Mediciones Eléctricas

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR - DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRICA Y DE COMPUTADORAS

AREA 7 - LABORATORIO DE MEDIDAS ELECTRICAS 1 (Cod.2773)

Notas de Curso. – Medidas Eléctricas – Medición de Magnitudes – Ing. José Hugo Argañaraz – Prof.Adjunto – 2003 Página 1/1

Mediciones Eléctricas – Medición de magnitudes en sistemas bifilares y n-filares 1 Introducción

La mediciones realizadas con Instrumentos Indicadores, se caracterizan por la rapidez, fácil lectura y bajas (ID) o moderadas (IA) inexactitudes.

En la medición directa de corriente, tensión, potencia (activa y reactiva) y factor de potencia, en circuitos de continua o alterna, se emplean diversos tipos de instrumentos indicadores, con distintos principios de funcionamiento. Cuando el alcance de los mismos es excedido por las magnitudes medidas, se intercalan en el sistema de medición impedancias multiplicadoras (en conexión serie o derivación – circuitos de AC o DC), o transformadores de medida (circuitos de AC); estos también pueden instalarse no tanto por exceder el alcance como por razones de seguridad (niveles de aislación). Las mediciones indirectas permiten determinar: q en circuitos de DC la potencia activa y resistencia de la carga q en circuitos de AC las potencias reactiva y aparente, el factor de potencia y la impedancia equivalente de

carga con sus componentes resistiva y reactiva. La medición por métodos de equilibrio, de mayor exactitud, se emplea en los casos específicos de medición de componentes tales como resistencias, inductancias y capacidades, y características especiales de materiales como, por ejemplo, el ángulo de pérdida (tg δ) en aislantes. En los circuitos bifilares, se estudiará por separado el caso de DC y AC, evaluando para cada uno de ellos el error sistemático de método o de conexión que introduce la impedancia de los instrumentos. Como es lógico entre la fuente y el receptor (considerado pasivo y de característica lineal) se disponen de conductores de conexión destinados a la alimentación y a la conexión de los instrumentos requeridos para la medición. Se establece así el denominado circuito de corriente (amperométrico) y el circuito de tensión (voltimétrico). A fin de que las caídas de tensión de los conductores no influyan en el error sistemático, es necesario elegir adecuadamente su sección para deberán las mismas sean despreciables frente a las introducidos por los instrumentos. En los circuitos trifásicos, tanto para los casos trifilares como tetrafilares, se analiza la medición de la potencia, corrientes y tensiones de línea, sin entrar en detalle respecto a los errores de conexión, ya que el procedimiento es similar al monofásico.

2 Mediciones de las magnitudes en un sistema bifilar de Corriente Continua

El análisis es similar al realizado en la medición de resistencia con voltímetro y amperímetro, con la inclusión del cálculo de la potencia activa. En un circuito formado por una fuente F y un receptor pasivo R, la corriente y la tensión se obtienen, con mediciónes directas, utilizando los instrumentos conectados según los dos esquemas posibles:

Las magnitudes Pm y Rm se determinan con medidas indirectas utilizando las expresiones:

Pm = Um. Im m

mm I

UR =

2.1 Errores sistemáticos de métodos

V

A

C

Esquema 1 – Conexión Corta

Im B A

D

Um V Um

B

D

A

C

A Im

Esquema 2 – Conexión Larga

A

F

C

B

R

D

I

U P

Im




Si se consideran los "consumos específicos" de los instrumentos, en ambas conexiones se introducen los errores sistemáticos de método, que deben ser eliminados utilizando factores de corrección numéricos, distintos para cada esquema de conexión planteado

2.1.1 Esquema 1 - Conexión corta: en el circuito equivalente de esta conexión se observa que la tensión medida Um no está afectada de error. La corriente en la resistencia es I = Im – Iv. Las magnitudes corregidas se determinan por:

)RR

1.(IIv

mm −=

)R/R1

1.(RR

vmm −

=

)RR

1.(PPv

mm −=

2.1.2 Esquema 2 - Conexión larga: en este caso la medición Im de la corriente, no está afectada de error. La tensión enla resistencia es U = Um – Ua.

