Metodo de Fermat

31REVISTA LASALLISTA DE INVESTIGACIÓN - VOL. 2 No. 2

Artículo original

El método de máximos y mínimos de Fermat

Andrés de la Torre Gómez1/ Carlos Mario Suescún Arteaga2 /Sergio Alberto Alarcón Vasco3

Grupo de Investigación Aplicada en Medio Ambiente GAMA y Semillero de investigación en Gestión yMedio Ambiente SIGMA.

Fermat´s maximums and minimums method

____________________________1 Doctor en Ciencias Matemáticas, Magíster en Ciencias Matemáticas y Matemático, coordinador del grupo de Educación Matemática e

Historia de la Universidad de Antioquia-EAFIT. / 2 Magíster en Educación Matemática y Licenciado en Educación Matemática y Física.Profesor de la Facultad de Ingenierías Corporación Universitaria Lasallista. / 3Magíster en Educación Matemática y Matemático. Profesordel Instituto Tecnológico Metropolitano de Medellín y profesor de cátedra de la Universidad de Antioquia

Correspondencia: Carlos Mario Suescún Arteaga. e-mail: [email protected] de recibo: 7/11/2005; fecha de aprobación: 21/02/2006

Resumen:

Introducción: En el siglo XVII, Fermat desarrolla elprimer método general para la determinación demáximos y mínimos, en la memoria Methodus addisquirendam maximan et miniman et detangentibus linearum curvarum, se trata de un pro-cedimiento puramente algorítmico desprovisto detodo fundamento demostrativo, en el cual Fermatintroduce la técnica de adigualdad, que había sidoempleada por Diofanto en la Escuela de Alejandría.La forma vaga y lacónica como Fermat presenta elMethodus, ha dado pie a algunas interpretacionesen términos de Cálculo infinitesimal, una de lascuales afirma que en el Methodus subyace el cálcu-lo una derivada que se iguala a cero. Objetivo: Rea-lizar un estudio detallado de la forma como Fermatexplica en el Methodus su método de máximos ymínimos y discutir las anacrónicas interpretacio-nes que han dado algunos estudiosos de su méto-do. Métodos: Con base en los textos referenciadosen la bibliografía se hace un escrutinio históricocuyo fin primordial es estudiar y analizar el métodoexpuesto por Fermat. Resultados: Se logra hacerun estudio detallado del método empleado porFermat, se aplica el método para la obtención deun máximo en el problema de la división del seg-mento y por último se analizan las interpretacionesque de el han dado algunos estudiosos del temasegún la mirada de hoy. No obstante, afirmacionescomo las expuestas por dichos estudiosos del temadeben tomarse con cautela, ya que fuerzan el méto-do expuesto por Fermat.

Palabras clave: Fermat. Máximos. Mínimos.Adigualdad. Methodus. Derivada. Cálculoinfinetisimal. Tangente.

Abstratc

Introduction: In the XVII Century, Fermat d/evelopedthe first general method to determine the minimumsand maximums, in the memory Methodus addisquirendam maximan et miniman et detangentibus linearum curvarum, being a purelyalgorithmic procedure with no demonstrativefoundation at all, and in which Fermat introducesthe adequality technique, previously used byDiofantus in the Alexandria School. The vague andlaconic way in which Fermat showed the Methodushas generated some interpretations underinfinitesimal calculus terms, and one of them saysthat in the Methodus sub lies the calculation of aderivation that equals zero. Objective: To make adetailed study of the way Fermat explains hismaximums and minimums method in the Methodusand discusses the anachronism interpretationsgiven by some experts about his method. Methods:Based on the texts mentioned in the bibliographywe make a historical scrutiny with the main objectiveof studying and analyzing the method showed byFermat. Results: The detailed study is made, themethod is applied to obtain a minimum in theproblem of the segment division and theinterpretations given by some experts are analyzedunder the current standards. These interpretationsmust be seen carefully, because they force themethod showed by Fermat.

Key words: Fermat. Maximums. Minimums.Adequality. Methodus. Derivation. Infinitesimalcalculus. Tangent.

