REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

I.U.P. “SANTIAGO MARIÑO”

EXTENSION MATURÍN

INGENIERÍA CIVIL

Profesor: Realizado por:

Ing. Antonio Amundaray Isamar Cabrera CI 19.875.613

Sección “L” Estefanía Licciony CI 20.311.746

INTENSIVO Rosmaira Calzadilla CI 24.502.121

José Rocca CI 18.651.526

Maturín, 24 de agosto del 2015

Teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron 

El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relación

deducida de la teoría de flexión de vigas y usada en análisis estructural para

resolver ciertos problemas de flexión hiperestática, fue demostrado por Émile

Clapeyron a principios del siglo XIX.

Aplicables a vigas continuas, Se calculan los momentos encima de los apoyos,

Las incógnitas Mn pueden ser interpretadas de dos formas:

Momentos reales encima de los apoyos (los diagramas An serán generados

apenas por la carga de los apoyos)

Momentos hiperestáticos (momentos adicionales en relación a los momentos de la

base isostática; los diagramas son diagramas de esfuerzos de la base isostática).

El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enuncio por primera vez la ecuación

fundamental de los tres momentos.“La ecuación de los tres momentos es aplicable a

tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como

articulaciones, en esa parte de la estructura”. Entonces, este método sirve para hallar

los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o

notables de la viga.

Ecuación de los Tres Momentos

Vigas Continuas

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser

calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de

los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un

solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:

M1* L1+ 2M2*(L1+L2) +M3*L2= - C1 – C2

C1 = W*L1 3 C2= W*L2

3

4 4

Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de

Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en los extremos

pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:

1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de

Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales

a cero.

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero.

Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los

productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.

Principio de los trabajos virtuales

El principio de los trabajos virtuales es un método utilizado en resistencia de

materiales para el cálculo de desplazamientos reales en estructuras isostáticas e

hiperestáticas, y para el cálculo de las incógnitas que no podemos abordar con el

equilibrio en las estructuras hiperestáticas. El principio de los trabajos virtuales

puede derivarse del principio de d'Alembert, que a su vez puede obtenerse de la

mecánica newtoniana o más generalmente del principio de mínima acción.

Formulación

Con un número de grados de libertad no positivo, el principio de los trabajos

virtuales establece que si inventamos un campo de desplazamientos  ,

llamado campo de desplazamientos virtual, compatible con los enlaces existentes

que impiden el movimiento de sólido rígido se cumplirá que el trabajo virtual

externo y el trabajo virtual interno serán iguales.

Donde las deformaciones y tensiones en la ecuación anterior deben calcularse a

partir del campo de desplazamientos virtual:

Aplicación a vigas rectas

La fórmula anterior se simplifica substancialmente si se aplica al caso de una viga recta, ya

que en ella los trabajos interno y externo vienen dados por:

Donde:

, son los esfuerzos cortantes producidos por el campo de desplazamientos.

, es el momento torsor producido por el campo de desplazamientos.

, son los momentos flectores producidos por el campo de

desplazamientos.

Y los desplazamientos, en el caso de una viga que flecta sólo en el plano XY,

pueden ser calculados a partir de los desplazamientos horizontal   y

vertical   a lo largo de la viga:

La igualdad (1) puede aplicarse para el cálculo de reacciones hiperestáticas, para

ello basta elegir un desplazamiento virtual adecuado.

EL MÉTODO DE LAS FUERZAS

También denominado el Método de flexibilidad es el clásico método consistente en

deformación para calcular fuerzas en miembros y desplazamientos en sistemas

estructurales. Su versión moderna formulada en términos de la matriz de

flexibilidad de los miembros también tiene el nombre de Método de Matriz de

Fuerza debido al uso de las fuerzas en los miembros como las primariamente

conocidas.

Flexibilidad de Miembros

La flexibilidad es el inverso de la rigidez. Por ejemplo, considera un resorte que

tiene Q y q como, respectivamente, su fuerza y deformación:

La relación de rigidez del resorte es Q = k q donde k es la rigidez del resorte.

Su relación de flexibilidad es q = f Q, donde f es la flexibilidad del resorte.

Por lo tanto, f = 1/k.

la relación de flexibilidad de un miembro típico tiene la siguiente forma general:

Donde

m = número de miembros m.

 = vector de las características de deformación del miembro.

 = matriz de flexibilidad del miembro la cual caracteriza la susceptibilidad

del miembro a deformarse bajo fuerzas.

 = vector de fuerzas características independientes del miembro, las

cuales son fuerzas internas desconocidas. Estas fuerzas independientes

dan subida a todas las fuerzas en los extremos de los miembros mediante

equilibrio de miembro.

