Memoria PFC Jokin Aginaga

Jokin Aginaga Garca Proyecto Ingeniera Industrial

Universidad Pblica de Navarra Nafarroako Unibertsitate Publikoa

INDICE1. INTRODUCCION____________________________________________________ 41.1. Introduccin ____________________________________________________________ 41.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.1.5. Antecedentes histricos ______________________________________________________ 5 Origen y desarrollo de la robtica ______________________________________________ 6 Manipuladores tipo Serie y Manipuladores tipo Paralelo ____________________________ 7 Manipuladores paralelos _____________________________________________________ 8 Manipuladores paralelos 6-RUS _______________________________________________ 9

1.2. Objetivos del proyecto ___________________________________________________ 10 1.3. Fases del proyecto ______________________________________________________ 101.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 1.3.6. Estudio del mtodo empleado ________________________________________________ 10 Estudio completo de mecanismos sencillos ______________________________________ 11 Estudio cinemtico del manipulador paralelo ____________________________________ 11 Estudio dinmico y esttico del manipulador paralelo______________________________ 12 Estudio de las configuraciones singulares estacionarias ____________________________ 12 Diseo del manipulador paralelo ______________________________________________ 13

2.

ESTUDIO CINEMATICO ____________________________________________ 142.1. Introduccin ___________________________________________________________ 14 2.2. Sistemas de coordenadas _________________________________________________ 142.2.1. 2.2.2. 2.2.3. Coordenadas relativas ______________________________________________________ 15 Coordenadas naturales ______________________________________________________ 15 Eleccin del sistema de coordenadas ___________________________________________ 15

2.3. El problema de posicin _________________________________________________ 152.3.1. 2.3.2. Mtodo de Newton-Raphson _________________________________________________ 16 Aplicacin al manipulador paralelo ____________________________________________ 17

2.4. El problema de velocidad ________________________________________________ 22 2.5. El problema de aceleracin _______________________________________________ 24 2.6. Resultados_____________________________________________________________ 27

3.

ESTUDIO DINAMICO ______________________________________________ 293.1. Introduccin ___________________________________________________________ 29

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Manipulador Paralelo de motores asncronos

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3.2. Matriz de masas ________________________________________________________ 293.2.1. Matriz de masa referida a 4 puntos ____________________________________________ 31

3.3. El problema dinmico ___________________________________________________ 333.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.3.4. Introduccin ______________________________________________________________ 33 El problema dinmico directo ________________________________________________ 33 El problema dinmico inverso ________________________________________________ 36 El problema esttico________________________________________________________ 37

3.4. Resultados_____________________________________________________________ 393.4.1. 3.4.2. 3.4.3. Problema dinmico directo __________________________________________________ 39 Problema dinmico inverso __________________________________________________ 41 Problema esttico __________________________________________________________ 42

4.

ESTUDIO DE LAS CONFIGURACIONES ESTACIONARIAS _____________ 454.1. Introduccin ___________________________________________________________ 45 4.2. Configuraciones singulares estacionarias del manipulador paralelo _____________ 464.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4. Clculo de las configuraciones singulares estacionarias del manipulador paralelo ________ 47 Resultados _______________________________________________________________ 49 Utilidad de las configuraciones singulares estacionarias ____________________________ 52 Angulos mximos y mnimos en las cadenas biela-manivela ________________________ 53

4.2.4.1. Introduccin ___________________________________________________________ 53 4.2.4.2. Resultados _____________________________________________________________ 53

4.3. Otros clculos necesarios para el diseo ____________________________________ 54

5.

ANALISIS DE SENSIBILIDAD _______________________________________ 565.1. Introduccin ___________________________________________________________ 56 5.2. Sensibilidad de posicin__________________________________________________ 56 5.3. Sensibilidad de velocidad_________________________________________________ 58 5.4. Sensibilidad de aceleracin _______________________________________________ 60

6.

DISEO DEL MANIPULADOR PARALELO____________________________ 636.1. Introduccin ___________________________________________________________ 63 6.2. Motores _______________________________________________________________ 63 6.3. Reductores ____________________________________________________________ 64

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6.4. Manivelas _____________________________________________________________ 65 6.5. Junta biela-manivela ____________________________________________________ 676.5.1. 6.5.2. Rodamientos _____________________________________________________________ 68 Casquillo ________________________________________________________________ 71

6.6. Bielas _________________________________________________________________ 726.6.1. 6.6.2. 6.6.3. Barra ___________________________________________________________________ 73 Herradura ________________________________________________________________ 76 Acoplamiento barra-herradura ________________________________________________ 77

6.7. Junta esfrica __________________________________________________________ 77 6.8. Plataforma mvil _______________________________________________________ 79 6.9. Plataforma fija _________________________________________________________ 80 6.10. Manipulador paralelo ___________________________________________________ 81 6.11. Tolerancias dimensionales de las piezas. ____________________________________ 82 6.12. Materiales a emplear ____________________________________________________ 836.12.1. Acero ___________________________________________________________________ 83 6.12.2. Clasificacin de los aceros___________________________________________________ 84 6.12.2.1. 6.12.2.2. 6.12.2.3. 6.12.2.4. 6.12.3.1. 6.12.3.2. F-11XX: Aceros al carbono _____________________________________________ 84 F-12XX y F-13XX: Aceros aleados de gran resistencia________________________ 85 F-15XX y F-16XX: Aceros para cementar__________________________________ 85 F-17XX: Aceros para nitrurar____________________________________________ 86 Plataforma inferior ____________________________________________________ 86 Resto de piezas _______________________________________________________ 87

6.12.3. Aceros elegidos ___________________________________________________________ 86

6.12.4. Material para la plataforma superior ___________________________________________ 87

7.

BIBLIOGRAFIA ___________________________________________________ 88Libros _____________________________________________________________________ 88Catlogos y guas_______________________________________________________________ 89

ANEXO I Configuraciones Estacionarias_________________________________________ 90 ANEXO II Programas____________________________________________________ 103 ANEXO III Artculo para el C.N.I.M.__________________________________________ 144 ANEXO IV Catlogos ____________________________________________________ 150

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1. INTRODUCCION1.1. IntroduccinEn este proyecto se realiza un estudio mecnico de un manipulador paralelo de tipo 6-RUS, as como su diseo. Un manipulador paralelo de tipo 6-RUS es un mecanismo de cadena cerrada con 6 grados de libertad. Consiguientemente, el estudio ser elaborado en el campo de la sntesis de mecanismos. En primer lugar habr que saber de qu se habla cuando se habla de mecanismos. Segn Reuleaux un mecanismo se puede considerar como "una combinacin de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones para formar una cadena cinemtica cerrada con un eslabn fijo y cuyo propsito es transformar el movimiento". En el diseo de una mquina pueden intervenir muchos campos de la ciencia como por ejemplo la mecnica, la termodinmica, la mecnica de fluidos o la ciencia de materiales, y se deben tener en cuenta aspectos como el econmico, el esttico, etc. No obstante, de todos los estudios que se deben de realizar en el diseo de una mquina, el estudio mecnico es de primordial importancia, ya que la mecnica es la ciencia que relaciona la geometra, las fuerzas y los desplazamientos, factores que determinan el funcionamiento de la mquina. En el diseo de los mecanismos, el estudio mecnico ser uno de los ms importantes ya que, segn la definicin de mecanismo, el objetivo de stos es transformar el movimiento y el anlisis del movimiento lo realiza la mecnica. El diseo global de una mquina comienza por el diseo particular de los mecanismos que la componen; ya que los movimientos necesarios en la mquina se consiguen por medio de diferentes mecanismos y, por lo tanto, desde el punto de vista mecnico, las mquinas se pueden considerar formadas por la combinacin de varios mecanismos. En muchas mquinas, la energa se introduce por medio del movimiento giratorio de un motor elctrico o trmico y su objetivo es generar unos movimientos que no son giratorios, o si lo son, son ms rpidos o ms lentos que el movimiento de entrada. Estos

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cambios entre el movimiento de entrada y el de salida se consiguen por medio de mecanismos. En el diseo de un mecanismo o mquina, el proceso habitual es el siguiente: En primer lugar, se sintetiza el mecanismo o mquina, normalmente de forma aproximada. Posteriormente, se realiza el anlisis. Por regla general, el mecanismo o mquina sintetizada no suele realizar perfectamente el movimiento prescrito, o est mal dimensionado en cuanto a resistencia. Por ello, se hace necesario variar el diseo, y volver a realizar el anlisis, en un proceso iterativo hasta comprobar que el mecanismo o mquina realiza el movimiento deseado, y sus piezas estn dimensionadas de forma que sern capaces de soportar los esfuerzos a que vayan a estar sometidas.

1.1.1.

Antecedentes histricos

A lo largo de la historia el hombre se ha sentido fascinado por mquinas y dispositivos capaces de imitar las funciones y los movimientos de los seres vivos. Los griegos tenan una palabra especfica para denominar a estas mquinas: automatos. De esta palabra deriva la actual, autmata: mquina que imita la figura y movimientos de un ser animado. Aunque el primer autmata data del 85 d.c. el autmata ms antiguo que se conserva en la actualidad es el gallo de Estrasburgo (1352). ste formaba parte del reloj de la torre de la catedral de Estrasburgo y al dar las horas mueve las alas y el pico. Otro autmata relevante fabricado a lo largo de la historia es el Len mecnico (1499) construido por Leonardo Da Vinci y como mecanismo cabe mencionar el Elevador de agua (1534) construido por Juanelo Turriano, el cual se muestra a continuacin:

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Figura 1.1.1.1: Elevador de agua de Turriano Durante los siglos XVIII y XIX se crearon ingenios mecnicos que tenan alguna de las caractersticas de los robots actuales. Uno de los ms destacados fue el telar mecnico de Jacquard(1801), el cual utilizaba una cinta de papel perforada como un programa para las acciones de la mquina. Es a partir de ese momento cuando se empiezan a utilizar dispositivos automticos en la produccin, dando paso a la automatizacin industrial.

1.1.2.

Origen y desarrollo de la robtica

Tras los primeros autmatas descritos en el apartado anterior, los progenitores ms directos de los robots fueron los telemanipuladores. stos fueron creados con el objetivo de manipular elementos radioactivos sin riesgo para el operador. El telemanipulador realizaba los movimientos que ordenaba el operador desde su panel de mando. Por su propia concepcin, un telemanipulador precisa del mando continuo de un operador. La sustitucin del operador por un programa de ordenador que controlase los movimientos del manipulador dio paso al concepto de robot. Hacia 1960 empiezan a aparecer los primeros robots industriales, que posean generalmente 6 grados de libertad. En 1982, el profesor Makino desarrolla el concepto de robot SCARA(Selective Compliance Assembly Robot Arm) que busca un robot con un numero reducido de grados de libertad (3 4) y una configuracin orientada al ensamblado de piezas.

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Lejos de estos robots antropomrficos (imitan a la forma de brazo humano), aparece un nuevo concepto de manipulador: el manipulador paralelo.

