UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

TRABAJO DE ANALISIS MATEMATICO III

NOMBRE: Luis León

David Moyolema

Francisco Paguay

Wilmer Pallo

NIVEL: Tercero “A” ESCUELA: Ingeniería Industrial

FECHA: 09 de diciembre 2013

TEMA: METODO DE INTEGRACION POR RECURRENCIA Y ECUACION DE BERNOULLI

METODO DE INTEGRACION POR RECURRENCIA

El método de integración por recurrencia, consiste en encontrar una relación entre la integral que queremos hallar (habitualmente una función con exponente entero n) y otra integral similar (la misma función con exponente entero menor que n).

Es decir dicha relación será de la forma:

Donde f (x , n) y g ( x , n) son funciones reales de variable x y parámetro n, r es un número racional y k un número natural.

Aplicando dicha fórmula por recurrencia, se puede ir rebajando el nivel del exponente, hasta que sea fácil de calcular, y a partir de ella calcular la que queremos obtener. La mayoría de las veces se utiliza la integración por partes para hallar esta relación de recurrencia.

Las integrales del tipo ∫ xn ex dx , es decir aquellas en que aparece un exponente ó coeficiente genérico n pueden hacerse, aplicando reiteradamente la integración por partes, dando una fórmula en la que aparezca la misma integral pero con n-1 , n-2, etc. en vez de n. En este caso, llamemos:

Pues la integral es la original salvo el exponente de x. Así queda resuelta la integral, pues podemos rebajar el grado hasta:

ECUACION DE BERNOULLI

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

se denomina ecuación diferencial de Bernoulli.

Es claro que, si r = 0, entonces tenemos una ecuación diferencial lineal

También, si r = 1, entonces tenemos una ecuación diferencial lineal

Las siguientes ecuaciones diferenciales son de Bernoulli:

En el caso de esta última ecuación diferencial, haciendo un poco de álgebra se puede llegar a una ecuación de Bernoulli:

que es una ecuación diferencial de Bernoulli para x en función de y, con r = 4.

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

Una ecuación diferencial de Bernoulli:

se puede convertir en una ecuación diferencial lineal realizando el siguiente procedimiento:

1. Si se multiplica la ED por y-r , se obtiene:

2. Dado que se busca una ED lineal, esto nos sugiere el cambio de variable:

3. Derivando con respecto a x:

Utilizando en (2.1) las dos condiciones anteriores (2.2) y (2.3), obtenemos:

Esta última expresión es una ecuación diferencial lineal para u en función de x. (La variable dependiente en este caso es u.)

4. Esta ecuación diferencial se resuelve con el método de la sección anterior. Posteriormente se reemplaza en la solución general obtenida la variable u usando u=y1-r; obtenemos así la solución general de la ED original.

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2