Mediciones con ruido como señal de prueba

“Evaluación de sistemas LTI por medio de la correlación”

Mediciones Electrónicas

h(t) y(t)

Caracterización de sistemas LTI

• Mediante ondas senoidales, analizando la respuesta (|Y(f)|, f(f)) en el dominio de la frecuencia.

SistemaBajo Prueba

RgGeneradorBarredor

Graficador

x

Voltímetro Vectorial

f=y

Bajo Prueba

ZL

Barredor

• Mediante ondas cuadradas, analizando la salida y(t) en el dominio del tiempo.

V1

v(t)

t

10%

90%

t1 t2

R

CMedidor

V1

R

C MedidorV1

V2

v(t)

t

V1

Caracterización de sistemas LTI

• Mediante la utilización de ruido como señal de prueba. Evaluando la función correlación cruzada.

h(t) y(t)

[ , ], ( )x xPDF x G f

Ruido como señal de prueba

Áreas de aplicación:

• En presencia de efectos alineales, donde una onda senoidal no permite obtener la respuesta buscada.

Interferencia co-canal en telefonía, FDM (Multiplexación por División en Frecuencia).

• En sistemas lentos, con grandes constantes de tiempo.

Caracterización de sistemas térmicos.

CH1

CH2

CH3

CH4

CH5

CH6

CH1 CH2 CH3 CH4 CH5 CH6

Filtro eliminabanda

CH4

Filtro pasabanda

Medidor

Ruido

Ruido como señal de prueba

Áreas de aplicación:

• Cuando el ruido de fondo es muy grande.

La inyección de ruido (descorrelacionado) permite obtener respuesta aún en estas condiciones.

• Para medir procesos caros.

Se inyecta ruido de muy bajo nivel evitando saturaciones.

Evaluación de un sistema por medio de la correlación cruzada

h(t)

0

1lim

T

Td

T

Ruido blancogaussiano

0

1( ) lim ( ) ( )

T

xyT

R x t y t dtT

=

( ) ( ) ( ) ( ), ( ) señales aleatoriasy t h u x t u du x t y t

=

( )x t

( )x t

0 0

1 1( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

T T

xyT T

xx

R x t h u x t u du dt h u x t x t u dt duT T

y t R uxx

h u R u du

= =

=

00T( )x t

Evaluación de un sistema por medio de la correlación cruzada

Si se cumple que

( ) función impulso en

puedo suponer que ( ) ( )

x h

xx

B B

R u u

h u cte h

=

=

R ( -u)xx

h(u)h(u)

puedo suponer que ( ) ( )h u cte h =

u

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(0)

(0)( ) (0) ( )

2

xy xx xx

xx

R h u R u du h R u du

Sx

Gh S h

= =

= =

2 ( )( )

(0)xy

x

Rh

G

=

(0) densidad espectral de potencia unilateral del ruido blanco gaussianoxG

Estimación de la correlación

Si tengo un tiempo de integración finito => Cada vez que hago el experimento obtengo un resultado distinto.

1ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Var R R u R u R u R u du

=

0

1( ) lim ( ) ( )

T

xyT

R x t y t dtT

=

Resultado: Variable aleatoria cuyo valor medio es el verdadero valor de la correlación.ˆ ( )xyR

(0) (0)( ) ( )

2 2

2

2

1ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1si ( ) ( ) (0) ( )

(0)(0)ˆ ( ) ( ) (2 4

x x

xy xx yy xy yx

G Gh u h u

x y xx yy yy xx

xxxy y

Var R R u R u R u R u duT

B B R u R u du R R u duT T

GGVar R h u h

T T

=

1)u du

T

Efecto de las perturbaciones en la salida:

h(t)

R ( )xz

y(t)

0

1lim

T

Tdt

T

x(t)

x(t- )

n(t) x(t)no correlacionado con

z(t)

0 0

0 0

1 1( ) lim ( ) ( ) lim ( )

1 1lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

1( ) (0) ( ) ,

( ) ( )

( ) 02

T T

xzT T

T T

T T

x xn xnT

R x t z t dt x t dtT T

x t y t dt x t n t dtT T

h G R R

y t n t

= =

=

=

expresión calculad cuanto vala e?

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )xz xy xnVar R Var R Var R =

0x(t- )

Efecto de las perturbaciones en la entrada:

0

1( ) lim ( ) ( )

T

xyT

R x t y t dtT

= =

h(t)

R ( )xy 0

1lim

T

Tdt

T

x(t)

x(t- )

z(t)

n(t) x(t)no correlacionado con

( ) ( ) ( ) ( )y t h u x t u n t u du

=

0

0 0

0

( )

1 1lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( )

1 1( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( )

xx

T T

T T

T

T T

R u

x t h u x t u du dt x t h u n t u du dtT T

h u x t x t u dt du h u x t nT T

=

=

0

( )

0

( )

1 1( ) (0) ( ) ( ) , ( ) 0

2

xn

T

R u

T

x xn xnT

t u dt du

h G h u R u du RT

=

expresión calculad cuanto vala e?

