Memoria Francisco Javier Ros Castellón

UNIVERSIDAD DE GRANADA DEPARTAMENTO DE ESTADSTICA E INVESTIGACIN OPERATIVA

Modelo Logit para el Estudio del Fracaso

Escolar en ESO Mster en Estadstica Aplicada

Francisco Javier Ros Castelln

Granada, 2012

MODELO LOGIT PARA EL ESTUDIO DEL FRACASO ESCOLAR EN EDUCACIN SECUNDARIA

OBLIGATORIA

Trabajo Fin de Mster presentado por Francisco Javier Ros Castelln y

realizado en el Departamento de Estadstica e Investigacin Operativa para

optar al ttulo de Mster en Estadstica Aplicada.

Granada, septiembre de 2012

Francisco Javier Ros Castelln

Profesor tutor

Don Pedro Antonio Garca Lpez

TABLA DE CONTENIDOS

INTRODUCCIN

ALGO FALLA EN EL INSTITUTO .................................................................................................1

OBJETIVOS DE ESTE TRABAJO FIN DE MSTER ............................................................................2

ORGANIZACIN DE ESTA MEMORIA Y APORTACIONES...................................................................3

PROBLEMAS ABIERTOS ..........................................................................................................4

CAPTULO 1. FRACASO ESCOLAR EN EDUCACIN SECUNDARIA

EL FRACASO ESCOLAR, UN ASUNTO PREOCUPANTE......................................................................6

CUANTIFICACIN DEL FRACASO ESCOLAR ..................................................................................9

CAPTULO 2. DESCRIPCIN DE LA BATERA BADyG-M RENOVADO Y LAS PRUEBAS DE

EVALUACIN DE DIAGNSTICO (PED)

SOBRE BADYG-M RENOVADO ............................................................................................. 13

Descripcin de las pruebas ........................................................................................ 14

Normas de correccin ............................................................................................... 19

SOBRE LAS PRUEBAS DE EVALUACIN DE DIAGNSTICO (PED) .................................................... 22

Competencias evaluadas ........................................................................................... 22

Instrumentos utilizados ............................................................................................. 23

CAPTULO 3. FUNDAMENTOS TERICOS

MODELOS DE RESPUESTA DISCRETA ...................................................................................... 27

Introduccin a los Modelos de Respuesta Binaria ...................................................... 28

MODELOS LOGIT CON VARIABLES EXPLICATIVAS CUANTITATIVAS .................................................. 38

Modelo de regresin logstica simple ........................................................................ 39

Modelo de regresin logstica mltiple ...................................................................... 41

Modelos con interaccin ........................................................................................... 44

Ajuste de modelos logit ............................................................................................. 46

Inferencia en regresin logit ...................................................................................... 49

Validacin y diagnosis de modelos logit ..................................................................... 56

Seleccin de modelos logit ........................................................................................ 60

CAPTULO 4. APLICACIN AL ESTUDIO DE LA PREDICCIN DE FRACASO ESCOLAR EN

EDUCACIN SECUNDARIA OBLIGATORIA

ESTUDIO DE LA CAPACIDAD PREDICTIVA DEL BADYG-M SOBRE EL FRACASO ESCOLAR ....................... 63

Datos del estudio ...................................................................................................... 64

Seleccin de variables y ajuste del modelo logit ........................................................ 70

Parmetros del modelo ............................................................................................. 72

Bondad de ajuste ...................................................................................................... 73

Interpretacin del modelo ......................................................................................... 76

Validacin y diagnosis ............................................................................................... 77

Observaciones ........................................................................................................... 78

ESTUDIO DE LA CAPACIDAD PREDICTIVA DE LAS PED SOBRE EL FRACASO ESCOLAR ............................ 79

Datos del estudio ...................................................................................................... 80

Seleccin de variables y ajuste del modelo ................................................................ 83

Bondad del ajuste...................................................................................................... 84

Observaciones ........................................................................................................... 86

CONCLUSIONES FINALES ...................................................................................................... 86

Anexo I

Anexo II

Bibliografa

UNIVERSIDAD DE GRANADA Modelo logit para el estudio del fracaso escolar en ESO

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Introduccin

ALGO FALLA EN EL INSTITUTO1

ANDALUCA ARRASTRA UNA TASA DEL 34,7% DE ABANDONO EDUCATIVO TEMPRANO

EL RETO ES MEJORAR EL RENDIMIENTO EN SECUNDARIA, QUE ES MS BAJO QUE EN LOS COLEGIOS

MANUEL PLANELLES Sevilla 9 MAR 2012 - 14:24 CET

Las seales estn ah, en las distintas evaluaciones a las que se somete el sistema

andaluz de enseanza. El rendimiento de los estudiantes de los institutos es peor

que el de los alumnos en los colegios. La ltima consecuencia de esta situacin

lleva a que Andaluca sea la tercera comunidad autnoma con mayor tasa de

abandono educativo temprano de todo el Estado. Este ndice es el porcentaje de

poblacin de 18 a 24 aos que no ha completado la ESO y no sigue estudiando. La

media espaola de abandono en 2010 el ao analizado por el ministerio era

del 28,4. La de Andaluca estaba en el 34,7. El sistema funciona como una cadena:

esos chicos que salen de las aulas sin titulacin son los que luego lo tienen ms

complicado para encontrar un empleo al entrar en el mercado laboral.

1 Artculo aparecido en ElPais.com el sbado 10 de marzo de 2012 Manuel Planelles. http://ccaa.elpais.com/ccaa/2012/03/09/andalucia/1331293691_414305.html

2 UNIVERSIDAD DE GRANADA Objetivos de este Trabajo Fin de Mster

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Este artculo, aparecido en ElPais.com el pasado 9 de marzo de 2012, sirve para

introducir la situacin actual en los centros de Educacin Secundaria y nos invita a

reflexionar sobre lo que podemos aportar cada uno de nosotros para mejorar esta

situacin.

La Educacin es uno de los pilares bsicos de cualquier sociedad actual, por lo que el

fracaso escolar es, sin lugar a dudas, un problema de primer orden, y muy

especialmente en Espaa y ms concretamente en Andaluca. Adems, esta sensibilidad

se ha visto favorecida por la aparicin de numerosos anlisis y estudios que intentan

averiguar sus causas.

Es por todo esto que, como docente en un instituto de Educacin Secundaria y alumno

de este Mster en Estadstica Aplicada, he intentado aunar estos dos aspectos para

intentar dar una propuesta de trabajo que pueda aportar un poco de luz sobre este

problema. Qu podemos hacer para mejorar esta situacin en los institutos?

Con este Trabajo Fin de Mster pretendemos ofrecer un mecanismo de deteccin precoz

de alumnado con altas probabilidades de fracaso escolar para que los centros puedan

articular mecanismos de actuacin preventivos que ayuden a paliarlo. Para ello nos

basaremos, fundamentalmente, en una batera de test para medir las capacidades y

habilidades acadmicas de los alumnos, conocida como BADyG-M Renovado; y en las

Pruebas de Evaluacin de Diagnstico realizadas por la Consejera de Educacin de la

Junta de Andaluca desde hace varios aos.

OBJETIVOS DE ESTE TRABAJO FIN DE MSTER

El objetivo principal de este trabajo es el estudio de la capacidad predictiva de la BATERA

DE APTITUDES DIFERENCIALES Y GENERALES (BADYG-M RENOVADO) y las PRUEBAS DE

EVALUACIN DE DIAGNSTICO (PED) sobre el fracaso escolar en alumnado de Educacin

Secundaria Obligatoria. As, se pretende detectar, en base a estas pruebas, futuros casos

de fracaso escolar, entendido ste como el abandono del sistema educativo sin la


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consecucin del ttulo de Graduado en ESO, a fin de prevenirlo y establecer un plan de

actuacin con el alumnado afectado.

La prueba BADYG-M Renovado es uno de los instrumentos ms utilizados en Orientacin

Escolar para medir las capacidades y habilidades acadmicas de los alumnos, numerosos

trabajos dentro de la investigacin as lo corroboran.

Respecto a las Pruebas de Evaluacin de Diagnstico, PED, decir que su realizacin

responde al propsito de la Consejera de Educacin de conocer e informar acerca de los

progresos conseguidos por el alumnado y los centros educativos de la Comunidad

Autnoma de Andaluca. Estas pruebas proporcionan informacin relevante en la que

basar las medidas necesarias para superar las diferencias existentes entre el nivel

competencial que se espera que el alumnado desarrolle y el que realmente ha alcanzado

en el momento de completar dicha prueba.

Para finalizar destacaremos el hecho de que se pretende que el resultado de este

trabajo sea eminentemente prctico para el profesorado de Educacin Secundaria de

manera que aporte un procedimiento claro y asequible para la prediccin de futuros

casos de fracaso escolar. Es por esto que nos centraremos nicamente en variables

controlables desde los centros educativos mantenindonos al margen de aquellas no

controlables tales como situacin familiar, entre otras.

