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Mecánica clásica (1/2)Autor: Tirso Seneca

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Presentación del curso

Aprende los conceptos y las fórmulas de la mecánica clásica. Estudiaremos lamecánica de una partícula y la mecánica de un sistema de partículas y veremos laexistencia de fuerzas exteriores, que aplicada a nosotros toman varias formas segúnla segunda ley de Newton. Aprenderás también el teorema de conservación de lacantidad de movimiento para un sistema de partículas.

Estudiaremos la función de disipación aplicándola a física real, conocerás elprincipio de D'Alembert y ecuaciones de Lagrange, también podrás calcular ladistancia más corta entre dos puntos, veremos los teoremas de conservación y laspropiedades de simetría, las ecuaciones de movimiento de Hamilton y lascoordenadas cíclicas.

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1. Mecánica clásica. Prefacio[http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/mecanica-clasica-prefacio]

Siguiendo el camino de H. Goldstein

Adaptado a la UNED Físicas, 4º, "mecánica analítica"

Mecánica Clásica

Karl Friedrich GaussSiméon Denis PoissonJoseph Liouville

Jean Le Rond D´ AlembertGiuseppe Lodovico Lagrangia(Lagrange)Sir William Rowan Hamilton

Prefacio:

Este documento no pretende sustituir al estudio del texto base de esta asignatura,antes al contrario: si no se conoce el libro no se aprobará fácilmente. Es por elaspecto de ladrillo insufrible que ofrece por lo que hemos decidido editar esta breveguía aclaratoria de aquellos conceptos que aparecen nuevos o confusos para elestudiante que se acerca por vez primera a esta asignatura, por ejemplo con lacantidad de ecuaciones distintas que llevan el nombre de Lagrange, Legendre oHamilton.

En realidad, el germen de este archivo está en aquello de "si no lo escribo no meentero de nada...", es decir, explicarse a uno mismo detenidamente lo que estáleyendo. Como además el texto está hecho a las bravas (usando el Office), sin copiarni pegar, el repaso mental a cada tema es más minucioso, a la vez que se descubrenalgunas nuevas relaciones con material de años precedentes que creíamos menosútiles. Así que se ha exprimido a fondo el texto de Goldstein, en los capítulos queconciernen al estudiante de la UNED, a los que se les ha añadido una buena parte decosecha personal, avalada por la experiencia reciente y siempre gratificante dehaber superado con creces la asignatura.



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Repaso de los conceptos fundamentales

Colocaremos aquí, a modo de preámbulo y sin explicaciones, aquellos conceptos yfórmulas de la mecánica clásica que resultan imprescindibles para la iniciación a lamecánica analítica, y que se supone que el lector de este documento conoce eincluso es posible que domine. Valga entonces este capítulo de recordatorio, o en elmejor de los casos, de entrenamiento o calentamiento de cara al nuevo cursoacadémico. Así, lo primero que nos preguntamos es: ¿Recuerdas lo que era...?






2. Mecánica de una partícula[http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/mecanica-particula]

Mecánica de una partícula

El vector de posición r (acuérdese de que los vectores y las matrices se escriben ennegrita), respecto de un punto origen O.

- El vector velocidad .

- La cantidad de movimiento .

- La 2ª ley de Newton:

- El teorema de la conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal:

.

Debemos recordar aquí que, en un caso general: dp = d(mv) = m dv + v dm.

A partir de este momento, y salvo que se especifique lo contrario, siempre ocurriráque m = cte., y por tantodm = 0.

- El momento cinético o momento angular, L, respecto de un punto origen O: L = rx p.

- El momento de una fuerza, N, respecto del origen O: N = r x F, y por tanto se

cumple que: .

- El teorema de conservación del momento cinético o angular: < = = >L es constante.

El trabajo W efectuado por la fuerza F sobre una partícula cuando ésta va del punto "a""a" al punto "b":

donde ds = vdt es el desplazamiento infinitesimal, y entonces:

Lógicamente, los cambios de variables harán que se tenga que acarrear elconsiguiente cambio en los límites de integración, desde el espacio, pasando por eltiempo, para acabar en las velocidades.



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La energía cinética de una partícula, T, es precisamente:

de manera que el trabajo WT: es la diferencia deenergías cinéticas entre los puntos a y b.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema sea conservativo es que lafuerza F se derive de un potencial V:

y llevando esto a la definición del trabajo:

Como en el caso anterior, el trabajo es la diferencia de energías potenciales entrelos puntos a y b.

La consecuencia inmediata de esta situación es que si el punto inicial coincide con elpunto final, pasando por cualesquiera puntos "b" que se deseen, el trabajo realizadosiempre será 0, es decir, que el valor de la integral W es independiente del caminoque une al punto a con el punto b:

Componiendo entonces las energías asociadas a la posición (V) y las energíasasociadas al movimiento (T) se deduce que: Ea = Ta + Va y Eb = Tb+ Vb ,yla diferencia en las energías totales E:

en otras palabras:

Ley de la conservación de la energía para una partícula:

"Si las fuerzas que actúan sobre un sistema son conservativas, la energía total deuna partícula permanece constante".






3. Mecánica de un sistema de partículas[http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/mecanica-sistema-particulas]

Mecánica de un sistema de partículas

Vamos añadiendo algo de complejidad al mundo. A fin de cuentas, todos tenemosla certeza de que en el Universo, además de uno mismo, existen a las menos otraspartículas. Supongamos de momento que la interacción entre ellas y con nosotros serige por la tercera ley de Newton en su formulación débil, es decir, la ley simple dela acción y la reacción. Demos por cierta, también, la existencia de fuerzasexteriores, de origen cualquiera y distinto al de las interacciones entre partículas.Aplicada a nosotros, la segunda ley de Newton toma la forma siguiente:

donde , es la variación de la cantidad de movimiento de lapartícula que llamamos "nosotros" (n).

, es la resultante de cuales fueran fuerzas exteriores aplicadas sobre nosotros.

, es la suma de las fuerzas ejercidas sobre nosotros por las otras partículas (j)del sistema.

