Memorias III Seminari Nacional Resolución de Problemas

Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo Facultad de Ciencias Fsico Matemticas rea de Matemtica Educativa

Memorias XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas III Seminario Nacional sobre resolucin de problemas y el aprendizaje de las matemticas11, 12 y 13 de Agosto de 2010, Ciudad Universitaria. Morelia, Michoacn

Comit Editorial Armando Seplveda Lpez Jess Roberto Garca Prez Luz Manuel Santos Trigo Fernando Barrera Mora Aarn Snchez Reyes

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas

Ctese como: Seplveda, L. A., Garca, P. R., Santos, T. L. M., Barrera, M. F., Snchez, R. A. (Eds.). (2010). Memorias. XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas, III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas, Morelia: UMSNH.

Editores: Armando Seplveda Lpez Jess Roberto Garca Prez Luz Manuel santos Trigo Fernando Barrera Mora Aarn Snchez Reyes

rea de Matemtica Educativa de la Facultad de Ciencias Fsico Matemticas de la Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo. Francisco J. Mjica s/n, Edificio D, planta baja, Ciudad Universitaria, Morelia, Michoacn, Mxico. Fax: (443) 3262146 Ext. 130

Copyright Todos los derechos reservados Certificado en el Registro Pblico del Derecho de Autor: 03-2006-082215233400-01ISBN: 970-95130-0-5

Impreso en el rea de Matemtica Educativa, UMSNH. Morelia, Michoacn

XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas

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III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas CONTENIDO I. II 1. 2. Presentacin Conferencias y Reportes de investigacin Reconstruyendo un marco conceptual en la resolucin de problemas que incorpore el uso de herramientas computacionales. Manuel Santos Trigo. Herramientas virtuales: medios poderosos para favorecer el entendimiento de ideas matemticas y competencias en resolucin de problemas. Juan Estrada, Enrique Arenas. La relacin entre conocimiento conceptual y la habilidad para usarlo en la resolucin de problemas: experiencias con profesores de nivel medio superior. Csar Cristbal Escalente, Vernica Vargas. Introduccin al Clculo integral mediante el clculo del rea de regiones planas. Hctor Surez Alfaro. El papel del profesor en el desarrollo de competencias matemticas mediante resolucin de problemas. Vernica Vargas, Csar Cristobal Escalante. El posgrado de Matemtica Educativa en la UAEM. Enrique Vega Villanueva. La formacin de profesores de matemticas: el caso del nivel medio superior. Csar Cristbal Escalente. Formacin de profesores y uso de tecnologa. Aarn Reyes Rodrguez. Formacin de profesores y uso de tecnologa en la Educacin Matemtica. Marcos Campos Nava. Acerca de la existencia de programas de formacin de profesores de matemticas de bachillerato. Ignacio Morales Gonzlez. Algunas caractersticas de actividades de aprendizaje con tecnologa. Fernando Barrera Mora, Aarn Reyes Rodrguez. La enseanza del lgebra en el bachillerato con Geogebra. Armando Seplveda, Diana I. Seplveda, Roberto Garca. La enseanza de la Geometra euclideana en el bachillerato con Cabri. Armando Seplveda Lpez. Curso de Clculo infinitesimal para el bachillerato. Ismael Arcos Quezada. Geometra dinmica para el bachillerato: un enfoque de ambientes de con Cabri. Eugenio Daz Barriga Reflexiones en torno a la tarea, la tcnica y la teora en un ambiente de resolucin de problemas algebraicos. Jos Guzmn Hernndez. Resolucin de problemas de olimpiada. Mara Luisa Prez Segui. Pgina 4 6 7

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3.

27 48 54 63 64 68 71 73 74 78 79 99 112 127 131 136 138 Pgina 3

4. 5.

III Mesas de discusin 1. 2. 3. 4. 5.

IV Talleres (Cursos cortos) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.



I. Presentacin


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III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas Presentacin Un propsito fundamental de la celebracin de este evento conjunto III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas y XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas es disminuir la distancia existente entre el trabajo que realizan los investigadores en educacin matemtica y el trabajo cotidiano que hacen los profesores de matemticas en el saln de clases. Si bien es cierto que la investigacin es el motor que genera, bsicamente, el avance y desarrollo de toda disciplina, tambin es cierto que la investigacin adquiere sentido cuando aparece relacionada con situaciones que, en ese momento, enfrenta el profesor en el aula. Los esfuerzos del rea de Matemtica Educativa de la Facultad de Ciencias Fsico Matemticas, de la Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo, hacen posible llegar a este XVIII Encuentro de Profesores Matemticas que, en esta ocasin, da cobijo al Seminario Nacional con la idea de contribuir al mejoramiento de la enseanza y el aprendizaje de las matemticas, preferentemente, en el nivel medio superior mediante la actualizacin e intercambio de experiencias de los profesores de matemticas, a travs de tres conferencias, cuatro reportes de investigacin, dos mesas de discusin, una mesa redonda; as como la imparticin de ocho talleres o cursos cortos impartidos por especialistas. El tema que se tendr presente durante el desarrollo de las actividades, ser el de la formacin de profesores, como continuacin de los dos primeros Seminarios Nacionales que se han llevado a cabo hasta la fecha, algunas de cuyas interrogantes que se tomaron en cuenta para la elaboracin de las agendas respectivas son: qu es la resolucin de problemas como propuesta de aprendizaje de las matemticas?, cul es el papel del empleo de herramientas computacionales en el desarrollo del conocimiento matemtico de los estudiantes?, cul es el papel del profesor cuando se disean actividades de aprendizaje en el marco de la resolucin de problemas?, qu tipo de competencias matemticas requiere un profesor para matematizar el aprendizaje de los estudiantes? Finalmente, dos de las preguntas relacionadas con las anteriores y que an estn vigentes son: quines deben participar en la formacin y actualizacin de los profesores de matemticas?, cmo deben incorporar los profesores de matemticas las herramientas tecnolgicas de manera que se considere la resolucin de problemas como el aspecto primordial para lograr el aprendizaje? Esperamos que el desarrollo de las actividades de este evento conjunto y el contenido de estas Memorias sean de utilidad para los profesores de matemticas, y siembren la inquietud por incorporar algunas de las propuestas y reflexiones planteadas. Armando Seplveda Lpez


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II. Conferencias, Reportes de Investigacin


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Reconstruyendo un Marco Conceptual en la Resolucin de Problemas que Incorpore el Uso de Herramientas ComputacionalesDr. Manuel Santos Trigo

[email protected] IPN

Resumen Qu se distingue en los acercamientos de resolucin de problemas que incorporan sistemticamente el empleo de diversas herramientas computacionales en el desarrollo del pensamiento matemtico de los estudiantes? En este artculo, se esbozan elementos de un marco conceptual que caracteriza fases que sustentan el uso de las herramientas en la resolucin de problemas. Se aborda la solucin de un problema de variacin para esbozar el marco. Entre los componentes de destacan el acercamiento visual y emprico, la representacin funcional, la bsqueda de diversos caminos para la construccin de un modelo algebraico incluyendo mtodos analticos y geomtricos y la relevancia de contrastar los procesos y estrategias utilizadas en los diversos acercamientos. Summary What are the common mathematical features that distinguish a problem solving approach that fosters the use of computational tools in students development of mathematical knowledge? In this paper, I sketch a conceptual framework that characterizes phases or episodes that support the use of computational tools in problem solving approaches. A task is used to identify elements of the framework that include visual and empirical approaches to explore a functional relation; the construction of an algebraic model by focusing on analytic and geometric approaches; and the relevance of contrasting the use of different processes, resources, and strategies exhibited in all the approaches to the problem. This framework could be used by teachers to structure their problem solving activities.Introduccin

Existen diversas tradiciones o escuelas de pensamiento que permiten sustentar y orientar el desarrollo de proyectos o programas acadmicos en educacin matemtica. Hoyles y Lagrange (2010) reportan que varios programas de investigacin han analizado y discutido el papel que desempea el empleo de diversas herramientas digitales en el aprendizaje de los estudiantes. Se observa adems, que en todos los marcos de investigacin se reconoce que los problemas o tareas matemticas desempean un papel fundamental en la construccin del conocimiento matemtico de los estudiantes. As, los problemas y las formas en que se utilizan en los escenarios de instruccin no son solamente un ingrediente esencial que estructura y gua el desarrollo de las actividades de aprendizaje; sino que tambin el proceso de resolver problemas influye en el tipo de pensamiento matemtico que desarrolla el estudiante al interactuar con los problemas o tareas (Santos-Trigo, 2009b). El Consejo Nacional de Profesores de Matemticas (NCTM, por sus siglas en ingls) (2009) reconoce que para que los estudiantes desarrollen un pensamiento matemtico robusto, estos se deben involucrar en actividades de resolucin de problemas donde tengan la oportunidad de desarrollar distintas maneras de comprender y razonar acerca de un problema o situacin. De manera similar, Schoenfeld (2010) afirma que el currculum puede hacerse ms atractivo e XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 7