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Introducción

Hacia el año 1636 circuló en Francia una memo-ria de Fermat titulada Methodus ad disquirendammaximam et minimam ("Método para investigarmáximos y mínimos"), cuya importancia radicaen que, además de ser el primer método generalconocido para determinar máximos y mínimos,presentaba la idea de dar un incremento a ciertamagnitud, la cual tomaba así el aspecto de unavariable. Por su aporte al desarrollo del conceptode límite, analizaremos este texto y algunas in-terpretaciones anacrónicas que se le dan hoy,según las cuales en el Methodus subyace el cál-culo de una derivada que se iguala a cero.

A continuación transcribiremos parte de la me-moria del Methodus, lo cual se hará respetandola secuencia del contenido, pero separándolo enpárrafos para facilitar su estudio y análisis. Fermatse expresa con estas palabras:

"Toda la teoría de la investigación de máximos ymínimos supone la consideración de dos incóg-nitas y la única regla siguiente:

1. Sea "a" una incógnita cualquiera del proble-ma (que tenga una, dos o tres dimensiones,según convenga al enunciado).

2. Se expresará la cantidad máxima o mínimapor medio de "a" en términos que pueden serde cualquier grado.

3. Se sustituirá a continuación la incógnita origi-nal "a" por " a+e", y se expresará la cantidadmáxima o mínima por medio de "a" y "e", entérminos que pueden ser de cualquier grado.

4. Se "adigualarán", para hablar como Diofanto,las dos expresiones de la cantidad máxima omínima.

5. Se eliminarán los términos comunes de am-bos lados, tras lo cual resultará que a amboslados habrá términos afectados de "e" o deuna de sus potencias.

6. Se dividirán todos los términos por "e", o poralguna potencia superior de "e", de modo quedesaparecerá la "e" de al menos uno de lostérminos de uno cualquiera de los dos miem-bros.

7. Se suprimirán a continuación todos los térmi-nos donde todavía aparece la "e" o una desus potencias y se iguala lo que queda, obien si en uno de los miembros no queda nadase igualarán, lo que viene a ser lo mismo, lostérminos afectados con signo positivo a losafectados con signo negativo.

8. La resolución de esta última ecuación dará elvalor de "a", que conducirá al máximo o míni-mo, utilizando la expresión original." 1

Fermat emplea el simbolismo literal introducidopor Vieta, que consistía en el uso exclusivo deletras mayúsculas: Las vocales, para las incóg-nitas, y las consonantes, para las cantidadesconocidas. Es importante aclarar que al transcri-bir parte de la memoria del Methodus respeta-mos el texto como lo tradujo González Urbaneja,el cual emplea letras minúsculas.

La idea de "hacer adiguales" dos expresiones,como las mencionadas en la etapa 4 de la reglaanterior, proviene de Diofanto. Boyer entiende la"adigualdad" como una pseudo-igualdad que lle-ga a ser igualdad cuando E se hace cero, e intro-duce el vocablo inglés pseudo-equality para tra-ducir el término latino adaequalitas, que es elusado por Fermat en su texto.2 Andersen, por suparte, interpreta "hacer adiguales" dos expresio-nes con el significado de hacerlas tan aproxima-damente iguales como sea posible.3

En algunos ejemplos, resueltos por Fermat, lacantidad máxima ó mínima en consideracióncontenía una raíz cuadrada. En esas situacio-nes, Fermat elevaba al cuadrado la adigualdadantes de aplicar las últimas etapas de su regla y,en particular, al aplicar la etapa 6, dividía todoslos términos por una misma potencia de E, es-cogiendo ésta de manera que al menos uno delos términos resultantes no contuviera E.

Métodos

Se hace un escrutinio histórico con el fin de es-tudiar y analizar el método expuesto por Fermatpara la determinación de máximos y mínimos.Dicho método es aplicado en el problema de ladivisión del segmento y permite observar la for-


ma como Fermat introduce la técnica de"adigualdad". Dicha técnica permite ignorar osuprimir aquellos términos que aún contengan lacantidad E, y finalmente posibilita la determina-ción de un máximo. Por último se analizan lasinterpretaciones que de el han dado algunos es-tudiosos del tema según la mirada de hoy. Lamayor parte de la información aquí suministradase obtuvo en los textos referenciados en la bi-bliografía.