ORGANIZACIN DE ESTA MEMORIA Y APORTACIONES

Este trabajo est organizado en 4 captulos estando el ltimo dedicado al objetivo

fundamental de este trabajo, el estudio con datos reales de la capacidad predictiva de la

batera BADyG-M Renovado y las Pruebas de Evaluacin de Diagnstico (PED) sobre el

fracaso escolar en ESO.

4 UNIVERSIDAD DE GRANADA Problemas abiertos

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El Captulo 1, Fracaso Escolar en Educacin Secundaria, est dedicado al fracaso escolar,

su problemtica, formulacin, incidencia en Espaa en general y en Andaluca en

particular, y el problema de su cuantificacin.

En el Captulo 2, Descripcin de la batera BADyG-M Renovado y las Pruebas de

Evaluacin de Diagnstico, se ofrece una visin general de las distintas pruebas de

diagnstico utilizadas en el estudio. En primer lugar se describe la BATERA DE APTITUDES

DIFERENCIALES Y GENERALES, BADyG-M Renovado, a fin de conocer sus caractersticas,

estructura y test y variables que la forman. A continuacin se procede igualmente con

las PRUEBAS DE EVALUACIN DE DIAGNSTICO, PED.

En el Captulo 3, Fundamentos tericos, se hace una recopilacin de las tcnicas

estadsticas que se usarn en nuestro estudio, en nuestro caso se trata de la regresin

logstica.

En el Captulo 4, Aplicacin al estudio de la prediccin de fracaso escolar en Educacin

Secundaria Obligatoria, se proceder al anlisis de los datos. En primer lugar

realizaremos el estudio usando la batera BADyG-M Renovado, pasaremos despus al

estudio de nuestro problema usando las PED. Concluiremos este captulo con el

establecimiento de propuestas de ampliacin, entre las que destacaremos una

propuesta de intervencin experimental.

En cuanto a las aportaciones de este trabajo destacaremos dos. En primer lugar el uso

de las pruebas BADyG-M Renovado y las PED como predictoras de fracaso escolar y, en

segundo lugar, la disponibilidad de datos reales de seis promociones que pueden servir

de base para estudios posteriores.

PROBLEMAS ABIERTOS

Una vez finalizado este trabajo quedan abiertos varios problemas.

1. Confirmacin de los resultados obtenidos mediante la inclusin de nuevas

promociones al estudio.


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2. Una vez confirmada la validez del mtodo de diagnstico de futuros casos de

fracaso escolar queda pendiente la elaboracin de un plan de actuacin con el

alumnado para intentar evitar su fracaso efectivo.

3. Seguimiento y evaluacin de la efectividad del plan de actuacin sobre

alumnado en riesgo de fracaso escolar.

6 UNIVERSIDAD DE GRANADA El Fracaso Escolar, un asunto preocupante

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Captulo 1

Fracaso Escolar en Educacin Secundaria

EL FRACASO ESCOLAR, UN ASUNTO PREOCUPANTE

Est socialmente aceptado que la Educacin es uno de los pilares bsicos de cualquier

sociedad actual, por lo que el fracaso escolar es considerado como un problema de

primer orden llegando incluso a ser motivo de alarma social, y muy especialmente en

Espaa donde sus tasas estn por encima de la media europea y de los pases de la

OCDE2. Adems, esta sensibilidad se ha visto favorecida por la aparicin de numerosos

anlisis y estudios que intentan averiguar sus causas.

El fracaso escolar es un concepto vinculado a la extensin de la escolarizacin

obligatoria. Si bien en Espaa, antes de 1970, no tena sentido hablar de fracaso escolar

debido a que no exista una escolarizacin mnima para toda la poblacin es hacia el

final de la dictadura, con la Ley General de Educacin (LGE) de 1973, cuando se modific

2 Organizacin para la Cooperacin y el Desarrollo Econmicos.


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esta situacin estableciendo la Educacin General Bsica (EGB) como el nivel educativo

mnimo para toda la poblacin, que se poda obtener a los 14 aos. Al finalizar este nivel

se obtena el Ttulo de Graduado Escolar y no obtener este ttulo era sinnimo de

fracaso escolar. Con la Ley Orgnica de Ordenacin del Sistema Educativo (LOGSE) se

prolonga la educacin obligatoria hasta los 16 aos, a partir de este momento el fracaso

escolar es el resultado de no lograr el ttulo de Educacin Secundaria Obligatoria (ESO).

Desde el punto de vista del individuo, tal como se expone en (Fernndez Enguita, et al.,

2010),

Las oportunidades sociales de las personas dependen cada vez ms de su

cualificacin, de su capital humano, de su capacidad de obtener, manejar e

interpretar la informacin, de emplear y adquirir el conocimiento. () Quienes

obtengan el mximo de su formacin inicial accedern por ello mismo a empleos

ms enriquecedores () y tendrn ms y mejores oportunidades de formacin

ulterior, sea en el trabajo, volviendo a las aulas o con sus propios medios. En

cambio, quienes desaprovechen esa formacin inicial o no logren beneficiarse de

ella tendrn ms probabilidades de acabar en el desempleo o en puestos de

trabajo poco cualificados, en los que hay poco que aprender y menos

oportunidades de acceder a la formacin ulterior y de aprovecharla.

Parece pues que se abre una brecha cada vez mayor entre el trabajo cualificado y el no

cualificado, de manera que a quien comience bien continuar mejor, y viceversa.

Adems, es un lema de las polticas europeas que, como tal, se recoge en la LOE as

como en otras leyes educativas autonmicas (Andaluca, Cantabria, Catalua), lograr el

xito educativo para todos, garantizando a todos la adquisicin de un conjunto de

competencias consideradas imprescindibles para la integracin social (Bolvar Bota &

Lpez Calvo, 2009).

Dentro del Programa Educacin y Formacin 2010, la UE estableci cinco objetivos en

materia de educacin que deberan alcanzarse como muy tarde en 2010: situar la tasa

de abandono escolar por debajo del 10%; reducir a un 17% el porcentaje de alumnos

con problemas de comprensin lectora; lograr que el 85% de los jvenes (a los 22 aos)

8 UNIVERSIDAD DE GRANADA El Fracaso Escolar, un asunto preocupante

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completen la Educacin Secundaria; aumentar en un 15% el nmero de diplomados en

Matemticas, Ciencias y Tecnologas; y lograr que el 12.5% de la poblacin adulta

participe en formacin continua. La situacin de Europa y Espaa en relacin con estos

objetivos se recoge en la Tabla 1 (Bolvar Bota & Lpez Calvo, 2009). Como vemos,

Espaa tiene un serio problema de abandono escolar sin titulacin en Educacin

Secundaria Obligatoria, en torno al 30%, que junto con el bajo porcentaje de

reincorporacin posterior al sistema educativo tiene graves consecuencias sociales y

laborales para el alumnado que no ha alcanzado la formacin adecuada.

TABLA 1. GRADO DE CONSECUCIN POR ESPAA DE LOS OBJETIVOS EUROPEOS (COMMISSION OF THE EUROPEAN

COMMUNITIES, 2009)

Objetivo UE 2010 Europa, 2009 Espaa, 2009

Abandono escolar 10% 15% 31%

Reducir el nmero de jvenes de 15 aos con dificultades para leer

15.5% 19.8% 21.1%

Titulados Secundaria 85% 76.7% 61.8%

Aumentar Licenciados Matemticas, Ciencias y Tecnologas

15% 27% 16%

Formacin continua 12.5% 9.9% 5.1%

Inversin pblica educativa - 5.2% 4.4%

Por otra parte, en la comunicacin de la Comisin Europea al Parlamento Europeo, al

Consejo, al Comit Econmico y Social Europeo y al Comit de las Regiones, de 31 de

enero de 2011, sobre cmo abordar el abandono escolar prematuro3 (una contribucin

clave a la agenda Europa 2020), se analiza su impacto en las personas, la sociedad y la

economa, se resumen sus causas y se ofrece una descripcin general de las medidas

actuales y futuras a escala de la UE para abordar esta cuestin (Comisin Europea, 2011)

Como vemos existe una gran preocupacin por parte de diversas instituciones con

responsabilidades en temas educativos por abordar este problema con grandes

implicaciones sociales y econmicas.

3 El trmino abandono escolar prematuro incluye todas las formas de abandono de la educacin y la formacin antes de concluir el segundo ciclo de enseanza secundaria o su equivalente en formacin profesional.


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CUANTIFICACIN DEL FRACASO ESCOLAR

A la hora de cuantificar el fracaso escolar surge el problema de cmo definirlo de

manera que se elimine toda ambigedad sobre el mismo. Hasta ahora nos hemos

referido al fracaso escolar como la no consecucin del ttulo educativo, que podemos

definir como FRACASO ESCOLAR ADMINISTRATIVO. Marchesi (Marchesi, 2000) da una

definicin concreta y fcil de cuantificar: porcentaje de alumnos que no obtiene la

titulacin que acredita haber finalizado satisfactoriamente la educacin obligatoria.