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas interesante si este incluye problemas relevantes, que promuevan ms la bsqueda de soluciones con sentido y consideren un acercamiento coherente hacia la construccin de habilidades de resolucin de problemas, no como algo adicional, sino como una parte fundamental de la actividad matemtica. As, se plantea la necesidad de exhibir diversas formas de encontrar el sentido de las ideas matemticas, enunciados de los problemas y soluciones. Cai (2010) establece que slo [la discusin de] los problemas que valen la pena le dan la oportunidad a los estudiantes de solidificar y extender lo que ya conocen y los estimula en sus experiencias de aprendizaje (p. 252). Adems, en la resolucin de problemas se destaca que la construccin del conocimiento matemtico de los estudiantes es un proceso gradual que demanda de los estudiantes un acercamiento inquisitivo hacia los problemas y estudio de los contenidos. En esta direccin resulta importante reflexionar acerca de las formas de razonamiento que los estudiantes construyen en actividades de resolucin de problemas que promueven el empleo sistemtico de herramientas computacionales (SantosTrigo, 2007b). As, el propsito de este artculo es caracterizar las fases y dimensiones relevantes que aparecen en los procesos de resolucin de problemas que se abordan y discuten con el uso de la tecnologa. Es decir, se intenta identificar y esbozar los elementos de un marco conceptual ( Santos-Trigo & Camacho-Machn, 2009)que oriente a los estudiantes en el empleo de las herramientas que los conduzca a una reflexin matemtica en las distintas fases asociadas con la resolucin de problemas. Este marco surge al analizar las formas de solucin que muestran estudiantes al trabajar series de problemas con el uso de herramientas como el software dinmico. La esencia del marco se asocia con la construccin de representaciones dinmicas de los problemas u objetos matemticos; sin embargo, las representaciones numricas de relaciones que se ordenan en una tabla con el uso de una hoja de clculo tambin se pueden explicar con el uso del marco. Antecedentes Kaput (1992) en una revisin del impacto del uso de la tecnologa en la construccin del conocimiento matemtico afirm que las limitaciones mayores del uso de la computadora en las siguientes dcadas seran probablemente menos debidas a las limitaciones tecnolgicas y ms a las limitaciones de la imaginacin humana y a las restricciones [producidas por] de los viejos hbitos y estructuras sociales (p. 515). A casi dos dcadas, la prediccin de Kaput se confirma ya que el desarrollo tecnolgico ha generado herramientas poderosas y fciles de utilizar; sin embargo, las reformas recientes de las propuestas curriculares y las formas de instruccin no han incorporado de manera sustantiva los cambios necesarios que reclaman el empleo sistemtico de las herramientas computacionales. Se observa por ejemplo que las evaluaciones internacionales del aprovechamiento matemtico de los estudiantes no incluyen, en general, evaluar los mtodos y estrategias que aparecen al resolver problemas con el empleo de la tecnologa (PISA, 2006). El uso de las herramientas implica investigar las formas de razonamiento matemtico que se producen durante la comprensin de los conceptos matemticos y en la resolucin de problemas. La existencia de una variedad de herramientas tecnolgicas con distintos potenciales para ser utilizadas en la instruccin matemtica plantea un reto no slo a los profesores (Santos-Trigo, 2010) sino tambin a los investigadores en educacin matemtica en trminos de ofrecer informacin sustentada acerca de cmo utilizar esas herramientas en el desarrollo del pensamiento matemtico de los estudiantes. Es decir, resulta importante conocer el potencial o ventajas reales que puede XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 8

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas ofrecer el uso de determinada herramienta en la construccin del conocimiento matemtico de los estudiantes. Zbiek, Heid, Blume & Dick (2007) distinguen dos tipos de actividad matemtica donde el empleo de herramientas computacionales juega un papel importante: las actividades tcnicas y conceptuales. Las tcnicas se refieren a las acciones sobre los objetos matemticos o sobre sus representaciones como realizar una construccin geomtrica, una medicin, un clculo numrico, una manipulacin algebraica, resolver una ecuacin, recoger datos, ordenarlos, etc. Mientras que una actividad conceptual se refiere a aspectos relacionados con formas de comprender ideas y resolver problemas matemticos. En ese proceso, es necesario que los estudiantes desarrollen recursos que les permita comunicar y buscar conexiones, estructuras y relaciones matemticas. Algunos ejemplos incluyen encontrar y describir patrones, conjeturar, generalizar, abstraer, conectar representaciones, predecir, probar y refutar. Las dos actividades se complementan ya que ambas demandan una actitud inquisitiva por parte de los estudiantes que los conduzca a lograr una articulacin y una justificacin de resultados. Es decir, las actividades tcnicas que se realizan con el empleo de la tecnologa pueden involucrar una combinacin de acciones rutinarias orientadas o justificadas a partir de un razonamiento conceptual. Es evidente tambin que la sola existencia de distintos artefactos no se transforma automticamente en los medios que requieren los estudiantes para utilizarlos de manera eficiente en la resolucin de problemas. Trouche (2004) establece que un instrumento puede y debe ser considerado como una extensin del organismo humano, un rgano funcional constituido de un componente artefacto (un artefacto, o la parte de un artefacto movilizado en la actividad de resolucin de problemas) y un componente psicolgica. Es decir, las caractersticas del artefacto (su ergonoma y limitaciones) y el esquema desarrollado por los estudiantes durante las actividades son elementos cruciales para que los estudiantes transformen el artefacto en un instrumento para resolver problemas o comprender conceptos matemticos. En este contexto, se describen elementos de un marco conceptual que distingue fases relevantes en el empleo de herramientas computacionales en la resolucin de problemas. Los componentes del marco emergen y se sustentan en el anlisis de los procesos de solucin que muestran los estudiantes en actividades de resolucin de problemas que promueven y demandan el empleo de las herramientas. La presentacin del marco se estructura alrededor de la solucin de un problema que involucra examinar un fenmeno de variacin. Este tipo de problemas es representativo de un conjunto de problemas o tareas que se han utilizado en diversos estudios que forman parte de un programa de investigacin sobre la resolucin de problemas y el empleo de herramientas computacionales. Otros ejemplos de este tipo de actividades se encuentra en la pgina: http://www.matedu.cinvestav.mx/~santos/atat/ El problema: Dado un tringulo cualquiera ABC, inscribir un paralelogramo tomando un punto P sobre uno de los lados (AB) del tringulo. Desde el punto P trace una recta paralela a uno de los lados del tringulo (AC). Esta recta interseca el lado BC en Q. Desde Q trace ahora una paralela al lado AB y esta recta interseca el lado AC en R. As el paralelogramo inscrito en el tringulo tiene como vrtices los puntos APQR (Figura 1). Qu es lo que le ocurre al rea del paralelogramo APQR cuando el punto P se mueve a lo largo del segmento AB? Existe alguna posicin para el punto P donde el rea del paralelogramo sea mxima?


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C

R

Q

A

P

B

Figura 1: Inscribir un paralelogramo en un tringulo dado. Elementos del Marco Conceptual Problematizar: Comprensin, sentido y representacin del problema. Polya (1945) reconoce la importancia de que los estudiantes comprendan y discutan el sentido del enunciado del problema o idea matemtica. Es decir, comprender un enunciado o concepto significa examinar y analizar la informacin del problema, identificar los conceptos relevantes y pensar acerca de las formas de representar y explorar el enunciado del problema matemticamente. Con el uso de las herramientas esta fase demanda del estudiante una problematizacin de la actividad. Es decir, que formule una serie de preguntas que lo conduzcan no solo hacia la comprensin y a la bsqueda del sentido de la situacin o problema; sino tambin hacia una construccin de una representacin dinmica del problema. Por ejemplo, algunas preguntas que pueden guiar al proceso de comprensin y representacin del problema incluyen: Qu significa que se d un tringulo cualquiera? Qu informacin es necesaria para construir un tringulo? Existen diferentes maneras de inscribir un paralelogramo en un tringulo? En la figura 1, si desde el punto P ahora se traza una paralela al lado BC (en lugar de AC) , esta paralela corta al lado AC en R y desde ese punto de interseccin se traza una paralela al lado AB la cual interseca al lado BC en Q. As los puntos R, Q, P y B forman ahora el paralelogramo inscrito, cmo es este ltimo paralelogramo comparado con el de la figura 1? Tienen la misma rea? cmo se puede saber y explicar que para diferentes posiciones del punto P sobre el segmento AB, el rea del paralelogramo inscrito cambia? Una Exploracin Visual y Emprica. En esta etapa se resalta la construccin de un modelo dinmico del problema que permite visualizar y cuantificar el comportamiento de los parmetros asociados en el problema (Santos Trigo, 2007). Con el empleo de un software dinmico (Cabri-Geometry o Geogebra) se puede construir un tringulo seleccionando tres puntos (A, B, C) que no estn alineados. Este tringulo ABC en realidad genera una familia de tringulos al cambiar la posicin en el plano de alguno de sus vrtices. Ahora, sobre lado AB del tringulo se identifica el punto P y a partir de este punto se trazan las paralelas correspondientes que llevan a la construccin del paralelogramos PQRA inscrito. Con la ayuda de la herramienta se puede calcular directamente el rea de ese paralelogramo. Adems, XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 10

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas se puede observar que al variar la posicin del punto P el valor del rea asociado al paralelogramo correspondiente cambia. Por lo tanto tiene sentido investigar para que posicin del punto P el paralelogramo alcanza el rea mxima. El uso de la herramienta tambin permite construir grficamente una representacin funcional del problema sin explicitar el modelo algebraico. Esto es, la Figura 2 muestra una relacin entre la distancia del punto P y el valor del rea correspondiente del paralelogramo inscrito. Es decir, para cada posicin del punto P sobre el segmento AB, se le asocia el valor del rea del paralelogramo correspondiente. Adems, esta relacin se puede representar grficamente. Aqu, la distancia del segmento AP se traslada al eje x y el valor correspondiente se traslada al eje y. Las coordenadas del punto S son entonces la longitud del segmento AP y el valor del rea del paralelogramo correspondiente. Con la ayuda del software se puede generar el lugar geomtrico del punto S cuando el punto P se mueve a los largo del segmento AB (Figura 2). Se observa que el dominio de la funcin A(x) es el conjunto de valores que toma la longitud AP cuando P se mueve a lo largo de AB, mientras que el rango de la funcin es el conjunto de valores de las reas correspondientes de los paralelogramos generados al mover el punto P. Resulta relevante mencionar que la representacin grfica de la funcin se construye sin conocer de manera explcita el modelo algebraico que da cuenta de la variacin del rea.y

