UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS FISICAS Y QUIMICAS

CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

INVESTIGACION DE ESTRUCTURAS 2

TEMA:

METODO DE LAS DEFORMACIONES

METODO PENDIENTE - DEFLEXION

ALUMNO:

MARIO VERGARA ALCIVAR

DOCENTE:

ING. JORGE PALACIOS

CURSO:

7MO “C”

SEMESTRE:

OCTUBRE 2014 – FEBRERO 2015

ANTECEDENTES:

Desde los comienzos de la humanidad, la ingeniería estructural ha estado

ligada a su historia. Pero sólo fue hasta mediado del siglo XVII que los

ingenieros empezaron a aplicar los conocimientos de la mecánica, en el

análisis y diseño de estructuras y máquinas. Las primeras máquinas simples

como el plano inclinado, la rueda, la polea, el tornillo y la cuña sirvieron para

construir algunas de las magníficas estructuras antiguas. Podemos distinguir

algunos períodos importantes de esta historia y en ellos algunos pueblos,

construcciones, personajes y descubrimientos importantes.

G.A. MANEY desarrollo el método de la pendiente deflexión que se considera

como el método precursor del método matricial de las rigideces.

OBJETIVOS:

GENERAL

Conocer el método de las deformaciones y el método pendiente – deflexión.

ESPECIFICOS

Analizar sus métodos de planteo.

Establecer las ecuaciones fundamentales de la pendiente-deflexión

METODO PENDIENTE DEFLEXION

En el análisis de estructuras hiperestáticas, los desplazamientos pueden

utilizarse como incógnitas y se les conoce como método de los

desplazamientos. De estos métodos, uno de los importantes es el pendiente

deflexión.

Este método se basa en la determinación de las rotaciones y desplazamientos

de los diferentes nudos, a partir de los cuales se obtienen los momentos en los

extremos de cada barra.

Planteamiento del método.

1) Se plantean los momentos de barra sobre apoyo en los extremos de

cada miembro de la estructura utilizando las ecuaciones del método

pendiente-deflexión. Estos momentos quedan expresados en términos

de las rotaciones θ en los extremos y de los desplazamientos lineales

relativos ∆ entre los dos extremos de cada miembro.

2) Planteamos una ecuación de equilibrio que nos da un sistema de

ecuaciones de un número igual a los grados de libertad de la estructura.

Su resolución permite calcular los valores de las rotaciones en los

extremos y de los desplazamientos relativos.

3) Se calculan los momentos finales sustituyendo los valores de θ y de ∆,

obtenidos en el paso anterior, en los momentos planteados en el a.

Ecuaciones fundamentales de la pendiente-deflexión

Consideremos un elemento aislado de una viga o pórtico (FIG. 12-1). El

elemento esta deformado con rotaciones en los extremos θa y θb, una

traslación relativa entre a y b. Los momentos en los extremos los llamaremos

Mab y Mba están relacionados con las deformaciones elásticas en ambos

extremos asi como la carga en el vano ab. Donde f y g son funciones distintas.

Mab = f(θa, θb, ∆, carga sobre la luz)

Mba = g(θa, θb, ∆, carga sobre la luz)

Para encontrar las expresiones de estas ecuaciones establecemos el siguiente

convenio de signos:

1) El momento que actúa en el extremo de una barra es positivo si tiene

sentido horario.

2) La rotación en el extremo de una barra es positiva cuando la tangente a

la curva deformada, en su extremo, gira en el sentido horario desde su

posición inicial.

3) La traslación relativa entre los extremos de una barra es positiva cuando

corresponde a una rotación de la barra en sentido horario.

Ahora refirámonos la FIG. 12-1 y observemos que los momentos en los

extremos Mab y Mba pueden considerarse como la suma algebraica de cuatro

efectos distintos:

1) El momento debido a la rotación θa del extremo a, mientras el otro

extremo esta empotrado.

2) El momento debido a la rotación θb del extremo b, mientras el extremo a

esta fijo.

3) El momento debido a la traslación relativa ∆ entre los dos extremos de la

barra sin alterar las pendientes o tangentes existentes en los extremos.

4) El momento producido al aplicar las cargas actuantes sobre el vano sin

alterar las deformaciones existentes en los extremos.

