Mecanismo manivela – corredera:

El análisis general de este caso es similar al caso de un mecanismo de cuatro barras, pero puede ser

simplificado haciendo algunas consideraciones propias del mecanismo. Primero, la corredera o pistón está

restringido a moverse en una línea recta, es decir no tiene aceleración angular.

Una de las condiciones de funcionamiento más importantes implica que la manivela gire a una

velocidad esencialmente uniforme. El procedimiento se puede simplificar en gran medida mediante el

uso de un enfoque analítico que implica dos aproximaciones. Uno en relación con la expresión para

la aceleración de la corredera y la otra para llegar a una biela aproximadamente equivalente

Aceleración de la corredera:

El desplazamiento x de la corredera desde el punto muerto superior, hasta la posición B mostrada en la figura

se puede expresar como sigue:

𝑥 = 𝑅 + 𝐿 − 𝑅 cos 𝜃 − 𝐿 cos 𝜑

Utilizando identidades trigonométricas se puede también escribir la expresión anterior de la forma:

𝑥 = 𝑅(1 − cos 𝜃) + 𝐿 [1 − √1 − (𝑅

𝐿)

2

𝑠𝑒𝑛2𝜃]

La idea al expresar de esta manera la distancia x, es para poder expandir la raíz utilizando el teorema del

binomio y luego sólo quedarnos con aquellos términos que sean significativos. Luego de la expansión el valor

para x se puede expresar como:

𝑥 = 𝑅 [⟨1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃⟩ + 1

2

𝑅

𝐿 𝑠𝑒𝑛2𝜃 +

1

8(

𝑅

𝐿)

3

𝑠𝑒𝑛4𝜃 + 3

48 (

𝑅

𝐿)

5

𝑠𝑒𝑛6𝜃 + ⋯ … . . ]

Si se deriva la ecuación anterior respecto del tiempo se tiene entonces una expresión para la velocidad de la

corredera:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡+ 𝑅

𝑅

𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡+

𝑅

2(

𝑅

𝐿)

3

𝑠𝑒𝑛3𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝑡+

3𝑅

8(

𝑅

𝐿)

5

𝑠𝑒𝑛5𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝑡+ ⋯.

Sustituyendo 𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝜔, y considerando el caso donde w es constante, la diferenciación, término a término de la

expresión anterior sera:

𝑅 𝜔 𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑑𝑡= 𝑅𝜔 cos 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝑅 𝜔2 cos 𝜃

𝑅𝜔𝑅

𝐿 𝑑𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

𝑑𝑡= 𝑅𝜔

𝑅

𝐿 (− 𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡+ 𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡) = 𝑅𝜔2

𝑅

𝐿 (𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃)

𝑅

2𝜔 (

𝑅

𝐿)

3

𝑑𝑠𝑒𝑛3𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑑𝑡=

𝑅

2𝜔 (

𝑅

𝐿)

3

(−𝑠𝑒𝑛4𝜃𝑑𝜃

𝑑𝑡+ 3𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡)

= 𝑅

2𝜔2 (

𝑅

𝐿)

3

(3𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃−𝑠𝑒𝑛4𝜃)

3𝑅

8𝜔 (

𝑅

𝐿)

5

𝑑𝑠𝑒𝑛5𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑑𝑡=

3𝑅

8𝜔 (

𝑅

𝐿)

5

(−𝑠𝑒𝑛6𝜃𝑑𝜃

𝑑𝑡+ 5𝑠𝑒𝑛4𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡)

= 3𝑅

8𝜔2 (

𝑅

𝐿)

5

(5𝑠𝑒𝑛4𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃−𝑠𝑒𝑛6𝜃)

Utilizando identidades trigonométricas y simplificando estos términos se pueden escribir como:

𝑅𝜔2𝑅

𝐿 (𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 𝑅𝜔2

𝑅

𝐿cos 2𝜃

𝑅

2𝜔2 (

𝑅

𝐿)

3

(3𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃−𝑠𝑒𝑛4𝜃) = 𝑅

2𝜔2 (

𝑅

𝐿)

3

(1

4cos 2𝜃 −

1

4cos 4𝜃)

3𝑅

8𝜔2 (

𝑅

𝐿)

5

(5𝑠𝑒𝑛4𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃−𝑠𝑒𝑛6𝜃) = 𝑅𝜔2 (𝑅

𝐿)

5

(15

128cos 2𝜃 −

3

16cos 4𝜃 +

9

128cos 2𝜃)

Reordenando toda la expresión anterior en una serie y simplificando se tiene que:

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= 𝑅𝜔2 {cos 𝜃 + [

𝑅

𝐿+

1

4(

𝑅

𝐿)

3

+15

128(

𝑅

𝐿)

5

+ ⋯ ] cos 2𝜃 − [1

4(

𝑅

𝐿)

3

+3

16(

𝑅

𝐿)

5

+ ⋯ ] cos 4𝜃

+ [9

128(

𝑅

𝐿)

5

+ ⋯ ] cos 6𝜃 − ⋯ }

En la práctica los términos más alla de cos 2Q son despreciables por lo que generalmente se acepta que:

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= 𝑅𝜔2 (cos 2𝜃 +

𝑅

𝐿cos 2𝜃)