MÉTODO DE LAS FUERZAS:EJERCICIOS RESUELTOS

Estructuras 2009 METODO DE LAS FUERZAS Pág. 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

ESTRUCTURAS

EJERCICIOS RESUELTOS DE: Método de las Fuerzas Ejercicio Resuelto CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido: GUTAWSKI Alex

Ejercicio Nº1:

Ehormigon= 300.000 kg/cm2

1t/m

BA

C D

20/30

20/50

20/30

Sistema Isostático Fundamental

1t/m

BA

C D

20/30

20/50

20/30

X =1tm1

X =1t2



ESTRUCTURAS


Diagrama de Cuerpo Libre P/Cargas P0

1t/m

B

C D

20/30

20/50

20/30

RAV

RAH

RB

A

Reacciones y Momento Flector P/Cargas P0

El cálculo para este estado dio los siguientes resultados:

REACCIONES FLECTOR

MA = 0 MC =0

MD =1,5tm MB =0

Diagrama de Momentos Flectores P/Cargas P0

B

C D

A

1,5tm



ESTRUCTURAS


Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga tm1X1 =

BA

C D

20/30

20/50

20/30

X =1tm1

RAH

RAV

RB



REACCIONES FLECTOR

MA = -1tm , MC = -1tm , MD = -0,33tm

MB = 0 Diagrama de Momentos Flectores P/Cargas P1

B

C D

A

-1tm -0,33tm



ESTRUCTURAS


Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga t1X 2 =

B

C D

20/30

20/50

20/30

X =1t2

RAH

RAV

RB



REACCIONES FLECTOR

MA = 0 , MC = -2tm , MD = -1,67tm

MB = 0 Diagrama de Momentos Flectores P/Cargas P2

B

C D

A

-2tm-1,67tm



ESTRUCTURAS


Cálculo de las Deformaciones δij

Se trabajara con la siguiente expresión: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⋅⋅⋅= ∫ dx

IEMM

IEδb

ji0bij

Lo que es lo mismo: ∫⋅

= dxij

jiij α

MMδ

a) Cálculo de las Inercias:

( ) 4

3

AC 4500012

30,020,0I cmmmI DB =⋅

==

( ) 43

CD 33,20833312

50,020,0I cmmm=

⋅=

Adoptando como 4

AB0 45000II cm==

b) Cálculo de los Coeficientes “αij”:

0

ijij I

Iα =

1,00α4500045000

IIα AB4

4

0

ABAC ==>==

cmcm

4,63α45000

33,208333IIα BE4

4

0

BECD ==>==

cmcm

Sistema de Ecuaciones a utilizar

0δXδXδ0δXδXδ

22221120

12211110

=⋅+⋅+

=⋅+⋅+



ESTRUCTURAS


a) Cálculo del 10δ :

Barra l (m) αij Diagramas Integración Resoluci

ón (t2m)

CD 3,00 4,63

-0,33 tm-1 tm

1,5tm

+

( ) 63,43133.0250,16

1 ⋅+⋅⋅⋅− - 0,27

-0,33 tm-1 tm 1,125tm

( ) 63,43133.0125,13

1 ⋅+⋅⋅− -0,32

DB 2,12 1,00

-0,33tm

-

+

1,50tm

12,25,133,031 ⋅⋅⋅− - 0,35

100b δIE ⋅⋅ - 0,94

b) Cálculo del 11δ :

Barra

l (m) αij Diagramas Integración

Resolución (t2m)

AC 2,00 1,00

-1 tm -1 tm

-1 tm -1 tm

211 ⋅⋅ 2,00



ESTRUCTURAS


CD 3,00 4,63

-0,33 tm-1 tm

-0,33 tm-1 tm

63,43)11233.01

33,0133,033,02(61

⋅⋅⋅+⋅+

⋅+⋅⋅⋅

0,31

DB 2,12 1,00

-

-0,33tm

-

12,233,033,031 ⋅⋅⋅ 0,077

110b δIE ⋅⋅ 2,387

Cálculo del 2112 δδ = : Barr

a l (m) αij Diagramas Integración Resolución (t2m)

AC 2,00 1,00

-1 tm -1 tm

-2tm

-

22121 ⋅⋅⋅ 2,00

CD 3,00 4,63

-0,33 tm-1 tm

-2tm-1,67tm

(

)63,43

21267,11

233,067,133,0261

⋅⋅⋅+⋅+

⋅+⋅⋅

0,80

DB 2,12 1,00

-0,33tm

-

-1,67tm

-

12,267,133,031 ⋅⋅⋅ 0,39

120b δIE ⋅⋅ 3,19



ESTRUCTURAS


Cálculo del 20δ :

Barra l (m) αij Diagramas Integración Resolución

(t2m)