Como este razonamiento se ha realizado para una partícula "n" cualquiera, pero esde carácter absolutamente general, entonces la variación de la cantidad demovimiento total para todas las partículas del sistema será la simple suma, es decir,abrimos un sumatorio en n para cada partícula:

Ahora bien:

Fnn = 0: una partícula no interacciona consigo misma.

Fjn = - Fnj, según la tercera ley de Newton. Luego: , y por tanto

Ahora resulta de utilidad el introducir el centro de masas del sistema, definido porun vector R tal que:

donde M es entonces la masa total, porque así nos queda:



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donde M es entonces la masa total, porque así nos queda:

, es decir:

"El centro de masas se mueve como si las fuerzas exteriores estuvieran aplicadas ala masa total del sistema concentrada en su centro de masas".

El momento lineal total P del sistema será entonces:

y la variación de P: , luego si:

es constante, y esto se llama:

Teorema de conservación de la cantidad de movimiento para un sistema departículas:

"Cuando la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas sobre el centro de masassea nula, la cantidad de movimiento del centro de masas permanece constante".

De manera análoga, para encontrar el momento cinético o angular de un sistema departículas, abrimos un sumatorio para todos los productos vectoriales de ladefinición de L, uno por cada j partícula (en total, n):

Cuando efectuamos los productos del primer miembro, aparecen unos sumandos dela forma (rk - rj) x Fkj, que serán todos nulos si las fuerzas interiores obedecen laformulación fuerte de la tercera ley de Newton (además de ser iguales y opuestas,están sobre la recta que une las dos partículas). En este caso se puede enunciar elTeorema de conservación del momento cinético o angular:

"Si el momento resultante aplicado de las fuerzas exteriores teriores Next es nulo,entonces el momento angular de un sistema de partículas L se conserva".

De gran importancia es conocer que éste es un teorema vectorial, es decir, Lz seconservará si Nzext se conserva, aunque no lo hagan las otras componentes de L.

La energía cinética de un sistema de partículas, como el momento lineal, secompone de dos contribuciones: la energía cinética del centro de masas como sitoda la masa del sistema estuviera concentrada en ese punto, más la energíacinética de cada partícula respecto del centro de masas:






Para encontrar las contribuciones a la energía potencial sumamos la energíapotencial de cada partícula por separado, es decir, la que se debe a su posición (n),más la energía potencial que respecto de cada n es producida por la presencia delresto de partículas (j):

donde el factor 1/2 se ha puesto para evitarsumar dos veces cada pareja de subíndices.

Se hace notar que en un cuerpo rígido el segundo sumatorio (el doble sumatorio) esconstante en el tiempo, ya que las partículas que componen el cuerpo permanecenfijas en sus posiciones respecto del centro de masas.






4. Ligaduras en mecánica clásica[http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/ligaduras-mecanica-clasica]

Ligaduras

Cuando se descubre por vez primera el libro de Goldstein, este apartado resulta delo más descorazonador. Parece que los físicos teóricos se han propuesto enmarañaral no iniciado dentro de un torbellino de términos que incluso pueden variar designificado cuando los enunciados de los problemas a los que se aplican son muysimilares.

Pues bien, no es más que la manera de decir que la gran complejidad de sistemasfísicos que son susceptibles de estudio se debe a que los movimientos de las partesque lo componen están restringidos de cualquier forma.

Naturalmente, los sistemas reales obedecen tales o cuales restricciones, y éste es elorigen de su diversidad.

También naturalmente (¡y cómo no!), las herramientas que utiliza la mecánicaanalítica son las adecuadas para tratar idealizaciones de estos sistemas reales. La primera idea que surge entonces es agrupar estas idealizaciones según algunacaracterística importante, y en el libro de Goldstein se proponen las coordenadasdel sistema, es decir, las espaciales y el tiempo, como elementos diferenciadoresentre las ligaduras (en este punto quizás el lector encuentre conveniente refrescarsus conocimientos de etimología, filología, etc...).

Así, el taxos principal lo encontramos en ligaduras holónomas y en ligaduras noholónomas:

Ligaduras holónomas: son todas aquellas que se pueden expresar como:

f(r1, r2, ....., rn, t) = 0. Nótese que en casos así, se puede leer esto como unaecuación implícita con el parámetro t, y se llaman entonces:

Ligaduras reónomas, si contiene a "t" como variable explícita.

Ligaduras esclerónomas, si no dependen explícitamente de "t".

Ligaduras no holónomas: Todas las demás.

Desgraciadamente, no hay un método para resolver todas las ligaduras noholónomas, siendo el de los multiplicadores de Lagrange uno de ellos (se verá másadelante). En cambio, con las ligaduras holónomas se puede seguir la siguiente línea:

Coordenadas generalizadas

Desde este punto, y salvo que se especifique otra cosa, vamos a tratar con ligadurasholónomas.



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Un concepto afín al de ligadura es el de grado de libertad. Ya es sabido que unsistema de N partículas tiene un máximo de 3N grados de libertad.

Cada condición de ligadura restringe un grado de libertad, de forma que si hay unnúmero "k" de ellas, podremos utilizarlas para encontrar 3 N - k ecuaciones delmovimiento independientes, y para poder manipularlas posteriormente de la mejormanera, se introducen 3 N - k nuevas variables que se llamarán las "coordenadasgeneralizadas", q1, q2, ...,q3n-k , que estarán relacionadas con las antiguascoordenadas rn mediante las "formulas de transformación":

Note el lector que este sistema es la representación en paramétricas de un sistemade ecuaciones.

Lo más interesante de este proceso es que ahora las nuevas coordenadas no tienenporqué ser variables canónicas, sino que cualquier magnitud puede estar asírepresentada, e incluso se pueden tomar como coordenadas las amplitudes de undesarrollo de Fourier.

Naturalmente, hay que asegurarse de que son consistentes con el problema físicoque estemos abordando, de forma que siempre han de pasar por un análisisdimensional.