Si bien esta expresin del fracaso escolar es ampliamente aceptada, no se corresponde,

en general, con la que se utiliza en los datos oficiales que, normalmente, hacen

referencia a los alumnos que no titulan sobre el total de los evaluados en 4 de ESO, que

denominaremos NDICE DE NO TITULACIN ( ). Reservamos el trmino NDICE DE FRACASO

ESCOLAR ( ) para la proporcin de alumnos que abandona el sistema educativo sin

obtener el ttulo de Graduado en Educacin Secundaria Obligatoria (ESO). As pues,

tenemos que:

Las tres posibles salidas del alumnado tras su evaluacin en 4 ESO son titular, repetir o

abandonar el sistema educativo sin obtener el ttulo de Graduado en Educacin

Secundaria. Solo estos ltimos estn incluidos en el ndice , mientras que incluye

como a los alumnos que no titulan un ao pero que repiten y al siguiente pueden

hacerlo. Observamos, por tanto, que es una estimacin por defecto del fracaso

escolar (no incluye a los alumnos que repiten), mientras que lo es por exceso

(incluye como fracaso a alumnos que repiten y an pueden titular). De donde se deduce

que, si tomamos como referencia los alumnos de 4 ESO, .

10 UNIVERSIDAD DE GRANADA Cuantificacin del Fracaso Escolar

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Pero nuestro sistema educativo es ms complejo ya que debemos tener en cuenta que

existe un porcentaje de alumnos que no permanece en el sistema educativo hasta el

final de la ESO, abandonando antes de llegar a ser evaluados en 4 ESO.

TABLA 2. FLUJO DE ALUMNOS DE UNA COHORTE A LO LARGO DE LOS TRES LTIMOS CURSOS DE LA ESO

En la Pero nuestro sistema educativo es ms complejo ya que debemos tener en cuenta

que existe un porcentaje de alumnos que no permanece en el sistema educativo hasta el

final de la ESO, abandonando antes de llegar a ser evaluados en 4 ESO.

Tabla 2 se representa el flujo de alumnos de una cohorte a lo largo de los tres ltimos

cursos de la ESO. Cada curso tiene tres entradas y tres salidas posibles. Las salidas son

las mismas que hemos considerado antes, los alumnos pueden promocionar de curso

Evaluados en 4 ESO

Repiten

Titulan Abandonan

Curso 06-07 Curso 07-08 Curso 08-09 Curso 09-10

2 ESO

2 ESO

A2 N3

3 ESO

3 ESO

3 ESO

A3 N4

4 ESO

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A4

N2

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(en 4 ESO supone titular), pueden repetir de curso o abandonar el sistema educativo

( ). En cuanto a las entradas, los alumnos pueden proceder de la promocin desde el

curso anterior, de la repeticin del mismo curso y de nueva matrcula ( ).

A partir de este diagrama hay que incluir dentro de la suma de todos los abandonos

( ). Por otra parte, el nmero total de alumnos de esa cohorte, al que se

deben referir los resultados del abandono ( ), es la suma de las entradas de los alumnos

nuevos, que incluye los que entran en 2 ESO procedentes de 1 ESO ( ).

De modo que, mientras la frmula de no cambia, la de queda en la forma:

Destaquemos el hecho de que contina siendo una estimacin por defecto del

fracaso escolar, por las mismas razones que antes, pero la relacin entre y se

vuelve ms compleja.

La diferencia entre ambos ndices nos proporciona informacin sobre el sistema de

escolarizacin. Cuando es menor que ( ), el sistema favorece el

abandono y dificulta la repeticin, y viceversa, cuando es mayor que (

), el sistema prima la permanencia del alumno, disminuyendo el abandono a

expensas de una mayor repeticin.

En lo que se refiere a los ndices utilizados para calcular el fracaso escolar, parece

evidente que el ndice de no-titulacin ( ) no es un buen indicador del fracaso escolar.

En primer lugar, premia, con un ndice artificialmente bajo, las estrategias que

favorecen el abandono temprano del alumno (que no son contabilizadas como fracaso

escolar), mientras que castiga aquellas que favorecen la permanencia del alumno.

Paradjicamente, estas ltimas obtienen mejores resultados, tanto medidos mediante

, como a travs de . En segundo lugar, no es un ndice por exceso del fracaso

escolar, pero tampoco se puede asegurar que lo sea por defecto, de modo que, al

utilizarlo, no se sabe ni la cuanta ni el signo del error cometido.

Frente a , el ndice de fracaso-escolar que proponemos ( ) tiene la ventaja de ser

un ndice por defecto, lo que nos permite, al menos, conocer el sentido del error

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cometido. Por otro lado, su clculo resulta sencillo a partir de los datos de matrcula,

repeticin y promocin.

En nuestra opinin, es recomendable el clculo de ambos ndices y el de su diferencia

( ), lo que, permite distinguir dos tipos de sistemas de escolarizacin: los que

priman la permanencia del alumno, a expensas de prolongar su vida escolar y los que

favorecen el abandono del alumno sin llegar a titular.


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Captulo 2

Descripcin de la batera BADyG-M Renovado y las Pruebas de

Evaluacin de Diagnstico (PED)

A continuacin se describen las pruebas usadas en nuestro estudio, su organizacin,

caractersticas, test que las forman Para ello hemos usado los siguientes textos de

referencia: para la Batera de Aptitudes Diferenciales y Generales BADyG-M Renovado,

el manual tcnico de dicha batera (Yuste, et al., 2002); y para las Pruebas de Evaluacin

de Diagnstico (PED) el ltimo informe de resultados publicado por la Agencia Andaluza

de Evaluacin Educativa (Agencia Andaluza de Evaluacin Educativa, 2011).

SOBRE BADYG-M RENOVADO

La Batera de Aptitudes Diferenciales y Generales BADyG-M Renovado (Yuste &

Martnez, 2003) ha sido durante aos el instrumento ms usado, tanto por los Equipos

de Orientacin Educativa y Psicoeducativa (EOEPs) como por los Orientadores Escolares

14 UNIVERSIDAD DE GRANADA Sobre BADyG-M Renovado

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de los Institutos de Educacin Secundaria, para realizar evaluaciones psicopedaggicas

(Monsalvo Dez & Carbonero Martn, 2009). Esta batera est formada por varias

pruebas que pasamos a describir (Yuste, et al., 2002).

DESCRIPCIN DE LAS PRUEBAS

RELACIONES ANALGICAS,

Se trata de encontrar relaciones analgicas entre conceptos. Una nos la dan completa y

a la otra le falta un trmino que hay que buscar entre las cinco posibles respuestas

numeradas con letras.

Es una prueba especfica de Razonamiento y Comprensin verbal. Consta de 32

elementos ordenados segn un ndice de dificultad, con cinco alternativas de respuesta.

Las analogas se usan tradicionalmente como la mejor manera de medir la llamada

Aptitud o Inteligencia Verbal. Se utilizan contenidos verbales, conceptos, y se pide

reconocer relaciones analgicas entre parejas, lo que conlleva una operacin de

reconocimiento de significados y relaciones de segundo orden entre ellos. Porque se

trata no solamente de establecer relaciones semnticas (que podramos denominar de

primer orden), sino de determinar la similitud o adecuacin de las relaciones

establecidas.

No es fundamentalmente una prueba de comprensin, de vocabulario, sino de

Razonamiento Inductivo.

La puntuacin de la prueba de Analogas, , indica la aptitud para inducir relaciones

analgicas entre conceptos. Al mismo tiempo est presente un factor semntico de

conocimiento de vocabulario.

El reconocimiento de relaciones implica un pensamiento abstracto, ya que no se trata

nicamente de establecer relaciones ms o menos concretas y observables, sino de

identificar la similitud entre parejas de conceptos relacionados.


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SERIES NUMRICAS,

Se trata de completar cada serie numrica con el siguiente elemento. Los nmeros estn

ordenados siguiendo una secuencia lgica que se debe descubrir.

Es una prueba especfica de razonamiento serial numrico o aptitud para determinar

regularidades lgicas en una secuencia de nmeros. Al mismo tiempo, al utilizar cdigos

numricos, necesita una bsica capacidad para el clculo mental, puesto que las

regularidades lgicas se refieren a operaciones (sumas, restas, multiplicacin, divisin)

entre series lineales de nmeros. Consta de 32 elementos ordenados segn un ndice de

dificultad, con cinco alternativas de respuesta.

Con esta prueba se pretende medir, con contenidos numricos, la capacidad de

Razonamiento consistente en detectar los periodos de repeticin o secuencias en que se

ordenan series numricas lineales. El nmero, como contenido de informacin se presta

especialmente bien a realizar complejas y variadas series, por representar a su vez una

serie lineal de longitud infinita, de distancias iguales entre cada elemento serial.

MATRICES LGICAS,

Se trata de buscar en cada ejercicio el dibujo que debe ir donde est la interrogacin,

teniendo en cuenta que estn ordenados siguiendo una lgica.

