Memorias Coloquio XIII Enseñanza de las matemáticas
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Memorias del XIII Coloquio para la enseñanza de las matemáticas, Universidad La Salle Pachuca, incluye reportes de investigación y propuestad didácticas de nivel basico, medio y superior en la enseñanza de la matemática.
Transcript of Memorias Coloquio XIII Enseñanza de las matemáticas
M.C.I.E. Ma. Angélica Espejel Rivera
Raíces Cuadradas y Uso de Tecnología en el Aprendizaje de Matemáticas F. Barrera Mora
(1), A. Reyes Rodríguez
(2) ............................................................................................... 1
Enseñanza de la Ley de Grashof con Cabri Geometry: Una Tarea de Aprendizaje M. Campos Nava
(1), F. Barrera Mora
(2), A. Reyes Rodríguez
(3) .............................................................. 6
Cómo Contribuye al Fracaso Escolar, el Bajo Dominio de la Terminología Básica en Matemáticas
S. Carrasco Romo (1)
, A. L. Franco Manzano (2)
...................................................................................... 11
Regresión Lineal Múltiple: Estrategia para su Enseñanza en Licenciatura R. Castillo Ocampo ............................................................................................................................... 15
Alineamiento Constructivo en los Productos Notables C. J. Flores Delgado .............................................................................................................................. 20
Diseño de un Software Didáctico como Herramienta para la Investigación de Mercados R. Guzmán Cabrera
(1), J.N. Tapia Ortega
(2) ........................................................................................... 23
El Trabajo Colegiado en la Construcción de la Transformación Educativa A. Ledezma Ballesteros......................................................................................................................... 27
El análisis de la Práctica Docente, Recurso Necesario e Indispensable en la Enseñanza de las Matemáticas en el Nivel de Educación Medio Superior.
R. Ledezma Ballesteros. ........................................................................................................................ 30
El Uso de Métodos y Técnicas Grupales para la Enseñanza Estratégica de la Asignatura de Matemáticas en Primero de Secundaria
J. López Hernández ............................................................................................................................... 34
La Evaluación por Competencias en la Enseñanza de las Matemáticas U. Pérez Espinosa ................................................................................................................................. 38
Herramienta Computacional de Apoyo al Área de Matemáticas de Preparatoria J. J. Ramírez González
(1), J.N. Tapia Ortega
(2), R. Guzmán Cabrera
(3) ................................................... 43
Descubrimiento de los Estilos de Aprendizaje para una Evaluación Por Competencias M. E. Roldán Zárate .............................................................................................................................. 47
La Enseñanza de la Matemática desde la Transversalidad de las Ciencias M. Trujillo Cedeño. ............................................................................................................................... 50
Uso de Blender en la Enseñanza-Aprendizaje de las Matemáticas en Escuelas Secundarias de México
F. Vázquez García (1)
y J. Aguilar Ortiz (2)
.............................................................................................. 54
.
¿Qué es lo que debe Cambiarse en la Evaluación en Relación a la Práctica Docente? L. M. Bejarano Ponce
(1), C. López Meléndez
(2) ..................................................................................... 57
Matemáticas Aplicadas a la Rotodinámica, Coeficientes Dinámicos de un Soporte. I. Ramírez Vargas ................................................................................................................................. 61
Resolución de Ecuaciones de Gases Reales Empleando Herramientas Matemáticas. G. Velázquez Garduño .......................................................................................................................... 69
Educación Basada en Competencias (EBC) de la Materia de Métodos Numéricos F. Vera Badillo
(1), A. Ríos Herrera
(2) ..................................................................................................... 75
Las Matemáticas desde el Material Lúdico y el Aprendizaje Colaborativo Temática: Alternativas Didácticas Innovadoras en el Aula.
F. López Juárez ..................................................................................................................................... 87
¿Qué es un Tensor? Una Aplicación Física. E. Cabrera Montaño ............................................................................................................................. 90
La variación de coeficientes en la graficación de funciones lineales. Una estrategia para el desarrollo de habilidades para el aprendizaje de las matemáticas
H. V. Tovar Alvarado ............................................................................................................................ 93
ISBN: En trámite 1
Raíces Cuadradas y Uso de Tecnología en el
Aprendizaje de Matemáticas
F. Barrera Mora (1)
, A. Reyes Rodríguez (2)
(1) Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Área Académica de Matemáticas y Física
Carretera Pachuca-Tulancingo Km. 4.5, Col. Carboneras
Mineral de la Reforma, Hidalgo, México. C. P. 42184
(2) Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Área Académica de Matemáticas y Física
Carretera Pachuca-Tulancingo Km. 4.5, Col. Carboneras
Mineral de la Reforma, Hidalgo, México, C. P. 42184
Resumen—En este artículo se documenta y analiza la
forma en que el uso de tecnologías digitales tales como una
hoja electrónica de cálculo y un sistema de álgebra
computacional, puede apoyar la enseñanza del concepto de
irracionalidad en los primeros semestres de licenciatura.
Los resultados indican que el uso de las herramientas
computacionales permitió el desarrollo de diversos
elementos del pensamiento matemático, y el
establecimiento de conexiones entre la irracionalidad de
raíces de números primos, así como la discusión de
contenidos y métodos, tales como la ecuación de Pell y
ecuaciones en diferencias. También se obtuvo evidencia de
que las observaciones e ideas de los estudiantes,
expresadas durante el desarrollo de tareas, pueden ser el
punto de partida para que el profesor diseñe o modifique
rutas de instrucción que favorezcan un aprendizaje con
entendimiento.
Palabras clave—Pensamiento Matemático, Rutas de
Instrucción, Tecnologías Digitales, Aprendizaje con
entendimiento, Irracionalidad.
I. INTRODUCCIÓN
En algunos cursos de cálculo de licenciaturas en
matemáticas y física o de algunas ingenierías, uno de los
primeros tópicos que se aborda es el análisis del sistema
de los números reales; en este se incluye el estudio de la
irracionalidad de algunos números. Uno de los ejemplos
más importantes, por su relativa simplicidad y
relevancia histórica es 2 , cuyo descubrimiento causó
asombro y confusión entre los Pitagóricos, quienes
pensaban que los números enteros eran la causa de
diversas cualidades de la materia y el hombre [1].
Además, actualmente aún hay investigadores en teoría
de números interesados en revisar el significado
geométrico de este número [2].
En diferentes libros de texto, la irracionalidad de 2
se prueba, generalmente, mediante un argumento por
contradicción, el cual era conocido por los griegos [3],
[4]. Sin embargo, en diferentes trabajos de investigación
en educación matemática se reporta que esta forma de
abordar el concepto resulta difícil de comprender para la
mayoría de los estudiantes [5].
En este contexto, resulta relevante preguntar: ¿es
posible desarrollar rutas de instrucción para analizar la
irracionalidad de 2 , de forma que los estudiantes
obtengan una mejor comprensión de ésta? ¿En qué
medida el uso de herramientas computacionales puede
apoyar la discusión y análisis de la irracionalidad de 2
?
El objetivo de este estudio consiste en proporcionar
algunos elementos que permitan responder a las
preguntas anteriores, mediante el análisis de una ruta de
instrucción basada en la búsqueda de soluciones enteras
de la ecuación 22 2yx .
II. MARCO CONCEPTUAL
El marco conceptual de este estudio se estructuró a
partir de tres elementos: (i) la resolución de problemas
como una metodología para aprender matemáticas [6],
(ii) la aproximación sociocultural del aprendizaje de
Vygotsky, particularmente el constructor de la Zona de
Desarrollo Próximo (ZDP) [7], y (iii) la consideración
de las tecnologías digitales como amplificadores y
reorganizadores cognitivos [8], [9].
Los elementos anteriores se eligieron tomando como
referente que el uso de las tecnologías digitales favorece
ISBN: En trámite 2
interacciones entre actividades de resolución de
problemas y los aspectos socioculturales del
aprendizaje. Cuando se usa una herramienta
computacional para abordar una tarea, la tecnología
permite representar los datos del problema y generar
información relevante, la cual puede usarse para
promover una interacción entre los estudiantes y el
instructor al abordar la tarea.
Esta interacción proporciona elementos que pueden
favorecer el pensamiento matemático de los estudiantes;
a la vez que puede ayudar a que el instructor elabore o
modifique rutas de instrucción que posibiliten establecer
extensiones de una tarea o problema, así como
conexiones entre diversos conceptos matemáticos, lo
cual es un elemento esencial del aprendizaje con
entendimiento [10].
Cuando se hace uso de las tecnologías digitales para
abordar tareas matemáticas, aparecen al menos dos
elementos que es importante considerar: uno de ellos se
relaciona con el desarrollo de aspectos del pensamiento
matemático tales como la solución de casos particulares,
la identificación de patrones, la formulación de
conjeturas, entre otras. El otro elemento se relaciona con
las características de las tecnologías digitales que
permiten la reorganización de los procesos cognitivos,
al favorecer mecanismos que podrían no ponerse en
juego al resolver problemas únicamente con papel y
lápiz.
De acuerdo con Vygotsky, la ZDP es la diferencia
que existe entre lo que el estudiante puede hacer por sí
mismo al resolver un problema y lo que puede hacer con
la ayuda de un par más capaz o del profesor. La
relevancia de este constructo en el análisis de los
procesos de aprendizaje, se basa en la consideración de
que existen mecanismos cognitivos que pueden
activarse cuando el estudiante participa en una
comunidad de aprendizaje al resolver un problema.
En este estudio se documenta cómo la interacción
entre el estudiante y el profesor, mediada por el uso de
las tecnologías digitales puede conducir a: (i) ampliar y
favorecer el desarrollo de una forma matemática de
pensar entre los estudiantes y (ii) apoyar al profesor en
el diseño o reestructuración de rutas de instrucción, así
como en la adquisición de un entendimiento profundo
de los procesos de aprendizaje.
¿En qué forma la interacción que se lleva a cabo en
el salón de clases entre los estudiantes y el profesor,
puede favorecer el desarrollo de un aprendizaje con
entendimiento? Al abordar una tarea matemática el
instructor puede proponer que los estudiantes elaboren
una tabla, que bosquejen una figura y que formulen
preguntas, cuya discusión en el aula puede conducir a
los estudiantes a observar patrones o relaciones, las
cuales pueden ser el punto de partida para que la
comunidad de aprendizaje explore y construya
conexiones entre diversas ideas matemáticas.
¿Cuáles son las características de los conocimientos
de un profesor que le pueden permitir identificar
oportunidades didácticas para construir o modificar
rutas de instrucción a partir de las ideas u observaciones
realizadas por los estudiantes durante el proceso de
resolución de un problema? Argumentamos que el
profesor debe poseer una red conceptual robusta [11]1 a
partir de la cual pueda establecer conexiones novedosas
(para él) entre diversas ideas o conceptos matemáticos,
además de que le permita desarrollar la creatividad en el
proceso de enseñanza. Por otro lado, es fundamental que
las tareas que el profesor proponga, se diseñen de tal
forma que estimulen la curiosidad del estudiante con la
finalidad de que se apropie de la tarea o problema.
III. METODOLOGÍA
Las tareas se desarrollaron en un curso de cálculo de
primer semestre de una licenciatura en matemáticas
aplicadas, que se ofrece en una universidad pública. Al
curso asistieron 22 estudiantes, cuya edad media era de
18 años. Dos de los estudiantes, Leonardo e Isaac2,
participaron en las olimpiadas de las matemáticas
siendo estudiantes de bachillerato. Además, un
estudiante, de once años de edad (Inti), quien se
encontraba inscrito en un programa de ―niños con
talento‖ participó en el curso como invitado del profesor
del curso.
La recolección de los datos se llevó a cabo mediante
notas de campo que elaboró un observador, quien no
tomó parte en las discusiones que se llevaron a cabo en
el salón de clases. Asimismo se contó con los registros
escritos de las actividades que llevaron a cabo los
estudiantes. El análisis de las tareas se basa
fundamentalmente en las interacciones que tuvieron
lugar entre los estudiantes y el profesor, así como en las
ideas y observaciones formuladas por los estudiantes
que permitieron al instructor modificar la ruta de
instrucción inicialmente planteada, así como establecer
nuevas conexiones entre los conceptos presentes en su
red conceptual.
La tarea inicial consistió en determinar si la ecuación
(1) 22 2yx (1)
1 El concepto de red conceptual es una herramienta teórica que considera la forma en que los conceptos matemáticos, así como las
concepciones de la forma en que se construye el aprendizaje se
encuentran estructurados en la mente del profesor. Una red conceptual
es robusta si se es capaz de establecer conexiones entre los diversos
elementos presentes en esa red conceptual. 2 Los nombres utilizados para referirnos a los estudiantes son seudónimos.
ISBN: En trámite 3
tiene soluciones enteras. Se pidió a los estudiantes que
construyeran una tabla en la cual representaran a los dos
miembros de (1), es decir que en una columna
calcularan los cuadrados de los números naturales y en
una segunda columna calcularan los dobles de esos
números. Una vez construida la tabla se les pidió que
buscaran elementos comunes en ambas columnas.
En la ruta de instrucción se supuso que a partir de esa
observación los estudiantes podrían conjeturar que la
ecuación no tiene soluciones enteras y se iniciaría un
proceso de discusión para explicar y justificar esa
conjetura.
IV. ANÁLISIS DE RESULTADOS
El análisis de los resultados se llevará a cabo mediante
episodios en cada uno de los cuales se exponen los
elementos de mayor relevancia llevados a cabo por la
comunidad de aprendizaje.
A. Primer episodio: exploración del problema
En este episodio los estudiantes utilizaron Excel para
construir la tabla que se les solicitó y observaron que no
hay elementos comunes entre las columnas B y C de la
tabla, como se muestra en la Fig. 1; y con base en esa
observación conjeturaron que (1) no tiene soluciones
enteras, lo cual equivale a decir que no hay números
enteros x y y tales que 22
2
y
x , o que 2 no es un
número racional.
Durante el proceso de discusión de las
observaciones, Inti comentó que no había números en
ambas columnas que fueran iguales, pero sí había
números que ―son casi iguales‖; es decir, números cuya
diferencia es 1 o -1.
Fig. 1. Cuadrados y dobles de los cuadrados de algunos números
naturales
Esta observación condujo a los estudiantes a
comentar que la ecuación (2):
12 22 yx (2),
tiene solución, y a preguntarse cómo calcular esas
soluciones y determinar si las soluciones siguen algún
patrón.
Por otra parte, la observación de Inti y la discusión
que se llevó a cabo entre los estudiantes permitió al
instructor identificar una relación entre la irracionalidad
de raíces de números primos y la ecuación de Pell (2), la
cual, a su vez, puede utilizarse para elaborar una ruta de
instrucción en la que se construya un método para
encontrar una aproximación de los valores de esas
raíces. El instructor también se dio cuenta que existe
una relación entre el análisis de la irracionalidad de
números enteros y las fracciones continuadas.
Los estudiantes abordaron la pregunta relativa a la
existencia de otras soluciones enteras de (2)
organizando aquellas que encontraron previamente,
como se muestra en la Fig. 2.
Fig. 2. Algunas soluciones enteras de la ecuación de Pell
Con base en los datos de la Fig. 2, los estudiantes
notaron que podían obtener una nueva solución
11, nn yx de (2) a partir de una solución previa nn yx , ,
mediante las ecuaciones (3) y (4).
nnn yxx 21 (3)
nnn yxy 1 (4)
Usando (3) y (4) los estudiantes construyeron más
soluciones de (2) con Excel. El instructor les solicitó
que calcularan los cocientes n
n
y
x. Apoyados en los datos
de la Fig. 3, los estudiantes conjeturaron que los
cocientes convergen a 2 cuando n se incrementa. Esa
evidencia numérica motivó la necesidad de presentar
argumentos formales para justificar la conjetura.
Fig. 3. Uso de Excel para el análisis de convergencia
ISBN: En trámite 4
B. Segundo episodio: búsqueda de justificaciones
Los estudiantes justificaron el hecho de que los
cocientes n
n
y
x se aproximan a 2 cuando n se aproxima
a infinito como sigue: si nx y
ny satisfacen (2),
entonces se tiene la ecuación (5).
2
2
12
nn
n
yy
x
(5)
Además, los estudiantes argumentaron, basándose en
los datos de la Fig. 3, que nx y
ny crecen cuando n se
incrementa, por lo que ambos miembros de (5) se
aproximan a cero, o en forma equivalente, los cocientes
n
n
y
x se aproximan a 2 .
C. Tercer episodio: Generalización de resultados y
establecimiento de conexiones
En esta etapa de la discusión, uno de los estudiantes
sugirió sustituir el 2 por el 3 en (2), y tratar de encontrar
soluciones enteras de la ecuación resultante. en general,
se consideró discutir la ecuación (6)
122 pyx (6),
en donde p es un número primo. la generalidad de la
ecuación y sus características llevó al profesor a decidir
utilizar un sistema de algebra computacional como sage
(software for algebra and geometry experimentation). se
pidió la colaboración de un experto para elaborar un
programa que aceptara como entrada un primo p y un
entero n y que proporcionara como resultados: (i) la
menor solución positiva 00, yx de (6) en el sentido de
que si yx, es otra solución entonces pyxpyx 00
; (ii) las parejas nn yx , para algunos valores de n y (iii)
los cocientes n
n
y
x y una aproximación de p .
la principal característica del programa es que los
resultados se pueden manejar de forma interactiva
cambiando los valores del primo p y controlando el
número de dígitos en el resultado. Con el uso de este
programa, los estudiantes conjeturaron que la ecuación
de pell tiene solución para cada primo p, y que
obteniendo la menor de ellas, el resto se puede calcular
mediante alguna relación de recurrencia. Por ejemplo,
en el caso en que p=3, los estudiantes obtuvieron las
ecuaciones (7) y (8).
nnn yxx 321 (7)
nnn yxy 21 (8).
asimismo, los estudiantes observaron que los cocientes
n
n
y
x convergen a 3 . Estas observaciones motivaron una
segunda etapa de discusión en la que aparecieron
preguntas relativas a cómo calcular la menor solución
positiva de (6) y determinar el tipo de estructura
algebraica que posee el conjunto de soluciones. las
preguntas anteriores fueron la base para que el instructor
mencionara a los estudiantes que se pueden establecer
conexiones entre el concepto de irracionalidad y
fracciones continuadas o unidades en un campo
cuadrático real y aun cuando estos temas no se discuten
en un curso de cálculo, la discusión permitió a los
estudiantes darse cuenta que las diversas áreas de las
matemáticas se encuentran estrechamente relacionadas;
también fue una oportunidad para mostrar una conexión
entre las matemáticas escolares y la investigación en
matemáticas, ya que algunas de las preguntas planteadas
por los estudiantes subyacen a algunas líneas de
investigación en teoría de números.
V. CONSIDERACIONES FINALES
Existe evidencia de que el uso de un sistema
computacional, como una herramienta de aprendizaje,
proporciona a los estudiantes oportunidades para
explorar diferentes aspectos de un problema, favorece la
formulación de conjeturas y la generalización de
resultados matemáticos, así como el establecimiento de
conexiones entre diversos contenidos o resultados.
Particularmente, el uso de Excel y SAGE, no solamente
facilitó las operaciones aritméticas, sino que también
sustentó la búsqueda de patrones numéricos [12] que
llevaron a cabo los estudiantes. Particularmente, Excel
ayudó a los estudiantes a conjeturar que (1) no tiene
soluciones enteras y a construir una sucesión de
cocientes que se aproximan a 2 .
Durante el desarrollo de las actividades, las
preguntas y comentarios formulados por los estudiantes
ayudaron al profesor a establecer conexiones claras
entre 2 , la ecuación de Pell y un método para obtener
sucesiones de cocientes que se aproximan a p , con p
un número primo; lo cual provocó que modificara la
ruta de instrucción inicial que había planeado. Esta
capacidad para aprovechar las oportunidades didácticas
derivadas de los comentarios y sugerencias de los
estudiantes demanda del instructor un marco bien
estructurado para identificar y extender el valor y
utilidad didáctica de las ideas matemáticas de los
estudiantes.
Los resultados de este trabajo indican que la guía del
instructor y el uso sistemático de las tecnologías
digitales fueron cruciales para aprovechar las ideas
expresadas por los estudiantes en su ZDP. Es importante
resaltar que la estructura conceptual del profesor fue
modificada por los comentarios y observaciones de los
estudiantes al resolver la tarea, lo cual originó
conexiones entre elementos de su red conceptual, las
cuales no se habían establecido de forma previa, como
el propio instructor admitió.
ISBN: En trámite 5
Este estudio aporta algunos elementos que sustentan
las siguientes afirmaciones: (i) la identificación de
oportunidades didácticas que orienten posibles rutas de
instrucción, depende directamente de la interacción
entre el profesor y los estudiantes por medio de ideas
que surgen durante la discusión en la clase y (ii) las
características de las tareas de aprendizaje y del
escenario de instrucción, guían el tipo de reflexión
matemática que los estudiantes desarrollan, así como las
características del conocimiento que logran construir
como miembros de una comunidad de aprendizaje.
VI. AGRADECIMIENTOS
El primer autor agradece el apoyo recibido de
Conacyt, a través del proyecto de investigación con
referencia #61996. Ambos autores agradecen
sinceramente a Fidel Barrera Cruz por el programa en
SAGE, usado en la discusión con los estudiantes en el
aula.
VII. REFERENCIAS
[1] H. Eves, An Introduction to the History of Mathematics. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1969, p. 52.
[2] T. M. Apostol, "Irrationality of square root of 2 –A geometric
proof," The American Mathematical Monthly, vol. 107, pp. 841-842, Nov. 2000.
[3] R. Courant, and H. Robbins, What is Mathematics? An
Elementary Approach to Ideas and Methods. New York: Oxford University Press, 2006, pp.
[4] M. Spivak, Calculus. Mexico: Reverte, 1996, pp.
[5] T. Barnard and D. Tall, ―Cognitive units, connections and mathematical proof,‖ in Proc. 1997 21st Annual Conference of
the International Group for the Psychology of Mathematics
Education, pp. 41-48.
[6] M. Santos-Trigo, La resolución de problemas matemáticos:
fundamentos cognitivos. México: Trillas, 2007.
[7] L. S. Vygotsky, Mind in society: The development of higher psychological processes. Cambridge: Harvard University Press,
1978.
[8] R. D. Pea, ―Cognitive technologies for mathematics education,‖ in Cognitive sciences in mathematics education, A. Schoenfeld,
Ed. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
[9] L. Moreno-Armella, ―Instrumentos matemáticos computacionales,‖ En Memorias 2002 Seminario Nacional
Formación de Docentes sobre el Uso de Nuevas Tecnologías en
el Aula de Matemáticas, pp. 81-86.
[10] J. Hiebert, T. P. Carpenter, E. Fennema, K. C. Fuson, D.
Wearne, H. Murray, A. Olivier, and P. Human, Making sense:
teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann, 1997.
[11] F. Barrera-Mora, and A. Reyes-Rodríguez, ―Instructional routes
and teacher‘s conceptual network: irrationality of square root of two,‖ Primus (Problems, Resources, and Issues in Mathematics
Undergraduate Studies), in revision.
[12] J. M. Borwein and D. H. Bailey, Mathematics by experiment: Plausible reasoning in the 21st century. Natick, MA: AK Peters,
2003.
Índice
ISBN: En trámite 6
Enseñanza de la Ley de Grashof con Cabri Geometry:
Una Tarea de Aprendizaje
M. Campos Nava (1)
, F. Barrera Mora (2)
, A. Reyes Rodríguez (3)
(1) Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Área Académica de Matemáticas y Física
Carretera Pachuca-Tulancingo Km. 4.5, Col. Carboneras
Mineral de la Reforma, Hidalgo, México. C. P. 42184
(2) Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Área Académica de Matemáticas y Física
Carretera Pachuca-Tulancingo Km. 4.5, Col. Carboneras
Mineral de la Reforma, Hidalgo, México. C. P. 42184
(3) Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Área Académica de Matemáticas y Física
Carretera Pachuca-Tulancingo Km. 4.5, Col. Carboneras
Mineral de la Reforma, Hidalgo, México, C. P. 42184
Resumen— Un elemento fundamental en la enseñanza
de las matemáticas son las tareas que el profesor diseña
para que el estudiante construya conocimiento o desarrolle
alguna idea matemática. Por tal razón, resulta relevante
preguntar si es posible establecer un conjunto de
principios que orienten el diseño de tareas de instrucción.
En este artículo se identifican y estructuran algunos
principios de los marcos de resolución de problemas,
demanda cognitiva y mediación instrumental que se
utilizaron para diseñar una tarea sobre mecanismos
articulados, la cual se implementó con estudiantes de
segundo semestre de una licenciatura en Física. Los
resultados indican que la tarea favoreció el desarrollo de
diversos elementos del pensamiento matemático en los
estudiantes; sin embargo, fueron las estrategias didácticas
utilizadas por el profesor las que determinaron el nivel de
demanda cognitiva durante la actividad en el aula.
Palabras clave— Tareas de Aprendizaje, Pensamiento
Matemático, Software Dinámico, Ley de Grashof.
I. INTRODUCCIÓN
De acuerdo con [1] las tareas que el profesor emplea en
el salón de clase son la base para el aprendizaje de los
estudiantes. Las tareas que demandan llevar a cabo
procedimientos memorísticos, o aquellas que requieren
de un razonamiento conceptual y el establecimiento de
conexiones entre diferentes conceptos y técnicas,
ofrecerán a los estudiantes oportunidades diferentes para
aprender ¿Qué tipo de tareas son adecuadas para
promover el desarrollo de una forma matemática de
pensar? ¿Qué elementos se deben considerar en su
diseño? La perspectiva de resolución de problemas
considera que las tareas no rutinarias son vehículos para
favorecer una forma de pensar consistente con el
quehacer que desarrolla un matemático durante su
actividad profesional. Estas tareas se caracterizan
porque permiten al estudiante explorar, discriminar
entre información relevante de aquella que no lo es,
encontrar relaciones entre datos e incógnitas, observar
patrones, formular y validar conjeturas, comunicar
resultados y elaborar generalizaciones.
Las tareas de aprendizaje en matemáticas son
importantes por tres razones: (i) la instrucción en clase,
por lo general, se organiza alrededor de tareas
matemáticas, (ii) las tareas en que los estudiantes se
involucran determinan lo que aprenden y cómo lo
aprenden y (iii) las tareas son un medio para que los
investigadores realicen propuestas curriculares [2].
En este contexto, y dado que una de las funciones
principales de los profesores de matemáticas, debiera
consistir en diseñar actividades o tareas de aprendizaje
que promuevan entre los estudiantes un proceso de
discusión que conduzca al desarrollo de una forma
matemática de pensar, la presente investigación busca
documentar y analizar el papel de una tarea de
instrucción, diseñada bajo los principios de tres
perspectivas teóricas, en el desarrollo de diversos
aspectos del pensamiento matemático en los estudiante,
así como de un aprendizaje con entendimiento [3].
ISBN: En trámite 7
II. MARCO CONCEPTUAL
El marco conceptual de la investigación está integrado
por tres elementos:
(i) la perspectiva de resolución de problemas, que aporta
el sustento para responder a preguntas tales como: ¿qué
significa aprender matemáticas?, y ¿qué significa pensar
matemáticamente? Una idea importante en resolución
de problemas es que el aprendizaje de las matemáticas
involucra el desarrollo de una disposición para explorar
e investigar relaciones, emplear distintas formas de
representación al analizar fenómenos, usar distintos
tipos de argumentos y comunicar resultados [4]. Es
decir, que el estudiante use estrategias empleadas
comúnmente por los matemáticos al resolver problemas
[5];
(iii) el uso de las tecnologías digitales es un elemento
que influye en el proceso de aprendizaje, dado su
carácter de mediador entre el sujeto que aprende y el
objeto de aprendizaje, por lo que es necesario integrar
construcciones teóricas que ayuden a prever el efecto
del uso de estas herramientas sobre la actividad de los
estudiantes y los procesos cognitivos que pueden
desarrollar durante la construcción de comprensión
conceptual. Por ejemplo, el uso de una herramienta
computacional no solo hace más potentes algunas
heurísticas (estrategias de resolución de problemas),
sino que también demanda del estudiante mayores
niveles de razonamiento [4]. Una premisa teórica
considerada en este trabajo es que cuando se incluye a
las herramientas tecnológicas en el proceso de
aprendizaje de las matemáticas, estas permiten no sólo
realizar un mejor trabajo, sino que permiten desarrollar
una forma diferente de pensar y aprender [6];
(iii) el tercer elemento que se incorpora al marco
conceptual, es el constructor de la demanda cognitiva de
las tareas de aprendizaje matemático [7], el cual se
incluye porque este es un aspecto fundamental para que
el estudiante logre el objetivo u objetivos de
aprendizaje, esto es, construya conocimiento
matemático a través de su acción sobre la tarea.
Es importante mencionar que la demanda cognitiva
de una tarea matemática puede decaer durante la
implementación de la misma, por lo cual el profesor
debe estar atento al desarrollo de la actividad de los
estudiantes para promover un ambiente de trabajo en el
que el nivel de demanda se mantenga o incremente. En
la tabla 1, se muestran las actividades y procesos
asociados con el mantenimiento o disminución de los
niveles de demanda cognitiva durante la ejecución de
una tarea [8].
TABLA 1 PROCESOS ASOCIADOS CON EL MANTENIMIENTO O DISMINUCIÓN DEL
NIVEL DE DEMANDA COGNITIVA
Mantenimiento Disminución
(i) ―Presionar‖ a los
estudiantes para que den
justificaciones,
explicaciones y/o
significado a través
preguntas y/o
comentarios.
(ii) Seleccionar tareas
que se basan en
conocimientos previos
del estudiante.
(iii) Elaborar dibujos
frecuentemente, para
buscar conexiones
conceptuales.
(iv) Proporcionar
suficiente tiempo para
explorar.
(i) Hacer rutinarios
aspectos problemáticos
de la tarea.
(ii) Desviar la atención
del significado,
conceptos, o la
comprensión de la idea
central de la actividad.
(iii) Proporcionar poco
tiempo para entender la
tarea, o dar demasiado al
grado de que los
estudiantes queden a la
deriva.
(iv) Seleccionar tareas
inapropiadas para
determinado grupo de
estudiantes.
III. METODOLOGÍA
Para la fase de trabajo de campo, se diseñó una tarea
de aprendizaje matemático que se implementó en una
universidad pública, con un grupo de doce estudiantes
de segundo semestre de una licenciatura en física, cuyas
edades estaban comprendidas entre los dieciocho y
veinticinco años de edad. Durante el primer semestre de
sus estudios de licenciatura los estudiantes cursaron una
asignatura en la cual hicieron un uso sistemático de
herramientas computacionales para resolver problemas,
y en el semestre durante el cual se llevó a cabo la
actividad cursaban Cálculo Diferencial y Geometría
Analítica. La mayoría de los estudiantes manifestó tener
poca experiencia con el uso del software de geometría
dinámica Cabri Geometry, aunque habían usado
Geogebra y Maple.
La tarea que se diseñó, se enmarca en el contexto de
la mecánica, particularmente en el área de la cinemática
de mecanismos, en la cual existe un criterio para
verificar bajo qué condiciones una de las barras de un
mecanismo de cuatro barras articuladas podrá efectuar
revoluciones completas, con relación a alguna de las
otras tres. Este criterio se conoce como Ley de Grashof
y tiene relación con propiedades geométricas de
cuadriláteros. La motivación principal para elegir esta
actividad fue que en la literatura consultada, se enuncia
dicho criterio sin hacer una discusión respecto de su
validez [7].
ISBN: En trámite 8
El diseño de la actividad consideró 4 elementos que
desde nuestra perspectiva debe poseer toda tarea: (i) un
objetivo de aprendizaje, (ii) consideración de los
elementos matemáticos que se estructurarán en torno al
objetivo de aprendizaje, (iii) descripción del escenario
para desarrollar la tarea y (iv) consideración y análisis
de un proceso inquisitivo, descrito mediante una
trayectoria hipotética [4].
En mecánica, un mecanismo de cuatro barras no
deformables, articuladas en sus extremos, es también
conocido como mecanismo de Grashof, si se cumple
que al menos una de las barras pueda dar una revolución
completa con relación a alguna otra barra. Dado un
cuadrilátero cuyas longitudes de sus lados son A, B, C y
D, averigüe si es un mecanismo de Grashof. ¿Qué
criterio puede usar para saber si un mecanismo de 4
barras, es de Grashof?
Durante la ejecución de la tarea, la actividad del
profesor consistió en hacer preguntas que motivaran a
los estudiantes para tratar de justificar sus
observaciones, comunicar sus ideas y resultados. Este
proceso inquisitivo tuvo el objetivo de mantener el nivel
de demanda cognitiva de la tarea. Las preguntas que el
profesor formulara no debían de ayudar de más al
estudiante, pero debían enunciarse de forma tal que
guiaran su trabajo y le permitieran encontrar las
conexiones propuestas en la ruta hipotética elaborada de
forma previa a la implementación de la tarea.
En la fase de análisis se contrastó la ruta hipotética
contra la ruta seguida realmente por los estudiantes y se
trató de identificar qué variables influyeron en las
desviaciones.
IV. RESULTADOS
Durante el desarrollo de la actividad, se sugirió a los
estudiantes que abordaran algunos casos particulares y
que fueran explorados con Cabri Geometry,
particularmente con apoyo del comando ―animación‖
con lo cual se esperaba que los estudiantes identificaran
patrones de comportamiento en las distintas
configuraciones geométricas, que plantearan conjeturas
sobre el funcionamiento del mecanismo de Grashof,
para posteriormente tratar de justificarlas formalmente.
En la figura 1 se muestra un caso particular en el que
mecanismo de longitudes 2, 4, 5 y 7 configurado en
Cabri puede funcionar como mecanismo de Grashof, al
animar la barra más corta y mantener inmóvil la barra
de longitud 5 , se verifica que puede dar vueltas
completas sin problemas.
Fig 1 Posible configuración para un mecanismo.
Este caso particular que fue propuesto a los
estudiantes, les permitió conjeturar que si las longitudes
de las barras más corta y más larga (2 y 7) suman lo
mismo que las longitudes de las otras dos barras (4 y 5),
el mecanismo puede operar como tipo Grashof.
En la figura 2, se muestra otra configuración con
cuatro barras de las mismas longitudes que en el caso
previo. Al tratar de animar la barra de longitud 4 y
mantener estática la barra más larga, se verifica que el
mecanismo no puede operar como tipo Grashof.
Fig 2 Otra configuración con las mismas barras
En la figura. 1 se puede notar que las barras A y C
articuladas por uno de sus extremos a la barra D
(estática), tratan de efectuar movimientos de rotación
pura, sin embargo la barra B tiene una tendencia muy
particular: trata de rotar, pues sus extremos están
articulados con los extremos libres de A y C, y además
tiene tendencia a trasladarse. Este tipo de movimiento,
se conoce en cinemática, como movimiento plano
general. Los puntos intermedios de la barra B, también
llamada barra acopladora, describen por lo general
lugares geométricos poco comunes, que suelen
representarse con polinomios de hasta sexto grado [9].
ISBN: En trámite 9
Durante la realización didáctica se observó que la
mayoría de los estudiantes propuso sus propios casos
particulares con el objetivo de obtener una mejor
compresión de la tarea. Propusieron, por ejemplo, el
mecanismo de cuatro barras cuyas longitudes fueran 3,
4, 5 y 6, por otro lado los estudiantes empezaron a
conjeturar que la condición para que la manivela gire
completamente tiene que ver con la suma de longitudes
dos de las barras y su comparación con la suma de las
longitudes de las otras dos.
Algunos estudiantes tuvieron la iniciativa de explorar
el comportamiento de los ángulos para encontrar
relaciones entre las longitudes de los lados, los ángulos
y el hecho de que el mecanismo funcione. Un equipo
por cuenta propia empezó a cuestionarse ¿qué pasa si en
la misma configuración tratamos de dar giros a otra de
las barras?, es decir, sugirieron cambiar de manivela.
Otro equipo dividió el cuadrilátero en dos triángulos por
medio de una diagonal, para analizar los ángulos, lo que
les permitió argumentar que las diagonales del
mecanismo podían medir a lo más la suma, o a lo
menos, la diferencia de dos de las barras. El mismo
equipo propuso utilizar la ley de cosenos para tratar de
calcular los ángulos del mecanismo en términos de las
longitudes de las barras.
En términos generales, las observaciones
preliminares al término de la realización didáctica,
permiten considerar que los objetivos planteados para la
tarea de aprendizaje fueron alcanzados y el software de
geometría dinámica fue relevante para tal fin, ya que les
permitió a los estudiantes descubrir por cuenta propia la
Ley de Grashof. Los estudiantes mostraron disposición
para tratar de justificar formalmente sus conjeturas.
Una de las aportaciones relevantes de este estudio es
que a diferencia de estudios previos relacionados con el
diseño de tareas de aprendizaje, se trató de mostrar con
detalle cómo fue diseñada una tarea en particular, desde
la elección de un contexto, el establecimiento los
objetivos de aprendizaje, la forma en que los elementos
del marco conceptual incidieron en el diseño, hasta el
desarrollo de la guía de aplicación, el establecimiento de
rutas hipotéticas de solución y las preguntas que se
consideran relevantes para que el profesor propicie un
ambiente inquisitivo durante la implementación de la
tarea.
Con base en los resultados obtenidos en este trabajo
se sugieren algunas líneas de investigación que podrían
ayudar a avanzar en la agenda orientada a establecer el
papel de las tareas de instrucción en el desarrollo de un
pensamiento matemático en los estudiantes.
(1) Contrastar las estrategias de resolución de tareas de
aprendizaje diseñadas bajos los principios aquí
establecidos en diferentes escenarios de instrucción.
(2) Revisar el marco de la demanda cognitiva de las
tareas de aprendizaje con base en tareas que
promueven el uso de tecnologías digitales.
(3) Análisis de los elementos de un diseño curricular
basado en tareas de aprendizaje matemático.
(5) Análisis de las características de los sistemas de
formación profesional que propicien el desarrollo de
conocimientos y habilidades necesarios en el diseño
de tareas de aprendizaje.
V. APÉNDICE A
ALGUNOS PRINCIPIOS IDENTIFICADOS PARA EL DISEÑO DE TAREAS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICO
Resolución de Problemas
Las actividades planteadas deben centrarse en el
proceso de pensamiento de los estudiantes, de forma
que favorezcan su autonomía y les permita reconocer
que un problema puede tener múltiples soluciones.
Las actividades deben promover y facilitar la
experimentación, así como la elaboración de conjeturas;
la discusión y comunicación de ideas y estrategias,
además de que deben crear conexiones entre los
conocimientos previos y los que se vayan adquiriendo.
Deben conectar distintas áreas de las matemáticas u
otras áreas del conocimiento.
Demanda Cognitiva
Plantear problemas que admiten varias soluciones y
representaciones, y que creen conexiones entre distintas
áreas de las matemáticas.
Proveer el tiempo adecuado para solución de la tarea,
(ni mucho, ni poco).
Plantear problemas que se basen en los
conocimientos previos de los estudiantes.
Realizar preguntas que permita a los estudiantes la
extensión de la actividad y la generación de nuevos
problemas.
Tecnología Digital
El uso de software dinámico para resolver las tareas
debe contribuir a evitar o disminuir prácticas
algorítmicas únicamente.
La tecnología puede favorecer la identificación de
patrones subyacentes a la resolución de la tarea.
El software se debe usar para facilitar la
identificación e implementación de heurísticas en la
solución de los problemas e incluso para extenderlas.
La incorporación de herramientas digitales puede
permitir a los estudiantes explorar problemas que con
solo lápiz y papel serían menos accesibles.
ISBN: En trámite 10
VI. APÉNDICE B
SUGERENCIAS EN RELACIÓN CON EL DESARROLLO
CURRICULAR
I. Los contenidos matemáticos a discutir en clase
deberían estar enfocados a no sólo fomentar aspectos
rutinarios y memorísticos.
II. Bajo el enfoque presentado en este trabajo, los
contenidos no pueden enseñarse en una secuencia
lineal, que es como suelen aparecer en el currículum.
III. El tiempo asignado a la revisión de cada contenido
debería ser lo suficientemente extenso para que los
estudiantes se involucren con procesos tales como
identificar patrones, plantear estrategias de
resolución de problemas, experimentar ideas,
plantear conjeturas, tratar de dar justificaciones
formales, extender y formular nuevos problemas
(pensar matemáticamente).
IV. La tecnología digital en clase de matemáticas
debería ser sistemática, ya que existe consenso en
cuanto a la importancia que tienen.
V. La demanda cognitiva es un elemento a tomar en
cuanta durante el diseño curricular, establecer
actividades de aprendizaje con un alto nivel de
demanda cognitiva es fundamental.
VII. AGRADECIMIENTOS
Los dos primeros autores agradecen el apoyo
recibido de Conacyt, a través del proyecto de
investigación con referencia #61996.
VIII. REFERENCIAS
[1] W. Doyle, ―Work in mathematics classes: the context of students‘ thinking during instruction,‖ Educational Psychologist,
vol. 23, pp. 167-180, Feb. 1988.
[2] M. K. Stein, J. Remillard, and M. Smith, M, ―How curriculum
influences student learning,‖ in Second handbook of research on
mathematics teaching and learning, vol. 1, F.K. Lester, Ed. New York: Macmillan, 2007, pp.319-369.