S C

Ar ea of APQR =

8.58 cm

2

R

Q

Ad( A, B) = d( A, P) = 3.30 cm

P6.60 cm

B1 1 x

Figure 2: Representation and visual exploration of the problem. La representacin grfica genera una solucin emprica del problema ya que al mover el punto P sobre el segmento AB se visualiza que el valor mximo del rea se alcanza cuando el punto P se encuentra a determinada posicin sobre el segmento AB. Al realizar las mediciones correspondientes con la herramienta, se observa que en este caso cuando la longitud del lado AB es 5.60 cm, entonces el valor del rea mxima de los paralelogramos generados (8.56 cm2) se alcanza cuando P se ubica a 2.30 cm del punto A (Figura 2). A partir de esta informacin se puede plantear una conjetura: Cuando el punto P es el punto medio del segmento AB, entonces el paralelogramo correspondiente alcanzar el mximo valor del rea. Grficamente se observa que el comportamiento de las rectas tangentes a la curva para en distintos puntos de la grfica, lo que permite observar que la ordenada (valor del rea) XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 11

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas mxima se obtiene cuando la recta tangente a la curva es paralela al eje x. Es decir cuando su pendiente es cero (Figura 3).y

S C

Area o f APQR = 8.58 c m

2

R

Q

A

Pd(A, B ) = 6.60 c m d(A, P ) = 3.30 c m

B1 1 x

Figura 3: Trazado de rectas tangentes a la curva. Bsqueda de Mltiples Mtodos de solucin. La bsqueda y discusin de diversas formas de resolver un problema representa un aspecto fundamental en el proceso de construir una comprensin conceptual de las ideas matemticas y en el desarrollo de competencias en la resolucin de problemas. En este contexto, el acercamiento visual y emprico son el punto de partida para utilizar diferentes recursos y conceptos que permitan representar y explorar el problema desde perspectivas distintas. As, un objetivo en el tratamiento del problema ser la construccin de un modelo algebraico que permita representar y explorar el problema en trminos de propiedades algebraicas. En esta perspectiva, dos acercamientos guan la construccin del modelo: Uno que se basa en el uso del sistema cartesiano para representar y operar los objetos asociados con el problema, el otro se construye a partir del uso de propiedades geomtricas (tringulos semejantes) que permiten representar las relaciones entre los objetos. A. Acercamiento Analtico. En este mtodo la meta inicial es representar y examinar el problema directamente en trminos algebraicos. Aqu el uso del sistema cartesiano es esencial para representar los objetos de manera simblica. Por ejemplo, sin prdida de generalidad, se puede situar el sistema cartesiano de tal manera que uno de los lados del tringulo coincida con el eje-x y el otro lado se ubique sobre la recta y m1x (Figura 4). El punto D se identifica sobre el lado BC y sus coordenadas son D(x1 ,0).El punto C( x2 ,0) es el vrtice C del tringulo dado (Figura 4). A partir de esta informacin se tiene que:

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Figura 4: Uso del sistema cartesiano para construir el modelo algebraico del problema 1. La ecuacin de la recta AC es y m1 x ; la ecuacin de la recta PQ es y m1 (x x1 ). Esto es porque la recta AC y PQ tienen la misma pendiente (son paralelas). La ecuacin de la recta BC es y m 3 (x x 2 ) . 2. Para obtener las coordenadas del punto Q, se resuelve el sistema de ecuaciones asociado con las rectas PQ y BC. Esto es,

m1 x1 m 3 x 2 , entonces para obtener el m1 m 3 valor de la ordenada y del punto Q se sustituye este valor de x en y m1 (x x1 ). Es decir, m m x x 2 y este valor representa la altura del paralelogramo APQR. Por lo tanto, y 1 3 1 m1 m 3 m1 m 3 x12 x 2 x1 para encontrar su rea, si AP x1 , entonces A(x1 ) . m1 m 3m1 (x x1 ) m 3 (x x 2 ) , de donde se tiene que x m1 m 1 x 2 ) x 3 (2x , ahora, cuando A'(x1 ) 0 , se tiene que x1 2 , por lo tanto la m1 m 3 2 x funcin A(x1 ) tiene un mximo cuando x1 2 . 2 Para el caso particular que se muestra en la Figura 4, se puede utilizar una calculadora para A'(x1 )

3. Para determinar el valor mximo de la funcin rea se tiene que:

determinar la derivada de la funcin rea y el punto donde se evala la funcin para obtener el rea mxima (Figura 5).


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Uso de la calculadora para obtener el valor mximo del caso que se muestra en la figura 4. La Figura 6 muestra la grfica de la funcin rea:

Figura 6: Representacin grfica de la funcin rea. B. Un Acercamiento Geomtrico. En este acercamiento interesa construir el modelo algebraico a partir del empleo de propiedades geomtricas asociadas con los objetos que aparecen en la representacin del problema. Por ejemplo, en la figura 7 se observa que: 1. El tringulo ABC es semejante al tringulo PBQ , esto es porque el ngulo QPB es congruente al ngulo CAB (son ngulos correspondientes) y el ngulo ABC es el mismo que PBQ (criterio AA). Por lo tanto se cumple que:PB QN a x h1 , esto es si AP x y AB a , entonces . Con base en esta ltima AB CM a h h( a x ) igualdad, se tiene que, h1 . a

2.

3.

El rea del paralelogramo APQR se puede expresar como A xh1 , esto implica que,

hx h(a x) . Esta expresin representa A( x) x . De aqu se tiene que: A( x) xh a a una parbola.2


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III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas2h x h , ahora si A' h 2a x 0 , entonces x a / 2 . Se observa que A' ' 0 a para cualquier punto definido en el dominio de A(x) , por lo tanto, cuando x toma ese valor, la funcin alcanza un mximo relativo. A ' ( x) h

4.

C

R

h

Q R R h1

AP = x A x P AB = a

N M B a-x

Figura 7: Uso de propiedades geomtricas en la construccin del modelo algebraico. Episodio de Reflexin. Conviene reflexionar acerca de los procesos matemticos que se exhiben durante las fases de resolucin del problema. En la fase inicial resulta relevante formular y discutir abiertamiente una serie de preguntas que ayuden a comprender y encontrar el sentido asociado con el enunciado del problema (Santos-Trigo, 2008). Esta etapa que se denomina problematizar se caracteriza por la presencia de un mtodo inquisitivo que conduzca al estudiante a identificar la informacin relevante del problema y los conceptos relevantes asociados con los objetos matemticos que aparecen en la representacin. Esta fase proporciona las bases para comenzar a construir un modelo dinmico del problema con el uso de un software dinmico. Este modelo se convierte en un medio interesante para explorar el comportamiento de objetos matemticos (rectas, segmentos, figuras) y atributos (reas, longitudes, etc.) de manera visual y emprica. De hecho, este acercamiento visual resulta esencial para la construccin de una relacin funcional del problema que permite visualizar grficamente el comportamiento del rea de la familia de paralelogramos inscritos. Este proceso permite formular una conjetura acerca de la solucin del problema. Posteriormente, con la ayuda de la herramienta se identifican los elementos necesarios para construir un modelo algebraico del problema a partir de identificar las ecuaciones de algunos objetos del problema. Un aspecto importante en este acercamiento es el empleo del sistema cartesiano. Despus el mismo modelo algebraico que caracteriza la variacin del area de los paralelogramos inscritos se obtiene a partir de utilizar propiedades geomtricas de objetos del problema. Es evidente, que en cada una de las fases que integran este marco de resolucin de problemas se plantean acercamientos al problema que demandan no slo el empleo de diversos conceptos y recursos; sino tambin diferentes formas de operararlos. Por ejemplo, en el modelo visual, la relacin funcional no requiere de una representacin simblica explcita; XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 15

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas sin embargo, el estudiante inmediatamente puede examinar el comportamiento de la representacin grfica de la variacin. En los modelos algebraicos el objetivo es construir un modelo simblico del problema que permita asociar la posicin del punto P con el valor del rea. Los caminos para construir ese modelo algebraico se basan en utilizar conceptos y recursos distintos: Uno involucra el empleo del sistema cartesiano que permite determinar las ecuaciones y elementos relevantes del problema con recursos de geometra analtica; mientras que el segundo acercamiento se sustentan a partir del uso de propiedades de semejaza de tringulo. Los dos acercamientos ofrecen a los estudiantes la oportunidad de conectar los contenidos que aveces estudian de manera separada y que aqu convergen en la bsqueda del modelo algebraico del problema. Referencias Hoyles, C. & Lagrange, J-B. (2010) (Eds). Mathematics education and technology-Rethinking the terrain. The 17th ICMI Study. International Commission on Mathematical Instruction. NY: Springer. Kaput, J. (1992). Technology and mathematics education. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, pp. 515-556. NY: Macmillan. PISA (Programme for International Student Assessment) 2006. Assessing Scientific, Reading and Mathematical Literacy. A Framework for PISA 2006. Paris: Organization for Economic Co operation and Development. Polya, G. (1945). How to solve it. Princeton: Princeton University Press. Santos-Trigo, M. (2007). La resolucin de problemas matemticos: fundamentos cognitivos. Mxico: Trillas. Santos-Trigo, M. (2007b). Mathematical problem solving: An evolving research and practice domain. ZDM - The International Journal on Mathematics Education, pp. 523-536. Santos-Trigo, M. (2008). An inquiry approach to construct instructional trajectories based on the use of digital technology. Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology Education, 4(4), pp. 347-357. Santos-Trigo, M. & Camacho-Machn M. (2009). Towards the construction of a framework to deal with routine problems to foster mathematical inquiry. PRIMUS Journal, 19(3), 260-279. Santos-Trigo, M. (2010). A mathematical problem-solving approach to identify and explore instructional routes based on the use of computational tools. In J. Yamamoto, J. Kush, R. Lombard, & J. Hertzog, (Eds.), Technology implementation and teacher education: Reflective models, pp 208-313. IGI Global: Hershey PA. Schoenfeld, A. H. (2010). Reflections of an accidental theorist. Journal for Research in Mathematics Education, 41(2), pp. 104-116. Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized learning environments: Guiding students command process through instrumental orchestrations. International Journal of computers for Mathematical Learning 9(3): 281-307. Zbiek, R. M., Heid, M.K., & Blume, G. W. (2007). Research on technology in mathematics education. In F. K. Lester, Jr. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 1169-1207). NCTM, Charlotte, NC: Information Age Publishing.


