Instituto Tecnológico Superior de

Acayucan.

Ingeniería Química

409 A.

MECANISMOS DE TRANSFERENCIA

Unidad 3

Transferencia De Cantidad De

Momento

Yadel Barragan Antonio

Paulino Jimenez Arias

Jocelin Rodriguez Mortera

Guillermo Santiago Fernández

Mariela Santos Sánchez

Ana Bertha Sosa Díaz

Docente: Juan Manuel Hernández

Espíndola.

16 de abril de 2015

Introducción La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. En mecánica clásica, la cantidad de movimiento se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. Históricamente, el concepto se remonta a Galileo Galilei. En su obraDiscursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton enPrincipia Mathematica usa el término latino motus1 (movimiento) y vis motrix (fuerza motriz). Momento y momentum son palabras directamente tomadas del latín mōmentum, término derivado del verbo mŏvēre 'mover'.

La definición concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulación mecánica a otra: en mecánica newtoniana se define para una partícula simplemente como el producto de su masa por la velocidad, en la mecánica lagrangiana o hamiltoniana se admiten formas más complicadas en sistemas de coordenadas no cartesianas, en la teoría de la relatividad la definición es más compleja aun cuando se usan sistemas inerciales, y en mecánica cuántica su definición requiere el uso de operadores autoadjuntos definidos sobre un espacio vectorial de dimensión infinita.

En mecánica newtoniana, la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con las leyes de Newton. No obstante, tras el desarrollo de la física moderna, esta manera de operar no resultó ser la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental. El defecto principal es que esta definición newtoniana esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos másicos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.

La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo.

ContenidoIntroducción..................................................................................................2

3.1 Mecanismos de transferencia....................................................................4

3.1.1 Momentum, Calor y Masa.......................................................................9

3.2 Ley de Newton de la viscosidad...............................................................12

3.2.1 Ley de Newton de la viscosidad............................................................13

3.2.2 Variación de la viscosidad con la presión.............................................16

3.3 Reologia...................................................................................................16

3.3.1 Concepto...............................................................................................16

3.3.2 Clasificación de los Fluidos...................................................................17

3.4 Estimación de la Viscosidad.....................................................................21

3.4.1 Modelos Matematicos...........................................................................22

3.4.1 Cálculos................................................................................................27

3.5 Ajustes de la viscosidad por temperatura y presión en gases y líquidos. 34

Conclusiones..................................................................................................35

Bibliografia.....................................................................................................36

3.1 Mecanismos de transferencia La transferencia de masa es la tendencia de uno o más componentes de una mezcla a transportarse desde una zona de alta concentración del o de los componentes a otra zona donde la concentración es menor.

Equilibrio

La transferencia de masa tiene un límite, que se conoce como equilibrio entre las fases. El equilibrio se alcanza cuando no existe fuerza directriz y la transferencia neta cesa.

Absorción

El componente, que está en fase gaseosa formando una mezcla con otros gases, pasa a la fase líquida en la cual es más soluble. Se manifiesta la transferencia de masa de la fase gaseosa a la fase líquida. En este proceso, cuando las concentraciones del componente a transferir son pequeñas en la solución inicial, el equilibrio se describe a través de la ley de Henry.

Desorción

Esta operación es contraria a la anterior. El componente es despojado de una corriente líquida donde forma una mezcla y pasa a la fase gaseosa.

Ejemplo: la desorción del CO absorbido en la metanol amina con el objeto de regenerarla, o sea de restaurarle la propiedad absorbedora.

Destilación o Rectificación

Consiste en la separación de mezclas líquidas homogéneas mediante el múltiple intercambio de los componentes entre las fases líquida y gaseosa. En esta operación los componentes pesados de la fase gaseosa pasan a la fase líquida, mientras que los componentes más ligeros de la fase líquida pasan a la fase gaseosa, es decir, que para este caso existirá una doble transferencia de masa entre las fases líquida y gaseosa. En condiciones ideales para estas operaciones se aplica la ley de Raoult.

Ejemplo: la destilación del petróleo en las refinerías.

Secado

Consiste en remover el líquido de una masa sólida mediante la vaporización. Durante este proceso ocurre la transferencia de masa hacia la fase gaseosa. Ejemplo: el secado del azúcar refino.

Lixiviación

Esta operación consiste en remover de una mezcla sólida un componente soluble en un solvente líquido, en el cual el resto de los sólidos son insolubles. Ejemplo: disolución de carbonato de níquel en una disolución amoniacal en el proceso productivo de Nicaro.

Extracción

Esta operación se realiza en un sistema líquido-líquido, consiste en la separación de un componente diluido en un solvente líquido por otro líquido prácticamente inmiscible o miscible parcialmente con el primer solvente.. En este caso, el componente, a extraer de la disolución inicial, va de una fase líquida a otra fase líquida. Ejemplo: extracción del ácido acético mezclado con benceno, utilizando agua como solvente.

Adsorción

Consiste en la eliminación selectiva de un componente gaseoso o líquido de una mezcla, mediante un adsorbente sólido poroso, la separación está caracterizada por el paso de la sustancia de la fase gaseosa o líquida a la fase sólida. Ejemplo: la decoloración del sirope con carbón activado en la producción de azúcar refino.

Mecanismo de transferencia entre las fases

La velocidad con que se produce la transferencia de masa está vinculada al mecanismo de transporte de las sustancias entre las fases, entre las cuales tiene lugar el intercambio de masa. La transferencia dentro de la fase puede originarse mediante difusión molecular o por medio de la convección y la difusión molecular simultáneamente.

En un medio inmóvil la sustancia se desplaza solo por difusión molecular. Cuando el medio es móvil, el transporte se producirá tanto por difusión molecular, como por el propio medio en la dirección de su movimiento, o por partículas individuales del mismo que se mueven en diversas direcciones.

Cuando se presenta un flujo turbulento, la difusión molecular predomina únicamente cerca de la superficie divisoria de la fase (interfase), en el resto de la fase surgen variaciones (pulsaciones) irregulares de la velocidad que originan el desplazamiento de partículas en todas direcciones, junto con el movimiento general del flujo. Al transporte colectivo de masa efectuado bajo la acción de las pulsaciones turbulentas se le denomina difusión turbulenta o por convección (agitación).

El mecanismo de transporte de la fase hacia la interfase mediante la difusión molecular y turbulenta resulta un proceso complicado, por lo

cual existen dificultades para el análisis teórico y el cálculo del transporte de masa. Con el objetivo de facilitar la explicación del fenómeno se asumen dos fases, separadas por la interfase, que se moverán a velocidades globales diferentes, que es aplicable a la transferencia de masa entre líquido y gas, o entre dos líquidos que no se mezclan (inmiscibles).

Difusión molecular

La transferencia de masa que surge como resultado del movimiento desordenado de las propias moléculas, en un fluido inmóvil, constituye la difusión molecular. Es un fenómeno irreversible, que tiende a igualar las concentraciones de un medio no uniforme, a través del transporte de las moléculas. Se define a través de la primera ley de Fick, la cual plantea que la cantidad de masa que se difunde, durante un intervalo de tiempo, a través de una superficie normal (perpendicular) a la dirección de la difusión, será proporcional al gradiente de la concentración de la sustancia que se difunde.

