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Factores de conversin de unidades

TIEMPO

1 min = 60 s1 h = 60 min = 3600 s1 da = 24 h = 86,400 s

LONGITUD

1 m = 3.281 pies = 39.37 pulg1 km = 0.6214 mi1 pulg = 0.08333 pie = 0.02540 m1 pie = 12 pulg = 0.3048 m1 mi = 5280 pies = 1.609 km1 milla nutica = 1852 m = 6080 pies

NGULO

1 rad = 180/p grad = 57.30 grad1 grad = p/180 rad = 0.01745 rad1 revolucin = 2p rad = 360 grad1 rev/min (rpm) = 0.1047 rad/s

REA

1 mm2 = 1.550 103 pulg2 = 1.076 105 pies21 m2 = 10.76 pies21 pulg2 = 645.2 mm21 pie2 = 144 pulg2 = 0.0929 m2

VOLUMEN

1 mm3 = 6.102 105 pulg3 = 3.531 108 pies31 m3 = 6.102 104 pulg3 = 35.31 pies31 pulg3 1.639 104 mm3 = 1.639 105 m31 pie3 = 0.02832 m3

VELOCIDAD

1 m/s = 3.281 pies/s = 39.37 pulg/s1 km/h = 0.2778 m/s = 0.6214 mi/h = 0.9113 pie/s1 mi/h = (88/60) pies/s = 1.609 km/h = 0.4470 m/s1 nudo = 1 milla nutica/h = 0.5144 m/s = 1.689 pies/s

ACELERACIN

1 m/s2 = 3.281 pies/s2 = 39.37 pulg/s21 pulg/s2 = 0.08333 pie/s2 = 0.02540 m/s21 pie/s2 = 0.3048 m/s21 g = 9.81 m/s2 = 32.2 pies/s2

MASA

1 kg = 0.0685 slug1 slug = 14.59 kg1 t (tonelada mtrica) = 103 kg = 68.5 slug

FUERZA

1 N = 0.2248 lb1 lb = 16 oz = 4.448 N1 kip = 1000 lb = 4448 N1 ton = 2000 lb = 8896 N

TRABAJO Y ENERGA

1 J = 1 N-m = 0.7376 pie-lb1 pie-lb 1.356 J

POTENCIA

1 W = 1 N-m/s = 0.7376 pie-lb/s = 1.340 103 hp1 pie-lb/s = 1.356 W1 hp = 550 pies-lb/s = 746 W

PRESIN

1 Pa = 1 N/m2 = 0.0209 lb/pie2 = 1.451 104 lb/pulg21 bar = 105 Pa1 lb/pulg2 (psi) = 144 lb/pie2 = 6891 Pa1 lb/pie2 = 6.944 103 lb/pulg2 = 47.85 Pa

reasen 2

=

= = +

R

I R I Rx y

2

4 4

220

sen 2 =

,

Ixy

O

y

R

2R sen 3Sector circular

rea = = = =14

116

18

2 4 4 R I I R I Rx y xy,

rea =+

=

+=

+

+

+ +

cbn

I c bn

I cbn

I

n

x

n

y

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1

3 3 1 3

==

+

+c bn

n2 2 2

4 4

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y

x

(n 1)cbn

(n 1)bn 2

b

y cxn

Enjuta

rea =

= = =

141

161

1618

3 3 2 2

ab

I ab I a b I a bx y xy, ,

4R3

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R

y

x

rea de un cuarto de crculo

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a2 b2x2 y2

1

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y

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y

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R

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2R

2R

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L

L

L

L

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2A Y 3A FORROS 11/3/08 12:54 Pgina 1

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Lneas

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L

y

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Las coordenadas del centroide de la lnea L son

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Mecnica para ingenieraE S T T I C A

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Mecnica para ingenieraE S T T I C A

QUINTA EDICIN

Anthony Bedford Wallace FowlerUniversity of Texas at Austin

MMiigguueell nnggeell RRooss SSnncchheezzDepartamento de Ingeniera Mecnica y MecatrnicaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey, Campus Estado de Mxico

AAlleexx EEllaass ZZiiggaaDepartamento de Ingeniera Mecnica Instituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey, Campus Monterrey

TRADUCCIN

JJeessss EEllmmeerr MMuurrrriieettaa MMuurrrriieettaaMaestro en Investigacin de OperacionesInstituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey, Campus Morelos

REVISIN TCNICA

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Authorized translation from the English language edition, entitled Engineering mechanics: Statics 5th edition by Anthony M. Bedford and Wallace T.Fowler, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright 2008. All rights reserved. ISBN 0136129153

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls titulada Engineering mechanics: Statics 5th edition por Anthony M. Bedford y Wallace T. Fowler,publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright 2008. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaolEditor: Luis Miguel Cruz Castillo

e-mail: luis.cruz@pearsoned.com Editor de desarrollo: Bernardino Gutirrez HernndezSupervisor de produccin: Rodrigo Romero Villalobos

Edicin en ingls

Datos de catalogacin bibliogrfica

BEDFORD, ANTHONY; FOWLER, WALLACE T.

Mecnica para ingeniera. EstticaQuinta edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2008ISBN: 978-970-26-1215-5rea: Ingeniera

Formato: 20 25.5 cm Pginas: 656

Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia J. HortonAcquisitions Editor: Tacy QuinnAssociate Editor: Dee BernhardManaging Editor: Scott DisannoMedia Editor: David AlickMarketing Manager: Tim GalliganProduction Editor: Craig LittleDirector of Creative Services: Paul Belfanti

Creative Director: Juan LopezArt Director: Jonathan BoylanInterior Designer: Kenny BeckCover Designer: Jonathan BoylanArt Editor: Xiaohong ZhuManufacturing Manager: Alexis Heydt-LongManufacturing Buyer: Lisa McDowell

QUINTA EDICIN, 2008

D.R. 2008 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. pisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031.

Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacinde informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin ocualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN 10: 970-26-1215-2ISBN 13: 978-970-26-1215-5

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08www.FreeLibros.org

vContenido

Prefacio xiii

Acerca de los autores xix

1 Introduccin 31.1 Ingeniera y mecnica 4

Resolucin de problemas 4Nmeros 5Espacio y tiempo 5Leyes de Newton 6Sistema internacional de unidades 7Unidades de uso comn en Estados Unidos 8Unidades angulares 8Conversin de unidades 8

1.2 Gravitacin de Newton 15

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2 Vectores 212.1 Escalares y vectores 22

Suma vectorial 22Producto de un escalar y un vector 24Resta vectorial 24Vectores unitarios 24

2.2 Componentes en dos dimensiones 30Manipulacin de vectores en trminos de sus componentes 30Vectores de posicin en trminos de sus componentes 31Manipulacin de vectores en trminos de sus componentes 32Vectores de posicin en trminos de sus componentes 32

2.3 Componentes en tres dimensiones 43Magnitud de un vector en trminos de sus componentes 44Cosenos directores 45Vectores de posicin en trminos de sus componentes 46Componentes de un vector paralelo a una lnea dada 46Cosenos directores 47Vectores de posicin en trminos de sus componentes 48Componentes de un vector paralelo a una lnea dada 48

2.4 Productos punto 60Definicin 60Productos punto en trminos de sus componentes 60Componentes vectoriales paralela y normal a una lnea 61

2.5 Productos cruz 68Definicin 68Productos cruz en trminos

de sus componentes 69Evaluacin de un determinante de 70Productos triples mixtos 70Problemas de repaso 77

3 Fuerzas 813.1 Fuerzas, equilibrio

y diagramas de cuerpo libre 82Terminologa 82Fuerzas gravitatorias 82Fuerzas de contacto 83Equilibrio 86Diagramas de cuerpo libre 87

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas 91

3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzas 108Problemas de repaso 116

3 * 3

vi Contenido

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4 Sistemas de fuerzas y momentos 1214.1 Descripcin bidimensional

del momento 122

4.2 Vector de momento 134Magnitud del momento 134Direccin del momento 134Relacin con la descripcin bidimensional 136Teorema de Varignon 137

4.3 Momento de una fuerza respecto a una lnea 147Definicin 148Aplicaciones 148Determinacin del momento de una fuerza F

respecto a una lnea L 151Casos especiales 151

4.4 Pares 162

4.5 Sistemas equivalentes 171Condiciones de equivalencia 171Representacin de sistemas mediante sistemas equivalentes 172Representacin de un sistema mediante una llave de torsin 173Sistemas equivalentes de fuerzas y momentos 175Representacin de sistemas de fuerzas y momentos mediante

sistemas equivalentes 176Problemas de repaso 189

5 Objetos en equilibrio 1955.1 Aplicaciones bidimensionales 196

Ecuaciones de equilibrio escalares 196Soportes 196Diagramas de cuerpo libre 200Ecuaciones de equilibrio 201Soportes 201

5.2 Cuerpos estticamente indeterminados 217Soportes redundantes 217Soportes impropios 219

5.3 Aplicaciones tridimensionales 223Ecuaciones de equilibrio escalares 223Soportes 223Ecuaciones de equilibrio 229Soportes 229

5.4 Elementos sometidos a dos y tres fuerzas 242Elementos de dos fuerzas 242Elementos de tres fuerzas 244Problemas de repaso 249

Contenido vii

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6 Estructuras en equilibrio 2556.1 Armaduras 256

6.2 Mtodo de las juntas 258Mtodo de las juntas 261Juntas especiales 261

6.3 Mtodo de secciones 268Mtodo de secciones 269

6.4 Armaduras espaciales 275

6.5 Bastidores y mquinas 282Anlisis de la estructura completa 283Anlisis de los elementos 283Problemas de repaso 306

7 Centroides y centros de masa 3117.1 Centroides de reas 312

7.2 reas compuestas 320

7.3 Cargas distribuidas 327Descripcin de una carga distribuida 328Determinacin de la fuerza y el momento 328Analoga del rea 329

7.4 Centroides de volmenes y lneas 335

7.5 Volmenes y lneas compuestos 343

7.6 Teoremas de Pappus-Guldinus 350Primer teorema 350Segundo teorema 351Primer teorema de Pappus-Guldinus 352Segundo teorema de Pappus-Guldinus 352

7.7 Centros de masa de objetos 355

7.8 Centros de masa de objetos compuestos 362Problemas de repaso 369

viii Contenido

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8 Momentos de inercia 375reas 376

8.1 Definiciones 376

8.2 Teorema de los ejes paralelos 383

8.3 Ejes girados y ejes principales 396Ejes girados 396Momento de inercia respecto al eje x 397Momento de inercia respecto al eje y 397Ejes principales 397

8.4 Crculo de Mohr 405Sistema coordenado x y y sistema coordenado girado x'y' . 405Determinacin de ejes principales y de momentos

de inercia principales 406

Masas 409

8.5 Objetos simples 409Barras delgadas 409Placas delgadas 410

8.6 Teorema de los ejes paralelos 415Problemas de repaso 425

9 Friccin 4299.1 Teora de la friccin seca 430

Coeficientes de friccin 432ngulos de friccin 433

9.2 Cuas 448

9.3 Roscas 452

9.4 Cojinetes 459

9.5 Cojinetes de empuje axial y embragues 464

9.6 Friccin en bandas 471Problemas de repaso 479

Contenido ix

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10 Fuerzas y momentos internos 485Vigas 486