5. D'Alembert y ecuaciones de Lagrange[http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/d-alembert-ecuaciones-lagrange]

Principio de D'Alembert y ecuaciones de Lagrange

Principio de D'Alembert:

, donde: , es otra forma de escribir la ecuacióndel movimiento para cada partícula "n". Visto así, el principio de D'Alembert noexpresa otra cosa sino una condición de equilibrio.

es un incremento infinitesimal real del desplazamiento. Nótese que estamos bajoun símbolo de sumatorio y no bajo una integral.

Para llegar a las ecuaciones de Lagrange a partir de este principio es necesarioprimero transformar las coordenadas a unas nuevas coordenadas generalizadas.Estas coordenadas serán qn y i. Por conveniencia, designarán posiciones yderivadas respecto del tiempo de las posiciones, aunque generalmente puedanrepresentar diversas magnitudes. Esto se consigue utilizando la regla de la cadenapara derivadas parciales. A modo de recordatorio, vaya aquí un ejemplo:

Recordamos que el índice "n" se está reservando para partículas, y que el índice "i",por tanto, pertenecerá a cada coordenada generalizada.

Sustituyendo esto y F = - V (léase lo posterior) en el principio de D'Alembert sellega a "n" ecuaciones para la energía cinética T.

Tengamos en cuenta que estamos trabajando con fuerzas que derivan de unpotencial, y por tanto, F = - V. Cuando sustituimos esto encontramos que en esas "n""n" ecuaciones que cumple la energía potencial, todo lo que ocurre se produce en elsegundo miembro de las ecuaciones que obtuvimos arriba (para ver esto,simplemente, llévese hasta este segundo miembro todas las expresiones que puedade lo que haya surgido en las operaciones con el gradiente, y parezca estarrelacionado con la energía potencial V.

Si no es capaz a la primera, haga el camino a la inversa: parta de las ecuaciones deLagrange y termine en el principio de D´Alembert). Por tanto, el primer miembrotiene la misma forma funcional que las ecuaciones para la energía cinética (quecorresponderá a todo lo que en esas ecuaciones no haya surgido de la potencial).Parece adecuado entonces definir una nueva magnitud que relacione a T y V,llamada la lagrangiana L:



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L = T - V

Las ecuaciones así obtenidas se llaman Ecuaciones de Lagrange:

¿Que para qué vale todo esto? ... Las ecuaciones de Lagrange son una herramientafácil de recordar para encontrar las ecuaciones de movimiento de un sistema. Demomento, ya no es necesario el uso de los vectores, puesto que sólo utilizamosmagnitudes escalares. El ahorro en tiempo, en papel y en tinta resulta evidente.

Tampoco aparecen por ningún lado las ecuaciones de las ligaduras, ya que quedanenglobadas en la transformación de las coordenadas, proceso más general y portanto más potente. Se debe resaltar además el hecho de que la formulación resulteinvariante respecto a la elección de distintos sistemas de coordenadas.

Una aclaración antes de cerrar el epígrafe: por la naturaleza diferencial de estasecuaciones, resulta lógico encontrar unas ecuaciones del movimiento determinadasa partir de varias lagrangianas distintas.






6. Función de disipación[http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/funcion-disipacion]

Función de disipación

Hasta ahora no habíamos incluido en el análisis los sistemas que no sonconservativos. Desde el bachillerato tenemos la idea de las fuerzas de rozamiento yel fenómeno de disipación en la atmósfera del calor producido en la fricción, o de laley de Joule, que relaciona la cantidad de corriente que atraviesa un conductor y elcalor que se desprende debido a la resistencia que opone el material.

En todos estos casos se "pierde" algo de la energía original, y además los sistemasconservativos tal y como los hemos visto no son más que aproximaciones a loseventos físicos reales. La solución inmediata (no tiene porqué ser la mejor) es añadirun nuevo término a las ecuaciones de Lagrange para "completarlas":

¿Qué clase de función tendría que ser?. Bueno, lo primero que vemos es que se tratade una ecuación diferencial, así que será algo que nos diga cómo varía una funcióno variable cuando hacemos variar alguna otra función o variable, es decir, untérmino diferencial.

Acudamos ahora a la física real...¿de que tipo son los rozamientos y otras fuerzasdisipativas?. Bien, una buena mayoría de ellas dependen de la velocidad, o de laenergía cinética, de la forma: F = kv

Esto no es extraño ni aleatorio en absoluto cuando se tiene en cuenta que lasfuerzas derivan (derivada) de un potencial (energía). Obsérvese también que k no esninguna constante, simplemente será una magnitud cuyas dimensiones nodependan de las coordenadas ni de las velocidades. El quid de la cuestión eraseparar estas contribuciones en las fuerzas disipativas. Definamos entonces aconveniencia una nueva función de v que pudiera encajar en el hueco planeado. Noolvidemos que estamos bajo la ecuación de Lagrange, y que ésta está formada porderivadas respecto de coordenadas y velocidades generalizadas. Por tanto, estamosbuscando una derivada, respecto a alguna de ellas, de alguna función todavíadesconocida.... Lord Rayleigh (Essex, 1842-1919) buscó hace tiempo en esto mismoy encontró una función que poseía las Características adecuadas, aunque como sepodía sospechar, no se trataba de una energía: la función .

Función de disipación de Rayleigh para un sistema de n partículas:

de forma que derivando esto respecto de las velocidades generalizadas nobtenemos un término de la forma buscada: / n = F = kvn. Las dimensiones de

son las de un flujo de energía o una potencia, es decir, kgm2s-3, y las de k sonpor tanto kgs-1.



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Evidentemente, se han de utilizar las fórmulas de transformación de v en n vistasmás arriba. Cuando se hace esto, el desarrollo del cuadrado produce tres funcioneshomogéneas en n: T = T0 + T1 +T2, donde T0 es independiente en las velocidadesgeneralizadas, T1 es lineal, y T2 es cuadrática. Esto será de utilidad más adelante.

Añadamos pues / n en el sitio planeado de la ecuación y queda:

Ecuaciones de Lagrange cuando incluyen la función de disipación de Rayleigh:

Es decir, para resolver un problema que incluya fuerzas disipativas, además de lalagrangiana necesitarás conocer una función escalar más, o al menos que en elproblema tengas datos suficientes para deducir L y .

Esto se podrá ver con más detalle más adelante.