De acuerdo con lo anterior tenemos que:

M = - D A t(dc/dn) M – cantidad de masa que se difunde, kg A – superficie normal a la dirección de la difusión, m2

t – tiempo, s dc/dn - gradiente de concentración, kg/m3/m D - coeficiente de difusión molecular o simplemente coeficiente de

difusión, m2/s

Difusión por convección

La cantidad de masa que se transfiere dentro de una misma fase a consecuencia de la difusión turbulenta depende, por analogía a la difusión molecular, de la superficie, del tiempo y del gradiente de la concentración; aunque este mecanismo no es tan simple y depende en gran medida de las condiciones hidromecánicas definidas, esencialmente de la velocidad del flujo y la envergadura de la turbulencia, ya que la agitación molecular o hidrodinámica de un medio condiciona la velocidad de transferencia.

A consecuencia de la complejidad del proceso de transferencia de masa entre las fases, se considera, con fines prácticos, que la cantidad de masa transferida en la unidad de tiempo desde la fase que entrega el componente que se transfiere, a la interfase, o de la interfase a la fase que toma dicho componente, es proporcional a la superficie y a la diferencia de concentraciones parciales del componente distribuido en la fase y cerca de la interfase. Esto se representa por las ecuaciones siguientes:

Tanto kG como kL representan la cantidad de masa que pasa del núcleo de la fase a la interfase (o en dirección opuesta), a través de la unidad de superficie por unidad de tiempo, con fuerza motriz igual a la unidad. La fuerza motriz es la diferencia de concentración entre la fase y la interfase y se expresa en unidades de concentración. Los coeficientes individuales de transferencia de masa pueden ser expresados en diferentes unidades en dependencia de las unidades para la masa de componente transferido y la fuerza motriz.

Algunas de estas unidades se muestran en la tabla siguiente:

Unidades de medida del coeficiente individual de transferencia de masa

Los coeficientes individuales de transferencia de masa son magnitudes complejas que dependen de las propiedades físicas de la fase (densidad, viscosidad, etcétera), de las condiciones hidrodinámicas de movimiento de la misma (flujo laminar o turbulento), vinculadas a su vez con las propiedades físicas de la fase y también de los factores geométricos que se determinan por la estructura y las dimensiones de los equipos donde se lleva a cabo la transferencia de masa.

Tanto kG o kL son magnitudes que dependen de muchas variables que complican considerablemente su cálculo o su determinación por vía experimental. Es por ello que la determinación de estos coeficientes se realiza de una forma muy similar a la seguida para la determinación de los coeficientes individuales de transferencia de calor, es decir con la ayuda de la teoría de la semejanza, la cual agrupa los diferentes factores en las ecuaciones por criterio a través de los grupos a dimensionales.

Criterio de difusión de Nusselt

Nu' = k L'/D

El criterio de difusión de Nusselt expresa la relación entre la intensidad de transferencia en el núcleo de la fase y la intensidad de transferencia en la subcapa límite donde el proceso ocurre por difusión molecular.

Criterio de difusión de Prandtl

Pr' = µ/_ D

El criterio de Prandtl se puede considerar como una medida de la constancia entre las relaciones de las propiedades físicas del líquido o gas en puntos análogos de flujos similares.

Criterio de difusión de Reynolds

Re' = R L' _/µ

El criterio de difusión de Reynolds caracteriza el régimen hidrodinámico y es una medida entre las fuerzas de inercia y de rozamiento interno del flujo.

Criterio de difusión de Péclet

Pe' = L' / D

Este criterio es una medida de la relación entre la masa que se transfiere y el transporte convectivo y por difusión molecular, en puntos análogos de sistemas similares.

3.1.1 Momentum, Calor y MasaTransferencia de momento

La transferencia de momento, también se le conoce como mecánica de fluidos. Este es el primer fenómeno que se estudia en la materia de Fenómenos de Transporte; esta ciencia tiene mucha aplicación en los procesos químicos, en un fluido, siempre hay una oposición a moverse esto se debe básicamente a las propiedades que presenta como densidad, viscosidad, entre otros.

  La Viscosidad de los fluidos es muy importante cuando se tiene que transportar un fluido es a través de ductos o tubos. La viscosidad se le define como la resistencia al flujo.

El estudio de un fluido newtoniano tiene como base el análisis del flujo laminar, ya que procedió a realizar el estudio como se muestra en la siguiente figura:

El estudio de momentum comienza por considerar un fluido entre dos placas y en reposo, al momento de poner en movimiento la placa inferior se va teniendo un perfil de velocidad hasta alcanzar un régimen permanente como se muestra en la figura de arriba. Por tanto, para  el termino de fluido newtoniano establece que "la fuerza sobre área, es proporcional a la disminución de la velocidad con la distancia". De esta definición se deriva la ley de Newton de la viscosidad, cuya ecuación se muestra abajo. Por tanto, los fluidos que no se adecuan a dicha ley, son conocidos como fluidos no-newtonianos.

El comportamiento de los diferentes fluidos se muestra en la figura siguiente:

Figura 1. Generación del perfil de velocidad.

Figura 2. Tipo de Fluidos.

Transferencia de calor

La transmisión de calor entre sistemas puede realizarse de tres formas diferentes:

Transmisión por conducción

La transmisión por conducción se produce cuando la energía se propaga debido a los choques entre las partículas, de forma que en cada choque las partículas ceden parte de su energía cinética a las partículas con las que interaccionan, todo ello sin que haya transporte neto de materia. En la conducción la energía se transporta debido a los choques entre partículas, pero sin que exista desplazamiento neto de materia.

Transmisión por convección

La transmisión por convección es típica de los fluidos (líquidos y gases). En ella se produce un transporte de energía asociado al desplazamiento de masas de fluido dentro del propio fluido, debido a las diferencias de densidad originadas por las distintas temperaturas de unas zonas y otras.

La atmósfera o los océanos tienen dinámicas debidas a esta forma de transmisión de calor.

Transmisión por radiación

Los dos medios de transmisión anteriores precisan de un medio material, pero sin embargo recibimos continuamente la energía del Sol a través del vacío cósmico, por lo que deberá existir una tercera forma de

transmisión del calor: se trata de la transmisión por radiación. Todos los cuerpos radian energía, tanto más cuanto mayor sea su temperatura.

En función de la temperatura, la radiación emitida puede ser visible o no. Así, a bajas temperaturas no es visible, mientras que al aumentar ésta el objeto comienza a brillar desde el rojo hasta el blanco. Este fenómeno permite determinar la temperatura de un cuerpo.

Trasferencia de masa

La transferencia de masa cambia la composición de soluciones y mezclas mediante métodos que no implican necesariamente reacciones químicas y se caracteriza por transferir una sustancia a través de otra u otras a escala molecular. Cuando se ponen en contacto dos fases que tienen diferente composición, la sustancia que se difunde abandona un lugar de una región de alta concentración y pasa a un lugar de baja concentración.1,2,3El proceso de transferencia molecular de masa, al igual que la transferencia de calor y de momentum están caracterizados por el mismo tipo general de ecuación En esta ecuación la velocidad de transferencia de masa depende de una fuerza impulsora (diferencia de concentración) sobre una resistencia, que indica la dificultad de las moléculas para transferirse en el medio. Esta resistencia se expresa como una constante de proporcionalidad entre la velocidad de transferencia y la diferencia de concentraciones denominado: "Difusividad de masa". Un valor elevado de este parámetro significa que las moléculas se difunden fácilmente en el medio.