[3] J. Hiebert, T. P. Carpenter, E. Fennema, K. C. Fuson, D.
Wearne, H. Murray, A. Olivier, and P. Human, Making sense: teaching and learning mathematics with understanding.
Portsmouth, NH: Heinemann, 1997.
[4] F. Barrera, ―Bases Teóricas y Conceptuales en la Construcción del Conocimiento Matemático y el Empleo de Herramientas
Digitales,‖ Área Académica de Matemáticas y Física, Mineral de
la Reforma, Hidalgo, Segundo Reporte Técnico del Proyecto CONACYT #61996, Jul. 2008.
[5] M. Santos-Trigo, La resolución de problemas matemáticos:
fundamentos cognitivos. México: Trillas, 2007.
[6] A. Aviram, ―From ‗computers in the classroom‘ to mindful
radical radical adaptation by education systems to the emerging
cyber culture,‖ Journal of Educational Change, vol. 1, pp. 331-352, 2000.
[7] J. Shigley, J. Análisis Cinemática de Mecanismos. México:
MacGraw Hill, 1970, p.184. [8] M. K. Stein, and M. S. Smith, ―Mathematical tasks as a
framework for reflection: from research to practice,‖
Mathematics teaching in the middle school, vol. 3, pp. 268-275, Jan. 1998.
[9] J. Shigley, and J. Uiker, Teoría de Máquinas y Mecanismos.
México: McGraw Hill, 1999, p. 23.
Índice
ISBN: En trámite 11
Cómo Contribuye al Fracaso Escolar, el Bajo Dominio
de la Terminología Básica en Matemáticas
S. Carrasco Romo (1)
, A. L. Franco Manzano (2)
(1) Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Facultad de Ingeniería Química
Av. San Claudio y 18 Sur Ciudad Universitaria.
Puebla, Puebla, México.
(2) Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Facultad de Administración
Av. San Claudio y 20 Sur Ciudad Universitaria.
Puebla, Puebla, México.
Resumen—El objetivo del artículo es presentar un
estudio exploratorio en el que se muestra cómo es poco
comprendido el discurso matemático cotidiano con el que
los profesores se dirigen a sus estudiantes de recién ingreso
a carreras de ingeniería y que contiene elementos tan
básicos como número entero, número primo o número
compuesto. Se encontró que los estudiantes muestran un
bajo dominio de la dimensión del conocimiento y de la
dimensión de los procesos cognitivos, lo que
probablemente contribuye al fracaso escolar de los
estudiantes. Igualmente, se muestran algunas actividades
que permiten diseñar material didáctico para aprender y
aprehender éstos y otros elementos básicos. Las
actividades van desde el objetivo de aprendizaje, la
actividad de aprendizaje y la evaluación de ese
aprendizaje. Para el diseño de las actividades se empleará
la Tabla Taxonómica propuesta por el mismo equipo que
hace más de 50 años publicó la taxonomía de Bloom.
Palabras clave—El Dimensión del conocimiento,
dimensión de los procesos cognitivos, números reales y su
clasificación, Taxonomía de Bloom.
I. INTRODUCCIÓN
El presente estudio es parte de un proyecto más
integral en el cual se busca indagar qué saben los
estudiantes de recién ingreso a las carreras de ingeniería
de los elementos básicos de la asignatura de
matemáticas como: número primo, número entero,
número natural, fracción propia e impropia entre otros.
En el proyecto general, los resultados del estudio
exploratorio se cruzarán al final de los cursos regulares
de matemáticas del primer año de la carrera, con el fin
de detectar si estudiantes con bajo perfil de dominio de
los elementos básicos presentan también bajo
rendimiento en los cursos regulares.
Conocer en qué medida el bajo rendimiento escolar
en matemáticas se debe a un bajo dominio de los
elementos básicos de la asignatura, puede permitirnos,
diseñar estrategias docentes que permitan como primera
etapa, que los estudiantes aprendan y aprehendan los
elementos básicos de la asignatura; en etapas
posteriores, que puedan entender cómo éstos se
relacionan entre sí dentro de la estructura de conceptos
y cómo éstos se articulan dentro de la estructura mayor
de la asignatura.
La taxonomía de Benjamín Bloom [1] publicada en
1957 continúa sirviendo para el diseño de objetivos de
aprendizaje; sin embargo, desde hace años ha sido
severamente criticada por especialistas en educación,
maestros de diferentes niveles y a pesar de ello sigue
siendo útil.
Como respuesta a las críticas que la taxonomía ha
sido objeto, el equipo que apoyó a Benjamín Bloom en
1956, publica en el 2001[2] una revisión exhaustiva y
configura una reestructuración de la taxonomía que
resuelve varias de las críticas realizadas y propone
nuevos retos en educación. Esta ―nueva‖ taxonomía es
empleada para categorizar las respuestas que los
estudiantes proporcionaron en el estudio exploratorio.
Igualmente, con esta nueva taxonomía se diseñaron
objetivos de aprendizaje, de actividades de aprendizaje
y de actividades de evaluación.
A continuación, en la Figura No. 1 se presenta la
Tabla Taxonómica y se explican brevemente las
dimensiones del conocimiento y de los procesos
cognitivos, los niveles básicos de las mismas que
explican los resultados del estudio exploratorio.
ISBN: En trámite 12
Figura 1. Tabla Taxonómica.
I.1 Dimensión del conocimiento
La dimensión del conocimiento se define como el
dominio específico y contextualizado del conocimiento,
que permite la comprensión de cómo interactúa con los
diferentes roles sociales y al mismo tiempo permite su
propia construcción y desarrollo. Las definiciones de las
categorías3 y sus subcategorías (Anderson & Krathwohl,
2001: pp. 2792) de esta dimensión son:
Conocimiento de hechos. Los elementos básicos
adquiridos dentro de una disciplina.
Terminología, Detalles específicos y sus elementos.
Conocimiento conceptual. Las interrelaciones entre los
elementos básicos dentro de una gran estructura,
permitiendo su empleo en conjunto.
Clasificaciones y categorías, Principios y
generalizaciones, Teoría, modelos y estructuras.
Conocimiento procedural. Cómo se hace algo, métodos
de investigación, y criterios para emplear habilidades,
algoritmos, técnicas y métodos.
Habilidades y algoritmos específicos de la disciplina,
Técnicas y métodos específicos de la disciplina,
Criterios para el empleo de un procedimiento
determinado.
Conocimiento metacognitivo. Conocimientos de la
cognición en general, así como, ser consciente de la
propia cognición.
Estratégico, Sobre las tareas cognitivas y las
relaciones causales, De sí mismo.
I.2 Dimensión de los procesos cognitivos
La dimensión de los procesos cognitivos va desde
recordar los conocimientos y hechos tal y como fueron
aprendidos de la memoria de largo plazo y dentro del
mismo contexto, hasta los procesos donde esos
conocimientos son manejados y transferidos en
contextos diferentes a como se aprendieron y que
permiten entre otras acciones, la generación de diversas
soluciones a problemas no escolares. A continuación se
enuncian las categorías como las subcategorías.
3 Traducción libre.
Recordar. Recuperar conocimiento relevante de la
memoria de largo plazo.
Reconociendo: información idéntica o similar a la
presentada en clase: propiedades, definiciones,
axiomas, etcétera.
Recordando: información de la memoria colocándola
según se solicite: propiedades, definiciones, axiomas,
etcétera.
Entender. Construir significados de mensajes
instruccionales, incluyendo la comunicación oral,
escrita, y gráfica.
Interpretando: el mensaje proporcionado al trasladarlo
a otro formato: escritopalabras, gráficaspalabras,
etcétera.
Ejemplificando: el principio o el concepto dado con
casos particulares.
Clasificando: en principios o conceptos los elementos
particulares dados.
Resumiendo: en ideas simples, la información
presentada.
Deduciendo: el patrón de una serie de ejemplos.
Comparando: para detectar las similitudes y
diferencias de dos o más elementos de un evento en
particular.
Explicando: las posibles causas y efectos de un
modelo o sistema.
Aplicar. Llevar a cabo o emplear un procedimiento en
una situación dada, así como en la solución de
problemas.
Ejecutando: un procedimiento rutinario al enfrentar
una tarea familiar.
Implementando: la selección de un procedimiento en
una situación poco familiar.
Analizar. Separar un material en sus partes
constituyentes y determinar cómo se relacionan con
otros en la estructura total o con los propósitos.
Diferenciando: las partes de un todo dentro de la
estructura en términos de su relevancia y/o
importancia.
Organizando: los elementos de la comunicación,
identificando como trabajan juntos coherentemente
dentro de la estructura.
Atribuyendo: qué atributos tiene la comunicación, sus
cualidades y valores, así como las intenciones del
autor.
Evaluar. Hacer juicios basados en criterios y estándares.
Verificando: que el mensaje instruccional tenga
consistencia interna en las premisas, además de
encontrarse libre de falacias.
1.Recordar
2.Entender
3.Aplicar
4.Analizar
La dimensión de los procesos cognitivos
5.Evaluar
6.Crear
La dimensióndel
conocimiento
A. Conocimientode hechos
B. Conocimientoconceptual
C. Conocimientoprocedural
D. Conocimientometa-cognitivo
THE TAXONOMY TABLE
ISBN: En trámite 13
Criticando: que una operación o producto reúna las
cualidades requeridas a partir de estándares y criterios
externos.
Crear. Colocar juntos los elementos de forma
coherente; reorganizar los elementos en nuevos patrones
y/o estructuras.
Generando: hipótesis y alternativas de solución a
problemas, reuniendo criterios válidos.
Planeando: un método de solución a una situación
problemática en particular.
Produciendo: y desarrollando los pasos planeados de
la solución observado las restricciones que el entorno
impone.
II. MÉTODO EMPLEADO
En el primer día de clases se administró un
cuestionario donde se le solicita al estudiante que defina
el objeto numérico enlistado y proporcione un ejemplo.
En el grupo experimental había 17 personas de las
cuales, 11 son varones y 6 mujeres.
La siguiente tabla muestra los 20 objetos que sirvieron
para indagar qué dominio muestran los estudiantes en
las dimensiones mencionadas.
Figura 2. Objetos matemáticos.
El número mínimo de respuestas que un estudiante
ofreció a los 20 objetos es tres y el que más ofreció es
17. En relación al número mínimo de ejemplos que un
estudiante ofreció es 2 y el que más ofreció también es
17. Sin embargo, revisando las respuestas y ejemplos
que ofrecen, muchos de ellas no llegan a constituir una
definición aceptable del objeto y los ejemplos
proporcionados no corresponden. A continuación, se
presenta las respuestas que los estudiantes ofrecieron a
dos objetos mencionados en la figura anterior.
Figura 3. Definiciones de número par.
Las respuestas 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 16 y 17, (12
respuestas de 16 ofrecidas y una en blanco) no son
definiciones aceptables de número par. En la número 4
la palabra divisible es un adjetivo y tiene un significado
matemático específico y exactamente es un adverbio
que en el sentido de la oración proporcionan el mismo
significado, es decir, sería un pleonasmo.
Figura 4. Definiciones de número entero.
Las respuestas 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15 y 17 (11
respuestas de 13 ofrecidas y cuatro en blanco) no son
definiciones aceptables de número entero. En la
respuesta 1 y 16 no son estrictamente la definición, sin
embargo, proporcionan una respuesta que
coloquialmente podría ser aceptada.
Número Par Entero Positivo Entero Negativo Fracción Propia
Número Primo Dígito Número Irracional Fracción Impropia
Número Natural Número Racional Número Compuesto Primo Relativo
Número Fraccionario Número Decimal Número Impar Número Imaginario
Número Entero Número Real Número Mixto Número Complejo
OBJETO No. DEFINICIÓN EJEMPLO
1 Expresión divisible entre 2 4
2 Número que puede se dividido entre 2 2, 4, 6
3 Son los números que terminan en parejas 2. 4
4 Número divisible exactamente entre 2 2
5 Es el número que se puede dividir en partes iguales 2, 4, 6
6 Son los números que van de 2 en 2 2, 4, 6, 8
7 Dejando un número 2. 4. 6
8 Cualquier número dividido entre 2 2
9Números que cuando se dividen quedan exactamente
a la mitad2
10
11 Es cualquier número que puede ser dividido entre 2 6
12 Cantidad divisible entre 2 2
13 Es cuando un número es multiplo de 2 4
14 Tiene o consta de 2
15Cualquier número multiplo de 2, cualquier número
divisible entre 2 ó un multiplo de 2
16 Divisible entre 1, ellos mismos 2, 4, 6, 8
17Aquellos números que van en secuencia de 2 en 2
empezando con un número par que es el 0 ó el 2 2, 4, 6
Nú
me
ro P
ar
OBJETO No. DEFINICIÓN EJEMPLO
1 Expresión sin decimales 5
2 Números positivos 1, 2, 3, 4
3
4 Puede ser - ó + y no tiene raciones 3
5
6 Cifra númerica 28
7 Sin fracción
8 Los que resultan de los fraccionarios .20x5=1
9Los que resultan de los números fraccionarios sin
decimal.20x5= 1
10 Son todos los números existentes en una recta 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
11 12
12 Es el número no fraccionado 5
13Cuando es una cantidad ó número que no esta
representada en fracción1
14 1
15Cualquier número que no contenga partes ó fracciones
de enteros
16 Son aquellos que no tienen decimales 2
17Aquel número que es completo como número, es decir
que no esta fraccionado ó dividido en partes1
Núm
ero
Ente
ro
ISBN: En trámite 14
A. Revisión con la Tabla Taxonómica.
Sección A.1 Dimensión del Conocimiento
A partir de las respuestas que los estudiantes
ofrecieron al cuestionario administrado el primer día de
clase, puede concluirse que el nivel más elemental de la
dimensión de conocimiento, ni por mucho es dominado
por los estudiantes. Es decir, el Conocimiento de
hechos, como los elementos básicos que sirvieron en
este primer estudio exploratorio, no son dominados por
los estudiantes, presentando en varios casos una gran
disonancia cognitiva entre las palabras utilizadas para
escribir su definición y los ejemplos proporcionados.
Atendiendo a las subcategorías de la Terminología y los
Detalles específicos y sus elementos, también se
concluye que no existe un dominio del vocabulario
básico, de los teoremas, definiciones, axiomas, etcétera.
De confirmarse lo anterior, el dominio de las
siguientes dimensiones del conocimiento que son más
elaboradas, puede comprometer el avance académico de
los estudiantes y por lo tanto su rendimiento verse
afectado severamente conforme el nivel de exigencia de
los cursos básicos de una carrera de ingeniería aumente,
contribuyendo al fracaso escolar.
Sección A.2 Dimensión de los Procesos Cognitivos
Revisando las respuestas a partir de la exigencia
cognitiva puede verse que el nivel solicitado es el de
Recordar, es decir, se trata de recuperar información de
largo plazo, en particular la acción de colocar la
información según se solicite. Si este nivel que es
requerido para los niveles de Entender y de Aplicar no
se domina, igualmente compromete el desempeño de los
estudiantes y por lo tanto, en cursos donde se requiera
aplicar como proceso cognitivo, conocimientos
conceptual o precedural son cursos difíciles para
estudiantes que tengan un bajo dominio de los
elementos básicos de las asignaturas iniciales en
carreras de ingeniería.
Empleando la tabla taxonómica durante la
presentación se construirán para elementos básicos,
tanto el objetivo, como las actividades de aprendizaje y
la evaluación correspondiente del objetivo y del
aprendizaje.
V. REFERENCIAS
[1] Anderson, L. W., Krathwohl, D. R. (eds.). A Taxonomy for
Learning, Teaching, and Assessing: A Revision of Bloom's Taxonomy of Educational Objectives. New York: Longmanm
2001.
[2] Bloom, B.S. (Ed.) Taxonomy of educational objectives: The
classification of educational goals: Handbook I, cognitive
domain. New York ; Toronto: Longmans, Green, 1956.
[3] Villagrán, M.A. & et al. ―Pensamiento formal y resolución de problemas matemáticos‖, Psicothema, Vol. 14, No. 2, pp. 382-
386, 20
Índice
ISBN: En trámite 15
Regresión Lineal Múltiple:
Estrategia para su Enseñanza en Licenciatura
R. Castillo Ocampo
Universidad La Salle Cuernavaca
Nueva Inglaterra s/n, Col. Sn. Cristóbal.
Cuernavaca, Morelos, México. C. P. 62230
Resumen—En la sociedad del conocimiento es
indispensable que las personas interpreten datos para
sustentar objetivamente la toma de decisiones. La
Estadística y el pensamiento estadístico son valiosos
recursos para tal fin. En el nivel universitario se imparten
cursos de Estadística en la mayoría de las licenciaturas, sin
embargo con frecuencia su alcance se limita a variables
continuas univariadas. En una primera etapa del proyecto
“Modelos de Evaluación del Desempeño en Estadística” se
hace una propuesta de didáctica para formular e
instrumentar un modelo de regresión lineal múltiple. La
propuesta se aplicó a un grupo piloto con resultados
positivos. Los estudiantes reportan mejora en sus
habilidades para análisis e interpretación de datos y en la
comprensión de conceptos fundamentales de Estadística.
Palabras clave—Enseñanza de la Estadística,
pensamiento estadístico, regresión lineal, propuesta
didáctica, obstáculo cognitivo.
"Como he dicho a mis alumnos: no importa que ustedes
olviden el nombre del teorema y en qué consiste; pero al
estudiarlo entendieron y ejercitaron el razonamiento. Es
un ejercicio intelectual que se hace y deja huella" Dr. Alfonso Nápoles Gándara
I. INTRODUCCIÓN
En los albores del s. XXI, la importancia de
desarrollar el pensamiento estadístico en las personas;
en particular en los universitarios y en los tomadores de
decisiones no puede soslayarse. Los individuos en la
sociedad del conocimiento deben desarrollar habilidades
para interpretar datos que sustenten y orienten su toma
de decisiones [1], [2]. En las organizaciones una
creciente gama de variables y condiciones de
incertidumbre matizan cotidianamente el juicio y la
toma de decisiones. Desafortunadamente, es frecuente
que las personas responsables de tomar decisiones
ignoren datos objetivos y recurran más a su experiencia,
creencias y prejuicios para elegir la opción que
consideran apropiada a las circunstancias de entre un
número reducido de alternativas. La Estadística y la
Educación Estadística son valiosos recursos para
desarrollar competencias para el análisis e interpretación
de datos.
En algunos países se incluye a la Estadística desde
los primeros años escolares como materia obligatoria y
en el nivel universitario los cursos de Estadística están
presentes en numerosos programas académicos. En
particular, en la Universidad La Salle Cuernavaca se
ofrecen 15 programas de licenciatura y en 12 de ellos se
imparte al menos una materia de Estadística [3]. Sólo en
las licenciaturas en Arquitectura, Derecho y Diseño
Gráfico no se imparten cursos de Estadística.
En el nivel universitario a través de cursos de
Probabilidad y Estadística los estudiantes debieran
desarrollar competencias para formular preguntas
susceptibles de responder con datos, diseñar
instrumentos o experimentos para reunir datos,
organizarlos y presentarlos para ofrecer respuestas
sustentadas en el análisis estadístico de los mismos. Los
temas están incluidos en los programas de los cursos
universitarios de Probabilidad y Estadística en
excelentes textos dirigidos a este nivel, por ejemplo [4],
[5] y [6]. Sin embargo, en la práctica los cursos se
reducen a métodos para una variable continua y temas
como regresión lineal y técnicas multivariadas reciben
limitada atención si acaso son abordados. En
consecuencia en el ejercicio profesional el egresado
carecerá de las competencias fundamentales para
resolver con éxito situaciones donde los modelos
multivariados son prevalentes.
II. ENSEÑANZA DE LA ESTADÍSTICA
Es evidente que la simple inclusión de la materia de
Estadística en los programas académicos universitarios
es insuficiente para desarrollar habilidades de
interpretación de datos. En la mayoría de los cursos
universitarios de Estadística participan estudiantes que
son usuarios o consumidores de métodos estadísticos y
no productores de métodos estadísticos. Por lo tanto la
estructura y los métodos de enseñanza que se incorporen
deberán reflejar dicha circunstancia.
Las dificultades y errores en la comprensión de
conceptos elementales de estadística son analizados por
Batanero y sus colaboradores [7]. Ellos señalan que
ISBN: En trámite 16
algunas concepciones de los estudiantes son limitadas o
inadecuadas al aplicarlas en situación generales.
Además acotan que el estudiante exhibe resistencia a su
sustitución [7]. Es decir, surgen obstáculos cognitivos,
para Brousseau [8] estos pueden caracterizarse como:
Obstáculos ontogénicos (o psicogenéticos): Por
ejemplo, para comprender la idea de función de
distribución de probabilidad se requiere el
conocimiento de funciones.
Obstáculos didácticos: Por ejemplo, la introducción
de un nuevo simbolismo como en el modelo de
regresión que emplea una notación diferente a la
que el estudiante ha estado habituado a usar para
referirse a la recta.
Obstáculos epistemológicos: Tal es el caso de la
definición de variable aleatoria que en realidad es
una función del espacio muestral a los números
reales; ¡una variable que no es variable porque es
una función!
Shaughnessy [9] sugiere emplear modelos de
razonamiento estadístico y de pensamiento estadístico
para atender procesos y conceptos relevantes en la
enseñanza y aprendizaje de la estadística.
En la instrucción Estadística predomina un enfoque
en herramientas, procedimientos y cálculos que inhibe
la apropiación de los conceptos fundamentales de la
disciplina por los estudiantes [10], [11]. DelMas [12]
considera que la instrucción en Estadística debe tener
tres grandes metas:
Alfabetización estadística (identificar, describir,
parafrasear, traducir, interpretar, leer).
Razonamiento estadístico (capacidad del estudiante
para explicar qué, cómo y por qué).
Pensamiento estadístico (la aplicación, la crítica, la
evaluación y la generalización).
Los errores y concepciones erróneas relacionadas al
razonamiento estadístico han sido estudiados [9], [13-
19] con diversos enfoques y sobre algunos temas
específicos.
Sin embargo, la cada vez más frecuente
disponibilidad de herramientas de cálculo hace que esta
forma de instrucción se modifique por otra que fomente
el desarrollo del pensamiento estocástico en los
estudiantes. Desde hace más de 20 años calculadoras
económicas disponían de la función para calcular la
regresión lineal simple. Y desde esa época ya se tenía
acceso a hojas de cálculo con la función de regresión
lineal múltiple integrada. Además es abundante la
disponibilidad de software (Open Source) de gran
calidad que puede emplearse para tal fin. Sin embargo,
en algunos cursos se sigue haciendo énfasis en los
cálculos, no se emplea apropiadamente la tecnología y
se ignora la verificación de los supuestos del modelo de
regresión y la interpretación de los resultados.
En temas como medidas de asociación de variables y
el modelo de regresión lineal con frecuencia se
enfatizan procedimientos de cálculo en detrimento de:
Presentación de los supuestos fundamentales del
modelo de regresión,
Formulación del modelo,
Validación del modelo,
Interpretación de los resultados derivados.
Esta situación provoca el empleo inapropiado del
modelo de regresión, por ejemplo:
Perder de vista que significancia estadística no
implica relevancia práctica,
Considerar falta de asociación entre variables
cuando el coeficiente de correlación es cercano a
cero,
Implicar relación causa – efecto al obtener
coeficiente de correlación cercano a la unidad
cuando lo que único que podemos establecer es una
asociación de variables.
En el presente trabajo se describe una propuesta para
desarrollar el modelo de regresión lineal múltiple en el
primer curso de estadística universitaria incorporando
las ideas expuestas anteriormente. La propuesta se
instrumentó con un grupo piloto con resultados
positivos.
III. EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
A. Preliminares
En esta propuesta, sólo asumimos que el estudiante
está familiarizado con el uso de la computadora en
particular con hoja de cálculo, posee conocimientos de
álgebra y conceptos de Estadística como:
Espacio muestral y eventos.
Propiedades fundamentales de probabilidad.
Medidas descriptivas de variables cuantitativas
(media, varianza).
Muestreo aleatorio simple.
Distribución normal.
Diagrama de dispersión.
Funciones lineales.
Intervalos de confianza.
B. El Caso de la Regresión Lineal Simple
En primer lugar consideremos el caso del modelo de
regresión lineal simple [4-6], [20].
0 1y x (1.1)
ISBN: En trámite 17
Donde x representa la variable independiente, y la
variable dependiente, 0 y
1 son los parámetros
desconocidos y es el término de error. Al tomar una
muestra aleatoria de tamaño n se conocen los valores de
x y de y. Por el método de mínimos cuadrados el modelo
ajustado es
0 1y x (1.2)
donde
0 1
11
2
1
n
i i
i
n
i
i
y x
x x y y
x x
(1.3)
Es muy sencillo realizar estas operaciones en una
hoja de cálculo, por ejemplo Excel. Los datos se
capturan en columnas adyacentes, con el asistente de
gráficas se solicita diagrama de dispersión agregando
línea de tendencia. Excel mostrará el diagrama de
dispersión acompañado de una ecuación. En la siguiente
figura se ilustra para un conjunto de 10 observaciones
de número de comerciales y volumen de ventas. El
diagrama de dispersión muestra la asociación entre
número de comerciales y el volumen de ventas sin que
ello implique una relación causa-efecto.
En la Figura 1 se muestra la ecuación
4.95 36.15y x (1.4)
Con referencia a las ecuaciones
¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. y
¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.
tenemos
0
1
36.15
4.95
(1.5)
Figura 1 Diagrama de dispersión
Una primera interpretación es que sin realizar
anuncios las ventas serán de 36.15. Y que por cada
comercial realizado las ventas se incrementan en 4.95
unidades. Sin embargo, surgen preguntas: ¿cómo
medimos el ajuste del modelo? ¿Acaso el número de
comerciales es la única variable que influye en el
volumen de ventas? La primera pregunta podemos
responderla calculando el coeficiente de determinación 2R que en este caso es de 0.8658. Con respecto a la
segunda pregunta, es evidente que otros factores deben
estar influyendo en el volumen de ventas; por ejemplo:
número de clientes atendidos, número de contactos por
cliente, antigüedad de los clientes, etcétera. Una
alternativa es emplear el modelo de regresión múltiple
[4-6], [20] que a continuación se muestra4.
0 1 1 k ky x x (1.6)
Al considerar k variables para cada una de las n
observaciones de una muestra aleatoria, el modelo
ajustado será
0 1 1 k ky x x (1.7)
En este caso al tener más de dos variables ya no
podemos emplear el diagrama de dispersión. Sin
embargo, para obtener los valores de las i empleamos
software de uso general (hoja de cálculo) o específico
para estadística.
IV. GRUPO PILOTO.
Se invitó a 11 estudiantes del área económico-
administrativa que aprobaron un curso de Estadística
Inferencial; ningún participante obtuvo calificación final
de 10. Se organizó a los estudiantes en tres equipos de
4, 4 y 3 personas. El docente describió en una sesión de
dos horas el tema de regresión lineal simple; tema que
no cubrieron en su curso regular. En una segunda sesión
de dos horas el docente elaboró sobre la limitación del
modelo de regresión lineal simple, mostró la necesidad
de incluir variables independientes adicionales, presentó
el modelo de regresión lineal múltiple y sus supuestos y
ejemplificó el uso de Excel para realizar los cálculos
correspondientes.
En una tercera sesión de dos horas, para introducir a
los estudiantes al proceso de especificación de un
modelo de regresión lineal múltiple se abre la discusión
al grupo sobre tópicos con los que los estudiantes
puedan relacionarse sin requerir de mayores detalles
técnicos. Las etapas a realizar serán:
1. Especificación del modelo.
2. Recolección de datos.
3. Cálculo de los estimadores de regresión.
4. Validar el modelo.
5. Interpretar el modelo.
6. Discutir los resultados
4 Recordemos que para efectos de esta propuesta se asume que los
estudiantes no están familiarizados con la notación matricial.
Volumen de Ventas vs Nº Comerciales
y = 4.95x + 36.15
0
10
20
30
40
50
60
70
0 1 2 3 4 5 6
Nº Comerciales
Ven
tas
ISBN: En trámite 18
V. ACTIVIDAD DIDÁCTICA: ESPECIFICAR Y VALIDAR UN
MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE.
El tópico propuesto a los grupos participantes fue
elaborar un modelo para determinar el precio ($) de CD
de música a partir de un conjunto de variables
independientes cuantitativas.
A. Precio de CD de Música
En una primera aproximación a cada grupo se le
proporcionó una muestra de precios de CD que sólo
incluye precio y duración (minutos) del CD. Se
promueve la ―lluvia de ideas‖ en cada grupo de
estudiantes para identificar factores cuantitativos
adicionales que afecten el precio del CD. Los grupos
propusieron incluir variables como número de melodías,
duración de cada melodía, años transcurridos desde la
producción del CD, número de artistas que participan en
el CD, número de instrumentos musicales empleados. A
los grupos se les asignó el proyecto: ―a partir de los
factores cuantitativos identificados por cada grupo
obtener una muestra de las características de CDs para
especificar un modelo de regresión lineal con el precio
como variable dependiente‖.
B. Etapas para el Modelos de Regresión Múltiple de
Precio de CD de música
En la etapa 1 los estudiantes organizan sus hallazgos
de la ―lluvia de ideas‖; proponen las variables
cuantitativas dependientes. La segunda etapa la realizan
analizando CDs y obteniendo la información para
construir la muestra. Para la tercera etapa capturan datos
en la computadora y emplean el correspondiente
procedimiento. En este punto es crucial mostrar a los
estudiantes que el proyecto aún no concluye porque
deberán validar e interpretar el modelo y discutir los
resultados. Es decir, tienen tres etapas por realizar. En la
etapa 4, aplicarán sus conocimientos de correlación,
intervalos de confianza y pruebas de hipótesis para
validar el modelo. Finalmente, en las últimas dos etapas
los estudiantes interpretan y discuten sus resultados.
El proyecto lo desarrollaron los estudiantes en un
lapso de dos semanas con sesiones de asesoría con el
docente.
VI. EXPERIENCIA DE LA ESTRATEGIA.
La propuesta descrita en la sección anterior derivó en
una respuesta favorable de parte de los participantes. En
entrevistas informales y no estructuradas los estudiantes
reportan
Valorar la utilidad de los métodos estadísticos
Mejora en sus habilidades de interpretación de
datos.
Desarrollan mejor comprensión de
o Muestreo.
o Representatividad de la muestra.
o Variabilidad estadística.
o Estimación.
o Significancia estadística.
o entre otros.
Reconocen el papel de la tecnología
o Como recurso para su aprendizaje.
o Como recurso para experimentar con
diferentes escenarios.
o Como recurso fundamental para el análisis
de datos
Adicionalmente, en el desarrollo de los proyectos se
observa
Involucramiento de los alumnos en el proceso
enseñanza-aprendizaje.
Autogestión de su aprendizaje.
Actitud proactiva para el aprendizaje.
VII. CONCLUSIONES
La propuesta de análisis de una problemática con la
que los estudiantes se relacionan sin requerir de
numerosas consideraciones técnicas favoreció:
La reflexión de los estudiantes,
El desarrollo de habilidades de análisis de datos de
los estudiantes y
Promovió en los estudiantes el razonamiento y
pensamiento estadístico.
En las etapas subsecuentes del proyecto ―Modelos de
Evaluación del Desempeño en Estadística‖ en un curso
regular se aplicará la estrategia propuesta y se evaluará
cualitativamente su impacto a través de la taxonomía
Structure of the Observed Learning Outcome (SOLO)
[21].
ISBN: En trámite 19
VIII. REFERENCIAS
[1] J. Nicholson and G. Mulhern, ―Data Interpretation in the 21st
Century: Issues in the Classroom.‖ [Online]. Available:
http://math.unipa.it/~grim/Jnicholson.PDF. [Accessed: 24-Jun-2010].
[2] D. Gil Pérez and M. Guzmán Ozámiz, ―Enseñanza de las
Ciencias y la Matemática - Tendencias e Innovaciones,‖ 2009. [Online]. Available: http://www.oei.es/oeivirt/ciencias.htm.
[Accessed: 16-Sep-2009].
[3] ―Universidad La Salle Cuernavaca.‖ [Online]. Available:
http://www.ulsac.edu.mx. [Accessed: 24-Jun-2010].
[4] W. Hines, D. Montgomery, D. Goldsman, and C. Borr,
Probabilidad y estadística para ingeniería, 4º ed. México: Grupo Editorial Patria, 2003.
[5] D. Lind, W. Marchal, and S. Wathen, Estadística aplicada a los
negocios y la economía, 13º ed. México: McGraw Hill, 2008.
[6] D. Moore and G. McCabe, Introduction to the practice of
statistics, 6º ed. New York: W.F. Freeman and Company, 2009.
[7] C. Batanero, J. D. Godino, D. R. Green, P. Holmes, and A. Vallecillos, ―Errors and difficulties in understanding
elementary statistical concepts,‖ International Journal of
Mathematics Education in Science and Technology, vol. 25, no. 4, pp. 527-547, 1994.
[8] G. Brousseau, Theory of Didactical Situations in Mathematics.
Holanda: Kluwer Academic Publisher, 1997.
[9] M. Shaughnessy, ―Research on statistics learning and
reasoning,‖ in Lester, K. (ed.) The Second Handbook of
Research on Mathematics, Virginia: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2007.
[10] S. Keast, ―Learning styles in mathematics classrooms,‖ in
Proceedings of International Conference on Mathematics Education into 21st Century: societal challenges, issues and
approaches, vol. 2, 1999.
[11] A. Zieffler, J. Garfield, S. Alt, D. Dupuis, K. Holleque, and B.
Chang, ―What does research suggest about the teaching and learning of introductory statistics at the college level? a review
of the literature,‖ Journal of Statistics Education, vol. 16, no. 2,
2008.
[12] R. delMas, ―Statistical literacy, reasoning, and learning: a
commentary,‖ Journal of Statistics Education, vol. 10, no. 3,
2002.
[13] C. Batanero, A. Estepa, J. D. Godino, and D. R. Green,
―Intuitive strategies and preconceptions about association in contingency tables,‖ Journal for Research in Mathematics
Education, vol. 27, no. 2, pp. 151-169, 1996.
[14] H. Chick, ―Representing association: children manipulating data sets,‖ in ICME 10, 2004.
[15] P. Cobb, K. McClain, and K. Gravemeijer, ―Learning about
statistical covariation,‖ Cognition and Instruction, vol. 21, no. 1, pp. 1-78, 2003.
[16] A. Estepa Castro, ―Caracterización del significado de la
correlación y regresión en estudiantes de educación secundaria,‖ Zetetike, vol. 15, no. 8, pp. 119-152, 2007.
[17] J. Garfield, ―The challenge of developing statistical reasoning,‖
Journal of Statistics Education, vol. 10, no. 3, 2002.
[18] M. Shaughnessy, M. Ciancetta, and D. Canada, ―Types of
student reasoning on sampling tasks,,‖ in Proceedings of the
28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, vol. 4, pp. 177-184, 2004.
[19] K. Trujillo Fuentes, Exploración del concepto de variabilidad
estadística en alumnos de primeros años universitarios, Tesis de Maestría. México: CINVESTAV, 2008.
[20] D. Montgomery, E. Peck, and G. Vining, Introduction to Linear
Regression Analysis, 4º ed. New York: Wiley, 2007.
[21] J. Biggs and C. Tang, Teaching for Quality Learning at
University, 3º ed. Buckingham: SRHE and Open University
Press, 2007.
Índice
ISBN: En trámite 20
Alineamiento Constructivo en los Productos Notables
C. J. Flores Delgado
Universidad La Salle Pachuca
Bachillerato
Belisario Domínguez 202, Col.centro
Pachuca, Hidalgo, México. C. P. 42000
Resumen—El presente trabajo propone una actividad
de aprendizaje para que los estudiantes construyan las
reglas de los productos notables “binomio al cuadrado” y
“binomios con un término común” utilizando como base
un cuadrado segmentado en cuadrados y rectángulos
atendiendo al modelo de alineamiento constructivo. Para
su planeación se consideró el objetivo de la unidad, las
actividades de enseñanza y de aprendizaje sugeridas y se
muestra un instrumento de evaluación formativa.
Finalmente se dan las conclusiones y observaciones
obtenidas tras realizar la actividad.
Palabras clave: Alineamiento constructivo, Aprendizaje,
Enseñanza, Evaluación.
I. INTRODUCCIÓN
Por mucho tiempo, la enseñanza, el aprendizaje y la
evaluación se han visto como procesos aislados, de tal
forma que los resultados de los alumnos se consideraban
independientes de los métodos de enseñanza.
La mayoría de los docentes, hemos enfrentado varias
reformas educativas, ya sea como alumnos o como
profesores de cierta asignatura. Dejando de lado la
educación tradicional y hablando desde una perspectiva
constructivista, hemos estado inmersos en corrientes
que proponen que el éxito en el aprendizaje de los
estudiantes así como de sus resultados, es el producto de
una planeación cuidadosa de situaciones didácticas
planteadas por el maestro, ejemplo concreto en la
enseñanza de las Matemáticas es la Ingeniería
Didáctica que es ―una forma de trabajo didáctico
equiparable con el trabajo del ingeniero quien, para
realizar un proyecto determinado, se basa en los
conocimientos científicos de su dominio y acepta
someterse a un control científico‖. [1]. Es evidente que
bajo esta perspectiva, el maestro se convierte, en el
actor principal del proceso de Enseñanza-Aprendizaje.
La RIEMS cambia este paradigma haciendo del
alumno la figura central en este proceso. ¿Se
contradicen estas posturas? No, se complementan. Es
imperativo que los docentes hagan una planeación
cuidadosa de las actividades de su clase, atendiendo a
los objetivos y los contenidos del curso, al contexto, a
los conocimientos previos de sus estudiantes pero, sobre
todo, que generen niveles profundos de comprensión a
la vez que espacios de reflexión en el alumno para que
asuma su responsabilidad sobre el propio aprendizaje, es
decir, la metacognición. Con la consideración de estos
factores, las actividades dejan de ser ―actividades de
enseñanza‖ para convertirse en ―actividades de
aprendizaje‖ lo que Biggs define como alineamiento
constructivo. [2]
Una práctica recurrente en el ejercicio docente es la
de minimizar, si no es que ignorar, la evaluación de los
aprendizajes desde la óptica de lo que se enseña.
Pareciera que si la planeación y desarrollo de
actividades es adecuada, la transferencia o
generalización de los saberes involucrados debiera
ponerse de manifiesto en instrumentos de evaluación
que contengan ejercicios o situaciones más complejas
que las abordadas en clase. Esto es tan injusto como
evaluar lo no tratado en las sesiones de clase pues los
alumnos terminan fracasando y desarrollan atribuciones
negativas sobre sí mismos y afecta su disposición para
aprender. [3]-[4].
Evaluar no se trata tan sólo de asentar una
calificación. La evaluación debe tener como razón de
ser la de contribuir a que los estudiantes continúen
aprendiendo y mejorando su proceso de aprendizaje a
través de la retroalimentación de lo evaluado, aún a
pesar del carácter sumativo que pueda tener en algunos
momentos. [4]
El objetivo de este trabajo es mostrar un ejemplo de
una situación didáctica para abordar el tema de los
productos notables en Bachillerato atendiendo al
modelo de alineamiento constructivo.
II. LA PROPUESTA
Uno de los objetivos del curso de la asignatura de
Matemáticas I de Bachillerato es ―emplea productos
notables para determinar y expresar el resultado de
productos notables‖. El programa vigente, en el bloque
que contiene los productos notables, propone como
actividades de enseñanza ―enunciar problemas en los
que se planteen situaciones hipotéticas o reales de su
entorno para hallar perímetros, áreas y volúmenes de
ISBN: En trámite 21
figuras geométricas‖ y como actividad de aprendizaje
―efectuar operaciones básicas con una variable,
productos notables y factorización‖.
Partiendo del hecho de que los alumnos identifican
cuadriláteros como el cuadrado y el rectángulo y saben
obtener sus áreas de forma efectiva, se organizan
equipos aleatorios de 3 integrantes y se les proporciona
el material impreso preparado para la ocasión. Cabe
mencionar que las figuras fueron empleadas con
aterioridad para abordar el tema de la división entre
monomios, por lo que están familiarizados con ellas.
Otro recurso empleado es el del ―número perdido‖
recurrente en primaria y en secundaria.
A continuación se mostrarán, paso por paso, las
actividades a realizar durante la sesión.
A. Binomio al cuadrado.
1. Observa la siguiente figura y después contesta lo
que se te pide.
Figura 1
a) ¿Cuál es la expresión que define el área I?
b) ¿Cuál es la expresión que define el área II?
c) ¿Cuál es la expresión que define el área III?
d) ¿Cuál es la expresión que define el área IV?
e) ¿Cuál es la expresión que define el lado del
cuadrado completo?
f) ¿Cuál es la expresión que define el área del
cuadrado completo?
g) ¿Qué resultado obtienes si desarrollas la
operación indicada en la expresión del inciso f)?
2. Complementa de manera que se cumpla la
identidad: (a + )2 = a
2 + + b
2.
3. Complementa de manera que se cumpla la
identidad: (3a + )2 = 9a
2 + + 4.
4. Complementa de manera que se cumpla la
identidad: ( + 4)2 = 4x
2 + 4x + .
B. Binomio con término común
5. Encuentra el área de la figura completa con las
medidas que se te proporcionan.
Figura 2
a) ¿Puedes encontrar una regla para encontrar el
área sin efectuar la multiplicación completa?