7. Principios variacionales y ecuaciones de Lagrange( 1 / 3 )[http://www.mailxmail.com/...canica-clasica-1/principios-variacionales-ecuaciones-lagrange-1-3]

Principios variacionales y ecuaciones de Lagrange

Principio de Hamilton

En el capítulo anterior veíamos cómo las ecuaciones de Lagrange surgían de unprincipio diferencial (principio de D'Alembert), a través del uso de derivadas. Siechamos mano de la teoría de campos (cálculo vectorial, análisis matemático de 2ºcurso), recordaremos inmediatamente que todo lo que se podía expresar con losgradientes, divergencias y rotacionales, tenía su contrapartida en forma integral.Esto se verificaba, por ejemplo, con el teorema de Gauss aplicado a las ecuacionesde Maxwell. Así que no es extraño que también haya un principio integral.

El principio integral de Hamilton dice que:

"el movimiento del sistema entre los tiempos t1 y t2 es tal que el valor de la integralcurvilínea.

donde L = T-V es la lagrangiana, tiene un valor estacionario para elmovimiento correcto".

A la integral J se le llama integral de acción.

Por valor estacionario entendemos que es aquel para el cual J = 0, esto es, que elvalor de la integral curvilínea cuando recorre el camino correcto no varía respecto delos caminos vecinos infinitesimalmente próximos (al menos, cuando estosinfinitésimos son de primer orden).

Técnicas del cálculo de variaciones

En este apartado se recogen tres ejemplos famosos del uso del principio integral deHamilton. Se encuentran las ecuaciones del movimiento igualando a cero la derivadade cierta función, es decir, una condición de extremo, y usando el:

Lema fundamental del cálculo de variaciones:

, para cualquier función arbitraria (x) continua al menoshasta su derivada segunda, entonces M(x) ha de ser idénticamente nula en elintervalo (a,b)".

Identifiquemos ahora estas dos funciones. Veámoslo en una dimensión para nosobrecargar los cálculos(y = fx) representará entonces el camino correcto, no y = f(t)). Con estascondiciones, de una manera general, la lagrangiana será de la forma



http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/principios-variacionales-ecuaciones-lagrange-1-3




condiciones, de una manera general, la lagrangiana será de la forma

Hagamos variar entonces el camino correcto y(x) con un parámetro pequeño (x),de manera que para cualquier variación ocurra que y = f(x, ). Para aplicar elprincipio integral de Hamilton, encontramos una J:

Lo que se está buscando es J sea estacionario duando varía. Esto se expresa,naturalmente,como :

Realizando la derivación bajo el signo integral y cancelando términos nulos, seobtiene finalmente:

Comparando esto con el lema fundamental del cálculo de variaciones:

y si M(x) es idénticamente nula:

Esta forma se llama ecuación de Euler-Lagrange en una dimensión (se parece muchoa la ecuación de Lagrange), y expresa la condición de mínimo buscada.

Así que cuando nos propongamos usar este método, fijaremos nuestra atenciónsobre la función f, ya que si cumple la ecuación anterior entonces el lemafundamental del cálculo de variaciones nos asegura que J es estacionaria. Veamosahora los tres ejemplos:






8. Distancia más corta entre dos puntos del plano[http://www.mailxmail.com/...curso-mecanica-clasica-1/distancia-mas-corta-dos-puntos-plano]

Nota: Continuamos con los principios variacionales y ecuaciones de Lagrange:Ejemplos

Distancia más corta entre dos puntos del planoEn un plano, el elemento de longitud que corresponde a cualquier arco es

, y la longitud de cualquier curva entre los puntos p y q es:

Tomemos f = ds = entonces:

Aplicando ahora la condición de extremo:

Resolviendo esto para : y por tanto y = ax + b, que es laecuación de una recta, evidentemente, la distancia más corta entre dos puntos en elplano.

Superficie de revolución mínima:

Sea una curva en el plano XY. Se hace girar la curva en torno al eje Y para formar unsólido de revolución, como se ve en la figura 1 . Lo que se busca es la curva delplano XY, es decir, una y = f(x), entre los puntos "p" y "q" que hace que lasuperficie de revolución generada sea la menor posible. El área dA que ocupa unanillo cuyo eje coincide con el eje Y (luego su radio es x), y que tiene una anchura

ds es , y ntonces, el área total de la superficiegenerada entre los puntos p y q de la curva cuando han girado una vuelta completaalrededor del eje Y es:



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Así que nuestra función f es en este caso:

Apliquemos el método:






9. Ejemplo de ecuaciones de Lagrange[http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/ejemplo-ecuaciones-lagrange]

Nota: Continuamos con los principios variacionales y ecuaciones de Lagrange:Seguimos con los ejemplos.

Utilizamos ahora la condición de extremo:

, o lo que es lo mismo:

Resolviendo para .

y finalmente:

que es la ecuación de la catenaria. Como antes, los valores delas constantes de integración a y b dependen de los puntos "p" y "q" de la curva.

El problema de la braquistócrona:

Se trata de hallar la curva entre dos puntos cualquiera que describe una partículadesde el reposo, que cae por efecto de la gravedad, y que emplea un tiempo mínimopara recorrerla.

La longitud total de la curva entre los dos puntos es, como antes .Ahora el truquillo para recordar es que ds = vdt, y que la condición de mínimos nosla han pedido sobre el tiempo t , por tanto vamos a calcular:

. La relación para v la obtenemos fácilmente de la ley de laconservación de la energía: cuando llega al punto más bajo, toda su energíapotencial se ha convertido en energía cinética, esto es:

y la integral queda:



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. Luego la famosa función f (fff):

Continuando el método se habrá resuelto de paso el ejercicio 2.3 del libro deGoldstein, así pues queda en manos del lector acabar el ejemplo.






10. Deducción de las ecuaciones de Lagrange[http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/deduccion-ecuaciones-lagrange]

Deducción de las ecuaciones de Lagrange a partir del principio integral deHamilton.

