Método de Euler

Fsica Computacional I

Sesion 04

17 de mayo de 2015

Reporte de la sesion

En esta sesion seguimos practicando mas con las aplicaciones del metodo de Euler paraproblemas fsicos, en este caso fueron relacionados con la 2da ley de Newton.Aunque no era motivo de la sesion, agregue las soluciones analticas, mas que nada para co-rroborarme a mi misma que mis programas arrojaban calculos correctos. Pero me encontre ensituaciones en las cuales mi teora siempre sala incorrecta, por lo cual esta sesion tambienme ayudo a practicar mi conocimiento respecto a planteamiento de problemas medianteecuaciones diferenciales y su solucion.Puedo decir que esta fue de mis sesiones preferidas y tambien la que mas me llevo tiem-po entender y resolver. Por lo que espero se note mi esfuerzo en presentar un reporte bienestructurado y enriquecido de mis contratiempos y el aprendizaje que me brindo.

Problema a)

La fuerza sobre una partcula de 5.0 kg esta dada por Fx = (20N/m)x Fy = (20N/m)y.Muestra su movimiento en la grafica xy. Usa una posicion inicial de xo = 2.0m yo = 0.0m yuna velocidad inicial de vox = 0.0m/s voy = 4.0m/s. Prueba varios tamanos de paso para thasta que encuentres una cuya trayectoria inicial devuelve al objeto a 1.0 cm de su posicioninicial.Que forma tiene el movimiento?Cuanto tardo en retornar a su punto de partida?Que sucede con la trayectoria si utilizas en cambio voy = 3.0m/s?

ObservacionesEl problema nos dice que la partcula es afectada por una fuerza Fx y Fy. Si sustituimos losvalores 20 N/m por dos variables distintas k y c nos resulta:

Fx = kx y Fy = cy

Y podemos ver que estas son similares a la fuerza necesaria para estirar un resorte descritaspor la ley de Hooke. Pero como son de signo contrario, entonces Fx y Fy son las fuerzasque tienden a regresar al resorte a su posicion inicial (fuerzas de restitucion) y k y b sonlas constantes de fuerza de cada uno. Esto nos hace pensar que la partcula del problemaesta atada a dos resortes de misma constante pero las diferenciare entre s en el programa.Es facil decirlo una vez supe de que se trataba el problema, pero honestamente no le en-tenda y mucho menos a la parte de encontrar un tamano de paso cuya trayectoria regresaraal objeto 1cm de su posicion inicial.

1

Fsica Computacional I Sesion 04

Especificacion

1. Encontrar las ecuaciones que describen el movimiento.

2. Integrar dos veces mediante algun metodo para encontrar la trayectoria de la partcula

3. Encontrar un ancho de paso que devuelva a la partcula 1 cm de su posicion inicial.

4. Graficar x(t) y y(t) y observar la forma de la trayectoria.

5. Obtener el tiempo en el que la partcula retorno a su punto de partida.

6. Cambiar los valores iniciales y ver que sucede.

Solucion analtica

1. Encontrar las ecuaciones que describen el movimiento:Aplicamos segunda ley F = mdv

dt:

dvxdt

= kx

mydvydt

= by

m

2. Integrar por primera vez para obtener las velocidades instantaneas en x e y:Como podemos ver, son identicas a las ecuaciones de un movimiento armonico simple,como dije arriba, se trata de una partcula atada a dos resorte, por lo que era deesperarse obtnerlas.Para encontrar la soluciones pensamo en una funcion cuya segunda derivada sea iguala s misma pero de signo contrario y llegamos a que las funciones que cumplen estacondicion son las funciones seno y coseno:

d(sen x)

dx= sen x y

d(cos x)

dx= cos x

Entonces toda la familia de soluciones esta dada por la suma de estas dos:

x = Asen(t) +Bcos(t)

2 =k

m

A y B son las constantes para las condiciones. Para t = 0, x = B iniciales. Derivandoy haciendo t = 0 dx/dt = A. La solucion tambien puede escribirse as:

x = Asen(t+ )

Para t = 0, x = A sen y dx/dt = A cos(). As A y reemplazan a A y B.

