Mercedes Hernández Rincón Asdrúbal Hernández Rincón...

Mercedes Hernández Rincón

Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año

1 1



2 2

PROFESORES Y ALUMNOS

Estimulados por la Institución “Dr. José María Vargas”, nos dimos a la tarea de presentar a nuestros

colegas y estudiantes una edición que, en realidad viene a ser un texto con un nuevo y actualizado enfoque del

programa de Matemática del tercer año de Educación Media General, así como la modalidad digitalizada y con

la implementación del programa Geogebra (es un Programa dinámico para la enseñanza y aprendizaje para las

matemáticas para educación en todos sus niveles), para que sea más accesible a la comunidad estudiantil,

profesores y alumnos.

Se trata de un libro de gran utilidad, en el cual se han incluido numerosos ejercicios con una breve

explicación, donde se indican ejemplos y problemas que son de gran utilidad para el desarrollo de los objetivos

propuestos.

En el desarrollo de los temas hemos tenido muy en cuenta el programa vigente emanado del Ministerio

del Poder Popular para La Educación y hemos sido fieles en seguir minuciosamente los objetivos y contenidos

del mismo, haciendo mucho hincapié, allí donde el tema lo permite, en citar ejemplos e ilustrar lo mejor posible

los mismos, de modo que el estudiante los realice de una forma sencilla y entendible y así lograr los

aprendizajes propuestos en el programa del nivel respectivo en que se encuentra.

Al final del texto hemos agregado una amplia gama de autoevaluaciones que le permitan al alumno a

entrenarse para las futuras pruebas en cada lapso y así tener resultados óptimos esperados por todos.

Este esfuerzo, plasmado en este libro, no pretende ser una obra completa y perfecta. Las mismas

características del texto de tener que ceñirse a un programa establecido previamente, nos limita

considerablemente, por estas razones recibiremos de buen agrado las observaciones y críticas constructivas, que

nos hagan llegar, tanto los profesores como los estudiantes, que ayuden al mejoramiento de este texto.

LOS AUTORES

Carrizal, 2016



3 3

INDICE

Pág Objetivo 1 Identificar elementos del Conjunto N° Irracionales; Representar sobre una recta números irracionales…………………………..………………………………05

Objetivo 2 Identificar elementos del conjunto de los N° reales;

Efectuar aproximaciones racionales del número real. ………………..………………………………………………28.

Objetivo 3 Calcular la suma de dos números reales utilizando aproximaciones racionales;

Aplicar las propiedades de la adición de números reales; Resolver problemas en los que se utilicen

la adición y sustracción de números reales……………………………………………………………………………31

Objetivo 4 Calcular el producto de dos números reales utilizando aproximaciones reales; Aplicar las propiedades de la multiplicación de números reales; Resolver problemas utilizando la multiplicación y división de números reales…...35

Objetivo 5 Calcular potencias de números reales con exponente entero; Aplicar las propiedades de la potenciación de números reales con exponente entero………………………………………………………………………………………………36

Objetivo 6 Definir la raíz n-ésima de un número real; Resolver problemas que conduzcan al cálculo de la raíz cuadrada

de un número real positivo…………………………………………………………………………………………… .38

Objetivo 7 Expresar mediante radicales, potencias de números reales con exponente racional; Operar con radicales, utilizando las leyes de la potenciación en R con exponente racional; Operar con radicales semejantes……………….………………..46

Objetivo 8 Aplicar el proceso de racionalización de fracciones con radicales……………………………………………………..60

Objetivo 9 Aplicar las relaciones de orden mayor o igual y menor o igual en R; Aplicar la compatibilidad de la adición y multiplicación con relación de orden en R……………………………………………………………..………………. 74

Objetivo 10 Resolver ecuaciones en las cuales se utilice el valor absoluto de números reales……………….………………….76

Objetivo 11 Determinar las coordenadas de un punto dado de la recta real……………………………………………………….80

Objetivo 12 Calcular la distancia entre dos puntos de la recta real………………………………………………………………….86

Objetivo 13 Identificar intervalos de la recta real; Usar la notación de intervalos como subconjuntos de R………..…………….88

Objetivo 14 Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita y con valor absoluto; Resolver sistema de inecuaciones de primer grado…………………………………………………………………………………………..94

Objetivo 15 Determinar las coordenadas de un punto del plano respecto al sistema de coordenadas cartesianas; calcular la

distancia entre dos puntos del plano real de coordenadas………………………………...……………………………………………106

Objetivo 16 Determinar gráficamente funciones reales en el plano cartesiano………………..…………………………………..110

Objetivo 17 Analizar las características de la función afín……………………………….………………………………………..112



4 4

Objetivo 18 Resolver gráficamente sistemas de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver analíticamente sistemas de

Ecuaciones…………………………………………………………………………….………...113

Objetivo 19 Analizar las características de la función cuadrática…………………………………………………..…..121

Objetivo 20 Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita………………………………………..……….126

Objetivo 21 Resolver problemas donde se utilicen ecuaciones de segundo con una incógnita……………………………….….129

Objetivo 22 Aplicar el Teorema de Pitágoras………………………………….…………………………….132

Objetivo 23 Aplicar el Teorema de Euclides……………………………………….……………………….137

Objetivo 24 Aplicar el Teorema de Thales………………………………………………………………….141

Objetivo 25 Aplicar semejanza de triángulos………………………………………………………………..152

Objetivo 26 Nociones elementales de Estadística…………………………………………………..………..156

Objetivo 27 y 28 Computación...…………………………………………………………………………..…222

Autoevaluación …………………………………………………………………...……………………………240

GLOSARIO……………………………………………………………………….…………………………...244

BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………………………266

……………………………………………………………………………………………………



5 5

Números irracionales

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción, el decimal sigue

para siempre sin repetirse. Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es:

3,1415926535897932384626433832795 (y más...) . Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede

escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi. Números como 22

/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no

son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón o (fracción), ¡no porque esté loco!

Racional o irracional

Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional: Ejemplo: 9,5 se

puede escribir en forma de fracción así 19

/2 = 9,5 así que no es irracional (es un número racional)

Aquí tienes más ejemplos:

Números En fracción ¿Racional o

irracional?

5 5/1 Racional

1,75 7/4 Racional

.001 1/1000 Racional

√2

(raíz cuadrada de 2) ? ¡Irracional!

Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

Identificar elementos del conjunto de los números

irracionales

Representar sobre una recta de números irracionales

1

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/pi.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-racionales.html



6 6

Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es

todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.

Así que la raíz de 2 es un número irracional

Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras

decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado

muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:

1,61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3 1,7320508075688772935274463415059 (etc)

√99 9,9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/pi.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/e-euler-numero.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/razon-oro.html



7 7

Historia de los números irracionales

Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando

escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se

puede escribir como fracción, así que es irracional.

Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los

números tienen valores perfectos . Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no

existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!

Estos números fueron descubiertos en la escuela que tenía el matemático griego Pitágoras que vivió

entre los años 569 y 470 a.C. Les llamaron irracionales porque iba contra sus ideas que se basaban en que todo

es susceptible de expresarse en números. Pero la verdad es que estos números irracionales son tan racionales

como los llamados propiamente racionales aunque son diferentes, pues los números irracionales

son inconmensurables (no medible) y no pueden expresarse en la forma racional:

El problema se les presentó a los pitagóricos cuando trataron de medir la hipotenusa de un triángulo rectángulo

isósceles que se les formaba en una baldosa cuadrada dividida en dos partes por una de sus diagonales.

Tomando como unidad el cateto de este triángulo y aplicando el Teorema de Pitágoras, apareció el primer número

irracional que es: cuyo valor aproximado es 1,4142135...



8 8

Números irracionales y sus propiedades

Los números irracionales no pueden expresarse exactamente en forma de fracción común o decimal, aunque

pueden calcularse con los decimales que se deseen (no son decimales periódicos ni semiperiódicos).

Ejemplos de números irracionales:

√2, √3, √5, √6, √7, √8, √10, etc.

π (pi) = 3.141592 ...

e (número de Euler) = 2,718281828459…

ϕ (razón de oro) = 1,618033988749…

3,8 : es una expresión decimal limitada, por lo tanto es un N° irracional, no es racional.

5,4343 : es una expresión decimal periódica, por lo tanto es un N° racional.

π = 3,141592654 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repite.

413135562,12 : es irracional

¿Qué son números irracionales?

Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen

infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados

como fracciones.

En la práctica, para trabajar con números irracionales es preciso utilizar

aproximaciones. Estas pueden obtenerse con calculadora, utilizando fórmulas algebraicas

o procedimientos geométricos. Los valores obtenidos suelen truncarse o redondearse.



9 9

El Conjunto de los Números Irracionales se simboliza por I o bien por Q*.

Propiedades de los números irracionales

- Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el

orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.

- Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de

manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación,

(ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).

- Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada

número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da

como resultado 1, es decir ϕ×1/ ϕ = 1.

- La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta.

Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.

- El conjunto de los números irracionales no verifica clausura entre las

operaciones, es decir, la suma y el producto entre dos irracionales no

necesariamente es irracional.

- Todos los racionales y todos los irracionales son números reales.

Recuerda que incluidos en los racionales están los enteros y en los enteros,

los naturales.

N⊂Z⊂Q



10 10

Los números decimales que no podemos expresar exactamente por números racionales, son los que

corresponden a los números decimales con infinitas cifras no periódicas y que se denominan números

irracionales a Q , Q ∩ I = 0

Números Irracionales:

413135562,12 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repita.

1.- Escribe una lista de cinco números racionales

2.- Escribe una lista de cinco números irracionales

N Z Q Z+

Z-

Q+

Q-

I

-5

3

5

3,67

4,21…

8,921…

30

5

2

4

1

2,8

-0,5

ACTIVIDAD 1

ACTIVIDAD 2

Copia en el cuaderno el siguiente cuadro y complétalo con el símbolo ∈

o ∉ según convenga:



11 11

OPERACIONES EN Q

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros , con

denominador distinto de cero. Se representa por .

Suma y resta de números racionales

Con el mismo denominador

Se suman o se res tan los numeradores y se mantiene e l denominador.

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene e l deno minador.



12 12

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los deno minadores a co mún deno minador , y se suman o se restan los

numeradores de las fracciones equiva lentes obtenidas.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

a.-) Propiedad Conmutativa: "El orden de los sumandos no altera la suma" esta propiedad se cumple para

cualquiera que sean los números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad conmutativa de la

adición. abba

b.-) Propiedad Asociativa: la forma como se agrupan los sumandos no altera la suma, esta propiedad se

verifica para cualquiera que sea la terna de números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad

asociativa de la adición. )()( cbacba

c.-) Elemento Neutro: Cualquier número racional a/b sumando con cero (0) es igual a a/b. El cero (0) se llama

elemento neutro de la adición. aa 00

d.-) Elemento simétrico: en general si a/b es un número racional, entonces: a/b + (-a/b) = 0 ya que todo número

racional tiene un simétrico u opuesto con respecto a la adición. 0)()( aaaa

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS RACIONALES

1. Interna : a + b

2. Asociat iva : (a + b) + c = a + (b + c) ·

http://www.vitutor.com/numeros/racionales/r4.html

http://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtml



13 13

3. Conmutat iva : a + b = b + a

4. Elemento neutro : a + 0 = a

5. Elemento opuesto a + (−a) = 0

¡El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número!!!.

Resuelve aplicando la propiedad asociativa los siguientes ejercicios

1) 5

6

5

8

5

3 2)

7

9

7

3

7

8 3)

4

1

2

1

8

1 4)

5

6

6

5

3

2 5)

49

2

21

3

2

1

6) 2

6

4

7

5

3 7)

5

6

2

7

4

5 8)

7

1

5

1

3

1 9)

7

6

2

5

5

2 10)

17

2

15

3

3

1

Multiplicación en

ACTIVIDAD 3



14 14

Propiedades de la mult iplicación de números racionales

1. Interna : a · b

2. Asociat iva: (a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutat iva: a · b = b · a

4. Elemento neutro : a ·1 = a

5. Elemento inverso :

6. Distributiva : a · (b + c) = a · b + a · c

7. Sacar factor co mún: a · b + a · c = a · (b + c)



15 15

División de racionales

Ejercic ios resue ltos: operaciones con números racionales :

1.-

2.-

3.-

4.-

Ejercic ios resue ltos de las div isiones de números racionales :

Observa los ejemplos de

ejercicios resueltos con

las operaciones en Q



16 16

1.- 2.-

3.-

Ejercic ios resue ltos de las operaciones con números racionales :

1.-

2.-

3.-

Potencias de números racionales



17 17

Potencias de exponente entero y base racional

Propiedades

1.- 2.-

3.- Producto de potencias con la misma base :

4. Divis ión de potencias con la misma base :

5. Potencia de una potencia :

6. Producto de potencias con e l mismo exponente :

7. Cociente de potencias con e l mismo exponente :

Ejercicios resueltos de operaciones con potencias de fracciones:



18 18

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-



19 19

11.-

12.-

13.-

Ejercicios resueltos con las operaciones de fracciones con

potencias:

1.-



20 20

Ejercicios de operaciones combinadas de números racionales

Pr imero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis .

Operamos en e l pr imer paréntes is , qui tamos el segundo, s impl i ficamos en el tercero y

operamos en el úl t imo.

Real izamos el producto y lo simpl if icamos .

Real izamos las operaciones del paréntesis .



21 21

Hacemos las operaciones de l numerador , div idimos y simpl if ica mos e l resultado .

Ejercicio resuelto:

1.-

Ejercic ios resue ltos de las operaciones combinadas :



22 22

1.-

2 . -

3 . -



23 23

4 . -

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS RACIONALES

También los números irracionales, las raíces, por ejemplo, se representan en la recta. Por

ejemplo, para calcular el punto que representa el número realiza los siguientes pasos:

el teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado mide.



24 24

compás para trasladar esa diagonal sobre la recta. El punto de corte del arco del

compás sobre la recta representa el número..

Fíjate en la siguiente figura y dibújala en tu cuaderno. De manera similar, construyendo cuadrados o rectángulos de

distintas dimensiones se puede construir la raíz cuadrada de muchos números enteros. Dibuja en tu cuaderno un

rectángulo de lados 3 y 2. Su diagonal medirá la raíz cuadrada de 13.

Representación gráfica de un N° irracional: Representar gráficamente el número 2

Como 12 + 1

2 = ( 2 )

2, de acuerdo con el Teorema de Pitágoras, podemos construir un triángulo rectángulo

cuyos catetos midan 1.

Para ello, trazaremos una recta “L” y sobre ella tomamos como base un cateto cuyos extremos son 0 y 1,

la altura es el otro cateto de longitud 1. Se traza la hipotenusa 0A igual a 2 .

Luego, con abertura de compás igual a 0A y centro en 0 se traza el arco AA.

El punto de intersección A’ del arco con la recta representa el irracional 2 .

Ejemplo: Representar 13x

22 3213 = x

2 = 2

2 + 3

2 =

22 32 x 6,31394 xx

0 1 2 3 4 5 6

13



25 25

Represente gráficamente los siguientes números irracionales

1.- 13 2.- 8 3.- 6 4.- 7 5.- 10

6.- 11 7.- 17 8.- 26 9.- 29 10.- 19

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES DECIMALES

SEGÚN SU PERÍODO

-Expresión decimal periódica pura: Se le llama así a esta expresión ya que cuando hay un número decimal que se repita infinitamente por ejemplo:

1/9=0,1111…

Cuando esto ocurre para evitar escribir las demás cifras solamente se debe ponerle una línea en la parte de

arriba de la expresión.

Ejemplos: 6,23

8 ; 2,0

9

2 ; 36,1

11

15

-Expresión decimal periódica mixta: Se le llama así a esta expresión ya que los decimales se repiten en cierto periodo por ejemplo:

4/7= 0.57142857142857.

Al que la expresión nombrada anteriormente se debe poner una raya encima de la expresión para evitar colocar

las cifras repetitivas

Ejemplos: 3,4151515………..es igual a 3,415 se llama período misto, el período comienza después de las

décimas.

13,015

2 ; 416,0

12

5 ;

CÁLCULO DE LA FRACCIÓN GERNERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL

Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de

las formas que indicamos:

1 Pasar de decimal exacto a fracción.

ACTIVIDADES ¡¡¡¡Representa

gráficamente!!

!!!!!!!!!



26 26

Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por

denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Ejemplo:

2 Pasar de periódico puro a fracción generatriz.Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene

como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por

tantos nueves como cifras tenga el período.

Ejemplo:

3 Pasar de periódico mixto a fracción generatriz.

Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma,

menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un número formado por

tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no

periódica.

Dado el decimal: 8,3 5…. dónde: 8 es la parte entera

3 es el ante período

5 es el período

a) Dado f: 3,4 5 100f = 100 . 3,4 5 = 345, 5

-10f= -10 . 3,4 5 = -34, 5

90f = 311

f= 311

90



27 27

Resolver: a) 4,3 4 b) 6,57 8 = c) 9,4 32 = d) 95, 3 6 = e) 10,58 90 =

f) 7,4 4 g) 58, 78 9 = h) 4, 678 5 = i) 67,4 8546

Euclides

Euclides enseñó en Alejandría, donde abrió una escuela que acabaría siendo la más importante del mundo helénico, y alcanzó un gran

prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Ptolomeo I Sóter, fundador de la dinastía ptolemaica que gobernaría

Egipto desde la muerte de Alejandro Magno hasta la ocupación romana. Se cuenta que el rey lo requirió para que le mostrara un

procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para

llegar a la geometría. Este epigrama, sin embargo, se atribuye también al matemático Menecmo, como réplica a una demanda similar

por parte de Alejandro Magno.

La influencia posterior de los Elementos de Euclides fue decisiva; tras su aparición, se adoptó de inmediato como libro de texto

ejemplar en la enseñanza inicial de la matemática, con lo cual se cumplió el propósito que debió de inspirar a Euclides. Tras la caída

del Imperio Romano, su obra fue preservada por los árabes y de nuevo ampliamente divulgada a partir del Renacimiento. Más allá

incluso del ámbito estrictamente matemático, Euclides fue tomado como modelo, en su método y exposición, por autores como

Galeno, para la medicina, o Spinoza, para la ética. Ello sin contar la multitud de filósofos y científicos de todas las épocas que, en su

búsqueda de sistemas explicativos de validez universal, tuvieron en mente el admirable rigor lógico de la geometría de Euclides.

EJERCICIOS ¡¡¡¡¡¡¡Ahora es

Fracción

Generatiz!!!!!!

!!!!!

(330 a.C. - 275 a.C.) Matemático griego. Junto con Arquímedes y Apolonio de Perga, posteriores

a él, Euclides fue pronto incluido en la tríada de los grandes matemáticos de la Antigüedad. Sin

embargo, a la luz de la inmensa influencia que su obra ejercería a lo largo de la historia, hay que

considerarlo también como uno de los más ilustres de todos los tiempos.

Pese a que realizó aportaciones y correcciones de relieve, Euclides ha sido visto a veces como un

mero compilador del saber matemático griego. En realidad, el gran mérito de Euclides reside en

su labor de sistematización: partiendo de una serie de definiciones, postulados y axiomas,

estableció por rigurosa deducción lógica todo el armonioso edificio de la geometría griega.

Juzgada no sin motivo como uno de los más altos productos de la razón humana y admirada como

un sistema acabado y perfecto, la geometría euclidiana mantendría su vigencia durante más de

veinte siglos, hasta la aparición, ya en el siglo XIX, de las llamadas geometrías no euclidianas.

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/tolomeo_i_soter.htm

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/arquimedes.htm

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/apolonio_de_pergamo.htm



28 28

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS REALES

Conjunto de los N° Reales: R

Los números Reales es el conjunto formado por la unión de los N° racionales (Q) y los irracionales (I), y se

anota con la letra R.

R = Q U I y Q ∩ I = 0

Podemos escribir: N Z Q R es decir: los N° naturales son un subconjunto de los enteros, a su vez

subconjunto de los racionales, a su vez subconjunto de los reales

En este capítulo vamos a ver una pequeña explicación muy básica sobre la representación gráfica

de los números enteros, es decir, cómo se representan los números enteros sobre un gráfico. Para realizar la

representación gráfica de los números enteros vamos a utilizar una recta y la vamos a dividir en segmentos

iguales (cada segmento será la unidad de medida , por ejemplo centímetros, grados, años, etc…)

Sobre la recta establecemos un punto al que le vamos a llamar origen que será nuestro punto de

referencia para ubicar el resto de los números enteros. Generalmente el origen se encuentra representado

hacia la mitad de la recta que hemos dibujado. El origen es el punto desde el cual empezamos a contar los

números positivos (hacia la derecha del origen) y los números enteros negativos (hacia la izquierda del

origen).

En la semirrecta de la derecha del origen se hace la representación gráfica de los números enteros positivos, y

en la semirrecta de la izquierda, la de los números enteros negativos.

Los números enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:

Identificar elementos del conjunto de los números

reales (R).

Efectuar aproximaciones racionales de números

reales.

2

¡¡Te recomendamos que

leas!!!!!!!



29 29

Elegimos un punto cualquiera de la recta (aproximadamente hacia la mitad de la recta que tenemos dibujada)

y a ese punto le asignamos el valor cero.

Luego elegimos otro punto a la derecha del cero y a ese punto le asignamos el valor 1. La distancia entre los

puntos cero y 1 será la unidad de medida que utilizaremos para ubicar el resto de los puntos sobre la recta.

Si marcamos a partir del punto 1 hacia su derecha otro punto con la misma medida que había de punto cero al

punto 1, ese punto va a ser el punto 2, y así sucesivamente.

Si hacemos esta misma operación pero partiendo del cero hacia su izquierda, podremos representar los

números enteros negativos.

APROXIMACIONES POR DEFECTO Y POR EXCESO DE NÚMEROS REALES

La aproximación por defecto, implica la búsqueda de un número con una cierta cantidad de cifras que es

inmediatamente menor que el dado. Por su parte, la aproximación por exceso, es el número con las cifras

decimales inmediatamente mayor.

1- Aproximación de un número irracional

1.1- Aproximar por defecto y por exceso

Al realizar una aproximación por defecto, se busca el número, con un determinado número de cifras

decimales, que es inmediatamente menor que el dado.

En cambio, para aproximar por exceso, se busca el número, con las cifras decimales fijadas,

inmediatamente mayor.

Por ejemplo, dado el número π, al aproximarlo con dos cifras decimales:

- Por defecto es 3,14.

- Por exceso es 3,15.

Al utilizar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior, los errores que se

cometen son:

-Por defecto: 3,141592… – 3,14 < 0,001592…



30 30

- Por exceso: 3,15 – 3,141592… < 0,008408…

1.2- Aproximación por redondeo:

Cuando redondeamos un número a una determinada cifra, observamos la cifra que está a su derecha:

- Si esta es mayor a 5 le sumamos 1 a la cifra anterior, es decir, a la que está a su izquierda.

- Si esta es menor que 5, la cifra anterior no se altera.

- Si esta es igual a 5, entonces nos fijamos en la cifra anterior, si esta es número par, se deja la misma cifra, y si es

número impar, se deja en la cifra par siguiente.

En cada caso, consideramos iguales a cero todas las cifras que están a la derecha de la redondeada.

Entonces, al aproximar por redondeo, se escoge la aproximación con la que se comete el menor error, en el

caso anterior, π ≈ 3,14

Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que

esté muy próximo al número dado.

Aproximar por redondeo un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la

que se comete un error menor.

Error de una aproximación es la diferencia, en valor absoluto, entre un número y su aproximación.

Otra manera de aproximar es el truncamiento. Cuando truncamos un número en una cifra determinada,

consideramos iguales a cero a todas las cifras que le siguen hacia la derecha. La aproximación por truncamiento

es un tipo de aproximación por defecto.

Ejemplo:

Ejemplos: Al aproximar 7,475 en décimas, nos queda 7,4.

Al aproximar 7,447 en décimas, nos queda 7,



31 31

Aproximaciones racionales de N° Reales:

Cuando se trabaja con N° reales, no siempre se utilizan todas las cifras decimales.

Por lo tanto, utilizamos algunas de ellas para dar una mejor aproximación por defecto o exceso.

Por defecto: aproximación un poco menor de un número.

Ejemplos: 96,1))4,1(2) 2 a

(1,41)2= 1,9881

(1,414)2= 1,999396

56,2))6,1(3) 2 b

(1,61)2= 2,5921

(1,616)2= 2,611456

Por exceso: aproximación un poco mayor de un número.

Ejemplo: 002225,2)415,1(2) 2 a

(2,231)2= 4,977361

(2,232)2= 4,981824

Expresiones Decimales:



32 32

Decimal Mixta: en una expresión decimal periódica mixta, hay parte decimal que no se repite y parte decimal

que se repite siempre. El período no comienza en las décimas. El no período lo forman las cifras comprendidas

entre la coma y el período.

Ejemplo: 2,56363 2 = parte entera

5 = ante-período

6363 = período

Ejercicios: 5/12 = 0,4166 Parte entera:_____ 5/6 = 0 ,8 33 Parte entera:____

Ante-período:______ Ante-período:____

Período: ______ Período:____

Decimal Pura: en una expresión decimal pura el período empieza en la primera cifra decimal. El período

viene dado por el grupo de cifras que siempre se repite. Ejemplo: 3,4646 Parte entera: 3

Período: 4646

Expresión generatriz decimal pura o limitada:

Si tenemos un N° decimal con número limitado de cifras decimales, su fracción generatriz será la que tenga:

Como numerador, la parte entera seguida de las cifras decimales, prescindiendo de la coma.

Como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Ejemplo: Calcular la fracción generatriz f = 3, 4

10f = 10 x 3,4 = 34, 4

-f = -1 x 3,4 = -3, 4

9f 31

f = 31

9



33 33

Expresión generatriz mixta o ilimitada:

Si tenemos un N° decimal con infinitas cifras, periódico mixto, su fracción generatriz será la que tenga:

a) Como numerador, la parte entera seguida del no-período y del período (prescindiendo de la coma) menos la

parte entera seguida del no-período (prescindiendo de la como)

b) Como denominador, tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el

no-período.

Ejemplo: Calcular la fracción generatriz f = 3,5 21

1000f = 1000 x 3,5 21 = 3521, 21

-10f = -10 x 3,5 21 = -35, 21

990f 3486

f = 3486

990

Para ahondar sobre esta materia, incluida en el eje temático Números, resolvamos el siguiente

ejercicio

Sea q una aproximación por exceso a la centésima de √2 y p una aproximación por defecto a la centésima de

√2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) q = p II) (p + q) ÷ 2 = √2 III) q = √2 - k, con k un número real positivo.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) Ninguna de ellas.

¿Tienes una alternativa? Revisemos si es la correcta.

De acuerdo al ítem, para analizar las tres igualdades expuestas se debe aplicar la aproximación del valor de

un número irracional por defecto y por exceso. En otras palabras, si por ejemplo tenemos un número

equivalente a 1.235, la aproximación por defecto sería 1.23 y la por exceso, 1.24.

Entonces, si en el enunciado se afirma que q es una aproximación por exceso a la centésima de √2, tenemos

que q es un número racional mayor que √2. En tanto, si p es una aproximación por defecto de √2, p es un

número racional menor que √2.



34 34

Aclarados esos puntos, podemos determinar si existe una afirmación verdadera entre I, II y III.

Inmediatamente nos percatamos de que I) es falsa, porque dice que q = p, pero ya vimos que q es un número

mayor que √2 y p es un número menor que √2.

Lo mismo ocurre con II), su aseveración no es verdadera, ya que como p y q son aproximaciones de √2, éstos

son números racionales, y como sabemos que la mitad de la suma de dos números racionales es un número

racional, √2 no puede ser el resultado de (p + q) ÷ 2.

Por último III) también es falsa, puesto que q es una aproximación por exceso de √2, y en consecuencia, q es

un número mayor que √2 , lo cual no se condice con la expresión q = √2 - k, siendo k un número real positivo.

De ese modo, la alternativa correcta es la letra E).

.EJERCICIOS PROPUESTOS

1.-Seis personas se quieren repartir un premio de Bs 523000. ¿Cuánto le tocará a cada persona?

2.-Hallar 8 , y escribir las mejores aproximaciones por exceso y por defecto en el orden de las décimas, centésimas y

milésimas. 8= 2,8284271

3.-Una docena de un artículo cuesta Bs 7000 y una persona desea comprar sólo 4 de ese artículo.

4.-Si distribuimos Bs 84372,40 entre 28 personas. ¿Cuántos Bs le tocarán a cada una por defecto?

R. Bs 3013,25 c/u

5.-La compra de 15,50 Kg de pescado costó Bs 38925. ¿Cuál es el valor de cada Kg por exceso?

R. Bs 2511,30

6.-Un campesino tenía 42500 naranjas, vendió las tres quintas partes a 38,75 el millar y el resto a Bs 4,125 el 100 ¿Cuánto

cobró por exceso? R. Bs 1689,40

7.-Una fuente en 20 días ha emanado 128,650 hectolitros de agua y 40,75 decalitros de agua. ¿Qué cantidad ha dado en un día

por exceso? R. 643270,40 litros

8.-Si un litro de vino cuesta Bs 46,75.¿Cuántos litros se comprarán con Bs 606,75 por exceso?

R. 13 litros

9.-Hallar aproximación de 7 por exceso y por defecto con error de orden 0,01. R. 2,65 exceso y 2,63 defecto

10.-Un cerdo que pesa 180,75 Kg se vendió por Bs 6100,30.¿A cuánto se pagó el Kg por defecto? R. Bs 33,70 el Kg



35 35

Suma de números reales:

Para efectuar cualquier adición de números reales, basta sustituir cada sumando dado por su

correspondiente número racional de acuerdo a la mejor aproximación decimal propuesta.

Ejemplo: Sumar: 971,10360,8236,2375,0360,858

3

Caso 1 Adición de un número racional con uno irracional

Sumar el racional 5,2 y el irracional 3 5,2 + 3

Como se conocen todas las cifras del racional 5,2 es necesario conocer las cifras del irracional 3 que

son 1,7320508 dependiendo de las aproximación pedida.

5,2 + 1,7 = 6,9 aproximación a las décimas

5,2 + 1,73 = 6,93 aproximación a las centésimas

5,2 + 1,732 = 6,9932 aproximación a las milésimas

Sin aproximación es: 5,2 + 3

En conclusión

Caso 2 Adición de dos números racionales

L a suma de un número racional con uno irracional es otro irracional

Calcular la suma de dos números reales utilizando

aproximaciones racionales.

Aplicar las propiedades de la adición de números reales.

Resolver problemas en los que se utilice la adición y

sustracción de números reales.

3



36 36

Dados dos números racionales4

1;

3

5 Hallar la suma

25,04

1.....;..........6666,1

12

320

4

1

3

5




Sin aproximación es: 12

23

12

320

4

1

3

5

(es el valor real)

En conclusión

Caso 3 Adición de dos irracionales

Dados los irracionales 3 ; 8 Hallar la suma

3 = 1,732 ; 8 = 2,828




En conclusión

L a suma de dos irracionales es un racional

L a adición de dos irracionales es otro irracional



37 37

Actividades1

Actividades2

Recordemos las propiedades

Ejemplos Observar las propiedades que se cumplen en los siguientes ejercicios

Resolver la siguientes sumas por defecto

1) 268,33

5 con aproximación a las centésimas

2) 2869,27

2 con aproximación a las milésimas

3) 3268,1 con aproximación a las décimas

4) 6

754 con aproximación a las décimas

5) 532 con aproximación a las décimas

Resolver la siguientes sumas con aproximación por exceso a las décimas

1) 5

2

6

4

3

5 2)

7

1

2

3

6

4 3)

2

5

5

6

4

3 4) 46,3

9

6

5)3

8

5

2

3

6)

3

432 7)

5

475 8) 67,5

6

9

Asociativa (a+b)+c = a+(b+c)

Elemento neutro a + 0 = 0 + a= a

Conmutativa (a+b) = (b+a)

Elemento simétrico a + (-a) = (-a) + a= 0



38 38

a) 53323253 Propiedad conmutativa

b) ( )85(28)52 Propiedad asociativa

c) 53)53()53(53 = 0 Elemento simétrico

Actividades 3

Resta de N° reales: Ejemplos:

1) 5,34 – 3,24 = 2,10 2) 84,03,03,144,23,03,16

Esta es una operación de composición interna, que asocia a cada par de números reales a y b otro

número llamado c llamado diferencia. De tal modo que al sumarle a a el simétrico de b nos resulta la diferencia

c. cbaba )(

Recordemos que en esta operación no se cumple la propiedad asociativa

Ejemplos

Efectuar las siguientes sustracciones con aproximaciones

a) 325,8 con aproximación por exceso a las centésimas 7320508,13

52,673,125,8

Completar para que se cumplan las propiedades indicadas

1) Elemento5 neutro 2) 27253 Propiedad asociativa

3) Elemento39 simétrico 4) )22()534( Propiedad conmutativa



39 39

b) 38

9 con aproximación por exceso a las milésimas

1,125 – 1,046 = 0,079

c) 2

2

2

66 sin aproximación

2

263

2

2

2

66 = 7,348 – 0,707 = 6,641

d) Un padre quiere repartir la cantidad de Bs 500000,00 a dos hermanos, la cual fue distribuida así: al primero le

dan 7

2 partes. ¿Cuánto le toca al otro hermano (aproximación a las centésimas por exceso).

Primero 5000007

2 Bs = 142857,14 Bs aproximación por exceso 142857,15 Bs

Segundo 500000 Bs - 142857,15 Bs = 357142,85

Actividades 4

Efectúa las siguientes operaciones

1) 16542,5)6389,23( con aproximación por defecto a las milésimas

2) 16,025 con aproximación por exceso a las centésimas

3) 3

6

2

3 con aproximación por exceso a las centésimas

4) 13,621 – (4,583 – 0,5) con aproximación por exceso a las décimas

5) )5

32(236 con aproximación por defecto a las milésimas



40 40

Actividades 5

Operaciones aritméticas y propiedades con números reales

Los números reales (designados por ) son casi todos los números que podemos escribir o conocer.

Según esto, en los reales se incluyen:

Los números racionales (Q) , ya sea como fracciones o como decimales (3/4, 6/8, -0,234, 6, 589, etc.)

Los números naturales (N) y los números enteros Z) (1, 2, 3, 4, 5, etc.)

Los números irracionales (I) :

(pi, phi, raíz de 2, de 3, de 5, etc.)

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal

como 3/4, –21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás.

Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es

eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica.

Los números reales pueden ser positivos, negativos o cero.

Entre los que no son reales tenemos la raíz cuadrada de menos 1, que es un número imaginario.

Resuelve los siguientes problemas

1) La base de un rectángulo es de 16,3469 cm y su altura es de 4,9854 cm. ¿En cuánto excede la

base a la altura con una aproximación a las centésimas? R. 11,36 cm

2) Se pesa una muestra 6 veces, obteniéndose los siguientes valores: 5,45 gr; 5,44 gr; 5,40 gr;

5,39 gr: 5,46 gr y 5,47 gr. Calcular el valor promedio con error menor a una décima. R. 5,4 gr

3) Con un vernier se midió el diámetro de una esfera. Se efectuaron tres mediciones, 3,5 cm; 3,8

cm; y 3,3 cm. Calcular el valor promedio de las mediciones con un error a una centésima en cm.

R. 3,53 cm

4) Una persona está a dieta para aumentar de peso. El primer mes subió 0,75 Kg , el segundo mes

bajó Kg2

1, el tercer mes aumentó Kg

4

31 , y el cuarto mes bajó Kg

3

2.¿Cuántos Kg aumentó?

R. 1,,33 Kg



41 41

El número infinito, tampoco es un número real, al igual que otros que usan los matemáticos.

Propiedades de los reales en la suma o adición

La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre dos números, pero

se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden

sumar entre sí.

