UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICASANALISIS REAL III

Practica Dirigida 11

1. Sean (X,A) e (Y,B) dos espacios medibles y considere las proyecciones piX : X Y X ypiY : X Y Y definidas por piX(x, y) = x y piY (x, y) = y, (x, y) X Y(a) Pruebe que piX : (X Y,A B) (X,A) y piY : (X Y,A B) (Y,B) son medibles.(b) Si C es una -algebra sobre XY tal que piX : (XY, C) (X,A) y piY : (XY, C) (Y,B)

son medibles, pruebe que A B C.2. Sean (X,A), (Y,B) y (Z, C) tres espacios medibles y sea f : (Z, C) (X Y,A B) definida porf(z) = (fX(z), fY (z)),z Z. Pruebe que f : (Z, C) (X Y,A B) es medible si y solo sifX : (Z, C) (X,A) y fY : (Z, C) (Y,B) son medibles.

3. Sean X,Y dos espacios metricos

(a) Pruebe que B(X) B(Y ) B(X Y ).(b) Si X e Y tienen base numerable de abiertos, pruebe que B(X) B(Y ) = B(X Y ).

4. Considere los espacios medibles (R,B(R), ) y (R,P(R), ) donde es la medida definida en P(R)como (A) = 0 si A es numerable y (A) = + en caso contrario. Sea K R compacto, nonumerable y de medida de Lebesgue cero (por ejemplo el conjunto de Cantor) y sea C = {(x, y) R2;x y K}.(a) Pruebe que C B(R) P(R).

(b) Calcule

R

(R

1C(x, y)d

)d y

R

(R

1C(x, y)d

)d Se cumple el Teorema de Fubini-

Tonelli?

5. Sea f : [0, 1] [0, 1] R definida por f(x, y) = x2 y2

(x2 + y2)2, si (x, y) 6= (0, 0) y f(0, 0) = 0.

(a) Calcular

[0,1]

([0,1]

f(x, y)d(x)

)d(y) y

[0,1]

([0,1]

f(x, y)d(y)

)d(x).

(b) f L1R([0, 1] [0, 1], )? Justifique su respuesta6. Sean f L1R+(X,) y g : [0,+[ R una funcion monotona creciente, de clase C1 en [0,+[ y

tal que g(0) = 0. Pruebe que X

g fd = 0

g(t)([f t])dt

7. Sean y dos medidas -finitas definidas sobre los borelianos de R.

(a) Pruebe que el conjunto D = {x R : ({x}) > 0} es numerable.(b) Pruebe que ( )() =

xR

({x})({x}), donde es la diagonal de R2.

8. Sea f : R [0,+[ una funcion boreliana(a) Pruebe que el conunto Af = {(x, y) R2 : 0 y f(x)} es un boreliano de R2 y calcule

2(Af ).

(b) Pruebe que el grafico de fG(f) = {(x, f(x)) R2 : x R}

es un boreliano de R2 y calcule 2(G(f)).(c) Deducir que ({x R : f(x) = y}) = 0, c.t.p. de Y.

9. Sea (R,A, ) un espacio de probabilidad y sean f y g dos funciones de L1[0,+[(R, ) que satisfacenfg L1[0,+[(X,) y monotonas en la misma direccion (ambas crecientes o ambas decrecientes).Pruebe que

Rfgd

(Rfd

)(Rgd

)10. Sean a, b R, con a < b y sea f L1R([a, b] [a, b], ).

(a) Pruebe que I =

[a,b]

([a,x]

f(x, y)d(y)

)d(x) =

[a,b]

([y,b]

f(x, y)d(x)

)d(y)

(b) Si f(x, y) = f(y, x) c.t.p. de X = [a, b] [a, b], pruebe que I = 12

[a,b][a,b]

f(x, y)d( ).

11. Calcule de dos modos distintos la integral

[0,[[0,[

dxdy

(1 + y)(1 + x2y)y luego deducir el valor de

0

ln x

x2 1dx.