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Herramientas virtuales: medios poderosos para favorecer el entendimiento de ideas matemticas y competencias en resolucin de problemasDr. Juan Estrada M. C. Enrique Arenas [email protected] [email protected] Universidad Nacional Autnoma de Mxico Resumen Se documenta el proceso mostrado por dos estudiantes de ingeniera cuando acometan dos problemas geomtricos usando las herramientas disponibles de un software (Geogebra)El objetivo de la presente investigacin se centr en la cuestin: Hasta qu punto la interaccin de los alumnos en este escenario ayud al entendimiento de las ideas matemticas involucradas en los problemas, identificar propiedades relevantes de los objetos matemticos, establecer conexiones entre ellas, y sobre todo, resolver las tareas? Introduccin Hasta qu punto los escenarios virtuales son fundamentales para el entendimiento de objetos matemticos y promover competencias en resolucin de problemas?, La manipulacin de estos objetos en tales ambientes ayuda a los alumnos a identificar sus propiedades relevantes?, Tambin, Estas acciones sobre los objetos les permite establecer relaciones entre estas propiedades, que son esenciales para la resolucin de los problemas? Las dificultades manifestadas por los alumnos cuando tratan de entender y/o resolver un problema, Son superadas debido a los atributos inherentes de estos escenarios comparados con las caractersticas de un medio esttico (papel y lpiz)? Finalmente, Cul es el papel de un instructor en estos ambientes? Estas interrogantes fueron abordadas en el presente estudio. La lista de investigadores que han examinado estas cuestiones es amplia, por ejemplo, Schoenfeld (1985, 1992, 1988, y 1998) y Santos (2002, 2003, 2006 y 2007), por mencionar algunos. Ambos autores ha hecho contribuciones importantes en el campo. Santos ha estudiado el potencial de las herramientas tecnolgicas en el proceso de resolucin de problemas, lnea de investigacin que sigue el presente trabajo. Objetivo Documentar el proceso mostrado por una pareja de estudiantes de ingeniera cuando acometan dos problemas geomtricos, usando las herramientas de un software (Geogebra). Preguntas de investigacin 1. Hasta qu punto la posibilidad de manipular objetos matemticos en un medio virtual ayudan a los estudiantes a entender ideas matemticas, identificar propiedades relevantes de objetos matemticos, establecer conexiones entre ellas que permiten resolver los problemas propuestos? 2. La interaccin en este tipo de escenarios coadyuv a que los alumnos desplegaran los conocimientos que son necesarios para resolver los problemas? 3. Los pupilos fueron capaces de superar las dificultades que surgieron en el proceso de resolucin de los problemas por la posibilidad de manipular los objetos matemticos que ofrece este tipo de ambientes?


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III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas Marco conceptual Schoenfeld (1985, 2008) seala que una vez que un individuo se compromete a resolver un problema, empieza a desplegar conocimientos y a generar estrategias, las cuales piensa que sern tiles para resolver el problema. Durante el proceso, podra adoptar otras estrategias que sustituiran las iniciales y tambin otro nuevo conocimiento puede ser accesado, hasta que resuelve el problema o el individuo decide abandonar el problema. Esta conceptualizacin resumida de un proceso complejo, sirvi como marco para analizar el proceso de la pareja de estudiantes que participaron en el estudio cuando se les pidi resolver dos problemas. Por otro lado, Schoenfeld (1992) recomienda que cuando se realiza una investigacin en resolucin de problemas, es importante clarificar el punto de vista utilizado sobre este tema en el estudio. As, el presente trabajo se basa en el concepto de Frensch y Funke (1995) denominado Complex Problem Solving (CPS): CPS se presenta para superar barreras entre un estado dado y un deseado estado meta a travs de diversas actividades conductuales y/o cognitivas. El estado dado, estado meta y las barreras que se interponen entre ellos son complejos, cambian dinmicamente durante la resolucin de problemas, y no son transparentes. Al inicio, las propiedades precisas del estado dado, estado meta y barreras son desconocidas a quien trata de resolver el problema. CPS implica una interaccin eficiente entre el individuo y las circunstancias de la tarea, y los aspectos cognitivos, emocionales, personales, sociales y conocimientos que influyen en quien resuelve el problema (Citado en Santos, 2008, p. 525). Las nociones que aparecen en la cita anterior: estado dado, estado meta, barreras y propiedades. En el contexto de nuestro estudio, se interpretan como el problema dado, encontrar la solucin del problema, y dificultades que se presentan en el camino de quien trata de resolver el problema, respectivamente. Las propiedades, son los atributos y las relaciones matemticas involucradas en la situacin. Sin embargo, como seala la definicin CPS, estos aspectos no son transparentes a quien trata de resolver el problema al comienzo. Metodologa El estudio se ubica en una perspectiva cualitativa y de carcter exploratorio. Los participantes fueron dos estudiantes de ingeniera de 18 aos de edad que haban cursado el primer semestre en una Universidad Pblica. Los pupilos trabajaron en pareja y antes de acometer los problemas fueron expuestos a un periodo de familiarizacin con el uso de las herramientas de Geogebra con tareas que involucraban los conocimientos bsicos relacionados con los problemas que abordaran en la experimentacin. Para recolectar informacin, se colocaron dos cmaras de video. Una se situ al frente de la pareja y la otra enfoc la pantalla de la computadora que registr la construccin de las figuras usadas para resolver los problemas. Estas dos vistas permitieron analizar el proceso de manera global y en detalle de los comportamientos de la pareja. La experimentacin fue llevada a cabo en una sola sesin de dos horas. Los investigadores intervinieron en las situaciones en las que los alumnos se atoraban mediante la formulacin de preguntas, para ayudarlos a salir del atasco. Problemas usados en el estudio 1. Considere una parbola y encuentre una construccin geomtrica que localice el vrtice de la curva 2. Considere una circunferencia C con centro en O y un punto P en ella, y una lnea recta L que no interseca a la circunferencia dada. Construir una circunferencia C que sea tangente a la circunferencia C en el punto P y a la recta L (Tomado de Santos, 2007, p. 214) XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 18

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas Discusin y resultados Conocimiento previo: el dimetro de una cnica. La parbola fue dada en la pantalla de la computadora en una posicin vertical desprovista de un sistema coordenado. Para resolver el problema del vrtice de la parbola, es necesario conocer la nocin de dimetro de una seccin cnica, la cual dice que es una lnea recta que pasa por los puntos medios de cualquier familia de rectas paralelas a una recta dada que interseca a la cnica en dos puntos, dicho conjunto de paralelas tambin interseca la curva en dos puntos. La propiedad importante de estos dimetros de cualquier familia de paralelas a una recta dada cualquiera que interseca la cnica en dos puntos es que pasan por el centro de la cnica. En el caso particular de la parbola, el centro est en el punto al infinito, por tanto, los dimetros son paralelos. Uno de estos dimetros cruza el vrtice de dicha curva que constituye el eje de simetra de la curva. Sin embargo, a los alumnos no se le dio esta definicin, se deseaba observar si los alumnos podran descubrir esta propiedad usando las herramientas de Geogebra . A continuacin se describe como la pareja identific esta propiedad. La sesin se inici pidiendo a los estudiantes localizar dos puntos A y B en la curva y unirlos mediante una lnea recta. Es importante comentar que la lnea antes trazada y los puntos de interseccin A y B con la parbola en el ambiente de Geogebra no son objetos estticos, por ejemplo, si se selecciona el punto A B y se mueve sobre la curva, la lnea AB tambin se mueve, en contraste cuando se hace este trazo en medio esttico. Una vez que los pupilos hicieron esta construccin, se les solicit construir tres paralelas al segmento AB que intersecaran a la curva. Luego se les pidi encontrar los puntos medios de estos segmentos paralelos incluyendo el segmento AB usando las herramientas de Geogebra (Figura 1).

Figura 1. Aqu un instructor, pregunta: Qu observan? La Alumna A responde: Los puntos medios siempre van en la misma direccin vertical, van hacia el centro de la parbola, como si estuvieran alineados Instructor: Cmo pueden verificar o mostrar? Alumno B: Escogemos dos cualquiera y trazamos una lnea que pase por estos puntos, la lnea pasar por los otros puntos [Lo verifican usando Geogebra]. Posteriormente se les pidi mover toda la configuracin y comentar lo que notaban. Como ilustracin de las figuras que se generaron se presentan las siguientes (Figura 2 y 3).


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Figura 2.

Figura 3.

Qu propiedades vieron los alumnos al mover la configuracin? Algunos comentarios de los alumnos fueron: Alumna A: Si movemos el punto A todas las rectas siguen siendo paralelas Alumno B: Los puntos medios se mueven y la distancia entre ellos se agranda pero siempre en la misma direccin. No importa como movamos los puntos, las lneas sern paralelas al segmento AB. Hasta este momento, al parecer la pareja no ha notado que el dimetro se mueve paralelo a s mismo, no obstante, que esta propiedad se vea en el monitor. Debido a esto, un instructor pregunta: Qu otras propiedades pueden observar? Los alumnos no aportan nada nuevo a lo ya dicho (Las direcciones van hacia arriba o abajo, etc.,) [La pareja est moviendo la figura la cual oscila como si fuera un pndulo que pasa por la forma simtrica] Advirtiendo que la pareja no muestra un avance, un instructor pregunta: Qu sucede con la lnea que pasa a travs de los puntos medios? Alumna A: Esta lnea se mueve ases como un balanceo [Ella usa un lpiz para mostrar el movimiento de vaivn que realiza el dimetro] (Figura 4). Es importante comentar que el movimiento mencionado si provoca esta percepcin, sin embargo, no abstraen la propiedad matemtica de paralelismo. Bajo la presin del instructor, la alumna se da cuenta de esta propiedad. Esta lnea [el dimetro] siempre se mueve paralelamente a s misma, ah! era tan fcil.