10.1 Fuerza axial, fuerza cortantey momento flector 486

10.2 Diagramas de fuerza cortantey de momento flector 493

10.3 Relaciones entre carga distribuida,fuerza cortantey momento flector 498Construccin del diagrama de fuerza cortante 500Construccin del diagrama de momento flector 501

Cables 511

10.4 Cargas uniformemente distribuidasa lo largo de lneas rectas 512Forma del cable 512Tensin en el cable 513Longitud del cable 513

10.5 Cargas distribuidas uniformementea lo largo de cables 518Forma del cable 519Tensin en el cable 520Longitud del cable 520

10.6 Cargas discretas en cables 523Determinacin de la configuracin y las tensiones 523Comentarios sobre modelos continuos y discretos 524

Lquidos y gases 529

10.7 Presin y centros de presin 529Centro de presin 529Presin en un lquido en reposo 531Problemas de repaso 541

x Contenido

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11 Trabajo virtual y energa potencial 54511.1 Trabajo virtual 546

Trabajo 546Principio del trabajo virtual 547Aplicacin a estructuras 548Trabajo 549Principio del trabajo virtual 550

11.2 Energa potencial 558Ejemplos de fuerzas conservativas 558Principio del trabajo virtual para fuerzas conservativas 559Estabilidad del equilibrio 560Energa potencial 561Problemas de repaso 569

APNDICES

A Repaso de matemticas 573A.1 lgebra 573

Ecuaciones cuadrticas 573Logaritmos naturales 573

A.2 Trigonometra 574

A.3 Derivadas 574

A.4 Integrales 575

A.5 Series de Taylor 576

B Propiedades de reas y lneas 577B.1 reas 577

B.2 Lneas 579

C Propiedades de volmenes y objetoshomogneos 580

Soluciones a los problemas de prctica 583

Respuestas a los problemascon nmero par 613

ndice 623

Contenido xi

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xiii

Prefacio

El desarrollo de la quinta edicin de Mecnica para Ingenie-ra: Esttica y Dinmica comenz al preguntarnos de qu ma-nera podran reestructurarse nuestros libros de texto para ayudara los estudiantes a aprender mecnica de manera ms eficaz yeficiente.

Desde las primeras ediciones, nuestro objetivo ha sidopresentar el material de una forma que emule el desarrollo delos conceptos por parte del profesor en el saln de clases y en-fatice el anlisis visual para mejorar la comprensin del estu-diante.

Ahora, con base en nuestras experiencias a travs de mu-chos aos en el saln de clases y los comentarios de colegas yestudiantes, hemos diseado la quinta edicin para apegarnos ala manera en que los estudiantes actualmente usan los libros detexto para aprender mecnica. Durante el desarrollo de los nue-vos elementos descritos anteriormente seguimos apegados anuestros objetivos originales de ensear procedimientos efica-ces para la resolucin de problemas y la importancia central delos diagramas de cuerpo libre.

Novedades en esta edicin

Ejemplos activosUn nuevo formato de ejemplo diseado para ayudar a los estu-diantes a aprender conceptos y mtodos, y a probar la com-prensin de los mismos. Los anlisis se relacionan de maneravisual con figuras y ecuaciones en un diseo con ilustracionesy texto integrados para una lectura eficiente. Al final del ejem-plo activo se proporciona un problema de prctica de maneraque los estudiantes se vean motivados a verificar si compren-dieron el material; y pueden evaluar fcilmente sus conoci-mientos al consultar la respuesta, que se proporciona en lamisma pgina, o estudiando la solucin completa que se pre-senta en el apndice, con el mismo formato de ilustraciones ytexto integrados.

Problemas con enfoque en ejemplosSe incluyen nuevos problemas de tarea diseados para incenti-var a los alumnos a estudiar los ejemplos dados y expandir sucomprensin de los conceptos. Los nmeros de estos proble-mas se mencionan al inicio de cada ejemplo, de manera que losprofesores puedan usarlos con facilidad para estimular el estu-dio de ciertos temas seleccionados.

ResultadosLa mayora de las secciones del libro ahora concluye con unanueva subseccin de resultados, una descripcin completa y su-

ficiente de los resultados necesarios para entender los ejemplosy problemas siguientes. Para una comprensin ms fcil, se pre-sentan en el mismo formato de ilustraciones y texto integradosque se usa en los ejemplos activos y se puede consultar de ma-nera eficiente estas subsecciones mientras se estudia el ejem-plo y trabaja con los problemas.

Conjunto de problemasEn este texto de esttica, treinta por ciento de los problemasson nuevos. Se han marcado con un asterisco los que son re-lativamente ms largos o difciles. Tambin es posible gene-rar problemas adicionales usando el sistema de tareas en lneacon sus capacidades algortmicas (vea el sitio Web de estelibro).

Elementos especiales de este texto

EjemplosAdems de los nuevos ejemplos activos, mantenemos los que si-guen una estructura con tres partes Estrategia/Solucin/Ra-zonamiento crtico diseados para ayudar a los estudiantesa desarrollar sus habilidades en la resolucin de problemas deingeniera. En las secciones de estrategia, demostramos cmoplanear la solucin de un problema, la cual presenta los pasosdetallados necesarios para llegar a los resultados requeridos.

Algunos de los ejemplos se concentran en el diseo y pro-porcionan anlisis detallados de aplicaciones de la esttica aldiseo de ingeniera.

Mecnica en computadorasAlgunos profesores prefieren ensear esttica sin dar nfasis aluso de la computadora. Otros usan la esttica como una opor-tunidad de introducir a los estudiantes al uso de las computado-ras en ingeniera, y piden a los alumnos que escriban sus propiosprogramas en un lenguaje de nivel bsico o que utilicen softwa-re de nivel superior para la resolucin de problemas. Nuestro libroes compatible con ambos enfoques. Existe material opcional demecnica en computadoras en el sitio Web Companion, donde seincluyen tutoriales en MathCad y MATLAB. Para mayor infor-macin, vea la seccin de suplementos.

Programa de ilustracionesReconocemos la importancia de ayudar a los estudiantes a vi-sualizar los problemas de mecnica. Los alumnos prefieren yse sienten ms motivados con situaciones reales. Nuestros tex-tos incluyen muchas fotografas y figuras realistas que ayudanwww.FreeLibros.org

a visualizar las aplicaciones y proporcionar una conexin msfuerte con la prctica de la ingeniera.

Uso del segundo colorPara ayudar a reconocer e interpretar los elementos de las figu-ras, hemos usado ciertos valores de identificacin:

Estos participantes tambin revisaron el texto, los ejemplos ylos problemas para asegurar su exactitud. Cualquier error siguesiendo responsabilidad de nosotros, los autores, y agradecere-mos la comunicacin de estudiantes y profesores en relacincon yerros o reas de mejoramiento. Nuestra direccin de co-rreo es Department of Aerospace Engineering and Enginee-ring Mechanics, University of Texas at Austin, Texas 78712.Nuestra direccin de correo electrnico es: abedford@mail.utexas.edu.

Recursos adicionales

Recursos para el estudianteEl paquete de estudio Statics est diseado para pro-porcionar a los estudiantes herramientas que mejoren sushabilidades al dibujar diagramas de cuerpo libre, y para re-pasar los temas antes de los exmenes. Contiene una ayudapara los diagramas de cuerpo libre con cincuenta problemasde prctica de dificultad ascendente, los cuales incluyen so-luciones completas. Las estrategias y recomendaciones adi-cionales ayudan a los estudiantes a comprender cmo utilizarlos diagramas en la resolucin de problemas relacionados.Este suplemento y material de repaso adicional para cadacaptulo fue preparado por Peter Schiavone de la Universityof Alberta.

Evaluacin en la red y tutoriales: Los estudiantes puedenacceder a los recursos de ayuda, como los problemas de prcti-ca complementarios, en el sitio Web de este libro.

www.pearsoneducacion.net/bedford

Adicionalmente, los profesores pueden asignar tareas en lneaa los estudiantes usando PH GradeAssist. Las respuestas y losresultados se califican y registran de manera electrnica.

En cada tutorial se analiza un concepto bsico de mecni-ca, y despus se muestra cmo resolver un problema relaciona-do con este concepto usando MATLAB y MathCad. Estosarchivos estn disponibles en formato PDF para que los profe-sores las distribuyan entre los estudiantes. Las hojas de trabajofueron desarrolladas por Ronald Larsen y Stephen Hunt de laMontana State University-Bozeman.

Recursos para el profesor

Manual de soluciones para el profesor: Este suplemento,disponible para los profesores en la pgina Web, contiene solu-ciones completas. Cada solucin viene con el enunciado delproblema e ilustraciones asociadas. Cabe aclarar que todos estoscomplementos estn en idioma ingls.

xiv Prefacio

Vectores unitarios

Fuerzas

Posiciones

Pares

Triple verificacin de la exactitud:Compromiso con los estudiantesy profesoresNuestro compromiso con los estudiantes y profesores es tomarprecauciones para asegurar la exactitud del texto hasta dondenuestra capacidad lo permita. Usamos un sistema de tripleverificacin de la exactitud en el cual tres participantes, ade-ms de los autores, resuelven los problemas en un esfuerzo porasegurar que las respuestas son correctas y que tienen un nivelde dificultad apropiado. Nuestro equipo de exactitud se com-pone de:

Scott Hendricks, de la Virginia Polythecnic University Karim Nohra de la University of South Florida Kurt Norlin del Laurel Technical Serviceswww.FreeLibros.org

Prefacio xv

Centro de recursos para el profesor: Contiene diaposi-tivas en PowerPoint y archivos JPEG de todas las ilustracionesdel texto. Tambin contiene series de diapositivas en Power-Point que muestran cada ejemplo.

Evaluacin en la red y recursos adicionales: A travsde PH GradeAssist, el profesor puede crear tareas en lnea paralos estudiantes usando problemas del texto, los cuales estn enun formato algortmico, de manera que cada alumno trabaje conproblemas un poco diferentes. Las respuestas a los problemas seregistran en un libro de calificaciones en lnea que puede ba-jarse en Excel. Para recursos adicionales, acceda al sitio Webdel libro, donde encontrar series de problemas complementa-rios y dems informacin. Para mayores detalles contacte a surepresentante de Pearson Educacin.

ReconocimientosLos siguientes colegas realizaron revisiones con base en su co-nocimiento y experiencia en la enseanza, las cuales fueron degran ayuda al preparar tanto esta edicin como las anteriores.