1.1.3.paralelo.

Manipuladores tipo Serie y Manipuladores tipo Paralelo

Bsicamente existen dos tipos de robots manipuladores: el tipo serie y el tipo Un Robot Manipulador tipo Serie (RMS) es una cadena cinemtica abierta cuyos eslabones mecnicos estn conectados en forma de serie. Un Robot Manipulador tipo Paralelo (RMP) es una cadena cinemtica cerrada cuyos eslabones mecnicos forman estructuras geomtricas cerradas. Los manipuladores paralelos presentan una serie de ventajas con respecto a los robots de brazo. Una de las ventajas consiste en el aumento de la relacin carga til-masa que proporciona este tipo de estructura. En efecto, cuando la estructura ocupa su posicin central los accionadores soportan aproximadamente la tercera parte de la carga til adems de importantes solicitaciones a flexin. Estas solicitaciones a flexin son menores en los manipuladores paralelos gracias a la adicin de dos efectos: las articulaciones imponen nicamente las restricciones traccin compresin y el reducido brazo de palanca. Otra caracterstica a destacar es la buena precisin de posicionamiento que poseen. Esto es debido, a que como ya se ha mencionado, las deformaciones a flexin (no medibles) son de pequea magnitud. Adems las restricciones geomtricas que presenta la realizacin de este tipo de mecanismos no son muy severas. Sin embargo, presentan una notoria desventaja, ya que su volumen de trabajo es mucho ms reducido. Se define volumen de trabajo como el espacio generado por el extremo del manipulador (robots antropomrficos) o por la plataforma mvil(paralelos), al moverse en todo su rango articular. El volumen articular depende de las dimensiones de los eslabones y del rango articular. Otra desventaja que poseen es que es necesario colocar el objeto a situar sobre su plataforma, ya que no presenta la posibilidad de manipular l mismo el objeto. En la

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manipulacin el rgano terminal debe poder agarrar el objeto y sustentarlo durante su movimiento. Por tanto, obviamente su alcance es muy reducido.

1.1.4.

Manipuladores paralelos

Los manipuladores paralelos estn caracterizados por el hecho de ser mecanismos de cadena cinemtica cerrada y constituidos por un elemento mvil con varios grados de libertad que est unido a la base fija del mecanismo por varias cadenas cinemticas en paralelo. Uno de los primeros manipuladores fue patentado por Pollard (1942), el fin al que estaba destinado este manipulador era el pintado de coches. Posteriormente, en 1965 Stewart propuso una estructura, conocida hoy en da como plataforma Stewart, que constituy el primer paso hacia las estructuras de los robots paralelos. En esta estructura el elemento mvil es una plataforma triangular donde cada uno de sus vrtices est conectada por una rtula a un submecanismo constituido por dos tornillos, dispuestos tambin de forma triangular, un extremo de cada uno de estos tornillos est unido por una articulacin giratoria a un segmento de eje vertical que puede girar alrededor de este eje. El otro extremo de uno de los dos tornillos es solidario a la rtula del plato mvil, mientras que el otro tornillo est unido por una articulacin giratoria al cuerpo homlogo. El mecanismo es por tanto una cadena cinemtica cerrada de seis grados de libertad.

Figura 1.1.4.1: Esquema de la Plataforma de Stewart

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1.1.5.

Manipuladores paralelos 6-RUS

Aparte de la Plataforma de Stewart, en la familia de manipuladores paralelos existen infinidad de tipos diferentes. Por ejemplo, manipuladores paralelos planos, espaciales y entre los espaciales de tres, cuatro, cinco y seis grados de libertad, con sus caractersticas cinemticas y dinmicas propias. Un tipo de estos mecanismos es el "Manipulador Paralelo 6-RKS" propuesto por Hunt (1983), sobre el que se centrarn los estudios realizados en este proyecto. Estos mecanismos se caracterizan por estar constituidos por una plataforma mvil, con seis grados de libertad, unida a una plataforma fija por medio de seis cadenas cinemticas formadas por actuador giratorio, manivela y biela.

Figura 1.1.5.1: Manipulador paralelo 6-RUS de Hunt Los actuadores giratorios "R" estn montados sobre la plataforma fija, las manivelas estn montadas sobre los ejes de los actuadores y las bielas estn conectadas por un extremo al extremo de la manivela por medio de una junta cardan o universal "U" y por el otro extremo a la plataforma mvil por medio de una junta esfrica "S". Una caracterstica cinemtica de los manipuladores paralelos 6-RUS es poseer configuraciones singulares estacionarias (CSE). En estas configuraciones, las velocidades de los puntos de la plataforma mvil son nulas independientemente de las velocidades

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articulares de los actuadores, poseyendo adems una serie de ventajas que se pondrn de manifiesto ms adelante. El manipulador paralelo 6-RUS ideado por Hunt ser el modelo utilizado para los estudios que se realizan en este proyecto.

1.2. Objetivos del proyectoEl objetivo final del presente proyecto es la construccin de un manipulador paralelo. Para ello, a travs de la sntesis de mecanismos, se estudiar la cinemtica y la dinmica del mecanismo. Entre las caractersticas cinemticas del manipulador paralelo, se encuentran las configuraciones estacionarias de la plataforma mvil. Estas posiciones sern de gran utilidad, puesto que se definirn las caractersticas deseadas para el diseo en funcin de las reacciones generadas en la trayectoria de una de ellas a otra, y de los pares necesarios para realizar dicha trayectoria en un determinado tiempo. Con estas reacciones, se tendrn datos necesarios para realizar el diseo.

1.3. Fases del proyectoDesde antes de la propuesta hasta la presentacin del proyecto, el trabajo se ha estructurado en diferentes fases:

1.3.1.

Estudio del mtodo empleado

Por un lado estn los planteamientos tericos de posicin, velocidad, aceleracin, fuerzas y momentos. El mtodo que permite dar solucin a todos estos clculos aparece explicado en el libro Kinematic and Dynamic simulation of Multibody Sytems, de Javier Garca de Jaln y Eduardo Bayo. Por otro lado est la resolucin de los clculos anteriormente citados. Para resolver estos clculos se utiliza el programa Matlab. Matlab (Mathematics Laboratory) es un sistema general de software para matemticas y otras aplicaciones. Su uso est extendido entre investigadores, ingenieros y analistas. Las aplicaciones de Matlab, comprenden la mayora de las reas donde se aplican mtodos cuantitativos. Por lo tanto Matlab es un potente entorno integrado de clculo numrico y simblico, con extensiones para la

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programacin y otros campos especficos de la ingeniera, que ofrece gran cantidad de funciones, grficos en color de dos y tres dimensiones, y notacin matemtica estndar.

1.3.2.

Estudio completo de mecanismos sencillos

Con el fin de familiarizarse y comprender los mtodos analticos a utilizar en el proyecto, as como el programa informtico de clculo, se ha comenzado por el estudio de mecanismos sencillos, como un pndulo simple o un cuadriltero articulado. Dada la sencillez de estos mecanismos, los clculos y su resolucin son relativamente simples. Tambin permite la comprobacin de los resultados obtenidos utilizando las ecuaciones de la mecnica clsica Es necesario sealar, que estos resultados no tienen ninguna utilidad a la hora de estudiar el manipulador. Su utilidad es simplemente de aprendizaje.

1.3.3.

Estudio cinemtico del manipulador paralelo

El clculo cinemtico es aqul que se centra en la resolucin de posiciones, velocidades y aceleraciones de los distintos puntos del mecanismo. Para solucionar estas incgnitas, es necesario conocer las ecuaciones de limitacin o de restriccin. Estas, son ecuaciones de distancia entre puntos, perpendicularidad, paralelismo, etc. que definen la geometra del mecanismo. La solucin de las ecuaciones de limitacin resuelve el problema de posicin, sus primeras derivadas el de velocidad y sus segundas derivadas el de la aceleracin. Dado que en las ecuaciones de limitacin aparecen ecuaciones de segundo grado, se debe utilizar algn mtodo numrico para resolverlas. As, se opta por la utilizacin del mtodo Newton-Raphson para la resolucin de las ecuaciones de limitacin. Tambin son necesarios ciertos datos que conviertan los problemas cinemticos planteados en resolubles. Para obtener la solucin al problema de posicin es necesario conocer la posicin de cada manivela. En este problema viene dada la posicin de cada una de las manivelas por medio del ngulo que forman con la plataforma fija. En el clculo de velocidad, es necesario un dato adicional, que es la velocidad angular de cada manivela. Estas velocidades se calculan tomando como datos la velocidad angular de cada manivela.

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Para obtener las aceleraciones es preciso tener los datos de las aceleraciones angulares de cada manivela, adems de su velocidad angular y su ngulo.

1.3.4.

Estudio dinmico y esttico del manipulador paralelo

El clculo dinmico da solucin a las fuerzas y reacciones que se producen en el mecanismo. Para este problema hay tres situaciones posibles: esttica, dinmica directa y dinmica inversa. En el problema esttico se determina la carga que contrarresta a unas acciones dadas para que el mecanismo permanezca en equilibrio. Un ejemplo prctico de este caso se da cuando el manipulador ha situado la pieza en una posicin deseada, con el fin de que un operario o una mquina realicen operaciones sobre ella (taladrar, soldar, perforar,...) El problema dinmico directo calcula qu cinemtica se le produce al mecanismo bajo la accin de unas cargas dadas, y puede realizar una simulacin del movimiento del mecanismo. El problema dinmico inverso determina la carga que es necesaria aplicar al mecanismo para que se produzca en l una cinemtica deseada. Un caso real de clculo dinmico inverso se produce al querer pasar de una posicin a otra de la plataforma mvil en un tiempo y con una aceleracin determinadas. El tiempo, las aceleraciones y las posiciones inicial y final proporcionan los datos cinemticos. Con estos datos cinemticos se calculan los pares que deben ejercer los motores para que se d el estado cinemtico planteado.

1.3.5.

Estudio de las configuraciones singulares estacionarias

Las configuraciones estacionarias tienen la particularidad de que cuando se llega a ellas el mecanismo sufre un cambio en el nmero de grados de libertad que posee. Por tanto las configuraciones estacionarias constituyen las posiciones que limitan el movimiento del manipulador. Como se puede deducir, es de vital importancia conocer cada una de las configuraciones estacionarias o de volquete con el fin de trazar una ruta que permita pasar de una posicin a otra determinada del manipulador para permitir que el manipulador se site en cualquier posicin que cumpla sus ecuaciones de restriccin cinemticas. Es conveniente que cada uno de los seis motores que estn acoplados a sus

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respectivas bielas tengan dos sentidos de giro, para poder pasar de una posicin a otra por el recorrido ms corto, ya que en ocasiones el movimiento deseado ser de unos pocos grados. Por otro lado, estas posiciones poseen la ventaja de tener un alto grado de precisin en reposo, por lo que son usadas con relativa frecuencia en multitud de mecanismos. Para el clculo de las configuraciones estacionarias, es necesario establecer las ecuaciones que cumplen. Estas ecuaciones son, adems de las ecuaciones de limitacin, las ecuaciones que cumplen la condicin de que el eje del actuador, la manivela y la biela estn contenidos en un mismo plano.