Clasificación general de la transferencia de masa.

El mecanismo de transferencia de masa, depende de la dinámica del sistema en que se lleva a cabo.

Hay dos modos de transferencia de masa:

a) molecular: La masa puede transferirse por medio del movimiento molecular fortuito en los fluidos (movimiento individual de las moléculas), debido a una diferencia de concentraciones. La difusión molecular puede ocurrir en sistemas de fluidos estancados o en fluidos que se están moviendo.

b) convectiva: La masa puede transferirse debido al movimiento global del fluido. Puede ocurrir que el movimiento se efectúe en régimen laminar o turbulento. El flujo turbulento resulta del movimiento de grandes grupos de moléculas y es influenciado por las características dinámicas del flujo. Tales como densidad, viscosidad, etc.

3.2 Ley de Newton de la viscosidadDado que el impulso o la cantidad de movimiento de un cuerpo, se define como el producto de su masa por su velocidad, se puede pensar en la velocidad de un fluido en un punto dado como su impulso por unidad de masa. O sea que, los cambios en la velocidad de un fluido pueden originar transporte de cantidad de movimiento, así como los cambios de temperatura originan transporte de calor. La descripción matemática de este transporte forma una parte importante de la ciencia de la mecánica de fluidos. Como el concepto de transporte de cantidad de movimiento generalmente no se enfatiza, se deben revisar algunas definiciones básicas.

Transporte de cantidad de movimiento entre placas paralelas.

Considérese un fluido contenido entre dos grandes placas paralelas. La distancia entre las placas es pequeña comparada con las otras dimensiones de las placas. En el tiempo t = 0 la placa inferior se pone en movimiento con velocidad constante vx1 = V aplicando una fuerza F en la dirección x mientras la placa superior se deja estacionaria (vx = 0). Al moverse la placa inferior arrastra consigo la capa de fluido inmediatamente adyacente, y el fluido se mueve a la misma velocidad de la superficie. Esta es la condición de frontera denominada de “no deslizamiento” fundamentada experimental y teóricamente. Como la placa superior está estacionaria, la velocidad del fluido allí es cero. Pero la capa de fluido vecina a la placa inferior se mueve con respecto a la capa de fluido inmediatamente superior que inicialmente se encontraba en reposo y a su vez le imprime movimiento. De esta manera el movimiento de la placa inferior hace aparecer un campo de velocidades

en el líquido, con la velocidad decreciendo continuamente desde V en la placa inferior hasta cero en la placa superior. El movimiento de la placa inferior por tanto causa un aumento en vx, la velocidad del fluido en la dirección x, desde cero hasta algún valor positivo. Como la cantidad de movimiento es proporcional a la velocidad, habrá un correspondiente aumento en la cantidad de movimiento x. En otras palabras, la cantidad de movimiento x se transporta en la dirección z desde la placa hasta el fluido y allí desde una capa de fluido a la siguiente. Para t = 0 hay un cambio brusco en z = 0 desde vx = V hasta vx = 0. En t = t1la velocidad aumenta cerca del plano inferior, pero el impulso todavía no ha penetrado en el fluido cercano al plano superior. En t = t2, la placa superior comienza a percibir el movimiento de la placa inferior. Finalmente en t = ∞ se obtiene estado estable en el cual la velocidad no vuelve a cambiar con el tiempo. El concepto de tiempo infinito es claramente una abstracción matemática. Para fluidos muy viscosos se puede requerir solo una fracción de segundo para alcanzar el 99 % de la condición de estado estable.

3.2.1 Ley de Newton de la viscosidad.Considerando de nuevo el flujo entre dos placas. Luego de un cierto periodo de tiempo el perfil alcanza su estado final estacionario. Una vez alcanzado dicho estado de movimiento es preciso aplicar una fuerza Fx constante para conservar el movimiento de la lámina inferior. Esta fuerza claramente depende de la velocidad V, de la naturaleza del fluido, de la distancia entre las placas (b) y del área de contacto S de las mismas con el líquido. Para este caso especial viene dada por:

 Ecuación 17.1

Es decir, que la fuerza por unidad de área es proporcional a la disminución de la velocidad con la distancia z. El coeficiente de proporcionalidad μ se denomina viscosidad del fluido. Usando deltas se puede escribir:

 Ecuación 17.2

Donde la pendiente de la curva vx contra z es Δvx/Δz. Al tomar el límite cuando z tiende a 0 se aproxima a la verdadera pendiente en z, la que está dada por la derivada parcial ∂vx/∂z. La ecuación básica resultante para el transporte de impulso unidireccional inestable es:

 Ecuación 17.3

Llamada ley de Newton de la viscosidad en una dimensión. τzx es el esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x sobre la superficie de un fluido situada a una distancia z, por el fluido existente en la región donde z es menor. Los fluidos que obedecen la ecuación anterior se denominan newtonianos. Según las consideraciones hechas, τzx puede interpretarse también como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento x (densidad de flujo es velocidad de flujo por unidad de área, o sea que son unidades de cantidad de movimiento por unidad de tiempo y unidad de área) en la dirección z. Según la ecuación, se deduce que la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de velocidad, es decir, la dirección de velocidad decreciente, tal como ocurre con la densidad de flujo de calor que es proporcional al gradiente negativo de temperatura o al de masa que es proporcional al gradiente negativo de concentración. Examinando la ecuación también se ve que μ tiene las dimensiones de masa por unidad de longitud y unidad de tiempo.

Variación de la viscosidad con la temperatura. A parte de depender de la velocidad de cizalla y del tiempo de aplicación de la misma, la viscosidad es fuertemente dependiente de la temperatura. La mayoría de los materiales disminuyen su viscosidad con la temperatura; la dependencia es exponencial y puede haber variaciones de hasta un 10% por cada ºC modificado. Por ejemplo, la sensibilidad a la temperatura del agua es de 3% por grado centígrado a temperatura ambiente, así que para tener una precisión del 1% requiere que la temperatura sea regulada en 0.3ºC. Para líquidos más viscosos esta dependencia es mayor, y ha de tomarse mayores precauciones en el control de la temperatura. Respecto a los polímeros, la dependencia con la temperatura que estos presentan es lógicamente una función de la estructura y del tipo del polímero estudiado. En la figura 2.14 se observa la dependencia de la viscosidad a bajas cizallas con la temperatura de algunos polímeros, calculadas a partir de los parámetros facilitados en la bibliografía (Tañer, R.I.; Engineering Rheology, Ed. Clarendon press, 1985). Por ejemplo el estudio de dicho factor es de gran importancia y tiene cierto interés práctico durante el procesado de cualquier polímero; por ejemplo, si durante el moldeo de cierto polímero se observa que el polímero no llena completamente el molde y deja huecos, para polímeros que presentan una alta dependencia con la temperatura (PMMA) un ligero aumento de la temperatura podría solucionar el problema, a diferencia de otros, como es el caso del HIPS, que podría necesitar un aumento en la presión de alimentación.

