MEDIANTE LA COMBINACIÓN DE LA METODOLOGÍA DRIS CON ...

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE BALANCEO NUTRICIONALEN PLANTACIONES COMERCIALES DE Eucalyptus grandis

MEDIANTE LA COMBINACIÓN DE LA METODOLOGÍA D R I SCON METAHEURÍSTICAS

JOSÉ FERNANDO GIRALDO JIMÉNEZ

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE BALANCEO NUTRICIONAL EN PLANTACIONESCOMERCIALES DE Eucalyptus grandis MEDIANTE LA COMBINACIÓN DE LA

METODOLOGÍA DRIS CON METAHEURÍSTICAS

JOSÉ FERNANDO GIRALDO JIMÉNEZ

Tesis para optar al título deMagister en Investigación de Operaciones y Estadísitica

DirectorMSc. HÉCTOR ALBERTO CHICA RAMÍREZ

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRAPROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

MAESTRÍA EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y ESTADÍSTICAPEREIRA

2015

DEDICATORIA

A mis padres Gloria y Fernando, a quienes debo todo.

A mi esposa Diana, quien durante 25 años ha luchado a mi lado,siempre ha tenido fe en mí, y me ha hecho una mejor persona

A mis hijos Nicolás y Jacobo, quienes son la razón de mi vida.

A la memoria de Luis Felipe Gómez G. y Celso Arboleda V.

AGRADECIMIENTOS

A Dios, por permitirme alcanzar esta meta.

Este trabajo no hubiera sido posible sin el constante e incondicional apoyo que me brin-daron John Byron Urrego Mesa, Ingeniero Forestal M.Sc., Director del Departamento de In-vestigación y Desarrollo-SmurfitKappa Cartón de Colombia y Claudia Marcela Zapata Duque,Ingeniera Forestal M.Sc., Líder del programa de Silvicultura y Productividad del Departamentode Investigación y Desarrollo-SmurfitKappa Cartón de Colombia, quienes siempre han creídoen esta propuesta, me han aportado sus ideas y me han dado aliento para salir adelante.Gracias por todo.

A SmurfitKappa Cartón de Colombia por proporcionarme la información y los recursoslogísticos necesarios para desarrollar el presente trabajo.

A Héctor Alberto Chica Ramírez, Ingeniero Agrónomo M.Sc., Biometrista de Cenicaña, porsus aportes académicos, su orientación, paciencia y dedicación.

A Carlos Ernesto Maldonado Londoño, Ingeniero Agrónomo M.Sc., por su valiosa colabora-ción en la consecución de literatura relacionada con este trabajo.

A José Soto Mejía, Físico-Matemático Ph.D., Director de la Maestría en Investigación deOperaciones y Estadística de la Universidad Tecnológica de Pereira, por su apoyo y constanteatención al desarrollo de este trabajo.

Al grupo de docentes de la Maestría en Investigación de Operaciones y Estadística de laUniversidad Tecnológica de Pereira, quienes me enseñaron lo necesario para afrontar este reto.

A todos quienes dediquen algo de su tiempo para leer este trabajo. Espero que encuentrenalgo útil en él.

CALIFICACIÓN

Jurado 1:_________________________

Jurado 2:_________________________

Índice general

Índice general X I

Índice de tablas X I I I

Índice de figuras X V

Resumen X V I I

Abstract X I X

Lista de abreviaturas y símbolos X X I

1 Generalidades 231.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2 Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3 Reseña DRIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.2 Análisis foliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Descripción de la metodología DRIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.1 Construcción de la norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.2 Cálculo de los índices DRIS (ID) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.3 Cálculo IBN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Planteamiento 332.1 Pregunta de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Hipótesis de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1 Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5 Descripción del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Descripción de la función objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7 Definición del espacio de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.8 Comportamiento de la función objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Metaheurísticas 413.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

ÍNDICE GENERAL

3.2 Métodos evaluados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.1 Templado simulado (SAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.2 Colonia artificial de abejas (ABC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.3 Balanceo progresivo acotado (BPA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Materiales y métodos 494.1 Bases de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Recursos computacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Construcción de las normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Definición de los límites de dosificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5 Prueba de balanceo preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.6 Parametrización de los algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.7 Balanceo nutricional y dosificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.8 Comparación del desempeño de los algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Resultados y discusión 595.1 Construcción de N O R M A S DRIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Comparación del desempeño de los algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2.1 Reducción del índice de balance nutricional (RIBN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.2 Número de iteraciónes (ITER) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.3 Tiempo computacional consumido en segundos (TCCS) . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.4 Casos con convergencia (CONV ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2.5 Dosis en gramos (DOGR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.6 Ajuste y precisión de los algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3 Comprobación de la hipótesis de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 Conclusiones y recomendaciones 776.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2 Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A Normas D R I S E. grandis, altitud menor a 1700 msnm 79

B Normas D R I S E. grandis, altitud entre 1700 msnm y 2000 msnm 81

C Normas D R I S E. grandis, altitud mayor a 2000 msnm 83

D Datos obtenidos para cada variable agrupados por corrida 85

Bibliografía 89

X I I

Índice de tablas

1.1 Estudios de aplicación de DRIS en diferentes cultivos. . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Variación del tamaño del espacio factible según la resolución de exploración. . . 382.2 Norma hipotética para generar índices de prueba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1 Estructura general de un algoritmo metaheurístico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Estructura general del templado simulado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Estructura general del algoritmo ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Estructura general del algoritmo BPA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1 Distribución de parcelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Factores para el cálculo de los límites de dosificación. . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1 Normas DRIS promedio para plantaciones de E. grandis en Colombia . . . . . . 595.2 Resultados de la prueba t remuestreada para la diferencia de medias de RIBN

entre los 3 tratamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3 Resultados de la prueba t remuestreada para la diferencia de medias de ITER

entre los 3 tratamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4 Resultados de la prueba t remuestreada para la diferencia de medias de TCCS

entre los 3 tratamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.5 Resultados de la prueba t remuestreada para la diferencia de medias de CONV

entre los 3 tratamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.6 Cruce de convergencia & no convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.7 Resultados de la prueba t remuestreada para la diferencia de medias de DOGR

entre los 3 tratamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.8 Ajuste y precisión de los algoritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.9 Resultados de la comprobación de la hipótesis de trabajo. . . . . . . . . . . . . . . 76

A.1 Normas DRIS E. grandis, altitud menor a 1700 msnm . . . . . . . . . . . . . . . . 79

B.1 Normas DRIS E. grandis, altitud entre 1700 msnm y 2000 msnm . . . . . . . . . . 81

C.1 Normas DRIS E. grandis, altitud mayor a 2000 msnm . . . . . . . . . . . . . . . . 83

D.1 Datos obtenidos para cada variable agrupados por corrida. . . . . . . . . . . . . . 86

Índice de figuras

2.1 Relación nutrientes rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Variación del IBN con N , P variables y K constante. . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3 Variación del IBN con N , P y K variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Variación del IBN calculado a partir de 10 elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1 Dispersión de RIBN con respecto a IBNi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Dispersión de IBNf con respecto a IBNi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3 Índices DRIS de dos muestras con similar IBNi y distinto balance de id. . . . . 655.4 Dispersión de ITER con respecto a IBNi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.5 Índices DRIS de dos muestras con IBNi > 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.6 Dispersión de TCCS con respecto a IBNi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.7 Dispersión de DOGR con respecto a IBNi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.8 Cambio de fda con respecto a la proporción de iteraciones. . . . . . . . . . . . . . 75

Resumen

E S T A R preparadoes importante, saber

esperar lo es aún más, peroaprovechar el momentoadecuado es la clave de lavida.

Arthur Schnitzler.1862−1931

Esta tesis propone un procedimiento matemático para cuantificar las dosis de fertilizan-tes necesarias para corregir desbalances nutricionales en plantaciones de Eucalyptus grandis,trascendiendo el diagnóstico cualitativo establecido por la metodología DRIS para llegar a undiagnostico cuantitativo de las necesidades de las plantaciones en estudio.

Con esta finalidad se generaron las normas DRIS preliminares específicas para las plan-taciones establecidas en tres altitudes en la zona andina colombiana y se recurrió a dosmetaheurísticas de propósito general, específicamente Colonia Artificial de Abejas y TempladoSimulado, y a un método numérico de propósito específico diseñado particularmente parala solución del problema en cuestión, buscando minimizar el índice de balance nutricionalcalculado a partir de los muestreos foliares.

Se concluyó que el método de propósito específico tuvo mejor desempeño que las metaheu-rísticas ensayadas y que en teoría es posible obtener muestras balanceadas a partir de lasmuestras originales si se hacen modificaciones en el vector de valores elementales iniciales.

Palabras clave: Metaheurísticas, Colonia Artificial de Abejas, Templado Simulado, DRIS,Fertilización, Eucalyptus grandis, Balanceo Progresivo.

Abstract

LI F E is not a problem to besolved, but a reality to be

experienced.

Soren Kierkegaard.1813−1855

This thesis proposes a mathematical procedure to quantify the fertilizer doses requiredto correct nutritional imbalances found in Eucalyptus grandis plantations established in theColombian Andes. The procedure developed goes beyond the qualitative diagnosis calculatedby the Diagnosis and Recommendation Integrated System method (DRIS), achieving a quan-titative diagnosis for the requirements of the plantations subject to study. To achieve this atwo-steps approach was follow.

First, a specific preliminary DRIS norms for plantations established at three altitudes weregenerated, and second, two metaheuristics procedures of general purpose (Artificial Bee Colonyand Simulated Annealing) were compare against a heuristic method of specific purpose createdfor the solution of this specific case.

The main conclusions from this work were as follows; first, the Bounded Progressive Balan-ce (BPA) developed to minimize the nutritional balance index calculated from foliar samplingconsistently performed better than the Artificial Bee Colony and Simulated Annealing methods.Finally, is theoretically possible to obtain balanced samples from the original samples if modi-fications to the initial elemental values vector are applied.

Key words: Metaheuristics, Artificial Bee Colony, Simulated Annealing, DRIS, Fertilization,Eucalyptus grandis, Progressive Balancing

Lista de abreviaturas y símbolos

Abreviaturas

ABC — Artificial Bee ColonyBPA — Balanceo Progresivo AcotadoCONV — Casos con convergenciaCV — Coeficiente de VariaciónDAP — Diámetro a la altura del pechoDEPTO — DepartamentoDif — DiferenciaDisp — DisponibleDOGR — Dosis en gramos por árbolDRIS — Diagnosis and Recommendation Integrated SystemE.grandis — Eucalyptus grandisEE — Error EstándarFO — Función Objetivog/arbol — Gramos por árbolIBN — Índice de Balance NutricionalIBNf — Índice de Balance Nutricional FinalIBNi — Índice de Balance Nutricional Inicialid — Índice DRISID — Conjunto de índices DRISIO — Investigación de OperacionesITER — Número de iteracionesLI — Límite InferiorLS — Límite Superiorm.s.n.m — Metros sobre el nivel del marMPIO — MunicipioN° — NúmeroP50 — Percentil 50PF -SKCC — Proyecto Forestal de Smurfit Kappa Cartón de Colombiapval — Valor pRIBN — Reducción del índice de balance nutricionals.a. — Sujeto aSAN — Simulated Annealing

TCCS — Tiempo computacional consumido en segundos

Símbolos

B — BoroCa — CalcioCu — CobreK — PotasioMg — MagnesioMn — ManganesoN — NitrógenoP — FósforoS — AzufreZn — Zinc

X X I I

CAPÍTULO 1

Generalidades

LA vida es muy peligrosa.No por las personas que

hacen el mal, sino por las quese sientan a ver lo que pasa.

Albert Einstein.1879−1955

1.1. Introducción

Los nutrientes de las plantas son esenciales para la producción suficiente de alimentossaludables que satisfagan a la creciente población mundial. Por lo tanto, los nutrientes paralas plantas son un componente vital en cualquier sistema de agricultura sostenible. Además, laagricultura intensiva requiere mayores flujos de nutrientes para los cultivos y mayores deman-das de esos nutrientes por parte de los cultivos. El agotamiento de la capa fértil de los suelos,situación que ocurre en muchos países en vías de desarrollo, es una de las principales causas,a veces oculta, de la degradación de los suelos y del ambiente. Por otro lado, la excesiva apli-cación de nutrientes o el manejo ineficiente también pueden provocar problemas ambientales,en especial si grandes cantidades de nutrientes se pierden del sistema suelo-cultivo y pasan alagua o al aire. [FAO, 1999]

Es difícil estimar exactamente la contribución de los fertilizantes minerales al aumentode la producción agrícola, debido a la interacción de muchos otros factores importantes. Noobstante, los fertilizantes continuarán jugando un papel decisivo independientemente de lasnuevas tecnologías surgidas. [FAO, 2002]

Se estima que para el periodo 2011-2012, en el mundo se demandarán alrededor de 216.019millones de toneladas de fertilizantes nitrogenados, fosfatados y potásicos. [FAO, 2008]

Puede decirse entonces, que las repercusiones de los fertilizantes minerales en el medioambiente dependen de la gestión, concretamente de cuestiones como la cantidad de fertilizante

1.2. JUSTIFICACIÓN CAPÍTULO 1. GENERALIDADES

empleada en comparación con la cantidad exportada con los cultivos o el método y el calen-dario de aplicación. En otras palabras, es la eficiencia del uso de fertilizante, especialmentede nitrógeno N y fósforo P , la que determina si este aspecto de la gestión del suelo es de granayuda para los cultivos o si, por el contrario, es un factor negativo para el medio ambiente.[FAO, 2011]

Queda planteado así un problema que debe ser afrontado por los profesionales y especia-listas dedicados al estudio del suelo y de la nutrición vegetal, y que consiste en diseñar yproponer estrategias para que el uso de los fertilizantes este acorde con los requerimientosde los cultivos y la demanda poblacional y a la vez armonice con la problemática ambientalexistente.

De acuerdo con lo anterior, diversos métodos y estrategias han sido propuestos en búsquedade un manejo más eficiente de los fertilizantes. Dichas estrategias se basan fundamentalmenteen determinar la oferta ambiental en términos de fertilidad edáfica a través de los análisis desuelos, establecer el estado nutricional de los cultivos mediante los análisis foliares y buscarrelaciones entre la dinámica de desarrollo, crecimiento y producción de los cultivos y la extrac-ción de nutrientes desde el suelo. A partir de esta información es posible dar una aproximacióna las formulaciones más adecuadas de fertilizantes en términos de composición y cantidad deacuerdo con el cultivo en cuestión, su etapa de desarrollo y la oferta ambiental del sitio, talcomo se ha propuesto en los trabajos de Cropper Jr. y Comerford [2005], Boldea y Sala [2013]y Singh y Sharma [2014], entre otros.

Según este esquema, varios métodos para la interpretación de los análisis de suelos yanálisis foliares han sido usados buscando el mejor ajuste de las fertilizaciones formuladas alas condiciones reales. Este trabajo concentró su atención en el método D R I S Diagnosis and

Recommendation Integrated System, el cual usa como entrada los resultados de análisisfoliares y entrega como resultado el índice de balance nutricional, según la concentración deelementos esenciales1 en el tejido vegetal.

El aporte fundamental de este trabajo consistió en trascender la interpretación cualitativaentregada por DRIS para llegar a la cuantificación de los requerimientos nutricionales delcultivo. Se hizo entonces una descripción general del método DRIS en términos de su estruc-tura matemática y de su uso para el diagnóstico nutricional, llegando finalmente a su usoespecífico en plantaciones de E. grandis, especie utilizada como modelo para el desarrollo deeste trabajo.

1.2. Justificación

Un sistema de agricultura sostenible, definido como aquel en el que la producción agrícolaes equilibrada en términos de su beneficio ambiental, el uso racional de los recursos, suviabilidad económica, la equidad social y su viabilidad técnica, según lo discuten Tey y otros

1Aquellos elementos insustituibles por otros, que están implicados directamente en el metabolismo de la planta,y en ausencia de los cuales la planta no puede completar su ciclo de vida.

24 José Fernando Giraldo Jiménez

CAPÍTULO 1. GENERALIDADES 1.2. JUSTIFICACIÓN

[2012], necesita soportarse en técnicas y procedimientos operativos que permitan alcanzardicho equilibrio. Entre otros, uno de los factores más importantes para alcanzar este balancees el adecuado uso de los insumos agrícolas, particularmente de los agroquímicos entre losque se cuentan los herbicidas, plaguicidas y fertilizantes. Las dosificaciones precisas de losagroquímicos son determinantes para que su uso mejore el beneficio económico y reduzcael impacto ambiental. Para el caso particular de los fertilizantes, según Guerrero [2011], laconsecución de este objetivo requiere tomar en cuenta diversos factores que se constituyen enlas bases técnicas de la fertilización y que se resumen así:

a) Dosis de aplicación

b) Tipo de fertilizante

c) Época o momento de la aplicación

d) Sistema de aplicación

Para determinar las dosis de aplicación, factor que motiva este trabajo, existen métodosque permiten llegar a aproximaciones bastante razonables de dichas dosis. El método DRIS,no obstante su carácter de interpretación cualitativa, es uno de los métodos más ampliamenteusados para diagnosticar el estado nutricional de cultivos tanto agrícolas como silvícolas ycon base en este diagnóstico diseñar planes de fertilización. Lo anterior plantea una granposibilidad de mejoramiento para el método si se piensa en ir más allá de la recomendaciónde fertilizantes basada en la interpretación cualitativa de los resultados para llegar a la cuan-tificación de las dosis a partir del balance nutricional entregado por DRIS. Sin embargo,la estructura matemática en la cual se basa el modelo DRIS no permite aplicar de maneradirecta las técnicas convencionales para el cálculo de las dosis, las cuales en general, se basanen las diferencias existentes entre la disponibilidad de nutrientes en el sistema y la necesidaddel cultivo.

La dificultad en este caso, radica principalmente en establecer los valores óptimos elemen-tales, ya que si bien el método permite definir las relaciones numéricas óptimas entre loselementos, no es posible definir los valores individuales de cada elemento que satisfagan lascondiciones impuestas por el conjunto de relaciones. Esta falencia se origina en la complejidaddel modelo que usa DRIS para el cálculo de estas relaciones, lo que lleva a pensar en losmétodos no determinísticos, por ejemplo métodos numéricos y metaheurísticas, como alterna-tivas viables que permitan superar la dificultad matemática. Este es un enfoque que puedeconvertirse en tema de interés para quienes trabajan en las disciplinas relacionadas con lanutrición vegetal, siendo posiblemente los resultados obtenidos en este trabajo la base paraque los investigadores puedan generar aportes y mejoras a lo que el método DRIS propone yparticularmente al planteamiento aquí propuesto.

Como se mostrará a lo largo del desarrollo de este trabajo, las técnicas de investigación deoperaciones, más concretamente las metaheurísticas y los métodos iterativos, se conviertenen herramienta fundamental para la solución del problema planteado. De esta manera sebusca fusionar una técnica que en principio es puramente estadística y basada en criterios

José Fernando Giraldo Jiménez 25

1.3. RESEÑA DRIS CAPÍTULO 1. GENERALIDADES

agronómicos, con técnicas de IO basadas en métodos iterativos con el objetivo fundamental dedeterminar las dosis de fertilizantes más adecuadas para el balanceo nutricional en plantacio-nes de E. grandis.

