METODO:

MULTIPLI

CADORES

DE LAGRANGE

Asesor :Ing. Malavé Amelia

Alumno:Saldaña AlejandroC.I.:25.282.643

JOSEPH-LOUIS DE LAGRANGE

Joseph-Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Ludovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange Nació en Turín el 25 de Enero de 1736. Fue un físico, matemático y astrónomo franco-italiano que después vivió en Prusia y Francia.Lagrange trabajó en Berlín durante veinte años para Federico II de Prusia. Aportó avances trascendentales en múltiples ramas de las matemáticas, desarrolló la mecánica Lagrangiana y fue el autor de novedosos trabajos de astronomía. Tanto por la importancia como por el volumen de sus contribuciones científicas se le puede considerar uno de los físicos y matemáticos más destacados de la historia.

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente.

OBJETIVOS DE ESTE METODO

Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z.

Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene extremos.

Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de Lagrange

Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función condicionante.

Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional.

CARACTERISTICAS El método de eliminación de variables no

resulta operativo cuando el problema tiene muchas restricciones o las restricciones son complejas, por lo que resulta muy útil éste método.

Los Multiplicadores de Lagrange es un método alternativo que además proporciona más información sobre el problema.

Todos los óptimos que verifiquen las condiciones de regularidad establecidas tienen asociados los correspondientes multiplicadores.

El teorema de Lagrange establece una condición necesaria de optimalidad (bajo las condiciones de regularidad).

METODOSea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

Se procede a buscar un extremo para h:

lo que es equivalente a

EJEMPLOUna caja rectangular sin tapa se hace con de cartón. Calcule el

volumen máximo de esta caja. 

Buscamos maximizar:  con restricción: 

 Ahora aplicamos lo que nos dice el método de los

multiplicadores de Lagrange.

Entonces:

Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en: 

 

Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado izquierdo  por lo tanto la primera la multiplicamos por  la segunda por  y la tercera por , quedaría de la siguiente manera: 

Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto: 

de la segunda ecuación sabemos que:  entonces: . Si se hace

sustituimos en la ecuación:

y nos quedaría de la siguiente manera: =12Por lo tantoentonces:  y .

GRACIAS