Mecánica Vectorial Cap. 4 · ... el momento de F respecto ... momento resultante (MR)o con...

Mecánica Vectorial Cap. 4

Juan Manuel Rodríguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.

Momento de una fuerza

Momento de una fuerza

Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo, ésta producirá una tendencia a que el cuerpo gire alrededor de un punto que no está en la línea de acción de la fuerza. Esta tendencia a girar se conoce como el momento de una fuerza o simplemente el momento.

Momento de una fuerza una llave de torsión que se usa para desenroscar •  Si se aplica una fuerza a la llave ésta

tenderá a girar el perno alrededor del punto O (o el eje z). La magnitud del momento es directamente proporcional a la magnitud de F y a la distancia perpendicular o brazo de momento d. Cuanto más grande sea la fuerza o más grande sea el brazo de momento, mayor será� el momento o el efecto de giro.

•  si se aplica la fuerza F a un ángulo Θ≠ 90°, entonces será� más difícil girar el perno puesto que el brazo de momento d’= d senΘ, será� menor que d.

•  Si se aplica F a lo largo de la llave, su brazo de momento será� igual a cero puesto que la línea de acción de F intersecará el punto O (el eje z). En consecuencia, el momento de F respecto de O también es cero y no puede ocurrir el giro.

Magnitud del momento

La magnitud de MO es donde d es el brazo de momento o distancia perpendicular desde el eje en el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. Las unidades de la magnitud del momento son el producto de la fuerza mul:plicada por la distancia, es decir, N.m o lb.>

M 0 = Fd

Dirección del momento

La dirección de MO está definida por su eje de momento, el cual es perpendicular al plano que contiene la fuerza F y a su brazo de momento d. Se utiliza la regla de la mano derecha. De acuerdo con esta regla, el curveo natural de los dedos de la mano derecha cuando estos se doblan sobre la palma representa la tendencia para la rotación causada por el momento.

Dirección del momento

Momento resultante

En problemas bidimensionales, donde todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y, el momento resultante (MR)o con respecto al punto O (el eje z) puede determinarse al encontrar la suma algebraica de los momentos causados por todas las fuerzas en el sistema.

Como convención consideraremos de manera general los momentos positivos como en sentido contrario al de las manecillas del reloj por estar dirigidos a lo largo del eje positivo z (fuera de la página). Los momentos en el sentido de las manecillas del reloj serán negativos.

MR( )0 = F1d1 − F2d2 + F3d3

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Producto cruz El producto cruz de dos vectores A y B da como resultado el vector C, el cual se escribe

C = A ×B

C = A B sinθ

C = A ×B =

i j kAx Ay AzBx By Bz

Momento de una fuerza: Formulación vectorial

El producto cruz de dos vectores A y B da como resultado el vector C, el cual se escribe

M0 = r × F

M0 = r F sinθ

Mo = r × F =

i j krx ry rzFx Fy Fz

Mo = ryFz − rzFy( )i − rxFz − rzFz( ) j+ rxFy − ryFx( )k

Momento resultante de un sistema de fuerzas

Mo = r × F∑

Mo = r1 × F1 + r2 × F2 + r3 × F3

Ejemplo 1

Determine el momento producido por la fuerza F que se muestra en la, respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano.

Ejemplo 2

Dos fuerzas actúan sobre la barra Determine el momento resultante que generan con respecto al soporte en O. Exprese el resultado como un vector cartesiano.

Momento de una fuerza con respecto a un eje específico


Por ejemplo, suponga que hay que aflojar la tuerca del punto O de la llanta de automóvil. La fuerza aplicada a la llave producirá una tendencia a que ésta y la tuerca giren en torno al eje de momento que pasa por O; sin embargo, la tuerca sólo puede girar alrededor del eje y. Por lo tanto, para determinar el efecto de giro, sólo se necesita la componen- te y del momento

My = FdyDistancia mínima entre el punto de aplicación de la fuerza y el eje con respecto al cual se calcula el momento


En algunas situaciones el cálculo de la distancia mínima no es sencillo (trivial). En la anterior situación se usará el triple producto escalar.

Ma = ua i (ro × F)

El vector de posición de cualquier punto que pertenece al vector de dirección

ro

ua

ua

Vector unitario que indica la dirección de eje sobre el que se va a calcular el momento.

ua


Ma = ua i (ro × F)

ro = −r cos(θ )i + rsin(θ )j

ua = 1j

F = Fk

ro × F =i j k

−r cos(θ ) rsin(θ ) 00 0 F

= Frsin(θ )i + Fr cos(θ )j

Ma = ua i (ro × F) = 1j i Frsin(θ )i + Fr cos(θ )j( ) = Fr cos(θ )


Ma = ua i (ro × F)

ro = rxi + ry j+ rzk ua = uaxi + uay j+ uazk

Ma = ua i ro × F( ) =uax uay uazrx ry rzFx Fy Fz

Determinante de la matriz formada por los tres vectores

Caso General F = Fxi + Fy j+ Fzk


rA = 0i + 0 j+ 0k

Ejemplo

MAB = uAB i rAC × F( )

rB = 0.4i + 0.2 j+ 0krAB = 0.4i + 0.2 j+ 0k

uAB = 0.89i + 0.447 j+ 0krC = 0.6i + 0 j+ 0.3krAC = 0.6i + 0 j+ 0.3kF = 0i + 0 j− 300k


Ejemplo

MAB = uAB i rAC × F( )

uAB = 0.89i + 0.447 j+ 0k

rAC = 0.6i + 0 j+ 0.3kF = 0i + 0 j− 300k

MAB =0.89 0.447 00.4 0 0.30 0 −300

= 80.1N .m


Ejemplo

M 0A = u0A i rCD × F( ) r0 = 0i + 0 j+ 0krA = 0.3i + 0.4 j+ 0kr0A = 0.3i + 0.4 j+ 0k

u0A = 0.6i + 0.8 j+ 0krC = 0.1i + 0.4 j+ 0.3krD = 0.5i + 0 j+ 0.5k

F = 300 rCDrCD

= 200i − 200 j+100k

rCD = 0.4i − 0.4 j+ 0.2k


Ejemplo

M 0A = u0A i rCD × F( )u0A = 0.6i + 0.8 j+ 0k

F = 200i − 200 j+100k

M 0A =0.6 0.8 00.1 0.4 0.2200 −200 100

= 100N .m

rC = 0.1i + 0.4 j+ 0.3k


Tarea

Momento de un par

Simplificación de un sistema de fuerza y par

Simplificación adicional de un sistema de fuerza y par

Mecánica Vectorial Cap. 4 · ... el momento de F respecto ... momento resultante (MR)o con...

Documents

Transcript of Mecánica Vectorial Cap. 4 · ... el momento de F respecto ... momento resultante (MR)o con...