Como ya se sugirió un poco más arriba, las ecuaciones de Euler-Lagrange surgendel principio integral de Hamilton. Seguramente ya se le habrá ocurrido la siguientetransformación:

¿cual es la generalización para n dimensiones?... pues claramente:

x - > t, porque de esta manera, nuestra función f:

nuevamente a las:

Ecuaciones de Lagrange (una vez más):

Extensión del principio de Hamilton a sistemas no holónomos

Ha llegado el momento de incluir en la condición de mínimo las consecuencias delas ligaduras que no se pueden expresar en función de t . La fórmula final es mássencilla de lo que en realidad parece indicar el libro de Goldstein. No obstante,algunas de las condiciones necesarias para poder utilizar el método de losmultiplicadores de Lagrange se ven mejor si se tienen en cuenta las propiedades deaquella función

, encontrada en la sección 2.2, en la que se resumen las condiciones quedebía cumplir el camino pequeñamente variado respecto del camino correcto.Evidentemente, no podremos tomar ningún camino variado que viole lasrestricciones impuestas por las ligaduras, así que las ecuaciones de Lagrange debenreflejar este hecho. Como en el caso de sistemas no conservativos, la solucióninmediata (tampoco tiene porqué ser la mejor) es añadir un nuevo término que"complete" las ecuaciones:

[añadir algo aquí] 0.



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Tengamos en cuenta, en primer lugar, que pueden existir más de una ecuación deligadura, por lo que este nuevo término incluirá un sumatorio cuyo índice las

enumere. En segundo lugar, la forma de la ecuación , nos indica quevamos a encontrar otra vez términos diferenciales. Recordaremos también que seusa la letra griega " "para designar estos multiplicadores, así que el nuevo términotendrá la forma:

, donde fk son las ecuaciones de las k ligaduras.

Esto es, para cada ecuación de las ligaduras existirá un término diferencial respectode cada coordenada generalizada independiente.

Es ahora cuando viene el punto realmente importante. Cuando en un momento dadosustituyéramos las ligaduras por un conjunto de fuerzas exteriores Qnx tales que lasecuaciones del movimiento fueran las mismas, las ecuaciones de Lagrange quedan:

La similitud con la forma que buscamos es evidente. Además, una de las primerasexpresiones con la que nos encontramos en la mecánica es la de la fuerza Normal(la fuerza que ejerce, por ejemplo, una mesa sobre un objeto depositado encima deella, de manera que le impide caer al suelo), que no es más que una ligadura. Poresto, la forma habitual de escribir esta ecuación es:

Atención al cambio de signo originado al mantener positivo el término nuevo.

Este método resulta también adecuado cuando se quieren hallar las fuerzas deligadura de un sistema usando la formulación lagrangiana, representadas en estoscasos por los multiplicadores k. Ya se debería saber que precisamente laformulación lagrangiana, al englobar a las ligaduras en la transformación decoordenadas, es incapaz de resolverlas. De todas formas, el propio Goldstein osaconseja no perder el tiempo usando este método para ello. Aún así, losejercicios son buenos ejemplos del uso de los multiplicadores de Lagrange para laresolución de problemas. El esquema general seguido es el siguiente:

1. Identificar y escribir la lagrangiana en las nuevas coordenadas que elijáis,según convenga más al problema. Haced dibujos aclaratorios del origen decoordenadas y del punto cero de la energía potencial, para evitar sustos posteriorescon los signos.






2. Escribir la o las ecuaciones de ligadura. Encontrarlas suele ser más cuestión deoficio o inspiración que de unas reglas concretas. Nuevamente, el dibujo o esquemaque hagáis resultará de gran utilidad.

3. Escribir las ecuaciones de Lagrange con el término de los multiplicadores.Resolverlas para cada coordenada.

4. Junto a las ecuaciones de la o las ligaduras, formar un sistema de ecuaciones,que contendrá un número de ecuaciones independientes como coordenadas másmultiplicadores haya.

5. Resolver este sistema para lo que pida el problema: En muchos casos, sebuscan los **simbolo lambdak que representan a las ligaduras. En otros, es elángulo u otra coordenada la que interesa encontrar en función de las demás, etc.






11. Teoremas de conservación y propiedades de simetría[http://www.mailxmail.com/...rso-mecanica-clasica-1/teoremas-conservacion-propiedades-simetria]

Teoremas de conservación y propiedades de simetría

Los teoremas de conservación que se demuestran aquí son los correspondientes del primercapítulo, traducidos al lenguaje de las coordenadas generalizadas. De momento, conocemoscomo son las expresiones de dichas magnitudes, q para las coordenadas, y para lasderivadas respecto del tiempo. Vayamos introduciendo ahora las restantes para enunciartales teoremas:

Cantidad de movimiento generalizada p.

Consideremos primeramente un potencial que sólo dependa de las posiciones qi. Secumplirá entonces que:

, es decir, definimos p:

"Cantidad de movimiento generalizada o cantidad de movimiento conjugada a lacoordenada q".

De manera que podemos enunciar el siguiente: Teorema de conservación del momentolineal

"cuando "

Hay que tener cuidado con el siguiente aspecto: como p se define a partir de la lagrangiana,no siempre va a corresponder al caso más conocido de la cantidad de movimiento mecánico p = mvp = mv, por ejemplo una partícula cargada en el seno de un campo eléctrico. Aquí lalagrangiana es de la forma:

donde: "e" representa la carga eléctrica (q) es el potencialeléctrico escalar "A" es el potencial vectorial eléctrico, y por tanto p:

, o bien, la cantidad de movimiento mecánica mas laelectromagnética.

Coordenadas cíclicas

Esta es una de esas ocasiones que uno le pone nombre a algo que no se ve. Cuando en unalagrangiana no aparezca alguna coordenada qn, aunque sí aparezca , diremos que talcoordenada es cíclica o ignorable, y el principal efecto que tiene esto en el sistema es que sien L no aparece qi:



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, es decir:

"la cantidad de movimiento generalizada conjugada a una coordenada cíclica se conserva".

Otra consecuencia: como entonces , pero si esta q es cíclica:

, es decir: "La componente de las fuerzas aplicadas correspondiente auna coordenada cíclica es 0".