1000000

100000

10000

1000

100420 430440 450 460 470 480 490

Temperatura (K)

Figura 2.14. Dependencia de la viscosidad a bajas cizallas de distintos polímeros con la temperatura

Como se ha dicho anteriormente, la dependencia de la viscosidad con la temperatura es exponencial, siendo la expresión más común la ecuación de Arrhenius:

= A eB T

(2.3)donde T es la temperatura absoluta y A y B son

constantes del polímero o material estudiado.

La ecuación de Arrhenius también se puede encontrar bajo la siguiente forma :

Log ⎛1 1 ⎞A ⎜⎜ ⎟⎟ (2.4)

T1 TO Ecuación que puede ser aplicada siempre y cuando

se conozca la viscosidad de la sustancia a otra temperatura.

La ecuación de Arrhenius es adecuada para polímeros fundidos y muchas disoluciones cuando se encuentran por encima de su temperatura de transición vítrea. Para polímeros que se encuentren cerca de su temperatura de transición vítrea y para disoluciones concentradas se suele emplear la ecuación de Williams-Landel-Ferry (WLF):

Vis

co

sid

ad

(P

a s

)

⎟

0 ⎠⎜

⎝

⎛ ⎞ E

donde ηs es la viscosidad a una temperatura de referencia (Ts). Normalmente se toma la temperatura de transición vítrea como la temperatura de referencia siendo entonces C1=17.44 y C2= 51.6 K. Sin embargo, a menudo también se toma como temperatura de referencia: Tg+43 K, así como tres valores de C1 y C2:

3.2.2 Variación de la viscosidad con la presión. La viscosidad de los líquidos aumenta exponencialmente con la presión. El agua por debajo de 30ºC es la única excepción, en la que disminuye en un primer momento, a continuación del cual el comportamiento es normal. Para presiones que difieren poco de la atmosférica, del orden de un bar, los cambios son bastante pequeños. Por esta razón en los usos de la mayoría de los fluidos este factor apenas se toma en consideración; pero hay casos, como en la industria de lubricantes, donde las medidas de viscosidad han de tomarse a elevadas presiones. Las presiones soportadas por lubricantes en engranajes son del orden de 1GPa, mientras que en las perforadoras que operan a profundidad han de soportar presiones de aproximadamente 20 MPa. En el caso de los polímeros, la viscosidad del fundido se ve también afectada por la presión. La compresión de un fundido reduce el volumen libre y por tanto aumenta la viscosidad. Por ejemplo, la viscosidad de un polietileno de baja densidad aumenta del orden de 10 veces cuando se pasa de 34-170 MPa. De forma general se puede expresar la viscosidad como una función de la presión y la temperatura: P ( , ) = f(T) eΓ η P T Donde Γ tiene valores típicos entre 2 10-8 y 6 10–8 Pa-1

3.3 ReologiaLa reología es la especialidad de la física centrada en el análisis de los principios que determinan cómo se mueven los fluidos. 

3.3.1 Concepto

Una definición más moderna expresa que la reología es la parte de la física que estudia la relación entre el esfuerzo y la deformación en los materiales que son capaces de fluir. La reología es una parte de la mecánica de medios continuos. Una de las metas más importantes en reología es encontrar ecuaciones constitutivas para modelar el comportamiento de los materiales. Dichas ecuaciones son en general de carácter tensorial.

3.3.2 Clasificación de los FluidosVISCOSIDAD: Es la propiedad de un fluido mediante la cual ofrece resistencia al corte. La melaza es un ejemplo de un liquido altamente viscoso, mientras que el agua y el aire tienen viscosidades muy pequeñas. La viscosidad depende de las fuerzas de cohesión y la rapidez de la transferencia de cantidad de movimiento entre moléculas. En un liquido las fuerzas de cohesión son mas grandes que en un gas debido a que las moléculas se encuentran más próximas entre sí. Al incrementarse la temperatura a un líquido, la cohesión disminuye y por lo tanto, también lo hace la viscosidad. En los gases es diferente, pues, en estos las moléculas están más separadas entre sí, por lo cual la viscosidad depende en mayor grado de la rapidez de transferencia de cantidad de movimiento, la cual, al aumentar temperatura también aumenta, es decir aumenta la viscosidad. Los líquidos newtonianos fluyen como si ellos estuvieran separados en capas, deslizándose una sobre la otra.

Definición de Viscosidad

Viscosidad, propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina su viscosidad.

Es importante tomar en cuenta que esta propiedad depende de la temperatura, la composición y la presión del fluido.

La viscosidad es una propiedad cuya importancia radica en que determina el comportamiento, en cuanto al movimiento, que puede presentar un fluido bajo ciertas condiciones, por ejemplo de presión y temperatura. Un fluido puede ser muy viscoso y moverse con dificultad, como por ejemplo la melaza; o puede ser poco viscoso y moverse con facilidad, como por ejemplo el aire y el agua, los cuales con frecuencia son objeto de interés en ingeniería.

Viscosidad Dinámica

La tensión de corte de un fluido se desarrolla cuando este se encuentra en movimiento y su magnitud depende de la viscosidad del fluido. Se puede definir a la tensión de corte () como la fuerza requerida para deslizar una capa de área unitaria de una sustancia sobre otra capa de la misma sustancia. La magnitud de la tensión de corte es directamente proporcional al cambio de velocidad entre diferentes posiciones del fluido en fluidos como el agua, el aceite, el alcohol o cualquier otro líquido común.

Cuando el fluido real está en contacto con una superficie frontera, el fluido tiene la misma velocidad que la frontera. El fluido que está en contacto con la superficie inferior tiene velocidad igual a cero y el que está en contacto con la superficie superior tiene velocidad igual a v. Cuando la distancia ente las dos

superficies es pequeña, la rapidez de cambio de velocidad varía como una línea recta. De manera ilustrada tenemos el esquema en la Figura 1.

Figura 1. Gradiente de velocidad en un fluido en movimiento.

El gradiente de velocidad se define como y es una medida de cambio de velocidad, conocida también como rapidez de corte. Como la tensión de corte es directamente proporcional al gradiente de velocidad, podemos establecer la siguiente expresión matemática, conocida como la Ley de Newton para la viscosidad:

(1)

µ es una constante de proporcionalidad conocida como viscosidad dinámica del fluido.

Viscosidad cinemática

Como una convención, la viscosidad cinemática () se define como el cociente entre la viscosidad dinámica de un fluido y su densidad. Debido a que la viscosidad dinámica y la densidad son propiedades del fluido, la viscosidad cinemática también lo es.

La expresión matemática para la viscosidad cinemática es:

(2)

µ es la viscosidad dinámica y es la densidad del fluido.

Unidades de la viscosidad dinámica y la viscosidad cinemática

En el sistema internacional (SI), la unidad de viscosidad dinámica es el Pascal segundo (Pa.s) o también Newton segundo por metro cuadrado (N.s/m2), o sea kilogramo por metro segundo (kg/ms).