1. Considérese la barra ab soportada como se indica en la FIG. 12-12(a).

La línea de trazos representa la barra deformada. Obsérvese que el

extremo a gira un ángulo θa mientras que el extremo b esta fijo (θb = 0);

no hay desplazamiento relativo entre los extremos a y b (∆=0). Los

correspondientes momentos en los extremos a y b, que representamos

respectivamente por M’ab y M’ba pueden obtenerse fácilmente por el

método de la viga conjugada, como se indica en la FIG. 12-2(b), con el

diagrama de momentos divididos por EI como carga elástica y con θa

como reacción, de tal manera que la fuerza cortante positiva de la viga

conjugada de la pendiente positiva buscada de la viga real. De las

condiciones de equilibrio:

∑𝑴𝒂 = 𝟎 (𝑴′ 𝒂𝒃𝒍

𝟐𝑬𝑰) (

𝒍

𝟑) − (

𝑴′ 𝒃𝒂𝒍

𝟐𝑬𝑰) (

𝟐𝟏

𝟑) = 𝟎 (12-3)

∑𝑴𝒃 = 𝟎 (𝜽𝒂𝒍) − (𝑴′𝒂𝒃𝒍

𝟐𝑬𝑰) (

𝟐𝟏

𝟑) + (

𝑴′ 𝒃𝒂𝒍

𝟐𝑬𝑰) (

𝒍

𝟑) = 𝟎 (12-4)

Sustituyendo la EC. 12-5 en la Ec. 12-4 se obtiene

𝑴′𝒂𝒃 =𝟒𝑬𝑰𝜽𝒂

𝒍 (12-6)

Así como

𝑴′𝒃𝒂 =𝟐𝑬𝑰𝜽𝒂

𝒍 (12-7)

2. Considérese la barra ab soportada y deformada como se indica en la

FIG. 12-3, en donde el extremo b ha rotado un ángulo θb y el extremo a

esta fijo. El momento correspondiente en el extremo b, al que

llamaremos M’’ba, y el momento en a, M’’ab, se obtiene en forma similar:

𝑴′′𝒂𝒃 =𝟏

𝟐𝑴′′𝒃𝒂 (12-8)

𝑴′′𝒂𝒃 =𝟐𝑬𝑰𝜽𝒃

𝒍 (12-9)

𝑴′′𝒃𝒂 =𝟒𝑬𝑰𝜽𝒃

𝒍 (12-10)

3. Para encontrarlos momentos que aparecen en los extremos debidos a

una traslación pura o desviación ∆ entre los dos extremos sin rotación en

los mismos, consideremos las viga empotrada en sus extremos de la

FIG. 12-4(a). Debido a la simetría de la deformación con respecto al

punto central de la barra, los dos momentos en los extremos deben ser

iguales.

Así pues, si llamamos M’’ab y M’’ba a los momentos en los extremos a y b

respectivamente, tendremos:

M’’ab=M’’ba=-M

El signo negativo indica que M’’’ab y M’’’ba tienen sentido antihorario. El valor de

M puede obtenerse por el método de la viga conjugada como se indica en la

FIG. 12-4(b). Obsérvese que, además de las cargas elásticas distribuidas del

diagrama M/EI, actúa un par o momento en el extremo b igual a ∆,

correspondiente a la desviación en b de la viga real. De ∑ M=0 tenemos:

(𝑴𝒍

𝟐𝑬𝑰) (

𝒍

𝟑) − ∆= 𝟎

𝑴 =𝟔𝑬𝑰∆

𝒍𝟐

Así, pues, los momentos en los extremos de una barra, debidos a un puro

desplazamiento relativo están dados por

𝑴′′′𝒂𝒃 = 𝑴′′𝒃𝒂 = −𝟔𝑬𝑰∆

𝒍𝟐 (12-11)

4. Finalmente, los momentos que aparecen en los extremos de una barra

sin causar deformaciones en los extremos, cuando se aplican las cargas

externas sobre el vano, no son otra cosa que los momentos de

empotramiento perfecto, designados corriente por MFab Y MFba .

M ab=M’ab+M’’ab+M’’’ab±M Fab

Mba=M’ba+M’’ba+M’’’ba±M Fba

Aplicando las Ecu. 12-6, 12-7, 12-9, 12-10, 12-11, obtenemos

M ab= 𝟒𝑬𝑰𝜽𝒂

𝒍+

𝟐𝑬𝑰𝜽𝒃

𝒍−

𝟔𝑬𝑰∆

𝒍𝟐 ± 𝑴𝑭𝒂𝒃

M ba= 𝟐𝑬𝑰𝜽𝒂

𝒍+

𝟒𝑬𝑰𝜽𝒃

𝒍−

𝟔𝑬𝑰∆

𝒍𝟐± 𝑴𝑭𝒃𝒂

Ordenando las expresiones anteriores se obtiene:

M ab=𝟐𝑬𝑰

𝒍(𝟐𝜽𝒂 + 𝜽𝒃 − 𝟑

∆

𝒍) ± 𝑴𝑭𝒂𝒃 (12-12)

Mba= 𝟐𝑬𝑰

𝒍(𝟐𝜽𝒃 + 𝜽𝒂 − 𝟑

∆

𝒍) ± 𝑴𝑭𝒃𝒂 (12-13)

Que son las ecuaciones fundamentales de pendiente-deflexión para una barra

deformada de sección uniforme. Las ecuaciones expresan los momentos en los

extremos Mab y Mba en función de las pendientes en los extremos (θa, θb), la

traslación relativa o desviación (∆), entre los dos extremos, y la carga libre la

luz ab. Si hacemos:

𝑰

𝒍= 𝑲

∆

𝒍= 𝑹

Siendo K el factor de rigidez de la barra y R la rotación de la barra, las

ecuaciones se convierten en:

Mab=𝟐𝑬𝑲(𝟐𝜽𝒂 + 𝜽𝒃 − 𝟑𝑹) ± 𝑴𝑭𝒂𝒃 (12-14)

Mba= 𝟐𝑬𝑲(𝟐𝜽𝒃 + 𝜽𝒂 − 𝟑𝑹) ± 𝑴𝑭𝒃𝒂 (12-15)

Los signos y los valores de MFab Y MFba dependen de las condiciones de carga

en el vano ab. Si la barra ab no soporta ninguna carga, MFab= MFba= 0.

En la tabla 12-1 se indican los valores de los momentos de empotramiento en

una barra recta con EI constante, debido a los tipos más usuales de cargas.

METODO DE LAS DEFORMACIONES.

También llamado “Método de las rigideces”, plantea una estructura en la que se

satisfagan las condiciones de compatibilidad geométrica, aunque no se

cumplan las condiciones de equilibrio. Estas últimas se logran en una segunda

etapa introduciendo fuerzas correctivas que no alteren las condiciones de

continuidad geométrica.

Planteamiento general del método de las deformaciones.

1. La estructura original hiperestática se transforma en otra cuyos

desplazamientos sean conocidos; la forma más sencilla es plantear que

los nudos no giren y no tengan desplazamientos lineales. La estructura

transformada tiene continuidad geométrica, pero no cumple las

condiciones de equilibrio estático.

2. Se plantean las ecuaciones de equilibrio estático en los nudos de la

estructura y en la estructura en su conjunto, y se determinan los

desequilibrios que resulten.

3. Se aplican deformaciones arbitrarias en los nudos que están en

desequilibrio y se calculan las acciones que producen estas

deformaciones en la estructura.

4. Se calculan los valores que deben tener las deformaciones aplicadas en

los nudos para corregir todos los desequilibrios en el paso 2.

5. Se calculan los valores de las acciones que corresponden a las

deformaciones determinadas en el paso anterior.

6. Se calculan las acciones finales sumando las de los pasos 1 y 5.

ANALISIS DE VIGAS HIPERESTATICAS POR EL METODO DE LAS

DEFORMACIONES

En el siguiente ejemplo suponemos que la deformación por flexión es la única

importante.

Puede considerarse como sobrante una de las reacciones. Escojamos en este

caso la reacción en el apoyo b como hiperestática actuando hacia abajo, como

se indica en la FIG. 9-2(b). Si aplicamos el principio de supersicion, podemos

considerar la viga sometida a la suma de los efectos de la carga uniforme inicial

y la hiperestática Xb como se indica en la FIG. 9-2(c) y (d) respectivamente.

Ahora calculamos la flecha en b debida a la carga uniforme cuya expresión es

FIG.9-2(c):

∆′𝒃 =𝒘𝒍𝟒

𝟖𝑬𝑰

La FIG. 9-2(e) representa el diagrama de momentos de la viga.

y la producida en b por una carga unitaria aplicada en el mismo punto cuya

expresión es FIG. 9-2(d).

𝜹𝒃𝒃 =𝒍𝟑

𝟑𝑬𝑰

Aplicando la ecuación de compatibilidad

∆b=∆’b+ 𝜹bbXb=0

Obtenemos 𝒘𝒍𝟒

𝟖𝑬𝑰+ (

𝒍𝟑

𝟑𝑬𝑰) xb=0

De donde Xb=−𝟑𝒘𝒍

𝟖

El signo menos indica que la reacción va hacia arriba.

Una vez determinada la reacción en b, se observa que la viga se reduce a una

estáticamente determinada. Las componentes de la reacción en a pueden

determinarse ahora mediante las ecuaciones de equilibrio:

∑𝑭𝒚 = 𝟎 𝑽𝟒 = 𝒘𝒍 −𝟑

𝟖𝒘𝒍 =

𝟓

𝟖𝒘𝒍 (Hacia arriba)

∑𝑴𝒂 = 𝑴𝒂 =𝟏

𝟐𝒘𝒍𝟐 −

𝟑

𝟖𝒘𝒍𝟐 =

𝟏

𝟖𝒘𝒍𝟐 (Sentido antihorario)

CONCLUSION:

El método de las deformaciones junto con el método de las fuerzas son los

métodos clásicos para resolver estructuras hiperestáticas.

El método pendiente-deflexión se fundamenta en un análisis de desplazamientos y rotaciones, donde estas variables son derivadas en

función de las cargas usando relaciones entre cargas y desplazamientos, posteriormente estas ecuaciones son solucionadas para obtener los

valores de desplazamientos y rotaciones, finalmente los valores de fuerzas internas son determinados.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

Teoría Elemental de Estructuras – Yuan Yu Hsieh

Análisis Estructural – González Cuevas