1.3.6.

Diseo del manipulador paralelo

Tras realizar los distintos estudios de la mecnica del manipulador paralelo, se han obtenido ciertos parmetros de diseo. En esta fase, a travs de la resistencia de materiales, se utilizarn dichos parmetros para calcular secciones, desplazamientos, etc. Una vez obtenidos estos datos, se realizar el diseo de un manipulador paralelo, cuya construccin se pretende realizar en los talleres de la UPNA.

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2. ESTUDIO CINEMATICO2.1. IntroduccinEn primer lugar, se deben determinar las caractersticas del mecanismo a estudiar (nmero de eslabones, tipos de enlaces, puntos que lo configuran, etc.). Seguidamente, se plantean las ecuaciones que lo definen (ecuaciones de distancia entre puntos, perpendicularidad, paralelismo, etc.), a las que llamaremos ecuaciones de restriccin o limitacin. En estas ecuaciones, algunas de las variables sern las incgnitas del problema. Evidentemente, son necesarias tantas ecuaciones como incgnitas tiene el mecanismo. Una vez planteadas estas ecuaciones, se puede realizar el estudio cinemtico. El clculo cinemtico da solucin a los problemas de posicin, velocidad, y aceleracin. El problema de posicin se resuelve con las ecuaciones de limitacin, el de velocidad con la solucin de las primeras derivadas de las mismas, y el de aceleracin con las segundas derivadas. Antes de comenzar, se har referencia a la manera en la que se plantean las ecuaciones para la determinacin de la posicin del mecanismo.

2.2. Sistemas de coordenadasLos diferentes slidos que constituyen un mecanismo, pueden ser modelizados de muchas y muy variadas maneras. Para determinar la posicin de un slido rgido en un espacio tridimensional, deberemos de utilizar, al menos, 6 parmetros: uno por cada grado de libertad del slido. Adems, los parmetros pueden referirse a una referencia absoluta, (inercial), o a una referencia relativa como puede ser, por ejemplo, otro slido del mecanismo. Las distintas maneras de resolver este problema se han clasificado para su anlisis y comparacin, y aqu se van a presentar dos tipos de coordenadas que frecuentemente se utilizan para determinar la posicin de un slido en el espacio, y para posteriormente simular el movimiento de varios slidos unidos entre s mediante pares cinemticos.

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2.2.1.

Coordenadas relativas

Las coordenadas relativas, definen la posicin de cada elemento de un mecanismo con relacin al elemento anterior de la cadena cinemtica, utilizando parmetros o coordenadas correspondientes a los grados de libertad de la unin entre los dos slidos. Por ejemplo, en un par de revolucin de un mecanismo en 2D, se define la posicin de un slido respecto del otro con el valor del ngulo del par de revolucin. En el caso de mecanismos de cadena abierta, si se utilizan coordenadas relativas, se tiene tantas coordenadas como grados de libertad, y de esta manera no existen ecuaciones de restriccin.

2.2.2.

Coordenadas naturales

Las coordenadas naturales, pueden definir la posicin de todos los puntos de un slido rgido mediante la posicin, en coordenadas cartesianas, de alguno de sus puntos, y la orientacin de algn vector que consideraremos solidario al cuerpo. Existen varias formas en las que con puntos y vectores podemos determinar la posicin de un slido rgido sin que nos sobren puntos o vectores. Las ecuaciones de restriccin de los pares cinemticos tambin se expresan en funcin de puntos y vectores.

2.2.3.

Eleccin del sistema de coordenadas

El sistema de coordenadas elegido es el de coordenadas naturales, ya que pese a necesitar ms coordenadas para un definir un mismo sistema, son ms sencillas de definir y llevan a sistemas de ecuaciones ms sencillos que las coordenadas relativas.

2.3. El problema de posicinEl problema de posicin consiste en determinar la posicin de todos los elementos del mecanismo. Matemticamente, se trata de determinar, a partir de un dato de entrada, la solucin del sistema de ecuaciones de limitacin. El dato o datos de entrada, pueden ser cualquiera de las distintas coordenadas utilizadas. Para el caso del manipulador paralelo, harn falta seis datos de entrada, que sern los ngulos de cada una de las manivelas.

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En general, las ecuaciones de limitacin no son lineales, por lo que hay que recurrir a mtodos numricos para resolverlas. El mtodo que se utilizar, ser el de NewtonRaphson.

2.3.1.

Mtodo de Newton-Raphson

Este mtodo es uno de los ms usados y efectivos. A diferencia de otros mtodos, el mtodo de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su frmula en un proceso iterativo. El mtodo Newton-Raphson sustituye las ecuaciones por los dos primeros trminos de Taylor. De este modo, del sistema de ecuaciones de restriccin se pasa a un sistema de ecuaciones lineales. Para resolverlo, se parte de una aproximacin inicial y se itera hasta llegar a la solucin definitiva. Sea la aproximacin xi a la raz xr de f(x),

Figura 2.3.1.1: Interseccin de la tangente de f con el eje x Se traza la recta tangente a la curva en el punto (xi, f(xi)); sta cruza al eje x en un punto xi+1 que ser la siguiente aproximacin a la raz xr. Para calcular el punto xi+1, se calcula primero la ecuacin de la recta tangente. Se sabe que tiene pendiente m = f (xi) Y por lo tanto la ecuacin de la recta tangente es: y f(xi) = f (xi)(x - xi) Haciendo y = 0: f(xi) = f (xi)(x - xi)

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Y despejando x: x = xi f (x) f ' (x)

que es la frmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximacin: xi+1 = xi f (x) f ' (x) si f (xi) 0. no trabaja con intervalos donde

Ntese que el mtodo de Newton-Raphson

asegure que encontraremos la raz, y de hecho no se tiene ninguna garanta de aproximacin a dicha raz. Desde luego, existen ejemplos donde este mtodo no converge a la raz, en cuyo caso se dice que el mtodo diverge. Sin embargo, en los casos donde s converge a la raz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los mtodos preferidos por excelencia. Tambin se puede observar que en el caso de que f (xi) = 0, el mtodo no se puede aplicar. De hecho, se aprecia geomtricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje x en ningn punto, a menos que coincida con ste, en cuyo caso xi mismo es una raz de f(x). Para dar solucin a ste nuevo sistema, hay que partir de una solucin aproximada, y a partir de ella, el ordenador realiza iteraciones hasta que el resultado se aproxima a la solucin en menos de un valor prefijado. El mtodo de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrtica, y converge rpidamente hacia la solucin (4 o 5 iteraciones) si la solucin inicial aproximada es suficientemente buena. De cualquier forma, la solucin aproximada puede estimarse a ojo en la mayora de los casos.

2.3.2.

Aplicacin al manipulador paralelo

Inicialmente, es necesario determinar las caractersticas del manipulador (nmero de eslabones, tipos de enlaces, puntos que lo configuran, etc). El manipulador est constituido por dos plataformas: una mvil y otra fija. La plataforma fija es el elemento ms pesado y consistente con el fin de aportar rigidez al manipulador.

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Los seis motores que posee el manipulador se encuentran fijados sobre la plataforma fija, de tal forma que los ejes de los motores y su prolongacin forman un tringulo equiltero de un metro de lado y centrado sobre la plataforma fija. Se considera que el centro de giro de la manivela coincide con el extremo del eje del motor. En cada uno de los lados del tringulo de la plataforma fija se encuentran dos motores. En cada lado los motores se encuentran enfrentados y situados de tal forma que distan cada uno 0.05 metros del punto medio del lado del tringulo en el que se encuentran. Tanto para el estudio cinemtico como para el dinmico, se consideran las manivelas como barras de 0.1 metros de longitud, perpendiculares al eje del motor. La manivela est unida a la biela mediante una junta cardan. Dicha junta permite dos giros relativos entre biela y manivela. La longitud de la biela es de 0.6 metros. El otro extremo de la biela est unido a la plataforma mvil, mediante una junta esfrica, la cual permite el giro relativo entre biela y plataforma en los tres ejes. La plataforma mvil consiste en una placa con forma de tringulo regular de 0.5 m de lado. Idealmente se considera que en cada uno de los vrtices del tringulo se hallan los extremos de dos bielas. De este modo se simplifican las ecuaciones de restriccin, ya que de no coincidir los puntos se considerara la plataforma como un hexgono, perdiendo as la condicin de indeformabilidad y complicando las ecuaciones de limitacin A continuacin se muestra una figura del manipulador paralelo, en la que se presenta la nomenclatura que se utilizar en adelante.

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Figura 2.3.2.1: Puntos caractersticos del Manipulador Paralelo 6-RUS Una vez definidas las caractersticas geomtricas del mecanismo se plantean las ecuaciones de limitacin, que sern las de longitud constante de las bielas y las de la longitud constante de los lados de la plataforma mvil. Por lo que se tienen nueve ecuaciones cuadrticas, seis de las cuales corresponden a la condicin de longitud constante de las bielas y tres a las de longitud constante de los lados de la plataforma mvil. Las ecuaciones de limitacin se pueden representar en forma matricial del siguiente modo: F(q(t),t) = 0 donde q(t) es el vector de las coordenadas dependientes del mecanismo. Aplicando el mtodo de Newton-Raphson, se reemplazar cada ecuacin por los dos primeros trminos de su expresin de Taylor en el punto qi considerado como aproximacin a la solucin. Una vez hecha la sustitucin, el sistema queda: F(q(t),t) F(qi) + Fq(qi)(q-qi) = 0 donde la variable tiempo no ha sido tenida en cuenta, porque las condiciones de restriccin no dependen del tiempo. La matriz Fq es la matriz jacobiana de las ecuaciones de limitacin, es decir, la matriz de las derivadas parciales de estas ecuaciones con respecto a las coordenadas dependientes.