Shaaban AbdallahUniversity of Cincinnati

Edward E. AdamsMichigan Technological University

George G. AdamsNortheastern University

Raid S. Al-AkkadUniversity of Dayton

Jerry L. AndersonMemphis State University

James G. AndrewsUniversity of Iowa

Robert J. AsaroUniversity of California, San Diego

Leonard B. BaldwinUniversity of Wyoming

Haim BaruhRutgers University

Gautam BatraUniversity of Nebraska

David M. BayerUniversity of North Carolina

Glenn BeltzUniversity of CaliforniaSanta Barbara

Mary BergsMarquette University

Don L. BoyerArizona State University

Spencer BrinkerhoffNorthern Arizona University

L. M. BrockUniversity of Kentucky

William (Randy) BurkettTexas Tech University

Donald CarlsonUniversity of Illinois

Major Robert M. CarpenterU.S. Military Academy

Douglas CarrollUniversity of Missouri, Rolla

Paul C. ChanNew Jersey Institute of Technology

Namas ChandraFlorida State University

James CheneyUniversity of California, Davis

Ravinder ChonaTexas A & M University

Daniel C. DecklerThe University of Akron Wayne College

Anthony DeLuzioMerrimack College

Mitsunori DendaRutgers University

James F. Devine University of South Florida

Craig DouglasUniversity of Massachusetts, Lowell

Marijan DravinskiUniversity of Southern California

S. Olani DurrantBrigham Young University

Estelle EkeCalifornia State University, Sacramento

Bogdan I. EpureanuUniversity of Michigan

William FerranteUniversity of Rhode Islandwww.FreeLibros.org

Robert W. FitzgeraldWorcester Polytechnic Institute

George T. FlowersAuburn University

Mark FrisinaWentworth Institute

Robert W. FuessleBradley University

Walter GerstleUniversity of New Mexico

William GurleyUniversity of Tennessee, Chattanooga

John HansberryUniversity of Massachusetts, Dartmouth

Mark J. HarperUnited States Naval Academy

W. C. HauserCalifornia Polytechnic University, Pomona

Linda HayesUniversity of TexasAustin

R. Craig HendersonTennessee Technological University

Paul R. HeyligerColorado State University

James HillUniversity of Alabama

Robert W. HinksArizona State University

Allen HoffmanWorcester Polytechnic Institute

Edward E. HornseyUniversity of Missouri, Rolla

Robert A. HowlandUniversity of Notre Dame

Joe IanelliUniversity of Tennessee, Knoxville

Ali IranmaneshGadsden State Community College

David B. JohnsonSouthern Methodist University

E. O. Jones, Jr.Auburn University

Serope KalpakjianIllinois Institute of Technology

Kathleen A. KeilCalifornia Polytechnic University, San Luis Obispo

Yohannes KetemaUniversity of Minnesota

Seyyed M. H. KhandaniDiablo Valley College

Charles M. KrousgrillPurdue University

B. Kent LallPortland State University

Chad M. LandisRice Unversity

Kenneth W. LauUniversity of Massachusetts, Lowell

Norman LawsUniversity of Pittsburgh

William M. LeeU.S. Naval Academy

Donald G. LemkeUniversity of Illinois, Chicago

Richard J. LeubaNorth Carolina State University

Richard LewisLouisiana Technological University

John B. LigonMichigan Tech University

Bertram LongNortheastern University

V. J. LopardoU.S. Naval Academy

Frank K. LuUniversity of Texas, Arlington

Mark T. LuskColorado School of Mines

K. MadhavenChristian Brothers College

Nels MadsenAuburn University

James R. MatthewsUniversity of New Mexico

Gary H. McDonaldUniversity of Tennessee

James McDonaldTexas Technical University

Jim MeagherCalifornia Polytechnic State University, San Luis Obispo

Lee MinardiTufts University

xvi Prefacio

www.FreeLibros.org

Prefacio xvii

Norman MunroeFlorida International University

Shanti NairUniversity of Massachusetts, Amherst

Saeed NikuCalifornia Polytechnic State University, San Luis Obispo

Mohammad NooriNorth Carolina State University

Harinder Singh OberoiWestern Washington University

James OConnorUniversity of Texas, Austin

Samuel P. Owusu-OforiNorth Carolina A & T State University

Venkata PanchakarlaFlorida State University

Assimina A. PelegriRutgers University

Noel C. PerkinsUniversity of Michigan

Corrado PoliUniversity of MassachusettsAmherst

David J. PurdyRose-Hulman Institute of Technology

Yitshak RamLouisiana State University

Colin E. RatcliffeU.S. Naval Academy

Daniel RiahiUniversity of Illinois

Charles RitzCalifornia Polytechnic State University, Pomona

George RosboroughUniversity of Colorado, Boulder

Edwin C. RossowNorthwestern University

Kenneth SawyersLehigh University

Robert SchmidtUniversity of Detroit

Robert J. SchultzOregon State University

Richard A. ScottUniversity of Michigan

Brian SelfU.S. Air Force Academy

William SemkeUniversity of North Dakota

Patricia M. ShamamyLawrence Technological University

Sorin SieglerDrexel University

Peng SongRutgers State University

Candace S. SulzbachColorado School of Mines

L. N. TaoIllinois Institute of Technology

Craig Thompson Western Wyoming Community College

John TomkoCleveland State University

Kevin Z. TrumanWashington University

John ValasekTexas A & M University

Christine ValleGeorgia Institute of Technology

Dennis VandenBrinkWestern Michigan University

Thomas J. VaskoUniversity of Hartford

Mark R. VirklerUniversity of Missouri, Columbia

William H. Walston, Jr.University of Maryland

Andrew J. WaltersMississippi University

Reynolds WatkinsUtah State University

Charles WhiteNortheastern University

Norman WittelsWorcester Polytechnic Institute

Julius P. WongUniversity of Louisville

T. W. WuUniversity of Kentucky

Constance ZiemianBucknell Universitywww.FreeLibros.org

xviii Prefacio

Los elementos nuevos que diferencian esta edicin de lasanteriores, particularmente la integracin de texto e ilustra-ciones, fueron desarrollados con ayuda de estudiantes, colegasy editores. Los revisores de las primeras pruebas nos motivarony sugirieron refinamientos tiles. Despus de haber establecidoel nuevo formato, el apoyo que recibimos de Prentice Hall en eldesarrollo de los libros fue estupendo. Nuestra editora TacyQuinn organiz el gran esfuerzo en equipo que requieren los li-bros de este tipo y nos ofreci una ayuda entusiasta y consejosvaliosos. Marcia Horton y Tim Galligan hicieron la revisinms importante desde las conversaciones iniciales acerca denuestras ideas hasta la publicacin del libro. Craig Little con-tinu ensendonos los detalles de la produccin del libro y fueel instrumento para mantener el proyecto dentro del calendarioestablecido. De nuevo, Xiaohong Zhu nos proporcion un apoyoconsumado en los aspectos relativos a ilustraciones y fotografas.Dee Bernhard y Mack Patterson administraron nuestra comu-nicacin con los revisores y usuarios de los libros. Jennifer Lons-

chein proporcion apoyo editorial y de produccin. David Alick,Ben Paris y Kristin Mayo coordinaron el desarrollo de los re-cursos en lnea que se han convertido en herramientas tan esen-ciales para los usuarios. Jonathan Boylan dise las portadas.Agradecemos a Peter Schiavone por desarrollar los paquetes deestudio que acompaan a los libros, y a Stephen Hunt y RonaldLarsen por escribir los apoyos en MATLAB y MathCad. ScoutHendricks, Karim Nohra y Kart Norlin, valiosos colegas denuestras campaas anteriores, nos dieron consejos con respec-to al estilo y la claridad, corrigieron muchos de nuestros erroresy revisaron los manuales de solucin. Somos responsables porlos errores que an quedan. Nancy Bedford nos ofreci conse-jo editorial y nos ayud con la revisin. Muchas otras per-sonas talentosas y profesionales tanto de Prentice Hall como deotras partes tambin contribuyeron en la revisin de este texto, porlo que les estamos agradecidos. Y una vez ms agradecemos anuestras familias, especialmente a Nancy y Marsha, por su pa-ciencia y comprensin en la realizacin de las nuevas ediciones.

Anthony Bedford and Wallace FowlerAustin, Texas

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xix

Acerca de los autores

Anthony Bedford es profesor emrito de Ingeniera Aero-espacial e Ingeniera Mecnica en la University of Texas atAustin, y ha ejercido la docencia desde 1968. Es miembro de laAcademia de Maestros Distinguidos de la University of Texas.Su actividad profesional principal ha sido la educacin y la in-vestigacin en la mecnica para ingeniera. Ha escrito artculossobre teora mixta, propagacin de ondas y la mecnica de im-pactos a alta velocidad, y es autor de los libros Principio deHamilton en Mecnica Continua, Introduccin a la PropagacinElstica de Ondas (con D. S. Drumheller) y Mecnica de Ma-teriales (con K. M. Liechti). Tiene experiencia industrial enDouglas Aircraft Company, TRW, y Sandia National Laborato-ries.

Wallace T. Fowler es Profesor Centenario Paul D. & BettyRobertson de ingeniera en la University of Texas y es directordel Consorcio de Apoyo Espacial de Texas. Pertenece al Ame-rican Institute of Aeronautics and Astronautic (AIAAs) y a laAmerican Society for Engineering Education (ASEE). ElDr. Fowler recibi el premio de excelencia en la enseanza dedinmica general en 1976, el premio John Leland Atwoodde AIAAA y ASEE en 1985 (para el mejor profesor en inge-niera aeroespacial), el premio a la enseanza del consejo demaestros de la University of Texas en 1990-1991, ademsdel premio a la enseanza en diseo Fred Merryfield de ASEEen 1994. En 1997 fue seleccionado para pertenecer a la acade-mia de profesores distinguidos de la University of Texas. ElDr. Fowler tambin se desempe como presidente de la Ame-rican Society for Engineering Education (ASEE) de 2000 a2001. Los intereses del Dr. Fowler relativos a la investigaciny la enseanza en la UT, en Austin, se enfocan en la ingenie-ra y el diseo de sistemas espaciales.

Anthony Bedford (l ) y Wallace T. Fowler

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Mecnica para ingenieraE S T T I C A

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C A P T U L O

1Introduccin

Cmo disean y construyen los ingenieros los dispositivosque se usan en la vida diaria, desde objetos simples como sillasy sacapuntas hasta estructuras complicadas como presas, automviles, aviones y naves espaciales? Ellos deben tener unconocimiento profundo de la fsica subyacente al diseo de talesdispositivos y ser capaces de usar modelos matemticos parapredecir su comportamiento. Al estudiar mecnica, los estudiantes de ingeniera comienzan a aprender cmo analizar ypredecir los comportamientos de los sistemas fsicos.

Los ingenieros utilizan los principios de la esttica en cada paso del diseo yensamble de una estructura. La esttica es una de las ciencias sobre las que sebasa el arte del diseo estructural.

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4 Captulo 1 Introduccin

1.1 Ingeniera y mecnica

ANTECEDENTESCmo pueden los ingenieros disear sistemas complejos y predecir sus caracte-rsticas antes de construirlos? Los ingenieros siempre han confiado en su cono-cimiento de diseos anteriores, en experimentos y en su ingenio y creatividad paraproducir nuevos diseos. Los ingenieros modernos tienen adems una poderosa tc-nica: desarrollan ecuaciones matemticas basadas en las caractersticas fsicas de losobjetos que disean. Con estos modelos matemticos predicen el comportamiento desus diseos, los modifican y los prueban antes de su construccin real: los ingenie-ros aeroespaciales usan modelos matemticos para predecir las rutas que seguir untrasbordador espacial durante su vuelo; los ingenieros civiles usan modelos mate-mticos para analizar los efectos de las cargas sobre edificios y sus cimientos.