¿cuál?
b) Completa de manera que se cumpla la identidad:
(a + ) (
+ 9) = a2 + 12a +
6. Completa de manera que se cumpla la identidad:
( – 2) (y + ) = y2 + + 16.
C. La evaluación
Una vez terminada la actividad, los alumnos deben
asignar una calificación a sus compañeros y con el
mismo criterio autoevaluarse llenando estos rubros en el
espacio designado para tal fin. (Apéndice A).
Apéndice A
a) ¿Cuál es la expresión que define el área I?
b) ¿Cuál es la expresión que define el área II?
c) ¿Cuál es la expresión que define el área III?
d) ¿Cuál es la expresión que define el área IV?
e) ¿Cuál es la expresión que define el lado del
cuadrado completo?
f) ¿Cuál es la expresión que define el área del
cuadrado completo?
g) ¿Qué resultado obtienes si desarrollas la
operación indicada en la expresión del inciso f)?
2. Complementa de manera que se cumpla la identidad:
(a + )2 = a
2 + + b
2.
3. Complementa de manera que se cumpla la identidad:
(3a + )2 = 9a
2 + + 4.
4. Complementa de manera que se cumpla la identidad:
( + 4)2 = 4x
2 + 4x + .
5. Encuentra el área del figura completa con las
medidas que se te proporcionan.
a) ¿Puedes encontrar una regla para encontrar el área
sin efectuar la multiplicación completa? ¿cuál?
b) Completa de manera que se cumpla la identidad: (a + ) (
+ 9) = a
2 + 12a + .
6. Completa de manera que se cumpla la identidad:
( – 2) (y + ) = y2 + +16.
II I
IV
a
b
a b
0
II I
IV
5
a
4 a
II I
IV
5
a
4 a
ISBN: En trámite 22
La forma en que se te evaluará la actividad de resolución de ejercicios
es la siguiente (4 es la calificación más alta y 1 la más
baja).
Coevaluación:
De acuerdo a los siguientes conceptos asigna una calificación a tus
compañeros de equipo.
INDICAD
OR Excelente (4) Bien (3)
Regular
(2)
Necesita
mejorar
(1)
Contribuci
ón
Individual
a la
Actividad
El estudiante
fue un
participante activo,
escuchando
las sugerencias
de sus
compañeros y trabajando
cooperativam
ente durante toda la
lección.
El estudiante
fue un
participante activo, pero
tuvo dificultad
al escuchar las sugerencias de
los otros
compañeros y al trabajar
cooperativame
nte durante la lección.
El
estudiante
trabajó con su(s)
compañero
(s), pero necesito
motivación
para mantenerse
activo.
El
estudiante
no pudo trabajar
efectivame
nte con su compañero
/a.
Nombre de tu compañero Calificación
Autoevaluación:
De acuerdo a los mismos indicadores, asigna una calificación para ti:
_______ y escribe tu nombre: ________________________________
III. REFERENCIAS
[1] Artigue, Michéle, Ingeniería didáctica en educación matemática, Ed. Iberoamérica; México; 1995, pp-34.
[2] Biggs, John, Calidad del aprendizaje universitario, Ed. Narcea; España; 2005, pp-45-52.
[3] Díaz-Barriga, Frida y Gerardo Hernández, Estrategias docentes
para un aprendizaje significativo, Ed. Mc Graw-Hill; México; 2002, pp-352-366.
[4] Pimienta, Julio, Evaluación de los aprendizajes, Pearson
Educación; México; 2008, pp-26-27.
INDICADO
R
Excelente
(4) Bien (3) Regular (2)
Necesita
mejorar (1)
Orden y
Organización El trabajo es
presentado
de una manera
ordenada,
clara y organizada
que es fácil
de leer.
El trabajo es
presentado
de una manera
ordenada y
organizada que es, por
lo general,
fácil de leer.
El trabajo es
presentado
en una manera
organizada,
pero puede ser difícil de
leer
El trabajo
se ve
descuidado y
desorganiza
do. Es difícil saber
qué
información está
relacionada.
Procedimien
tos
Matemático
s
El
procedimien
to demuestra
completo
entendimiento del
concepto
matemático usado para
resolver los
ejercicios.
El
procedimien
to demuestra
entendimien
to sustancial del
concepto
matemático usado para
resolver los
ejercicios.
El
procedimien
to demuestra
algún
entendimiento del
concepto
matemático necesario
para
resolver los
ejercicios.
El
procedimie
nto demuestra
un
entendimiento muy
limitado de
los conceptos
subyacentes
necesarios
para
resolver ejercicios o
no está
escrita.
Razonamien
to
Matemático
Usa
razonamiento
matemático
complejo y refinado.
Usa
razonamiento
matemático
efectivo.
Alguna
evidencia de razonamient
o
matemático.
Poca
evidencia de
razonamient
o matemático.
Uso del
Tiempo
El tiempo
de la clase fue usado
para trabajar
en el
proyecto.
Las
conversaciones no
fueron
perjudiciales sino
enfocadas al trabajo.
El tiempo
de la clase fue usado
para trabajar
en el
proyecto la
mayoría del
tiempo. Las conversacio
nes no
fueron perjudiciale
s sino enfocadas al
trabajo.
El tiempo
de la clase fue usado
para trabajar
en el
proyecto la
mayoría del
tiempo, pero las
conversacio
nes fueron perjudiciale
s o no se enfocaron
en el
trabajo.
El
estudiante no usó
tiempo de la
clase para
trabajar en
el proyecto
y/o fue altamente
indisciplina
do.
Conclusión Todos los ejercicios
fueron
resueltos correctamen
te.
Todos menos 1 de
los
ejercicios fueron
resueltos
correctamente.
Todos menos 2 de
los
ejercicios fueron
resueltos
correctamente.
Varios de los
ejercicios
no fueron resueltos
correctamen
te.
Índice
ISBN: En trámite 23
Diseño de un Software Didáctico como Herramienta
para la Investigación de Mercados
R. Guzmán Cabrera (1)
, J.N. Tapia Ortega(2)
Universidad De LaSalle Bajio
Campus Salamanca
Escuela de ciencias económicas administrativas
Libramiento carretero a Morelia Km. 7.5 Poblado San Juan de Razos
Salamanca, Guanajuato, México. C. P. 36700 (1)
Resumen—El presente trabajo se centra en la
realización de una aplicación de cómputo como
herramienta de soporte didáctico paras las materias
relacionadas con el área de investigación. Para la
realización del mismo se utilizó el método deductivo de
tipo experimental, considerando los aspectos relativos a la
producción de software de calidad bajo los esquemas de
desarrollo de la programación orientada a objetos. La
investigación desarrollada fue de tipo documental y
condujo a la elaboración de un proyecto funcional que
consistió en la producción de una aplicación de cómputo
educativo. Se pretende el desarrollo de un software
adecuado para propiciar el aprendizaje tanto práctico
como teórico del área de investigación. Los resultados
preliminares obtenidos permiten ver la importancia de
contar con una herramienta de este tipo.
Palabras clave— Investigación, software, didáctico, análisis
matemático.
I. INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas más comunes que se presenta
a la hora de llevar a cabo una investigación es el poder
definir en términos formales el tipo de estudio que se
desea realizar, por desconocer las características que
debe tener cada uno de ellos. Precisamente es en este
punto donde es enfocado el presente trabajo, en el
desarrollo de una herramienta que sirva como apoyo
didáctico para las materias que se relacionan con el área
de investigación.
1.1.- Las tecnologías de la información.
Las tecnologías de la información han cambiado la
forma en que operan las organizaciones actuales. A
través de su uso se logran importantes mejoras, ya que
nos permiten la automatización de procesos, la
implantación de plataformas de información necesarias
para la toma de decisiones y, tal vez lo más importante,
logra ventajas competitivas decisivas.
En el plano educativo, estas tecnologías se han
convertido en un instrumento indispensable, donde
pueden realizarse múltiples funcionalidades, entre las
que destacan:
Canal de comunicación interpersonal para el
intercambio de información e ideas (e-mail, foros
telemáticos)
Medio de expresión y para la creación
(procesadores de textos y gráficos, editores de
páginas web y presentaciones multimedia, cámara
de vídeo)
Instrumento cognitivo y para procesar la
información: hojas de cálculo, gestores de bases de
dato.
Recurso interactivo para el aprendizaje. Los
materiales didácticos multimedia informan,
entrenan, simulan guían aprendizajes, motivan.
En este contexto, las tecnologías de la información y
la comunicación han sido conceptualizadas como la
integración y convergencia de la computación, las
telecomunicaciones y la técnica para el procesamiento
de datos, donde sus principales componentes son: el
factor humano, los contenidos de la información, y el
desarrollo de software.
Es precisamente en éste último aspecto en el que
este proyecto está basado para la creación de una
herramienta de apoyo didáctico que permita la creación
de escenarios reales con introducción dinámica e
interactiva de datos para reforzar el aprendizaje de las
asignaturas relacionadas con el área de investigación.
Diseñado de en un ambiente interactivo y amigable que
permita la interacción tanto de alumnos como de
docentes e incluso profesionales del área.
ISBN: En trámite 24
II. MARCO TEÓRICO
Al pretender realizar una investigación, se deben
tener en cuenta algunos aspectos y consideraciones
importantes, entre los que destacan: diseñar el método
de recopilar información; administrar e implementar el
proceso de recopilación de datos; analiza los resultados;
y comunicar los descubrimientos y sus implicaciones
[1]. Esto permite proveer información oportuna, veraz y
confiable para una acertada toma de decisiones.
Una de las definiciones comunes de investigación es
el proceso de identificación, acopio, análisis, difusión y
aprovechamiento sistemático y objetivo de la
información con el fin de mejorar la toma de decisiones
relacionada con la identificación y la solución de los
problemas y las oportunidades del área a que pertenezca
el problema en cuestión [2].
Se puede considerar que la investigación desempeña
tres papeles funcionales: descriptiva, diagnóstica y
predictiva. La función descriptiva incluye la
recopilación y presentación de declaraciones de hechos.
El segundo papel de la investigación es la función
diagnóstica, mediante la cual se explican los datos y/o
acciones. El último papel de la investigación es la
función predictiva, que permite aprovechar mejor las
oportunidades a medida que surgen, considerando un
entorno cambiante y globalizado [3].
2.1 Conceptos de programación orientada a objetos
Identidad, clasificación, polimorfismo y herencia
caracterizan a los lenguajes orientados a objetos [5].
Cada uno de estos conceptos puede utilizarse
aisladamente, incluso aparecen en otras metodologías de
programación, pero juntos se complementan en una
relación sinérgica.
Los beneficios de la programación orientada a
objetos son más que los que pueden verse a simple
vista. El énfasis en las propiedades esenciales de un
objeto, fuerza al desarrollador a pensar cuidadosamente
qué es un objeto y qué es lo que hace con el resultado de
que el sistema es robusto que si pusiéramos el énfasis en
los procedimientos y los datos por separado.
Dentro de las asignaturas relacionadas con el área
de investigación, se contempla la aplicación de
herramientas tecnológicas que sustenten la parte
práctica, a través de la solución de problemas
específicos presentados en el entorno y que coadyuven a
la elaboración de la planeación idónea para el logro de
los objetivos de la misma, asegurando el análisis de la
información y la obtención de resultados óptimos.
En la actualidad, existen diferentes aplicaciones de
cómputo en el mercado que permiten un procesamiento
de la información, teniendo aplicaciones orientadas
exclusivamente al trabajo de campo y al análisis
estadístico de la información, dejando de lado la
planeación de la investigación, siendo ésta la parte
fundamental para el éxito de la misma.
Por lo anterior, surge la necesidad de crear una
aplicación de cómputo enfocada específicamente en la
planeación de la investigación, que facilite y agilice el
desarrollo de cada variable involucrada en el desarrollo
de esta etapa, que además contribuya al proceso de
enseñanza-aprendizaje, mediante la aplicación de
herramientas tecnológicas.
III. METODOLOGÍA
El trabajo se desarrolló bajo el método deductivo de
tipo experimental. Una vez definidos los conceptos
elementales del área de investigación que deberían
incluirse al pretender realizar un proyecto, se definió el
enfoque metodológico
La ingeniería del software es un grupo de
características que representa la efectividad y la
eficiencia de un sistema de información. Una aplicación
de cómputo de calidad debe ser eficaz, es decir, que
debe realizar las funciones establecidas, debe ser
amigable. Un usuario debe utilizar el software porque
produce resultados confiables, realiza todas las
operaciones que se requieren, ejecuta las operaciones en
un tiempo aceptado y es fácilmente usado por el grupo
de usuarios a quien este dirigido [7].
Para ilustrar el concepto de calidad de manera más
profunda, es necesario considerar algunos aspectos
fundamentales que caracterizan al software de calidad
como son: solidez, exactitud, completitud,
mantenibilidad, reutilizabilidad, claridad en la
documentación, entre otros.
Frecuentemente se asocia la calidad en el software
tomando dos puntos de vista: la calidad en el proceso de
desarrollo y la calidad en el producto final, estos dos
grupos principales los agrupa en los siguiente aspectos
de calidad: confiabilidad, utilizabilidad, mantenibilidad,
y adaptabilidad.
IV. DESARROLLO Y APLICACIÓN
EL trabajo está enfocado a la planeación de una
investigación, para ello, consideramos los siguientes
aspectos:
Fijación del problema y objetivo a investigar.
Determinación de la hipótesis del estudio.
Desarrollo de la metodología de la investigación,
incluyendo el método y tipo de investigación,
método de contacto e instrumento de investigación.
ISBN: En trámite 25
Diseño de la muestra, contemplando la unidad de
muestreo, el método de muestreo, la técnica de
muestreo y la determinación del tamaño de la
muestra.
4.1 Creación de interfaces de usuario
Durante el desarrollo del proyecto, se utilizó como
herramienta Visual Studio .NET, con el cual se crearon
diversas interfaces visuales para la introducción de
información e interacción con la misma. A continuación
se describen algunas de las más representativas.
En la Figura 1 se muestra la pantalla utilizada para
determinar el tipo de investigación, basándonos en la
información proporcionada se determinaron las
características principales de cada tipo de investigación.
El programa pide seleccionar las tres principales y al
revisarlas determina cuál es el tipo de investigación que
cumple con la mayoría de las características.
Fig. 1. Determinar el tipo de Investigación
Para determinar el método de investigación se separaron
tres aspectos importantes a saber: la información,
recolección de información y los resultados. La interfaz
para esta selección se muestra en la Figura 2.
Fig. 2. Selección del método de investigación
La figura 3 muestra el diseño del formulario que se
usa para determinar la muestra con la técnica de
conglomerado, la cual se ajusta de acuerdo al número de
conglomerados y de estratos, después de introducir la
población por estratos, se determina la población total.
Fig. 3. Formulario para muestreo conglomerado
Al terminar de introducir los datos necesarios,
si no se desea combinar la estratificación los
resultados se envían a un documento de Word, pero
si se combina la estratificación seleccionamos en
un formulario cual es la técnica que queremos usar,
aleatorio simple o sistemático, y se abre el
formulario correspondiente a cada técnica.
Fig. 4. Formularios para estratificación
En la figura 4 se visualizan los formularios
utilizados para la estratificación. En ellos se manejan el
tamaño total de la población y la muestra, que se ajusta
de acuerdo a los estratos solicitados por el usuario. Al
terminar la introducción de datos, se genera la muestra
por estratos. También se puede escoger la opción de
combinar la estratificación, si no se desea, los resultados
se envían a un documento de Word, de lo contrario, se
avanza hacia otra selección para generar la combinación
de Aleatorio simple o Salto estratificado.
V. CONCLUSIONES
El desarrollo de esta aplicación de cómputo
complementará las materias del área de investigación
por la versatilidad y facilidad que presenta en su
operación, complementando de manera significativa el
proceso de enseñanza aprendizaje. A su vez, con este
desarrollo informático se planeará la metodología de la
investigación que se pretenda desarrollar y acorde con el
objetivo de la investigación, se diseñará y determinará
ISBN: En trámite 26
la muestra bajo técnicas de muestreo simples y
complejas, se analizará la representatividad de las
muestras bajo diversas variables, y finalmente con todo
lo anterior, se impactará en la aplicación y generación
del conocimiento a través de las tecnologías de la
información y la comunicación.
VI. AGRADECIMIENTO
Los autores queremos agradecer a la dirección de
investigación de la Universidad de La Salle Bajío por el
apoyo otorgado para el desarrollo del presente trabajo
de investigación.
VIII. REFERENCIAS
[1] American Marketing Association, 2003.
[2] McDaniel, C; Gates, R.; Investigación de mercados. Thomson,
pp 9-10. (2005).
[3] McDaniel, C; Gates, R.; Investigación de mercados. Thomson,
pp 5-6. (2005).
[4] Malhotra, N. K.;Investigación de mercados, un enfoque aplicado. Pearson. Prentice Hall, pp7 (2004).
[5] Coad Peter,Nicola Jill. Object Oriented Programming. Jourdon
Press Computing Series (2003).
[6] Sommerville. Software Engineering. Pearson Education
Limited.(2007).
Índice
ISBN: En trámite 27
El Trabajo Colegiado en la Construcción de la
Transformación Educativa
A. Ledezma Ballesteros
Universidad La Salle Pachuca
Docente de Matemáticas
Belisario Domínguez # 202 Col. Centro
Pachuca, Hidalgo. C. P. 42000
Resumen— Como conclusión de las reflexiones de lo
que es el trabajo colegiado creo que en todas las escuelas es
muy importante que valoremos el trabajo grupal y
emprendamos acciones colegiadas poniendo en marcha los
programas de cada asignatura; para el proceso formativo
de los estudiantes, innovemos nuestras formas de concluir
el proceso de enseñanza aprendizaje considerando la
calidad humana.
Aprender a trabajar en las instituciones educativas de
forma afectiva como equipo colegiado, requiere de decisión
y voluntad de todos para adquirir y/o desarrollar
habilidades y capacidades especiales que son necesarias
para el desempeño óptimo de la labor educativa y que en
forma colegiada el éxito que sea de todos.
En La Salle Pachuca se ha emprendido este tipo de
trabajos y se ha logrado subir el nivel académico en el área
de matemáticas.
I. INTRODUCCIÓN
Trabajo colegiado se le llama a las reuniones de
trabajo que realizan compañeros, sobre todo de una
institución educativa, una zona escolar, un sector
educativo, etc. que tratan asuntos relacionados con el
desempeño de su trabajo académico sobre todo, donde
los participantes intercambian ideas para resolver
problemáticas del proceso enseñanza aprendizaje,
experiencias exitosas, tratamiento de temas de difícil
comprensión para los alumnos; en donde no interesan
aspectos de género, preparación profesional, políticos,
religiosos, sino mas bien en donde salgan fortalecidos
todos los asistentes ya que esa es su única finalidad. El
trabajo colegiado es diferente al trabajo de los
colectivos, ya que en el primero se reúnen los miembros
más por iniciativa propia y en el segundo se opera desde
una designación oficial. Este asunto es extenso pero
creo que con este granito de arena, aporto a esta noble
causa.
En la introducción por lo general, se da una
descripción amplia de los antecedentes del trabajo
presentado en el artículo, se mencionan referencias
similares, y se indica lo que se desarrolla en el mismo
de manera más completa. Normalmente esta sección no
contiene ecuaciones, tablas o figuras, pero esto no es un
limitativo. Por lo general en la introducción es donde se
presentan la mayor cantidad de referencias.
II. EL TRABAJO COLEGIADO EN LA CONSTRUCCIÓN DE LA
TRANSFORMACIÓN SOCIOEDUCATIVA
Las nuevas tendencias educativas y la necesidad de
reducir esfuerzos, llevan a las instituciones a pensar en
grupos colegiados como una forma de trabajo habitual.
La experiencia humana trabajada en red es un proceso
racional por naturaleza que avanza en la interacción
entre individuos y grupos.
Para lograr el éxito en la formación, como gran red
que transforme nuestra sociedad, meta difícil de
alcanzar por un solo docente; la interacción y la actitud
de los docentes en forma colaborativa y no
individualista puede obtener más y mejores resultados
con muchos menos esfuerzos, además proporciona una
satisfacción colectiva al estar realizando lo correcto en
este mundo cambiante que cada vez acelera más el
número de retos a superar, en la globalización.
En todos los tipos de organizaciones conocidas es
fundamental el equipo constituido por sus miembros.
Desde el nacimiento de estas, el acuerdo básico que
establecen sus integrantes es el de trabajar en conjunto;
o sea, el de formar un equipo de trabajo. En la
educación entonces es necesario un grupo colegiado. El
trabajo colegiado ha sido parte importante de la vida
institucional en las escuelas, sin embargo, en muchos
casos y por diversas causas, durante años este
mecanismo se debilitó y sus propósitos se volvieron
difusos. En algunos casos los propios profesores han
manifestado que estos espacios se han dedicado
fundamentalmente al tratamiento de aspectos
administrativos y por lo tanto, han perdido el interés por
participar cuando se les convoca.
El trabajo colegiado tiene como base la participación
comprometida y democrática, que debe realizarse en Un
ambiente de respeto a la diversidad, en busca de la
colaboración que se requiere para generar propuestas y
ISBN: En trámite 28
solucionar problemas de carácter pedagógico que
afectan al conjunto de la escuela. A través de la
información que se obtiene en el trabajo colegiado los
docentes y directivos logran una mejor comprensión del
proceso formativo de los estudiantes y mayor claridad
en los propósitos de su tarea educativa.
Siendo este grupo colegiado, el equipo de trabajo el
conjunto de personas asignadas o auto asignadas, de
acuerdo a las habilidades y competencias específicas,
para cumplir una determinada meta educativa bajo la
conducción de un coordinador o del director.
Las experiencias de trabajo colegiado que los
profesores desarrollan a partir de los resultados
obtenidos con la aplicación de los programas de estudio,
reflejan los esfuerzos por perfeccionar el proceso
formativo de los estudiantes y por adquirir su propio
adelanto profesional. La realización del trabajo
compartido permite organizar el trabajo docente,
identificar avances y dificultades en el logro de los
propósitos de los programas de estudio, así como tomar
decisiones basadas en la información real de lo que
sucede en la escuela y en cada una de las aulas para
adecuar las formas y estilos de trabajo a las condiciones
particulares en las que se desarrolle el proceso de
enseñanza y aprendizaje.
El liderazgo efectivo es necesario para un adecuado
trabajo en equipo colegiado, es decir, contar con un
proceso creativo con una visión provisora que considere
los intereses de los integrantes de la comunidad
educativa; de la organización de padres, alumnos,
maestros y entorno social de la escuela, con el
desarrollo de estrategias para acercarse a la visión de
cada estudiante, siendo los directivos de cada plantel,
líderes legítimos con la capacidad de transformación y
contagio de espíritu de servicio.
La comunicación es una herramienta fundamental en
todo tipo de trabajo colegiado que permite el
funcionamiento o la obstaculización del logro de los
objetivos, por eso en todo equipo colegiado los
integrantes deben estar dispuestos a comunicarse con
sus compañeros, permitir y dar los puntos de vista
personales que enriquecen su trabajo.
Tener definidos los propósitos, será la parte
elemental para poder definir los objetivos del grupo y
los personales; pero no olvidado que se es un objetivo y
que se comparten responsabilidades conjuntas desde
donde se pretende la transformación social.
El principal propósito, en la educación es lograr que
los alumnos y docentes, trabajen colegiadamente porque
tienen como base: la participación comprometida y
democrática, misma que se realiza en un ambiente de
respeto por la diversidad, en busca de la colaboración
que se requiere para formar propuestas.
En la academia de matemáticas en nivel bachillerato
aproximadamente tenemos un año trabajando mediante
trabajo colegiado y lo que hemos logrado es
estandarizar el nivel académico, el proceso enseñanza-
aprendizaje ha sido mucho más accesible para los
alumnos, se trabaja mediante evaluaciones constantes en
trabajos colaborativos e individuales, entre docentes se
ha logrado compartir materiales de trabajo, trabajamos
juntos para la elaboración de exámenes revisándonos
unos a otros los exámenes y una vez listos se rolan entre
los diferentes grupos lo que propicia que el alumno sea
capaz de resolver cualquier examen y no únicamente el
que su maestro presente, por la diversidad de
pensamiento y razonamiento de cada docente en la
revisión logramos estandarizar los tiempos de respuesta
y el nivel de profundidad cuidando abarcar todos temas
acordados para cada examen.
De acuerdo a las estadísticas de índices de
reprobación se ha logrado bajar aunque seguimos
trabajando para que ese índice sea el menor posible, se
ha visto con las estadísticas que la prueba enlace
presenta que el nivel de matemáticas en nuestros
bachilleratos ha cambiado para mejorar las habilidades
matemáticas de nuestros alumnos, esto nos llena de gran
satisfacción ya que no ponemos a estudiar, ni abrimos
talleres de estudio antes de que los alumnos presenten
este tipo de pruebas, es nuestra escuela los directivos así
como los docentes estamos convencidos que es la mejor
forma de evaluar el trabajo y esfuerzo tanto de docentes
como de los alumnos y de ahí generar estadísticas que
nos indiquen si estamos logrando los objetivos que
planteamos.
Esta forma de trabajo ha sido de gran beneficio en la
academia porque además el mismo ritmo de compartir
tu trabajo con tus compañeros te obliga a buscar y
elaborar trabajos a compartir, así como de
retroalimentar los errores para mejorar y consensar para
unificar criterios.
No es una tarea tan fácil pero la disposición de
nuestra academia es muy grande con esto quiero decir
que ha se siegue en pie cada día tratando de mejorar las
técnicas, de dialogar los desacuerdos, de trabajar y
planear lo mejor posible para elevar el nivel de
matemáticas y disminuir el índice de reprobación.
En este proceso es importante adecuar las formas de
trabajo a las condiciones particulares de un grupo,
comunidad, una región, un estado o una nación para dar
lugar a que se desarrolle el proceso.
Si tienen la disposición, las ganas, la motivación, el
entusiasmo creo que deben intentarlo esto te ayuda
como ser humano a crecer y ser mejor, no obstante
tendrás que enfrentar muchos retos pero sé que lograrás
vencerlos siempre y cuando se vean de forma
constructiva.
ISBN: En trámite 29
III. REFERENCIAS
Para artículos en revistas:
[1] Tasco, Trujillo. (2002). Evaluaciones e intervención
psicoeducativa: Revista interuniversitaria de Psicología de la
Educación, ISSN 1577-4864 N°1.
Para libros:
[2] Arenas, Cruz María Elena (1997). Hacia una teoría general del
ensayo. Construcción del texto Ensayístico. Madrid. Ediciones
de la Universidad de Castilla-La Mancha.
[3] Fierro, Cecilia; Rojo Pons, Susana. (1994). El consejo técnico un encuentro entre maestros. México. Libros del Rincón, S.E.P.
Para reportes técnicos:
[4] Mary. Louise Holly (2004). Educar. ISSN; 0211-819X, N° 34.
Índice
ISBN: En trámite 30
El análisis de la Práctica Docente, Recurso Necesario e
Indispensable en la Enseñanza de las Matemáticas en el
Nivel de Educación Medio Superior.
R. Ledezma Ballesteros.
Universidad La Salle Pachuca.
Bachillerato.
Belisario Domínguez 202, Col. Centro.
Pachuca, Hidalgo, México, C.P. 42000.
Resumen— En el presente escrito se presenta de una
forma simple, concreta y accesible algunas reflexiones
sobre el análisis de la práctica docente que debemos llevar
a cabo todos aquellos quienes nos dedicamos a la
enseñanza o bien que participamos de forma directa o
indirecta en los procesos de enseñanza y aprendizaje. La
manera de seleccionar los puntos que se exponen del
universo que compone este tema tan importante fue
buscando relación con los principales problemas que como
docente del área de física y matemáticas en el nivel medio
superior de educación he desarrollado en los últimos seis
años, concluyendo por pláticas informales con algunos de
mis compañeros en esta tarea del área del conocimiento y
de otras sobre las problemáticas con las que habitualmente
coexistimos. La importancia de la reflexión es invitar a
todos los docentes que se dedican a la educación del nivel
medio superior de educación a retomar si lo han dejado de
hacer, a iniciar con este trabajo los que aún no lo llevan a
cabo y que continúen los que lo desarrollan un ejercicio
cotidiano del análisis de su práctica docente con el objetivo
de evolucionar como docentes.
Palabras clave— práctica docente, intuición, pensamiento
reflexivo, intelectualización, condiciones
congnitivolingüísticas, tacto pedagógico.
I. INTRODUCCIÓN
Por medio del presente trabajo se presentan algunos de
los aspectos más relevantes que deben considerarse
cuando se está interesado en redescubrirse como
docente y que cada ejercicio de nuestro papel como
docente tenga una clara intención de mejora en nuestro
papel profesional que reditúe en el aprendizaje de los
participantes de nuestros cursos, marcando una línea de
mejora continúa sobre nuestro quehacer cotidiano
II. ANÁLISIS DE LA PRÁCTICA DOCENTE.
La práctica docente está vinculada directamente con las
actividades de enseñanza y aprendizaje, un concepto
que puede tomarse como premisa fundamental de este
término puede estar compuesto por los pensamientos,
acciones y procederes que adoptamos cada uno de
quienes nos dedicamos profesionalmente a actividades y
acciones de enseñanza, destacando la necesidad de
analizar cada uno de estos aspectos en un continúo que
nos permita conocer, criticar, modificar, reinventar y
reconstruir (entre otras ideas) lo que hacemos y como lo
hacemos, con la finalidad última de hacerlo cada vez de
la mejor forma posible para provocar en quienes son los
participantes de nuestros cursos aprendizajes
significativos o al menos aprendizajes efectivos y con
esto contribuir al desarrollo de mejores escenarios y
condiciones en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
La práctica docente efectiva es aquella que podemos
calificar como cambiante a cada momento y que
responda a las necesidades de los participantes en
nuestros cursos, en correspondencia siempre con los
objetivos curriculares y las líneas y políticas
institucionales y las políticas públicas y
gubernamentales impuestas por el estado.
Hablar de práctica docente conlleva un análisis
detallado y minucioso de un sin número de variables,
éstas variables dependen fundamentalmente del
resultado del análisis diagnóstico del contexto en y para
el cual estamos trabajando, por lo anteriormente
expuesto en el presente escrito sólo expondré lo que
bajo mi criterio serían algunas de las principales
variables que intervienen y que podrían provocar
mejores resultados en la enseñanza de las matemáticas.
Mi papel como docente ante las nuevas expectativas en
el mundo cambiante del siglo XXI.
El reto de los docentes del siglo XXI, consiste
fundamentalmente en dar potencial a las áreas de
desarrollo de todas y cada una de las personas que son
los participantes de los cursos que aceptamos bajo
ISBN: En trámite 31
nuestra responsabilidad, lo cual implica la condición de
vida en un mundo globalizado en todos los sentidos, por
lo que los avances científicos y tecnológicos son el
punto en el cual nos debemos de posicionar para
desarrollar las actividades que tienen que ver con
nuestro ejercicio docente. El análisis de distintas teorías
y tendencias científicas nos orillan a modificar muchas
conductas, acciones y sobre todo actitudes.
La tecnología, su uso, su potencial y su desarrollo
nos han rebasado (como sociedad y como personas) por
lo cual el análisis de nuestra labor docente debe estar
fundamentado en primera intención bajo esta premisa;
por lo cual, los participantes de nuestros cursos no se
conforman con desarrollar conocimientos teóricos sino
que van más allá, para ellos es indispensable enlazar las
ideas de la teoría y de la ciencia en aplicaciones
prácticas inmediatas y de identificación simple, por lo
que puedo concluir que el reto más importante en esta
primera reflexión está relacionado con el saber, conocer
y aplicar, sin embargo en ocasiones nos enfrentamos a
grupos que sólo buscan el aplicar dejando a un lado los
esquemas necesarios de naturales teórica (saber y
conocer) dando importancia sólo al aplicar en busca de
una respuesta al para que lo debo aprender.
La indagación como base de la formación del
profesorado y la mejora de la educación.
En los últimos tiempos ser docente (de cualquier
nivel educativo y de cualesquiera área del
conocimiento) los docentes nos enfrentamos a una
problemática fundamental en condiciones de qué y
cómo aprendemos a ser docentes además de cuál es el
proceso por medio del que nos valemos para
reinventarnos para ser cada vez docentes que generen
impactos positivos y efectivos en el proceso de
enseñanza y aprendizaje.
De dónde nos informamos y como hacemos para
adquirir o desarrollar habilidades que nos permitan
llevar a cabo nuestras actividades cotidianas de nuestro
actuar docente; es decir, quién nos enseña a ser docentes
y cómo modificamos nuestro actuar. Dar una respuesta
a esta cuestión suele ser muy complejo debido a las
características que nos marca el contexto actual y el
contexto en el que fuimos formados, los escenarios que
podemos enfrentar un día determinado en algunas
ocasiones serán únicos, en otras ocasiones podrán
corresponder con experiencias previas, por lo que
debemos estar preparados en todo momento para crear
con base en procesos comparativos alternativas que
permitan el desarrollo efectivo de nuestras actividades.
Identificar los errores que cometemos y como damos
solución a los mismos nos habla de procesos reflexivos
necesarios e indispensables en todo momento
contrastados por medio de observación de expertos
(expertos que podemos considerar a quienes son
nuestros compañeros de academia) y aprender de su
acción cotidiana buscando congruencia con nuestro
actuar y probar como nos comportamos después de
haber imitado sus conductas y comportamiento.
En caso de no contar con expertos en el contexto de
nuestro desempeño deberemos darnos a la tarea de
indagar por otros medios, como pueden ser sitios
virtuales de intercambio de experiencias, lecturas sobre
mejoras del desempeño docente, inclusión de nuevas
herramientas, técnicas y procedimientos didácticos entre
otros.
El profesor intuitivo.
La intuición se debe concebir como una dimensión
de reflexión y análisis básico al momento en que nos
desarrollamos en cualquier grupo social, ésta depende
de la experiencia de diferentes situaciones y sobre todo
de la condición consciente de solución de diversas
situaciones, por lo que debemos considerar a la
intuición como una herramienta que se desarrolla con
base en la relación y el conocimiento de las personas o
bien los grupos sociales de los que nos toca interactuar,
la intuición puede compararse con una emoción que nos
permite intervenir o no intervenir en determinados
escenarios.
En el medio de la educación la intuición puede
considerarse una herramienta que nos ayuda a resolver o
no intervenir en situaciones específicas, el requisito
indispensable es tener la disposición para correr el
riesgo de participar en el proceso convirtiéndonos en un
ente activo en la resolución de una situación
problemática en particular.
Los dos determinantes de participar o no con base en
la intuición en una situación problemática son el nivel
de conocimiento de la situación y la experiencia en
situaciones semejantes. Se debe acotar que la intuición
en ningún momento puede ser considerada como un
sustituto de la razón siempre se debe equilibrar la parte
del raciocinio del ser humano con la emoción intuitiva,
con la finalidad de no perder objetividad.
Como una idea de partida para el uso de la intuición
en la remediación de situaciones problemáticas y bajo
una intención objetiva debemos considerar la idea de
observar y rescatar la experiencia de otras personas que
han estado en situaciones semejantes.
En el ámbito educativo se identifican ciertas
habilidades que deben desarrollarse para podernos
valorar como docentes intuitivos, éstas están
relacionadas directamente con la capacidad que tenemos
de adecuarnos, destacando las siguientes:
ISBN: En trámite 32
a. Percepción de los patrones.
b. Fluidez.
c. Flexibilidad.
d. Toma de decisión.
e. Desenvolverse en la complejidad y planear en
consecuencia.
f. Concepción holística, autoimagen y
autoconciencia.
La relación entre el pensamiento reflexivo y proceso
educativo.
Pensar, es una acción que conlleva tantos
significados así como aplicaciones, es el término más
subjetivo que se pude analizar, pero porque es subjetivo,
bien cada uno de los seres humanos tenemos diferentes
formas de pensar o de entender nuestra función de
pensamiento, la esquematización es una condición
individual y la marca de alguna forma la cultura y los
escenarios de aprendizaje que hemos experimentado.
Bajo un esquema particular el pensamiento tiene
relación con la conciencia, el análisis, la reflexión, la
decisión, la creencia, el establecimiento de
conclusiones, la necesidad de investigar y muchas otras
más.
Rescatando la idea del párrafo anterior sobre la
necesidad de investigar surgen una cadena de
parámetros de observación, búsqueda de significados en
esquemas previos (procesos de análisis, comparación,
recuperación y creencia), por lo anterior podemos
darnos a la tarea de pensar en ¿es cierto?, ¿puede
cambiar?, ¿me sirve cómo solución de este problema?,
¿la relación que tiene es válida?, al elaborar y responder
éstas cuestiones y muchas más nos colocamos en una
fase importante del proceso de pensamiento pero no de
un pensamiento inmediato, sino de un pensamiento que
se fundamenta en situaciones pasadas, el manejo de la
incertidumbre sobre los elementos recuperados es
saludable para propiciar un nivel de pensamiento
profundo; la incertidumbre propicia elementos
potenciales de investigación, la necesidad de investigar
es forzosamente provoca una regulación del
pensamiento y el establecimiento de objetivos de
investigación y acción, éstos se relacionan con lo que
creemos y pensamos y su contraste en una aplicación
real para alcanzar la resolución de problemas o el
establecimiento de conocimiento, todo lo anterior de
una forma general es lo que concibo como proceso de
pensamiento humano, pero no de un proceso rápido y
fácil sino de pensamiento reflexivo.
Se puede concluir que las condiciones del
pensamiento reflexivo son:
Reflexión – observación.
Reflexión – sugerencias (hipótesis).
Reflexión – datos – ideas – factores correlativos.
Además de poder presentar de una manera informal
las etapas en las que se fundamenta y se desarrolla el
pensamiento reflexivo:
Sugerencia.
Intelectualización.
Hipótesis.
Razonamiento.
Acción.
Hablar y escribir para aprender.
Las acciones de comunicación en el desarrollo de los
procesos de enseñanza y aprendizaje son actividades
básicas por medio de las cuales se puede lograr los
resultados previstos en los objetivos de los programas
educativos. Es por esto que se deben analizar estos
procesos y las condiciones cognitivo lingüísticas, ya que
al ser empleadas con la intención y de la forma correctas
podrán ayudarnos a lograr de una manera efectiva
nuestros fines, los docentes estamos comprometidos con
el desarrollo de algunas habilidades por medio de las
cuales podemos ser asertivos en nuestros proceso de
comunicación, entre otras podemos destacar:
a. Describir.
b. Resumir.
c. Definir.
d. Explicar.
e. Justificar.
f. Argumentar.
Por medio de la utilización adecuada de las
habilidades citadas podremos establecer relaciones de lo
concreto a lo abstracto, de lo simple a lo complejo, de lo
presencial a lo no presencial, de lo vivido a lo no
experimentado, entre otras.
La reflexión sobre la acción.
El tacto pedagógico es una idea que debiera ser
utilizada con mayor frecuencia en todos los procesos de
enseñanza y aprendizaje ya que es una herramienta que
puede ser empleada de forma efectiva y asertiva en la
resolución de situaciones problemáticas relacionadas
con conflictos que se presentan siempre en escenarios
áulicos por lo cual como docentes debemos de estar
atentos y observar cuáles son las situaciones
problemáticas que se presentan comúnmente, cuál es su
frecuencia y cuál es el comportamiento que adoptan los
alumnos frente a éstas. Es necesario puntualizar que en
algunas ocasiones nuestro papel como docente debe ser
retrasar o evitar nuestra intervención y dejar que la
ISBN: En trámite 33
situación fluya para que el problema se resuelva bajo su
condición natural o bien por movimientos del grupo
social no inducidos por nosotros y sólo controlados por
nuestra acción.
El manejo de la subjetividad es uno de los hechos
más importantes en la valoración del tacto pedagógico
por lo que debemos tratar a los actores de nuestro hecho
educativo como personas quienes sienten y tienen
problemas al igual que nosotros.
El tacto pedagógico puede ser efectivo en la
resolución de conflictos pero también pude provocar
situaciones problemáticas en caso de ser mal orientado,
en nuestra práctica docente debemos identificar y tomar
experiencia sobre las intervenciones que debemos
realizar, cuando hacerlas o bien cuando debemos fungir
como espectadores o bien mediadores.
El significado de la sensibilidad pedagógica.
En el tacto pedagógico se debe analizar la relación
entre reflexión y acción con la finalidad de poder
establecer las condiciones de comportamiento docente
en situaciones de intervención o bien de abstención
sobre algunos problemas. Se reconoce una condición de
reflexión anticipada, activa o interactiva, la experiencia
activa sobre recuerdos; bajo cualquiera de estos
escenarios los procesos de reflexión antes, durante y
después de la acción son elementos o actividades
deseables en quien se dedique al ejercicio docente, ya
que debemos en todo momento analizar las situaciones
en las que participamos además de que debemos
responder al compromiso de planear, desarrollar,
evaluar y retroalimentar escenarios de enseñanza y
aprendizaje que sean efectivos y que promuevan
resultados de aprendizaje (en el mejor de los casos
óptimos) por lo que el análisis de la práctica docente,
los tiempos y las intenciones de los distintos modos de
reflexión son convenientes y deseables de desarrollarse.
III. REFERENCIAS
[1] P. Cercadillo, La indagación como base de la formación del
profesorado y la mejora de la educación, Barcelona, Octaedro,
2003, pp. 193-208.