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En la ecuacin anterior se representa un sistema lineal que constituye una aproximacin al sistema no lineal. El vector q obtenido como solucin, ser una aproximacin de la solucin real del sistema. Llamando a esta solucin aproximada qi+1, se obtiene la siguiente frmula recursiva: F(qi) + Fq(qi)(qi+1-qi) = 0 que ser utilizada repetidamente hasta que la diferencia entre dos iteraciones sucesivas sea menor que la tolerancia establecida. Llevado esto al caso del manipulador paralelo, las ecuaciones de restriccin que componen el vector F son las siguientes: Ecuaciones de longitud constante de la biela: (x123-x12)2 + (y123-y12)2 + (z123-z12)2 l22 =0 (x123-x13)2 + (y123-y13)2 + (z123-z13)2 l32 =0 (x145-x14)2 + (y145-y14)2 + (z145-z14)2 l42 =0 (x145-x15)2 + (y145-y15)2 + (z145-z15)2 l52 =0 (x161-x16) + (y161-y16) + (z161-z16) l6 =0 (x161-x11)2 + (y161-y11)2 + (z161-z11)2 l12 =0 (x161-x123)2 + (y161-y123)2 + (z161-z123)2 a122 =0 (x145-x123)2 + (y145-y123)2 + (z145-z123)2 a342 =0 (x145-x161)2 + (y145-y161)2 + (z145-z161)2 a562 =0 Se define tambin el vector de incgnitas: q = {x123, y123, z123, x145, y145, z145, x161, y161, z161}T A la hora de utilizar el mtodo de Newton-Raphson, se tomarn los ngulos que forman las manivelas con el plano horizontal como datos de entrada, y las coordenadas de los tres vrtices de la plataforma superior como incgnitas (vector q). Antes de proceder a la resolucin del sistema, se deben calcular las posiciones del extremo libre de la manivela, para lo que se recurre a las siguientes ecuaciones:2 2 2 2

(2.3.1) (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4) (2.3.5) (2.3.6) (2.3.7) (2.3.8) (2.3.9)

Ecuaciones de longitud constante de cada lado de la plataforma mvil:

x 11 = x 01 + r1cos(z1 )

y 02 - y 01 ( x 02 - x 01 ) + ( y 02 - y 01 )2 2

(2.3.10)

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y11 = y 01 - r1sin(z1 ) z11 = z 01 + r1cos(z1 )

x 02 - x 01 ( x 02 - x 01 ) 2 + ( y 02 - y 01 ) 2

(2.3.11) (2.3.12)

x 12 = x 02 + r2 cos(z 2 )

y 02 - y 01 ( x 02 - x 01 ) 2 + ( y 02 - y 01 ) 2 x 02 - x 01 ( x 02 - x 01 ) 2 + ( y 02 - y 01 ) 2

(2.3.13)

y 12 = y 02 - r2 cos(z 2 )

(2.3.14) (2.3.15)

z12 = z 02 + r2 sin(z 2 )x 13 = x 03 - r3 cos(z 3 ) y 03 - y 04 ( x 04 - x 03 ) 2 + ( y 04 - y 03 ) 2 x 04 - x 03 ( x 04 - x 03 ) + ( y 04 - y 03 )2 2

(2.3.16)

y 13 = y 03 - r3 cos(z 3 )z13 = z 03 + r3 sin(z3 ) x 14 = x 04 - r4 sin(z 4 )

(2.3.17) (2.3.18)

y 03 - y 04 ( x 04 - x 03 ) 2 + ( y 04 - y 03 ) 2 x 04 - x 03 ( x 04 - x 03 ) 2 + ( y 04 - y 03 ) 2

(2.3.19)

y 14 = y 04 - r4 cos(z 4 )

(2.3.20) (2.3.21)

z14 = z 04 + r4 sin(z 4 )x 15 = x 05 - r5 cos(z 5 ) y 05 - y 06 ( x 06 - x 05 ) 2 + ( y 06 - y 05 ) 2 x 05 - x 06 ( x 06 - x 05 ) + ( y 06 - y 05 )2 2

(2.3.22)

y 15 = y 05 + r5 cos(z 5 ) z15 = z 05 + r5 sin(z5 ) x 16 = x 06 - r6 cos(z 6 )

(2.3.23) (2.3.24)

y 05 - y 06 ( x 06 - x 05 ) + ( y 06 - y 05 ) x 05 - x 06 ( x 06 - x 05 ) 2 + ( y 06 - y 05 ) 22 2

(2.3.25)

y 16 = y 06 + r6 cos(z 6 )

(2.3.26)

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z16 = z 06 + r6 sin(z6 )

(2.3.27)

Una vez obtenidas las coordenadas de los extremos libres de las manivelas, ya se puede aplicar el mtodo de Newton-Raphson. Para ello, se realizar un algoritmo en Matlab, el cual para distintos ngulos de entrada soluciona el problema de posicin inicial. Por ltimo, se presenta la matriz Jacobiana necesaria para la aplicacin del mtodo:0 0 0 0 0 0 ( x123 - x12 ) ( y123 - y12 ) ( z123 - z12 ) (x ( y123 - y13 ) ( z123 - z13 ) 0 0 0 0 0 0 123 - x13 ) 0 0 0 ( x145 - x14 ) ( y145 - y14 ) ( z145 - z14 ) 0 0 0 0 0 0 ( x145 - x15 ) ( y145 - y15 ) ( z145 - z15 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( x161 - x16 ) ( y161 - y16 ) ( z161 - z16 ) Fq = 0 0 0 0 0 0 ( x161 - x11 ) ( y161 - y11 ) ( z161 - z11 ) ( x 0 0 0 ( x161 - x123 ) ( y161 - y123 ) ( z161 - z123 ) - x161 ) ( y123 - y161 ) ( z123 - z161 ) 123 ( x123 - x145 ) ( y123 - y145 ) ( z123 - z145 ) ( x145 - x123 ) ( y145 - y123 ) ( z145 - z123 ) 0 0 0 0 0 0 ( x145 - x161 ) ( y145 - y161 ) ( z145 - z161 ) ( x161 - x145 ) ( y161 - y145 ) ( z161 - z145 )

2.4. El problema de velocidadEl problema de velocidad consiste en encontrar la solucin del sistema de ecuaciones formado por las primeras derivadas de las ecuaciones de limitacin con respecto del tiempo. Al hacer estas derivadas, todas las ecuaciones se linearizan y por tanto no es necesario ningn proceso iterativo. Como en el caso anterior, hace falta incluir una condicin de velocidad para que el sistema sea compatible y determinado. Para ello, se tomar como dato la velocidad angular de las manivelas, y a partir de ah se proceder a calcular las velocidades en los vrtices de la plataforma superior. Antes de resolver el sistema, se debe calcular la velocidad en el extremo libre de las manivelas, para lo cual se deben derivar las ecuaciones (2.3.10) a (2.3.27):

vx 11 = -w 1r1sin(z1 )

y 02 - y 01 ( x 02 - x 01 ) 2 + ( y 02 - y 01 ) 2 x 02 - x 01 ( x 02 - x 01 ) 2 + ( y 02 - y 01 ) 2

(2.4.1)

vy 11 = w 1r1sin(z1 )

(2.4.2)

vz 11 = w 1r1cos( z 1 )

(2.4.3)

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vx 12 = - w 2 r2 sin(z 2 )

y 02 - y 01 ( x 02 - x 01 ) 2 + ( y 02 - y 01 ) 2 x 02 - x 01 ( x 02 - x 01 ) 2 + ( y 02 - y 01 ) 2

(2.4.4)

vy 12 = w 2 r2 sin(z 2 )

(2.4.5)

vz 12 = w 2 r2 cos(z 2 )vx 13 = w 3 r3 sin(z 3 )2

(2.4.6)y 03 - y 04 ( x 04 - x 03 ) + ( y 04 - y 03 ) x 04 - x 03 ( x 04 - x 03 ) 2 + ( y 04 - y 03 ) 22

(2.4.7)

vy 13 = w 3 r3 sin(z 3 ) vz13 = w 3 r3 cos(z3 ) vx 14 = w 4 r4 sin(z 4 )

(2.4.8)

(2.4.9)y 03 - y 04 ( x 04 - x 03 ) 2 + ( y 04 - y 03 ) 2 x 04 - x 03 ( x 04 - x 03 ) 2 + ( y 04 - y 03 ) 2

(2.4.10)

vy 14 = w 4 r4 sin(z 4 )

(2.4.11)

vz 14 = w 4 r4 cos(z 4 )vx 15 = w 5 r5 sin(z 5 )

(2.4.12)y 05 - y 06 ( x 06 - x 05 ) + ( y 06 - y 05 ) x 05 - x 06 ( x 06 - x 05 ) 2 + ( y 06 - y 05 ) 22 2

(2.4.13)

vy 15 = - w 5 r5 sin(z 5 ) vz15 = w 5 r5 cos(z5 ) vx 16 = w 6 r6 sin(z 6 )

(2.4.14)

(2.4.15)y 05 - y 06 ( x 06 - x 05 ) 2 + ( y 06 - y 05 ) 2 x 05 - x 06 ( x 06 - x 05 ) 2 + ( y 06 - y 05 ) 2

(2.4.16)

vy 16 = - w 6 r6 sin(z 6 )

(2.4.17)

vz16 = w 6 r6 cos(z6 )

(2.4.18)

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Una vez realizados estos clculos, se proceder a la resolucin del problema de velocidad, para lo cual se derivarn las ecuaciones de limitacin, obtenindose el siguiente sistema:

& Fq q + Ft = 0donde Fq es el jacobiano de las ecuaciones de restriccin, q son las tres componentes de las velocidades de los vrtices de la plataforma superior (la derivada con respecto del tiempo del vector de coordenadas), y Ft es la derivada parcial de las ecuaciones de limitacin respecto del tiempo, mostrada a continuacin:.

( x 123 - x 12 )vx 12 + ( y123 - y 12 )vy 12 + ( z123 - z12 )vz12 ( x 123 - x13 )vx 13 + ( y 123 - y 13 )vy 13 + ( z123 - z13 )vz 13 ( x145 - x14 )vx 14 + ( y 145 - y 14 )vy 14 + ( z145 - z14 )vz 14 ( x145 - x15 )vx 15 + ( y 145 - y 15 )vy 15 + ( z145 - z15 )vz 15 F t = ( x 161 - x 16 )vx 16 + ( y161 - y16 )vy 16 + ( z161 - z16 )vz 16 ( x 161 - x 12 )vx 11 + ( y161 - y11 )vy 11 + ( z161 - z11 )vz 11 0 0 0

2.5. El problema de aceleracinPara encontrar el vector de aceleracin dependiente && , simplemente se debe q diferenciar con respecto del tiempo la ecuacin de velocidad, lo que conduce al siguiente resultado:

& & & Fq(q(t),t) && = - F t - F q q q& Si el vector de posicin q y el vector de velocidad q son conocidos, entonces

resolviendo el sistema lineal se puede encontrar el vector de aceleracin dependiente && . q Ntese que la matriz que encabeza los sistemas lineales de ecuaciones anteriores (posicin y velocidad) es exactamente la misma; esto significa que si ha sido formada y triangularizada par resolver el problema de velocidad, el anlisis de aceleracin puede hacerse simplemente formando el miembro derecho de la ecuacin y realizando una reduccin hacia delante y una sustitucin hacia atrs. Cuando no hay ecuaciones de

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limitacin dependientes del tiempo, el problema de velocidad es homogneo, mientras que el problema de aceleracin es siempre no homogneo siempre y cuando las velocidades no sean iguales a cero. Tal y como se ha procedido en los anteriores casos, lo primero que se debe obtener es la aceleracin en el extremo libre de la manivela. Para ello, se dispone de las siguientes ecuaciones, derivadas respecto del tiempo de las ecuaciones (2.4.1) a (2.4.18):ax11 = -a1r1sin(z1 ) y 02 - y 01 ( x 02 - x 01 ) + ( y 02 - y 01 )x 02 - x 01 ( x 02 - x 01 ) 2 + ( y 02 - y 01 ) 22