En su nivel ms bsico, la mecnica es el estudio de las fuerzas y sus efectos.La mecnica elemental se divide en esttica, que es el estudio de los objetos enequilibrio, y dinmica, que es el estudio de los objetos en movimiento. Los resul-tados obtenidos en la mecnica elemental se aplican directamente a muchos cam-pos de la ingeniera. Los ingenieros civiles y mecnicos que disean estructurasusan ecuaciones de equilibrio obtenidas por medio de la esttica. Tanto los inge-nieros civiles que analizan las respuestas de edificios frente a terremotos, como losingenieros aeroespaciales que determinan las trayectorias de satlites, usan lasecuaciones de movimiento obtenidas de la dinmica.

La mecnica fue la primera ciencia analtica, por eso los conceptos funda-mentales, los mtodos analticos y las analogas de la mecnica se encuentran casien todas las ramas de la ingeniera. Los estudiantes de ingeniera qumica y elc-trica aprecian de una manera ms profunda conceptos bsicos de sus campos,como el equilibrio, la energa y la estabilidad al aprenderlos en sus contextosmecnicos originales. Cuando estudian mecnica vuelven a trazar el desarrollohistrico de esas ideas.

La mecnica consiste en principios generales que rigen el comportamiento delos objetos. En este libro se describen esos principios y se proporcionan ejemplosque muestran algunas de sus aplicaciones. Aunque es esencial que el estudianteresuelva problemas similares a esos ejemplos, y se incluyen muchos problemasde este tipo, el objetivo del texto es ayudar a entender los principios suficiente-mente bien para aplicarlos a las nuevas situaciones que se presenten. Cada gene-racin de ingenieros se enfrenta a problemas nuevos.

Resolucin de problemasEn el estudio de la mecnica usted aprender procedimientos para resolver pro-blemas que usar en cursos posteriores y a lo largo de su carrera. Aunque los dife-rentes tipos de problemas requieren distintos mtodos, los siguientes pasos se apli-can a muchos de ellos:

Identifique la informacin dada y la informacin, o respuesta, que debe deter-minarse. Con frecuencia resulta til reformular el problema en sus propiaspalabras. Cuando sea apropiado, asegrese de que entiende el sistema fsico oel modelo involucrado.

Desarrolle una estrategia para el problema. Esto es, identifique los principiosy ecuaciones aplicables, y plantese cmo los usar. Cuando sea posible,dibuje diagramas para visualizar y resolver el problema.

Siempre que pueda, trate de predecir la respuesta. Esto desarrollar su intui-cin y lo ayudar a reconocer una respuesta incorrecta.

Resuelva las ecuaciones y, cuando sea posible, interprete sus resultados ycomprelos con su prediccin. El ltimo paso se llama verificacin en la rea-lidad. Es razonable su respuesta?www.FreeLibros.org

1.1 Ingeniera y mecnica 5

NmerosLas mediciones, los clculos y los resultados de ingeniera se expresan en nme-ros. Usted necesita saber cmo se expresan los nmeros en los ejemplos y proble-mas de este libro, y cmo deber expresar los resultados de sus propios clculos.

Dgitos significativos Este trmino se refiere al nmero de dgitos significati-vos (o sea, exactos) en un nmero, contando hacia la derecha a partir del primerdgito distinto de cero. Los nmeros 7.630 y 0.007630 estn expresados con cua-tro dgitos significativos. Si se sabe que slo los primeros cuatro dgitos del nme-ro 7,630,000 son exactos, esto se puede indicar escribiendo el nmero en notacincientfica como 7.630 106.

Si un nmero es el resultado de una medicin, los dgitos significativos quecontiene estn limitados por la exactitud de la medicin. Si el resultado de unamedicin es 2.43, esto significa que el valor real estar ms cercano a 2.43 que a2.42 o a 2.44.

Los nmeros pueden redondearse a cierta cantidad de dgitos significativos.Por ejemplo, el valor de puede expresarse con tres dgitos significativos, 3.14,o con seis dgitos significativos, 3.14159. Cuando se usa una calculadora o unacomputadora, el nmero de dgitos significativos est limitado por la cantidad decifras significativas que la mquina puede manejar segn su diseo.

Uso de nmeros en este libro Los nmeros dados en los problemas debentratarse como valores exactos sin importar cuntos dgitos significativos contie-nen. Si un problema establece que una cantidad es igual a 32.2, se puede suponerque su valor es 32.200... Por lo general se utilizarn al menos tres dgitos signifi-cativos para expresar los resultados intermedios y las respuestas en los ejemplos,as como las respuestas a los problemas. Si usa calculadora, sus resultados debentener esa exactitud. Asegrese de evitar los errores que ocurren al redondearresultados intermedios cuando realice una sucesin de clculos. En vez de esto,efecte sus clculos con la exactitud disponible al retener los valores en sucalculadora.

Espacio y tiempoEl espacio se refiere simplemente al universo tridimensional en que vivimos. Lasexperiencias diarias proporcionan una nocin intuitiva del espacio y de las ubica-ciones, o posiciones, de los puntos en ste. La distancia entre dos puntos en elespacio es la longitud de la lnea recta que los une.

Para medir la distancia entre puntos en el espacio se requiere una unidad delongitud. Se usarn tanto las unidades del Sistema Internacional, o unidades SI,como las unidades de uso comn en Estados Unidos. En unidades SI, la unidad delongitud es el metro (m). En unidades de uso comn en Estados Unidos la unidadde longitud es el pie (ft).

Por supuesto, el tiempo resulta familiar; la vida se mide por medio de l. Losciclos diarios de luz y oscuridad y las horas, minutos y segundos medidos por unreloj proporcionan una nocin intuitiva del tiempo. ste se mide mediante los in-tervalos entre eventos repetidos, como las oscilaciones del pndulo de un reloj o lasvibraciones en un reloj de cristal de cuarzo. Tanto en las unidades SI como en las deuso comn en Estados Unidos, la unidad de tiempo es el segundo (s); tambin seutilizan los minutos (min), las horas (h) y los das.

Si la posicin de un punto en el espacio en relacin con algn punto de refe-rencia cambia con el tiempo, la razn del cambio de su posicin se llama veloci-dad, y la razn del cambio de su velocidad se denomina aceleracin. En unidadesSI, la velocidad se expresa en metros por segundo (m/s) y la aceleracin en metrospor segundo cuadrado (m/s2). En las unidades de uso comn en Estados Unidos, la

p

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6 Captulo 1 Introduccin

velocidad se expresa en pies por segundo (pie/s) y la aceleracin en pies sobresegundo cuadrado (pie/s2).

Leyes de NewtonLa mecnica elemental se estableci sobre una base slida con la publicacin en1687 de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Isaac Newton. Aunquesumamente original, este trabajo se bas en conceptos fundamentales desarrolla-dos durante una lucha larga y difcil hacia el conocimiento (figura 1.1).

Guerra del Peloponeso 400 a. C.

d. C. 400

800

1200

1400

1600

1650

1700

Invasin de Roma a Bretaa

Coronacin de Carlomagno

Conquista normanda de Bretaa

Firma de la Carta Magna

Peste bubnica en Europa

Impresin de la Biblia de Gutenberg

Viaje de Coln

Fundacin de la colonia de Jamestown

Guerra de los treinta aosLlegada de los peregrinos a Massachussets

Fundacin de la Universidad de Harvard

Establecimiento en Carolina

Cesin de Pennsylvania a William Penn

Juicios por brujera en Salem

Aristteles: Esttica de palancas, especulaciones sobre dinmicaArqumedes: Esttica de palancas, centros de masa, flotacin

Hero de Alejandra: Esttica de palancas y poleasPapo: Definicin precisa del centro de masa

Juan Filopono: Concepto de inercia

Jordano de Nemora: Estabilidad del equilibrio

Alberto de Sajonia: Velocidad angularNicola dOresme: Cinemtica grfica, coordenadasWilliam Heytesbury: Concepto de aceleracin

Nicols Coprnico: Concepto del sistema solarDominic de Soto: Cinemtica de objetos que caen

Tycho Brahe: Observaciones de movimientos planetarios

Simon Stevin: Principio del trabajo virtualJohannes Kepler: Geometra y cinemtica de movimientos planetarios

Galileo Galilei: Experimentos y anlisis en esttica y dinmica, movimiento de un proyectil

Ren Descartes: Coordenadas cartesianasEvangelista Torricelli: Experimentos sobre hidrodinmica

Blaise Pascal: Anlisis en hidrosttica

John Wallis, Christopher Wren, Christian Huyghens: Impactos entre objetos

Isaac Newton: Concepto de masa, leyes de movimiento, postulado de la gravitacin universal, anlisis de movimientos planetarios

0

Figura 1.1Cronologa de sucesos fundamentales en el desarrollo de la mecnica hasta la publicacinde Principios de Newton, en relacin con otros eventos en la historia.www.FreeLibros.org

1.1 Ingeniera y mecnica 7

Newton estableci tres leyes del movimiento que, expresadas en trminosmodernos, son:

1. Cuando la suma de las fuerzas que actan sobre una partcula es igual a cero,su velocidad es constante. En particular, si inicialmente la partcula se encuen-tra en reposo, permanecer en reposo.

2. Cuando la suma de las fuerzas que actan sobre una partcula no es igual acero, la suma de las fuerzas es igual a la razn de cambio de la cantidad demovimiento lineal de la partcula. Si la masa es constante, la suma de lasfuerzas es igual al producto de la masa de la partcula y su aceleracin.

3. Las fuerzas ejercidas por dos partculas entre si son iguales en magnitud yopuestas en direccin.

Observe que no se defini fuerza ni masa antes de enunciar las leyes de Newton.La visin moderna es que estos trminos se definen mediante la segunda ley. Parademostrarlo, suponga que se elige un cuerpo arbitrario y se especifica que tienemasa unitaria. Luego se define una unidad de fuerza como la fuerza que imparte aesta masa unitaria una aceleracin de magnitud unitaria. En principio, es posibledeterminar la masa de cualquier cuerpo: se le aplica una fuerza unitaria, se midela aceleracin resultante y se usa la segunda ley para determinar la masa. Tambinse puede determinar la magnitud de cualquier fuerza: se le aplica a la masa unita-ria, se mide la aceleracin resultante y se usa la segunda ley para determinar lafuerza.

De esta manera, la segunda ley de Newton proporciona significados precisosa los trminos masa y fuerza. En unidades SI, la unidad de masa es el kilogramo(kg). La unidad de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para impar-tir a una masa de un kilogramo una aceleracin de un metro por segundo al cuadra-do (m/s2). En las unidades del uso comn en Estados Unidos, la unidad de fuerzaes la libra (lb). La unidad de masa es el slug, que es la cantidad de masa acelera-da a un pie por segundo cuadrado por una fuerza de una libra.