)RR

1.(UUm

am −=

)RR

1.(RRm

am −=

)RR

1.(PPm

am −=

En los dos esquemas de conexión, los términos entre paréntesis representan los factores de corrección numéricos. Sus valores son función de la relación entre la resistencia del instrumento que introduce el error y el valor de la resistencia medida.

3 Mediciones de las magnitudes en un sistema de Corriente Alterna

Se tratarán ahora las mediciones correspondientes tanto al sistema monofásico como al polifásico. Resulta conveniente analizar por separado cada uno de ellos, destacando sus características más importantes.

Dadas las características vectoriales de las magnitudes de tensión y corriente en AC, se denomina a las mediciones independientes grados de libertad circuital

3.1 Sistema monofásico

Se presenta una disposición bifilar, similar a la de DC, entre la fuente de tensión senoidal y el receptor del tipo lineal.

Para que el circuito monofásico quede totalmente determinado, los vectores de tensión y de corriente deben definirse en módulo y fase.

Si se conoce la característica de la carga (inductiva o capacitiva) y se toma como referencia uno de los vectores (fase cero), esto implica obtener tres magnitudes escalares a partir de mediciónes directas, es decir que las mediciones independientes (grados de libertad) son tres:

q corriente, con amperímetro (para IA, de hierro móvil) q tensión, con voltímetro (para IA, de hierro móvil) q potencia activa, con vatímetro (para IA, electrodinámico)

Las magnitudes de potencias reactiva y aparente e impedancia, son determinadas por mediciones indirectas

Sin embargo, si no se conoce la característica de la carga, ademas de los módulos y ángulo de desfasaje es preciso determinar el signo. Esto implica una medición más como es la potencia reactiva. Se realiza con varímetro (para IA, electrodinámico), el cual, si su deflexión es positiva (respetando las polaridades

Im

Rv R Um

I B

D

Iv

Im Ra

R Um U

B

D

Ua

A

F ∼∼

C

B

R

D

I

U P




de conexión de sus bobinas) determina que la carga es de tipo inductiva y si es inversa, del tipo capacitiva (para deflexión nula, como es lógico la carga será resistiva pura).

Los instrumentos pueden ser conectados como antes según dos esquemas posibles (de incluirse el varímetro se agrega con las mismas conexiones que el vatímetro):

3.1.1 Esquema 1 - Conexión corta: del circuito equivalente y diagrama fasorial se desprende que la tensión medida es la que no adolece de error. Las mediciones de la corriente y de la potencia deben corregirse mediante factores numéricos, dados por las expresiones:

p

2m

m2

m

R.I

P.2U1I

−+=

)R.P

U1(PP

pm

2m

m −=

con: v wv

v wvp RR

R.RR

+=

Las restantes magnitudes son obtenidas indirectamente a través de las relaciones circuitales conocidas. Si es preciso incluir un varímetro, Rp debe contemplar la resistencia de su bobina en paralelo.

3.1.2 Esquema 1 - Conexión larga: del circuito equivalente y diagrama fasorial se desprende que la corriente medida es la que no adolece de error. Las mediciones de la tensión y de la potencia deben corregirse mediante factores numéricos, dados por las expresiones:

2m

amas2

mm

U

R.P.2R.I1.II

−+=

)P

R.I1(PP

m

as2

mm −=

con: awaas RRR +=

Las restantes magnitudes son obtenidas indirectamente a través de las relaciones circuitales conocidas. Si es preciso incluir un varímetro, Ras debe contemplar la resistencia de su bobina en serie.

3.2 Sistema polifásico

En estos sistemas se realiza la medición directa de las tensiones, corrientes y potencias, obteniendose indirectamente las restantes magnitudes mediante las expresiones circuitales.

Por lo general es de interés conocer las magnitudes de línea, pero, según el circuito, puede ser también extendida la medición a las magnitudes de fase.

Como se dijo en la introducción, en este caso no se entrará en detalles respecto a los errores de conexión, ya que el procedimiento es similar al monofásico.