2

2

- w 1 r1cos(z1 )2

2

y 02 - y 01 ( x 02 - x 01 )2 + ( y 02 - y 01 )2x 02 - x 01 ( x 02 - x 01 ) 2 + ( y 02 - y 01 ) 2

ay 11 = a 1r1sin(z1 )

+ w 1 r1cos( z1 )

az11 = a 1r1sin(z1 ) - w 1 r1cos( z1 ) ax 12 = -a 2 r2 sin(z 2 ) y 02 - y 01 ( x 02 - x 01 ) 2 + ( y 02 - y 01 ) 2 x 02 - x 01 ( x 02 - x 01 ) + ( y 02 - y 01 )2 2 2

- w 2 r2 cos( z 2 )2

2

y 02 - y 01 ( x 02 - x 01 ) 2 + ( y 02 - y 01 ) 2 x 02 - x 01 ( x 02 - x 01 ) 2 + ( y 02 - y 01 ) 2

ay 12 = a 2 r2 sin(z 2 )

+ w 2 r2 cos( z 2 )

az12 = a 2 r2 cos(z 2 ) - w 2 r2 sin( z 2 ) ax 13 = a 3 r3 sin(z 3 ) y 03 - y 04 ( x 04 - x 03 ) + ( y 04 - y 03 ) x 04 - x 03 ( x 04 - x 03 ) 2 + ( y 04 - y 03 ) 222 2

+ w 3 r3 cos( z 3 )2

2

y 03 - y 04 ( x 04 - x 03 ) 2 + ( y 04 - y 03 ) 2 x 04 - x 03 ( x 04 - x 03 ) 2 + ( y 04 - y 03 ) 2

ay 13 = a 3 r3 sin(z 3 )

+ w 3 r3 cos( z 3 )

az13 = a 3 r3 cos(z 3 ) - w 3 r3 sin( z 3 ) ax14 = a 4 r4 sin(z 4 ) ay14 = a 4 r4 sin(z 4 ) y 03 - y 04 ( x 04 - x 03 ) + ( y 04 - y 03 ) x 04 - x 03 ( x 04 - x 03 ) + ( y 04 - y 03 )2 2 2 2 2

+ w 4 r4 cos(z 4 ) + w 4 r4 cos(z 4 )2

2

y 03 - y 04 ( x 04 - x 03 ) 2 + ( y 04 - y 03 )2 x 04 - x 03 ( x 04 - x 03 ) 2 + ( y 04 - y 03 ) 2

az14 = a 4 r4 cos(z 4 ) - w 4 r4 sin( z 4 ) ax15 = a 5 r5 sin(z 5 ) y 05 - y 06 ( x 06 - x 05 ) + ( y 06 - y 05 )2 2

+ w 5 r5 cos(z 5 )

2

y 05 - y 06 ( x 06 - x 05 ) 2 + ( y 06 - y 05 ) 2

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ay15 = -a 5 r5 sin(z 5 )

x 05 - x 06 ( x 06 - x 05 ) + ( y 06 - y 05 )2 2 2

- w 5 r5 cos(z 5 )

2

x 05 - x 06 ( x 06 - x 05 ) 2 + ( y 06 - y 05 ) 2

az15 = a 5 r5 cos(z 5 ) - w 5 r5 sin( z 5 ) ax16 = a 6 r6 sin(z 6 ) y 05 - y 06 ( x 06 - x 05 ) 2 + ( y 06 - y 05 ) 2 x 05 - x 06 ( x 06 - x 05 ) + ( y 06 - y 05 )2 2 2

+ w 6 r6 cos(z 6 )2

2

y 05 - y 06 ( x 06 - x 05 ) 2 + ( y 06 - y 05 ) 2 x 05 - x 06 ( x 06 - x 05 ) 2 + ( y 06 - y 05 ) 2

ay16 = -a 6 r6 sin(z 6 )

- w 6 r6 cos( z 6 )

az16 = a 6 r6 cos(z 6 ) - w 6 r6 sin( z 6 )

& & & Calculado esto, los trminos de la ecuacin Fq(q(t),t) && = - F t - F q q toman la qsiguiente forma:0 0 0 0 0 ( x123 - x12 ) ( y123 - y12 ) ( z123 - z12 ) ( x - x ) ( y - y ) (z - z ) 0 0 0 0 0 13 123 13 123 13 123 0 0 0 ( x145 - x14 ) ( y145 - y14 ) ( z145 - z14 ) 0 0 0 0 0 ( x145 - x15 ) ( y145 - y15 ) ( z145 - z15 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ( x161 - x16 ) ( y161 - y16 ) 0 0 0 0 0 0 ( x161 - x11 ) ( y161 - y11 ) ( x - x ) ( y - y ) ( z - z ) 0 0 0 ( x161 - x123 ) ( y161 - y123 ) 123 161 123 161 123 161 0 0 ( x123 - x145 ) ( y123 - y145 ) ( z123 - z145 ) ( x145 - x123 ) ( y145 - y123 ) ( z145 - z123 ) 0 0 0 ( x145 - x161 ) ( y145 - y161 ) ( z145 - z161 ) ( x161 - x145 ) ( y161 - y145 ) ax123 ay 123 az123 0 0 ax145 ay145 = ( z161 - z16 ) ( z161 - z11 ) az145 ( z161 - z123 ) ax161 0 ay161 az ( z161 - z145 ) 161 0 0

( x123 - x12 )ax12 + ( y123 - y12 )ay12 + ( z123 - z12 )az12 ( x - x )ax + ( y - y )ay + ( z - z )az 13 13 123 13 13 123 13 13 123 ( x145 - x14 )ax14 + ( y145 - y14 )ay14 + ( z145 - z14 )az14 ( x145 - x15 )ax15 + ( y145 - y15 )ay15 + ( z145 - z15 )az15 ( x161 - x16 )ax16 + ( y161 - y16 )ay16 + ( z161 - z16 )az16 ( x161 - x11 )ax11 + ( y161 - y11)ay11 + ( z161 - z11)az11 0 0 0

0 0 0 0 0 0 ( vx123 - vx12 ) ( vy123 - vy12 ) ( vz123 - vz12 ) ( vx - vx ) ( vy - vy ) ( vz - vz ) 0 0 0 0 0 0 123 13 123 13 123 13 0 0 0 ( vx145 - vx14 ) ( vy145 - vy14 ) ( vz145 - vz14 ) 0 0 0 0 0 0 ( vx145 - vx15 ) ( vy145 - vy15 ) ( vz145 - vz15 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( vx161 - vx16 ) ( vy161 - vy16 ) ( vz161 - vz16 ) 0 0 0 0 0 0 ( vx161 - vx11) ( vy161 - vy11 ) ( vz161 - vz11 ) ( vx - vx ) ( vy - vy ) ( vz - vz ) 0 0 0 ( vx161 - vx123 ) ( vy161 - vy123 ) ( vz161 - vz123 ) 161 123 161 123 161 123 0 0 0 ( vx123 - vx145 ) ( vy123 - vy145 ) ( vz123 - vz145 ) ( vx145 - vx123 ) ( vy145 - vy123 ) ( vz145 - vz123 ) 0 0 0 ( vx145 - vx161) ( vy145 - vy161 ) ( vz145 - vz161 ) ( vx161 - vx145 ) ( vy161 - vy145 ) ( vz161 - vz145 )

vx123 vy 123 vz123 vx145 vy145 vz145 vx 161 vy161 vz 161

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( vx123 - vx12 )vx12 + ( vy123 - vy12 )vy12 + ( vz123 - vz12 )vz12 ( vx - vx )vx + ( vy - vy )vy + ( vz - vz )vz 13 13 123 13 13 123 13 13 123 ( vx145 - vx14 )vx14 + ( vy145 - vy14 )vy14 + ( vz145 - vz14 )vz14 ( vx145 - vx15 )vx15 + ( vy145 - vy15 )vy15 + ( vz145 - vz15 )vz15 + ( vx161 - vx16 )vx16 + ( vy161 - vy16 )vy16 + ( vz161 - vz16 )vz16 ( vx161 - vx11 )vx11 + ( vy161 - vy11 )vy11 + ( vz161 - vz11)vz11 0 0 0

Ecuacin de sencilla resolucin puesto que slo tiene incgnitas en su parte izquierda.

2.6. ResultadosUna vez planteadas todas las ecuaciones, se programan en Matlab los algoritmos necesarios para su resolucin. As, se obtiene un programa que para distintos valores de entrada (posicin, velocidad angular y aceleracin angular de la manivela), calcula la posicin, velocidad y aceleracin de los tres vrtices de la plataforma superior. Los datos del manipulador paralelo son los siguientes: Longitud de las bielas = 0.6 m Longitud de las manivelas = 0.1 m Longitud de los lados de la plataforma superior = 0.5 m Se introducen los datos en la siguiente ventana:

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Figura 2.6.1: Ventana de datos de entrada del problema cinemtico Para los datos de entrada de la figura anterior, los resultados son los siguientes:Posiciones (m) x123 -0,1542 y123 z123 x145 y145 z145 x161 y161 z161 0,2671 0,568 0,2671 0 0,6022 -0,1753 -0,2323 0,833 Velocidades (m/s) vx123 0,0163 vy123 vz123 vx145 vy145 vz145 vx161 vy161 vz161 -0,0282 0,0537 0,0388 0 -0,0026 0,0534 -0,0305 0,0298 Aceleraciones (m/s ) ax123 0,1875 ay123 az123 ax145 ay145 az145 ax161 ay161 az161 -0,0468 0,033 0,0536 0 -0,0604 0,0808 -0,0464 -0,012

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3. ESTUDIO DINAMICO3.1. IntroduccinLas ecuaciones de la dinmica de un sistema multicuerpo las podemos obtener a travs de varios procedimientos matemticos como: el principio de los desplazamientos virtuales, el principio de Hamilton, las ecuaciones de Lagrange, o el mtodo de las potencias virtuales. De esta manera, podremos llegar a distintas expresiones con las que podremos modelar y simular sistemas dinmicos multicuerpo. En el problema dinmico, entran en juego las fuerzas y reacciones que se producen en el mecanismo. La ecuacin que se utiliza es bsicamente la de la 2 Ley de Newton: F=ma Esta ecuacin necesariamente debe modificarse para realizar los clculos que aqu competen, ya que no se supone que la masa de los eslabones est concentrada en su centro de gravedad, sino que la masa se distribuye entre varios puntos del mismo, que sern llamados puntos caractersticos del eslabn. Para ello, y para poder utilizar la ecuacin para sistemas multicuerpo, se utiliza la matriz de masas, la cual se describe en el siguiente apartado.