 = vector de deformaciones características de los miembros causados

por efectos externos (tales como fuerzas conocidas y cambios de

temperaturas) aplicadas a los miembros aislados, desconectados (i.e.

con  ).

Para un sistema compuesto de muchos miembros interconectados en puntos

llamados nodos, las relaciones de flexibilidad de los miembros puede ser puesta

junto dentro de una sola ecuación de matriz, soltando el superíndice m:

donde M es el número total de características de deformación de miembros o

fuerzas en el sistema.

A diferencia de el método matricial de la fuerza donde las relaciones de rigidez de

los miembros pueden ser fácilmente integradas mediante el equilibrio nodal y

condiciones de compatibilidad, la presente forma de flexibilidad de la ecuación (2)

posee serias dificultades. Con fuerzas de miembros   como las primeras

desconocidas, el número de ecuaciones de equilibrio nodal es insuficiente para la

solución, en general a menos que el sistema es estáticamente indeterminado.

Ecuaciones de Equilibrio Nodal

Para resolver esta dificultad, primero hacemos uso de las ecuaciones de equilibrio

nodal en disposición de reducir el número de fuerzas desconocidas en miembros

independientes. Las ecuaciones de equilibrio nodal para el sistema tienen la

forma:

Donde

: Vector de fuerzas nodales a todos los N Grados de Libertad de el

sistema.

: La matriz resultante de equilibrio nodal

: El vector de fuerzas derivado desde cargas en los miembros.

En el caso de los sistemas determinados, la matriz b es cuadrada y la solución

para Q puede ser encontrada inmediatamente (3) siempre que el sistema sea

estable.

El Sistema Primario

Para sistemas Estáticamente Indeterminados , M > N, y por lo tanto, podemos

aumentar (3) con I = M-N ecuaciones de la forma:

El vector X es el también llamado vector de Redundancia fuerzas y I es el grado

de indeterminación estática del sistema. Usualmente elegimos j, k,  , and   such

that  es una reacción en el soporte o una fuerza interna en un extremo del

miembro. Con ajustables elecciones de fuerzas redundantes, el sistema de

ecuaciones (3) aumenta por (4) puede ser ahora resuelto para obtener:

Sustituyendo en (2) da:

Las ecuaciones (5) y (6) son la solución para el sistema primario el cual es el

sistema original que ha sido hecho estáticamente determinado por cortes que

exponen las fuerzas redundantes . La ecuación (5) efectivamente reduce el

conjunto de fuerzas desconocidas a .

Ecuación de Compatibilidad y Solución

Después, necesitamos crear   ecuaciones de compatibilidad en disposición de

encontrar  . Las ecuaciones de compatibilidad devuelven la continuidad

requerida a los cortes de sección fijando los desplazamientos relativos   a los

redundantes X a cero. que es, usando el Método de Unidad de Fuerza Falsa:

o 

donde

Ecuación (7b) puede ser resuelta para X, y las fuerzas en miembros son después

encontradas desde (5) mientras los desplazamientos nodales pueden ser

encontrados por

donde

 es la matriz de flexibilidad del sistema.

El movimiento de los soportes tomando lugar a las redundantes puede ser incluido

en el lado derecho de la ecuación (7), mientras el movimiento de soportes a otros

lugares debe ser incluido en   y   también.

Ventajas y Desventajas

Mientras la elección de redundantes en (4) aparenta ser arbitraria y dificultosa

para cálculos automáticos, esta objeción se puede superar procediendo desde (3)

directamente a (5) usando un proceso modificado de Eliminación de Gauss-

Jordan . Este es un robusto procedimiento que automáticamente selecciona un

buen conjunto de fuerzas redundantes para asegurar la estabilidad numérica.

Es aparente de el proceso arriba que el método de la matriz de rigidez es fácil de

comprender y para implementar para cálculos automáticos. Es también fácil de

extender para aplicaciones avanzadas tales como análisis no lineal, estabilidad,

vibraciones, etc. Por estas razones, el método de la matriz de rigidez es el método

de elección para uso en paquetes de software de análisis estructural de propósito

general. Por otro lado, para sistemas lineales con bajo grado de indeterminación

estática, el método de flexibilidad tiene la ventaja de ser computacionalmente

menos intensivo. Esta ventaja, sin embargo, es un punto discutible como las

computadoras personales son ampliamente disponibles y más poderosas. El

principal factor redentor en aprender este método hoy en día es su valor

educacional en impartir los conceptos de equilibrio y compatibilidad en adición a

su valor histórico. En contraste, el procedo del método de rigidez directa es tan

mecánico que se arriesga a ser usado sin mucho entendimiento de el

comportamiento estructural.

