Mesures plurisousharmoniques et mesures de Wiener

MESURES PLURISOUSHARMONIQUES ET MESURES DE WIENER

Par

P. MALLIAVIN ET JACQUES VAUTHIER

A Szolem Mandelbrojt, en temoignage de profonde gratitude

La notion de fonction plurisousharmonique est li6e en dimension tinie a des notions de forme de volume. Par exemple les theoremes d'annulation de Kodaira ont ete enonces par Kodaira en terme de La courbure du fibre canonique, c' est-a-dire du fibre hermitien associe a la forme de volume.

Dans cette methodologie, en coordonnees locales ZI, ... ,Zn une fonction fest plurisousharmonique si et seulement si Ie fibre en droites exp( -f)7r a une courbure positive (oil 7r est la forme de volume en coordonnees locales).

En dimension infinie, il n' existe pas de forme de volume de reference. Par suite les fonctions plurisousharmoniques ne sont plus Ie concept primordial, mais plutot les mesures plurisousharmoniques, c'est-a-dire les mesures dont laforme de courbure est positive.

CHAPITREI PROPRIETESFONCTORIELLES

DES MESURES PLURISOUSHARMONIQUES

Pour faciliter l'expose ce chapitre sera ecrit en dimension finie.

1. P lurisousharmonicite d 'une mesure Soit J1. une me sure sur un ouvert 0 de en , X un champ de vecteurs Cl sur en.

On notera par Lx la derivee de Lie suivant Ie champ X. Soit <p une fonction Coo a support compact dans o.

1.1. Definition La divergence de J1. est definie par l' egalite

On appelle champ de vecteurs holomorphes une application holomorphe de 0 dans les champs de vecteurs de type (1,0).

1.2. Definition La courbure 7r i-' de la mesure J1. est definie par VX 1, VX2 , champs de vecteurs holomorphes

213 JOURNAL D' ANALYSE MATHEMATIQUE, Vol. 60 (1993)

214 P. MALLIAVIN ET J. VAUTHIER

Le lien qui existe entre la courbure de IL et la plurisoushannonicite est explicite par Ie lemme suivant:

1.3. Lemme Si

ona

Preuve Par definition

n

J1. = e-'P I\dZj /\ d2j, j=l

ou ~ est holomorphe. Alors

/ (ZI,dip}dJ1.= L/ ~«():~e-'PdV = - L / ip(e'P ;j (~e-'P»)e-'Pdv

d'ou

aloTS

et, comme ~ est holomorphe 8~ /8(k = 0, on obtient

Un calcul analogue donne

Comme - "ar.p -

88ip = L.. 8(j8(k d(j /\ d(k.

on en deduit l'egalire entre {Zl /\ 2 2 , 8ar.p} et Cz. div,..(22) - CZ2 div ,..(Zl).

MESURES PLURISOUSHARMONIQUES ET MESURES DE WIENER 215

Soit X un champ de vecteurs reel sur M que I' on ecrit en coordonnees locales

ou en introduisant les operateurs {) / {)(j et {) / {)~:

I { {) {) } X = -" (a· + v'-lb·)- + (a· - v'-l)b·--=-2 ~ 'J J {)(j 'J ] {)(j J

on introduit l'operateur de multiplication par i par

alors

Cecidonne

On a ainsi Ie

1.4. C orollaire La courbure 1['/1. de J.L est la forme hermitienne

1.5. Definition On dit que La mesure positive J.L est plurisousharmonique si la

forme q/1. qui lui est associee est uneforme positive.

1.6. Remarque La plurisousharmonicite est une notion locale. Par consequent si M est une variete analytique complexe, 'Y une mesure de Radon definie sur M, on dit que 'Y est plurisousharmonique si pour toute carte analytique complexe cp

definie sur un ouvert S1 de M on a (Cf?) * (In'Y ) est une mesure plurisousharmonique sur 0 = cp(S1).