3.2. Matriz de masasEn esta seccin se va a explicar la forma en la que se construye la matriz de masas de un slido, para que multiplicndola por las aceleraciones, se obtenga el vector de las fuerzas de inercia. La forma que tomar la matriz de masas, depender de las coordenadas que se utilicen para representar el mecanismo. Las fuerzas de inercia sern representadas por medio de fuerzas equivalentes que sean congruentes con las coordenadas naturales del elemento. La matriz de masas se puede escribir basndose en diversos factores, como por ejemplo: - dos puntos y dos vectores no coplanares - tres puntos y un vector no coplanar - cuatro puntos

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-

dos puntos y un vector no colineal

Para el presente caso, se calcular la matriz de masa para cuatro puntos, a partir de la expresin de la energa cintica. Para ello, se dispone la siguiente figura, z w rp p v u y x Figura 3.2.1: Referencias fija y mvil en un slido rgido En la figura, se observa que hay un sistema de referencia fijo [x,y,z], y un sistema de referencia mvil [u,v,w]. De la figura se deduce: rp = r0 + xpu + ypv + zpw o lo que es lo mismo: r0 u rp = [ I3 xpI3 ypI3 zpI3 ] = AV v w siendo I3 la matriz identidad de orden 3, A una matriz 3x12 y V un vector 12x1. Derivando una vez con respecto del tiempo, y puesto que la matriz A no vara con el tiempo, se tiene: & & rp = AV Entonces, se puede ir a la expresin de la energa cintica: W=1 &T& 1 &T T & 1 &T T & rp rp dm = V A AVdm = V A Adm V 2 2 2

[

]

Si se calcula ATA, se tiene:

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I3 x p I3 T A A= y p I3 z p I3

x p I3 x p I3 x p y p I3 x p z p I32

y p I3 x p y p I3 y p I3 y p z p I32

z p I3 x p z p I3 y p z p I3 2 z p I3 mz G I3 I xz I3 I yz I3 Iz I3

Integrando para toda la masa se llega a: mI3 mx I G 3 T A Adm = my G I3 mz G I3 mx G I3 Ix I3 Ixy I3 I xz I3 my G I3 Ixy I3 Iy I3 Iyz I3

donde Iij son los productos de inercia, e Ii son las siguientes combinaciones de los momentos de inercia:

Ix =

Iyy + Izz - Ixx 2

Iy =

Ixx + Izz - Iyy 2

Iz =

Ixx + Iyy - Izz 2

A continuacin se particularizar el clculo de la matriz de masa al caso objeto del estudio.

3.2.1.

Matriz de masa referida a 4 puntos

Para el estudio que se est desarrollando, se debe calcular la matriz de masa referida a 4 puntos. Para ello, se considera que la referencia mvil est fijada a la plataforma superior, y como cuarto punto adems de los tres vrtices, se toma el punto con el que los tres anteriores formaran un tetraedro apoyado en la plataforma superior. Se definen a continuacin las coordenadas de estos cuatro puntos en la referencia mvil: r161 = r0 + x161u + y161v + z161w r123 = r0 + x123u + y123v + z123w r145 = r0 + x145u + y145v + z145w r200 = r0 + x200u + y200v + z200w Estas ecuaciones se pueden reescribir de la siguiente forma:

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r123 I3 r I rijk = 145 = 3 r161 I3 r200 I3& & rijk = B V

x123 I3 x145 I3 x161I3 x 200 I3

y123 I3 y145 I3 y161I3 y 200 I3& & V = B-1 rijk

z123 I3 r0 z145 I3 u z161I3 v z 200 I3 w & & T V T = rijk B -1T

Derivando con respecto del tiempo, y operando, se llega a: rijk = BV

Anteriormente, se haba llegado a: W=1 &T & V A T Adm V 2

[

]

& & Sustituyendo V y V T por las expresiones obtenidas, se tiene:

W=

1 & T -1T & rijk B A T Adm B-1 rijk 2

[

]

Con lo que ya se ha obtenido una expresin para la matriz de masa: M = B -1T A T Adm B-1 Una vez calculada la expresin general de la matriz de masa referida a 4 puntos, ya se puede obtener la matriz de masa del manipulador con el slido a posicionar. El slido que se situar sobre la plataforma mvil es un cilindro recto y de densidad homognea. La altura del cilindro es de 1.2 metros. El dimetro de la base tiene un valor de 50 cm. La masa del cilindro es de 80 Kg y est situada de tal forma que el centro del crculo que forma su base coincide con el baricentro de la plataforma mvil del manipulador. Para el clculo de la matriz de masa de la plataforma mvil y del cilindro se desprecia la masa de la plataforma y se calcula dicha matriz respecto de 4 puntos que forman un tetraedro (3 vrtices de la plataforma mvil y un punto auxiliar). Ntese que puesto que la matriz de masa slo depende de la geometra del sistema, la cual permanecer invariable, la matriz de masa ser constante en todo momento.

[

]

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3.3. El problema dinmico3.3.1. Introduccin

La dinmica estudia los efectos que las fuerzas producen sobre un mecanismo. El efecto de estas fuerzas es producir aceleraciones, y generar fuerzas internas entre los eslabones del sistema. Debido a que el conjunto de coordenadas naturales no son independientes, se introducen los multiplicadores de Lagrange en las ecuaciones que relacionan las masas con las fuerzas y las aceleraciones. Las ecuaciones para el estudio dinmico son:

& M q + FqTl = QDonde M representa la matriz de masas, FqT la matriz jacobiana transpuesta, l el vector de los multiplicadores de Lagrange y Q el vector de las fuerzas exteriores. Al mismo tiempo se deben cumplir las ecuaciones de la cinemtica representadas por:

& & & Fq && = - F q q - F t qEn el primer sistema de n ecuaciones, se tienen n+m incgnitas: los n elementos del vector de aceleraciones ms los m elementos del vector de los multiplicadores. Para poder resolver este sistema, se toman en consideracin tambin las m ecuaciones cinemticas del clculo de las aceleraciones, formando as un sistema de n+m ecuaciones con n+m incgnitas, que se puede expresar de forma matricial como: M F q T Q q F q && = & & & 0 l - F q q - F t

Sistema de ecuaciones que sirve tanto para resolver los problemas dinmicos directos como los problemas dinmicos inversos y los estticos.

3.3.2.

El problema dinmico directo

El objetivo del problema dinmico directo es encontrar las aceleraciones que unas determinadas fuerzas producen sobre el mecanismo y, posteriormente resolver las fuerzas de reaccin que se introducen en cada uno de los puntos.

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Para ello, en primer lugar se deben determinar las caractersticas del mecanismo, las cuales son representadas por las ecuaciones de limitacin vistas anteriormente. Tambin es preciso conocer la posicin y velocidad del manipulador, clculos realizados introduciendo las condiciones de entrada para la posicin y velocidad angular de la manivela y resolviendo los problemas de posicin y velocidad tal y como se ha realizado en el clculo cinemtico. Tras ello, se plantea el conjunto de cargas que actan sobre el sistema, que pueden ser de dos tipos: fuerzas o momentos. Se deben definir sus magnitudes, lneas de accin y puntos de aplicacin. En este momento, se plantea el conjunto de cargas que actan sobre el sistema, que pueden ser de dos tipos: fuerzas y momentos. Se deben definir sus magnitudes, lneas de accin y puntos de aplicacin. Con estos datos de entrada, se realiza un programa que calcula las aceleraciones que se generan en el mecanismo. Para ello, se basa en el mtodo de la potencia virtual aplicado en cada uno de los puntos mviles del mecanismo, que se basa en la potencia necesaria para producir un desplazamiento virtual muy pequeo en cada uno de los puntos. Se genera as un conjunto de ecuaciones en el que las incgnitas son las aceleraciones de estos puntos. Sin embargo, estas ecuaciones estn ligadas entre s por medio de las ecuaciones de limitacin del mecanismo. Por esto, cada una de las ecuaciones de la potencia virtual se debe corregir introduciendo un sumando que representa la potencia virtual correspondiente a las limitaciones del sistema. Este sumando se toma como producto de cierto elemento de la matriz jacobiana del mecanismo multiplicada por un factor conocido como multiplicador de Lagrange, ya visto en la introduccin de este apartado. As, se tiene un sistema en que todas las ecuaciones son lineales y cuya solucin da como resultado las deseadas aceleraciones de los puntos del mecanismo y el valor de los multiplicadores de Lagrange. Para el caso del manipulador paralelo, se trabajar con el sistema: M F q T Q q F q && = & & & 0 l - F q q - F t

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donde q = [x123,y123,z123, x145,y145,z145, x161,y161,z161, x200,y200,z200,q1,q2,q3,q4,q5,q6]T, vector en el que se han aadido las coordenadas de punto x200, vrtice de la pirmide formada por ese mismo punto y los tres vrtices de la plataforma superior. Se ha debido aadir este punto porque la matriz de masas est referida a 4 puntos. De no aadirse, la matriz de masa referida a 3 puntos no sera constante. Por otra parte, el vector F tendr la siguiente forma: (x123 - x03 + r3cos( 3 ) q (x - x + r cos( ) q4 145 04 4 (x - x + r cos( ) q5 145 05 5 q F = (x161 - x06 + r6cos( 6 ) 2 q q (x123 - x02 - r2cos( 2 ))2 + (y123 - y02)2 + (z123 - z02 - r2sin( 2 ))2 - L2 y03 - y04 x04 - x03 2 2 2 2 q q ) + (y123 - y03 + r3cos( 3 ) ) + (z123 - z03 - r3sin( 3 )) - L3 (x04 - x03)2 + (y04 - y03)2 (x04 - x03)2 + (y04 - y03)2 y03 - y04 x04 - x03 2 q q )2 + (y145 - y04 + r4cos( 4 ) )2 + (z145 - z04 - r4sin( 4 ))2 - L4 (x04 - x03)2 + (y04 - y03)2 (x04 - x03)2 + (y04 - y03)2 y05 - y06 x05 - x06 2 q q )2 + (y145 - y05 - r5cos( 5 ) )2 + (z145 - z05 - r5sin( 5 ))2 - L5 (x06 - x05)2 + (y06 - y05)2 (x06 - x05)2 + (y06 - y05)2 y05 - y06 x05 - x06 2 q q )2 + (y161 - y06 - r6cos( 6 ) )2 + (z161 - z06 - r6sin( 6 ))2 - L6 x123 2 2 2 2 (x06 - x05) + (y06 - y05) (x06 - x05) + (y06 - y05) 2 q q (x161 - x01 - r1cos( 1))2 + (y161 - y01)2 + (z161 - z01 - r1sin( 1))2 - L1 2 2 2 2 (x161 - x123) + (y161 - y123) + (z161 - z123) - a12 2 (x145 - x123)2 + (y145 - y123)2 + (z145 - z123)2 - a34 2 (x145 - x161)2 + (y145 - y161)2 + (z145 - z161)2 - a56 2 2 2 2 (x200 - x123) + (y200 - y123) + (z200 - z123) - 0.5 (x200 - x145)2 + (y200 - y145)2 + (z200 - z145)2 - 0.52 2 2 2 2 (x200 - x161) + (y200 - y161) + (z200 - z161) - 0.5

por lo que Fq ser un jacobiano de dimensiones 12x18. La matriz de masa M habr que completarla para introducir en ella las manivelas, ya que sus aceleraciones angulares sern tambin variables del problema. Como su masa se puede considerar despreciable, la matriz se completar con submatrices nulas hasta llegar a una matriz 18x18. El vector Q ser un vector cuyas primeras 12 componentes sern las tres componentes de las fuerzas en los cuatro vrtices del tetraedro, y las siguientes 6 componentes sern los momentos en las manivelas. En el programa realizado para la resolucin del problema, se pueden introducir fuerzas externas en los tres vrtices de la plataforma (en el vrtice superior del tetraedro, puesto que es un punto ficticio no perteneciente al sistema en s, se considera que no se pueden introducir fuerzas externas), y momentos en las manivelas. El sistema se resuelve de manera sencilla, puesto que todas las incgnitas estn en el mismo vector.

