dt 6= 0
Potencial generalizado V (r,v, t): Depende de la posicion, de la velocidad y deltiempo (ej: fuerzas de inercia, como la de Coriolis; fuerzaselectromagneticas). No se estudian en este curso.
Potenciales no estacionarios
Manuel Ruiz - Mecanica I 59 / 64
Un potencial ordinario puede depender del tiempo:
Porque una fuerza externa (un motor) mueva a la partıcula que crea elcampo; esta fuerza aporta o quita energıa al sistema.
Potenciales no estacionarios
Manuel Ruiz - Mecanica I 59 / 64
Un potencial ordinario puede depender del tiempo:
Porque una fuerza externa (un motor) mueva a la partıcula que crea elcampo; esta fuerza aporta o quita energıa al sistema.
Un sistema globalmente conservativo puede convertirse en no conservativo alseparar una parte y despreciar efectos muy pequenos: sistema solar - sateliteartificial.
⊕
Sol
Tierra
Sat
ms m,m⊕
Potenciales no estacionarios
Manuel Ruiz - Mecanica I 59 / 64
Un potencial ordinario puede depender del tiempo:
Porque una fuerza externa (un motor) mueva a la partıcula que crea elcampo; esta fuerza aporta o quita energıa al sistema.
Un sistema globalmente conservativo puede convertirse en no conservativo alseparar una parte y despreciar efectos muy pequenos: sistema solar - sateliteartificial.
⊕
Sol
Tierra
Sat
ms m,m⊕Sistema completo conservativo:+W−W = 0. Todos los cuerposse influyen:
V = −Gmm⊕
|r − r⊕|−
−Gmms
|r − rs|−
Gmsm⊕
|rs − r⊕|
Potenciales no estacionarios
Manuel Ruiz - Mecanica I 59 / 64
Un potencial ordinario puede depender del tiempo:
Porque una fuerza externa (un motor) mueva a la partıcula que crea elcampo; esta fuerza aporta o quita energıa al sistema.
Un sistema globalmente conservativo puede convertirse en no conservativo alseparar una parte y despreciar efectos muy pequenos: sistema solar - sateliteartificial.
⊕
Sol
Tierra
Sat
ms m,m⊕Sistema completo conservativo:+W−W = 0. Todos los cuerposse influyen:
V = −Gmm⊕
|r − r⊕|−
−Gmms
|r − rs|−
Gmsm⊕
|rs − r⊕|
Satelite aislado: no conservativo.• Masa muy pequena. El trabajo−W del resto tiene un efecto nodespreciable• r(t), r⊕(t) conocidas(efemerides): se mueven in-dependientemente del satelite
V (t) = −Gmm⊕
|r(t)− r⊕(t)|−
−Gmms
|r(t)− rs|−
Gmsm⊕
|rs − r⊕(t)|
Potenciales no estacionarios
Manuel Ruiz - Mecanica I 59 / 64
Un potencial ordinario puede depender del tiempo:
Porque una fuerza externa (un motor) mueva a la partıcula que crea elcampo; esta fuerza aporta o quita energıa al sistema.
Un sistema globalmente conservativo puede convertirse en no conservativo alseparar una parte y despreciar efectos muy pequenos: sistema solar - sateliteartificial.
⊕
Sol
Tierra
Sat
ms m,m⊕Sistema completo conservativo:+W−W = 0. Todos los cuerposse influyen:
V = −Gmm⊕
|r − r⊕|−
−Gmms
|r − rs|−
Gmsm⊕
|rs − r⊕|
Satelite aislado: no conservativo.• Masa muy pequena. El trabajo−W del resto tiene un efecto nodespreciable• r(t), r⊕(t) conocidas(efemerides): se mueven in-dependientemente del satelite
V (t) = −Gmm⊕
|r(t)− r⊕(t)|−
−Gmms
|r(t)− rs|−
Gmsm⊕
|rs − r⊕(t)|
Sol-Tierra: el trabajo +W del sateliteles afecta (no conservativo), pero sedesprecia su efecto por la despropor-cion de masas (→ conservativo)
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 60 / 64
ξ
η
θ
G
sds δF
Una varilla se mueve en un plano Oxy. El eje Oy repele a cadaelemento de masa con una fuerza proporcional a la masa y ala distancia al eje, de constante ω2. Determinar la funcion defuerzas del solido.
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 60 / 64
ξ
η
θ
G
sds δF
Una varilla se mueve en un plano Oxy. El eje Oy repele a cadaelemento de masa con una fuerza proporcional a la masa y ala distancia al eje, de constante ω2. Determinar la funcion defuerzas del solido.La configuracion de la varilla se determina con las coordenadas(ξ, η) del centro de masas, y el angulo con Ox, θ.