Figura 4. XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 20

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas Tarea: Determinar el vrtice de la parbola. Dada la parbola a la pareja se le pidi encontrar un procedimiento para localizar su vrtice. Es importante puntualizar que a los alumnos no se les dijo que utilizaran la nocin de dimetro recin descubierta. En el proceso de resolucin de la pareja se identificaron dos acercamientos. El primero fue construir un segmento horizontal el cual intersecara la parbola en dos puntos opuestos [simtricos]. Si lograban esta construccin, el siguiente paso sera obtener el punto medio de este segmento y luego trazar una perpendicular a dicho segmento por este punto medio. Conjeturaban que esta perpendicular intersecara la parbola precisamente en el vrtice. Sin embargo, esta no poda prosperar ya que para construirla necesitan precisamente un dimetro. No se intuye que sea posible hacer esta construccin sin usarlo, adems esta horizontalidad requiere un referente y no se tiene, excepto si se introduce un sistema coordenado rectangular, pero el problema demanda una construccin geomtrica no analtica. El segundo acercamiento involucr trazar un dimetro, esto les permiti resolver el problema. Enseguida se describen dichos acercamientos. Primer acercamiento: Construir un segmento horizontal. La alumna A dice: Necesitamos una lnea que sea horizontal [Usa el lpiz como un segmento y lo coloca en una posicin horizontal] (Figura 5). Alumno B: Primero necesitamos trazar dos puntos Alumna A: Pero estos dos puntos debe ser una lnea con pendiente cero Cmo saber que los puntos estn a la misma distancia? [Con respecto al punto medio del segmento horizontal]. La pareja hizo intentos para construir dicho segmento, pero no funcion (Figura 5). Los siguientes comentarios indican este dilema: Los puntos A y B deben estar en un segmento que no est inclinado sino que sea horizontal Si conseguimos esto podemos encontrar el punto medio y construir una perpendicular por este punto, luego conseguimos el vrtice de la parbola. Ante esta dificultad, el alumno B sugiere otras construcciones: Por qu no trazamos un cuadrado o un crculo? Estos intentos tampoco funcionaron. Segundo acercamiento: Construir un dimetro El alumno B sugiere introducir un sistema coordenado. Esta inclusin provoc que la alumna A evocara la nocin de dimetro que la permiti intuir la idea de la solucin, pero expresada no muy claramente: Aj, sabemos lo que vamos hacer? Esta lnea [seala el eje y] era la que obtenamos cuando sacbamos diferentes puntos medios, teniendo esta lnea [el dimetro] ya podemos trazar una perpendicular a esta lnea [al dimetro], y esta siempre va ser perpendicular; y ya podemos trazar el punto medio, si me entiendes? El alumno dice que si, pero no muy convencido. A continuacin se explica como la pareja lleg a la solucin. La pareja traz dos rectas paralelas AB y CD que intersecan la parbola y sus puntos medios y una lnea que pasa por dichos puntos medios [el dimetro], luego trazaron una perpendicular a este dimetro, la cual pasa por el punto de interseccin entre el dimetro y el segmento AB. Sin embargo, cuando movieron uno de los puntos libres A B, toda la configuracin se les movi (Figura 6), excepto que la perpendicularidad entre el dimetro y la lnea perpendicular antes trazada a dicho dimetro se mantiene. Notando esto, la alumna A XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 21

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas dice: Aunque los puntos estn en diagonal [Puntos A y B] estas lneas siempre son perpendiculares. Es decir, el dimetro se mueve. Por tanto, se enfrentan con el problema de construir un dimetro que est fijo e interseque la parbola en el vrtice. Esta dificultad la expresa la alumna A: Esta lnea [dimetro] debe permanecer fija, pero si movemos este punto todo se va a mover, bueno al menos sabemos que estas lneas siempre son perpendiculares. Para que permanezca fija, estas distancias tienen que ser la misma [los puntos opuestos de interseccin entre la perpendicular y la curva respecto al dimetro]. Debido a este escollo, los alumnos intentan otro camino que los aleja momentneamente de la estrategia anterior. Este consisti en tratar de construir una tangente horizontal, pero no funcion, ya que asumen que dicha tangente pasa por el vrtice de la curva, que es precisamente la cuestin por resolver. Ante este fracaso, la pareja regresa a la situacin anterior (aqu bamos) (Figura 6). Empiezan a mover de nuevo la configuracin.

Figura 5.

Figura 6.

En este contexto, los alumnos se percataron de que los puntos de interseccin entre la perpendicular que trazaron al dimetro y la parbola, son puntos extremos de un segmento que siempre permanece horizontal, independientemente del movimiento de la configuracin. Observando esta propiedad, se ilumina en la alumna A la solucin del problema: Ya est! Tenemos que encontrar el punto medio de este segmento, y luego trazar una perpendicular que pase por este punto que pasar por el vrtice [Usan las herramientas de Geogebra y comprueban que la idea funciona] (Figura 7).

Figura 7. XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 22

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas La tarea: Construir una circunferencia tangente a una circunferencia dada en punto P y a una lnea recta que no interseca a la circunferencia dada. Los conocimientos requeridos para resolver este problema son: perpendicularidad, propiedades de la tangencia entre dos circunferencias, las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia tienen la misma longitud y la bisectriz de un ngulo. Estas nociones fueron vistas en el periodo de familiarizacin con las herramientas de Geogebra, excepto que no se explicit una propiedad que fue relevante en la resolucin del problema, a saber, que la lnea que une los centros de dos circunferencias tangentes pasa por dicho punto de tangencia, quizs por suponer que era una intuicin obvia que deban tener los alumnos. Sin embargo, esto no fue as, la alumna A, revel que no tena esta intuicin. Esta deficiencia ocasion dificultades en la solucin del problema, pero fueron superadas por la interaccin con las herramientas y las intervenciones de los instructores. Procedemos a describir los acercamientos de la pareja. Primer acercamiento: El centro se localiza en la prolongacin del radio. La pareja intuy que el centro de la circunferencia buscada podra encontrarse en la prolongacin de la lnea OP (radio) , lo cual es cierto, pero veamos lo que sucedi. La pareja prolong dicha lnea hasta intersecar la recta L denotada por S (Figura 8).

Figura 8. Luego obtuvieron el punto medio (M) de PS y trazaron una circunferencia con centro en M y radio igual a MP, sin embargo, la circunferencia cort la lnea L en dos puntos. Debido a este fracaso, la pareja descart la posibilidad de que el centro se localizaba en la prolongacin de OP (Esta lnea no nos sirve, alumna A) As, desech esta lnea como parte de la solucin. Enseguida se explican otros acercamientos Segundo Acercamiento: El centro se encuentra en una regin del plano limitada por la circunferencia y la recta L. La alumna A dice: tiene que estar en esta parte. Trazan una paralela a la recta L que pase por P y bajan una perpendicular PH desde este punto a la recta L (H es el pie de la perpendicular). Para situar el centro dentro de esta regin, trazan otra paralela a la recta L que pasa por el punto medio del segmento PH. Luego toman un punto mvil sobre la paralela, el XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 23

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas cual se supone es un centro de la circunferencia buscada, pero al trazar una circunferencia que pasa por P, esta corta a la recta L en dos puntos (si haces esto, tocar a L en dos puntos, alumna A). Despus de otros intentos que tampoco funcionan, interviene un instructor: Qu significa que la circunferencia que andan buscando sea tangente a la circunferencia dada en el punto P? [Esta pregunta intenta que la pareja regrese a considerar que el centro debe estar situado en la prolongacin de OP]. Como la pareja no se orienta en esta direccin, el instructor insiste: Cmo es la tangente en el punto P respecto al radio OP? La alumna A, responde: es perpendicular al radio, sin embargo, tiene dudas que esta propiedad sea cierta tambin para la circunferencia buscada (Tiene que ser perpendicular al otro radio, crees?). Tercer acercamiento: El regreso a la prolongacin de la lnea OP Observando la configuracin (Figura 9), la alumna A dice: Esta lnea [la tangente en P] es perpendicular a OP, tiene que ser perpendicular al otro radio, aunque no est [el punto P] exactamente sobre la lnea OP [subrayado nuestro]. Aqu se nota que la alumna no ve que el punto P de tangencia de las dos circunferencias y el centro de tales circunferencias estn en una misma lnea recta.

Figura 9. No obstante, acepta que la tangente en P es perpendicular a ambos radios, resulta contradictorio que no acepte que dicho punto pertenezca a la lnea que une los centros. Esta misconception tambin se manifiesta en los episodios: El otro radio tambin tiene que ser perpendicular a esta lnea [la tangente en P], pero en esta [la circunferencia buscada] el centro lo necesitamos por aqu, aunque no est exactamente sobre el segmento OP [subrayado nuestro]. Este error tiene una explicacin: La pareja anteriormente haba rechazado la posibilidad de que el centro se localizaba sobre la lnea OP debido a que no les funcion. Por tanto, esta idea estaba descartada. Por ello, dice: Cmo le hacemos, el punto medio no sirve. Ante este dilema, un instructor pregunta: Entonces dnde debera estar el centro? El alumno B basndose en la figura anterior, comenta: Sobre esta lnea [La prolongacin de OP] Sin embargo, la alumna A est en desacuerdo por lo explicado anteriormente: Sobre esta lnea [prolongacin de OP] no puede estar. Aqu el instructor aprovecha esta afirmacin para interrogar a la alumna: Por qu el centro no debera estar sobre esta lnea? La alumna intenta dar una explicacin de porqu no puede estar pero muestra dificultades para hacerlo y no termina su explicacin: Porque si est sobre esta lnea En este momento recapacita y XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 24

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas expresa: Ah!, Puede que si est sobre esta lnea y la misconception es superada: De hecho este radio [el buscado] tiene que estar sobre esta lnea OP. Una vez que se dieron cuenta que el centro debe estar sobre la lnea OP (El centro si tiene que estar sobre esta lnea, pero el punto medio entre P y la recta L, no sirve, ahora lo que necesitamos es saber a qu distancia) Explorando con las herramientas de Geogebra toman un punto cualquiera sobre la prolongacin de OP y generan un circunferencia que visualmente satisface las condiciones del problema (Figura 10).