Resultados

El problema de la división del segmento

Fermat escogió, para ilustrar su método, el pro-blema de dividir un segmento dado en dos partesde tal manera que el producto de las longitudesde éstas sea un máximo. Sea B, la longitud delsegmento dado y A, la de la primera parte, comose muestra en la figura 1.

Es necesario hacer máxima el área del rectán-gulo de la figura 2, es decir, la cantidad A (B-A).

Figura 1

Figura 2

La solución del problema era bien conocida: el

valor 2BA = hace que la cantidad A(B-A) sea un

máximo.

El desarrollo paso a paso, apelando a la reglapropuesta por Fermat, es como sigue:

1. Se identifica con A la incógnita del problema.

2. La cantidad máxima es A(B-A), la cual, desa-rrollada en potencias de A, da:

AB - A2 (1)

3. Se sustituye, en la cantidad A(B-A), A porA+E en (1), con lo cual obtenemos (A+E)[B-(A+E)2 ] , que, desarrollada en potencias de Ay E, da:

AB + BE - 2AE - A2 - E2 (2)

4. Se hacen "adiguales" las dos expresiones dela cantidad máxima, dadas en (1) y (2), así:

A

B-A

B-AA

P

B


AB + BE - 2AE - A2 - E2 ~ AB - A2

donde el símbolo ~ representa la adigualdad.

5. Se eliminan los términos comunes y se ob-tiene:

BE - 2AE - E2 ~ 0

6. Se dividen todos los términos por E para ob-tener:

B - 2A - E ~ 0

7. Se ignoran los términos que aún contenganE, lo que dará:

B - 2A ~ 0

Las cantidades restantes se hacen igualespara llegar a la expresión

B - 2A = 0

8. La resolución de esta última ecuación dará el

valor

A =

, que hace que la cantidad A (B-A)

sea un máximo.

Según explica Fermat en el Syncriseos etanastrophes, que data aproximadamente de 1640,el procedimiento para calcular máximos y míni-mos se le ocurrió al observar que, si el segmentode longitud B es dividido por un punto P en dospartes de longitudes A y B-A, entonces hay engeneral dos posiciones de P para las cuales elproducto A(B-A) es igual a una cantidad dada

Z. El valor máximo de dicho producto es 4

2B , va-lor para el cual hay solo una posición de P, asaber, el punto medio del segmento dado, talcomo lo había establecido Pappus.

Fermat analiza la ecuación

X (B-X) = Z (1)

la cual tiene dos raíces, que denota por A y E,

cuando z < 4

2B

Haciendo uso de la teoría de ecuaciones de Vieta,Fermat obtiene sucesivamente las expresionesA (B-A) = E (B-E), AB - A2 = EB - E2, BA - BE =A2 - E2 y B(A-E)=(A-E)(A+E). Dividiendo la últimaexpresión por A-E, llega a

B = A+E (2)

Entre más próximo esté Z de 4

2B , la diferenciaentre A y E será menor, y finalmente, cuando

Z= 4

2B , se tendrá A igual a E y, en (2), B=2A ,que es la solución única que da un valor máximodel producto. Así, para hallar la cantidad máximase hace necesario igualar las raíces A y E.

Con el fin de evitar las dificultades de la divisiónpor A-E Fermat decidió tomar las dos raíces de(1) como A y A+E, y dividir por E. Al final, paraigualar las raíces A y A+E, hizo E=0

El recurso de hacer E=0 conduce a los mismosresultados que la instrucción dada por Fermaten la etapa 7 de su regla, en la cual pide ignoraro suprimir aquellos términos que todavía conten-gan a E. Cuando se aplicaba el procedimientode Fermat era de común usanza hacer explícita-mente E=0 al final del proceso, a pesar de queen las etapas iniciales del mismo se pide dividirpor E, lo que exige E≠0. El método funcionabaen la práctica y permitió resolver numerosos pro-blemas de máximos y mínimos, a pesar de laincongruencia que hemos señalado, la cual, aldecir de Andersen, se convirtió en una "espinaclavada en el costado del matemático". 4 Debidoa la eficacia práctica del método de máximos ymínimos y a pesar del defecto que hemos seña-lado, Fermat lo aplicó a la solución de proble-mas de otros campos, como la determinaciónde los centros de gravedad de diferentes figurasgeométricas o la construcción de la tangente auna curva en un punto dado de esta.