El Razonamiento menos automatizado, menos trabajado culturalmente, se suele medir

con contenidos figurativos, con series o matrices de figuras. Representan una modalidad

de contenido que no se utiliza explcitamente en los programas educativos para ensear

ninguna asignatura ni impartir conocimientos. Aunque el reconocimiento de las formas

de las figuras geomtricas y sus propiedades s se ensea y se utiliza en geometra, en

dibujo. La estricta ausencia de influjo cultural de este tipo de contenidos tambin la

podemos, por tanto, cuestionar. Pero es indudable que no se utiliza en procesos que

requieran Razonamiento lgico y por ello s podemos afirmar que estn ms libres que

otros tipos de contenidos de influjo cultural. Consta de 32 elementos ordenados segn

un ndice de dificultad, con cinco alternativas de respuesta.


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Esta prueba mide la capacidad para el razonamiento inductivo, para relacionar

lgicamente complejos conjuntos de datos codificados visualmente en forma de figuras

geomtricas.

COMPLETAR ORACIONES,

Se trata de encontrar el concepto o palabra que complete o cierre mejor el sentido de

una oracin.

La prueba de Completar Oraciones consta de 32 elementos ordenados segn un ndice

de dificultad, con cinco alternativas de respuesta.

Requiere operaciones de reconocimiento de vocabulario y rememorar experiencias o

conocimientos previos.

Esta prueba mide un aspecto importante de la Inteligencia Verbal y requiere sobretodo

reconocimiento integrado de situaciones sobre las que se deben tener algunos

conocimientos previos.

PROBLEMAS NUMRICOS,

Se trata de comparar las cantidades resultantes de resolver problemas numricos para

determinar cul es la mayor. Cuando las dos son iguales, la respuesta correcta ser la

tercera alternativa.

La prueba no mide nicamente rapidez de clculo, sino tambin razonamiento

numrico, la aplicacin de operaciones numricas en problemas numrico/verbales.

Consta de 32 elementos ordenados segn un ndice de dificultad, con tres alternativas

de respuesta.

No se pretende medir el nivel de conocimientos matemticos adquiridos, sino ms bien

la correcta automatizacin de las operaciones matemticas bsicas junto a un

reconocimiento de smbolos aritmticos bsicos. Las operaciones y problemas

planteados en cada nivel suelen haberlas aprendido y practicado desde varios aos

atrs, con mayor o menor complejidad.


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En esta prueba, de manera ms acusada que en las dems (a excepcin de ,

Discriminacin de Diferencias), est presente tambin una componente de rapidez, pues

en la prctica los sujetos de mejor puntuacin suelen ser los que ms avanzan (a

excepcin de los que responden al azar), y existe una diferencia mucho ms clara entre

los que acaban y los que no lo hacen.

Nunca se pretende medir nivel de conocimientos matemticos, sino asimilacin de los

aprendidos con anterioridad (al menos dos aos antes ya se suelen trabajar en el

currculum).

La prueba de Resolucin de Problemas, , mide la rapidez y seguridad en el clculo, en

la resolucin de sencillos problemas bsicos aritmtico/geomtricos y en la

comprensin del planteamiento o comprensin de los elementos simblicos aritmticos

con los que se plantea cada problema.

ENCAJAR FIGURAS,

Se trata de buscar la figura que complete perfectamente la parte que se ha recortado de

una superficie.

Consta de 32 elementos ordenados segn un ndice de dificultad, con cuatro alternativas

de respuesta.

Esta prueba se refiere a la facilidad para visualizar cambios de posicin de figuras

macizas bidimensionales que no cambian de forma.

Esta prueba, , mide la capacidad para realizar giros espaciales con figuras

geomtricas, manteniendo sus relaciones de tamao, distancia y posicin relativas para

comprobar la adecuacin de una figura con la superficie de la que se ha recortado.

MEMORIA DE RELATO ORAL,

Se trata de responder a una serie de preguntas acerca de un texto ledo.

Consta de 32 elementos, con tres alternativas de respuesta.


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Las preguntas se dirigen a comprobar la retencin de los detalles del relato, algunos

numricos y la mayora verbales. No se trata de comprobar si los sujetos han entendido

lo ledo, porque el relato es sumamente fcil de seguir, sino de comprobar si recuerdan

detalles concretos.

Esta prueba, , mide la capacidad para recordar a corto plazo datos de un relato

verbal, datos la mayor parte relacionados, dentro del sentido global de la lectura que se

ha escuchado. Es pues una memoria verbal y numrica por el tipo de contenidos a

recordar, frente a otra posible memoria que llamaramos viso/espacial. Es memoria

inmediata, por el corto tiempo en que se pide recuerden los datos, en contraposicin a

la memoria a largo plazo y es auditiva, porque se escucha el relato a recordar, frente a

otra posible modalidad de presentacin de los estmulos, a base de un relato escrito.

MEMORIA VISUAL ORTOGRFICA,

Se trata de buscar la palabra que est ortogrficamente mal escrita. Los acentos o tildes

estn todos bien.

Consta de 32 elementos ordenados segn un ndice de dificultad, con tres alternativas

de respuesta.

La prueba de Memoria Visual Ortogrfica, , mide la retencin en la memoria a largo

plazo de la correcta escritura de las palabras que, aunque fonticamente se pronuncien

igual, se escriben de distinta manera. No depende su reconocimiento de reglas claras

que podran haberse memorizado. S depender su reconocimiento correcto de la mayor

o menor frecuencia en la percepcin de esas palabras, es decir de si un sujeto, en sus

lecturas, las ha observado ms o menos veces que otros sujetos.

DISCRIMINACIN DE DIFERENCIAS,

Se trata de buscar en cada grupo de tres dibujos el que tiene alguna diferencia pequea,

con respecto a los otros dos.


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Discriminar con rapidez pequeas diferencias visuales es una operacin mental muy

bsica relacionada con procesos atencionales de recepcin y comparacin de

informacin visual.

Los elementos de esta prueba tambin estn ordenados por un ndice de dificultad, pero

tienen todos ndices bastante aproximados: al ser muy breve el tiempo concedido para

la ejecucin, se convierte en test de rapidez perceptiva de diferencias. Consta de 32

elementos ordenados segn un ndice de dificultad, con tres alternativas de respuesta.

Esta prueba, , mide la rapidez perceptiva, la rapidez del sujeto en operaciones

simples de comparacin de detalles entre figuras.

NORMAS DE CORRECCIN

NORMAS GENERALES

Cada una de las pruebas tiene 32 aciertos como mximo posible.

Todas las pruebas, excepto la de Problemas Numricos, , tienen como frmula de

correccin el Nmero de Aciertos, .

donde en caso de acierto del tem ( ) y en caso contrario.

En la prueba de Problemas Numricos, , a los aciertos se le restan la mitad de los

errores, .

con si el tem es correcto y en otro caso; y en caso de error del

tem y en caso contrario.


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OBTENCIN DE PUNTUACIONES GLOBALES

INTELIGENCIA GENERAL, IG

Se obtiene sumando los aciertos de las seis pruebas bsicas:

1. Relaciones Analgicas,

2. Series Numricas,

3. Matrices Lgicas,

4. Completar Oraciones,

5. Problemas Numricos,

6. Encajar Figuras,

El mximo posible de aciertos es de 192.

La puntuacin de Inteligencia General es una estimacin global teniendo en cuenta las

seis pruebas bsicas de la batera: dos pruebas verbales, dos numricas y dos espaciales.

RAZONAMIENTO LGICO,

Se obtiene sumando los aciertos de las tres primeras pruebas:

1. Relaciones Analgicas,

2. Series Numricas,

3. Matrices Lgicas,

El mximo posible de aciertos es de 96.

La puntuacin de Razonamiento no es ms que la suma de las tres pruebas que lo miden

ms directamente, con tres tipos diferentes de contenidos: Analogas Verbales, ,

Series Numricas, , y Matrices Lgicas, .


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El significado de esta puntuacin global viene determinado por las tres pruebas que

componen su puntuacin.

OBTENCIN PUNTUACIONES DE RAPIDEZ Y EFICACIA

RAPIDEZ

La Rapidez se contabiliza sumando las respuestas emitidas en las seis pruebas bsicas.

siendo , , el nmero de respuestas emitidas en cada prueba.

EFICACIA

La Eficacia se obtiene con la siguiente frmula:

, siendo la puntuacin

directa en Inteligencia General como suma de aciertos de las seis pruebas bsicas, y

la puntuacin de Rapidez como suma de las respuestas emitidas en las seis pruebas

bsicas4.

En el BADyG-M Renovado se mide la Rapidez y Eficacia como datos que pueden ser

tiles en una orientacin escolar individualizada. Es cierto que medir la Rapidez como

nmero de elementos emitidos o contestados en las seis pruebas bsicas de la batera

presenta varios problemas, e incluso puede ser totalmente artificiosa cuando el sujeto

no realiza en realidad las operaciones que supuestamente debe realizar, por ejemplo

cuando responde al azar alguna o muchas de las preguntas. Pero el significado de esta

puntuacin de Rapidez puede tener significado ms interesante cuando se relaciona con

la Eficacia o Porcentaje de Aciertos. De esta manera podemos catalogar a los sujetos que

hacen las pruebas en cuatro categoras, con significados diferenciados: sujetos rpidos y

eficaces, sujetos rpidos e ineficaces, sujetos lentos y eficaces, y sujetos lentos e

ineficaces.