En resumen, las características del trabajo propuesto pueden recopilarse de la siguientemanera:

Innovación: Este trabajo se convierte en la primera aproximación documentada al tratamientomatemático del problema de balanceo nutricional basado en la metodología DRIS conun enfoque de IO. No se ha encontrado un trabajo antecedente en el que se use la teoríade optimización aplicada a la minimización del índice de balance nutricional calculado através de DRIS.

Fácil aplicación de los resultados: Si bien el cultivo usado como modelo para este estudiode caso se ubica dentro de los sistemas de producción forestales, la sencilla estructurade los modelos usados para afrontar el problema y su detallado desarrollo en este tra-bajo, permitirá que la solución planteada pueda adaptarse a gran diversidad de cultivosagrícolas.

Utilidad económica: El cálculo mejor ajustado de las dosificaciones se verá reflejado posi-tivamente en el rendimiento de los cultivos y en un mejor uso del recurso económicodestinado a la adquisición y aplicación de fertilizantes químicos.

Impacto ambiental: Las dosis de fertilizantes que consideran los requerimientos reales de loscultivos racionalizan el uso de los químicos lo cual tiene un efecto benéfico en el ambienteen lo que se refiere a la restitución adecuada de elementos al ciclo natural de nutrientesy en lo que tiene que ver con la disminución del efecto contaminante de los agroquímicos.

1.3. Breve reseña sobre DRIS

1.3.1. Antecedentes

El método DRIS, según cita Mourão [2004] fue propuesto originalmente por Beaufilis [1973]y es explicado en detalle por Beverly [1991]. Este método ha sido ampliamente usado y validadopara el establecimiento de normas nutricionales o valores de referencia y para el diagnósticonutricional de varios cultivos de importancia económica en diferentes partes del mundo y paradiversas combinaciones de elementos esenciales, como se muestra en la tabla 1.1.


CAPÍTULO 1. GENERALIDADES 1.3. RESEÑA DRIS

Tabla 1.1 Estudios de aplicación de D R I S en diferentes cultivos.

Cultivo Pais Elementos Autores

Coffea arabica L. Colombia N P K Ca Arboleda y otros [1998]

(Café) Mg Mn Fe B

Ananas comosus L. Merr Varios N P K Ca Mg Angeles y otros [1990]

(Piña)

Allium cepa L. USA N P K S Ca Cu Caldwell y otros [1994]

(Cebolla) Mg Mn Zn B

Carya illinoensis (nogal pecanero) Méjico N P K Zn Mn Medina [2002]

(Nogal pecanero)

Citrus spp. Brasil N P K Ca Mg S Mourão y Azevedo [2003]

(Cítricos) B Cu Fe Mn Zn

Saccharum officinarum Brasil N P K Ca Mg Reis Junior y Monnerat [2003]

(Caña de azúcar) S Cu Mn Zn

Eucalyptus grandis W. Hill ex Maid Brasil N P K Ca Mg Costa y otros [2011]

(Eucalipto)

Hevea brasiliensis Muell Venezuela N P K Ca Mg Flores y otros [2004]

(Caucho)

Lactuca sativa L. USA N P K Ca Mg S Hartz y otros [2007]

(Lechuga) B Zn Mn Fe Cu

Dioscorea rotundata Benín N P K Ca Dagbenonbakin y otros [2011]

(Ñame blanco) Mg S Zn

Como las referencias a estudios previos indican, el método base para este trabajo ha sidoampliamente estudiado en diversidad de cultivos, desde perennes hasta transitorios y en loscampos agrícolas y forestales. Para el caso específico del presente trabajo se construyeron lasNormas2 Preliminares DRIS en plantaciones comerciales de E. grandis para las condicionesde cinco departamentos de Colombia agrupados en tres categorías altitudinales, teniendo encuenta las relaciones entre los elementos {N P K Ca Mg S Mn Zn B Cu}. Es de resaltar quedurante la realización de este trabajo no se encontró un reporte previo de creación de normaspreliminares DRIS para E. grandis en Colombia.

1.3.2. El papel del análisis foliar en la recomendación de fertilizantes

Según lo reportado por Linder [1995], las cantidades adecuadas de fertilizante que debenser aplicadas para corregir desbalances pueden estimarse a partir de los valores óptimos de-finidos para cada nutrimento de manera individual. Para el caso específico de la metodologíaDRIS, los óptimos elementales no están propiamente definidos por el valor en sí mismo de laconcentración de cada elemento sino por las relaciones existentes entre esos valores.

Alrededor del mundo y para diferentes condiciones y cultivos estos valores de referencia hansido establecidos. Por ejemplo Campbell [2000], recopila en su trabajo una serie de normas yvalores óptimos elementales para varios cultivos en la región meridional de los Estados Unidos.

2Conjunto de valores óptimos de las relaciones entre elementos, el cual constituye el punto de referencia paradiagnosticar el estado nutricional de un cultivo


1.3. RESEÑA DRIS CAPÍTULO 1. GENERALIDADES

Para el caso específico del eucalipto, Silva y otros [2005], definieron a través de las meto-dologías DRIS, M-DRIS (Modified-DRIS) y CND (Compositional Nutrient Diagnosis)las normas para este cultivo en Brasil. Wadt [2004], hace una comparación de la aptitud de losmétodos DRIS y CL (Critical Level) para la evaluación nutricional de clones de E. grandis,encontrando que DRIS fue más eficiente en su diagnóstico.

A pesar de que el uso de DRIS es generalizado y ampliamente documentado, varios autorescoinciden en que las aplicaciones de fertilizantes basadas en el orden de deficiencia determi-nado por esta metodología en ocasiones puede causar nuevos desbalances o simplemente nocubrir el requerimiento real. En este aspecto, Campion y Scholes [2007], encontraron enensayos de fertilización en plantaciones de E. grandis, que las dosis de P y K aplicadas segúnel análisis de balance nutricional no fueron suficientes para mejorar el índice de estos doselementos.

Medina [2002], encontró que las aplicaciones de ciertas dosis de K y Zn en nogal pecanerotuvieron un efecto negativo sobre el índice de balance nutricional (IBN ) reflejado en la reduc-ción de la producción. Esto puede deberse al antagonismo3 entre elementos, como lo reportanMedina y otros [1999] en su trabajo de fertilización foliar en plantaciones de nogal pecanero,en el cual determinaron que la concentración de Ca se redujo significativamente a medida queaumentaron las dosis de Mn.

Así mismo la interacción entre elementos juega un papel de suma importancia en términosdel balance nutricional y respuesta a las fertilizaciones como lo determinaron Lockley y Koch[1996] al encontrar que para plantaciones de E. grandis en condiciones específicas solo seobtuvo respuesta significativa a la aplicación de nitrógeno cuando también se adicionó fósforo.

El problema radica entonces en encontrar las dosis adecuadas de aplicación de fertilizantespara que el IBN se mantenga o mejore (entendiendo como mejora la reducción de su

valor), se mitigue el efecto de antagonismo entre nutrimientos y se potencien las interaccionespositivas entre los mismos. En este orden de ideas, la tarea fundamental es establecer el valorde referencia o valor óptimo a partir del cual debe calcularse la dosificación de fertilizantes.Al respecto debe decirse que DRIS por sí mismo no permite el cálculo numérico de este re-querimiento, ya que la metodología solo permite calificar las necesidades nutricionales segúnel orden de balance o desbalance de los elementos, el que evidentemente es jerárquico perono cuantificable directamente, por lo menos en los términos en que DRIS ofrece el diagnóstico.

Considerando este enfoque, otras metodologías como DOP (Desviación del Óptimo

Porcentual), la cual ha sido implementada para la interpretación de análisis foliares encultivos como melocotonero [Sanz, 2000], ofrece en teoría una mejor aproximación al estado debalance nutricional de las plantaciones. Sin embargo como lo anota ibídem, para el correctofuncionamiento del sistema es necesario contar con los valores de referencia o valores óptimos,condición que nos ubica nuevamente sobre el punto que este trabajo plantea como problema

3Fenómeno que consiste en la inhibición de un elemento, ya sea en cuanto a su absorción o metabolismo,debida al aumento en la concentración de otro elemento por encima de cierto nivel


CAPÍTULO 1. GENERALIDADES 1.4. DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA DRIS

por solucionar.

1.4. Descripción de la metodología D R I S

El método DRIS permite expresar los resultados del análisis foliar mediante índices, loscuales reflejan el efecto individual de cada elemento sobre el balance nutricional [Mourão,2004]. El cálculo de los índices parte de las relaciones o proporciones entre los valores delas concentraciones elementales y de la desviación de estas concentraciones con respecto a larelación óptima establecida para cada cultivo, la cual se denomina N O R M A DRIS.

La obtención de la norma requiere muestreos y análisis foliares a partir de los cuales seestablecen los valores que servirán de referencia para cada una de las relaciones. A continua-ción se detalla el procedimiento para la construcción de la norma y el cálculo de los índicessegún lo desarrollan Arboleda y otros [1998] y lo describe en detalle Beverly [1991].

1.4.1. Construcción de la norma

Los pasos a seguir para generar la Norma DRIS se resumen así:

Ê Muestreo foliar en el sitio de interés.

Ë División de la población en dos subpoblaciones, una de alta y otra de baja producción.Dicha división debe hacerse de acuerdo a las variables de interés en cuanto a produccióny/o rendimiento.

Ì Para cada subconjunto de la población y para cada punto del muestreo se generan lasrelaciones binarias del conjunto de elementos en ambas direcciones, por ejemplo si treselementos esenciales {N,P,K} son objeto de estudio, entonces se deben generar lasrelaciones N

P , PN , N

K , KN , P

K y KP . De manera general el número de relaciones obtenidas se

calcula como P (n, 2) donde n es el número de elementos esenciales estudiados.

Í Para cada relación se calcula el valor promedio, el error estándar, la varianza y el coefi-ciente de variación.

Î Para cada relación se selecciona solo una dirección del cociente AB o B

A , teniendo encuenta que la dirección elegida es aquella para la cual su cociente de varianzas entre altay baja producción presente el mayor valor. Por ejemplo, si se construye una norma para{N,P,K} y se determina que el cociente entre varianzas de las poblaciones de alta y bajaproducción fue mayor para las relaciones P

N , KN y P

K , estas relaciones serán incluidas enla norma y se omitirán sus recíprocos N

P , NK , K

P .

Ï Una vez definida la dirección de la relación, se toma su valor medio en la población dealta producción como valor de referencia y este valor es el que hará parte de la norma.Los limites superior e inferior para la norma, los cuales definen el rango óptimo de larelación, se obtienen sumando y restando el error estándar al valor medio. Finalmente lanorma quedará compuesta por P (n,2)

2 relaciones, ya que la relación AB excluye de la norma

a su reciproco BA .


1.4. DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA DRIS CAPÍTULO 1. GENERALIDADES

1.4.2. Cálculo de los índices D R I S (ID)

Una vez se ha definido la norma para el cultivo y sitio objeto de estudio se procede a calcularel índice para cada elemento según la ecuación (1.4.1)

idi =

∑mj=1 fjdpij

m, ∀ j 6= i (1.4.1)

en donde idi es el índice DRIS del elemento ei, m el número de cocientes en que aparece elelemento ei, dpij la desviación ponderada de la relación ei

ejcon respecto al valor de la relación

normal, y f un factor que puede ser respectivamente 1 o −1 según el elemento se encuentre enel numerador o denominador de la relación en la norma. Cada desviación ponderada (dpij) secalcula según la ecuación (1.4.2)

dpij =

ρij

(roijreij− 1), si roij > reij + seij

0, si reij − seij ≤ roij ≤ reij + seij

ρij

(1− reij

roij

), si roij < reij − seij

(1.4.2)

en donde para la relación eiej

, ρij se calcula según la ecuación (1.4.3)

ρij =k

CVij(1.4.3)

siendo CVij el coeficiente de variación, seij el error estándar del promedio calculado para larelación ei

ej, roij el valor observado de la relación ei

ejy reij el valor esperado de la relación ei

ej

según la norma con i y j como los índices del i−ésimo y j−ésimo elementos relacionados. kes un valor arbitrario el cual se usa para asegurarse de que los valores de la función y de losíndices sean números enteros y debe incluirse en la publicación de la norma [Beverly, 1991].Para el caso de este trabajo k = 1000.

Como lo anotan Flores y otros [2004], los índices DRIS están balanceados alrededor decero, y por lo tanto, resultan valores positivos y negativos, los cuales muestran el nivel relativode balance dentro de la planta en que se encuentran los diferentes nutrimentos considerados,por lo tanto al sumarlos algebraicamente siempre resultan cero.

Campion y Scholes [2007], encontraron que para plantaciones de E. grandis, los índicesDRIS pueden ser usados para detectar desbalances nutricionales en términos de exceso odeficiencia de los nutrimentos.

Un punto de relevancia para la interpretación de los índices es el que citan Flores y otros[2004], Galantini y otros [2000] y Murillo y otros [2000] haciendo referencia al trabajo de Ke-lling y Schulte [1986], quienes afirman que los índices DRIS ubicados en el intervalo [−15, 15]

indican balance del nutrimento.


CAPÍTULO 1. GENERALIDADES 1.4. DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA DRIS

1.4.3. Cálculo del Índice de Balance Nutricional (IBN)

Adicionalmente, DRIS permite calcular el IBN , el cual equivale a la sumatoria de losvalores absolutos de los id de los elementos esenciales estudiados, como se indica en laecuación (1.4.4)

IBN =

n∑i=1

|idi| (1.4.4)

siendo idi el índice DRIS del elemento ei y n el número de elementos esenciales analizados.

Leech y Kim [1981] encontraron que la aplicación de fertilizantes nitrogenados y potásicosen plantaciones de Populus deltoides afectó el balance nutricional y mejoró el crecimiento tantoen diámetro como en altura de los individuos estudiados.

Mourão [2004] afirma que los valores de IBN tienen relación inversa con la productividadalcanzada. Esta relación fue validada por Medina [2002] en plantaciones de nogal, Flores yotros [2004] en plantaciones de caucho y Nachtigall y Dechen [2007] en cultivos de manzana.

Estudios de aplicación de la metodología DRIS en plantaciones de E. grandis realizadospor Campion y Scholes [2007], sugieren que los altos rendimientos solo pueden alcanzarse coníndices de balance nutricional bajos.


CAPÍTULO 2

Planteamiento

AL final, lo que importano son los años de vida,

sino la vida de los años.

Abraham Lincoln.1808−1865

2.1. Pregunta de investigación

¿Es posible definir los valores óptimos elementales de concentración foliar que reducen elIBN a partir del diagnóstico DRIS y mediante optimización con métodos iterativos?

2.2. Hipótesis de trabajo

Realizar una modificación mediante un vector ponderador en el vector de concentracioneselementales correspondientes al análisis foliar asociado a un índice de balance nutricionalinicial IBNi deriva en la obtención de un vector de concentraciones modificado, a partir delcual resulta un índice de balance nutricional final IBNf de menor valor que IBNi.

Según lo anterior, la hipótesis de trabajo queda plantada de la siguiente manera:

IBNf (V ∗ E,N) < IBNi (E,N) (2.2.1)

en donde IBNf e IBNi son respectivamente el índice de balance nutricional final e inicialcalculados, V es el vector ponderador, E es el vector con los valores foliares de la muestraoriginal y N es la norma usada para calcular los índices DRIS (ID).

2.3. Objetivos

2.3.1. Objetivo general

Diseñar un método iterativo para solucionar el problema de balanceo nutricional en planta-ciones comerciales de E. grandis mediante la combinación de la metodología DRIS y técnicas

2.4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA CAPÍTULO 2. PLANTEAMIENTO

metaheurísticas.

2.3.2. Objetivos específicos

Ê Construir las normas DRIS preliminares para plantaciones comerciales de E. grandisestablecidas en el área de influencia del Proyecto Forestal de Smurfit Kappa Cartón deColombia (PF-SKCC).

Ë Implementar, ensayar y comparar dos algoritmos metaheurísticos a saber: TempladoSimulado (SAN) y Colonia Artificial de Abejas (ABC) como alternativas para el balanceonutricional de plantaciones comerciales de E. grandis establecidas en el área de influenciadel PF-SKCC.

Ì Con base en la calidad de la solución hallada, el número de iteraciones necesarias, eltiempo computacional requerido y la cantidad de fertilizante dosificada, definir cuál delos algoritmos probados es el más apropiado para el balanceo nutricional de plantacionesde E. grandis establecidas en el área de influencia del PF-SKCC.

Í Calcular mediante el algoritmo de mejor desempeño, el vector de ponderación más ajus-tado para el balanceo nutricional en cada punto de muestreo.

2.4. Planteamiento del problema

El problema principal radica en encontrar una forma de solución que permita el estableci-miento de valores óptimos o de referencia para las concentraciones foliares de los elementosesenciales. Dichos valores óptimos deben servir como una guía para el cálculo de las dosismás adecuadas de fertilizantes, de tal manera que las aplicaciones se aproximen al objetivo demejorar el índice de balance nutricional, el cual se relaciona inversamente con el rendimientoobtenido en los cultivos.

Partiendo de la base de funcionamiento del método DRIS en lo que se refiere a la in-terpretación de índices elementales, relaciones entre elementos y principalmente índice debalance nutricional, puede plantearse un modelo de optimización cuyo fin es minimizar el IBN(función objetivo) sujetándose a ciertas restricciones de tipo agronómico que más adelantese detallarán.

2.5. Descripción y modelación matemática del problema

Sean e1, e2, · · · , en los elementos nutricionales esenciales para el crecimiento y desarrollode las plantas y sea Re (Relaciones esperadas) el vector optimo-teórico (llamado N O R M A

DRIS) de relaciones o cocientes binarios entre las concentraciones porcentuales con respectoa la materia seca de esos elementos. Con estos valores se calcula el IBN (índice de balance

nutricional), el cual es mejor en cuanto más se acerque a cero una vez que su relación conla productividad es inversa.


CAPÍTULO 2. PLANTEAMIENTO 2.5. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

Dado E como el vector de valores de concentración para los elementos e1, e2, · · · , en, secalculan los índices DRIS (id) para cada elemento, y si algún id esta fuera del intervaloconsiderado como adecuado se hace una corrección sujeta a las siguientes condiciones:

Ê Los elementos que están en desbalance por exceso no pueden corregirse de maneradirecta porque, por lo menos a través de prácticas agronómicas comunes, esos elementosno pueden extraerse de la planta.

Ë Los elementos que están en desbalance por déficit pueden suplirse a través de fertilizaciónal suelo considerando las tasas de cambio en la concentración del elemento en el tejidofoliar con respecto a la aplicación al suelo del elemento en forma de fertilizante.

Partiendo de estos conceptos el problema puede formularse en términos de encontrar elvector de ponderación V que afecte los valores originales del análisis foliar E de tal maneraque se reduzca el IBN y se desplace el conjunto de índices DRIS (ID) hacia el intervaloadecuado, lo cual matemáticamente se propone en la ecuación (2.5.1), en la cual V es el vectorponderador, E es el vector con los valores foliares de la muestra original y N es la norma usadapara calcular los id.

mın IBN = f ((V ∗ E) , N)

s.a.