[2] J. Jaume, Hablar y escribir para aprender, uso de la lengua en
situación de enseñanza-aprendizaje desde las áreas curriculares, Universidad Autónoma de Barcelona, Barcelona,
Editorial Síntesis, 2000, cap. 2.
[3] Manen. Max Van, El tacto en la enseñanza, el significado de la
sensibilidad pedagógica, Barcelona, Paidós (Educador), 1998, pp. 159-165 y 111-130
[4] J. Dewey, Cómo pensamos, nueva exposición de la relación entre pensamiento reflexivo y proceso educativo. Barcelona,
Paidós (Cognición y desarrollo humano), 1998, pp. 21-31 y 99-
108.
[5] T. Atkinson, El professor intuitive, Barcelona, Octaedro
(Repensar la educación, 15), 2000, pp. 95-112.
[6] D. R. Thiery, ―Las funciones clave del docente de nivel
superior‖ presentado en el Octavo Congreso Nacional de Pedagogía, Cd. Victoria, Tamaulipas, México, 2005.
[7] E. Rockwell, R. Mercado, ―La práctica docente y la transformación de maestros‖ en: La escuela, lugar del trabajo
docente. Descripciones y debates, México, Cuaderno de
Educación DIE, 1986, pp. 63-68.
Índice
ISBN: En trámite 34
El Uso de Métodos y Técnicas Grupales para la
Enseñanza Estratégica de la Asignatura de Matemáticas
en Primero de Secundaria
J. López Hernández
Universidad La Salle Benavente
25 Oriente # 9 Col. El Carmen,
Puebla Pue. C.P. 72530
Resumen—A través de múltiples observaciones e
investigaciones pude percatarme de que se está trabajando
incorrectamente en la enseñanza de las matemáticas, ya
que diversas evaluaciones que hace la SEP a la educación,
los alumnos obtienen bajas calificaciones y malos
resultados para los docentes, por ello la necesidad de
buscar herramientas y hacer investigaciones para ayudar a
los alumnos y logren comprender esta materia tan
importante para la vida.
Se buscó la manera más adecuada para presentar
diversidad de actividades que le fueran gratas a los
alumnos, además de que ellos fueran la parte central de
este proyecto de investigación y no el docente, basándose
en que los alumnos tomen el papel activo durante la clase y
el maestro solamente guiarlo de la mejor manera.
Se obtuvieron resultados positivos a través de la
aplicación de juegos, actividades diversas en donde se
incluyeran métodos, técnicas y estrategias de enseñanza.
Palabras Clave- estrategias, técnicas, métodos, enseñanza.
I. INTRODUCCIÓN
Para muchos, las matemáticas constituyen un
universo abstracto, extraño y lejano, patrimonio de unos
pocos genios. Un mundo alejado de la realidad de cada
época con una existencia independiente al devenir de la
historia. Sin embargo a lo largo de esta y la necesidad
de conocer sobre la materia, ha hecho que grandes
pensadores matemáticos hagan aportaciones para que
sean mejor comprendidas y utilizadas durante su
proceso de vida.
El propósito de estudio se asentó en cómo trabajar la
asignatura de matemáticas con grupos que tengan
muchos alumnos y reducidos en cuanto a espacio, de tal
forma que el problema a investigar fue, si el sobrecupo
en el salón de clases contribuye a que los alumnos no
pongan la atención necesaria, cuando se imparte la clase
de tal forma que afecte su aprendizaje y el de sus
compañeros debido a los múltiples distractores que hay
dentro de una aula.
Las motivaciones que se tuvieron que trabajar en
este tema fueron; impartir de diferentes formas la
materia de matemáticas, así como la utilización de
diferentes recursos tecnológicos, manipulables y
demostraciones que ayudaran a los alumnos a entender
de forma clara los temas de matemáticas, del mismo
modo ir experimentando que estrategias ayudan a tener
mayor organización en el aula de tal forma que los
docentes las utilicen para impartir sus clases, y al mismo
tiempo se observe que materiales ayudan para que los
alumnos comprendan y haya mayor progreso en la
materia.
II. JUSTIFICACIÓN.
La razón principal para trabajar de manera diferente
con los alumnos de primer año grupo ―D‖, es porque los
salones del turno matutino tienen sobrecupo, teniendo
como consecuencia una mala atención. Resultando con
esto que los alumnos tengan incorrecto aprendizaje o
conocimientos erróneos debido a que la atención que se
les prestó en la clase fue muy poca por parte del
docente.
Tener sobrecupo en un salón de clases implica
trabajar de manera cambiante para cualquier docente a
pesar de que tenga muchos años de servicio y amplia
experiencia en este rubro, por lo que habrá un desgaste
importante en la garganta y mental.
Con referencia a los materiales que se utilizan para
el apoyo del docente es importante mencionar que se
debe hacer una planeación minuciosa y adecuada para
captar la atención de los alumnos ya que es una pieza
clave para lograr una buena comprensión de los temas
de matemáticas.
Al hablar de evaluación podría decir que es difícil
evaluar a todos los alumnos en una sola clase o revisar
tareas, actividades, implica diseñar estrategias que
ISBN: En trámite 35
ayuden a cumplir con esta obligación y por lo tanto dar
una calificación justa a los alumnos.
A) Planteamiento del Problema
El sobrecupo en el grupo del primer año grupo ―D‖ de
la escuela general ―Dr. Alfonso Briseño Ríos‖
contribuye a no captar la atención por parte de los
alumnos ya que se distraen muy fácil, repercutiendo en
la evaluación que debe realizar el docente.
B) Objetivos de Investigación.
Analizar si el sobrecupo en el salón tiene alguna
influencia para qué los alumnos no logren trabajar
de manera adecuada las actividades planteadas por
los docentes.
Determinar la estrategia a seguir para poder
evaluar a los alumnos cuando el salón tiene
sobrecupo.
Diseñar una propuesta que de solución o ayude a
acortar tiempos en la evaluación de los alumnos.
Indagar que método o estrategia ayuda a tener
mayor comprensión de los temas de matemáticas
en los alumnos.
Observar qué materiales ayudan a captar la
atención de los alumnos y revisar si cuenta con
estos la escuela para hacer uso de ellos.
Proponer actividades didácticas que llamen la
atención del alumno y propicie un aprendizaje
significativo.
C) Resultados Esperados Alumnos
Desarrollen mayor participación en el trabajo en
equipo.
Distingan cuales deben ser las características para
poder construir cuadriláteros y triángulos y sea
capaz de justificarlos.
Mediante la utilización de diferentes materiales se
interesen por la materia de matemáticas.
Generen el interés por conocer más sobre la
materia y aporte ideas que ayuden a solucionar los
diferentes problemas.
Creen en su conocimiento la habilidad de análisis
para la aplicación de fórmulas de áreas y
perímetros
Distingan las tres diferentes soluciones de
proporcionalidad directa y los apliques creando
una habilidad.
DOCENTE
Diseñe una propuesta que dé solución para
trabajar con grupos saturados.
Emplee métodos y técnicas de enseñanza de
forma estratégica se logre mayor organización en
el aula de clases.
Realice actividades prácticas, demostrativas y
vivenciales para que los alumnos conozcan en
donde pueden aplicar sus conocimientos.
Use diferentes recursos como: computadora,
ilustraciones, calculadora y material didáctico
que favorezca el interés de los alumnos por la
materia
Aproveche a alumnos líderes que ayuden al
docente, para el trabajo con compañeros que
tengan problemas en su aprendizaje.
D) Metodología
Para dar pauta se retomará lo que es investigación,
siendo ésta un proceso que mediante la aplicación del
método científico, brindará información relevante
logrando el entendimiento de un determinado objeto de
estudio, donde se obtienen resultados de manera clara,
precisa y univoca. Por lo que es necesario emplear una
serie de pasos, considerando un método de estudio
sistemático en el que se incluyen técnicas de
investigación.
Partiendo de lo anterior, este documento se basa en
el siguiente tipo de investigación:
El enfoque cualitativo, por su parte se basa en un
esquema inductivo, es expansivo y por lo común no
busca generar preguntas de investigación, ni probar
hipótesis preconcebidas, sino que estas surgen durante
el desarrollo del estudio. No mide numéricamente los
fenómenos estudiados ni tampoco tiene como finalidad
generalizar los resultados de su investigación; por lo
tanto no lleva a cabo análisis estadístico; su método de
análisis es interpretativo, contextual y etnográfico.
Asimismo, se preocupa por capturar experiencias de
lenguaje de los propios individuos.
E) Línea Temática.
La línea temática que se adecua más a este problema es
análisis de experiencias de enseñanza, en el tratamiento
de temas y/o contenidos secuenciados, debido a que se
desea analizar con detalle, un contenido en particular, en
el área de matemáticas ―captar la atención de los
alumnos y evaluación‖ poniendo en práctica la
aplicación y análisis de actividades de enseñanza
congruentes con los propósitos de la educación.
ISBN: En trámite 36
III. APÉNDICE
Durante el trabajo realizado en una escuela
secundaria como antes se ha mencionado, se
presentaron diferentes actividades en base a diferentes
objetivos plantados en el documento presento a
continuación algunas de las actividades que se llevaron
a cabo durante el periodo que se aplicó la propuesta.
En primera instancia se relata en que consistió la
actividad y después se ejemplifica con imágenes el
resultado ya obtenido.
Cuadriláteros dentro de un círculo
Para esta actividad se formarán en equipos y
necesitan una cuerda de 2m de largo y pintura.
Se saldrá al patio y se les pedirá a los alumnos que
resuelvan el siguiente problema. En la escuela
secundaria ―Dr. Alfonso Briseño Ríos‖ se desea colocar
una fuente para dar una mejor vista, se ha pensado en
una fuente circular, pero después por decisión de los
padres de familia se cambia el diseño que dando una
figura inscrita en el círculo, utilizando los
conocimientos previos como trazo de circunferencia,
diámetro, radio. Si unen los puntos en donde tocan los
diámetros al círculo ¿Qué polígono se forma?
En la Fig.1 se muestra el trazo que tuvieron que
realizar los alumnos para obtener la circunferencia.
En la Fig.2 se muestra el trazo de los diferentes
diámetros para lograr la construcción de un cuadrilátero.
Triángulos en el patio.
En equipo, resuelvan el siguiente problema.
Para esta actividad necesitan cuerda, tijeras y pintura.
Material Fig. 3
Para el primer triángulo, utiliza 3 tiras de cuerda
iguales para un triángulo (100 cm).
Para el segundo triángulo, utiliza dos tiras
iguales y una menor a estas (2 de 100cm y una
de 75 cm).
Para el tercer triángulo utiliza todas las medidas
diferentes (100, 75, 50 cm).
Dados los siguientes segmentos, ¿cuántos triángulos
diferentes se pueden construir en cada caso? Escriban
sus conclusiones.
Fig.3 simulación de material para la figuras
En la Fig.4 se muestra los trazos de triángulos que
realizaron los alumnos.
En la Fig.5 se muestra el resultado obtenido después de
la actividad.
Fig. 4 trazos de triángulos Fig. 5 resultados
Los resultados más representativos que se
obtuvieron durante el trabajo fue que el uso de
estrategias, métodos y técnicas de enseñanza, junto con
el uso de actividades que fueran de interés para los
alumnos, es que se logró el objetivo de que los alumnos
trabajaran en equipo en diferentes formas y aprendieran
a convivir entre ellos.
El uso de diferentes materiales y diversidad de
espacios de la escuela para impartir clases ayudo a que
los alumnos aprendieran de mejor manera esta
asignatura y al mismo tiempo se divirtieran y llevaran
los temas a la vida diaria.
Después de la propuesta se aplicó un examen para
valorar los aprendizajes obtenidos por los alumnos, se
obtuvo de un total de 56 alumnos, la aprobación del
89% y solamente el 7% reprobaron y el 4% no presento
examen por cuestiones de salud, en base a estos
resultados se puede observar que se lograron buenos
resultados. Véase gráfica 1
Fig. 1 construcción de
una circunferencia
Fig. 2 trazo de diámetros
ISBN: En trámite 37
Gráfica 1
A través del proceso de enseñanza aprendizaje de las
Matemáticas, debe hacerse explícita la significación
social de lo que el alumno aprende, lo que se expresa
concretamente y lo que asimila. Por esta razón, la labor
educativa de esta disciplina se establece no solamente
en los programas, sino por las particularidades, por su
objeto de estudio y su evolución histórica, lo que se
evidencia en el papel desempeñado por parte de los
docentes en su labor educativa.
Por todo ello, concluyo que es importante reconocer
que debemos de planificar adecuadamente cada una de
las clases y recurrir al uso de actividades que sean de
interés para los alumnos, como diversidad de material
didáctico y uso de herramientas de enseñanza que
ayuden para la compresión de la clase. Debo mencionar
que no todos los recursos van a funcionar de la manera
que el docente espera, es por ello que debe hacer una
buena planeación y conocer cuáles son las necesidades
de los alumnos y cómo les gusta que se imparta la clase
e ir experimentando para observar cuales son adecuadas
para el grupo.
IV. AGRADECIMIENTOS
Me permito compartir este proyecto de investigación
y otorgarle mi más sincero agradecimiento a mí asesora
la Mtra. Yolanda García Rodríguez y demás
catedráticos de la Universidad la Salle Benavente
Puebla por su participación y colaboración. También a
la escuela secundaria general ―Dr. Alfonso Briseño
Ríos‖ que me permitió poner en práctica este proyecto.
V. REFERENCIAS
[1] ALARCON, Jesús, Barrón Higinio. (2001). La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. SEP. México.
[2] ALONSO, Catalina, M, et al. (2000). Los estilos de
aprendizaje, ediciones mensajero, España.
[3] ALVAREZ-GAYOU, J.L (2003). Como hacer una
investigación cualitativa; fundamentos y metodología. México,
D.F; Paidos.
[4] CHURBA, Carlos A. (2005). La Creatividad, Editorial Dunken.
Buenos Aires.
[5] DÍAZ, .A. La función mediadora del docente y la intervención educativa. Mc. Hill.
[6] DÍAZ, Barriga Frida. (1990). Estrategias docentes para un
aprendizaje significativo. Una interpretación constructivista. Nueva imagen. México
[7] DÍAZ, Barriga Frida. (1998). Estrategias de aprendizaje para
la comprensión de textos académicos en prosa, Nueva imagen, México.
[8] ELOSUA, M.R Y García, E. (1993). Estrategias para ensenar
y aprender a pensar, Naruea, España.
[9] FUENTES.M.O. (1998). La educación secundaria: cambios y
perspectivas.
[10] HARGREAVES ANDY. (2004). Las fases de la adolescencia en Desarrollo de los Adolescentes I Aspectos Generales, Planes
y programas de estudio 1ro y 2do semestre, México.
[11] HARTER SUSAN. (2000). Desarrollo de la personalidad y la
identidad en Desarrollo de los adolescentes III. Identidad y
relaciones sociales. SEP.
[12] HERNÁNDEZ R. Fernández, C. Y Collado, P. (2006).
Metodología de la investigación. 4ta ed. México D.F. Mc
Graw-Hill.
[13] MACÍAS L. MARÍA TERESA. (2007). Vive las matemáticas,
Esfinge, México DF.
[14] MARVAN LUZ MARÍA. (2009). Matemáticas 1, Ediciones Castillo, México DF.
[15] MEL SILBERMAN. (2006). Aprendizaje activo, 101
Estrategias para enseñar cualquier materia. Troquel.
Argentina.
[16] SEP, 2010, Acuerdo 499, México.
[17] SEP. 1994, Acuerdo 2000, México
[18] SEP. 2004. Fichero de actividades didácticas. Matemáticas.
Secundaria, México.
[19] SEP. Plan de estudios 2006. Educación básica.
[20] SEP. Programa de matemáticas 2006. Educación básica.
[21] SERRANO Bravo, 1996. Técnicas de investigación social.
Paraninfu.
[22] http://es.wikipedia.org/wiki/San_Martín_Texmelucan
[23] http://www.puemac.matem.unam.mx/
[24] http://www.texmelucan.com.mx/
[25] www.redescolarilce.edu.mx
Índice
ISBN: En trámite 38
La Evaluación por Competencias en la Enseñanza de
las Matemáticas
U. Pérez Espinosa
Universidad La Salle Benavente
25 Oriente # 9 Col. El Carmen,
Puebla Pue. C.P. 72530
Resumen—El motivo que da cabida al desarrollo de
esta investigación está relacionado con la dificultad que
manifiestan los docentes al poner en práctica el nuevo
enfoque de la enseñanza de las matemáticas y junto con
esto el desarrollo de competencias. De esta necesidad se
diseña un plan de trabajo de campo y se determina que la
evaluación es el eje del desarrollo de una adecuada
planificación. Al implementar la propuesta se diseñan
algunos instrumentos que apoyan la evaluación y
planeación a partir del desarrollo de competencias y se
llega a la conclusión de que: El docente que sabe evaluar
competencias toma mejores decisiones durante el proceso
de enseñanza y cuando aprende a evaluar y considera esta
como eje de la planificación entonces se puede garantizar
que está desarrollando las competencias de sus alumnos.
Palabras clave: Evaluación, Matemáticas, Planeación,
Competencias, Rubricas, Conocimiento, Habilidades
I. INTRODUCCIÓN
El estudio de la matemática en la educación
secundaria brinda amplias posibilidades para que los
alumnos adquieran conocimientos útiles, desarrollen
habilidades y fomenten actitudes que se traduzcan en
actuaciones competentes dentro de la sociedad. Sin
embargo, tenemos que aceptar, que a pesar de los
esfuerzos realizados durante muchos años, los
resultados obtenidos muestran que el acercamiento al
conocimiento matemático, en la escuela, sigue siendo
un esquema cerrado entre el profesor que enseña y el
aprendiz que se esfuerza en reproducir lo que ve y
escucha.
Con motivo de la Reforma de 1993, el programa de
matemáticas para la educación secundaria tuvo un gran
impulso en el sentido de asignar al alumno un papel
protagónico en la construcción del conocimiento, en
tanto que al docente el rol de profesional que analiza,
planifica y plantea actividades de estudio, como un
medio para que el estudiante use lo que ya sabe y
evolucione hacia el manejo de técnicas y
procedimientos cada vez más eficaces.
La Reforma del 93 cuestionó el proceso enseñanza-
aprendizaje, como fenómeno y avanzó hacia la
consideración de dos procesos independientes, la
enseñanza y el aprendizaje, dejando abierta la
posibilidad de pensar que puede haber enseñanza sin
aprendizaje o aprendizaje sin enseñanza. Los estudios
recientes no sólo confirman este planteamiento, sino que
le asignan, al acto de enseñar o aprender, un papel
secundario, para dar paso, en primer término, al estudio,
como motor principal para generar conocimiento,
desarrollar habilidades y fomentar actitudes y valores.
El combustible para que ese motor funcione es el
trabajo intelectual del alumno y las actividades,
mientras que los operadores son el profesor en primer
término, los padres de familia y la sociedad en general.
El programa de matemáticas 2006 es un intento serio
para avanzar en la dirección de darles a los estudiantes
una formación más integral, considerando en esta el
desarrollo de competencias. Esto implica que el docente
deba tener pleno conocimiento del cómo la práctica, se
desarrollan y de qué manera la evaluación forma parte
esencial del proceso.
II. PARTE TÉCNICA DEL ARTÍCULO
Para poder cumplir con lo establecido en el plan de
estudios de educación secundaria específicamente en la
asignatura de matemáticas, es necesario capacitar a los
docentes encargados de poner en práctica los programas
de estudio.
Dicha capacitación debe partir desde el
enriquecimiento teórico entrelazándolo con lo práctico,
es decir, se debe analizar un conjunto de documentos
afines al desarrollo y evaluación de competencias, y al
mismo tiempo ejemplificar con el desarrollo de alguna
temática del programa de estudio, eso de ninguna
manera debe relacionarse son la tradicional clase
modelo de otros tiempo, pues esta ya es ajena
totalmente a la didáctica, enfoque y por consecuencia a
la forma de evaluación.
ISBN: En trámite 39
Para fomentar en los docentes el registro
permanente de los avances de los alumnos se desarrolla
un taller en el que se pone en práctica diferentes
propuestas didácticas mismas que serán apoyadas por
los registros de evaluación.
Dichos registros a diferencia de los que
comúnmente se utilizan en la escuela secundaria están
organizados por grado y bloque correspondientes. Cada
uno contiene una columna para cada conocimiento y
habilidad esperado de acuerdo al programa de estudios.
Se pretende que los docentes dediquen una columna
para evaluar el tema a desarrollar, este estará sujeto a lo
propuesto por la secretaría de educación pública en su
página de Internet de reforma de secundaria y al criterio
de cada docente. Es decir, en cada columna se colocará
la calificación o referente al conocimiento adquirido por
parte del alumno en el desarrollo de un tema que
corresponde a un determinado número de sesiones.
El conocimiento y habilidad de cada columna es la
generalidad que deberá estar sustentada por el desarrollo
de las diferentes intenciones didácticas de cada tema.
Esta propuesta no deja de lado los rasgos de
evaluación que tradicionalmente considera cada docente
pero se recomienda cumplir con lo propuesto para dar
seguimiento a cada tema en cuanto a los logros de cada
alumno a lo largo del desarrollo de los bloques del
programa de estudios.
III. TABLAS
TABLA I
En las siguientes tablas se muestran los formatos y aspectos a evaluar en el primer grado y primeros bloques de
secundaria.
BLOQUE I PRIMER GRADO DE MATEMÁTICAS
REGISTRO DE ASISTENCIA Y EVALUACIONES DEL __I__ BIMESTRE. CICLO ESCOLAR___
ASIGNATURA: ___________MATEMÁTICAS______ GRADO: ___1º____ GRUPO: _______
NOMBRE DEL MAESTRO: ___________________
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ASISTENCIA CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES EVALUADOS
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1
2
ISBN: En trámite 40
BLOQUE II PRIMER GRADO DE MATEMÁTICAS
TABLA II
Puesto en práctica el proyecto de investigación, se realizaron las diferentes actividades programadas,
parte de este trabajo contempla el entrevistar y observar el trabajo de los docentes, al analizar los resultados
plasmados en los diferentes instrumentos se determinó que la evaluación que se implementada en los
alumnos en su mayoría era de tipo cuantitativo y se centraba en la recopilación de los productos.
Como lo muestra la gráfica, la evaluación de tipo cualitativa está por debajo de la media destacando la de
tipo cuantitativo con un 72%
Tipo De Evaluación
72%
28%
EVALUACIÓNCUANTI
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REGISTRO DE ASISTENCIA Y EVALUACIONES DEL __II__ BIMESTRE. CICLO
ESCOLAR___
ASIGNATURA: ___________MATEMÁTICAS______ GRADO: ___1º____ GRUPO: _______
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ASISTENCIA CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES EVALUADOS CALIFICACIÓN
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ISBN: En trámite 41
TABLA III
Competencias Matemáticas
La información obtenida de los instrumentos ya mencionados nos muestra que los docentes conocen las
competencias a desarrollar en sus alumnos, pero un punto a considerar y que se tomó en cuenta durante el
desarrollo del proyecto, fue que la mayor parte 64% no las ponen en práctica. Esto se refiere a que el
docente desarrolla sus clases trasmitiendo únicamente conocimientos.
TABLA IV
Resultados Promedio de Grupos
La siguiente gráfica presenta dos polígonos de frecuencia, ambos muestran el promedio de desarrollo de
competencias de los alumnos; el polígono azul refiere a la información obtenida previo a la aplicación de la
propuesta, el rojo los resultados obtenidos al término de la implementación del proyecto.
64%
36% Conoce pero nopone en práctica
Conoce y pone enpáctica
45%
30%
63%
20%
86% 80%
93% 89%
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Planteamiento yresolución de
problemas
Argumentación Comunicación Manejo de técnicas
Po
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lum
no
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Competencias matemáticas
antes
despues
ISBN: En trámite 42
IV. AGRADECIMIENTO
La iniciativa para realizar este trabajo parte del
Diplomado de Investigación que implementa la
Secretaría de Educación Pública del Estado de Puebla,
con la colaboración de la rectoría de la Universidad La
Salle Benavente, la disponibilidad de los docentes y
alumnos de la especialidad de Matemáticas de la
Normal Superior; se logra consolidad y se pretende
seguir desarrollando durante el ciclo escolar 2010-2011
por lo cual estoy plenamente agradecido consciente de
que la investigación en el ámbito educativo fortalecerá
el desarrollo de las futuras generaciones.
V. REFERENCIAS
[1] SEP (1993) Plan y programas de estudio. 1993.
Educación Básica. Secundaria. México.
[2] SEP (2004) Perfil de Egreso de la Educación Básica.
Documento interno de trabajo. México.
[3] Rey, B. (1999) Las competencias transversales en cuestión. Traducción de Alejandro Madrid Zan.
www.philosophia.cl/Escuela de Filosofía Universidad
ARCIS.
[4] Colomer, T. (2002) ¿Qué significa progresar en
competencia literaria? En: Textos en contexto. Ma.
Rodríguez, comp. Asociación Internacional de Lectura ―Lectura y vida‖. Buenos Aires.
[5] Tobón, Tobón Sergio (2010) Metodología para el
desarrollo y evaluación de las competencias. México: Book Ma
Índice
ISBN: En trámite 43
Herramienta Computacional de Apoyo al Área de
Matemáticas de Preparatoria
J. J. Ramírez González(1)
, J.N. Tapia Ortega(2)
, R. Guzmán Cabrera(3)
Universidad De LaSalle Bajio
Campus Salamanca (1)
Estudiante de la maestría en Ingeniería Administrativa y Calidad
Escuela de ciencias económicas administrativas
Libramiento carretero a Morelia Km. 7.5 Poblado San Juan de Razos
Salamanca, Guanajuato, México. C. P. 36700
[email protected]; [email protected]
Resumen—En este trabajo se presenta el desarrollo
de un software de apoyo didáctico para llevar a cabo
diversas tareas del área de matemáticas del nivel
medio superior. La finalidad es ofrecer al alumno la
oportunidad de hacer más significativo su
aprendizaje al contar con una herramienta que le
permita obtener la respuesta de los ejercicios
dejados como actividad de clase. Los resultados
obtenidos permiten ver la viabilidad de aplicación de
esta herramienta didáctica.
Palabras clave—Investigación, software, didáctico,
análisis matemático.
I. INTRODUCCIÓN
Al vivir en la era del conocimiento muchos de los
avances científicos pierden rápidamente vigencia al
surgir nuevos paradigmas; en igual circunstancia se
encuentran las innovaciones tecnológicas, pues muchas
de ellas se vuelven obsoletas en el corto plazo y son
reemplazadas por las nuevas generaciones de productos.
Estos cambios tan drásticos en lo científico impactan el
campo académico pues muchos conocimientos pierden
vigencia antes de ser incorporados cabalmente en la
currícula de los sistemas educativos formales.
Esta situación, implica una revisión constante de los
contenidos en los programas de estudio al considerar la
incorporación de las nuevas tecnologías en el proceso
de enseñanza aprendizaje. Específicamente, las
computadoras han ganado mucho terreno en este sentido
al permitir y facilitar el manejo de grandes volúmenes
de información.
Aunado a esto, la incorporación de medios de
telecomunicación y la informática han posibilitado el
surgimiento de nuevos ambientes de aprendizaje, por
ejemplo con los recursos multimedia que se encuentran
disponibles en la Web.
El contar con recursos variados, permite a los
profesores distintas maneras de organizar la enseñanza y
el aprendizaje, sea de manera presencial o a distancia,
los nuevos ambientes de aprendizaje consisten en la
creación de una situación educativa centrada en el
educando que fomenta su auto aprendizaje y el
desarrollo de su pensamiento crítico y creativo mediante
el trabajo en equipo cooperativo y el empleo o no de la
tecnología de la información y de las
telecomunicaciones. Este trabajo estará centrado en el
uso de las tecnologías de la información y comunicación
como apoyo al aprendizaje.
Los que participamos como profesores del área de
matemáticas o física, estamos conscientes de que uno de
los problemas que se presenta en la educación de
México, es la enseñanza-aprendizaje de las llamadas
ciencias duras. Se dificulta la enseñanza porque son
pocos los profesores que están capacitados en el área
didáctica-pedagógica y el aprendizaje enfocado a estas
materias, lo que tiene como consecuencia que muchos
de los conocimientos que se imparten en estas
asignaturas son poco significativos para el alumno
debido a que no le encuentran utilidad práctica.
Además, entre mas alto el grado en el que se enseña,
mayor es el reto por las deficiencias ene l aprendizaje de
los niveles previos.
Si a esta situación se agrega la falta de material
didáctico que facilite la comprensión de gran parte de
los temas abstractos que integran los contenidos de estas
ciencias, entonces el aprendizaje se torna más
complicado, surgiendo entonces la necesidad de contar
con recursos que sirvan de apoyo a la práctica docente.
ISBN: En trámite 44
Los programas didácticos, cuando se aplican a la
realidad educativa, realizan las funciones básicas
propias de los medios didácticos en general y además,
en algunos casos, según la forma de uso que determina
el profesor, pueden proporcionar funcionalidades
específicas. No se puede afirmar que un software
educativo por sí mismo sea bueno o malo, todo
dependerá del uso que de él se haga o de la manera
como se utilice en cada situación concreta, es decir, el
profesor sigue siendo el responsable del curso y quien
debe guiar y orientar como utilizar los recursos de
apoyo con los que cuenta, de ninguna manera se
pensaría en su reemplazo de la actividad docente.
En última instancia su funcionalidad y las ventajas e
inconvenientes que pueda comportar su uso serán el
resultado de las características del material, de su
adecuación al contexto educativo al que se aplica y de la
manera en que el profesor organice su utilización. Se
pretende que con el uso de esta herramienta
computacional de apoyo didáctico, al ser visual e
interactivo, facilitará el aprendizaje al hacerlo
significativo para el alumno cuando éste le vea una
utilidad práctica. Además, se tendría una herramienta
que puede ser utilizada para llevar a cabo la
comprobación de una actividad realizada permitiendo
entonces complementar el proceso de enseñanza
aprendizaje, pero sin la necesidad de estar por ejemplo
en la escuela y con un profesor frente al alumno ya que
se puede llevar a cabo de manera remota, por ejemplo
por internet.
1.1.- Las tecnologías de la información
Las tecnologías de la información han cambiado la
forma en que operan las organizaciones actuales. A
través de su uso se logran importantes mejoras, ya que
nos permiten la automatización de procesos, la
implantación de plataformas de información necesarias
para la toma de decisiones y, tal vez lo más importante,
logra ventajas competitivas decisivas.
En el plano educativo, estas tecnologías se han
convertido en un instrumento cada vez más
indispensable, donde pueden realizarse múltiples
funcionalidades, entre las que destacan:
Canal de comunicación interpersonal para el
intercambio de información e ideas (plataformas
educativas, portales de la clase, escuela o materia, e-
mail, foros telemáticos de discusión)
Medio de expresión y para la creación (procesadores
de textos y gráficos, editores de páginas web y
presentaciones multimedia, cámara de vídeo)
Instrumento cognitivo y para procesar la
información: hojas de cálculo, gestores de bases de
datos.
Recurso interactivo para el aprendizaje. Los
materiales didácticos multimedia informan,
entrenan, simulan guían aprendizajes y motivan.
Todas estas características pueden ser un gran apoyo
en el proceso de enseñanza aprendizaje.
En este contexto, las tecnologías de la información y
la comunicación han sido conceptualizadas como la
integración y convergencia de la computación, las
telecomunicaciones y la técnica para el procesamiento
de datos, donde sus principales componentes son: el
factor humano, los contenidos de la información, y el
desarrollo de software.
Es precisamente en éste último aspecto en el que
este proyecto está basado para la creación de una
herramienta de apoyo didáctico que permita la creación
de escenarios reales con introducción dinámica e
interactiva de datos para reforzar el aprendizaje de las
asignaturas relacionadas con el área de matemáticas.
Esta herramienta se diseño en un ambiente interactivo
y amigable que permita la interacción tanto de alumnos
como de docentes e incluso profesionales del área.
II. DESARROLLO Y RESULTADOS
El software se desarrolló en MatLab (Matrix
Laboratory, "laboratorio de matrices"), este es un
software matemático que ofrece un entorno de
desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de
programación propio (lenguaje M) y que además se
encuentra disponible para distintos sistemas operativos.
Permite la programación orientada a objetos por medio
de la aplicación GUIDE, la cual facilita
significativamente el desarrollo de interfaces graficas de
usuario, lo cual permite una mejor comprensión y
manejo tanto del software desarrollado como de la
interacción del mismo con el usuario al hacer el proceso
mucho más intuitivo.
A continuación se presentan algunas de las pantallas
de la herramienta desarrollada. En la figura 1 se muestra
la pantalla principal del sistema desarrollado.
Fig. 2. Interfaz gráfica de la aplicación desarrollada
ISBN: En trámite 45
Como se puede apreciar esta aplicación está
enfocada a algunos de los problemas más comunes que
se tienen al llevar a cabo un curso de matemáticas. La
herramienta está pensada para ser utilizada tanto como
apoyo durante el transcurso de una clase, como para el
uso independiente como refuerzo de un conocimiento
previamente visto. En ambos casos, sin lugar a dudas,
será de gran utilidad.
A continuación iremos describiendo cada una de las
partes que componen esta aplicación, cabe mencionar
que este trabajo surge como producto de la experiencia
con los alumno, en cuanto a los temas que se les
dificulta o que es necesario volver a explicar en algún
momento.
Por ejemplo, en la figura 2 se muestra la solución de
una integral que para resolverla se requeriría el uso de la
técnica de integración por partes (xsen(x)), como se
puede apreciar esta aplicación permite el uso de cálculo
simbólico, pudiendo resolver prácticamente cualquier
integral independientemente del método que se requiera
para su solución, además, permite obtener la gráfica de
la función, algo sin duda muy importante. Asi, si el
alumno tiene duda sobre el resultado obtenido al realizar
un ejercico bien podria hacer uso de esta herramienta y
salir de de ellas, al poder comprobar el resultado. De la
misma manera si es utilizada durante el desarrollo de
una clase, permitiria una mejor comprension de la
interpretacion geometria, al poder visualizar la grafica
de la funcion
.
Fig. 2. Modulo de cálculo de integrales
Al llevar a cabo la solución de integrales, es común
necesitar de derivadas, en esta aplicación también
permite la solución de las mismas. A manera de
ejemplo, en la figura 3 se muestra la solución de una
derivada ((x2sen(x))
3), en este caso para su solución se
requiere del uso de la regla de la cadena, como se puede
apreciar en la figura, además de tener la gráfica de la
función, obtenemos la segunda derivada de la misma.
Fig. 3. Modulo para el cálculo de derivadas
Las dos aplicaciones anteriores son muy útiles para
los semestres últimos de preparatoria y permiten un
mejor manejo de los temas al facilitar el reforzamiento
del conocimiento de manera independiente por parte de
los alumnos. La motivación original para el desarrollo
de esta herramienta surge precisamente como apoyo
para las materias de cálculo, tanto diferencial como
integral, sin embargo, el mismo uso de la herramienta
fue dando pie a la detección de carencias en los
conocimientos de los alumnos, provocando al
incorporación de módulos que resolvieran problemática
concretas, como la factorización, figura 4, la cual
aunque se ve en los primeros semestres se utiliza como
herramienta en los cursos más avanzados de
matemáticas.
Fig. 4. Factorización de expresiones algebraicas
Para el desarrollo de la presente herramienta se llevó
a cabo un diagnostico entre los profesores del área de
matemáticas de la Universidad de LaSalle Bajío, plantel
Salamanca respecto a los temas que presentan mayor
dificultad para su desarrollo en el salón de clase con la
finalidad de ir incorporando módulos a esta herramienta
de manera gradual en función de la necesidad de los
profesores y del apoyo requerido por los alumnos. En la
figura 5 se muestra el complemento al módulo anterior,
es decir, los productos notables.
ISBN: En trámite 46
Fig. 5. Productos notables
En la figura 6 se muestra el modulo para la solución
de sistemas de ecuaciones lineales, que es otro de los
puntos áridos, no solo por el tiempo que se requerirá
para la solución de un sistema de ecuaciones, sino
también por la dificultada para llevar a cabo la
representación grafica del mismo, por ejemplo en un
sistema de 3x3.
Fig. 6. Sistemas de ecuaciones
En un futuro se pretende complementar esta
herramienta con un manual de ejercicios que permita al
alumno llevar a cabo actividades ―rápidas‖ la idea es,
además de dominar el uso de la herramienta,
potencialmente reducir los errores que pudiera cometer
al realizar ejercicios, al contar con un programa que le
permite verificar los resultados.
Por último en la figura 7 se muestra la aplicación
correspondiente a las raíces de un polinomio, en la
figura se muestra un polinomio de grado 2, pero este
puede ser de grado n, como se puede observar en este
caso, por simplicidad, se proporciona el polinomio a la
aplicación en forma de vector, esto es, indicando
únicamente los coeficientes de los términos del
polinomio que se quiera encontrar las raíces.
Fig. 7. Determinar el tipo de Investigación
III. CONCLUSIONES
Hasta ahora los resultados obtenidos con la
aplicación de esta herramienta computacional son
satisfactorios, sin embargo, se irá modificando en
función de la opinión tanto de profesores como de
alumnos con la finalidad de asegurar su uso y
pertinencia con las necesidades detectadas.
IV. AGRADECIMIENTOS
Los autores queremos agradecer a la dirección de
investigación de la Universidad DeLaSalle Bajío por el
apoyo otorgado para el desarrollo del presente trabajo
de investigación.
V. REFERENCIAS
[1] McDaniel, C; Gates, R.; Investigación de mercados. 1.- Dewey John ―Cómo pensamos‖, Editorial Época, 1985
[2] CAMPOS CAMPOS, Yolanda. Estrategias didácticas
apoyadas en tecnología. México: DGENAMDF,2003
[3] Matemática en la Educación Básica y Normal. México:
DGENAMDF
Índice
ISBN: En trámite 47
Descubrimiento de los Estilos de Aprendizaje para una
Evaluación
Por Competencias
M. E. Roldán Zárate
Universidad La Salle Benavente
Av. 25 Oriente No. 9, Col. El Carmen
Puebla, Pue., México. C. P. 72530
Resumen—Conocer los estilos de aprendizaje de los
alumnos que comparten un salón de clase, se consideró un
elemento fundamental, por lo que se pretendió dar al
docente herramientas que le permitieran acercarse a los
alumnos a través de la asignatura e involucrarlos a fin de
generar en ellos la conciencia de saber usar las
matemáticas para la toma de decisiones.
Para ello se dedicó un espacio llamado Taller MaTtikK ®, el cual se convirtió en un momento de autoconocimiento,
aceptación, convivencia y reconocimiento de talentos que
motivaron el aprendizaje de las matemáticas.
Así que, se proponen una serie de actividades didácticas
relacionadas con los contenidos matemáticos, cuyas
estrategias están reforzadas por elementos de
Programación Neurolingüística, que permitieron evaluar a
través de rúbricas el nivel de desempeño que los alumnos
presentaron es situaciones que les exigieron el sustento de
decisiones, de modo que generando siempre en ellos; la
seguridad de saberse seres únicos capaces de tomar
decisiones reales y cocientes para el bien común y
personal, como está señalado en los lineamientos del perfil
de egreso de los alumnos de Educación Básica en el país.
Palabras Claves—Estilos de aprendizaje, competencias,
evaluación, rúbricas, desempeño, programación
neurolingüística, toma de decisiones, observación.
I. INTRODUCCIÓN
La matemática tiene por finalidad involucrar valores
y desarrollar actitudes en el alumno y se requiere el uso
de estrategias que permitan desarrollar las capacidades
para comprender, asociar, analizar e interpretar los
conocimientos adquiridos para enfrentar su entorno. Por
lo que se requiere el uso de estrategias que permitan
desarrollar las capacidades para percibir, analizar e
interpretar los conocimientos adquiridos.
El docente podría involucrar en su planificación
valores a desarrollar en los alumnos, de forma que éste
pueda captarlo de manera significativa, de aquí que se
requiera el uso de estrategias adecuadas para su eficaz
aplicación y orientación con el objeto de facilitar y
orientar el estudio.
Considero que el docente de cada asignatura debe
ser capaz de proveer al alumno de los métodos de
razonamiento básico, requerido para plantear algunos
ejercicios a resolver cuya ejecución le permitirá afianzar
sus conocimientos.
El objetivo fundamental de este trabajo es contribuir
a la formación integral del alumno en el desarrollo de
habilidades y destrezas, adquisición de conocimientos y
la vivencia de valores y actitudes para facilitar la
interpretación del medio que lo rodea siendo condición
necesaria para la convivencia social. Buscando una
autoestima sana de los educandos para la provechosa
aplicación de estrategias de enseñanza de la matemática
a través de una adecuada evaluación basada en
competencias.
La motivación que hace que nazca el interés por
conocer las estrategias que emplean los alumnos en la
asignatura de matemáticas, es el compromiso de
mediador y guía que promueve la ―realización‖ personal
de cada alumno ayudándolo a reconocer las habilidades
que poseen para ser sus propios promotores del
aprendizaje significativo que se origina en una mente
interesada y consciente, que finalmente ayuden a
mejorar y renovar la concepción de evaluación que se
tiene.