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 60 / 64
ξ
η
θ
G
sds δF
Una varilla se mueve en un plano Oxy. El eje Oy repele a cadaelemento de masa con una fuerza proporcional a la masa y ala distancia al eje, de constante ω2. Determinar la funcion defuerzas del solido.La configuracion de la varilla se determina con las coordenadas(ξ, η) del centro de masas, y el angulo con Ox, θ.
Se necesitan dos integrales: en dr de la fuerza al potencial, y en δm paraextenderlo a todo el solido. El orden no importa.
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 60 / 64
ξ
η
θ
G
sds δF
Una varilla se mueve en un plano Oxy. El eje Oy repele a cadaelemento de masa con una fuerza proporcional a la masa y ala distancia al eje, de constante ω2. Determinar la funcion defuerzas del solido.La configuracion de la varilla se determina con las coordenadas(ξ, η) del centro de masas, y el angulo con Ox, θ.
Se necesitan dos integrales: en dr de la fuerza al potencial, y en δm paraextenderlo a todo el solido. El orden no importa.Empezaremos por la del potencial. La fuerza elemental δF obviamente deriva deuna funcion de fuerzas, analoga a la centrıfuga:
δF = ω2x δm i = +∇δU(x) ⇒ δU =1
2ω2x2 δm
tambien elemental, pues afecta solo al elemento de masa δm.
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 60 / 64
ξ
η
θ
G
sds δF
Una varilla se mueve en un plano Oxy. El eje Oy repele a cadaelemento de masa con una fuerza proporcional a la masa y ala distancia al eje, de constante ω2. Determinar la funcion defuerzas del solido.La configuracion de la varilla se determina con las coordenadas(ξ, η) del centro de masas, y el angulo con Ox, θ.
Se necesitan dos integrales: en dr de la fuerza al potencial, y en δm paraextenderlo a todo el solido. El orden no importa.Empezaremos por la del potencial. La fuerza elemental δF obviamente deriva deuna funcion de fuerzas, analoga a la centrıfuga:
δF = ω2x δm i = +∇δU(x) ⇒ δU =1
2ω2x2 δm
tambien elemental, pues afecta solo al elemento de masa δm.Ahora hay que integrar para toda la varilla. Como solo tiene una dimension,usaremos la densidad lineal σ:
δm = σ ds =m
Lds
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 61 / 64
ξ
η
θ
G
sds
δF
La coordenada x del elemento de masa δm tambien dependede la coordenada interna s que lo identifica:
x = ξ + s cos θ
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 61 / 64
ξ
η
θ
G
sds
δF
La coordenada x del elemento de masa δm tambien dependede la coordenada interna s que lo identifica:
x = ξ + s cos θ
Sustituyendo, tenemos el potencial elemental en funcion delparametro s:
δU =1
2ω2x2 δm =
1
2ω2 (ξ + s cos θ)2
m
Lds
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 61 / 64
ξ
η
θ
G
sds
δF
La coordenada x del elemento de masa δm tambien dependede la coordenada interna s que lo identifica:
x = ξ + s cos θ
Sustituyendo, tenemos el potencial elemental en funcion delparametro s:
δU =1
2ω2x2 δm =
1
2ω2 (ξ + s cos θ)2
m
Lds
Integramos ahora para todo el solido. Como es una integral de masa, lascoordenadas del solido ξ, θ se dejan constantes:
U =
∫
VδU =
ω2m
2L
∫ L/2
−L/2
(ξ2 + 2ξ cos θ s+ cos2 θ s2
)ds =
=ω2m
2L
[
ξ2s+ξ cos θ s2 + cos2 θ
s3
3
]L/2
−L/2
= U =mω2
2
(
ξ2 +L2
12cos θ
)
+ C
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 62 / 64
ξ
η
θ
G
sds δF
Otro camino es integrar primero el trabajo elemental para todoel solido en s, y luego integrar el potencial. Y para calcular eltrabajo tambien hay varios caminos. Uno es calcular el trabajode la fuerza elemental al moverse el solido:
δδW = δF · δr(s)
Donde el trabajo es elemental por dos motivos: por dar un desplazamientoelemental al solido, (δξ, δη, δθ), y por ser un elemento de masa δm.