3.2.1 Teorema de Blondel.

De las mediciones directas indicadas la más dificultosa es la de la potencia (activa y/o reactiva), cuando no es posible acceder con los instrumentos a cada fase de la carga, ya que el sistema está constituido por la

Esquema 1 - conexión corta Esquema 1 - conexión larga

V

A

C

Im B A

D

Um

*

* W

V Um

B

D

A

C

A Im *

* W

Um

Raw Im

Rv Z Um

I B

D

Iv

Rw

Iw

Ra

Im

Um

Iw Iv

I

ϕ

Um

Raw

Rv R Um

Im B

D

Rw

Ra

Um

Ua Uaw

Im.Ra

Um

Im

U

ϕ

Im.Raw




fuente de alimentación y el receptor, vinculados a través de "n" conductores recorridos por corrientes y sometidos a determinadas diferencias de potencial. El problema fue resuelto por Blondel, al enunciar un teorema que permite obtener la potencia activa en la carga, mediante la suma algebraica de las lecturas de "n" vatímetros conectados de forma tal que por sus sistemas amperométricos circulen las corrientes de línea, estando los sistemas voltimétricos sometidos a tensiones conforme al esquema de medición de la figura siguiente.

Las indicaciones de cada vatímetro pueden expresarse por el producto escalar de los fasores Uj0 (tensión en la bobina voltimétrica) e Ij (corriente en la bobina amperométrica)

P1(10) = U10.I1

Pj(10) = Uj0.Ij

Pn(n0) = Un0.In

y si se respetan las polaridades de las bobinas en la conexión, la potencia total es la suma:

∑=

=n

1j)0j(jm PP = U10.I1 + .+ Uj0.Ij +..+ Un0.In

Para demostrar de teorema de Blondel, se considera una carga conectada en conexión abierta (estrella)1 y se supone que existe una diferencia de potencial UOO’ entre el nodo “O” de los circuitos de tensión y el centro “O’” de la carga. Se establecen en el circuito las relaciones siguientes:

I1 +…+ Ij +…+ In = 0

U10’ = U10 - U00’

Uj0’ = Uj0 - U00’

Un0’ = Un0 – U00’

P1(10’) = U10’.I1

Pj(10’) = Uj0’.Ij

Pn(n0’) = Un0’.In

P = ∑=

n

1j)'0j(jP = U10’.I1 + …+ Uj0’.Ij +…+ Un0’.In

= U10.I1 + …+ Uj0.Ij +…+ Un0.In + U00’(I1 +…+ Ij +…+ In ) = U10.I1 + …+ Uj0.Ij +…+ Un0.In

= ∑=

n

1j)0j(jP = Pm

De la última expresión se desprende que: q la potencia total P en la carga es igual es igual a la sumatoria Pm de las potencias medidas. q los términos del primer miembro representan por definición la potencia activa en cada fase de la carga

trifásica y por lo tanto la suma es aritmética q los términos del tercer miembro están suministrados por las lecturas de los wattímetros. Éstas puede ser

positivas o negativas, dependiendo del ángulo formado por la tensión aplicada al sistema voltimétrico y la corriente que circula por el respectivo sistema amperométrico y por lo tanto la suma es algebraica. Además los términos considerados individualmente no aportan información alguna

q si el nodo "0" se coloca al potencial de uno de los conductores (p.e. el “j”), el vatímetro correspondiente no tendrá indicación ya que la tensión en su bobina voltimétrica es nula.

El teorema permite concluir que es posible medir la potencia en la carga, con un número menor de instrumentos. En efecto, si el vatímetro Wj se retira del circuito, la potencia polifásica será obtenida mediante la lectura de "n-1" vatímetros.

1 si la conexión fuera cerrada (poligonal – triángulo en circuitos trifásicos puede reducirse a una conexión abierta equivalente

O

U10 j

1 I1

n

*

*

*

*

*

*

Ij

In Uj0

Un0

O’

U10’

Uj0’

Un0’

Un0’ O O

O

U10 j

1 I1

n

*

*

*

*

*

*

Ij

In Uj0

Un0

CARGA




A partir del análisis general del problema de la medición de las potencias activa y reactiva en el sistema polifásico, se procede a continuación a estudiar el sistema trifásico.

