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UNIDAD 4

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

M.Sc. JIMMY DELGADO VILLCA

1. PARAMETRO Y ESTADIGRAFO

Se entiende por parámetro a una característica oatributo de la población, en otras palabras se lapuede entender como una medida estadísticacalculada o determinada a partir de la población total,como por ejemplo, la media aritmética, desviacióntípica, etc.

Por su parte un estadígrafo, es una medidaresumen que describe una característica de lamuestra; es decir, que a las cifras descriptivas que seobtienen como función de una muestra reciben elnombre de estadígrafos, tales como la media,desviación típica, etc.

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Símbolos para estadígrafos y parámetros

Medida Símbolo para el estadístico

(Muestra)

Símbolo para el parámetro

(Población)

Media Aritmética X µ (se lee “miu ó mu”)

Desviación estándar s δ (se lee “sigma”)

Número de elementos o

casos

n N

Proporción p P (∏)

POBLACIÓNConjunto de

Elementos que presentanuna característica común

y que es objeto de estudio

POBLACIÓN

MUESTRA

Parte de los elementos o subconjuntos de una

Población que se seleccionaPara el estudio de esa

característica

ExtracciónMuestra

Generalización de Hallazgos

ESTADÍGRAFO

PARÁMETRO

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2. CLASES DE MEDIDAS ESTADISTICAS

De posición: son aquellos que describen la posición queocupa la distribución respecto a un valor de la variable, sedistinguen dos tipos: los estadígrafos de tendencia central ylos de localización.Los primeros brindan información sobre el centro de ladistribución, los más importantes y más usados son: la mediaaritmética, la media geométrica, la media armónica, la mediacuadrática y la mediana. Pero muchos libros de estadísticatambién se nombran a la moda como medida central.Los del segundo tipo, señalan la localización de los valoresmás frecuentes o de valores extremos, los más usados son lamoda y los cuantiles.

a) Medidas de Posición

Indican cuan dispersos están los datos; mientras mayor seasu valor, más dispersos se encuentra las observaciones(datos). Las más utilizadas son aquellas que indican laconcentración de los valores del conjunto de datos alrededorde su valor medio o promedio. El más importante de ellos esla varianza y otros asociados a ésta como la desviación típicay el coeficiente de variación.

b) Medidas de Dispersión

c) Medidas de forma

Indican la forma de la curva (o polígono) de distribución defrecuencias y en especial su simetría o asimetría y forma máso menos aplastada o en punta.

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3. PARÁMETROS CENTRALESTambién llamados Medidas de tendencia central,estos valores como se menciono anteriormente, tiendena ocupar posiciones centrales o intermedias entre elmenor y mayor valor del conjunto de datos a partir de lacual se calculan éstos. Los más usados son: la mediaaritmética, mediana y moda.

Media – Mediana – Moda

4. MEDIA ARITMÉTICAa) DefiniciónSe la puede definir como el promedio aritmético, es la medidade tendencia central más conocida, familiar y de mayor uso,también es fácil de calcular ya sea de datos no tabuladoscomo de datos tabulados. Se simboliza como: X, y es la sumade todos los valores dividida por el número de casos.

b) Utilización

La media aritmética es una medida solamente aplicable amediciones por intervalos o de razón (Proporcional), carecede sentido por variables medidas en un nivel nominal uordinal.

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c) Obtención

Su fórmula es:

Para datos sin tabular:

Siendo X = Media Aritmética∑ X = Suma de las puntuaciones

N = Número de casos o población total de datos

NX

____

N

XN

i 1____

Ejemplo:

Descripción:El promedio o la Media Aritmética de las edades es de6 años.

Es decir, si los 5 niños tuvieran las misma edad, todoscoincidirían en la edad de 6 años.

Datos sobre edad: 2, 3, 6, 8, 11 años

años6530

5118632____

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Ejercicios:

Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6,2. Se pide calcular su media aritmética.

