MEDIDA DE LA INDUCTANCIA MUTUA EN UN CIRCUITO ACOPLADO

I. OBJETIVOS:

Analizar y evaluar el acoplamiento magnético que existe en un circuito acoplado

Determinar el coeficiente de acoplamiento magnético “k” y la inductancia mutua “M” en dicho circuito.

II. FUNDAMENTO TEORICO:

INDUCTANCIA MUTUA

Los circuitos magnéticamente acoplados poseen inductores para poder transmitir la energía de un lugar a otro del circuito. gracias a un fenómeno conocido como inductancia mutua.

La inductancia mutua consiste en la presencia de un flujo magnético común que une a dos embobinados. En uno de los cuales una excitación causa el cambio de corriente y por tanto, un cambio de flujo magnético. Como este flujo es común para los dos, entonces debe existir un voltaje en el segundo por la ley de Faraday.

El voltaje producido en el segundo inductor es proporcional a la razón de cambio de la corriente del primer inductor y al valor del segundo inductor.

La relación entre la corriente del primer inductor y el voltaje del segundo inductor es:

v2 ( t )=M 2.1

d i1( t)dt

El valor de la inductancia mutua se mide en henrys y es siempre positivo, sin embargo, el valor del voltaje producido en una inductancia debido al flujo magnético de otra inductancia puede ser positivo o negativo.

Como existen cuatro terminales involucradas en la inductancia mutua, no se puede utilizar la convención de signos que hemos utilizado en otros capítulos, sino que ahora se tiene que utilizar la convención del punto.

CONVENCIÓN DEL PUNTO

La corriente que entra a un punto (cualquier punto) “intenta” salir del otro punto. “Entra” quiere decir desde el punto hacia el inductor, e inversamente “salir” quiere decir desde el inductor hacia el punto.

La corriente que entra a un terminal punteado del inductor induce un voltaje positivo en el otro punto. Inversamente, la corriente que sale de un terminal punteado induce un voltaje negativo en el otro punto.

El voltaje inducido del cual hemos estado hablando, es un término independiente del voltaje que existe en el inductor. Por lo consiguiente, el voltaje que existe en el inductor, va a formarse por la suma del voltaje individual y el voltaje mutuo.

V 1=L1d i1dt

+Md i2dt

V 2=L2d i2dt

+Mdi1dt

De este modo también se definen los voltajes en la frecuencia “s”.V 1=−s L1 I 1+sM I 2

Así como los voltajes en estado estable sinusoidal “s=jw”.V 1=− j ω L1 I 1+ j ωM I 2

La convención del punto, nos evita tener que dibujar el sentido en el que está enrollado el inductor, de tal manera que los puntos colocados en el mismo lugar en los dos inductores indican que los flujos producidos por estos son aditivos (se suman), y los puntos colocados en distinto lugar en los inductores indican que los flujos se restan.

Considerando que la energía no puede ser negativa M tiene un valor máximo:M=√L1L2

TRANSORMADOR LINEAL

Existen dos elementos prácticos que utilizan la inductancia muta: El transformador lineal y el ideal. El primero de ellos es sumamente utilizado en los sistemas de comunicaciones.

Primero asumimos que el transformador es lineal, es decir no posee ningún material magnético que elimine su linealidad. En muchas aplicaciones se conecta el primario en un circuito en resonancia mientras que el secundario muchas veces también está resonancia. Esto tiene como ventaja que se puede realizar circuitos con respuestas de picos anchos y caídas bruscas lo cual se utilizan en sistemas de filtrado.

Podemos observar en el siguiente circuito que una impedancia en el secundario se refleja en el primario según la relación:

Z¿=R1+s L1+ω2M 2 R22R222 +X22

2 − jω2M 2R22R222 +X22

2

Para el caso en el que el circuito conectado al primario y el secundario son circuitos en resonancia idénticos, es decir con los mismos valores de inductancia, capacitancia y resistencia entonces se observa que existe una frecuencia de resonancia en el circuito el cual es ω0. Sin embargo, si el acoplamiento es alto a una frecuencia superior existe también resonancia lo mismo que a una frecuencia inferior. Esto es lo que causa que el ancho de banda de paso sea un poco mayor que en el circuito RLC. Este es el equivalente de un transformador lineal en el cual se muestra que el valor de cada inductor es L-M y el que une es de M. en el caso de alguna de las corrientes entre por una terminal en la que no haya un punto entonces se sustituye el valor por menos M.