3.3 Sistema trifásico

3.3.1 Determinación de la secuencia Antes de proceder a la medición de la potencia es necesario establecer perfectamente la secuencia

relativa de la terna de tensiones de la línea.

3.3.2 Grados de libertad circuital La identificación completa del sistema trifásico se logra cuando las ternas vectoriales de tensión y

corriente de líneas quedan definidas en módulo y fase (con el signo de ésta de acuerdo al tipo de carga). En el caso general, esto implica medir quince magnitudes escalares.

Si se conoce la característica (inductiva, resistiva o capacitiva) de la carga, las mediciones se reducen a once si una de las ternas es referida a la otra y, además, cuando las tensiones de línea se consideran equilibradas y simétricas, los grados de libertad se limitan a nueve.

3.3.3 Condiciones circuitales

El caso general de tensiones de alimentación asimétricas raramente se presentan en la práctica, por lo que no será tenido en cuenta en el siguiente análisis. Se considerará entonces que las tensiones de fase (y por lo tanto de línea) de la fuente son equilibradas y simétricas.

En estas condiciones circuitales, la más sencilla medición será aquella en que la carga trifásica esté constituida por impedancias iguales (módulo y ángulo), como por ejemplo, una máquina trifásica.

De acuerdo a la conformación de la fuente y su vinculación con las impedancias de carga, (cantidad de conductores) el sistema trifásico la puede ser tetra o trifilar. Su análisis se realizará por separado y de acuerdo a condiciones eléctricas particulares de la carga se podrá reducir el número de grados de libertad circuital.

No existe restricción en la conexión de las bobinas de tensión de los vatímetros ya que el nodo común de los circuitos voltimétricos puede quedar aislado o bien ser conectado a cualquier de los conductores de vínculos. Suponiendo correcta la polaridad de conexión de las bobinas, se dan los siguientes casos en la medición, cuando:

1. no se conecta el nodo común al centro de estrella de la carga: la lectura de cada vatímetro no tendrá relación con respecto a las impedancias de carga, pudiendo producirse deflexiones negativas (sistema trifilar).

2. no hay conexión entre el neutro de la fuente y el centro de estrella de la carga y se conecta el nodo común al neutro: la lectura de cada vatímetro dará la potencia activa en cada fase de la fuente (sistema trifilar con neutro de la fuente accesible).

3. no hay conexión entre el neutro de la fuente y el centro de estrella de la carga y se conecta el nodo común al centro de estrella: la lectura de cada vatímetro dará la potencia activa en cada fase de la carga (sistema trifilar con neutro de la carga accesible).

4. hay conexión entre el neutro de la fuente y el centro de estrella de la carga y se conecta el nodo común al neutro (centro de estrella): la lectura de cada vatímetro dará la potencia activa en cada fase de la carga la cual coincide con la de la fuente (sistema tetrafilar).

5. no hay neutro ni centro de estrella accesible (o es conexión triángulo) pero la carga es equilibrada: la lectura de cada vatímetro dará la potencia activa en cada fase de la carga la cual coincide con la de la fuente (sistema trifilar).

Si no es preciso identificar cada fase de la carga, para la medición de potencia activa se deben disponer de por lo menos tres vatímetros e incorporar instrumentos hasta completar los nueve grados de libertad requeridos.

Si es preciso identificar cada fase de la carga, además de la potencia activa, para la medición de potencia reactiva se deben disponer de por lo menos tres varímetros (o vatímetros midiendo potencia reactiva) e incorporar instrumentos hasta completar los once grados de libertad requeridos.