CD 3,00 4,63

-1,67tm

1,5tm

+( 63,4

35,1)267,1261 ⋅⋅⋅+⋅− -0,86

-2tm-1,67tm

1,125tm

( )63,4

3125,167.123

1 ⋅⋅+⋅− - 0,89

DB 2,12 1,00

-1,67tm

-

1,5tm

+12,25,167,13

1 ⋅⋅⋅− - 1,77

200b δIE ⋅⋅ - 3,52

Cálculo del 22δ :

Barra l (m) αij Diagramas Integración Resolución

(t2m)

AC 2,00 1,00 -

-2tm

-

22231 ⋅⋅⋅ 2,66

CD 3,00 4,63

-2tm-1,67tm

-2tm-1,67tm

(

) 63,4322267,12

267,167,167,1261

⋅⋅⋅+⋅

+⋅+⋅⋅ 2,19

DB 2,12 1,00

-1,67tm

-

-1,67tm

-

12,267,167,131 ⋅⋅⋅ 1,97

*220b δIE ⋅⋅ 6,82



ESTRUCTURAS


Reemplazando los valores obtenidos en el sistema de ecuaciones queda:

0 ,8206X,1803X3,5200 ,1803X,3872X,9400

21

21

=⋅+⋅+−=⋅+⋅+−

=> 88,0X

77,0X

2

1

=−=

Cálculo de las Reacciones Finales

22110Final XXR RRR ⋅+⋅+=

t88,0188,0R H

A=⋅=

tRVA 93,111,00,8822,0)77.0(2 =⋅+⋅−+=

t07,1,11)0(,880)22,0()77,0(1R VB =−⋅+−⋅−+=

-0,88t-1)(0,88R HB =⋅=

Diagrama de Cuerpo Libre Final

B

C D

20/30

20/50

20/30

RAH

RAV

RB

1t/m

RH

B

= 1,93t

= 0,88t = 1,07tV

= 0,88t

MA = 0,77t Cálculo del Momento Flector Final

22110Final MXMXMM ⋅+⋅+=

tm77,0088,0)1(77,00MA =⋅+−⋅−+=

tmMC 1)2(0,88)1()77.0(0 −=−⋅+−⋅−+= tm,280,67)1(,880)33,0()77,0(5,1MD =−⋅+−⋅−+=

tm0MB =



ESTRUCTURAS


Diagrama del Momento Flector Final

C

A

B

D

0,77

-1tm

-1tm

0,28tm

0tm

Ejercicio Nº2:

Estructura con Tensor:

Datos: Eb = 210 t/cm2 Ee = 2100 t/cm2



ESTRUCTURAS


Sistema Isostático Fundamental

Diagrama de Cuerpo Libre P/Cargas P0

Cálculo de Reacciones P/Cargas P0

=>⋅

+⋅⋅

==>⋅+⋅⋅+⋅−=>=∑ mmt

m

mmmt

mmmm10

12210

861R12P68q10R0M DDA

t7,20RD =

( ) ( )=>

⋅−

⋅

⋅==>⋅+

⋅−⋅=>=∑ m

mtm

mmt

mmm10

22102

81R2P

28q10R0M

2

A

2

AD

t2,80RA =

Cálculo de los Momentos Flectores P/Cargas P0

0M0A =

tmm 6052RM A0B ,=⋅=

( ) tmmm 80824q6RM

2

A0C ,=

⋅−⋅=

tmm 42PM 0D −=⋅−=

0M 0E =



ESTRUCTURAS


( )CD

22

BC 28

41

8lq ftm

mmt

f ==⋅

=⋅

=

( )tm

mmt

f 88

81

8lq

22

BD =⋅

=⋅

=

Diagrama de Momentos Flectores P/Cargas P0

Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga tm1X1 =

Cálculo de Reacciones P/Carga tm1X1 =

=>===>−⋅=>=∑ mtm

mm

101

10X

RX10R0M 1D1DA

t0,10RD =

=>===>−⋅=>=∑ mtm

mm

101

10XRX10R0M 1

A1AD

t0,10RA =

Cálculo de los Momentos Flectores P/Carga tm1X1 =

tm1M1A =

tmm 8008RM D1B ,=⋅=



ESTRUCTURAS


tmm 4004RM D1C ,=⋅=

0M1D =

Diagrama de Momentos Flectores P/Carga tm1X1 =

Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga t1X 2 =

Cálculo de Reacciones P/Carga t1X 2 =

=>⋅

=⋅

==>⋅−⋅=>=∑ mmt

mm

mm10

6110

6XR6X10R0M 2

D2DA

t0,60RD =

=>⋅

=⋅

==>⋅−⋅=>=∑ mmt

mm

mm10

4110

4XR4X10R0M 2

A2AD

t0,40RA =

Cálculo de los Momentos Flectores P/Carga t1X 2 =

0M 2A =

tmm 8002RM A2B ,=⋅=

tmm 4024RM D2C ,=⋅=

0M 2D =



ESTRUCTURAS


Diagrama de Momentos Flectores P/Carga t1X 2 =

Diagrama de Esfuerzos Normales P/Carga t1X 2 =

Cálculo de las Deformaciones δij

Se trabajara con la siguiente expresión: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⋅+