4 Para obtener un porcentaje sin decimales se multiplica por 100 y se redondea la puntuacin al entero ms prximo.

22 UNIVERSIDAD DE GRANADA Sobre las Pruebas de Evaluacin de Diagnstico (PED)

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SOBRE LAS PRUEBAS DE EVALUACIN DE DIAGNSTICO (PED)

La realizacin de estas pruebas responde al propsito de la Consejera de Educacin de

conocer e informar acerca de los progresos conseguidos por el alumnado y los centros

educativos de la Comunidad Autnoma de Andaluca. Estas pruebas proporcionan

informacin relevante en la que basar las medidas necesarias para superar las

diferencias existentes entre el nivel competencial que se espera que el alumnado

desarrolle y el que realmente ha alcanzado en el momento de completar dicha prueba.

Se contina con la generalizacin de la aplicacin de los cuestionarios de contexto

(alumnado, familia, centro) a todos los grupos que realizan la prueba. La finalidad de

estos cuestionarios es elaborar un ndice socioeconmico y cultural (ISC) de los centros

(al igual que PISA y otras evaluaciones internacionales), que permita el anlisis de la

relacin entre el rendimiento obtenido en las Pruebas de Evaluacin de Diagnstico y la

situacin socioeconmica y cultural del alumnado y el centro. Este ndice abre

importantes vas para la investigacin e innovacin educativas, que repercutirn en la

mejora de la calidad de la enseanza.

COMPETENCIAS EVALUADAS

Tanto en Educacin Primaria como en Educacin Secundaria Obligatoria se han evaluado

las siguientes competencias bsicas:

Razonamiento Matemtico

Comunicacin Lingstica (Lengua Espaola)

Conocimiento e Interaccin con el Mundo Fsico y Natural, Comunicacin

Lingstica en Lenguas Extranjeras (Ingls), Social y Ciudadana, Cultural y

Artstica.


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Si bien las competencias en Razonamiento Matemtico y en Comunicacin Lingstica

(Lengua Espaola) se evalan todos los cursos, las dems van rotando cada ao.

Para cada competencia bsica se elabor un cuadernillo de 18 temes que se aplic en

dos sesiones de 60 minutos de duracin, separadas por un periodo de descanso de 30

minutos.

INSTRUMENTOS UTILIZADOS

INSTRUMENTOS DE EVALUACIN

La evaluacin de competencias bsicas en el alumnado de Educacin Primaria y

Educacin Secundaria Obligatoria requiere el empleo de instrumentos que incluyan

temes adecuados al tipo de competencias que han sido consideradas, que tengan en

cuenta los contextos o situaciones definidos para que el alumnado demuestre su

dominio y aplicacin, y cuya administracin resulte viable en el marco de la evaluacin

del sistema educativo.

La Evaluacin de Diagnstico de Andaluca opta por la realizacin de pruebas escritas (de

lpiz y papel) de carcter homologado, basadas en situaciones-problema y

administradas colectivamente. Se trata de pruebas construidas a partir de casos que

sirven como base para la interrogacin y que, en la medida de lo posible, remiten a

situaciones similares a las que el alumnado puede encontrar en su vida escolar o

extraescolar.

Las cuestiones, por tanto, basndose en los contenidos curriculares, tratan de evaluar

las capacidades del alumnado para la aplicacin de los mismos a situaciones escolares y,

especialmente, a situaciones en las que habr de desenvolverse en la vida real.

Las situaciones-problema se construyen sobre la base de uno o varios de los siguientes

tipos de informacin:

Textos escritos continuos o discontinuos en los que se recogen informaciones

diversas: anuncios, textos extrados de los medios de comunicacin,


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instrucciones, carteles informativos, trascripcin de dilogos, narracin de

hechos, descripcin de situaciones reales o simuladas, textos literarios, textos

cientficos, etc.

Textos orales breves para la competencia en Comunicacin lingstica (lengua

espaola), que persiguen una finalidad comunicativa, proporcionados en

soporte CD.

Imgenes diversas, incluyendo fotografas, mapas, dibujos, esquemas o

cualquier otra forma grfica de representacin de diferentes realidades.

Las preguntas formuladas a partir de cada situacin-problema han ido dirigidas, en

lneas generales, a comprobar el grado de dominio de las competencias objeto de la

Evaluacin de Diagnstico, es decir, a la capacidad para transferir conocimientos y

habilidades de diferentes mbitos curriculares aplicndolos a los problemas planteados

en una diversidad de situaciones. Cada situacin o caso representa un estmulo a partir

del cual se plantea un racimo de cuestiones que podrn encuadrarse en algunos de los

siguientes formatos:

Preguntas de respuesta cerrada, bajo el formato de eleccin mltiple. Se trata

tanto de preguntas de respuesta dicotmica, como de preguntas con escala de

respuesta graduada, de tal manera que cabe pensar en una respuesta correcta,

una o ms respuestas parcialmente incorrectas y una respuesta totalmente

errnea. La posibilidad de utilizar preguntas cerradas con respuestas en escala

graduada posee el atractivo de adaptarse a las pretensiones de una evaluacin

formativa, dado que permite aportar informacin no slo sobre si un alumno o

alumna posee o no la competencia que se le demanda para responder, sino

tambin en qu grado la ha desarrollado, aportando informacin relevante

sobre la medida en que su competencia en el elemento en cuestin es

deficitaria y sobre el tipo de apoyos o refuerzos que requiere.

Preguntas que exigen el desarrollo de procedimientos y la obtencin de

resultados. Este tipo de cuestiones contempla generalmente la necesidad de

alcanzar un resultado nico, aunque podran describirse diferentes caminos para

llegar al mismo. Tanto el procedimiento como el resultado son valorados,


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posibilitando el establecimiento de diferentes niveles de respuesta en funcin

del grado de desarrollo competencial.

Preguntas abiertas que admiten respuestas diversas, las cuales, aun siendo

correctas, pueden diferir de unos sujetos a otros. La elaboracin de criterios de

correccin permite graduar las respuestas estableciendo, tambin en este caso,

niveles de ejecucin intermedios entre las respuestas correcta e incorrecta.

CUESTIONARIOS DE CONTEXTO

Adems de los cuadernillos de las pruebas, existen unos Cuestionarios de Contexto para

el alumnado, sus familias y los centros educativos, ya que los resultados en pruebas de

rendimiento estn modulados por factores contextuales, de recursos y de procesos. La

finalidad es extraer informacin sobre una serie de variables socioeconmicas y

culturales que sirven de base para el clculo de los ndices correspondientes.

Estos datos son de utilidad para contrastar los resultados obtenidos por el alumnado en

las pruebas con su ndice Socioeconmico y Cultural. Con la misma finalidad, estas

variables son utilizadas en Cuestionarios de contexto tanto de evaluaciones nacionales

(Evaluacin General de Diagnstico del Instituto de Evaluacin) como internacionales

(PISA, PIRLS, TIMSS).

A continuacin, se recogen las variables que contienen cada uno de los Cuestionarios:

VARIABLES DEL CUESTIONARIO DE FAMILIA

Expectativas de la madre y del padre sobre los estudios del hijo o hija

Hbitos lectores de la madre y del padre

Nmero de libros en el hogar

Recursos domsticos

Nivel educativo de la madre y del padre

Estatus ocupacional de la madre y del padre

VARIABLES DEL CUESTIONARIO DE ALUMNADO

Sexo


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Fecha de nacimiento

Hbitos lectores

Tiempo dedicado a otras actividades: viendo TV, videojuegos, ordenador

Si recibe ayuda para hacer tareas

Seguimiento del estudio por parte de los padres

Uso del ordenador (casa y colegio)

Tipo de informacin que busca en Internet

Expectativas de estudios

Gusto por el estudio

Autoconcepto como estudiante

Cumplimiento de las normas del centro

Relacin entre compaeros y compaeras

VARIABLES DEL CUESTIONARIO DE CENTRO (AULA)

Nmero de alumnos y de alumnas del grupo

Nacionalidad y lengua verncula del alumnado

Nmero de alumnos y alumnas con Adaptaciones Curriculares Individualizadas

Porcentaje de hogares desfavorecidos/ acomodados

Existencia de biblioteca de centro y de aula

Reuniones del profesorado y temas que se tratan

Trabajo en equipo

Estrategias didcticas utilizadas

Modelos de pruebas/ evaluacin del alumnado

Satisfaccin con el centro/ alumnado/ familia

Clima de clase

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Captulo 3

Fundamentos tericos

En este captulo trataremos de manera genrica los modelos de respuesta discreta para

pasar despus al estudio completo de los modelos de regresin logstica binaria, desde

su formulacin, interpretacin, ajuste, contraste de bondad de ajuste, validacin hasta

su diagnosis.