La unidad correspondiente en el sistema CGS es el Poise y tiene dimensiones de Dina segundo por centímetro cuadrado o de gramos por centímetro cuadrado. El Centipoise (cP), 10-2 poises, es la unidad más utilizada para expresar la viscosidad dinámica dado que la mayoría de los fluidos poseen baja viscosidad.

En el sistema internacional (SI), la unidad de viscosidad cinemática es el metro cuadrado por segundo (m2/s). La unidad CGS correspondiente es el Stoke (St), con dimensiones de centímetro cuadrado por segundo y el Centistoke (cSt), 10-2 Stokes, que es el submúltiplo más utilizado.

En la Tabla N° 1 se enumeran las unidades de la viscosidad dinámica y la viscosidad cinemática en los tres sistemas más ampliamente utilizados.

Clasificación de los fluidos

Los fluidos que no presentan comportamiento elástico como los sólidos, no sufren una deformación reversa cuando la tensión de corte se quita, y son llamados fluidos puramente viscosos. La tensión de corte depende sólo de la rapidez de deformación y no de la extensión de la deformación. Aquellos fluidos que exhiben tanto propiedades viscosas como elásticas son conocidos como fluidos viscoelásticos.

Los fluidos puramente viscosos se pueden clasificar en fluidos no dependientes del tiempo y fluidos dependientes del tiempo. Para los fluidos que no dependen del tiempo la tensión de corte depende sólo del gradiente de velocidad instantáneo.

Para los fluidos viscoelásticos la tensión de corte depende de la rapidez de deformación como resultado de la orientación de formación u orientación de ruptura durante la deformación.

Para el fluido newtoniano, la viscosidad es independiente del gradiente de velocidad, y puede depender sólo de la temperatura y quizá de la presión. Para estos fluidos la viscosidad dinámica es función exclusivamente de la condición del fluido. La magnitud del gradiente de velocidad no influye sobre la magnitud de la viscosidad dinámica. Los fluidos newtonianos son la clase más grande de fluidos con importancia ingenieril. Los gases y líquidos de bajo peso molecular generalmente son fluidos newtonianos. Los fluidos newtonianos cumplen con la ecuación (1), donde la viscosidad es una constante.

El fluido no newtoniano es aquel donde la viscosidad varía con el gradiente de velocidad. La viscosidad el fluido no newtoniano depende de la magnitud del gradiente del fluido y de la condición del fluido. Para los fluidos no newtonianos, la viscosidad se conoce generalmente como viscosidad aparente para enfatizar la distinción con el comportamiento newtoniano.

Existen tres tipos de fluidos independientes del tiempo: los seudoplásticos, los fluidos dilatadores y los fluidos de Bingham. Los fluidos dependientes del tiempo no son fáciles de analizar debido a que su viscosidad aparente varía con el tiempo, con el gradiente de velocidad y con la temperatura. La Figura 2 muestra el comportamiento de los diferentes tipos de fluidos mencionados.

En los seudoplásticos la curva µ vs. v/y inicia abruptamente, indicando una alta viscosidad aparente. La pendiente disminuye al aumentar el gradiente de velocidad.

En los fluidos dilatadores la curva µ vs. v/y empieza con una pendiente baja, indicando una baja viscosidad aparente. La pendiente aumenta al aumentar el gradiente de velocidad.

En los fluidos de Bingham cuando comienza el flujo, se tiene una pendiente de la curva µ vs. v/y esencialmente lineal, indicando una viscosidad aparente constante. Estos fluidos también se conocen como fluidos de tapón de flujo.

Figura 2. Fluidos newtonianos y no newtonianos.

Índice de Viscosidad

Todos fluidos presentan un cambio, en algún grado, en su viscosidad al modificar la temperatura a la que se encuentran. Como medida de la variación de la viscosidad de un aceite con la temperatura se definió el llamado índice de viscosidad, obtenido por comparación de dos aceites patrón, uno procedente de Pensilvania, de naturaleza parafínica y otro de la costa del Golfo de México, de naturaleza nafténica.

Para hallar el índice de viscosidad de un aceite dado, se toma un aceite de Pensilvania (al que se le da un índice de 100, que significa que su viscosidad varia poco con la temperatura) y el aceite del Golfo de México (dándole un índice 0, que significa que la variación de la viscosidad con la temperatura es mayor) cuyas viscosidades a 210 °F (98 °C) fuesen iguales a la del aceite a examen a dicha temperatura. Después se determina la viscosidad de los tres aceites a 100 °F (38 °C) y se calcula el cociente: Cuando un fluido presenta un alto índice de viscosidad muestra un cambio pequeño de viscosidad con respecto a la temperatura. Cuando un fluido presenta un bajo índice de viscosidad el cambio en su viscosidad con respecto a la temperatura es grande.

Viscosidad de los Líquidos.

La viscosidad de los gases a bajas presiones se puede estimar a través de técnicas basadas en la teoría del sonido, pero no hay base de comparación teórica para los líquidos. Ciertamente la viscosidad de los líquidos es muy diferente a la viscosidad de los gases; esto es, son mucho más grandes, y estás decrecen rápidamente al aumentar la temperatura. El fenómeno de viscosidad de gases de bajas presiones se debe principalmente a la transferencia de momento por colisiones individuales moviéndose al azar entre capas con diferentes velocidades. Una transferencia de momento similar puede existir en los líquidos, aunque es usualmente eclipsado por la interacción de los campos de fuerza entre las moléculas líquidas empaquetadas.

En general, las teorías predominantes sobre la viscosidad de los líquidos se pueden dividir arbitrariamente en aquellas en aquellas que basadas en líquidos con comportamiento de gases y aquellos basados en líquidos con comportamiento de sólidos. En la primera, el líquido es considerado ordenado en un rango corto y desordenado en un rango largo.

En el segundo tipo de teoría, el líquido se asume que existe como una rejilla regular, transferencia de momento resultante de las moléculas vibrando dentro de la estructura de la rejilla, moviendo hacia dentro de agujeros cercanos, o una combinación de estos dos eventos. Las rejillas escogidas han variado bastante de cúbicas a tipos parecidos a túneles paralelos. En una teoría bien conocida, el movimiento desde un sitio de la rejilla a un agujero se ha considerado análogo a la reacción química activada.

Ninguna teoría, hasta ahora, se reduce a una forma sencilla que permita calcular la viscosidad de los líquidos con anticipación, y se deben usar técnicas empíricas. Estas técnicas no entran en conflicto con la teoría: ellas simplemente permiten que algunas constantes teóricas desconocidas o incalculables sean aproximadas empíricamente a partir de la estructura o alguna otra propiedad física.

Variación de la Viscosidad con la Temperatura.

La viscosidad disminuye muy rápidamente a medida que se incrementa la temperatura. Han sido varios los especialistas que han estudiado este comportamiento. Algunas de las fórmulas empíricas y métodos para encontrar la temperatura de distintos fluidos se presentan a continuación.

Ecuación de Eyring

3.4 Estimación de la ViscosidadLa viscosidad expresa la facilidad que tiene un fluido para fluir cuando se le aplica una fuerza externa. El coeficiente de viscosidad absoluta o simplemente la viscosidad absoluta de un fluido es una medida de su resistencia al deslizamiento o a la deformación cortante o angular. Al aumentarse la temperatura, la viscosidad de todo líquido disminuye, mientras que la viscosidad de todo gas aumenta.