La suma de números reales tiene las siguientes propiedades:

Propiedad Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

Propiedad Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

Propiedad Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

Propiedad del Elemento neutro:

El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso

Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el

resultado es 0 (cero): si a es un número real, entonces

El opuesto del opuesto o inverso de un número es igual al mismo número.



42 42

Propiedades de los reales en la Diferencia (resta o sustracción)

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a – b = a + (–b)

La resta es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo.

Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar; por ejemplo:

13,2 – 17,8 = –4,6

Minuendo – sustraendo = resto

Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números.

Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos:

• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y

el resultado es positivo.

Por ejemplo:

27,8 – 12,1 = 15,7

• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y

el resultado es negativo.

Por ejemplo:

12,1 – 27,8 = –15,7

• Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se

le pone el signo menos.

Por ejemplo:

–21,8 – 12,1 = –33,9

• Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.

Por ejemplo:

27,8 – 12,1 = 27,8 + (–12,1) = 15,7

• Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.

Por ejemplo:



43 43

27,8 – (–12,1) = 27,8 + 12,1 = 33,9 –27,8 – (–12,1) = –27,8 + 12,1 = 12,1 – 27,8 = –15,7

Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tiene todas las propiedades de la suma.

Por ejemplo, la resta no es una operación conmutativa:

54,2 – 33,1 = 21,1

y ese resultado es distinto de

33,1 – 54,2 = –21,1

Propiedades de los reales en un Producto (multiplicación)

La regla de los signos que se aplica para el producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo

con todos los números reales.

Entre las propiedades del producto o multiplicación con números reales tenemos:

Propiedad Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

Propiedad Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

Si se tienen más de dos factores, da igual cuál de las multiplicaciones se efectúe primero:

Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

Propiedad Conmutativa:

La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son dos

números reales, entonces:

Propiedad del Elemento neutro:



44 44

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

Propiedad del Elemento opuesto:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

Propiedad Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de

los sumandos.

Propiedad que permite Sacar factor común (factorizar):

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

Propiedades de los reales en la División

La división es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos números: el dividendo y

el divisor . Con una excepción, siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir; por ejemplo:

1,86 ÷ 3,1 = 0,6

Dividendo divisor cociente

La excepción es que el divisor no puede ser cero . Esto es, no se puede dividir entre cero

Pero, ojo, que el dividendo sí puede ser cero , y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero.

Por ejemplo:

0 ÷ 5,41 = 0

Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación:

• el cociente de dos números de igual signo siempre es positivo;



45 45

• el cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo.

Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la

multiplicación.

Por ejemplo, la división no es una operación conmutativa:

Como vemos en:

6,24 ÷ 3 = 2,08

y ese resultado es distinto de

3 ÷ 6,24 ≈0,4807

La división no es una operación asociativa:

Como vemos en:

(8 ÷ 4) ÷ 2 = 1

mientras que

8 ÷ (4 ÷ 2) = 4

Operaciones: Suma y producto de números reales

Las operaciones definidas para números racionales pueden extenderse para números reales.

Para presentar las operaciones entre números reales necesitamos algunos conceptos previos.

Un número irracional viene dado por una secuencia de dígitos. Estos dígitos definen aproximaciones sucesivas

del número. Veamos algún ejemplo:

Ejemplo

Para al número 2√ las aproximaciones son:

1,4

1,41

1,414

1,4142

1,41421

…



46 46

Ejemplo

Para el número π las aproximaciones son:

3,1

3,14

3,141

3,1415

3,14159

…

Para calcular la operación entre dos números reales utilizamos las aproximaciones sucesivas. Operando las dos

aproximaciones obtenemos los dígitos del resultado.

Ejemplo

Para la suma de 2√ y π, vamos aproximándola por truncamiento de racionales:

1,4+3,1=4,5

1,41+3,14=4,55

1,414+3,141=4,555

1,4142+3,1415=4,5557

1,41421+3,14159=4,55580

…

Si hacemos el cálculo de esta suma mediante una calculadora obtenemos que 2√+π=4,55580621596…

Y observamos que el valor que hemos obtenido con las aproximaciones se acerca al valor de la calculadora.

Ejemplo

Para la resta de 2√ y π, procedemos de un modo muy similar:

1,4−3,1=−1,7

1,41−3,14=−1,73

1,414−3,141=−1,727

1,4142−3,1415=−1,7273

1,41421−3,14159=−1,72738

…

Si calculamos en una calculadora obtenemos que 2√−π=−1,72737909121… valor al que se aproxima nuestra

diferencia de racionales truncados.



47 47

Ejemplo

Para el producto de 2√ y π, tenemos que:

1,4⋅3,1=4,34

1,41⋅3,14=4,4274

1,414⋅3,141=4,441374

1,4142⋅3,1415=4,4427093

1,41421⋅3,14159=4,44286799

…

Este cálculo, mediante calculadora, nos da 2√⋅π=4,442882938… que corresponde al mismo valor que se obtiene

por producto de racionales truncados.

Ejemplo

Finalmente, para el cociente de 2√ y π, procedemos del mismo modo:

1,4/3,1=0,451612903

1,41/3,14=0,449044586

1,414/3,141=0,450175103

1,4142/3,1415=0,450167118

1,41421/3,14159=0,450157404

…

Si calculamos en una calculadora obtenemos que

2√/π=0,4501581580785…

Y observamos que el valor que obtenemos se va acercando al real.

Suma de números reales

Dados dos números reales cualesquiera a y b denotamos con a+b a su suma.

El punto que corresponde al número a+b se obtiene trasladando la longitud del segmento 0b¯¯¯ a partir del

punto correspondiente a a, hacia la derecha si b es positivo, y hacia la izquierda si b es negativo.

Propiedades de la suma

1. Propiedad asociativa: dados tres números reales cualesquiera a,b y c, se cumple:

a+(b+c)=(a+b)+c



48 48

es decir, al sumar tres números reales distintos, no importa por cuales se empieza: si se suman los dos primeros

y al resultado le sumamos el tercero, da el mismo resultado que si primero sumamos los dos últimos, y al

resultado le sumamos el primero.

2. Propiedad conmutativa: Para todo par de números reales a y b se cumple:

a+b=b+a

es decir, el orden de los sumandos no altera el resultado.

3. Elemento neutro: existe un número real, el 0, que sumado a cualquier otro número real a, da a como resultado:

a+0=a

4. Elemento opuesto: para todo número real a existe otro número real, que denotamos −a, que al sumarlos nos dan

el neutro 0 como resultado. Llamamos −a al elemento opuesto de a. Gráficamente es el punto simétrico

de a respecto al 0.

Todas estas propiedades, se resumen diciendo que el conjunto R es un grupo conmutativo o grupo abeliano con

la operación +.

Observemos que restar un número real a otro, consiste en sumar su opuesto: a−b=a+(−b).

Producto de números reales

Si a y b son dos números reales, designamos su producto con a⋅b.

Podemos construir gráficamente el producto entre dos números a y b aplicando el teorema de Tales.

Empezamos colocando sobre la recta real los números a y b , así como la unidad.

Trazamos una recta auxiliar que pase por el punto 0, y situamos en ella, a partir de 0 la longitud 0b¯¯¯,

obteniendo así un punto P.

Unimos ahora los puntos P y 1 con una recta, y trazamos la paralela a esta que pasa por el punto a. Dicha

paralela corta la recta auxiliar en un punto P′.

La longitud del segmento 0P′¯¯¯¯¯¯ es exactamente a⋅b.

Efectivamente, usando el teorema de Tales tenemos que:

01¯¯¯¯0a¯¯¯¯=0P¯¯¯¯0P′¯¯¯¯¯¯⇒01¯¯¯¯⋅0P′¯¯¯¯¯¯=0a¯¯¯¯⋅0P¯¯¯¯

Pero al tener que, 0a¯¯¯¯=a,0P¯¯¯¯=b y 01¯¯¯¯=1, entonces:

01¯¯¯¯⋅0P′¯¯¯¯¯¯=0a¯¯¯¯⋅0P¯¯¯¯⇒1⋅0P′¯¯¯¯¯¯=a⋅b⇒0P′¯¯¯¯¯¯=a⋅b

Así que trasladando la longitud 0P′¯¯¯¯¯¯ sobre la recta a partir de 0 obtendremos el punto correspondiente al

número a⋅b.



49 49

Ejemplo

Para multiplicar gráficamente los números 0,8 y 0,5 debemos marcarlos sobre la recta real, junto com el

número 1.

Trazamos una recta auxiliar que pase por 0 y marcamos el punto P en ella.

Trazamos la recta paralela a 1P¯¯¯¯ que pase por 0,5 marcando así el punto P′.

Trasladando la distancia 0P′¯¯¯¯¯¯ sobre la recta real encontramos el punto correspondiente a 0,8⋅0,5=0,4=P′′.

Propiedades del producto:

1. Propiedad asociativa: dados tres números reales cualesquiera a,b y c, se cumple:

a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c

es decir, al multiplicar tres números reales distintos, no importa por cuales se empieza: si se multiplican los dos

primeros y al resultado le multiplicamos el tercero, da el mismo resultado que si primero multiplicamos los dos

últimos, y al resultado le multiplicamos el primero.

2. Propiedad conmutativa: Para todo par de números reales a y b se cumple:

a⋅b=b⋅a



50 50

es decir, el orden de los factores no altera el producto.

3. Elemento unidad: existe un número real, el 1, que multiplicarlo a cualquier otro número real a, da a como

resultado:

1⋅a=a

4. Elemento inverso: para todo número real a existe otro número real, que denotamos a−1, o bien 1a, que al

multiplicarlos nos dan la unidad 1 como resultado. Llamamos a a−1 elemento inverso de a.

Observamos que todas estas propiedades también definen el conjunto de números reales como un grupo

abeliano con la operación ⋅. Para construir gráficamente el inverso de a situamos sobre la recta real los números a,1 y 0.

Trazamos una recta auxiliar por 0, y situamos en ella, desde 0, un segmento de longitud 1.

Sea P el extremo de dicho segmento.

Unimos P con a y trazamos una paralela a aP¯¯¯¯¯ que pase por 1, encontrando así un punto P′.

El segmento 0P′¯¯¯¯¯¯ tiene longitud a−1.

Efectivamente, usando el teorema de Tales tenemos que:

01¯¯¯¯0a¯¯¯¯=0P′¯¯¯¯¯¯0P¯¯¯¯

Pero tenemos que 0P¯¯¯¯=01¯¯¯¯=1 y 0a¯¯¯¯=a, con lo que obtenemos que:

0P′¯¯¯¯¯¯1=1a⇒0P′¯¯¯¯¯¯=1a=a−1

Así que para encontrar el punto a−1 debemos trasladar el segmento 0P′¯¯¯¯¯¯ sobre la recta real.

Ejemplo

Para dibujar el número inverso de 3,3−1=13, nos marcamos sobre la recta los puntos 3,1 y 0:

A continuación marcamos sobre una recta auxiliar un punto P trasladando el segmento 01¯¯¯¯.

Trazamos la recta que une el punto P con el punto 3, y construimos una paralela a esta que pase por el punto 1,

marcando de esta forma el punto P′ sobre la recta auxiliar.

Una vez hecho esto, solamente nos queda trasladar el punto P′ sobre la recta real, obteniendo así el

punto P′′=3−1.



51 51

Además, también se da que dividir un número real a otro, consiste en multiplicar su inverso:

ab=a⋅1b=a⋅b−1

Existe también una última propiedad que relaciona la suma y el producto de números reales:

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: dados tres números reales cualesquiera a,b y c, se

cumple que:

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c

Esta propiedad, junto con todas las de la suma y todas las del producto definen a R como una estructura

que denominamos cuerpo conmutativo con unidad.



52 52

Producto de N° Reales: Para multiplicar N° reales con una aproximación de “n” cifras decimales:

Se escribe la mejor aproximación con “n” cifras decimales de cada factor.

Se efectúa el producto.

El resultado se da solamente con “n” cifras decimales.

Ejemplos: 1)Resuelve 41,1

34,1.

41,1

34,1.

3

23,2

41,1

34,1.

2

34,1.

3

5

Propiedades de la multiplicación de N° reales:1) Conmutativa: a . b = b. a

Resuelve: 1) 4,5 . 3,6 = 2) 5,3.4

6 3) 3.5

2) Asociativa: a . b . c = a . (b . c) = (a . b) . c Resuelve: 1) 5,4 . 5,3 . 3 = 2) 2

7.4,6.4

3) Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a

Resuelve. 1) 5 .1 = 2) 6 . 1 = 3) 7 .1 = 4) -5 . 1 = 5) 1.3

4) Elemento Simétrico: a . 1/a = 1 Resuelve: 1) 11

1.11

2

1.2)2

5) Distributiva: a . { b c} = a . b a . c Resuelve: 1) 3 . (3,5 + 4) 2) 6

4 . ( 6 + 2,5)

Calcular el producto de dos reales utilizando aproximaciones

racionales.

Aplicar las propiedades de la multiplicación de números reales.

Resolver problemas utilizando la multiplicación y división de

números reales.

4



53 53

Casos de Multiplicación en R

Caso 1 Multiplicación de un racional por un irracional

Multiplicar 8

9(racional) por 3 (irracional)

Como 8

9=1,125 y 3 = 1,7320508

1,1 . 1,7 = 1,8 aproximación por defecto a las décimas

1,12 . 1,73 = 1,93 aproximación por defecto a las centésimas

1,125 . 1,732 = 1,948 aproximación por defecto a las milésimas

En conclusión

Actividades 1

L a multiplicación de un racional por un irracional da un irracional

Multiplicar atendiendo a la aproximación indicada en cada caso.

1) 2.8

9 con aproximación por defecto a las décimas

2) 3.8

1 con aproximación por defecto a las centésimas

3)7

4.5 con aproximación por defecto a las milésimas

4)6

5.65 con aproximación por defecto a las centésimas



54 54

Caso 2 Multiplicación de dos racionales

Multiplicar los racionales 8

3 y

8

5

Como8

3 =0,375 y

8

5= 0,625




En conclusión

Actividades 2

L a multiplicación de dos racionales da como resultado un racional


1)5

1.

8

9 con aproximación por defecto a las décimas

2)6

5.

7

6 con aproximación por defecto a las milésimas

3)7

4.

5


4)6

5.

3

4 con aproximación por defecto a las centésimas



55 55

Caso 3 Multiplicación de dos números irracionales

Multiplicar 3 y 52

Como 3 = 1,7320508 ; 52 = 2,236058




En conclusión

Actividades 3

L a multiplicación de dos irracionales, el resultado puede ser racional o un irracional


1)3

12.

4


2) 7).2

5.2( con aproximación por defecto a las diezmilésimas

3) )3

376,2).(

5

32( con aproximación por defecto a las centésimas

4) )8.4

10).(

3

715(

con aproximación por defecto a las décimas



56 56

División en R

Ejemplos

Dividir 3,263 y 2, 468 con aproximación a las milésimas

3,263 2, 468 = 1,322

Dividir5

2)76,252( con aproximación por defecto a las centésimas

5

2)76,252( = 08,812,1.22,712,1).76,246,4(

2

24,2).76,223,2.2(

2

5).76,252(

Actividades 4

Resolver las siguientes divisiones atendiendo a la cada aproximación

1) 3,896 0,4 con aproximación por defecto a las décimas

2) )625()261,3612( con aproximación por defecto a las milésimas

3)12

2)

8

17

4

13()

6

7

3

7( sin aproximación

4)9

1)

3

1

90

7

30

7( sin aproximación

5)12,78 123,1001 con aproximación por defecto a las diezmilésimas

6) 3163 8,184 con aproximación por defecto a las milésimas

7) )18

6584(

con aproximación por defecto a las décimas



57 57

Identifica los números racionales e irracionales:

a) 34,3458______ b) 5,3434________ c) 7

2 _______ d) 6/8 _______ e) 56,2 _______

f) 2,02003______ g) 7 ______ h) 3 ______ i) ℮ = 2,71828______

Determina, para cada número real que se especifica, sí la aproximación

que se da es por defecto o por exceso:

a) 3,31 de ℮ 6 _____ b) 2,3 de 5 ______ c) 3,2 de π ________ d) 2,45 de 6,25 _____

e) 3,17 de 10 ______ f) 1,12 de 1,25_______

Resuelve el racional y determina si la expresión decimal es mixta o pura, y sus partes:

a) 5/13 b) 81/4 c) 24/5 d) 125/90 e) 20/12

f) 2/7 g) 11/20 h) 10/3 i) 52/99 j) 6/12

Calcular la fracción generatriz de los siguientes decimales:

a) f=3,456 b) f=44 ,28 c) f= 35,285 d) f= 59,4

e) f= 126,835 f) f= 23,567 g) f= 30,54 h) f=349,34

Suma los siguientes N° reales: a) 5/4 + 3/6 + 2

3 b)

3

4 + 2,36 + 7

c) 7,52 + 6 + 2 d) 6 + 1,28 + 0,34

2 3 4



58 58

Aplica las propiedades de la suma de N° reales:

a) Conmutativa 3 + 7 b) Conmutativa 8 + 9

4 2

c) Asociativa 5 + 1,34 + 3 d) Asociativa 8 + 4 + 0,32

2 3

e) Elemento neutro 2,382 + √2 + 3 + 0 =

5 7

f) Elemento simétrico √2 + 3 = g) Elemento simétrico 3 + 8 =

5 2

Problemas de suma y resta de N° reales:

a) Un terreno mide 32.000m2. Se dividirá en 5 partes. La primera 2/5 de la longitud; la segunda ¼; tercera 2/5;

la cuarta 1/5 y la quinta 1/8. ¿Cuántos metros corresponden a cada parte?

b) Una torta pesa 4 Kg. Se dividirá entre Luis 2/5; Pedro 1/5; Julio 2/7 y Javier 2/9. ¿Cuánto Kg le tocó a

cada uno?

c) La distancia entre dos ciudades es de 356 Km. Si un vehículo parte de una ciudad hacia la otra, y

hace el siguiente recorrido: la primera hora recorre 1/9 de la distancia; la segunda hora 2/5; la

tercera hora 1/5; y la cuarta hora 2/7. ¿ Qué distancia recorrió el vehículo?

Representa los N° irracionales:

a) √25 b) √29 c) √34 d) √45 e) √41

f) √52 g) √58 h) √61 i) √32 j) √74



59 59

PROPIEDADES DE LA POTENCIA EN NÚMEROS REALES

La potencia como operación matemática se considera una multiplicación abreviada. En ella se diferencian dos

partes la base, que es el número que se multiplicará, y el exponente, éste nos indica la cantidad de veces que se

multiplicará la base por sí misma.

La operación potencia dentro de los diferentes conjuntos numéricos respeta determinadas propiedades, en este

caso se analizarán para el conjunto de los números reales. Es importante tenerlas en cuenta porque aprendiéndolas se

pueden resolver en forma más dinámica los ejercicios combinados que siempre son un dolor de cabeza para los

estudiantes.

Propiedades:

Producto de potencia de igual base: cuando se da el producto entre dos potencia de igual base, el resultado es

una potencia de igual base y el exponente es la suma de los exponentes de los factores.

Calcular potencias de números reales con exponente

entero.

Aplicar las propiedades de la potenciación de

números reales con exponente entero.

5

http://neetescuela.com/propiedades-de-la-potencia-en-numeros-reales/dibujo-0-3/

http://neetescuela.com/wp-content/uploads/2011/04/definicion-de-potencia1.jpg

http://neetescuela.com/propiedades-de-la-potencia-en-numeros-reales/dibujo-2/
























60 60

Cociente de potencia de igual base: cuando se da el cociente o división entre dos potencia de igual base, el

resultado es una potencia de igual base y el exponente es la resta de los exponentes del divisor y dividendo.

Potencia de otra potencia: Cuando una potencia se encuentra elevada a otro exponente, el resultado es

una potencia de igual base elevado al producto de los exponentes.

Potencia de exponente negativo: Si una base se encuentra elevada a un exponente menor que cero, se

invierte la base, (en el caso de números fraccionarios el denominador se convierte en numerador y el numerador

en denominador) y se eleva al opuesto del exponente ( su valor absoluto).

Y por último toda potencia cuyo exponente sea 0 da como resultado 1.

Todo número elevado a la 0 da 1.

Distributiva de la Potencia con respecto a la multiplicación: La potencia es distributiva con respecto

a la multiplicación y división de reales pero NUNCA con respecto a la suma y resta.

http://neetescuela.com/propiedades-de-la-potencia-en-numeros-reales/distributiva-de-la-division/

http://neetescuela.com/propiedades-de-la-potencia-en-numeros-reales/dibujo3/


http://neetescuela.com/propiedades-de-la-potencia-en-numeros-reales/dibujo/


































61 61

Distributiva de la potencia con respecto a la división de reales

Actividades 1

Actividades 2

Actividades 3

Escribe como producto o como potencia según lo indique las expresiones dadas

1) 3 + 3 + 3 + 3 2) 5 . 5 . 5 . 5 . 5 3) 7 + 7 + 7 4) 2 . 2 . 2. 2. 2

5) (a+b) . (a+b).(a+b) 6) (ab) + (ab) 7) a.a.a.a.a. n veces 8) 3333

Resuelve las siguientes operaciones

1) 35 2)

3

4

5

5 3)

3

3

4

4) 4

)5(

5) 23)(

5) (x+y) 4 (x+y)

8 6) (ab)

3 . (ab) 7) (4+4+4).(3+3).2

3 8)

3

4)3( 0

Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades

1) 38 . 3

3 2) 5

5 5

2 3)

23)7( 4) 3)2.3( 5) 3

2

4

)3

3(

6)

2

2234

3232

)5.3.4(

)4.5.3(

7)

3

53

2

05

3

2.4.

4

2.3 8) (ab)

y. (ab)

x 9)

3

6

43

)2.(3

)2.()3.()2( 10)

4)3.3(

http://neetescuela.com/propiedades-de-la-potencia-en-numeros-reales/distributiva-de-la-multiplicacion/








62 62

Raíz enésima de un N° real:

ban = signo radical

a = cantidad sub-radical

n = índice de la raíz

b = raíz n-sima de a

Si a y b son números reales y “n” un número natural, se dice que “b” es la raíz enésima de “a” sí cumple que

bn = a (a 0 y b 0 cuando “n” es par).

b ban b

n = a

Cálculo de raíces cuadradas:

Ejemplo:

1) Sea calcular 625

a) Formamos grupos de os cifras, de derecha a izquierda. El último grupo puede tener 1 ó 2 cifras. 25.6

Se extrae 6 con un error menor que la unidad: 6 = 2

625 2

c) Se eleva al cuadrado el 2 y se resta de 6 : 6 – 4 = 2

6 . 25 2

-4

2

Definir la raíz n-ésima de un número real.

Resolver problemas que conduzcan al cálculo de la

raíz cuadrada de un número real positivo.

6



63 63

d) Se coloca a la derecha del resto el grupo siguiente al 6(25) y se separa una cifra a partir de la derecha.

6 . 25 2

-4

22.5

e) Se toma el doble de 2 que es 4 y se coloca debajo de él.

6.25 2

-4 4

22.5

f) Se divide 22:4 y el resultado 5 se coloca a la derecha del 2 y del 4.

6.25 25 Se efectúa 45 x 5 y se resta de 225

-4 45 x 5 =225

22.5

- 22.5 0

Hallar la raíz cuadrada de los siguientes números:

a) Sea calcular √123 b) Sea calcular √2345 c) Sea calcular √1345

d) Sea calcular √2763 e) Sea calcular √354 f) Sea calcular √276



64 64

En este capítulo vamos a ver una pequeña explicación muy básica sobre la raíz cuadrada

La raíz cuadrada ¿Qué es una raíz cuadrada?

Calcular una raíz cuadrada es la operación opuesta de elevar al cuadrado un número.

La raíz cuadrada de un número x se simboliza así: x

Para elevar al cuadrado un número natural simplemente se multiplica el número por sí mismo. O sea, se eleva a la segunda potencia: 7 × 7 = 72 = 49.

Y la raíz cuadrada es el opuesto de eso. Por ejemplo (si sólo hallamos las raíces positivas):

√16 = 4 ya que 4 × 4 = 16.

√36 = 6 ya que 6 × 6 = 36.

√100 = 10 ya que 10 × 10 = 100.

√10,000 = 100 ya que 100 × 100 = 10,000.

√0.01 = 0.1 ya que 0.1 × 0.1 = 0.01. √1/4 = 1/2 ya que 1/2 × 1/2 = 1/4.

La raíz cuadrada y el cuadrado

Hay una conexión simple entre estos conceptos.

Elevar al cuadrado un número n significa hallar el área de un cuadrado cuyo lado es este número n. Y, calcular la

raíz cuadrada de un número x es lo opuesto: hallar el lado de un cuadrado cuando la área es el número x.


leas!!!!!!!



65 65

Mira los ejemplos:

Cuadrar el número 9

Raíz cuadrada del número 9

Área = 92

lado = 9

Área = 9

lado = 9 = 3.

¿Cómo se la calcula?

1) Se puede encontrar el resultado de una raíz cuadrada haciendo uso de una calculadora. En ella hay un botón

para la raíz cuadrada, que está representado por el símbolo de la raíz (el radical) o por las siglas en inglés "sqrt".

Se presiona esta tecla antes o después de insertar el número del que se desea hallar la raíz, dependiendo de la

calculadora.

Nota que cuando tu calculadora da por ejemplo que 6 = 2.449489742783178098197284074706 (o con menos

cifras decimales), eso no significa que la raíz sea exactamente ese número. En realidad, si la raíz no es un

número natural, es un número irracional, y tiene representación decimal que nunca termina y nunca tiene ningún

periodo en sus cifras decimales. La calculadora sólo da una aproximación con tantas cifras cuantas caben en su

pantalla.

2) El método de "estimar y probar". Por ejemplo, para hallar 17 . Primero se hallan dos números naturales

entre los cuales se encuentra la raíz. En el caso de √17, el resultado se encuentra entre 4 y 5 ya que 16 es 4 y

25 es 5.

Entonces se estima la primera cifra decimal del resultado. Ya que 17 está muy cerca de 16, voy a estimar que √1

17 es aproximadamente 4.1.

Entonces se efectúa la prueba elevando al cuadrado el número estimado: 4.1 × 4.1 = 16.81, o menos de 17.

Entonces 4.1 no es suficientemente grande, voy entonces a probar con 4.15.

4.15 × 4.15 = 17.2225 - es demasiado. Ya sé que 17 debe estar entre 4.1 y 4.15. Voy a probar 4.125:

4.1252 = 17.015625 - es un poquito demasiado. Entonces el resultado está entre 4.1 y 4.125. ¿A lo mejor 4.115?

4.1252 = 16.933225. Entonces el resultado está entre 4.115 y 4.125. ¿A lo mejor 4.117?



66 66






Y etcétera.

3) Algoritmo babilónico.

Esta es otra manera de calcular la raíz cuadrada. Este método da una respuesta más exacta cuantas más veces se utiliza. En él, se usa el promedio y la división así:

Primero se halla una aproximación de la raíz que se quiere encontrar.

Luego se divide el número cuya raíz se quiere encontrar con la aproximación. Luego se calcula el promedio de

estos dos resultados - y éste será tu nueva aproximación para la raíz. Y se repite el proceso.

Por ejemplo:

Hallar 44 . La aproximación inicial puede ser 7.

Dividimos 44 por éste: 44/7 = 6.285714.

Hallamos el promedio de 7 y 6.285714: (7 + 6.285714)/2 = 6.642857.

Ahora repetimos el proceso utilizando este promedio (6.642857) como mi nuevo valor aproximado de 44.

Por lo tanto, de forma análoga a lo que hicimos antes, dividimos 44 por 6.642857: 44/6.642857 = 6.623656. Y

hallamos el promedio: (6.642857 + 6.623656)/2 = 6.6332565.

Una vez más, repetimos el proceso: dividimos 44 por 6.6332565: 44/6.6332565 = 6.633242. Y hallamos el

promedio: (6.6332565 + 6.633242)/2 = 6.63324925. Etcétera.

4) Algoritmo decimal.

¿Y qué de las raíces negativas?

Si elevas un número negativo a la segunda potencia (lo elevas al cuadrado), el resultado es positivo: (-5) × (-5) = 25

(porque negativo por negativo es positivo).

http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada#Algoritmo_decimal



67 67

De allí deducimos que todo número positivo tiene dos raíces cuadradas. Las dos raíces cuadradas de 25 son 5 y -5!

Las dos raíces cuadradas de 64 son 8 y -8, ya que ambos 82 y (-8)2 dan como resultado 64.

NOTA: Cuando se usa el símbolo radical siempre se hace referencia a la raíz NO negativa. Por ejemplo 16 = 4

(y no -4).

¿Se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo?

Bueno, este caso difiere de la situación anterior. Esta vez tenemos un número negativo "debajo de la

raíz", como por ejemplo 25 .

¿Se puede hallar un número cuyo segunda potencia sea -25?

Pues, 5 no sirve ya que 5 × 5 = 25. Y -5 tampoco sirve ya que (-5) × (-5) = 25.

Resulta que no hay solución ... en el conjunto de los números reales.

Pero... si te aventuras a estudiar números imaginarios, si hay solución: 25 = 5i, donde i es la unidad

imaginaria.

Actividades 1

Actividades 2

Hal1ar el resultado de las siguientes raíces

1) 64 2) 3 64 3) 184 4) 5 32 5) 3 125

6) 9 7) 4 8) 5 243 9) 5 225 10) 4 16

Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números reales positivos

1) 121 2) 289 3) 841 4) 196 5) 529

6) 169 7) 3969 8) 4900 9) 400 10) 100

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario



68 68

Actividades 3

Actividades 4

PROBLEMAS QUE CONDUCEN AL CÁLCULO DE UNA RAÍZ CUADRADA

Ejemplos

1.-La suma de los cuadrados de dos números es 481 y el número menor es 15. Hallar el número mayor.

a2 = cuadrado del número mayor a

2 + b

2 = 481 condiciones del problema

b2 = cuadrado del número menor a

2 + (15)

2 = 481 sustituyendo b=15

a2 + 225 = 481 operando

a2 = 481- 225 despejando a

2

a

2 = 256

256a extrayendo la raíz

a=16 número mayor

Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números con aproximación 0,1

1) 7 2) 5 3) 2 4) 24 5) 36

6) 27 7) 122 8) 326 9) 501 10) 1989

Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números con aproximación 0,001

1) 6,46 2) 93,54 3) 0,258 4) 0,19 5) 18,39

6) 2,456 7) 2,13 8) 1,163 9) 9,1768 10) 15,76



69 69

2.-La superficie de una moneda de Bs 500 es de 637,62 mm2 .Calcular su radio.

Datos Ecuación

S= 637,62 mm2

S=π. r2 Despejando r

2

r= ¿

Sr 2 ;

Sr Sustituyendo

Solución mmrmmrmm

r 24,1406,20314,3

62,637 22

3.-Un nadador cruza un río cuyas aguas tienen una velocidad de 2 Km/h. Si nada perpendicularmente a la

corriente con una velocidad de 5 Km. Calcular la velocidad resultante.

Aplicando el Teorema de Pitágoras

Solución 222yxr VVV ; 22

yxr VVV = 22 )/5()/2( hKmhKmVr

2222 /25/4 hKmhKmVr = 22 /29 hKmVr = 5,38 Km/h

Actividades 5


1.- Calcular la longitud del lado de un cuadrado que tiene un área de 196m2. R. 14 m

2.- El área de un círculo es de 50,24 cm2. ¿Cuál es el radio? R. 4 c m

3.- Calcular el radio de un cilindro sabiendo que el área de la base es de 1017,36 mm2

R. 18 mm

4.- El volumen de un cilindro es de 157 cm3 y su altura es de 0,02 cm. Calcular su radio. R. 50 cm

5.-Se tiene un circulo que tiene un área de 1661,06 cm2 . Hallar el radio R. 23 c m

6.-La altura de un cilindro es de 6,5 m y su volumen es de 19614,01 m. ¿Cuál es el radio? R. 31 m

Datos

Vx= 2 Km/h (velocidad de la corriente)

Vy= 5 Km/h (velocidad del nadador)

Vr= ¿



70 70

Radicales y exponentes radicales

Si a es un número real, entonces su raíz cuadrada es el número real no negativo cuyo cuadrado

es a. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, pues 42 = 16. De modo parecido, la raíz cuarta del número no

negativo a es el número real no negativo cuya curta potencia es a. Por lo tanto, la raíz cuarta de 16 es 2, pues

24 = 16. Se puede definir raíces sexta, octava, y así sucesivamente.

Muy bien, ¿Y qué tal las raíces impares?

Hay una diferencia pequeña con las raíces impares: Por ejemplo, la raíz cúbica de cualquier número a es el

número único cuyo cubo es a. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 (pues 23 = 8). Note que se puede tomar la

raíz cúbica de cualquier número: positivo, negativo, o cero. Por ejemplo, la raíz cúbica de 3 8 es -2, pues

(-2)3 = -8. Al contrario de las raíces cuadradas, raíces cúbicas pueden ser negativas. En realidad, la raíz cúbica

de a tiene siempre el mismo signo que a. Las otras raíces impares son definidas en la manera parecida.

Raíz n-ésima de un número real

Ya has recordado cómo calcular las raíces cuadradas y cúbicas oralmente y utilizando la tabla,

y viste que ambas son las operaciones inversas de elevar al cuadrado y al cubo respectivamente, es decir

que:

Esta idea puede ser generalizada definiendo la raíz de índice n como la operación inversa

de la potenciación de exponente n. Para hacerlo observa que:

Expresar mediante radicales, potencias de números reales

con exponente racional.

Operar con radicales, utilizando las leyes de la potenciación

en R con exponente racional.

Operar con radicales semejantes.

7

http://matematica.cubaeduca.cu/medias/interactividades/temas_10mo/04_Potencias_y_ra%C3%ADces/res/Dibujo 8.jpg









71 71

Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa, por ejemplo:

5 es raíz cuadrada de 25 porque 52 = 25 y

- 5 es raíz cuadrada de 25 porque (-5)2 = 25

por lo que 25 tiene dos raíces cuadradas. A la raíz positiva se le llama raíz aritmética.

Los números negativos no tienen raíz cuadrada.

Todo número real tiene una raíz cúbica, por ejemplo:

2 es raíz cúbica de 8 porque 23 = 8 y

- 2 es raíz cúbica de - 8 porque (-2)3 = -8. esta raíz es única y es la raíz cúbica aritmética.

Esto nos permite escribir la siguiente definición:

Definición de raíz n-ésima

Sea y , n > 1 se llama raíz n-ésima de a a todo número real x, tal que satisface la

ecuación xn = a. Si la ecuación no tiene solución, a no tiene raíz n-ésima.

Ejemplo:

Determina todas las raíces de:

a) cuarta de 16. ; b) quinta de - 32. ; c) sexta de - 3.

Respuesta:

a) 2 y - 2 son raíces cuartas de 16, ya que 24 = 16 y (-2)4 = 16.

b) - 2 es raíz quinta de 32, ya que (-2)5 = 32.

c) - 3 no tiene raíz sexta, pues en el conjunto de los números reales no es posible hallar la raíz de

índice par de números negativos.

En general se cumple que:



72 72

Para recordar...:

a) Si n es par, todo número real positivo tiene dos raíces n-ésimas, una positiva y otra negativa. Los

números reales negativos no tienen raíz n-ésima cuando n es par.

b) Si n es impar, todo número real a tiene una raíz n-ésima del mismo signo que a.

En el caso de n par se llama raíz aritmética a la positiva y en el caso de n impar la única que existe se

llama raíz aritmética.

Para indicar la raíz aritmética de a se utiliza el símbolo: .

1. El símbolo es el signo de raíz y se llama radical.

2. El número a se llama cantidad subradical o radicando y es el número al cual se le calcula la raíz n-

ésima.

