MÉTODO DE FLEXIBILIDAD• PLANTEAMIENTO DEL MÉTODO EN FORMA GENERAL: Para una estructura cualquiera ( caso más general en el espacio) Hiperestática de grado “n“, indicándonos con esto el exceso de reacciones y fuerza internas.

Para el análisis con este método se comienza por escoger las incógnitas redundantes( reacciones y fuerzas internas),hasta tener una estructura isostática estable que se le llama estructura primaria. Esto nos lleva a pensar que una estructura hiperestática se pueden elegir infinidad de estructuras isostáticas, pero no cualquier estructura isostática puede ser admitida como primaria ya que esta deberá garantizar una invariabilidad cinemática e isostaticidad de todos los nudos al mismo tiempo.

, Como más general

,

F xFyRzM xMyMz

,, Deformada.

n

La estructura primaria base, escogida bajo la carga exteriores experimentara desplazamiento(en los puntos y direcciones donde se eliminaron los redundantes) que no son COMPATIBLES con los de la estructura real.

Estos desplazamiento los identificaremos con la siguiente nomenclatura: indica que trata de los desplazamientos debido a la carga real externas.

1 a “n” indica que es el desplazamiento en la dirección de .

Para calcular estos desplazamiento usaremos el método de la carga virtual unitaria.

Ahora para restaurar esa compatibilidad se aplican las fuerzas redundantes eliminadas, generaran desplazamientos, los cuales deformaran a la estructura hasta que coincida con la de la estructura real.

Estos desplazamiento los identificaremos con la siguiente nomenclatura:

Cuando se aplique la fuerza redundante 1:

generara

donde: Subíndice, indica la dirección del desplazamiento en la redundante indicada, provocado por la aplicación de la redundante en la dirección que indica el 2od. subíndice, en forma similar sucedería para …., provocando los respectivos desplazamientos.

. . .

Considerando que la estructura original(HIPERESTATICA) tiene ciertas restricciones de apoyo o sea que se conocen los desplazamientos prescritos, por lo general en los apoyos (condiciones de frontera) los desplazamientos valen cero, habiendo la posibilidad de que en algunos de los apoyos sufran corrimientos ya prescritos o estén sustentados en apoyos elásticos con propiedades conocidas; es posible entonces para que se cumpla la COMPATIBILIDAD en los apoyos que los desplazamientos provocados en las ( n+1) estructura isostáticas primaria se plantean en la siguiente forma; (ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD) aplicando el principio de superposición. + + + + ………… = 0 1 + + + + ………… = 0 2 + + + + ………… = δ (corrimientos en la A . dirección ) . + + + ……..………… = 0 n (ecuaciones)

Desplazamiento debido a la aplicación de las en las estructuras isostáticas primarias. Desplazamientos debido a la aplicación de la carga real en la estructura isostática primaria.A: indica sistema de ecuaciones

Ejemplo:

Así tenemos que el desplazamiento es igual a la suma de los desplazamientos que aportan …., en la dirección de o sea: + +….+)

Un desplazamiento dij con i, j =1,…..,n se pueden expresar de la siguiente manera: dij = Fij Rj ecuacion B Donde los Fij son los coeficientes de flexibilidad o sea los desplazamientos generados por las fuerzas redundantes con valor unitario. Estos desplazamientos debidos a fuerzas unitarios (momentos ó carga)se pueden encontrar también con el "Método de la carga Virtual Unitaria" u otros métodos.

Sustituyendo la ecuación: B en A tendremos:

+++……………….+= 0 . + + + +…...+= δ . . . +++……………….+= 0 En forma Matricial: 0 0 + = δ . . . . . . . . . . . . 0

Y en forma compacta: + += cDonde:

= Vector de desplazamiento debido a las cargas reales en la estructura primaria isostática(matriz de nx1). = Matriz de flexibilidad nxn. = Vector de fuerza Redundantes desconocidas(matriz nx1). = Vector de desplazamiento preescritos en los apoyos(matriz de nx1). Solucionando la ecuación Matricial C: =

Comentarios:

La matriz de flexibilidad es simétrica con respecto a la diagonal principal, es invariante, es decir no cambia por una estructura dada. Su forma numérica depende de la selección que se haga de las estructuras isostáticas primaria. Su simetría es debido al teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti , la diagonal principal es positiva. Los coeficientes de flexibilidad son entonces desplazamientos debidos a cargas unitarias y dependen de la geometría y propiedades elásticas de la estructura primaria y son Independiente del sistema de cargas real" de la estructura real.

Es importante seleccionar las fuerzas Redundantes con el objeto de tener una Matriz de flexibilidad que tenga un buen comportamiento( punto de Vista Numérico).

Apoyos elásticos: puede darse el caso que uno o varios apoyos pueden considerarse elásticos, es decir el apoyo experimenta una deformación que es función de la magnitud de la fuerza que dicho soporte desarrolla cuando se carga la estructura. Entonces la reacción de un resorte se define como: = en donde : = deformación del resorte.

es la constante elástica del resorte y es la fuerza Redundante reactiva correspondiente cuya dirección coincide con la línea de acción del resorte ( helicoidal o lineal ) esto modifica la Matriz de flexibilidad en la diagonal principal de la siguiente manera:

+ . . . . . . . . . . . . . . . . + . . . = .modificada . . . . . . . . +

Una de las desventajas de considerar el sistema para aplicar el método de flexibilidad al análisis de estructuras hiperestáticas, radica en la necesidad de calcular deflexiones ya que los desplazamientos , ƒij de la estructura primaria es un trabajo tedioso de obtener y se se pueda cometer error de calculo.