Ahora ¿Cómo juzgar si su trabajo sobre los logros
del aprendizaje está en un nivel aceptable de
comprensión y aplicación? Una evaluación auténtica
implica de parte del evaluador un análisis interpretativo
del trabajo del estudiante que debe ser esencialmente
uniforme, justo y objetivo. En otras palabras, el
evaluador debe poseer un estándar de corrección.
En principio, esto parece sencillo de implementar,
pero consideremos las opciones. En una prueba objetiva
-por ejemplo un test de selección múltiple- las
respuestas correctas pueden cotejarse contra un listado
ISBN: En trámite 48
preimpreso y no están sometidas a interpretación. Si
bien el alumno no las conoce de antemano, sabe que la
corrección no dependerá de ningún análisis personal del
evaluador, sino que surgirá simplemente de cotejar lo
respondido contra ese listado. En cambio en una
evaluación auténtica, donde el estudiante responde a
consignas, incluso cosas tan elementales como cuál
debería ser la longitud de cada exposición se vuelven
conflictivas.
Un método diseñado para facilitar la calificación y
acelerarla, así como para proveer de una más útil
realimentación a los alumnos, es el uso de rúbricas.
Cuando calificamos productos auténticos del
aprendizaje, una rúbrica es el modo sencillo, rápido y
consistente de organizar la calificación.
II. PARTE TÉCNICA DEL ARTÍCULO
1. Objetivos de la Investigación
Hacer conciencia en los alumnos y docente de la
importancia de valorar las cualidades y actitudes
desarrolladas por los conocimientos poseídos más que
la cantidad de los mismos.
Identificar la eficacia de las estrategias pedagógicas
basadas en herramientas matemáticas empleadas para
favorecer las habilidades mentales de los alumnos de
secundaria.
Lograr reunir diferentes tipos de actividades que
sean benéficas en el desarrollo de procesos mentales
correctos en los alumnos de secundaria haciendo uso de
herramientas matemáticas básicas.
Diseñar un plan de evaluación de competencias para
la vida dentro de la asignatura de matemáticas.
Identificar las fortalezas y debilidades de la
evaluación tradicional en la asignatura de matemáticas,
por medio de la cual se han diferenciado alumnos de
bajo, regular y alto rendimiento en la materia.
Conocer las percepciones que docente, alumnos y
padres de familia tienen acerca de la evaluación
actualmente practicada.
Identificar la influencia que tiene el tipo de
evaluación propuesta hasta el momento en la asignatura
de matemáticas en el desempeñó personal de los
alumnos.
2. Preguntas de Investigación
¿De qué manera se puede hacer conciencia en los
alumnos y docente de la importancia de valorar las
cualidades y actitudes desarrolladas por los
conocimientos adquiridos más que la cantidad de ellos?
¿Cuál es la eficacia de las estrategias pedagógicas
basadas en herramientas matemáticas empleadas
tradicionalmente para favorecer las habilidades
mentales y métodos de aprendizaje en los alumnos de
secundaria?
¿Qué actividades benefician el desarrollo de procesos
mentales correctos en los alumnos de secundaria en las
que se empleen herramientas matemáticas?
¿Cuáles son las características que se deben tomar en
cuenta para diseñar un plan de evaluación basado en
competencias para la vida dentro de la asignatura de
matemáticas?
¿Cuáles son los vicios de la evaluación tradicional en la
asignatura de matemáticas, que han dado como
resultado la diferenciación de alumnos de bajo, regular
y alto rendimiento?
¿De qué forma las percepciones que docente, alumnos
y padres de familia tienen acerca de la evaluación en la
asignatura de matemáticas, son condicionantes en las
estrategias empleadas para su aplicación?
¿Cuál es la influencia que tiene el tipo de evaluación
propuesta hasta el momento en la asignatura de
matemáticas en el desempeñó personal de los alumnos?.
3. Enunciado del Problema
¿De qué manera la inexistencia de una estrategia de
evaluación basada en competencias potencializa el
desconocimiento de los estilos de aprendizaje de los
alumnos ―A‖, ―B‖ y ―C‖ pertenecientes al 1º ―E‖ de la
Escuela Secundaria Matutina del C.E.N.H.CH?
4. Presentación de la Propuesta
El nuevo entorno de la sociedad del conocimiento
brinda oportunidades extraordinarias para innovaciones
orientadas al desarrollo de nuevas modalidades
educativas más adecuadas dentro de una concepción de
educación integral que abarque la formación de la
afectividad, la expresión artística, la interacción social y
el ejercicio de los diferentes tipos de inteligencia.
Las últimas investigaciones en la neurofisiología y
en la psicología han dado como resultado un nuevo
enfoque sobre cómo los seres humanos aprendemos: no
existe sola manera de hacerlo, cada persona tiene una
forma o estilo particular de establecer relación con el
mundo y por lo tanto para aprender. La riqueza del
material contenido en el presente documento, consiste
en que su utilidad no sólo es aplicable al aula y a los
estudiantes, sino que también es aplicable a cualquier
persona, ya que todos nos encontramos en un continuo
proceso de aprendizaje y conocer qué estilo prevalece
en nosotros nos da una vía para perfeccionar la manera
en que aprendemos y de desarrollar aquellos estilos que
no hemos ejercitado.
La primera parte de la propuesta didáctica de este
trabajo de investigación plantea dentro del taller
ISBN: En trámite 49
―MaTtikK®‖
la aplicación de distintos instrumentos tales
como tests, entrevistas y cuestionarios que permitan
recopilarán información acerca de los estilos de
aprendizaje de los alumnos seleccionados. En la
segunda parte de la propuesta, se revisan y aplican
algunas estrategias de enseñanza basadas en los tres
diferentes estilos de aprendizaje; visual, auditivo y
kinestésico, señalados en el Modelo de la
Programación Neurolingüística de Bandler y Grinde. En
la tercera y última parte del taller se proporcionará
estrategias de evaluación basadas en competencias o
también conocido como ―Evaluación del desempeño‖.
IV. RESULTADOS
Lograr conocer los estilos de aprendizaje por parte
del docente y a su vez guiar a sus alumnos para que
también los identifiquen, es una fortaleza del docente,
que le permite orientar de forma más eficiente los
procesos mentales de los alumnos.
La aplicación de instrumentos diseñados para
identificar los estilos de aprendizaje de las personas, es
considerable que sean aplicados por especialistas en la
materia, ya que ellos podrán evaluarlos de manera más
apropiada. Sin embargo, el docente se puede apoyar de
la ―observación‖ y ―diálogo‖ para tener contacto con sus
alumnos y así, adquirir herramientas y argumentos que
le ayuden a seleccionar, aplicar y evaluar estrategias de
enseñanza acorde con los estilos de aprendizaje de los
adolescentes con quienes trabaja.
Los alumnos con estilo de aprendizaje kinestésico
son alumnos que al finalizar el las propuestas de trabajo
del docente, generan productos atractivos y para los
alumnos quienes son auditivos y el visuales.
Cuando los alumnos ―A‖, ―B‖ y ―C‖ lograron
identificar y reconocer el estilo de aprendizaje con el
cual aprenden mejor, desarrollaron actitudes positivas
acerca de la asignatura y su vida académica. Que
finalmente se traduce a un aprendizaje metacognitivo
para la vida.
La evaluación del desempeño, funciona como
herramienta para promover la toma de decisiones en los
alumnos ―A‖; ―B‖ y ―C‖, por lo que se considera
indispensable a lo largo del trabajo con los alumnos en
cualquier asignatura. Sin embargo el docente debe ser
cuidadoso en saber mediarla con la evaluación formal
de contenidos; ya que padres y alumno no están
familiarizados con esta nueva forma de evaluar, por lo
tanto suelen sentir que no son evaluados correctamente.
Por lo que se recomienda irlos adentrando poco a poco a
este estilo de evaluación.
Con lo anterior también se llega a la conclusión de
que los aprendizajes formales y tradicionales son los
que se manifiestan a corto y mediano plazo, en cambio
los trabajados con el enfoque de competencia
normalmente se manifiestan a mediano y largo plazo, ya
que la forma en que los alumnos hacen referencia a la
evaluación, está altamente influenciada por factores
culturales, familiares y de reconocimiento social.
El manejo de Programación Neurolingüística en los
alumnos ―A‖; ―B‖ y ―C‖, tuvo como resultado un
pequeño pero notable cambio en la perspectiva que los
alumnos tienen ante la idea de ―PODER‖, por lo tanto
debe ser considerado un trabajo permanente y constante
por parte del docente.
V. AGRADECIMIENTOS
Agradezco a todo el personal que labora en el Centro
Escolar ―Niños Héroes de Chapultepec‖ del Estado de
Puebla, por el espacio y tiempo que brindaron para la
realización de este trabajo de investigación y al mismo
tiempo a los alumnos de 3º ―E‖ por su valiosa
cooperación.
También agradezco a la Secundaria y Normal del
Colegio Benavente, por darme herramientas que sin
duda hicieron que este trabajo tuviera un toque especial,
el de ser Lasallista.
VI. REFERENCIAS
[1] Block, D., García, S. “Factral matemáticas, Libros de Texto y apoyos didácticos para secundaria”. México
Ediciones, SM.. 2007.
[2] M. A. Casanova, “La evaluación educativa”, México, Muralla, 1996.
[3] P. Perrenoud ―Diez nuevas competencias para enseñar‖,
Biblioteca para la actualización del maestro, 2004.
[4] R. Hernández Sampieri, “Metodología de la
investigación”, 4ª Edición, México, Mc Graw Hill, 2006,
[5] R. Owens, G. “La escuela como organización. Tipos de
conducta y práctica organizativa”. México Santillana,
Aula XXI. 1992.
[6] SEP
(1994) Libro para el maestro. Educación Secundaria,
Matemáticas, México.
(1997) La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Guía de estudio. México.
(1999) Escuela y contexto social. Observaciones del
proceso escolar. Programas y materiales de apoyo para el estudio, México.
(2006) Fundamentación Curricular, Reforma de la
Educación Secundaria, Matemáticas, México. (2006) Plan de estudios 2006. Educación Secundaria,
México.
(2006) Programa de estudios 2006. Escuela Secundaria, México.
[7] T. Mahony “El poder de las palabras”, EUA, 2009.
Índice
ISBN: En trámite 50
La Enseñanza de la Matemática desde la
Transversalidad de las Ciencias
M. Trujillo Cedeño.
Universidad de La Salle
Departamento de Ciencias Básicas
Bogotá, Colombia
Resumen—La presente ponencia tiene como objetivo
socializar una estrategia didáctica como alternativa para la
lectura y evaluación de un texto de historia de la
matemática desde la transversalidad de las ciencias a
través de un análisis de la lectura desde la matemática, la
historia, la ética y la componente social. La metodología
incluye el aprendizaje colaborativo como una didáctica
privilegiada dentro de la formación integral de los
estudiantes de la Universidad de La Salle, acorde con las
bases pedagógicas del Enfoque Formativo Lasallista
(EFL). La estrategia didáctica está planteada como una
propuesta razón por la cual aún no hay resultados
sistematizados de su implementación, las evidencias hasta
ahora tienen que ver con los trabajos que los estudiantes
presentan , dentro de la sustentación de la lectura, tales
como: folletos, presentaciones en diapositivas, ensayos,
carteleras, entre otros. La importancia de la estrategia
radica en que aterriza, en cierta medida, algunos aspectos
mencionados en el Proyecto Educativo Universitario
Lasallista (PEUL), relacionados con la formación integral
para el desarrollo humano.
Palabras Clave _ Historia de la matemática, transversalidad
de las ciencias, aprendizaje colaborativo, formación integral
I. INTRODUCCIÓN
En la Universidad de La Salle, de Bogotá Colombia,
en el año 2006 se puso en marcha una estrategia lectora,
denominada el Canon de los 100 libros cuyo propósito
fundamental ha sido fomentar la lectura en nuestros
estudiantes, liderándose así una política institucional
que de acuerdo con Coronado (2007), opta por fomentar
una tradición de lectura, aúna esfuerzos por poner en
marcha prácticas de enseñanza donde el libro sea
instrumento fundamental. El canon está conformado por
20 libros generales y el canon de los 80 libros
disciplinares. Los primeros son comunes a todos los
estudiantes de los diferentes programas de la
universidad y se seleccionaron como una lista que
―permitiera el diálogo y la discusión universitaria a
partir de referencias que, en algunos casos han sido
denominados clásicos y, en otros, hacen parte del sabor
nacional que ayuda a poder pensar mejor a Colombia‖
(Gómez, 2007). La lista incluye libros como la
constitución política de Colombia, Cien años de soledad
de Gabriel García Márquez, Don quijote de la mancha
de Miguel de Cervantes Saavedra, Centésimus annus de
Juan Pablo II, entre otros.5
Los segundos, son específicos a cada uno de los
programas y tienen que ver con aquellos libros que
fundamentan el área disciplinar, pero que también
potencian el desarrollo integral del estudiante. En este
sentido se pretende que los estudiantes tengan otras
miradas sobre los temas que estudian en los espacios
académicos e interpreten variados contextos culturales.
En la selección de estos 80 libros, cada uno de los
programas y departamentos idearon estrategias para
hacer realidad el proyecto del canon. Así, en el
Departamento de Ciencias Básicas en el área de
matemáticas se hizo una selección de textos
interesantes, orientados a la fundamentación disciplinar
pero desde otras miradas de la matemáticas como por
ejemplo desde la historia, desde los acertijos lógicos o
desde la epistemología de los conceptos matemáticos.
En el espacio académico Cálculo I fue elegido el libro
titulado ―El tío Petros y la conjetura de Goldbach‖, del
autor Apóstolos Doxiadis el cual presenta en forma de
novela la historia de la matemática de principios del
siglo XX.
Este precioso libro narra la historia de un brillante
matemático Petros y sus grandes esfuerzos por
demostrar un problema matemático, llamado la
conjetura de Goldbach. De igual forma el libro cuenta la
historia del sobrino del matemático, a quien su tío le
sugiere resolver un problema muy simple y que hoy es
uno de los grandes problemas matemáticos no resueltos.
Este año cumple 268 años de haber sido propuesto y sin
una demostración generalizada.
5 La lista completa se puede consultar en la página de la
Universidad: www.unisalle.edu.co
ISBN: En trámite 51
Alrededor de estas fascinantes historias, se exponen
en forma amena algunos elementos de la matemática, se
exhiben narraciones en torno a la historia de la
matemática e historia general del siglo XX, y se
sugieren, en forma implícita análisis sociales que
involucran la vida de los personajes debido a que el tío
Petros es considerado la oveja negra de la familia y por
su condición de matemático una persona poco sociable
y por último, se presentan cuestiones alrededor de la
ética en términos de comportamientos y conductas de
los personajes.
En consecuencia la ponencia tiene como objetivo
socializar una estrategia didáctica que describe una
metodología usada en la lectura y evaluación del texto
en mención desde la transversalidad de las ciencias,
basada en el aprendizaje colaborativo como una
didáctica que resalta el Enfoque formativo Lasallista
(EFL) .
II. PARTE TÉCNICA DEL ARTÍCULO
Metodología de la lectura del texto
La metodología, está basada en el Aprendizaje
colaborativo, siendo esta didáctica una de las que se
privilegian en las bases pedagógicas del Enfoque
Formativo Lasallista (EFL) (ULS, 2008). Lo
colaborativo en el aprendizaje implica tener una tarea
mutua por resolver en forma más eficaz, que si se
resolviera en forma individual y en la consecución de
esta tarea, se deben hacer planificaciones conjuntas y, se
deben distribuir responsabilidades. Además, lo
colaborativo en el aprendizaje implica propiciar
espacios en donde se permita desarrollar y potenciar
habilidades individuales y grupales. También, Millis
(1996), afirma que ―Comparando los resultados de esta
forma de trabajo, con modelos de aprendizaje
tradicionales, se ha encontrado que los estudiantes
aprenden cuando utilizan el AC, recuerdan por más
tiempo el contenido, desarrollan habilidades de
razonamiento superior y de pensamiento crítico y se
sienten más confiados y aceptados por ellos mismos y
por los demás‖.
La metodología incluye un análisis de la lectura
tendiente a complementar las bases de la matemática
que se tratan en un curso de cálculo I, desde la
transversalidad de las ciencias así como también
contribuir a hacer realidad una formación integral de los
estudiantes que desde el Proyecto Educativo
Universitario Lasallista (PEUL), es entendida como
―crecimiento armónico de las dimensiones de la
persona, la educación para la vivencia de los valores que
permitan una participación social con dimensión ética
de la responsabilidad, una sólida fundamentación
científica y filosófica, y la aceptación de la
trascendencia como encuentro consigo mismo, con el
otro y con Dios‖ (ULS, 2007)
Para la lectura del libro, los estudiantes cuentan con
aproximadamente dos meses. Cuando se ha indagado el
avance de la lectura, se sugiere que su discusión se
haga desde los siguientes contextos de análisis:
Contexto matemático: Hace referencia a los eventos
manifestados desde la lectura y que tengan que ver con
la matemática, tales como:
Definiciones de: Conjetura, teorema, postulado,
axioma y número primo, enunciado de la conjetura de
Goldbach e historia de la demostración, datos
biográficos de grandes matemáticos de principios del
siglo XX y sus aportes a la matemática, a otras ciencias
y a la ingeniería, problemas matemáticos enunciados
en la lectura y últimamente resueltos, teorema de la
incompletitud de Godel, identificación de algunas ramas
de la matemática y su estudio, entre otros.
Contexto ético: Está relacionado con la identificación
de actitudes, normas y comportamientos que hacen de
nosotros mejores personas. Aquí es importante tener
referentes de varios autores de lo que se entiende por
ética y su clasificación, se identifican los valores y
antivalores desde la lectura, se definen y se indican los
momentos de la historia en donde se ven manifestados.
Contexto Histórico: Relaciona los eventos históricos,
con ubicación en el tiempo, evidenciados en la lectura y
sus implicaciones en el desarrollo de la matemática, de
la ingeniería y de otras ciencias. El estudio de este
contexto de análisis se hace interesante porque las
historias relatadas en el libro, se desarrollan entre
comienzos y mediados del siglo XX y en este lapso de
tiempo ocurren la primera y la segunda guerra mundial
lo que implica poder hacer un análisis de las
consecuencias de estas guerras en el desarrollo
científico de la época.
Contexto Social: Hace referencia a la incidencia de la
familia y la sociedad sobre los personajes principales y
el comportamiento de los personajes en la sociedad.
Aquí es importante revisar cómo la educación familiar y
la educación académica incide en gran medida en el rol
que asume un individuo en la sociedad y de igual forma
se pueden analizar algunas situaciones en las cuales la
sociedad, determina el actuar de las personas inmersas
en ella.
Para el análisis de la lectura se forman grupos de tres
a cinco estudiantes6, tratando en lo posible que queden
dos grupos por cada contexto de análisis, con el fin de
poder generar discusiones al interior de un mismo
6 La mayoría de grupos quedan formados por cuatro estudiantes, si el
número total no permite siempre esta agrupación entonces pueden quedar algunos de tres o de cinco.
ISBN: En trámite 52
contexto sobre todo cuando se hace necesario sentar
posturas ante el planteamiento de hipótesis. Los
estudiantes eligen libremente la forma de agruparse.
La preparación de la sustentación se hace en grupo
sin embargo la participación que, es en forma oral, se
hace individualmente. Esto con el fin de lograr la
participación de todos los estudiantes en las discusiones
y de potenciar en ellos la comunicación oral. Dentro de
la sustentación, los estudiantes hacen presentaciones
muy interesantes en diapositivas, otros hacen carteleras
y algunos otros elaboran folletos con información
importante que es entregada a sus compañeros
Dentro de la sustentación de la lectura, se considera
importante discutir alrededor de algunas preguntas que
se formulan, de hipótesis que se plantean y de frases
para reflexionar, en muchos casos tomadas de la misma
lectura.
Algunas de las preguntas que se formulan son:
• ¿Qué piensan acerca de que los descubrimientos
científicos, se empleen con fines miliares?
• ¿Cómo evalúan el hecho que el tío Petros no
hubiera publicado los avances intermedios
relacionados con la demostración de la
conjetura?.
• ¿A qué se debe que el tío Petros hubiera sido
una persona poco sociable?.
• ¿Consideran la propuesta que hizo el tío Petros
al sobrino, de resolver la conjetura para revisar
su habilidad matemática, como un acto de
honestidad o deshonestidad?.
• ¿En qué año fue propuesto el último teorema de
Fermat y quién lo demostró?
Las hipótesis que se enuncian, tienen como fin
sentar posturas, que pueden ser en forma individual o en
forma grupal, y potenciar la competencia
argumentativa. Algunas de las hipótesis planteadas son
las siguientes:
El matemático nace, no se hace.
La conjetura de Goldbach fue demostrada por el
tío Petros7.
Algunas de las frases o textos que se toman para
generar reflexiones son las siguientes:
El secreto de la vida es fijarse siempre metas
alcanzables. Pueden ser fáciles o difíciles,
dependiendo de las circunstancias, del carácter y
de las aptitudes de quienes se las fijan.
7 En la historia relatada en el libro, queda en entredicho la
demostración de la conjetura de Goldbach por el tío Petros.
La prevención al fracaso es proporcionada, por
parte de la familia Papachristos, quienes impiden
desarrollar a plenitud los sueños de un muchacho.
Por otra parte, además de la sustentación oral, hay
un grupo de dos a tres estudiantes que se encarga de
elaborar un escrito que contiene un resumen de las
participaciones por contexto de análisis: ético,
matemático, histórico y social. Este escrito contiene
también un aporte de los estudiantes redactores a cada
contexto, desde la lectura del texto o desde consultas
realizadas. Para este trabajo se eligen estudiantes
teniendo en cuenta las habilidades manifestadas para la
redacción y para la toma de apuntes.
Con relación a la evaluación de la lectura, se
practica la coevaluación, entendida por Casanova
(1998), como la evaluación mutua, conjunta, de una
actividad o un trabajo determinado realizado entre
varios. Tras un trabajo en equipos, cada uno valora lo
que le ha parecido más interesante de los otros.
Los estudiantes, por grupos, evalúan a otro grupo
teniendo en cuenta criterios básicos como: el contenido
de la presentación, los recursos utilizados, la dinámica
de las intervenciones y actuaciones especialmente
destacadas de algunos alumnos o grupos. Se asigna una
calificación entre cero y cinco, que corresponde con el
5%8 del porcentaje asignado para el segundo corte. Esta
calificación es supervisada por el profesor, llegando a
consensos con los grupos que evalúan en caso de
desacuerdos, teniendo en cuenta la escasa experiencia
de los estudiantes en este modo de evaluación.
En la metodología seguida con la lectura y
evaluación del texto se han encontrado dos dificultades
sobresalientes. Una relacionada con negativa de algunos
estudiantes a participar en la sustentación oral,
justificada por la timidez que manifiestan al enfrentarse
al público. La otra tiene que ver con el tiempo empleado
en desarrollar toda la actividad porque se usan
aproximadamente cuatro horas de las programadas para
el curso de Cálculo I, el cual tiene una programación
bastante ajustada durante el semestre.
Con el fin de procurar soluciones a estas
dificultades, se tiene la propuesta de incluir dentro de la
metodología el uso de herramientas tecnológicas, para
lo cual se está diseñando un ambiente de aprendizaje en
la plataforma moodle que incluya actividades como
foros, grupos, entre otras y que pueda permitir potenciar
y evaluar algunas competencias de los estudiantes como
son la comunicativa, la argumentativa y la tecnológica.
8 Este porcentaje ha sido acordado entre los profesores de matemáticas
que ofrecen servicios en los programas de las facultades de ingeniería
y ciencias agropecuarias y comunicado a los estudiantes a través del Syllabus.
ISBN: En trámite 53
III. AGRADECIMIENTOS
A la Universidad de La Salle de, Bogotá Colombia, en
nombre de La Doctora Patricia Jiménez de Borray
directora del Departamento de Ciencias Básicas, por la
financiación y entusiasmo brindados en la consecución
de la ponencia.
IV. REFERENCIAS
[1] Apóstolos, D. El tío petros y la conjetura de Goldbach. España:
Ediciones Z, 2005, p.172.
[2] Casanova, M. Evaluación: concepto, tipología y objetivos en La evaluación educativa. Escuela Básica. Madrid: SEP (biblioteca
para la Actualización del Maestro). 1988. Recuperado en junio
18, 2010, disponible en: <http://mlinanormalista.blogspot.com/2009/06/coevaluacion.html
[3] Coronado, F. ―Elogio del canon o de la lectura‖. Revista de la
Universidad de la Salle, 44, pp. 134-149, 2007.
[4] Gómez, C. ―Una palabra vale más que mil imágenes‖. Revista de
la Universidad de la Salle. 43, pp. 9-13, 2007.
[5] Millis, B. Materials presented at The University of Tennessee at
Chattanooga Instructional Excellence Retreat, 1996. Recuperado en junio 18, 2010, disponible en: <
http://www.itesm.mx/va/dide2/tecnicas_didacticas/ac/Colaborativ
o.pdf.
[6] ULS. Universidad de La Salle. Proyecto Educativo Universitario
Lasallista (PEUL). Vicerrectoría Académica. Bogotá: Unisalle, 2007, p. 18.
[7] ULS. Universidad de La Salle. Enfoque Formativo Lasallista (EFL). Libro No 28. Vicerrectoría Académica. Bogotá: Unisalle,
2008, p.22.
Índice
ISBN: En trámite 54
Uso de Blender en la Enseñanza-Aprendizaje de las
Matemáticas en Escuelas Secundarias de México
F. Vázquez García (1)
y J. Aguilar Ortiz (2)
Cicainte, S. de R. L. de C. V.
Pachuca, Hidalgo, México (1) [email protected]
Resumen—El objetivo de éste documento es presentar
la forma en que la empresa CICAINTE S. DE R. L. DE C.
V. está empleando el software Blender en el desarrollo de
un sistema integral que apoya el proceso de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas a nivel secundaria en
México llamado OPEN MATHEMATICA SECUNDARIA.
La organización Horizon Project considera que la
tecnología 3D es una de las que tiene mayor potencial de
ser aplicadas en la educación en el corto y mediano plazo
exitosamente. OPEN MATHEMATICA SECUNDARIA
busca integrar esta tecnología de la información y
comunicación para lograr un ambiente colaborativo del
aprendizaje, generando recursos audiovisuales y de
comunicación valorados por los jóvenes para aprender
matemáticas de forma significativa.
Palabras Claves—Enseñanza-aprendizaje, Matemáticas,
Realidad Aumentada, Blender
I. INTRODUCCIÓN.
En el año 2006 la Secretaría de Educación Pública,
inició una nueva reforma educativa en el nivel de
secundaria. Esta reforma implicó un cambio de
paradigma en los procesos de enseñanza y aprendizaje,
aún lejos de consolidarse.
La afirmación anterior, se puede inferir de los
resultados nacionales obtenidas por los estudiantes en la
prueba ENLACE (SEP, 2009), e internacionales en la
prueba PISA (Aguilar y Butrón, 2007), los cuales no
han sido satisfactorios en el área de matemáticas. Los
resultados de las evaluaciones ENLACE y PISA, invitan
a realizar de manera urgente acciones concretas que
apoyen a los niños y jóvenes para adquirir las
habilidades y conocimientos necesarios, que les
permitan ser parte de la sociedad de la innovación del
siglo XXI.
OPEN MATHEMATICA SECUNDARIA pretende
llenar el vacío existente de un sistema integral para
apoyar al alumno y al profesor, en la adquisición de las
competencias matemáticas plasmadas en los planes de
estudio vigentes. Obtiene ventaja de un hecho que a
veces ha sido considerado perjudicial en la formación de
las nuevas generaciones; el gusto por parte de los
jóvenes de medios audiovisuales como la televisión, la
computadora, las redes sociales y el cine.
II. PARTE TÉCNICA.
OPEN MATHEMATICA SECUNDARIA, es un sistema
que tiene como objetivo diseñar recursos didácticos de
vanguardia para la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas a nivel secundaria, que cumplan con los
programas de matemáticas de la Reforma Integral 2006
de la Secretaría de Educación Pública, haciendo uso de
las tecnologías en tercera dimensión, realidad
aumentada y web semántica; de manera estructurada,
colaborativa, divertida y significativa a las instituciones
educativas que lo adopten.
OPEN MATHEMATICA SECUNDARIA tiene los
siguientes objetivos específicos:
Integrar tecnologías de animación en 3D con el
uso del software Blender (Blender, 2010), como
herramienta pedagógica en la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas usando la
metodología propuesta por Hess (Hess, 2010).
Integrar tecnología de Realidad Aumentada en
actividades matemáticas.
Integrar tecnología de web semántica, en la
elaboración de páginas web educativas
interactivas.
En el proyecto son generados los siguientes
productos.
45 películas en tercera dimensión que presentan
conocimientos y habilidades de los programas de
estudio de secundaria.
3 libros de texto digitales que cubren el 100% los
programas de la SEP.
45 temas matemáticos con realidad aumentada.
ISBN: En trámite 55
Sistema de gestión, seguimiento y evaluación
para apoyar al profesor en la implementación del
sistema, con más de 1,500 reactivos y desafíos.
Portal web interactivo: www.elmascara.com.mx
que contendrá todos los recursos del sistema.
El siguiente diagrama muestra el modelo
pedagógico-tecnológico de desarrollo del Sistema
OPEN MATHEMATICA SECUNDARIA.
En la siguiente página web
http://www.youtube.com/watch?v=5YoUE0QZOkY, se
puede ver una de las películas cortas que hemos
realizado. En este caso, una película con una duración
de 8:50 minutos, un grupo de personajes en un ambiente
de lucha libre, resuelven el problema típico de ―adivina
un número‖, con la ayuda de una ecuación de primer
grado. Esta actividad 3D apoya de manera concreta, el
desarrollo de los conocimientos y habilidades 3.2 del
primer grado de secundaria, que a la letra dice: Resolver
problemas que impliquen el planteamiento y la
resolución de ecuaciones de primer grado de la forma
x+a=b; ax=b; ax+b=c, utilizando las propiedades de la
igualdad, con a, b y c números naturales o decimales.
En la película, hay elementos de las cuatro
competencias indicadas en los incisos anteriores. Se
propone un problema, se plantea y resuelve, se
argumenta su solución, se comunica a un auditorio y se
utiliza una de las técnicas comunes de solución de
ecuaciones de primer grado.
La elección de la temática de los recursos 3D fue
definida a partir de un estudio de opinión aplicado a 520
estudiantes de cinco colegios de la ciudad de Pachuca,
Hidalgo, México entre el 14 y el 25 de septiembre de
2009. En cada escuela visitada se aplicó un cuestionario
a un grupo de primero, de segundo y de tercer grado. Se
tomaron grupos tanto en el turno matutino como en el
vespertino. De los resultados de este estudio se decidió
como temática de los recursos 3D la lucha libre.
Figura 1
El modelo de implementación de Blender en el
Sistema OPEN MATHEMATICA SECUNDARIA
(Figura 1) se basa en la metodología propuesta por Hess
(Hess, 2009), anexando al principio una sub-etapa en la
cual un pedagogo desarrollo una propuesta de problema
en base al plan de estudios, que es retomada por un
comunicólogo para elaborar un guión literario.
La implementación adecuada del proyecto de OPEN
MATHEMATICA SECUNDARIA en las escuelas
secundarias de México contribuirá a:
Mejorar de manera significativa y a mediano
plazo, el aprendizaje de las matemáticas en
México, lo cual se verá reflejado en los resultados
de las pruebas ENLACE y PISA en el área de
matemáticas.
Proporcionar a los alumnos y profesores del estado
y del país, una metodología efectiva y divertida
para el proceso de planeación, enseñanza,
aprendizaje, seguimiento y evaluación de las
matemáticas acorde a la reforma integral de la
educación media básica de 2006.
El impacto será impresionante, los productos del
proyecto proporcionarán a cada estudiante y
profesor, un sistema integral y efectivo que integra
tecnologías de información, para apoyar de manera
estructurada el proceso de enseñanza-aprendizaje
de las matemáticas de acuerdo a los enfoques
indicados por la SEP en la Reforma Integral de la
educación media básica de 2006. A mediano plazo,
deberemos estar observando un aumento
significativo en los porcentajes de alumnos
BUENOS Y EXCELENTES en la prueba
ENLACE.
Es a través de una mejora significativa del proceso
de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, que
los estudiantes en México podrán acceder a
mejores niveles económicos, vía una rápida
ISBN: En trámite 56
inserción, en la llamada economía del
conocimiento y la innovación, como actualmente
sucede en países de la OCDE.
En lo tecnológico, a la formación de cuadros
tecnológicos en México, en el uso de lo último en
tecnologías de la Información que actualmente se
utilizan en Europa, Asía y Norteamérica para
desarrollar recursos didácticos. Somos la primera
empresa en México en hacer uso de Blender para
producir contenidos educativos de alta calidad y
efectividad en el área de matemáticas en la
educación secundaria.
Será realizada una prueba piloto del sistema OPEN
MATHEMATICA SECUNDARIA en el ciclo escolar
2011-2012 en escuelas del estado de Hidalgo en
México. A partir de los resultados de esta prueba piloto,
serán realizados los ajustes necesarios para implementar
en forma adecuada el sistema en un gran número de
escuelas públicas y privadas en México y América
Latina en el ciclo escolar 2012-2013.
Con nuestro socio comercial Grupo Educare
(GRUPO EDUCARE, 2010), empresa especializada en
la elaboración y comercialización de materiales
didácticos, está planeado comercializar OPEN
MATHEMATICA SECUNDARIA en más de 3,000
escuelas particulares en México y América Latina.
III. AGRADECIMIENTOS.
El sistema OPEN MATHEMATICA
SECUNDARIA (PROINNOVA-111477) ha sido
posible realizar gracias al apoyo del CONACYT en
2009. Todo el proceso requiere de tiempo para su
realización. Sin el trabajo coordinado de diseñadores,
programadores, pedagogos y matemáticos no sería
posible crear.
IV. REFERENCIAS
[1] Aguilar, R. M., y Butrón Yáñez, K. (2007). PISA 2006 en
México. México: Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación.
[2] Blender (2010). Home page. Consultado el 30 de julio de 2010.
http://www.blender.org/.
[3] Hess, D. Roland (2009). Animating with blender: How to create
short animations from start to finish, United Kingdom:
Elsevier.
[4] GRUPO EDUCARE (2010). Home page. Consultado el 30 de
julio de 2010. http://www.grupoeducare.com/.
[5] SEP (2009). Evaluación Nacional Del Logro Académico en Centros Escolares, ENLACE. Consultado el 30 de julio 2010.
http://www.enlace.sep.gob.mx/gr/.
Índice
ISBN: En trámite 57
¿Qué es lo que debe Cambiarse en la Evaluación en
Relación a la Práctica Docente?
L. M. Bejarano Ponce (1)
, C. López Meléndez (2)
Universidad La Salle Chihuahua
Ingeniería
Prolongación Lomas de Majalca No. 11201, Col. Labor de Terrazas
Chihuahua, Chihuahua México. C. P. 31020 (1) [email protected]
Resumen—Uno de los aspectos que más tensión
genera en los docentes es el hecho de tener que calificar al
alumno por eso utilizaremos el término de evaluar las
habilidades del alumno. El cambio de procedimientos para
evaluar es un proceso complicado porque se requiere
superar prácticas arraigadas, ya que hemos reducido la
evaluación a la medición y a la acreditación. Claro, que si
revisamos nuestra realidad podemos encontrar muchas
explicaciones para esto; como la exigencia de las
autoridades educativas que se han centrado en dar más
importancia sólo a estos dos aspectos, el número de
alumnos en cada grupo, la variedad de grupos que atiende
cada maestro, etc., pero que esto requiere de análisis en
otro momento. El objetivo de este trabajo se centra en la
siguiente pregunta ¿Qué es lo que debe cambiarse en la
evaluación en relación a la práctica docente?
Palabras clave— Evaluación, docente, cálculo
diferencial.
I. INTRODUCCIÓN
La evaluación no solo representa un producto final
en el estudio de los comportamientos cognoscitivos,
sino que también es un importante medio de enlace con
las conductas afectivas. Es importante analizar el
concepto de la evaluación, dentro del campo educativo,
Ralph Tyler (1950), estableció las bases de un modelo
evaluador cuya referencia fundamental eran los
objetivos externos propuestos en el programa. Define
por lo tanto a la evaluación, como ―el proceso que
permite determinar en qué grado han sido alcanzado los
objetivos educativos propuestos‖. Mientras Cronbach,
L. (1963), agrega un elemento importante para la
moderna concepción de la evaluación, al definirla como:
―la recogida y uso de la información para tomar
decisiones sobre un programa educativo‖. Después
Scriven, M. (1967), incluye en su definición de
evaluación la necesidad de valorar el objeto evaluado,
integrar la validez y el mérito de lo que se realiza o de
lo que se ha conseguido para decidir si conviene o no
continuar con el programa emprendido [1].
Por lo tanto la evaluación ha sido interpretada como
sinónimo de medida y es hasta en los tiempos actuales
que está variando su concepción [2]. Por eso es
importante incorporar a los procesos de enseñanza un
modelo de evaluación cualitativa, que sea capaz de
ofrecer datos enriquecedores acerca del desarrollo del
alumnado y no sólo de los resultados que se obtiene a
través de medios. El problema de su incorporación al
quehacer en el aula, no es solo adoptar un nuevo
concepto de evaluación, sino implica cambiar las
prácticas que se llevan a cabo en el aula e invertir, en
muchos casos sus valores. Los alumnos estudian para
aprobar, los profesores enseñamos para que los alumnos
superen las evaluaciones, los padres de familia se
preocupan de la situación de aprendizaje de sus hijos
cuando éstos reprueban. Lo que tiene valor real en la
enseñanza es lo que se evalúa.
La evaluación es importante, pero no como un
elemento de poder o mantenimiento de disciplina, no
como un instrumento para la promoción u obtención de
un título, no como un exclusivo factor de comprobación
de lo que se aprende, nunca como un fin de la
educación. No se enseña para aprobar, se enseña y se
aprende para alcanzar una plena e integral formación
como persona.
Para conceptualizar la evaluación, partiendo de que
Tyler solo pretendía emitir una valoración determinada
acerca de los resultados del proceso educativo sin el
afán de intervenir para mejorarlo y donde Cronbach
concluye que la evaluación no es emitir un juicio y
orientando la evaluación y su modo de desarrollo hacia
los procesos y su funcionalidad formativa, podríamos
definir a la evaluación como: La obtención de
información rigurosa y sistemática para contar con datos
válidos y fiables acerca de una situación con objeto de
formar y emitir un juicio de valor con respecto a ella.
Estas valoraciones permitirán tomar las decisiones
consecuentes en orden a corregir o mejorar la situación
evaluada.
ISBN: En trámite 58
Así mismo podríamos decir que la evaluación tiene
como función principal retroalimentar el proceso de
enseñanza aprendizaje. Si al evaluar descubrimos que
los objetivos se están alcanzando en menor grado que se
esperaba, entonces debe surgir una revisión de los
planes, de las actividades que se están realizando, de la
actitud del maestro , de la actitud de los alumnos y de la
oportunidad de los objetivos que se están pretendiendo.
La evaluación consiste en reunir aquellas evidencias
que se pueden encontrar a favor o en contra de cada una
de las actividades que se están desarrollando dentro del
proceso enseñanza aprendizaje. El objetivo de este
trabajo es dar al docente una herramienta para evaluar a
sus alumnos de acuerdo a las habilidades obtenidas
dentro del curso. Y que les permita enriquecer su
aprendizaje.
II. MODELOS DE EVALUACIÓN
La evaluación como centro del proceso de enseñanza
aprendizaje, y con un enfoque formativo, se visualiza
como una acción que debe tener continuidad y ser
dinámica, que su acontecer debe necesariamente
nutrirse de información relevante para continuar el
curso, haciendo los ajuste necesarios [3].
De acuerdo a el modelo educativo Lasallista, de los
hermanos de las escuelas cristianas Distrito México
Norte, la función principal de la evaluación es la de
proporcionar información para la toma de decisiones a
todos los niveles de funcionamiento del sistema, lo cual
implica reconocer y promover que todos los procesos
generados deben de ser sujeto a evaluación, ello como
única medida que nos permite garantizar: la mejora
continua, el aprender o aprovechar nuestro saber
(desarrollando aplicaciones nuevas a partir de los
resultados obtenidos, y su contrastación con respecto a
las metas establecidas) y el aprender a innovar
(permitiendo el organizar la innovación de manera
sistemática) [4].
Para lograr lo anterior, se propone llevar a cabo las
siguientes actividades de evaluación de toda la
asignatura.
Antes de dar comienzo a un tema o una unidad,
dependiendo de nuestro plan de estudio que será la base
para la programación de los objetivos, contenidos,
metodología, etc., llevaremos a cabo una evaluación
diagnóstica se realiza al inicio de cada tema y tiene
como finalidad conocer acerca de los conocimientos de
los alumnos con respecto a los contenidos que vamos a
abordar, esto nos permitirá conocer las características
del grupo en general, lo que saben los alumnos, sus
concepciones, etc [3]. A partir de lo anterior, podríamos
tomar una serie de decisiones y realizar ajustes a nuestra
programación, ya sea en los objetivos, contenidos,
metodología o actividades.
