MéTodo De IteracióN De Punto Fijo
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MÉTODO DE ITERACIÓN Dada una ecuación f(x) = equivalente del tipo x = g(x) p de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g Definición: Un número a tal que a Cuándo una función g tiene un Teorema de punto fijo: Si g es una función continua e por lo menos un punto fijo en ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K La sucesión {x n }, con n defini El comportamiento de los esq divergencia, lenta convergenci La vía más simple (aunque n iteración de punto fijo es cons Si x* = g(x*) y |g’(x*)| < 1, e existe un intervalo contenien convergente si comienza dentr Un punto fijo de una función, encontrar las soluciones de un función h(x) son equivalentes soluciones de una ecuación f(x N DE PUNTO FIJO 0, podemos transformarla, de alguna manera para alguna función g. En este caso se tiene que g(a) ↔ a es raíz de x = g(x). = g(a) se dice un punto fijo de la f n punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo? en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], enton [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b K constante, entonces g tiene un único punto fijo ida, se encuentra mediante la fórmula de iteraci quemas de punto fijo puede variar ampliament ia, a la rápida convergencia. no más general) de caracterizar el comportami siderar la derivada de g en la solución x*. entonces el esquema es localmente convergente ndo x* tal que el correspondiente esquema it ro del intervalo. , g es un número p tal que g(p)=p. El problema d na ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fi en el siguiente sentido: dado el problema de enc x)=0, podemos definir una función g con un pun ra, en otra e: a es raíz función g. nces g tiene b], y |g’(x)| o x ε[a, b]. ión: te desde la iento de la e. Es decir, iterativo es de ijos de una contrar las nto fijo p
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MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO
Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otraequivalente del tipo x = g(x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es raízde f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).
Definición:
Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g.Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?
Teorema de punto fijo:
Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g tienepor lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)|≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b].La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración:
El comportamiento de los esquemas de punto fijo puede variar ampliamente desde ladivergencia, lenta convergencia, a la rápida convergencia.
La vía más simple (aunque no más general) de caracterizar el comportamiento de laiteración de punto fijo es considerar la derivada de g en la solución x*.
Si x* = g(x*) y |g’(x*)| < 1, entonces el esquema es localmente convergente. Es decir,existe un intervalo conteniendo x* tal que el correspondiente esquema iterativo esconvergente si comienza dentro del intervalo.
Un punto fijo de una función, g es un número p tal que g(p)=p. El problema deencontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de unafunción h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar lassoluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g con un punto fijo p
MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO
Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otraequivalente del tipo x = g(x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es raízde f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).
Definición:
Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g.Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?
Teorema de punto fijo:
Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g tienepor lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)|≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b].La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración:
El comportamiento de los esquemas de punto fijo puede variar ampliamente desde ladivergencia, lenta convergencia, a la rápida convergencia.
La vía más simple (aunque no más general) de caracterizar el comportamiento de laiteración de punto fijo es considerar la derivada de g en la solución x*.
Si x* = g(x*) y |g’(x*)| < 1, entonces el esquema es localmente convergente. Es decir,existe un intervalo conteniendo x* tal que el correspondiente esquema iterativo esconvergente si comienza dentro del intervalo.
Un punto fijo de una función, g es un número p tal que g(p)=p. El problema deencontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de unafunción h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar lassoluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g con un punto fijo p
MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO
Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otraequivalente del tipo x = g(x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es raízde f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).
Definición:
Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g.Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?
Teorema de punto fijo:
Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g tienepor lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)|≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b].La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración:
El comportamiento de los esquemas de punto fijo puede variar ampliamente desde ladivergencia, lenta convergencia, a la rápida convergencia.
La vía más simple (aunque no más general) de caracterizar el comportamiento de laiteración de punto fijo es considerar la derivada de g en la solución x*.
Si x* = g(x*) y |g’(x*)| < 1, entonces el esquema es localmente convergente. Es decir,existe un intervalo conteniendo x* tal que el correspondiente esquema iterativo esconvergente si comienza dentro del intervalo.
Un punto fijo de una función, g es un número p tal que g(p)=p. El problema deencontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de unafunción h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar lassoluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g con un punto fijo p
de muchas formas; por ejemplo, f(x)=x-g(x). En forma inversa, si la función g tiene unpunto fijo en, p entonces la función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en p.
El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial X0 y Xi+1=g(Xi) genera unasucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x)=0. A lafunción g se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión<Xn> converge siempre y cuando |g’(x) <1|.
Ejemplo
Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuaciónX3+4X2-10=0 dentro del intervalo[1,2].
Lo primero es buscar una función g(x) adecuada
x3+4X2-10=0
x2(x+4)=10
x=± ( )Y claramente elegimos como función iteradora a
g(x)= ± ( )además observe que
′( ) = √102( + 4) / ≤ (2) < 1Para toda x€ [1,2], lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a serconvergente.
La implementación de este método en Excel es realmente simple, como veremos.
1. En la celda A5 escribimos nuestra aproximación inicial, en este caso 2.2. En la celda A6 escribimos la fórmula que calculará las aproximaciones:
=raiz(10/(A5+4))3. Por último arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones.
En la figura 10 se muestran los resultados generados por este método.
Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradorag(x) no siempre es fácil.
Algoritmo Punto Fijo:
Implementación en matlab
function p=pfijo(fun,p0,tol,maxiter)% Aproxima por el método del punto fijo una raiz de la ecuacionfun(x)=x%cercana p0, tomando como criterio de parada abs(fun(x)-x)<tol o lacota sobre% el numero de iteraciones dada por maxiter.%% Variables de entrada:% fun(x): funcion a iterar, se debe introducir con notaciónsimbolica (eg. 'g')% x0: estimación inicial para el proceso de iteración% tol: tolerancia en error absoluto para la raiz% maxiter: maximo numero de iteraciones permitidas%% Variables de salida:% p: valor aproximado de la raizp(1)=p0;for n=2:maxiter;
p(n)=feval(fun,p(n-1));err=abs(p(n)-p(n-1));if err<tol
break;end
disp(['n=',num2str(n)]);disp(['f(x)=',num2str(p(n))]);disp(['abs(f(x)-x)=',num2str(err)]);
endif n==maxiter
disp('se ha excedido el número de iteraciones')
endp'
Ejemplo 1
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de,( ) = cos −f(x) comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|<1%.
Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,= ( ) = cos 0 = 1
Con un error aproximado de 100%
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,= ( ) = cos 1 = 0.540302305Y un error aproximado de 85.08%.
Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitanhasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final quese obtiene es:= 0.7414250866 Con un error aproximado igual al 0.78%.
Ejemplo 2
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de, ( ) = − 5 −comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|<1%.
Solución
Si despejamos la del término lineal, vemos que la ecuación equivale a
= de donde
( ) =En este caso, tenemos que ′( ) = . Un vistazo a la gráfica
Nos convence que |g’(x)|<1, para, ∈ [−1,1] lo que es suficiente para deducir que el método síconverge a la raíz buscada.
x∈[-1,1]
Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:= ( ) = −0.2Con un error aproximado del 100%.
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:= ( ) = 0.1557461506Con un error aproximado igual al 28.41%.
En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%.Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz Error aprox.
0-0.2 100%-0.1557461506 28.41%-0.1663039075 6.34%-0.163826372 1.51%-0.164410064 0.35%
De donde vemos que la aproximación buscada es:= −0,164410064