Una característica especial tienen las coordenadas que expresen una rotación. Si una detales coordenadas es cíclica, entonces la componente de L según el eje de rotación seconserva, como por ejemplo, se conserva Lz cuando la coordenada de unas coordenadascilíndricas (r, ,y,z) es cíclica.






12. Teorema de conservación de la energía total[http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/teorema-conservacion-energia-total]

Teorema de conservación de la energía total. Función energía

Hasta ahora hemos visto que la función lagrangiana L es la más importante, o la derango superior, ya que es una fuente de las ecuaciones del movimiento de unsistema. Es lógico entonces pensar que su derivada respecto del tiempo estaráimplicada en algún teorema de conservación importante. En este caso, la derivadatotal de la lagrangiana respecto del tiempo es:

, pero según las ecuaciones de Lagrange:

. Poniendo esto en lo anterior y recordando que por definición

:

, pero el término general del sumatorio no es más

que la aplicación de la regla de la derivada del producto , luego:

, o lo que es lo mismo:

Se define ahora la función energía h:

, de tal manera que tenemos como ley de conservación:

A esta ecuación se le conoce como integral de Jacobi, y es una de las integralesprimeras del movimiento. Si la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo,

entonces y h se conserva.



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entonces y h se conserva.

¿Cuándo será la función energía h la energía total del sistema?. Bien, la variación de h está relacionada con la de la lagrangiana, es decir, con la energía cinética T y conla energía potencial V. Más arriba se describió como la energía cinética T sedescompone en tres contribuciones T0, T1 y T2, de manera que la lagrangianatambién tendrá tres contribuciones de la forma:

, donde ahora L1 es una función homogéneade primer grado en y L2 es una función homogénea de segundo grado en .

La forma que tiene la función h sugiere el uso de un teorema de Euler del cálculoavanzado, que dice que para una función f homogénea de grado n se cumple que:

, aplicando esto a la función energía h: , donde seha tenido en

cuenta que L(q, ,t) = L0(q,t) + L1(q, , t) + L2(q, , t) y finalmente: .

Ahora bien, si T no depende explícitamente de qi, o lo que es lo mismo, latransformación de coordenadas y momentos a coordenadas generalizadas nodepende explícitamente del tiempo, entonces T2 = T, y por tantoL2 = T. Si además el potencial no depende de las velocidades generalizadas, L0 =-V, y así nos queda:h = T + V, es decir, la energía total.

Así que la función h coincide con la energía total E cuando el potencial no dependede las , y cuando la energía cinética no contiene al tiempo como variable explícita(no posee términos lineales (T1) en las ).






13. Hamilton. Ecuaciones de movimiento (1/2)[http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/hamilton-ecuaciones-movimiento-1-2]

Ecuaciones de movimiento de Hamilton

La formulación hamiltoniana de la mecánica no va un paso más allá de donde fue laformulación lagrangiana en lo que a resolución de problemas concretos se refiere, sinomás bien a un enfoque más general de la mecánica. No se debe creer que laformulación lagrangiana es un paso intermedio entre la mecánica newtoniana y la deHamilton, sino que ésta se formula a partir de otros principios y siguiendo otrosmétodos, y abre el camino hacia la formulación moderna de las mecánicas cuántica yestadística.

Transformaciones de Legendre y ecuaciones de movimiento de Hamilton

Quede claro que a partir de ahora siempre que se hable del estado de un sistema, nosencontramos en el espacio fásico, ese espacio abstracto 2 N dimensional en el que lascoordenadas generalizadas y sus derivadas respecto del tiempo ocupan ejes decoordenadas ortogonales entre sí. En la formulación lagrangiana para un sistema conn grados de libertad obteníamos n ecuaciones de Lagrange, que tenían la forma:

, es decir, n ecuaciones de segundo grado.

La formulación hamiltoniana, en cambio, intenta ser más simétrica y para ello pone enpie de igualdad a las coordenadas generalizadas qi y a cierta magnitud, de manera quelas ecuaciones finales sean más generales, y además sean ecuaciones de primergrado. Resulta que cuando esta nueva magnitud es la cantidad de movimientogeneralizada "p" las ecuaciones adquieren la simetría deseada. Recordemos entoncesque p:

, de manera que ahora manejaremos un conjunto de 2n coordenadasgeneralizadas, n coordenadas q y n coordenadas p. A las cantidades (q,p) se les llamavariables canónicas.

Con esto se va a construir una función (la hamiltoniana o el hamiltoniano H) paratrabajar con ella, al estilo de como lo hacíamos con la lagrangiana L en la formulaciónde Lagrange. La primera diferencia entonces entre las formulaciones lagrangiana yhamiltoniana es que para encontrar las ecuaciones del movimiento de un sistema:

* en la formulación lagrangiana se usa la función lagrangiana, que es una función de qq, , y t , es decir, L( q, i, t).* en la formulación hamiltoniana se usa la función hamiltoniana, que es una funciónde q, p y t , es decir, H(q,p,t).

El método para encontrar unas a partir de las otras se llama transformación deLegendre , que aplicado a la mecánica se constituye en el siguiente algoritmo:



http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/hamilton-ecuaciones-movimiento-1-2




Paso 1.- La función hamiltoniana H es función de q, p, y t , así que en cualquier casotendremos:

Paso 2.- Por otra parte, de las ecuaciones de Lagrange tenemos que , y que

, donde , la función energía se puede escribir como:

. El uso de la transformación de Legendre supone elformar una función (H por conveniencia) en las nuevas variables tal que tenga la forma:

. El paralelismo es evidente.... Entonces dH:

Paso 3.- De las ecuaciones de Lagrange se deduce que y que

, luego:

.

La ecuación se nos ha quedado en tres términos.... Comparando con la otra forma dedH:






14. Hamilton. Ecuaciones de movimiento (2/2)[http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/hamilton-ecuaciones-movimiento-2-2]

Nota: Continuamos con las ecuaciones de movimiento de Hamilton

La obtención ahora de las ecuaciones de Hamilton es inmediata: Ecuaciones delmovimiento de Hamilton:

Así que tenemos 2n + 1 ecuaciones, n por las coordenadas q, n por las coordenadas p, mas la del tiempo. Bien, ya hemos visto qué es y qué se puede hacer con la funciónhamiltoniana H. Veamos ahora cómo se obtiene.