Figura 10. Basados en esto, el procedimiento emerge: Con las herramientas de Geogebra trazan un segmento GH sobre la lnea L que tiene la misma longitud que la tangente PG (P es el punto sobre la circunferencia dada y G es la interseccin con la recta L). Unen los puntos P y H, despus obtienen su punto medio. Luego trazan la lnea que va desde el punto G a este punto medio. La prolongacin de esta lnea interseca la prolongacin de OP- el cual es precisamente el centro buscado-Tomando como centro este punto de interseccin y radio PH, la circunferencia toca a la recta L en el punto H. La idea esencial de esta construccin, fue el trazo de un tringulo issceles cuyos lados iguales son el PG y GH, el otro lado PH les sirvi para obtener el punto medio. As, trazando la lnea desde G y que pasa por este punto interseca la prolongacin de OP en centro de la circunferencia. Observe que la solucin encontrada, no se menciona explcitamente que la lnea que interseca la prolongacin de OP en el centro buscado es la bisectriz del ngulo PGH. Notando esto, un instructor les pregunta: Esa lnea que interseca la prolongacin de OP, Cmo se llama? Pero, no la reconocieron. Conclusiones Las evidencias obtenidas en este estudio muestran que la interaccin de los alumnos con las herramientas de Geogebra ayud a entender las ideas matemticas y promover competencias en la resolucin de los problemas. Por ejemplo, las propiedades y relaciones involucradas las cuales son relevantes para la solucin, que al inicio no eran transparentes, la manipulacin con los objetos matemticos permiti que dichas propiedades y relaciones se hicieran evidentes. As, los alumnos fueron capaces de alcanzar el estado meta. Tambin, lograron superar sus misconceptions y dificultades. Sin embargo, debemos sealar que la formulacin de preguntas y la presin de los instructores jugaron un papel importante en el avance y la salida de los atascos de los alumnos. Basndonos en estos resultados, creemos que los ambientes virtuales tienen potencial para favorecer las capacidades de los pupilos en XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 25

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas resolucin de problemas, no obstante, no debe verse como contrapuestos con el de papel y lpiz, sino combinarlos para potenciar el entendimiento de las matemticas. Referencias Santos-Trigo, M. (2007) Mathematical problem solving: an evolving research and practice domain. In ZDM-The International Journal on Mathematics Education. (pp. 523-536). Springer Berlin/Heidelberg. Santos-Trigo, M., H. Espinoza and A. Reyes. (2006) constructing a parabolas world using dynamic software to explore properties an meaning. International Journal for Technology in Mathematics Education,vol. 12. Santos-Trigo, M. et al (2003) Students use of technology in mathematical problem solving: Transforming technological artifacts into mathematical tools, in N.A. Pteman, B. J. Doughherty and J. Zilliox (eds.). Proceedings of the 2003 Joint meeting of PME and PMENA,Vol. 4. Honolulu, Hawaii. Santos-Trigo, M. & Espinosa-Prez, H. (2002) Searching and exploring properties of geometric configurations via the use of dynamic software. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 33(1), 37-50. Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press. Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense making in mathematics. In: D. A. Grows (Ed.) Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334-370). NY: Macmillan. Schoenfeld, A. H. (1998). Reflections on a course in mathematical problem solving. In: A. H. Schoenfeld, J. Kaput, & E. Dubinsky (Eds.), Research in Collegiate Mathematics Education III (pp.81-113). Washington, D. C: American Mathematical Society.


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La relacin entre conocimiento conceptual y la habilidad para usarlo en la resolucin de problemas: experiencias con profesores de nivel medio superiorDr. Csar Cristbal Escalante Dra. Vernica Vargas Alejo, [email protected] [email protected] Universidad de Quintana Roo Resumen Las actividades de instruccin para desarrollar competencia matemtica requieren de ambientes y dinmicas de trabajo que involucren activamente a los estudiantes y al profesor, y al uso variado de recursos y formas de comunicar y representar las ideas. Qu experiencias y competencias deben adquirir los profesores para seleccionar, organizar y administrar las secuencias de instruccin que deben seguir los estudiantes para desarrollar los conocimientos y habilidades que integran esas competencias? Cmo deben ser capacitados los profesores y como deben ser formados los futuros profesores de matemticas para participar en el desarrollo e implementacin de la nueva currcula? Se describen aspectos sobre la relacin que guarda el desarrollo del conocimiento conceptual y el de la habilidad para resolver problemas que exhiben profesores del nivel medio superior. Introduccin La Reforma Integral de la Educacin Media Superior (RIEMS) se plantea mejorar la formacin que adquieren los egresados y estudiantes de este ciclo. Los documentos de la RIEMS (SEP, 2009) sealan como ejes de la reforma el Marco Curricular Comn basado en Competencias (que son la integracin de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto especfico), los Mecanismos de Gestin (que involucra la formacin y el perfil de los profesores, y el tipo de organizacin e instalaciones, que se requieren para llevarla a cabo), y la Certificacin complementaria del SNB (que seala la posible evaluacin de los egresados para constatar la adquisicin del perfil bsico). La RIEMS ha establecido once Competencias: Genricas (comunes a cualquier egresado del NMS, que son transversales y tiles para desarrollar otras), y Disciplinares Bsicas (obligatorias para toda la EMS). Las Competencias Disciplinares para Matemticas (SEP, 2009. Acuerdo 444. DOF) son las siguientes: 1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. 2 Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.


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III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas 5. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenmeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos. Cmo se reflejan estas competencias en las actividades docentes? Qu tipo de actividades de aprendizaje deben realizar los estudiantes para desarrollarlas? Qu criterios deben utilizar los profesores para seleccionar las actividades de aprendizaje? Qu experiencias y competencias deben adquirir los profesores para seleccionar, organizar y administrar las secuencias de instruccin que deben seguir los estudiantes para desarrollar los conocimientos y habilidades que integran esas competencias? Cmo deben ser capacitados los profesores y como deben ser formados los futuros profesores de matemticas para participar en el desarrollo e implementacin de la nueva currcula? Son el tipo de preguntas que deben ser respondidas en aras de llevar por buen camino esta reforma. Esta investigacin explora aspectos relacionados con las experiencias y competencias matemticas que deben adquirir los profesores para realizar sus funciones docentes. Estamos interesados en caracterizar la relacin que existe entre el desarrollo de conocimiento de conceptos y el desarrollo de las habilidades para utilizarlos en el anlisis de situaciones semejantes a las reales. Llegar a tener una comprensin amplia y profunda del conocimiento matemtico que requieren los profesores para ensear, y de cmo pueden desarrollarlo de manera que les sea til, requiere de una investigacin sistemtica y disciplinada. En este sentido son pertinentes plantearnos preguntas del tipo: Cmo las diferentes experiencias matemticas que tiene un profesor inciden en lo que conocen y pueden utilizar en el aula? Cmo su comprensin de las matemticas afecta su desempeo como profesor? Qu tipos de problemas matemticos debe poder resolver con la formacin adquirida? Presentamos aqu algunos avances realizados, mismos que han servido para ir afinando la metodologa y los criterios de anlisis. Marco Terico En general se est de acuerdo en que aprender matemticas va ms all de memorizar definiciones, propiedades de conceptos y de realizar procedimientos de clculo. Aprender matemticas implica desarrollar competencia matemtica, que significa mostrar comprensin conceptual, manejo fluido de procedimientos, competencia estratgica, capacidad de razonamiento flexible, disposicin productiva (Kilpatrick, 2002). En otras palabras, y de acuerdo con Lesh y Doerr (2000), significa tener capacidad para desarrollar modelos o sistemas conceptuales inmersos en una variedad de sistemas de representacin, que les permitan comprender y explicar los fenmenos y procesos de la vida cotidiana. Schoenfeld (2006) considera que una persona con competencia matemtica se caracteriza por ser hbil para resolver problemas en contextos nuevos, diferentes a los contextos en los que aprendi, es decir, es una persona capaz de transferir los conocimientos adquiridos. Es una persona competente en matemticas porque dispone de un slido conocimiento base, dispone de estrategias productivas para solucionar problemas, utiliza adecuadamente esas estrategias y el XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 28