216 P. MALLIAVINET J. VAUTIIIER

Si fl- est une me sure sur une variete kahlerienne M qui s'ecrit fl- = e-'Pdv,dv est la forme de volume kahlerienne sur M, on a alors

1.7. Lemme La courbure 7r", de /J. = e-'Pdv est donnee par7r", = a8<p-Ric(M). oil. Ric(M) est Ie tenseur de courbure de Ricci de M .

Preuve Dans une carte locale, fl- = e-'Pg I\. d(j I\. d0 avec g determinant de la matrice definissant la metrique de M. D'ou

7r", = -8alog(e-'Pg)

= 8a<p - 8alog(g).

Comme Ric(M) = 8alog(g), on a prouve Ie lemme.

2. Desintegration de mesures plurisousbarmoniques

det(g a.1J),

On s 'interesse a des proprietes fonctorielles de ces mesures. On regarde tout d'abord I'effet d 'une projection. On note 7rk : en ....... en - k la projection sur les

(n - k) premiers facteurs de en, 7rk(ZI • . . zn) = (ZI , .. . ,Zn-k). Soit fl- = e- CP I\j==1 (dZj I\. dZj) de masse totale finie. On pose

ou k

fl-k = Pk/\(d(j I\. d0) 1

avec

On note

11k E1Tk(\lI) = - e-cp( * /\(d(j I\.d0»). Pk l()I~k I

2.1. Proposition La courbure de fl-k est donnee par

Preuve La courbure de fl-k est donnee par


or

ou dVn-k designe Ie volume associe sur cn- k a * ( A7( dZj 1\ dZj ) ). On doit calculer ensuite

avec

Notons par

on a alors

D'ou

s' ecrit, en observant que

et d. (8) 8rp

IVJ1. 8Zm = 8Zm '

d' ou la proposition.

2.2 . Remarque On voit qu' en general si J.L est plurisousharmonique, '¢* (J.L) ne l'est pas. D'ou I' interet du theoreme suivant.

2.3. Theoreme Soit J.L une mesure plurisousharmonique sur une variete

analytique compLexe M. On suppose J.L de masse finie . Soit'¢ une submersion

analytique de M sur M'. On pose a = '¢* (J.L ) et on considere La desintegration

1 f(m)J.L = 1 dam' [ f(m)dpm' M M' J,p(ml=m'


alors Pm' est presque partout une mesure plurisousharmonique sur 1j;-1 (m').

P reuve n suffit de montrer que la courbure de Pml est la restriction a T mo (1j;-! (m'» espace tangent a la fibre 1j;-1 (m') en mo, 1j;(mo) = m', de la courbure de J1,.

Par definition, pour un champ de vecteur Z sur M,

(Vip E D) r div Pml (Z)ip(x)dPm' (x) = r < Z,dr.p > dpm' Jt/JCx)=ml Jt/JCx)=m'

et en integrant sur M' par rapport a dO'm', on a:

j dO'm' r div Pm' (Z)r.p(x)dPm'(x) = fdO'm'l < Z,dr.p > dpm' Jt/JCx)=m' . t/JCX)=m'

or

1 dO'(m') r < z, dr.p > dpm' = 1 < Z, dr.p > dJ1, = 1 div JL(Z)r.pdJ1, M ' Jt/JCx)=m' M M

et en desintegrant J1,:

r dO'(m' ) l <z,dr.p>dpm,=l dO'(m')l divJL(Z)r.pdpm' . 1M, t/J ex) =m' M' t/Jex)=m'

Done, Vr.p E '0 , on a:

1 dO'(m' ) 1 div Pm' (Z)r.p(x)dPm' (x) = 1 dO'(m') 1 div JL(Z)r.pdPm' M' t/JCx)=ml M' t/J eX) =m'

et

d 'oi! Ie theoreme.

3. Proprietes algebriques des mesures plurisousharmoniques

Deux resultats simples sur les mesures plurisousharmoniques concernant la somme et Ie produit de ces mesures.