3. El número natural n se llama índice del radical e indica al exponente al que hay que elevar la raíz para

obtener la cantidad subradical; cuando n = 2 no se escribe y se sobreentiende que se calcula la raíz

cuadrada.

PARTES DE UN RADICAL

En la imagen, el tres es el radicando y el cuatro el índice, lo que se debe obtener es la cuarta raíz

de tres. Normalmente se llama radical a cualquier raíz indicada de un número o de una expresión

algebraica.



73 73

Ejemplo:

Determina la raíz indicada en cada inciso:

a) ; b) ; c)

Respuesta:

a) = 2, porque 24 = 16. ; b) = - 1; porque (-1)5 = - 1.

c) no tiene sentido, ya que no se puede calcular la raíces de índice par de números negativos en el

conjunto de los números reales.

Para cualquier número real a para el cual la raíz n-ésima tiene sentido se cumple la

igualdad: .

Observa que: si n es par.

De esta manera se cumple que:

En general se cumple que:

y en particular: .

Radicación en R: La radicación consiste en hallar números que elevados a 2 „o elevados a 3,

den el número expuesto en la parte sub.-radical. Si es elevado a 2 se llamará raíz cuadrada, y si es elevado

a 3 se llamará raíz cúbica.

Simplificación de radicales:

Para simplificar radicales, se divide su índice y el exponente de la parte sub.-radical por el mismo

número.

Ejemplo: Ejercicios resueltos



74 74

Simplificar

a) 35125 ; b) 55125 6 36 ; c) ababbaba 3)3(39 4 24 2224 22

CAMBIO DE LA FORMA RADICAL A EXPONENTE FRACCIONARIO

Una expresión de la forma n ba se puede escribir con exponente fraccionario mediante la siguiente

regla.

Ejemplo

Expresar con exponente fraccionario los siguientes radicales

n ma = n

m

a ; 3 45 = 3

4

5

Actividades 1

CAMBIO DE EXPONENTE FRACCIONARIO A LA FORMA RADICAL

Toda potencia de exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el denominador del

exponente, la cantidad subradical es la base de la potencia elevada a un exponente igual al numerador.

Ejemplos

aa 2

1

; 4 34

3

55

El exponente de la cantidad subradical se escribe en el numerador y el índice de la raíz

se escribe en el denominador del exponente racional.

Escribir con exponente fraccionario

1) 3 2 2) 4 abc 3) 5 32nm 4)

4 35ab 5) 3 3227 ba

6) 3 28 7)

7 342 bac 8) 5 36 zxyb 9) abc 10)4 37x



75 75

Actividades 2

POTENCIACIÓN EN R CON EXPONENTE RACIONAL

Potencia de exponente racional positivo simbólicamente n mn

m

XX

Potencia de exponente racional positivo simbólicamente n m

n

m

X

X1

ó también

n

mn

m

X

X1

Potenciación de radicales simbólicamente n mmmn yxyx .)(

Ejemplo

1) 182.92.323)23( 2222

2) 3 23 233 243 2223 2223 22222)2(4)4( aaaaaa

3) 61235276128)33()33.22(2)22()3322( 222

Actividades 3

Escribir en forma de radicales

1) 3

2

3 2) 2

1

a 3) 4

7

4

5

qp 4) 24

3

4

3

)( ba 5)

3

1

3

7

3

4

4

y

x

6) n

w

n

r

yx 7) 2

3

6 8) 2

5

2

4

2

3

cba 9) 6

3

x 10) 6

5

6

4

6

3

zyx

Si queremos elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia

el coeficiente y la cantidad subradical, luego se simplifica el resultado.



76 76

RADICACIÓN DE RADICALES O RAÍZ DE UNA RAÍZ

mnm n XX

Ejemplos

1) 44 44 55 xxxxxx ; 2) 33 23

2

6

46 43 4222216

3) 44 4 222232 aaa ; 4) 66

1

12

2

12 24 3 2 )()()()())( yxyxyxyxyx

Actividades 4

TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DE INDICE DIFERENTE A IGUAL INDICE (MINIMO

COMÚN ÍNDICE)

En esta operación se siguen los pasos siguientes:

1) Se calcula el mínimo común de los índices el cual será el índice común.

Resolver aplicando la regla anterior

1) 2)32( 2) 36 85 )95( nm 3) 2)( yx 4) 2)36( 5) 2)274(

6) 23 )46( 7) 2)2435( 8) 23 )94( a 9) 2)3( ax 10) 2)52(

Para hallar la raíz de una raíz, se multiplican los índices entre sí, se escribe

la misma cantidad subradical, luego se simplifica el resultado si es posible.

Simplificar

1) 8x 2) 5 63125 yx 3) 4 4)( nm 4) 3 43nm 5) 1110243 nm

6) 3 64 7) 5 3729 a 8)

13124 ba 9) 3 256 10) 3 18764 nm



77 77

2) Se eleva cada cantidad subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice de

su radical.

Ejemplos

Transformar a un índice común los radicales 3 2 y 4 3

3 2 ; 4 3 El mcm de los índices (3 y 4) es 12

12 42 ; 12 33 1216 ; 12 27

Actividades 5

RADICALES SEMEJANTES

Ejemplos

1) 3 65 xy ; 3 68 xy Son semejantes porque tienen el mismo índice 3 y la misma cantidad subradical 6xy

2) 4 23 a ; 6 3a No son semejantes porque tienen diferentes índices (4 y 6) y la cantidad subradical

también es diferente.

3) Dados los siguientes radicales 150 y 216 determinar si son semejantes

Solución: Para determinar si estos radicales son semejantes se tienen que simplificar a su mínima expresión,

descomponiéndolos en sus factores primos, así:

Transformar a un índice común cada par o terna de radicales

1) 3 ; 4 5 2) 3 2a ;

4 2b ; 6 4c 3)

9 63m ; 3 32y 4) 8 ; 3 4 5) 5 27ab ; 3 24yx

6) 4 6 ; 8 7) 3 2x ; 9 5y ; 6 3z 8) 3 4 x ; 4 3 32 9) 3 a ; 5 b 10)

8 42x ; 4 342 x

Dos o más radicales son semejantes cuando, reducidos a su forma más

simple, tienen el mismo índice y el mismo subradical.



78 78

150 2 216 2

75 3 108 2

25 5 54 2

5 5 27 3

1 9 3

3 3

1

150= 2.3.52 216= 2

3.3

3

150 = 25.3.2 = 653.25

216 = 33 3.2 = 663.23.23.3.2.2 22

Como podemos observar 150 y 216 son semejantes por tener el mismo índice y la misma parte subradical.

Actividades 6

1) Observa los siguientes radicales: 23 ; 35 ; 24 ; 38 ; 27 a) Agrupar los radicales que son semejantes

b) ¿Qué criterio se utilizó para hacer dicha agrupación?

2) Dado los radicales 2 y 162

a) ¿Son semejantes? Justificar la respuesta

b) Simplificar 162 .¿Qué resultado se obtiene?

c) Responder nuevamente la pregunta a.

3) Dados los siguientes grupos de radicales, determinar cuáles son semejantes

a) 125 ; 20 ; 45 ; 180 b) 5 ; 53 ; 56 ; 53

c) 18 ; 24 ; 54 d) ba3

3

4 ;

36 ab ; 33

9

2ba

e) 3 4 yx ; 6 28 yx ; 3 1073 yxx f) 5

3

5

1

5

2

cba ; 2

1

2

1

2

1

cba ; 4

7

4

1

4

3

cba



79 79

Extracción de factores en un radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

1 Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando .

Ejemplo:

2 Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Ejemplo:

3 Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice.

El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el

exponente del factor dentro del radicando .

Ejemplo:

INTRODUCCIÓN DE UN FACTOR BAJO EL SIGNO RADICAL

Para introducir un factor bajo el signo radical se eleva el factor a una

potencia igual al índice de la raíz.



80 80

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Ejemplo:

a)

b)

Ejemplos

Introducir cada factor bajo el signo radical,

a) 32 23 xx Se introduce en el signo radical 3x2 y se eleva al cubo por ser 3 el índice de la raíz

3 32 2)3( xx =3 63 23 xx =

3 6227 xx =3 754x

b) 32

32)32(

x

xx Se introduce (2x+3) y se eleva al cuadrado por ser el índice 2

32

)32(32 2

x

xx = )32)(32( xx = )3()2( 22 x = 94 2 x

Actividades 7

AMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Introducir los factores bajo el signo radical

1) xx 54 2 2) 36 3) 342 xyzzyx 4) 5

5

2 5) 3243 . abccba

6) yx

xyx

2)( 7) 3 23 22 yxx 8)

4 36 32 aa 9) mnnm 27 23



81 81

Amplificar por x el radical c ba =

cx xba . en donde a R+ c 2 ; x 1

Ejemplos

a) Amplificar por 2: 6 122.3 2.63 6 aaa

b) Amplificar por 5: 3055

155.6

55

5.36

3

222 a

x

a

x

a

x

Actividades 8

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

La simplificación de radicales, consiste en reducir un radical a su forma más simple, de tal manera que

la cantidad subradical sea entera y de menor grado posible.

Para amplificar una raíz, se multiplica el índice de la raíz y los exponentes de la

cantidad subradical por un mismo número natural mayor que la unidad.

Amplificar por 3

1)5 3a 2)

4 63x 3) 3 4352 ba

Amplificar por 4

4)342 abc 5)

6 623 bca 6) 3 4327 baz

Amplificar por 8

7) 32 yxx 8) ab 9) 6 42316 bca



82 82

Ejemplos

Simplificar

a) 35648 cba ; b) yxx 34 189 c) 3

5

a) 35648 cba Se descompone el 48 en sus factores primos. Así: 48= 24 . 3 y con la parte literal se hacen

arreglos necesarios para que los exponentes sean divisibles por el índice de la raíz, así:

a6= a

6 ; b

5= b

4 b

; c

3= c

2c

35648 cba = 246432 bccba Se escribe debajo el signo radical la descomposición factorial y los arreglos de

la parte literal. Luego se dividen todos los exponentes por el índice de la raíz

quedando:

bccba 32 232= bccba 34 23

b) yxx 34 189

Se toma 9x4 como factor común

)2(9 3 yxx Se descompone el 9 en 32 y la x3 en x2 . x

)2(3 22 yxxx Se simplifica dividiendo los exponentes entre el índice de la raíz

)2(3 22 yxxx

c) 3

5

En este caso cuando el denominador es irracional se multiplican ambos términos de la fracción

por una cantidad tal, para que el denominador tenga raíz exacta.

3

5

= 15

3

1

9

15

3.3

3.5



83 83

Actividades 9

OPERACIONES CON RADICALES

Suma y sustracción de radicales

Para poder sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes, quiere decir que deben compartir el

mismo índice y radicando; también hay que estar familiarizados con la suma y resta de números con signo para

poder realizar estas operaciones.

Ejemplos:

Si tienes dificultad para entender las respuestas, ve la operación sin la raíz. Recuerda que si

no hay un número antes del signo de raíz, ese número es 1.

1.- 3 + 1 = 4 ; 2.- 5 – 2 = 3 ; 3.- 6 – 1 + 4 = 9 ; 4.- –5 – 3 – 1 = –9

Simplificar los siguientes radicales

1) 16 2) 144 3) x9 4) 249y 5) 38x

6) 3 327y 7) 9

4 8) 250y 9) 2232 yx 10) 349 cb

NOTA IMPORTANTE

Una expresión radical está simplificada si se cumple lo

siguiente:

No existen potencias que sean factores del

radicando.

Ningún radicando contiene una fracción.

Ningún denominador contiene un radical.



84 84

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

Para poder sumar o restar radicales tienen que ser semejantes, si no lo son, se deja la operación indicada.

Radicales semejantes

Los radicales semejantes tienen el mismo índice e igual radicando.

Suma de radicales Solamente pueden sumarse (o restarse) radicales que sean semejantes

Ejercicios de sumas y restas de radicales

a) b)

c) d)

e) f)

g)

h)

i)

RESPUESTAS



85 85

Multiplicación de radicales del mismo índice:

Para multiplicar radicales del mismo índice, se escribe el índice común y se multiplican las partes sub-

radicales.

1) 333 63.2 2) 5 55 45 2 62.3 aaa

Multiplicación de radicales con distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican .

a)

b)

Ejercicios de multiplicación de radicales

a)

b)

División de Radicales con igual índice: Para dividir radicales del mismo índice, se escribe el índice común

y se dividen las partes sub.-radicales.

Con mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el

mismo índice .

Cuando terminemos de realizar una operación e xtraeremos factores del radical , s i es

posible.

Reducción de radicales a índice común

1.-Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices , que será el común índice mci

2.-Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se

multiplica por sus exponentes correspondientes.

a)



86 86

División de radicales con diferente índice: Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical , si es posible.

Ejercicios de división de radicales

a)

b)

Potencia de radicales:

Para elevar un radical a una potencia, se eleva la parte sub-radical a dicha potencia.

Para elevar un radical a una potencia , se eleva a dicha potencia el radicando y se deja

el mismo índice .

Ejemplo:

1

2

Raíz de un radical: se halla la raíz de la misma parte sub-radical con índice igual al producto de los índices.

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los

dos índices .

Ejemplos: 1

2

http://www.vitutor.net/2/4/5.html#re



87 87

RACIONALIZACIÓN

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que

permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el

cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos:

1 Racionalización del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por

Ejemplos:

1

2

2 Racionalización del tipo Se multiplica numerador y denominador por

.

Ejemplos:

Aplicar el proceso de racionalización de fracciones

con radicales.

8



88 88

Actividades 1

3 Racionalización del tipo

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Se multiplica el numerador y

denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

Ejemplos:

1

2

Racionalizar con denominador monomio

1) 11

7 2)

53

40 2ba 3)

4 33

4 4)

3 22 yx

xyxy 5)

2

yx

6) a

ax

52

15 7)

3 5

6 8)

4 33

5

x

x 9)

22 2xx

xy 10) 3

23

xy

yx



89 89

3

Actividades 2

RACIONALIZACIÓN DE RADICALES

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones

equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama

racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta

multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción , multiplicaremos numerador y

denominador por

Racionalizar con denominador binomio

1) 27

310

2)

28

105

3)

yx

yx

23

4)

252

24

5)

3324

3625

6) 511

6

7)

27

4

8)

23

5

9)

25

25

10)

yxyx

yxyx



90 90

Otro ejemplo. Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por para eliminar la raíz del denominador:

También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por

Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.

, como vemos da el mismo resultado.

Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz

cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una

suma se multiplica por la resta, y viceversa.

Por ejemplo , multiplicamos numerador y denominador por



91 91

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una expresión

del tipo

Otro ejemplo: , ahora multiplicamos numerador y denominador por

Ecuación Irracional Son aquellas en que la incógnita se encuentra bajo el signo radical. Para resolver una ecuación irracional se

aísla su raíz, pasando al otro miembro la “x”, y finalmente se eleva al cuadrado los dos miembros de la

ecuación, para destruir la raíz.

Ejemplo: Resolver x + 25 – x2 = 7

Pasamos al otro miembro la x : 25 – x2 = 7 – x

Elevamos al cuadrado los dos miembros : ( 25 – x2 )

2 = (7 – x)

2

Producto notable: 25 – x2 = 49 – 14x + x

2 donde: a

2 – 2ab + b

2



92 92

2x2 – 14x + 24 = 0 ecuación de segundo grado :

x = -(-14) ± (14)2 – 4 . 2 . 24 x1 = 14 ± 196 - 192

2 . 2 4

x1 = 14 + 2 x1 = 4 x2 = 14 – 2 x2 = 3

4 4

Actividades 1

Ejercicios:

a) 4x – 3 - x + 6 = x – 3 b) x + 40 – x2 = 8

c) x + 26 – x2 = 6 d) x + 65 – x

2 = 9

e) x + 16 – x2 = 4 f) 3 + x – 8 = 14 – x

g) x + 20 – x2

= 6 h) 4 + x – 7 = 13 – x



93 93

R E S U M E N de todo el tema

Expresión de un radical en forma de potencia

Simplificación de radicales Si existe un número natural que divida al índice y al

exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.



94 94

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices , que será el común índice

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica

por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores . Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando .

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando .

Un exponente es mayor que el índice , se divide dicho exponente por el índice .

El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el



95 95

exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical.

a)

b) =

c) =

d) =

Suma de radicales Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando

sonradicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

a)

b)



96 96

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)



97 97

Producto de radicales

Radicales del mismo índice Para multiplicar radicales con el mismo índice se

multiplican los radicandos y se deja el mismo índice .

Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se

multiplican.

a)

b)

Cociente de radicales : Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los

radicandos y se deja el mismo índice.



98 98

a)

b)

Radicales de distinto índice : Primero se reducen a índice común y luego se

dividen.

a)

b)

Potencia de radicales : Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha

potencia el radicando y se deja el mismo índice.

a)



99 99

b)

Raíz de un radical : La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo

índice es el producto de los dos índices.

a)

b)

c)

d)

Racionalizar radicales : Consiste en quitar los radicales del denominador , lo que

permite facil itar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.



100 100

1Del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

a)

b)

2.- Del tipo

Se multiplica numerador y denominador por .

a)

3.-Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos

un radical.



101 101

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

a)

b)

c)



102 102

1- Números: menor, mayor e igual

Son palabras que nos permiten entender comparaciones entre los números naturales y de esa forma poder

ordenarlos según uno sea mayor, menor o igual que otro.

Si un número es menor que otro tiene menos cantidad de cifras o números más pequeños. Si queremos

ordenarlos de menor a mayor, debemos ubicar el menor a la izquierda y sucesivamente hacia la derecha, los

mayores.

2- Símbolos

Los símbolos que utilizaremos son >, <, =.

Significados:

> : Mayor Que

< : Menor Que

= : Igual Que

3-Tips

- Los números se pueden ordenar de mayor a menor o viceversa.

- Para ordenar los números rápidamente podemos contar cuantos dígitos tienen.

- Si tienen la misma cantidad de dígitos, debemos saber cuál está más cerca del cero y ese es el menor.

Lo importante es saber que la punta del signo siempre tiene que mirar al número menor y la abertura mira al

número mayor.

Algunos ejemplo:

Aplicar e las relaciones de orden > y < en R.

Aplicar la compatibilidad de la adición y

multiplicación con relación de orden en R.

9



103 103

Si te das cuenta no importa el orden de los números. Siempre la punta del signo está mirando al número

16, que en este caso es el menor.

RELACIÓN Y EN R

En la recta numérica observamos que los números situados a la derecha del cero son positivos y los que

están a la izquierda son negativos.

Como por ejemplo, establezcamos una comparación con 32 y 3 y decimos que 32 es mayor que

3 por estar 32 a la derecha de 3 .

En general:

Se denota así: a > b y se lee a es mayor que b

Análogamente podemos establecer:

Dados dos números a y b R, decimos que “a” es mayor que “b”, si “a” está situado

a la derecha de “b” sobre la recta numérica.



104 104

Se denota así: a b y se lee a es menor que b

Al avanzar de izquierda a derecha en la recta numérica las coordenadas de los puntos son mayores.

En una recta numérica podemos concluir:

Si un punto está a la derecha de otro, su coordenada es mayor.

Si un punto está a la izquierda de otro, su coordenada es menor.

Ejemplos

a) 5 -3 (5 es mayor que -3) porque 5 está a la derecha de -3

b) -6 -1 (-6 es menor que -1) porque -6 está a la izquierda de -1

c) -7 -10 (-7 es mayor que -10) porque -7 está a la derecha de -10

Esta relación se puede expresar así: x y x – y 0

x y y - x 0

Existen otros dos símbolos para indicar desigualdad que son (menor o igual a) y (mayor o igual a).

RELACIÓN MAYOR O IGUAL A( ) EN R

Dados dos números a y b R, decimos que a es mayor que b si se cumple alguna de las siguientes

condiciones:

“a es mayor que b”

Condiciones

“a es igual a b”

Estas dos condiciones se denotan así: a b

Dados dos números a y b R, decimos que “a” es menor que “b”, si “a” está

situado a la izquierda de “b” sobre la recta numérica.



105 105

RELACIÓN MENOR O IGUAL A ( ) EN R Dados dos números a y b R, decimos que a es menor que b si se cumple alguna de las siguientes

condiciones:

“a es menor que b”

Condiciones

“a es igual a b”

Estas dos condiciones se denotan así: a b

Ejemplos

b) Utilizando el símbolo “<” ordena de forma decreciente el siguiente grupo de números con una aproximación

por defecto a las décimas

3,5 ; 3

8 ; 3

Relación en R Relación en R

1016 porque 16-10=6 R+

4

3 3 porque 3 -

4

3=1,2 R

+

3

5

2

7 porque

2

7-

3

5= 1,83 R

+

3

2 7 porque 7 -

3

2=1,97 R

+

3 4 porque 3 4

4

9

4

9porque

4

9 =

4

9

1515 porque 15 = 15

π πporque π =π

Relación en R Relación en R

3

20,5 porque 0,6-0,5=0,1 R

+

8 > 3 porque 2,82-1,73=1,09 R+

5 3 porque 2,23-1,73=0,5 R+

2 2 porque 21,41 R+



106 106

Solución: como 3

8= 2,6 ; 3 = 1,73 entonces ordenado 3 <

3

8< 3,5

c) Usando el símbolo “” ordena de forma decreciente los siguientes números

9

2;

5

3;

2

1; 0,4

Solución: como 9

2= 0,47 ;

5

3= 0,6 ;

2

1=0,5 entonces ordenado

5

3

2

1

9

2 0,4

Actividades 1

PROPIEDADES DE LA RELACIÓN CON RELACIÓN A LA ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN ADICIÓN DE UN NÚMERO REAL A AMBOS MIEMBROS DE UNA DESIGUALDAD

Ejemplos

a) Dada la desigualdad 5 3 sumar 3 a ambos miembros

5 + 3 3 + 3

8 1,73 + 3 8 4,73

Dada las siguientes relaciones, señalar con una V si es verdadera o con una F si es falsa

1) -2 < -1 _____ 2) -8 < -4 _____ 3) -3 -7 _____ 4) -15 -20 _____ 5)-21-27 _____

6) -9 -12_____ 7) -6-(-4)_____ 8) -9-(-6) _____ 9)0-(-2) _____ 10)6 > - (-2) _____

Dados a,b,c,d R

Si se suma a los dos miembros una desigualdad

un mismo número real, el sentido de la

desigualdad no se altera.

Si a b a + c b + c

Si a b a + c b + c



107 107

b) Dada la desigualdad 9 6 sumar -6 a ambos miembros

9 + (-6) 6 + (-6)

3 2,44 - 6 3 -3,56

Actividades 2

MULTIPLICACIÓN DE AMBOS MIEMBROS DE UNA DESIGUALDAD POR UN NÚMERO REAL POSITIVO

Ejemplo

Dada la desigualdad 3 2 multiplicar por 3 a ambos miembros

3. 3 3. 2

3. 1,73 3. 1,41

5,19 4,23

Dada las siguientes desigualdades

1) 4 3 Sumar 3 a ambos miembros 2) - 5 3 Sumar -2 a ambos miembros

3) -3+7<8 Sumar 4 a ambos miembros 4) 9- 5 2 + 3 Sumar 5 a ambos miembros

5) 0 > – 4 Sumar 2 a ambos miembros 6) -8+ 2 2 + 7 Sumar -6 a ambos miembros

7) 6 -2 2- 6 Sumar 5 a ambos miembros 8) 8 - 6 π+ 5 Sumar 9 a ambos miembros

9) 12 5 3π Sumar -4 a ambos miembros 10) 7+ 15 3+ 7 Sumar 10 a ambos miembros

Dados a,b,c,d R

Si se multiplican los dos miembros de una

desigualdad por un mismo número real

positivo, el sentido de la desigualdad se

mantiene.

Si a b y c > 0 a.c b.c

Si a b y c > 0 a.c b.c



108 108

Actividades 3

MULTIPLICACIÓN DE AMBOS MIEMBROS DE UNA DESIGUALDAD POR UN NÚMERO REAL NEGATIVO

Ejemplo

Dada la desigualdad 3 5 multiplicar por -6 a ambos miembros

-6. 3 -6. 5

-18 -6. 2,23

-18 -13,38


1) 4 3 Multiplicar 3 a ambos miembros 2) - 5 3 Multiplicar 2 a ambos miembros

3) -3+7<8 Multiplicar 4 a ambos miembros 4) 9- 5 2 + 3 Multiplicar 5 a ambos miembros

5) 0 > – 4 Multiplicar 2 a ambos miembros 6) -8+ 2 2 + 7 Multiplicar 6 a ambos miembros

7) 6 -2 2- 6 Multiplicar 5 a ambos miembros 8) 8 - 6 π+ 5 Multiplicar 9 a ambos miembros

9) 12 5 3π Multiplicar 4 a ambos miembros 10) 7+ 15 3+ 7 Multiplicar 10 a ambos miembros

Dados a,b,c,d R

Si se multiplican los dos miembros de una

desigualdad por un mismo número real

negativo, el sentido de la desigualdad se altera.

Si a b y c 0 a.c b.c

Si a b y c 0 a.c b.c



109 109

Actividades 4

Actividades 5


1) 4 3 Multiplicar -3 a ambos miembros 2) - 5 3 Multiplicar -2 a ambos miembros

3) -3+7<8 Multiplicar -4 a ambos miembros 4) 9- 5 2 + 3 Multiplicar -5 a ambos miembros

5) 0 > – 4 Multiplicar -2 a ambos miembros 6) -8+ 2 2 + 7 Multiplicar -6 a ambos miembros

7) 6 -2 2- 6 Multiplicar -5 a ambos miembros 8) 8 - 6 π+ 5 Multiplicar -9 a ambos miembros

9) 12 5 3π Multiplicar -4 a ambos miembros 10) 7+ 15 3+ 7 Multiplicar -10 a ambos miembros

Colocar sobre el guión el signo que corresponde ;

1) 5 _____2 5 + 3 _______ 2 + 3

2) 3 _____ 8 3 .2 _______ 8 .2

3) 4

3 _____ 2,3

4

3.(-3) _______2,3 . (-3)

4) 3,26 _____2,76 3,26.3 _______ 2,76 . 3

5) 4

7 _____

7

4

4

7 . (-2,3) _______

7

4. (-2,3)

6) 6,63 _____ 2,34 6,63. (-8) _______ 2,34 . (-8)

7) 9_____5

3 9 .

4

3 _______

5

3.4

3

8) 4

13_____

5

8

4

13+

2

1 _______

5

8+

2

1

9) 14 _____ 6

5 14 .2 _______

6

5. 2

10)2-x _____5 (2-x) . -1 ____ 5 . (-1)



110 110

En este capítulo vamos a ver una pequeña explicación sobre Valor absoluto

Observa la recta numérica representada en la figura dada a continuación. Si medimos la distancia que existe entre

0 y 3 encontramos que es igual a la distancia que existe entre 0 y -3, esa distancia es de 3 unidades.

La distancia entre 0 y un número real positivo x es igual a la distancia entre el 0 y el número real negativo –x.

A esta distancia se la conoce con el nombre de valor absoluto de un número real x y se denota así:

Valor absoluto de x = |x| = x

Valor absoluto de -x = |-x| = x

Alguien puede pensar que el valor absoluto de un número es el número de unidades que representa sin importar

su signo.

De estas dos relaciones podemos concluir que:

El valor absoluto de un número siempre es positivo

Resolver ecuaciones en las cuales se utilice el valor

absoluto de números reales.

10


leas!!!!!!!



111 111

Distancia entre dos números reales

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto

de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|

Ejemplo:

La distancia entre −5 y 4 es:

d(−5, 4) = |4 − (−5)| =

= |4 + 5| = |9|

Ejemplos

a) Encuentre el valor absoluto de enteros: a) |-6| ; b) |9|; c) |0| ; d) -|-4|

a) |-6| = 6 -6 son 6 unidades desde 0

b) |9|= 9 9 son 9 unidades desde 0

c) |0| = 0 0 son 0 unidades desde 0

d) -|-4| = -4 son 4 unidades desde 0

Todo número decimal y fracción también tiene un valor absoluto, el cual es su distancia que tiene desde

cero.

b) Encontrar el valor absoluto de: |-4

3| y |8,5|



112 112

Solución: |-4

3| =

4

3 ; |8,5|= 8,5

Actividades 1

Propiedades del Valor Absoluto

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

Ejemplo:

|5| = |−5| = 5

2 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. |a · b| = |a| ·|b|

Ejemplo:

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|

|−10| = |5| · |2|

10 = 10

3 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los

sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

Hallar el valor absoluto de:

1) | π | 2) | 3 | 3) |-2| 4) | 5

2 |

5) | 6 | 6) |2

7| 7) |

5

2 | 8) | 11 |



113 113

Ejemplo:

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|

|3| = |5| + |2|

3 ≤ 7

OPERACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplos

Resolver:

a) |3

2+4| = |

3

122 | =|

3

14 | =

3

14

b) | 8 – 15 + 4| + 9 + |5

2+

4

3| = |-3| + 9 + |

20

158 | = |-3| + 9 + |

20

23| = 3 + 9 +

20

23=

20

23240 =

20

263= 13

20

3

c) |2

54|= 102

2

104

2

104

2.2

2.54

2

Actividades 2

Resolver los siguientes ejercicios

1) |12

2| 2) |

2

99 | 3) |

a3

3| 4) | 160250 | 5) | 10.6 |

6) |2

5 | 7) | 5032 | 8) | 63283 | 9) | 1923004 | 10) | 3.21 |



114 114

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO EN R

x si x 0

f: R R´ f(x) =

-x si x < 0

Ejemplos

Dadas las funciones, hallar en cada uno su valor:

a) f(x) = |2x+4| Hallar f(2) y f(-2)

f(2) = |2.(2) + 4| = |4+4|= |8|=8 f(-2) = |2.(-2) + 4| = |-4+4|= |0|=0

b) f(x)= | 3 . x-3 2 | Hallar f( 6 )

f( 6 )= | 3 . 6 -3 2 | = | 2318 |= | 233.2 2 |= | 2323 |=|0|=0

Actividades 3

Una función valor absoluto es una aplicación que va de R en R, tal que a cada

número real le corresponde su valor absoluto

1) Dada la función f(x) = 4

5 + |4x+2| Hallar f(3)

2) Dada la función f(x) = | 325 x | Hallar f(4) ; f(16)

3) Dada la función f(x) = | 43

1 x | Hallar f(-3) ; f(-12)

4) Dada la función f(x) = |-8x – 2| Hallar f(-2) ; f(-3)

5) Dada la función f(x) = |5x + 4 | + |x-2| Hallar f (4

9) ; f (

3

1)

6) Dada la función f(x) = | 6 . x+ 2 | Hallar f( 3 )



115 115

ECUACIONES DE LA FORMA |ax + b|=0

Cuando se resuelve este tipo de ecuaciones se hallan todos los valores que confirman la igualdad,

basándose en las propiedades de valor absoluto.

a) Resolver la ecuación |x| = 6

Solución: Utilizando la propiedad obtenemos x=6 ó x= -6

El conjunto solución es: -6 ,6

b) Resolver la ecuación |x| = 0

Solución: El único número real cuyo valor absoluto es igual a 0 es 0

El conjunto solución para |x|=0 es 0

c) Resolver la ecuación |x| = -3

Solución: El valor absoluto de un número nunca es negativo, así que no existen soluciones a esta ecuación.

El conjunto solución es (vacío)

d) Resolver la ecuación |2w-1| = 5

Solución: A simple vista no parece ser de la forma |x|=a. Sin embargo hagamos

2w -1 = x y 5= a, y entonces verá la ecuación de esta forma.

Buscamos los valores de w tales que 2w-1 esté exactamente a 5 unidades del 0 en la recta numérica.

Así: 2w-1 debe ser igual a 5 ó -5

2w -1 = 5 ó 2w -1 = -5

2w= 5+1 ó 2w = -5 + 1

2w= 6 ó 2w= -4

w= 2

6 ó w=

2

4

w= 3 ó w= -2

El conjunto solución es: 3,-2

|x|= a x = a ó x = -a



116 116

Comprobación

Cada una de las soluciones 3 y -2 hacen que 2w-1 esté a 5 unidades del 0 en la recta numérica.

El conjunto solución es -2,3

e) Resolver la ecuación | 3

2 w -6| +4 = 6

Solución: iniciamos por restar 4 de ambos lados de la ecuación para dejar solamente el valor absoluto en un

lado de la ecuación.

| 3

2 w -6| +4-4 = 6-4

| 3

2 w -6| = 2

Seguidamente se procede como en el ejemplo anterior escribiendo los dos casos:

3

2 w -6 = 2 ó

3

2 w -6 = -2

3

2 w = 2+6 ó

3

2 w = -2 +6

3

2 w = 8 ó

3

2 w = 4

mcm=3 mcm=3

2w= 8.3 2w= 4.3

2w=24 2w= 12

w=2

24 w=

2

12

w=12 w=6

El conjunto solución es: 6,12

w=3

|2w-1|=5

|2(3)-1|=5

|6-1|=5

|5|=5

5=5 cierto

w=-2

|2w-1|=5

|2(-2)-1|=5

|-4-1|=5

|-5|= 5

5=5 cierto



117 117

Actividades 4

RESOLVER ECUACIONES DE LA FORMA |a|= |b|

Propiedad

Cuando se resuelva una ecuación con valor con una expresión con valor absoluto en ambos lados

del signo igual, las dos expresiones deben tener el mismo valor absoluto. Por lo tanto, las expresiones deben

ser iguales entre sí o ser opuestas entre sí.

Ejemplos

a) Resolver la ecuación |w+3| = |2w-7|

Solución: Sea w+3= x y 2w – 7 = y, observamos quees ta ecuación es de la forma |x|=|y|

Resolver los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de valor absoluto

1) |4x+1|=2

3) | 2

x | =4

5) 5 = |3(4-x) – 18 |

7) | 2

35 x | +2 = 6

9) |4x -11| =5

2) |21-6x+8x|=27

4) |17-x-2x| = -1

6) | 5 (5-2x) – 7 (2x-5) | = 12

8) | 6

3 zx | -3 = 6

10) |2(9x-49) -15x | = 46

Si |x| = |y|, entonces x=y o x= -y



118 118

Usamos la propiedad anterior y obtenemos las dos ecuaciones

w + 3 = 2w – 7 ó w + 3 = -(2w – 7)

Ahora resolveremos cada una de las ecuaciones

w + 3 = 2w – 7 ó w + 3 = -2w + 7

w -2w = – 7-3 ó w + 2w = 7 - 3

-w = – 10 ó 3w = 4

w = 10 ó w = 3

4

Conjunto solución 10, 3

4

Comprobación

b) Resolver la ecuación: | 5)53( x | = 3

w=10

|w+3|=|2w-7|

|10+3|=|2(10)-7|

|13|=|20-7|

|13|=|13|

13=13

w= 3

4

|w+3|=|2w-7|

|3

4+3|=|2(

3

4)-7|

|3

94 |=|

3

8-7 |

|3

13|= |

3

13 |

3

13=

3

13



119 119

Solución: Usando la propiedad anterior obtenemos las dos ecuaciones:

5)53( x = 3 5)53( x = - 3

x)53( = 53 x)53( = - 53

Despejando x Despejando x

53

53

x

53

53

x

Se racionaliza el denominador multiplicando por la conjugada del denominador así:

53

53.

53

53

x

53

53.

53

53

x

22

2

)5()3(

)53(

x

)5()3(

2515159

2

x

53

)5(5.32).3( 2

x

2

2

53

53

x

2

1528

x 1x

154x

Conjunto solución: -1, -4, 15



120 120

Actividades 5

Actividades 6

Calcular el valor absoluto con aproximación a las milésimas

1) | 35 |-2

3) 6 | 7 | -3 | 132 |

5) 273552482

7) 82454

9) 52336

2) 82454

4) 232

2

6) 75121

8) 1533

9

10) 42

615

x

x

Resolver las siguientes ecuaciones

1) 63

423

xx

3) 03)36( x

5) 4

3 85 xx

7) 5234 xx

9) 42

65

x

x

2) 936 xx

4) xx3

5432

6) 5.69.5 xx

8) 03)36( x

10) 5353 xx



121 121

Ejercicios

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

Ejemplo 2

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1. 2.

