Método de Análisis para problemas no lineales de Control óptimo y discreto D. Patiño, R. Meziat...
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Método de Análisis Método de Análisis para problemas no para problemas no lineales de Control lineales de Control óptimo y discretoóptimo y discreto
D. Patiño, R. MeziatDepartamento de MatemáticasUniversidad de los AndesColombia, 2005
XV Congreso Nacional de MatemáticasXV Congreso Nacional de Matemáticas
ContenidoContenido
Introducción
Confexificación
Método de los momentos
Casos de Aplicación
Conclusiones y trabajo futuro
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
IntroducciónIntroducción
Proponemos una forma alternativa para resolver problemas de control óptimo discreto no lineal:
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(0) (1)n
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Caso II:Caso II: Control discreto, sistema continuo.
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
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)1()0(
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0
1
0
Caso I:Caso I: Control continuo, sistema continuo.
IntroducciónIntroducción
x: Variables de estado del sistema
u: Señal de control
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
1
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. . ( , , )
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N
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Caso III:Caso III: Control discreto, sistema discreto.
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Caso IV:Caso IV: Forma de Mayer
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g x t u c x t u
IntroducciónIntroducción
Dificultades de linealidad:
NO LINEAL:
Integración
Inestabilidad
Caos
Singularidades
Dificultades de convexidad:Dificultades de convexidad:
NO CONVEXO :NO CONVEXO :
No aplica la teoría clásica No aplica la teoría clásica para establecer para establecer existencia de la existencia de la solución.solución.
Técnicas clásicas: Análisis por espacio de estados, Control BIG-BANG, Optimización dinámica
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
IntroducciónIntroducción
Método de relajación en medidas de probabilidad (MEDIDAS PARAMETRIZADAS SOBRE EL CONTROL
- YOUNG).
)(),,(..
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0
dtxgxas
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Espacio de control
(Lineal – Convexo en medidas de probabilidad)
*Pedregal y Muñoz. Universidad de Castilla – La Mancha 1998
)(P
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
ConvexificaciónConvexificación
Proceso de convexificación en el espacio de control , mediante integración con distribuciones de probabilidad:
ff
co(co())Obtenemos un problema definido Obtenemos un problema definido
en la envoltura convexa del en la envoltura convexa del espacio de control.espacio de control.
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*Pedregal y Muñoz.
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Método de los momentosMétodo de los momentos
Estructura:
N
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mmii: Momentos: Momentos
•Lineal
•Convexa
)()( comi
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Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Método de los momentosMétodo de los momentos
Estructura polinomial:
Mi
i
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0
0
,,,
,,,
M
ii
N
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,,,
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Método de los momentosMétodo de los momentos
Caracterización de momentos
f
M
ii
N
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xxxx
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dttmtxc
10
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Problema de control óptimo con forma lineal para el control con una familia convexa de controles m co()
0
21
32
1321
210
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N
N
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Hankel Semidefinida Positiva
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Método de los momentosMétodo de los momentos
Medida en P() m Vector de
momentos
COVEXIFICACICOVEXIFICACIÓNÓN
Convexo Proyección Convexo Proyección ConvexoConvexo
A A BB
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Análisis del problemaAnálisis del problema
1
1
0
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N
Min f x u t
s a x g x u t
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Supongamos el caso donde el control solo toma dos valores:
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2 2 21 1
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s a x g x u t
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x a x b
EL PROBLEMA ES NO LINEAL EN EL CONTROL !!!!!
EL PROBLEMA PUEDE NO SER CONVEXO!!!! h(u) ES COERCIVO!
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Análisis del problemaAnálisis del problema
Para abordar el problema de no linealidad y el de no convexidad, utilizamos una relajación en medidas de probabilidad.
Espacio de control
(Lineal – Convexo en medidas de probabilidad)
)(P
1
0
1
, ,
. . ( , , ) ( )
( ) ( ) 0
i i i
i i i i
i
Min f x t d dt
s t x g x t d
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ff
co(co()) fd
Obtenemos un problema definido Obtenemos un problema definido en la envoltura convexa del en la envoltura convexa del espacio de control.espacio de control.
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Análisis del problemaAnálisis del problema
La convexificación se realiza mediante distribuciones de probabilidad, y a su vez se discretizan por los momentos algebraicos.
