Metodo de Los Elementos Finitos, Elasticidad Lineal

METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOSElasticidad Lineal

Jose M.a Goicolea

E.T.S. INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES y PUERTOS.

UPM

Marzo de 2002

Elasticidad lineal

Contenido

1. Formulacion fuerte

2. Formulacion debil

3. Formulaciones variacionales

4. Formulacion de Galerkin

5. Formulacion de elementos finitos

6. Formulacion matricial

J.M.a Goicolea Metodo de los elementos finitos

Elasticidad lineal

Contenido

7. Elasticidad 2D. Deformacion plana

8. Elasticidad 2D. Tension plana

9. Elementos 1D

10. Elementos 2D isoparametricos

11. Integracion numerica

12. Elasticidad 2D. Problemas axilsimetricos

13. Elasticidad 3D

14. Elementos 3D isoparametricos


Elasticidad lineal

Formulacion fuerte

Sea = el dominio ocupado por unsolido, cuyo contorno es = u t conu t = . La formulacion fuerte del pro-blema se establece en los siguientes terminos:

u

tDados b : Rn, u : u Rn, t : t Rn, encontrar elcampo de desplazamientos u Rn que cumple:

div + b = 0 en (1)

n = t en t (2)

u = u en u (3)

con = (, , x, . . .) y = su


Elasticidad lineal

Formulacion debil

Dados b : Rn y las funciones u : u Rn, t : t Rn,encontrar el campo de desplazamientos u U | u Vcumple:

(su b u) d

t

t u d = 0 (4)

siendo:

={u H1(,Rn) | u(x) = u x u

}(5)

V = {u H1(,Rn) | u(x) = 0 x u}

(6)

y H1(,Rn) el espacio de Sobolev de orden 1 y grado 2:

H1 = {u : Rn | (u, u) < , (u, u) < }siendo (y, y) def=

y y d.


Elasticidad lineal

Formulaciones variacionales

Considerando el funcional de la energa potencial:

p(u) =

(W (x, ) b u) d

t

t ud (7)

la ecuacion (4) equivale a establecer la condicion de

estacionariedad (mnimo local) del funcional (7):

p estacionario p(u) = 0 (8)Se dice que (4) es la ecuacion variacional del problema

(8), y que la ecuacion (1) es la ecuacion de

Euler-Lagrange asociada al problema variacional (8).

Para la elasticidad lineal (ley de Hooke):

W (x, ) =12 C = W

= C (9)


Elasticidad lineal

Formulaciones variacionales

Existen otros principios variacionales diferentes al

expresado en (8), asociado al funcional de la energa

potencial total (7).

Dichos principios son la base de la formulacion de los

denominados elementos mixtos.

En general se deducen a partir de funcionales

multicampo como, por ejemplo, el de Hu-Washizu:

W (u, , ) =

[W (x, ) + (su ) b u] d

t

t u d


Elasticidad lineal

Formulacion de Galerkin

Sean Vh y Uh aproximaciones de dimension finita de losespacios funcionales V y U, respectivamenteSe adopta la descomposicion:

uh = vh + gh (10)

con vh Vh y gh = u en u (aproximadamente)Dados b : Rn y gh, encontrar el campo dedesplazamientos uh = vh + gh Uh, con vh Vh, tal queuh Vh se cumple:

(suh Csvh h

b uh) d

t

t uh d = 0 (11)


Elasticidad lineal

Formulacion de elementos finitos

El dominio se discretiza en Nel elementos e:

=Nele=1

e i j = , si i 6= j (12)

El elemento e se transforma en un cubo biunitario = [1, 1] [1, 1]

ndim

definido en el espacio isoparametrico de coordenadas {}:

: x e; x = () =nenod

A=1

xaNa() (13)

siendo xa (a = 1, . . . nenod) las coordenadas de los nodos delelemento e


Elasticidad lineal

Formulacion de elementos finitos

Los subespacios de dimension finita Uh y Vh se definenmediante unas funciones de interpolacion

NA, A = 1 . . . nnod (polinomicas), que se denominanfunciones de forma

Uh ={

uh U | uh = g x u; uh =nnod

A=1

uANA()

};

Vh ={

uh V | uh = 0 x u; uh =nnod

A=1

uANA()

}.


Elasticidad lineal

Formulacion matricial

Interpolacion del campo de desplazamientosSi se emplea una formulacion isoparametrica que interpola los

desplazamientos dentro de cada elemento, con la misma

interpolacion que las coordenadas (13):

ueh =nenoda=1

deaNa() = Ne,Tde, (14)

siendo de = (d1, d2, . . . , dnnod)T, el vector (columna) de

desplazamientos nodales del elemento e, y

Ne = (N1, . . . , N1 ndimveces

. . . , Nnnod)T, el vector (columna) de funciones

de forma del elemento.