Propiedades de la viscosidad

• La viscosidad absoluta de todos los fluidos es prácticamente independiente de la presión en el rango de valores que se encuentran en el campo de la ingeniería.

• La viscosidad cinemática de los gases varía con la presión debido los cambios de densidad.

• La viscosidad de los vapores saturados o poco recalentados es modificada apreciablemente por cambios de presión, sin embargo los datos sobre vapores son incompletos y en algunos casos contradictorios, es por esto

que cuando se trata de vapores distintos al de agua se hace caso omiso del efecto de la presión a causa de la falta de información adecuada.

• En un líquido las moléculas tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivas grandes. Un aumento de la temperatura disminuye la cohesión entre moléculas (se apartan más) y decrece la viscosidad o “pegajosidad” del fluido.

• En un gas hay gran movilidad y muy poca cohesión, sin embargo las moléculas chocan y de aquí que se origina la viscosidad; al aumentar la temperatura la temperatura aumenta el movimiento aleatorio y por ende la viscosidad.

3.4.1 Modelos MatematicosLa ley de Newton de la viscosidad.

Considere un fluido, liquido o gas, contenido entre dos grandes placas planas y paralelas de area A, separadas entre si por una distancia muy pequeña Y.

Ver figura.

Supongamos que el sistema esta inicialmente en reposo, pero a tiempo t igual a cero, la lamina inferior se pone en movimiento en la dirección del eje x, con una velocidad constante V. A medida que transcurre el tiempo, el fluido gana cantidad de movimientoy finalmente, se establece el perfil de velocidad en régimen estacionario. Una vez alcanzado este estado estacionario de movimiento, es preciso aplicar una fuerza constante F para conservar el movimiento de la lamina inferior. Esta fuerza viene dada por la siguiente expresión, suponiendo que el flujo es laminar.

FA

=μVY

Es decir, que la fuerza por unidad de area es proporcional a la disminución de la velocidad de la velocidad con la distancia Y. La constante de

proporcionalidad μ se denomina viscosidad del fluido.

El esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x sobre la superficie de un fluido, situada a una distancia constante y, por el fluido existente donde en la

región donde y es menor, se designa por τ yx y el componente x del vector de

velocidad del fluido , poe vx, entonces,

τ yx=−μdv xdy

Es decir, que la fuerza de cizalla por unidad de area es proporcional al gradiente negativo de la velocidad local. Esta es la ley de Newton de la

viscosidad, y los fluidos que la cumplen se denominan fluidos newtonianos. Todos los gases y la mayoría de los liquidos sencillos se comportan de acuerdo con esta ecuación. Los fluidos que no obedecen a esta ley sencilla son pastas, suspensiones y polímeros de elevado peso molecular.

Resulta también conveniente interpretar la ecuación en otra forma. En las inmendiaciones de la superficie que se mueve, donde y = 0, el fluido adquiere una determinada cantidad de movimiento en la dirección del eje x. Este fluido comunica a su vez parte de su cantidad de movimiento a la capa adyacente de liquido, dando lugar a que se mantenga en movimiento en la dirección x. Por lo tanto, tiene lugar una transmisión de cantidad de movimiento x a través del

fluido en la dirección y, y por consiguiente, τ yxpuede interpretarse también

como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento x en la dirección y.

La densidad de flujo viscos de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de velocidad, es decir que sigue la dirección de velocidad decreciente. En otras palabras, la cantidad de movimiento va cuesta abajo, en el sentido de que desciende de una región de alta velocidad a otra de baja velocidad de la misma forma que un trineo se desliza desde un lugar elevado hasta otro mas bajo y el calor fluye desde una zona caliente a otra mas fría. El gradiente de velocidad puede considerarse como una fuerza impulsora del transporte de cantidad de movimiento.

La viscosidad cinematica se define como ν=μ

ρ , tiene unidades de

cm2

seg

Un poise es 1P= gr

cmseg

El factor técnico gravitacional es gc=9 . 8

kgmm

kg f seg2

Fluidos no Newtonianos.

La experiencia demuestra que para todos los gases y liquidos homogéneos no

polimerizados τ yx es directamente proporcional a

−( dvxdy ). Sin embargo existen

algunos materiales industrialmente importantes que no se comportan de acuerdo a la ecuación 11é2. Se conocen a estas sustancias con el nombre de fluidos no newtonianos, lo cual es nun tema importante en reologia, es decir, la ciencia del flujo y la deformación, que estudia las propiedades mecanicas de los gases, liquidos, plásticos, sustancias asfálticas y materiales cristalinos. Por

lo tanto, el campo de la reologia se extiende desde la mecánica de fluidos newtonianos hasta la elasticidad de Hooke.

La región comprendida entre ellas corresponde a la deformación y flujo de todos los materiales pastosos y suspensiones.

El comportamiento reologico en estado estacionario, de la mayor parte de los fluidos puede establecerse mediante una forma general:

τ yx=−ηdv xdy

En la que η puede expresarse a su vez en función de

dv xdy o de

τ yx indistintamente. En las regiones en que η disminuye al aumentar el gradiente

de velocidad -

dv xdy , el comportamiento se denomina pseudo plástico. Y dilatante

en las que η aumenta con dicho gradiente. Si η resulta independiente del gradiente de velocidad, el fluido se comporta como fluido newtoniano y

entonces η=μ . Se han propuesto numerosas ecuaciones empiricas o modelos

para expresar la relación que existe en estado estacionario entre τ yx y

dv xdy .

A continuación se presenta un resumen de cinco modelos representativos. Todas las ecuaciones contienen parámetros empíricos positivos cuyo valor numérico puede determinarse correlacionando los datos experimentales de

τ yx frente a

dv xdy a temperatura y presión constantes.

Modelo de Bingham.

τ yx=−μ0

dvxdy

±τ0 |τ yx|mayor que cero.

dv xdy

=0 , |τ yx| menor que τ0

Se utiliza el signo + si τ yx es positivo y con signo – si es negativo. Toda

sustancia que se comporta de acuerdo con este modelo de dos parámetros se denomina plástico de Bingham;

Permanece rigido mientras el esfuerzo cortante es menor de un determinado

valor τ 0 por encima del cual se comporta de forma semejante a un fluido newtoniano. Este modelo resulta suficientemente exacto para muchas pastas y suspensiones finas.

Modelo de Ostwald de Waele.

τ yx=−m|dv xdy

|n−1 dv x

dy

Esta ecuación de dos parámetros se conoce también con el nombre de ley de la potencia. Para n = 1, se transforma en la ley de la viscosidad de Newton, siendo m = μ; por consiguiente, la desviación del valor de n con respecto a la unidad es una medida del grado de desviación del comportamiento newtoniano. Cuando n es menor que uno, el comportamiento es pseudo plástico, mientras que valores superiores a la unidad es dilatante.

Modelo de Eyring.

τ yx=Aarcsenh(− 1B

dvxdy )

Este modelo de dos parámetros deriva de la teoría cinetica de los liquidosde Eyring. El modelo de Eyring predice el comportamiento pseudo plástico para

valores finitos de τ yx y tiende asintóticamente a la ley de la viscosidad de

Newton cuando τ yx tiende hacia cero, siendo en este caso

μ= AB

Modelo de Ellis.