Aunque los resultados que se analizan en este libro son aplicables a muchos delos problemas que surgen en la prctica de la ingeniera, hay lmites para la validezde las leyes de Newton. Por ejemplo, stas no dan resultados precisos si un proble-ma implica velocidades que no son pequeas comparadas con la velocidad de la luz(3 108 m/s). La teora de la relatividad especial de Einstein se aplica a tales pro-blemas. La mecnica elemental tambin falla en problemas que implican dimensio-nes que no son grandes comparadas con las dimensiones atmicas. Para describirlos fenmenos en la escala atmica se debe usar la mecnica cuntica.

Sistema internacional de unidadesEn unidades SI, la longitud se mide en metros (m) y la masa en kilogramos (kg).El tiempo se mide en segundos (s), aunque cuando es conveniente tambin se usanlos minutos (min), las horas (h) y los das. A los metros, kilogramos y segundos seles llama unidades bsicas del SI. La fuerza se mide en newtons (N). Recuerde queesas unidades estn relacionadas por la segunda ley de Newton: un newton es lafuerza requerida para imprimir a un objeto de un kilogramo de masa una acelera-cin de un metro por segundo cuadrado:

Como el newton se puede expresar en funcin de las unidades bsicas, se le llamaunidad derivada.

Para expresar cantidades por medio de nmeros de tamao conveniente, losmltiplos de unidades se indican por medio de prefijos. En la tabla 1.1 se mues-tran los prefijos ms comunes, sus abreviaturas y los mltiplos que representan.Por ejemplo, 1 km es 1 kilmetro, o sea 1000 m, y 1 Mg es 1 megagramo, que son106 g o 1000 kg. Con frecuencia se usan los kilonewtons (kN).

1 N = 11 kg211 m/s22 = 1 kg-m/s2.

Tabla 1.1 Prefijos comunes usados en las unidades SI y los mltiplos querepresentan.

Prefijo Abreviatura Mltiplonano- n

micro-mili- mkilo- kmega- Mgiga- G 109

10610310-310-6m10-9

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8 Captulo 1 Introduccin

s

s

R

u

u R

Figura 1.2Definicin de un ngulo en radianes.

Tabla 1.2 Conversin de unidades.

Tiempo 1 minuto 60 segundos1 hora 60 minutos1 da 24 horas

Long. 1 pie 12 pulg1 milla 5280 pies1 pulg 25.4 milmetros1 pie 0.3048 metros

ngulo 2p radianes 360 gradosMasa 1 slug 14.59 kilogramos

Fuerza 1 libra 4.448 newtons=

=

=

====

===

Unidades de uso comn en Estados UnidosEn las unidades de uso comn en Estados Unidos, la longitud se mide en pies (pie)y la fuerza se mide en libras (lb). El tiempo se mide en segundos (s). stas son lasunidades bsicas de uso comn en Estados Unidos. En este sistema de unidades lamasa es una unidad derivada. La unidad de masa es el slug, que es la masa de mate-rial acelerado a un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra. Lasegunda ley de Newton establece que

1 lb = (1 slug)(1 pie/s2).

A partir de esta expresin se obtiene

1 slug = 1 lb-s2/pie.

En este sistema se usan otras unidades como la milla (1 mi = 5280 pies) yla pulgada (1 pie = 12 pulg). Tambin se utiliza la kilolibra (kip), que es igual a1000 lb.

Unidades angularesEn ambos sistemas de unidades los ngulos se expresan normalmente en radianes(rad). En la figura 1.2 se muestra el valor de un ngulo u en radianes. Se definecomo la razn de la parte de la circunferencia subtendida por u y el radio del crcu-lo. Los ngulos tambin se expresan en grados. Como hay 360 grados (360) enun crculo completo y la totalidad de la circunferencia del crculo es 2pR, 360 soniguales a 2p rad.

Las ecuaciones que contienen ngulos casi siempre se obtienen suponiendoque los ngulos se expresan en radianes. Por consiguiente, cuando en una ecuacinse desee sustituir el valor de un ngulo expresado en grados, primero deber con-vertirse a radianes. Una excepcin notable a esta regla es que muchas calculado-ras estn diseadas para aceptar ngulos expresados ya sea en grados o en radia-nes cuando se utilizan para evaluar funciones como sen u.

Conversin de unidadesEn la prctica de ingeniera surgen muchas situaciones que requieren convertirvalores expresados en unidades de una clase a valores en otras unidades. Porejemplo, si algunos de los datos que deben usarse en una ecuacin estn dadosen unidades SI y otros en unidades de uso comn en Estados Unidos, todos sedeben expresar en trminos de un solo sistema de unidades antes de ser sustitui-dos en la ecuacin. La conversin de unidades es sencilla pero debe hacerse concuidado.

Suponga que se desea expresar 1 milla por hora (mi/h) en trminos de pie porsegundo (pie/s). Como 1 milla es igual a 5280 pies y 1 hora equivale a 3600 segun-dos, se pueden emplear las expresiones

como razones cuyos valores son iguales a 1. De esta forma se obtiene

.

En la tabla 1.2 se proporcionan algunas conversiones tiles entre unidades.

1 m/h (1 mi/h) 5280 pies1 mi

h3600 s

=

1 = 1 47. pies/s

5280 1pies1 mi

y h3600 s

1 mi/h

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1.1 Ingeniera y mecnica 9

Identifique la informacin dada y la informacin que debe determinarse.Desarrolle una estrategia; identifique los principios y ecuaciones aplicables y plantese cmo los usar.Siempre que sea posible, trate de predecir la respuesta.Obtenga la respuesta y, cuando sea posible, interprtela y comprela con su prediccin.

Unidades SI: Las unidades bsicas son el tiempo en segundos (s), la longitud en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). La unidad de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para acelerar una masa de un kilogramo a un metro por segundo cuadrado.

Unidades de uso comn en Estados Unidos: Las unidades bsicas son el tiempo en segundos (s), la longitud en pies y la fuerza en libras (lb). La unidad de masa el slug, que es la masa acelerada a un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra.

Las cantidades equivalentes, como 1 hora = 60 minutos, pueden escribirse como razones cuyos valores son 1:

y usarse para realizar la conversin de unidades. Por ejemplo,15 min 15 min 0.25 h.

Resolucin de problemas: Estos pasos se aplican a muchos tipos de problemas.

Sistemas de unidades.

Definicin de un ngulo en radianes.

Conversin de unidades.1 h

60 min 1,

1 h60 min

su R

s

R

u

RESULTADOS

Existe un documento muy completo sobre unidades recopilado por Russ Rowlettde la University of North Carolina en Chapel Hill, el cual est disponible en lneaen www.unc.edu/~rowlett/units.www.FreeLibros.org

10 Captulo 1 Introduccin

Ejemplo 1.2 Conversin de unidades de presin ( Relacionado con el problema 1.16)

Vehculo de sumersin profunda

La presin ejercida en un punto del casco del vehculo de sumersin profunda es de3.00 106 Pa (pascales). Un pascal es 1 newton por metro cuadrado. Determine lapresin en libras por pie cuadrado.EstrategiaA partir de la tabla 1.2, 1 libra = 4.448 newtons y 1 pie = 0.3048 metros. Con estasconversiones de unidades es posible calcular la presin en libras por pie cuadrado.SolucinLa presin (con tres dgitos significativos) es

62,700 lb/pie2

Razonamiento crticoCmo podra haberse obtenido este resultado de una manera ms directa? Obser-ve en la tabla para conversin de unidades de la contraportada de este libro que1 Pa = 0.0209 lb/pie2. Por lo tanto,

3 00 10 3 00 10 0 02096 6. ( . ) . = N/m N/m lb/pie2 22

11 N/m2

= 62,7700 lb/pie2.

3.00 * 106 N/m2 = 13.00 * 106 N/m22a1 lb

4.448 Nb a

0.3048 m

1 ftb

2

Ejemplo activo 1.1 Conversin de unidades ( Relacionado con el problema 1.11)Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 6 metros por segundo (m/s).Qu tan rpido se desplaza en kilmetros por hora (km/h)?EstrategiaUn kilmetro equivale a 1000 metros y una hora a 60 minutos 60 segundos = 3600segundos. Estas unidades de conversin pueden utilizarse para determinar su velo-cidad en km/h.Solucin

Problema de prctica Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 10 pies porsegundo (pie/s). Qu tan rpido se desplaza en millas por hora (mi/h)?Respuesta: 6.82 mi/h.

21.6 km/h.

Convierta de metros a kilmetros.

Convierta de segundos a horas.

6 m/s 6 m/s1 km

1000 m 3600 s

1 h

1 pie

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1.1 Ingeniera y mecnica 11

Ejemplo 1.3 Determinacin de unidades a partir de una ecuacin ( Relacionado con el problema 1.20)Suponga que en la ecuacin de Einstein

la masa m est en kilogramos y la velocidad de la luz c en metros por segundo.

a) Cules son las unidades SI de E?b) Si el valor de E en unidades SI es igual a 20, cul es su valor en las unidadesbsicas de uso comn en Estados Unidos?

Estrategia

a) Como se conocen las unidades de los trminos m y c, es posible deducir las uni-dades de E a partir de la ecuacin dada.b) Pueden usarse las conversiones de unidades para la masa y la longitud dadas enla tabla 1.2 para convertir E de unidades SI a unidades de uso comn en EstadosUnidos.

Solucin

a) De la ecuacin para E,

las unidades SI de E son kg-m2/s2.

b) De la tabla 1.2, 1 slug 14.59 kg y 1 pie 0.3048 metros. Por lo tanto,

El valor de E en unidades de uso comn en Estados Unidos es

E = (20)(0.738) = 14.8 slug-pie2/s2.

Razonamiento crticoEn el inciso a), cmo se supo que era posible determinar las unidades de E aldeterminar las unidades de mc2? Las dimensiones, o unidades, de cada trmino enuna ecuacin deben ser las mismas. Por ejemplo, en la ecuacin a b c, lasdimensiones de cada uno de los trminos a, b y c deben ser las mismas. Se diceque la ecuacin es dimensionalmente homognea. Este requisito se expresamediante la frase coloquial. No se pueden comparar peras con manzanas.

1 1kg-m /s kg-m /s ) 1 slug14.59 kg

2 2 2 2=

(

11 pie0.3048 m

=

2

0 738. sslug-pie /s .2 2

E = 1m kg21c m/s22,

E = mc2,

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12 Captulo 1 Introduccin

1.1 El valor p es 3.14159265 C es la circunferencia de un crcu-lo y r su radio. Determine el valor de r/C con cuatro dgitos signi-ficativos.

Problemas

Problema 1.1

C

r

1.2 La base de los logaritmos naturales es e = 2.718281828....a) Exprese e con cinco dgitos significativos.b) Determine el valor de e2 con cinco dgitos significativos.c) Use el valor de e obtenido en el inciso a) para determinar elvalor de e2 con cinco dgitos significativos.[El inciso c) demuestra el peligro de usar valores redondeados du-rante los clculos].