3.

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:



122 122

En estudios realizados hasta el momento se puede establecer que:

Existe un punto y sólo uno en la recta numérica que corresponde a un número real.

Existe exactamente un número real correspondiente a un punto dado en la recta numérica.

Estas dos proposiciones concluyen que la relación que hace corresponder a un número real un punto sobre

la recta es una función biyectiva.

Ejemplo

En la figura se muestra parte del sistema de coordenadas reales o recta numérica

Como se puede observar en la figura:

a) La coordenada de A es 2 y se escribe A(2)

b) La coordenada de B es 5 y se escribe B(5)

c) La coordenada de C es -3 y se escribe C(-3)

E n donde: 2 es la abscisa de A ; 5 es la abscisa de B y -3 es la abscisa de C

Determinar las coordenadas de un punto dado de la

recta real.

11



123 123

CARACTERÍSTICA DE LA RECTA REAL

1) Es densa: entre dos números reales dados existe otro número real, es decir, en la recta real no existen

espacios vacíos. Ejemplo. Tenemos dos números 2, 134 y 2, 135 se puede calcular otro número

comprendido entre dichos números y uno de ellos es:

1345,22

269,4

2

135,2134,2

2) Es ordenada: la recta real es ordenada por existir un orden en los números reales.

3) Es abierta: la recta real no tiene límites ni hacia la derecha ni hacia la izquierda del cero, ellos se extienden

desde + hasta - .

Ejemplos

Dada la recta real

a) Si af y bf tienen la misma longitud, ¿Cuál es la coordenada de f?

Solución: como af y bf tienen la misma longitud, el punto f está ubicado en la mitad de la longitud de ab. Por

consiguiente su coordenda es: f=2 +0,5 = 2,5

b) Si cg y dg tienen la misma longitud, ¿Cuál es la coordenada de g?

Solución: como las longitudes de cg y dg son iguales g está situado en la mitad del segmento y por

consiguiente su coordenada es: g= -1-1= -2



124 124

Actividades 1

Actividades 2

1) En la figura se representa un sistema de coordenadas en una recta, donde los puntos

tienen sus coordenadas:

Responder: n

a)¿Cuál es la coordenada de a; b; k; d

b)¿Cuál es la coordenada de e; m; f; g

c) Si ai y ib tienen igual longitud. ¿ cuál es la coordenada de i?

d) Si bj, jc y ck tienen igual longitud, ¿cuáles son las coordenadas de j y k ?

e) Si em y fm tienen la misma longitud, ¿cuál es la coordenada de m?

f) Si gn y hn tienen la misma longitud, ¿ cuál es la coordenada de?

1) Representar los elementos del conjunto S sobre la recta real

S= -5; -3; 2,5; 15; 4

2) En la siguiente figura mostramos varios puntos sobre la recta real:

a) Escribe las abscisas de cada punto

b) Si bh y ch tienen la misma longitud, ¿cuál es la coordenada de h?

c) Si fi y ei tienen la misma longitud, ¿cuál es la coordenada de i?



125 125

Sistema de Coordenadas

Definiciones:

a.- Un punto: es un ente matemático que no tiene dimensiones.

b.- Una recta: es un ente matemático que solamente tiene longitud y está formado por infinitos puntos, por lo

tanto, una recta es un conjunto de puntos.

Cuando se dan dos puntos sobre la recta: * *

a b

Se anota: ab recta “ab”

c.- Plano: es un ente matemático que solamente tiene longitud y anchura, y está formado por infinitos puntos,

por lo tanto, un plano es un conjunto de puntos, y una recta es un subconjunto del plano que las contiene.

Sistema de Coordenadas y

II I x

III IV

Los ejes de coordenadas se llaman OX y OY y dividen el plano en cuatro subconjuntos llamados cuadrantes.

Definir el plano real como una biyección entre el conjunto R y el sistema

de coordenadas rectangulares.

Se dice que hay relación en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos puntos de dos rectas dadas.

Ejemplo:

L’

0 L



126 126

Trazamos por un punto (p) cualquiera, rectas paralelas dadas, cuyos puntos de corte son (a y b)

L’

b

0 a L

Se observa que el par (a , b) representan rectas reales del mismo origen, entonces (a, b) ε R x R.

Los números reales (a y b) se llaman coordenadas de punto (p).

Representar puntos en el plano:

a.- Situar los puntos a(2,5) ; b(2,1) ; c(-1,-4) ; d(3,5)

y

5

4

3

2

1

x

-2 -1 0 1 2 3

-1

-2

-3

-4

p



127 127

Actividades 1

Curiosdades Matemáticas

Descomponer números

*Uno de los mayores entretenimientos matemáticos es el de descomponer un cierto número de varias

formas.

Por ejemplo, ¿sabías que el número 1729 es el primer número que se descompone como suma de dos

cubos perfectos, de dos maneras distintas?.

Efectivamente, puedes comprobar que 1729=103+9

3=12

3+1

3

*Prueba tu habilidad con los números:

a)¿Sabrías escribir el número 10 de dos formas distintas empleando cuatro nueves?

b)¿Sabrías escribir el número 100 de cuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales?.

Ejemplo: 100=111-11.

c)¿Puedes escribir el número 30 con tres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?.

Ejercicios: Representar los siguientes puntos:

1.- a(2,-6) ; b(-2,-6) ; c(8,-3) ; d(5,9) 2.- a(-4,7) ; b(-2,4) ; c(1,6) ; d(-5,8)

3.- a(6,7) ; b(-8,2) ; c(-4,8) ; d(3,-9) 4.- a(-4,-7) ; b(7,12) ; c(-7,0) ; d(-3,5)

5.- a(-4,-7) ; b(7,3) ; c(-4,7) ; d(-6,0) 6.- a(12,4) ; b(4,9) ; c(-3,7) d(9,5)

7.- a(12,4) , b(-5,-6) ; c(6,8) ; d(-9,-3) 8.- a(3,4) ; b(2,-7) ; c(-1,1) ; d(4,9)



128 128

DISTANCIA Y VALOR ABSOLUTO

La distancia de un punto A a otro B está dado por la longitud del segmento y se denota así:

d(AB).

Observemos en la recta R que = 4 y = 1 y lo denotamos así: d(AB) = 4 y d(BC)=1

Para calcular la distancia entre dos puntos se toma el valor absoluto de la diferencia entre coordenadas de

los puntos.

Determinar la distancia entre A y B, entre B y A.

d(A,B) = |A-B| = |0-4| = |-4|= 4 d(B,A) = |B-A| = |4-0| = |4|= 4

Para determinar la distancia entre A y B o entre B y A se aplica la propiedad del valor absoluto.

|A-B| = |B-A|

Quiere decir que: d(A,B) = d(B,A)

En general:

Si A es un punto de abscisa x y B es un punto de abscisa y la distancia entre A y B

es igual al valor absoluto de la diferencia de las abscisas o coordenadas.

d(A,B) = |y-x|

Calcular la distancia entre dos puntos de la recta real.

12



129 129

Ejemplos a) Dado el punto A(6), hallar la distancia desde el punto A hasta el origen.

d(A,0) = |A| = |6| = 6 ; d(A,0) = 6

b) Dados los puntos A(10) ; B(6), hallar la distancia AB

d(A,B) = |A-B| = |10-6| = |4|=4 ; d(A,B) = 4

Actividades 1

Actividades 2

Dados los puntos A(9); B(5); C(4); D(2), hallar:

1) d(A,0) 2) d( B,0) 3) d( C,0) 4) d(D,0) 5) d( A,B)

6) d( C,B) 7) d( D,A) 8) d(B,D) 9) d(C,A) 10) d(A,C)

Dados los puntos A(5); B(-8); C(10); D(5

3), E(

6

18 ); F( 6) hallar:

1) d(A,B) 2) d( B,C) 3) d( C,D) 4) d(A,F) 5) d( B,D)

6) d( A,D) 7) d( D,A) 8) d(D,B) 9) d(D,C) 10) d(A,E)



130 130

NÚMEROS, SEGMENTOS Y SEMIRRECTAS

En la recta siguiente se ha señalado la semirrecta correspondiente a los números x que son mayores o

iguales que 2

En esta se muestra el segmento correspondiente a los números x comprendidos entre -2 y 3, excluido el -

2 e incluido el 3.

Como el -2 está excluido se indica con un hueco (o), el 3 está incluido y se indica con un punto negro

( ).

Actividades 1

1) Para cada uno de los casos siguientes, dibujar una recta numérica y

señalar en ella la semirrecta o segmento que corresponda

a) Números menores que 5

b) Números comprendidos entre -2 y 6 ambos incluidos

c) Números mayores o iguales que -3

Identificar intervalos en la recta real.

Usar la notación de intervalos como subconjunto de R.

Representar intervalos en la recta de R.

13



131 131

Representar intervalos:

Sean a y b dos números reales cualesquiera tales que a < b. A cada uno de estos números le corresponde un punto

de la recta real.

a b

A B

Al conjunto de los números comprendidos en a y b se le llama intervalo, que en la recta real se interpreta

como el segmento comprendido entre los puntos a y b.

Definición de intervalo Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos

dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que

b(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que

a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos

los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los

números reales mayores o iguales que a y menores que b.



132 132

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Nomenclatura para varios conjuntos Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más

de estos intervalos, se utiliza el símbolo unión; y el símbolo ∩ intersección) entre ellos.

Ejemplos Representar gráficamente

1) 3 , 6 ∩ -5 , 8

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

entonces 3 , 6

2) -3 , 5 ∩ 2 ,

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

entonces 2 , 5



133 133

Ejercicios

Elige la opción correcta:

1En el interva lo es tá fo rmado por . . .

todos los números mayores que 2 sin estar este incluido.

todos los números mayores que 2 inluido este .

todos los números mayores que 2 y menores que 10 000.

2El intervalo es equivalente a la expres ión. . .

3El intervalo es equivalente a la expres ión. . .

4Escr ibir es equiva lente a escr ibi r

5La representación ind ica todos los números. . .

mayores o iguales que 3. mayores que 3. menores que 3.

6La representación gráfica ind ica todos los números. . .

menores que 1. menores o igua les que 1. mayores o iguales que 1 .



134 134

7La representación gráfica es equiva lente a escr ibir . . .

8La representación gráfica se corresponde con la expresión. . .

9La representación gráfica se corresponde con la expresión. . .

10El intervalo se representa gráficamente como. . .

Si t ienes dudas puedes consultar la teoría

Puntuación:

Actividades 2

1)Escribir tres números reales pertenecientes a cada intervalo

a) [-1,5] b) (-3,-2) c) [-2,5;2] d) [7,25; 7,24] e) (4;8) f)[5,9]

2) Representar en una recta numérica

a) -3<x b) 0 > x c) x -5 d) 2,15x

http://www.vitutor.com/di/re/r5.html



135 135

a)Expresar en forma de conjunto los siguientes intervalos y escribir qué tipo de intervalo es:

Intervalo Forma de conjunto Tipo de intervalo

[2,6] {xR / 2 x 6} Cerrado por ambos lados

(-5,9) {xR/-5<x<9} Abierto por ambos lados

(2

1, 15 ) {xR/

2

1<x< 15 }

Semiabierto por la izquierda

(7,) {xR/x>7} Infinito

b) Representar gráficamente el siguiente intervalo

A={xR/ 1< x 3}

Actividades 3

a)Expresar en forma de conjunto los siguientes intervalos y escribir qué tipo de intervalo es:

Intervalo Forma de conjunto Tipo de intervalo

[2,4] {xR / 2 x 4} Cerrado

(-2,7)

(3

1, 13 )

(4,)

(-, 4

9 )



136 136

Actividades 4

a)Expresar en forma gráfica y de intervalo los siguientes conjuntos:

1) A={xR/5 x 10} 2) B={xR/-3 x 6}

3) C={xR/ x 12} 4) D={xR/ x 5}

5) E={xR/x -6} 6) F={xR/2 x}

7) G={xR/5 x 13} 8) H={xR/ x π}

9) I={xR/3 x 9} 10) J={xR/x

4

5 }

OPERACIONES CON INTERVALOS Y SEMIRRECTAS

Unión e intersección de intervalos Los intervalos son conjuntos numéricos y con ellos podemos realizar operaciones de unión e

intersección.

Unión de intervalos

Ejemplos

a) Calcular gráficamente: [1,3] [2,5]

Se denomina unión de dos intervalos A y B al conjunto formado por los elementos

que pertenecen al intervalo A o al intervalo B

A B={x/x A o x B}



137 137

Solución: [ 1,3] [2,5] = [1,5]

b) Calcular gráficamente: (4,) (-,1]

Solución: ( 4,+) (-,1] = [-,1]

Intersección de intervalos

Ejemplos

a) Representar gráficamente: [-1,2) [1,3]

Se denomina unión de dos intervalos A y B al conjunto formado por los elementos

que pertenecen simultáneamente al intervalo A y al intervalo B

A B={x/x A y x B}



138 138

Solución: [-1,2) [1,3] = [-1,2)

b) Representar gráficamente: (-,4] (2,+)

Solución: (-,4] (2,+) = (2,4]

c) Representar gráficamente: (-2, +] (3,+)

Solución: [-2, +) [3, +) = [3, +)

Actividades 5

Representar gráficamente

1) [3,6] [5,7] 2) (-2,8) (-1,9)

3) (-,3] [2, + ) 4) (- ,6) [-3,7]

5) (-6,0) [1,6] 6) [-4,4 ] (5,7]

7) {xR/2 x 7} {xR/2x8} 8){xR/ -5x 1} {xR/-3x3}

9) {xR/4 x 5} {xR/2 x 4} 10) {xR/x 7} {xR/x 3}



139 139

Desigualdades e inecuaciones de primer grado

Una expresión de la forma 5x – 2 2x + 4 es una inecuación para ciertos valores de x.

Concepto de inecuación

Inecuaciones: Una inecuación es todo valor que sustituido en lugar de la incógnita, la transforma en

una desigualdad del mismo sentido. Generalmente la solución de una inecuación es una semirrecta.

Resolución de inecuaciones Para resolver inecuaciones se aplican las siguientes propiedades o criterios.

1.- Propiedades de suma y resta de las desigualdades Si sumamos o restamos una misma expresión polinómica en ambos miembros de una desigualdad, obtenemos

una desigualdad equivalente.

Si x y x+a y+a

o

Si x y x-ba y-b

Si x y x+a y+a

o

Si x y x-b y-b

2.- Propiedades de multiplicación y división de las desigualdades para números positivos Puede multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por, o entre cualquier número positivo y obtener

una desigualdad equivalente.

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas donde cada una

de estas expresiones es un miembro de la inecuación.

Los valores de las incógnitas que hacen que sea cierta la desigualdad son llamados

soluciones de la inecuación.

Resolver inecuaciones de primer grado con una

incógnita.

Resolver inecuaciones de primer grado con valor

absoluto.

Resolver sistema de inecuaciones de primer grado.

14



140 140

Si x y y a 0 ax ay

Si x y y a 0 a

x

a

y

Si x y y a 0 ax ay

Si x y y a 0 a

x

a

y

3.- Propiedades de multiplicación y división de las desigualdades para números negativos Puede multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por, o entre cualquier número negativo y obtener

una desigualdad equivalente. Esto invierte el sentido de la desigualdad.

Si x y y a 0 ax ay

Si x y y a 0 a

x

a

y

Si x y y a 0 ax ay

Si x y y a 0 a

x

a

y

Ejemplos

Uso e las propiedades de suma y resta para resolver y graficar desigualdades a) Resolver y graficar la desigualdad en una recta numérica: 3x – 2 < 2(x-2)

3x – 2 < 2(x-2)

3x – 2 < 2x-4 Propiedad distributiva

3x – 2 + 2< 2x-4+2 Sume 2 a ambos miembros

3x < 2x – 2 Simplifique

3x - 2x < 2x – 2x -2 Reste 2x (o sume -2x) en ambos miembros

x < -2 Simplifique

Cualquier número menor que -2 es una solución. La gráfica de esta desigualdad es:

b) Resolver y graficar la desigualdad en una recta numérica: 4(x+1) 3x+7

4(x+1) 3x+7

4x +4 3x+7 Propiedad distributiva

4x +4-4 3x+7-4 Reste 4 a ambos miembros

4x 3x + 3 Simplifique

4x- 3x 3 Reste 3x (o sume -3x) en ambos miembros

x 3 Simplifique

En forma de intervalo ( - , -2)



141 141

Cualquier número mayor o igual que 3 es una solución. La gráfica de esta desigualdad es:

Uso de las propiedades de la multiplicación y división con números positivos

a) Resolver y graficar la desigualdad en una recta numérica: 5x +3 2x+9

5x +3 2x+9

5x +3-3 2x+9 -3 Reste 3 (o sume -3)

5x 2x+6 Simplifique

5x - 2x 2x – 2x + 6 Reste 2x (o sume -2x)

3x 6 Simplifique

3

3x

3

6 Divida entre (o multiplique por el recíproco de 3)

x 2 Simplifique

Cualquier número menor o igual que 2 es una solución. La gráfica de esta desigualdad es:

Uso de las propiedades de la multiplicación y división con números negativos

Resolver y graficar la desigualdad en una recta numérica: 3 (x -2) 5x + 2

3 (x -2) 5x + 2

3x -6 5x + 2 Propiedad distributiva

3x-6+6 5x+2+6 Sumamos 6 a ambos miembros

3x 5x + 8 Simplificando

3x -5x 5x-5x +8 Restamos 5x ( o sumamos -5x)

-2x 8 Simplificando

2

2

x

2

8

Dividimos por -2 (o multiplicamos por -2 e invertimos el sentido de desigualdad)

x -4 Simplifique

( - , 2]

En forma de intervalo [3 , +)

Cualquier número mayor o igual que -4 es una

solución. La gráfica de esta desigualdad es: [-4, +)



142 142

En conclusión si se suma un número positivo o negativo a los dos miembros de una desigualdad,

se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que la primera.

ab a+ c b + c

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número positivo, la desigualdad

que resulta no varía su sentido. Si se multiplican o dividen por un mismo número negativo, la desigualdad

cambia de sentido.

Resolver la inecuación 3x + 2 ≥ 14

x ≥ 14 – 2 = x ≥ 12 = x ≥ 4

3 3

0 1 2 3 4 5

4 ,

1 Resolver las s iguientes inecuaciones

1

3

2 Resuelve el s is tema:

2



143 143

3 Resolver las inecuaciones:

1 7x2 + 21x − 28 < 0

4 Resuelve :

1

5 Resolver las inecuaciones:

1

Resolución de Problemas por medio de una desigualdad

a) Se tiene un triángulo que tienen una base de 5 cm. ¿Cuál debe ser su altura, si el área es de 302 cm o más?

DATOS

FÓRMULA RESOLUCION

b= 5cm

S= 30 cm2

h= ?

2

.hbS

2

.5 h 30 Corresponde al enunciado original

2.302

2..5

h Se multiplica por 2

605 h Simplificando

5

60

5

5

h Se divide por 5 ambos miembros

h12

b) Un camión se desplaza por una autopista en línea recta con una rapidez de 10 Km/h. La distancia recorrida se

expresa en función del tiempo por la ecuación x=10t + 2. Hallar el intervalo de tiempo cuando el camión se

encuentre entre el Km 22 y el Km 42.

2 −x2 + 4x − 7 < 3

2 x4 − 25x

2 + 144 < 0

3 x4 − 16x

2 − 225 ≥ 0

2



144 144

RESOLUCION

Condición del problema 22 x 42

Sustituyendo x tenemos 22 10t+2 42

Sumamos (-2) 22 - 2 10t+2 -2 42- 2

Resolvemos 20 10t 40

Dividiendo por 10 tenemos 2 t 4

El intervalo de tiempo es [2,4 ], que está comprendido entre 2h y 4h después de

haber iniciado el recorrido.

Actividades 5

a) Escribe la información dada como una desigualdad

1) La temperatura t en su refrigerador se encuentra entre 20°F y 40°F.

2) El salario S de José para este año está entre Bs 12000 y Bs 13000.

3) c) En un camión se cargan dos contenedores de igual peso y otro bulto de 4

unidades. ¿Entre qué valores puede oscilar el peso de cada contenedor sabiendo que la

carga máxima del camión es de 18 toneladas.

4) José obtuvo calificaciones entre 14, 15, 18 y 19 puntos en sus primeros cuatro

exámenes. ¿Cuál debe ser la calificación de su quinto examen para conservar un

promedio de 18 puntos o más.



145 145

INECUACIONES VALOR ABSOLUTO

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

Resolver inecuaciones que contienen expresiones con valor absoluto.

Expresar la solución de inecuaciones que contienen valor absoluto en la forma de intervalo o

como conjunto.

Trazar en la recta real la solución de inecuaciones que contienen valor absoluto.

Introducción

En el tema de Inecuaciones Lineales vimos que ax + b = 0 es la frontera entre ax + b < 0 y ax + b > 0En esta

sección vamos a ver que la solución de la ecuación ∣ x ∣ = a determina la frontera

entre ∣ x ∣ < a y∣ x ∣ > a Donde x es una variable o una expresión algebráica y a un número real positivo.

El mismo concepto se aplica si se tiene ≤ en lugar del signo < y ≥ en lugar del signo >.

Para encontrar los valores de frontera, debemos recordar que por definición de valor absoluto, si ∣ x ∣ = a,

entonces x = a o x = - a .

Método para resolver inecuaciones con Valor Absoluto

Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos: Aislar la

expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.

Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de

desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los

intervalos en la recta numérica.

Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.La solución

la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar

de distintas formas:

http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/Lin_Ineq/ineq_home.html



146 146

Como intervalo

Como conjunto

Gráficamente

Ejemplos

Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6

Solución:

Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.

En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la

inecuación.

Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de

cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación

determina los límites de los intervalos en la recta numérica.

Vamos a resolver la ecuación:

∣ x - 20 ∣ = 6

Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:

x - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14 x - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26

Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada

intervalo.

Intervalo Punto de

Prueba

Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el

punto de prueba.

( - ∞ , 14 ) x = 0 ∣ 0 - 20 ∣ = 20

( 14 , 26 ) x = 15 ∣ 15 - 20 ∣ = 5



147 147

( 26 , ∞ ) x = 27 ∣ 27 - 20 ∣ = 7

Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman

todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado

izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En

la tabla, vemos que el intervalo de la segunda fila cumple con ser ≤ 6 .

La solución se puede expresar de distintas formas:

Expresando la solución como conjunto:

x 14 ≤ x ≤ 26

Expresando la solución como intervalo

[ 14 , 26 ]

Gráficamente

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0

Solución:

Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. Aplicando propiedades de

desigualdades podemos realizar operaciones para aislar la expresión con valor absoluto al lado izquierdo de la

ecuación. ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0 ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 + 9 ≥ 0 + 9 ∣ 3 - 4 x ∣ ≥ 9

Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo

de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos

en la recta numérica.



148 148

Vamos a resolver la ecuación:

∣ 3 - 4 x ∣ = 9

Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:

3 - 4 x = - 9 3 - 4 x - 3 = - 9 - 3 - 4 x = - 12 - 4 x - 4= - 12 -

4 x = 3

3 - 4 x = 9 3 - 4 x - 3 = 9 - 3 - 4 x = 6 -

4 x - 4 =6 - 4 x = - 3 2

Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo Punto de

Prueba

Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el

punto de prueba.

( - ∞ , - 3 2 ) x = -2 ∣ 3 - 4 ( - 2 ) ∣ = ∣ 3 + 8 ∣ = 11

( - 3 2 , 3 ) x = 0 ∣ 3 - 4 ( 0 ) ∣ = ∣ 3 - 0 ∣ = 3

( 3 , ∞ ) x = 4 ∣ 3 - 4 ( 4 ) ∣ = ∣ 3 - 16 ∣ = 13

Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos

los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado

izquierdo de la inecuación, ahora veamos cuál de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la

tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser ≥ 9 .

La solución se puede expresar de distintas formas:

njunto: x ≤ - 3 2 ó x ≥

Expresando la solución como intervalo ( - ∞ , - 3 2 ] ∪ [ 3 , ∞ )

Gráficamente



149 149

Actividades 6

Resolver los siguientes sistemas

Sistemas de Inecuaciones: es el conjunto formado por varias inecuaciones, cuyo objeto es hallar las soluciones

que son comunes a todas ellas.

Resolver un sistema de inecuaciones consiste en determinar el intervalo solución de cada una de ellas y después

hallar el conjunto intersección de dichos intervalos.

Para hallar la intersección del conjunto solución se recurre a la representación gráfica sobre la recta real.

Reglas para resolver un sistema de inecuaciones

Se resuelven por separado cada una de las inecuaciones del binomio.

Se halla la intersección de las soluciones de cada inecuación, que será la solución del sistema.

S= S1 S2

Ejemplos

a) ¿Cuál es la solución del sistema?

2x + 2 3 (I)

x -1 2 (II) Se resuelven las inecuaciones por separado

2x + 2 3 (I)

2x 3 -2

x2

1

Solución:[ 2

1,)

x -1 2 (II)

x 2+1

x3

Solución:[3,)

Se halla la intersección [ 2

1,) [3,) = [3,)

1) 424 x 2) 3x+2 37 x

3) 1158 x 4) 5 467 x

5) 8 x46 6)

10

15 x



150 150

Solución gráfica:

b) ¿Cuál es la solución del sistema?

x + 3 2 (I)

x -1 4 (II) Se resuelven las inecuaciones por separado

x + 3 2 (I)

x 2-3

x-1

Solución:(-,-1]

x -1 4 (II)

x 2+1

x3

Solución:[3,)

Se halla la intersección [ 2

1,) [3,) = [3,)

Solución gráfica

Ejercicios: Determina el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones, dando la

respuesta en forma de intervalo y en forma gráfica.

a) x + 3>1 b) 2x – 2 2 c) 2x + 3 < x -1

3

2x + 1 < 5 x + x – 1 3 x + 1 > x + 2

2 3 3 5

4.- 3(x + 2) > -1 + 1 > x + 1 5.- 2x + y = -2 6.- 3x – 2y = 2

4 2 3

2 x – 4 – 3x + 1 < x + 3 x + 3y = -11 3x + 4y =22

d) x + 2>5 e) 3x +1 >5 f) 3x + 2 < x -1

3

3x - 1 < 20 x + + 1 <4 x + 1 > x + 2

2 5 3



151 151

g.- 3(x + 2) > -1 + 1 > x + 1 h.- 2x + 5 < -2 i.- 3x – 2 > 2

2 4 3

2 x – 4 – 3x + 1 < x + 3 x + 3 > -12 3x + 4>22

3 2 4

El conjunto solución de una inecuación con valor absoluto viene dado por las siguientes propiedades:

Expresión

con valor

absoluto

a > 0

Interpretación Geométrica Expresión sin valor Absoluto

|x| = a

La distancia de x al origen es a

x = ± a

|x| < a

La distancia de x al origen

es estrictamente menor que a

- a < x < a

|x| ≤ a

La distancia de x al origen es menor o

igual que a

- a ≤ x ≤ a

|x| > a La distancia de x al origen x >a ó x < - a



152 152

es estrictamente mayor que a

|x| ≥ a

La distancia de x al origen es mayor o

igual que a

x ≥ a ó x ≤ - a

0 < |x| < a


es estrictamente menor que a y estricta

mente mayor que 0 0 < |x| ⇔ x≠ 0

|x| < a ⇔ - a < x < a

Por tanto:

0 < |x| <a ⇔ x≠ 0 y - a < x < a

e < |x| <

a

(e > 0 ,

e < a)


es estrictamente menor que a y estricta

mente mayor que e e < |x| ⇔ x > e ó x < - e

|x| < a ⇔ - a < x < a

Por tanto:

0 < |x| < a ⇔

- a < x < -e ó e < x < a



153 153

• |x| < a se expresa como: - a < x < a

• |x| > a se expresa como: x < - a ó x > a

• |x| ≤ a se expresa como: - a ≤ x ≤ a

• |x| ≥ a se expresa como: x ≤ - a ó x ≥ a

esión con

valor

absoluto

d > 0

Interpretación Geométrica Expresión sin valor Absoluto

|x - c| = d

La distancia entre x y c es d

x - c = ± d ⇔

x = d + c ó x = - d +c

|x - c| < d

La distancia entre x y c es estrictamente menor que d

- d < x - c < d ⇔

- d + c < x < d + c

|x - c| ≤ d La distancia entre x y c es menor o igual que d



154 154

- d ≤ x - c ≤ d ⇔

- d + c ≤ x ≤ d + c

|x - c| > d

La distancia entre x y c es estrictamente mayor que d

x - c > d ó x - c < - d

Por tanto:

x > c + d ó x < c – d

|x - c| ≥ d

La distancia entre x y c es mayor o igual que d

x - c ≥ d ó x - c ≤ - d

Por tanto:

x ≥ c + d ó x ≤ c – d

0 < |x - c| < d

La distancia

entre x y c es estrictamente menor que d y estrictamente mayor

que 0

0 < |x - c| ⇔ x - c ≠ 0 ⇔ x ≠c

|x - c| < d ⇔ - d + c < x < d + c

Por tanto:

0 < |x - c| < d ⇔

x ≠c y - d + c < x < d + c

e < |x- c| <

d

(e > 0 , e <

d)


es estrictamente menor que d y estrictamente mayor que e e < |x - c| ⇔ x > c + e ó x < c - e

|x| < d ⇔ - d < x < d

Por tanto:

0 < |x| < d ⇔

c - d < x < c - e ó c + e < x < c + d



155 155

COORDENADAS DE UN PUNTO DEL PLANO

Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares,

llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas:

El eje horizontal se l lama eje X o eje de abscisas.

El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.

El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.

Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por ( x, y).

La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina

coordenada x del punto o abscisa del punto.

La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama

coordenada y del punto u ordenada del punto.

15 Determinar las coordenadas de un punto del plano

respecto al sistema de coordenadas cartesianas.

Calcular la distancia entre dos puntos del plano real

de coordenadas conocidas.



156 156

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para

localizar puntos en un plano.

Actividades 1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN PLANO

Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la

ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la

distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .

Ejemplo:

La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.

Escribir en forma de radicales

1) Dados los siguientes puntos A(5,8); C( )4

1,

2

1; D( 3,2 ); E(0,-5), señalar cuál es la abscisa y

cuál es la ordenada de cada uno de ellos.

2) Si k es la proyección sobre el eje x del punto B(5,3), cuál es la abscisa de k

3) Representar gráficamente los siguientes puntos en un sistema de coordenadas cartesianas

a) A( -5,3 ); B( 0,2

1 ) ; C(1, -1) b) D(-3, -3) ; E(2,0) ; H(4, 4)

c) I(6, 3 ) ; B(0,0); K( 0, 6 ) d) L(-1, -1) ; M(4, -2) ; N(-2,-2)

4) Los vértices de una figura geométrica son: P(5,0) ; Q(3,2); R 81,0) ; S(3, -2) . Representar la

figura y escribir su nombre.

5) Si los vértices de una figura geométrica son los puntos A(3,0); B(0,3); C(-3,0);D(0, -3)

Dibujar la figura determinada por dichos puntos

¿Qué nombre recibe dicho cuadrilátero?

¿Cuánto mide su diagonal?

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Plano_Cartesiano.html



157 157

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este

eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda

determinada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas,

luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo:

Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

Demostración

Sean A (x1, y1) y B (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos A y B denotada por está dada por:

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/PitagorasTeorema.htm



158 158

Hemos localizado los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) así como también el segmento de recta

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas

se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1 R P2 y en el cual podemos aplicar

el Teorema de Pitágoras:

Pero: ;

y

Luego,

En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.

El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y P2 no afecta el valor de la distancia.

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/PitagorasTeorema.htm



159 159

Calcular la distancia entre dos puntos.

Cuando al medir dos segmentos obtenemos el mismo número, los segmentos son congruentes.

Cuando al medir dos segmentos obtenemos números diferentes, los segmentos son diferentes.

Para hallar la distancia “d” del punto P1 a P2 utilizamos el Teorema de Pitágoras; ya que la d(P1,P2) es la

hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son : (x2 – x1) y (y2 – y1) . y

y2 P2=(x2,y2)

y1

P1(x1,y1) x2 – x1

x1 x2 x

Formula:

2

12

2

1221 )()(),( yyxxPPd

Ejemplo: Ubica los puntos en el plano y calcula el perímetro de : P1(3,2) P2(1,-1) P3(3,0)

1394)3()2()21()31(),( 2222

21 PPd

554)1()2()10()13(),( 2222

32 PPd

24)2()0()02()33(),( 2222

13 PPd



160 160

y P1(3,2)

2

1

-.1 0 1 2 3 x

P3(3,0)

P2(1,-1)

Actividades 1

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Ejercicios: Representa los siguientes puntos:

1.- P1(2,4) P2(-2,5) P3(2,5) 2.- P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)

3.- P1(-3,6) P2(2,1) P3(-3,6) 4.- P1(-4,7) P2(-4,8) P3(2,4)

5.- P1(5,8) P2(1,2) P3(-4,7) 6.- P1(5,6) P2(3,5) P3(-1,4)



161 161

Ejemplos

Dados los puntos A(2,2) y B(4,4), hallar la distancia entre los puntos A y B y el punto medio

x1=2 ; y1=2 ; x2=4 ; y2=4 ; d(AB)= ?

Ecuaciones: 212

212 )()(),( yyxxBAd

y Pm=

2,

2

2121 yyxx

3284422)24()24(),( 2221

2 BAd

Xm 32

6

2

42

2

21

xx Pm= 3,3

Actividades 2

1) Dados los puntos A(2,3); B(0,0); C(1,3), hallar d(AB) ; d(AC); d(BC) y encontrar el punto

medio de cada segmento.

2) Dados los puntos G(2

1,4); H(-3,2); I(

3

1,2), hallar d(GH) ; d(GI); d(HI) y encontrar el punto

medio de cada segmento.

Dado un segmento se llama punto medio de él al punto

del segmento que está a igual distancia de los extremos.

Para determinar las coordenadas del punto medio del segmento

se usa la expresión:

Pm=



162 162

Concepto de función

Representación gráfica de una función

Una función y=f(x) es una relación de dependencia entre dos magnitudes

o variables, de modo que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

Determinar gráficamente funciones reales en el plano

cartesiano.

16



163 163

Tabla de valores y representación

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f(x)

corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al

dominio de definición de la función.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores

algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano,

determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica

de la función.

x 1 2 3 4 5

f(x) 2 4 6 8 10

Gráfico de una función

Gráfico de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes

correspondientes.

G(f) = {x, f(x) /x ∈ D(f)}

Sistema de coordenadas cartesianas

Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en

un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su

perpendicular por O, eje de ordenadas.

Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto

determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente

imagen.



164 164

FUNCIONES DE PRIMER GRADO O FUNCIÓN AFIN

Una función de primer grado se reconoce porque el mayor exponente de la variable es 1.

Son funciones de primer grado: f(x)= 3x; f(x)=3x+1; f(x) = 2x-5

Ejemplos

a) Dada la función f(x)= 2x y el conjunto A={0,1,2,3,4}. Determinar el rango, representarla gráficamente y

escribir dos características de la gráfica.

Obtengamos el conjunto de las imágenes a través de la siguiente tabla:



165 165

b) Dada la función f(x)= 3x – 1. Si el Dom f={0,1,2,-1,-2} hallar el rango t representarla gráficamente.