Fermat extendió su método también a la óptica:asumiendo que un rayo de luz que pasa de unmedio a otro sigue siempre el camino más rápi-do (lo que hoy se conoce como el principio deltiempo mínimo de Fermat), usó el método paradeterminar el camino en el que la luz emplea elmínimo tiempo. Fermat demostró finalmente quesu principio del tiempo mínimo implicaba la leyde la refracción que Snell había establecido en1619.

Características del método

A continuación resaltamos algunas característi-cas del método de Fermat:


1) El método da una condición necesaria paralos máximos y mínimos, pero esa condiciónno es suficiente y tampoco permite distinguirun máximo de un mínimo.

2) El procedimiento es puramente algebraico yalgorítmico, no geométrico.

3) El método de máximos y mínimos de Fermatno implica, en principio, el concepto de lími-te.

Podría preguntarse cuán cerca estuvo Fermat dela noción de derivada. Obsérvese, en primer lu-gar que, sí en las etapas 2 y 3 denotara la canti-dad máxima ó mínima por f(A) y f(A+E), setendría f(A+E) ~f(A) en la etapa 4. En la etapa 5,se podrían eliminar los términos comunes y po-ner f(A+E) ~f(A)~0. En la etapa 6, se dividiría por

E para obtener ( ) ( )E

AfEAf −+ ~0 En la etapa 7, seeliminarían los términos que todavía contienenE, ó bien haría E=0, y se obtendría la expresión

( ) ( )0=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

EEAfEAf

~ 0

Al resolver, finalmente, la ecuación

0

( ) ( ) 0E

f A E f AE =

+ −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3)

Se obtendrían, los valores de A que correspon-den a máximos ó mínimos de f(A).

Si, inducidos a ello por la mirada de hoy, se in-terpretara la expresión dada por

0

( ) ( )

E

f A E f AE =

+ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

en el sentido de tomar el límite cuando E→0,entonces se tendría

0

( ) ( )lim 0E

f A E f AE→

+ −= (4)

En lugar de (3), y la solución de (4) daría losvalores de A para los cuales f(A) es máximo ómínimo.

Si, con el ánimo de insistir en una notación comola que se emplea hoy, se hiciera A=x y E=∆x, laecuación (4) quedaría

0

( ) ( )lim 0x

f x x f xx∆ →

+ ∆ −=

∆ (5)

Se sabe que, si dicho límite existiera, sería iguala la derivada f’(x) y se tendría la expresión

f ’(x)=0 (6)

Podría afirmarse, entonces, como lo haría unestudiante de hoy, situado en otro contexto teó-rico, que las soluciones de la ecuación (6) danlos valores de x para los cuales f(x) es máximo ómínimo relativo. Afirmaciones como esta se en-cuentran, con frecuencia, en los textos de histo-ria de las matemáticas.

Eves, por ejemplo, dice: Aunque la lógica de laexposición de Fermat deja mucho que desear,se ve que su método es equivalente a estable-cer que

0

( ) ( )lim 0h

f x h f xh→

+ −=

Es decir, que la derivada de f(x) es igual a cero.Este es el método acostumbrado para encontrarlos máximos y mínimos ordinarios de una fun-ción f(x) y a él se refieren a veces nuestros librosde texto elementales como el método de Fermat.5

Más recientemente puede encontrarse en laInternet el siguiente texto que aparece respalda-do por el Ministero dell' Istruzione, dell' Universitáe della Recerca. Laboratorio a distanzaMATMEDIA. Servizio per l' insegnamento /apprendimento della Matematica. Universitá deglistudi di Napoli.

"L'invenzione del calcolo diferénciale

Gli storici non sono concordi nello stabilire "chiper primo" abbia formulato un procedimento chepossa essere considerato la prima forma diderivazione.

C'è chi attribuisce al matematico René Francoisde Sluse (1622-1685), nato nei Paesi Bassi, taleprimato in virtù di una regola, trovata nel 1652,per determinare la tangente ad una curva diequazione f(x,y)=0 con f polinomio. Tale regola,rimasta inedita fino al 1673, può essere cosìformulata: la sottotangente sarà il quoziente


ottenuto ponendo al numeratore tutti i terminicontenenti la y, moltiplicati ciascuno perl'esponente della potenza di y che compare inessa, e ponendo al denominatore tutti i terminicontenenti la x, moltiplicati ciascuno perl'esponente della potenza di x che compare inessa e poi divisi per x. Ciò equivale, diremmooggi, a scrivere yfy/fx, così che la sottotangenterisulta t= ydx/dy, partendo dall'uguaglianza fxdx=-fydy.