N
ii ucuf0
)()(
N
iimcduf0
)(
mmii: Momentos: Momentos
)()( comi
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Análisis del problemaAnálisis del problema
CARACTERIZACIÓN DE MOMENTOS:
0
21
32
1321
210
NNN
N
N
mmm
mm
mmmm
mmmm
mH
Hankel Semidefinida PositivaProblema de control óptimo con forma lineal para el control con una familia convexa de controles m co()
,0
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0
min
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M
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s t x d x t m t
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x a x b
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 11
Modelo:
x
y
S(x)
L
)(sin
cos
xSVy
Vx
Se trata de minimizar la energía del sistema y la cantidad que se aleje de la horizontal
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Minimización de energía cinética (Corriente en y):
Lxyx
xSVy
Vxas
dtyxMint
)1(0)0(0)0(
)(sin
cos..
0
22
PROBLEMA PROBLEMA DE CONTROL DE CONTROL NO LINEALNO LINEAL
MÉTODO MÉTODO CLÁSICO CLÁSICO
(HAMILTON(HAMILTON))
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 11
)(sincos 221
22
xSpVpVpyxH
apgH T
0
u
Hx
Hp Principio del mínimo de Principio del mínimo de
PoyntriaguinPoyntriaguin
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xp
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4
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2
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1
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1
RUNGE-KUTTA 4RUNGE-KUTTA 4toto ORDEN ORDEN
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 1 – Método clásico1 – Método clásico
t vs X t vs t vs X t vs YY
X vs X vs YY
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 1 – Método clásico1 – Método clásico
Lxyx
xSVy
Vxas
dtyxMint
)1(0)0(0)0(
)(sin
cos..
0
22
PROBLEMA DE PROBLEMA DE CONTROL NO CONTROL NO
LINEALLINEAL
RELAJACIÓN RELAJACIÓN CONVEXACONVEXA
PROGRAMA PROGRAMA MATEMÁTICO MATEMÁTICO
CONVEXOCONVEXO
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 1 – Método clásico1 – Método clásico
Lxyx
xVy
Vxas
dtyxMin
)1(0000
1
..
22
22
Base trigonométrica
Matriz de TOEPLITZ semidefinida positiva
1
)(
)(
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0
1
1
11
01
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m
mimag
mreal
mm
mm
mm
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 1 – Nueva propuesta1 – Nueva propuesta
t vs X t vs X t vs t vs YY
X vs X vs YY
t vs Xt vs X
t vs Yt vs Y
COMPARACION CON EL MÈTODO HABITUAL
i
iii x
xxe
0758.00555.0
1184.001047.022
YX
YX
Estimación del Error
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 1 – Nueva propuesta1 – Nueva propuesta
Lxyx
xSVy
ySVxas
dtyxMint
)1(0)0(0)0(
)(sin
)(cos..
0
22
Minimización de energía cinética (Corriente en x, y):
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
x
y
L
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 22
PRINCIPIO DEL PRINCIPIO DEL MÍNIMO DE MÍNIMO DE
POYNTRIAGUINPOYNTRIAGUIN
1222
1221
222
22
22
22
22
pyV
p
pyV
p
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y
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RUNGE-KUTTA 4RUNGE-KUTTA 4toto ORDENORDEN
2
1
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2
px
py
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
x
y
L
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 2 – Método clásico2 – Método clásico
0)0(00
1
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22
0
22
yLtxx
xVy
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BASE DE LA RELAJACIÓN: {1,eit,e-it}
Lxyx
xVy
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Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 2 – Nueva propuesta2 – Nueva propuesta
t vs X
t vs Y
20 puntos
30 puntos
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 2 – Nueva propuesta2 – Nueva propuesta
# puntos
20 puntos
0.1315 0.0542 0.1432 0.0595
30 puntos
0.0961 0.0385 0.1019 0.0439
40 puntos
0.0773 0.0301 0.1010 0.0366
X 2X Y 2
Y
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 2 – Nueva propuesta2 – Nueva propuesta
Ltxyx
xxSxSVy
Vxas
dtyMint
)(0)0(0)0(
)()(sin
cos..
0
2
xp
pp
Vpy
pp
Vpx
2
22
21
2
22
21
1
Lxyx
xVy
Vxas
dtyMint
)1(0)0(0)0(
1
..