Rgo f= {-1,2,5,-4,-7}

Observaciones:

La representación gráfica de una función de la forma f(x)= ax+b es una recta

Para representar la recta basta con conocer dos puntos de la misma

La inclinación de la recta depende del coeficiente de la x en la función.

b representa el punto de corte con el eje y

FUNCIONES CUADRÁTICAS

a) Función cuadrática f(x)= x2

Dada la función f: R R; f(x)=x2, la representación gráfica de esta función es una curva llamada parábola,

donde su vértice está sobre el origen de coordenadas (punto 0,0). La variable x2 es de segundo grado y por ello

la función se denomina cuadrática.

Representar gráficamente la función f(x)= x2.

Determinar: Rango de la función



166 166

Observaciones:

Dom f=R (- , ), se le puede asignar cualquier valor de x (positivo o negativo).

Rgo f= (0,)

b) Dada la función f(x)= x2 + 1 . Construir la gráfica.

La representación gráfica es una parábola que no toca ningún punto del eje x.

c) Función cuadrática de la forma y= f(x)= ax2 + bx + c

Dada la función f(x)= x2 – 2x + 3. Representarla gráficamente



167 167

Observaciones:

Para cada valor x existe una imagen en el eje y en tal sentido el dominio dela función pertenece al

conjunto de los números reales.

Rgo f= [2, ). Este valor determina que la función, no es sobreyectiva, ni biyectiva.

Cuando representamos gráficamente una función de la forma ax2 + bx + c donde a0, se obtiene una

curva denominada parábola. Donde los valores a, b y c dictaminan si la parábola corta o no al eje x.

En general:

FUNCIÓN HIPERBÓLICA

Su expresión general es:

Una función polinómica de la función ax2 + bx + c se llama función cuadrática o

de segundo grado, cuyo gráfico es una curva denominada parábola.

f(x)=



168 168

La función definida por esta fórmula se le llama proporcionalidad inversa. Cuando y es el

cociente de una constante por x se dice que y es inversamente proporcional a x, esto quiere decir que en la

misma proporción que aumente y disminuye x.

Así, si x se hace el doble y se convierte en la mitad, por eso su producto es constante, y . x = k, donde k

es la constante de proporcionalidad diferente de cero.

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA FUNCIÓN HIPERBÓLICA

La representación gráfica de la función f: R R; f(x)= x

1está conformada por dos curvas simétricas

llamadas hipérbolas y por ello la función recibe el nombre de hiperbólica.

Ejemplos

Dada la función f(x)= x

3

Dom (f) = R – {0} = R*

puesto que la división por cero no está definida.

Rg(f)= R – {0} =

R* No existe ningún valor para x que cumpla f(x) =0



169 169

TIPO DE FUNCIÓN

La función es inyectiva, porque los elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas del rango.

La función no es sobreyectiva, ya que el conjunto de llegada R no coincide con el rango R* R.

La función no es biyectiva por no ser sobreyectiva.

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA f: R R, f(x)= x

Ejemplo: dada la función f(x)= 2x

a) Representarla gráficamente b) Hallar el dominio

c) Hallar el rango d) Tipo de función

Dándole valores a x construyamos la siguiente tabla:

a) Representación gráfica

b) Dominio de la función.- la raíz cuadrada está definida sólo para números positivos , por tal motivo se deben

encontrar los valores de x que hagan el radicando positivo.



170 170

202 xx Dom (f) = [-2, +)

c) Rango de la función Rgo f) [0, +)

d) Tipo de función: Inyectiva.

ACTIVIDADES 1



171 171



172 172



173 173

FUJNCIÓN AFÍN

Ejemplos

Consideremos la función definida como f(x) = y= 2x + 1.Para su representación gráfica demos a la x un

conjunto de valores arbitrarios: -1, 0, 1, 2

Sustituimos la x en la función por cada valor y efectuamos las operaciones para construir una tabla de

datos.

Cuando x = -1 y= 2 (-1) +1 y= -2 + 1 y= -1

Cuando x = -0 y= 2 (0) +1 y= 0 + 1 y= 1

Cuando x = 1 y= 2 (1) +1 y= 2 + 1 y= 3

Cuando x = 2 y= 2 (2) +1 y= 4 + 1 y= 5

Con estos valores construimos una tabla de datos:

Otros ejemplos de funciones son:

x -1 0 1 2

y -1 1 3 5

Analizar las características de la función afín.

17

Luego ubicamos los pares ordenados, obteniendo la siguiente

gráfica.

La gráfica es una línea recta que no pasa por el origen.

Corta el eje de ordenada 1.



174 174

y= 3x +2 ; y=2x – 4 ; y= 2x ; y= 5x + 1

A estas funciones, cuya representación gráfica es una línea recta se les llama funciones afines o lineales.

Ejemplos

El siguiente cuadro ilustra varios ejemplos de función afín, donde se señalan los valores m y b

Función afín

y= mx + b

Valores de m

Valores de b

y= 2x + 1 2 1

y= -4x -5 -4 -5

y= x2

1 + 1

2

1

1

y=3

4

3x

4

3

-3

La función lineal es del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Una función afín es toda función f: R R definida como f(x) = mx+b,

donde m y b son números reales y m 0.

Si hacemos f(x) = y puede escribirse. y= mx + b

b: representa la ordenada en el origen.

m: representa la pendiente de la línea recta



175 175

Ejemplo

x 0 1 2 3 4

y = 2x 0 2 4 6 8

Pendiente

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Representar gráficamente la función afín.

Son las funciones de la forma f: x R en donde x es un subconjunto de R(x R).

Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos de un conjunto de números. A este

conjunto se le llama dominio de la variable.

La función afín es del tipo: y = mx + n

Si m < 0 la función es

decreciente y ángulo que forma la recta

con la parte positiva del eje OX

es obtuso.

Si m > 0 la función es

creciente y ángulo que forma la recta

con la parte positiva del eje OX

es agudo.



176 176

m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

1.- y = 2x – 1

x y = 2x-1

0 -1

1 1

2. y = -¾x - 1

x y = -¾x-1

0 -1

4 -4



177 177

Ejemplo: Representar y = 2x donde x = -2,-1,0,1,2

y

x = -2--------- y = 2(-2) = -4

x = -1---------y = 2(-1) = -2 4

x = 0---------y = 2(0) = 0 3

x = 1---------y = 2(1) = 2 2

x = 2---------y = 2(2) = 4 1

x

-2 -1 0 1 2 x

-1

-2

-3

-4

Actividades 2

Ejercicios: Representar gráficamente las siguientes funciones: donde: x =-2,-1,0,1,2

1.- y = 2 –x 2.- y = 3x – 2 3.- y = 4x + 5 4.- y = 5 – 2x 5.- y = x + 4

2 6.- y = 6x - 2 7.- y = 2x + x 8.- y = 5x + 2 9.- y = 4x -1



178 178

LA RECTA Y SUS PENDIENTES

El coeficiente m en la función y= mx + b representa la pendiente de la recta y mide lo que varía la y por cada

crecimiento unitario de la variable x.

Si m 0, la pendiente de la recta es positiva (recta creciente)

Si m 0, la pendiente de la recta es negativa (recta decreciente)

Si m=0 , la pendiente de la recta es nula (recta horizontal al eje x)

Si m= , pendiente de la recta tiende a infinita (recta paralela al eje y)

CARACTERÍSTICAS DE LA PENDIENTE

Actividades 1



179 179

ECUACIÓN DE LA PENDIENTE (m) DE UNA RECTA CONOCIENDO DOS

PUNTOS

Ejemplos

1) Hallar la pendiente de la recta que une los puntos P(-5,3) y Q(2,-4)

Solución

Reemplazamos directamente en la expresión dela pendiente que tendrá que:

17

7

52

7

)5(2

34

12

12

xx

yym

2) Usando la expresión de la pendiente de una recta demostrar que los siguientes puntos A(4,1); B(5,-2)

y C(6,-5) son colineales.

Solución

¿Cómo es el ángulo (agudo, obtuso, 0° , 90°) que forman las siguientes

rectas con el eje de las abscisas (x). Haz el gráfico correspondiente.

1) y= 3x + 2 2) y= -4x + 3 3) y= -x + 5

2 4) y=4

5) 5

3

2

1 xy 6) y= -6 7) x= 0,25 8) y= -2x -3

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos sobre la recta.

La pendiente de la recta viene dada por el cociente entre la diferencia de las

ordenadas y la diferencia de las abscisas.

La pendiente de una recta es independiente del par de puntos seleccionados.



180 180

Tres puntos son colineales si están ubicados sobre una misma recta.

Para ello debemos calcular las pendientes m1 entre A y B , m2 entre A y C, m3 entre B y C.

345

121

m 3

46

152

m 3

56

253

m

Como se cumple que las tres pendientes son iguales se deduce que los puntos son colineales.

ACTIVIDAD 4

Determinar la pendiente de la pendiente de la recta que pasa por los

siguientes puntos:

1) (1,1) y (3,3) 2) (2,1) y (-4,2) 3) (1,3) y (2,6) 4) (-1,1) y (-3,3)

5) (0,-3) y (2,6) 6) (-2,1) y (-6,3) 7) (1,4) y (3,7) 8) (1,-2) y (2,-4)



181 181

CUANDO UN PUNTO PERTENECE A UNA RECTA

Para saber si un punto P(x1,y1) pertenece a una recta, se sustituye dicho punto en la función afín que

representa a la recta y si la relación se transforma en una identidad, el punto P pertenece a la recta.

Ejemplos

Determinar si los puntos P1 (3,7) y P2 (3,4) pertenecen a la recta y= 2x +1

Solución para P1:

Sustituimos x=3 ; y y= 7 en la ecuación dada

y= 2x + 1

7= 2.3 + 1

7= 6 + 1

7= 7 Como es una identidad, entonces el punto (3,7) pertenece a la recta

Solución para P2:

Sustituimos x=3 ; y y= 4 en la ecuación dada



182 182

y= 2x + 1

4 2.3 + 1

4 6 + 1

4 7 Como no es una identidad, entonces el punto (3,4) no pertenece a la recta y= 2x+1

ACTIVIDAD 6

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Consideremos la siguiente función afín: 4

32 xy

4

32 xy Si eliminamos el denominador en la función tenemos:

384 xy Si igualamos a cero se tiene que:

0384 xy Ordenamos la expresión obtenida.

Colocamos primero el término en x, luego el término en y, finalmente el término

independiente.

038 yx Si llamamos:

A al coeficiente de x.

B al coeficiente de y.

C al término independiente. Tenemos:

1) Dada la recta y=-2x+6

a) P1 (0,6 ) b) P2 ( 3 , 0 ) c) P3 (1,1) d) P4 (5 , -4 ) e) P5 ( 3 ,2 ) f) P6 (-2 , 4 )

Determinar qué puntos pertenecen a la recta dada

2) Dada la recta 2

1

4

3 xy y los puntos

1) P1 (16

17,

4

3) 2) P2 (

5

4,

5

2) 3) P3 (

40

23,

10

1) 4) P4 (

8

7,

2

1) 5) P5 (

7

8,

2

1) 6) P6 (

6

7,

4

5)

Determinar qué puntos pertenecen a la recta dada

3) Hallar el valor de k de tal forma que la recta 2kx + y + k =0 pase por el punto P(0,-3)

Respuestas 1) P1 ; P2; P4 y P6 2) P1 ; P3; P4 y P5 3) k= 3



183 183

0 CByAx es una forma de escribir bmxy

Para calcular m y b se utilizan las siguientes expresiones:

B

Am y

B

Cb Indistintamente utilizaremos cualquiera de las dos ecuaciones como

ecuación de la recta.

Ejemplos

Determinar la expresión de la función afín de la siguiente ecuación general:

-3x + 6y + 6 = 0

Solución:

Tenemos que A= -3 ; B= 6 ; C= 6

Para calcular el coeficiente de la x usamos la ecuación: 2

1

2

1

6

3

m

B

Am

Para calcular el punto por donde corta la recta el eje y usamos la ecuación: 116

6 b

B

Cb

Obteniéndose que: 12

1 xy

Otra forma de conseguir el mismo resultado es despejando y en la ecuación:

-3x + 6y + 6 = 0

- 6y = 3x-6 12

1

6

6

6

3 xy

xy

NOTA:

Si la ecuación de la recta se escribe como y=mx+b, entonces la pendiente m es el coeficiente de

la x.

Si la ecuación de la recta está en su forma general Ax + By + C=0, entonces la pendiente es

B

Am y el punto por donde corta la recta el eje y es

B

Cb .

ACTIVIDAD 7



184 184

ACTIVIDAD 8

Determinar la expresión de la función afín de la siguiente ecuación

1) 2x+4y+3=0 2) 01

2

3 yx

3) 3x+y-8=0 4) 2

3

1 yx

5) 2x+10-3y=0 6) 052 yx

7) 3x+1=y 8) 0123 yx

9) 2x+y-3=0 10) 2x+2y=6

Hallar el valor de k de tal forma que la recta 4x=ky+7 tenga pendiente 6

Calcular la pendiente y la ordenada en el origen para las rectas

1) x-3y+12=0 2) 023 xy

3) 2x-3y+12=0 4) 934 yx

5) y-2=0 6) 01776 yx

7) 2x-5y-28=0 8) 73

2

1 yx

9) 4x+7y-28=0 10) 5x=2y+16



185 185

FORMA PUNTO PENDIENTE DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Esta es la ecuación de la recta que pasa por el punto (x1 , y1) con pendiente m. Esta

ecuación es llamada también ecuación punto pendiente de la recta.

Ejemplos

1) Hallar la ecuación de la recta que pasa a través del punto P(2, -3) con una pendiente m=-4

Solución

La ecuación es de la forma punto- pendiente )( 11 xxmyy

Reemplazamos los valores conocidos x1=2; y1=3; m= -4 )2(4)3( xy

843 xy

Igualando a cero la ecuación 0834 yx

Esta es la ecuación pedida: 054 yx

2) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, 3) con una pendiente m=-3

Solución

La expresión de la recta que cumple con estas condiciones viene dada por )( 11 xxmyy

Sustituyendo x1=2; x2=3; y m= 3

y-3 = 3(x-2)

y-3 = 3x – 6 Aplicando la propiedad distributiva

-3x+y-3+6=0 Igualando la ecuación a cero

-3x+y+3= 0 Operando -3+6

3x-y-3= 0 Multiplicando por (-1)

Luego la ecuación de la recta pedida es: 3x-y-3= 0

Sea una recta pendiente conocida m y que pasa por el punto P1(x1,y1)

P(x,y) es cualquier otro punto con x x1, entonces P está sobre la

recta sólo si la pendiente de la recta que pasa por P1 y P es m (son

colineales), es decir: que puede escribirse así:



186 186

3) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 7) y cuya pendiente m=4

5

Solución

Apliquemos la fórmula )( 11 xxmyy

Reemplazando los valores obtenidos se tendrá que: x1=1; y1=7; y m= 4

5

y-7 = 4

5(x-1)

4(y-7) = 5(x – 1) Eliminando denominadores

4y-28=5x-5 Aplicando la propiedad distributiva

-5x+4y-28+5= 0 Ordenando e igualando la ecuación a cero

-5x+4y-23= 0 Operando -28+5

5x-4y+23= 0 Multiplicando por (-1)

Luego la ecuación de la recta pedida es: 5x-4y+23= 0

ACTIVIDAD 9

DADOS DOS PUNTOS DE UNA RECTA, DETERMINAR LA ECUACIÓN

Si una recta pasa a través de dos puntos dados, puede encontrar y graficar su ecuación usando la

forma de punto pendiente como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplos

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene una pendiente

1) P( 2, 1) ; m= 2 2) P( 1, -3) ; m= 3

3) P( 0, 3) ; m= -2 4) P( 1, -2) ; m= 5

5) P( 2, 4) ; m= 3 6) P( 3, 4) ; m= 5

7) P( -2, -4) ; m= 4

1 8) P( -2, -4) ; m=

2

1

9) P( -1, -1) ; m= 2

1

10) P( 2, 3) ; m= -4



187 187

Dados los puntos A(1,2) y B(3,4), determinar la ecuación y graficarla:

Solución:

ACTIVIDAD 10

Como tenemos los puntos Ay B podemos calcular la pendiente m 12

12

xx

yym

Sustituyendo los valores en m, sabiendo que x1=1 ; y1=2; x2=3; y2=4 12

2

13

24

1

m

Aplicamos la forma punto pendiente y-y1 = m (x-x1)

Elegimos el punto A(1,2) y reemplazamos los valores x1=1 ; y1=2; y m= 1 y-2= 1(x-1)

Aplicando la propiedad distributiva y-2= x-1

Igualando a cero -x+y-2+1=0

Multiplicando por (-1) x-y+1=0

a) Encuentre una ecuación de la recta que pasa a través de los puntos dados.

1) P1( 3, 2) ; P2( 1, 1) 2) P1( 2, 5) ; P2( 4, 11) 3) P1( 2, 3) ; P2( 7, 8) 4)P1( -3, -1) ; P2( 4, 3)

5) P1( 1, 7) ; P2( 6, -3) 6)P1( 2, 4) ; P2( 3, 10) 7) P1( 4, 4) ; P2( 6, 7) 8)P1( 0, -3) ; P2( 4, 0)

Para graficarla utilizaremos los

puntos dados A(1,2) y B(3,4)



188 188

DADOS DOS PUNTOS DETERMINAR LA PENDIENTE m Y LA ORDENADA EN EL ORIGEN b

DE UNA RECTA

Ejemplos

Determinar la pendiente m y la ordenada en el origen b de la recta que pasa por los puntos P1(-5,-7) y

P2(3,-4):

Solución:

Como tenemos P1 y P2 podemos calcular m 12

12

xx

yym

Sustituyendo los valores en m sabiendo que x1 =-5 ; y1 = -7; x2 =3; y2= -4 8

3

)5(3

)7(4

m

Aplicamos la forma punto-pendiente y-y1= m(x-x1)

Elegimos el punto P1(-5,-7) y reemplazamos los valores: y-(-7)= 8

3 (x-(-5))= y+7=

8

3(x+5)

y1 = -7; x1 =-5 y m= 8

3:

Aplicando la propiedad distributiva y + 7= 8

3x +

8

15

Despejando la variable “y” y = 8

3x +

8

15-7 y=

8

3x -

8

41

Comparando con la ecuación-ordenada en el origen y= mx + b

b) Determinar la ecuación de la recta que

tiene asociada la tabla.

x -2 -1 0 1 2 3

y -7 -4,5 -2 0,5 3 5,5

c) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(3,0)?

1) 2x-y+1=0 2) x + y -1=0 3) x – y +2=0 4) x + y – 3= 0



189 189

Esta es la ordenada en el origen pedida 8

41b

OTRA FORMA DE OBTENER LA ORDENADA EN EL ORIGEN b ES:

A partir de los dos puntos calculamos m 12

12

xx

yym

Sustituyendo los valores en “m” sabiendo que x1:= -5; y1=-7= x2=3; y2=-4 8

3

)5(3

)7(4

m

Aplicando la forma punto-pendiente y-y1= m(x-x1)

Tomamos un punto cualquiera P2(3,-4) y sustituimos y-(-4)= 8

3 (x-3)

Hallamos la ecuación de la línea recta y+4= 8

3 (x-3)

Eliminando denominadores 8x+32=3(x-3)

Aplicando la propiedad distributiva 8x+32=3x-9

Expresamos la ecuación en la forma general -3+8y+41=0

Comparamos con la forma general Ax+By+C=0

La ordenada en el origen b se calcula aplicando 8

41

B

Cb

Observa que se obtienen los mismos resultados

ACTIVIDAD 11

ECUACIÓN PENDIENTE E INTERSECCIÓN DE UNA LÍNEA RECTA

Un caso especial de la forma punto-pendiente es aquel en el cual el punto dado es el punto donde

la línea cruza el eje y.

Considerando la recta l de pendiente m como se muestra en la figura. Sea P(0,b) el punto de

corte con el eje y.

Hallar la pendiente y la ordenada en el origen b de la recta que pasa por los puntos

1) P1( -3, 5) ; P2( 0, 7) 2) P1( -5, -7) ; P2(3,-4) 3) P1( 3, 0) ; P2( 0, 4) 4)P1( 2, 3) ; P2( 7, 8)

5) P1( -3, 4) ; P2( -2, 0) 6)P1( 6, 3) ; P2( 4, 8) 7) P1( -2, -3) ; P2(1, -6) 8)P1( 0, -3) ; P2( 4, 0)



190 190

Ejemplos

Determinar una ecuación de la recta que tenga una pendiente igual a 6 y una intersección en y igual a -4.

Graficar la línea.

Solución:

En este ejemplo m=3 y b= -4. Sustituyendo en la forma pendiente intersección, obtenemos:

y= mx + b y= 3x + (-4) y= 3x-4

La forma pendiente e intersección de la ecuación d la línea que tiene pendiente m y

una intersección en y de b es: y= mx + b

Aplicando la forma punto-pendiente y-y1 = m (x-x1)

Sustituyendo los valores conocidos

Aplicando la propiedad distributiva

Despejando y tenemos

Grafiquemos la función y= 3x-4 dándole valores a x para obtener

los valores de y.

Si x= -1 y= 3(-1)-4 = -7

Si x=0 y= 3(0)-4 = -4

Si x=1 y= 3(1)-4 = -1

Y obtenemos la siguiente tabla

x -1 0 1

y -7 -4 -1



191 191

ACTIVIDAD 12

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Según la posición de las rectas se pueden presentar los siguientes casos: paralela, perpendiculares

o secantes.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

m1 || m2 m1 = m2

Dada la pendiente y la intersección de una recta encontrar y graficarla.

1)Pendiente igual a 2 y una

intersección en e igual a -3

2) Pendiente igual a -4 y una

intersección en e igual a 6

3) Pendiente igual a 4

3 y una

intersección en e igual a 8

7

4) Pendiente igual a 2,5 y una

intersección en e igual a -4,7

5) Pendiente igual a -3,5 y una

intersección en e igual a 5,9

6) Pendiente igual a -6 y una

intersección en e igual a -7



192 192

CÓMO DETERMINAR SI DOS RECTAS SON PARALELAS, PERPENDICULARES O

SECANTES.

Ejemplos

1) Demuestre si cada par de rectas son paralelas, perpendiculares o secantes

a) L1: x – 3y = 6

L2: 2x – 6y = -12

b) L3: 2x +y = 5

L4: x – 2y =

c) L5: 2x +y = 6

L6: x + y = 4

Solución:

a) Encontramos la pendiente de cada recta

Para L1

x – 3y = 6

-3y= -x +6 Despejamos y

23

1;

3

6

3

1 xyxy

m1= 3

1

Para L2

2x – 6y = -12

-6y= -2x -12 Despejamos y

23

1;

6

12

6

2 xyxy

m2= 3

1

Como las pendientes son iguales las rectas son paralelas, como se ilustra en la figura 1

b) Dadas las rectas L3 y L4 hallar la pendiente en cada caso

Para L3

2x + y = 5

y= -2x +5 Despejamos y

m3= -2

Para L4

x – 2y = 4

-2y= -x +4 Despejamos y

22

1 xy

m4= 2

1

Al efectuar el producto: m3 . m4 =(-2) . 12

1 , observamos que el producto es -1 por lo tanto las rectas

son perpendiculares, como se ilustra en la figura 2.



193 193

c) Dadas las rectas L5 y L6 hallar la pendiente en cada caso

Para L5

2x + y = 6

y= -2x +6 Despejamos y

m6= -2

Para L6

x +y = 4

y= -x +4 Despejamos y

m6= -1

Como podemos observar las pendientes son diferentes y su producto no es -1 puesto que

m5 . m6 =(-2).(-1)= 2. Concluyendo, las rectas son secantes como se ilustra en la figura 3.

Conclusiones:

Dos rectas con la misma pendiente son paralelas.

Dos rectas cuyas pendientes tengan un producto igual a -1 son perpendiculares.

Dos rectas cuyas pendientes son diferentes y su producto no es -1, son secantes.

d) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos

P1(4,1) y P2(-2,2).

Solución

Calculemos la pendiente 6

1

42

12

m

Como las rectas son paralelas se deduce que: m1 = m2

Conociendo un punto y la pendiente la ecuación será de la forma: y-y1 = m (x-x1)

Reemplazando los valores de P(2,-3) y m=6

1 tenemos y-(-3)=

6

1 (x-2)

Efectuando las operaciones indicadas e igualando a cero y+3= 3

1

6

1 x

Eliminando denominadores y+3 03

1

6

1 x

Resolviendo términos semejantes y ordenando 6y+18+x-2=0

Obteniendo la ecuación pedida x+6y+16=0



194 194

e) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, -3) y es perpendicular a la recta que une los

puntos P1(2,-3) y P2(4,2).

Solución

Calculemos cualquiera de las pendientes, por ejemplo m1

2

5

2

32

24

)3(2

m

Como las rectas son perpendiculares, el producto de m1. m2=-1 y

m2 será igual a:

m1. m2=-1; m2 =

1

1

m

; m2 =

5

2

2

5

1

;

Como el punto es (1,-3) y la pendiente 5

2 la ecuación será de la

forma:

y-y1 = m (x-x1)

Reemplazando los valores tenemos:

y-(-3)= 5

2 (x-1)

y+3=5

2 (x-1)

Eliminando denominadores 5y+15= 22 x

Igualando a la cero

5y+15+2x-2=0 5y+2x+13=0

La ecuación pedida es: 2x+5y+13=0



195 195

ACTIVIDAD 13

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( 4

3 ,

2

1 ) y es paralela a la recta x+3y=1

2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (7 , -3) y es perpendicular a la recta 2x-5y=8

3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por

los puntos (2,-3) y (4,2).

4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (4, -2) y es paralela a la recta que pasa por los

puntos (2,-1) y (5,7).

5) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2, -1) y es perpendicular a la recta

que pasa por los puntos (3,1) y (-2,5).

6)

7)

8)

9)

10) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-3, 6) y es paralela a la recta

2x+4y-7=0

Resolver gráficamente sistemas de ecuaciones con dos

incógnitas.

Resolver analíticamente sistemas de ecuaciones.

18



196 196

Un par de ecuaciones lineales con dos incógnitas que se consideran simultáneamente, forman un

sistema. Su forma más simplificada sería:

ax + by = c

a´x + b´y = c´

Las incógnitas son x e y ; las demás letras representan números; a,b , a´y b´ se llaman coeficientes; c y

c´ términos independientes.

Una solución del sistema es toda pareja de valores de las variables que satisfacen al mismo tiempo sus

ecuaciones.

Resolver un sistema es encontrar su solución. Gráficamente la solución de un sistema viene dada por los

puntos de intersección de las rectas que representan a las dos ecuaciones.

CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS

Los sistemas, según el número de soluciones se clasifican en:

Determinados

Compatibles (tiene soluciones) (tiene una única solución)

Indeterminados

Sistema Lineal (tiene infinitas soluciones)

Incompatibles (no tiene soluciones)

Establecer el concepto de Sistemas de Ecuaciones Lineales y solución del sistema. Se llama solución de una ecuación lineal con dos incógnitas, al conjunto formado

por los pares de valores de las incógnitas que sustituidas en la ecuación la transforman en una identidad.

Resolver gráficamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.

Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema:

3x – 2y = -1 x =(1,3) Despejamos y: 3x – 2y = -1

2x + y = 4 x =(0,-1) y = 3x + 1

2

Sustituimos x por 1:



197 197

y = 3(1) + 1 y = 3 + 1 y = 4 y = 2

2 2 2

A(1,2) B(3,5)

Sustituimos x por 3: y = 3(3) + 1 y = 9 + 1 y = 10 y = 5

2 2 2

Despejamos y en la otra ecuación: 2x + y = 4 y = 4 – 2x

Sustituimos x por 0:

y = 4 – 2(0) y = 4 –0 y = 4 C(0,4)

Sustituimos x por –1

y = 4 – 2(-1) y = 4 + 2 y = 6 D(-1,6)

y

6

C

5 B

4 D

3

2

A

1

-1 0 1 2 3 x

Ejercicios: Resolver gráficamente los sistemas:

1.- 2x + y = 4 2.- 2x – 7y = 6 3.- 2x – 3y = 1



198 198

3x + 2y=-1 4x – 3y = 2 3x + 4y =10

Analizar la solución de Sistemas de Ecuaciones mediante interpretación geométrica.

a.- Sistema Incompatible: se dice que el sistema es incompatible cuando entre todas las soluciones de la

primera ecuación y todas las soluciones de la segunda, no hay solución común.

La representación gráfica de este sistema son dos rectas paralelas.

y L

L’

x

b.- Sistema Indeterminado: se dice que el sistema es indeterminado ya que todas las soluciones de la primera

ecuación sean exactamente iguales a todas las soluciones de la segunda, o sea las ecuaciones son equivalentes.

La representación gráfica de este sistema es una línea recta.

y

x

c.- Sistema Determinado: se dice que el sistema es determinado, ya que entre todas las soluciones de la primera

ecuación y todas las soluciones de la segunda, solamente haya una solución común.

La representación gráfica de este sistema son dos rectas que se cortan.

y L

L’



199 199

x

Resolver analíticamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.

a.- Método de Reducción: Este método es algebraico y consiste en hacer las transformaciones necesarias para

que el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se transforman en una ecuación con una incógnita para lo

cual nos apoyamos en las siguientes propiedades:

a.1.- Si una ecuación la multiplicamos o dividimos por un número resulta una ecuación equivalente(tiene las

mismas soluciones).

a.2.- Si sumamos o restamos miembro a miembro dos ecuaciones resulta una ecuación equivalente a estas.

Ejemplo: Resolver x + 2y = 8 -2 x + 2y = 8

2x + y = 7 1 2x + y = 7

-2x – 4y = -16

2x + y = 7

-3y = -9 Calculamos x en cualquier ecuación:

y = -9/-3 y = 3 x + 2y = 8

x + 2(3) = 8

x + 6 = 8 x = 8 – 6 x = 2

Ejercicios:

1.- 3x – y = 5 2.- 2x – 2y = 10 3.- 4x + y = -12



200 200

2x + y =10 3x + 2y = 10 2x – 3y = 1

4.- 5x – 2y = -2 5.- 2x + y = -2 6.- 3x – 2y = 2

x – 2y = 2 x + 3y = -11 3x + 4y =22

b.- Método de Sustitución: También es algebraico y consiste en despejar una de las incógnitas en una de las

ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.

Ejemplo: Resolver x – 5y = 8 despejamos x: x – 5y = 8

-7x + 8y = 25 x = 8 +5y

Sustituimos en la otra ecuación -7x + 8y = 25 -7(8 + 5y) + 8y = 25

-56 – 35y + 8y = 25

-35y + 8y = 25 + 56

-27y = 81

y = 81/-27 = y = -3

encontramos el valor de x: x = 8 + 5y x = 8 + 5(-3)

x = 8 – 15

Ejercicios:

1. - 2x + y = 3 2.- x + y = 1 3.- 5x + 2y = 3



201 201

x + y = 8 x – y = 1 2x + 3y =-1

4.- 5x – y = 0 5.- 4x – 5y = 3 6.- 2x – 2y = 10

2x + y = 1 3x – 3y = -3 3x + 2y = 10

c.- Método de Igualación: también es algebraico y consiste en despejar la misma incógnita en cada una de las

ecuaciones para después igualar sus valores.

Ejemplo: Resolver: 2x + 1 = y 4(2x + 1) = 5y

5 4

8x + 4 = 5y

2x – 3y = -8

8x – 5y = -4

sustituimos la x en las dos ecuaciones: 8x – 5y = -4 = x = -4 + 5y

8

2x – 3y = -8 = x = -8 + 3y

2

igualamos los valores de x: -4 + 5y = -8 + 3y = 2(-4 + 5y) = 8(-8 + 3y)

8 2

-8 + 10y = -64 + 24y

10y – 24y = -64 + 8

-14y = -56

y = -56/-14

y = 4

sustituimos y en la segunda ecuación: 2x – 3y =-8 2x –3(4) = -8

2x – 12 = -8

x = -8 +12

2

x = 4/2 = x = 2



202 202

Ejercicios:

1.- 2x + y = 3 2.- x + y = 5 3.- 2x – 7y = 10

4x + 4y = 8 x – y = 0 4x - y = -6

4.- 2x - y = -6 5.- 5x + 2y = 3 6.- 8x – 4y = 9

x + y = 1 2x + 3y =-1 6x + 2y = 7

1 Resuelve por sus t i tución, igua lac ión, reducción y gráficamente el s is tema:

2

3 Hal la las soluciones de l s i stema:

4 Resueve:



203 203

5 Resuelve por sus t i tución, igua lac ión, reducción y gráficamente el s is tema:

6 Resuelve el s is tema:

7 Hal la las soluciones de l s i stema:

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Se llama función cuadrática a toda función real de variable real, definida de la siguiente manera:

f(x) = ax2 + b x + c, donde a ,b, c sin números reales y a ≠ 0. Es decir:

f : R R x f(x) = ax2 + bx + c

Si a = 0 la función sería una función afín, de la forma f(x)= b(x) + c

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola y su ecuación es:

y = ax2 + bx + c

Estas gráficas:

Son fáciles de trazar

Son simétricas con respecto a una recta verticales

Su forma es cóncava o convexa, etc.

Analizar las características de la función cuadrática.

19



204 204

Ejemplos

Dadas las siguientes funciones, cuáles son cuadráticas

y= 2x2 + 2x + 3

Aquí tenemos una función cuadrática, ya que de

acuerdo a la definición: a=2; b=2; c= 3

Aquí a0

y= -3x2

Ésta es una función cuadrática porque:

a= -3 y a0

y= x+4

Ésta no es una función cuadrática porque a=0 y

cuando esto sucede la función es afín.

x2 + y =

ésta es una función cuadrática puesto que a=1 y

en consecuencia a0

Actividades 1

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax 2

+ bx + c

donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o

menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

Escribir en el cuaderno las siguientes funciones e identificar cuáles son cuadráticas

1) y= -2x+4x2 2) yx 2

4

3 3) 2x+5= y 4) y= -4x

2 + 1 5) x

2 – 3x =0

6) y= 2x2 – 5x + 10 7) y= 3x

2 8) y=x

2 – 6x + 5 9) y= x

5 + 3x -8



205 205

ax 2

es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los

términos se dice que es un ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se

dice que la ecuación es incompleta .

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática , obtendríamos

siempre una curva llamada parábola .

Como contrapartida, diremos que una parábola es la

representación gráfica de una función cuadrática .

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien

definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la

generan.

Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría

Vértice

Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o

brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax 2 ) :

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 − 3x − 5

Parábola del puente, una función cuadrática.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html



206 206

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x 2 + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que

adquiera x , los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0 .



207 207

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la

expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0 ; que es lo mismo que f(x) = 0 .

Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término

constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola

con el eje de las X (abscisas) .

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

Esta característica se puede determinar analizando el discriminante , ya visto en las ecuaciones cuadráticas .

Ver: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Ver: PSU: Matemática;

Pregunta 34_2010

Pregunta 18_2006

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero , por lo que el punto de corte en el eje de las

ordenadas lo marca el valor de c (0, c) .

Veamos:

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html#discriminante



http://www.profesorenlinea.cl/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2034_2010.html

http://www.profesorenlinea.cl/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2018_2006.html



208 208

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3

Representar la función f(x) = x² − 4x − 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de

abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

Eje de simetría o simetría

Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría .

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir,

intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la

parábola.



209 209

Su ecuación está dada por:

Donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x , asociada a la parábola.

De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

Vértice

Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de

intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y la ordenada corresponde al valor

máximo o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde

el discriminante )



210 210

CONCAVIDAD DE UNA PARABOLA , EJE DE SIMETRÍA

Criterio de concavidad y convexidad

Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava.

Es posible encotrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de manera opuesta, usando

el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.

Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede ser confuso desde el punto de

vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa:

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1))

y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:



211 211

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1))

y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

Intervalos de concavidad y convexidad

Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:

1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.

2 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de

discontinuidad (si los hubiese).

3 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.



212 212

Si f''(x) > 0 es convexa.