Elasticidad lineal


Interpolacion del campo de deformacionesDerivando (14), la interpolacion del campo de deformaciones

se realiza tambien dentro de cada elemento y resulta:

ij = (sue,h)ij = 12(Na,idaj + Na,jdai) = Bijakdak,

siendo

Bijak =12(ik + jk)Na,k.


Elasticidad lineal


Operador B de interpolacion de deformacionesEmpleando la notacion matricial en que las tensiones y

deformaciones se expresan en forma de vector (por ejemplo

en 2D: = (xx, yy, 2xy)T):

B(ij)(ak)d(ak) = Bnmdm = sue,h = Bde (15)Por ejemplo, en el caso 2D (ncomp = 3):

[Be] =

N1,x 0 N2,x 0 . . . Nnenod,x 0

0 N1,y 0 N2,y . . . 0 Nnenod,y

N1,y N1,x N2,y N2,x . . . Nnenod,y Nnenod,x

ncompndimnenod

(16)


Elasticidad lineal


Operador B de interpolacion de deformacionesEsta expresion se emplea en la formulacion debil (principio de

los trabajos virtuales, (11)). Desarrollando el primer termino

de dicha ecuacion (trabajo virtual de las tensiones internas):

We,int =

esuh h d

= (de)T 1ndimnenod

eBT

ndimnenodncomph

ncomp1d (17)


Elasticidad lineal


Operador B de interpolacion de deformacionesVemos por tanto que el operador B sirve, ademas de parainterpolar las deformaciones, para el papel conjugado de

integrar las tensiones:

We,int =

esuh h d = (de)T

e(BTh) d

fe,int

(18)

Observacion: Esta propiedad es valida de forma general,

tanto para problemas lineales como no lineales.


Elasticidad lineal


Sustituyendo (14) y (15) en (11) e imponiendo que los

desplazamientos virtuales u son arbitrarios, despues de

operar se obtiene:

Rdef=

nelm

Ae=1

[fe,ext

eBT h() d

]= 0 (19)

donde A[] es el operador de ensamblaje y fe,ext es el vector defuerzas externas convencional que se obtiene a partir de la

expresion (11):

fe,ext =

eNT bd +

teNT td (20)


Elasticidad lineal


OBSERVACIONES:

La ecuacion (19) esta planteada en forma residual

(anulando la diferencia entre las fuerzas externas y las

fuerzas internas), adecuada para problemas no lineales.

En lo sucesivo se considerara el caso de la elasticidad

lineal, en el que si denominamos Ce a la matriz demodulos elasticos (o matriz constitutiva), resulta:

h() = CeBde (21)

entonces la ecuacion (19) se expresa:nelm

Ae=1

[(

eBT CeB d

)]de =

nelm

Ae=1

fe,ext (22)


Elasticidad lineal


La matriz de rigidez elemental se define como:

Ke =

eBTCeB d (23)

Ensamblando los vectores de fuerzas elementales y las

matrices de rigidez elementales:

f =nelm

Ae=1

fe,ext (24)

K =nelm

Ae=1

Ke (25)

el sistema (22) se expresa:

Kd = f d = K1f (26)


Elasticidad lineal

Elasticidad 2D. Deformacion plana

La condicion de deformacion plana es (zz = 0)

xx

yy

xy

=

+ 2 0

+ 2 0

0 0

xx

yy

xy

(27)

zz = (xx + yy) (28)

siendo xy = 2xy, y y los coeficientes de Lame:

=E

(1 + )(1 2) =E

2(1 + )(29)


Elasticidad lineal

Elasticidad 2D. Tension plana

La condicion de tension plana es (zz = 0), que introducidaen las ecuaciones de la elasticidad tridimensional arroja:

xx

yy

xy

=

+ 2 0

+ 2 0

0 0

xx

yy

xy

(30)

zz = E

(xx + yy) (31)

siendo =2

+ 2.


Elasticidad lineal

Elementos 1D

Funciones de interpolacion lineal (a nivel global)

NA(x) =

xxA1hA1

xA1 < x < xAxA+1x

hAxA < x < xA+1

4321

4321

4321

4321

N3

N2

N4

N1


Elasticidad lineal

Elementos 1D

Referencias global y local

NB(x) =x xA

xB xA =x xA

he(32)

Nb() =1 + b

2(33)

A Ba = 1 b = 2

x

a = 1 b = 1


Elasticidad lineal

Elementos 1D

Interpolacion del campo de desplazamientos

uh(x) = uANA(x) + uBNB(x) (34)

uh() = u1N1() + u2N2() (35)