22
0
2
EDOs
NO LINEALES
PROBLEMA DE CONTROL CONVEXO
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 3 – Minimizar trayectoria3 – Minimizar trayectoria
t vs t vs XXt vs Yt vs Y
X vs YX vs YCOMPARACIÓN
CON PMP
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 3 – Minimizar trayectoria3 – Minimizar trayectoria
# puntos
20 puntos
0.0765 0.0201 0.1012 0.0435
30 puntos
0.0645 0.0123 0.0812 0.0329
40 puntos
0.0443 0.011 0.0810 0.0387
X 2X Y 2
Y
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 3 – Minimizar trayectoria3 – Minimizar trayectoria
Ejemplos polinomiales 1 – Ejemplos polinomiales 1 – Seguimiento de Seguimiento de trayectoriatrayectoria
12
0
2
10 |
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(0) 0
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Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
t vs X
Control signal
Ejemplos polinomiales 1 – Ejemplos polinomiales 1 – Seguimiento de Seguimiento de trayectoriatrayectoria
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
* * ?k
km u
Ejemplos polinomiales 1 – Ejemplos polinomiales 1 – Seguimiento de Seguimiento de trayectoriatrayectoria
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos polinomiales 2Ejemplos polinomiales 2
10
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0
2
|
. .
(0) 0
Min x t dt
s t x u ux x
x
10
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1 2
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0
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11
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(0) 0
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Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
t vs X
Control signal
Ejemplos polinomiales 2Ejemplos polinomiales 2
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
12 2
0
22 2
min
. .
1
0 0 0 0
u tx t y t dt
s t x u
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x y
12 2
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1
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1
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0 0 0 0
m xx t y t dt
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m t m t
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m t m t m t
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2 22 2
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1
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min 1 12
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Ejemplos polinomiales 3 – Ejemplos polinomiales 3 – Sistema multivariableSistema multivariable
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
* * ?k
km u
Ejemplos polinomiales 3 – Ejemplos polinomiales 3 – Sistema multivariableSistema multivariable
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
12
0
22
min 1
. .
0 0
1
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12
2 4
0
1
min 1 2 1
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0 0
u tm m x t dx x
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NO EXISTE NO EXISTE MINIMIZADOR!!MINIMIZADOR!!
Ejemplos polinomiales 4 – Ejemplos polinomiales 4 – Existencia de minimizadorExistencia de minimizador
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
t vs X
t vs Y
Control signal
Ejemplos polinomiales 3 – Ejemplos polinomiales 3 – Sistema multivariableSistema multivariable
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Casos de aplicación Casos de aplicación discretodiscretoPlanificación de trayectorias.Planificación de trayectorias.
Punto meta
Posibilidades de movimiento:
1. Arriba
2. Abajo
3. Quieto
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Casos de aplicación Casos de aplicación discretodiscreto
2
0
1
min
. .
1,0
N
ii
i i i
i
i i
x
s t x x u
u
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Formulación:
2
0
1 1,
6, 2,
1, 2, 3,
1, 2, 3, 4,
2, 3, 4, 5,
3, 4, 5, 6,
min
. .
2 0
1
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Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Casos de aplicación Casos de aplicación discretodiscreto
Trayectoria Control
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Casos de aplicación Casos de aplicación discretodiscreto
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Casos de aplicación Casos de aplicación discretodiscretoControl de un motor DC.Control de un motor DC.
R: Resistencia eléctrica del motor.
I: Momento de Inercia
L: Inductancia
K: Torque
i: Corriente
w: Velocidad Angular
Solo acepta tres voltajes a la entrada (+1, -1, 0)
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Casos de aplicación Casos de aplicación discretodiscreto
22 2 2
0
0 0
min
1. .
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0 0
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Formulación I:
2
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min
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2 0
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L LKi
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m m m m
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Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Casos de aplicación Casos de aplicación discretodiscreto
Corriente Velocidad angular
Control
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Casos de aplicación Casos de aplicación discretodiscreto
22
0
0 0
min
1. .
5,0
0 0
in
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Rs t i i V
L LKi
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2
0
1
6 2
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
min
1. .
25 0
1
0
m t dt
Rs t i i m
L LKi
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m m m m
m m m m
Formulación II:
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Casos de aplicación Casos de aplicación discretodiscreto
Corriente
Velocidad angular
Control
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Los resultados con las técnicas de relajación son buenos y poseen una buena exactitud.
El problema transformado es convexo en el control, por lo cual posee solución (Cesari, 1983)
La señal de control se obtiene a partir del momento central en la serie de momentos de la convexificación.
Aplicaciones fuertes en economía. Próxima meta: Controlar sistemas MIMO (Multiple
Input Multiple Output)
Conclusiones y trabajo Conclusiones y trabajo futurofuturo
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.