Obtención de la hamiltoniana

Paso 1: Obtener la lagrangiana del sistema en las coordenadas que más nos convenga,es decir, cartesianas, cilíndricas, esféricas, o cualquier otra coordenada generalizadaque definamos. Lo suyo es aplicar las fórmulas de transformación de coordenadas paracada caso, pero después de hacer las operaciones tres o cuatro veces, uno casirecuerda qué forma tienen las energías cinética y potencial en los distintos sistemas decoordenadas.

Paso 2: Obtener las cantidades de movimiento conjugadas pi a partir de la lagrangiana.

Paso 3: Obtener una hamiltoniana usando la función energía:

. Esto es una función de , p, q y t y por tanto no es todavía"la amiltoniana",pues falta aún por eliminar la dependencia de .

Paso 4: Usamos precisamente las relaciones del paso 2 para eliminar las velocidadesgeneralizadas . Se pueden reconocer ya cuales son las energías potencial y cinética,con lo que se puede nominar con propiedad a la hamiltoniana así obtenida H(q,p,t).

Ilustremos esto con el segundo ejemplo del libro de Goldstein, una partícula cargadaen un campo eléctrico, caso visto ya más arriba. Recordemos que la lagrangiana encoordenadas cartesianas para este sistema era:

Paso 1. Escribir la lagrangiana.



http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/hamilton-ecuaciones-movimiento-2-2




Paso 2. Obtener p.

Paso 3. Escribir la función energía h.

Paso 4. Sustituir p e identificar las contribuciones a la hamiltoniana:

Ahora ya se pueden usar esta hamiltoniana y las ecuaciones de Hamilton para obtenerlas ecuaciones de movimiento del sistema. Si se quiere hallar la trayectoria en funcióndel tiempo, simplemente se resuelven dichas ecuaciones.






15. Coordenadas cíclicas y teoremas de conservaciónrelacionados (1/3)[http://www.mailxmail.com/...ica-1/coordenadas-ciclicas-teoremas-conservacion-relacionados-1-3]

Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación relacionados

Según la definición, una coordenada "q" cíclica es aquella que no aparece explícitamente enla lagrangiana. Ahora bien, como hemos definido:

Entonces si una coordenada "q" no está en L, tampoco estará en H .

El resultado de esto es que todas las leyes de conservación que hemos obtenido antes, secumplen sin más que sustituir H por L, esto es:

Teorema de conservación del momento lineal

Coordenadas cíclicas

Esta es otra de esas ocasiones que uno le pone nombre a algo que no se ve. Cuando en unahamiltoniana no aparezca alguna coordenada qn, aunque sí aparezca , diremos que talcoordenada es cíclica o ignorable, y el principal efecto que tiene esto en el sistema es que sien H no aparece qn:

"la cantidad de movimiento generalizada conjugada a una coordenada cíclica se conserva".

Otra consecuencia: como L = T-V, T = f( ), y V = f(qn), Entonces , pero si esta qes cíclica:

, es decir:

"La componente de las fuerzas aplicadas correspondiente a una coordenada cíclica es 0".

Teorema de la conservación de la energía

La variación total de la hamiltoniana en el tiempo:

Si ahora utilizamos en esta expresión las ecuaciones de Hamilton:



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, nos queda:

y por la integral de Jacobi: , así que si la lagrangiana nodepende explícitamente del tiempo, tampoco lo hará la hamiltoniana, y en ese caso se diceque la hamiltoniana es una constante del movimiento:

, se conserva.

Recordemos ahora que cuando las coordenadas no dependen del tiempo, y el potencial nodepende de las velocidades: H = T + V.

Como apunte final, hacer notar que mientras que para la lagrangiana existe una fórmuladefinida L = T - V, y su magnitud es independiente del sistema de coordenadas utilizado,para la hamiltoniana esto no ocurre, y es posible que una hamiltoniana que se conserva enun determinado sistema de referencia no lo haga en otro sistema de coordenadas, porejemplo en sistemas de referencia acelerados.







Nota: Continuamos con las coordenadas cíclicas y teoremas de conservación relacionados. Ejemplo 1

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del formalismo hamiltoniano paraalgunos sistemas mecánicos simples:

Ejemplo 1.- Sean los tres sistemas mecánicos de las correspondientes figuras. En todosellos el campo g es paralelo al eje Z, como habitualmente se describe, y paralelamente al ejeX, y en su sentido positivo, se dispone un campo E. Ambas masas son también cargas,siendo idénticas para estos dos campos.

- ¿Cuántas ligaduras y cuántos grados de libertad tiene cada uno de ellos?- ¿Cuántas ecuaciones de Hamilton son necesarias en cada caso?

Sistema 1

Se trata de dos partículas libres, moviéndose en tres dimensiones. Así que hay seis gradosde libertad sin restricción alguna. Como coordenadas generalizadas sirven bien lascartesianas, y por tanto el hamiltoniano será de la forma: H = H(xn, yn, zn; pxn, pyn, pzn; t)(n = 1,2) , lo que significa que hay doce ecuaciones de Hamilton.

Sistema 2

Primeramente, consideremos que el movimiento no tiene porqué efectuarse en un plano.Usando coordenadas esféricas se puede definir completamente la posición de la masa1mediante los dos ángulos 1 y 1, ya que la restricción del sistema obliga a la coordenada r a permanecer constante.

Como la masa 1 se mueve en tres dimensiones, pero bastan dos coordenadas para definirsu posición, se deduce que el subsistema de la masa 1 tiene dos grados de libertad, y portanto una ligadura. El mismo razonamiento aplicado a la masa 2 lleva a las mismas







conclusiones. En este caso además hay que decir que las coordenadas para la masa 2 tienensu origen en unos ejes paralelos a los de la masa 1, y que se mueven solidarios con ésta.