Durante el desarrollo de nuestra programación,
debemos estar en condiciones de ir valorando los logros
y los obstáculos para alcanzar los objetivos que nos
hemos propuesto, e intervenir para darles solución. Aquí
surge la necesidad de hacer una evaluación más a fondo
sobre los aspectos que se está abordando; este
planteamiento implica que hay que realizar una
evaluación a lo largo del proceso, una evaluación
continua, de forma simultánea y paralela a la actividad
que se lleva a cabo, con el propósito de vigilar el
aprovechamiento de los alumnos, con ello, tomar la
decisión de seguir con los nuevos conceptos o bien
explicar con mayor amplitud lo anterior.
Por último, para hacer una recapitulación o
integración de los contenidos de aprendizaje sobre lo
que se ha trabajado a lo largo de todo el curso,
integrando en un solo, los diferentes juicios de valor que
se han emitido. Esta actividad de evaluación final o
sumaria, se realizará, siguiendo una programación
establecida previamente por la institución, donde no
sólo es un examen, sino también una síntesis de los
elementos proporcionados por las evaluaciones
parciales, inicial y formativa, se valora la conducta o
conductas finales que se observan del alumno al final de
la unidad. Siguiendo con el reglamento de evaluación se
realizará una integración valorativa de las demás
actividades de evaluación.
Integrar en un solo los diferentes juicios de valor que
se han emitido sobre un alumno a través de la unidad.
Se hace una recapitulación o integración de los
contenidos sobre lo que se está trabajando a lo largo de
toda la unidad.
La tabla I muestra los objetivos de tres importantes
indicadores para la acreditación de la asignatura, estarán
de tal forma que se pueda cumplir con el reglamento de
evaluación y la propuesta.
TABLA I
INDICADORES DE ACREDITACIÓN
Participación y
entrega de
tareas
Para propiciar la
responsabilidad en el alumno
así como para desarrollar la
habilidad de la comunicación
Examen parcial
Conocer si la metodología que
se utilizó es adecuada para
conseguir los objetivos
propuestos
Examen final
Conocer el porcentaje de
alumnos que alcanzaron los
objetivos previstos en la
asignatura
ISBN: En trámite 59
Es importante dejar establecido los criterios que se
utilizarán para calificar, están con base a los indicadores
de acreditación, en la tabla II se muestran estos criterios,
los cuales serán considerados para otorgar una
calificación, en lo que se refiere a la asistencia se
tomarán en cuenta de acuerdo al porcentaje establecido
por el reglamento de evaluación, en lo que respecta a las
participaciones, que éstas sean congruentes con los temas
que se estén tratando y que aporten algo para el
desarrollo de la actividad.
TABLA II CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Asistencia 5 %
Considerando que es de
suma importancia la
asistencia ya que aparte de
ser una de las
responsabilidades del
alumno es determinante
para acercarse al
conocimiento propuesto
Participación
en clase 5%
Es una forma de propiciar
la comunicación y además
el conocer si el o los
conceptos están siendo
claros
Tareas 10 % Propiciar el trabajo
práctico por medio de
actividades extra clase
Examen
parcial E
Es una forma de llevar una
evaluación continua que
sirva de retroalimentación
o replanificación en caso
necesario
Examen final 50%
Para conocer si al final de
la asignatura se alcanzaron
los objetivos previstos
Finalmente los instrumentos que serán tomados en
cuenta, de acuerdo a los criterios de evaluación, serían:
una hoja de registro de asistencia. Donde se registrará la
asistencia del alumno y se harán las observaciones de
las participaciones del alumno. Un examen parcial,
donde en este examen se procurará utilizar diversos
tipos de reactivos, a los cuales se les otorgará un
porcentaje en función de la importancia que tienen
dentro de la estructura de los temas abordados, que nos
permita los aprendizajes de los conceptos tratados hasta
el momento del examen, y el examen final. En este
examen se evaluarán la totalidad de los temas vistos en
la asignatura, para lo cual se incluirán la mayor parte de
reactivos de solución de problemas.
Este modelo de evaluación se implementa dentro de
la Universidad La Salle Chihuahua en sus diferentes
materias como Cálculo Diferencial, donde el alumno
debe saber cómo va evolucionando, lo que aprende o
deja de aprender, que dificultades presentan y en qué
aspectos, qué capacidades son mejor desarrolladas, qué
objetivos tienen ya conseguidos. Esto nos obliga a
comentar permanentemente todas éstas cuestiones, de
forma oral, para que el proceso mejore de modo
continuo. Este modelo de evaluación es un
planteamiento de evaluación formativa
fundamentalmente, ya que un simple número no ofrece
prácticamente ninguna información sobre el momento
de formación en que se encuentra la persona evaluada.
Este tipo de modelo permite al alumno, conocer su
evolución, lo que aprenden o dejan de aprender, que
dificultades presentan y en qué aspectos, qué
capacidades son mejor desarrolladas, qué objetivos
tienen ya conseguidos. Esto nos obliga a comentar
permanentemente todas éstas cuestiones, de forma oral,
para que el proceso mejore de modo continuo; no
obstante es necesario ofrecer una información escrita
para que el alumno tenga conocimiento de los
resultados.
La mejor forma de evaluar la propuesta de
evaluación es ponerla en práctica, y para ello se requiere
de estar convencido de que efectivamente funciona. Este
planteamiento implica que hay que realizar la
evaluación a lo largo del proceso en forma paralela y
simultánea a las actividades que se realizan.
Podemos concluir que la intención de mejorar la
forma de evaluación que aplicamos en el aula, es una
cuestión compleja, que nos ha preocupado siempre y
que, aunque cada semestre vamos cambiando, no nos
satisface completamente.
Llevar a cabo esta propuesta de evaluación fue con
el fin de considerar el aprendizaje como un proceso
continuo, donde el alumno vaya transformando su
pensamiento al interactuar con el objeto de
conocimiento. Por lo que consideraremos a la
evaluación como una retroalimentación para la
planeación de actividades, y una manera más importante
de llevarla a cabo es con intervenciones diarias,
participación del alumno, haciendo anotaciones,
registros, exámenes y trabajos escritos.
Los aspectos a evaluar serán los conocimientos,
esperando que el alumno dé las características y
conceptos de los temas tocados y que éstos desarrollen
una forma de pensar que los lleve a: Reconocer las
características más importantes, su forma su relación
con otros conceptos, explicar las características
principales de los procesos, como surge, sus causas y
ubicar el proceso de cambio, saber si conoce el orden, la
secuencia.
ISBN: En trámite 60
Otro aspecto a evaluar serán las habilidades, que se
refiere a las operaciones intelectuales que el alumno
debe saber hacer, con esto el alumno debe: Interpretar la
información de diversas fuentes y utilizarlas
adecuadamente y utilizar los cálculos adecuados para
resolver los problemas aplicados.
El docente se enfrenta cada semestre con grupos
distintos que cambia a cada hora, y además, con grupos
numerosos, donde se añade la falta de tiempo para poder
organizar la observación sistemática, como aquí se
propone, y si no hacemos exámenes no nos atrevemos a
asegurar que un alumno haya o no conseguido los
objetivos, terminamos evaluando en la forma
tradicional. Por eso deberá hacer un esfuerzo por
corregir en lo posible nuestra práctica y adaptar el
nuevo modelo de evaluar, que debemos estar
convencidos que es más fiable y enriquecedor para
nuestros alumnos.
III. REFERENCIAS
[1] Casarini Ratto Martha, Teoría y diseño curricular, Métodos y
modelos alternativos de evaluación, Ed. Trillas. México, 1997, p. 189-214.
[2] Zarzar Charur Carlos, Habilidades básicas para la docencia,
Diseño de actividades de evaluación de los aprendizajes, Ed. Patria México, 1993, p. 61-68.
[3] Chadwick, C.B. y N. Rivera, Evaluación formativa para el
docente, ¿Qué es evaluación?, Ed. Paidós Educador. México,
1997, p. 36-61.
[4] Modelo Educativo Lasallista, de los Hermanos de las Escuelas
Cristianas Distrito México Norte. Coordinación Central La Salle México-Norte, Monterrey, N. L., 2006, p. 23.
Índice
ISBN: En trámite 61
Matemáticas Aplicadas a la Rotodinámica, Coeficientes
Dinámicos de un Soporte.
I. Ramírez Vargas
Universidad La Salle Pachuca.
Escuela de Ingeniería
Av. San Juan Bautista de La Salle No 1,
San Juan Tilcuautla, San Agustín Tlaxiaca Hgo.
Resumen.- En este trabajo se realiza la modelación
matemática de una turbomáquina simplificada que se
encuentra soportada por soportes hidrodinámicos
presurizados externamente; se obtienen expresiones
analíticas de los coeficientes dinámicos de rigidez y
amortiguamiento del soporte usando la ecuación de la
lubricación de Reynolds. Asimismo se encuentran gráficos
que muestran la conducta de los coeficientes dinámicos
para diferentes valores de fuerzas de presurización
externa. Es importante mencionar que es la primera vez
que se reportan expresiones cerradas para el cálculo de
rigideces y amortiguamientos en una película de
lubricante. Finalmente se muestra la importancia de
predecir y controlar estos coeficientes para la estabilidad
de los equipos rotatorios.
Palabras clave: Rotodinámica, Chumacera,
Coeficientes Rotodinámicos, Delta de Dirac.
I. INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones de movimiento de un sistema rotor-
chumaceras, contienen coeficientes que corresponden a
los de la película del lubricante de las chumaceras,
estos parámetros cambian con la velocidad de rotación
y por consecuencia también cambian con la adición
externa de presión. Es por eso que el comportamiento
dinámico siempre es fuertemente influenciado por los
valores que puedan tomar estos coeficientes. Se
encuentra en la literatura que a medida que la velocidad
de operación aumenta, uno de los coeficientes de
rigidez puede tomar valores negativos y dependiendo
de su magnitud el sistema puede llegar a la
inestabilidad [1].
Para estudiar el comportamiento del fluido en las
chumaceras hidrodinámicas se utiliza la ecuación de
Reynolds, la cual es una simplificación de las
ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos de tipo
Newtonianos. La ecuación de Reynolds relaciona la
presión del fluido en la chumacera con las coordenadas
circunferencial y axial, de tal forma que utilizando esta
ecuación, es posible obtener el campo de presiones. No
es posible resolver analíticamente la ecuación de
Reynolds, pero se pueden obtener aproximaciones
dependiendo de la relación. (L/D); la cual indica si la
chumacera es corta o larga. Por tanto si la ecuación de
Reynolds se modifica mediante una función
generalizada de impulso (Delta de Dirac) que modele la
inyección externa de lubricante, será posible encontrar
una expresión que determine el campo de presión en la
película del fluido como función de la presurización
externa y a su vez determinar las fuerzas de rigidez y
amortiguamiento y sus correspondientes coeficientes,
también llamados coeficientes rotodinámicos.
I. DEFINICIÓN CLÁSICA DE LOS COEFICIENTES
ROTODINÁMICOS.
El modelo que describe la función de presión en
chumaceras hidrodinámicas es la ecuación de
Reynolds, tal ecuación puede escribirse de manera
general como [2]:
.)Senθ2
ω(εrCCosθεrC
3rC
2Rμ12
z
p3hz
2Rθ
p3hθ
(1)
2
Lz
2
L
, 2πθ0 , .εCosθ1θh (2)
02
Lp
, 0)
2
Lp(
, .θp2πθp (3)
Para trabajar de manera general, es posible
adimensionalizar la ecuación de Reynolds mediante las
siguientes sustituciones:
z2
Lz
, p
Cr
RμNp
2
,
2π
ωN
,
.
/ω2-1
pp̂
(4)
ISBN: En trámite 62
quedando entonces:
.πεSenθ12Cosθ
/ω2-1
/ωε24π
z
p̂h
zL
D
θ
p̂h
θ
3
2
3
(5)
Sin embargo, en este trabajo el interés principal está
en las chumaceras cortas, las cuales cumplen con la
condición:
2
1
D
L . Por tanto en el primer miembro de (5), el
primer término es pequeño respecto del segundo y así
la ecuación de Reynolds adimensional para chumaceras
cortas quedará como:
.πεSenθ12Cosθ
/ω2-1
/ωε24π
z
p̂h
zL
D3
2
(6)
una vez resuelta (6), las componentes de fuerza
adimensional en las direcciones radial y transversal
son:
.f/ω21
R/CμNLD
FF R
2
r
R
R
.f/ω21
R/CμNLD
FF T
2
r
T
T
en donde:
1
1
π
0R .zddθCosθzθ,p̂
4
1f (7)
.zddθSenθzθ,p̂4
1f
1
1
π
0T (8)
La expresión siguiente relaciona la resultante de las
fuerzas fR y fT para obtener un número adimensional
muy importante en rotodinámica:
.W
F
C
R
W
μNLD
ff
1S
dim
2
r2
T
2
R
(9)
Este número se conoce como número de
Sommerfeld y relaciona las características geométricas
y la viscosidad del lubricante de las chumaceras con las
fuerzas hidrodinámicas.
El cálculo de las fuerzas fR y fT alrededor de la
posición de equilibrio proporciona los coeficientes de
rigidez y amortiguamiento, los cuales están definidos
por:
.KK
KK
ε
f
ε
f
ε
fε
f
ε
f
ε
f
KTTTR
RTRR
RTT
TRR
(10)
.CC
CC
ε
2f
/ωε
fε
2f
/ωε
f
CTTTR
RTRR
TT
RR
(11)
donde K es la matriz de los coeficientes de rigidez y
C es la matriz de los coeficientes de
amortiguamiento. Estos coeficientes se relacionan con
su parte dimensional por medio de:
ij2
r
r
ij K
CRμNLD
CK
.C
CRμNLD
ωCC ij2
r
r
ij
(12)
Notar que los coeficientes rotodinámicos dados por
(12) y (13) están referidos al sistema de coordenadas
radial y transversal, si se quisiera obtener dichos
coeficientes respecto de otro sistema de coordenadas
solo es necesario multiplicar por la matriz de rotación
correspondiente.
Generalmente los coeficientes de rigidez y de
amortiguamiento se presentan en la literatura como:
ij
r
ij KW
CK~
.C
W
ωCC~
ij
r
ij
(13)
La relación entre (14) y (15) es a través del número
de Sommerfeld dado por (11) donde:
ijij KSK~
.CSC~
ijij (14)
II. SOLUCIÓN PARA CHUMACERAS CORTAS.
A) Sin Presurización Externa.
El modelo matemático de una chumacera corta sin
presurización externa es dado por (6) en donde la
solución viene por:
.Cosθ
ω2
1
ωε
2SenθεCosθε1
z16π
D
Lp̂
3
22
(15)
Sustituyendo (17) en (9) y (10) se sabe que las
fuerzas adimensionales son:
.
/ω21
ωε
ε1
2ε12π
ε1
4π
D
Lf
5/22
22
22
22
R
(16)
.
/ω21
ωε
ε1
8π
ε1
επ
D
Lf
223/22
22
T
(17)
De esta manera, es posible encontrar los
coeficientes rotodinámicos en las direcciones radial y
ISBN: En trámite 63
transversal de una chumacera corta sin presurización,
únicamente sustituyendo (18) y (19) en (12) y (13).
Después de multiplicar por la matriz de rotación
correspondiente y usando (16), se obtienen los
coeficientes en el sistema de coordenadas
rectangulares. Ver Tabla 1
B) Con Presurización Externa.
Ahora es necesario introducir el efecto de presurización
externa así como es importante precisar el punto axial y
circunferencial de inyección. En este artículo la
presurización externa se modela utilizando la función
de impulso de Dirac Delta δ(x) (o también llamada
función generalizada o distribución), la cual tiene
propiedades especiales que ayudan en la solución del
modelo.
Suponga que la presurización se hará en un punto
matemático dado tal que la conducta es modelada
perfectamente por la función de impulso. Lo anterior
puede también generalizarse para inyecciones en ―n‖
puntos arbitrarios de la chumacera. Por lo tanto, es
posible pensar en la incorporación de la función
impulso de Dirac como una forma de representar la
inyección de lubricante que se realiza en una posición
arbitraria [3]. A continuación se presenta la chumacera
que se somete a la presurización, que se realiza en un
puerto de inyección cuya ubicación axial y
circunferencial es arbitraria. Ver figura 1.
Este caso corresponde a la presurización con la
puerta puntual ubicada en el punto con la coordenada
axial adimensional az y la coordenada
circunferencial ―β‖, cabe mencionar que la posición del
puerto de inyección puede ser tan arbitraria como se
quiera pues con valores cualesquiera de ― a ‖ y ―β‖ se
puede ubicar el punto de inyección [3].
Fig. 3. Ubicación del punto de presurización en la chumacera. Notar
que se definen los valores de las coordenadas axial y
circunferencial ( a , β) para especificar el punto en particular de
inyección de lubricante.
Como el modelo matemático del puerto puntual de
presurización consideramos la función de impulso, la
cual indica que la presurización es igual a
.F
ΔF
CrRNDL
ΔFq;)β(πθa)δzδ(q)p(Δ
dim
pres
2
pres
prtpresprtprt
(18)
Notar que aunque la función Delta de Dirac se
defina como impulso infinito en los puntos de las
coordenadas axial y angular, la fuerza de presurización
no será igual a infinito puesto que como el puerto de
inyección es considerado un punto matemático, el
producto de la presión ( prtq ) por el área de la
puerta ( 0Aprt ) será un valor constante. De igual
manera vale la pena comentar que la función de Dirac
en este modelo no indica que la presión se aplica y
desaparece en un tiempo determinado, es decir no es
una función temporal, sino que es una función espacial,
para un determinado valor de la coordenada axial y
angular, la presión se aplicará en forma de impulso.
Se propone como el modelo de presurización en un
puerto puntual, la ecuación adimensional:
.
ω21
1βπθδazδq
D
L
z
p̂h
zpresprt
2
3
01zp̂ , .θp̂2πθp̂ 1z1 , .2πθ0 (19)
Resolviendo a (21) y usando las propiedades de la
función Delta de Dirac se obtiene:
.
ω21
1azza1
Cosθε12
βπθδq
D
Lp̂
3
pres
pres
prt
2
PRES
(20)
Después de sustituir a (22) en (9) y (10) se obtiene:
.
ω21
1
βCosε1
βCos
8
a1q
D
Lf
3
2
prt
2
R
(21) (18) (1) ()
.
ω21
1
βCosε1
βSen
8
a1q
D
Lf
3
2
prt
2
T
(22)
Sustituyendo a (23) y (24) en (12) y (13) y después
de multiplicar por la matriz de rotación
correspondiente, se obtienen los coeficientes
rotodinámicos debidos a la presurización. Ver tabla 2.
En trabajos anteriores [3] se han definido
parámetros que representan la fuerza adimensional de
presurización de lubricante, conocido como fprt; y el
ángulo de equilibrio (attitud), los cuales están dados
por:
ISBN: En trámite 64
.W
ΔFf
pres
prt
.4ε
ε1πTan
2
(23)
Definiendo en forma adimensional el parámetro de
fuerza de inyección como:
.S
fq
prt
prt (24)
De los análisis anteriores, se puede notar que los
coeficientes rotodinámicos en la chumacera serán los
correspondientes a la inyección clásica (tabla 1) más
los referentes a la presurización externa. En la tabla 2
se muestran los coeficientes rotodinámicos debidos a la
presurización en el centro de la chumacera como
función de la excentricidad de equilibrio.
IV. COMPARACIÓN DE LOS COEFICIENTES
ROTODINÁMICOS.
(Inyección Inferior ,0a 0 )
En las figuras siguientes se aprecia la comparación
de los coeficientes rotodinámicos de rigidez y
amortiguamiento (directos en la dirección xx), así
como los de amortiguamientos (acoplados en la
dirección xy) para diferentes valores de fuerza de
presurización, cuando se presuriza en la parte inferior
de la chumacera. Es importante mencionar que estos
coeficientes son los que se ven modificados de una
manera más drástica cuando se presuriza de manera
externa a la chumacera. Las figuras 2, 3, 4 y 5 muestran
que los valores de rigidez y amortiguamiento directos
en la dirección vertical de la película del lubricante se
incrementan conforme aumenta la fuerza de
presurización externa. Nota importante: Las líneas
punteadas indican valores negativos.
Fig. 4. Coeficientes Rotodinámicos directos de Rigidez (en la dirección vertical) para diferentes valores de presurización en
su parte inferior.
Fig. 5. Coeficientes Rotodinámicos directos de Rigidez (en la
dirección vertical) para diferentes valores de presurización en su parte inferior.
Fig. 6. Coeficientes Rotodinámicos directos de amortiguamiento (en
la dirección vertical) de para diferentes valores de presurización en su parte inferior.
Fig. 7. Coeficientes Rotodinámicos directos de Amortiguamiento (en
la dirección vertical) para diferentes valores de presurización en su parte inferior.
ISBN: En trámite 65
Fig. 8. Coeficientes Rotodinámicos acoplados de amortiguamiento
(en la dirección xy) para diferentes valores de presurización en su parte inferior.
Fig. 9. Coeficientes Rotodinámicos acoplados de amortiguamiento
(en la dirección xy) para diferentes valores de presurización en
su parte inferior.
Las figuras 6 y 7 muestran que conforme aumenta
la fuerza de presurización externa, el coeficiente de
amortiguamiento en la dirección xy comienza a
cambiar de signo para determinados valores de
excentricidad y por ende las curvas tienden a recorrerse
hacia la izquierda, hasta que para valores de
presurización mayores de 1100prtf , el coeficiente de
amortiguamiento se vuelve negativo para todos los
valores posibles de excentricidad, haciendo que esto
pueda afectar de manera considerable a la estabilidad
del sistema.
V. COMPARACIÓN DE LOS COEFICIENTES
ROTODINÁMICOS.
(Inyección Superior ,0a )
En este caso se considera que se introduce
lubricante en la parte superior de la chumacera, por lo
que los coeficientes rotodinámicos dados por la tabla 2,
se verán modificados en ubicación angular β.
Las siguientes figuras, muestran la comparación de
estos coeficientes para diferentes valores de
presurización externa.
Fig. 10. Coeficientes Rotodinámicos directos de rigidez
Fig. 11. Coeficientes Rotodinámicos directos de amortiguamiento
Fig. 10. Coeficientes Rotodinámicos acoplados de amortiguamiento (en la dirección xy)
ISBN: En trámite 66
VI. CONCLUSIONES
Los resultados que se encontraron en este trabajo
son de importancia fundamental, pues se obtuvo por
primera vez en la literatura internacional y de forma
analítica, los coeficientes rotodinámicos de rigidez y
amortiguamiento como función de la fuerza de
presurización externa (se resumen en la tabla 2).
Actualmente solo se conocen valores numéricos de
tales coeficientes lo que hace menos manejables los
resultados; esto fue posible mediante el uso de la
función espacial Delta de Dirac como efecto externo de
presurización en la ecuación de la lubricación de
Reynolds.
Se encontraron comportamientos gráficos de los
coeficientes rotodinámicos presurizados, como función
de la excentricidad de equilibrio y de la fuerza de
presurización para los casos en donde se presuriza en la
parte inferior y superior de la chumacera.
Cuando se presuriza en la parte inferior, se
encuentra que los coeficientes de rigidez y
amortiguamiento directos (en la dirección vertical)
incrementan su valor a medida que la fuerza externa de
presurización va creciendo, de igual forma el
coeficiente de amortiguamiento en la dirección xy se ve
afectado en sus valores cuando crece la presurización,
inclusive cambia de signo para determinados valores de
excentricidad; este resultado es de importancia
fundamental pues la estabilidad del sistema queda
determinada por los valores que tengan tales
coeficientes rotodinámicos, siendo más propicia la
inestabilidad a medida que estos coeficientes toman
valores negativos.
Por otra parte cuando se presuriza en la parte
superior de la chumacera, los valores de la rigidez (en
la dirección vertical) incrementan su valor a medida
que crece la presurización, pero ahora el
amortiguamiento en la dirección vertical disminuye
cuando crece la fuerza de presión. De igual forma, el
coeficiente de amortiguación en la dirección xy
aumenta a mayores valores de la fuerza de presión.
VII. NOMENCLATURA
:p Presión (Pa).
:h Espesor adimensional de la película de fluido
lubricante.
: Coordenada angular.
:R Radio de la chumacera (m).
:z Coordenada axial de la chumacera (m).
: Viscosidad absoluta del lubricante (Pa s).
:rC Claro radial (m).
: Excentricidad.
: Ángulo de equilibrio (Attitude)
: Velocidad angular (rad/s).
:N Velocidad angular (rev/s)
:L Longitud axial de la chumacera (m).
:z Coordenada axial adimensional de la
chumacera
:p Presión adimensional.
:dimF Fuerza adimensional ficticia característica.
:D Diámetro de la chumacera (m).
:RF Componente radial de la fuerza de presión en
un Puerto de inyección (N).
:TF Componente tangencial de la fuerza de presión
en un Puerto de inyección (N)
,ijK ijC Coeficientes de rigidez y amortiguamiento,
directos y acoplados en las direcciones radiales y
tangenciales TRi , , TRj , . (N/m), (N s/m)
,ijK ijC Coeficientes adimensionales de rigidez y
amortiguamiento directos y acoplados en las
direcciones horizontales y verticales yxi , , yxj , .
:pres Excentricidad en una chumacera presurizada.
:pres Ángulo de equilibrio (attitude) en una
chumacera presurizada.
: Coordenada angular del Puerto de inyección.
:a Posición adimensional, arbitraria y axial del
puerto de inyección en la chumacera.
:presF Fuerza total de presurización (N).
:)( prtp Distribución de presión adimensional en un
puerto puntual de inyección.
:)(x Función Delta de Dirac.
:prtq Presión de inyección adimensional en un
puerto puntual.
:W Peso total del sistema (N).
:S Número de Sommerfeld.
:prtf Fuerza de presión adimensional en un puerto
puntual de inyección.
ISBN: En trámite 67
Tabla 1. Coeficientes Rotodinámicos de Rigidez y Amortiguamiento para chumaceras cortas en el sistema X-Y
3/22222
42222
xx
επ16πε1
επ162επ32π4k~
3/22222
42222
xx
επ16πε1ε
επεπ242π2πc~
3/22222
42222
xy
επ16πε1ε
επ162επ32ππk~
3/2222
222
xy
επ16π
ε8π2π8c~
3/22222
42222
y x
επ16πε1ε
επ16ε2πππk~
3/2222
222
y x
επ16π
ε8π2π8c~
3/2222
222
y y
επ16π
επ162π4k~
3/2222
2221/22
y y
επ16πε
ε8π2πε12πc~
Tabla 2. Coeficientes Rotodinámicos de Rigidez y Amortiguamiento de una chumacera corta debidos a la presurización externa
con posiciones axial α y circunferenciales arbitrarias β
43/2222
22222222
prt
222
xx
βεCos1π16επ16ε
β2πSenε18εβ2Cosπ16εππεπ16εqε1a13
K~
pres
43/2222
2222
prt
222
xy
βεCos1π16επ16ε
β2Senπ16επβ2πCosε18εqε1a13
K~
pres
43/2222
2222
prt
222
y x
βεCos1π16επ16ε
β2Senπ16επβ2πCosε18εqε1a13
K~
pres
43/2222
22222222
prt
222
yy
βεCos1π16επ16ε
β2πSenε18εβ2Cosπ16εππεπ16εqε1a13
K~
pres
33/22222
2
prt
5/222
xx
βεCos1π16επ4ε
βπSenε1β4εεCoqε1a1
C~
pres
33/2222
2
prt
222
xy
βεCos1π16επεπ
βπSenε1βCos4qε1a1
C~
pres
33/22222
2
prt
5/222
yx
βεCos1π16επ4ε
β4εεSeβπCosε1qε1a1
C~
pres
33/2222
2
prt
222
yy
βεCos1π16επεπ
β4εεSeβπCosε1qε1a1
C~
pres
ISBN: En trámite 68
VIII. REFERENCIAS
[1] A. Antonio García, V. Nosov, J. Gómez Mancilla
COMPARACIÓN DE COEFICIENTES
ROTODINÁMICOS DE CHUMACERAS HIDRODINÁMICAS USANDO LA TEORÍA DE
CHUMACERASA LARGAS, CORTAS Y WARNER 3°
Congreso Internacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas IPN (2002)
[2] Szeri. Fluid Film Lubricatión. Theory and Design Cambridge University Press (1998)
[3] I. Ramírez Vargas, V. Nosov, J. Gómez Mancilla. CAMPOS DE PRESIÓN DE LUBRICANTE EN
CHUMACERA HÍBRIDA PRESURIZADA CON ANILLO
Y/O LÍNEA UNIDIMENSIONAL DE PRESURIZACIÓN, 8° Congreso Nacional de Ingeniería Electromecánica y de
Sistemas IPN (2004)
[4] Childs, D., ―Turbomachinery Rotor dynamics: Phenomena,
Modeling,& Analysis,‖ John Wiley&Sons, NY. (1993)
[5] Bently D, Petchnev DYNAMIC STIFFNESS AND
ADVANTAGES OF EXTERNALLY PRES-SURIZED
FLUID FILM BEARINGS, Orbit, First Quarter. (2000)
[6] Khonsari, M.M., Booser, E.R. ―Applied Tribology: Bearing
Design and Lubrication,‖ John Wiley & Sons. (2001)
Índice
ISBN: En trámite 69
Resolución de Ecuaciones de Gases Reales Empleando
Herramientas Matemáticas.
G. Velázquez Garduño
Universidad La Salle México
Benjamín Franklin 47. Col. Hipódromo Condesa
México, D.F. C.P. 06140
Resumen-Los gases reales se comportan de forma
impredecible al acercarse a sus puntos críticos, razón
por la cual las ecuaciones que los representan deben
corregirse para compensar las diferencias. Así,
resultan ecuaciones implícitas de grado n que deben
resolverse por algún método numérico, por ejemplo,
el método de Newton-Raphson cuyo fundamento y
aplicación se explica brevemente.
En este tema se aplica una herramienta
matemática que logre que la ecuación de un gas ideal
se adapte a las condiciones de los gases reales.
Palabras clave: Gases, Correcciones, Algoritmos,
Métodos.
I. INTRODUCCIÓN
La Termodinámica es una ciencia que forma parte
de la Física y cuyo objeto de estudio es la energía, así
como sus transformaciones.
Con frecuencia, se presentan temas en los que se
requiere el apoyo de métodos matemáticos, por lo que
es necesario aplicarlos en el momento requerido.
Uno de los casos más frecuentes es la resolución de
ecuaciones de gases reales, las cuales, a diferencia de
las ecuaciones de los gases ideales, son funciones
implícitas de una variable y constituyen ecuaciones de
grado n.
Con la finalidad de resolver tales ecuaciones, se hace
uso de los métodos numéricos, específicamente el
método de Newton Raphson, el cual se aplica como una
de las alternativas posibles de solución.
El objetivo de este trabajo es mostrar la utilidad de
este método en la resolución de ecuaciones de gases
reales y, aunque constituye algo rutinario en la materia
de Termodinámica, ejemplifica el apoyo de las
matemáticas en las ciencias naturales, en especial, en el
área de Ingeniería.
En el desarrollo del tema, se explican con detalle las
diferencias entre los gases ideales y reales, las
ecuaciones que se obtienen y las correcciones que se
pueden aplicar. Se hace un resumen del método de
Newton-Raphson y se resuelve un ejemplo de
aplicación.
II. ESTADO GASEOSO
Es un estado en el que existen grandes espacios
intermoleculares, de hecho la distancia que separa a las
moléculas (trayectoria libre media) es mayor que el
diámetro de éstas. Se presenta un movimiento aleatorio
de las moléculas, por lo que el desorden es grande,
produciendo una alta entropía.
III. CARACTERÍSTICAS DE LOS GASES
La fuerza térmica es mayor que la de cohesión.
Alta energía cinética.
Volumen y forma indefinidos.
Compresibles y expandibles.
Baja densidad
Sus moléculas se pueden desplazar fácilmente unas
entre otras, lo que ocasiona que el gas fluya, es
decir, se deforme continuamente.
Un gas ideal (que cumple con las leyes de los
gases) no presenta fuerzas de atracción, pero los
gases reales tienen pequeñas fuerzas
intermoleculares que disminuyen el volumen real
de las moléculas y del gas.
IV. GASES IDEALES
Un gas ideal es aquel que cumple con todos los
postulados de las leyes de los gases, es decir, su
comportamiento es perfecto.
Las principales características de los gases ideales son:
I. Sus moléculas son perfectamente esféricas.
II. No existen fuerzas de atracción
intermoleculares.
III. Existen a bajas presiones.
IV. Ocupan el mayor volumen posible.
V. La distancia promedio que separa sus moléculas
es mayor que el diámetro de éstas.
ISBN: En trámite 70
VI. LEYES DE LOS GASES
A. Ley de Boyle-Mariotte
El químico británico Robert Boyle (1627-1691) fue
el primero en investigar la relación entre la presión de
un gas y su volumen.
Esta ley establece: ―A temperatura constante, la
presión absoluta de la masa fija de un gas ideal es
inversamente proporcional a su volumen‖.
2211, VPVPKTSi
B. Ley de Charles
El científico francés Jacques Charles (1746-1823)
enunció su ley:
―A presión constante, la temperatura absoluta de la
masa fija de un gas ideal es directamente proporcional a
su volumen‖
2
2
1
1,T
V
T
VKPSi
C. Ley de Gay-Lussac
Joseph Louis Gay Lussac (1778-1823) enunció:
―A volumen constante, la presión absoluta de la
masa fija de un gas ideal es directamente proporcional a
su temperatura absoluta‖.
2
2
1
1,T
P
T
pKVSi
Las tres leyes anteriores sólo se aplican a gases
ideales. Aunque en sentido estricto no existen éstos, se
estudian porque es una forma de medir la aproximación
de algunos gases a la idealidad. En general, a menor
presión o mayor temperatura, más acercamiento tendrá
el gas a la idealidad.
El punto crítico de cada gas determina las
condiciones de presión y temperatura que mantienen un
comportamiento ideal de un gas.
VII. ECUACIÓN GENERAL DEL ESTADO GASEOSO
Si se conjuntan las tres leyes anteriores, de tal
manera que la presión, la temperatura y el volumen sean
variables se obtiene la ecuación general del estado
gaseoso, la cual se aplica a la masa fija de un gas ideal.
KT
VP
T
VP
T
VP
T
VP
n
nn ...3
33
2
22
1
11
Se observa que la relación T
PVes una constante, ya que
mantiene el mismo valor en cualquier estado
termodinámico.
Se mantienen las mismas restricciones que en las 3
leyes mencionadas, ya que esta ecuación se aplica
exclusivamente a gases ideales, con masa constante y
considerando presión y temperatura absolutas.
VIII. ECUACIÓN GENERAL DE LOS GASES IDEALES
Esta ecuación se obtiene si K se hace igual a la
constante universal de los gases ideales uR cuyos
valores más representativos son:
Kkmol
mkPaRu
3
314.8
Kgmol
atmlRu 082.0
Kgmol
calRu 987.1
Kgmol
JRu 314.8
La ecuación general de los gases ideales se obtiene al
sustituir K por uR
TRPV u
De la cual se pueden obtener otras fórmulas si el
volumen V específico se considera másico o molar:
n
VVSi TunRPV
m
VVSi TumRPV TuR
V
mP TuRP
Donde densidad del gas.
IX. CORRECCIONES A LOS GASES REALES
En todos aquellos casos en los que los gases no
puedan ser considerados como ideales, debe efectuarse
una corrección con el fin de aplicar las leyes de los
gases.
Las principales diferencias se derivan al comparar
sus características con las establecidas por la Teoría
Cinética de los Gases Ideales.
ISBN: En trámite 71
A. Principales Diferencias
1. Las moléculas de los gases ideales son
perfectamente esféricas; en cambio, las de los gases
reales presentan imperfecciones (el efecto general es
que el volumen individual de las moléculas del gas
real es mayor que en el gas ideal).
2. En los gases reales sí hay un efecto apreciable en las
fuerzas de atracción entre sus moléculas, lo cual
ocasiona que el volumen total sea menor que en el
caso de un gas ideal.
3. Los choques de las moléculas de los gases reales no
son elásticos, por tal motivo, la presión global es
menor que la producida en los gases ideales.
XI. CORRECCIONES
Su objetivo es modificar las ecuaciones de los gases
ideales, las cuales son sencillas, pero de limitada
aplicación. Existen varias correcciones, de las cuales
sobresalen: Van Der Waals (fue la primera en aplicarse
y su valor es histórico, aunque de poca precisión),
Redlich Kwong (mediana precisión) y Benedict-Web-
Rubbin (de alta precisión).
A. Corrección De Van Der Waals
Su importancia radica en el hecho de ser una de las
correcciones más antiguas y, aunque su precisión es
baja, se le sigue estudiando por cuestiones históricas.
Fue propuesta en 1873 y se basa en dos constantes que
se determinan a partir del conocimiento de una sustancia
en el punto crítico.
Van Der Waals corrige principalmente dos efectos:
1.- Volumen
El volumen de un gas real no puede ser cero a muy
altas presiones (como sucedería en los gases
ideales).
El volumen total de un gas real es menor que en un
gas ideal.
El volumen de cada molécula (a nivel individual) es
mayor en los gases reales que en los gases ideales.
De los tres efectos anteriores, los que se corrigen
(por tener mayor influencia) son el volumen individual
de las moléculas y el volumen en el cero absoluto. Lo
que hizo Van Der Waals fue:
bVVbVV realidealidealreal ;
Donde: b = constante de VDW y equivale al
volumen del gas real en el cero absoluto de temperatura.
Aplicándolo a la ecuación de los gases ideales:
bP
TuRbVVdecires
p
TuRV idealideal ,;
2.- Presión
Debido a las fuerzas de atracción entre las moléculas
y a la pérdida de energía por los choques inelásticos, la
presión de un gas real es menor que la de un gas ideal.
Van Der Waals determinó que esta disminución era
proporcional a la constante ―a‖ y a la cantidad 2
1
V
Es decir, para obtener la presión del gas real debe
restársele a la presión del gas real la cantidad 2V
a
;
2V
a
idealPrealP
donde: 2
V
a
realPidealP
Si se consideran simultáneamente las dos
correcciones de Van Der Waals en la ecuación de los
gases ideales:
TuRbV
V
aP
2
La ecuación anterior se conoce como la ecuación de
Van Der Waals
A. Constantes de Van Der Waals
Se denominan ―a‖ y ―b‖ a las constantes de VDW,
las cuales se evalúan en función del punto crítico de
cada gas (temperatura crítica Tc, volumen crítico Vc y
presión crítica Pc).
Su valor se determina mediante las siguientes
ecuaciones:
Pc
RTcb
Pc
TcRa
864
27 22
B. Corrección de Redlich Kwong 1
Esta corrección genera una ecuación que contiene 2
constantes y es de naturaleza empírica. No obstante,
resulta tener una precisión considerable en un gran
intervalo de condiciones de presión y temperatura.
Tiene mayor precisión que la ecuación de Van Der
Waals y se basa en consideraciones teóricas y prácticas
realizadas por Redlich y Kwong (propuestas en 1949),
obteniéndose la siguiente relación:
ISBN: En trámite 72
bVVT
a
bV
TRP
5.0
Las constantes ―a‖ y ―b‖ se pueden calcular con los
datos críticos, a partir de:
1 Tomado del libro: Cengel /Boles.
Termodinámica. Ed. Mc Graw Hill. Quinta Edición.
Páginas 145 y 146.
Pc
RTcb
Pc
TcRa 0867.04275.0
5.22
Una de las consideraciones que intervinieron en el
desarrollo de esta ecuación es que, a presiones altas, el
volumen de todos los gases tiende al valor límite de
0.26 Vc, el cual es en esencia, independiente de la
temperatura; por consiguiente, ―b‖ es también igual a
0.26 Vc, y se ve que la ecuación da resultados bastante
buenos incluso a altas temperaturas.
En conclusión, la ecuación de Redlich-kwong tiene
la ventaja de la simplicidad combinada con una
razonable exactitud.
C. Corrección de Benedict-Webb-Rubin (BWR)
En 1940, BWR ampliaron la ecuación de Beattie-
Bridgeman y consiguieron aumentar el número de
constantes a ocho. Su ecuación se expresa como:
2
21
236
32
1
2
Ve
VTV
c
V
a
V
abRuT
VT
CoAoTRuBo
V
TRuP
Los valores de las ocho constantes que aparecen en
esta ecuación se obtienen de una tabla.
XII. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 2
El método de newton-Raphson para la obtención de
raíces es un método iterativo que, para la mayoría de las
funciones, converge muy rápidamente .En realidad, el
primer valor que se ensaya está razonablemente
próximo al valor correcto. Este método suele converger
con tres o cuatro iteraciones.
En cada paso n del proceso de iteración, el método
utiliza la tangente a la curva en el punto para
estimar la situación de la raíz. La pendiente de la
tangente en es la derivada de la función calculada
en
Vea que la pendiente viene dada por:
Igualando estas dos expresiones y despejando
se tiene
2.http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/ec_nolin
eales_newton_raphson.htm
A. Explicación Del Método De Newton
En análisis numérico, el método de Newton
(conocido también como el método de Newton-Raphson
o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo
eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o
raíces de una función real. También puede ser usado
para encontrar el máximo o mínimo de una función,
encontrando los ceros de su primera derivada.