3. La partcula retorno a su punto de partida en un tiempo T = 2pi/ = 2pi

mk= pi

Mara Fernanda Moreno Lopez 2


Solucion numerica

1. Implementar el metodo de Euler para integrar y calcular las velocidades:

vy = voy +dvydt

h

Pseudocodigo

!CALCULAR LAS POSICIONES EN X

x = x_o + (x_yo dt * h)

x_o = x

!CALCULAR LAS VELOCIDADES EN Y

v_y = v_yo + (dv_y dt * h)

v_yo = v_y

2. Despues se integra por segunda vez para tener las posiciones en esos mismos tiempos.

y = yo + voyh

Pseudocodigo


x = x_o + (v_xo dt * h)

x_o = x

!CALCULAR LAS POSICIONES EN Y

y = y_o + (v_yo dt * h)

y_o = y

3. Encontrar un ancho de paso que devuelva a la partcula 1 cm de su posicion inicial.Para esto utilice una condicion que calculara la distancia entre la posicion inicial ycada una de las posiciones de la partcula calculadas.Mostrar el tiempo en el cual la distancia d sea cercana a 0.1: 0.01 6 d 6 0.0101Probe anchos de paso h = 0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001, 0.0005, 0.0001, 0.00001.Hasta 1E4 mi programa detecto que la partcula haba pasado 1cm cerca de su posicioninicial.

4. Graficar x(t) y y(t) para distintos anchos de paso



-1.2e+06

-1e+06

-800000

-600000

-400000

-200000

0

200000

400000

-600000 -500000 -400000 -300000 -200000 -100000 0 100000 200000

Trayectoria

h = 0.5

-15

-10

-5

0

5

10

15

-15 -10 -5 0 5 10 15

Trayectoria

h = 5E-2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trayectoria

h = 1E-2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Trayectoria

h = 5E-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Trayectoria

h = 5E-4

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Trayectoria

h = 1E-5

Figura 1: Trayectorias con distintos anchos de paso para la particula.

La forma de la trayectoria forma una circunferencia.

5. Hasta 1E5 obtuve el calculo aproximado para el tiempo en el que esto suceda.T = 3.1429 < t < 3.1480 s

6. Modificando la velocidad inicial en y a 3 m/s obtuve esta trayectoria. La trayectoriaahora adquiere una forma de elipse.



-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Trayectoria

Figura 2: Trayectoria con voy= 3m/s.

ObservacionesEn este problema observe como las soluciones numericas tienen un margen de error nodespreciable. Si usaba un ancho de paso no lo suficientemente optimo, la partcula nuncaregresaba a su punto de partida segun los datos calculados. Al hacerlo mas pequeno, elerror fue disminuyendo y el dibujo de la trayectoria fue mejorando hasta obtener un circulobien definido. Si le pedia al programa que imprimiera el tiempo en el que la posicion de laparticula cumplia esa condicion se corroboraba este resultado con el valor del periodo teoricoque daba igual al valor de pi.

Problema b)

Desde un risco a 300m metros del suelo se arroja verticalmente hacia arriba una pelotade 150 g, con una rapidez inicial de 25m/s. En su descenso no toca el borde del risco ycontinua cayendo al suelo. Ademas de la fuerza de gravedad, la pelota esta sujeta una fuerzade resistencia del aire dada por D = kvy, con b = 0.015 kg/sa) Cuanto dura la pelota en vuelo?b) Cual es la rapidez poco antes de caer al suelo?c) Cual es la razon de esta rapidez a su rapidez terminal?



Figura 3: Diagrama de un tiro vertical. Problema b)

Especificacion

1. Obtener la ecuacion que describe el movimiento.

2. Integrar utilizando algun metodo.

3. Calcular el tiempo de vuelo.

4. Calcular velocidad con la que llega al suelo.

5. Obtener la razon entre la velocidad final de cada y la velocidad terminal.

Solucion Analtica

1. Se parte de las fuerzas que actuan sobre el sistema:

Fy = mg bvy

Con esto obtenemos la ecuacion diferencial que nos describira el movimiento de la pe-lota.Para llegar a una solucion analtica al problema, se toma la ecuacion diferencial obte-nida a partir de 2da ley

mdvydt

= mg bvy

La rapidez terminal de un objeto que cae es debida a la resistencia del aire. Cuandovo = 0m/s, la fuerza de resistencia del aire es 0N. Mientras aumenta la velocidad,esta resistencia aumenta, hasta alcanzar el mismo valor que la fuerza de la gravedad.mgbvy=0. En este punto vy alcanza su valor maximo y no disminuye ya que la fuerzatotal es 0.