−dv xdy

=(ψ0+ψ1|τ yx|α−1 )τ yx

Este modelo contiene tres parámetros ajustables α , ψ 0 , ψ1. Si se toma para α

un valor mayor que la unidad, el modelo tiende hacia la ley de Newton para

valores bajos de τ yx , mientras que si se elige para α un valor menor que la

unidad, α la ley de Newton se establece para valores elevados de τ yx . El

modelo presenta una gran flexibilidad y en el están comprendidas, como casos

particulares, tanto la ley de Newton (para ϕ1=0 ), como la ley de la potencia

( para ϕ0=0 ).

Modelo de Reiner – Philippoff

−dv xdy

=(1

μ∞+μ0−μ∞

1+( τ yxτ s )2 )τ yx

ecuación 1-2-6

Este modelo contiene también tres parámetros positivos ajustables μ0 , μ∞, τ s . Teniendo en cuenta que frecuentemente se ha observado que el comportamiento newtoniano se presenta tanto para valores muy bajos como muy elevados del gradiente de velocidad, la ecuación 1-2-6 ha sido planteada con el fin de que se transforme en estos dos casos limite en la ley de Newton

de la viscosidad, haciendo μ=μ0 , μ=μ∞ , respectivamente.

La figura 1-2-1 es una descripción grafica del comportamiento reologico de los modelos que hemos expuesto. Tengase presente que estas ecuaciones no son mas que formulas empiricas de ajuste de curvas, y por consiguiente, es muy aventurado emplearlas fuera del intervalo de los datos experimentales utilizadosen su obtención. Observese asimismo que los parámetros de algunos de estos modelos son funciones de la temperatura, presión, composición, y

generalmente también del intervalo de

dv xdy para el se ha ajustado la ecuación;

por lo tanto, al dar los valores de los parámetros reologicos, es preciso especificar cuidadosamente las condiciones en que han sido determinadas.

En estado no estacionario, pueden existir otras formas de comportamiento no newtoniano. Por ejemplo, los fluidos que presentan una disminución limitada

de eta con el tiempo, al aplicar repentinamente un esfuerzo cortante τ yx se

denominan tixotrópicos, recibiendo el nombre de reopecticos los que dan lugar a un aumento de eta con el tiempo en estas condiciones. Los fluidos que recobran parcialmente la forma original al cesar el esfuerzo cortante se denominan visco elásticos. El estudio cuantitativo de estos y otros tipos, de comportamientos no newtonianos dependientes del tiempo, es uno de los importantes campos de la mecánica de fluidos.

3.4.1 Cálculos

Teoria de la Viscosidad de los Liquidos.

El conocimiento que tenemos de la viscosidad de los liquidos es fundamentalmente empirico, ya que la teoría cinetica de los liquidos se ha desarrollado tan solo en forma parcial. No obstante, tiene interés la teoría aproximada desarrollada Eyring y colaboradores en 1941 porque explica el mecanismo que tiene lugar, y permite estimar aproximadamente la viscosidad a partir de otras propiedades físicas.

En un liquido puro en reposo, las moléculas están constantemente en movimiento, pero debido al compacto empaquetamiento, el movimiento queda reducido prácticamente a la vibración de cada molecula dentro de una jaula formada por las moléculas mas próximas. Eyring sugirió que un liquido en reposo sufre rerdenaciones continuas, durante las cuales una molecula escapa desde una jaula a un hueco adyacente y que de esta forma, las moléculas se mueven en cada una de las direcciones de las coordenadas cartesianas, dando saltos de longitud a y frecuencia por molecula k, dada por la ecuación de velocidad.

k= κThe

−ΔGo¿

RT

K y h son las constantes de Boltzman y Plank, R es la constante universal de los gases, delta G es la energía libre de activación molar, del fluido estacionario.

Si el fluido circula en la dirección x con un gradiente de velocidad

dv xdy , la

frecuencia de las velocidades moleculares aumenta, pues la barrera de energía potencial se distorsiona a causa del esfuerzo aplicado.

Se ha obtenido la siguiente ecuación empirica.

μ= NhVe

3.8TbT

V es el volumen de un mol de liquido, N es el numero de Avogadro, Tb es la temperatura normal de ebullición.

La viscosidad disminuye exponencialmente con la temperatura, lo que esta de acuerdo con el comportamiento observado para la mayor parte de los liquidos. Estas ecuaciones no son muy exactas, dando frecuentemente errores de hasta un 30 %, son utiles especialmente para una estimación aproximada y sirven de guía para la interpolación y extrapolación de datos incompletos de viscosidad.

Ejemplo.

Estimar la viscosidad del benceno liquido a 20 C.

Solucion. Se utiliza la ecuación 1 – 5 – 12, junto con los siguientes datos.

Sustituyendo en la ecuación 1-5-12 se obtiene.

μ=( NhV )e3 . 8TbT =

(6 .023 x 1023 ) ( 6 .624 x10−27 )89.0

e3 . 8x 353. 2293 .2 =4 . 46 x10−2 g

cm seg=0 .45cp

El valor experimental de la viscosidad es 0.647 y esta discrepancia pone de manifiesto el carácter aproximado de la teoría.

Teoria de la viscosidad de los gases a baja densidad.

Las viscosidades de los gases a baja densidad se han estudiado ampliamente, tanto en el aspecto experimental como en el teorico. Consideremos un gas puro, constituido por moléculas esféricas, rigidas y que no se atraen, de diámetro d y masa m, con una concentración de n moléculas por unidad de volumen. Supongamos que n es suficientemente peque;o, de forma de que la distancia media entre las moléculas sea mucho mayor que su diámetro. Al alcanzarse el equilibrio en estas condiciones, la teoría cinetica establece que las velcidades moleculares relativas a la velocidad v del fluido, siguen direcciones al azar y tienen un valor promedio, que viene dado por la expresión.

u=√ 8κTπm

En la que k es la constante de Boltzman. La frecuencia del bombardeo molecular por unidad de area, que actua sobre una cara de una superficie estacionaria en contacto con el gas viene dada por.

Z=14nu

El recorrido libre medio l es la distancia que recorre una molecula entre dos colisiones consecutivas, siendo

λ= 1

√2 πd2n

Las moléculas que llegan a un plano han efectuado, como promedio, sus ultimas colisiones a una distancia a de este plano, siendo

a=23λ

Para determinar la viscosidad de este gas en función de las propiedades moleculares, veamos lo que ocurre cuando fluye paralelamente al eje x,

con un gradiente de velocidad

dv xdy .

Colocar figura aquí.

La densidad de flujo de cantidad de movimiento x a través de un plano situado a una distancia constante y, se obtiene sumando las cantidades de movimiento x de las moléculas que cruzan en la dirección y positiva y restando las cantidades de movimiento x de las que cruzan en el sentido opuesto, por lo tanto.