1.3 Un tcnico perfora un agujero circular en un panel con unradio nominal r = 5 mm. El radio real del agujero est en el rangor = 5 0.01 mm.a) Hasta cul nmero de dgitos significativos puede expresar elradio?b) Hasta cul nmero de dgitos significativos puede expresar elrea del agujero?

5 mm

Problema 1.3

1.5 El Burj Dubai, que debe estar terminado en 2008, ser el edifi-cio ms alto del mundo con una altura de 705 m. El rea de su baseser de 8000 m2. Convierta su altura y su rea de base en unidadesde uso comn en Estados Unidos con tres dgitos significativos.

Problema 1.5

Problema 1.4

1.4 Una portera de ftbol tiene 24 pies de ancho y 8 de alto, porlo que el rea es 24 8 pies 192 pies2. Cul es el rea en m2con tres dgitos significativos?

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Problemas 13

Problema 1.8

1.7 Suponga que se sabe que la altura del Monte Everest estentre 29,032 pies y 29,034 pies. Con base en esta informacin, acuntos dgitos significativos puede expresarse la altura a) en piesy b) en metros?

1.8 El tren maglev (levitacin magntica) que viaja de Shangai alaeropuerto en Pundong alcanza una velocidad de 430 km/h. Deter-mine su velocidad a) en mi/h y b) en pie/s.

1.6 Suponga que acaba de comprar un Ferrari F355 Coup ydesea saber si puede usar su juego de llaves SAE (unidades de usocomn en Estados Unidos) para trabajar en l. Usted tiene llavescon anchos v = 1/4 pulg, 1/2 pulg, 3/4 pulg y 1 pulg y el automviltiene tuercas con dimensiones n = 5 mm, 10 mm, 15 mm, 20 mmy 25 mm. Si se establece que una llave ajusta si v no es 2% mayorque n, cul de sus llaves puede usar?

w n

Problema 1.6

1.11 La energa cintica del hombre del ejemplo activo 1.1 sedefine mediante donde m es su masa y v es su velocidad.La masa del hombre es 68 kg y se mueve a 6 m/s, de forma que suenerga cintica es Cul essu energa cintica en unidades de uso comn en Estados Unidos?

1.12 La aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar en uni-dades SI es g = 9.81 m/s2. Mediante la conversin de unidades,use este valor para determinar la aceleracin debida a la gravedadal nivel del mar en unidades de uso comn en Estados Unidos.

1.13 Un estadio por quincena es una unidad de velocidad enbroma, inventada tal vez por un estudiante como comentario sat-rico sobre la gran variedad de unidades con la que deben tratar losingenieros. Un estadio equivale a 660 pies (1/8 milla). Una quin-cena consta de 2 semanas (14 noches). Si usted camina rumbo asu clase a 2 m/s, cul es su velocidad en estadios por quincenacon tres dgitos significativos?

1.14 Determine el rea de la seccin transversal de la viga a) enm2 y b) en pulg2.

12(68 kg)(6 m/s)2 = 1224 kg-m2/s2.

12 mv

2,

Problema 1.10

1.9 En los Juegos Olmpicos de Invierno de 2006, la carrera deski a campo traviesa de 15 km fue ganada por Andrus Veerpalu deEstonia en un tiempo de 38 minutos 1.3 segundos. Determine suvelocidad promedio (la distancia viajada entre el tiempo utilizado)con tres dgitos significativos a) en km/h y b) en mi/h.

1.10 El motor del Porsche ejerce un par de torsin de 229 pies-lb(pies-libra) a 4600 rpm. Determine el valor del par de torsin enN-m (newton-metros).

Problema 1.14

120 mm x

y

40 mm

40 mm

40mm

200 mmwww.FreeLibros.org

14 Captulo 1 Introduccin

x

y

A

Problema 1.15

1.15 El rea de la seccin transversal de la viga de acero CanalEstndar Americano es A = 8.81 pulg2. Cul es el reade su seccin transversal en mm2?

C12*30

1.16 Un transductor de presin mide un valor de 300 lb/pulg2.Determine el valor de la presin en pascales. Un pascal (Pa) esigual a un newton por metro cuadrado.

Problema 1.17

1.17 Un caballo de fuerza equivale a 550 pies-lb/s. Un watt esigual a 1 N-m/s. Determine cuntos watts son generados por losmotores de un jet comercial, si stos producen 7000 caballos defuerza.

1.18 En el captulo 7 se analizan las cargas distribuidas, que seexpresan en unidades de fuerza por unidad de longitud. Si el valorde una carga distribuida es de 400 N/m, cul es su valor enlb/pie?

1.19 El momento de inercia del rea rectangular con respecto aleje x est dado por la ecuacin

Las dimensiones del rea son b = 200 mm y h = 100 mm. Deter-mine el valor de I con cuatro dgitos significativos en trminos dea) mm4, b) m4 y c) pulg4.

I = 13 bh3.

h

bx

y

Problema 1.19

1.20 En el ejemplo 1.3, en vez de la ecuacin de Einsten con-sidere la ecuacin L = mc, donde la masa m est en kilogramos yla velocidad de la luz c est en metros por segundo. a) Culesson las unidades SI de L? b) Si el valor de L en unidades SI es 12,cul es el valor en unidades bsicas de uso comn en EstadosUnidos?

1.21 La ecuacin

se usa en la mecnica de materiales para determinar esfuerzos nor-males en vigas.a) Cuando esta ecuacin se expresa en trminos de unidades bsi-cas SI, M est en newton-metros (N-m), y est en metros (m) e Iest en metros a la cuarta potencia (m4). Cules son las unidadesSI de s?b) Si M 2000 N-m, y 0.1 m e I 7 105 m4, cul es elvalor de s en unidades bsicas de uso comn en Estados Unidos?

s =MyI

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1.2 Gravitacin de Newton 15

1.2 Gravitacin de Newton

ANTECEDENTESNewton postul que la fuerza gravitatoria entre dos de masas m1 y m2 que estnseparadas por la distancia r (figura 1.3) es

(1.1)

donde G se denomina constante de gravitacin universal. El valor de G en unida-des SI es 6.67 1011 N-m2/kg2. Con base en su postulado, Newton calcul lafuerza gravitatoria entre una partcula de masa m1 y una esfera homognea de masam2, y encontr que tambin est dada por la ecuacin (1.1), donde r expresa la dis-tancia de la partcula al centro de la esfera. Aunque la Tierra no es una esferahomognea, es posible usar este resultado para obtener el peso aproximado de uncuerpo de masa m debido a la atraccin gravitatoria de la Tierra. Se tiene

(1.2)

donde mE es la masa de la Tierra y r es la distancia del centro de la Tierra al obje-to. Observe que el peso de un cuerpo depende de su posicin con respecto al cen-tro de la Tierra, mientras que la masa del cuerpo es una medida de la cantidad demateria que contiene y que no depende de su posicin.

Cuando el peso de un objeto es la nica fuerza que acta sobre l, la acelera-cin resultante se denomina aceleracin debida a la gravedad. En este caso lasegunda ley de Newton establece que W ma, y de la ecuacin (1.2) se observaque la aceleracin debida a la gravedad es

(1.3)

La aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar se expresa con g. Si elradio de la Tierra se representa mediante RE, se observa a partir de la ecuacin (1.3)que Sustituyendo este resultado en la ecuacin (1.3), se obtiene unaexpresin para la aceleracin debida a la gravedad a una distancia r del centro dela Tierra en funcin de la aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar:

(1.4)

Como el peso del cuerpo es W ma, el peso de un cuerpo a una distancia rdel centro de la Tierra es

(1.5)

Al nivel del mar (r RE), el peso de un cuerpo est dado en funcin de sumasa mediante la simple relacin

(1.6)

El valor de g vara de lugar a lugar sobre la superficie de la Tierra. Los valo-res que se usarn en los ejemplos y problemas son g 9.81 m/s2 en unidades SIy g 32.2 pies/s2 en unidades de uso comn en Estados Unidos.

W = mg.

W = mg RE2

r 2.

a = g RE2

r 2.

GmE = gRE2.

a =GmE

r 2.

W =GmmE

r 2,

F =Gm1 m2

r 2,

m2F

m1

F

r

Figura 1.3Las fuerzas gravitatorias entre dos partculasson iguales en magnitud y estn dirigidas a lolargo de la lnea que las une.

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16 Captulo 1 Introduccin

donde G es la constante de gravitacin universal. El valor de G en unidades SI es

6.67 10 11 N-m2/kg2.

donde g es la aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar.

donde m es la masa del objeto y g es la aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar.

W mg, (1.6)

F (1.1),

Cuando la Tierra se modela como una esfera homognea de radio RE, la aceleracin debida a la gravedad a una distancia r desde el centro es

La fuerza gravitatoria entre dos partculas de masas m1 y m2 que estn separadas por la distancia r es

Gravitacin de Newton.

Aceleracin debida a la gravedad de la tierra.

Peso de un objeto al nivel del mar.

Gm1m2r2

,a g (1.4)R2E

r2

Ejemplo activo 1.4 Peso y masa ( Relacionado con el problema 1.22)

La prensa C que se muestra en la figura pesa 14 oz al nivel del mar [16 oz (onzas)1 lb]. La aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar es g 32.2 pies/s2. Cules la masa de la prensa C en slugs?

EstrategiaPrimero debe determinarse el peso de la prensa C en libras. Despus puede usarsela ecuacin (1.6) para determinar la masa en slugs.

Solucin

Problema de prctica La masa de la prensa C es 0.397 kg. La aceleracin debi-da a la gravedad al nivel del mar es g 9.81 m/s2. Cul es el peso de la prensa Cal nivel del mar en newtons?Respuesta: 3.89 N.

Convierta el peso de onzas a libras.

Use la ecuacin (1.6) para calcular la masa en slugs.

0.875 lb32.2 pies/s2

1 lb16 oz

Wgm 0.0272 slug.

14 oz 14 oz 0.875 lb.

RESULTADOS

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1.2 Gravitacin de Newton 17

Ejemplo 1.5 Determinacin del peso de un objeto ( Relacionado con el problema 1.27)Cuando el vehculo exploratorio de Marte (Rover) se ensambl por completo, sumasa fue de 180 kg. La aceleracin debida a la gravedad en la superficie de Martees 3.68 m/s2 y el radio de Marte es 3390 km.

a) Cul era el peso del Rover cuando estaba al nivel del mar en la Tierra?b) Cul es el peso del Rover sobre la superficie de Marte?c) La fase de ingreso comenz cuando la nave espacial alcanz el punto de inter-faz con la atmsfera de Marte a 3522 km desde el centro de Marte. Cul era elpeso del Rover en ese punto?

Operacin de ensamble del vehculo exploratorio de Marte (Rover)

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18 Captulo 1 Introduccin

Estrategia

El peso del Rover al nivel del mar en la Tierra est dado por la ecuacin (1.6) cong 9.81 m/s2.

El peso sobre la superficie de Marte puede determinarse mediante el uso de la ecua-cin (1.6), con la aceleracin debida a la gravedad igual a 3.68 m/s2.