C'è chi, invece, risale al già più volte citato Pierrede Fermat che, nel suo trattato Methodus addisquirendum maximam et minimam del 1637,elaborò un metodo brillante per individuare i puntiin cui una funzione assume un valore massimo ominimo. Infatti il matematico confrontò il valoredella funzione f(x) in un certo punto di ascissa xcon il valore f(x+e) in un certo punto di ascissax+e molto vicino ad x. In generale questi duevalori sono diversi, ma nel punto più alto o piùbasso di una curva la loro differenza sarà quasiimpercettibile: pertanto per determinare i punti dimassimo e minimo Fermat uguagliò f(x) a f(x+e).Quanto più piccolo è l'intervallo "e" tra i due puntitanto più la pseudo-uguaglianza si avvicinaall'uguaglianza, per cui, una volta diviso il tuttoper "e", il matematico pose e=0. Questoprocedimento, diremmo oggi, non è niente altroche il calcolo del limite per "e" che tende a 0 delrapporto incrementale

( ) ( )e

xfexf −+

uguagliato a 0: quello che noi a tutt'oggifacciamo!!"6

Presentamos a continuación nuestra versión alcastellano del texto anterior.

"La invención del cálculo diferencial

Los historiadores no están aún de acuerdo enestablecer "quién fue el primero" en formular unprocedimiento que pueda ser considerado la pri-mera forma de derivación.

Algunos le atribuyen al matemático RenéFrancois de Sluse (1622-1685), nacido en losPaíses Bajos, tal primacía en virtud de una regla,hallada en 1652, para determinar la tangente a

una curva de ecuación f(x,y)=0 con f polinomio.Tal regla, inédita hasta finales de 1673, pudo serformulada de esta manera: La subtangente seráel cociente obtenido al poner el numerador entérminos que contengan la y, multiplicando cadauno por el exponente de la potencia de y que allíaparezca, y poniendo el denominador en térmi-nos que contengan la x, multiplicando cada unopor el exponente de la potencia de x que allí apa-rezca y después dividir por x. Esto equivale, dire-

mos hoy, a escribir

y

x

fy

f

de esta manera, la

subtangente resulta

,dxt ydy

= a partir de la igual-

dad fxdx = fydy.

Otros, por el contrario, se remontan al ya muycitado Pierre de Fermat que, en el tratadoMethodus ad disquirendum maximam et minimamde 1637, elaboró un método brillante para locali-zar un punto en el cual una función toma un valormáximo o mínimo. En efecto, el matemático con-frontó el valor de la función f(x) en un cierto pun-to de abscisa x con el valor f(x+e) en un ciertopunto de abscisa x+e muy cercano a x. En gene-ral estos dos valores son distintos, pero en unpunto más bajo o más alto de una curva sus dife-rencias serán casi imperceptibles: Por tanto, paradeterminar los puntos de máxima y mínima,Fermat igualó f(x) a f(x+e). Cuanto más pequeñoes el intervalo "e" entre los dos puntos tanto másla seudo-igualdad se aproxima a la igualdad, porlo cual, una vez dividido todo por "e", el matemá-tico hace e=0. Este procedimiento, diremos hoy,no es otra cosa que el cálculo del límite cuandoe tiende a cero de la relación incremental

( ) ( )e

xfexf −+

Igualado a 0: aquello que todos hoy hacemos!!"

Discusión

No obstante, afirmaciones como las anterioresdeben tomarse con cautela, ya que fuerzan elmétodo expuesto por Fermat y lo interpretansegún la mirada de hoy. Conviene tomar en con-sideración los siguientes aspectos:


1. Fermat no tiene clara la noción de variableindependiente, como se tiene hoy. Él da unsignificado a una ecuación algebraica en dosincógnitas, las cuales concebía como seg-mentos; la primera se mide, a partir de unpunto inicial a lo largo de un eje dado, mien-tras que los segmentos correspondientes querepresentan la otra incógnita siendo determi-nados por la ecuación dada se levantan comoordenadas formando un determinado ángulocon el eje. De esta forma, la geometría desa-rrollada bajo este principio será una geome-tría de ordenadas más que una geometría decoordenadas.