MODELOS DE RESPUESTA DISCRETA

Los modelos de regresin tienen como objetivo describir el efecto de una o ms

variables (independientes) sobre una o ms variables de respuesta (dependientes).

Cuando la variable respuesta es discreta, normalmente una variable categrica con dos

o ms posibles clasificaciones o niveles de respuesta, la herramienta estadstica

apropiada para modelizar su comportamiento a partir de un conjunto de variables

independientes (predictoras), que pueden ser tanto discretas como continuas, sern los

MODELOS DE RESPUESTA DISCRETA. Estos modelos son un caso particular de los Modelos

Lineales Generalizados introducidos por Nelder y Wedderbum en 19725.

5 Para mayor informacin sobre los mismos puede consultarse las referencias (McCullagh & Nelder, 1983) y (Agresti, 2002).

28 UNIVERSIDAD DE GRANADA Modelos de Respuesta Discreta

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Existen distintos tipos de modelos de respuesta discreta que dependen, entre otros

aspectos, del tipo de respuesta. En particular, si la variable dependiente es dicotmica

se trata de MODELOS DE RESPUESTA BINARIA, mientras que si tiene ms de dos categoras

de respuesta se trata de MODELOS DE RESPUESTA MLTIPLE. Segn la funcin utilizada

para la estimacin de la probabilidad tenemos el modelo lineal, el modelo logit, modelo

probit y modelo de valores extremos.

En nuestro estudio, que se desarrollar en el ltimo captulo de este trabajo, la variable

respuesta a estimar ser dicotmica, el fracaso escolar futuro de nuestro alumnado (que

tomar el valor 1 si el alumno o alumna en cuestin presenta fracaso escolar y 0 en caso

contrario) en base a determinadas variables dadas por las bateras pasadas a los mismos

(BADyG-M Renovado y PED), por lo que se ajustar un modelo de respuesta binaria; en

concreto, un modelo logit.

INTRODUCCIN A LOS MODELOS DE RESPUESTA BINARIA

Los modelos de regresin ms utilizados, en la mayora de los campos de aplicacin,

para analizar este tipo de respuestas son los modelos de regresin logstica (logit), para

los que las variables explicativas pueden ser tanto cuantitativas como cualitativas.

Aunque la regresin logstica es la tcnica ms usual para el anlisis de datos de

respuesta binaria, existen otros modelos alternativos, pertenecientes todos ellos a la

familia de los modelos lineales generalizados que contiene tambin a otros modelos

estndar de regresin como, por ejemplo, la regresin lineal y el anlisis de varianza

para variables respuesta continuas.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El objetivo es construir un modelo estadstico para estimar una variable respuesta

discreta binaria en funcin de una o varias variables explicativas que podran ser

cuantitativas o cualitativas.


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Comenzaremos por el caso ms simple en el que se quiere explicar una variable

aleatoria de respuesta binaria , con dos posibles categoras de respuesta en

funcin de una variable no aleatoria cuantitativa .

Si representamos a las dos categoras de por los valores y , la variable tiene

distribucin de Bernoulli de esperanza

Entonces la distribucin de en cada valor observado de es tambin Bernoulli de

esperanza

y varianza

De este modo, representa la dependencia de la probabilidad de respuesta

respecto de los valores de la variable explicativa.

Si denotamos por a la distribucin de condicionada a , , el paso

siguiente es construir un modelo adecuado para de la forma

INVIABILIDAD DEL MODELO DE PROBABILIDAD LINEAL

El modelo ms sencillo sera el modelo de regresin lineal

donde los errores son variables aleatorias no observables, independientes, con

esperanza cero, cuya distribucin tambin es Bernoulli con valores si

, y si , a los que corresponden las mismas probabilidades

y que la variable .

Dado que tiene esperanza cero, se tiene


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Por lo tanto, el modelo de regresin lineal es de la forma:

(1.1)

y recibe el nombre de MODELO DE PROBABILIDAD LINEAL.

Este modelo presenta importantes defectos estructurales que lo hacen inviable para

explicar el comportamiento de las probabilidades de respuesta, y se enumeran a

continuacin:

1. Las probabilidades son valores entre cero y uno, mientras que las funciones

lineales de variables cuantitativas pueden tomar valores en toda la recta real.

Por lo tanto, el modelo (1.1) puede predecir valores imposibles fuera del

intervalo para valores de suficientemente pequeos o grandes. Esto se

debe a que la esperanza de una variable dicotmica no puede estar explicada

linealmente por una variable cuantitativa sobre un rango de valores no acotado.

Por lo tanto, el modelo (1.1) slo podra ser vlido sobre un rango finito de

valores de .

2. No se satisface la condicin de homocedasticidad ya que la varianza de la

variable respuesta, , no es constante sobre

los valores observados de . Como consecuencia los estimadores de mnimos

cuadrados ordinarios de los parmetros del modelo lineal seran insesgados

pero no eficientes (no tendran varianza mnima dentro de la clase de los

estimadores lineales insesgados). Para resolver este problema y obtener

estimadores ms eficientes, se podran usar mnimos cuadrados ponderados.

Cada observacin se ponderara por el inverso de la varianza condicionada

tomando como valor inicial el estimador de mnimos cuadrados ordinario,

y usando este procedimiento iterativamente. Esta aproximacin de mnimos

cuadrados ponderados iterativamente converge a los estimadores de mxima

verosimilitud (MV) pero continan las dificultades cuando se sale del

intervalo .


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3. Al no tener distribucin normal, no se pueden usar las distribuciones

muestrales de los estimadores de mnimos cuadrados ordinarios para hacer

inferencia sobre el modelo.

4. El modelo lineal implica variaciones iguales de la probabilidad de respuesta

frente a variaciones iguales de la variable explicativa. Esto no es ni mucho

menos realista porque es de esperar que los cambios en tengan menos

impacto sobre cuando la probabilidad de respuesta est prxima a cero o a

uno que cuando est prxima a . Como ejemplo, supongamos que en un

estudio epidemiolgico se quiere explicar la probabilidad de desarrollar cncer

de hgado en funcin de la cantidad de alcohol ingerida. Lgicamente un

aumento en tres cervezas en la consumicin diaria influir menos sobre esta

probabilidad para un alcohlico que para una persona que se toma una cerveza

diaria.

Estos problemas presentados hacen que estos modelos no sean utilizados y, en su lugar,

nos planteemos ajustar un modelo no lineal que implique una relacin entre y

que sea curvilnea, montona, y acotada entre cero y uno. Las funciones de distribucin

de variables continuas definidas sobre toda la recta real podran ser transformaciones

adecuadas que cumplen estos objetivos. A continuacin estudiaremos que tomando la

funcin de distribucin logstica se obtienen los MODELOS DE REGRESIN LOGSTICA, con la

funcin de distribucin de una Normal se tienen los MODELOS PROBIT y con la funcin de

distribucin de Gumbel los MODELOS DE VALORES EXTREMOS.

MODELOS DE RESPUESTA BINARIA USUALES

Teniendo en cuenta lo razonado anteriormente, buscamos un modelo de la forma

con variables aleatorias independientes de esperanza cero, o equivalentemente,

(1.2)

donde es una funcin de distribucin estrictamente creciente, que a su vez puede

expresarse en la forma


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MODELOS LOGIT

El modelo de regresin logstica simple es de la forma

(1.3)

El modelo puede escribirse equivalentemente en la forma

donde la transformacin recibe el nombre de logit y

representa la ventaja de respuesta para el valor observado .

CARACTERSTICAS DE LA CURVA DE RESPUESTA LOGSTICA

1. La curva logstica representada por la ecuacin (1.3) implica una relacin

estrictamente montona no necesariamente creciente entre la probabilidad de

respuesta y la variable explicativa que tiene forma de S y con valores en el

intervalo .

2. Si , cuando y cuando

Si , cuando y cuando

Esto significa que las rectas e son asntotas horizontales de la curva

logstica. Adems, implica que la curva es creciente y que es

decreciente.

3. La tasa de cambio (crecimiento o decrecimiento) en por cada unidad de

cambio en n oes constante como en el caso de la regresin lineal.

Efectivamente, la tasa de cambio es la pendiente de la recta tangente a la curva

logstica en cada punto

Observemos que esta funcin depende de y alcanza su valor mximo

cuando , que corresponde al punto de inflexin de la


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curva logstica . Esto quiere decir que la tasa de crecimiento o

decrecimiento aumenta al aumentar y, adems, tiende a ser muy pequea

para valores de prximos a cero o a uno.

4. Cuando el modelo logit (1.3) se verifica con , la curva logstica se convierte

en una lnea recta y la variable respuesta es independiente de .

5. Para mayor intuicin debemos tener en cuenta que la curva logstica es la

funcin de distribucin de una variable aleatoria con distribucin de

probabilidad logstica. Para comprobarlo, recordemos que la funcin de

distribucin de una variable aleatoria logstica con parmetro de localizacin y

parmetro de escala es

siendo una distribucin simtrica con media y desviacin estndar .