3.1. Remarque La somme de deux mesures plurisousharmoniques n'est pas en general plurisousharmonique.

Preuve Soit dans C les mesures J1,1 = e-xdZ 1\ dZ et J1,2 = e-2xdZ 1\ dZ. Alors J1, = ILl + J1,2 = (e-X + e-2x )dZ 1\ dZ.


Calculons la courbure de /1:

on a done a calculer

ee qui montre que 7r p. < o. 3.2. Proposition Le produit tensoriel d/11 ®d/12 de deux mesures plurisoushar

moniques est plurisousharmonique.

Preuve II suffit de calculer 7rP.' @P.2. Soit 'P(tl, t2) = 'PI (tl )'P2(t2) une fonction de V(M\ x M2) et Z un champ de vecteurs sur MI x M2. Par definition:

J J divp.,®p.2(Z )'Pd/1ld/12 = f 'Pld/11 f < Z ,d'P2 > dIL2 + f 'P2d/12 f < Z,d'P\ > d/11

= f 'Pld/11 f diVP.2(Z)'P2d IL2 + f 'P2d/12 f divp., (Z)'Pld/11 .

D'ou

etpar

ondeduit

et /11 ® /12 est plurisoushannonique si /11 et /12 Ie sont.

CoroUa ire Sur un ouvert 0 de en, on a iJ p. irant l' adjoint de ij:

Preuve On prend la metrique plate sur O.


Tbeoreme Soit M une variete analytique complexe, J.tn et J.t des mesures positives sur M . Si J.tn ---+ J.t laiblement et si ("In) J.tn est plurisousharmonique alors f1. est plurisousharmonique.

Preuve Le theoreme est local. Par suite il suffit de Ie montrer dans Ie cas ou M est un ouvert de en. Par definition de la convergence faible

D'autre part

118f1l~. ---+ 118f1l~,

IIV/II~n ---+ IIV/llw

II'!?JII~ = sup If < p,'!?J '> dJ.t1 Iipli,, <l

~ If < p,'!?J > dJ.t1

avec IIpll~ = J Ipl2dJ.t < 1. Pour tout t: > 0, il exists no tel que si n > no,

par Ie theoreme de Banach-Steinhaus. Pour n > n l, on aura

II'!?JII~ ~ I J < p,'!?J > dJ.t1

= I f < 8p,f > dJ.t1

~ (1 - t:)1 J < 8p,f > dJ.tnl

~ (1 - t:)1 r < p,'!?p.J > dJ.tnl, J

d' ou, en notant 7r I-' la courbure de J.t,

J 7rI-'(f,f)dJ.t = 1I'!?J.tII~ + 118/11~11-IIV/II! ~ (1 - 2t:){ 1I'!?Il·nll!n + 118/11;. -IIV/II;.}

en prenant Pn tel que IIPnllt. < 1 pour un n fixe, Pn est alors tel que


n!pond a la question pour obtenir la minoration

Comme J 1f/LJJ,f)d/Ln 2: 0, on en deduit que J 1fjL(j,f)d/L 2: 0, ce qui prouve Ie theoreme.

Un exemple de mesure p .s.h. en dimension infinie Considerons X l'espace de probabilire du mouvement brownien sur cn • Les

champs de vecteur holomorphes sur X sont les champs de la forme

ou h est une application continue de [0,1] dans cn teUe que

On note par /L la mesure de Wiener sur X. Alors par Cameron-Martin

et la courbure de /L est donnee par la formule

CHAPITREll MESURE DE WIENER

AU-DESSUS D'UNE VARffiTE KAHLERIENNE COMPACTE

On considere une variere M kahIerienne compacte de dimension n. On designe par OeM) Ie fibre des reperes orthonormes sur M. Un element u E OeM) est identifie a un isomorphisme cn ~ T.,,(u)(M), ou 1f est la projection canonique de OeM) sur M. Soit w(cn) I'espace de Wiener sur en, w(cn) = C([O, Ij,Cn ) et Wo (M) l'espace des chemins W sur M tels que w(O) = ° E M.