Los argumentos arriba fueron válidos hasta los inicios de 1990. Sin embargo,

avances recientes en cálculos numéricos han mostrado una vuelta atrás del

método de fuerza, especialmente en el caso de sistemas no lineales. Nuevos

armazones han sido desarrollados que permiten formulaciones "exactas"

respectivamente del tipo o naturaleza de la no linealidad del sistema. Las

principales ventajas del método de flexibilidad son que el error resultante es

independiente de la desratización del modelo y que este es en realidad un método

muy rápido. Por el momento, la solución elástica-plástica de una viga continua

usando el método de fuerza requiere solo 4 elementos de viga mientras que un

comercial "basado en rigidez" FEM requiere 500 elementos en disposición de dar

resultados con la misma precisión. Para concluir, uno puede decir que en el caso

donde la solución del problema requiere evaluaciones recursivas de el campo de

fuerza como en le caso de optimización estructural o identificación de sistemas, la

eficiencia del método de flexibilidad es indiscutible.

Generalización del método de las fuerzas sometido a otros estímulos.

1. Identificación y pre dimensionado de la estructura. Deben producirse las

definiciones geométricas que definan dimensionalmente toda la estructura y

deben desarrollarse los denominados análisis de cargas. Estos son realizados

con la aplicación de los reglamentos vigentes y consideraciones propias del

proyecto en curso. La conclusión de esta etapa

Es disponer del esquema de barras, sus sistemas de cargas y dimensiones de

secciones.

2. Análisis del grado de hiperestaticidad de la estructura. El método de las

fuerzas consiste básicamente en eliminar vínculos a un hiperestático hasta

transformarlo en un isostático que se denomina esquema fundamental. Las

reacciones que suministran los vínculos eliminados se convierten en las

incógnitas del sistema de ecuaciones que se plantea. Cada ecuación plantea la

condición de deformación nula en el esquema real, siendo denominada de

compatibilidad.

3. Se elige el esquema fundamental utilizando el criterio que tenga una

deformabilidad parecida al esquema real. Esta condición se haya relacionado con

la cantidad de dígitos significativos a utilizarse para minimizar los errores relativos

en la resolución del sistema de ecuaciones.

4. Debemos obtener las reacciones de vínculos en el esquema fundamental,

originados por los estados reales de cargas y luego por valores unitarios de las

incógnitas. Trazamos luego los diagramas de momentos flexores

producidos por el estado de cargas reales, que opera sobre el

esquema fundamental, y los diagramas derivados de los valores unitarios de las

incógnitas. Tener presentes las convenciones de signos adoptadas y la

presencia de ejes absolutos de la estructura y relativos de cada barra.

5. Calculamos los valores de los coeficientes del sistema de ecuaciones. Para ello

integramos ordenadamente los diagramas de momentos. Obtenemos

sucesivamente las deformaciones producidas por el estado de cargas real en el

esquema fundamental que sean correspondientes con los vínculos

eliminados y luego las deformaciones correspondientes en los mismos puntos por

los valores unitarios de las incógnitas.

Identificar las características de las estructuras Hiperestáticas.

Para conocer esfuerzos internos y reacciones es necesario usar además de

ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad (características del

material).

Desplazamientos menores que en sistemas isostáticos. Mayor reserva de

capacidad antes del colapso.

Material es mejor aprovechado. Limitaciones constructivas: Estructuras

monolíticas (hormigón) Rótulas, apoyos deslizantes, etc. difíciles de materializar

Limitaciones de proyecto.

Aplicar el método de las fuerzas para resolver estructuras

hiperestáticas.

El método de las fuerzas También denominado de la Flexibilidad, por los

coeficientes que aparecen en el proceso de cálculo. Recordemos que en las

estructuras hiperestáticas debemos recurrir no sólo a las Condiciones de

Equilibrio sino también a las Condiciones (ecuaciones) Suplementarias de

Deformación. Aquí aparece la necesidad del anteproyecto y

Pre dimensionamiento, ya que las deformaciones dependerán de las cargas,

pero también de las secciones adoptadas para los elementos constitutivos

(vigas, columnas, etc.). Más precisamente las solicitaciones dependerán de las

cargas y de las relaciones de rigideces de los distintos elementos.