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 62 / 64
ξ
η
θ
G
sds δF
Otro camino es integrar primero el trabajo elemental para todoel solido en s, y luego integrar el potencial. Y para calcular eltrabajo tambien hay varios caminos. Uno es calcular el trabajode la fuerza elemental al moverse el solido:
δδW = δF · δr(s)
Donde el trabajo es elemental por dos motivos: por dar un desplazamientoelemental al solido, (δξ, δη, δθ), y por ser un elemento de masa δm.La fuerza, la posicion y el desplazamiento son:
δF = ω2 (ξ + s cos θ) δm i
r = (ξ + s cos θ, . . . )δr = (δξ − s sin θδθ, . . . )
δδW = ω2 (ξ + s cos θ) (δξ − s sin θδθ) δm =
= ω2[ξδξ + (cos θδξ − ξ sin θδθ) s− sin θ cos θδθ s2
]δm
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 62 / 64
ξ
η
θ
G
sds δF
Otro camino es integrar primero el trabajo elemental para todoel solido en s, y luego integrar el potencial. Y para calcular eltrabajo tambien hay varios caminos. Uno es calcular el trabajode la fuerza elemental al moverse el solido:
δδW = δF · δr(s)
Donde el trabajo es elemental por dos motivos: por dar un desplazamientoelemental al solido, (δξ, δη, δθ), y por ser un elemento de masa δm.La fuerza, la posicion y el desplazamiento son:
δF = ω2 (ξ + s cos θ) δm i
r = (ξ + s cos θ, . . . )δr = (δξ − s sin θδθ, . . . )
δδW = ω2 (ξ + s cos θ) (δξ − s sin θδθ) δm =
= ω2[ξδξ + (cos θδξ − ξ sin θδθ) s− sin θ cos θδθ s2
]δm
Integrando para toda la varilla en la variable s:
δW = ω2m
(
ξδξ −L2
12sin θ cos θδθ
)
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 63 / 64
ξ
η
θ
G
sds δF
El trabajo elemental sobre todo el solido tambien se puede cal-cular mediante la resultante y el momento resultante en G:
δF = ω2 (ξ + s cos θ) δm i
δMG = −ω2 (ξ + s cos θ) s sin θ δmk
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 63 / 64
ξ
η
θ
G
sds δF
El trabajo elemental sobre todo el solido tambien se puede cal-cular mediante la resultante y el momento resultante en G:
δF = ω2 (ξ + s cos θ) δm i
δMG = −ω2 (ξ + s cos θ) s sin θ δmk
Sustituyendo δm = mL ds e integrando para toda la varilla, se tiene:
R = ω2mξ i MG = −ω2mL2
12sin θ cos θ k
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 63 / 64
ξ
η
θ
G
sds δF
El trabajo elemental sobre todo el solido tambien se puede cal-cular mediante la resultante y el momento resultante en G:
δF = ω2 (ξ + s cos θ) δm i
δMG = −ω2 (ξ + s cos θ) s sin θ δmk
Sustituyendo δm = mL ds e integrando para toda la varilla, se tiene:
R = ω2mξ i MG = −ω2mL2
12sin θ cos θ k
El trabajo elemental, teniendo en cuenta que ω = θ k, sera:
δW = R · δrG +MG · ω dt = ω2m
(
ξδξ −L2
12sin θ cos θδθ
)
naturalmente, el resultado es el mismo.
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 64 / 64
Solo queda comprobar que es una diferencial exacta y calcular el potencial.
δW = ω2m
(
ξδξ −L2
12sin θ cos θδθ
)
= −V ξ dξ − V θ dθ = −dV (ξ, θ)
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 64 / 64
Solo queda comprobar que es una diferencial exacta y calcular el potencial.
δW = ω2m
(
ξδξ −L2
12sin θ cos θδθ
)
= −V ξ dξ − V θ dθ = −dV (ξ, θ)
Las derivadas cruzadas son nulas,
V ξθ = V θξ = 0
Ejemplo: potencial de un solido
Manuel Ruiz - Mecanica I 64 / 64
Solo queda comprobar que es una diferencial exacta y calcular el potencial.
δW = ω2m
(
ξδξ −L2
12sin θ cos θδθ
)
= −V ξ dξ − V θ dθ = −dV (ξ, θ)
Las derivadas cruzadas son nulas,
V ξθ = V θξ = 0
y el potencial se calcula directamente, porque es la suma de dos funciones de unavariable:
V =
∫
V ξ(ξ) dξ +
∫
V θ(θ) dθ = −ω2m
2
(
ξ2 +L2
12cos2 θ
)
+ C
El segundo sumando se podrıa escribir tambien como − sin2 θ, porque la diferenciaes una constante. El resultado es, como se esperaba, el opuesto de la funcion defuerzas U .