3.3.3.1 La medición de potencia reactiva en circuitos trifásicos, utilizando vatímetros, merece un estudio aparte antes de entrar en los casos particulares; si se consideran las expresiones de las potencias en función de las corrientes y tensiones eficaces de una fase (por ejemplo la 1):

P1 = U1.I1.cos ϕ1 Q1 = U1.I1.sen ϕ1




y se observa el diagrama fasorial, se deduce que es posible determinar la potencia reactiva utilizando un vatímetro con la bobina de corriente conectada a una de las fases (I1)y la de tensión a una tensión de línea (U23) desfasada 90° en atraso con respecto a la correspondiente tensión de esa fase (U1). La potencia medida por ese vatímetro será:

P1(23) = U23.I1.cos (90-ϕ1) = U23.I1.sen ϕ1) = 3 .Q1

Esta relación es válida siempre y cuando las tensiones de fase (y por lo tanto de línea) de la fuente sean equilibradas y simétricas. Además la potencia reactiva medida será la de la fase de la carga solo si ésta tiene aplicada la tensión de fase o de línea, pero la suma de las indicaciones de los tres vatímetros conectados para medir Q (dividido por 3 ) será la potencia reactiva total de la carga (y de la fuente).

3.3.4 Mediciones en el circuito tetrafilar

3.3.4.1 Condiciones generales: Este circuito tiene como vínculo entre la fuente y las impedancias de carga cuatro conductores, tres de línea (fase) y el restante de retorno (neutro). En el caso general se tendrán impedancias de carga desiguales lo que implica una terna desequilibrada de corrientes. 3.3.4.2 Tensiones de alimentación simétricas e impedancias desiguales: si se considera despreciable la caída en el conductor neutro, los centros de estrella de la fuente y de la carga estarán al mismo potencial y entonces, las tensiones aplicadas en cada fase de la carga resultarán equilibradas a pesar de la desigualdad de las impedancias.

Si se conoce la característica de la carga, los grados de libertad se reducen a siete, (diez si se desconoce la característica de la carga). La configuración es:

Las magnitudes se determinan como sigue (dado que hay un solo punto común "O" se omiten el subíndice 0 y j0): q tensiones de fase Uj (la referencia de ángulo corresponde a la tensión de fase U1):

U1 = U2 = U3 = 3

UL = UFASE = UF U1 = UF / +0° U2 = UF / −120° U3 = UF / −240°

q tensiones de línea Uij : U12 = U23 = U31 = ULINEA = UL U12 = UL / +30° U23 = UL / −90° U31 = UL / −210°

q potencia activa trifásica P: P = P1 + P2 + P3

q potencia aparente de fase Sj y factor de potencia de fase FPj (de no conocer la característica de la carga -signo del ángulo de desfasaje de cada fase- es necesario proceder a la medición de Qj en cada fase):

S1 = U1 .I1 FP1 = cos ϕ1 = 11

1

I.UP

ϕ1 = arc cos11

1

I.UP

S2 = U2.I2 FP2 = cos ϕ2 = 22

2

I.UP

ϕ2 = arc cos22

2

I.UP

W1

W2

O 2

1

3

*

*

*

*

*

*

A1

A2

A3

I3

I2

I1

N

V12

W3

I4

I1 U1

U23

ϕ1

90-ϕ1




S3 = U3.I3 FP3 = cos ϕ3 = 33

3

I.UP

ϕ3 = arc cos33

3

I.UP

q potencia reactiva de fase Qj y trifásica Q:

Q1 = U1.I1.sen ϕ1

Q2 = U2.I2.sen ϕ2

Q3 = U3.I3.sen ϕ3

Q = Q1 + Q2 + Q3

q potencia aparente trifásica S y factor de potencia trifásico FP:

22 QPS += 22 QP

PFP

+=

q Corrientes de línea y de neutro:

IN = I1 + I2 + I3 I1 = I1 / ϕ 1 I2 = I2 / −120°+ϕ 2 I3 = I3 / −240°+ϕ 3

Obtenidos todos los parámetros de tensión y corriente se puede construir el diagrama fasorial. Si la característica de la carga es desconocida, y se desea determinar el valor de la impedancia de cada fase es preciso proceder a la medición de la potencia reactiva en cada una de ellas (punto 3.3.3.1).

3.3.4.3 Tensiones de alimentación simétricas e impedancias iguales: igual que antes se considera despreciable la caída en el conductor neutro.