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas conocimiento de que dispone, posee un conjunto de valores y creencias positivas sobre s mismo y sobre la actividad matemtica. Se reconoce que las actividades de resolucin de problemas son importantes para que los estudiantes desarrollen o construyan su conocimiento matemtico, pues propician que ellos practiquen y valoren procesos que involucran la formulacin de preguntas, la bsqueda de relaciones matemticas, el uso de diferentes formas de representacin, la utilizacin de varios argumentos para apoyar conjeturas y la comunicacin de resultados (Schoenfeld 1985), propiciando la transformacin del aula en una comunidad de aprendizaje. Desarrollar en los estudiantes la habilidad para resolver problemas es, y ha sido, uno de los objetivos de la instruccin matemtica. Los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que tiene los profesores sobre las matemticas inciden en la seleccin, en la organizacin, en el desarrollo y en la instrumentacin de las actividades de instruccin y sobre el desempeo de los estudiantes (Hill, Rowan, Ball, 2005). Qu debe aprender primero una persona? Los conceptos? Las habilidades? Pueden aprenderse los conceptos y las habilidades para resolver problemas, en forma paralela? Muchos de los profesores que participan en la reforma han adquirido sus conocimientos matemticos en programas elaborados sobre la base de desarrollar primero conocimiento sobre los conceptos, los procesos y las estrategias para resolver problemas, y posteriormente generar las habilidades para enfrentar los problemas y obtener la solucin. Lesh y Doerr (2003) sealan que el proceso de aprendizaje de conceptos se realiza considerando varias dimensiones tales como de lo particular a lo general, de lo abstracto a lo concreto, situado a lo descontextualizado, de lo intuitivo a lo analtico y a lo axiomtico, de lo burdo a lo refinado, y que este proceso involucra fases de diferenciacin, de integracin y de refinamiento de los conceptos y de sus relaciones con otros conceptos, en el marco de desarrollar sistemas conceptuales para describir y explicar situaciones. En este sentido, para ellos el conocimiento de los conceptos no sigue un proceso lineal, ms bien un proceso que sigue varias direcciones y discontinuidades, con retrocesos en algunas direcciones y avances en otros, sujeto a las experiencias que tenga la persona y que le lleven a considerar los sistemas conceptuales previamente desarrollados. Mtodo Los casos que se presentan han sido recopilados en el contexto de cursos de matemticas para actualizacin y para formacin de profesores de matemticas del nivel medio superior, que he impartido desde 2006 a la fecha. Estos cursos tenan como propsito mejorar la comprensin y la habilidad matemtica de los participantes. La instruccin se bas en la resolucin de problemas, la mayora de los cuales no tena solucin nica. Los contextos en los problemas fueron situaciones sobre poblaciones, crditos, concentraciones, desplazamiento, clculo de volmenes y estudio de mezclas. Al resolverlos los estudiantes podan usar computadoras, calculadoras, o cualquier otro recurso. Cada problema se trabaj en tres fases: manera individual, en parejas, y con exposiciones de las parejas ante el grupo completo. Los estudiantes realizaban sus aproximaciones en la computadora o en sus cuadernos, y elaboraban reportes individuales en cada fase, estos productos fueron recopilados. Al final del curso entregaban un reporte individual, semejante a un portafolio de trabajo. Esto permiti contrastar las aproximaciones que cada participante realiz al problema, y observar la forma XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 29

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas en que evolucion su comprensin del problema, los conceptos matemticos utilizados y su comprensin y la forma en que los relaciona con la situacin. Anlisis de casos Cisterna Un granjero desea construir una cisterna para almacenar agua. Ha estimado que una cisterna de N metros cbicos de volumen, es ms que suficiente para cubrir sus necesidades durante un largo perodo. Decidi que el depsito no tendr tapa, que la base y las paredes sern de concreto y tendrn un grosor de g cms. Debe seleccionar la forma de la base: circular o cuadrada. Qu opcin debe tomar el granjero si desea minimizar la cantidad de concreto utilizada en la construccin de la cisterna? Qu dimensiones debe tener la cisterna? Esta actividad tuvo como propsito que los estudiantes utilizaran conceptos y procedimientos matemticos relacionados con las funciones, a la vez de estrategias y procesos experimentados en las actividades anteriores. El problema base de la actividad demanda del alumno la identificacin espacial de cuerpos tridimensionales (las paredes de las cisternas), de sus dimensiones, de las relaciones necesarias para determinar su volumen y de percibir la dependencia funcional del volumen de este cuerpo en cada caso, de dimensiones variables y del uso de procesos y criterios para determinar las dimensiones donde el volumen de estos cuerpos sean el menor posible, manteniendo la condicin de encerrar un volumen dado. En cada caso, deben establecer el volumen de las paredes del depsito partiendo de las dimensiones del cuerpo y de la condicin inicial de que el volumen del depsito debe ser igual a N unidades cbicas. Desarrollo de la actividad Las primeras aproximaciones al problema, muestran acciones exploratorias asociadas al proceso de comprensin del problema.


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Sitacin Problema

Exploracin de casos numricos particulares (volumen interior y grosor dados) para cada situacin

Identificacin de relaciones entre los datos y la geometra del problema

Determinacin de las dimensiones de la cisterna cuyas paredes tienen el menor volumen y encierran el volumen interior dado para cada caso con datos numricos particulares

Determinacin del volumen de la pared como funcin de las dimensiones y del volumen interno de cada cisterna

Determinacin de las dimensiones de la cisterna cuyas paredes tienen el menor volumen, pero con el volumen interior dado

Comparacin de los volmenes de las paredes obtenidos en cada caso

Comparacin de las expresiones para el menor volumen de las paredes obtenidas en cada caso

Eleccin de conveniente

la

opcin

ms

Algunos elaboraron dibujos para explorar la situacin (fig. 1, 2, 3, 4), otros no lo hacen. En algunos casos resaltan en el dibujo el grosor de las paredes (Figura 3 y 4) y escriben las frmulas para determinar el rea del cuadrado y el crculo, el volumen de un cubo y de un cilindro. Julia considera valores particulares para el lado y altura del prisma de base cuadrada y del cilindro. Sin determinar o expresar la cantidad de concreto necesaria en la construccin de las paredes de la cisterna (Figuras 1 y 2).


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Figura 1. Fragmento del reporte de G despus del trabajo individual.

Figura 2. Fragmento del reporte de J despus del trabajo individual. D, mediante el dibujo de la cisterna cuadrada y de su base, expres el rea de la base de las paredes de concreto, como la diferencia entre el rea externa (que denomina rea total) y la interna. No obtiene el volumen de las paredes multiplicando esta rea de la base de las paredes por la altura, sino lo hace considerando los dos prismas separadamente (el externo y el interno), restando del volumen exterior (que denomina total) el volumen interno de la cisterna (Figura 3). Hace esto para ambas formas. Este procedimiento lleva a expresar el XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 32

III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas volumen de las paredes de la cisterna como una funcin del lado de la base y de la altura, en forma directa.

Figura 3. Fragmento del reporte de D despus del trabajo individual.

F (Figura 4) utiliz el rea de las paredes internas de las cisternas como elemento de comparacin para decidir cul es la que usa menor material. Expres estas reas como funcin del lado y la altura en un caso, y del radio y la altura en el otro. Identific este problema como determinar los extremos de una funcin de dos variables sujeta a una restriccin. En la representacin algebraica de esta situacin, exhibe elementos que llevan a suponer utilizar el mtodo de los multiplicadores de Lagrange (ver los ltimos renglones de la Figura 4). No va ms all en esta fase de trabajo.


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Figura 4. Fragmento del reporte de F despus del trabajo individual. B (Figura 5) realiz algo semejante a F, slo que utiliz el hecho de que el volumen interno de la cisterna es conocido, para despejar una de las dos variables y la sustituye en la funcin del rea, transformndola as en una funcin de una sola variable. Esto lo hace para cada tipo de cisterna. A continuacin emple la derivada para determinar el valor de la variable para el cual la funcin rea toma el menor valor. No va ms all en esta fase. Ambas aproximaciones usaron el rea de la superficie interna de las paredes en lugar de considerar su volumen.


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Figura 5. Fragmento del reporte de B despus del trabajo individual.

En la fase de trabajo individual, slo tres estudiantes (B, F e I) mostraron un nivel de compresin del problema que los lleva a identificar que para obtener la solucin deben determinar las dimensiones de cada cisterna, de manera que tengan el volumen establecido, pero en la cual se utilice la menor cantidad de volumen de concreto en cada caso, si es de base cuadrada o circular. Muestran que deben obtener esa informacin como parte esencial para alcanzar la respuesta a la pregunta del problema. B y D trabajan juntos el problema y continan con lo realizado por B (Figura 6), quien utiliz el rea interior de cada cisterna y la expres como una funcin del lado de la base, en un caso, y del radio de la base, en el otro.


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Para poder comparar las dos opciones, minimizaremos la superficie que contiene cada cisterna o tinaco. Para el caso en que tenga la base cuadrada, el volumen viene dado por la expresin x2y = N, donde x es el lado del cuadrado de la base, y y es la altura. La superficie del tinaco es x2 + 4xy; entonces si despejamos y de la frmula del volumen nos queda y=N/x2 y si sustituimos en la expresin de la superficie nos queda: S = x2 + 4N/x. Para minimizar la superficie sacamos la derivada de S y la igualamos a cero. Entonces: S = 2x -4N/x2; haciendo el quebrado nos da: (2x3 -4N)/x2. Si igualamos a cero y despejamos nos queda: x = (2N)1/3, el cual es nuestro punto crtico. Si sacamos la segunda derivada nos queda (x2(6x2)- 2x(2x3 -4N))/x4 , que reducindola nos da : (6x4 4x4 +8xN)/x4 que es igual a 2 + 8N/x3 si sustituimos el valor de x en este resultado nos queda: 2+ 8N/2N = 6 > 0, por lo tanto es un mnimo. Si sustituimos x en la ecuacin de la superficie nos da (2N)2/3 + 4N/(2N)1/3 Para el caso del tinaco de base circular, el volumen est dado por r2h =N y su superficie viene dada por la expresin r2 +2rh. Si despejamos h de la frmula del volumen, nos queda h= N/r2, y si sustituimos esta expresin en la frmula de la superficie nos queda: S = r2 +2r N/r2 =r2 + 2N/r. Si derivamos e igualamos a cero nos da: S = 2r -2N/r2 que si hacemos el quebrado nos da (2r3 -2N)/r2 ; si igualamos a cero y despejamos r nos da (N/)1/3 Si sacamos la segunda derivada obtenemos: S= 2 +4N/r3 si sustituimos el valor de r, observamos que es mayor que cero, por lo que es un mnimo. Sustituyendo r en la expresin para superficie nos da: S = (N/)2/3 + 2N/( N/)1/3, la cual si la simplificamos nos da S = 31/3N2/3 Si simplificamos la expresin de superficie para el tinaco de base cuadrada, nos queda: 341/3N2/3. si comparamos esta expresin con la del tinaco de base circular, nos queda que 41/3 > 1/3, por lo que se gasta ms en el material que forra al tinaco si se usa el de base cuadrada. Por lo tanto, conviene el tinaco cilndrico, que al multiplicarlo por los g cms., del espesor de la pared de concreto, se convertira en volumen, que de todas maneras es menor que el de base cuadrada.