Si f''(x) < 0 es cóncava.

Del intervalo (−∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.

f''(−1) = 6 (−1) < 0 Cóncava.

Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, por ejemplo.

f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.

4 Escribimos los intervalos:

Convexidad: (0, ∞)

Concavidad: (−∞, 0)

Ejemplo



213 213

Ejemplo: Dado f(x) = 3x2 dónde x = -2,-1,0,1,2

x f(x) = 3x2 y

-2 3(-2)2= 3. 4 12

-1 3(-1)2

= 3 .1 3

0 3(0)2 = 3 . 0 0

1 3(1)2 = 3 . 1 3

2 3(2)2 = 3 .4 12



214 214

Representación gráfica: f(x)

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-2 -1 0 1 2 x



215 215

Función cuadrática

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx + c Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx + c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0

Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)

Ejemplo

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vértice xv = − (−4) / 2 = 2 yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1

V(2, −1)



216 216

2. Puntos de corte con el eje OX

x² − 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

Ejercicios: Todos estos ejercicios con los valores: x = - 2 , -1 , 0 , 1 , 2

a) f(x)= 3 + x2

b) f(x)= x2 + 2 c) f(x)= 2x

2 – 1

d) f(x)= 6x2 – 2 e) f(x)= 2 + x

2 f) f(x)= 10 – x

2



217 217

3

g)f(x) = x2 + 6 h) f(x)= 4x

2 – x i) f(x)= x

2 + 5x

2

Representa las funciones cuadráticas

1 y = −x² + 4x – 3 2 y = x² + 2x + 1

3 y = x² + x + 1

4 Hal la el vér t ice y la ecuación del eje de simetr ía de las siguientes parábolas:

1 y = (x − 1)² + 1 2 y = 3(x − 1)² + 1

3 y = 2(x + 1)² - 3 4 y = -3(x − 2)² − 5

5 y = x² − 7x – 18 6 y = 3x² + 12x – 5

5 Ind ica, s in dibujar las, en cuantos puntos cor tan a l eje de absc isas las s iguientes parábolas :

1 y = x² − 5x + 3 2 y = 2x² − 5x + 4

3 y = x² − 2x + 4 4 y = −x² − x + 3

6 Una función cuadrá tica t iene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1 , 9) .

Calcular e l va lor de a .

7 Se sabe que la función cuadrá tica de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1 ,1) , (0 , 0) y ( -1 ,1 ) .

Calcula a , b y c .

8 Una parábola t iene su vér t ice en e l punto V(1, 1) y pasa por el punto (0 , 2) . Hal la su ecuac ión.



218 218

Ecuación de Segundo Grado con una incógnita

Una ecuación de segundo grado y variable x es una igualdad de la forma:

Ax2 + Bx + C = 0 ; A ≠ 0

Resolución de la ecuación de segundo grado: Hallar los ceros o raíces de una función cuadrática equivale a resolver la ecuación de segundo grado.

Los valores de “x” que anulan a la función cuadrática, se llaman ceros de la función o raíces de la ecuación.

En las gráficas cuando la función es cero, la curva corta al eje de las “x”, por lo tanto una ecuación de

segundo grado puede tener dos raíces, una o ninguna.

Resolver una ecuación de segundo grado es hallar él o los valores de”x “ que lo transforman en una

identidad.

Fórmula: a

cabbx

2

..42

La fórmula se llama resolvente de una ecuación de 2do

grado, la cual permite hallar directamente las raíces

de la ecuación, sin más que sustituir en dicha resolvente los valores de A, B y C..

Resolver ecuaciones de segundo grado.

20



219 219

Ejemplo: Resolver x2 – 5x + 6 = 0

donde: a = 1

b = -5

c = 6

x = -(- 5) ± (-5)2 – 4 . 1 . 6 x = 5 ± 25 - 24

2 . 1 2

x1 = 5 + 1 x1 = 5 + 1 x1 = 6 x1 = 3

2 2 2

x2 = 5 – 1 x2 = 4 x2 = 2

2 2

Actividades 1

Ejercicios:

1) x2 + 3x – 10 = 0 2) - x

2 + x + 12 = 0 3) 2x

2 + 5x – 3 = 0

4) 3x2 – x – 2 = 0 5) 6x

2 + x – 1 = 0 6) –4x

2 + 5x + 6 = 0

7) x2 + 4x + 3 = 0 8) x

2 – 5x + 4 = 0 9) 2x

2 + 0x – 8 = 0

10) x2 + (7 − x)

2 = 25 11) 7x

2 + 21x − 28 = 0



220 220

Planteamiento de Problemas

Múltiples problemas, tanto como la aplicación de otras ciencias como de la vida real, se resuelven

mediante ecuaciones de segundo grado.

Para hallar la solución de un problema hay que seguir las mismas pautas que se utilizan para resolver las

ecuaciones de primer grado, es decir plantear una ecuación que concuerde con el enunciado, resolverla y

comprobar el resultado comparándolo con el enunciado.

Ejemplos

a) La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 724, hallar los números.

Llamaremos: x número menor

(x+2) número mayor

Según el enunciado tenemos: x2 + (x+2)

2 = 724

Resolviendo el producto notable: x2 + x

2 + 4x + 4 = 724

Igualando a cero: 2x2 + 4x – 720= 0

Simplificando por 2 x2 + 2x – 360= 0

Aplicando la ecuación de segundo grado a

acbbx

2

42 donde a=1; b=2; c= -360

1.2

)360)(1(422 2 x

2

144042 x

2

14442x

182

36

2

3821

x

2

382x

202

40

2

3822

x

Resolver problemas en donde se utilicen ecuaciones de

segundo grado con una incógnita .

21

Solución: los números son 18 y -20; el

número -20 no cumple con el enunciado de

este problema.



221 221

b) Hallar dos números positivos sabiendo que uno es el triple del otro más cinco y que el producto de ambos es

igual a 68.

Condición: x número menor

Según el enunciado tenemos: x (3x+5) = 68

Efectuando operaciones: 3x2 + 5x - 68 = 0


acbbx

2

42 donde a=3; b=5; c= -68

3.2

)68)(3(455 2 x

6

816255 x

6

8415x

42

24

6

2951

x

6

295x

3

17

6

34

6

2952

x

c) ¿ Cuál será el número, sabiendo que la suma del triplo del mismo con el doble de su inverso es igual a 5

Condición: x número menor ; x

1el inverso

Según el enunciado tenemos: 3x+ 52

x

Eliminando el denominador: 3x2 + 2 = 5x

Trasponiendo términos: 3x2 -5x + 2= 0


acbbx

2

42 donde a=3; b=-5; c= 2

3.2

)2)(3(455 2 x

6

24255 x

6

15x

16

6

6

151

x

6

15x

3

2

6

4

6

152

x

Solución:

x1= 4 x2= -17/3

Solución:

x1= 1 x2= -2/3



222 222

Actividades 1

Resolver los siguientes problemas sobre ecuaciones de segundo grado

1 Escr ibir una ecuac ión de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2 .

2 Factor izar :

3 Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuac ión x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.

4 La suma de dos números es 5 y su p roducto es −84. Hal la dichos números.

5 Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13

años. Calcula la edad de Pedro.

6 Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las

dimensiones de la finca.

7 Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la

longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

8 Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena

uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

9 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante

a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

10 Hal la un número entero sab iendo que la suma con su inver so es .

11 Dos números na tura les se d i ferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580.

¿Cuáles son esos números?

12 Dos caños A y B l lenan juntos una pisc ina en dos horas, A lo hace por sí so lo en tres horas

menos que B. ¿Cuántas horas tarda a c ada uno separadamente?

13 Los lados de un tr iángulo rec tángulo t ienen por medidas en cent ímetros t res números pares

consecut ivos. Hal la los va lores de dichos lados.

14 Una p ieza rec tangular es 4 cm más la rga que ancha. Con e l la se construye una caja de 840

cm3 cor tando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las

dimensiones de la caja .

15 Un caño tarda dos horas más que o tro en l lenar un depósi to y abr iendo los dos juntos se

l lena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto t iempo tardará en l lenar lo cada uno por separado?



223 223

Teorema de Pitágoras:

Enunciado

B Los puntos A, B, y C del plano determinan un triángulo rectángulo y sus lados están formados por los vectores AB= a

y AC = b . La diferencia de estos vectores es el vector CB = a – b .

A C

El producto escalar es CB . CB = ( a – b ) . ( a – b )

En un tr iángulo rec tángulo , e l cuadrado de la hipotenusa es igua l a la suma de los cuadrados de los cate tos.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras:

1 Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Aplicar el Teorema de Pitágoras en la resolución de

problemas.

22



224 224

Ejemplo: Los ca te tos de un tr iángulo rec tángulo miden en 3 m y 4 m respect ivamente. ¿Cuánto

mide la hipotenusa?

2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular e l otro cateto

Ejemplo: La hipotenusa de un tr iángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus cate tos 3 m. ¿Cuánto mide o tro

cate to?

3 Conociendo sus lados , averiguar s i es rectángulo

Para que sea rec tángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igua l a la suma de los cuadrados de los dos

menores.

Ejemplo: Determinar s i e l t r iángulo es rec tángulo.



225 225

Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden respectivamente 3 m y 4 m.

Hallar el valor de la hipotenusa B / CB /

2 = / BA /

2 + / CA /

2

x2 = (4m)

2 + (3m)

2

4 m x x2 = 16m

2 + 9m

2

x = 25 m2

x = 5 m

A 3 m C

Actividades 1


1 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm.

Hallar el otro cateto.

2 En un tr iángulo rec tángulo, las proyecciones de los cate tos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros.

Calcular la a l tura re la t iva a la h ipo tenusa .

3 La hipo tenusa de un tr iángulo rec tángulo mide 405.6 m y la proyecc ión de un ca te to sobre el la 60 m.

Calcular :

1 Los catetos.

2 La a l tura re la t iva a la hipotenusa .

3 El área del t r iángulo.

4 Calcular los lados de un tr iángulo rectángulo sab iend o que la proyecc ión de uno de los catetos sobre

la hipo tenusa es 6 cm y la a l tura re la t iva de la misma cm.

5 Una escalera de 10 m de longi tud es tá apoyada sobre la pared. E l pie de la esca lera dista 6 m de la

pared. ¿Qué al tura alcanza la escalera sobre l a pared?

6 Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado.

¿Serán iguales sus áreas?

7 Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

8 Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.

9 En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y

en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último

círculo.

10 El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular

los lados no paralelos y el área.

11 Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero



226 226

PITAGORAS

Gracias al video de Disney, supimos que Pitágoras hizo las bases de la música en cuanto a las notas. Además, que los intervalos

musicales no podrían existir sin números. Por otro lado, considera las notas musicales ( escala de do) y las comparas con relaciones de

distancias del sistema solar.

- Averiguamos que tuvo un tipo de grupo de discípulos, llamados los Pitagóricos, que atribuían todos sus descubrimientos a Pitágoras.

- Dentro de sus aportes más importantes están: sólidos regulares, números perfectos, números amigables, estudio de medias, números

irracionales y los números figurados.

Por último, la conclusión más importante es la que tiene que ver con un pensamiento de Pitágoras, el ver en situaciones que no

parecieran tener que ver con la matemática, a los números. Ver números en todas partes.

de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del

trapecio.

12 El área de un cuadrado es 2304 cm2. Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo

perímetro.

13 En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el

exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

14 A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el

área de la corona circular así formada.

15 En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

16 Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente.

Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

17 Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio.

18 Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento

circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

19 Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la

circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

20 Calcular el área de la corona c ircular determinada por las c ircunferencias inscr i ta y circun scr i ta a

un cuadrado de 8 m de d iagonal .

Pitágoras fue un importante matemático antiguo griego, y sus aportes siguen siendo utilizados hoy en día.

En cuanto a la explicación del teorema de Pitágoras, aprendimos la demostración geométrica de éste como se ve en una

entrada previa. Actualmente es una de las piedras angulares de la arquitectura moderna

http://4.bp.blogspot.com/_7GP3mFgtWwY/SkGCIiiGOiI/AAAAAAAAAA4/_sHLGgHo9Qw/s1600-h/PitagorasDibujo.jpg



http://www.vitutor.net/2/1/5.html






227 227

Primer Teorema de Euclides:

En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto al cuadrado, es igual al producto de la longitud de la hipotenusa

por la proyección de dicho cateto sobre ella.

/ AB /2 = / AC / . / AD / .

Segundo Teorema de Euclides: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la altura

correspondiente a la hipotenusa, es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre dicha

hipotenusa. / BD /2 = / AD / . / DC /.

Ejemplos:

1) En el triángulo rectángulo B, BD es la perpendicular a la hipotenusa AC. Se conocen AB = 8m y AD = 2m, se pide

el valor de la hipotenusa AC.

B

A D C

Aplicamos el 1er

Teorema: / AB /2 = AD . AC AC = AB

2

AD

/ AC / = ( 8m)2 AC = 64m

2 AC = 32 m

2m 2m

Aplicar el Teorema de Euclides en la resolución de

problemas.

23



228 228

2) Los puntos ABC determinan un triángulo rectángulo en B y BD es la perpendicular a la hipotenusa. Se conocen AD

= 4m y DC = 8 m. Hallar el valor de BD.

B Aplicamos el segundo Teorema.

A D C

/ BD /2 = AD . DC = / BD / = mm 8.4

/ BD / = m32 = m52 = .24 m

Ejercicios: Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, aplicando el Teorema correspondiente:

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 m y uno de sus catetos 6 m. Hallar el valor del otro cateto.

B

10 m solución: 8 m

X

A C

6 m

2) ABC es un triángulo rectángulo en B y BD es la perpendicular a la hipotenusa AC . Se conocen AD = 3m , DC =

6m . Hallar AB.



229 229

B

Solución: 3 3

A D C

El triángulo ABC es rectángulo en B y BD es la perpendicular a la hipotenusa. Se conocen AB = 10 m y

AD = 5 m . Hallar: BC. B

x solución: 300

10 m

A 5 m C

2) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

A

Solución: x1= -5

x + 1 x x2 = 1

B x + 2 C



230 230

3) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

A

5

2 solución: x = 1

C x B

6) Dado el triángulo rectángulo, calcular: AD y DC.

B solución: DC = 2,49 m

AD = 1,12 m

2 m 3m

A D C



231 231

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas

son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Ejemplos

1 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

Aplicar el Teorema de Thales en la resolución de

problemas.

24



232 232

2 Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

Teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene

otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Ejemplo:

Hallar las medidas de los segmentos a y b.



233 233

Aplicaciones del teorema de Thales

El teorema de Thales se ut i l i za para divid ir un segmento en varias partes igua les.

Ejemplo:

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

1 Se d ibuja una semirrecta de or igen e l extremo A de l segmento.

2 Tomando co mo unidad cualquier medida, se seña lan en la semirrec ta 3 unidades de medida a par t ir de A



234 234

3 Por cada una de las divis iones de la semirrec ta se trazan rec tas parale las a l segmento que une B

con la úl t ima divis ión sobre la semirrec ta. Los puntos ob tenidos en el segmento AB determinan las 3

par tes iguales en que se divi de.

EJEMPLOS DEL TEOREMA DE TALES

TEOREMA DE TALES

TALES DE MILETO

Fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la

historia de la filosofía occidental y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de

Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia(el sabio astrónomo), y habría tenido,

según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras Fue además uno de los más

grandes matemáticas de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.

TEORIA:

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

http://2.bp.blogspot.com/-fMPyDMEMPFY/T7R5_VC5Z0I/AAAAAAAAAAM/bHY72RD1qHQ/s1600/220px-Illustrerad_Verldshistoria_band_I_Ill_107.jpg







235 235

EJEMPLOS:

ejemplo #1

si sabemos que dicha línea es paralela a la base y que divide a la primera rampa de longitud 5 m y la segunda

tambien de 5m ( a ambos lados)

sabemos también que la vale mide 10 m ¿cuánto mide la línea paralela a la base que divide aun triángulo de la

pirámide en 2 rampas?

según el teorema de thales tenemos

que longitud total del lado del triángulo isósceles de la pirámide (20m) dividido por la longitud de uno

cualquiera de los segmentos iguales(5m) debe ser igual al cociente de la base sobre la línea paralela:

es decir:

10m/5m=20 m/?

entonces ?=10 m.

ejemplo #2



236 236

Ejemplos

1.Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

1614

14/10=x/4 x=14.4/10= 5.6cm

2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Este ejercicio es

para ti



237 237

El teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo

AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

4/2 = 6/b b=3cm

4/2 = a/4 a=8cm



238 238

Aplicaciones del teorema de Thales

El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.



239 239

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la

semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Semejanza de triángulos cualesquiera

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.

Son ángulos homólogos:

A y A´ B y B´ C y C´

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

a/a´ = b/b´= c/c´ = a+b+c/a´+b´+c´ = p/p´= r

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

a/a´- b/b´-c/c´ = r s/s´=r´

Ejemplos

1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra

de 0.90 m.



240 240

0.9/0.5 = 4.5/x x = 6.5.4.5/0.9 = 32.5m

2.Los catetos de un triángulo rectángulo que mide en 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de dibujo

CUROSIDADES MATEMATICAS

El matemático ignorante

En las aulas de cierta facultad de Matemáticas, nos podemos encontrar a un extraño personaje. Cierto día, me confesó que tan sólo sabía multiplicar y

dividir por 2. - A pesar de todo, me dijo, puedo multiplicar rápidamente números de dos cifras.

Le propuse que multiplicara 75 por 38. Tomó una hoja de papel y escribió a la izquierda 75 y a la derecha 38. Luego inició sus cálculos:

- La mitad de 75 es 37, ¿no es así?. - No -le dije- es 37'5. - De acuerdo, pero no sé trabajar con decimales,

así que no los pongo.

Escribió 37 y, repitiendo el proceso, dividió por dos y obtuvo, a pesar de mis protestas, 18, 9, 4, 2 y finalmente 1.

Después multiplicó 38 por dos. El resultado, 76, lo escribió en la fila inferior. Volvió a multiplicar por dos y obtuvo

152, 304, 608, 1216 y 2432.

Al final tenía escrito,

Me dijo que los números pares de la columna de la izquierda no servían de nada, así que los tachó (junto con el número que

tenían a su derecha) con lo que quedó

Sumando los números de la columna de la derecha obtuvo: 38+76+304+2432=2850, que es el

resultado correcto. Probé con otros números y también funcionaba el método. ¿Sabrías dar una explicación matemática?.

75 38

37 76

18 152

9 304

4 608

2 1216

1 2432

75 38

37 76

9 304

1 2432



241 241

Semejanza de triángulos

1. Criterios de semejanza de triángulos

2. Algunos ejercicios de los triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son

proporcionales. (Lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales) Es decir:

Ejemplo: Los triángulos siguientes son semejantes:

Aplicar semejanza de triángulos en la resolución de

problemas.

25

http://www.monografias.com/trabajos81/semejanza-triangulos/semejanza-triangulos.shtml#criteriosa

http://www.monografias.com/trabajos81/semejanza-triangulos/semejanza-triangulos.shtml#algunoseja

http://www.monografias.com/trabajos36/poligonos-triangulos/poligonos-triangulos.shtml



242 242

En efecto: < A = < A" ; < B = < B" ; < C = < C"

Postulado: en el triángulo ABC:

Si // , entonces:

Ejemplo

àº

En el triángulo GAW,

= 4, 8 , = 5

Encuentra =à

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

CRITERIO ángulo - ángulo ( A - A ) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos

triángulos son semejantes.

Es decir, en los triángulos ABC y DEF: <A = <D y < B = < E

Entonces ABC DEF



243 243

Ejemplo:

Según la figura, si ,

¿Es ABC DCE?

Si , entonces

(Alternos internos entre paralelas)

y ( alternos internos entre paralelas)

Por lo tanto: ABC DCE

CRITERIO lado - ángulo - lado (L .A .L)

Dos triángulos son semejantes si tienen

Dos lados proporcionales y congruentes

El ángulo comprendido entre ellos.

Decir, en los triángulos ABC y DEF,

Si ( A = ( D y Entonces ABC DEF



244 244

Ejemplo: ¿Son semejantes los triángulos?

Como

Entonces CRJ LBQ

CRITERIO lado - lado - lado (L. L. L. )

Dos triángulos son semejantes si tienen sus

Tres lados respectivamente proporcionales.

Es decir, en los triángulos ABC y DEF:

Si

Entonces ABC DEF



245 245

Ejemplo:

¿Son semejantes los triángulos TMQ y CJX?

Como:

Entonces ABC DEF

ALGUNOS EJERCICIOS DE LOS TRIANGULOS.

Actividades 1

1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24

m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.

2. Si los triángulos ABC y A"B"C" tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus

lados.

3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo

del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.



246 246

INTRODUCCIÓN

La estadística está relacionada con el estudio de procesos cuyo resultado no es predecible y también con

la obtención de conclusiones para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales análisis.

PROMEDIO

Es el valor representativo de un conjunto de datos, también se conoce como Medidas de centralización.

TIPOS DE MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

Media aritmética, mediana y moda.

PARA DATOS NO AGRUPADOS

Media aritmética ( X ) . Es el valor promedio de una distribución y se calcula sumando las puntuaciones

y dividiendo por el número de puntuaciones

Ecuación:

n

x

n

xxxX n.......21

Ejemplos

Calcular la media aritmética de las siguientes cantidades: 12; 18; 10; 8; 5; 3

Ecuación:

n

x

n

xxxX n.......21

3,99

56

6

358101812

X

Cálculo de la Mediana.- Se pueden presentar dos casos:

Resolver problemas en los cuales se utilicen nociones

elementales de estadística.

Resolver problemas en los cuales se utilicen nociones

elementales de probabilidad.

26



247 247

Caso 1

Ejemplos

Dados los siguientes valores: 9; 15; 17; 29, calcular la Mediana

16162

32

2

1715

MeMe

Caso 2

Ejemplos

Dados los siguientes valores: 5; 12; 20 30; 47 , calcular la Mediana. Me= 20

Moda (Mo).-Es el valor que se repite con mayor frecuencia, es decir, es el valor más común.

Ejemplos

Hallar la moda de los siguientes números: 8; 5; 9; 7; 3; 4; 10; 8; 9; 2; 8

Mo= 8

DISTRIBUCIÓN DE DATOS EN INTERVALOS DE CLASES

Los pesos de los alumnos de un salón de clases son:

Si el número de puntuaciones es par, la mediana es el punto medio entre los

dos valores centrales, cuando las puntuaciones están ordenadas.

Si el número de puntuaciones es impar, la mediana es la puntuación que se

encuentra en la mitad, cuando éstas están ordenadas.



248 248

Agrupar a todos los alumnos en n intervalos de clases (n=5). Para agrupar estos datos se procede así:

Se calcula el rango (es la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de números).

Ecuación: 245983 iS LLR

Se calcula la amplitud del intervalo (c)

Ecuación ;1

n

Rc

5

5

25

5

124

c

Pasamos a agrupar los datos tomando en cuenta el intervalo de clases (5).

Clases: 59 - 63

64 - 68

69 - 73

74 - 78

79 - 83

ACTIVIDAD 1

1) Las calificaciones obtenidas en física del 3er año son:

Agrupar a estos alumnos en 6 intervalos de clases

2) La siguiente tabla presenta las calificaciones obtenidas por 20 estudiantes del 1er año en la asignatura de

matemática:



249 249

a) Organizar los datos en intervalos de clases igual a 2

b) Calcular la nota promedio a partir de los datos organizados en intervalos de clases.

c) ¿Cuál es la moda?

d) ¿Cuál es la media aritmética?

3) A continuación se presentan las calificaciones obtenidas por los alumnos de un determinado curso:

a) Organizar los datos en intervalo de clases igual a 5.

b) Determinar el rango.

c) Determinar la amplitud del intervalo.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Frecuencia absoluta o frecuencia (f). Es el número de veces que se repite un valor en jun conjunto de

datos.

Ejemplos

Las edades de las personas que asistieron a una conferencia fueron:



250 250

Frecuencia acumulada (Fa). Es la suma de todas las frecuencias anteriores a dicho valor y a la suya

propia.

Ejemplos

PARA DATOS AGRUPADOS

Media aritmética ( X )

Ecuación: n

fPmX

. donde: Pm= Marca de clases

f= frecuencias

n= sumas de las frecuencias de cada marca de clases

Ejemplos

Calculemos la media aritmética a partir de la siguiente tabla, la cual está formada por los pesos de los

alumnos de un salón de clases:

28,6938

2633.

4277.61.612

6359

n

fPmX

fPmPm

Mediana (Me)



251 251

Ecuación: cfm

Pmn

LmMe .2

De donde:

Me = Mediana

Lm = Límite inferior que contiene la mediana

n= Número de datos

Pm= Frecuencia acumulada anterior al intervalo que contiene la mediana

c= Amplitud de los intervalos

f= Frecuencia del intervalo que contiene la mediana

Ejemplos

Calcular la mediana partiendo de la tabla anterior: cfm

Pmn

LmMe .2

Determinar el intervalo donde se encuentra la mediana así: 192

38

2

n

El intervalo que lo contiene es: [64-68)

Datos:

Lm = 64

Fm = 7

fm= 12

c= 5

n=38



252 252

Moda (Mo)

Ecuación: cff

fLiMo .

1

11

De donde:

Li = Límite inferior

f+1 = frecuencia de la clase siguiente a la modal

f-1 = frecuencia de la clase anterior a la clase modal

c= Amplitud de la clase modal

Clase modal= 64 – 68. Sustituyendo en la ecuación, calculamos Mo

9,669,2645.58,0645.10

1064 MoMo Mo= 66,9

HISTOGRAMA

Elaborar un histograma y polígono de frecuencia con los siguientes datos

Datos:

Li= 64 ; c= 5

f+1 = 10 ; f-1 = 7



253 253

En este histograma, la moda se encuentra en el rectángulo de mayor altura

ACTIVIDAD 2

Resolver los siguientes ejercicios:

1) Ordenar los siguientes números en forma creciente y en forma decreciente:

a) 17 45 38 27 6 48 11 57 34 22

b) 19 63 21 9 34 51 2 9 19 88

2) La puntuación final en matemática de 80 estudiantes de UCV se registran en la tabla

Con relación a esta tabla, encontrar:

a) La puntuación más alta.

b) La puntuación más baja

c) El rango



254 254

d) Las puntuaciones de los cinco estudiantes de mayor puntuación.

e) Las puntuaciones de los cinco estudiantes de mayor puntuación.

f) La puntuación del décimo estudiante de mayor puntuación.

g) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron puntuación de 75 o mayor?

h) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron puntuación mayor que 65 pero no mayor que 85?

j) ¿Qué puntuaciones no tienen ninguno de los estudiantes?

3) Con los datos del ejercicio N° 2

a) Elaborar una tabla agrupando los datos por clases, tomando como intervalo de clases igual a 4.

b) Completa la tabla con la frecuencia absoluta y la frecuencia acumulada.

4) ¿ Cuáles son los puntos medios de los intervalos que se te dan a continuación?

a)[ 66 ; 69 ] ; b) [ 8 ; 16 ] ; c) [09 ; 18 ] ; d) [4,5 ; 10,2] e) [400 ; 499] ; f) [ 70 ; 65 ]

5) La siguiente tabla muestra el peso de 22 estudiantes:

6) Con los datos del ejercicio N° 5 construye una tabla para datos, con un intervalo de clases igual a 3.

a) Completa en tu cuaderno la tabla.

b) ¿Cuál es la suma de f ?

c) ¿Cuál es el total de la suma de x, f ?

d) ¿ Cuál es la media aritmética ?

a) ¿Cuál es el total de la suma de la frecuencia?

b) ¿Cuál es la suma total de Pm. f ?

c) ¿Cuál es la media?



255 255

7) Un grupo de cuatro alumnos de 3er año obtuvieron las siguientes calificaciones:

a)¿Cuál es la calificación promedio de cada uno?

8) Las calificaciones de un estudiante en siete exámenes fueron: 85; 84; 91; 72; 68; 87 y el 78

a) Ordénalas en forma creciente

b) ¿ Por qué calificación está representada la mediana?

9) Hallar la media, mediana y moda de:

a) 3; 5 ; 2; 6; 5; 9; 5; 2; 8; 6.

b) 51,6 ; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9

10) ¿Cuál es la medida de centralización más apropiada en:

b) En una tienda de ropa para niño, el dueño reflexiona sobre las tallas

de medias.

c) Un ingeniero que estudia la duración de 400 tubos de radio

fabricado por WAS & Cía.



256 256

11) Dado el siguiente cuadro que indica el número de veces que 40 familias fueron durante los meses de agosto

y septiembre de este año a la playa:

a) Hallar la mediana de una distribución de frecuencia de 5 clases

b) Escribir las conclusiones

12) Calcular la moda y la media en cada caso

Espacio Muestral (E)

Ejemplos

S i lanzamos un dado tendríamos seis resultados posibles y lo representamos por el conjunto

E={1,2,3,4,5,6} es el espacio muestral del evento

Se llama espacio al conjunto de resultados posibles que se obtienen al

realizar un evento, donde el resultado está determinado por el azar. El

cardinal del conjunto corresponde al número de posibilidades.



257 257

EVENTO

Ejemplos

S i lanzamos una moneda al aire hay dos resultados posibles cara o sello.

El espacio muestral lo representaremos por el conjunto:

E={cara, sello}

En el evento nos referimos a un solo resultado cara o sello y se denota así:

E1={cara} y E2={sello} Los subconjuntos E1 y E2 son los eventos del espacio muestral E.

Definición de Estadística

La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para

poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

Recogida de datos.

Organización y representación de datos.

Análisis de datos.

Obtención de conclusiones.

Un evento, es un subconjunto del espacio muestral E de un experimento

Conceptos:

Población

Una población es el conjunto de todos los e lementos a los que se somete a un estudio estadíst ico.

Individuo

Un individuo o unidad estadíst ica es cada uno de los e lementos que componen la poblac ión.

Muestra.- Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, e l número de

indiv iduos de una muestra es menor que e l de la población.



258 258

Muestreo.- El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una

proporción reducida y representativa de la población.

Valor.- Un valor es cada uno de los dist intos resultados que se pueden obtener en un estudio

estadíst ico. S i lanza mos una moneda a l aire 5 veces obtenemos dos va lores: cara y cruz.

Dato.- Un dato es cada uno de los va lores que se ha obtenido a l real izar un estudio estadíst ico.

Si lanza mos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara , cruz, cara, cruz .

Una variable estad íst ica es cada una de las caracter ís t icas o cual idades que poseen los i ndividuos

de una poblac ión .

Tipos de variable estadísticas Variable cualitativa

Las variables cual itat ivas se re fieren a característ icas o cual idades que no pueden ser medidas

con números . Podemos dis t inguir dos t ipos:

Variable cualitativa nominal

Una variable cua li ta t iva nominal presenta modalidades no numér icas que no admiten

un cr i ter io de o rden .

Ejemplo:

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa.

Una variable cualitat iva ordinal presenta modalidades no numéricas , en las que existe un orden .

Ejemplos:

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.

Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...

Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativa Una variable cuanti tat iva es la que se expresa mediante un número , por tanto se pueden realizar operaciones

ari tméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discreta

Una variable discreta es aquel la que so lo puede tomar un número f ini to de va lores entre

dos valores cualesquiera de una característ ica .



259 259

Ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2 , 1 , 0 , 1 , 3 .

Variable contínua Una variable continua es aquella que puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.

Ejemplos: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

Distribución de frecuencias

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos

estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Tipos de frecuencias

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

Se representa por fi.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o

sumatoria.

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total

de datos.

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o

iguales al valor considerado.

Se representa por Fi.

Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y

el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.



260 260

Ejemplo:

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29,

29.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el

recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

xi Recuento fi Fi ni Ni

27 I 1 1 0.032 0.032

28 II 2 3 0.065 0.097

29

6 9 0.194 0.290

30

7 16 0.226 0.516

31

8 24 0.258 0.774

32 III 3 27 0.097 0.871

33 III 3 30 0.097 0.968

34 I 1 31 0.032 1

31 1



261 261

Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.

Distribución de frecuencias agrupadas

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si

las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A

cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Límites de la clase

Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.

Amplitud de la clase

La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.

Marca de clase

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para

el cálculo de algunos parámetros.

Construcción de una tabla de datos agrupados

3, 15, 24, 28, 33 , 35, 38 , 42, 43, 38, 36 , 34, 29, 25, 17, 7 , 34, 36 , 39, 44 , 31, 26, 20, 11 , 13, 22, 27, 47, 39,

37, 34, 32, 35, 28 , 38, 41, 48, 15, 32, 13 .

1º Se local izan los va lores menor y mayor de la dis tr ibución. En este caso son 3 y 48 .

2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la di ferencia y que sea divis ible por el número

de interva los queramos es tablecer .

Es conveniente que e l número de intervalos osc i le entre 6 y 15.

En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos e l n úmero hasta 50 : 5 = 10 interva los .

Se forman los interva los teniendo presente que e l l ími te infer ior de una clase per tenece a l in tervalo, pero e l

l ími te superior no per tenece inte rvalo , se cuenta en e l siguiente interva lo.



262 262

c i f i F i n i N i

[0 , 5) 2 .5 1 1 0 .025 0.025

[5, 10) 7 .5 1 2 0 .025 0.050

[10, 15) 12.5 3 5 0 .075 0.125

[15, 20) 17.5 3 8 0 .075 0.200

[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.275

[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425

[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600

[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850

[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950

[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1

40 1



263 263

Diagrama de barras y polígonos de frecuencias

Diagrama de barras

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo

discreto.

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la

variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Ejemplo:

Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente

resultado:

Grupo sanguíneo fi

A 6

B 4

AB 1

0 9

20

Polígonos de frecuencia

Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos

mediante segmentos.



264 264

Ejemplo:

Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad. También se puede real izar trazando los puntos que

representan las frecuencias y uniéndolos mediante seg mentos .

Ejemplo:

Las tempera turas en un día de o toño de una c iudad han sufr ido las s iguientes var iac iones:

Hora Temperatura

6 7º

9 12°

12 14°

15 11°

18 12°

21 10°

24 8°

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para

las variables cualitativas.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a

la frecuencia absoluta correspondiente.



265 265

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.

Ejemplos

En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al fútbol y el resto no

practica ningún deporte.

Alumnos Ángulo

Baloncesto 12 144°

Natación 3 36°

Fútbol 9 108°

Sin deporte 6 72°

Total 30 360°

Histograma Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se

han agrupado en clases.



266 266

En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y

por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.

La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Polígono de frecuencia

Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de

cada rectángulo.

Ejemplo:

El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:

ci fi Fi

[50, 60) 55 8 8

[60, 70) 65 10 18

[70, 80) 75 16 34

[80, 90) 85 14 48

[90, 100) 95 10 58

[100, 110) 105 5 63

[110, 120) 115 2 65



267 267

65

Histograma y polígono de frecuencias acumuladas Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de

frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.



268 268

f i h i

[0 ,

5) 15 3

[5 ,

7) 20 10

[7 ,

9) 12 6

[9 ,

10) 3 3

50

Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.

Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica.

Tipos de parámetros estadísticos Hay tres tipos parámetros estadísticos:

De centralización.



269 269

De posición

De dispersión.

Medidas de centralización

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

La medidas de centralización son:

Media aritmética La media es el valor promedio de la distribución.

Mediana

La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir

divide la serie de datos en dos partes iguales.

Moda

La moda es el valor que más se repite en una distribución.

Medidas de posición

Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

La medidas de posición son:

Cuartiles

Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.

Deciles

Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Percentiles

Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución.

Las medidas de dispersión son:

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html










270 270

Desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Hallar la moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima,

la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos

puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.

fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ai es la amplitud de la clase.