EL TRANSFORMADOR IDEAL

El transformador ideal es una útil aproximación de un transformador altamente acoplado, cuyo coeficiente de acoplamiento se acerca a la unidad y las reactancias inductivas primarias y secundarias son muy grandes en comparación con las impedancias terminales.

Una aproximación al transformador ideal son los transformadores con núcleos de fierro.

Existe un concepto nuevo dentro del tema que hablamos, la razón del número de vueltas “a”. La inductancia individual de cualquiera de los inductores es proporcional al número del alambre.

La relación anterior es válida solamente si el flujo establecido por la corriente en el alambre une a todas las espiras individuales.

De lo anterior podemos ver que la proporcionalidad entre la inductancia y el cuadrado del número de vueltas es la siguiente:

L2L1

=N22

N12=a

2

Características del transformador ideal:

- El uso de líneas verticales entre los inductores para indicar el uso de placas de fierro.- El valor unitario del coeficiente de acoplamiento.- La presencia del símbolo 1:a que representa la razón del número de vueltas N1 a N2.- La habilidad que tiene para cambiar la magnitud de una impedancia. Si en el primario

se tiene 100 vueltas y en el secundario se tienen 10000 vueltas entonces la impedancia decrece en un factor de 100.

Se tiene la siguiente relación:

a=V 2V 1

=N2N1

Con lo cual se pueden simplificar los cálculos para conocer el voltaje en el secundario a partir del número de vueltas en el transformador.

Para corrientes observas que la relación es:I 1I 2

=a

En caso de las impedancias:

Z¿=zla2

Entonces se tiene que:

III. ELEMENTOS A UTILIZARSE 1 Auto transformador de 250 V – 6 Amp 1 Amperímetro de 0.06/0.3/1.5 amp. (A) 1 Vatímetro 5 amp. -220V.

3 Mutimetros 1 Transformador 1Ф de potencia 220/110V Juego de conductores

IV. CIRCUITOS A UTILIZARSE

V. PROCEDIMIENTOa) Ubicar el cursor del autotransformador en cero antes de efectuar cualquier e

medida.

b) Armar el circuito N° 1, ubicar el cursor del autotransformador en 22Ov. Tomar un juego de 10 valores de V, W, A, V1 y V2 disminuyendo; V hasta 12Ov de 10 en 10.

V W A V1 V2

220 20 0.111 221.3 130.4210 19 0.093 210.4 124

200.5 17 0.082 200.7 118.4190.3 15 0.075 190.9 112.7180.2 14 0.06 180.1 106.4170.3 13 0.061 170.4 100.5160.1 12 0.055 160.2 94.5150 11 0.054 150.5 88.7

140.4 10.5 0.05 140.5 82.8130.3 10 0.046 130.6 77.1120 8 0.042 119.9 70.9

c) Repetir el párrafo anterior considerando como bornes de entrada “c-d" y de salida “a-b”; variando V de 10 a 110 voltios en pasos de 10 a 10V. Tanto en b) como en c) ubicar el lado de alta tensión (220 V — bornes a-b) el de baja tensión (11OV- bornes c-d)

V W A V1 V2

10.2 2 0.023 10.58 17.8420.3 4 0.033 20.11 33.9630.1 5 0.042 30.16 50.9640.2 6 0.049 40.22 6850.2 8 0.057 50.5 84.960.3 9 0.064 60.15 101.770.1 10 0.073 70.4 118.980 11 0.082 80.4 135.8

90.1 12 0.095 90 152100.2 14 0.109 100.4 169.2

110.1 15 0.128 110.5 186.7

d) Armar el circuito N°2, variando el cursor del autotransformador (V) de 10 V a 12OV. Tomar un juego de 5 valores de A, A1 y V2 de 20 en 20 voltios.