2. Fermat no pensaba en funciones si no en can-tidades. De hecho él habla de "cantidad máxi-ma o mínima", no de una función que debeasumir su valor máximo o mínimo.

3. Para Fermat E no es un incrementoinfinitesimal ni una magnitud pequeña. Las raí-ces de su método de su método de máximosy mínimos se encuentran en el dominio de lofinito algebraico de la teoría de ecuaciones deVieta, y aunque la idea la idea de cambio devariable (transito desde A hasta E) medianteel incremento E se desprende del Methodus.La naturaleza de E como variable algebraicafinita evitó a Fermat en el tema de máximos ymínimos el transito de lo finito a lo infinito.

4. El método no supone inicialmente ningún con-cepto de límite, es puramente algebraico. ParaFermat la E no es que tienda a cero, pues siobservamos la etapa 7 de su regla, él lo quehace es eliminar los términos que aún con-tienen E, ó bien hace E=0. De acuerdo conGonzález Urbaneja7, el verbo latinoevanescere, utilizado por Fermat toma el sig-nificado de desaparecer. Es solo hasta Newtonque este verbo toma el significado matemáti-co de aproximarse a un límite ("razones úni-cas de cantidades evanescentes").8

5. El método en la etapa 6, permite dividir porpotencias superiores de E, cosa que no ocu-rre en la definición actual de derivada.

6. Fermat no hace ninguna referencia a que elmétodo de solo una condición suficiente.

Agradecimientos

Este trabajo se enmarca en el proyecto de inves-tigación "Una metodología alternativa para la en-señanza y el aprendizaje del concepto de lími-te", COLCIENCIAS 1115-1112704, y en la tesis"El obstáculo epistemológico euclidiano en laconstrucción del concepto de tangente" del pro-grama de Maestría en Educación, con énfasisen docencia de las matemáticas, de la Universi-dad de Antioquia en convenio con la UniversidadEAFIT. Tanto el proyecto de investigación comola tesis de maestría aquí, mencionadas fuerondirigidas por el Doctor Andrés de la Torre Gómez,coordinador del grupo de Educación Matemáticae Historia (Universidad de Antioquia - EAFIT),Conciencias 2000.

Referencias bibliográficas

1. GONZÁLEZ URBANEJA, Pedro Miguel. Lasraíces del cálculo infinitesimal en el siglo XVII.Madrid: Alianza Editorial S.A; 1992. p. 143-144.

2. BOYER, CarL B. The History of Calculus andits Conceptual Development ( the Concepts ofthe Calculus). New York: Dover; 1949. p. 156.

3. GRATTAN - GUINNES, I. Del cálculo a la teoríade conjuntos, 1630 - 1910: Una introducciónhistórica. Madrid: Alianza Editorial; 1984. p. 38.

4. GRATTAN - GUINNES, I. Del cálculo a la teoríade conjuntos, 1630 - 1910: Una introducciónhistórica. Madrid: Alianza Editorial; 1984. p. 41.

5. EVES, H. An Introduction to the History ofMathematics. New York: Holt, Rinehart andWinston; 1969. p. 326.

6. LABORATORIO A DISTANZA MATMEDIA.UNIVERSIDAD DE NAPOLI. L´invenzione delcalcolo diferénciale. [Fecha de acceso: 4 demarzo de 2004] URL disponible en: http://1 4 3 . 2 2 5 . 2 3 7 . 3 / A n t o l o g i a /I % 2 0 g r a n d i % 2 0 m o m e n t i /invenzione%20del%20calcolo%20differenziale/invenzione_del_calcolo_differenz.htm

7. GONZÁLEZ URBANEJA, Pedro M. Las raí-ces del cálculo infinitesimal en el siglo XVII.Madrid: Alianza Editorial S. A.; 1992. p. 152.

8. NEWTON. Isaac. Principios matemáticos dela filosofía natural. Barcelona: Altaza; 1993. p. 72

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