Podemos referirnos como “vínculos hiperestáticos o sobreabundantes” a

aquellos vínculos externos o internos que podrían ser eliminados sin que el

sistema se convierta en inestable. El número o cantidad de vínculos que se

deben eliminar para que el sistema “hiperestático” se convierta en isostático se

denomina “Grado de Hiperestaticidad”. Para una estructura dada el grado de

hiperestaticidad es único y perfectamente definido, sin embargo existe la

posibilidad de elegir varias alternativas de conjuntos de vínculos que al

eliminarse hacen isostática a la estructura, con la salvedad que en cada conjunto

el número de vínculos es siempre el mismo.

a) Vigas Grado de hiper-estaticidad = 2 Se elimina la continuidad en los

apoyos mediante 2 articulaciones, quedando 3 vigas simplemente apoyadas.

En el segundo caso se eliminan dos apoyos intermedios quedando una viga

simplemente apoyada.

b) Pórticos B A C El pórtico empotrado-empotrado es un hiperestático de tercer

grado que lo puedo convertir en isostático en un caso introduciendo tres

articulaciones en A, B, y C, que eliminan los vínculos que resisten momentos

(2 externos y uno interno).

También podemos llegar al isostático con una articulación en B (elimina

momento flector), otra articulación en C (elimina reacción de momento) y la

eliminación de la reacción horizontal en C convirtiendo el apoyo en móvil.

C) Reticulados El número de vínculos a eliminar o grado es uno. Puedo en este

caso eliminar un apoyo (vínculo externo) o una barra (vínculo interno).

Señalaremos que en estos tres casos es posible elegir otros conjuntos de

vínculos a eliminar que me producirán otros sistemas isostáticos asociados. Al

isostático asociado por la eliminación de vínculos al sistema hiperestático lo

denominamos “isostático fundamental”. Su elección depende del calculista, y

puede tener importancia en la simplicidad del cálculo pero no en los resultados

finales del mismo.

Aplicar el método de las fuerzas en estructuras hiperestáticas

sometidas a cargas.

Sistemas estáticamente indeterminados. (hiperestáticos) Se denominan

sistemas estáticamente indeterminados (hiperestáticos) aquellos sistemas en los

que no se pueden determinar los esfuerzos en todos los elementos, aplicando

solamente las ecuaciones de la estática y las condiciones de compatibilidad de

los desplazamientos. El cálculo se lleva a cabo en el orden siguiente.

Se comienza por plantear las ecuaciones de la estática y se determina el

grado de hiperestaticidad del sistema dado. Después se plantean las condiciones

de compatibilidad de los desplazamientos, es decir, las relaciones geométricas

entre los alargamientos de los diversos elementos del sistema.

Los alargamientos de los elementos del sistema se expresan a través de los

esfuerzos mediante la ley de Hooke y se introducen en las condiciones de

compatibilidad de los desplazamientos.

Resolviendo las ecuaciones de la estática planteadas y las ecuaciones

compatibilidad de los desplazamientos, se obtienen los esfuerzos axiales en todos

los elementos del sistema. Al calcular las tensiones térmicas se mantiene el

mismo esquema de cálculo. En este caso las ecuaciones de la estática se

plantean solamente los esfuerzos; las variaciones de las longitudes de las

barras calentadas o enfriadas se determinan sumando algebraicamente los

incrementos de las longitudes originados por los esfuerzos y por la variación de

la temperatura. La variación de la temperatura. El valor medio del coeficiente de

dilatación lineal del material de la barra. El alargamiento absoluto debido a la

variación de la temperatura se calcula por la formula, siendo l la longitud de la

barra

El cálculo de las tensiones de montaje se realiza también basándose en las

ecuaciones de la estática y en las condiciones compatibilidad de los

desplazamientos se tiene en cuenta la existencia de errores dados en las

longitudes de los elementos del sistema. Puesto que las longitudes reales de

los elementos, que resultan durante la elaboración de éstos, se diferencian muy

poco de las previstas en el proyecto, al calcular los alargamientos absolutos de los

elementos por la ley de Hooke, se consideran las longitudes previstas en el

proyecto y no las reales. Al determinar la fuerza máxima de seguridad

partiendo del cálculo por tensiones admisibles, se supone que en la barra más

cargada la tensión es igual a la admisible. Partiendo del esfuerzo así obtenido

se establece la fuerza máxima de seguridad. El cálculo de sistemas

hiperestáticos por su capacidad resistente se lleva a cabo en virtud, solamente,

de las ecuaciones de la estática. En estas condiciones los esfuerzos axiales se

consideran iguales a los productos de las tensiones admisibles por las

áreas de las secciones transversales en todos los elementos, en los que, al

alcanzar las tensiones el límite de fluencia del material, el sistema se transforma

en cinemática mente variable. Este método de cálculo se basa sobre la

sustitución del diagrama real de tracción del material por el diagrama

idealizado de Prandtl, en el cual el escalón de fluencia se considera ilimitado.