Como en total son dos partículas que se mueven en tres dimensiones, pero bastan cuatrocoordenadas generalizadas, se deduce que el sistema tiene cuatro grados de libertad, y portanto dos ligaduras. El hamiltoniano tendrá la forma H = H( n, n; p n,p n; t), lo quesignifica que hay ocho ecuaciones de Hamilton.

Como en total son dos partículas que se mueven en tres dimensiones, pero bastan cuatrocoordenadas generalizadas, se deduce que el sistema tiene cuatro grados de libertad, y portanto dos ligaduras. El hamiltoniano tendrá la forma H = H( 1, 2; p 1,p 2; t), lo quesignifica que hay ocho ecuaciones de Hamilton.

Para este último caso volvemos a la situación inicial. Se han eliminado las restricciones queestaban impuestas sobre las coordenadas r, que ahora pueden tomar cualquier valor quepermita la elongación de los muelles. A fin de cuentas, si los muelles no tienen masa, lasfuerzas que aquellos aplican sobre éstas resultan indistinguibles de las del tipo de acción adistancia, como las gravitatorias o electromagnéticas. Si ahora se puede dar valores a lacoordenada r, es que la ligadura que había en el caso anterior también ha desaparecido,tenemos otra vez seis grados de libertad y por tanto el hamiltoniano será de la forma:

H = H(rn, n, n; prn, p n, p n t), Lo que significa que habrá doce ecuaciones de Hamilton.







Nota: Continuamos con las coordenadas cíclicas y teoremas de conservación relacionados. Ejemplo 2

Ejemplo 2.-

Veamos ahora cómo se van incorporando magnitudes al hamiltoniano de un sistemacualquiera, por ejemplo, este:

Varillas y bastidor sin masa:

Unas varillas L que sujetan un bastidor BD en el que se desplaza una masa m unida albastidor mediante un muelle de constante k, y todo ello, colgado de un techo. Para irintroduciendo suavemente nuevos términos, comencemos sin masa en las varillas ni elbastidor, y dejemos también para un poco más adelante el término con las fuerzasdisipativas que surge del rozamiento de m con el bastidor:

Supongamos que el movimiento se efectúa en un plano.

Las coordenadas generalizadas serán el ángulo que forma el péndulo con la vertical, con elcero de potencial en el plano XY (el techo), y la coordenada "x", con su cerocorrespondiente en el extremo del muelle en equilibrio (su longitud natural). Para encontrarel hamiltoniano, realizamos los pasos siguientes:

Paso 1.- Escribir la lagrangiana :







Paso 2.- Procedamos ahora a utilizar las ecuaciones de Hamilton para encontrar losmomentos p asociados:

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones mediante el método de Cramer para y :

Paso 3-. Ahora la función energía h=h( ,x, , ) es:

Paso 4.- Sustituyendo ahora y , obtenemos finalmente el hamiltoniano:

Tras agrupar términos, la hamiltoniana presenta este aspecto más manejable:






18. Varillas con masa. Fuerzas disipativas[http://www.mailxmail.com/curso-mecanica-clasica-1/varillas-masa-fuerzas-disipativas]

Varillas con masa. Fuerzas disipativas:

¡Obsérvese cuántas cosas hay que saber antes de poder tomar el paso 1!

El problema es similar al anterior. Las diferencias que encontramos son que ahoralas varillas tienen masa, y por tanto se ha de aplicar su momento de inercia respectodel eje de giro en los extremos del bastidor, y que ahora la masa m se ve afectadapor el rozamiento. Entonces la energía cinética T:

, donde los vectores velocidad son los mismos que

en el ejemplo anterior. Esto nos lleva a:

Para calcular la energía potencial tenemos que ver cuales son las coordenadas de lasvarillas. Supuestas de densidad uniforme, se pueden considerar como masaspuntuales en su punto medio. Tomando el mismo origen de potencial que el ejemploanterior, es decir, el plano XY, se obtiene que la aportación a V de cada varilla será:

, y por tanto, la energía potencial V:

, de forma que la lagrangiana de estesistema (sin

amortiguar, aun) es: ¿Paso 1? Aún no...Ahora la receta ya no es L = T - V.



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Sea ahora una fuerza tipo Rayleigh , (¿¿esto es una fuerza??). Nos asaltala duda siguiente: ¿Qué dimensiones tiene c? por su nomenclatura pareciera unaconstante, pero la forma de la función de disipación de Rayleigh sugiere que tengalas de una masa (si es que acaso se trata una energía). Se dice que 2F es la cantidadde energía disipada en una unidad de tiempo, así que la propia F debe tener esasdimensiones (tampoco le hubiera ocupado al señor Goldstein más de una línea elexplicitarlas). Esto implica que las dimensiones de c son las de masa partida portiempo. Estas también son coherentes con las que definen a las fuerzas disipativasQx= - C .

Con estas dimensiones en mente (kgs -1), se nos ocurre ingeniar una nuevalagrangiana en la que quede incluida esta nueva función, a ver qué pasa (es decir,a ver si hay suerte y se puede seguir sin problemas el algoritmo del ejemploanterior). Para esto hagamos lo siguiente:

, pues así se puede poner:

Como esta solo depende de , se puede fabricar una lagrangiana que sea coherentecon esta ecuación haciendo:

Paso 1.- La Lagrangiana, por fin!

, resultando

Ahora tenemos una lagrangiana dependiente del tiempo. Suena a adecuada,teniendo en cuenta que una fuerza disipativa es no conservativa, y que al final elsistema llegará al reposo, es decir, la lagrangiana va a sufrir una evolución temporal.

Paso 2.- Utilizando las ecuaciones de Hamilton sobre esta lagrangiana, se hallan losmomentos asociados:

Resolviendo por Cramer este sistema:

Paso 3.- La función energía h es:






Sustituyendo los valores obtenidos arriba para las velocidades generalizadas, seobtiene finalmente el hamiltoniano:

Paso 4-. Obtención de H.

Tras reagrupar términos, presenta este aspecto menos horroroso, pero no mucho:

donde significa, para hacerlo más manejable:

Nota: "Con este capítulo llegamos al final de la primera parte de las dos partes enlas que esta dividido este curso. Podrás encontrar los enlaces las demás entregas deeste trabajo en la página de presentación del curso".

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