En una oficina 9 personas que trabajan en ellahicieron las siguientes contribuciones para ayudara un compañero que tubo un accidente: 5, 5, 5,10, 10, 10, 10, 15, 20 Bs. calcula la mediaaritmética

Ejercicios:

El profesor de la materia de estadística desea conocer elpromedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase.Las notas de los alumnos son: 3,2 - 3,1 - 2,4 - 4,0 - 3,5 -3,0 - 3,5 - 3,8 - 4,2 - 4,0. ¿Cuál es el promedio de notas delos alumnos de la clase?

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de1er año, a saber: 18, 23, 27, 34 y 25. Calcular la mediaaritmética.

Si las notas de un alumno en las distintas asignaturas de uncurso durante una evaluación fuuron:7; 5; 6.5; 3.7; 5; 6.2;hallar la nota media de evaluación.

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Su fórmula es:

Para datos tabulados sin agrupar en intervalos de clase:

Siendo: X = Media Aritmética∑ X = Suma de las puntuaciones

F = Frecuencia absolutaN = Número de casos o Población total de datos

NFX

____

Ejemplo:

Nº DE MATERIAS (X) F

0 62 164 145 117 48 1

TOTAL 52

TITULADOS SEGÚN MATERIAS REPROBADASFAC. HUMANIDADES – 2004

FUENTE: REGISTROS SIS, 2004

XXF

0x6 = 02x16 = 324x14 = 565x11 = 557x4 = 288x1 = 8

179

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8

52179____

4,3____

MATERIAS

Descripción:

El promedio o la Media Aritmética de materiasreprobadas por los titulados de la Facultad deHumanidades, en la gestión 2004, fue de 3,4 materias.

ESTUDIANTES SEGÚN PESO

PESO (Kg) F

61 5

64 18

67 42

71 27

73 8

TOTAL

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Su fórmula es:

Para datos agrupados en intervalos de clase:

Siendo: X = Media Aritmética∑ X = Suma de las puntuaciones

F = Frecuencia absolutaMC = Marca de ClaseN = Número de casos o Población total de datos

NFM C

____

CCOCIENTE INTELECTUAL

(x)

F

82 – 92 7

93 – 103 17

104 – 114 24

115 – 125 12

126 – 136 7

137 – 147 5

TOTAL 72

Ejemplo:

ESTUDIANTES DE 4TO DE SECUNDARIASEGÚN COCIENTE INTELECTUAL-2007

FUENTE: Resultados prueba de inteligencia

MC

87

98

109

120

131

142

------

MCXF

87 x 7 = 609

98 x 17 = 1666

109 x 24 = 2616

120 x 12 = 1440

131 x 7 = 917

142 x 5 = 710

∑MCXF = 7958

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10

727958____

53,110____

C.I.

Descripción:

El coeficiente intelectual promedio de los estudiantes de4to de secundaria es de 110,53 puntos.

Estatura (Plg) F Mc McxF

60 – 62 663 – 65 1966 – 68 4369 – 71 2872 – 74 9TOTAL

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Peso (X) F Mc McxF

40 – 44 845 – 49 1150 – 54 1955 – 59 1260 – 64 565 – 69 7TOTAL

Media Aritmética Global y Ponderada

i

iiG NNNN

NXNXNXNX

....

)(....)()()(

321

332211____

Se entiende por Media Aritmética Global como el promediode varios promedios o de diferentes grupos, donde semultiplica cada uno de los promedios por sus respectivaspoblaciones, cuyas cantidades se suman, y este resultadose divide entre la suma de todas las poblaciones.

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i

iiP PPPP

PXPXPXPX

....

)(....)()()(

321

332211____

Se denomina Media ponderada de un conjunto de númerosal resultado de multiplicar cada uno de los números por unvalor particular para cada uno de ellos, llamado su peso yobteniendo a continuación la media aritmética del conjuntoformado por los productos anteriores.