Esta condición es similar al caso monofásico y reduce a tres los grados de libertad (cuatro si se desconoce la característica de la carga, debiendo medir la potencia reactiva) quedando la configuración:

Las magnitudes se determinan como sigue (dado que hay un solo punto común "O" se omiten el subíndice 0 y (j0)):

q tensiones de fase Uj (la referencia de ángulo corresponde a la tensión de fase U1):

U1 = U2 = U3 = 3

UL = UFASE = UF U1 = UF / +0° U2 = UF / −120° U3 = UF / −240°

q tensiones de línea Uij :

U12 = U23 = U31 = ULINEA = UL U12 = UL / +30° U23 = UL / −90° U31 = UL / −210°

q potencia activa trifásica P:

P = 3.P1


I1 = I2 = I3 = IF = IL

S = 3.UF.IF = 3 . UL. IL

W1

O 2

1

3

*

* A1

I1

N

V12

I1

U1

I2

I3

U2

U3

U31

U12

U23

ϕ1

ϕ2

ϕ3

IN




FP = cos ϕ = SP

q potencia reactiva trifásica Q:

22 PSQ −=

q Corrientes de línea y de neutro:

I1 = IL / ϕ 1 I2 = IL / −120°+ϕ 2 I3 = IL / −240°+ϕ 3

IN = I1 + I2 + I3 = 0

3.3.5 Mediciones en el circuito trifilar

3.3.5.1 Condiciones generales: Este circuito tiene como vínculo entre la fuente y las impedancias de carga (conectadas en estrella o en triángulo) tres conductores de línea. Con esta condición se tendrá siempre corrientes equilibradas (en general, no simétricas - carga desequilibrada), es decir:

∑ LI = I1 + I2 + I3 = 0

3.3.5.2 Tensiones de alimentación simétricas e impedancias desiguales: Este es el caso mas común y, debido a la condición de simetría impuesta, los grados de libertad se reducen a cinco si se conoce la característica de la carga y ésta es del mismo tipo para las tres fases de la carga.

Para la medición de potencia se pueden disponer tres vatímetros e incorporar dos instrumentos mas o utilizar "n-1" vatímetros (dos) y completar con tres instrumentos para cumplir con la condición de cinco grado de libertad. Este último es conocido como el método de Arón o de los dos vatímetros. Se considerará este caso.

Con los dos vatímetros conectados de acuerdo al esquema, las magnitudes se determinan como sigue:

q tensiones de línea Uij (la referencia de ángulo corresponde a la tensión de fase U1):

U12 = U23 = U31 = ULINEA = UL

U12 = UL / +30° U23 = UL / −90° U31 = UL / −210°

q potencia activa trifásica P:

P = P12 ± P31

q desfase de las corrientes con respecto a las tensiones de línea:

P12 = U12 .I1.cos β1 = UL .I1.cos β1

P32 = U23 .I3.cos β1 = UL .I3.cos β3

cos β1 = 1L

12

I.UP

β1 = arc cos1L

12

I.UP

cos β3 = 3L

32

I.UP

β3 = arc cos 3L

32

I.UP

q corrientes de línea:

U12

I1

U1

I2

I3

U2

U3

U31

U23

ϕ

ϕ

ϕ

W1(12)

2

1

3

*

*

* A1

A3

I3

I1

V12

W3(32)

W1(03)

*

*

*

W3(10)

*

β1

β3

I1

U1

I2

I3

U2

U3

U12

ϕ1

ϕ2

ϕ3 (I1 + I3)

−− I3

U32




I1 = I1 /+30°+β 1_ I3 = I3 /+90+β 3_

y como:

I1 + I2 + I3 = 0

I2 = −(I1 + I3)


22 QPS += 22 QP

PFP

+=

Obtenidos todos los parámetros de tensión y corriente se puede construir el diagrama fasorial. Si no se conoce la característica de la carga (y por lo tanto el signo de β1 y β2), se puede determinar la

potencia reactiva utilizando dos varímetros; también se pueden utilizar dos vatímetros como se indicó en el punto 3.3.3.1 (líneas de trazo en el esquema de conexiones). Si se consideran la expresión de la potencia activa para los vatímetros W12 y W32:

