M EDICIÓN DE T ASA DE E RROR B INARIA (BER)

Los sistemas de transmisión digital presentan algunas ventajas comparativas respecto a losanalógicos en cuanto a capacidad de combinar y transportar datos de distintas aplicaciones,capacidad de procesamiento para comprimir la información y reducción del ancho de bandade transmisión, codificación para protección contra errores, encriptación, modulacionesadaptativas, etc. Sin embargo una de las desventajas es la abrupta degradación de lainformación digital recuperada frente a la reducción de la potencia de señal o aumento delruido y/o interferencia (en el caso analógico la degradación es más gradual), provocandoque la comunicación opere en la práctica en uno de dos estados, conexión o desconexión.La abrupta degradación es en general más marcada cuanto más potente sea el esquema ocódigo corrector de errores usado, aunque siempre se gana en la reducción del umbral deoperación de SNR, o corte de conexión, respecto a un sistema no codificado, y por tanto concodificación se requiere menor potencia media de señal recibida.Cuando la señal recibida está contaminada con ruido Gaussiano blanco la tasa de errorbinaria puede determinarse analíticamente para sistemas sin codificación. Sin embargo,cuando adicionalmente hay interferencias y/o codificación para corrección de errores, ladeterminación analítica de la tasa de error es un problema complejo (y muchas vecesimposible de resolver analíticamente), por lo cual se suele recurrir a simulacionescomputacionales para evaluar el desempeño de los sistemas de transmisión.En esta experiencia se evaluará la tasa de error binaria de un esquema básico de transmisiónen banda base (señales NRZ), con y sin codificación de canal, en este caso codificaciónconvolucional, y en presencia de ruido aditivo Gaussiano blanco, de manera que se puedacomparar los resultados empíricos con la solución teórica para el caso sin codificación, ypara el caso codificado evaluar la ganancia de codificación respecto al caso no codificado(medida en dB @ un nivel de tasa de error dado).Para realizar lo anterior se generará una secuencia binaria con un patrón conocido y derelativamente gran tamaño (ver Anexo). Esta secuencia se combinará con ruido y seprocesará para recuperar la información original, como ocurriría en un esquema detransmisión-recepción real. La información digital recuperada se compara con los datosoriginales transmitidos, se cuentan errores y se obtiene la tasa de error. Este ejercicio serepetirá para distintos niveles de potencia de ruido, y un número suficiente de veces paracada valor de la SNR de manera que el resultado sea estadísticamente representativo.Se evaluará la BER con y sin codificación a partir de una misma secuencia de señal binaria(de amplitudes 0 y V) transmitidas por el medio (en este caso cable) y contaminada con elruido Gaussiano, de potencia ajustable para operar en distintos niveles de SNR. Lasecuencia transmitida por el canal físico, conocida de antemano, corresponde a su vez a losbits de datos o información original, codificados con un codificador convolucional de 256estados (constraint length 9), tasa ½ y polinomio generador (561,753), correspondiente auno de los codificadores utilizados por el estándar de de Tercera Generación (3G) deUMTS, ver Anexo. Para evaluar las tasas de error sin y con codificación se usará la mismaseñal o secuencia de bits de canal transmitida por el medio, por un motivo práctico deoptimización de la adquisición de muestras con los instrumentos a usar, pero hay que tenerclaro que para el caso sin codificar esta señal se considerará como bits de datos oinformación, y para el caso codificado serán los bits de código que deben ser decodificadosposterior a la adquisición para obtener los bits de datos originales. La secuencia de datosoriginales se obtendrá de una PRBS de largo L=213-1 (cerca de 1024 bytes), ver Anexo, y alcodificarla generará una secuencia de bits de código de largo 2(L+8), esto porque elproceso óptimo para codificar y decodificar en este caso es agregar 8 bits 0’s al final de lasecuencia de datos a codificar para forzar al codificador a terminar en el mismo estadoinicial (estado 0), es decir en la práctica se codifican L+8 bits, que con una tasa de ½ setransforman en secuencias 2(L+8) por el canal.

Es importante tener en cuanta también que al usar la misma señal para evaluar la BER sin ycon codificación, se debe hacer una corrección de 3 dB adicionales en la SNR en el casocodificado. Esto es porque la tasa de transmisión con un código de tasa ½ implica unaumento al doble del ancho de banda del ruido asociado, en comparación al caso sincodificar, para el cual el ancho de banda usado debe ser la mitad. Esta corrección se debehacer sólo por la simplificación de usar los mismos datos adquiridos durante el trabajopráctico de esta experiencia, para los dos casos.El esquema de detección óptima de señales binarias, sin codificación, de bit en bit, seobtiene al aplicar el criterio de “máxima probabilidad a posteriori” de manera de minimizarla probabilidad de error en la detección, tanto si sólo se toma una muestra de señal recibidapor bit, se toman varias muestras por bit, o si se integra la señal en toda la duración del bitpara obtener la mínima probabilidad de error posible explotando al máximo la informacióncontenida en las señales recibidas. Cualquiera sea el caso, la salida del proceso siempre secompara con un nivel o umbral de decisión para determinar el nivel lógico recibido (harddecision). El umbral debe ser también el óptimo dependiendo del proceso.

La tasa de error de un esquema como el anterior se obtiene analíticamente a partirde las funciones de densidad de probabilidad de la señal más ruido r(t)=V1 (o V0)+n, que semuestran en la siguiente figura. Dado que el ruido Gausiano n en este caso tiene media 0,las funciones de densidad de probabilidad condicionadas corresponden a la función dedensidad del ruido desplazada en V1 o V0.

La probabilidad de error Pe (o BER) es:

con U: umbral de decisión,P1 y P0: probabilidades (“a priori”) de transmisión de un “1” o “0”, con P1+P0=1, yfdp(r/0) y fdp(r/1): funciones de densidad de probabilidad condicionadas.

Se puede demostrar que dado P1 (y P0=1- P1), y que el ruido Gaussiano tiene funcióndensidad de probabilidad

El umbral de decisión óptimo que minimiza Pe es:

donde se puede ver el efecto de corrimiento del umbral en el caso de señales noequiprobables y “en la mitad” en el caso contrario.También se puede demostrar que con este umbral óptimo la Pe o BER es:

Donde la función de error complementaria esta representada por :

Para el caso de :

Al tomar sólo una muestra de señal por bit se pierde información y energía de señal, poresto la forma óptima de detección es integrar la señal recibida, en todo y cada periodo Tb debit y tomar una decisión comparando el resultado de la integración con un umbraladecuado. Dado que el proceso de integración es lineal, el ruido de salida sigue siendoGaussiano de media cero y con potencia limitada por el integrador. Más general es suponerseñales en lugar de niveles para un “1” y un “0”, es decir V1(t) y V0(t).

La tasa de error de las señales OFDM

Las tasas de error de frecuencia ortogonal de multiplexación por división (OFDM) señales de frecuencia selectiva Nakagami-m canales de desvanecimiento se consideran. La función de densidad de probabilidad exacta de una suma de Nakagami-m vectores aleatorios se utiliza para obtener una forma cerrada de expresión para la tasa de error de las señales OFDM. El análisis de la tasa de error exacto se extiende también a un sistema que utiliza la recepción de múltiples canales con una relación máxima de la combinación. Nuestro análisis y los resultados numéricos muestran que las tasas de error obtenidas utilizando un anterior Nakagami-m aproximación pueden ser poco fiables. Se observa que, en función del número de tomas del canal, el rendimiento de la tasa de error puede degradarse con el aumento de los valores de los parámetros de Nakagami desvanecimiento