V W A V1 V2

10.1 2 0.003 6.53 3.8530.1 4 0.007 19.1 11.2850.2 6 0.011 31.62 18.6470.1 9 0.013 44.2 26.190.1 10 0.015 56.73 33.47

e) Armando el circuito N° 3 repetir el procedimiento que se indica en el paso anterior d).

V W A V1 V2

10 4 0.04 25 14.7630.2 5 0.073 73.7 43.4350.4 9 0.105 122.1 72.170.1 12 0.152 171.1 100.790.1 19 0.265 220.2 129.6

110.3 24 0.55 268.5 158.2

VI. CUESTIONARIO1. Determinar los valores de L1, M21 y R1 con los datos obtenidos en el paso b).

Presentarlo en forma tabulada y graficar M21 en función de V2.

Para el circuito N° 1 se tiene el siguiente circuito equivalente:

Como I2=0, entonces:

R1=W 1

I 12

XL1=√(V 1I 1 )2

−(W 1

I 12 )2

L1=1ω √(V 1

I1 )2

−(W 1

I 12 )2

Siendo:ω=2πf (f=60Hz)

ω=377 rads

También

XM 21=V 2

I1

M 21=1ω

V 2I 1

Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos la siguiente tabla:

V1 (Volt) V2 (Volt) I1 (Amp) W1 (Watt) R1 (Ω) L1 (H) M21 (H)221.3 130.4 0.2505 13.0601 208.0675 2.2771 1.3806210.4 124 0.2126 11.8220 261.4865 2.5315 1.5469200.7 118.4 0.1824 10.7748 323.7019 2.7888 1.7214190.9 112.7 0.1553 9.7690 404.8025 3.0777 1.9244

180.1 106.4 0.1294 8.7212 520.5416 3.4228 2.1805170.4 100.5 0.1097 7.8345 651.0053 3.7409 2.4301160.2 94.5 0.0926 6.9574 812.1662 4.0544 2.7083150.5 88.7 0.0797 6.1760 972.7662 4.2946 2.9529140.5 82.8 0.0699 5.4242 1109.9044 4.4444 3.1418130.6 77.1 0.0637 4.7337 1165.3376 4.4709 3.2088119.9 70.9 0.0610 4.0476 1088.4846 4.3434 3.0841

60 70 80 90 100 110 120 130 1400.0000

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

2.5000

3.0000

3.5000

M21 vs V2

2. Encontrar los valores de L2, M12 y R2 con los datos obtenidos en el paso c). Presentarlos en forma tabulada y graficar M12 en función de V1

Graficamos el equivalente del circuito N°1’:

Se tiene que I 1=0, por lo tanto:

R2=W 2

I 22

XL2=√(V 2I 2 )2−(W 2

I 22 )2

L2=1ω √(V 2I2 )

2

−(W 2

I 22 )2

Siendo:ω=2πf (f=60Hz)

ω=377 rads

También

XM 12=V 1

I2

M 12=1ω

V 1I 2

Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos la siguiente tabla:

V2 (Volt) V1 (Volt) I2 (Amp) W2 (Watt) R2 (Ω) L2 (H) M12 (H)10.58 17.84 0.0371 0.0475 34.4960 0.8615 1.528820.11 33.96 0.0555 0.1373 44.5979 0.9922 2.294030.16 50.96 0.0848 0.3971 55.1689 0.4012 2.678440.22 68 0.1298 0.8267 49.0459 0.7889 2.780150.5 84.9 0.1980 1.4410 36.7623 0.8399 2.6852

60.15 101.7 0.3012 2.1789 24.0229 0.7280 2.5279

70.4 118.9 0.4627 3.1337 14.6358 0.3597 2.288080.4 135.8 0.7056 4.2349 8.5052 0.4109 2.035890 152 1.0574 5.4499 4.8740 0.5745 1.7930

100.4 169.2 1.6247 6.9405 2.6294 0.6242 1.5394110.5 186.7 2.5150 8.5618 1.3536 0.6038 1.3200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.0000

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

2.5000

3.0000M12 vs V1

3. Hallar los valores promedio de L1, L2, R1, R2, M12 y N21 de los cálculos efectuados en los pasos anteriores 1 y 2. Comentar sobre éstos.