⋅

⋅⋅⋅= ∫∫ dxdx

te

ji

b

ji0bij AE

NNIE

MMIEδ

Lo que es lo mismo: ∫ ∫ ⋅

⋅⋅⋅+

⋅= dxdx

te

ji0b

ij

jiij AE

NNIE

αMM

δ

Nota: El primer sumando corresponde a la estructura de hormigón y el segundo al tensor

de acero.

Cálculo de las Inercias:

( ) 43

AB 4500012

300200I cmmm=

⋅=

,,

( ) 43

BE 3320833312

500200I cmmm ,,,=

⋅=

Adoptando como 4

AB0 45000II cm==

Cálculo de los Coeficientes “αij”:



ESTRUCTURAS


0

ijij I

Iα =

1,00αAB ==>== 4

4

0

ABAB 45000

45000I

Iαcmcm

4,63α,BE ==>== 4

4

0

BEBE 45000

33208333I

Iαcm

cm

Sistema de Ecuaciones a utilizar

0δXδXδ0δXδXδ

22221120

12211110

=⋅+⋅+

=⋅+⋅+

Cálculo del 10δ :

Barra l (m) αij Diagramas Integración Resolución (t2m)

AB 3,60 1,00

( ) 6365180261 ,,, ⋅⋅+⋅⋅− - 8,736

BD 8,00 4,63

( )634

88046526

1,

,, ⋅⋅+⋅−⋅ - 1,659

6348808

31

,, ⋅⋅⋅ - 3,686

100b δIE ⋅⋅ - 14,081



ESTRUCTURAS


Cálculo del 11δ :


AB 3,60 1,00

( ) 6380802802261 ,,,, ⋅⋅⋅+⋅+⋅ 2,928

BD 8,00 4,63

63488080

31

,,, ⋅⋅⋅ 0,369

110b δIE ⋅⋅ 3,297

Cálculo del 2112 δδ = :


AB 3,60 1,00

( ) 6380180261 ,,, ⋅⋅+⋅⋅ 1,248

BC 4,00 4,63

(

) 6344424028040

42808080261

,,,,,

,,,,

⋅⋅⋅+⋅

+⋅+⋅⋅ 0,783

CD 4,00 4,63

63444240

31

,,, ⋅⋅⋅ 0,276

120b δIE ⋅⋅ 2,307



ESTRUCTURAS


Cálculo del 20δ :


AB 3,60 1,00

63658031 ,,, ⋅⋅⋅− - 5,376

BC 4,00 4,63

(

) 6344428828088

42658065261

,,,,,

,,,,

⋅⋅⋅+⋅

+⋅+⋅⋅− - 1,843

( )634

4242803

1,

,, ⋅⋅+⋅− - 10,321

CD 4,00 4,63

( )634

44248826

1,

,, ⋅⋅+⋅−⋅ - 4,700

6344422

31

,, ⋅⋅⋅− - 1,382

200b δIE ⋅⋅ - 23,622



ESTRUCTURAS


Cálculo del 22δ :


AB 3,60 1,00

63808031 ,,, ⋅⋅⋅ 0,768

BC 4,00 4,63

(

) 63,444,24,228,04,2

4,28,08,08,0261

⋅⋅⋅+⋅

+⋅+⋅⋅ 2,400

CD 4,00 4,63

63444242

31

,,, ⋅⋅⋅ 1,659

*220b δIE ⋅⋅ 4,827

Tensor 2,00 ---

**22200,211 δ==⋅⋅

2106

105410

1

δIE **220b

⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⋅⋅⋅

=⋅⋅

, 0,1500

220b δIE ⋅⋅ 4,977

Reemplazando los valores obtenidos en el sistema de ecuaciones queda:

04,977X2,307X23,62202,307X3,297X14,081

21

21

=⋅+⋅+−=⋅+⋅+−

=> ttm

4,095X1,406X

2

1

==



ESTRUCTURAS


Cálculo del Momento Flector Final

22110Final MXMXMM ⋅+⋅+=

tm1,406MA = tm1,204,0950,801,4060,805,60MB =⋅−⋅−=

tm1,594,095,4021,4060,40088MC −=⋅−⋅−= , tm4,00MD −=

Diagrama del Momento Flector Final

Diagrama de Cuerpo Libre Final

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