Figura 6. Reporte de la pareja formada por los estudiantes B y D.

En esta fase, complementaron lo realizado por B utilizando el criterio de la segunda derivada para determinar los valores de cada variable (lado o radio) en los que la funcin que expresa el rea interior de cada cisterna tiene un extremo. Identificaron un solo valor y que el extremo de la funcin es un mnimo. Determinaron el valor que toma cada funcin para los valores crticos de la variable independiente y los compararon, concluyendo que la opcin que usa menor material es la cisterna de base circular (Figura 6). La forma en que D pretenda determinar el volumen de las paredes de la cisterna durante la fase de trabajo individual


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III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las Matemticas (basada en considerar las diferencias entre el volumen total y el interno) no fue utilizada por ellos. Predomin la aproximacin de B.

Figura 7. Fragmento del reporte de la pareja F e I.

Durante la exposicin ante el grupo de la pareja que utiliz Multiplicadores de Lagrange, C pidi le explicaran el mtodo utilizado por ellos. Durante este intercambio, I mostr que su conocimiento del mtodo le permita utilizarlo, pero no logr hacer una explicacin convincente del mismo. Esto se muestra en el segmento de la transcripcin de la exposicin en el grupo en esta actividad, que se muestra a continuacin (Figura 8):


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III Seminario Nacional sobre Resolucin de Problemas y el Aprendizaje de las MatemticasCelia: De dnde sacaste L ? Ins: L? Celia: L. Ins: L as se define, este es el mtodo que se llama eh multiplicadores de Lagrange. Yo ya no me acuerdo la verdad este, . tengo la idea de cmo se sustenta en el clculo, en el calculo diferencial de varias variables. Pero aqu se puede que hay que dar la (no se entiende). La verdad no, yo me acuerdo que los chavos en estadstica, para minimizar o maximizar funciones, sujetas a una restriccin que era tambin una funcin y adems minimizar funciones de varias variables que es interesante, Fidel: Y no lineales te acuerdas? Ins: Y no necesariamente lineales. Celia: O sea, L ya venia, ya viene dada. Ins: L as se define. Celia: As se define? Fidel: As se define. Ins: Yo creo que si sanalizamos un poco este este asunto de qu son las derivadas en superficie, entonces veramos porque la cuestin es as. Pero as ahorita, te digo, no me acuerdo. I: qu significara obtener un extremo por ejemplo de una funcin en una variable sujeta a restricciones? Cules podran ser las restricciones? O sea, simplemente cuando t te preguntas sobre cul es el mayor valor que toma una funcin donde t acotas algo no? o sea. Ins: Por funcin y casa, esta telaraas. posible. ejemplo en dos variables, perdn en una variable, que tuviramos esta esta funcin representa por ejemplo estnpues el gasto, el gasto de mi es la funcin gasto no? Gasto y pues ya tenemos dudas y u unas Bueno, pues a mi me gustara pues gastar lo ms posible o lo menos

Celia: Lo menos no? Ins: O que s yo pero tengo restricciones no? y pues este a lo mejor s lo mi sueldo, pues este, entonces cul es el mximo que puedo gastar? No ms hasta aqu. Este, aunque tericamente si hago la derivada pues el mximo del gasto. Tengo una restriccin, pues ya no resulta. Y ac por cierto la restriccin es un plano. Celia: No dice nada tampoco. I: Si est en dos variables a qu, a qu se estara refiriendo? Ins: Sera, bueno es que yo me imagino que es como una, una superficie as y tienes otra, porque esta es otra superficie, que esta pues por ah la intercepta o algo y tienes que encontrar el mximo o el mnimo que no se salga de l, aqu de hecho es que tengo a Lupita ah.

Figura 8. Segmento de la explicacin dada por I a C. Transcripcin del audio de exposicin en el grupo.

En la exposicin ante el grupo se discuti en torno a la forma de obtener la cantidad de concreto. Durante la presentacin de I (Figura 9a), el instructor pide que piensen en extender la pared del cilindro y sealen las dimensiones del mismo, para determinar su volumen. B observa que las longitudes correspondientes a las bases son diferentes. Por lo que el volumen no se obtiene multiplicando el rea interior por el grosor. En un momento posterior, D, quien haba considerado una forma de obtener el volumen de las paredes, lo manifest ante el grupo (Figura 9b).


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Ins: Entonces, lo que tienen que hacer es encontrar la expresin de la superficie lateral de cada tinaco y ver para el que la dimensin es mnima, del que tiene la superficie lateral mnima, pues la menor de todas de ellas. Y ese va a ser el que contenga el volumen el mismo volumen si? Y va con el supuesto de que si tiene una superficie lateral mnima, entonces, con el grosor va ser el mismo. El volumen de este elemento que se requiera va ser tambin mnimo. Bueno. Instructor. Entonces el volumen de las paredes de las cisternas se obtiene multiplicando el rea lateral por el grosor? Ins: Si, , si. Instructor. Qu sucede si cortan la pared verticalmente? As. Y luego lo estiran. Cunto miden estos lados? Bruno: Una es mayor porque el radio es mayor. no nos da el volumen. Ins: Pero no importa, Pues aqu ya no hicimos la pregunta que preguntbamos. O sea, cul es el que te conviene? o sea, conviene el?Figura 9 a. Segmento de la transcripcin del audio de la exposicin ante el grupo.Dora: Yo haba propuesto de manera individual pues no haba visto el rea del concreto, que el haba del rea total, rea interior y lo mismo hice con el volumen. Celia: El rea total menos el rea interior? Dora: O sea ya, digamos el contenedor menos el tinaco. Contemplo dos alturas. Entonces, para ver el rea, como yo lo haba empezado a plantear por medio del concreto, porque era lo que queramos Ins: O sea, consideraste los radios y las alturas y capacidades Dora: Y todo eso. Que bueno no, no realmente, no termin pero no

Figura 9b. Segmento de la transcripcin del audio de la exposicin ante el grupo.

Aunque los estudiantes identificaron que el volumen de las paredes no era igual al producto de la superficie interior por el grosor, observaron que considerar la superficie interior lleva tambin a obtener la respuesta al problema (Figura 9a). El estudiante B (Figura 10) resolvi el problema usando las dos aproximaciones y encontr que ambas llevan a los mismos resultados, aunque hace la observacin que el hecho de no considerar el grosor en el procedimiento basado en el rea, puede llevar a resultados incorrectos.


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Si simplificamos la expresin de superficie para el tinaco de base cuadrada, nos queda: 341/3N2/3. si comparamos esta expresin con la del tinaco de base circular, nos queda que 41/3 > 1/3, por lo que se gasta ms en el material que forra al tinaco si se usa el de base cuadrada. Por lo tanto, conviene el tinaco cilndrico, que al multiplicarlo por los g cms., del espesor de la pared de concreto, se convertira en volumen, que de todas maneras es menor que el de base cuadrada.

podemos observar, que si comparamos trmino a trmino cada expresin, vemos que: 341/3gN2/3 >3g 1/3N2/3 ya que 4> 342/3g2N1/3 > 3g2N1/3 2/3 ya que 4> 4g3 > g3 ya que 4>, por lo tanto la superficie del tinaco en forma de cilindro, es menor que la del prisma. Cuando resolv el problema, slo haba considerado la superficie como S = x 2 + 4N/x en donde al minimizar nos quedaba x = (2N)1/3 que al sustituir en la frmula de superficie, nos da (2N)2/3 + 4N/(2N)1/3, que simplificando nos da 341/3N2/3 Para el caso del tinaco de base circular, tenamos r = (N/)1/3 , que al sustituir en la frmula de la superficie nos daba: S = (N/)2/3 + 2N/( N/)1/3 , la cual si la simplificamos nos da S = 3 1/3N2/3 Como vemos, el valor de x y el de r mnimos son iguales, pero al no considerar el ancho g del concreto, podra resultar que la superficie del tinaco de base cuadrada fuera ms pequea que la circular. Con este ltimo mtodo, consideramos tanto el volumen exterior como el interior, y con toda certeza podemos concluir que siempre conviene el tinaco de base circular, para ese volumen N.

Figura 10. Dos fragmentos del reporte final de B. El segundo fragmento se refiere a la resolucin usando el volumen de las paredes de la cisterna, en el que aparece su grosor g.

Es de resaltar el hecho de que B fue el nico que no incluy dibujo alguno en sus reportes sobre este problema. Las representaciones utilizadas por l al comunicar sus resultados fueron el lenguaje natural y expresiones algebraicas. Usando secuencias de expresiones algebraicas y el lenguaje natural para expresar lo que procedi para obtener la siguiente expresin algebraica, como se observa en la figura 10.


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Figura 11. Fragmento del reporte final de F sobre el problema de la cisterna.

F desarroll sus primeras aproximaciones mediante funciones de dos variables y los multiplicadores de Lagrange. En su reporte final dio ms nfasis al mtodo de la derivada para determinar los extremos de las funciones. Tambin en sus reportes inciales haba empleado la funcin que proporcionaba el rea de las paredes de las cisternas. En su reporte final utiliz las funciones que proporcionan el volumen de las paredes como funcin del lado y la altura, quiz como resultado de la discusin de la situacin en el grupo. XVIII Encuentro de Profesores de Matemticas Pgina 41


Figura 12. Fragmentos del reporte final de F sobre el problema de la cisterna.

As mismo, analiza el caso para valores particulares del volumen de la cisterna y grosor de la pared. Usa Derive para obtener las derivadas de las funciones, y determinar los valores crticos. Recurre a Derive para resolver las ecuaciones polinomiales de cuarto grado que aparecen en el proceso, tambin lo emple para obtener las grficas de las funciones, en las que identific visualmente donde se encuentra el valor mnimo de la funcin (Figuras 11 y 12) y decidir cul de las races debe considerar. En este sentido aprovecha las herramientas de Derive para verificar los resultados que va obteniendo. Debo comentar que el reporte final de F, exhibe,

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