R1 (Ω) R2 (Ω) L1 (H) L2 (H) M21 (H) M12 (H)208.0675 106.5854 2.2771 0.8615 1.3806 1.5288261.4865 349.7924 2.5315 0.9922 1.5469 2.2940323.7019 578.1298 2.7888 0.4012 1.7214 2.6784404.8025 687.5533 3.0777 0.7889 1.9244 2.7801520.5416 680.3214 3.4228 0.8399 2.1805 2.6852651.0053 626.9025 3.7409 0.7280 2.4301 2.5279812.1662 528.4144 4.0544 0.3597 2.7083 2.2880972.7662 427.1673 4.2946 0.4109 2.9529 2.0358

1109.9044 336.5621 4.4444 0.5745 3.1418 1.79301165.3376 251.4167 4.4709 0.6242 3.2088 1.53941088.4846 186.8983 4.3434 0.6038 3.0841 1.3200

PROMEDIO 683.4786 432.7040 3.5860 0.6532 2.3891 2.1337

Observamos que M21 no se mantiene constante ya que ∅ 21 e I 1 no sigue una relación

lineal (M 21=∂∅21∂ I 1 ), esto es debido a que el flujo se transmite a través del núcleo del

transformador, el cual es un material no lineal (material ferromagnético). De igual modo con M12.

4. Los valores de M12 y M21 son diferentes ¿Porque? Explique.

Se demuestra teórica y experimentalmente que estos coeficientes son iguales (M 12=M 21) para núcleos lineales como el aire.

No se cumple M 12=M 21 debido a las siguientes razones:

- La relación no lineal de M 21=∂∅ 21

∂ I1 y M 12=

∂∅ 12

∂ I2- La medida de los parámetros como corriente y voltaje no se mantienen constante

por el suministro.

5. Considerando Z1 y ZZ conocidos (calculado en 3.-) y con los datos obtenidos en el procedimiento pasos d) y e); determinar los valores de M12 y M21 tabular.

Graficamos el equivalente del circuito N°2:

Se tiene que I 1=I 2Z1=R1+ j XL1Z2=R2+ j XL2

Por lo tanto:

V 1I1

=√(R1)2+( XL1−XM 12)

2

M 12=1ω (XL1−√(V 1I 1 )

2

−(R1 )2)De forma similar para M21:

V 2I 2

=√(R2 )2+( XL2−XM 21)2

M 21=1ω (XL2−√(V 2I 2 )

2

− (R2 )2)Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos las siguientes tablas:

Para circuito 2

V1 (Volt) I1 (Amp) R1 (Ω) XL1 (Ω) M21 (H)6.53 0.003 683.4786 1351.89015 1.895819.1 0.007 683.4786 1351.89015 3.4210

31.62 0.011 683.4786 1351.89015 3.820344.2 0.013 683.4786 1351.89015 5.2487

56.73 0.015 683.4786 1351.89015 6.2809

V2 (Volt) I2 (Amp) R2 (Ω) XL2 (Ω) M12 (H)3.85 0.003 432.704 246.250599 2.5516

11.28 0.007 432.704 246.250599 3.464318.64 0.011 432.704 246.250599 3.692726.1 0.013 432.704 246.250599 4.5472

33.47 0.015 432.704 246.250599 5.1532

Graficamos el equivalente del circuito N°3:

Se tiene que I 1=I 2Z1=R1+ j XL1Z2=R2+ j XL2

Por lo tanto:

V 1I1

=√(R1)2+( XL1−XM 12)

2

M 12=1ω (XL1−√(V 1I 1 )

2

−(R1 )2)De forma similar para M21:

V 2I 2

=√(R2 )2+( XL2−XM 21)2

M 21=1ω (XL2−√(V 2I 2 )

2

− (R2 )2)Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos las siguientes tablas:

Para circuito 3

V1 (Volt) I1 (Amp) R1 (Ω) XL1 (Ω) M21 (H)25 0.04 683.4786 1351.89015 2.8522

73.7 0.073 683.4786 1351.89015 1.6150122.1 0.105 683.4786 1351.89015 1.0905171.1 0.152 683.4786 1351.89015 1.2135