−15 ≤ ID ≤ 15

(2.5.1)

En esta versión del problema V no tiene restricción, y en teoría sus valores se pueden ubicar enel intervalo [1,∞). No obstante V no puede crecer indefinidamente por dos razones esenciales:

En primer lugar las dosis deberían formularse según la ecuación (2.5.2),

di = ((vi ∗ ei)− ei) ∗ fai (2.5.2)

en donde di es la dosis calculada de fertilizante para corregir el elemento ei, vi es el factor deponderación para ei, ei es la concentración del elemento en el análisis de laboratorio y fai es elfactor de conversión según la tasa de asimilación suelo-planta para el elemento ei. Entonces sivi es muy grande las dosis resultantes serian operativamente inadecuadas y económicamenteinviables.

En segundo lugar, se sabe que para cualquier cultivo la respuesta de la productividad a lafertilización tiene un umbral máximo siendo éste de comportamiento asintótico en el mejor delos casos y hasta cierto nivel de fertilizante, después del cual las altas dosis aplicadas puedeninfluir negativamente en la productividad ya que se vuelven tóxicas para el cultivo según lodiscuten Jauregui y Sain [1992]. Este fenómeno se ilustra en la figura 2.1

Atendiendo a las restricciones de carácter agronómico y al objetivo de racionalizar el uso defertilizantes el problema debe replantearse como se propone en la expresión (2.5.3):

mın IBN = f ((V ∗ E) , N)

s.a.

1 ≤ V ≤ 1 + ∆max

(2.5.3)


2.6. DESCRIPCIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO CAPÍTULO 2. PLANTEAMIENTO

Figura 2.1 Relación general entre cualquier nutriente en particular y el rendimiento de la planta. En la eta-pa III, se consigue la mayor productividad y la mayor rentabilidad; en la etapa IV se consigue la mayorproductividad pero no la máxima rentabilidad mientras que en las etapas V y VI la productividad del culti-vo se reduce. Fuente: Jauregui y Sain [1992], página 3.

donde V es el vector ponderador, E es el vector con los valores foliares de la muestra original,N es la norma usada para calcular los id y ∆max es el vector que establece la cota superior paraV . ∆max debe ser definido a partir de las concentraciones foliares de la muestra sin balancear,los umbrales máximos de respuesta y los factores de asimilación para cada elemento según ladesigualad (2.5.4),

1 ≤ ∆max ≤ 1 +UMR

E ∗ FA(2.5.4)

en donde ∆max es el vector de incrementos máximos, UMR es el vector de umbrales máximosde respuesta, E es el vector de concentraciones foliares de la muestra sin balancear y FA es elvector que contiene los factores de asimilación para cada elemento.

La restricción impuesta se interpreta de la siguiente forma: El vector de ponderación V nopuede contener valores menores que 1 pues los nutrimentos no pueden extraerse de la planta.De igual manera V no puede contener valores mayores que 1 + ∆max, valor que garantiza queno se superen los umbrales máximos de respuesta. (Figura 2.1).

En este planteamiento del modelo la restricción −15 ≤ ID ≤ 15 se establece como criteriode parada, ya que cuando el ID esté en el intervalo adecuado, la muestra puede considerarsebalanceada. Si bien por las restricciones de tipo agronómico es posible que en algunos casosla cota superior de V impida que se alcance el criterio de parada, se presume que se lograráel objetivo de por lo menos reducir el IBN con respecto a su valor inicial, lo cual en términosde balance nutricional es lo deseable, y se esperaría que, en sucesivas fertilizaciones fraccio-nadas en el tiempo, tanto el IBN como el ID se desplacen gradualmente hacia los valoresagronómicamente adecuados según la teoría propuesta por DRIS.

2.6. Descripción de la función objetivo

Según se describe en las expresiones (1.4.1), (1.4.2) y (1.4.4) la función objetivo tiene cuatrocaracterísticas que fueron fundamentales a la hora de seleccionar el método a través del cualse buscó la solución al problema. Estas características se resumen así:

En (1.4.1), el factor f , el cual puede ser 1 o −1 según el elemento se encuentre en el


CAPÍTULO 2. PLANTEAMIENTO 2.7. DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE SOLUCIONES

numerador o denominador de la norma, indica una función definida por intervalos.

En (1.4.4), el uso del valor absoluto para el cálculo del IBN , establece no diferenciabilidadde la función.

En (1.4.2), las desviaciones ponderadas se calculan condicionalmente de tres manerasdiferentes según el nivel de discordancia de la relación observada con respecto a laesperada. Esto también indica una función definida por intervalos.

Por último, las desviaciones ponderadas en (1.4.2), se calculan a partir de las relacionesentre elementos, es decir sus cocientes, lo cual señala que la función es no lineal.

2.7. Definición del espacio de soluciones

Considerando la única restricción del modelo, la cual es lineal y limita los valores que puedecontener el vector ponderador V , puede decirse que el espacio de soluciones factible siempretiene una cota inferior que es igual a 1 y su cota superior depende para cada elemento delvector ∆max, el cual está relacionado con la tasa de asimilación suelo-planta y el umbral derespuesta máxima a la fertilización para cada elemento en estudio.

Adicionalmente es un espacio continuo ya que V representa un porcentaje de incrementopara cada elemento entre 1 y 1 + ∆max. Si bien el espacio de soluciones es acotado por unlímite inferior y un límite superior, la cantidad de soluciones factibles tiende a ser infinito puesa medida que se aumente el nivel de resolución con el que se calcule V , aumentará a su vezel número de soluciones factibles que resultan de combinar todos los posibles valores quepuede tomar cada elemento de V , siendo cada combinación un punto por evaluar en la funciónobjetivo. Lo anterior puede ilustrarse claramente con un ejemplo:

Suponiendo que se trabaja con 10 elementos {N P K Ca Mg S Mn Zn B Cu} y que paracada elemento se tiene un vector ∆max que contiene la cota máxima en términos porcen-tuales a la cual respectivamente se puede incrementar cada elemento, por ejemplo ∆max =

{0.8 0.75 0.65 0.6 0.5 0.8 0.55 0.9 0.9 0.9}, entonces si se quisiera explorar todo el espacio desoluciones entre 1 y 1 + ∆max con un nivel de resolución de 0.1 resultarían 3.752892E + 08 so-luciones posibles, con la desventaja de que 0.1 es un nivel de resolución demasiado bajo queno garantiza llegar a una solución de calidad. La tabla 2.1, muestra la variación del tamañodel espacio de soluciones con respecto al nivel de resolución al que es explorado para el casopropuesto:


2.8. COMPORTAMIENTO DE LA FUNCIÓN OBJETIVO CAPÍTULO 2. PLANTEAMIENTO

Tabla 2.1 Variación del tamaño del espacio factible según la resolución de exploración.

Resolución Tamaño Espacio

0.1 3.75E + 08

0.05 3.84E + 11

0.025 3.94E + 14

0.0125 4.03E + 17

0.00625 4.13E + 20

0.003125 4.23E + 23

0.001563 4.33E + 26

2.8. Comportamiento de la función objetivo

Debido a las dificultades que presenta la definición matemática de la función objetivo expli-cadas anteriormente y otras características del problema que se enfrenta en el contexto de estetrabajo, como es el número de variables (diez en este caso), se hará una simplificación delproblema que permita un acercamiento a lo que ocurre en la realidad.

Un primer acercamiento al comportamiento de la función objetivo puede hacerse asumien-do que solo se trabaja con tres elementos: {N,P,K}. Entonces es posible crear 256 muestrashipotéticas en las cuales el nitrógeno varía en el intervalo [0.67 , 3.94] en pasos de 0.218. Elfósforo varía en el intervalo [0.01 , 0.31] en pasos de 0.02 y se fija el potasio en un valor constantede 0.981.

Usando la norma hipotética mostrada en la tabla 2.2 se calcula el IBN para cada una delas 256 muestras.

Tabla 2.2 Norma hipotética para generar índices de prueba.

ei/ej Promedio CV EE LI LSPN

0.0453941 19.118761 0.0007121 0.0440360 0.0469159KN

0.4173849 20.695061 0.0090337 0.3998291 0.4363796KP

9.4374164 26.278240 0.2516188 8.8786233 9.9276163

Con los resultados obtenidos se genera un gráfico de superficie (Figura 2.2) que sugierecómo se comporta la función.

Debe tenerse en cuenta que se mantuvo K fijo y por lo tanto debe hacerse el siguienteejercicio haciendo que a cada pareja {N,P} corresponda un valor de K aleatorio, ubicado en elintervalo [0.120 , 2.95] como en realidad ocurre según la base de datos usada para este trabajo.Variando también K, el IBN muestra un comportamiento mucho más complejo en relaciónal que mostró cuando se fijó en 0.981. La figura 2.3 muestra claramente el comportamientomultimodal de la función objetivo, no obstante se han involucrado solo tres variables hasta elmomento.


CAPÍTULO 2. PLANTEAMIENTO 2.8. COMPORTAMIENTO DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

Figura 2.2 Variación del IBN con N , P variables y K constante.

Figura 2.3 Variación del IBN con N , P y K variables.


2.8. COMPORTAMIENTO DE LA FUNCIÓN OBJETIVO CAPÍTULO 2. PLANTEAMIENTO

Finalmente se hace una aproximación al problema con las diez variables que son caso deestudio en este trabajo. Solo por conveniencia para la construcción del gráfico se dejaronfijos N y P en los intervalos descritos, mientras que los valores de {K,Ca,Mg, S,Mn,Zn,B,Cu}toman valores aleatorios en los intervalos que para cada elemento corresponde a la realidadsegún la base de datos usada para este trabajo. Al calcular y graficar el IBN para las 256

muestras hipotéticas se observó el comportamiento ilustrado en la figura 2.4, el cual es unaaproximación al comportamiento de la función objetivo para la cual se simplificaron algunosfactores que son más complejos en la realidad. Si bien el ejercicio anterior no es estricta pruebamatemática de la complejidad de la función, si es una ilustración de la manera como varía elIBN en función de los contenidos foliares y la norma que se usa como referencia.

Figura 2.4 Variación del IBN calculado a partir de 10 elementos.

Esta situación sumada al hecho de que en la revisión de literatura previa a la ejecuciónde este trabajo no se encontró un enfoque similar al aquí propuesto, y por lo tanto ningunasolución al problema en particular se ha planteado, propicia que se vea en el uso de métodosheurísticos, un medio de validez razonable e implementación relativamente sencilla para resol-ver el modelo.

La alternativa propuesta en este trabajo está de acuerdo con lo anotado por De Antonio[2011] quien refiriéndose a lo descrito por Marti [sf], afirma que es posible usar métodosheurísticos en los casos en que no se conoce un método exacto para resolver un problema, quepor su tamaño, complejidad o naturaleza no lineal se hace difícil de modelar matemáticamente,o aunque este método exista, su costo computacional sea muy alto y su implementacióndesestime algunas condiciones del problema, haciendo que las soluciones halladas no seanfactibles o aplicables a la vida real.


CAPÍTULO 3

Metaheurísticas

U N A vez terminado el juegoel rey y el peón vuelven

a la misma caja.

Proverbio italiano.

3.1. Generalidades

Según Luke [2014] metaheurísticas es un término bastante desafortunado que a menudo seutiliza para describir una sub-disciplina importante, de hecho la sub-disciplina primaria, de laoptimización estocástica, la cual es la clase general de algoritmos y técnicas que emplean algúngrado de aleatoriedad para encontrar soluciones óptimas (o tan cercanas al óptimo como

sea posible) a problemas de difícil resolución. Las metaheurísticas son los más generales deestos tipos de algoritmos, y se aplican a una amplia gama de problemas.

Para Ólafsson [2006], la aplicabilidad de las metaheurísticas como un método preferidosobre otros métodos de optimización, principalmente se enfoca en encontrar buenas solucionesa los problemas de optimización heurísticos complejos con muchos óptimos locales y unapobre estructura como para orientar la búsqueda. El enfoque metaheurístico para resolvertal problema se basa en obtener una solución inicial o un conjunto inicial de soluciones y, acontinuación, iniciar una búsqueda guiada mediante criterios de vecindad y operadores devariación procurando la mejora de ciertos parámetros, como el valor de la función objetivo yel ajuste a las restricciones y condiciones del problema. La gran mayoría de metaheurísticasbasan su funcionamiento en la secuencia de los pasos enumerados en tabla 3.1.

3.1. GENERALIDADES CAPÍTULO 3. METAHEURÍSTICAS

Tabla 3.1 Estructura general de un algoritmo metaheurístico.

Paso Proceso

1 Definir FO

2 Generar solución inicial

3 Evaluar FO inicial o Incumbente

4 Generar soluciones candidatas (aleatoriamente o por algúncriterio de vecindad)

5 Evaluar la FO y ajuste de las soluciones candidatas

6 Guardar mejor solución

7 Evaluar criterio de convergencia o de parada

8 Según se cumpla alguna de las condiciones del paso 7 terminar;de lo contrario volver al paso 4.

Según lo cita Mesa [2010], la convergencia de un algoritmo puede ser demostrada matemá-ticamente o mediante pruebas computacionales en las que se hace el análisis del comporta-miento del algoritmo en cuanto a la calidad de la solución hallada, el costo computacional y sucapacidad de llegar a soluciones suficientemente buenas para un número grande de problemas.

El criterio de parada se relaciona con el número de iteraciones máximo programado, eltiempo computacional máximo permitido para la ejecución del algoritmo ó con un númeromáximo de iteraciones consecutivas sin lograr mejoras en la FO como lo anotan Mocellin ySantos [2000].

Algunas metaheurísticas, denominadas bio-inspiradas, han sido diseñadas según el com-portamiento natural de seres vivos como la Optimización Colonia Hormigas (Ant Colony

Optimization: ACO), propuesta inicialmente por Dorigo [1992]. Dicho método imita lamanera en que las hormigas logran encontrar los caminos más cortos hacia sus fuentes dealimento y ha sido aplicado para resolver problemas de explosión combinatoria como los detransporte [Contreras y otros, 2008] y enrutamiento [Bell y Mcmullen, 2004]. Dorigo y Stützle[2004], describen ampliamente el paradigma y aplicaciones de esta metaheurística.

De manera similar a ACO, el algoritmo Colonia Artificial de Abejas (Artificial Bee

Colony: ABC), propuesto por Karaboga [2005], emula el comportamiento de las abejas, lascuales trabajan en grupo para ubicar y explotar las mejores fuentes de alimento, mientras quese abandonan las fuentes improductivas. Karaboga y otros [2012], discuten las aplicacionesy bondades de esta metodología, concluyendo que ABC tiene gran potencial como método deoptimización global con aplicabilidad aun en escenarios dinámicos y de gran incertidumbre,como puede llegar a ser el problema planteado en este trabajo.

Otra técnica usada en problemas de optimización de gran escala es el templado simulado(Simulated Annealing), cuya implementación fue planteada por Kirkpatrick y otros [1983].Esta técnica usa como modelo funcional el proceso de enfriamiento regulado de los metales apartir de una temperatura inicial con el objeto de llegar a una configuración estructural queofrezca la máxima resistencia posible. [Ledesma y otros, 2008]


CAPÍTULO 3. METAHEURÍSTICAS 3.2. MÉTODOS EVALUADOS

Una técnica ampliamente usada se fundamenta en el concepto de algoritmos genéticos(Genetic Algorithms: GA), técnica que de acuerdo a Mitchell [1996] fue propuesta por Ho-lland [1975], y se basa en las reglas de la evolución biológica. El paradigma de estos algoritmosbásicamente es conservar un conjunto de soluciones tratadas como individuos de una pobla-ción en evolución, los cuales se combinan entre sí, y comparan su calidad unos con otros,manteniéndose a través del tiempo solo aquellos de mejor adaptación a las condiciones delproblema y evolucionando hacia una solución de mejor calidad que la de sus antecesores.

Otras técnicas como la escalada (hill climbing) tienen un paradigma puramente matemá-tico cuyo funcionamiento en principio se basa en ir siempre en la dirección de la mejor soluciónencontrada. Estas técnicas son conocidas comúnmente como avaras o golosas, y aunque engeneral funcionan, presentan el problema de quedar atrapadas en óptimos locales [Hopper yTurton, 2000]. A pesar de ello, operar algunas modificaciones en la estructura básica de estosalgoritmos puede sortear esta dificultad y convertir estas técnicas en poderosos herramientaspara la solución de problemas de optimización, como por ejemplo lo proponen Burke y Bykov[2012]. Debe anotarse que si bien la estructura general de los algoritmos metaheurísticos semantiene a través de la resolución de problemas de diversa índole, estas estructuras deben seradaptadas a las condiciones específicas de cada problema para lograr eficiencia en su uso.

3.2. Métodos evaluados

En adelante se describen dos metaheurísticas que fueron ensayadas en este trabajo enbusca de la solución al problema del balanceo nutricional en plantaciones de eucalipto. Seprobó una metaheurística ampliamente usada como el Templado Simulado y un método derelativa novedad en el campo de la optimización como la Colonia Artificial de Abejas. Por últimose describe un método de construcción propia llamado Balanceo Progresivo Acotado, el cualse convierte en el principal aporte de este trabajo.

3.2.1. Templado simulado (S A N)

El funcionamiento básico del templado simulado, que a lo largo de este trabajo se denomi-nará SAN (Simulated Annealing), se rige por el fenómeno que sucede cuando un material essometido a calentamiento a una temperatura muy alta, permitiendo después que ese materialse enfríe lentamente.

La pérdida lenta de temperatura permite que el material alcance una configuración mole-cular de mínima energía potencial, lo cual le confiere ciertas características de estabilidad yresistencia. Según el trabajo de Metropolis y otros [1953], la transición entre los posibles esta-dos de las configuraciones puede simularse a través de un algoritmo cuyo punto inicial es unestado energético eo a partir del cual, y por medio de una pequeña modificación a la estructuramolecular, se genera un estado ep. Si al evaluar el estado ep, éste posee una energía menor queel estado eo, entonces ep es aceptado como el mejor de los evaluados hasta el momento.


3.2. MÉTODOS EVALUADOS CAPÍTULO 3. METAHEURÍSTICAS

El templado simulado permite escapar de óptimos locales gracias a que con cierta proba-bilidad el estado ep puede ser aceptado como nuevo estado de referencia aún si presenta unestado de energía mayor que el estado eo. Esta probabilidad de aceptación de un estado peor,disminuye a medida que el material se enfría y su valor está dado, de acuerdo a ibídem, por laecuación (3.2.1):

p = e− eo−ep

KbT (3.2.1)

siendo p la probabilidad de aceptación de un estado de mayor energía eo y ep los estados ener-géticos evaluados, Kb la constante de Boltzmann4 y T la temperatura actual del sistema.

La estrategia que se adopta para reducir paulatinamente la temperatura del material esllamada programa de enfriamiento. La calidad de la solución hallada depende en gran medidade esta estrategia la cual varía con las características del problema en cuestión y su mejorconfiguración se relaciona con una disminución lenta de la temperatura [Kolahan y otros,2007]. Según lo describe Luke [2014], la estructura general del algoritmo de templado simuladose resume en la tabla 3.2:

Tabla 3.2 Estructura general del templado simulado.