P12 = U12 .I1.cos β1 y P32 = U23 .I3.cos β1

se deduce del diagrama fasorial que es posible medir las potencia reactiva utilizando vatímetros con las bobinas de corriente conectadas a las fases (I1 e I3) y la de tensión a tensiones de fase desfasadas 90° en atraso con respecto a la correspondiente tensión línea (U03 = -U3 y U10 = U1):

P1(03) = U3.I1.cos [90+β1] = U3.I1.sen β1 = 3

Q )12(1

P3(10) = U1.I3cos [90+β3)] = U3.I1.sen β3 = 3

Q )32(3

La suma algebraica de las indicaciones de los dos vatímetros (conectados según el esquema de puntos) multiplicada por 3 será la potencia reactiva Q total de la carga (y de la fuente).

Es necesario recalcar que en este caso es imposible determinar la impedancia de cada fase de la carga al no tener acceso con las mediciones a cada una de ellas.

3.3.5.3 Tensiones de alimentación simétricas e impedancias iguales: En estas condiciones los grados de libertad se reducen a cuatro.

Aun si no se conoce la característica de la carga, como ϕ1 = ϕ2 = ϕ3 = ϕ , se pueden obtener todas las magnitudes con los instrumentos conectados de acuerdo al esquema anterior.

q tensiones de línea Uij (la referencia de ángulo corresponde a la tensión de fase U1):

U12 = U23 = U31 = ULINEA = UL U12 = UL / +30° U23 = UL / −90° U31 = UL / −210°

q desfase de las corrientes con respecto a las tensiones de fase (provistas por la fuente): de las lecturas de los vatímetros se obtiene:

P12 = UL.IL.cos (+30°+ϕ) ϕ = −30°+arc cosLL

12

I.UP

I1

U1

U12

ϕ1

30

-U3

U32

β1

W12

2

1

3

*

*

* A1

I1

V12

W32




P32 = UL .IL.cos (−30°+ϕ) ϕ = +30° + arc cosLL

23

I.UP

q corrientes de línea:

I1 = IL /−ϕ I2 = IL /−(120°+ϕ) I3 = IL /−(240°+ϕ)

q potencia activa trifásica P (la suma es algebraica, dependiendo el signo del sentido de la deflexión):

P = P12 + P31 = UL.IL.cos (+30º+ϕ) + UL.IL.cos (−30°+ϕ) = 2 UL.IL.cos 30º.cos ϕ = 3 UL.IL.cos ϕ (1)

q potencia reactiva trifásica Q: Si se realiza la diferencia entre las lecturas de los vatímetros (algebraica, dependiendo el signo del sentido de la deflexión) y se multiplica por raiz de tres:

Q = 3 ( (P32 − P12) = UL.IL.cos (+30°+ϕ) − UL.IL.cos (−30°+ϕ) = 2 UL.IL.sen 30°.sen ϕ = UL.IL.sen ϕ (2)

q potencia aparente trifásica:

S = 22 QP + =

q factor de potencia trifásico FP:

FP = 22 QP

P

+ =

21232

23212

3212

)PP(3)PP(

PP

−++

+ =

=3212

232

212

3212

P.PPP.2

PP

−+

+ =

1xx.2

x12 +−

+

con x = P32/ P12

Para estas condiciones de carga y alimentación es posible determinar la característica de la carga en función de las indicaciones de los vatímetros. Graficando la variación de las lecturas en función de ϕ, variando éste entre –90° y +90°.se desprende que si:

W12 > W32 → carga RC W12 < W32 → carga RL W12 = W32 → carga R pura W12 = −W32 → carga C pura −W12 = W32 → carga L pura

(1) cos 30° cos ϕ + sen 30° sen ϕ + cos 30° cos ϕ − sen 30° sen ϕ = 2 23

cos ϕ = 3 cos ϕ

(1) cos 30° cos ϕ + sen 30° sen ϕ − cos 30° cos ϕ − sen 30° sen ϕ = 2 21

sen ϕ = sen ϕ

Variación de las lecturas en funcion del ángulo de desfasajeW1 2 W2 3 W1 2 + W3 2 W3 2 - W1 2

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-90 -60 -30 0 30 60 90

[°]

Val

or R

elat

ivo

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