220.2 0.265 683.4786 1351.89015 2.3325268.5 0.55 683.4786 1351.89015 2.3171

V2 (Volt) I2 (Amp) R2 (Ω) XL2 (Ω) M12 (H)14.76 0.04 432.704 246.250599 0.053743.43 0.073 432.704 246.250599 0.429972.1 0.105 432.704 246.250599 0.7611

100.7 0.152 432.704 246.250599 0.6775129.6 0.265 432.704 246.250599 0.0486158.2 0.55 432.704 246.250599 0.2043

6. Hallar el valor promedio de M12 y M21 de los cálculos efectuados en 5.- Comentar. De la pregunta 5, sacando el promedio por método de partes, tenemos:

M21 (H) M12 (H) M21 (H) M12 (H)1.8958 2.5516 2.8522 0.05373.4210 3.4643 1.6150 0.42993.8203 3.6927 1.0905 0.76115.2487 4.5472 1.2135 0.67756.2809 5.1532 2.3325 0.0486

2.3171 0.2043PROMEDIO 4.13334 3.8818 1.9035 0.3625

SUSTRACTIVA:

M 21ps=∑i=1

n

M 21i

n=4.13334

M 12ps=∑i=1

n

M 12i

n=3.8818

ADITIVA:

M 21pa=∑i=1

n

M 21 j

n=1.9035

M 12pa=∑i=1

n

M 12 j

n=0.3625

De los datos calculados: M 21pa , M 21ps ,M 12pa , M 12ps hallamos:

M p21=M 21 pa+M 21 ps

2=4.13334+1.9035

2=3.0184

M p12=M 12 pa+M 12 ps

2=3.8818+0.3625

2=2.1222

De los Map y Msp le sacamos promedio y tenemos un M promedio general de los casos sustractivos y aditivos.

M p=M p21+M p21

2=3.0184+2.1222

2=2.0703

7. Comparar los valores de M calculados en los pasos 3.- y 6.-. Explique las razones que ocasionan la diferencia entre dichos valores.

Los valores de los M para cada dirección y la mutua difieren debido a los flujos de dispersión que hay en los diferentes sentidos de 1-2 y de 2-1, ya que nuestra experiencia es real por lo cual los M se acercan relativamente.

8. Calcular el coeficiente de acoplamiento magnético “K” del circuito.

Sabemos:

M=K √L1L2K=

M p

√L1L2Además de las tablas anteriores:

L1 p=∑i=0

n

Li

n=3.5860

L2 p=∑i=0

n

Li

n=0.6532

Reemplazando:

K=M p

√L1 pL2 p= 2.0703

√3.5860∗0.6532K=1.3527

VII. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Al calcular R1 y R2, no estamos midiendo resistencia de las bobinas, sino la resistencia de pérdidas del núcleo del transformador. La prueba de esto, es que los valores de R1 y R2 varían; si se tratara de las resistencias de las bobinas, estos valores se mantendrían constantes.

Al calcular L1 y L2, no estamos midiendo inductancia de las bobinas, sino la inductancia de magnetización de pérdidas del núcleo del transformador. La prueba de esto, es que los valores de L1 y L2 varían; si se tratara de la inductancia de las bobinas, estos valores se mantendrían constantes.

La inductancia mutua en los circuitos permite que se genere un voltaje en el secundario del transformador; si no hubiera esta inductancia mutua, simplemente no se induciría ningún voltaje en el secundario y V2 no marcaría nada.

La inductancia mutua depende de la forma de conexión del circuito (en este caso transformador); también depende de la corriente y del flujo inducido, los cuales en el transformador de núcleo ferromagnético son distintos para cada medición.

El valor de “k” es una característica de este transformador, es decir, no cambia cuando varían el voltaje de entrada y las corrientes.

Buscar mayor precisión posible al regular el auto-transformador. Revisar la continuidad en cada cable conductor para conductor para evitar que hallan

aberturas en el circuito y los instrumentos no registren valor alguno,