Paso Proceso

1 t ←− temperatura, valor inicial alto

2 S ←− alguna solución candidata

3 Mejor ←− S

4 Repetir:

5 R ←− Modificar (Copia (S))

6 Sí Calidad (R) > Calidad (S), o sí

aleatorio < eCalidad (R)−Calidad (S)

t , entonces

7 S ←− R

8 Disminuya t (Programa de enfriamiento)

9 Si Calidad (S) > Calidad (Mejor)

10 Mejor ←− S

11 Hasta que Mejor sea la solución ideal, se exceda el tiempo, o t ≤ 0

12 Devuelva mejor

Aplicaciones del templado simulado a problemas de optimización con variables continuashan sido desarrolladas, entre otros autores por Vanderbilt y Louie [1984], Corana y otros[1987], y Kolahan y otros [2007].

Estos mismos autores coinciden en que si bien el tiempo computacional requerido parallegar a una solución de buena calidad es alto, el correcto ajuste de parámetros como tempe-ratura inicial, definición del vecindario y programa de enfriamiento, pueden convertir a estealgoritmo en una herramienta de gran aplicación en problemas continuos multidimensionalesde difícil solución.

4Constante relacionada con la intensidad integral de la radiación emitida por un cuerpo negro en proporción asu temperatura absoluta. Su valor es 5.669E − 08W/m2K4.



3.2.2. Colonia artificial de abejas (A B C)

Este algoritmo, denominado ABC por sus siglas en inglés (Artificial Bee Colony), esrelativamente nuevo y tiene su origen en el trabajo de Karaboga [2005], quien basado en el com-portamiento de un enjambre de abejas al buscar sus fuentes de néctar, propuso un algoritmoque simula este fenómeno natural, el cual busca optimización del forrajeo. Según este autor,el comportamiento de las abejas en búsqueda de alimento se basa en la idea fundamental deocupar las mejores fuentes y abandonar las peores, soportando esta decisión en el principiode inteligencia colectiva.

Según Karaboga y Basturk [2007], en el algoritmo ABC, la colonia de abejas artificialesse compone de tres grupos de abejas: empleadas, exploradoras y observadoras. Las abejasempleadas tienen como función explotar las fuentes de alimento, las exploradoras hacenuna búsqueda alrededor de las fuentes ocupadas y las observadoras basadas en el compor-tamiento de las empleadas y las exploradoras definen cuando una nueva fuente de alimentoes potencialmente mejor que una fuente ocupada o cuando una fuente de alimento explotadase abandona debido su baja calidad.

El operador de variación usado en el ABC consiste en generar una nueva solución a partirde dos soluciones existentes. De esta manera las abejas exploradoras hacen una búsquedade nuevas fuentes (lo que equivale a nuevas soluciones) en el vecindario de las fuentesque ya están siendo explotadas. La ubicación de una nueva fuente se define en (3.2.2):

Vi,g = Xi,g + φ (Xi,g −Xk,g) (3.2.2)

en donde Vi,g representa la nueva solución candidata, Xi,g es la fuente explotada actual-mente por la abeja i−ésima; Xk,g es otra fuente de alimento que está siendo explotada por laabeja k−ésima, con k seleccionado aleatoriamente, g es el ciclo actual de exploración y φ es unnúmero real aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo [−1, 1]. Según lo descrito porKaraboga [2005] la estructura general y parámetros iniciales del algoritmo ABC se resumenen la tabla 3.3.

Karaboga y Akay [2009] compararon el desempeño de ABC con el desempeño de otros al-goritmos, a saber Algoritmo Genético, Algoritmo de Evolución Diferencial, Optimización Cúmulode Partículas y Optimización de Estrategia Evolutiva. Los autores concluyen que teniendo encuenta calidad de solución, tiempo computacional y cantidad de parámetros de control, ABCtiene un desempeño igual y mejor en algunos casos que los demás algoritmos estudiados ypuede ser usado eficientemente para resolver problemas de optimización multimodal y multi-dimensional.

Finalmente, y considerando los resultados obtenidos con las dos metodologías propuestas,se optó por probar un método numérico no estocástico, de construcción propia basado enla combinación del método de escalada (hill climbing) con el método de la malla dinámica yque se nombra en este documento como BPA (Balanceo Progresivo Acotado).



Tabla 3.3 Estructura general del algoritmo A B C.

Paso Proceso

1 Parámetros de control para ABC

2 Tamaño de la Colonia =N

3 Numero de observadoras = O = generalmente 0.5N

4 Limite = L = generalmente O∗N.

5 Número de Empleadas = E = generalmente 0.5N

6 Numero de Exploradoras = X

7 INICIO

8 Ubique fuentes Iniciales

9 Repetir

10 Envíe empleadas a las fuentes iníciales y evalúe su calidad

11 Calcule probabilidad con que las fuentes serán preferidas porobservadoras

12 Envíe observadoras a las fuentes preferidas y evalúe su calidad

13 Detenga la explotación en las fuentes agotadas

14 Envíe exploradoras en búsqueda de nuevas fuentes

15 Guarde la mejor fuente

15 Hasta que se cumpla criterio de convergencia o parada

17 Devuelva mejor fuente

3.2.3. Balanceo progresivo acotado (B PA)

Aprovechando la estructura del problema de balanceo nutricional y la teoría en la cualse basa el cálculo del IBN , se diseñó un algoritmo para la solución específica del modeloen cuestión. El algoritmo diseñado combina dos métodos heurísticos a saber: el método deescalada (hill climbing) y el método de malla dinámica en una versión simplificada.

Kenekayoro [2012] afirma que el método hill climbing es una buena alternativa parasolucionar problemas de optimización, en razón de su sencilla implementación.

Según Luke [2014], el método hill climbing se relaciona con el método del gradiente peropresenta la ventaja de no requerir para su uso el conocimiento de la magnitud ni dirección deese gradiente, lo cual es de gran ventaja para la solución del problema que se propone resolveren este trabajo.

El método hill climbing aporta al BPA su criterio de selección de mejor solución, el cualsencillamente es comprar la calidad del incumbente con la calidad de la FO para la solucióncandidata y conservar la mejor de las dos haciendo la selección en el sentido que lo exija elproblema según el objetivo sea maximizar o minimizar la función [Gomes y otros, 2010]. Estemismo proceso es repetido hasta que se alcance el criterio de parada previamente definido.[Bauersfeld, 2011]

El método de malla dinámica (Dynamic Mesh Optimizatión: DMO), el cual es descritopor Puris y Bello [2009] aporta al BPA su estrategia de exploración del espacio de soluciones,la cual consiste en dividir ese espacio en regiones de tamaño uniforme, y de estas regiones ir



seleccionando aquellas en las que se obtenga una mejora en la FO. Las regiones seleccionadasse dividirán en regiones más pequeñas a medida que transcurren los ciclos de búsqueda. Deesta manera al principio de las iteraciones se detectan las mejoras más significativas y luegose refinan las soluciones para detectar mejoras en menor escala.

Aplicaciones del método DMO para la solución de problemas de optimización han sidodesarrolladas por Costa y otros [2011] y Falcon y otros [2012].

Considerando que BPA ha sido diseñado específicamente para la solución del problemaplanteado en este trabajo, a continuación se explica paso a paso su funcionamiento:

Paso 1 Calcular el IBN para la muestra original.

Paso 2 Guardar como solución inicial el conjunto de valores elementales de la muestra originaly como mejor valor de FO (incumbente) el IBN de la muestra original.

Paso 3 Definir los limites iniciales de la malla, fijando como límite inferior los valores elemen-tales de la muestra sin balancear y como límite superior los valores que se obtendríanal afectar los valores iniciales con los valores máximos del vector ponderador V , es decir1 + ∆max (ecuación (2.5.4)).

Paso 4 De acuerdo con el orden de balance entregado por DRIS, iniciar la modificaciónde los valores elementales de la muestra original, comenzando por el elemento másdesbalanceado negativamente.

Paso 5 Después de cada modificación debe calcularse el nuevo IBN y si este tiene un menorvalor que el incumbente, se guarda la nueva solución y el nuevo incumbente.

Paso 6 Repetir la modificación del elemento actual hasta que se alcance el límite superior dela malla o hasta que se obtenga un IBN de mayor valor que el incumbente. En estepaso se define como nuevo límite inferior de la malla el valor actual para el elemento queestá siendo modificado, y en la próxima iteración en la que se apliquen cambios a esteelemento, se partirá de este valor.

Paso 7 Después de detectar empeoramiento de FO, se fija como elemento actual el siguienteen la escala de balance, se inicia la modificación de acuerdo con los límites de la mallapara este elemento y se ejecuta nuevamente la rutina desde el paso 5

Los pasos 5 a 7 se repiten hasta que suceda un ciclo en el cual los cambios operados entodos los elementos no produzcan ninguna mejora en la FO, o se logre ubicar a todos los id enel intervalo [−15, 15], momento en el cual la muestra se considera balanceada y la ejecución dela rutina termina.

Cabe anotar que la obtención de id en el intervalo [−15, 15], también es criterio de paradapor los algoritmos ABC y SAN.

A diferencia de SAN y ABC, BPA no depende de un factor aleatorio para encontrar solu-ciones candidatas, y el operador de variación para hallar las nuevas soluciones solo dependerá



del número de subdivisiones definido para cada región. La estructura del algoritmo BPA seresume en la tabla 3.4.

Tabla 3.4 Estructura general del algoritmo B PA.

Paso Proceso

1 Parámetros de control para BPA

2 Defina límites malla

3 Defina separación entre regiones

4 INICIO

5 Genere Solución Inicial

6 Repetir

7 Recorra Nodos Malla

8 Evalúe FO vs Incumbente

9 Redefina Incumbente y Memorice

10 Redefina Limites Malla

11 Redefina separación entre regiones

12 Hasta que alcance criterio de parada o suceda ciclo sin mejoras

13 Devuelva mejor Solución

Como lo muestra el pseudocódigo anterior, el algoritmo BPA es de fácil implementacióndebido a sus escasos requerimientos en cuanto a parametrización inicial y su sencillez entérminos de su simple criterio de selección y operadores de variación los cuales se definen porla distancia entre nodos.

BPA puede considerarse como una heurística, según la definición dada por Melian y otros[2003], quienes anotan que se puede calificar de heurísticos a aquellos procedimientos en losque se confía para hallar soluciones de alta calidad con un costo computacional razonable,aun si no se garantiza optimalidad o factibilidad, y aun en aquellos casos en los que no sepuede establecer que tan cercana esta la solución hallada a la solución óptima. En este ordende ideas, BPA puede clasificarse dentro de las heurísticas de propósito específico, ya que suconstrucción se ha definido para resolver particularmente el problema de balanceo nutricional.

Es posible ubicar a BPA dentro del grupo de métodos de búsqueda local, los cuales, segúnlo sugerido por Sierra [2004], parten de una solución inicial y en cada iteración calculan unconjunto de soluciones, las cuales son comparadas con la solución actual, y reemplazan aésta según su calidad sea mejor, continuando con este proceso hasta alcanzar el criterio definalización, el cual suele referirse a un determinado número de iteraciones sin lograr nuevasmejoras.

Una vez que construye paso a paso la solución del problema sin depender de un factoraleatorio, y en cada iteración va en la dirección que las mejoras en la FO le indiquen [DeAntonio, 2011], BPA puede considerarse un método constructivo.

El Capítulo 4 consigna las aplicaciones de las técnicas estadísticas y de IO descritas hastaaquí para afrontar y solucionar el problema planteado.


CAPÍTULO 4

Materiales y métodos

E S curioso que la vida,cuanto más vacía, más

pesa.

León Daudí.1905−1985

4.1. Bases de datos

La base de datos usada para la generación de las normas DRIS y posteriores balanceosnutricionales, se conformó a partir de los monitoreos forestales en plantaciones jóvenes deentre 6 y 24 meses de edad establecidas en el área de influencia del Proyecto Forestal deSmurfit Kappa Cartón de Colombia (PF-SKCC), el cual se extiende a través de los departamentosde Cauca, Valle del Cauca, Quindío, Risaralda y Caldas en la República de Colombia. Losmuestreos se han realizado entre los años 2003 y 2012 en un total de 304 ha distribuidas enun total de 3579 parcelas de crecimiento permanente ubicadas en 238 fincas localizadas en30 municipios andinos del territorio colombiano, según muestra la tabla 4.1

Tabla 4.1 Distribución de las parcelas por Departamento y Municipio

Departamento Municipio No. Fincas No. Parcelas

CALDAS Riosucio 10 64

VAllE DEL CAUCA Bolívar

Caicedonia

Cumbre, La

Dagua

Darién (Calima)

Ginebra

Jamundí 87 1357

Palmira

Continúa en la siguiente página...

4.2. RECURSOS COMPUTACIONALES CAPÍTULO 4. MATERIALES Y MÉTODOS

Tabla 4.1 – continua de la página anterior

Departamento Municipio No. Fincas No. Parcelas

Restrepo

Riofrio

Sevilla

Trujillo

Vijes

Yumbo

RISARALDA Dosquebradas

Guática

Pereira 87 1160

Quinchía

S. Rosa de Cabal

QUINDIO Calarcá

Filandia 13 93

Pijao

Salento

CAUCA Cajibío

Popayán

Sotará 16 184

El Tambo

Timbío

Buenosaires

Cada una de los puntos de muestreo contiene información del promedio para 100 individuosde altura en metros, diámetro a la altura del pecho en centímetros (DAP) y contenidos foliaresporcentuales para los elementos esenciales {N P K Ca Mg S Mn Zn B Cu}.

4.2. Recursos computacionales

Todas las rutinas computacionales y algoritmos se implementaron en el software de cómpu-to numérico SciLab 5.45 [Scilab Enterprises, 2012]. Para el análisis estadístico se usó elsoftware R i386 2.15.06 [R CoreTeam, 2013]. Ambos paquetes computacionales son distri-buidos bajo licencia GNU-GPL y están disponibles para descarga en la red.

La ejecución de las rutinas computarizadas se llevó a cabo en un equipo portátil HP Probook

440 GL, con procesador Intel ® Core TMi5-4200M de 2.5 GHz y memoria utilizable de 3.88GB instalada sobre sistema operativo Windows 7 ® SP1 de 64 bits.

5http://www.scilab.org6http://www.R-project.org


http://www.scilab.org

http://www.R-project.org

CAPÍTULO 4. MATERIALES Y MÉTODOS 4.3. CONSTRUCCIÓN DE LAS NORMAS

4.3. Construcción de las normas

Siguiendo el protocolo de la metodología DRIS, se construyeron tres normas específicaspara cada una de los rangos altitudinales a los que se asociaron la ubicación de cada parcela.Estos rangos fueron definidos según el esquema de ordenamiento de plantaciones en Cartónde Colombia, quien divide su patrimonio forestal en tres rangos altitudinales a saber: e < 1700

, 1700 ≤ e ≤ 2000 , e > 2000, siendo e la elevación del sitio.

Se seleccionaron para cada rango altitudinal los registros relacionados en la base de datosteniendo en cuenta los siguientes aspectos:

Edades entre 12 y 18 meses.

Mortalidad en las parcelas ≤ 5 %

Filtrando la base de datos según estos criterios se seleccionaron 199 registros para cons-truir la norma e < 1700, 421 registros para la norma 1700 ≤ e ≤ 2000 y 216 registros para lanorma e > 2000.

Para la construcción de la normas se tomó como referencia de corte entre las poblacionesde alta y baja producción los valores de IMA (incremento medio anual) para las variablesdasométricas7 altura y DAP, variando lo propuesto por Silva y otros [2005], quienes proponenel IMA en volumen como variable de clasificación. La variante propuesta en este trabajobusca diferenciar la influencia de la altura y el diámetro sobre el volumen una vez que árbolesdelgados y altos pueden asemejarse en su volumen a árboles gruesos y bajos. En este aspectoMourão y Azevedo [2003], anotan que el criterio para seleccionar la población de referenciadebe ser específico para establecer la norma adecuada en cada caso.

En este paso el principal inconveniente es que el punto de corte entre las poblaciones dealta y baja producción puede variar entre sitios debido a las condiciones a las que se somete elcultivo durante su crecimiento, y la determinación del punto de corte puede resultar subjetiva.En este trabajo se propone el método de agrupamiento k-means descrito por Hartigan y Wong[1979], el cual genera las subpoblaciones basado en las condiciones específicas de las muestrasen particular.

Con la agrupación k-means, proceso iterativo que reduce la varianza dentro de los gruposy maximiza la varianza entre grupos, se generaron tres sub-poblaciones y se seleccionaroncomo grupos de alta y baja producción aquellos de mayor y menor centroide8 respectivamente,descartando el grupo central, con el fin de obviar ambigüedades. Detalles de la implementacióndel algoritmo k-means pueden ser revisados en Kanungo y otros [2002] y Azhar y otros [2012].

Apegándose a lo descrito por Beverly [1991], se implementó una rutina en SciLab para elcálculo de las normas. Selvaradjou y otros [2004], hacen una descripción paso a paso de la

7La dasometría se encarga de la medición de variables de crecimiento en masas forestales.8Punto cuyas coordenadas son los valores medios de las coordenadas de los puntos del conjunto.


4.4. DEFINICIÓN DE LOS LÍMITES DE DOSIFICACIÓN CAPÍTULO 4. MATERIALES Y MÉTODOS

implementación de las rutinas computarizadas para la aplicación de DRIS y otras metodolo-gías de diagnóstico nutricional.

No obstante las normas se generaron según la metodología descrita por Beverly [1991], seadicionó un paso intermedio, relacionado con la prueba de normalidad para las relacioneselementales, una vez que estas relaciones puntuales se usaron para inferir los intervalos apro-piados para cada relación general a partir de su valor medio y su error estándar.

Se aplicó entonces la prueba de normalidad propuesta por Lilliefors [1967], prueba quesegún su creador es más potente que otros procedimientos cuando se enfrenta una ampliagama de condiciones de no normalidad.

Debido a la gran cantidad de datos se implementó una rutina en R que de forma secuencialaplicó la prueba de normalidad para cada relación según la elevación y población (alta y

baja producción). Los resultados mostraron falta de normalidad en los datos por lo que seprocedió a aplicar la técnica de remuestreo para generar las normas definitivas.

El procedimiento de remuestreo-percentil para el intervalo de confianza de la media descritodetalladamente en el capítulo 13 del texto de Efron y Tibshirani [1994] fue aplicado para definirlos límites inferior y superior de cada relación normal. Según Young y otros [2008], este mé-todo de muestreo concede la ventaja de que no es necesario conocer o asumir la distribuciónsubyacente a los datos.

Se generaron 10000 réplicas con reemplazamiento, cada una de tamaño n, siendo n eltamaño de la muestra original, siguiendo la teoría propuesta por Efron y Tibshirani [1994],según la cual, cuando se usa un numero de réplicas bootstrap B lo suficientemente grande(B →∞) se obtiene un estimador bootstrap ideal.

4.4. Definición de los límites de dosificación

Tabla 4.2 Factores para el cálculo de los límites de dosificación.