vt =mg

b



Se sustituye vtm

b

dvydt

= vt vy

2. Se integra, tomando como lmites de integracion el valor inicial de voy a vy y de t = 0a cualquier t vy

voy

dvyvt vy

=b

m

t0

dt

La solucion a la integral es:

ln |vt vyvt vyo

| =b

mt

y se obtiene para vyvy = (voy vt)e

bmt + vt

Se obtiene la posicion al integrarla de nuevo:

y =m

b(e

bmt)(vt vyo) + vtt+ yo

*Esta no es la solucion, ir a las observaciones

ObservacionesPara resolver la ecuacion diferencial, me encontre con que suelen tomar como positivola direccion de mg, esto me causo mucha confusion. Mi programa corre con la conven-cion de la fuerza ejercida por la gravedad hacia abajo como negativa, pero los calculosanalticos la toman como contraria.De antemano se que cuando la pelota sube, la velocidad disminuye hasta llegar a 0 m/sen la altura maxima y el tiempo de vuelo sera el tiempo en que tarda la pelota en llegara una y = 0m. Al caer, la velocidad tendra un valor lmite, no se incrementara de formalineal. Y la posicion, se incrementara de manera exponencial, pero se linealizara cadavez mas.Si tomo la ecuacion obtenida para la velocidad en funcion del tiempo, la igualo a 0y la resuelvo para t, obtendre que el tiempo en que tarda en llegar a su altura maxi-ma. Utilizando este valor, puedo utilizarlo en la ecuacion de la posicion en funcion deltiempo, se calcula la altura maxima.

t = m

bln|

vtvoy vt

| = 2.27s

y =m

b(1 e

bmt)(vt + vyo) vtt+ yo = 327m

*Le busque mucho a esta solucion y no pude llegar a ella por mas que lo intente.Sabra que artilugio matematico se utiliza aqu. La solucion a la que yo haba llegadono dibuja correctamente la grafica, por lo que la busque en otro sitio.Hasta aqu todo va bien, pero en el momento en que se pretende despejar el tiempo parauna posicion en y = 0m, el asunto se complica. Honestamente no se como despejar la tsiendo que esta siendo parte de un exponente y a la vez del producto en otro termino.Es aqu cuando los metodos numericos nos son muy utiles.



3. Para obtener la razon entre la velocidad con la que cae al suelo y la velocidad terminal,se calcula esta segunda y se compara con la velocidad obtenida.

vt =mg

b= 98.1m/s2

Solucion numerica

1. Implementar el metodo de Euler para integrar y calcular las velocidades:

vy = voy +dvydt

h

Pseudocodigo



v_yo = v_y

2. Despues se integra por segunda vez para tener las posiciones en esos mismos tiempos.

y = yo + voyh

Pseudocodigo


y = y_o + (v_yo dt * h)

y_o = y

3. Para observar el comportamiento del objeto al tirarlo, aplique el metodo de Euler paraun intervalo de tiempo muy grande y grafique los resultados para vy y y. Las graficasse presentan en la figura 4.

4. Busque el dato en el que la posicion y fuera muy cercana a 0 para obtener la velocidadcon la que la pelota golpeo el suelo y el tiempo de vuelo:tT = 11.72 s, vfy = 59.96 m/s

5. Aplique el metodo de Euler de nuevo para el intervalo mas pequeno de 0 a 12, paratener un acercamiento de la grafica de los valores reales que tuvo la pelota en el aireantes de caer al suelo. Esa es la grafica de la figura 5.

6. Calcule la velocidad terminal para compararla con la velocidad final vt = 98.1 m/so aproximadamente 1.6 vfy

ObservacionesEste fue el primer problema de la sesion que hice y fue una forma muy burda de resolverlo,por lo que despues hice las siguientes modificaciones:



Utilice condiciones para que el programa automaticamente imprimiera en pantalla laaltura maxima, el tiempo cuando llego a ella, la velocidad de cada y el tiempo devuelo.

Condicion para vy muy cercana a 0: 0.1 < v < 0.1Para encontrar la altura maxima y el tiempo transcurrido:327.165 m, 2.27 s

Condicion para y igual o menor que 0: y < 0Para encontrar la velocidad con la que llego al suelo y el tiempo transcurrido: 59.95m/s, 11.71 s

Tiro vertical

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Velocidad

-9000

-8000

-7000

-6000

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Posicion

Figura 4: Grafica de velocidad vs tiempo en un lapso de tiempo largo

Tiro vertical

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 2 4 6 8 10 12 14

Velocidad

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

0 2 4 6 8 10 12 14

Posicion

Figura 5: Grafica de velocidad vs tiempo en un lapso de tiempo de 0 a 12 seg. Problema b)



Problema c)

La velocidad de un proyectil sujeto a la resistencia de aire se aproxima a una velocidadterminal. Supon que la fuerza neta es mg bv , donde b es el coeficiente de resistencia alavance y se considera que el eje y es positivo en direccion ascendente. En la velocidad Ter-minal vT desaparece la fuerza neta, as que vt = -(mg/b). Note que no tiene una componentehorizontal. El proyectil finalmente cae hasta el suelo.Utiliza un programa de computadora o una hoja de calculo para vigilar un proyectil quese acerca a la velocidad terminal. Considera un proyectil de 2.5kg lanzado con una velocidadinicial de 150m/s , en un angulo de 40 sobre la horizontal. Supon que el coeficiente de resis-tencia al avance sea b = 0.50kg/s . Integra con metodos numericos la segunda ley Newton,y presenta los resultados por cada 0.5s de t=0, el tiempo del lanzamiento, al tiempo en queel componente y de la velocidad es 90% de vt. Grafica vx(t) y vy(t) en la misma grafica.Observa que vx se acerca a 0, como vy se aproxima a vt.