τ yx=Zm vx|y−a−Zm vx|y+aSe supone que el perfil de velocidades vx(y) es esencialmente lineal en una distancia de varias veces el recorrido libre medio. Teniendo en cuenta esta ultima suposición se puede escribir.

vx|y−a=vx|y−23λdvxdy

v x|y+a=vx|y+23λdv xdy

Combinando las ecuaciones 1-4-2, 5 y 6,

τ yx=−13nmu λ

dvxdy

Esta ecuación corresponde a la ley de la viscosidad de Newton, siendo la viscosidad,

μ=13nmu λ=1

3ρ u λ

Esta ecuación fue obtenida por Maxwell en 1860.

Combinando las ecuaciones 1-4-1, 3 y 8.

μ= 2

3 π3

2

√mκTd2

1-4-9

Que corresponde a la viscosidad de un gas a baja densidad, constituido por esferas rigidas. La deducción anterior proporciona una descripción cualitativamente correcta de la transferencia de cantidad de movimiento en un gas a baja densidad.

La predicción de la ecuación 1-4-9 de que m es independiente de la presión esta en buena concordancia con los resultados experimentales

para presiones de hasta unas 10 atmosferas. En cambio, la dependencia con respecto a la temperatura es menos satisfactoria. Para predecir con exactitud la variación de m con la temperatura hay que substituir el modelo de la esfera rigida por un campo de fuerzas moleculares mas realista.

La teoría de Chapman – Enskog da expresiones para los coeficientes de transporte en función de la teoría potencial de interaccion entre dos moléculas del gas.

La energía potencial esta relacionada con la fuerza de interaccion f mediante la ecuación.

F=−dϕdr

Donde r es la distancia entre las moléculas. La forma exacta de la función j( r ) no se conoce, pero afortunadamente, se ha comprobado mediante una investigación copiosa que una función empirica muy satisfactoria de la energía potencial es el potencial de Lennard – Jones.

ϕ (r )=4 ε [( σr )12

−( σr )6 ]

1-4-10

Donde s es un diámetro carcteristico de la molecula (el diámetro de colision) y e es una energía característica de interaccion entre las moléculas (la energía de atracción máxima entre dos moléculas). Esta función se representa en la figura 1-4-2 que pone de manifiesto los caracteres típicos de las interecciones moleculares: débil atracción para grandes separaciones ( prácticamente proporcional a r-6) y fuerte repulsión para separaciones peque;as (aproximadamente proporcional a r-12) Esta ecuación resulta muy satisfactoria para numerosas moléculas no polares Los valores para sigma y epsilum se conocen para muchas sustancias y se reportan en tablas.

Se dispone de las siguientes ecuaciones empiricas.

εκ=0. 77T c σ=0.841V c

12

εκ=1 . 15b σ=1 .166V b , liquid

12

εκ=1 . 92m σ=1 . 222Vm, solido

12

Donde c es condiciones criticas, b es punto de ebullición y m es punto de fusión del solido.

Donde

εκ, T

están dadas en grados Kelvin, sigma en Amstrongs, V en gramo cm 3mol-1 y Pc en atmosferas.

El coeficiente de viscosidad de un gas monoatómico puro de peso molecular M, a la temperatura T, viene dado por la siguiente ecuación.

μ=2.6693 x10−5 √MTσ 2Ωμ

En la que μ [¿ ] g

cm seg, T [¿ ]K , σ [¿ ] A , Ωμ

es una función ligeramente

decreciente del numero adimensional

κTε cuyos valores se dan en un

apéndice.

Aunque esta formula se ha deducido para los gases monoatómicos, se ha encontrado que resulta también muy adecuada para los gases poliatomicos. Observar que la viscosidad de los gases a baja diensidad aumenta con temperatura y la viscosidad es independiente de la presión.

La teoría de Chapman – Enskog ha sido ampliada por Curtis y Hirschfelder para incluir las mezclas gaseosas de varios componentes, En la mayor parte de los casos, resulta muy adecuada la ecuación empirica de Wilke.

μmezcla=∑i=1

n x iμ i

∑ x iΦij

Donde.

Φij=1

√8 (1+M i

M j)−1

2 [1+( μiμ j )1

2(M j

M i)1

4 ]2

En estas ecuaciones, n es el numero de especies químicas existentes en la mezcla, xi y xj son las fracciones molares de las especies i y j. mi y mj son las viscosidades de i y j a la temperatura y presión del sistema, Mi y Mj son los pesos moleculares correspondientes. Observar que Qij es un numero adimensional, y que Qij = 1 cuando i = j.

Ejemplo 1-4-1.- Calcular la viscosidad del CO2 a 1 atmosfera y 200, 300 y 800 K

Se utiliza la ecuación 1-4-18. En la tabla B – 1se encuentra que las

constantes de Lennard = Jones para el CO2 valen

εκ−190K , σ=3 .996 A

. El peso molecular del CO2 es es 44.01. Sustituyendo esto, se obtiene.

μ=2.6693 x10−5 √44 . 01T(3 . 996 )2Ωμ

=1 .109 x 10−5 √TΩμ

Donde μ [¿ ] g

cm seg, T [¿ ]K

. Los demás cálculos se indican en la tabla siguiente.

T

(K)

κTε

= T190

Ωμ de

la tabla B-2

√T Viscocidad calculada Ec.1-4-21

gcm seg

Viscocidad observada

gcm seg

200 1.053 1.548 14.14 1.013x 10-4

1.015x10-4

300 1.58 1.286 17.32 1.494x 10-4

1.495x10-4

800 4.21 0.9595

28.28 3.269x 10-4

En la ultima columna se indican los datos experimentales con fines comparativos

Ejemplo 1 – 4 2.

Predecir la viscosidad de las siguientes mezclas gaseosas a 1 atm y 293 K, a partir de datos de los componentes puros a 1 atm y 293 K.

Substancia Fraccion molar x Peso Molecular M

Viscosidad

μ [¿ ] gcm seg

1=CO2 0.133 44.01 1462x 10-7

2=O2 0.039 32.0 2031x10 -7

3=N2 0.828 28.016 1745x 10-7

Solucion.

Se utilizaran las ecuaciones 1-4-20, y 1 – 4 – 19 por este orden, En la siguiente tabla se indican las principales etapas del calculo.

i j M i

M j

μ iμ j

Φij

Ecuacion 1-4-20

∑j=1

3

x iΦi , j

1 1 1 1 1

2 1.375 0.72 0.73 0.763

3 1.571 0.834 0.727

2 1 0.727 1.389 1.394

2 1 1 1 1.057

3 1.142 1.158 1.006

3 1 0.637 1.2 1.37

2 0.876 0.864 0.993 1.049

3 1 1 1

La ecuación 1 – 4 – 19

μmezcla=∑i=1

n xi μi

∑ xiΦij

=

(0 . 133 ) ( 1462x 10−7 )0 .763

+(0 . 039 ) ( 2031x 10−7 )1. 057

+(0 . 828 ) ( 1754 x10−7)1. 049

=1717 x10−7 gcm seg

El valor experimental es 1793, mismas unidades.

3.5 Ajustes de la viscosidad por temperatura y presión en gases y líquidos

Conclusiones

Bibliografia Transferencia de cantidad de movimiento calor y masa L. Garcell Puyans, Diaz Garcia G. Suri Conde Proceso de transporte y operaciones Unitarias Christie J. Geankoplis