Máxima dosis Factor de

Elemento efectiva. g/arb asimilación

N 160 48

P 20 63

K 80 28

Ca 100 37

Mg 50 45

S 25 79

Mn 2 4



CAPÍTULO 4. MATERIALES Y MÉTODOS 4.5. PRUEBA DE BALANCEO PRELIMINAR


Máxima dosis Factor de

Elemento efectiva. g/arb asimilación

Zn 2 160

B 2 85

Cu 2 546

Para el caso particular de las plantaciones de eucalipto establecidas en el área de influenciadel PF-SKCC, las dosis máximas a las cuales se obtiene respuesta en fertilización y las tasasaproximadas de asimilación suelo-planta están definidas según los resultados de los estudiosde Cannon [1981], Labrach [1986] y Kane [1986], quienes realizaron estudios de respuestaa fertilización edáfica en plantaciones de E. grandis en Colombia. La tabla 4.2 muestra losvalores de los factores necesarios para alimentar el modelo.

4.5. Prueba de balanceo preliminar

La prueba de balanceo se ejecutó usando como referencia las normas para cada altitud,los resultados foliares para cada punto e implementando las metaheurísticas ABC, SAN y elmétodo BPA buscando la reducción del IBN . Para cada algoritmo se probaron varios valoresde inicialización para definir la mejor de las parametrizaciones.

Con cada una de los algoritmos y sobre una sub-muestra de 200 puntos de muestreo foliarseleccionados aleatoriamente, se calcularon los valores óptimos a los que debería llegar laconcentración de cada elemento para reducir el IBN y en lo posible ubicar al ID en el intervalo[−15, 15], cambiando en cada corrida de prueba los valores de inicialización para cada algoritmo.

El incremento máximo para cada elemento se calculó según los valores de la tabla 4.2de tal manera que los límites para los incrementos elementales quedaron definidos según laexpresión (2.5.4).

4.6. Parametrización de los algoritmos

De acuerdo con los resultados obtenidos en la prueba de balanceo preliminar, se usaronlos siguientes parámetros para cada uno de los algoritmos:

ABC

Incumbente inicial: IBN de la muestra sin balancear

Solución inicial: Vector de concentraciones de la muestra sin balancear

No. de abejas empleadas: 10

No. de abejas exploradoras: 10

No. de abejas observadoras: 5

No. máximo de fuentes que visitaran las observadoras: 5


4.7. BALANCEO NUTRICIONAL Y DOSIFICACIÓN CAPÍTULO 4. MATERIALES Y MÉTODOS

Ciclos consecutivos sin visita para que se abandone una fuente: 3

No. máximo de ciclos: 50 ó −15 ≤ ID ≤ 15. Criterio de parada

SAN

Temperatura inicial Ti: IBN de la muestra sin balancear

Temperatura de control inicial Tk: Ti

Solución Inicial: Vector de concentraciones de la muestra sin balancear

Programa de enfriamiento: Tk = 0.95 ∗ Tk

Iterar hasta que: TkTi< 0.01 ó −15 ≤ ID ≤ 15. Criterio de parada.

BPA

Incumbente inicial: IBN de la muestra sin balancear

Solución inicial: Vector de concentraciones de la muestra sin balancear

Límites de la malla: Los definidos por los umbrales máximos de respuesta y por losfactores de asimilación

Número de divisiones para cada malla: 25

Número máximo de ciclos: Los necesarios para alcanzar el extremo superior de la malla,alcanzar la condición de balance −15 ≤ ID ≤ 15, o aquel ciclo en el cual los cambiosoperados en todos los elementos no mejoren el incumbente. Criterio de parada

4.7. Balanceo nutricional y dosificación

Usando los tres algoritmos se procedió a balancear las muestras usando como referencia lanorma específica para cada altitud. El resultado final obtenido fue el conjunto de dosificacionesen términos de gramos por cada elemento que debería aplicarse para balancear la muestra yel IBN que con estas dosis se espera obtener.

El IBNf se calculó a partir de los índices DRIS obtenidos para la muestra balanceada ysegún los valores normales para cada caso. Las dosis para cada elemento se calcularon deacuerdo con la ecuación (4.7.1):

DOGR =(E′ − E

)∗ FA (4.7.1)

en donde DOGR es el vector que contiene las dosis en gramos para cada elemento, E es elvector de valores iniciales según el análisis foliar, E′ es el vector con los valores balanceadosy que consiste en la modificación del vector E a través del vector de ponderación V halladomediante la optimización del IBN lograda con los algoritmos propuestos y FA es el vector quecontiene los factores de asimilación para cada elemento.


CAPÍTULO 4. MATERIALES Y MÉTODOS 4.8. COMPARACIÓN DEL DESEMPEÑO DE LOS ALGORITMOS

4.8. Comparación del desempeño de los algoritmos

Para la comparación de los algoritmos se utilizó el conjunto de datos que no intervino en laconformación de la norma. El primer paso fue calcular los índices DRIS para cada uno de los2021 puntos de muestreo, y una vez hecho esto se excluyeron del conjunto de prueba aquellospuntos de muestreo para los que se cumplía que todos los id estaban en el intervalo [−15, 15].Estos datos se excluyeron en razón de cumplir anticipadamente con el criterio de parada queen términos agronómicos se traduce en balance nutricional, es decir, en teoría no es necesariohacer corrección a través de fertilización.

Con el conjunto de datos obtenido (n = 1715), para cada algoritmo se evaluaron las variables:

Porcentaje de reducción del IBN , (RIBN)

Número de iteraciones para alcanzar convergencia, (ITER)

Tiempo computacional consumido en segundos para alcanzar convergencia, (TCCS)

Dosificación total en gramos, (DOGR)

Casos con convergencia, (CONV )9

Se realizaron 49 corridas de cada algoritmo, y para cada corrida se seleccionaron secuencial-mente 35 registros de los 1715 disponibles. De esta manera con cada algoritmo se probóexactamente el mismo conjunto de datos cada vez, y cada corrida representó una repeticióndel ensayo. La división por corridas solo tiene efecto práctico para el análisis de CONV lacual es una variable de conteo. El resto de variables se analizaron asumiendo cada muestrabalanceada como una repetición.

Para que la comparación fuera válida en el caso de ITER y TCCS solo se incluyeron en elanálisis final aquellos puntos de muestreo en que los 3 algoritmos lograron convergencia encomún (n = 1345). La comparación debe hacerse de esta manera una vez que los 3 algoritmostienen estructuras y paradigmas distintos y las diferencias en tiempo computacional y el nú-mero de iteraciones usados por cada uno deben estar relacionadas con el recurso necesariopara alcanzar convergencia y no con aquel recurso que se consume para finalizar la rutina,recurso que para los casos de no convergencia es el necesario para agotar el número máximode ciclos.

Para evitar diferencias en el rendimiento de los algoritmos debidas a condiciones de lamáquina, principalmente en cuanto al tiempo computacional consumido, las pruebas se hi-cieron durante 3 días consecutivos, uno para cada algoritmo, iniciando a la misma hora, ymanteniendo en funcionamiento solo la plataforma SciLab®, sin desarrollar ninguna otraactividad paralela a la ejecución de la rutina evaluada. Para el cálculo de TCCS se usó lafunción timer() de SciLab®, la cual, según la documentación incorporada al programa, tieneuna precisión de 100 nanosegundos y es una medida del tiempo de CPU definido como el

9Entendiendo por convergencia el hecho de lograr ubicar al ID dentro del intervalo [−15, 15] siempre y cuandola solución candidata logre que IBNf < IBNi.


4.8. COMPARACIÓN DEL DESEMPEÑO DE LOS ALGORITMOS CAPÍTULO 4. MATERIALES Y MÉTODOS

número de ciclos ejecutados por el procesador para completar una rutina, con la ventaja queesta medida de tiempo es independiente de los procesos que se ejecutan en segundo plano loscuales pueden ralentizar la máquina.

Para la comparación de los resultados obtenidos con los algoritmos se considera la críticaque hacen Birattari y Dorigo [2007] en cuanto a la manera en que algunos investigadoresconcluyen acerca de los resultados de sus pruebas sobre algoritmos metaheurísticos, en lascuales muestran como indicador de eficiencia y precisión del algoritmo la mejor de n corridas,cuando en realidad debería mostrarse la tendencia central de las n corridas en conjunto.

Atendiendo esta recomendación, se realizaron pruebas t para la diferencia de medias paraRIBN , ITER, TCCS, CONV , y DOGR, las cuales se establecieron a partir del conjunto totalde corridas para cada algoritmo.

Debido a que los datos usados provienen a una base predeterminada, cuya construcción noobedece a un diseño experimental específicamente definido para este trabajo y con el fin prác-tico de no asumir ninguna distribución para las variables en cuestión, se recurrió nuevamentea la técnica de remuestreo bootstrap percentil para hallar los intervalos de confianza pa-ra la diferencia de medias y los p-valores obtenidos en las pruebas de comparación aplicadas.

Siguiendo el protocolo de la metodología bootstrap y tomando en cuenta lo sugerido porAhad y otros [2012] en cuanto a la potencia de la prueba (1− β) se generaron 10000 réplicasde tamaño igual al de la muestra original y se calculó la potencia según la igualdad en (4.8.1)

1− β =

nR=10000︷︸︸︷#p− valores < α

nR(4.8.1)

siendo β la probabilidad de que ocurra el error tipo II, α el nivel de significancia y nR el númerode réplicas bootstrap usadas. Con base en las 10000 réplicas se construyeron los intervalosde confianza para los promedios, la diferencia de medias y el estadístico de prueba.

Teniendo en cuenta el fenómeno de inflación de la significancia debido a la comparaciónmúltiple, se aplicó la corrección de Sidak, la cual, según Casas y Veitía [2008] es un métodorecomendable para el control de la tasa de error. La corrección de Sidak se aplica de acuerdocon la ecuación (4.8.2):

αg = 1− (1− αi)k (4.8.2)

donde αg es el nivel de significancia global de la prueba, αi es el nivel de significancia de cadaprueba independiente y k =

(T2

), resultando así para T = 3 (3 tratamientos) un k = 3 (número

posible de combinaciones no permutadas).

De esta manera en cada prueba independiente se fijó el nivel de significancia en 0.01695con lo cual al final se obtuvo un nivel de significancia global de 0.05 para la comparaciónmúltiple.


CAPÍTULO 4. MATERIALES Y MÉTODOS 4.8. COMPARACIÓN DEL DESEMPEÑO DE LOS ALGORITMOS

Por último, se evaluó el ajuste y precisión de los algoritmos según lo explicado por BemRondane y otros [2013]. Según estos autores el ajuste que mide la cercanía de las solucionesencontradas al óptimo, y la precisión que cuantifica la dispersión entre todas las solucionesencontradas por un algoritmo, incluyendo las mejores y las peores soluciones, son medidas deuso común para evaluar el desempeño algorítmico. Estas medidas se calculan según (4.8.3) y(4.8.5).

BOG =1

Q

1

G

Q∑q=1

G∑g=1

f (BOGgq) (4.8.3)

donde BOG es la mejor solución promedio con respecto a la función de ajuste (fda). Q es elnúmero de corridas, G es el número de soluciones evaluadas y f (BOGgq) es el mejor valor dela función de ajuste evaluada en la generación g de la corrida q. Para este estudio la funciónde ajuste se calcula según (4.8.4).

fda = 1− ibngqIBNi

(4.8.4)

donde fda es la función de ajuste calculada en la generación g de la corrida q, ibngq es el IBNcalculado a partir de la solución hallada en el instante (g, q) e IBNi es el IBN de la muestrasin balancear. El ajuste perfecto corresponde a un valor de 1, para lo cual es necesario queibngq sea igual a cero.

La precisión se calcula como:

Aq =f (BOGq)−mın {Q}max {Q} −mın {Q}

(4.8.5)

donde Aq es la precisión de la corrida q, f (BOGq) el mejor valor de ajuste para la corrida q,mın {Q} es el peor valor de ajuste de las Q corridas y max {Q} es el mejor valor de ajuste paralas Q corridas. La precisión del algoritmo es mejor en la medida en que este valor se acerque a 1.

Para realizar las pruebas de ajuste y precisión se seleccionaron para cada altitud el conjuntode muestras cuyos valores de IBNi correspondían a los valores mínimo y máximo de la serie y3 muestras más correspondientes a los valores más cercanos por defecto a los 3 cuartiles de laserie de valores de IBNi. Cuando para más de una muestra su IBNi coincidió con el criteriode selección descrito, se eligió aleatoriamente una de ellas. De esta manera se obtuvieron15 muestras, 5 por altitud, las cuales se balancearon en 50 oportunidades con cada unode los algoritmos, obteniendo así un conjunto de 270000 datos (aproximadamente 85000

iteraciones por algoritmo) a partir de los cuales se calcularon los indicadores de ajuste yprecisión de la manera descrita anteriormente.


CAPÍTULO 5

Resultados y discusión

D I M E y lo olvido,enséñame y lo recuerdo,

involúcrame y lo aprendo.

Benjamin Franklin.1706−1790

5.1. Construcción de N O R M A S D R I S

Las normas preliminares construidas a partir de la metodología DRIS complementada conremuestreo para los 3 rangos altitudinales usados en este trabajo, se encuentran en los tablasA.1, B.1 y C.1 de los apéndices A, B y C respectivamente. La tabla 5.1 contrasta los valoresnormales de las relaciones definidas en este trabajo para e < 1700 con los reportados por Wadty Novais [1999], quienes construyeron la norma preliminar para clones de E. grandis x E.urophylla en Brasil, a partir de los datos tomados en 1896 árboles distribuidos en 9 unidadesde manejo en los estados de Espírito Santo y Sur de Bahía, sitios que se encuentra por debajode la cota de los 1700 msnm.

Tabla 5.1 Normas D R I S promedio construidas para plantaciones de E. grandis establecidas en la regiónandina de Colombia a menos de 1700 msnm y las establecidas en el sureste de Brasil.

Relación Colombia Brasil

P/N 0.062 0.061

K/N 0.415 0.454

Ca/N 0.462 0.31

Mg/N 0.119 0.151

S/N 0.08 0.059

Mn/N 244.946 134.63

Zn/N 8.818 8.173

B/N 17.022 27.576

N/Cu 0.325 0.404


5.1. CONSTRUCCIÓN DE NORMAS DRIS CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y DISCUSIÓN


Relación Colombia Brasil

P/K 0.154 0.161

Ca/P 8.384 5.344

Mg/P 2.105 2.606

S/P 1.442 1.108

Mn/P 4871.934 1953.472

P/Zn 0.007 0.009

B/P 302.023 392.75

P/Cu 0.019 0.029

Ca/K 1.184 0.826

Mg/K 0.31 0.409

S/K 0.207 0.166

Mn/K 632.922 334.6

Zn/K 22.541 20.253

B/K 44.725 70.488

K/Cu 0.133 0.239

Mg/Ca 0.262 0.512

Ca/S 5.767 6.679

Mn/Ca 546.83 405.186

Ca/Zn 0.054 0.045

Ca/B 0.036 0.014

Ca/Cu 0.147 0.135

Mg/S 1.454 3.142

Mn/Mg 2326.974 872.499

Mg/Zn 0.014 0.021

B/Mg 160.135 173.662

Mg/Cu 0.036 0.063

Mn/S 3134.102 3808.673

S/Zn 0.009 0.005

S/B 0.006 0.002

S/Cu 0.025 0.015

Mn/Zn 28.522 17.177

Mn/B 24.088 5.41

Mn/Cu 68.769 52.665

B/Zn 2.047 3.604

Zn/Cu 2.768 3.228

B/Cu 5.552 10.925

Como lo muestra la tabla 5.1, las relaciones entre los macro-elementos10 N , P , K calcu-ladas para las condiciones del actual trabajo se asemejan a aquellas encontradas para las

10Los macro-elementos {N P K Ca Mg S} están presentes en las plantas en una proporción mayor al 0.1% conrespecto a la materia seca, mientras que para los micro-elementos {Mn Zn B Cu}, ésta proporción es inferior al0.1%.


CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 5.2. COMPARACIÓN DEL DESEMPEÑO DE LOS ALGORITMOS

condiciones de Brasil. No obstante, se observan también diferencias para otras relaciones queinvolucran principalmente al Calcio, el Magnesio, el Azufre y los micro-elementos.

Sin duda, las comparaciones entre normas para diferentes sitios deben hacerse con discre-ción, puesto que, según lo anotan Bhaduri y Pal [2013], las condiciones ambientales (suelosy clima), las labores culturales (preparación de sitio, fertilizaciones y manejo de

competencia) y el material genético pueden influir en la dinámica de absorción de nutrientesdesde el suelo y su movilidad y asimilación dentro de la planta. En este aspecto Beverly [1991]afirma que si bien una norma construida robustamente debería ajustarse bien al cultivo deinterés sin depender del sitio donde este crece, en la práctica, generar normas locales aso-ciadas a las condiciones de suelo y clima especificas puede resultar más apropiado, como loconfirman Chacón y otros [2013], quienes generaron las normas DRIS para plantaciones deHevea brasiliensis establecidas en los Llanos Orientales Colombianos, concluyendo que lasnormas generadas en su trabajo diferían de las establecidas para este mismo cultivo en otraspartes del mundo y destacando la importancia de generar normas al nivel local.

De esta manera se da cumplimiento al objetivo específico número 1 de este trabajo:

Construir las N O R M A S D R I S preliminares para plantaciones comerciales de E. grandisestablecidas en el área de influencia del PF-SKCC.

No se ha encontrado en la literatura revisada, un reporte previo de construcción de normasDRIS para E. grandis en Colombia, por lo que este trabajo se convierte en el primer reporte, ysegún lo anotan Wadt y Novais [1999], estas normas deben considerarse preliminares mientrasse prueban de manera exhaustiva.

5.2. Comparación del desempeño de los algoritmos

Los datos obtenidos para cada variable, se encuentran resumidos por corrida en la tabla D.1del apéndice D. Para todas las variables las comparaciones se basan en la hipótesis planteadaen (5.2.1).

H0 : µ1 − µ2 = 0

H1 : µ1 − µ2 6= 0(5.2.1)

Para todas las comparaciones en las que se evalúa ABC, µ1 corresponde a su promedio yµ2 corresponde al promedio del algoritmo contrastante. Para todas las comparaciones en lasque se evalúa SAN, µ2 corresponde a su promedio y µ1 corresponde al promedio del algoritmocontrastante.

5.2.1. Reducción del índice de balance nutricional (RIBN)

Según los resultados de esta prueba, los cuales se muestran en la tabla 5.2, los algoritmosBPA y SAN mostraron un mejor desempeño en cuanto a RIBN , con una media de 52 % dereducción en el índice de balance nutricional. ABC mostró el desempeño más bajo con unareducción media de IBN de 46 %. La prueba estadística para la diferencia de medias indicaque las RIBN de BPA y de SAN fueron 6.5 % mayores que la RIBN de ABC. No se evidenció


5.2. COMPARACIÓN DEL DESEMPEÑO DE LOS ALGORITMOS CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

que la diferencia de medias BPA & SAN fuera distinta de cero.

Dejando de lado el desempeño de los algoritmos en cuanto a la respuesta del IBN al balan-ceo, puede decirse que cada algoritmo logró reducciones en el IBN mediante la modificacióndel vector inicial, sin importar cuales fueran los contenidos elementales iniciales ni el IBN dela muestra sin balancear. En el apartado validación de la hipótesis de trabajo, se describen lasresultados de la comprobación matemática que soporta esta afirmación.

Tabla 5.2 Resultados de la prueba t remuestreada para la diferencia de medias de RIBN entre los 3 trata-mientos.