Para determinar el peso del Rover al inicio de la fase de introduccin, se puede es-cribir una ecuacin para Marte equivalente a la ecuacin (1.5).

Solucin

a) El peso al nivel del mar en la Tierra es

b) Sea gM 3.68 m/s2 la aceleracin debida a la gravedad en la superficie de Marte.Entonces el peso del Rover sobre la superficie de Marte es

c) Sea RM 3390 km el radio de Marte. A partir de la ecuacin (1.5), el peso delRover cuando ste se encuentra a 3522 km por encima del centro de Marte es

Razonamiento crticoEn el inciso c), cmo supo que la ecuacin 1.5 poda aplicarse a Marte? La ecua-cin 1.5 se aplica a la Tierra con base en su modelacin como una esfera homo-gnea. La ecuacin puede ser aplicada a otros cuerpos celestes bajo el mismosupuesto. La exactitud de los resultados depende de qu tan poco esfrico y nohomogneo sea el objeto.

= 614 N 1138 lb2.

= 1180 kg213.68 m/s22 13,390,000 m22

13,522,000 m22

W = mgM RM2

r 2

= 662 N 1149 lb2.

= 1180 kg213.68 m/s22

W = mgM

= 1770 N 1397 lb2.

= 1180 kg219.81 m/s22

W = mg

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Problema 1.29

Problemas 19

1.28 Si un objeto est cerca de la superficie de la Tierra, la varia-cin de su peso debida a su distancia desde el centro de la Tierrafrecuentemente se omite. La aceleracin debida a la gravedad alnivel del mar es g 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370km. El peso de un objeto al nivel del mar es mg, donde m es sumasa. A que altura sobre la superficie terrestre el peso del objetose reduce a 0.99mg?

1.29 El planeta Neptuno tiene un dimetro ecuatorial de 49,532 kmy su masa es 1.0247 1026 kg. Si el planeta se modela como una es-fera homognea, cul es la aceleracin debida a la gravedad en susuperficie? (La constante gravitatoria universal es G 6.67 1011N-m2/kg2).

1.22 La aceleracin debida a la gravedad en la superficie de laLuna es 1.62 m/s2. a) Cul sera la masa de la prensa C del ejem-plo activo 1.4 sobre la superficie de la Luna? b) Cul sera elpeso de la prensa C en newtons sobre la superficie de la Luna?

1.23 El cubo de hierro de 1 pie 1 pie 1 pie pesa 490 lb alnivel del mar. Determine el peso en newtons de un cubo de 1 m 1 m 1 m del mismo material al nivel del mar.

Problemas

1 pie

1 pie 1 pie

Problema 1.23

1.24 El rea del Ocano Pacfico es 64,186,000 millas cuadradasy tiene una profundidad promedio de 12,925 pies. Suponga que elpeso por unidad de volumen del agua del ocano es 64 lb/pie3.Determine la masa del Ocano Pacfico a) en slugs y b) en kilo-gramos.

1.25 La aceleracin debida a la gravedad al nivel del mar es g 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370 km. La constantegravitatoria universal es G 6.67 1011 N-m2/kg2. Use esta in-formacin para determinar la masa de la Tierra.

1.26 Una persona pesa 180 lb al nivel del mar. El radio de la Tie-rra es de 3960 millas. Qu fuerza ejerce la atraccin gravitatoriade la Tierra sobre la persona si sta se encuentra en una estacinespacial en rbita a 200 millas sobre la superficie de la Tierra?

1.27 La aceleracin debida a la gravedad en la superficie de laLuna es 1.62 m/s2. El radio de la Luna es RM 1738 km (consul-te el ejemplo 1.5).a) Cul es el peso en Newtons en la superficie de la Luna de unobjeto que tiene una masa de 10 kg?b) Usando el mtodo descrito en el ejemplo 1.5, determine la fuer-za ejercida sobre el objeto por la gravedad de la Luna si ste seencuentra a 1738 km por encima de la superficie lunar.

1.30 En un punto entre la Tierra y la Luna, la magnitud de lafuerza ejercida sobre un objeto por la gravedad de la Tierra esigual a la magnitud de la fuerza ejercida sobre el objeto por lagravedad de la Luna. Cul es la distancia desde el centro de la Tierra hasta ese punto, con tres dgitos significativos? La dis-tancia desde el centro de la Tierra hasta el centro de la Luna es383,000 km, y el radio de la Tierra es 6370 km. El radio de laLuna es 1738 km, y la aceleracin debida a la gravedad en susuperficie es 1.62 m/s2.

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V Los campos de vectores muestran las velocidades y direcciones de un flujode gas en tres posiciones verticales. Los vectores se utilizan para describir yanalizar cantidades que tienen magnitud y direccin, incluyendo posiciones,fuerzas, momentos, velocidades y aceleraciones.

Vectores

Si un objeto est sometido a varias fuerzas que tienen diferentesmagnitudes y actan en distintas direcciones, cmo pueden de-terminarse la magnitud y la direccin de la fuerza total resultantesobre el objeto? Las fuerzas son vectores y deben sumarse deacuerdo con la definicin de la suma de vectores. En ingenierase trata con muchas cantidades que tienen tanto magnitud comodireccin y que pueden expresarse y analizarse como vectores.En este captulo se revisan las operaciones con vectores, se ex-presan los vectores en trminos de sus componentes y se presen-tan ejemplos de aplicaciones de los vectores a la ingeniera.

C A P T U L O

2

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22 Captulo 2 Vectores

2.1 Escalares y vectores

ANTECEDENTESUna cantidad fsica que puede describirse mediante un nmero real se denominaescalar. El tiempo es una cantidad escalar; la masa tambin lo es. Por ejemplo, sepuede describir la masa de un automvil al decir que su valor es 1200 kg.

Por otro lado, para describir una cantidad vectorial se debe especificar tantoun nmero real no negativo, o magnitud, como una direccin. Dos cantidades vec-toriales son iguales slo si sus magnitudes y direcciones son iguales.

La posicin de un punto en el espacio en relacin con otro es una cantidadvectorial. Para describir la localizacin de una ciudad con respecto a su casa, no essuficiente decir que est a 100 millas; debe decir que est 100 millas al oeste de sucasa. La fuerza tambin es una cantidad vectorial: cuando usted empuja un mue-ble sobre el piso, aplica una fuerza de magnitud suficiente para moverlo en ladireccin deseada.

Los vectores se representarn mediante letras en negritas, U, V, W, ..., y lamagnitud de un vector U se denotar por medio de U. Un vector se representagrficamente por medio de una flecha: su direccin indica el sentido del vector ysu longitud se define como proporcional a la magnitud. Por ejemplo, considere lospuntos A y B del mecanismo de la figura 2.1a. La posicin del punto B respectoal punto A puede especificarse mediante el vector rAB de la figura 2.1b. La direc-cin de rAB indica la direccin del punto A hacia el punto B. Si la distancia entrelos dos puntos es 200 mm, la magnitud rAB 200 mm.

En la figura 2.2, el cable AB ayuda a soportar la torre de transmisin de tele-visin. La fuerza que ejerce el cable sobre la torre se puede representar por mediode un vector F, como se muestra en la figura. Si el cable ejerce una fuerza de800 N sobre la torre, F 800 N (un cable tal mostrara algn pandeo, o curva-tura, y la tensin variara junto con su longitud; por ahora, supondremos que lacurvatura en los cables y cuerdas suspendidas y las variaciones en sus tensionespueden ignorarse, supuesto ms o menos vlido si el peso de la cuerda o el cablees pequeo en comparacin con la tensin. En el captulo 10 se estudiarn y ana-lizarn los cables y las cuerdas suspendidas con mayor detalle).

Los vectores son un medio conveniente para representar cantidades fsicasque tienen magnitud y direccin, aunque eso es slo el principio de su utilidad. Ascomo los nmeros reales se manipulan con las reglas conocidas para la suma, laresta, la multiplicacin, etctera, existen reglas para operar con vectores. Esasreglas proporcionan herramientas poderosas para el anlisis en ingeniera.

Suma vectorialCuando un objeto se mueve de un lugar a otro en el espacio, se dice que expe-rimenta un desplazamiento. Si se mueve un libro (o, hablando de manera msprecisa, algn punto de un libro) de un lugar de la mesa a otro, como muestra lafigura 2.3a, es posible representar el desplazamiento mediante el vector U. Ladireccin de U indica la direccin del desplazamiento y |U| es la distancia recorri-da por el libro.

Suponga que al libro se le da un segundo desplazamiento V, como se mues-tra en la figura 2.3b. Los desplazamientos U y V equivalen a un solo desplaza-miento del libro de su posicin inicial a su posicin final, que se representamediante el vector W en la figura 2.3c. Observe que la posicin final del libroes la misma si primero ocurre el desplazamiento U y despus el desplazamientoV que si primero ocurre el desplazamiento V y luego el desplazamiento U (figu-ra 2.3d). El desplazamiento W se define como la suma de los desplazamientosU y V:

U V W.

A

B

(a)

(b)

B

rAB

A

B

A

Figura 2.1(a) Dos puntos, A y B, de un mecanismo.(b) Vector rAB de A hacia B.

F

A

B

Figura 2.2Representacin de la fuerza que ejerce el cableAB sobre la torre, por medio de un vector F.

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2.1 Escalares y vectores 23

(a) (b)

(c) (d)

U U V

U V

WUV

U V

W

(a)

U

V

(b)

U

V

UU V

V

(c)

(d)

UU

V

V

(e)

U

V

U V U V

Figura 2.4(a) Dos vectores, U y V.(b) La cabeza de U colocada en la cola de V.(c) Regla del tringulo para obtener la suma de U y V.(d) La suma es independiente del orden en que se sumen los

vectores.(e) Regla del paralelogramo para obtener la suma de U y V.

Figura 2.3(a) Desplazamiento representado por el vector U.(b) El desplazamiento U seguido por el desplaza-

miento V.(c) Los desplazamientos U y V son equivalentes al

desplazamiento W.(d) La posicin final del libro no depende del orden

de los desplazamientos.

U

V

W

U V W

Figura 2.5Suma de tres vectores U, V y W.

La definicin de suma vectorial est basada en la suma de desplazamientos.Considere los vectores U y V de la figura 2.4a. Si se colocan cabeza con cola (figu-ra 2.4b), su suma se define como el vector que va de la cola de U a la cabeza de V(figura 2.4c). Esto se llama regla del tringulo para la suma vectorial. La figura2.4d demuestra que la suma es independiente del orden en que los vectores se colo-can cabeza con cola. De esta figura se obtiene la regla del paralelogramo para lasuma vectorial (figura 2.4e).

La definicin de la suma vectorial implica que

U V V U La suma vectorial es conmutativa. (2.1)y

(U V) W U (V W) La suma vectorial es (2.2)asociativa.

para cualesquiera vectores U, V y W. Estos resultados indican que al sumar dos oms vectores, el orden en que se sumen no importa. La suma puede obtenerse colo-cando los vectores cabeza con cola en cualquier orden. El vector que va de la coladel primer vector a la cabeza del ltimo es la suma (figura 2.5a). Si la suma de doso ms vectores es igual a cero, los vectores forman un polgono cerrado cuando secolocan cabeza con cola (figura 2.6).