271 271

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

Ejemplo:

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

fi

[60, 63) 5

[63, 66) 18

[66, 69) 42

[69, 72) 27

[72, 75) 8

100

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:



272 272

Ejemplo:

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por

un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.

fi hi

[0, 5) 15 3

5, 7) 20 10

[7, 9) 12 6

[9, 10) 3 3

50

MEDIANA Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 5

3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones

centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me = 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados



273 273

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de

las frecuencias absolutas.Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.


La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo: Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

fi Fi

[60,

63) 5 5

[63,

66) 18 23

[66,

69) 42 65

[69,

72) 27 92

[72, 8 100



274 274

100/2 = 50

Clase de la mediana: [66, 69)

MEDIA ARITMETICA

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total

de datos.

es el símbolo de la media aritmética.

Ejemplo:

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

75)

100



275 275

Ejercicio de media aritmética

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula

la puntuación media.

xi fi xi · fi

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

42 1 820



276 276

Propiedades de la media aritmética

1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la

misma igual a cero.

La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:

8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =

= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a

un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.

3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media

aritmética queda aumentada en dicho número.

4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media

aritmética queda multiplicada por dicho número.

Observaciones sobre la media aritmética

1. La media se puede hallar só lo para variables cuantitat ivas .

2. La media e s independiente de las a mpli tudes de los intervalos .



277 277

3. La media es muy sensib le a las puntuaciones extremas . Si tenemos una distr ibuc ión con los

siguientes pesos:

65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.

La media es igua l a 74 kg, que es una medida de centra lización poco representat iva de la

dis tr ibución.

4. La media no se puede ca lcular si hay un interva lo con una a mpli tud indeterminada .

x i f i

[60, 63) 61.5 5

[63, 66) 64.5 18

[66, 69) 67.5 42

[69, 72) 70.5 27

[72, ∞ ) 8

100

En este caso no es posib le ha llar la media porque no podemos calcular la marca de clase de úl t imo

intervalo.



278 278

CUARTILES

Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos

ordenados en cuatro partes iguales.

Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

Q2 coincide con la mediana.

Cálculo de los cuartiles

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .

Número impar de datos

2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

Número par de datos

2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9



279 279

Cálculo de los cuartiles para datos agrupados

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las

frecuencias acumuladas.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.


Ejercicio de cuartiles

Calcular los cuarti les de la d istr ibuc ión de la tabla:

f i F i

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18



280 280

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Cálculo del primer cuartil

Cálculo del segundo cuartil

Cálculo del tercer cuartil



281 281

DECILES Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

D5 coincide con la mediana.

Cálculo de los deciles.- En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la

tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.


Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil..


Ejercicio de deciles

Calcular los deciles de la distribución de la tabla:

fi Fi

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58



282 282

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Cálculo del primer decil

Cálculo del segundo decil

Cálculo del tercer decil

Cálculo del cuarto decil



283 283

Cálculo del quinto decil

Cálculo del sexto decil

Cálculo del séptimo decil

Cálculo del octavo decil

Cálculo del noveno decil

PERCENTILES Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

P50 coincide con la mediana.

P50 coincide con D5.



284 284

Cálculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las

frecuencias acumuladas.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.


Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.


Ejercicio de percentiles Calcular e l percenti l 35 y 60 de la distribución de la tabla:

f i F i

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58



285 285

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Percentil 35

Percenti l 60

DESVIACION MEDIA Desviación respecto a la media

La desviac ión respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la var iable

es tadís t ica y la media aritmét ica .

D i = |x - x |

Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores abso lutos de las desviaciones respecto a la

media .

La desviación media se representa por

Ejemplo:

Calcular la desviación media de la distribución:



286 286

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviación media para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias , la expresión de la desviación media es:

Ejemplo:

Calcular la desviación media de la dis tr ibución:

xi fi xi · fi |x -x| |x - x| · fi

[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858

[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43

[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998

[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856



287 287

[30, 35) 32.5 2 65 10.714 21.428

21 457.5 98.57

VARIANZA La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una

distribución estadística.

La varianza se representa por .

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son

equivalentes a las anteriores.

Ejercicios de varianza

Ejercicio 1:

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18



288 288

Ejercicio 2:

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

xi fi xi · fi xi2 · fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250



289 289

42 1 820 88 050

Propiedades de la varianza 1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por

el cuadrado de dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede

calcular la varianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Observaciones sobre la varianza

1 La varianza , a l igua l que la media, es un índ ice muy sensible a las puntuac iones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posib le ha llar la varianza .

3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones

es tán e levadas a l cuadrado.

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html#me



290 290

DESVIACIÓN TÍPICA

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación típica se representa por σ.

Desviación típica para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las

anteriores.

Ejercicios de desviación típica

Ejercicio 1:

Calcular la desviación típica de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18



291 291

Ejercicio 2:

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

xi fi xi · fi xi2 · fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60) 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050



292 292

Propiedades de la desviación típica

1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean

iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación

típica queda multiplicada por dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivasdesviaciones

típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Observaciones sobre la desviación típica 1 La desv iac ión t ípica , al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.



293 293

2 En los casos que no se pueda hal lar la media tampoco será posible hallar la desv iación t ípica .

3 Cuanta más pequeña sea la desviación t ípica mayor será la concentración de datos alrededor de la media .

COEFICIENTE DE VARIACIÓN Y PUNTUACIONES TÍPICAS

Coeficiente de variación

El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.

El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes:

El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que

sus medias sean positivas.

Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí.

La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.

Ejercicio:

Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 24. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?

La primera distribución presenta mayor dispersión.

Puntuaciones típicas

Puntuaciones diferenciales

Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética.

xi = Xi − X

Puntuaciones típicas

Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica.

Este proceso se llama tipificación.

Las puntuaciones típicas se representan por z.

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html#me



294 294

Observaciones sobre puntuaciones típicas

La media aritmética de las puntuaciones típicas es 0.

La desviación típica de las puntuaciones típicas es 1.

Las puntuaciones típicas son adimensionales, es decir, son independientes de las unidades utilizadas.

Las puntuaciones típicas se utilizan para comparar las puntuaciones obtenidas en distintas distribuciones.

Ejercicio

En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y

52.4 kg. Las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es de

70 kg y el de Ana es 65 kg. ¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más

grueso?

José es más grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo.



295 295

PROBABILIDAD La probabilidad tiene dos maneras de definirse:

a) La probabilidad clásica (a priori)

b) La probabilidad con base experimental (a posteriori)

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD CLÁSICA (A PRIORI)

ECUACIÓN

N

n

posibles

favorables

casos

casos

de

de

número

númeroobabilidadP Pr

Ejemplos Si se lanza un dado cuál es la posibilidad de que salga 6?

Solución: Cuando lanzamos un dado, tenemos una de cada seis posibilidades de que salga 6, la probabilidad

de este evento está a razón de 6

1.

Para determinar la probabilidad (P) de un evento tenemos que conocer:

n= número de casos favorables= 1

N= número de casos posibles= 6

1666,06

1

N

nP Esto nos indica que la probabilidad de que salga 6 es del 16,66%

La probabilidad clásica (a priori) es el cociente entre el número de casos favorables y el

número de casos posibles.



296 296

PROBABILIDAD CON BASE EXPERIMENTAL (A POSTERIORI)

Ecuación

N

nerimento

evento

un

un

lugar

ocurre

tiene

que

que

veces

veces

de

de

número

númeroobabilidadP

expPr

Ejemplos

Se lanza una moneda de Bs 100 al aire 30 veces, obteniendo los siguientes resultados.

Número de

lanzamientos

Cara Sello

30 12 18

a) Calcular la probabilidad de que salga cara

b) Calcular la probabilidad de que salga sello

Solución: La probabilidad de que salga cara es=

6,030

18Pr

lanzada

cara

fue

salió

que

que

veces

veces

de

de

número

númeroobabilidadP equivale (60%)

La probabilidad con base experimental es el cociente que existe entre el número de

veces que ocurre un caso de interés entre el número de veces que tiene lugar un

experimento.



297 297

Actividades 1

1) ¿De cuántos modos puede dividirse una entrevista de 10 preguntas, para formar 12 entrevistas de 5

preguntas cada una?

2) Determinar la probabilidad en los siguientes casos:

a) La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.

b) La obtención de 7 puntos de una sola lanzada de un par dados.

c) La aparición de un as, el 10 de diamante o el 2 de corazones en una sola extracción de una

baraja de 52 cartas.

3) De una caja que contiene 6 pelotas rojas, 4 blancas y 5 azules, se extrae una al azar, determinar la

probabilidad de que sean : a) roja; b) blanca; c) azul; no roja ; e) roja o blanca

4) Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en dos lanzamientos de un dado.

5) Pedro y Juan juegan 12 veces a las damas, de los cuales Pedro gana 6 veces, Juan gana 4 veces y 2

terminan empatados. Acuerdan jugar un torneo consistente en 3 partidas. Hallar la probabilidad de que:

a) Pedro gane las tres partidas; b) Dos partidas terminen empatados; c) Pedro y Juan ganen

alternativamente; d) Juan gane al menos una partida.

6) Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto. Si se escogen dos personas al azar, hallar la

probabilidad de que: a) sean esposos; uno sea hombre y otro mujer.

7) Una clase consta de 10 niños y 20 niñas de los cuales la mitad de los niños y la mitad de las niñas

tienen los ojos verdes . Hallar la probabilidad de que una persona escogida al azar sea niño con los ojos

verdes.

8) Imagínate una rifa en la que han vendido 320 ticket con los números del 1 al 320. Tu has comprado

un ticket que tiene número 75, ¿Cuál es tu probabilidad de ganar?

9) Una bolsa contiene 100 esferas enumeradas de 1 al 100. Antes de sacar al azar una esfera de la bolsa

has apostado que la esfera que salga será el 42, el 45 o el 47. ¿Qué oportunidades tienes de ganar?



298 298



299 299

PROCESOS ESTOCÁSTICOS FINITOS Y DIAGRAMAS DE ÁRBOL

Una sucesión de experimentos en los cuales cada uno tenga un número finito de resultados con

probabilidades de se denomina proceso estocástico finito. El diagrama de árbol es una manera de

describir tal proceso y calcular la probabilidad de un evento.

Ejemplos

Tenemos las tres cajas siguientes:

Caja I Contiene 10 bombillos de los cuales 4 fundidos

Caja II Contiene 6 bombillos con 1 fundido

Caja III Contiene 8 bombillos con 3 fundidos

Escojamos al azar una caja y luego sacamos al azar un bombillo. ¿Cuál es la probabilidad p de que el

bombillo esté fundido?

Aquí realizamos una serie de experimentos:

Escogemos una de las tres cajas.

Escogemos un bombillo bueno (B) y fundido (F)



300 300

La probabilidad de que esta trayectoria de árbol suceda es, según el teorema de la multiplicación, el producto

de la probabilidad de cada una de las ramas de trayectoria, es decir , que la probabilidad de escoger la caja I y

luego un bombillo fundido es: 15

2

5

2.

3

1

Como hay tres trayectorias que conducen a una lámpara defectuosa, la suma de las probabilidades

de todas las trayectorias es la probabilidad buscada.

120

253

8

3.

3

1.

6

1.

3

1.

5

2.

2

1p

Actividades 2



301 301



302 302

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las

posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Experimentos deterministas

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la

arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.

Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

Ejemplos:

Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda

ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es

más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Ejemplos:

Al lanzar una moneda salga cara.



303 303

Al lanzar un dado se obtenga 4.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien

por la letra griega Ω).

Ejemplos:

Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplos:

Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Un ejemplo completo

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}



304 304

TIPOS DE SUCESOS

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Ejemplo

Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo

Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Ejemplo:

Tirando un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Suceso imposible

Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Ejemplo:

Tirando un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es

un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya

sucedido o no B.

Ejemplo:

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya

sucedido o no B.

Ejemplo:

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por .

Ejemplo:

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.



305 305

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Ejemplo

Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo

Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Ejemplo:

Tirando un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Suceso imposible

Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Ejemplo:

Tirando un dado obtener una puntuación igual a 7. Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es

un suceso elemental común. Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles. Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya

sucedido o no B.

Ejemplo:

Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya

sucedido o no B.

Ejemplo:

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.



306 306

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por .

Ejemplo:

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado. Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos a leator ios .

Si t i ramos una moneda e l espac io se sucesos está formado por :

S= { , {C}, {X}, {C,X}}.

Observamos que el pr imer elemento es e l suceso imposible y el ú l t imo e l suceso seguro .

Si E t iene un número f ini to de elementos, n, de e lementos e l número de sucesos de E es 2n

.

Ejemplos:

Una moneda E= {C, X}.

Número de sucesos = 22

=4

Dos monedas E= {(C,C) ; (C,X) ; (X,C); (X,X)}.


=16

Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.


= 64

Unión de sucesos

La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.

Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.

A B se lee como "A o B".

Ejemplo:

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3".

Calcular A B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {2, 3, 4, 6}

Propiedades de la unión de sucesos Conmutativa

Asociativa

Idempotente



307 307

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

Final del formulario

Intersección de sucesos

La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.

Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.

A B se lee como "A y B".

Ejemplo:


Calcular A B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {6}

Propiedades de la intersección de sucesos Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplif icación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.



308 308

Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.

A − B se lee como "A menos B".

Ejemplo:


Calcular A − B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A − B = {2, 4}

Propiedad de la diferencia de sucesos

El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.

Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular .

A = {2, 4, 6}

= {1, 3, 5}

Propiedades



309 309

Leyes de Morgan

Axiomas de la probabilidad

1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.

0 ≤ p(A) ≤ 1

2. La probabilidad del suceso seguro es 1.

p(E) = 1

3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:

p(A B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad

1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso

contrario es:

2. Probabilidad del suceso imposible es cero.

3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su

intersección.

4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

5. Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:

6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:

Ejemplo:

La probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:

P(par) = P(2) + P(4) + P(6)



310 310

La computadora es una máquina que recibe información, la elabora y proporciona unos resultados. Su

propiedad más característica es la de tratar la información a gran velocidad.

La computadora consta de dos partes: Hardware (parte física) y Software (parte lógica)

HARDWARE

Es toda parte física de la computadora integrada por el conjunto de circuitos electrónicos y dispositivos

mecánicos que, actuando conjuntamente bajo la dirección del Software realizan el tratamiento y

almacenamiento de la información.

COMPONENTES BÁSICOS DEL HARDWARE

El Hardware está integrado por tres bloques principales: la unidad central del sistema de cómputos, los

periféricos de entrada y los periféricos de salida.

Unidad central del sistema de cómputos.- es el conjunto de circuitos que gobiernan el funcionamiento de

toda la computadora y el lugar donde se realizan las operaciones sobre los datos a procesar.

Distinguir los subsistemas que conforman un

computador.

Identificar las actividades fundamentales de la

programación.

27

28

Unidad central

Periféricos de entrada

Periféricos de salida

Programas de aplicación

Programas de sistemas

Hardware

Software

Elementos de la computadora



311 311

Tarjeta de interfase

Tarjeta de principal

Fuente de alimentación

Elementos de la unidad central de cómputos Unidad de CD ROM

Unidad de disco flexible

Disco duro

Gabinete o caja

Dispositivos periféricos son los que hacen posible la comunicación de la unidad central con el entorno.

Hay dispositivos de que son los que permiten introducir información al computador para ejecutar

determinados procesos.

Además hay dispositivos de salida que son los que reciben la respuesta del computador impresa o

auditiva.

Lápiz óptico

Teclado

Escáner

Cámara fotográfica digital

Periféricos de entrada Ratón o mouse

CD ROM

Micrófono

Cámara de video digital

Joysticks

Monitor

Periféricos de entrada Impresora

Graficadores o Plotters SOFTWARE

Comprende la parte lógica del computador y se compone de todos los programas, rutinas y sistemas que

permiten al computador ejecutar funciones.

TIPOS DE SOFTWARE

El software está representado por dos tipos de programa: los de aplicación y los operativos.



312 312

Los de

aplicación

Son aquellos programas que se encuentran listos para su uso final y

sirven para realizar una determinada.

Los operativos

Son aquellos programas que tienen como finalidad ayudar a la

creación de otros programas, como es el caso de los lenguajes de

programación y de los sistemas operativos.

Los lenguajes de programación permiten decir al computador la tarea que va a realizar a través de una

serie de caracteres, palabras y reglas sintácticas, que se pueden emplear para escribir un programa de

computadora.

Los sistemas operativos son un conjunto de procedimientos para compartir más eficientemente los

recursos físicos y la administración de la computadora.

SISTEMA OPERATIVO

Es el conjunto de programas que hacen funcionar al computador controlando toda la actividad, sus

recursos y la interrelación entre los programas de aplicación y los diversos elementos del computador.

FUNCIONES BÁSICAS DEL SISTEMA OPERATIVO

Ayudar a organizar todo el trabajo.

Regular, controlar, ordenar y establecer una interrelación de comunicación entre la arquitectura del

computador, sus periféricos y los programas de aplicación que se ejecutan.

Permitir la comunicación entre los usuarios, el computador y las aplicaciones que se ejecutan en el

sistema.

Unificar las características de los diferentes equipos de computación.

PROGRAMACIÓN

Un programa es una secuencia de instrucciones que indican a la máquina que funciones debe de realizar

y en qué orden.

En la programación se utilizan los términos entrada y salida para designar, respectivamente, a la

información que se suministra al programa, y a la que éste produce como resultado de la ejecución de todos sus

pasos.

LENGUAJES DE PROGRAMACIÓN

Es una serie de caracteres, palabras, sonidos y reglas sintácticas que se pueden emplear para escribir un

programa de computador que permita la solución de problemas generales o particulares. Entre los tipos de

lenguaje de programación están:

Lenguaje de bajo nivel son lenguajes que sólo permiten complicadas combinaciones de unos (1) y ceros

(0)



313 313

Lenguaje de alto nivel, son lenguajes para el programador. En estos las instrucciones tienen códigos que

describen la acción a realizar.

ANÁLISIS Y DIAGRAMAS DE FLUJO

Escribir las instrucciones que constituyen un programa es sólo la última fase de un complejo trabajo de

análisis del problema específico y de su síntesis en una estructura compatible con la máquina.

El análisis del problema a resolver lleva a sintetizar incluso las operaciones más complejas en una serie

de funciones elementales representables gráficamente mediante los símbolos adecuados. De esta representación

gráfica se pasa a la escritura de las instrucciones propiamente dichas.

PLANTEAMIENTO DE UN PROGRAMA

Para cada problema de aplicación completa hay que suministrar al computador el programa adecuado.

En las aplicaciones más complejas, para obtener el resultado final, hacen falta diversos programas, cuyo

conjunto se denomina procedimiento.

Antes de iniciar la estructura de un programa hay que conocer los aspectos del problema y el método a

seguir para resolverlo.

Esta fase (planteamiento) es la más delicada, puesto que un error de evaluación puede dar a resultados

negativos o incompletos. El planteamiento de un programa se puede dividir en tres fases.



314 314

a) Algoritmo para representar el proceso de cambiar un caucho desinflado de un automóvil

1) Identificar el caucho desinflado

2) Verificar si se tiene un caucho de repuesto

3) Si no lo tiene, comprar uno nuevo y sustituir el desinflado por el nuevo.

4) Si lo tiene, observar el estado en que está el caucho de repuesto

5) Si el repuesto está en mal estado llevarlo a reparar y luego sustituir el desinflado.

DIAGRAMA DE FLUJO PARA REPRESENTAR EL PROCESO DE CAMBIAR UN CAUCHO DESINFLADO DE

UN AUTOMÓVIL.

Ejemplos



315 315

b) Elaborar un diagrama de flujo en donde se encuentre el valor de A, de tal forma que el valor resultante de P sea el

siguiente:

Nociones elementales de Informática:

Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una manera formalizada, ajustada para la

comunicación, interpretación o procedimiento manual o automatizado.

Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a un hecho o fenómeno.

c) Tipos de datos:

Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan origen al proceso.

Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no permiten verificar todas las transacciones.

d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras,

capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se trate de una lectura o de una

escritura.

e) Formas de procesamiento de datos:



316 316

.- Medios perforados.

.- Soportes perforados: tarjetas perforadas.

cintas perforadas.

.- Medios magnéticos: tambor magnético.

soporte magnético.

cintas magnéticas.

disco magnético.

.- Medios ópticos.

.- Terminales de teclado-pantalla.

.- Impresora.

Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está formada por:

Monitor o pantalla.

Teclado.

C .P.U

Impresora.

Mouse.

Fax.

Scanner.



317 317



318 318

Partes de un Computador

Unidad de Entrada Unidad de Memoria Unidad de Salida

Traduce palabras y números Almacena datos e

lenguaje a lenguaje de máqui- instrucciones

nas.

Unidad de Control

Controla los cálculos y el orden

de las instrucciones

Unidad Aritmética

Ejecuta todos los cálculos

Traduce el

lenguaje de

máquina a

palabras y

números



319 319

Unidad Central de Procesamiento

Características de los computadores:

Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo:

.- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos.

.- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por

medio de lenguajes de programación.

Tienen gran velocidad de cálculo.

Tienen gran capacidad de almacenamiento.

Tienen gran precisión.

Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos

Tópicos.

Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.

Aplicaciones de los computadores:

Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los trabajos administrativos de la

oficina, dando lugar a una técnica conocida con el nombre de ofimática.

Tareas administrativas del computador:

a) Gestión de personal.

b) Proceso de nóminas.

c) Control de inventarios.

d) Gestión de almacén.

e) Facturación y contabilidad.

f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio.

g) Información de productores, partes y materiales.



320 320

h) Estado de cuentas de los clientes.

Aplicaciones Industriales:

Control de procesos industriales.

Robótica industrial.

Diseño.

Otros.

Aplicaciones tecno-científico:

Predicciones meteorológicas.

Control ambiental.

Control de comunicación satelital.

Programas de simulación (vuelos).

Otros.

Aplicaciones médicas:

a) Control clínico del paciente.

b) Mantenimiento de hospitales.

c) Tomografía computarizada.

d) Otros.

Concepto de algoritmo:

El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente especificado y sin

ambigüedades que conducen a la solución de un problema específico (definido), siguiendo un número infinito

de pasos (instrucciones) ordenadas lógicamente.

Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:



321 321

Proceso salida - entrada

Operación

Manual decisión

Inicio-fin introducción

manual

magnetic-tape

documento punched

card



322 322

Representación gráfica de algoritmos :

1) Algoritmo para abrir una puerta

inicio

acercarse a

la puerta

intentar abrirla

dándole vuelta

al pomo

no ¿ está cerrada si buscar la introducir la

con llave? Llave llave en la

cerradura

darle vuelta a

la llave

dar vuelta no ¿ Se abrió

al pomo la puerta

abrir comple-

salir tamente la

puerta

fin



323 323

Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.

Algoritmo:

1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0)

2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)

3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N)

4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

5.- Imprimir : SUM.

Comienzo

N = 0 SUM = 0

N = N + 1



324 324

SUM = SUM + N

Si

Es N < 20

No

Imprima SUM fin

Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enteros positivos.

Algoritmo:

1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.

2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2)

3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)

4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X)



325 325

5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

6.- Imprimir

Comienzo

N = 0 X = 0

SUM = 0

X = X + 2

N = N + 1

SUM = SUM + X



326 326

Si ¿ Es N < 20 ? No Imprima

fin

1) Representar el algoritmo para montar un caucho del carro.

2) Representar el algoritmo para bañarse.

3) Representar el algoritmo para presentar un examen de matemática.

4) Representar el algoritmo para levantarse.

Problema N° 1: Multiplicar dos números enteros positivos

1) Leer los N° enteros positivos A y B

2) Asignar a las variables PROD y N el valor 0

3) Sumar a PROD el valor en A

4) Aumentar a N en 1.

5) Si N < B pasar a instrucción3.

6) Imprimir: PROD



327 327

Problema N° 2 : Dividir dos números enteros positivos.

1) Leer los N° enteros positivos A y B.

2) Asignar a las variable COC el valor 0.

1) Efectuar A – B y asignarlo a A.

2) Aumentar a COC en 1.

3) Asignar a RES el valor A.

4) Imprimir: COC y RES

Problema N° 3: Determinar el Máximo Común Divisor de dos N° enteros

positivos, utilizando divisiones sucesivas.

1) Leer los números enteros positivos A y B.

2) Si A > B, pasar a instrucción 4.

3) Intercambiar valores de A y B.

4) Dividir a entre b y obtener cociente C y resto R.



328 328

5) Si R = 0 pasar a instrucción 7

6) Asignar en A el valor de B, y en B el valor R.

7) Imprimir; MCD (A , B) = B

AUTOEVALUACION

SELECCIÓN SIMPLE

Instrucciones: Lea cuidadosamente cada una de las siguientes preguntas y Marque con una equis (X) la

respuesta correcta.

1) A una función de la forma y = ax2 + bx + c se le conoce con el nombre de

____ Función cuadrática _____ Función lineal

____ Función radical _____ Función Afín

2) El campo de existencia de una función se denomina

______ Rango ______Dominio

______ Solución ______Intervalo

3) El gráfico de una función cuadrática es una parábola vertical que se abre o es cóncava hacia arriba si



329 329

_____ A > 0 _____ A < 0

_____ A ≥ 0 _____ A ≤ 0

4) Un sistema de ecuaciones se dice que es compatible indeterminado si tiene

_____ tres soluciones _____ infinitas soluciones

_____ dos soluciones _____ Tiene una solución

5) Si el discriminante de una ecuación de segundo grado, da como resultado igual a cero, la ecuación

_____ No tiene solución ______Tiene dos raíces reales distintas

_____ Tiene una única raíz real ______ Tiene infinitas soluciones

6) Para un sistema compatible, las dos rectas tienen pendientes distintas, por lo tanto

_____ coinciden una con otra ______son paralelas entre si

_____ se cortan en dos puntos ______se cortan en un punto

7)

_____ Parábola ______Circunferencia

_____Elipse ______Hipérbola

8) Son las distancias desde cada punto P de la hipérbola hasta los focos

_______Excentricidad _______ Asíntotas

_______Diámetro _______Radios vectores

9) Un sistema de ecuaciones es incompatible cuando

______ Tiene una solución ______Tiene infinitas soluciones

_____ No tiene soluciones ______Tiene dos soluciones

10) En la resolvente. si el discriminante da como resultado un número negativo se cumple en la ecuación:

______ Una solución _______Dos soluciones

______ Ninguna solución _______infinitas soluciones

11) La radicación es el proceso inverso de la

______ Potenciación _______ Multiplicación

______ Racionalización _______ División

12) Toda potencia de exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el

______Denominador _______Numerador

______Exponente _______Indice

13) Dos o más radicales son semejantes cuando, reducidos a su forma más simple, tienen el mimo índice y el

mismo

______Radical ______Indice

______ Subradical ______Raíz

14) Toda pareja de valores de las variables que satisfacen al mismo tiempo sus ecuaciones se llama



330 330

______Solución del sistema ______Solución de la ecuación

______Compatible indeterminado ______Sistemas incompatibles

15) La representación gráfica de la función cuadrática es

______Una parábola ______Una elipse

______Una recta ______Un vector

16) Una función es cóncava, cuando su gráfica abre hacia

______Arriba ______El exponente

______Abajo ______ Los lados

17) En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de

______La hipotenusa _______De los teoremas

______Los catetos _______De los lados

18) Son aquellas expresiones donde el periodo comienza en la primera cifra decimal

______Periódica pura ______Fracción generatriz

______Periódica mixta ______Ilimitada periódica mixta

19) Para halla la raíz de una raíz se

______Multiplican los índices entre si ______Se restan los índices

______Se dividen los índices entre si ______Se suman los índices

20) Transformar el denominador irracional en un número racional de una expresión fraccionaria se llama

______Racionalizar ______Potenciación

______Radicalizar ______Simplificación

COMPLETACIÓN

Instrucciones: Coloque en el espacio en blanco la(s) palabra (s) o cantidad(es) que completen correctamente el

enunciado.

21) Un sistema de ecuaciones se dice que es compatible cuando tiene una __________

22) La solución de un sistema de ecuaciones lineales es común a cada ______________

23) Las parábolas verticales son simétricas porque sus puntos son simétricos respecto a la recta vertical que

pasa por su _______________

24) El dominio de la función cuadrática es el conjunto de los números______________________

25) La solución de una ecuación lineal son las coordenadas de los puntos de la _______________

26) La distancia de un punto A a otro B está dado por _____________________________



331 331

27) Los intervalos son conjuntos numéricos y con ellos podemos realizar operaciones

de_______________________________________________________________________

28) Al conjunto formado por los elementos que pertenecen al intervalo A o al intervalo B se

denomina_______________________________________________________________

29) Una expresión de la forma 5x -2x + 4 es una__________________________________

30) Si m > 0, entonces la pendiente de la recta es __________________________________

VERDADERO Y FALSO. Coloque en el espacio una V o una F si considera la proposición verdadera o

falsa respectivamente. Si la considera falsa justifique.

31). ____Cuando la pendiente de la recta es igual a cero, la recta es paralela al eje x y la ecuación será Y = b

_________________________________________________________________________

32)._____ Un par de ecuaciones lineales con dos incógnitas que se consideran simultáneamente, forman un

sistema.

_________________________________________________________________________

33).______Si a = 0 la función seria función afín, de la forma F(x) = bx + c

_________________________________________________________________________

34)______Una ecuación de segundo grado con dos incógnita es una ecuación en la que el exponente máximo de

las incógnitas es 2.

_________________________________________________________________________

35._____El máximo o mínimo de una parábola se le llaman también vértices de la parábola

36. ____El discriminante de una ecuación cuadrática AX2 + BX + C = 0 es el número B2

- 4A

_________________________________________________________________________

37._____ El vértice de una parábola vertical es el punto más alto o más bajo de esa figura

______________________________________________________________________

38.______El rango de una función es el conjunto de las imágenes de los elementos del



332 332

del dominio de la función.

_________________________________________________________________

39.______El método de igualación consiste en eliminar una de las variables combinando en

forma apropiada las ecuaciones

_________________________________________________________________________

40._____El máximo o mínimo de una parábola se le llaman también vértices de la parábol

GLOSARIO DE TÈRMINOS MATEMÀTICOS, PARA EJERCITAR CRUCIGRAMAS ( MODALIDAD DE FORMA DE EVALUACIÒN). Estrategia pedagógica de

evaluación en la Unidad Educativa Dr” José M. Vargas, implementada por la Prof. Mercedes D. Hernández R.

A

Acutángulo: Triángulo que tiene sus tres ángulos agudos.

Aleatorio: Relativo al azar

Aligación Directa: Determinar el precio medio de una mezcla conocidas las cantidades de las sustancias que se mezclan y sus precios respectivos.

Aligación Inversa: Determinar las cantidades que deben mezclarse de cada sustancia conocido el precio medio de la mezcla y los precios de cada sustancia.



333 333

Altura de un triángulo: Segmento que une el vértice con el lado opuesto en forma perpendicular.

Ángulo: Abertura formada por dos semirectas con un mismo origen denominado vértice.

Ángulos Adyacentes: Son los que tienen un lado común y el otro lado pertecen a la misma recta.

Ángulo Agudo: Ángulo que mide menos de 90º.

Ángulos Complementarios: Son dos ángulos que suma 90º.

Ángulos Consecutivos: Son los que tiene un lado común.

Ángulo del centro: Ángulo formado por dos radios.

Ángulo diedro: Cada una de las regiones determinadas por dos semiplanos que se cortan. Los semiplanos se llaman caras del ángulo diedro.

Ángulo Extendido (Llano): Mide 180º.

Ángulo inscrito: Ángulo formado por dos cuerdas con un extremo común.

Ángulo Llano (Extendido): Mide 180º.

Ángulo Obtuso: Mide más de 90º y menos de 180º.

Ángulo poliedro: Figura determinada por tres o más semirrectas de origen común, no coplanares, y tales que el plano determinado por dos de ellas consecutivas deje a las

restantes en un mismo semiespacio.

Ángulo Recto: Mide 90º

Ángulo semiinscrito: Ángulo formado por una cuerda y una tangente trazada por un extremo de la cuerda.

Ángulos Suplementarios: Dos ángulos que suman 180º.

Ángulo triedro: Figura determinada por la intersección de tres diedros cuyas aristas concurren a un punto común llamado vértice.

Apotema: El apotema de un polígono regular, es el segmento perpendicular a un lado trazado desde el centro

Arco: Parte de una circunferencia.

Asíntota: Una curva tiene como asíntota una recta, si la distancia de un punto P de la curva a la recta tiende a cero cuando el punto P se aleja indefinidamente del origen de

coordenadas recorriendo la curva. También se puede decir que una asíntota es una tangente a la curva en el infinito.

Axioma: Proposición aceptada sin necesidad de demostración dada su evidencia

Axioma de continidad: Axioma de la recta real que afirma la existencia de una biyección entre los puntos de la recta y los números reales.

Axioma de Zermelo: Axioma que supone la existencia de un método para, dada una familia de conjuntos, designar un elemento particular en cada uno de ellos: si C es una

familia de conjuntos, existe una función f tal que f(A) es un elemento de A, para cada conjunto A de C.



334 334

Axioma de paralelismo: si dos rectas son cortadas por una transversal y la suma de los ángulos interiores, situados a un lado de esa transversal es menor de dos rectos, las

dos rectas se cortan a ese mismo lado de la transversal. Axiomas de Kolmogorov: Conjunto de axiomas que caracterizan la noción de probabilidad y que constituyen el modelo matemático de los fenómenos aleatorios. Axiomas de Peano: Axiomas de la aritmética con los que se definen los números naturales. Axiomas de Zermelo-Fränkel: Axiomas, en número de nueve, que formalizan la teoría de conjuntos; el octavo es el axioma de elección.

Barrow (Regla de): Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x Î (a, b), entonces

Bicuadradas (Ecuaciones): Una ecuación bicuadrada es una ecuación que se puede expresar en la forma ax4 + bx2 + c = 0, donde a, b y c son tres números reales.

Binomio: Expresión algebraica de dos terminos. Ejemplo, 5a - 2b.

Bisectriz: Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de un ángulo

Catetos: Lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo.

Censo: Recuento de población.

Centil: Percentil

Cero de una función: Todo punto para el cual f(x) = 0.

Cíclico (Polígono): Polígono que se puede inscribir en una circunferencia.

Cifra Significativa: Todas las cifras excepto el cero.

Cilindro: Cuerpo geométrico que se obtiene por la rotación de un rectángulo en torno a uno de sus lados.

Circulo: Región interior de una circunferencia.

Circunferencia: 1. Lugar geométrico de todos los puntos que están en un mismo plano y que equidistan de un punto llamado centro. 2. Linea curva, plana, cerrada cuyos puntos

equidistan de otro punto dado, llamado centro.

Circunferencia de Apolonio: Es la que tiene por diámetro la distancia entre el punto de división interior y el punto de división exterior de un trazo dividido armonicamente.

Circunferencia Goniométrica: Circunferencia de radio 1, que se utiliza para definir las funciones trigonométricas.

Coeficientes binomiales: Coeficientes de los monomios que aparecen al desarrollar las potencias del binomio.

Combinatoria: Parte de la matemática que analiza las diferentes formas de agrupar elementos y calcular el número de posibilidades.

Combinación lineal: Un vector en el plano, es combinación lineal de dos vectores dados, si es la suma de dos vectores ponderados de los vectores dados.

Complejos Iguales: Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias también.



335 335

Composición de Funciones: Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)]. La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x). Conjunto Finito: Conjunto que tiene un número limitado de elementos. Conjunto Infinito: Conjunto de un número ilimitado de elementos. Conjunto por Comprensión: Es en el que se enuncia la propiedad común de sus elementos. Ejemplo: Las vocales. Conjunto por Extensión: Cuando se señalan todos los elementos del conjunto. Ejemplo Las Vocales = {a, e, i, o, u}

Conjuntos Solapados: Conjuntos que tienen elementos comunes.

Congruencia (de figuras): Dos figuras son congruentes si tiene sus lados homógos congruentes.

Congruencia (de números): Dado m un número entero, diremos que dos números enteros a y b son congruentes módulo m si a - b es múltiplo de m.