ABC BPA SAN

Estadístico LI P50 LS LI P50 LS LI P50 LS

Promedio 0.45 0.463 0.475 0.515 0.528 0.541 0.515 0.527 0.539

Desviación 0.208 0.218 0.229 0.215 0.227 0.237 0.195 0.205 0.218

ABC & BPA ABC & SAN BPA & SAN

LI P50 LS LI P50 LS LI P50 LS

t Observado −16.945 −14.441 −11.963 −17.077 −14.553 −12.047 −1.969 0.403 2.779

t Critico −2.39 −2.39 −2.39 −2.39 −2.39 −2.39 −2.39 −2.39 −2.39x1 − x2 −0.076 −0.065 −0.054 −0.074 −0.064 −0.053 −0.006 0.001 0.009

P − valor 0 0 0 0 0 0 0.00484 0.463 0.991

1− β 1.0000 1.0000 0.0266

Según se ilustra en la figura 5.1 y en la figura 5.2 no hay relación entre el IBNi y el valorde RIBN alcanzado, manteniéndose esta situación para IBNf . Esto se debe a que un mismovalor de IBNi puede provenir de muestras con distinta distribución de su balance como seilustra en la figura 5.3, la cual representa el balance de dos muestras foliares reales, con unIBN aproximadamente igual, pero con una distribución diferente de su balance.

Para el caso ilustrado en la figura 5.3, la muestra 1 tiene un IBNi de 226.90 y la muestra 2tiene un IBNi de 226.91, que pueden considerarse iguales en términos de su valor. Sin embargola distribución del balance en ambas muestras es muy distinto. Mientras la muestra 1 posee6 elementos arriba del punto de equilibrio y 4 bajo éste, la muestra 2 posee 4 elementos porencima del punto de equilibrio y 6 por debajo de éste. Adicionalmente el orden de balancepara los elementos es diferente para ambas muestras. Esto no solo influye en el valor de IBNf

alcanzado, sino en el resto de variables evaluadas en este trabajo como se verá más adelante.



Figura 5.1 Dispersión de RIBN con respecto a IBNi.



Figura 5.2 Dispersión de IBNf con respecto a IBNi.



Figura 5.3 Índices D R I S de dos muestras con similar IBNi y distinto balance de id.

5.2.2. Número de iteraciónes (ITER)

Tabla 5.3 Resultados de la prueba t remuestreada para la diferencia de medias de ITER entre los 3 trata-mientos.

ABC BPA SAN


Promedio 179.43 188.053 196.901 58.447 65.802 73.389 344.913 375.893 406.849

Desviación 115.148 134.47 152.194 94.326 112.728 130.641 421.007 481.464 533.168



t Observado 28.556 31.384 34.337 −16.042 −14.451 −12.767 −28.518 −27.176 −25.88t Critico −2.391 −2.391 −2.391 −2.393 −2.393 −2.393 −2.393 −2.393 −2.393x1 − x2 112.976 122.293 131.647 −219.309 −187.65 −157.138 −337.508 −309.844 −281.967P − valor 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1− β 1.0000 1.0000 1.0000

Según los resultados mostrados en la tabla 5.3, el algoritmo BPA mostró un mejor desem-peño en cuanto a ITER, con una media de 65.8 iteraciones. En segundo lugar aparece ABC

con una media de 188.1 iteraciones y en último lugar aparece SAN con una media de 375.9

iteraciones.

Las pruebas estadísticas muestran que existe diferencia en el desempeño de los algoritmos.La diferencia en el número de iteraciones tiene su origen en la estrategia de cada algoritmo,específicamente en la manera en que se definen las nuevas soluciones por evaluar.

Debe considerarse que BPA siempre sigue la dirección de descenso y modifica cada ponde-rador teniendo en cuenta el orden de balance de los elementos nutricionales. AdicionalmenteBPA genera las nuevas soluciones de manera sistemática sin depender de un factor aleatorio,



como si dependen ABC y SAN. Esto hace que BPA necesite menos iteraciones para llegaruna solución factible. Las diferencias en el desempeño de ABC y SAN, se deben principal-mente a que SAN eventualmente acepta soluciones de menor calidad que el incumbente ydebe evaluar más puntos para encontrar la nueva dirección de descenso, mientras que ABC,aunque evalúa todas las soluciones generadas, solo acepta aquellas de buena calidad, es decirsiempre va en la dirección en que desciende el gradiente.

Al observar la figura 5.4, son de especial interés los puntos de muestreo que tienen unIBNi superior a 1000, para los cuales fue necesario un número de iteraciones relativamentebajo para lograr reducción de su IBNi. Nuevamente se analiza la condición de balance paraestos puntos, la cual se ilustra en la figura 5.5.

La figura 5.5 muestra una situación de balance en la que el manganeso aparece comoel elemento más limitante. Teniendo en cuenta que la modificación hecha al ponderador decualquier elemento, no solo afecta el balance del elemento, sino que afecta las relaciones conlos demás elementos y por lo tanto sus balances, se puede decir que al modificarse el elementomás desbalanceado, rápidamente se encuentra el punto de equilibrio buscado, y por eso enestos casos el número de iteraciones necesarios es menor.

En general, no parece haber una relación bien definida entre la condición de balance inicialde la muestra y el número de iteraciones necesarios para balancear la misma, como lo sugierela figura 5.4.

5.2.3. Tiempo computacional consumido en segundos (TCCS)

Tabla 5.4 Resultados de la prueba t remuestreada para la diferencia de medias de TCCS entre los 3 trata-mientos.

ABC BPA SAN


Promedio 0.672 0.704 0.736 0.182 0.204 0.226 1.058 1.152 1.249

Desviación 0.433 0.494 0.551 0.292 0.343 0.396 1.293 1.47 1.672



t Observado 34.489 37.11 40.004 −12.989 −11.215 −9.364 −28.575 −27.197 −25.914t Critico −2.391 −2.391 −2.391 −2.393 −2.393 −2.392 −2.393 −2.393 −2.393x1 − x2 0.469 0.5 0.534 −0.544 −0.448 −0.355 −1.033 −0.948 −0.865P − valor 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1− β 1.0000 1.0000 1.0000

Según los resultados mostrados en la tabla 5.4, el algoritmo BPA mostró un mejor desem-peño en cuanto a TCCS para balancear una muestra, con una media de 0.204 segundos. Ensegundo lugar aparece ABC con una media de 0.704 segundos y en último lugar aparece SANcon una media de 1.152 segundos.



Figura 5.4 Dispersión de ITER con respecto a IBNi.



Figura 5.5 Índices D R I S de dos muestras con IBNi > 1000.

Las pruebas estadísticas muestran que existe diferencia en el desempeño de los algoritmos.La diferencia en el tiempo computacional se debe en principio a las mismas razones que influ-yen en la variación de ITER, pero con un componente adicional que se refiere a la estructuraalgorítmica de cada rutina en cuanto al número de pasos computacionales necesarios paracompletar una iteración.

Por ejemplo BPA tiene una estructura algorítmica sencilla consistente en tres pasos fun-damentales: generar una solución mediante un operador de variación sencillo correspondientea una suma, evaluar la función objetivo y comparar con el incumbente. Esto hace que laejecución de la rutina sea rápida.

Por su parte ABC debe generar una nueva solución a través de un procedimiento queincluye la generación de números aleatorios restrictos, comparar soluciones existentes entresi y contra nuevas soluciones, evaluar función objetivo, evaluar y descartar soluciones nomejorables y comparar las nuevas soluciones con el incumbente.

SAN debe generar una nueva solución a través de un procedimiento que incluye la genera-ción de números aleatorios restrictos, evaluar la función objetivo, comparar con el incumbentey con alguna probabilidad definida por el programa de enfriamiento debe aceptar solucionesde peor calidad que el incumbente, lo cual prolonga la ejecución de la rutina.

Por su factor de aleatoriedad para generar nuevas soluciones, tanto ABC como SAN tie-nen una mayor probabilidad de evaluar soluciones de peor calidad que el incumbente, lo queaumenta tanto el consumo de tiempo como el número de iteraciones necesarias para converger.

En la figura 5.6 aparecen nuevamente los puntos extremos encontrados cuando se analizóITER, y de nuevo, estos puntos consumen un recurso relativamente más bajo con respecto



a los demás para alcanzar equilibrio. Esto obviamente se debe a que fue necesario un menornúmero de iteraciones para balancear las muestras.

En general, no se evidencia relación directa entre el IBNi de la muestra y el número deiteraciones y tiempo computacional necesario para lograr balance.

5.2.4. Casos con convergencia (CONV )

Tabla 5.5 Resultados de la prueba t remuestreada para la diferencia de medias de CONV entre los 3 trata-mientos.

ABC BPA SAN


Promedio 0.934 0.953 0.97 0.925 0.944 0.96 0.75 0.796 0.84

Desviación 0.024 0.053 0.075 0.029 0.052 0.073 0.087 0.129 0.167



t Observado −1.211 1.257 3.537 7.362 9.243 11.647 7.238 9.316 12.056

t Critico −2.493 −2.475 −2.473 −2.543 −2.52 −2.495 −2.54 −2.521 −2.501x1 − x2 −0.009 0.01 0.029 0.119 0.157 0.201 0.11 0.148 0.186

P − valor 0.000882 0.212 1 0 0 0 0 0 0

1− β 0.106 1.0000 1.0000

Según los resultados mostrados en la tabla 5.5 no se encontraron diferencias estadísti-camente significativas entre los valores medios de convergencia para ABC (95.3 %) y BPA(94.4 %). SAN, con una media de 79.6 %, mostró un desempeño distinto y de menor calidad queABC y BPA.

ABC logra converger en una alta proporción de los casos estudiados, debido a que suoperador de variación para la construcción de nuevas soluciones le permite explorar el espaciofactible en zonas del espacio más alejadas de la solución inicial, en referencia a lo que puedehacer BPA. Sin embargo la proporción de convergencia de BPA es bastante razonable, si setiene en cuenta que los resultados para la variable dosis en gramos (DOGR), los cuales semuestran en la Tabla 12, y se discuten más adelante, indican que ABC recomienda las dosismás altas en términos elementales, lo cual tendría impacto en el costo de la fertilización.

Si bien SAN también puede explorar en aquellas zonas del espacio factible en donde BPAno lo hace, posiblemente el hecho de agotar iteraciones con soluciones de peor calidad provocaque en ciertos casos no se alcance convergencia.

Adicionalmente el programa de enfriamiento influye en el desempeño de este algoritmo, yposiblemente, disminuir la velocidad de enfriamiento permita que se evalúen más solucionesy se logre alcanzar convergencia en más casos, pero esto a su vez tendría efecto en el costo



Figura 5.6 Dispersión de TCCS con respecto a IBNi.



computacional de la rutina, ya que se elevarían tanto el número de iteraciones como la canti-dad de soluciones candidatas por evaluar.

Para los casos de no convergencia se encontró que, no obstante la falta de convergencia,siempre se obtuvo una reducción del IBNi mediante la modificación del vector de concentra-ciones.

Otro aspecto interesante, ilustrado en la tabla 5.6, es que para la mayoría de los casos deno convergencia

(316370

), al menos uno de los algoritmos pudo converger donde los demás no

pudieron hacerlo.

Tabla 5.6 Cruce de convergencia & no convergencia.

No convergeABC BPA SAN

Co

nve

rge ABC − 49 284

BPA 32 − 261

SAN 14 8 −

Como ejemplo de interpretación de la anterior tabla, se toma el caso de ABC, el cual pudoconverger en 49 casos en que BPA no lo hizo y en 284 ocasiones en que SAN no alcanzoconvergencia.

Para los 54 casos restantes en que ninguno de los algoritmos alcanzó convergencia sesupone que los límites impuestos por el vector de dosificaciones máximas impide que se exploreel espacio de soluciones en regiones en las que se puede hallar una solución que ubique elID en el intervalo [−15, 15]. Para verificar esta suposición, se balancearon nuevamente las 54muestras en las que no se logró convergencia, pero esta vez se amplío el umbral de respuestamáxima hasta un nivel de 10 veces con respecto a los valores originales, en un ejercicio quesolo tiene sentido desde el punto de vista matemático, ya que esta ampliación implica el cálculode dosis por fuera de los umbrales de respuesta agronómicos. Los resultados mostraron queen 38 casos de los 54 en estudio se logró convergencia, lo que hace pensar que si bien laestructura y estrategia de los algoritmos influye en su nivel de convergencia, las restriccionesimpuestas al modelo limitan la eficacia de los algoritmos.

5.2.5. Dosis en gramos (DOGR)

Según los resultados mostrados en la tabla 5.7, el algoritmo BPA balanceó las muestrasaplicando las dosis más bajas, con una media de 68.3 gramos, seguido por SAN con una mediade 80.1 gramos. ABC aplicó las dosis más altas con una media de 283.9 gramos. Las pruebasestadísticas muestran que existe diferencia en los valores de DOGR calculados por cada unode los algoritmos.

BPA calcula las menores dosis debido a que su estrategia de generación de nuevas solu-



ciones obliga al vector ponderador a mantenerse muy cerca de la solución inicial, es decir delos valores elementales del muestreo original.

Tabla 5.7 Resultados de la prueba t remuestreada para la diferencia de medias de DOGR entre los 3 trata-mientos.

ABC BPA SAN


Promedio 281.646 283.925 286.131 63.153 68.27 73.567 75.147 80.122 85.524

Desviación 35.888 38.568 41.283 82.452 92.152 100.981 82.157 89.914 97.963



t Observado 93.269 99.854 106.868 88.338 94.503 101.227 −10.387 −8.275 −6.127t Critico −2.391 −2.391 −2.391 −2.391 −2.391 −2.391 −2.39 −2.39 −2.39x1 − x2 210.494 215.657 220.698 198.552 203.732 208.753 −15.303 −11.861 −8.542P − valor 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1− β 1.0000 1.0000 1.0000

Por otra parte, SAN puede explorar de manera más amplia que BPA el espacio factible yde esta manera el vector ponderador generado puede alejar la muestra balanceada un pocomás de sus valores originales. ABC también hace una exploración más exhaustiva del espaciofactible, pero a diferencia de SAN, las soluciones generadas en la iteración n, son guardadasy luego modificadas y evaluadas en la iteración n+ 1, lo que propicia que según la magnituddel operador de variación, la muestra balanceada se aleje aún más de la muestra original.

La figura 5.7 ilustra la dispersión de DOGR con respecto al IBNi de las muestras balan-ceadas. Al igual que en las variables ya analizadas, sobresale el comportamiento de puntosextremos en cuanto al consumo de recursos para lograr equilibrio. Es de resaltar el hechode que para el Algoritmo ABC fue más costoso balancear en términos de DOGR el puntoextremo mostrado en la figura 5.7, y que en general éste algoritmo necesitó las dosis más altaspara balancear las muestras, mientras que BPA y SAN lograron balance, inclusive con dosiscercanas a 0 gramos, lo cual puede ser benéfico si se habla de los costos en la adquisición delinsumo pero lo cual a su vez puede tener efecto negativo desde el punto de vista técnico, yaque de la misma manera en que existen umbrales máximos de respuesta a la concentraciónde un elemento, también existen valores mínimos por debajo de los cuales no hay respuesta(2.1), y que no se han considerado en este trabajo debido a que para las condiciones y especieestudiadas los umbrales mínimos aún no se han definido.

De nuevo se observa como para iguales valores de IBNi se necesitaron distintas dosis defertilizantes para lograr balanceo, lo que ratifica la importancia de definir valores óptimosdinámicos para calcular las dosis de fertilizantes, tal y como propone este trabajo.

En general, los resultados muestran, que dentro del espacio de soluciones factibles, existeun subconjunto de soluciones, de tamaño indeterminado, que satisface las condiciones del



Figura 5.7 Dispersión de DOGR con respecto a IBNi.



problema planteado, y que encontrar unas u otras soluciones de este subconjunto depende dela estrategia usada para hallarlas.

Con lo desarrollado y expuesto en este punto se cumple con el segundo objetivo de estetrabajo:

Implementar, ensayar y comparar dos algoritmos metaheurísticos a saber Templa-do Simulado (S A N) y Colonia Artificial de Abejas (A B C) como alternativas para elbalanceo nutricional de plantaciones comerciales de E. grandis establecidas en elárea de influencia del PF-SKCC.

Como aporte adicional a este objetivo queda implementado el método BPA como heu-rística constructiva de propósito específico para la solución de este problema.

5.2.6. Ajuste y precisión de los algoritmos

Aplicando el método propuesto en este trabajo para medir el Ajuste y Precisión de losalgoritmos, se obtuvieron los resultados de la tabla 5.8.

Tabla 5.8 Ajuste y precisión de los algoritmos.

Algoritmo Ajuste Precisión

ABC 0.285 0.964

BPA 0.518 0.873

SAN 0.432 0.969

De acuerdo con los resultados obtenidos, BPA logró el mejor ajuste global. Sin embargo suprecisión fue inferior a la de ABC y SAN. Ninguno de los tres algoritmos tuvo la capacidadde acercar su valor de ajuste a 1, situación que está asociada a las restricciones impuestasal vector ponderador con base en los umbrales de respuesta máxima para cada elemento. Noes contradictorio que BPA teniendo el mejor ajuste a su vez tenga menor precisión, ya queel ajuste solo mide la cercanía del valor real obtenido al valor óptimo teórico, mientras quela precisión mide el grado de dispersión de las soluciones halladas. Esto quiere decir queBPA pudo acercarse más que los otros algoritmos al valor teórico de fda, pero en este procesode optimización, las mejores y peores soluciones distaron entre sí en mayor medida que loocurrido para ABC y SAN.

Los datos obtenidos al ejecutar esta prueba muestran que BPA tiene una mayor velocidadde ajuste en cuanto al modo en que varía su fda con respecto a las iteraciones consumidascomo lo muestra la figura 5.8.

Desde el punto de vista de desempeño global, los resultados indican que BPA tiene mejoraptitud para solucionar el problema de balanceo. Sin embargo, ésta conclusión, válida soloteóricamente, debe ser comprobada en la práctica a través de un experimento de fertilización,en el cual se apliquen las dosis recomendadas por los tres algoritmos, para luego hacer segui-miento a las variables agronómicas de interés para definir si existe efecto de los tratamientos,



Figura 5.8 Cambio de fda con respecto a la proporción de iteraciones.

y si en realidad la respuesta a las fertilizaciones funciona acorde a lo que la literatura consignacon respecto al IBN y a la metodología propuesta en este trabajo.

El mejor desempeño teórico de BPA, se debe principalmente a que se ha diseñado especí-ficamente para resolver el problema planteado en este trabajo, y se guía exactamente por elparadigma de la metodología DRIS.

En términos generales, cada uno de los algoritmos evaluados tuvo la capacidad de generarsoluciones, que si bien pueden no corresponder al óptimo global del problema, son de buenacalidad, desde el punto de vista de su factibilidad agronómica y de su ajuste a la naturaleza ycondiciones del problema.

Cada algoritmo presenta ventajas y desventajas, por ejemplo ABC por ser un método ba-sado en inteligencia colectiva, puede en una misma iteración evaluar varias soluciones, loque le permite explorar de manera más exhaustiva el espacio factible, teniendo así mejoresposibilidades de encontrar soluciones de buena calidad, pero alejándose en mayor medidade la solución inicial, hecho que se traduce en altas dosis de fertilizantes lo que puede tenerimpacto sobre el factor económico.