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )xy xy xnVar R Var R Var R =

Utilizamos una señal que tenga todas las características deseadas del ruido aleatorio (espectro ideal, pdf gaussiana) y que sea periódica….

Ruido Pseudoaleatorio como señal de prueba:

x(t)

1 0 1 1 0 1 0 0 0 1A

Señal telegráfica:

t

t-A

2A

tt

( )xxR 2sinc f

1

t

xG f

f-A +A

p(x)

x

Generación de Ruido Pseudoaleatorio

Señal binaria pseudoaleatoria:

x(t)

t

t

1 0 1 1 0 1 0 0 0 1A

-A

1 0 1 1 0 1 0 0 0 1

( )G f

2A

tt

( )xxR

N t t N t t N t

Función densidad de potencia discreta con envolvente de la forma sinc2 (f).

Función autocorrelación periodica.

f

( )xG f

1

t1

fN t

=

Generación de Ruido Pseudoaleatorio

Generador de secuencia pseudoaleatoria:

Q1 Q2 Q3 Q4 XOR (SALIDA)

1 1 1 1 0

0 1 1 1 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 12 -1

13 registros

nN

n

=

salida

0 0 1 0 1

1 0 0 1 1

1 1 0 0 0

0 1 1 0 1

1 0 1 1 0

0 1 0 1 1

1 0 1 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

13 registros

para considerar

ruido gaussiano

n

2

2 1n

A

2A

1

clk

tf

=1

clk

tf

=

( )xxR

SR1 SR2 SR3 SR4

clk

Generador de Ruido Pseudoaleatorio

Gráfica de Gx(f) en el rango f=[0,fclk]

( )xG f

SR1 SRn-1 SRn

clk

salida

fc f

.....

Filtro pasabajos con frecuencia de corte 20 veces menor que la del reloj de los registros de desplazamiento.

La resolución espectral depende de fclk y de la cantidad n de registros de desplazamiento.

2 1clk clk

n

f ff

N = =

clkff

20clk

c

ff =

Ruido Pseudoaleatorio

Ruido Pseudoaleatorio

Ejemplo: Se requiere diseñar un generador de ruido pseudoaleatorio que se utilizará para caracterizar sistemas LTI con un ancho de banda (AB) de hasta 1kHz. Con el objetivo de eliminar los errores estadísticos propios de la medición, el período de repetición del ruido debe ser de 100ms.

4

1 si 10

20 200

100 100 200 2 10 2 1 14, 28

c c

clk c clk

n

AB kHz f AB f kHz

f f f kHz

NT ms N ms kHz n

= =

=

= = = = = =

15

100 100 200 2 10 2 1 14, 28

Como el valor de no es entero, debo utilizar 15 y elevar la ....

2 1 32767 100 3

clk

clk

clk clk

T ms N ms kHz nf

n n f

N ms f f

= = = = = =

=

= = = = 27.670

La frecuencia del filtro pasabajos la mantengo en 10 mejorando la condición 20

Resultado:

327.670 ;

10

15;

327.67010 (resolución espectral)

32767

clk

clk

c

Hz

kHz f f

f Hz

f kHz

n

Hzf Hz

=

=

=

= =

Bibliografía:

• “Electronic Measurement and Instrumentation”, Capítulo 4. Oliver and

Cage. McGraw Hill.

• “Random Data: Analysis and Measurement Procedures”, Capítulo 6-8

Fourth Edition, Julius S. Bendat, Allan G. Piersol. WileyFourth Edition, Julius S. Bendat, Allan G. Piersol. Wiley

• “Analizador de respuesta temporal”, O. Focquaert, A. Esteban, pp1600-

1603, Revista Telegráfica Electrónica.

• “Shift Register Sequences”, Solomon W. Golomb. Aegean Park Press,

Laguna Hills, California, 1982.

• “Generador de ruido”, A. E. De Giusti, H. E. Lorente pp231-233, Revista

Telegráfia Electrónica.

Anexo: Estimación de la correlación (con ruido)

expresión calculada cuanto vale?

2

( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

1 1ˆ1) ( ) ( ) (0) (0) (0)

xz xy xn

xz xy xn

R R R z t y t n t

Var R Var R Var R

B B Var R R R R R R

= =

=

2 2

(0) x n =21 1ˆ1) ( ) ( ) (0) (0) (0)

2 2n x xn xn xx nn xx nnB B Var R R R R R R

BT BT

2

cte

(0)

2

2

(0)2

1 1ˆ2) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) (0)2

ˆ3) ( ) (0)2

x

x n

nn x xn xx nn nn xx x

G

xn x xn n

BT

B B Var R R u R u du R R u du GT T BT

B B Var R GBT

=

= =

Conclusión: La mejor forma de disminuir la varianza es aumentar el T, ó utilizarruido pseudoaleatorio.