La única manera de alcanzar la convergencia es
seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a
la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con
un valor razonablemente cercano al cero (denominado
punto de arranque o valor supuesto). La relativa
cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la
nx
nx
nx
)('n
xfpendiente
1
0)(
nn xx
xfpendiente
1
nnxx
)('
)(1
n
n
nnxf
xfxnxx
ISBN: En trámite 73
naturaleza de la propia función; si ésta presenta
múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el
entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el
algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un
valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho
esto, el método linealiza la función por la recta tangente
en ese valor supuesto
DDescripción del método 3
La abscisa en el origen de dicha recta será, según el
método, una mejor aproximación de la raíz que el valor
anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el
método haya convergido lo suficiente.
Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el
intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0
y definimos para cada número natural n
Donde f ' denota la derivada de f.Nótese que el
método descrito es de aplicación exclusiva para
funciones de una sola variable con forma analítica o
implícita cognoscible. Existen variantes del método
aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las
raíces de la tendencia, así como algoritmos que
extienden el método de Newton a sistemas
multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.
OObtención del Algoritmo
Tres son las formas principales por las que
tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de
Newton-Raphson.
La primera de ellas es una simple interpretación
geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo
geométrico del método de la secante, podría pensarse en
que si los puntos de iteración están lo suficientemente
cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante
se sustituye por la tangente a la curva en el punto 3.
www.mitecnologico.com/Main/MetodoDeNewtonRap
hson
Así pues, si por un punto de iteración trazamos la
tangente a la curva, por extensión con el método de la
secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la
abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la
tangente con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la
función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que
contiene al punto (x0, f (x0)) y cuya pendiente coincide
con la derivada de la función en el punto, f'(x0). La
nueva aproximación a la raíz, x1, se logra la intersección
de la función lineal con el eje X de ordenadas.
Matemáticamente:
Ilustración de una iteración del método de Newton (la
función f se demuestra en azul y la línea de la tangente
está en rojo). Vemos que xn + 1 es una aproximación
mejor que xn para la raíz x de la función f.
En la ilustración adjunta del método de Newton se
puede ver que xn + 1 es una mejor aproximación que xn
para el cero (x) de la función f.
Una forma alternativa de obtener el algoritmo es
desarrollando la función f (x) en serie de Taylor, para un
entorno del punto xn:
Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado
2, y evaluamos en xn + 1:
Si además se acepta que xn + 1 tiende a la raíz, se ha
de cumplir que f(xn + 1) = 0, luego, sustituyendo en la
expresión anterior, obtenemos el algoritmo.
Finalmente, hay que indicar que el método de
Newton-Raphson puede interpretarse como un método
de iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación f(x) = 0,
se puede considerar el siguiente método de iteración de
punto fijo:
Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz
buscada). Dado que g'(r) es:
ISBN: En trámite 74
Entonces:
Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la
forma más sencilla:
Por tanto, imponiendo subíndices:
Expresión que coincide con la del algoritmo de
Newton-Raphson
XIII. REFERENCIAS
[1] Cengel/Boles
Termodinámica
Ed. Mc Graw Hill 5º. Edición
Índice
ISBN: En trámite 75
Educación Basada en Competencias (EBC) de la
Materia de Métodos Numéricos
F. Vera Badillo (1)
, A. Ríos Herrera (2)
Universidad La Salle D.F.
Facultad de Ingeniería
Benjamín Franklin 47, Col. Hipódromo Condesa.
D.F. México, C. P. 06140 (1)
[email protected] , [email protected]
Resumen—Se presenta una síntesis de la situación
mundial y su relación con la educación basado en
competencias (EBC), la situación actual en la
educación superior, seguida por la historia del
término competencias, a continuación se presentan
la definición de competencias, posteriormente se
presentan los elementos del modelo EBC, se explican
las competencias en las Matemáticas, luego se aplica
dicho modelo a la materia de Métodos Numéricos y
se dan las conclusiones.
Palabras clave— aprendizaje por competencias,
métodos numéricos, competencias genéricas,
competencias específicas, educación superior en
ingeniería.
I. INTRODUCCIÓN
Ante estos cambios mundiales en la forma del ser y
del hacer, se debe de repensar la educación. Debido a
que los especialistas en la educación no han abordado el
problema de la enseñanza de la ingeniería, un grupo de
profesores de ingeniería civil, han estudiado las nuevas
estrategias educativas y su aplicación en la clase
presencial de las materias de estructuras. Los resultados
se reportan en congresos anteriores, (Vera et al, 1988),
(López G. D. J., et al, 1999), (Vera et al, 2002), (Vera et
al, 2004), (Vera et al, 2005), (Vera et al, 2007) al
continuar con esta línea de investigación, en este trabajo
se presenta el modelo de Educación Basado en
Competencias (EBC) y una propuesta para aplicarla en
un Curso de Métodos Numéricos a nivel de licenciatura.
Se presenta primero las tendencias de la educación
en un mundo globalizado, posteriormente se dan los
aspectos a considerar en la educación superior en
México, luego una breve historia de donde nace el
significado de competencia, a continuación algunas
definiciones de competencia, se continua con los
elementos para organizar un curso mediante EBC, las
competencias a las Matemáticas, luego se presenta la
propuesta para la materia de Métodos Numéricos y se
dan las conclusiones al respecto.
II. SITUACIÓN ACTUAL Y LA EDUCACIÓN EN
COMPETENCIAS
Al nuevo orden mundial se la ha dado en llamar la
Sociedad del Conocimiento o Sociedad de la
Información, y en ella se tiene un desarrollo científico y
tecnológico que produce cambios en los procesos
económicos y financieros y se presentan nuevos
problemas sociales y culturales. Las características son:
en sus valores los subjetivos y existenciales, como
agentes de socialización la comunicación social, como
destino de la producción, el mercado global, la división
del trabajo es especializada y polivalente, y como
unidad económica, el conocimiento.
En el ámbito profesional se requiere una nueva
formación que considere principalmente la capacidad de
gestión, la capacidad de aprender y la capacidad de
trabajo grupal, así como la necesidad de seguir
aprendiendo frente a un mundo en continuo cambio.
Ante esta situación se debe reorganizar el proceso
educativo, la UNESCO9 considera que para responder a
los retos de hoy, la educación debe estructurarse en
torno a cuatro aprendizajes fundamentales que le servirá
al individuo en todo el transcurso de su vida y son:
a) Aprender a conocer. Esto es adquirir los instrumentos
de comprensión, más que tener conocimientos
clasificados y codificados se refiere a dominar los
instrumentos del saber.
b) Aprender hacer. El sentido es poner en práctica los
conocimientos adquiridos, en esta parte el trabajo
debido al avance de la tecnología requiere un mayor
carácter cognitivo y una constante actualización y
entrenamiento.
9 Delors, Jacques, 1996.
ISBN: En trámite 76
c) Aprender a vivir juntos. En otras palabras, esto
significa aprender a vivir con los demás, este punto
es uno de los mayores retos de la educación
contemporánea, la actividad económica da lugar a
una guerra económica, la propuesta es el
descubrimiento de la persona y segunda la
participación en proyectos comunes.
d) Aprender a ser. Todos los seres humanos deben estar
en condiciones en particular de dotarse de un
pensamiento autónomo y de elaborar un juicio
propio para determinar por sí mismos que deben
hacer en las diferentes circunstancias de la vida.
La UNESCO ha buscado incorporar de esta forma
una concepción más integral del uso de la información
en la sociedad, donde más allá de hablar solamente del
aspecto económico y de la idea de innovación
tecnológica, se incluyen las dimensiones culturales,
sociales y políticas, además de la transformación
institucional, todo dentro de una perspectiva más plural
y de desarrollo10
. Al considerar estas tendencias, lo
importante ya no es únicamente adquirir el
conocimiento y saber aplicarlo, sino también desarrollar
otras habilidades para poder adecuarse a un mundo que
cambia con respecto a las TIC (tecnologías de la
información y comunicación) y por lo mismo su forma
de trabajar, de ahí que es cuando surge la necesidad de
un nuevo enfoque llamado ―competencias‖. Las
competencias educativas tratan de crear mejores
destrezas para que los profesionales participen en la
actividad productiva. Se intenta el mejoramiento de la
calidad de la educación atendiendo a la construcción de
competencias prácticas, con el objetivo que los
estudiantes puedan más tarde competir exitosamente en
el campo laboral y, como resultado indirecto, los
productos y servicios compitan en los mercados
internacionales con buenos resultados. Se necesitan
personas que sepan trabajar en equipo, que puedan
ponerse en el lugar de otro y comprenderlo, que se
hagan responsables del compromiso que toman, que
puedan resolver por sí misma situaciones problemáticas,
que sean eficaces, solidarias y veraces, de esta manera
se considera que las competencias sean el eje de los
nuevos modelos de educación y que se centren en el
desempeño.
En la educación, el enfoque centrado en
competencias significa el saber o el conocimiento en la
acción. No como tradicionalmente se ha entendido, el
conocimiento para guardar en la memoria, sino en la
ejecución; el conocimiento o el saber para hacer algo, lo
que implica una convergencia de los conocimientos, las
acciones, las actitudes, las aptitudes y los valores, dicho
en otras las palabras hace un énfasis en la acción para
10
khan, wahhed abdul (subdirector general de la UNESCO para la
comunicación y la información), 2003.
ejecutar un desempeño, que a la vez dará un resultado.
III. LA SITUACIÓN DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR EN
MÉXICO
En el documento titulado ―Educación Superior en
Iberoamérica – Informe 2010‖, elaborado por el Centro
Interuniversitario de Desarrollo (CINDA) en el mes de
mayo de éste año, se menciona el origen de uno de los
esfuerzos por caracterizar la situación de la Educación
en Iberoamérica y en México: ―En 2007 el Centro
Interuniversitario de Desarrollo (CINDA) inició un
ambicioso proyecto, con apoyo de Universidad,
destinado a recoger y difundir de manera sistemática
información acerca del desarrollo de la educación
superior en Iberoamérica‖. Han pasado ya tres años
desde la primera redacción presentada y expuesta en
esta línea de trabajo, en donde el que escribe (y en
algunas ocasiones junto al Mtro. Alfonso Ríos) ha
presentado en diversas ocasiones y foros, tanto
ponencias como documentos en lo concerniente al
desarrollo de la Educación en México; a continuación se
presenta lo más relevante.
Para México, los retos educativos son todavía
muchos así como el número de voces que reclaman su
pronta atención, ya que en relativamente poco tiempo, y
de acuerdo a un estudio hecho por Rubio (2006)11
, en el
año 2050 nos convertiremos en una generación de
personas mayores, por lo que la preparación de las
generaciones actuales reviste especial importancia12
.
La matriculación a nivel terciario (universitario y no
universitario) en la Educación no ha alcanzado en
Iberoamérica el 50% en la gran mayoría de los casos;
México en particular se ubica en un grupo de países
como Perú y Colombia entre otros, en donde se tiene
entre el 25 y el 35%. Como la OEI cita: ―Mientras en
1994 había en promedio en la región 162 estudiantes
terciarios por cada 10 mil habitantes, para el año 2003
alcanzaron a 259 por cada 10 mil habitantes‖ 13
. Una de
las razones que presenta la OEI de este bajo porcentaje
se basa en la información que ofrecen PISA y SERCE
respecto a alumnos de diferentes países de 15 años a
nivel secundario el año 2006, en donde se acusa a la
repetición y la deserción como auténticos problemas de
la educación iberoamericana14
.
En México, como en otros países, el principal
desafío se resume a reducir la inequidad educativa, que
11
Rubio Oca. Julio (2006) La política Educativa t la Educación Superior
en México. 1995-2006: Un balance. p.16
12 El autor (Alfonso Rios) presentó en 2007 un estudio más completo de
la situación de las IES en México. (Ver bibliografía).
13 Metas Educativas 2021 (OEI) p. 36
14 Metas Educativas 2021 (OEI) pp. 38 - 44
ISBN: En trámite 77
junto con la pobreza y la desigualdad se conforma un
común denominador en gran parte de los países no sólo
de Iberoamérica, sino del mundo entero. Un intento por
resolver este desafío se puede traducir en procurar una
mayor cobertura, pero además (tal y como se acaba de
mencionar) debe mejorarse la calidad de la educación,
con miras a evitar tres paradojas denominadas por la
OEI como ―Las paradojas de la juventud‖15
.
1) Los estudiantes universitarios tienen cada vez
mayor preparación de tipo académico, pero menor
acceso a un empleo acorde a sus aspiraciones.
2) Las TIC han permitido cada vez un mayor acceso a
la información, pero se sienten fuera de los espacios
de decisión institucional.
3) Las expectativas sobre su futuro cada vez son
mayores, pero tienen menores probabilidades de
concretarlas.
Adicionalmente el contexto cultural y tradicional en
que la educación se desarrolla en muchos países, sigue
basado en la norma del aprendizaje memorístico, la
desconexión entre los conocimientos y la realidad
vivencial, e incluso en una falta de elementos básicos de
la cultura como la música y el deporte. Lo anterior hace
que el alumno universitario dude en que lo aprendido
tenga sentido y por tanto merezca el esfuerzo que se
requiere para alcanzar sus metas, es una necesidad el
desarrollar propuestas como la presentada en este
trabajo que apoyen las nuevas estrategias de enseñanza-
aprendizaje.
En relación a cómo medir el impacto de manera más
tangible, uno de los indicadores para evaluar la
situación de la Educación en Iberoamérica y en México
se basa en el monto invertido del PIB16
en Ciencia y
Tecnología (C&T), el cual muestra un crecimiento de
manera poco significativa con un porcentaje nacional
del 0.36%17
, y que todavía está por debajo del promedio
en Iberoamérica (0.55%)18
, tal vez por la atención de
necesidades más urgentes de desarrollo, generando
―situaciones circulares, de difícil solución,
especialmente cuando se considera que la inversión en
C&T tiene una relación directa con desarrollo‖19
; en el
caso de México al igual que algunos países se ha tenido
un crecimiento significativo de acuerdo al monto, pero
el porcentaje casi es el mismo. Lo anterior provoca que
la inversión de Iberoamérica en C&T sea menor del 4%
15
ídem pp. 78-80 16
PIB = Producto Interno Bruto, cantidad producida en un país por su
fuerza laboral en determinado período de tiempo. 17
Informe Nacional México, página 13. 18
Educación Superior en Iberoamérica – Informe 2010, pág 39. 19
Ídem, página 38.
a nivel mundial20
, por lo que a comparación de otros
países fuera de Iberoamérica como Estados Unidos
(2.62%) y Canadá (1.98%)21
, México todavía necesita
invertir más de su PIB en C&T.
Con este indicador se puede deducir que desde el
factor económico se originan la mayoría de las razones
por las que hace falta impulsar la Educación en
Iberoamérica y en México para el desarrollo científico –
tecnológico que realmente produzca patentes por medio
de la investigación aplicada, la cual llega apenas a 685
mientas que en Norteamérica alcanza 8,21022
.
Otro indicador puede ser el patrón de distribución de
científicos y tecnólogos, en donde la Ingeniería ha
incrementado su participación hasta un 19.1% en
Iberoamérica23
, lo cual puede decirse que es intermedia
dado que otras disciplinas como las ciencias sociales es
de 22,6%; para el caso de México se ha incrementado
desde 17% hasta el 25%24
, lo cual se encuentra arriba de
los países del orbe, reportando casi 1,989 miembros del
sistema nacional de investigadores (SNI) en el año
200625
, puede inferirse que este incremento se debe
entre otros agentes, al aumento aproximado del 300%
en el número de graduados en Ingeniería hasta 200626
,
lo que motiva a una mayor participación de
ingenieros(44 años) como investigador y productor de
bienes y servicios a la comunidad, y como dice
Martínez (2009) ―El reto pendiente es mantener un
equilibrio pertinente al desarrollo del país‖ 27
.
Los dos puntos anteriores (la generación de patentes
y la participación de la ingeniería) son dos motivos
suficientes por los cuales la EBC encuentra una buena
oportunidad para el desarrollo de propuestas como la
que aquí se presenta.
IV. HISTORIA DE LAS COMPETENCIAS
Las Competencias Olímpicas. El concepto de
competencia deriva del griego agon y agonistes, que
señalan que aquel que se ha preparado para ganar en las
competencias olímpicas. El areté (la virtud suprema)
anhelado por todo ciudadano griego, era ser triunfador
en la contienda y ver su nombre registrado en la historia
y su imagen esculpida en mármol.
20
Ídem, página 49. 21
Informe Nacional México, página 19 22
Ídem, página 40. 23
Educación Superior en Iberoamérica – Informe 2010, pág 56. 24
Informe Nacional México, página 21 25
Ídem, página 25. 26
Ídem, página 29. 27
Ídem, página 30.
ISBN: En trámite 78
Los Grandes Filósofos de la Antigüedad. Más
tarde, a partir de Pitágoras y con Platón y Aristóteles,
este arete cambia de sentido para significar ser el mejor
en el saber; las competencias se desplazan de las
habilidades y destrezas atléticas a las de carácter
cultural y cognoscitivas.
La Era Moderna E Industrial. Con la
modernización y la industrialización dicho arete se
ubica en las teorías científicas y tecnológicas que
ordenan a un mundo fundamentado en las relaciones
económicas y sus mercados. Las sociedades
protagónicas son aquellas que construyen y
reconstruyen las competencias requeridas para tal
efecto.
La Sociedad del Conocimiento. Con la llamada
Sociedad del Conocimiento, el areté se relaciona al
desarrollo cultural, social y económico con cuatro
funciones básicas:
a) Generación de nuevos conocimientos (función
de investigación)
b) Capacitación del individuo (función de
educación)
c) Aportación de servicios a la Sociedad (función
social)
d) Función ética (crítica social).
Visto desde este punto de vista en cada momento de
la historia el areté tiene una interpretación diferente
como valor, pero coincide en que pretende lograr una
excelencia. En lo referente a lo educativo se menciona
que a principios de la década de 1970, Gerhard Bunk
introduce este término en el ámbito educativo y laboral,
para 1973 McClelland desarrolla el concepto, en la
década de 1980 se generan reformas educativas en
Inglaterra y Australia a favor de la formación de
competencias para el trabajo, y para 1992 este tipo de
preparación era una realidad en los Estados Unidos. En
1994 Grooting hace notar las diferentes ópticas con las
que diversos países como Francia y Alemania adoptan a
las competencias y Ducci en 1997 menciona su
importancia como enlace entre el medio educativo y el
laboral. Actualmente en México en el sector educativo
la educación por competencias se lleva a cabo a nivel
básico y nivel medio superior. En la educación superior,
no se ha implementado en forma oficial de manera que
vaya acorde con los estudios a nivel básico y el nivel
medio superior, puede decirse que hay una
desarticulación.
V. CONCEPTO DE COMPETENCIAS EN DOCENCIA
En este inciso se presentan definiciones de varios
autores, de esta manera es posible tener un criterio en
relación al significado de la palabra y la interpretación
que se va a dar en el ámbito educativo.
1. Gerhard Bunk. A principios de la década de 1970,
introduce el término en el ámbito educativo y
laboral.
2. Mcclelland. En 1973, una característica subyacente
de una persona que le permite demostrar un
desempeño superior en un determinado puesto, rol
o situación haciendo la diferencia entre personas
con desempeño excelente versus personas con
desempeño promedio.
3. Chomsky. En 1985, a partir de las teorías del
lenguaje, instaura el concepto y define
competencias como la capacidad y disposición
para el desempeño y para la interpretación.
4. Conocer. En 1997, la aptitud de un individuo para
desempeñar una función productiva en diferentes
contextos y con base en los requerimientos de
calidad esperados. Estas aptitudes se logran con la
adquisición y desarrollo de conocimientos,
habilidades y capacidades que son expresadas en el
saber, el hacer y el saber-hacer.
5. UNESCO En 1999, define las competencias como
el conjunto de comportamientos socio afectivo y
habilidades cognoscitivas, psicológicas,
sensoriales y motoras que permiten llevar a cabo
adecuadamente un desempeño, una función, una
actividad o una tarea.
6. Perrenoud. En 1999, es la capacidad de actuar de
manera eficaz en un tipo definido de situación,
capacidad que se apoya en conocimientos, pero no
se reduce a ellos.
7. OPS/OMS. En 2000, define que las competencias
constituyen el conjunto de habilidades,
capacidades, conocimientos, patrones de
comportamiento y clases de actitudes que definen
un desempeño superior.
8. Echeverria. En 2001, la competencia permite
discriminar el saber necesario para afrontar
determinadas situaciones y el ser capaz de
enfrentarse a las mismas.
9. Zabalza. En 2002, la competencia ha sido definida
como un conjunto de conocimientos, saber, hacer,
habilidades y aptitudes que permiten a los
profesionales desempeñar y desarrollar roles de
trabajo en los niveles requeridos para el empleo.
10. Proyecto Tunning. En 2003, una combinación
dinámica de atributos, en relación a conocimientos,
habilidades, actitudes y responsabilidades que
describen los resultados de aprendizaje de un
programa educativo o lo que los alumnos son
capaces de demostrar al final de un proceso
educativo.
ISBN: En trámite 79
11. Vadillo. En 2004, el término competencia incluye
conocimientos, habilidades, aptitudes, rasgos,
actitudes, motivos y conductas.
12. ANUIES. La Educación basada en competencias
se fundamenta en un currículum apoyado en las
competencias de manera integral y en la resolución
de problemas. Utiliza recursos que simulen la vida
real: análisis y resolución de problemas, que
aborda de manera integral o por equipos,
favorecido por tutorías.
La definición que los autores consideran la más
adecuada es la ―integración de aptitudes, conocimientos,
destrezas y actitudes para la producción de un acto
resolutivo, eficiente, lógico y éticamente aceptable en el
marco determinado rol o función‖ (Alegre de la Rosa et
al, 2004).
VI. EDUCACIÓN BASADO EN COMPETENCIAS (EBC)
Características. Las competencias son saberes de
ejecución. Es posible decir que son recíprocos
competencias y saberes: saber pensar, saber
desempeñar, saber interpretar, saber actuar en diferentes
escenarios, desde sí y para los demás (dentro de un
contexto determinado).
La educación basada en competencias considera:
a) Ser congruente con la Sociedad del
Conocimiento.
b) Satisfacer las necesidades de la práctica
laboral.
c) Ser un proceso que articule conocimientos,
habilidades y valores.
d) Generar nuevos conocimientos (función de la
investigación).
e) Lograr un entrenamiento altamente calificado
(la función de la educación).
f) Proporcionar servicios a la Sociedad (la
función social).
g) La crítica social (que implica la función ética).
El objetivo es que el alumno pueda desarrollarse
favorablemente en el mundo global, que su desempeño
sea de excelencia. La educación basada en competencias
es un desarrollo sistemático del conocer y del desarrollo
de habilidades a partir de funciones y tareas específicas.
Es el resultado de lo que el alumno puede desempeñar o
producir al terminar la etapa. Posteriormente la
evaluación se basa en comprobar que el alumno puede
construir o desempeñar determinada actividad. Dicho de
otra manera se refiere a una experiencia práctica que
entrelaza conocimientos, habilidades y valores para
lograr un fin. La teoría y la experiencia práctica se
toman en cuenta para el desarrollo o desempeño de algo.
En este tipo de educación se considera:
a) Los conocimientos
b) Las habilidades.
c) Las actitudes inherentes a una competencia
(comportamientos que respondan a la
disciplina y a los valores).
d) La evaluación de los logros mediante una
demostración del desempeño o de la
elaboración del producto.
Tipos De Competencias. Existen varios criterios
para agrupar a las competencias, pero uno de los que
más se utiliza es la que menciona el proyecto Tunning
que clasifica a las competencias en dos y son:
a) Competencias Genéricas.
b) Competencias Específicas.
Competencias Genéricas. Las competencias
genéricas se refieren a las que debe desarrollar el
alumno en cualquier curso y en cualquier carrera. Para
elaborar las competencias básicas se debe tomar en
cuenta los criterios que considera la universidad de
acuerdo a su ideario y su misión. Para definir las
competencias básicas que se quieren construir y que
deben ser comunes a todas las carreras, se debe tomar
en cuenta la vinculación con la práctica ´profesional. En
el proyecto Alfa Tunning – América Latina (Tunning,
2004) se inicia a finales de 2004 y entre sus primeras
tareas se encuentra la definición de cuáles serían las
competencias genéricas para América Latina, con una
participación de 18 países (entre ellos México) se
obtuvo un total de 85 competencias genéricas y después
de un análisis detallado se presentó una lista de 27
competencias genéricas. Estas son:
1. Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.
2. Capacidad de aplicar los conocimientos en la
práctica.
3. Capacidad para organizar y planificar el tiempo.
4. Conocimientos sobre el área de estudio y la
profesión.
5. Responsabilidad social y compromiso ciudadano.
6. Capacidad de comunicación oral y escrita.
7. Capacidad de comunicación en un segundo
idioma.
8. Habilidades en el uso de las tecnologías de la
información y de la comunicación.
9. Capacidad de investigación.
10. Capacidad de aprender y actualizarse
permanentemente.
11. Habilidades para buscar, procesar y analizar
información procedente de fuentes diversas.
12. Capacidad crítica y autocrítica.
13. Capacidad para actuar en nuevas situaciones.
14. Capacidad creativa.
15. Capacidad para identificar, plantear y resolver
problemas.
ISBN: En trámite 80
16. Capacidad para tomar decisiones.
17. Capacidad de trabajo en equipo.
18. Habilidades interpersonales.
19. Capacidad de motivar y conducir hacia metas
comunes.
20. Compromiso con la preservación del medio
ambiente.
21. Compromiso con su medio socio-cultural.
22. Valoración y respeto por la diversidad y
multiculturalidad.
23. Habilidad para trabajar en contextos
internacionales.
24. Habilidad para trabajar en forma autónoma.
25. Capacidad para formular y gestionar proyectos.
26. Compromiso ético.
27. Compromiso con la calidad.
Competencias Específicas. Las competencias
específicas se refieren aquellas que debe desarrollar el
alumno que son propias del campo de estudio.
Obviamente estas competencias deben de ir acorde al
plan de estudios y a las materias a cursar. Aquí la carta
descriptiva de cada materia juega un papel importante
porque no solo debe definir el contenido sino que
además en los objetivos debe indicar los conocimientos,
habilidades y valores que debe adquirir el alumno en
dicho curso.
Componentes De Las Competencias. Para poder
elaborar una competencia de manera sencilla se van a
definir sus componentes y a que se refiere cada una,
esto permite tener claros los criterios a la hora de
evaluar dicha competencia y son:
a) Conocimientos. Adquisición sistemática de
conocimientos, clasificaciones, teorías, etc...
Relacionadas con materias científicas o área
profesional. A su vez se divide en: 1. Generales
para el aprendizaje, 2. Académicos vinculados a
una materia, 3. Vinculados al mundo profesional.
b) Habilidades y destrezas. Entrenamiento en
procedimientos metodológicos aplicados
relacionados con materias o áreas profesional
(organizar, aplicar, manipular, diseñar, planificar,
realizar…). A su vez se divide en: 1. Intelectuales,
2. De comunicación, 3. Interpersonales, 4.
Organización/gestión personal.
c) Actitudes y valores. Actitudes y valores necesarios
para el ejercicio profesional: responsabilidad,
autonomía, iniciativa ante situaciones complejas,
coordinación, etc. A su vez se divide en: 1. De
desarrollo profesional, 2. De compromiso
personal.
VI. MODALIDADES DEL PROCESO ENSEÑANZA
APRENDIZAJE
Concepto De Modalidad. Son los distintos
escenarios donde se tienen lugar las actividades a
realizar por el profesorado y el alumnado a largo de un
curso.
El concepto de modalidad es útil desde el punto de vista
organizativo, pues permite la asignación de tareas al
profesorado (y por consiguiente, su valoración en
cuanto a volumen de trabajo), la distribución de
espacios (aulas, laboratorios, seminarios) y la definición
de horarios.
Tipo De Modalidades. Se clasifican en dos grupos y
son:
a) Presencial. Donde todas las actividades
requieren la participación directa de profesores
y alumnos.
b) No-presencial. Donde las actividades de los
alumnos las pueden realizar libremente el
alumno en forma individual o en grupo.
La presencial se tiene:
a) Clases teóricas. Hablar a los estudiantes.
b) Seminarios Talleres. Construir conocimiento a
través de la interacción y actividad.
c) Clases Prácticas. Mostrar cómo deben actuar.
d) Prácticas Externas. Poner en práctica lo
aprendido.
e) Tutorías. Atención personalizada al estudiante.
La no-presencial se tiene:
a) Estudio y trabajo en grupo. Hacer que
aprendan entre ellos.
b) Estudio y trabajo autónomo, individual.
VII. MÉTODOS DE ENSEÑANZA
Concepto. Es un conjunto de decisiones sobre los
procedimientos a emprender y sobre los recursos a
utilizar en las diferentes fases de un plan de acción que,
organizados y secuenciales coherentemente con los
objetivos pretendidos en cada uno de los momentos del
proceso, nos permiten dar una respuesta a la finalidad de
la tarea educativa.
El método se concreta en una variedad de modos,
formas, procedimientos, estrategias, técnicas,
actividades y tareas de enseñanza y aprendizaje.
Tipos de Métodos de Enseñanza. En relación a las
competencias se han desarrollado varios métodos de
enseñanza, aquí se presentan algunos de los que se
consideran que se pueden aplicar a nivel universitario y
son:
a) Método expositivo/lección Magistral. Trasmitir
conocimientos y activar procesos cognitivos en
el estudiante.
ISBN: En trámite 81
b) Estudio de casos. Adquisición de aprendizajes
mediante el análisis de casos reales o simulados.
c) Resolución de Ejercicios y Problemas. Ejercitar,
ensayar y poner en práctica los conocimientos
previos.
d) Aprendizaje basado en problemas (ABP).
Realización de un proyecto para la resolución de
un problema, aplicando habilidades y
conocimientos adquiridos.
e) Aprendizaje orientado a proyectos. Realización
de un proyecto para la resolución de un
problema, aplicando habilidades y conocimientos
adquiridos.
f) Aprendizaje Cooperativo. Desarrollar
aprendizajes activos y significativos de forma
cooperativa.
g) Contrato de aprendizaje. Desarrollar el
aprendizaje autónomo.
VIII. SISTEMAS DE EVALUACIÓN
Características de la evaluación centrada en
competencias. Este tema es muy amplio y daría lugar a
un trabajo posterior para complementar lo visto en este
trabajo, aquí se presentan los aspectos básicos. Al
cambiar el modelo de enseñanza también se debe
cambiar la forma de evaluar, no es posible aplicar un
nuevo método y seguir con la evaluación tradicional.
Las características que debe tener esta forma de
evaluación es:
a) Ser una evaluación autentica (Authentic
assessment). Evaluar el desarrollo de
competencias implica valorar de una forma
integrada todos sus componentes.
b) Evaluación referida al criterio. Establecer para
las competencias los niveles de logro o
desempeño y estos orienten la calificación.
c) Apoderamiento de la evaluación por parte de los
alumnos. Esto se refiere a que el profesor no es
el único partícipe en la evaluación sino que
también los alumnos participan, esto implica que
da lugar a la autoevaluación y la evaluación por
―pares‖.
d) Evaluación continua y formativa. Esta parte de la
evaluación debe asumir más funciones, mayor
profundidad y mayor cobertura. se refiere a que
debe haber evaluación diagnóstica y formativa
(durante el aprendizaje) además, de la que se
aplica después de adquirir los conocimientos
(sumativa y final).
Existen unos elementos llamados lista de cotejo y
rubricas que ayudan para realizar una evaluación lo
más objetiva posible, en el siguiente trabajos se
presentará el procedimiento para elaborar este tipo de
instrumentos para la evaluación.
Procedimientos y técnicas evaluativas. Existen varios
criterios, procedimientos y técnicas de evaluación, aquí
se presentan algunas que se pueden utilizar y son:
a) Pruebas objetivas (verdadero/falso, elección
múltiple,…)
b) Pruebas de respuesta corta.
c) Pruebas de respuesta larga, de desarrollo.
d) Trabajos y proyectos
e) Informes de prácticas.
f) Pruebas de ejecución de tareas reales y/o
simuladas.
g) Sistemas de autoevaluación (oral, escrita,
individual, en grupo).
h) Escalas de actitudes (para recoger opiniones,
valores, habilidades sociales y directivas,
conductas de interacción…)
i) Técnicas de observación (registros, lista de
control …)
j) Portafolios
k) Mapas mentales
l) Solución de problemas
m) Diario
n) Debate
o) Ensayo
IX. CURSO BASADO EN COMPETENCIAS
Para organizar un curso bajo el criterio de educación
basado en competencias (EBC), dicho curso va a estar
conformado por tres elementos y son:
a) Modalidad del proceso enseñanza aprendizaje
b) Métodos de enseñanza.
c) Sistema de evaluación.
A partir de la carta descriptiva de la materia (el
temario), el profesor debe escoger la modalidad, el
método aplicar y la forma de evaluación visto en las
secciones anteriores. La interacción de estos elementos
no es en forma lineal, todo debe ir de acuerdo a los
contenidos y los temas a considerar, esto significa que la
interacción entre los elementos del modelo da lugar a
varias posibilidades y combinaciones no solo por curso,
sino incluso hasta el nivel de temas, donde se aplicaran
unas estrategias y en otros temas otras, aunque la clase
sea presencial es posible aplicar modalidades de tipo no-
presencial.
Es importante hacer notar que al plantear el curso con
este criterio debe de ir acorde a la misión e ideario de la
Universidad, ya que en esta propuesta consideran
valores y que estos deberán ir acorde a los propuestos
por la entidad educativa como prioritarios.
ISBN: En trámite 82
X. EDUCACIÓN BASADO EN COMPETENCIAS (EBC) PARA
MATEMÁTICAS
En el proyecto Alfa Tunning – América Latina (
Tunning – América Latina, 2007) de las 27
competencias genéricas para la Educación Superior, se
consultaron a 248 académicos, 148 empleadores, 872
graduados y 620 estudiantes para un total de 1888
encuestados. De los 27 competencias genéricas
propuestas, el grupo de Matemáticas valoró que las
competencia No. 1 Capacidad de abstracción, análisis y
síntesis y la No. 10 Capacidad de aprender y
actualizarse permanentemente entre las seis más
importantes por los cuatro grupos. Las competencias
N0. 9 Capacidad de investigación, No. 15 Capacidad
para identificar, plantear y resolver problemas y No. 14
Capacidad Creativa resultaron las más importantes en
tres de los cuatro grupos de encuestados.
En una reunión los representantes de 15
universidades latinoamericanas del área de
Matemáticas, después de analizar las propuestas de
competencias específicas presentadas por cada
universidad, elaboraron una lista de 23 competencias
específicas del área y son:
1. Dominio de los conceptos básicos de la
matemática superior.
2. Capacidad para construir y desarrollar
argumentaciones lógicas con una identificación
clara de hipótesis y conclusiones.
3. Capacidad para expresarse correctamente
utilizando el lenguaje matemático.
4. Capacidad de abstracción, incluido el
desarrollo lógico de teorías matemáticas y las
relaciones entre ellas.
5. Capacidad para formular problemas en
lenguaje matemático, de forma tal que se
facilite su análisis y solución
6. Conocimiento de la evolución histórica de los
conceptos fundamentales de la matemática.
7. Capacidad para iniciar investigaciones
matemáticas bajo orientación de expertos.
8. Capacidad para formular problemas de
optimización y toma de decisiones e interpretar
las soluciones en los contextos originales de los
problemas.
9. Capacidad para contribuir en la construcción de
modelos matemáticos a partir de situaciones
reales.
10. Capacidad para utilizar las herramientas
computacionales de cálculo numérico y
simbólico para plantear y resolver problemas.
11. Destreza en razonamientos cuantitativos.
12. Capacidad para comprender problemas y
abstraer lo esencial de ellos.
13. Capacidad para extraer información cualitativa
de datos cuantitativos.
14. Disposición para enfrentarse a nuevos
problemas en distintas áreas.
15. Capacidad para trabajar con datos
experimentales y contribuir a su análisis.
16. Capacidad para comunicarse con otros
profesionales no matemáticos y brindarles
asesoría en la aplicación de las matemáticas en
sus respectivas áreas de trabajo.
17. Capacidad para trabajar en equipos
interdisciplinarios.
18. Capacidad para presentar los razonamientos
matemáticos y sus conclusiones con claridad y
precisión y de forma apropiada para la
audiencia a la que va dirigidos, tanto oralmente
como por escrito.
19. Conocimiento básico del proceso de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
20. Dominio de la matemática elemental, es decir,
la que se debe incluir en la enseñanza
preuniversitaria.
21. Capacidad de participar en la elaboración de
los programas de formación matemática en los
niveles universitarios.
22. Capacidad para detectar inconsistencias.
23. Conocimiento del inglés para leer, escribir y
exponer documentos en inglés, así como
comunicarse con otros especialistas.
Estas competencias específicas son para la
carrera de Matemático, pero se pueden utilizar
como referencia al considerar las competencias del
la materia de Métodos Numéricos.
XI. EDUCACIÓN BASADO EN COMPETENCIAS (EBC) PARA
LA MATERIA DE MÉTODOS NUMÉRICOS
En la Universidad La Salle D.F. en la Facultad de
Ingeniería en todas las carreras de ingeniería se imparte
la materia de Métodos Numéricos, donde los objetivos
son:
a) Identificar los principales conceptos de
operación y la forma de interpretación de los
métodos numéricos, a partir de la realización
prácticos aplicados al ámbito de la ingeniería.
b) Desarrollar algoritmos para resolver modelos
matemáticos usuales en la ingeniería
auxiliándose de programas de computadora.
c) Utilizar los métodos numéricos en la solución
de ecuaciones polinomiales, sistemas de
ecuaciones, aproximación e interpolación, de
terminación de convergencia, y el cálculo de
errores.
ISBN: En trámite 83
Este curso se imparte en 17 semanas con 3 horas de
clase por semana.
Los temas del curso son:
I. INTRODUCCIÓN
1. Definición de análisis numérico.
2. Concepto de aproximación numérica.
3. Errores: definiciones de errores, error de
redondeo y truncamiento, error absoluto y
relativo, convergencia y estabilidad.
II. ECUACIONES ALGEBRAICAS Y
TRASCENDENTES
1. Ecuaciones lineales de grado ―n‖: métodos de
aproximaciones sucesivas, de bisección y de
regula falsi, métodos abiertos (punto fijo,
Newton-Raphson, división sintética) errores y
convergencia de los métodos.
III. ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS
1. Representación Matricial.
2. Factorización LU y factorización de Cholesky.
3. Eliminación gaussiana, método de Gauss-
Jordan, Inversión de matrices, método de
Jacobi, Método de Gauss – Seidel, ecuación
característica, método de Krylov, método de las
potencias, errores y convergencia de los
métodos.
IV. POLINOMIOS DE TAYLOR
1. Serie de Taylor y Mclaurin.
2. Polinomios de Taylor generados por una
función.
3. Cálculo.
4. Residuo.
5. Estimación de error.
V. DIFERENCIAS FINITAS.
1. Diferencias Finitas de Newton.
2. Polinomios de Interpolación de Lagrange,
métodos de interpolación y ajuste de
curvasinterpolación progresiva de Gregory-
Newton, lineal, cuadrática (métodos de mínimos
cuadrados), polinomial, coeficiente de
correlación).
3. Derivación Numérica.
4. Integración numérica, regla del trapecio, regla de
Simpson.
5. Análisis de error en la derivación e integración
numérica.
VI. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1. Conceptos básicos
2. Solución numérica de ecuaciones ordinarias:
métodos de solución (de euler, de euler-Gauss, de
Runge-Kutta y de Milne).
3. Solución numérica de diferenciales ordinarias de
solución: método de Milne (problema de valores
en la frontera), método de diferencias finitas.
Al considerar aplicar el modelo de Educación
basado en competencias (EBC), de acuerdo a los
objetivos de la materia y con base en las competencias
del inciso IX se consideran que las competencias
específicas a desarrollar en esta materia son:
a) Dominio de los conceptos básicos de Métodos
Numéricos.
b) Capacidad para utilizar las herramientas
computacionales de cálculo numérico y
simbólico para plantear y resolver problemas.
c) Capacidad para formular problemas en
lenguaje matemático, de tal forma que se
faciliten su análisis y su solución.
d) Capacidad para identificar, plantear y resolver
problemas.
Una vez definidas las competencias específicas de la
materia, se propone la modalidad, el método y el tipo de
evaluación por tema. Esto se presenta en la tabla I.
Con base en la tabla I se va a detallar los elementos de
competencia por temas
Tema 1
Contenido. Son los conceptos básicos de la teoría el
error al efectuar un procedimiento numérico.
Metodología de enseñanza. Aprendizaje cooperativo, al
ser un tema sencillo, se les pide a los alumnos que
formen equipos y vayan a la biblioteca a desarrollar los
incisos de estos temas mediante un mapa mental y
posteriormente se reúnen los equipos y cada uno hace su
exposición del tema.
Modalidad: Estudio en grupo
Evaluación: Se califica: Conocimiento adquirido sobre
el tema, contenido de la presentación y explicación oral.
Habilidades para la elaboración y presentación oral del
tema. Valores, la forma como el equipo se desempeño
en clase para trabajar en equipo.
ISBN: En trámite 84
Tabla I Temas, modalidad, método y evaluación del
curso de métodos numéricos
Observaciones. En general al ser grupos de pocos
integrantes ha sido posible aplicar esta estrategia, pero
al aumentar el número de alumnos, para organizar los
equipos. Se debe hacer los ajustes o cambios. Otro
Aspecto, es la forma de trabajar del grupo, entonces se
pueden hacer varias sesiones.