Por lo tanto, se tiene lo siguiente:

a) Si , la curva logstica (1.3) es la funcin de distribucin de una

variable aleatoria logstica de parmetros y .

b) Si , la curva es la funcin de

distribucin de una variable aleatoria logstica de parmetros

y .

MODELOS PROBIT

Sea la funcin de distribucin de una normal estndar (media cero y varianza uno)

dada por

El modelo probit simple es de la forma

(1.4)

y se obtiene tomando como funcin , en la ecuacin general (1.2) de un modelo de

respuesta binaria, la funcin de distribucin .


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Una forma equivalente para el modelo probit es

(1.5)

CARACTERSTICAS DE LA CURVA DE RESPUESTA PROBIT

1. La curva del modelo probit (1.4) para conlleva una relacin estrictamente

montona no necesariamente creciente entre la probabilidad de respuesta y la

variable explicativa, con forma de S y valores en el intervalo .

2. Si , cuando y cuando

Si , cuando y cuando

Por lo tanto, las rectas e son asntotas horizontales. Adems, se

puede comprobar fcilmente que implica que la curva es creciente y

que es decreciente.

3. Igual que con la curva logstica, la tasa de cambio en por cada unidad de

cambio en no es constante. En este caso se tiene

siendo la funcin de densidad de una variable aleatoria con distribucin

normal estndar. Observemos que la tasa de cambio alcanza su valor mximo

en la media de la normal estndar , es decir, cuando

y .

4. Cuando el modelo probit se verifica con , la curva de respuesta (1.4) se

convierte en una lnea recta y la variable respuesta es independiente de .

5. Si , la curva de respuesta (1.4) del modelo probit es la funcin de

distribucin de una variable aleatoria con distribucin normal de media y

desviacin estndar .

Si , la curva es la funcin de distribucin de

una variable aleatoria normal de media y desviacin estndar .

COMPARACIN DE LAS CURVAS DE RESPUESTA PARA LOS MODELOS LOGIT Y PROBIT

Las curvas de respuesta de los modelos logit y probit son muy similares.

La tasa de cambio mxima de ambas curvas de respuesta se alcanza en . Para

el modelo logit este valor mximo es , mientras que para el modelo probit es,


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aproximadamente, , de modo que coinciden cuando el parmetro del modelo

logit es veces el del modelo probit.

Por otro lado, las medias de las distribuciones de probabilidad asociadas a ambas curvas

de respuesta son iguales. Para , la desviacin estndar de la distribucin logstica

asociada al modelo logit es , mientras que la de la normal asociada al modelo

probit es . De este modo, ambas desviaciones estndar coinciden cuando el

parmetro del modelo logit es veces el del modelo probit.

Como consecuencia, cuando tanto el modelo logit como el probit se ajustan bien, el

estimador del parmetro del modelo logit es, aproximadamente, veces el

del modelo probit. Finalmente, como las colas de la normal son ligeramente ms

estrechas que las de la distribucin logstica, se aproxima ms rpidamente a y a

con el modelo probit que con el modelo logit.

Un caso particular de las curvas de respuesta logit y probit apareen representadas

grficamente en la Figura 1.

FIGURA 1. CURVAS LOGIT (LNEA CONTINUA) Y PROBIT (LNEA DISCONTINUA) CON Y

MODELOS DE VALORES EXTREMOS

Tanto con el modelo logit como con el modelo probit la curva de respuesta para es

simtrica respecto de . Esto significa que el grado de aproximacin de a

y a es el mismo. En este sentido, los modelos logit y probit no son apropiados para


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explicar probabilidades de respuesta que se alejen lentamente de cero y se aproximen

rpidamente a uno, o viceversa.

Esto justifica considerar curvas de respuesta de la forma

que son asimtricas respecto de , y se alejan de ms bruscamente que se

acercan a .

La forma lineal equivalente a este modelo de respuesta binaria es

(1.6)

que recibe el nombre de modelo log-log complementario correspondiente a la

transformacin del lado izquierdo de la ecuacin (1.6).

El modelo alternativo en el que se aleja rpidamente de y se acerca lentamente a

es:

(1.7)

O, equivalentemente, en forma lineal

que recibe el nombre de modelo log-log de la transformacin del lado izquierdo de la

ecuacin anterior.

CARACTERSTICAS DE LA CURVA DE RESPUESTA DE LOS MODELOS DE VALORES EXTREMOS

1. Tanto para el modelo log-log complementario como para el modelo log-log, e

igual que para los modelos logit y probit, las curvas de respuesta para

implican una relacin estrictamente montona entre la probabilidad de

respuesta y la variable explicativa, con forma de S y valores en el intervalo .

De nuevo, las rectas e son asntotas horizontales.

2. Para el modelo log-log complementario se tiene lo siguiente:


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Si , cuando y cuando . En este caso la

curva es estrictamente creciente.

Si , cuando y cuando , y la curva de

respuesta es estrictamente decreciente.

3. Para el modelo log-log se verifica:

Si , cuando , cuando , y la curva es

estrictamente decreciente.

Si , cuando , cuando , y la curva es

estrictamente creciente.

4. La tasa de cambio en para el modelo log-log complementario es

que alcanza su valor mximo en el punto de inflexin de la curva

al que corresponde .

5. Anlogamente, la tasa de cambio en del modelo log-log es:

que alcanza su valor mximo en el punto de inflexin de la curva

, al que corresponde .

6. De nuevo, convierte a los modelos de valores extremos en una recta e

implica que la variable respuesta es independiente de la variable explicativa .

7. Para justificar la nomenclatura de modelos de valores extremos, observemos

que la curva de respuesta del modelo log-log dada por (1.7) es la funcin de

distribucin de una variable aleatoria con distribucin de probabilidad de

Gumbel o de valores extremos6.

Un ejemplo de curvas de respuesta de modelos de valores extremos aparece en la

Figura 2.

6 Recordemos que una variable aleatoria con distribucin de Gumbel de parmetros y tiene funcin de distribucin

con esperanza y desviacin estndar . Por lo tanto, la curva de respuesta del modelo log-log es la funcin de distribucin de una Gumbel de parmetros y si , o si .

38 UNIVERSIDAD DE GRANADA Modelos Logit con variables explicativas cuantitativas

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FIGURA 2. CURVA DE RESPUESTA LOGIT CON Y (TRAZO CONTINUO), CURVA LOG-LOG CON Y

(TRAZO DISCONTINUO A RAYAS) Y MODELO LOG-LOG COMPLEMENTARIO CON Y (TRAZO

DISCONTINUO PUNTEADO)

MODELOS LOGIT CON VARIABLES EXPLICATIVAS CUANTITATIVAS

Una vez introducidos los distintos modelos para explicar una variable de respuesta

binaria a partir de un conjunto de variables explicativas, pasamos a continuacin al

estudio detallado de los modelos de regresin logstica en el caso de variables

explicativas cuantitativas7 observadas sin error.

7 Si se tiene alguna variable independiente categrica, es necesario definir una serie de variables

nuevas, artificiales, que servirn para poder pasar de una variable categrica con categoras a

variables indicadoras de la presencia de cada categora, por separado. Dichas variables de

diseo, tambin conocidas como variables ficticias o dummies, son introducidas en el modelo

como variables continuas, tal y como se explica a continuacin.

Para crear las variables de diseo asociadas a una variable con categoras podemos elegir

entre dos posibles mtodos: el mtodo parcial y el mtodo marginal.

El mtodo parcial consiste en elegir una categora de referencia dentro de las posibles y

construir para cada una de las restantes una variable que valga 1 en la categora considerada y 0

en el resto. Por ejemplo, si tenemos una variable con las categoras bajo, medio y alto,

podramos elegir bajo como categora de referencia y crear dos variables de diseo: una que


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Comenzamos por la formulacin del modelo e interpretacin de sus parmetros,

despus abordaremos el problema de su estimacin y contrastes de bondad de ajuste, y

finalizaremos con la validacin y seleccin del modelo ms apropiado.

MODELO DE REGRESIN LOGSTICA SIMPLE

Consideremos, en primer lugar, el caso de una variable explicativa cuantitativa .

Recordemos que el modelo de regresin logstica para una variable aleatoria binaria

es un modelo lineal para el logaritmo de la ventaja de respuesta en cada valor

observado de la variable explicativa.

(3.1)

que, equivalentemente, se puede expresar de la siguiente forma en trminos de la

probabilidad de respuesta en :

Curva de respuesta que es estrictamente creciente si , y estrictamente decreciente

para .

valga 1 cuando se de la categora medio y 0 en los otros dos casos y una segunda variable que

valga 1 cuando se de la categora alto y 0 en los otros dos casos. Estas dos variables son las que

entran en el modelo.

El mtodo marginal es similar en su concepto, salvo que en esta ocasin todas las dummies

toman el valor -1 cuando se da la categora de referencia, en lugar de 0.