Conmutativa: Propiedad que no cambia el resultado de una operación al alterar el orden de los elementos que operan.

Cono: Cuerpo sólido engendrado por la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. El otro cateto forma la base circular del cono, mientras que la hipotenusa (generatriz) forma la superficie cónica.

Cono Oblicuo: Cono, cuyo eje cae en forma oblicua a la base.

Cono Recto: Cono, cuyo eje cae perpendicularmente a la base.

Cono Truncado: Porción de cono comprendida entre la base y un plano paralelo a la misma.

Constante: Cantidad cuyo valor se mantiene inalterable.

Constante de proporcionalidad: Si las variables x e y están relacionadas por y = kx, se dice que k es la constante de proporcionalidad entre ellas.

Convexa (Función): Una función f(x) no lineal se dice que es convexa en un intervalo si f'' (x) ³ 0 en todo punto de dicho intervalo.

Coordinables: Dos conjuntos son coordinables cuando tienen el mismo número de elementos.

Coplanarios: Puntos situados en un mismo plano.

Corolario: Es una consecuencia inmediata de un teorema.

Corona Circular: Figura plana comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

Cosecante: Función trigonométrica que corresponde a la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Es inversa a la función seno.

Coseno: Función trigonométrica que corresponde a la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.

Criptografía: Disciplina que se ocupa de codificar información y descifrar información codificada.



336 336

Cuadrado: Paralelógramo de cuatro lados iguales y cuatro ángulos congruentes (rectos).

Cuadrado de un Binomio: Es igual al cuadrado del primer término más o menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Cuadrado de un Trinomio: Es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término, más o menos el doble producto del primer término por el segundo, más o menos el doble producto del primer término por el tercero, más o menos el doble producto del segundo término por el tercero.

Cuadrilátero: Polígono de cuatro lados.

Cuarta Proporcional: Es cualquiera de los cuatro términos de una proporción discreta.

Cuartil: Se llama cuartiles de una distribución de datos estadísticos, a los intervalos que se obtienen al dividir en cuartos el conjunto de datos, ordenados de mnor a mayor.

Cubo de un Binomio: Es igual al cubo del primer término, más o menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo término.

Cuenta: Relación entre los ingresos y los gastos.

Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Cuerpo poliédrico: Cuerpo limitado por caras planas.

Cuerpo redondo: Cuerpo limitado, a lo menos, por una cara curva.

Cuña Esférica: Porción de volumen de una esfera, comprendida entre un huso esférico y el diámetro de la esfera que pasa por los extremos del huso.

Deca: Prefijo griego que significa 10.

Década: Período de diez años.

Decaedro: Poliedro de diez caras.

Decágono: Polígono de diez lados.

Decágono Regular: Poligono de diez lados iguales. Sus ángulos también son de igual medida.

Decágramo: Medida de masa equivalente a diez gramos.

Decálitro: Medidad de capacidad equivalente a diez litros.

Decámetro: Medida de longitud equivalente a diez metros.

Decena: Conjunto formado por diez unidades.

Deci: Prefijo que significa décima parte.

Decígramo: Medida de masa equivalente a la décima parte del gramo.

Decílitro: Medida de capacidad equivalente a la décima parte del litro.

Décima: Cada una de las diez partes iguales en que se divide una unidad o un todo.

Decímetro: Medida de longitud equivalente a la décima parte del metro.

Décuplo: Que contiene un número 10 veces.



337 337

Deducción: Conclusión basada en un conjunto de proposiciones verdaderas.

Delta: Cuarta letra del alfabeto griego que tiene la forma de un triángulo.

Demostración: Proceso por el cual, mediante una serie de razonamientos lógicos, se llega a establecer la verdad de una proposición o teorema a partir de cierta hipótesis.

Denominador: Parte de una fracción que indica en cuiántas partes está dividido un todo o la unidad.

Descomposición Factorial: Descomponer un número en sus factores primos.

Desigualdad: Relación matemática que indica que dos expresiones no son iguales.

Desviación: En Estadística, diferencia d cada valor con el promedio.

Diagonal: Segmento rectilíneo que une dos vértices no consecutivos de una figura geométrica.

Diagrama: Figura gráfica que explica un fenómeno estadístico, físico, químico, matemático, etc.

Diámetro: Cuerda que pasa por el centro y divide a la circunferencia en dos semicircunferencias. Equivale al doble del radio y es la máxima cuerda que se puede trazar en una

circunferencia.

Diedro (Ángulo): Cada una de las regiones determinadas por dos planos que se cortan.

Diplo: Prefijo griego que significa doble.

Disco: Es la unión de la circunferencia con el círculo.

Discriminante: A la expresión b2 - 4ac se la denomina discriminante y se denota por la letra griega D. Si a, b y c son números reales y el discriminante es mayor

que cero, las soluciones o raíces de la ecuación serán reales y distintas; si el discriminante es igual a cero, las raíces serán reales e iguales y si el discriminante es menor

que cero, la ecuación no tendrá soluciones reales pero sí en el campo complejo, donde habrá dos raíces conjugadas.

Disjuntos: Conjuntos cuya intersección es vacía.

Dispersión: Principal medida cuantitativa de la di`persión de una distribución de datos.

Dividendo: Número que se divide por otro.

Divina proporción: Proporción de la forma (a+b)/a = a/b, que se satisface entre los lados a y b de un rectángulo armoniosamente proporcionado.

División armónica de un trazo: Consiste en dividir un trazo interior y exteriormente en la misma razón.

División exterior de un trazo: Consiste en encontrar un punto en su prolongación, de modo que los segmentos determinados por dicho punto y los extremos del trazo, están en

una razón dada.

División interior de un trazo: Consiste en encontrar un punto en el trazo de modo que los segmentos que determina dicho punto, estén en esa razón.

Docena: Conjunto formado por 12 unidades.

Dodecaedro: Poliedro de 12 caras.

Dodecágono: Polígono de 12 lados.



338 338

E

e: Número irracional transcendente que puede obtenerse como límite de la sucesión: (1 + 1/n )n cuando n tiende a infinito.

Ecuación: Es toda igualdad válida sólo para algún(nos) valor(es) de la(s) variable(s). Ejemplo, 6x = 18; x - y = 7

Ecuación bicuadrada: Ecuación de cuarto grado de la forma ax4 + cx2 + e = 0.

Ecuación cuadrática: Ecuación de segundo grado o cuadrática se expresa mediante la relación ax2 + bx + c = 0, donde a es distinto de 0. Ecuación cúbica: Las ecuaciones de tercer grado o cúbicas son del tipo ax3 + bx2 + cx +d = 0, donde a es distinto de 0.

Ecuación cuártica: Las ecuaciones de cuarto grado o cuárticas, ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, para a distinto de 0.

Ecuación Diferencial: Ecuación que contiene derivadas.

Ecuación Exponencial: Se refiere a la ecuación en la cual la incógnita aparece en algún exponente.

Ecuación Incompleta Pura: Ecuación cuadrática de la forma ax2 + c = 0.

Ecuación Incompleta Binomia: Ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx = 0.

Ecuación Literal: Ecuación cuyas cantidades conocidas están representadas por letras.

Ecuación Logarítmica: Ecuación en la cual aparecen expresiones logarítmicas.

Ecuación Numérica: Ecuación cuyas cantidades conocidas están representadas por números.

Ecuación Trigonométrica: La ecuación trigonométrica es aquella cuyas incógnitas son el asunto principal de las funciones trigonométricas.

Ecuaciones compatibles: Ecuaciones que tienen al menos una solución común.

Ecuaciones equivalentes: Ecuaciones que tienen las mismas soluciones.

Ecuaciones Independientes: Ecuaciones que no poseen las mismas soluciones.

Ecuaciones Simultáneas: Ecuaciones para las cuales se verifican valores iguales de las incógnitas.

Equilátero: Triángulo que tiene sus tres lados iguales.

Elemento: Cada uno de los objetos pertenecientes a un conjunto.

Elipse: Lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos dados es constante. Los puntos dados se denominan focos de la elipse.

Endomorfismo: Homomorfismo de una estructura en sí misma.

Eneágono: Polígono de nueve lados.

Eneágono Regular: Polígono de nueve lados iguales.



339 339

Épsilon: Quinta letra del alfabeto griego.

Equidistante: Que está a la misma distancia.

Equivalente: Que tiene igual valor.

Error Absoluto: Diferencia entre el valor exacto y el valor encontrado en una medida.

Error Relativo: Cociente entre el error absoluto y la medidad exacta.

Escalar: Magnitud que queda completamente determinada por un número real.

Escaleno (Triángulo): Triángulo que tiene sus tres lados desiguales.

Escaleno (Trapecio): Trapecio con un par de lados paralelos.

Escalonada (Función): Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en

R, f:[a,b] --> R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los

intervalos de la partición.

Esfera: Cuerpo limitado por una superficie cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro.

Euclídeo: Que hace referencia a Euclides o se basa en sus principios matemáticos.

Evaluar: Valorar una cosa.

Eventos Incompatibles: Se refiere a dos sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, de intersección vacía.

Excéntricas: Figuras cuyos centros no coinciden.

Exponente: Número que indica la potencia a la que hay que elevar una cantidad.

Extremos Relativos: Máximo y mínimo relativo de una función real.

F

F: Letra usada para designar una función.

Factor: Cada uno de los términos de una multiplicación.

Factorial: Producto obtenido al multiplicar un número pósitivo dado, por todos los enteros positivos inferiores a ese número. Se simboliza por n!

Finito: Que tiene fin, término o límite.

Fracción Decimal: Fracción que tiene por denominador una potencia positiva de 10.

Fracción Impropia: Fracción cuyo numerador es mayor que el denominador.

Fracción Irreductible: Fracción que no se puede simplificar más.



340 340

Fracción Ordinaria: Fracción cuyos términos son números enteros.

Fracción Propia: Aquella cuyo numerador es menor que el denominador.

Fracciones Equivalentes: Aquellas que tienen el mismo valor.

Función Contínua: Una función f(x) es continua en x = x0 si y sólo si:

1º) Existe lim f(x) = L cuando x tiende a x0.

2º) Existe f(x0) tal que f(x0) = L

Función Lineal: Se define una función lineal con dos variables como una expresión de la forma f(x, y) = ax + by. Su representación gráfica eas una recta.

Función Primitiva: Dada una función cualquiera f(x), definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho

intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].

G

Gamma: Tercera letra del alfabeto griego.

Geometría: Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras y las relaciones entre los puntos, lineas, ángulos, superficies y cuerpos.

Geometría Plana: Trata de las figuras cuyos puntos y lineas están situados en un plano.

Geometría del Espacio: Trata de las figuras cuyos elementos no están todos en el mismo plano.

Grado de un término algebraico: Es la suma de los exponentes de la parte literal de un término algebraico.

Grado Sexagesimal: Está dividido en 60 partes iguales llamados minutos y cada minuto está dividido en 60 partes llamados segundos.

Grupo Cíclico: Grupo engendrado por un conjunto reducido a un solo elemento.

H

Hecta: Prefijo que significa cien.

Hectárea: Medida de superficie que equivale a 10.000 metros cuadrados.

Hectógramo: Medida de peso equivalente a 100 gramos.

Hectólitro: Medida de capacidad equivalente a 100 litros.

Hectómetro: Medida de longitud equivalente a 100 metros.

Hemisferio: Cada una de las dos partes de una esfera, limitadas por un círculo máximo.

Heptaedro: Poliedro de siete caras.



341 341

Heptágono: Polígono de siete lados.

Heptágono Regular: Polígono de siete lados iguales.

Herón (Fórmula de): Fórmula para encontrar el área de un triángulo en función de los lados.

Hexa: Prefijo que significa seis.

Hexaedro: Poliedro de 6 caras regulares, más conocido como cubo.

Hexágono: Polígono de seis lados.

Hexágono Regular: Polígono de seis lados iguales. Sus ángulos interiores son iguales y miden 120° cada uno.

Hexagrama: Figura plana compuesta de dos triángulos equiláteros que se cortan entre sí, de modo que cada lado de uno es paralelo a un lado del otro y forman un hexágono.

Hipérbola: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancia a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Hipotenusa: El mayor de los lados de un triángulo rectángulo y que s opuesto al ángulo recto.

Hipótesis: Enunciado o proposición que se toma como base de un razonamiento matemático.

Homogéneo: Compuesto o formado por elementos de igual naturaleza.

Homólogos: Elementos homólogos son los que tienen la misma posición en figuras de igual forma.

Huso Esférico: Porción de superficie esférica comprendida entre dos semicirculos máximos.

I

i: Simbolo de la unidad imaginaria.

Icosaedro: Poliedro de veinte caras.

Icosaedro Regular: Poliedro de veinte caras iguales que son triángulos equiláteros.

Idénticas (Figuras): Las que son iguales en forma y tamaño.

Identidad: Igualdad que se cumple para cualquier valor de la(s) variable(s) que contiene. Ejemplo, x + y = y + x.

Igualación: Método para resolver sistemas de ecuaciones.

Incentro: Punto en que se cortan las bisectrices interiores de un triángulo. Este punto es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

Incógnita: Cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación.

Incompatible (Sistema): Sistema de ecuaciones que no tiene ninguna solución común.

Inconmesurables (Números): Números que no tienen submúltiplos comunes.

Indivisible: Número que no admite división exacta, como ser, los números primos.



342 342

Inecuación Lineal: Se llama inecuación lineal con una incógnita a una expresión de cualquiera de los cuatro tipos siguientes:

donde

Infinitesimal: Cantidad infinitamente pequeña de límite cero.

Infinito: Magnitud mayor que cualquier cantidad dada.

Inscrito (Ángulo): Ángulo cuyo vértice está sobre una circunferencia y vale la mitad del arco que subtiende.

Interpolación: Método para encontrar valores de una sucesión entre otros dos conocidos.

Intersección: Elementos comunes a dos o más conjuntos.

Intervalo o Clase: En Estadística, agrupación de datos o sucesos a fin de facilitar su estudio.

Inverso: El inverso de un número es otro número que multiplicado por el primero, da la unidad.

Involución: Transformación geométrica que si a un punto A hace corresponder B, a B le hace corresponder A.

Isogonal: Que tiene los ángulos iguales.

Isomorfismo: Correspondencia biunívoca entre dos conjuntos que conservan las operaciones. Toda aplicación biyectiva que cumpla que f(a*b) = f(a)*f(b) es un isomorfismo.

Isósceles (Triángulo): Triángulo que tiene dos de sus lados iguales.

Isósceles (Trapecio): Trapecio que tiene sus lados no paralelos congruentes.

K

Kilo: Prefijo que significa mil.

Kilógramo: Unidad de masa que equivale a mil gramos.

Kilolitro: Medida de capacidad equivalente a mil litros.

Kilómetro: Medida de longitud que equivale a mil metros.

Kilómetro Cuadrado: Unidad de superficie equivalente a la de un cuadrado de lado 1 kilómetro.

L

Largo: Longitud de una cosa.

Lateral: Relativo a los bordes de los polígonos o a las caras de los poliedros.



343 343

Líneas Paralelas: Líneas que no se juntan por mucho que se prolonguen.

Lineas Perpendiculares: Líneas que la cortarse forman un ángulo de 90°.

Linea Quebrada: Linea formada por varias rectas que tienen un punto en común.

Líneas Secantes: Líneas que se cortan en un punto.

Logaritmo: El logaritmo de un número, respecto de otro llamado base, es el exponente a que hay que elevar la base para obtener dicho número.

Lugar geométrico: Conjunto de puntos que cumple con una determinada condición.

M

Macro: Prefijo que significa grande.

Mantisa: Parte decimal de un logaritmo.

Máximo Común Divisor: El mayor número entero que es divisor de un conjunto de números enteros.

Media Aritmética: Cociente entre la suma de los términos de una sucesión y el número de ellos.

Media Armónica: Inversa de la media aritmética de los inversos de los términos de una sucesión.

Media Geométrica: Cada uno de los medios de una proporción continua y es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Mediana (de un triángulo): Segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo.

Mediana (de un trapecio): Segmento que une los puntos de los lados no paralelos del trapecio.

Mediatriz: Recta perpendicular, en el punto medio, a un segmento.

Mega: Prefijo que significa un millón.

Megámetro: Medida de longitud que equivale a 1.000 kilómetros.

Mensurable: Que se puede medir.

Metría: Sufijo que significa medida.

Micra: Medida de longitud equivalente a la millonésima parte de un metro.

Micro: Prefijo que significa la millonésima parte de la unidad principal.

Mili: Prefijo que indica milésima parte.

Milígramo: Milésima parte de un gramo.



344 344

Milímetro: Milésima parte del metro.

Milla: Unidad de longitud equivalente a 1.609,347 metros.

Millón: Mil veces mil.

Mínimo común múltiplo: Es el menor de los múltiplos comunes a varios números.

Minuendo: Cantidad de la que se resta otra en una sustracción.

Miria: Prefijo que significa diez mil.

Mitad: Cada una de las dos partes en que se divide un todo.

Mixto: Número compuesto de un entero y una fracción.

Moda: Medida de tendencia central usada en Estadística, correspondiente al término que más se repite.

Monotonía: Propiedad de la desigualdad. a < c entonces a + b < c + b.

Monomio: Expresión algebraica de un solo término. Ejemplo, 7a

Muestreo: Estudia las relaciones existentes entre una población y muestras extraídas de la misma.

Multinomio: Expresión algebraica de tres o más términos.

Multiplicación: Operación aritmética que consiste en sumar tantas veces un número como lo indica otro número. Ambos son los factores y el resultado es el producto.

Múltiplo: Cantidad aritmética o algebraica que es producto de otras dos que son divisores de ellas.

N

IN: Símbolo que designa al conjunto de los números naturales, o sea el 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Nonius: Instrumento que sirve para medir con exactitud las fracciones de una división.

Numerable: Conjunto con el que se puede establecer una correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales.

Numerador: Parte de una fracción que indica las partes que se toman de una partición.

Número abstracto: El que no se refiere a una unidad de especie determinada.

Números amigos: Par de números enteros positivos tales que la suma de los divisores positivos de cada número menores que él es igual al otro número.

Número cardinal: Cada uno de los enteros considerados en abstracto.

Número complejo: Número de la forma a + ib con a y b, números reales e i2 = -1. También pueden ser representados por pares ordenados (a,b) donde a y b son

números reales. El elemento a recibe el nombre de parte real y b parte imaginaria.



345 345

Número compuesto: El que se expresa con dos o más guarismos. Número que no es primo (exepto el uno).

Número concreto: El que expresa cantidad de especie determinada.

Número congruente: Cada uno de los miembros de un par de enteros que, divididos por un tercero llamado módulo, dan restos iguales.

Número cósico: Número que es potencia exacta de otro.

Número e: Número irracional transcendente que puede obtenerse como límite de la sucesión: (1 + 1/n )n cuando n tiende a infinito.

Número de Fermat: Todo número de la forma 22n+1; para cada n=1,2,3, ...

Número deficiente: El que es inferior a la suma de sus partes alícuotas.

Número dígito: El que puede expresarse con un solo guarismo. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Número entero: El que consta exclusivamente de una o más unidades, por oposición a los quebrados y los mixtos.

Número Factorial: Es el producto de números consecutivos naturales

n! = (n)·(n-1)·(n-2)·.........3·2·1

En esta expresión se define que 0! = 1 y que 1! = 1.

Número fraccionario (o quebrado): Número que expresa una o varias partes de la unidad.

Número imaginario: Número que resulta de extraer la raíz cuadrada de un número negativo.

Número impar: Número que no es divisible exactamente por dos.

Número mixto: Número compuesto de entero y fracción.

Número negativo: Número menor que 0.

Número ordinal: el que expresa idea de orden o sucesión.

Número par: Número divisible exactamente por dos.

Número perfecto: Número entero y positivo igual a la suma de sus divisores positivos, excluido él mismo.

Números pitagóricos: Ternas de números enteros positivos tales que el cuadrado de uno de ellos es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. Si las longitudes

de los dos lados de un triángulo son enteros y pitagóricos, el triángulo es rectángulo.

Número plano: Número que procede de la multiplicación de dos enteros.

Número poligonal: Número natural de la sucesión n0 = 1, n1 .. nr ..., en la que nr = nr-1 + (m-2)r +1, donde m es un número natural mayor que dos. Para m = 3,4,5... se

obtienen los números triangulares, cuadrangulares, pentagonales... El número nr es el de los puntos marcados en un esquema geométrico formado con triángulos,

cuadrados, pentágonos..., respectivamente.

Número positivo: Número mayor que 0.



346 346

Número primo: El que sólo es exactamente divisible por sí mismo y por la unidad. Los primeros son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Número rectangular: Que se puede disponer, en base a figuras, en forma de rectángulo.

Número sólido: Número obtenido de la multiplicación de tres enteros.

Número sordo: Número que no tiene raíz exacta.

Número superante: Número que es superior a la suma de sus partes alícuotas.

Número transfinito: Número cardinal que no es entero.

Número trascendente: Número que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales.

Número triangular: Número natural de la sucesión n0 = 1, n1 ... nr ..., en la que nr = nr-1 + r +1,... El número nr es el de los puntos marcados en un esquema geométrico

formado con triángulos.

O

Oblicuángulo: Triángulo que no tiene ningún ángulo recto.

Obtusángulo: Triángulo que tiene un ángulo obtuso.

Octógono: Polígono de ocho lados.

Octante: Cada una de las ocho partes iguales en que se puede dividir un círculo.

Octavo: Cada una de las ocho partes que se puede dividir un todo o una unidad.

Operación binaria: Operación que se realiza con dos elementos al mismo tiempo.

Ordenada: Segunda componente del par ordenado (x,y) que determinan un punto del plano en un sistema de coordenadas cartesianas.

Origen: Punto de intersección de los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas.

Ortocentro: Punto del triángulo donde se cortan las alturas. Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Ortoedro: Paralelepípedo cuyas bases son rectángulos y sus aristas laterales perpendiculares a las básicas.

Ortogonal: Lo que está en ángulo recto.

Óvalo: Curva cerrada con dos ejes de simetría perpendiculares entre sí y compuesta de varios arcos de circunferencia tangentes entre sí.

P

Pantógrafo: Instrumento que sirve para hacer dibujos a escala.



347 347

Par: Todo número entero múltiplo de 2. Se representa por 2n.

Parábola: Lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan, a la vez, de un punto dado y de una recta dada. El punto dado es el foco y la recta dada, la directriz de

la parábola.

Paradoja: Razonamiento que parece demostrar que es cierto algo que evidentemente es falso.

Paralelepípedo: Prisma cuyas bases son paralelógramos.

Paralelógramos: Cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos. Además, todos los paralelogramos verifican las siguientes propiedades: Los lados opuestos tienen la misma

longitud, los ángulos opuestos son iguales y las diagonales se cortan en su punto medio.

Paralogismo: Razonamiento incorrecto.

Paréntesis: Signo () en el que quedan encerradas ciertas operaciones y que indica el orden en que deben efectuarse.

Paridad: Igualdad o semejanza de las cosas entre sí.

Parte: Porción determinada de un todo.

Parte Alicuanta: Parte que no divide exactamente a un todo.

Parte Alicuota: Parte que divide exactamente a un todo.

Partición: Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos y cuya unión es [a,b].

Penta: Prefijo que significa cinco.

Pentadecágono: Polígono de 15 lados.

Pentadecágono Regular: Polígono de 15 lados iguales. Cada ángulo interior mide 156°.

Pentágono: Polígono de 5 lados.

Pentágono Regular: Polígono de 5 lados iguales. Cada ángulo interior mide 108°.

Perímetro: Longitud de una curva cerrada.

Perímetro de un Polígono: Corresponde a la suma de las longitudes de sus lados.

Período: Cifra o cifras que se repite(n) en una fracción decimal periódica.

Perpendicular: Rectas que se cortan formando ángulos rectos.

Pi: Número irracional que corresponde a la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

Pirámide: Cuerpo geométrico que tiene como base un polígono cualquiera y como caras laterales triángulos con un vértice común.

Pirámide truncada: Porción de pirámide comprendida entre la base y un plano paralelo a ella.

Planimetría: Parte de la martemática que se ocupa del cálculo de áreas mediante planímetros.

Planímetro: Instrumento utilizado para medir áreas de figuras planas.



348 348

Planos Coaxiales: Planos que tienen en común una recta.

Planos Paralelos: Planos que no tienen ningún punto en común.

Planos Secantes: Planos que se intersectan.

Polidígitos: Números constituídos por más de una cifra.

Poliedro: Sólido limitado por polígonos llamados caras.

Poliedro Regular: Poliedro cuyas caras son polígonos regulares.

Polígono: Figura plana limitada por una linea poligonal cerrada.

Polígono Circunscrito: Un polígono está circunscrito a una circunferencia cuando sus lados son tangentes a la misma.

Polígono Convexo: Polígono cuyos ángulos interiores son todos menore o iguales a 180°.

Polígono equiangular: Polígono que tiene todos sus ángulos interiores iguales.

Polígono equilateral: Polígono que tiene todos sus lados iguales.

Polígono Inscrito: Un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de la circunferencia.

Polígono Circunscrito: Todos los lados del poligono son tangentes a una circunferencia.

Polígono Regular: Es el polígono que tiene de igual medida sus lados y congruentes sus ángulos.

Polígonos Semejantes: Dos polígonos son semejantes si tienen ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

Polinómica: Forma desarrollada de un número que nos indica el valor relativo de sus cifras.

Polinomio: Expresión algebraica que consta de varios términos.

Porcentaje: Es una razón cuyo consecuente es 100. Ejemplo, 13% = 13/100.

Postulado: Principio que se admite sin demostración.

Potencia: Producto de un número, llamado base, por sí mismo, n veces.

Potencia de un punto: Se llama potencia de un punto respecto de una circunferencia, al producto de los segmentos de cualquier secante que pase por ese punto, comprendidos

entre éste y las intersecciones de la secante con la circunferencia.

Primo: Número divisible sólo por sí mismo y por la unidad. Los primeros naturales son: 2, 3, 5, 7, 11,...

Primos entre sí: Números cuyo único divisor es el 1.

Prisma: Poliedro limitado por varios paralelógramos y por dos polígonos iguales cuyos plano son paralelos.

Producto de dos binomios con un término común: Es igual al cuadrado del primer término común, más la suma algebraica de los términos diferentes multiplicada por el término

común, más o menos el producto de los términos diferentes. Ejemplo, (a + 5)(a + 7) = a2 + 12a + 35.



349 349

Progresión aritmética : Sucesión de números reales tal que la diferencia entre cada término y su precedente es una diferencia constante; a esta diferencia "d" se la

denomina razón de la progresión, tal como: 2, 5, 8, 11, 14,...

Progresión geométrica : Sucesión de números reales tal que cada término se obtiene multiplicando su precedente por un valor constante "r", denominado razón de la

progresión. Por ejemplo 3, 6, 12, 24, 48, ....

Proporción: Es la igualdad de dos razones. Ejemplo, como 3:5 = 0,6 y 6:10 = 0,6 entonces ambas razones son de igual valor con lo que se forma la proporción 3:5 = 6:10. En

una proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Proporción armónica: Conjunto de tres números en los que el mayor forma con el menor, la misma razón que la existente entre la diferencia del mayor y el del medio, y el medio y el menor. Por ejemplo: 3; 4 y 6.

Proporción Continua: Es la proporción cuyos medios son iguales.

Proporcionalidad Directa: Dos cantidades son directamente proporcionales si al multiplicar una, varía también la otra en el mismo factor. Ejemplo, un dulce vale $70, entonces 9

dulces valen 9·70 = $630.

Proporción Discreta: Es la proporción cuyos medios son distintos.

Proporcionalidad Inversa: Dos cantidades son inversamente proporcionales si al multiplicar una, la otra disminuye en el mismo factor. Ejemplo, 4 trabajadores demoran 20 días

en hacer una obra, 8 trabajadores demoran en hacer la misma obra 10 días.

Proporciones Iteradas: Son igualdades de dos o más razones. Ejemplo, a:b:c = 2:3:5.

Punto de Aglomeración: Un punto p es un punto de aglomeración de la sucesión (sn) cuando existen infinitos términos de la sucesión tan cerca de p como se desee.

Punto de Fuga: Punto en el horizonte al que llegan todas las lineas paralelas la cual da, en un dibuko, la sensación de perspectiva.

Punto Notable: Nombre que se le da al ortocentro, incentro, circuncentro, centro de gravedad.

Q

Q: Símbolo con el que se representa el conjunto de los números racionales.

Quebrada(Linea): Linea formada por varias rectas, una a continuación de la otra, con distinta dirección. Pueden ser abiertas o cerradas.

Quebrado (Número): Término con el que también se designa una fracción.

Quinario: Conjunto de cinco elementos

Quincuagésimo: Cada una de las partes que resultan al dividir un todo o una unidad.

Quintal: Medidad de peso que equivale a 100 kg.

Quinto: Cada una de las partes que resultan al dividir un todo o unidad en cinco partes iguales.

Quíntuplo: Cinco veces una cantidad.

R



350 350

IR: Símbolo con el cual se designa a los números reales.

Racionalizar: Operación que consiste en eliminar la raíz del denominador.

Radián: Unidad de medida de ángulos que equivale a un ángulo que con el vértice en el centro de la circunferencia subtiende un arco de longitud igual al radio de esta

circunferencia.

Radicación: Operación inversa a la potenciación que consiste en encontrar la base de una potencia, dados el resultado de ella y su exponente.

Radical: Simbolo que indica la operación de extraer raíz.

Radio (De una circunferencia): Segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

Radio (De una esfera): Segmento que une el centro de la esfera con un punto cualquiera de la superficie esférica.

Radio (De un polígono): Se llama radio de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

Radio Vector: Segmento orientado que va del foco a un punto de la parábola o elipse.

Raíz (De una ecuación): Solución de una ecuación.

Raíz Cuadrada: Expresión radical de índice dos.

Raíz Cúbica: Expresión radical de índice tres.

Rango: En estadística, es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos ordenados.

Razón: Comparación entre dos cantidades por cuociente. Ejemplo, si un niño tiene 5 años y otro 3 años, decimos que sus edades están, respectivamente, en la razón 5:3.

Recíproco: Corresponde al valor inverso de un número, de manera tal que al efectuar el producto entre ambos, resulta 1.

Recta: Es la representación gráfica de una función de primer grado. Toda función de la forma y = ax + b de IR en IR representa una linea recta.

Rectas Convergentes: Rectas que tienen un punto en común.

Rectas Paralelas: Rectas, en un mismo plano, que no tienen puntos en común.

Rectángulo (Triángulo): Triángulo que tiene un ángulo recto.

Rectángulo (Cuadrilátero): Paralelógramo con lados opuestos iguales y sus cuatro ángulos congruentes.

Rectángulo (Trapecio): Trapecio que tiene un lado perpendicular a las bases.

Reducción: Nombre dado a uno de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

Reflexiva: Propiedad de las relaciones binarias que indica que todo elemento está relacionado consigo mismo.

Región: Parte del espacio.

Regla de Tres Simple: Regla que permite resolver aquellos problemas en que, dadas dos cantidades correspondientes a dos magnitudes directa o inversamente proporcionales, y

un nuevo valor de una de ellas, se pide hallar el valor que le corresponde a la otra.

Regla de Tres Compuesta: Regla que permite resolver aquellos problemas en que la magnitud en que está la incógnita depende de otras dos o más y es directa o inversamente

proporcional a cada una de ellas, tomadas separadamente, permaneciendo figas las demás.



351 351

Regla de Ruffini: Regla para dividir un polinomio por (x + a) o (x - a).

Relación de Inclusión: Relación que indica que un conjunto está incluído en otro conjunto.

Revolución: Rotación alrededor de un eje de cualquier figura.

Rombo: Paralelógramo de cuatro lados y dos pares de ángulos congruentes.

Romboide: Paralelógramo que tiene dos lados opuestos iguales y dos pares de ángulos opuestos congruentes.

Rotación: Giro alrededor de un eje.

S

Sagita: Perpendicular del arco a su cuerda en el punto medio.

Secante: Recta que intercepta a la circunferencia en dos puntos no coincidentes. Toda secante determina una cuerda. // Se llama secante de dos o más rectas a otra recta que las

intersecta.

Sección: Figura que resulta de la intersección de una superficie con un sólido.

Sección Cónica: Sección que se origina al cortar con un plano un cono circular recto.

Sector Circular: Región limitada por dos radios y el arco subtendido por ellos.

Sector Esférico: Porción de volumen de esfera que está engendrada por un sector circular que gira alrededor de un diámetro de la esfera. Está formada por un casquete y su cono.

Segmento: Porción de recta limitada por dos puntos.

Segmento Circular: Región limitada por una cuerda y el arco determinado por ella.

Segundo: Unidad de tiempo que equivale a la 60 ava parte de un minuto.

Semana: Período de tiempo de siete días.

Semejantes (Figuras): Figuras cuyos ángulos homólogos son congruentes y sus segmentos homólogos proporcionales.

Semejantes (Términos): Términos que tienen el mismo factor literal. Por ejemplo 5ab y -7ab.

Semestre: Período de seis meses.

Semi: Prefijo que significa mitad.

Seno (De un ángulo): Razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Serie: Suma de una sucesión ordenada de términos.

Serie Aritmética: Serie cuyos términos forman una progresión aritmética.

Serie Convergente: Serie que tiene un límite definido.



352 352

Serie Divergente: Serie que no tiene un límite definido.

Serie geométrica: Serie cuyos términos forman una progresión geométrica.

Sexagesimal: Que tiene por base el número 60.

Sexagésimo: Cada una de las 60 partes iguales en que se puede dividir un todo.

Sexto: Cada una de las seis partes iguales en que se puede dividir un todo.

Sextuplo: Seis veces una cantidad.

Siglo: Período de tiempo correspondiente a cien años.

Símbolo: Representación convencional de un número, cantidad, relación, operación, etc.

Simetral: La simetral de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un trazo.

Simetría Axial: Es la simetría con respecto a un eje o recta.

Simetría Especular: Es la simetría respecto a un plano.

Simplificar: Es transformar una fracción en otra equivalente cuyos términos son menores que la fracción original.

Sistema de Numeración: Conjunto de normas que se utilizan para escribir y expresar cualquier número.

Sucesión: Conjunto de números dispuestos en un orden definido y que siguen una determinada ley de formación.

Sucesión monótona creciente: Sucesión en la cual un término cualquiera es menor o igual que el siguiente.

Sucesión monótona decreciente: Sucesión en la cual un término cualquiera es mayor o igual que el siguiente.

Sucesiones convergentes: Son las que tienen límite.

Sucesos Independientes: Dos sucesos son independientes si el resultado de uno no afecta el resultado del otro.

Suma por su diferencia: Es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

T

Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia.

Tercera Proporcional: Corresponde al cuarto término de una proporción continua.

Término Algebraico: Expresiones que contiene números y variables(letras). Ejemplo, 5xy.

Términos Semejantes: Son los que tienen la parte literal en forma idéntica. Ejemplo, 5xy; -7xy.



353 353

Totalmente Ordenado: Dado que el conjunto de los números reales R es totalmente ordenado y dados dos números reales a y b, siempre es cierta alguna de las tres relaciones

siguientes:a<b ó a>b ó a=b

Transversal de gravedad: Segmentos que unen el vértice con el punto medio del lado opuesto en un triángulo.

Trapecios: Cuadriláteros con un par de lados paralelos.

Trapezoides: Cuadriláteros sin lados paralelos.

Triángulos Semejantes: Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales o sus lados proporcionales.

Trinomio: Expresión algebraica de tres términos. Ejemplo, 3x + 2y - 5z

V

Valor Absoluto: Valor de una cifra, independiente del lugar que ocupe o del signo que vaya precedida.

Valor Relativo: Valor que depende de la posición que dicha cifra ocupa en el número.

BIBLIOGRAFIA

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MICROSSOF ENCARTA 99

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