Del Tema II al Tema V
En relación a estos temas, todos se refieren básicamente
a procesos numéricos y por lo mismo se desarrolla el
mismo proceso en dos sesiones como se explica a
continuación:
Contenido. El contenido de cada tema se presenta en la
tabla I, y se refieren a procesos numéricos de cálculo y
programación de los mismos.
Metodología de enseñanza. Este proceso se realiza en
dos clases de hora y media cada una. En la primera clase
los alumnos llegan a clase con los apuntes del tema a
estudiar y con el ejercicio asignado, cada alumno tiene
un ejercicio diferente que resolver. En los primeros 45
minutos mediante el Método Expositivo se explica la
teoría, posteriormente pasa al método de resolución de
problemas donde cada alumno debe resolver el
problema que se le asignó, al ser ejercicios diferentes se
permite que el alumno consulte dudas con sus
compañeros o con el profesor, todos los alumnos que
terminan el ejercicio se les califica en ese momento, en
caso de estar mal puede volver a rectificar hasta el
término de la clase, aquellos que no terminan el
ejercicio lo pueden entregar en la siguiente clase con
una calificación menor. La segunda sesión se lleva a
cabo en la sala de cómputo en donde los alumnos
realizan como método la práctica de cómputo, bajan de
la página del grupo la práctica respectiva para escribir el
programa de computadora del algoritmo visto en la
clase anterior, al haber ya realizado el alumno el
ejercicio a mano, le resulta sencillo ver el aspecto de
programación, una vez que termina el programa lo
manda por correo al profesor.
Modalidad: Clase teórica, Estudio en grupo, Trabajo
autónomo.
Evaluación. Se califica: Conocimiento adquirido
mediante el ejercicio numérico, conocimiento del
algoritmo para poder programarlo. Habilidades de
programación al escribir el programa y que funciones
correctamente. Valores, actitud responsable en la
entrega del ejercicio y elaboración del programa, así
como comportamiento adecuado en clase y en
laboratorio de cómputo.
Observaciones. Se considera importante entregar a los
alumnos antes de la clase, los apuntes de este tema para
que en clase solo hagan anotaciones complementarias,
también que los alumnos tengan un ejercicio diferente
para evitar que copien los resultados. Por otro lado para
complementar la evaluación de los ejercicios y
programas de cómputo, se llevan a cabo tres
evaluaciones durante el curso, de los temas vistos.
Tema VI
Contenido. El tema se refiere a procedimientos
numéricos para resolver ecuaciones diferenciales con
opción a ser programados.
Metodología de enseñanza. En este tema es posible
utilizar el Método de Desarrollo de Proyectos, debido a
que los procedimientos en general son muy parecidos a
los vistos en temas anteriores. Aquí se le asigna a cada
equipo un Método en donde debe hacer un reporte
escrito y también una presentación oral, tipo ponencia
para congreso. Este tema se les da como a mitad del
curso para que lo vayan preparando y se cierra el curso
con la presentación de estos trabajos. Para tener un
control adecuado de las actividades realizadas, se les
pide primero un plan de trabajo o actividades para
N
o TEMA
MODALIDA
D MÉTODO
EVALUACI
ÓN
I Introducción Estudio en
grupo
Aprendizaj
e Cooperativ
o
Trabajo
escrito
II
Ecuaciones
algebraicas y
trascendente
s
Clases teórica,
Estudio en
grupo,
Trabajo
autónomo
Método
Expositivo,
Resolución de
ejercicios,
Práctica de cómputo
Tareas,
Examen escrito,
Prácticas de
cómputo
II
I
Ecuaciones lineales
simultaneas
Clases teórica,
Estudio en
grupo, Trabajo
autónomo
Método
Expositivo,
Resolución de
problemas,
Práctica de cómputo
Tareas,
Examen escrito,
Prácticas de
cómputo
I
V
Polinomios
de Taylor
Clases teórica,
Estudio en
grupo, Trabajo
autónomo
Método
Expositivo, Resolución
de
problemas, Práctica de
cómputo
Tareas,
Examen escrito,
Prácticas de
cómputo.
V Diferencias
Finitas
Clases
teórica, Estudio en
grupo, trabajo
autónomo
Método
Expositivo,
Resolución de
problemas,
práctica de cómputo
Tareas,
Examen escrito,
Prácticas de
cómputo
V
I
Ecuaciones
Diferenciales ordinarias
Estudio en
grupo
Desarrollo
de proyecto
Presentación
escrita y oral del proyecto
ISBN: En trámite 85
realizar el proyecto, posteriormente deben entregar cada
semana un reporte de avance junto con las evidencias
que realmente se lleva dicho avance. del proyecto.
Modalidad: Estudio en grupo.
Evaluación. Se califica: Conocimiento adquirido
mediante el reporte y la presentación oral.. Habilidades
para presentar trabajos escritos tipo ponencia y trabajos
en PowerPoint y la presentación oral. Valores, actitud
responsable en la entrega de del plan de trabajo, bitácora
de actividades y entrega del reporte escrito y su
presentación en PowerPoint.
Observaciones. Se debe insistir al alumno que no solo se
le va a evaluar el contenido del trabajo, sino además la
forma del documento y de su presentación en
PowerPoint, su expresión oral y la claridad al exponer
sus ideas y dominio del tema, así como también la
actitud disciplinada de trabajar todo el proyecto ( esto se
evalúa con la bitácora).
En esta forma de trabajar se considera que se cumplen
las competencias específicas de la materia y los
objetivos de la misma.
XII. CONCLUSIONES
A manera de conclusión se presentan las siguientes
ideas:
a) Debido a la Sociedad de la Información se hace
necesario el cambio al modelo de Educación Basado
en Competencias.
b) En México en forma oficial ya se aplica este modelo
a todos los niveles menos el superior, por lo que se
hace necesario empezar el cambio para estar
alineados con el sistema educativo.
c) Se debe reconocer que a pesar de la importancia que
tiene la Educación basada en competencias a la
Educación Superior y aunque ya se han definido
competencias genéricas y específicas en algunas
carreras a nivel de América Latina, falta mucho
camino por recorrer para aplicarlo en forma
adecuada.
d) Este modelo requiere un cambio total en la forma de
impartir clase y de evaluar y por lo mismo un
cambio total en la actitud de los profesores.
e) Se reconoce que detrás de esta propuesta se requiere
inicialmente mucho trabajo del profesor para
desarrollar todo lo relacionado con apuntes, material
didáctico, elaboración de exámenes, programas de
cómputo.. Esto se puede resolver al formar
academias para el desarrollo de todo el material.
f) Este proceso de enseñanza se ha aplicado durante
tres años en cursos regulares de Métodos Numéricos
y los alumnos consideran que es una forma muy
ordenada para aprender y trabajar y sobre todo que
la evaluación es muy clara y considera varios
aspectos.
g) En la aplicación de este proceso en ocasiones se ha
tenido la experiencia que muchos alumnos estudian
por su cuenta en su casa la teoría y hacen el ejercicio
para entregarlo directamente en clase. Esta actitud
abre la opción que si el alumno quiere estudiar en su
casa y hacer el ejercicio respectivo y mandarlo por
correo, por lo que se le puede permitir que falte a
clase.
h) En este tipo de trabajos no se puede generalizar y
decir que esta propuesta pueda funcionar en otras
instituciones, pero lo importante es ir adecuando la
materia bajo el criterio de Educación Basado en
Competencias.
i) Otra parte que falta para tener completo el proceso
es la elaboración de rúbricas y lista de cotejo como
ayuda para la parte de evaluación. Esta parte se
piensa desarrollar en próximos trabajos.
j) Se espera que este trabajo motive a los profesores a
realizar el cambio para lograr formar el ingeniero
que se requiere en estos tiempos.
ISBN: En trámite 86
XIII. REFERENCIAS
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Educar, revista de Educación, Nueva Época Núm. 16,
enero – Marzo 2001. 15pp.
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[10] Martínez Romo, Sergio. ―El rol de las universidades en
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Michoacán, México.
[19] Vera F. López G. D. J. ―Propuesta de una Estrategia
Educativa para la Materia de Análisis Estructural por
computadora‖ Memorias 1988, XI Congreso Nacional de Ingeniería, Estructural, Monterrey, Nuevo León.
[20] Vera F. Jiménez M., López G. D. J. (2002), ―Aplicación
de Estrategias de Educación a Distancia a la Clase Presencial de Análisis Estructural‖, Memorias 2002, XII
Congreso Nacional de Ingeniería, Estructural, Puebla,
Puebla.
[21] Vera F. López G. D. J. ―Aplicación del sitio web de
grupo a la clase presencial de Análisis Estructural‖
Memorias 2004, XIV Congreso Nacional de Ingeniería,
Estructural, Acapulco, Guerrero.
[22] Vera F. López G. D. J. ―Elaboración de exámenes por computadora para la clase presencial de análisis
estructural‖ Memorias 2006, XV Congreso Nacional de
Ingeniería, Estructural, Puerto Vallarta, Jalisco.
[23] Vera F, López G.D.J., Nasser F. A. ―Eventos de
Difusión, una estrategia educativa para la materia de
Ingeniería Sísmica‖, Memorias 2007, XVI Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, Ixtapa-Zihuatanejo,
Guerrero.
Índice
ISBN: En trámite 87
Las Matemáticas desde el Material Lúdico y el
Aprendizaje Colaborativo
Temática: Alternativas Didácticas Innovadoras en el
Aula.
F. López Juárez
Colegio de Bachilleres del Estado de Hidalgo
Plantel ―Francisco I. Madero‖
Resumen.-Debido a la experiencia vivida durante
varios años con alumnos de bachillerato, nos resulta
necesaria la creación ó búsqueda de nuevas estrategias
docentes que permitan el aprendizaje autónomo en el
alumno, pero sobre todo que permitan al alumno aprender
a aprender.
Lo que se pretende con esta modalidad del material
lúdico y el aprendizaje colaborativo, es que los alumnos de
los primeros semestres se apoyen de los alumnos de
semestres más avanzados.
El procedimiento es el siguiente, primeramente se
detectan a los alumnos que tienen afinidad por las
matemáticas de los semestres de cuarto, quinto y sexto.
Posteriormente se les invita a trabajar como tutores de
alumnos de primero y segundo semestre con los cuales
trabajaran dos horas dos veces a la semana. Antes de que
los alumnos puedan trabajar con ellos se les presenta el
material lúdico que consta de tangrams, dominós sudokus,
etc. Y ya que los alumnos conocen y dominan el material se
les asignan 4 alumnos de primer semestre que tengan
deficiencias en matemáticas para que con ayuda de este
material los alumnos puedan desarrollar su habilidad
lógica matemática considerando los aspectos aritméticos,
algebraicos y geométricos.
El objetivo de utilizar material lúdico es con el fin de
desarrollar en el alumno sus inteligencias múltiples y con
el apoyo de los alumnos de semestres más avanzados, se
formaran equipos participativos para poder socializar el
conocimiento y de esta forma se le pueda ayudar de mejor
manera al alumno menor favorecido.
I. INTRODUCCIÓN
Las capacidades son las potencialidades que posee
un sujeto para desarrollar satisfactoriamente una serie
de actividades intelectuales y físicas. Las habilidades
son las manifestaciones directas de las capacidades que
se expresan en la realización de las actividades
humanas. De esta forma se considera que las
habilidades son elementos que facilitan el aprendizaje
de los conocimientos, así como la resolución de
problemas de las diferentes áreas de estudio.
Por otra parte la Habilidad Lógica Matemática es
aquella que permite al alumno comprender conceptos,
proponer y efectuar algoritmos y desarrollar
aplicaciones a través de la resolución de problemas.
Esta habilidad considera tres aspectos:
Aspectos Aritméticos: Permiten al alumno
comprender la composición de cantidades representadas
por números.
Aspectos algebraicos: Ayudan al alumno a
representar y generalizar operaciones aritméticas
empleando números, signos y literales.
Aspectos geométricos : Ayudan al alumno a
conocer y emplear las propiedades y medidas de
extensión de polígonos, triángulos y rectas paralelas y
perpendiculares.
―No existe una inteligencia general que crezca o se
estanque, sino un elenco múltiple de aspectos de la
inteligencia, algunos más sensibles que otros a la
modificación de estímulos adecuados‖ (C. Antunes.
―Estimular las inteligencias múltiples‖)
Según investigaciones en el campo de la neurología,
existen en el cerebro zonas que corresponden a ciertos
espacios de cognición. Cada una de estas zonas alberga
una zona específica de procesar la información, así cada
una puede expresar una forma distinta de inteligencia
Objetivo general: Desarrollar las inteligencias
múltiples del alumno, mediante materiales lúdicos y el
aprendizaje colaborativo, que despierten su interés para
facilitarle la comprensión de las matemáticas.
ISBN: En trámite 88
Objetivos particulares.
Mejorar la metodología de la enseñanza y el
aprendizaje de los alumnos en la solución de
problemas de razonamiento.
Potenciar las relaciones positivas en el aula
estimulando al alumnado a aceptar y ser capaces de
trabajar con cualquier compañero de su clase y de
semestres diferentes, y por extensión, mejorar
también el ambiente del Centro.
Atender a la diversidad de alumnado que en estos
momentos accede al sistema educativo con distintas
necesidades y fomentar la socialización del
conocimiento entre los alumnos de distintos
semestres..
Reducir el fracaso escolar mediante una atención
más individualizada y la interacción positiva que se
crea entre alumnos y alumnas de diversos niveles
académicos.
II. SUSTENTO TEÓRICO
En la antigüedad podemos citar a Saint Simon,
Rober Owen, Carlos Furier y a Charles Gide quien se le
considera el ―Maestro de la Cooperación‖, quien por su
clara visión fijó las bases eternas del sistema
cooperativo que permitía al hombre su superación.
En la contemporaneidad encontramos a Jonshon y
Jonshon en 1974 toma los planteamientos de Kurt
Lewin en donde la esencia de un grupo es la
independencia social entre sus miembros.
En la teoría del Desarrollo Cognitivo con los trabajos de
Piaget quien manifestaba que cuando los individuos
cooperan en el medio, ocurre un conflicto socio-
cognitivo que crea un desequilibrio, que a su vez
estimula el desarrollo cognitivo.
Para Hassard (1990) el trabajo cooperativo es un
abordaje de la enseñanza en el que los grupos de
estudiantes trabajan juntos para resolver problemas y
para determinar tareas de aprendizaje.
Violeta Barreto (1994) nos dice que el aprendizaje
cooperativo es aquel en el que el alumno construye su
propio conocimiento mediante un complejo proceso
interactivo en el que intervienen tres elementos claves:
los alumnos, el contenido y el profesor que actúa como
el facilitador y mediador entre ambos
Vigostky manifiesta que el aprendizaje cooperativo
requiere de grupos de estudio y trabajo. En primera
instancia, porque es en el trabajo en grupo donde los
docentes y los alumnos pueden cooperar con los menos
favorecidos en su desarrollo cognitivo, tener acceso al
conocimiento ó mejorar sus aprendizajes.
III. FUNDAMENTO DEL TRABAJO COOPERATIVO
1. En el aprendizaje por desequilibración.
2. En la teoría del conflicto sociocognitivo.
3. En el incremento del rendimiento académico.
III. FUNCIONES BÁSICAS PARA LA COOPERACIÓN EN
EL APRENDIZAJE POR PARTE DE LOS ALUMNOS
TRABAJANDO EN UN PEQUEÑO GRUPO
COOPERATIVO
1. Ponerse de acuerdo sobre lo que hay que
realizar.
2. Decidir cómo se hace y qué va a hacer cada
cual.
3. Discutir las características de lo que realiza o ha
realizado cada cual, en función de criterios
preestablecidos por el profesor.
4. Considerar cómo se complementa el trabajo.
5. Valoración en grupo de los resultados, en
función de los criterios establecidos con
anterioridad.
V. ESTRATEGIAS Y ACTUACIONES
Método de trabajo con los alumnos.
El trabajo se desarrolla del siguiente modo:
Se selecciona a los alumnos candidatos a ser monitores
y se forman los grupos de trabajo de alumnos en función
de los siguientes criterios:
Rendimiento escolar. Obtenido de las
calificaciones de las distintas materias
especialmente de matemáticas.
Alumnos con bajo rendimiento.
Sexo de los alumnos.
Nivel de solidaridad.
Alumnos solidarios.
Alumnos insolidarios.
La valoración de los alumnos se realiza mediante
dilemas, cuestionarios y análisis socio métricos
proporcionados por el Departamento de
Psicopedagogía.
Se selecciona el material lúdico con el que se va a
trabajar dependiendo del semestre al que se va a apoyar.
En el primer y segundo semestre se trabaja con
materiales como el tangram para mejorar el
razonamiento espacial así como con los siguientes
dominós: de fracciones, prioridad de operaciones,
ecuaciones, teorema de Pitágoras, etc.
ISBN: En trámite 89
Mediante el material lúdico se fomenta el cambio de
actitud de los alumnos hacia las matemáticas, haciendo
la matemática más divertida ya que se pretende que los
alumnos aprendan jugando con los materiales que
pueden manipular y con el apoyo de los alumnos de
semestres más avanzados se socializa el conocimiento.
VI. RESULTADOS
En la cooperación entre iguales el que explica o ayuda a
otro a resolver un problema tiene más posibilidades de
hacerse entender que el "adulto profesor" puesto que él
ha pasado "menos tiempo" por la misma dificultad que
el compañero tiene y por eso puede "entender mejor"
sus dificultades.
1. En la cooperación que se crea para resolver el
problema cada alumno/a del grupo puede observar
gran variedad de estrategias, procedimientos,
habilidades y técnicas que los otros utilizan para
intentar resolver dicho problema.
2. Se salvan las circunstancias sociales que impiden
una inclusión de alumnado que es "diferente" del
resto del grupo, se coopera de una forma "natural"
con él o ella.
3. Autonomía individual y de grupo. Se resuelven
dificultades con un buen grado de autonomía
individualmente y en grupo, se asumen las
responsabilidades individuales dentro del grupo y las
colectivas del grupo como tal, coordinar o colaborar
en la coordinación del grupo (relación y cooperación
recíproca, participación, intervención adecuada
dentro del grupo…)
4. Cumplimiento de compromisos: responsabilidad en
la tarea (compromiso y esfuerzo)
5. Actitud de comunicación (escuchar, respetar la
opinión del grupo, mostrar tolerancia) y capacidad
de comunicación (visionar e interpretar – saber
manejar la información-, saber utilizar la expresión
comunicativa y emocional).
VII. CONCLUSIONES
Aunque nuestra experiencia práctica es corta en
aprendizaje Cooperativo y el material Lúdico, vemos
que es una metodología que nos aporta mejora en el
aprendizaje de los alumnos que se implican en él, en
términos de:
Motivación por la materia
Actitudes de implicación y de iniciativa
Grado de comprensión de lo que se hace y del
porque se hace
Volumen de trabajo realizado
Calidad del mismo
Relación social en el aprendizaje
VIII. REFERENCIAS
[1] Bertha Patricia Legorreta Cortés, Ma. De Lourdes
Hernández. ―Lineamientos y Tips para el trabajo
colaborativo‖ Julio 2009
[2] Jenny Oviedo, Zayra Méndez ―Hacia una nueva
metodología de la enseñanza de la Matemática‖
[3] Disponible en: http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/Libros/Ciencia%20y%20
Tecnologia/EducacionyCiencias/JennyOviedoZayraMende
z.html.
[4] Johnson, David W. ―Aprendizaje Cooperativo en el aula‖
Índice
ISBN: En trámite 90
¿Qué es un Tensor? Una Aplicación Física.
E. Cabrera Montaño
Instituto Tecnológico de Pachuca
Departamento de Ciencias Básicas.
Carretera México – Pachuca, Km 87.5.
Pachuca, Hgo, México. C. P. 42080
Resumen.- El concepto de tensor surge como una
necesidad de representar objetos con un número de
componentes mayores a tres, que permanecían invariantes
al cambiar el sistema de referencia. Esta característica de
invariancia fue la clave para su aplicación en el mundo
físico, donde muchas cantidades o fenómenos presentan
esta característica por lo que tienen como representación
natural a los tensores.
El concepto de “invariancia” está muy ligado con el
desarrollo del Análisis Tensorial”, por lo que en el artículo
se presenta un ejemplo de invariancia fácil de entender, en
R2. También se mencionan tres formas de enfocar un
tensor (como operadores, con subíndices, como campos).
Luego, se presenta como ejemplo clásico el “tensor de
esfuerzos” con su transformación correspondiente en las
direcciones principales.
Palabras Clave.- Tensor; invariancia; Análisis Tensorial;
Transformación
I.- INTRODUCCIÓN
Los tensores son una extensión del concepto de
vectores. Como en el caso de los vectores, la
importancia de los tensores para la solución de
problemas de ingeniería deriva de su invariancia bajo
transformaciones admisibles de coordenadas. No solo
son los propios tensores invariantes bajo tales
transformaciones, sino que también la forma de sus
ecuaciones permanece inalterada.
El uso del cálculo tensorial está indicado cuando
encontramos problemas para los que existe una relación
física que es independiente de los sistemas coordenados.
Bajo tales circunstancias, los tensores nos permiten
tratar con invariantes que tienen más componentes que
los vectores. Por ejemplo, en el espacio tridimensional,
un vector puede tener a lo sumo tres componentes,
mientras que un tensor de segundo orden puede tener
nueve componentes y un tensor de tercer orden,
veintisiete componentes.
Un tensor está representado en un sistema de
referencia particular, mediante un conjunto de funciones
llamadas componentes, igual que un vector está
determinado mediante sus propias componentes en un
sistema dado. El que un conjunto dado de funciones
represente un tensor depende de la ley de
transformación de estas funciones de un sistema de
coordenadas a otro. En un sistema de referencia dado,
un vector A está determinado mediante un conjunto de
componentes Ai . Si introducimos un nuevo sistema
coordenado, el mismo vector A está determinado por un
conjunto de componentes Bi , y estas últimas están
relacionadas con las antiguas mediante cierta ley. Es la
ley de transformación de componentes lo que
caracteriza la esencia del vector y lo mismo ocurre con
los tensores.
El siguiente ejemplo muestra lo que se afirma en el
párrafo anterior. Se tienen dos sistemas de coordenadas
rectangulares bidimensionales rotadas 45o
(un negro y el
otro rojo). Figura 1.
II. MARCO TEÓRICO
Para representar geométricamente los esfuerzos se
requiere algo más que un vector, ya que a través de un
punto hay infinitos esfuerzos, uno para cada elemento
de superficie trazado idealmente por el punto mismo. La
representación adecuada para esto es el tensor de los
esfuerzos por medio del cual se muestra que con sólo
conocer tres de los infinitos esfuerzos, correspondientes
a tres elementos de superficie mutuamente ortogonales,
se pueden calcular todos los demás.
ISBN: En trámite 91
Se sabe que a cada elemento dS de superficie trazado
idealmente a través de un punto P interior a un medio
continuo, es posible asociar un vector que representa el
esfuerzo T que actúa sobre él (Fig. 2). En tal sentido, T
resulta función de dS y podría escribirse T(dS). Pero
esta notación resulta ambigua, debido a que dS, siendo
un escalar, no nos informa acerca de la orientación, en
el espacio, del área elemental que representa. Se ha
convenido, por lo tanto, considerar a una de las caras del
elemento como positiva y negativa la otra, siguiendo
alguna regla, y luego trazar a través del punto P,
normalmente al elemento dS y en dirección positiva, un
vector unitario n. Este vector n ofrece una
representación completa del elemento dS , porque
representa con su punto de aplicación, el centro del
elemento, y con su orientación, la orientación del
elemento mismo que le queda perpendicular. Entonces,
el esfuerzo T puede expresarse ahora mediante T(n).
Figura 2
III. ESTADO DE TENSIÓN EN UN PUNTO.
TENSOR DE TENSIÓN
(Una aplicación física)
En un punto arbitrario P de un medio continuo, el
principio de tensión de Cauchy asocia un vector tensión
ti(n)
a cada vector normal unitario ni, el cual representa
la orientación de un elemento de superficie infinitesimal
que contiene a P como un punto interior. La totalidad
de todos los pares posibles de tales vectores definen el
estado de tensión en ese punto. Afortunadamente, no es
necesario especificar cada par de vectores, tensión y
normal al plano, para describir completamente el estado
de tensión en un punto dado. Esto se puede conseguir
especificando el vector tensión en cada punto de tres
planos perpendiculares entre sí que se cortan en P.
Entonces, las ecuaciones de transformación de
coordenadas sirven para relacionar al vector tensión de
cualquier otro plano que pase por el punto, con los tres
planos dados.
Eligiendo planos perpendiculares a los tres ejes
coordenados con el propósito de especificar el estado de
tensión en un punto, los vectores tensión y normal
adecuados se representan en la Fig. 3.
Figura 3
Por comodidad, los tres diagramas separados de la
Fig. 3 se suelen combinar con frecuencia en una
representación esquemática sencilla como se indica en
la Fig. 4.
Cada uno de los tres tensores tensión, están asociados a
los planos coordenados, se pueden escribir en función
de sus componentes cartesianas como:
Las nueve componentes del vector tensión tj(ei)
=
son las componentes de un tensor cartesiano de
segundo orden conocido como TENSOR DE
TENSIÓN. La representación matricial del tensor toma
la forma:
ISBN: En trámite 92
Respecto a los tres planos coordenados, las
componentes del tensor de tensión se pueden
representar gráficamente como se ve en la Fig. 5
Se puede mostrar que, en general las tres componentes
del vector tensión se pueden escribir con la ecuación
inicial siguiente:
La ecuación [ ] se puede escribir con la notación
matricial como
[
( )
( )
( )
] = [
] [
] [ ]
donde , , , se llaman tensiones normales y
, , , , , se llaman tensiones
cortantes.
IV. TENSIONES PRINCIPALES. INVARIANTES
DE TENSIÓN.-
En general, el vector tensión ti(n)
y el vector unitario
normal n , en la ecuación [ ] no están en la misma
dirección. ¿Habrá alguna dirección de n para la cual
ti(n)
tiene la misma dirección?. Bajo esta condición, estos
dos vectores difieren en un escalar, por lo que se puede
escribir
ti(n)
= [ ]
Estas direcciones se denominan direcciones principales
y los escalares se denominan valores principales.
Como ti(n)
= , sustituyendo en la ecuación
[ ] , se obtiene
( ) [ ]
La ecuación [ ] representa un sistema de tres
ecuaciones lineales homogéneo con cuatro cantidades
desconocidas que son los cosenos directores y el
valor de tensión principal . Para que las soluciones de [ ] sean no triviales, el determinante de coeficientes
debe ser cero.
| | = 0 [ ]
O equivalentemente
|
| = 0
Que desarrollando da un polinomio cúbico en
[ ]
Donde I, II, III son conocidos como primer, segundo
y tercer invariantes de tensión. Las tres raíces reales de [ ] son los valores de las tres tensiones principales.
Asociada a cada tensión principal, hay una dirección de
tensión principal. Cuando nos referimos a las
direcciones de tensión principales, la matriz de
tensiones [ ] es una matriz diagonal.
[ ] = [
( )
( )
( )
]
V. REFERENCIAS
[1] BELL, E. T. ―Historia de las Matemáticas‖. Segunda Edición,
1985. Fondo de Cultura Económica.
[2] SOKOLNIKOFF, Y. S. ―Análisis Tensorial. Teoría y
Aplicaciones a la Geometría y Mecánica de los Medios
Continuos‖. Primera Edición, 1976. Editorial LIMUSA.
[3] MASE, GEORGE E. ―Mecánica del Medio Continuo‖.
Primera Edición, 1977. Editorial Mc Graw-Hill (Serie de
compendios Schaum)
Índice
ISBN: En trámite 93
La Variación de Coeficientes en la Graficación de
Funciones Lineales. Una estrategia para el Desarrollo
de Habilidades para el Aprendizaje de las Matemáticas
H. V. Tovar Alvarado
Instituto Tecnológico de Pachuca
Curso de Cálculo Diferencial
Carretera México – Pachuca, Km 87.5.
Pachuca, Hgo, México. C. P. 42080
Resumen—La Variación de Coeficientes en el proceso
de graficación de funciones lineales, se presenta en este
artículo como una estrategia de enseñanza de las
matemáticas cuya finalidad es la desarrollar en el
estudiante las habilidades requeridas para el aprendizaje
de los contenidos del curso de Cálculo Diferencial;
específicamente en la primera unidad: Funciones. El
objetivo es el de potencializar las competencias de los
estudiantes enfocando dicho proceso al aprendizaje en
busca de significados; los cuales permitirán comprender,
reflexionar y aplicar los nuevos conocimientos adquiridos
en situaciones específicas o problemas particulares. La
metodología promueve el aprendizaje personal del
estudiante, generando una estructura de conocimiento que
permite definir estrategias que lo conducen a niveles de
auto aprendizaje, incluso utilizando la estrategia en
materias afines. Como resultado de su aplicación, la
técnica se instrumenta como un curso propedéutico
denominado Habilidad Matemática, mismo que se ofrece a
los candidatos de ingreso a nivel superior.
Palabras clave— Función Lineal, variación, coeficiente,
constante, desplazamiento vertical, inclinación, pendiente,
aprender, aprendizaje significativo, proceso de aprendizaje.
I. INTRODUCCIÓN
Uno de los principales cuestionamientos en el
proceso de enseñanza de las matemáticas es el de ¿cómo
hacer para que mis estudiantes aprendan? Los nuevos
modelos educativos promueven en la actualidad el
desarrollo de competencias profesionales en nuestros
estudiantes; lo cual conduce a reflexionar sobre dos
nuevas situaciones que se involucran irremediablemente
ante este requerimiento. La primera se refiere a las
características o perfil que debe tener el docente que
cumpla cabalmente con este cometido, y en segundo
lugar, las estrategias de enseñanza que se deben diseñar
para satisfacer esa premisa. Por tal razón, es innegable
que en la búsqueda de la generación de competencias
profesionales en los estudiantes, va implícita la idea de
contar con docentes competentes para cumplir con este
objetivo. La puesta en práctica del modelo educativo
debe entonces involucrar la actualización de los
docentes que participen activamente en nuestras
escuelas. La capacitación de los profesores es un factor
de vital importancia, los cursos de formación docente y
actualización de conocimientos son elementos que
deben integrarse a las actividades cotidianas del
profesor.
Si consideramos que en los programas de formación
docente se destaca que el compartir experiencias entre
los profesores, enriquece las posibilidades de un mejor
desarrollo de la práctica docente; involucrándolos en el
diseño de nuevos instrumentos y estrategias de
enseñanza que al combinarlos con la experiencia propia,
propicia como resultado un docente comprometido y
con las competencias necesarias para cumplir con los
requerimientos de este nuevo modelo de aprendizaje. El
presente artículo pretende cumplir con ese cometido.
La experiencia obtenida al haber aplicado como
estrategia de enseñanza a la variación de coeficientes en
la graficación de funciones lineales, ha permitido
verificar que el aprendizaje no es instantáneo, que debe
ser comprendido como un proceso, el cual inicia con un
aprendizaje previo y culmina con la aplicación del
conocimiento en la solución de problemas inherentes al
mismo, y que al interior de estos dos elementos los
profesores interactúan con los estudiantes diseñando
estrategias de enseñanza para el desarrollo de
habilidades de aprendizaje; dando lugar a un proceso
que genera aprendizaje significativo.
ISBN: En trámite 94
II. PARTE TÉCNICA DEL ARTÍCULO
La estrategia de enseñanza ―variación de coeficientes
en la graficación de funciones lineales‖ requiere del
planteamiento de diferentes momentos para su
desarrollo:
A.- Aprendizaje previo.
Son conocimientos que presumiblemente el alumno
cuenta con ellos, es necesario verificarlo, en el caso de
no ser así, aportarlos antes de iniciar con la propuesta de
enseñanza. Estos conocimientos son:
La ecuación de la recta en su forma bmxy
La interpretación gráfica y sus elementos
Fig. 1. Gráfica de una recta
( m ) Pendiente de la recta
12
12
xx
yym
(1)
( b ) Ordenada al origen (cruce con el eje y)
B.- Inicio del proceso de enseñanza.
Se describe a las funciones lineales como aquellas
funciones en las que la variable independiente x está
elevada a la primera potencia.
Se procede a presentar la expresión más simple
referente a ese concepto: xxf , inmediatamente se
solicita elaborar su gráfica. Para tal efecto; es
importante recurrir a un contexto numérico o evaluación
de la función: Tabla I
EVALUACIÓN DE LA FUNCIÓN f(x) = x
x y
-3 f(-3)= -3
-2 f(-2)= -2
-1 f(-1)= -1
0 f(-0)= 0
1 f(1) = 1
2 f(2)= 2
3 F3)= 3
Se procede a la elaboración del gráfico
Fig. 1 Gráfica de la función f(x) = x
Fig. 2. Gráfica de la función f(x) = x
A continuación se procede a comparar las tres
diferentes formas de describir a la función: El contexto
algebraico, el contexto numérico y el contexto gráfico,
con la finalidad de determinar los diferentes
significados que permitirán el inicio de la estrategia en
la parte de generación de aprendizajes con significados.
Iniciamos comparando los comportamientos numérico y
gráfico.
Algunos de los significados que se espera se
presenten, son los siguientes. (en esta parte es esencial
la participación de los estudiantes)
Tabla II
COMPARACIÓN (GRÁFICA - TABLA )
TABLA GRAFICO
A cualquier valor de x
asignado
Le corresponde el mismo
valor a y
Si x avanza ( - + ) ,
y también avanza ( - + )
La gráfica se comporta de
manera creciente
Si x=0, también y=0 Cruza o pasa por el origen
Una vez que se ha realizado la comparación
anterior, se procede a establecer una relación entre la
ecuación de la recta y la función estudiada.
Primeramente es necesario establecer que ambas
expresiones representan la misma formulación, las dos
son rectas.
bmxy xxf )(
Pudiera ser necesario reescribir la segunda expresión en
la forma:
01)( xxf
Cuando los estudiantes verifican la similitud en cuanto a
la forma de escritura, se puede establecer una breve
tabla de equivalencias:
ISBN: En trámite 95
Se puede establecer que la figura
es un cuadrado y que la recta
que lo cruza es su diagonal
Tabla III
TABLA DE EQUIVALENCIAS
y f(x)
m 1
b 0
En otras palabras se puede decir que en la función
estudiada la pendiente tiene un valor de 1 y la ordenada
al origen es 0.
La siguiente parte del proceso es la más importante,
ya que promueve la relación de la expresión algebraica
de la función con los significados encontrados en la
Tabla II y los conocimientos previos.
Se presenta la función 01)( xxf
De la Tabla III tenemos que m=1, entonces:
a) Considerando una parte de la gráfica de la
función, se puede establecer:
1
12
12
12
12
m
xx
yym
Fig. 3. Parte de la grafica de la función f(x)
Esto permite comprobar lo que se estableció con
anterioridad, pero además le proporciona un soporte
excelente para generar más significados:
Cuando la función se define: f(x) = 1 x ,
entonces:
La pendiente es igual a 1
La función es creciente
Mientras x avanza 1, y avanza 1
b) Si además involucramos el aspecto geométrico:
1
1
Fig. 4. Interpretación geométrica de la función f(x) = x
El significado que se desea generar es:
Si m = 1, entonces el ángulo de la recta es de
45º
Por otra parte, si se desea analizar el valor de b (el
cruce con el eje y), se puede relacionar lo antes
establecido, es decir:
De la Tabla I y de la Fig. 2, se tiene:
El significado que se desea reafirmar es:
Si b = 0, entonces la gráfica cruza por el
origen de coordenadas
C.- Variación de Coeficientes.
En la función: 01)( xxf , se puede describir
utilizando un lenguaje algebraico, según la Tabla III:
f(x) Denominación
m=1 COEFICIENTES
DE LA FUNCIÓN b=0
En tal sentido, los significados anteriores ahora toman
una formulación especial:
m Es el coeficiente de la variable x
b Es el coeficiente que se incorpora a la función
(término independiente)
La función entonces puede ser descrita de la siguiente
manera:
bxmxf )(
Donde se cumple que: m, b son números reales
Aplicando la estrategia de variación de coeficientes
ocurre:
Si: m varía y b se mantiene constante
El significado que se pretende encontrar es el de: EL
ÁNGULO DE LA FUNCIÓN NO ES DE 45º
x y
-3 f(-3)= -3
-2 f(-2)= -2
-1 f(-1)= -1
0 f(-0)= 0
1 f(1) = 1
2 f(2)= 2
3 F3)= 3
(2,2)
)
(1,1)
)
ISBN: En trámite 96
Los dos casos que se pueden ilustrar son los siguientes:
CASO 1
Cuando m > 1
3 31
3
12
12
m
xx
yym
1
El ángulo es mayor de 45º
CASO 2
Cuando 0 < m < 1
1
3
1
3
1
12
12
m
xx
yym
3
El ángulo es mayor de 0º pero menor de 45º
En este sentido, si el estudiante es enfrentado a
establecer significados de una función como:
03)( xxf
Su reacción pretendería ser:
No tiene un ángulo de 45º
El ángulo es mayor de 45º
No se forma un cuadrado
Cuando x avanza 1, y avanza 3
La gráfica se presenta a continuación:
Fig. 5. Gráfica de una función con m=3
Si el estudiante es enfrentado a establecer significados
de una función como:
03
1)( xxf
Su reacción pretendería ser:
No tiene un ángulo de 45º
El ángulo es menor de 45º
No se forma un cuadrado
Cuando x avanza 3, y avanza 1
La gráfica se presenta a continuación:
Fig. 6. Gráfica de una función con m=1/3
En conclusión, el estudiante debe inducir un
resultado acerca de los efectos que produce el hecho de
variar el valor del coeficiente m, el cual puede
formularse de la siguiente manera:
Cuando m varía, cambia el ángulo de
inclinación de la recta.
La interpretación gráfica deseable en los estudiantes
sería la siguiente:
Fig. 7. Resumen de gráficas con variación de m
f(x) = m x + 0 ( m > 1)
f(x) = m x + 0 ( 0 < m < 1)
ISBN: En trámite 97
A continuación, aplicando la estrategia de variación de
coeficientes, ocurre:
Si: b varía y m se mantiene constante
El significado inmediato que se pretende encontrar es el
de: NO CRUZA POR EL ORIGEN.
En este sentido, si el estudiante es enfrentado a
establecer significados de una función como:
21)( xxf
Su reacción pretendería ser:
Cruza por 2 en el eje y
La gráfica se presenta a continuación:
Fig. 8. Gráfica de una función con b=2
Si por otra parte el estudiante es enfrentado a establecer
significados de una función como:
21)( xxf
Su reacción pretendería ser:
Cruza por -2 en el eje y
La gráfica se presenta a continuación:
Fig. 9. Gráfica de una función con b= -2
En conclusión, el estudiante debe inducir un
resultado acerca de los efectos que produce el hecho de
variar el valor del coeficiente b, el cual puede
formularse de la siguiente manera:
Cuando b varía, se produce un
desplazamiento de la función en forma
vertical sobre el eje y
La interpretación gráfica deseable en los estudiantes
sería la siguiente:
Fig. 10. Resumen de gráficas con variación de b
D.- Verificación del aprendizaje.
Se puede plantear el caso de cuestionar a los estudiantes
acerca de la posibilidad de variar los dos coeficientes al
mismo tiempo. Es decir:
Si m varía y b varía
Se puede enfrentar al estudiante al problema de graficar
la función:
32)( xxf
Los significados esperados serían:
Cruza por el valor 3 en el eje y
Mientras x avanza 1, y avanza 2
La habilidad desarrollada esperada para la graficación
sería:
f(x) = 1 x + b
f(x) = 1 x - b
2
1
3
ISBN: En trámite 98
E.- Nuevo conocimiento.
Al llegar a este momento del proceso, se puede inferir
que los estudiantes han aprendido un nuevo
conocimiento y al mismo tiempo, nuevas habilidades y
estrategias de aprendizaje, las cuales serán integradas a
su estructura de conocimiento, enriqueciendo el
conocimiento previo con el que iniciaron el desarrollo
de esta situación de aprendizaje.
En otras palabras, se puede decir que los estudiantes han
construido nuevo conocimiento y han desarrollado
habilidades para aprender significativamente por si
mismos.
Pero, ¿cómo puedo saber si de verdad han aprendido?
El siguiente y último momento de la estrategia de
enseñanza es el de verificar si los estudiantes muestran
las competencias necesarias para resolver situaciones o
problemas particulares. Para cumplir con ese objetivo,
se sugiere enfrentar a los estudiantes a las siguientes
situaciones:
1.- Utilizar la estrategia de variación de coeficientes en
el análisis de la función:
xxf )(
2.- Utilizar la estrategia de variación de coeficientes
parta ocasionar desplazamientos verticales a la función:
2
)( xxf
Los resultados obtenidos permitirán al docente
establecer los alcances de la estrategia respecto al
aprendizaje generado en sus estudiantes, permitiendo la
posibilidad de repensar y reflexionar acerca del uso de
nuevas estrategias de enseñanza para el desarrollo de
habilidades en el aprendizaje de las matemáticas.
IX. AGRADECIMIENTOS
Mi reconocimiento al Dr. Francisco Cordero Osorio.
CINVESTAV. IPN. Quien indujo al proceso de
investigación acerca de situaciones didácticas utilizando
como marco teórico de referencia el proceso de
variación de coeficientes como un argumento del
cálculo.
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