On introduit l 'algebre de Lie u(n) du groupe unitaire U(n) . Soit (j la I-forme sur OeM) a valeurs dans u(n) et 8 la I-forme canonique definie sur OeM) a valeurs dans Cn par

8: Tu(O(M» ---+ Cn

X t-+ O(X) = U- I1f*(X).

222 P. MALLIAVIN ET J. VA1.ITHIER

On a alors les equations de structure de la connexion

{dO = -a 1\ 0

da = a I\a +R

ou Rest 1a representation equivariante du tenseur de courbure de M. L'application d'Ita, I de ween) dans W(O(M)) est definie par

ou Ie repere rx est defini par les equations differentielles stochastiques au sens de Stratanovitch suivantes:

{ 9(drx) = dx, a(dr) = O.

Ce systeme est equivalent aI' equation differentielle stochastique suivante definie par les champs horizontaux (Ak) de OeM):

ou

rx(O) = ro

ro etoot choisi une fois pour toutes dans 11"- 1 (mo) . On note par n l' espace des chemins continus traces sur M et partant de mo. Sur n une mesure naturelle, la mesure de Wiener, existe. Alors on sait que

x~w

defini par

est presque surement une bijection de X sur n preservant les mesures de Wiener. On choisit ro E 11"-1 (0) et par construction de la diffusion r w sur OeM), il existe

un unique r w (t) tel que

{ 1I"(rw(t)) = Pw(t), rw(O) = roo

On note HwCt) = rw(t) 0 roll, : To(M) ~ TPwCM) transport parallele stochastique qui ne depend pas du choix de ro dans la fibre de 0

w E Wo(M), XwCt) = Hw{t)(h(t))


pour h E Co(M) . W west un champ de vecteurs Ie long de la courbe w ce qui justifie I'interpretation

comme vecteur tangent it w E Wo(M). Ceci d~finit la structure complexe sur

Wo(M).

Remarque L'application d'!to n 'est pas analytique. Pour Ie voir, if faut calculer la derivee J'(x). Pour cela, on perturbe Ie chemin x par un element de C(<C::n) espace de Cameron-Martin tangent a Wo(cn ), h = (hj ) et

On pose

( d~'h I ) -o -- = Oh dE ,,=0

vecteur de Cn ,

( dr~'h I ) -(J -- - (Jh dE ,,=0 - matrice de u(n).

Si Jest la representation equivariante du tenseur de Ricci, 00 a

et

ou nest ia courbure.

{ ~Oh=(-!JOh+h)dO+(jhflx 0(0) = 0

Comme J ii{3 = 8fj8o: log (det (gsl» ou (gst) est la metrique kahlerienne de M, il n'y a pas C-lioearite de I'(x)(h) par rapport it h.

La connexion riemannienne definit donc un parallelisme de O(M) sur l'algebre

de Lie 'Dc(n) des deplacemeots de Cn •

Si Ux,t(m) = x(t) avec x(O) = mE M est Ie flot stochastique, on pose

qui va de 'Dc( n) dans lui meme.

On a alors Ie

Lemme

. I'(x)(h)(t) =/01 JxAI(x»h(s)ds


pour h E C(Cn ), espace de Cameron-Martin sur cn •

Preuve Comme ftl'(x )(h)(t) est donne par Ie systeme (dOh, dah), et que

ou (uJ E End (Dc(n)) est associe au systeme precedent; on a Ie lemme.

Corollaire So it Zp,t E Tp(Wo(O(M) , alors [' equation I' (x)(h) = Z/(x) a pour solution

h(t) = lot J"(x:s)Z(s)ds.

Preuve Cornme I' (x ).h = Z par derivation en t on en deduit

et

h(t) = lot J;} Zp,sds.

Rappelons qu'au sens de Driver, Zp,s = H(w)(s)<p(s) ou <p : [0, 1] -+ To(M),H est Ie transport parallele stochastique.