Un caso especial es el de las variables ordinales, ya que adems de poder usar los mtodos

anteriores, contamos con la posibilidad ordenar las categoras, asignar puntuaciones y tratarla

como continua.

Lo comn en epidemiologa es utilizar el mtodo parcial, que permite interpretar los parmetros

en trminos de cocientes de ventajas de forma sencilla.


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La curva tiene forma de S y est acotada dentro del intervalo , siendo las rectas

e asntotas horizontales. Su crecimiento es montono, pudiendo ser

creciente, si , o decreciente, si . Por tanto, con la probabilidad de

respuesta tender a 1 para y a 0 para . La situacin se invierte si .

Si la curva es en realidad una recta e es independiente de .

En este modelo el riesgo relativo de respuesta para dos valores distintos y

del predictor se define como:

y el cociente de ventajas de respuesta dados dos valores distintos y del

predictor se define como:

Ambos conceptos estn relacionados por la expresin:

De esta forma, si la probabilidad de respuesta es cercana a 0, el riesgo relativo

puede ser aproximado mediante el cociente de ventajas.

INTERPRETACIN DE PARMETROS

1. Si , entonces , que quiere decir que la variable es

independiente de puesto que no depende de .

2. El parmetro es el valor comn del logaritmo de las ventajas de respuesta

frente a respuesta cuando ; es decir, cuando la respuesta es

independiente de la variable explicativa. Su exponencial es, por tanto, la ventaja

de respuesta .

3. La frmula general del modelo logit simple (3.1) implica que por cada unidad de

incremento en , el logit de respuesta aumenta aditivamente en unidades.


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De la misma frmula se obtiene la siguiente expresin para la ventaja de la

respuesta en cada observado:

que significa que la ventaja de respuesta aumenta multiplicativamente por

cada unidad de incremento en . De hecho,

4. El cociente de ventajas de respuesta para dos valores diferentes y de

es de la forma

La ventaja o preferencia de la respuesta frente a la toma valores en el

intervalo . Por lo tanto, el cociente de ventajas tiene el mismo

rango de variacin y la siguiente interpretacin:

si, y slo si,

si, y slo si,

En este caso la ventaja de respuesta es veces mayor para

que para .

si, y slo si,

En este caso la ventaja de respuesta es veces mayor para

que para .

5. La exponencial del parmetro , , es el cociente de ventajas de respuesta

para dos valores de que se diferencian en una unidad. Es decir,

MODELO DE REGRESIN LOGSTICA MLTIPLE

Consideremos ahora el caso de variables explicativas cuantitativas no aleatorias

. Para cada combinacin de valores observados , ,,

de las variables explicativas, la variable respuesta tiene distribucin de Bernoulli


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siendo

El modelo de regresin logstica mltiple para la variable respuesta en trminos de

valores observados de las variables explicativas es de la forma:

donde son errores aleatorios que se consideran centrados e

independientes, de modo que

Denotando a partir de ahora , , y con

, el modelo quedar resumido como:

(3.2)

donde es el vector columna de parmetros .

Equivalentemente, el modelo de regresin logstica mltiple se puede ver como un

modelo de regresin lineal mltiple para la transformacin logit,

(3.3)

A partir de los parmetros podemos calcular los cocientes de ventaja de respuesta

como las exponenciales de dichos parmetros. Es lo que conocemos como ODDS

RATIO (OR). La interpretacin de estos parmetros vara ligeramente segn la naturaleza

de la variable que le acompaa. Si la variable es continua, el cociente de ventajas

representa la variacin en la ventaja de respuesta por cada unidad de aumento


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de la variable cuando el resto de variables permanece constante8. Al aumentar en una

unidad dicha variable y dejar el resto fijas, la ventaja de respuesta queda

multiplicada por la exponencial de (OR). Por lo tanto, si (equivalentemente,

), significa que dicha variable en concreto no afecta a la respuesta. Si

( ) se tiene que la ventaja de respuesta disminuye. En trminos

epidemiolgicos se dice que esa variable es un factor protector. Si ( ), la

ventaja aumenta y se tiene un factor de riesgo.

INTERPRETACIN DE PARMETROS

1. Si entonces , que quiere decir que la

variable es independiente de las variables explicativas.

2. El parmetro es el valor comn del logaritmo de las ventajas de respuesta

frente a respuesta cuando la respuesta es independientes de las

variables explicativas.

Por otro lado, es el valor del logaritmo de la ventaja de respuesta para

un individuo con .

3. El cociente de ventajas de respuesta para dos combinaciones diferentes

de valores de las variables explicativas, y

, es de la forma

Para dos valores y que se diferencien en una unidad, , para

, se tendra

8 Si la variable original es categrica y se han definido las dummies con el mtodo parcial, tenemos una OR para cada una de las variables de diseo (es decir, cada una de las categoras) y dicho valor representa la ventaja de respuesta de esa categora en concreto con respecto a la categora de referencia, cuando el resto de variables queda fijo. Los conceptos de factor protector y factor de riesgo siguen teniendo validez en este caso. Si las dummies han sido definidas mediante el mtodo marginal, la interpretacin de los parmetros es algo ms compleja. Cada parmetro es la desviacin del logit de la categora que lleva asociada con respecto a la media de todos los logit, por lo que la exponencial del parmetro es el cociente entre la ventaja de respuesta para su categora asociada y la media geomtrica de todas las ventajas de respuesta .


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4. Para dar una interpretacin ms intuitiva de los parmetros del modelo, vamos

a calcular el cociente de ventajas de respuesta cuando una de las variables

explicativas se incrementa en una unidad y las otras se controlan haciendo que

tomen valores fijos.

Como ejemplo, incrementamos en una unidad la variable y las restantes

variables explicativas las mantenemos fijas. Entonces, sustituyendo por

y , en la frmula obtenida anteriormente

para el cociente de ventajas, se tiene

Esto significa que al aumentar en una unidad una de las variables y controlar las

dems, la ventaja de respuesta queda multiplicada por la exponencial del

coeficiente de la variable incrementada.

De este modo, si la exponencial de un parmetro es mayor que uno la

probabilidad de respuesta aumenta cuando aumenta la variable

correspondiente y se controlan las dems, mientras que si es menor que uno la

relacin es inversa.

MODELOS CON INTERACCIN

Hasta ahora no se ha considerado la posibilidad de interaccin entre las variables

explicativas de un modelo de regresin logstica mltiple.

INTERACCIN Y CONFUSIN

Observemos que en los modelos de regresin logstica mltiple considerados hasta

ahora, los cocientes de ventajas que miden la asociacin entre la variable de respuesta y

cada variable explicativa son independientes del valor fijo del resto de variables

explicativas controladas. Esto significa que son modelos sin interaccin porque el grado


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de asociacin entre la variable de respuesta y cada una de las variables explicativas es el

mismo en todas las combinaciones de niveles de las otras variables independientes.

Se pueden considerar interacciones de distintos rdenes. Las ms simples son las de

orden uno (entre dos variables explicativas) que representan el grado en que la

asociacin entre la variable de respuesta y una variable depende de los valores de una

tercera que interacciona con esta ltima. Las interacciones de orden dos involucran a

tres variables y as sucesivamente. Por simplicidad no consideraremos interacciones de

orden superior a uno que conllevaran productos entre tres o ms variables.

En epidemiologa es usual distinguir entre el factor de riesgo que puede ser causa de una

enfermedad y otras covariables de inters que hay que controlar en el estudio

estadstico para analizar la asociacin entre el factor de riesgo y el padecimiento de la

enfermedad. En este tipo de estudios es usual distinguir entre factores de confusin y

factores modificadores del efecto del factor de riesgo sobre la enfermedad.

Una variable es de confusin cuando est asociada con el factor de riesgo de modo que

la asociacin marginal entre la variable de respuesta y el factor de riesgo cambia

significativamente al incluirla en el anlisis estadstico.

Una variable es modificadora del efecto cuando la asociacin entre la variable de

respuesta y el factor de riesgo cambia en funcin de sus valores. Es decir, se trata de una

variable que interacciona con el factor de riesgo.

De lo anterior se deduce que los factores de confusin tienen que ser considerados

forzosamente en el modelo, aunque puede que no interaccionen con el factor de riesgo.

FORMULACIN DE MODELOS CON INTERACCIN

La interaccin entre dos variables cuantitativas se incluye en el modelo de regresin

logstica como producto de ambas variables. En general, el trmino de interaccin entre

dos variables cuantitativas y es de la forma .

Como consecuencia, el modelo de regresin logstica mltiple con interacciones entre

cada par de covariables es de la forma


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En este caso, el cociente de ventajas de respuesta cuando se incrementa en una

unidad una variable y se controlan fijas las dems depende del valor de las variables

controladas

poniendo claramente en evidencia la interaccin de cada variable con el resto.

AJUSTE DE MODELOS LOGIT

A continuacin abordamos el problema de la estimacin de los parmetros de los

modelos logit.

Los datos estn constituidos por un

Memoria Francisco Javier Ros Castellón

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