Por su parte BPA, es altamente eficiente desde el punto de vista de costo computacionaly valor objetivo, pero al ser un método de búsqueda local, puede permitir que soluciones debuena calidad escapen de su rango de exploración.

Finalmente SAN, aunque no tan eficiente desde el punto de vista de costo computacio-nal, tiene la ventaja de escapar a óptimos locales gracias a su probabilidad de aceptación desoluciones de mala calidad, y que para el caso de la reducción de la función objetivo igualael desempeño de BPA, y supera al de ABC aun cuando este último tiene la posibilidad de


5.3. COMPROBACIÓN DE LA HIPÓTESIS DE TRABAJO CAPÍTULO 5. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

evaluar un mayor número de soluciones.

En este punto se ha dado cumplimiento al objetivo número tres de este trabajo:

Con base en la calidad de la solución hallada, el número de iteraciones nece-sarias, el tiempo computacional requerido y la cantidad de fertilizante dosificada,definir cuál de los algoritmos probados es el más apropiado para el balanceo nu-tricional de plantaciones de E. grandis establecidas en el área de influencia delPF-SKCC.

5.3. Comprobación de la hipótesis de trabajo

Tabla 5.9 Resultados de la comprobación de la hipótesis de trabajo.

TTO Casos IBNf < IBNi maxRIBN mınRIBN RIBN

ABC 1715 1715 0.995 0.0000987 0.463

BPA 1715 1715 0.995 0.044 0.528

SAN 1715 1715 0.993 0.00023 0.527

Los resultados mostrados en la tabla 5.9 indican que el IBNf obtenido mediante la modifi-cación de los valores elementales, sin importar el algoritmo usado, siempre fue menor que elIBNi de la muestra sin balancear. Esto quiere decir, que aunque en diferente medida, los tresalgoritmos fueron eficaces en la reducción de IBN inicial, y la comprobación de la hipótesis detrabajo permite responder de manera afirmativa, por lo menos en el contexto de este trabajo,la pregunta de investigación planteada, es decir que se puede afirmar que es posible definir losvalores óptimos elementales de concentración foliar que reducen el IBN partir del diagnósticoDRIS y mediante optimización con métodos numéricos.

Una vez que para el desarrollo de este trabajo se calcularon los vectores ponderadores conlos tres algoritmos para hacer las comparaciones, se da cumplimiento al cuarto objetivopropuesto:

Calcular mediante el algoritmo de mejor desempeño el vector de ponderaciónmás ajustado para el balanceo nutricional en cada punto de muestreo.


CAPÍTULO 6

Conclusiones y recomendaciones

DO R M Í A y soñaba que lavida era bella; desperté

y advertí que la vida eradeber.

Immanuel Kant.1724−1804

6.1. Conclusiones

Lo hallado al generar las normas para eucalipto, haciendo diferenciación por altitud, señalaque es más apropiado establecer valores de referencia ajustados a las condiciones del sitioobjeto de estudio.

A través del desarrollo de este trabajo, se mostró como una metodología de diagnósticocualitativo puede combinarse con técnicas de IO, para convertirla en una herramienta dediagnóstico cuantitativo y de aplicación práctica en problemas de dosificación de fertilizantes.

Los resultados mostraron, que las técnicas metaheurísticas de propósito general, puedenencontrar soluciones factibles y de buena calidad cuando se trata de balancear el índice nutri-cional.

De igual manera se encontró que un método numérico de propósito específico, el cual puedeser considerado una heurística, y que fue diseñado con base en el paradigma del problemaplanteado, es eficiente encontrando soluciones factibles y de buena calidad, y que de hechoeste método superó en desempeño global a las metodologías de propósito general ensayadas.

Se ha mostrado como a partir del índice de balance nutricional es posible cuantificar lasdosis de fertilizante, mediante un proceso matemático que es lógico y ajustado a lo que lametodología DRIS propone.

6.2. RECOMENDACIONES

La respuesta afirmativa a la pregunta de investigación, indica que en términos prácticoses más adecuado trabajar con óptimos elementales dinámicos que se ajusten al estado nu-tricional real de la plantación en estudio, dejando de lado los óptimos elementales estáticos,los cuales pueden resultar inapropiados, sobre todo en aquellos casos en que los muestreosfoliares indican que el contenido real supera al teórico.

La metodología propuesta en este trabajo da una alternativa de solución al problemade optimización del uso de los fertilizantes tanto en lo técnico como en lo ambiental y loeconómico.

6.2. Recomendaciones

Es conveniente que en futuros trabajos se establezcan normas que no solo tengan en cuentalas condiciones de altitud del sitio, sino que también tengan en cuenta el factor genético de losmateriales en estudio.

Otras metaheurísticas como búsqueda tabú y algoritmos genéticos deben ser proba-das, e inclusive combinadas con las propuestas en este trabajo, en búsqueda de mejorar eldesempeño computacional y la calidad de las soluciones halladas.

Lo aquí expuesto y teorizado debe ser evaluado en el campo, mediante ensayos de fertiliza-ción que permitan comprar la respuesta real de plantaciones sometidas a los tratamientos queresultan de balancear los muestreos, e incluyendo aquellas dosis que por fórmula se recomien-dan.

Con un enfoque similar al de DRIS, sería posible generar normas a partir de muestreos desuelos que permitan calcular un índice de balance edáfico, el cual puede entrar a hacer partedel modelo, para generar un índice de balance nutricional total, sobre el cual se aplicarían lasmetodologías detalladas en este trabajo, buscando su minimización y el ajuste más preciso delas dosis de fertilizantes que deben aplicarse.

Finalmente, siendo las muestras balanceadas el punto de referencia para calcular las dosisde fertilizantes, estos datos deben ser incluidos en un modelo de programación lineal, conla estructura del problema clásico de la dieta, que tomando como referencia el costo de lasfuentes comerciales y sus contenidos elementales, busque la minimización del costo de lasfertilizaciones y ajuste las dosis adecuadas, evitando así el desperdicio de insumos.

78

APÉNDICE A

Tabla A.1 Normas D R I S preliminares para plantaciones de E. grandis e < 1700 msnm.

Relación LI Promedio LS CV EE

P/N 0.0552458 0.0616254 0.0698345 59.010132 0.0033805

K/N 0.3903044 0.4146031 0.4398737 21.923427 0.012647

Ca/N 0.4283811 0.4617636 0.5006054 27.941232 0.0174981

Mg/N 0.107914 0.1189974 0.1317608 37.897443 0.0060184

S/N 0.0769 0.0802662 0.0842427 19.716017 0.0018123

Mn/N 191.315 244.946 297.491 73.979051 27.156

Zn/N 8.307 8.818 9.374 35.612047 0.268

B/N 14.909 17.022 19.275 58.197278 1.131

N/Cu 0.28567748 0.32504985 0.38072203 34.044356 0.023521323

P/K 0.139489 0.1535762 0.1682647 51.92881 0.0074476

Ca/P 7.5743803 8.3839377 9.2834413 33.111814 0.4219576

Mg/P 1.871115 2.1046719 2.4134581 33.103915 0.1382192

S/P 1.3405566 1.441726 1.5590039 26.610851 0.0566044

Mn/P 3666.295 4871.934 6191.853 68.1078 634.394

P/Zn 0.00655277 0.007124211 0.007810458 38.412742 0.000316127

B/P 259.537 302.023 351.804 80.388299 23.596

P/Cu 0.016665992 0.018954003 0.021523573 55.196469 0.001201175

Ca/K 1.0667258 1.1841973 1.3255873 36.08475 0.0614588

Mg/K 0.2674023 0.3103037 0.3698716 39.001681 0.0248817

S/K 0.1900339 0.2065795 0.2275486 20.785556 0.0094873

Mn/K 489.065 632.922 798.532 68.364337 78.601

Zn/K 20.441 22.541 25.556 30.058499 1.278

B/K 37.712 44.725 53.19 72.665582 4.026

K/Cu 0.11452354 0.13277427 0.15766267 37.57619 0.010159277

Mg/Ca 0.2408595 0.2619981 0.2827917 25.517261 0.0101843

Ca/S 5.4036361 5.7669527 6.1380666 25.077025 0.1773955


Tabla A.1 – continua de la página anterior


Mn/Ca 444.622 546.83 666.719 70.734191 54.607

Ca/Zn 0.050559201 0.054131356 0.058455783 30.570566 0.001961684

Ca/B 0.030826079 0.036214858 0.042567659 63.663021 0.00302167

Ca/Cu 0.12783471 0.14734358 0.16948048 41.435997 0.010452125

Mg/S 1.3466348 1.453992 1.5665759 32.088568 0.0545082

Mn/Mg 1836.718 2326.974 2876.681 69.294576 256.723

Mg/Zn 0.012511512 0.013553705 0.014689738 27.269971 0.000551137

B/Mg 136.209 160.135 186.78 79.161641 12.493

Mg/Cu 0.031806789 0.0363048 0.041387741 38.075177 0.002416353

Mn/S 2403.369 3134.102 3840.38 64.531796 351.788

S/Zn 0.008976398 0.00945777 0.009917669 25.062453 0.000243588

S/B 0.005400498 0.006354517 0.007337407 60.535815 0.000492782

S/Cu 0.022557035 0.025482192 0.029219689 34.551959 0.001634925

Mn/Zn 22.578374 28.521837 35.612212 59.909987 3.1589133

Mn/B 16.464203 24.087766 34.412734 100.88694 4.5720096

Mn/Cu 54.82297 68.769153 84.832975 67.855751 7.4931676

B/Zn 1.7432408 2.0467643 2.3709795 67.893219 0.1523405

Zn/Cu 2.4257913 2.7675175 3.2340581 37.304247 0.1976854

B/Cu 4.6760851 5.5519191 6.4469635 84.763222 0.4498796

k = 1000

80

APÉNDICE B

Tabla B.1 Normas D R I S preliminares para plantaciones de E. grandis, 1700 ≤ e ≤ 2000 msnm.


P/N 0.0458061 0.047155 0.0485419 19.56612 0.0006617

N/K 2.4149209 2.5377925 2.6681744 20.593295 0.0656769

Ca/N 0.4504956 0.4780806 0.5055457 26.268021 0.013925

N/Mg 12.235795 12.835495 13.469366 22.61222 0.296564

N/S 13.051529 13.284237 13.521179 8.5337885 0.1171722

N/Mn 0.005143113 0.006492415 0.008437548 63.470361 0.000814815

N/Zn 0.10277289 0.10904608 0.11509095 26.359231 0.003042185

N/B 0.093280788 0.10009117 0.10769007 36.127552 0.003522545

N/Cu 0.27908366 0.29695508 0.31704995 29.404718 0.009950286

P/K 0.1125965 0.1189666 0.1258598 30.215628 0.0033633

P/Ca 0.1011537 0.1072521 0.1147997 31.981098 0.0034747

P/Mg 0.574526 0.6000856 0.6254655 25.053947 0.0135977

P/S 0.6072481 0.6236179 0.6395686 19.450793 0.0083628

P/Mn 0.000238274 0.000307549 0.000403683 60.597884 0.0000379678

P/Zn 0.00480889 0.005126401 0.005433619 27.81514 0.000154195

P/B 0.004378203 0.00472926 0.005099645 44.223807 0.000186046

P/Cu 0.012942579 0.013791149 0.01468195 34.662575 0.000426895

Ca/K 1.1041718 1.1674054 1.2313757 31.188416 0.031781

K/Mg 5.0243804 5.3245084 5.6537257 24.776384 0.1605961

K/S 5.2866567 5.526272 5.77895 19.202209 0.1229691

K/Mn 0.002128746 0.002692707 0.003444579 64.846723 0.000323466

K/Zn 0.04187501 0.043734278 0.045648898 27.767679 0.000970592

K/B 0.038708347 0.042469146 0.046191599 35.493579 0.001888429

K/Cu 0.11220526 0.12081288 0.12956232 32.029914 0.004281395

Ca/Mg 5.6704325 6.0914299 6.5183058 32.334469 0.2116254

Ca/S 5.9606337 6.3062315 6.6897467 24.587742 0.1845904


Tabla B.1 – continua de la página anterior


Ca/Mn 0.002360886 0.002852705 0.003493966 68.156942 0.000288363

Ca/Zn 0.047320441 0.050286521 0.053435052 34.525868 0.001505459

Ca/B 0.043838998 0.047884059 0.052038646 43.041255 0.002117746

Ca/Cu 0.12663731 0.13702949 0.14823208 38.742563 0.005410224

S/Mg 0.9274992 0.9691405 1.010446 23.463671 0.020757

Mg/Mn 0.00042349 0.000544006 0.000689243 65.839875 0.00006762

Zn/Mg 117.896 126.305 135.359 35.478634 4.295

Mg/B 0.007489663 0.008161429 0.008855513 37.997752 0.00033814

Mg/Cu 0.022230453 0.024104156 0.026380242 34.644423 0.001000932

S/Mn 0.000375618 0.000479944 0.000617816 61.598687 0.0000579218

S/Zn 0.007788299 0.008240727 0.008705621 24.329372 0.000228901

S/B 0.007060635 0.007583578 0.008106182 36.357656 0.000267135

S/Cu 0.021013927 0.022413687 0.02404064 28.720726 0.000747536

Zn/Mn 0.0507227 0.0639316 0.0819953 74.625106 0.0080364

B/Mn 0.0560248 0.0753892 0.1035681 74.204551 0.0116637

Cu/Mn 0.0188858 0.0245307 0.031329 72.793739 0.0030247

Zn/B 0.9214339 1.0157722 1.1254061 51.491841 0.0510544

Zn/Cu 2.6370925 2.8062231 2.9875889 31.977801 0.0888248

B/Cu 3.0655656 3.3960179 3.6988565 103.09249 0.1626754

k = 1000

82

APÉNDICE C

Tabla C.1 Normas D R I S preliminares para plantaciones de E. grandis e > 2000 msnm.


P/N 0.0478334 0.0509311 0.055491 16.416906 0.001871

K/N 0.4570367 0.4827146 0.5132965 19.607405 0.0143738

Ca/N 0.5111155 0.5590421 0.6118998 21.107206 0.0259651

Mg/N 0.0847809 0.0896479 0.0943915 30.82106 0.0023216

S/N 0.0769631 0.0790145 0.0810875 10.86236 0.0010574

Mn/N 314.04 366.112 425.471 75.875378 28.527

Zn/N 10.376 11.155 11.98 34.812103 0.391

B/N 12.222 13.681 15.301 49.393585 0.749

Cu/N 3.31 3.532 3.757 38.801179 0.116

K/P 9.1248647 9.7894921 10.461851 16.484742 0.3258077

Ca/P 10.289824 11.52678 13.059627 25.968377 0.649026

Mg/P 1.7150604 1.8169321 1.9204264 29.304878 0.0546366

P/S 0.6117575 0.644806 0.686443 16.989395 0.0192926

P/Mn 0.00016002 0.000256358 0.000436663 206.74264 0.0000769752

P/Zn 0.004420158 0.004824948 0.005262156 34.428394 0.000208117

B/P 249.882 275.753 304.869 46.743933 14.494

P/Cu 0.013960683 0.014922539 0.01600102 42.490135 0.000503357

K/Ca 0.8546614 0.933916 1.0300762 28.376219 0.0408403

Mg/K 0.1812992 0.1911105 0.2014582 28.380571 0.0053726

K/S 5.7944881 6.1120146 6.4420492 20.975679 0.1565141

K/Mn 0.001532174 0.002200368 0.003420261 218.04033 0.000499997

K/Zn 0.04240695 0.04467348 0.047101818 31.874137 0.001195622

B/K 25.779 27.85 30.157 54.047577 1.145

K/Cu 0.13214646 0.14239482 0.15319786 51.291343 0.005038287

Mg/Ca 0.159363 0.1721816 0.1848762 35.433063 0.0064026

Ca/S 6.528038 7.113596 7.808439 19.299059 0.3183461


Tabla C.1 – continua de la página anterior


Mn/Ca 588.749 687.222 795.837 82.762721 52.242

Ca/Zn 0.047513159 0.05227098 0.057675373 33.964176 0.002557066

B/Ca 23.248 26.215 29.489 57.374386 1.561

Ca/Cu 0.14926093 0.16583914 0.18458552 48.732245 0.008832287

Mg/S 1.0902097 1.1361801 1.1869428 31.698818 0.0255307

Mg/Mn 0.000282637 0.000462524 0.000796924 220.28332 0.000147685

Mg/Zn 0.007879173 0.008417729 0.008994397 32.819776 0.000278517

B/Mg 138.713 152.931 166.673 48.908604 7.085

Mg/Cu 0.024785911 0.026808769 0.028936314 55.584742 0.001042042

Mn/S 3952.286 4552.927 5150.828 80.018789 308.206

Zn/S 132.54 141.75 150.677 31.339795 4.66

B/S 155.086 171.259 188.212 50.532644 8.258

Cu/S 42.097 44.75 47.593 36.729471 1.355

Mn/Zn 29.072262 33.420895 37.548011 84.913141 2.143111

B/Mn 0.0403608 0.0528104 0.0811323 265.37943 0.0101077

Mn/Cu 89.808593 105.54006 125.08335 81.519595 8.4609713

B/Zn 1.1285067 1.2543339 1.3844585 61.390007 0.0626934

Cu/Zn 0.3091674 0.3308513 0.3578246 36.135801 0.0130581

B/Cu 3.5920079 3.965487 4.407537 53.030438 0.206656

k = 1000

84

APÉNDICE D

Espacio dejado intencionalmente en blanco.

Tab

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40.4

153.03

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27.05

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50.38

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220.71

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255.49

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1290.81

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60.46

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257.6

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66.13

0.47

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3.46

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211.29

0.78

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0.39

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0.36

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21.26

0.42

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28.6

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0.48

135.97

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647.03

1.98

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292.68

0.5

257.6

0.79

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0.51

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2.84

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97.38

20

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289.86

1.07

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287.03

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74.66

21

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253.51

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225.4

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2.03

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259.17

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0.97

282.58

0.61

264.6

0.8

192.96

0.6

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23

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279.06

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217.97

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2.21

0.77

76

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250.09

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86

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0.89

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38

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0.8

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0.66

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0.38

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1030.51

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269.17

0.82

0.89

101.65

0.51

728.17

2.24

0.77

97.62

Bibliografía

A H A D, N . A .; S U H A I D A, A .; H E N G, L .C . y A L I, M . N . (2012). «Relative power performanceof t-test and bootstrap procedure for two-Sample». Pertanika Journal of Science & Technology(JST), 20(1), pp. 43–52.

A N G E L E S, D . E .; S U M N E R, M . E . y B A R B O U R, N . W. (1990). «Preliminary nitrogen,phosphorus, and potassium DRIS norms for pineapple». Hortscience, 26(6), pp. 652–655.

A R B O L E D A, C .; A R C I L A, J A I M E y M A R T Í N E Z, R I C A R D O (1998). «Sistema integrado derecomendación y diagnosis: una alternativa para la interpretación de resultados del análisisfoliar en café». Agronomía Colombiana, 5, pp. 17–30.

A Z H A R, R . S .; S A E E D, M .; S H A H, K . y J .H U M A (2012). «Enhanced K-mean clusteringalgorithm to reduce number of Iterations and time complexity». Middle-East Journal ofScientific Research, 12(7), pp. 959–963.