Notion de champs holomorphes sur Wo(M) On definit pour T E [0, 1], Ie transporte parallele du rep ere {ek(0)}09:52dimc(M)

reel, base de T'C- (M ) comme espace vectorie1 sur JR.. On pose

transport du repere Ie long de Ia courbe wet V-T I'operateur complexe de multiplication par i.

Nualart-Zakai ont defini des operateurs de derivation "continue": ici, on considere, avec leur notation,

Definition 1 L' operateur d' holomorphie a~k) est defini par

Definition 2 Soil

MESURES PLURISOUSHARMONlQUES ET MESURES DE WIENER 225

avec U(w, ·) E L2([O, 1], To(M)) un champ de vecteur sur Wo(M) qui s' ecrit

n

Z(w, T) = L::ZAw, T)(ej(w, T) + vCIej(w, T)); j=l

on dira qu' un tel champ est holomorphe si

VSE[O,l], VTE[O,I], VkE{l, ... ,n}, VjE{l···,n}, VWEWo(M) -(k) 8s,wZj(W ,T) = 0.

On a fe resultat suivant qui exprime que fa carte est holomorphe:

Ceci pennet de prouver Ie theoreme qui relie les integrales de Stratanovitch et de Skorokhod sur un champ holomorphe Z en montrant que la contraction d'Jto est Dulle, et ensuite calculer la divergence de la me sure de Wiener puis sa courbure sur l'espace des champs holomorphes et prouver qu'elle est pssh.

Theoreme Sur fa varihe kiih!erienne M , pour fa structure hermitienne associee

notee <, >, si Z est un champ de vecteurs holomorphes sur Wo(M), on a

1 " 11 11 o <Z(w,T),dw>= 0 <Z(w,T),d w>

ou la premiere integra Ie est prise au sens de Stratanovitch et La seconde, au sens

de Skorokhod.

Preuve Comme Z(W ,T) = 'EZj(w,T)(ej + yCTej), on a donc a considerer des integrales du type

pour 1 :::; j :::; n, 1 :::; k :::; n. Or, dans JR, les suites qui convergent respectivement vers J~ P(w, s)d'w soit s~ et J~ F-(w, s)d" w soit 8F~ sont reliees entre elles par

I- - '"""' 1 D-F- d'lj;dT Sn = 8Fn + L-t 'T (w ,O-(8) .

{j !ix!i P

Pour chaque composante reelle (F1 ,F2) du processus F1 + iF2 on aura donc associe

ala combinaison J~(F1 + iF2)(d'wl + id'w2)

226 P. MALLIAVlN ET J. VAUTHIER

On obtiendra donc une contraction d'Ito sur M qui s'6crira en regroupant les tennes it k indice fixe,

or

et par Ie lemme precedent,

D' ou Ie theoreme.

La plurisoushannonicite de la mesure de Wiener J.L sera etudi6e dans une prochaine publication en utilisant les deux outils suivants:

1) Integrale de Skorokhod-Nualart-Pardoux dans une carte de Cartan. 2) Invariance de cette integrale par un changement de variable holomorphe. On calculera alors la courbure de J.L en terme de I' energie comme cela a ere fait

dans Ie cas plat a la fin du chapitre I.

REFERENCES

B. Driver, Quasi invariant measure on the loop of a Riemannian manifold, a paraitre lournal of Functional Analysis.

P. Malliavin, Stochastic Jacobi field. Partial differential equations and geometry, Proc. Conf. Park City, Utah, 1977; in Lectures Notes in Pure and Applied Math. 48.

J. Morrow and K. Kodiara, Complex Manifolds, Holt, Rinehart an~ Winston, New York, 1971.

LABORATOlRE DU CNRS, liRA 2 13 TOUR 46, UFR 920

UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE 4, PLACE JUSSlEU

75252 PARIS CEoEX OS, FRANCE

(Re~u Ie 21 juin 1992)

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