Figura 6: Diagrama de fuerzas para un tiro parabolico. Problema c).

Especificacion

1. Obtener las ecuaciones de movimiento.

2. Integrar mediante algun metodo para obtener las velocidades de cada.

3. Calcular velocidad terminal y el 90% de esta y obtener el tiempo en el que el proyectiladquiere ese velocidad.

4. Graficar vx(t)y vy(t).

Solucion analtica

1. Obtener las ecuaciones que describen el movimiento.La suma de fuerzas involucradas se separan por fuerzas horizontales y verticales:

Fx = bvcos()



Fy = mg bvsen()

Separando las componentes x e y de la velocidad:

vx = vcos()

vy = vsen()

Aplicando 2da ley a ambas ecuaciones:

mdvxdt

= bvx

mdvydt

= mg bvy

2. Solucion analtica integrando por separacion de variables:Se resuelve para vx: vx

vox

dvxvx

= b

m

t0

dt

ln|vxvox

| = b

mt

vx = e

bmtvox

Se resuelve para x:

vx =dx

dt xxo

dx =

t0

ebmtvoxdt

x = m

be

bmtvox + xo

Se resuelve para vy(Utilizando la solucion del problema anterior):

vy = (voy vt)e

bmt + vt

y =m

b(1 e

bmt)(vt + vyo) vtt + yo

3. Calcular velocidad terminal y el 90% de esta y obtener el tiempo en el que el proyectiladquiere esa velocidad.



Solucion numerica

1. Solucion numerica integrando por metodo de Euler:

vx = vox +dvxdt

h

vy = voy +dvydt

h

Pseudocodigo

!CALCULAR LAS VELOCIDADES EN X

v_x = v_xo + (dv_x dt * h)

v_xo = v_x



v_yo = v_y

2. (Opcional) Despues se integra por segunda vez para tener las posiciones en esos mismostiempos.

x = xo + voxh

y = yo + voyh

Pseudocodigo


x = x_o + (v_xo dt * h)

x_o = x


y = y_o + (v_yo dt * h)

y_o = y

3. Calcular velocidad terminal y el 90% de esta y obtener el tiempo en el que el proyectiladquiere esa velocidad.Para esto utilice un condicion que detuviera el calculo de los valores de vy cuando vyse acercara o fuera igual a la velocidad de deteccion del proyectil igual al 90% de lavelocidad terminal.Velocidad terminal: 49.05 m/sVelocidad de deteccion: 44.145 m/sTiempo en el que se detecto: 16.94 s

4. Graficar vx(t)y vy(t) 7.



-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

velo

cida

d(m/s)

tiempo(s)

velocidades

vx(t)vy(t)

049

vx teoricovy teorico

Figura 7: Grafica de las componentes de la velocidad del proyectil del problema c)

5. (Opcional) Graficar x(t)y y(t) 8.

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 100 200 300 400 500 600

y(t)

x(t)

trayectoria

Figura 8: Grafica de la trayectoria del proyectil del problema c)



-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

velo

cida

d(m/s)

tiempo(s)

velocidades

vx(t)vy(t)

0-49

vx teoricovy teorico

Figura 9: Grafica de las velocidades del problema c) comparando con las teoricas *o algoas*

ObservacionesBueno,como se puede ver en la figura 9 siempre tengo problemas con mis resultadosteoricos. Aqu se ilustra muy bien por que son muy convenientes los metodos numericospara quienes como yo se les dificultan los metodos analticos.Despues de MUCHOS intentos, encontre que tena la calculadora en radianes y misolucion era de signo contrario, por no considerar correctamente el sentido de las fuerzasdesde el principio.En el reporte correg todos los errores, pero haba pasado por alto la consideracion demg de signo positivo por lo que la solucion para vy era de signo opuesto. La solucionpara y tambien me resultaba distinta.La grafica de la trayectoria la deje tomando mg por que se aprecia mejor la trayectoriadel proyectil con esta convencion de signos.

Bibliografa

Sears-Zemanksy, Fsica para universitarios vol.1, 12va edResnick-Halliday, Fsica vol.1, 5ta edKittel, Knight, Ruderman, berkeley physics course-volumen 1: mecanica, 2da ed


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