B A U E R S F E L D, S . (2011). A Metaheuristic approach to automatic test case generation forGUI-based applications. Berlin. 97p.

B E A U F I L I S, E . H . (1973). Diagnosis and recommendation integrated system (DRIS). Univer-sity of Natal, Pietermaritzburg, South Africa. 132p.

B E L L, J . E . y M C M U L L E N, P. R . (2004). «Ant colony optimization techniques for the vehiclerouting problem». Advanced Engineering Informatics, 18(1), pp. 41–48.

B E M R O N D A N E, H .; A L B A, E . y S A O U S S E N, K . (2013). «Best practices in measuringalgorithm performance for dynamic optimization problems». Soft Computing, 17(6), pp.1005–1017.

B E V E R L Y, R .B . (1991). A Practical guide to the diagnosis and recommendation integratedsystem (DRIS). 87p.

B H A D U R I, D . y PA L, S . (2013). «Diagnosis and recommendation integrated system (DRIS):Concepts and application on nutritional diagnosis of plants. A review». Journal of Soil andWater Conservation, 12(1), pp. 70–79.

B I R A T T A R I, M . y D O R I G O, M . (2007). «How to assess and report the performance of astochastic algorithm on a benchmark problem: ¿mean or best result on a number of runs?Short communication.» Optimization Letters, 1, pp. 309–311.

BIBLIOGRAFÍA

B O L D E A, M . y S A L A, F. (2013). «Optimizing the area fertilized with nitrogen-based chemicalfertilizers for wheat crops». Applied Mathematics, 3(3), pp. 93–97.

B U R K E, E . K . y B Y K O V, Y. (2012). «The late acceptance hill climbing heuristic. TechnicalReport CSM-192». Informe técnico, Department of Computing Science and MathematicsUniversity of Stirling. 19p.

C A L D W E L L, J . O ’ N; S U M N E R, M . E . y VAV R I N A, C . S . (1994). «Development and testingof preliminary foliar DRIS norms for onions». Hortscience, 29(12), pp. 1501–1504.

C A M P B E L L, C . R . (2000). «Reference sufficiency ranges for plant analysis in the southernregion of the United States». Southern Cooperative Series. Bulletin No. 394. 122p.

C A M P I O N, J . M . y S C H O L E S, M . C . (2007). «Diagnosing foliar nutrient dynamics ofEucalyptus grandis in KwaZulu-Natal, South Africa, using optimal element ratios and thediagnosis and recommendation integrated system (DRIS)». Southern Hemisphere ForestryJournal, 69(3), pp. 137–150.

C A N N O N, P. (1981). «Respuesta de plantaciones de Eucalyptus grandis a diferentes dosis defertilización compuesta NPK y encalamiento durante la etapa de establecimiento». Comuni-cación Interna. Informe de Investigación # 68. Departamento de Investigación y Desarrollo.SmurfitKappa Cartón de Colombia.

C A S A S, C . y V E I T Í A, N . (2008). «Aplicación de métodos de comparaciones múltiples enBiotecnología Vegetal». Biotecnología Vegetal, 8(2), pp. 67–71.

C H A C Ó N, P. E .; C A M A C H O, J . H . y A R G U E L L O, O . (2013). «Establishment of DRIS normsfor the nutritional diagnosis of rubber (Hevea brasiliensis Muell Arg.) clone RRIM 600 on theEastern Plains of Colombia». Agronomía Colombiana, 31(2), pp. 215–222.

C O N T R E R A S, M . A .; C U N G, W. y J O N E S, G . (2008). «Applying ant colony optimizationmetaheuristic to solve forest transportation planning problems with side constraints». Can.J. For. Res, 38, pp. 2896–2910.

C O R A N A, A .; M A R C H E S I, M .; M A R T I N I, C . y R I D E L L A, S . (1987). «Minimizing multi-modal functions of continuous variables with the Simulated Annealing algorithm. ACM».Transactions on Mathematical Software, 13(3), pp. 262–280.

C O S T A, S . Y. J .; C O E L L O, N .; G L I S T A U, E . y M A C H A D O, O .C . (2011). «A new algo-rithm for facility location problem based on dynamic mesh optimization». Acta TechnicaCorviniensis. Bulletin of Engineering, 13, pp. 19–22.

C R O P P E R J R ., W. P. y C O M E R F O R D, N . B . (2005). «Optimizing simulated fertilizer addi-tions using a genetic algorithm with a nutrient uptake model». Ecological Modelling, 185, pp.271–281.

D A G B E N O N B A K I N, G . D .; A G B A N G B A, E . C .; B O G N O N K P E, J . P. y G O L D B A C H, H .(2011). «DRIS Model parameterization to assess yam (Dioscorea rotundata) mineral nutritionin Benin (West Africa)». European Journal of Scientific Research, 49(1), pp. 142–151.

90

BIBLIOGRAFÍA

D E A N T O N I O, O . (2011). «Una aproximación a la heurística y metaheurísticas». Inge@UAN ,1(1), pp. 41–51.

D O R I G O, M . (1992). Optimization, learning and natural algorithms (in Italian). Tesis doctoral,Dipartimento di Elettronica, Politecnico di Milano, Milan, Italy.

D O R I G O, M . y S T Ü T Z L E, T. (2004). Ant colony optimization. A Bradford Book. 305p.

E F R O N, B . y T I B S H I R A N I, R . J . (1994). An Introduction to the Bootstrap. Monographs onStatistics & Applied Probability. 1ª edición. 456p.

FA L C O N, R .; A L M E I D A, M .; N AYA K, A . y B E L L O, R . (2012). «System-level fault diagnosiswith dynamic mesh optimization». Computación y Sistemas, 16(2), pp. 203–220.

FAO (1999). Guía para el manejo eficiente de la nutrición de las plantas. Organización de lasNaciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación. Dirección de fomento de tierras yaguas, Roma. 20p.

—— (2002). Los fertilizantes y su uso. Una guía de bolsillo para los oficiales de extensión.Organización de las Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación. AsociaciónInternacional de la Industria de los Fertilizantes IFA, Roma, 4ª edición. 77p.

—— (2008). Current world fertilizer trends and outlook to 2011-12. Food and AgricultureOrganization of the United Nations, Roma. 44p.

—— (2011). Ahorrar para crecer. Guía para los responsables de las políticas de intensificaciónsostenible de la producción agrícola en pequeña escala. Organización de las Naciones Unidaspara la Agricultura y la Alimentación. Dirección de fomento de tierras y aguas, Roma. 102p.

F L O R E S, J . A .; G A R AY, V. y P E Ñ A, C . (2004). «Evaluación nutricional de plantaciones deHevea brasiliensis Muell. arg., sector El Pozo, San Fernando de Atabapo, Estado Amazonas,Venezuela». Rev. For. Lat, 36, pp. 83–107.

G A L A N T I N I, J . A .; L A N D R I S C I N I, M . R .; I G L E S I A S, J . O .; M I G L I E R I N A C, A . M . yA .R O S E L L, R . (2000). «The effects of crop rotation and fertilization on wheat productivityin the pampean semiarid region of Argentina 2. Nutrient balance, yield and grain quality».Soil & Tillage Research, 53, pp. 137–144.

G O M E S, F.; A D N C. A . L I M A, C . L . B R I T O y T E I X E I R A, J . (2010). «Optimization insoftware testing using metaheuristics». Revista de Sistemas de Informação da FSMA, 5, pp.3–13.

G U E R R E R O, R . R . (2011). Fundamentos técnicos para la fertilización de cultivos. Fertilizaciónde cultivos en clima medio. capítulo 3, pp. 18–36. Monómeros Colombo Venezolanos S.A.(E.M.A.).

H A R T I G A N, J . A . y W O N G, M . A . (1979). «K-Means Clustering Algorithm». Journal of theRoyal Statistical Society. Series C (Applied Statistics), 28(1), pp. 100–108.

BIBLIOGRAFÍA

H A R T Z, T. K .; J O H N S T O N E, P. R .; W I L L I A M S, E . y S M I T H, R . F. (2007). «Establishinglettuce leaf nutrient optimum ranges through DRIS analysis». Hortscience, 42(1), pp. 143–146.

H O L L A N D, J . H . (1975). Adaptation in Natural and Artificial Systems. (Second edition: MITPress, 1992.).

H O P P E R, E . y T U R T O N, B . C . (2000). «An empirical investigation of meta-heuristic andheuristic algorithms for a 2D packing problem». European Journal of Operational Research,128(1), pp. 34–57.

J A U R E G U I, M . A . y S A I N, G . E . (1992). Continuous economic analysis of crop response tofertilizer in on-farm research. CIMMYT Economics Paper. 3. México, D.F. 103p.

K A N E, M . (1986). «Respuesta de plantaciones de Eucalyptus grandis a diferentes dosis defertilización compuesta (NPK) durante la etapa de establecimiento». Comunicación Interna.Informe de Investigación # 135. Departamento de Investigación y Desarrollo. SmurfitKappaCartón de Colombia.

K A N U N G O, T.; M O U N T, D . M.; N E T A N YA H U, N . S .; P I A T K O, C . D .; S I L V E R M A N, R . yW U, A .Y. (2002). «An efficient k-means clustering algorithm: analysis and implementation».IEEE Transactions On Pattern Analysis And Machine Intelligence, 24(7), pp. 881–892.

K A R A B O G A, D . (2005). «An idea based on honey bee swarm for numerical optimization.Technical report-tr06». Informe técnico, Erciyes University, Engineering Faculty ComputerEngineering Department, Kayseri/Türkiye. 10p.

K A R A B O G A, D . y A K AY, B . (2009). «A comparative study of Artificial Bee Colony algorithm».Applied Mathematics and Computation, 214, pp. 108–132.

K A R A B O G A, D . y B A S T U R K, B . (2007). «A powerful and efficient algorithm for numericalfunction optimization: artificial bee colony (ABC)». Journal of Global Optimization, 39, pp.459–471.

K A R A B O G A, D .; G O R K E M L I, B .; O Z T U R K, C . y K A R A B O G A, N . (2012). «A comprehensivesurvey: artificial bee colony (ABC) algorithm and applications». Artificial Intelligence Review,42(1), pp. 21–57.

K E L L I N G, K . A . y S C H U L T E, E . E . (1986). «Review DRIS as a part of a routine plantanalysis program». Fertilization Issues, 3, pp. 107–112.

K E N E K AY O R O, P. (2012). «Comparison of simulated annealing and hill climbing in the coursetimetabling problem». African Journal of Mathematics and Computer Science Research, 5(11),pp. 176–178.

K I R K P A T R I C K, S .; G E L L A T, C . D . y V E C C H I, M . P. (1983). «Optimization by simulatedannealing». Science, New Series, 220(4598), pp. 671–680.

K O L A H A N, F.; A B O L B A S H A R I, M . H . y M O H I T Z A D E H, S . (2007). «Simulated AnnealingApplication for Structural Optimization». International Journal of Aerospace and MechanicalEngineering, 1(4), pp. 188–191.

92

BIBLIOGRAFÍA

L A B R A C H, B . (1986). «Respuesta de plantaciones de Eucalyptus grandis a diferentes dosis defertilización compuesta (NPK) durante la etapa de establecimiento». Comunicación Interna.Informe de Investigación # 110. Departamento de Investigación y Desarrollo. SmurfitKappaCartón de Colombia.

L E D E S M A, S .; AV I Ñ A, G . y S A N C H E Z, R . (2008). «Practical considerations for simulatedannealing implementation». En: Cher Ming Tan (Ed.). InTech (Ed.), Simulated Annealing,capítulo 20, pp. 401–420.

L E E C H, R . H . y K I M, Y. T. (1981). «Foliar analysis and DRIS as a guide to fertilizeramendments in poplar plantations». The Forestry Chronicle, 57(1), pp. 17–21.

L I L L I E F O R S, H . W. (1967). «On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean andvariance unknown». Journal of the American Statistical Association, 62(318), pp. 339–402.

L I N D E R, S . (1995). «Foliar analysis for detecting and correcting nutrient imbalances inNorway spruce». Ecological Bulletins, 44, pp. 178–190.

L O C K L E Y, I . R . y K O C H, J . M . (1996). «Response of two eucalypt species to fertilizerapplication on rehabilitated bauxite mines in western Australia». Informe técnico, ALCOA OFAUSTRALIA LIMITED. Bulletin N° 27.

L U K E, S . (2014). «Essentials of Metaheuristics». Online Version 2.1.http://cs.gmu.edu/~sean/book/metaheuristics/Essentials.pdf

M A R T I, R . (sf). Procedimientos metaheurísticos en optimización combinatoria. 60p.

M E D I N A, M . C . (2002). «Desbalance nutrimental y respuesta en rendimiento en experimentosde fertilización en nogal pecanero». Red de revistas científicas de América Latina y El Caribe,España y Portugal. Terra Latinoamérica, 20(4), pp. 497–504.

M E D I N A, M . C .; M E D I N A, E . J .; A G U I L A R, J . H . y G A R C I A, S . J . (1999). «Aspersionesfoliares de manganeso y cobre en nogal pecanero». Red de revistas científicas de AméricaLatina y El Caribe, España y Portugal. Terra Latinoamérica, 17(4), pp. 317–323.

M E L I A N, B .; M O R E N O, J . A . y M O R E N O, J . M . (2003). «Metaheurísticas: Una visiónglobal». Inteligencia artificial: Revista Iberoamericana de Inteligencia Artificial, 7(19), pp.7–28.

M E S A, D . E . (2010). Supernova: un algoritmo novedoso de optimización global. Tesis demaestría presentada como requisito para optar al título de magister en ingeniería de sistemas.Tesina o Proyecto, Programa Maestría en Ingeniería de Sistemas - Investigación de Operacio-nes. Escuela de Sistemas. Facultad Nacional de Minas. Universidad Nacional de Colombia.74p.

M E T R O P O L I S, N .; R O S E N B L U T H, A .; R O S E N B L U T H, M .; T E L L E R, A . y T E L L E R, E .(1953). «Equation of state calculations by fast computing machines». The Journal ofChemical Physics, 21(6), pp. 1087–1092.

M I T C H E L L, M . (1996). An introduction to genetic algorithms. 158p.

http://cs.gmu.edu/~sean/book/metaheuristics/Essentials.pdf

BIBLIOGRAFÍA

M O C E L L I N, J . V. y S A N T O S, M . (2000). «An hybrid metaheuristic for permutation flowshopscheduling». Control and Cybernetics, 29(3), pp. 761–771.

M O U R Ã O, F. F. D E A. A . (2004). «DRIS: Concepts and applications on nutritional diagnosisin fruit crops». Sci. Agric, 61(5), pp. 550–560. Piracicaba, Braz.

M O U R Ã O, F. F. D E A. A . y A Z E V E D O, J . C . (2003). «DRIS norms for Valencia sweetorange on three rootstocks». Pesq. Agropec. Bras, 38(1), pp. 85–93. Brasilia.

M U R I L L O, J . M .; M O R E N O, F.; C A B R E R A, F.; F E R N Á N D E Z, J . E . y F E R N Á N D E Z, Mª. C .(2000). «Equilibrio nutricional de un maíz (prisma) bajo monocultivo y diferentes dosis deabonado». Invest. Agr.: Prod. Prot. Veg, 15((1-2)), pp. 13–26.

N A C H T I G A L L, G . y D E C H E N, A . (2007). «Testing and validation of DRIS for apple tree». Sci.Agric, 64(3), pp. 288–294.

Ó L A F S S O N, S . (2006). «Metaheuristics». En: Nelson y Henderson (eds.) (Eds.), Handbook onSimulation, Handbooks in Operations Research and Management, capítulo 23, pp. 633–654.Science VII, Elsevier.

P U R I S, A . y B E L L O, R . (2009). «Optimización basada en Mallas Dinámicas. Su aplicación enla solución de problemas de optimización continuos. Metaheurísticas, Algoritmos Evolutivosy Bioinspirados para Problemas de Optimización Continua». En: VI Congreso Español sobreMetaheurísticas, Algoritmos Evolutivos y Bioinspirados (MAEB’09), pp. 441–448. Málaga,España.

R C O R E T E A M (2013). «R: A language and environment for statistical computing». ISBN3-900051-07-0.http://www.R-project.org

R E I S J U N I O R, R . A . y M O N N E R A T, P.H . (2003). «DRIS norms validation for sugarcanecrop». Pesq. Agropec. Bras, 38(3), pp. 379–385. Brasilia.

S A N Z, M . (2000). «Valoración del diagnóstico nutricional DRIS y DOP a lo largo del ciclovegetativo del melocotonero». Información Técnica Económica Agraria - ITEA, 96(1), pp. 7–18.

S C I L A B E N T E R P R I S E S (2012). Scilab: Free and Open Source software for numerical compu-tation. Scilab Enterprises, Orsay, France.http://www.scilab.org

S E L VA R A D J O U, S . K .; A N D V. H . A L VA R E Z, J . C . N E V E S y L E I T E, F. P. (2004). «Nutri-tional diagnosis for eucalypt by DRIS, M-DRIS, and CND». Sci. Agric, 61(5), pp. 507–515.

S I E R R A, S . M . (2004). «Mejora de algoritmos de búsqueda heurística mediante poda pordominancia. Aplicación a problemas de scheduling». Universidad de Oviedo. BibliotecaUniversitaria. Colección Tesis Doctoral- TDR No 72. 249 p.

S I L VA, G . G .; M O N T A N A R E L L A, L . y G E E T H A, A . (2005). Computer Program on DRIS,MDRIS and CND: Bivariate and multivariate analyses tools for monitoring the soil and plantnutrient imbalances. 50p.

94

http://www.R-project.org

http://www.scilab.org

BIBLIOGRAFÍA

S I N G H, H . y S H A R M A, N . (2014). «Optimization of fertilizer rates for wheat crop using fuzzyexpert system». International Journal of Computer Applications, 100(1), pp. 36–40.

T E Y, Y. S .; L I, E .; B R U W E R, J .; A B D U L L A H, A . M .; C U M M I N S, J .; R A D A M, A .; I S -M A I L, M .M. y D A R H A M, S . (2012). «Refining the definition of sustainable agriculture: Aninclusive perspective from Malaysian vegetable sector». Maejo Int. J. Sci. Technol, 6(3), pp.379–396.

VA N D E R B I L T, D . y L O U I E, S . (1984). «A Monte Carlo simulated annealing approach tooptimization over continuous variables». Journual of Computational Physics, 56, pp. 259–271.

WA D T, P. G . S . (2004). «Nutritional status of Eucalyptus grandis clones evaluated by CriticalLevel and DRIS methods». R. Árvore, Viçosa-MG, 56(1), pp. 145–154.

WA D T, P. G . S . y N O VA I S, R . F. (1999). «Preliminar Diagnosis and RecommendationIntegrated System (DRIS) norms for clones of Eucalyptus grandis x E. Urophylla hybrids».Scientia Forestalis, 56, pp. 145–154.

Y O U N G, T. M .; P E R H A C, D . G .; G U E S S, F. M . y L E Ó N, R . V. (2008). «Bootstrap con-fidence intervals for percentiles of reliability data for wood-plastic composites». ForestsProducts Journal, 58(11), pp. 106–114.

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