12. Usando el ejercicio anterior y desarrollo en series, deducir la igualdad

n=0

1

(2n+ 1)2=pi2

8

13. Considerando la funcion f(x, y) =1

1 + y cos x, calcular

pi0

ln (1 + cos x)

cos xdx

14. Sean f y g las funciones definidas sobre [0,+] por f(t) = 0

sen x

xetxdx y g(t) =

0

( sen xx

)2etxdx

(a) Pruebe que f es continua sobre ]0,+[ y g es continua sobre [0,+[.

(b) Calcule f(t) para t > 0, a partir de la igualdadsen x

x=

10

cos (xy)dy.

(c) Calcule g(t) para t > 0, a partir de la igualdad( sen x

x

)2=

10

sen (2xy)

xdy

(d) Deducir el valor de g(0).

15. Para f L1R(R, ), la transformada de Fourier de f es la funcion f definida sobre R por f(t) =Rf(x)eitxdx.

(a) Para a > 0, calcular la tranformada de Fourier de la funcion f(x) = ea|x|

(b) Sea a > 0 y fa la funcion definida sobre R por fa(t) =R

eitx

1 + x2ea|x|dx. Pruebe que

fa(t) =

R

a

a2 + (y + t)2ea|y|dy.

(c) Determine la transformada de Fourier de la funcion f(x) =1

1 + x2.

16. Dada la funcion f(x) = 1/ 3x, pruebe que f Lp(0, 8) cuando 1 p < 3 pero f 6 Lp(0, 8) si p 3.

17. Para que valores de p la funcion f(x) = 1/x pertenece a Lp(0, 1)?

18. Sea =]0,+[ y considere f : R definida por f(x) = exx

, f L1()? Justifique surespuesta.

19. Para , > 0, considere la funcion f : RN R definida por

f(x) = {1 + |x|}1 {1 + |ln |x||}1 x RNBajo que condiciones f pertenece a Lp(RN )?

20. Sea = [0,[ y denotemos por 1A a la funcion caracterstica del conjunto A, para cada n N,considere la funcion fn : R definida por fn(x) = 2x

k21[0,n](x)

(a) Pruebe que limn fn(x) = 0, x .

(b) Pruebe que fn L1() y determine fn1(c) Determine el lmite de la sucesion (fn1) R.(d) De los tems anteriores que podemos decir acerca de intercambiar el lmite puntual con la

integral?

21. Sea = [0, 1] y para cada n N considere la sucesion fn : R definida por fn = 2n1[1,2k].(a) Pruebe que lim

n fn(x) = 0,x (b) Pruebe que fn L1() y determine fn1.(c) Determine el lmite de la sucesion (fn1) R.

22. Sea = [0,+[ y considere las funciones fn(x) = 1n

1[n,2n](x)(n N), f(x) = 0,x .

(a) Pruebe que (fn) L1() y f L1()(b) Pruebe que (fn) converge uniformemente a f en

(c) limn fn f1 = 0? Justifique su respuesta.

23. Sea = [0, 1]. Si fn = n1[1/n,2/n],n N y f 0, pruebe que (fn) L1(), f L1(),fn(x) f(x) c.t.p. de pero fn 6 f en L1().

24. Sea (fn) sucesion de funciones de Lp() que converge en casi todo punto a una funcion f Lp().

Converge (fn) a f en la norma de Lp()? Justifique su respuesta.

25. Sea (fn) sucesion de funciones de Lp(), (1 p < ) tal que fnp < n,n N y suponga que

n,1

n es una serie convergente. Pruebe que la serien,1

fn define una funcion f de Lp() y que

fp n=1

fnp.

26. Sea = [0, 1] y considere la funcion f(x) =1x, x . Pruebe que f L1() pero f 6 L2()

O sea, la inclusion contraria a la establecida en la pregunta anterior, no se cumple.

27. Sean f1 Lp1(), f2 Lp2(), , fk Lpk(), en donde 1 pk son tales queki=1

1

pi 1.

Sea f : R definida por f(x) =ki=1

fi(x). Si denotamos1

p=

ki=1

1

pi, pruebe que f Lp() y

fp ki=1

fipi

28. Si f Lp() Lq(), con 1 p < q , entonces pruebe que f Lr(),r [p, q]. Masprecisamente, si

1

r=

p+

1 q

, donde [0, 1] entonces pruebe que fr fp f1q .

29. Sea 1 p