Se utiliza la media ponderada cuando no todos loselementos componentes de los que se pretende obtener lamedia tienen la misma importancia.

Ejemplo:Un profesor rindió una prueba de suficiencia para optar aun cargo jerárquico. Logró las siguientes calificacionesfinales. Calcular el promedio general de las puntuacionesalcanzadas .

Materias Créditos PuntuaciónA 4 60B 6 55C 3 70D 5 40E 4 80

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Solución:

i

iiP PPPP

PXPXPXPX

....

)(....)()()(

321

332211____

45364)80(4)40(5)70(3)55(6)60(4____

P

Ejercicios:

Se tiene los promedios de notas de 4 Grupos en lamateria de Estadística, con ellos calcular la MediaAritmética global.

GRUPO MEDIA POBLACIÓNA 48,4 54B 55,6 67C 37,6 59D 33 71

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Solución:

71596754)71)(33()59)(6,37()67)(6,55()54)(4,48(____

P

i

iiG NNNN

NXNXNXNX

....

)(....)()()(

321

332211____

Es un concepto familiar a la mayoría de laspersonas e intuitivamente claro.

Es una medida que puede ser calculada y esúnica, ya que cada conjunto de datos tiene una ysólo una media.

En el cálculo de la media, es tomada en cuentacada observación del conjunto de datos.

La media es una medida digna de confianza, porque se determina con mayor certeza que otrascaracterísticas de un conjunto de datos.

d) Ventajas de la Media Aritmética

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La media puede verse afectado por valoresextremos que no son representativos del restode las observaciones: por ello, cuando se estáutilizando esta medida en un análisis, vale lapena advertir la representatividad de los valoresextremos y la influencia que estos tienen sobreel resultado. Ejemplo:

e) Desventajas de la Media Aritmética

Edades: 22, 19, 18, 23, 25, 45 valor extremo

No se puede calcular lamedia aritmética para unconjunto de datos que tieneintervalos de claseabiertos en los extremos.

Ejemplo:

EDAD (X) MC F

35 - 40 37 4

41 - 45 43 12

46 - 50 47 14

51 - 55 53 6

56 Y MÁS ? 4

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No se puede calcularla media aritméticapara variablesCualitativas.Ejemplo:

ESTADO CIVIL

F XxF

Casado 10 ?

Soltero 30 ?

Viudo 2 ?

Divorciado 4 ?

Concubino 15 ?

5. MEDIANAa) DefiniciónLa mediana es la medida de tendencia central que divide a ladistribución de datos en dos partes iguales, es decir que es lapuntuación por encima de la cual se encuentra el 50% de losdatos y debajo de la cual se encuentra el otro 50% de losdatos de la distribución. Su símbolo es Me.

b) Utilización

La mediana es una medida propia de los niveles de mediciónordinal, intervalar y proporcional. (Variables cualitativasordinales y cuantitativas)

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7º

VARIABLE ORDINAL: ESTATURA

1º

2º

3º4º

5º6º

c) Obtención

Ejemplo 1: datos de 9 alumnos sobre peso (N = 9 impar)15 20 18 16 18 25 21 23 26

Para datos sin tabular:

Ordenar de menor a mayor:

15 16 18 18 20 21 23 25 26

Me = 20 Kg.

Descripción:El 50% de los niños tiene un peso igual o menor a 20 Kg. yel otro 50%, un peso igual o mayor a 20 Kg.

4 datos4 datos

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Ejemplo 2 : 15 26 18 16 18 25 21 23 26 25 ( N = 10 par)

Ordenar de menor a mayor:

15 16 18 18 21 23 25 25 26 26

Me = 21+23/2 = 22 Kg.

Descripción:

El 50% de los niños tiene un peso igual o menor a 22 Kg.