WU

V

Figura 2.6Tres vectores U, V y W cuya suma es igual acero.www.FreeLibros.org

24 Captulo 2 Vectores

Una cantidad fsica se denomina vector si tiene magnitud y direccin y obe-dece la definicin de la suma vectorial. Se sabe que un desplazamiento es un vec-tor. La posicin de un punto en el espacio respecto a otro punto tambin es unacantidad vectorial. En la figura 2.7, el vector rAC de A a C es la suma de rAB y rBC.Una fuerza tiene direccin y magnitud pero, obedecen las fuerzas la definicin dela suma vectorial? Por ahora se asumir que s. Cuando se estudie la dinmica, semostrar que la segunda ley de Newton implica que la fuerza es un vector.

Producto de un escalar y un vectorEl producto de un escalar (nmero real) a por un vector U es un vector que seescribe como aU. Su magnitud es aU, donde a es el valor absoluto del escalara. La direccin de aU es igual que la de U cuando a es positivo y es opuesta a ladireccin de U cuando a es negativo.

El producto (1)U se escribe U y se llama negativo del vector U. Tiene lamisma magnitud que U pero direccin opuesta. La divisin de un vector U entreun escalar a se define como el producto

En la figura 2.8 se muestran un vector U y los productos de U con los escalares2, 1 y 1/2.

Las definiciones de la suma vectorial y del producto de un escalar y un vec-tor implican que

El producto es asociativo con respecto (2.3)a la multiplicacin escalar.

Los productos son distributivos con (2.4)respecto a la suma escalar.

y

Los productos son distributivos con (2.5)respecto a la suma vectorial.

para cualesquiera escalares a y b y vectores U y V. Estos resultados sern necesa-rios cuando se estudien las componentes de los vectores.

Resta vectorialLa diferencia de dos vectores U y V se obtiene sumando U al vector (1)V:

(2.6)

Considere los dos vectores U y V que se muestran en la figura 2.9a. El vector(1)V tiene la misma magnitud que el vector V pero direccin opuesta (figura2.9b). En la figura 2.9c se suma el vector U al vector (1)V para obtener U V.

Vectores unitariosUn vector unitario es simplemente un vector cuya magnitud es igual a la unidad. Unvector unitario especifica una direccin y permite expresar en forma convenienteun vector que tiene una direccin particular. Si un vector unitario e y un vector Utienen la misma direccin, se puede escribir U como el producto de su magnitudU y el vector unitario e (figura 2.10),

U = U e.

U - V = U + 1-12V.

a1U + V2 = aU + aV,

1a + b2U = aU + bU,

a1bU2 = 1ab2U,

Ua

= a1

abU.

AAAA

BBrABABrAB

CC

rACACrAC

rrBCBCrBC

Figura 2.7Las flechas que denotan las posicionesrelativas de los puntos son vectores.

U 2U U (1)U U2

12

U

U V

(c)

U

(1)V

(1)V

(b)

U V

V

(a)

Figura 2.8Un vector U y algunos de sus mltiplos escalares.

Figura 2.9(a) Dos vectores U y V.(b) Vectores V y (1)V.(c) La suma de U y (1)V es la diferencia

vectorial U V.www.FreeLibros.org

2.1 Escalares y vectores 25

Cualquier vector U puede verse como el producto de su magnitud y un vector uni-tario que tiene la misma direccin de U. Dividiendo ambos lados de esta ecuacinentre U se obtiene

entonces, al dividir cualquier vector entre su magnitud se obtiene un vector unita-rio que tiene la misma direccin.

RESULTADOSUna cantidad fsica que est completamente descrita por un nmero real se llamaescalar. Un vector tiene tanto magnitud como direccin y satisface una regla defi-nida para la suma. Un vector se representa grficamente mediante una flecha cuyalongitud se define como proporcional a la magnitud.

UU

= e,U

U

Ue Ue 1

Figura 2.10Como U y e tienen la misma direccin, el vec-tor U es igual al producto de su magnitud y e.

Regla del tringulo

UU V

V

Regla del paralelogramo

U

V

U V

Suma vectorialLa suma de dos vectores U y V se define mediante la regla del tringulo o su equivalente, la regla del paralelogramo.

U 2U U (1)U U

Producto de un escalar y un vectorEl producto de un escalar a y un vector U se define como un vector aU con magnitud aU. Su direccin es la misma que la de U cuando a es positiva y opuesta a la de U cuando a es negativa. La divisin de U entre a se define como el producto (1/a)U. U2

12

U V U

(1)V

U V

Resta vectorialLa diferencia de dos vectores U y V se define por medio de

U V U (1)V.

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26 Captulo 2 Vectores

UU

Ue Ue 1

Vectores unitariosUn vector unitario es aquel que tiene una magnitud de 1. Cualquier vector U puede expresarse como |U|e, donde e es un vector unitario con la misma direccin que U. Al dividir un vector U entre su magnitud se obtiene un vector unitario con la misma direccin de U.

Ejemplo activo 2.1 Operaciones vectoriales ( Relacionado con el problema 2.1)

El valor medido de

2V

13.0

U

45

U 2V es 13.0.

Dibuje los vectores U y 2V a escala, colquelos cabeza con cola.

2V6

8U

45

Las magnitudes de los vectores que se muestran son U 8 y V 3. El vector Ves vertical. Determine grficamente la magnitud del vector U 2V.

EstrategiaAl dibujar los vectores a escala y aplicar la regla del tringulo para la suma, es po-sible medir la magnitud del vector U 2V.

Solucin

U V

45

Problema de prctica Las magnitudes de los vectores que se muestran son U 8 yV 3. El vector V es vertical. Determine grficamente la magnitud del vector U 2V.

Respuesta: |U - 2V| = 5.7.

VU

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Problemas 27

Una parte del techo en voladizo de un estadio deportivo debe estar soportada por loscables AB y AC. Las fuerzas que ejercen los cables sobre la pila a la que estn uni-dos se representan con los vectores FAB y FAC. Las magnitudes de las fuerzas sonFAB 100 kN y FAC 60 kN. Determine la magnitud y la direccin de la sumade las fuerzas ejercidas sobre la pila por los cables.

Ejemplo 2.2 Suma de Vectores ( Relacionado con el problema 2.2)

EstrategiaAl dibujar el paralelogramo, con los vectores a escala, para sumar las dos fuerzasse puede medir la magnitud y direccin de su suma.

SolucinSe construye grficamente el paralelogramo para obtener la suma de las dos fuer-zas con las longitudes de FAB y FAC proporcionales a sus magnitudes (figura a). Mi-diendo la figura, se estima que la magnitud del vector FAB FAC es de 155 kN y sudireccin es de 19 sobre la horizontal.

Razonamiento crticoEn las aplicaciones de ingeniera, las operaciones con vectores casi siempre sehacen de manera analtica. Entonces, por qu es importante adquirir experienciacon los mtodos grficos? Al hacerlo se mejora la intuicin acerca de los vectoresy ayuda a entender las operaciones vectoriales. Asimismo, el bosquejo de una solu-cin grfica puede ayudar frecuentemente a formular una solucin analtica.

B

AC

3030

FAC

FAB

FAB

FAC

FAB FAC

100 kN

60 kN

19

(a) Solucin grfica.

Problemas

2.1 En el ejemplo activo 2.1, suponga que los vectores U y Vse reorientan como lo muestra la figura. El vector V es vertical.Las magnitudes son U 8 y V 3. Determine en forma grfi-ca la magnitud del vector U 2V.

VU

45

Problema 2.1

2.2 Suponga que la pila del ejemplo 2.2 se coloca ms cercadel estadio de manera que el ngulo entre las fuerzas FAB y FACes de 50. Dibuje un bosquejo de la nueva situacin. Las magnitu-des de las fuerzas son FAB 100 kN y FAC 60 kN. Determinegrficamente la magnitud y la direccin de la suma de las fuerzasejercidas por los cables sobre la pila.

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28 Captulo 2 Vectores

FB

FA

a

FC

2.3 La magnitud FA 80 lb y el ngulo a 65. La magni-tud FA FB 120 lb. Determine grficamente la magnitud de FB.

2.4 Las magnitudes FA 40 N, FB 50 N y FC 40 N. Losngulos a 50 y b 80. Determine grficamente la magnitudde FA FB FC.

2.5 Las magnitudes FA FB FC 100 lb, y el ngulo a 30. Determine grficamente el valor del ngulo b para elcual la magnitud FA FB FC es mnima y el valor mnimo deFA FB FC.

2.6 El ngulo u 50. Determine grficamente la magnitud delvector rAC.

Problemas 2.32.5

60 mm 150 mm

A C

BrAB rBC

rAC

Problema 2.6

2.7 Los vectores FA y FB representan las fuerzas ejercidaspor la banda sobre la polea. Sus magnitudes son FA 80 N yFB 60 N. Determine grficamente la magnitud de la fuerzatotal que ejerce la banda sobre la polea.

45

FA

FB

10

Problema 2.7

2.8 La suma de las fuerzas FA FB FC 0. La magnitud FA 100 N y el ngulo a 60. Determine grficamente lasmagnitudes FB y FC.

2.9 La suma de las fuerzas FA FB FC 0. Las magnitudesFA 100 N y FB 80 N. Determine grficamente la magni-tud FC y el ngulo a.

30

FB

FA

FC

a

Problemas 2.8/2.9

Al resolver los problemas 2.3 a 2.5 consulte el siguientediagrama. Los vectores de fuerza FA, FB y FC pertenecenal mismo plano.

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Problemas 29

2.10 Las fuerzas que actan sobre el planeador estn represen-tadas por tres vectores. El empuje L y el arrastre D son perpen-diculares. La magnitud del peso W es de 500 lb. La suma de lasfuerzas W L D 0. Determine grficamente las magnitudesdel empuje y el arrastre.

W

D

L

25

Problema 2.10

2.12 La cuerda ABC ejerce fuerzas FBA y FBC de igual magnitudsobre la polea en B. La magnitud de la fuerza total ejercida sobrela polea por las dos fuerzas es de 200 lb. Determine grficamenteFBA.

2.11 Un tanque de almacenamiento esfrico est soportado por cables. El tanque est sometido a tres fuerzas: las fuerzas FA yFB ejercidas por los cables y el peso W. El peso del tanque es W 600 lb. La suma vectorial de las fuerzas que actan sobre el tanque es igual a cero. Determine grficamente las magnitudesde FA y FB.

OXGENO LQUID

O

40

FA

W

FB20 20

Problema 2.11

2.13 Dos tractores para nieve remolcan un refugio de emergenciahacia una nueva ubicacin en la base McMurdo de la Antrtica (semuestra una vista area; los cables son horizontales). La fuerzatotal FA FB ejercida sobre la unidad tiene una direccin paralelaa la lnea L, y su magnitud es de 400 lb. Determine grficamentelas magnitudes de FA y FB.

FBC

FBA