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3.3.3.

El problema dinmico inverso

El objetivo del problema dinmico inverso es encontrar el valor de la carga que produce en el mecanismo un efecto dado. En segundo lugar, calcula las reacciones internas que se producen en cada uno de sus puntos. Es el problema inverso al dinmico directo, puesto que los datos de ahora son las incgnitas de antes y las incgnitas de ahora son los datos iniciales del problema anterior. El mtodo empleado para resolverlo es el mismo que en el caso directo, basado en la potencia virtual. Para resolver el problema, en primer lugar se deben determinar las caractersticas del sistema, descritas en las ecuaciones de limitacin, y a partir de ah calcular la posicin, velocidad y aceleracin que se desea que la carga incgnita genere en el mecanismo. Para ello se introducen las condiciones de entrada para la posicin, velocidad angular y aceleracin angular de la manivela y se resuelven los problemas de posicin, velocidad y aceleracin. Llegados a este punto, se plantea el conjunto de cargas que actan sobre el sistema, que pueden ser fuerzas y/o momentos. Se deben definir sus magnitudes, lneas de accin y puntos de aplicacin. Adems, se deben definir las caractersticas de la carga que, unida al conjunto que acta inicialmente, induce en el sistema las aceleraciones anteriormente definidas. Las caractersticas de esta carga debern ser su tipo (fuerza o momento), direccin de su lnea de accin y punto y elemento donde se aplica. Posteriormente se programa un algoritmo que resuelve en primer lugar la cinemtica completa del mecanismo y en segundo lugar calcula la magnitud de la carga desconocida. En este caso, se genera un conjunto de ecuaciones en el que las incgnitas son los multiplicadores de Lagrange y la carga que induce la citada aceleracin. Tras resolver el sistema, se resuelven las fuerzas internas que se producen en el mecanismo utilizando los multiplicadores y las aceleraciones del mecanismo. Para el caso del manipulador paralelo, se trabajar con el mismo sistema que para resolver la dinmica directa, es decir: M F q T Q q F q && = & & & 0 l - F q q - F t

donde q = [x123,y123,z123, x145,y145,z145, x161,y161,z161, x200,y200,z200,q1,q2,q3,q4,q5,q6]T.

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Como en el caso precedente, el vector Q ser un vector cuyas primeras 12 componentes sern las tres componentes de las fuerzas en los cuatro vrtices del tetraedro, y las siguientes 6 componentes sern los momentos en las manivelas (Mi). Puesto que se tienen 6 grados de libertad, y en la construccin del manipulador paralelo stos sern controlados a travs de los motores, se supondrn nulas las fuerzas en la plataforma superior (12 primeras componentes de Q), y las incgnitas sern los 6 pares en las manivelas. As pues, se tendr un sistema con 18 ecuaciones y 18 incgnitas (6 momentos en las manivelas y 12 multiplicadores de Lagrange). Para resolver el sistema, hay que tener en cuenta que en la ecuacin de la cinemtica se conocen todos los trminos, por lo que no ser necesaria. Realizando las pertinentes operaciones algebraicas, el sistema a resolver ser:

[M] [&&]+ [F q T ] [l]= Q = q generar las aceleraciones deseadas.

0 Mi

T F q

0 l = - [M] [&&] q - I6 Mi

del cual se obtendrn los multiplicadores de Lagrange y los pares necesarios para

3.3.4.

El problema esttico

La esttica consiste en estudiar los sistemas sometidos a cargas externas tales que su accin final sea nula, es decir, que se contrarresten entre ellas de manera que el sistema permanezca inmvil o con una cinemtica igual a la que tendra si no actuase ninguna carga sobre l. En estos casos se estudian todas las fuerzas que se crean en el sistema. El problema esttico, adems, en el caso de que las cargas que actan sobre el sistema no se compensen entre s, es capaz de encontrar el valor de la carga que las contrarresta para equilibrar el mecanismo, y proceder despus al estudio de las fuerzas que se generan en el sistema. En este problema, tal y como se haca en los anteriores, en primer lugar se determinan las caractersticas del mecanismo, representadas en las ecuaciones de limitacin, para despus calcular la posicin del mecanismo resolviendo el problema de posicin inicial.

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De este modo se conocer la posicin de todos los puntos del sistema. Adems, como se est planteando el problema esttico, tambin se conocern las velocidades y aceleraciones de todos los puntos, que sern nulas. Ms tarde, se plantea el conjunto de cargas (fuerzas y momentos) que actan sobre el mecanismo. Para el caso en que este conjunto de cargas no equilibre el sistema, se debe definir el tipo de carga que se quiere que estabilice el mecanismo, y el punto y el eslabn en que se aplicar. As, se preparar un programa que calcule el valor de la carga equilibrante (si la hay) y las fuerzas que se generan en el mecanismo. Dicho algoritmo se basa en el mtodo de la potencia virtual aplicado en cada uno de los puntos mviles del mecanismo. Se genera as un conjunto de ecuaciones en el que las incgnitas son los multiplicadores de Lagrange y el valor de la carga que estabiliza al sistema. Una vez resuelto el sistema, se calculan todas las reacciones internas utilizando los multiplicadores de Lagrange. Para el caso del manipulador paralelo, las cargas que lo equilibren sern los momentos a aplicar en las manivelas. Se supondr que las fuerzas y momentos que actan sobre el sistema, se pueden sustituir por una fuerza y un momento resultantes que actan sobre el centro de gravedad de la plataforma superior. Se podr hacer una sencilla simplificacin de la ecuacin principal, puesto que las velocidades son nulas: M && + FqTl = Q q FqTl = Q

En esta ocasin, F ser un vector que contiene 27 ecuaciones de limitacin ((2.3.1) a (2.3.27)). Como variables se tomarn: las tres coordenadas de cada extremo libre de las seis manivelas (18 variables) la tres coordenadas de los tres vrtices de la plataforma superior (9 variables) los seis ngulos que forman las manivelas con el plano horizontal, contado desde dentro del tringulo que forman los ejes de los motores (6 variables) Se tienen pues 33 variables, por lo que las dimensiones de Fq sern 27x33 (33x27 para la traspuesta FqT). El vector de multiplicadores de Lagrange l ser de dimensin 27x1, y Q ser el vector de fuerzas externas de dimensin 33x1, que estar formado por: Las tres componentes de la fuerza exterior en el extremo libre de cada manivela (18)

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-

Las tres componentes de la fuerza exterior en cada vrtice de la plataforma superior (9) Los momentos equilibrantes que debe proporcionar cada motor (6)

Como simplificacin se supone que slo puede haber fuerzas exteriores aplicadas en la plataforma superior, por lo que las 18 primeras componentes del vector Q sern nulas. Adems, la fuerza exterior aplicada en la plataforma se conocer como una resultante de fuerzas y momentos aplicada en el centro de gravedad de la misma, por lo que el programa deber reconvertir esta resultante en fuerzas aplicadas en los vrtices. El sistema est formado por 33 ecuaciones con 33 incgnitas, que son las 27 componentes del vector de multiplicadores de Lagrange, y los seis momentos equilibrantes que deben proporcionar los motores. Como no se tienen todas las incgnitas en el mismo vector se deben realizar ciertas manipulaciones algebraicas antes de proceder a la resolucin del sistema:

[F ]T q

0 [l] = Q = F Mi

T F q

0 0 l = F - I6 Mi 0

donde F (9x1) es el vector de las fuerzas exteriores aplicadas en los vrtices de la plataforma superior, y Mi (6x1) el vector de los momentos equilibrantes a realizar por los motores.

3.4. ResultadosUna vez planteados los sistemas a resolver, se programan en Matlab los algoritmos necesarios para su resolucin.

3.4.1.

Problema dinmico directo

Se ha programado un algoritmo que resuelve el problema para distintas posiciones, velocidades y fuerzas y momentos externos aplicados al manipulador. Las posiciones y velocidades se introducirn en la siguiente ventana:

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Figura 3.4.1.1: Ventana de datos de entrada para el problema dinmico directo Una vez resueltos los problemas de posicin inicial y velocidad, se despliega la siguiente ventana, en la que se podrn introducir las fuerzas y los momentos:

Figura 3.4.1.2: Ventana de fuerzas y momentos para el problema dinmico directo

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Pulsando el botn Resolver dinmica, se resolver el problema dinmico directo. Para el caso de los de partida de las figuras anteriores, se tiene los siguientes resultados:aceleraciones angulares (rad/s2) w1 3,0978 w2 w3 w4 w5 w6 5,9323 6,6483 0,2212 -0,4570 7,0574 acleraciones del manipulador (m/s2) ax123 -0,3193 ay123 az123 ax145 ay145 az145 ax161 ay161 az161 0,2613 0,5257 -0,5500 -0,1382 0,1355 -0,7807 0,2613 0,4638

3.4.2.

Problema dinmico inverso

El algoritmo realizado permite resolver el problema para distintas posiciones, velocidades y aceleraciones deseadas las cuales se deben introducir en las siguiente ventana:

Figura 3.4.2.1: Ventana de datos de entrada para el problema dinmico inverso Una vez resueltos los problemas de posicin, velocidad y aceleracin, se procede a la resolucin del problema dinmico inverso, en el que se pueden introducir las fuerzas que se deseen en los vrtices de la plataforma mvil, mediante la siguiente ventana:

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Figura 3.4.2.2: Ventana de fuerzas exteriores para el problema dinmico inverso Resolviendo el sistema con los datos de las figuras anteriores, los resultados de momentos necesarios y fuerzas en las bielas son los siguientes:Momentos necesarios (Nm) M1 110,82 M2 M3 M4 M5 M6 91,35 0,09 31,51 -133,37 -145,32 Reacciones en las bielas (N) Fb1 -1.450,2 Fb2 Fb3 Fb4 Fb5 Fb6 -1.195,5 -1,2 -412,4 1.745,4 1.901,8

3.4.3.