4 datos4 datos

Ejemplo:

Nº DE MATERIAS (X) F Fa

0 6 62 16 224 14 365 11 477 4 518 1 52

TOTAL 52 ---

TITULADOS SEGÚN MATERIAS REPROBADASFAC. HUMANIDADES – 2004

FUENTE: REGISTROS SIS, 2004

Para datos tabulados sin agrupar:

LUGAR = N/ 2

52/2 = 26> Y + próximo

Me = 4 Materias

Descripción:El 50% de los tituladosreprobó una cantidad dematerias igual o menor a 4.

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Su fórmula es:

Para datos agrupados en intervalos de clase:

Siendo: Me = MedianaLRI = Límite real inferior = Límite inf. - 0,5

i = Recorrido de intervalo (Límite superior – Límite inferior) + 1

Fel = Frecuencia abs. del intervalo elegidoN = Población total

Faa = Frecuencia acumulada anterior

..

2afaN

fiLMeel

RI

NOTAS (X) F Fa35 – 39 30 3040 – 44 45 7545 – 49 50 12550 – 54 25 15055 – 59 20 17060 – 64 6 176TOTAL 176 ---

ESTUDIANTES SEGÚN NOTAS2º CICLO U.E. CEIVO - 2002

FUENTE: Registro pedagógico, noviembre de 2002

Lugar N/2 = 176/2 = 88 LRI = 45 – 0,5 = 44,5

i = (49 – 45) + 1 = 5fel = 50fan = 75

puntosMeMe

Me

Me

8,453,15,44

)13(5055,44

75885055,44

Descripción:El 50% de los estudiantes del 2doCiclo de la U.E. CEIVO, tienen unanota igual o menor a 45,8 puntos.

Ejemplo:

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Peso (X) F Fa

40 – 44 845 – 49 1150 – 54 1955 – 59 1260 – 64 565 – 69 7TOTAL

Grupos de edades F

Menores de 1 año 141 – 4 29

5 – 14 4315 – 44 6845 – 64 12

65 años adelante 3TOTAL

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La mediana es fácil de entender y puede sercalculado a partir de cualquier clase de datos,aún para datos agrupados en intervalos declases abiertas en los extremos, salvo que lamediana caiga en una clase abierta.

La mediana está afectada por el número deobservaciones (N) y no por la magnitud decualquier valor extremo.

Se puede encontrar la mediana inclusive dedatos cualitativos ordinal.

d) Ventajas de la Mediana

Se debe organizar los datos antes derealizar cualquier tipo de cálculo paradeterminar la mediana, esto consumetiempo para cualquier conjunto de datoscon muchos elementos.Ciertos procedimientos estadísticos queusan la mediana son mucho máscomplejos que aquellos que usan lamedia.La mediana no es adecuado amanipulaciones algebraicas posteriores.

e) Desventajas de la Mediana

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6. MODAa) Definición

Se denomina modulo o moda y se define como aquel valor dela variable el cual se repite más veces o presenta la frecuenciamás alta. Tiene como símbolo Mo.Una distribución de datos puede ser unimodal cuando presentasolo una moda o bimodal cuando presenta 2 valores de moda, omultimodal cuando presenta 3 o más modas.

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b) UtilizaciónEs la medida de tendencia central menos utilizada ya quesu valor no es muy preciso y por eso se la considera unamedida de primera aproximación, se puede calcular a partirde niveles de medición nominal, ordinal, intervalar yproporcional. (Variables cualitativas y cuantitativas)

c) ObtenciónPara datos sin tabular:

Ejemplo: Datos sobre edad: 10 15 21 15 18 30 27 14 15 22 25

Mo = 15 años (se repite más veces que los otros valores)

Descripción:

La mayor parte de los sujetos tiene una edad de 15 años.

Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con lamisma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, ladistribución es bimodal o multimodal, es decir, tienevarias modas.1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9

Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen lamisma frecuencia, no hay moda.2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Ejemplos:

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Ejemplo:

Nº DE MATERIASREPROBADAS (X)

F

0 62 164 145 117 48 1

TOTAL 52

TITULADOS SEGÚN MATERIAS REPROBADASFAC. HUMANIDADES – 2004

FUENTE: REGISTROS SIS, 2004

Para datos tabulados sin agrupar:

Mo = 2 Materias

Descripción:La mayor parte de los tituladosreprobó 2 materias.

Buscar valor con mayor frecuencia

Su fórmula es:

Para datos agrupados en intervalos de clase:

Siendo: LRI = Límite Real Inferiori = Recorrido de intervaloΔ1 = Delta uno (Resta de la mayor frecuencia

y la frecuencia anterior a esta)Δ2 = Delta dos (Resta de la mayor frecuencia

y la frecuencia posterior a esta)

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1iLMo RI

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NOTAS (X) F35 – 39 3040 – 44 4545 – 49 5050 – 54 2555 – 59 2060 – 64 6TOTAL 176

ESTUDIANTES SEGÚN NOTAS2º CICLO U.E. CEIVO - 2002

FUENTE: Registro pedagógico, noviembre de 2002 Descripción:

La mayor parte de los estudiantessacó una nota de 45,3 puntos.

Ejemplo:Ubicar el intervalo con la mayor frecuencia

LRI = 45 – 0,5 = 44,5i = 5

Δ1 = 50 – 45 = 5Δ2 = 50 – 25 = 25

puntosMoMo

Mo

Mo

3,458,05,4430555,44

255555,44

La moda se puede usar como una localización tantopara datos cualitativos como cuantitativos.

La moda no está afectada por valoresextremos, aún si los valores altos son muy altos ylos valores pequeños muy pequeños, se escoge elvalor más frecuente del conjunto de datos como elvalor modal.

La moda se puede calcular aún cuando una o másde las clases sea abiertas en los extremos.

d) Ventajas de la Moda

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Muy a menudo no hay un valor modal, porque el conjunto de datos no contiene valoresque se repitan más de una vez. Otras vecescada valor es la moda, porque cada unoaparece el mismo número de veces.Claramente la moda no es una medida útil enestos casos.

Cuando el conjunto de observacionescontiene dos, tres o más modas, éstas sondifíciles de interpretar y comparar.

e) Desventajas de la Moda

7. RELACIÓN ENTRE Mo, MEDIA Y Me ENDISTRIBUCIONES SIMÉTRICAS Y ASIMÉTRICAS

1. En una distribución de frecuencias simétricacuya representación gráfica es acampanada yademás unimodal, coinciden exactamente enel mismo valor, la media, mediana y moda.

Media – Mdn – Mo

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2. Si la distribución tiene la forma acampanada, esunimodal, pero no tiene simetría, las tres medidastoman valores diferentes, y la mediana quedacomprendida generalmente entre la moda y lamedia aritmética.

Si la distribución es más alargada para valoresgrandes de la variable (asimetría a la derecha opositiva), entonces la situación general es:

Mo – Me – Media

X > Me > Mo

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Si la distribución es más alargada para valorespequeños de la variable (asimetría a la izquierda onegativa), entonces la situación general es:

Media – Me – Mo

X < Me < Mo

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3. Si la distribución es moderadamente asimétrica yunimodal, se cumple aproximadamente la relación:

De los dos anteriores casos se puede concluir que cuandola población tiene sesgo, la mediana es la mejor medidade la ubicación, puesto que siempre se encuentra entre laMo y X.

X – Mo = 3(X – Me)

Resumen de las Medidas de Tendencia Central

ESCALA TIPO DE VARIABLES MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

PROPORCIONAL Cuantitativa discreta y/o continua Mo – Me – X

INTERVALAR Cuantitativa discreta y/o continua Mo – Me – X

ORDINAL Cualitativa ordinal Mo – MeNOMINAL Cualitativa nominal Mo