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD DE LA ESTRUCTURA DADA:

Para obtener los coeficientes ƒij de partiremos de los métodos energéticos donde dice que:

= Energía de deformación. Trabajo Si F. = diferencial de area= / F= Fuerza= diferencial de desplazamiento Para un cuerpo elástico lineal se tiene(ley de Hook):

F. integrado

F. (para una fuerza y un desplazamiento)

Generalizando para los 6 componentes en el espacio, tendremos:

I diferencial de volumen.

si: [ ,, , ,, 1x6 ; [ 𝚼 6x1Sustituyendo la ecuación generalizada de la ley de Hook : en I [ - μ + ) ] . . . . [ - μ + ) ] /G

Usando la relación G μ - 1

Obtenemos:

Ʊ ++2dv ++

Para el caso especial de estructuras reticulares formadas por barras, los elementos mecánicos: Fuerza Normales, Fuerza Cortantes, Momentos Torcionantes y Momentos Flexionantes, provocan los siguientes esfuerzos:

6 fuerzas generalizadas:

Entonces la expresión anterior queda:

Ʊ =

Para :

Si + z+ Para ejes principales y centroidales

Sustituyendo en en 2 desarrollando:

Ʊ1 + + IIa

En forma similar se obtiene:

Ʊ2 k + k + II b

k Coeficiente de forma k 1.2 sección rectangular k sección circular

Partiendo del 2do. Teorema de CASTIGLIANO:

= l,….,n Este teorema establece que la derivada parcial de la energíade deformación con respecto a cualquier cantidad de fuerza es igual al desplazamiento correspondiente a esa fuerza.

Las “n” ecuaciones que se pueden generar pueden usarse para determinar cantidades de desplazamientos individuales o pueden usarse para escribir ecuaciones de COMPATIBILIDAD.

En forma general los coeficientes de FLEXIBILIDAD se obtienen con la siguiente ecuación:

F donde , j = l,….,6

Para nuestra comodidad y tranquilidad los coeficientes de flexibilidad F se obtendrán a partir del conocido Método de la carga Virtual Unitaria " y se presenta sin demostrar como sigue:

+ + ++

INTEGRALES DE MOHR.

Donde:

Nx , Vy , Vz , Mx , My , Mz Son elementos Mecánicos generados por las cargas reales.

nx , vy , vz , mx , my , mz Son elementos Mecánicos generados por la carga Virtual Unitaria ( fuerza Unitaria o momento Unitario).

Estas expresiones nos sirven para determinar desplazamientos lineales y angulares en cualquier punto y dirección de estructuras isostáticas (que son de nuestro interés) y tomar los efectos que se crean son los predominantes en la estructura. como las fuerzas son unitarias los desplazamientos viene siendo los coeficientes de FLEXIBILIDAD F que se obtienen.

METODO DE LA CARGA VIRTUAL UNITARIAY USO DE LA TABLA DE SOLUCION

ESTE METODO SIRVE PARA OBTENER DESPLAZAMIENTOS (LINEALES O ANGULARES) EN CUALQUIER PUNTO DE UNA ESTRUCTURA RETICULAR (VIGAS, MARCOS, ARMADURAS).

UNA CONDICION ES QUE, LOS MATERIALES DEL QUE ESTE HECHA LA ESTRUCTURA SOLO SE TRABAJEN EN EL RANGO ELASTICO (PARTE LINEAL DEL COMPORTAMIENTO ESFUERZO – DEFORMACION DEL MATERIAL)., ESTO ES, QUE SE CUMPLE LA LEY DE HOOKE.

LA ANTERIOR CONDICION NOS PERMITE USAR EL PRINCIPIO DE “SUPERPOSICION” DE CAUSAS Y EFECTOS…

EL METODO DE LA CARGA VIRTUAL UNITARIA SE APOYA EN LA ENERGIA DE DEFORMACION DE LOS CUERPOS (RANGO ELASTICO) Y EL 2DO TEOREMA DE CASTIGLIANO…

U = Lʃ0Nx2

2EA dx +

Lʃ0My2

2ELy

dx +

Lʃ0Mz2

2ELz

dx + α

Lʃ0Vy2

2AG dx + α

Lʃ0Vz2

2AG dx +

Lʃ0Mx2

2GJm dx

ENERGIADE

DEFORMACION

EFECTOAXIAL EFECTO

FLEXIONANTEEN 2 PLANOS EFECTO

TORSIONANTE

EFECTO CORTANTE

EN LOS 2 PLANOS

+ + ++

SOLUCION DE LAS INTEGRALES DERIVADAS DEL METODO DE LA CARGA VIRTUALNota: Son adimensionales: a = A/L b = B/L B/LB/L