Problema esttico

El algoritmo programado resuelve el problema esttico para distintas posiciones, las cuales se pueden introducir en la siguiente ventana:

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Figura 3.4.3.1: Ventana de datos de entrada para el problema esttico Antes de resolver la dinmica, se pueden introducir diferentes valores de la carga aplicada en el centro de gravedad de la plataforma superior, mediante la siguiente ventana:

Figura 3.4.3.2: Ventana de fuerzas y momentos exteriores en el centro de gravedad de la plataforma superior

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Resolviendo el problema esttico con los datos introducidos en las figuras anteriores los momentos necesarios:M1 M2 M3 M4 M5 M6 -1,8372 -1,4534 -0,1033 1,7831 -1,1139 1,9099

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4. ESTUDIO DE LAS CONFIGURACIONES ESTACIONARIAS4.1. IntroduccinLas configuraciones singulares estacionarias o de volquete son posiciones del manipulador que tienen la particularidad de que cuando se llega a ellas el mecanismo sufre un cambio en el nmero de grados de libertad que posee. Estas configuraciones estacionarias aparecen tanto en mecanismos tridimensionales como en mecanismos planos. Se considerar primero el caso de las posiciones singulares de un cuadriltero articulado 2 3 1

Figura 4.1.1: Cuadriltero articulado Las configuraciones estacionarias se darn cuando la manivela (1) y el eslabn acoplador (2) estn alineados. Existen pues dos posiciones de volquete en el cuadriltero articulado, las cuales se muestran a continuacin:

2 1

3

Figura 4.1.2: Cuadriltero articulado en posicin singular de superposicin

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2 1 3

Figura 4.1.3: Cuadriltero articulado en posicin singular de prolongacin Estas posiciones son configuraciones de gran precisin de posicin para el eslabn seguidor (3). En ellas, pequeos errores en la posicin de las manivelas de entrada apenas influyen en la posicin del seguidor, de ah su calificativo de posiciones estacionarias. En las posiciones de volquete, el par de entrada en la manivela ser nulo e independiente de las fuerzas o momentos que aplicados al eslabn de salida. Esto es debido a que la reaccin que aparece en la articulacin de unin de la manivela y el eslabn acoplador tiene la direccin de la manivela. En los mecanismos planos, pueden existir configuraciones singulares de incertidumbre de posicin, que suelen resultar perjudiciales o negativas, en las que el eslabn de salida puede realizar pequeos desplazamientos aunque el eslabn de entrada permanezca inmvil, de ah la incertidumbre de posicin. Tambin, el eslabn de salida puede tener una cierta velocidad, siendo nula la velocidad del eslabn de entrada. Un ejemplo de este tipo de posiciones se puede dar en el cuadriltero articulado si se introduce el movimiento por el eslabn seguidor y se toma la manivela como eslabn de salida. En este caso, si no se toma ningn tipo de precaucin, el mecanismo puede quedar fuera de control en esas configuraciones, al surgir un nuevo grado de libertad para el eslabn de salida.

4.2. Configuraciones manipulador paralelo

singulares

estacionarias

del

El manipulador paralelo est formado por dos plataformas triangulares, una fija y otra mvil, unidas por seis cadenas actuador-biela-manivela. Puesto que dichas cadenas cinemticas poseen posiciones de volquete, el manipulador paralelo tambin las tendr. Estas configuraciones se darn cuando la posicin de alguna cadena sea tal que el eje del actuador, la manivela y la biela se encuentren en el mismo plano.

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Analizando las posibles posiciones del eje del actuador, la manivela y la biela, se observa que cada cadena tendr dos posiciones de insensitividad: una cuando la manivela y biela estn casi en prolongacin y otra cuando estn casi superpuestas. Hallndose una de las cadenas cinemticas del manipulador paralelo en posicin de volquete, ste perder un grado de libertad. Cuando esto sucede, a la posicin alcanzada por el manipulador se le denomina configuracin estacionaria parcial, puesto que la plataforma permanecer fija si se introduce movimiento por el actuador cuya cadena cinemtica correspondiente se encuentre en configuracin estacionaria. As, se pueden alcanzar infinidad de configuraciones estacionarias parciales, combinando las distintas posiciones de volquete de las cadenas cinemticas. Si se alcanzan posiciones de volquete en las seis cadenas cinemticas del manipulador, se habr llegado a una configuracin estacionaria total, tambin llamada configuracin estacionaria. En estas posiciones, la plataforma mvil permanecer fija aunque se introduzca movimiento por todos los actuadores. Puesto que el manipulador paralelo tiene seis cadenas cinemticas, y cada una de ellas tiene cuatro posiciones de volquete, se tendr un total de 26 = 64 configuraciones estacionarias.

4.2.1.

Clculo de las configuraciones singulares estacionarias del

manipulador paraleloPara el clculo de las 64 configuraciones estacionarias o de insensitividad que presenta el manipulador, se deben plantear las ecuaciones que cumplen dichas posiciones. Se pueden distinguir dos tipos de ecuaciones: las que cumplen todas las posiciones del manipulador, las cuales se cumplan en el clculo cinemtico y las propias de las posiciones de volquete. Estas ltimas ecuaciones son obtenidas de la condicin de que el eje del motor, la manivela y la biela estn contenidos en un mismo plano. Por tanto, las ecuaciones que debe cumplir el manipulador en las configuraciones estacionarias son: Ecuaciones de longitud constante de la biela: (x123-x12)2 + (y123-y12)2 + (z123-z12)2 l22 =0 (x123-x13)2 + (y123-y13)2 + (z123-z13)2 l32 =0 (x145-x14)2 + (y145-y14)2 + (z145-z14)2 l42 =0

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(x145-x15)2 + (y145-y15)2 + (z145-z15)2 l52 =0 (x161-x16)2 + (y161-y16)2 + (z161-z16)2 l62 =0 (x161-x11)2 + (y161-y11)2 + (z161-z11)2 l12 =0 Ecuaciones de longitud constante de cada lado de la plataforma mvil: (x161-x123)2 + (y161-y123)2 + (z161-z123)2 a122 =0 (x145-x123)2 + (y145-y123)2 + (z145-z123)2 a342 =0 (x145-x161)2 + (y145-y161)2 + (z145-z161)2 a562 =0 Ecuaciones de longitud constante de las manivelas: (x11-x01)2 + (y11-y01)2 + (z11-z01)2 r12 =0 (x12-x02)2 + (y12-y02)2 + (z12-z02)2 r22 =0 (x13-x03)2 + (y13-y03)2 + (z13-z03)2 r32 =0 (x14-x04)2 + (y14-y04)2 + (z14-z04)2 r42 =0 (x15-x05)2 + (y15-y05)2 + (z15-z05)2 r52 =0 (x16-x06)2 + (y16-y06)2 + (z16-z06)2 r62 =0 Condicin de perpendicularidad entre el eje del motor y la manivela: (x11-x01)(x02-x01) + (y11-y01)(y02-y01) + (z11-z01)(z02-z01) = 0 (x12-x02)(x02-x01) + (y12-y02)(y02-y01) + (z12-z02)(z02-z01) = 0 (x13-x03)(x04-x03) + (y13-y03)(y04-y03) + (z13-z03)(z04-z03) = 0 (x14-x04)(x04-x03) + (y14-y04)(y04-y03) + (z14-z04)(z04-z03) = 0 (x15-x05)(x05-x06) + (y15-y05)(y05-y06) + (z15-z05)(z05-z06) = 0 (x16-x06)(x05-x06) + (y16-y06)(y05-y06) + (z16-z06)(z05-z06) = 0 Para la condicin de que el eje del motor, la biela y la manivela estn en el mismo plano, se utilizar el producto mixto de tres vectores, que es nulo si los tres vectores se hallan en un mismo plano: (x02-x01)(y11-y01)(z161-z11)-(x02-x01)(z11-z01)(y161-y11)+(y02-y01)(z11-z01)(x161-x11)(y02-01)(x11-x01)(z161-z11)+(z02-z01)(x11-x01)(y161-y11)-(z02-z01)(y11-y01)(x161-x11)=0 (x01-x02)(y12-y02)(z123-z12)-(x01-x02)(z12-z02)(y123-y12)+(y01-y02)(z12-z02)(x123-x12)(y01-y02)(x12-x02)(z123-z12)+(z01-z02)(x12-x02)(y123-y12)-(z01-z02)(y12-y02)(x123-x12)=0 (x04-x03)(y13-y03)(z123-z13)-(x04-x03)(z13-z03)(y123-y13)+(x04-x03)(z13-z03)(x123-x13)(y04-y03)(x13-x03)(z123-z13)+(z04-z03)(x13-x03)(y123-y13)-(z04-z03)(y13-y03)(x123-x13)=0

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(x03-x04)(y14-y04)(z145-z14)-(x03-x04)(z14-z04)(y145-y14)+(y03-y04)(z14-z04)(x145-x14)(y03-y04)(x14-x04)(z145-z14)+(z03-z04)(x14-x04)(y145-y14)-(z03-z04)(y14-y04)(x145-x14)=0 (x06-x05)(y15-y05)(z145-z15)-(x06-x05)(z15-z05)(y145-y15)+(y06-y05)(z15-z02)(x145-x15)(y06-y05)(x15-x05)(z145-z15)-(z06-z05)(y15-y05)(x145-x15)+(z06-z05)(x15-x05)(y145-y15)=0 (x05-x06)(y16-y06)(z161-z16)-(x05-x06)(z16-z06)(y161-y16)+(y05-y06)(z16-z06)(x161-x16)(y05-y06)(x16-x06)(z161-z16)+(z05-z06)(x16-x06)(y161-y16)-(z05-z06)(y16-y06)(x161-x16)=0 Tal y como se ha hecho hasta ahora, se agruparn todas las ecuaciones en el vector F, de modo que se tendr: F(q(t),t) = 0 donde el vector q, estar formado por 27 variables, que sern: q = {x11, y11, z11, x12, y12, z12, x13, y13, z13, x14, y14, z14, x15, y15, z15, x16, y16, z16, x123, y123, z123, x145, y145, z145, x161, y161, z161}T Dado que las ecuaciones que constituyen este sistema no son lineales, tambin aqu habr que utilizar el mtodo de Newton-Raphson. Se debe tener en cuenta que el sistema, puesto que existen 64 posiciones de insensitividad, tiene 64 soluciones. Entonces, la solucin que dar el mtodo de NewtonRaphson ser la ms cercana a la iteracin inicial. As, se realizar un algoritmo que repita el mtodo 64 veces tomando 64 iteraciones iniciales distintas, cada una de ellas cercana a una posicin singular. La eleccin de estas 64 posiciones iniciales es sencilla ya que se sabe que cada cadena cinemtica tiene una posicin de volquete cuando la manivela y la biela estn casi en prolongacin, y otra cuando prcticamente se superponen.

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Memoria PFC Jokin Aginaga

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