Relacion entre coordenadas locales y globales

(x) =2x xA xB

he(36)

xe() =he + xA + xB

2=

2a=1

Na()xea =12

((1 )xA + (1 + )xB)

(37)


Elasticidad lineal

Elementos 1D

Integracion en coordenadas locales

Keab = +11

Na,()ENb,()1x

d (38)

sustituyendo:

Na, =

[12(1 + a)

]=

12a (39)

x

=

[he + xA + xB

2

]=

he

2(40)

en (38), resulta:

Ke =E

he

1 11 1

(41)


Elasticidad lineal

Elementos isoparametricos

Elemento Q1 (cuadrilatero de cuatro nodos):

-

6

LL

LL

LL,

,,

,,,

BBB1

2

3

4

1 2

34

-

66

-

6

?

2

2x

y


Elasticidad lineal


Interpolacion:

x(, ) =4

I=1 xINI y(, ) =4

I=1 yINI

u(, ) =4

I=1 uINI v(, ) =4

I=1 vINI

con: N(, ) = 14 (1 + I)(1 + I).

Propiedades de las funciones de forma (condicionessuficientes para la convergencia):

1. son continuas y derivables en e

2. son continuas en la frontera de los elementos

3. complitud: u = c0 + c1x + c2y


Elasticidad lineal


Jacobiano de la transformacion isoparametrica y

derivadas de las funciones de forma.

J(, ) =

x, x,

y, y,

siendo:

x, =4

I=1

xeINI, x, =4

I=1

xeINI,

y, =4

I=1

yeINI, y, =4

I=1

yeINI,


Elasticidad lineal


Calculo de las derivadas de las funciones de forma,:

J1(, ) =

,x ,y

,x ,y

= 1

j

y, x,y, x,

; j = det [J(, )]

NI,x = NI,,x + NI,,x

NI,y = NI,,y + NI,,y

Integracion numerica: se pueden emplear diversos tipos

de cuadraturas:

1. Regla trapezoidal

2. Formula de Simpson

3. Cuadratura de Gauss


Elasticidad lineal


Elemento CST

1 (1, 0)3 (0, 0)

x22

1

2 (0, 1)23

1 x1

x()

Las funciones de forma son planos:

Ne1 = 1

Ne2 = 2

Ne3 = 3 = 1 1 2


Elasticidad lineal


Elemento CST

Integracion de funciones

ef(x)d =

nint

l=1

wlf(x(l)) det(

x(l)

)

Matriz jacobiana

x

=

x11

x13x12

x13x21

x23x22

x23


Elasticidad lineal


Elemento LST

(0, 1/2)

1 (1, 0)3 x1

x22

1

2 (0, 1)3

4 (1/2, 1/2)

(1/2, 0)

1

x()

6

52

4

5

6

Funciones de forma:Ne1 = 21 N

e4 = 412

Ne2 = 22 Ne5 = 423

Ne3 = 23 Ne6 = 431


Elasticidad lineal

Integracion numerica

Cuadratura de Gauss:

11

11

g(, )dd =nint

l=1

Wl g(l, l)

-

6

-

6

-

6

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

--

6?6?

- -

6?

?6

13

35

lint = 1 lint = 4 lint = 9


Elasticidad lineal

Elasticidad 2D. Problemas axilsimetricos

Se expresa en terminos de

las coordenadas cilndricas

r (radial), z (axial) y (cir-

cunferencial).

y

xr

z

Condicion de simetra axial: todas las variables son

independientes de y ademas: u=0, r = z = 0

En todos los integrandos hay que considerar un factor de

2r


Elasticidad lineal

Elasticidad 2D. Problemas axilsimetricos

Relacion tension - deformacion

rr

zz

rz

=

+ 2 0

+ 2 0

0 0 0

0 + 2

rr

zz

rz

La matriz B (interpolacion del campo de deformaciones) es:

B =

Na,r 0

0 Na,z

Na,z Na,rNar 0

a = 1 . . . nnenod


Elasticidad lineal

Elasticidad 3D

Relacion tension - deformacion

xx

yy

zz

xy

xz

yz

=

+ 2 0 0 0

+ 2 0 0 0

+ 2 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

xx

yy

zz

xy

xz

yz


Elasticidad lineal

Elasticidad 3D

Interpolacion del campo de deformaciones (matriz B)

B =

Na,x 0 0

0 Na,y 0

0 0 Na,z

Na,y Na,x 0

Na,z 0 Na,x

0 Na,z Na,y

a = 1 . . . nnenod


Elasticidad lineal

Elementos 3D isoparametricos

Hexaedro trilineal

8

5

6

e

2 3

5 8

7

1 46

= (, , )

x = x(x, y, z)

2

3

4

17

Na(, , ) =18(1 + a)(1 + a)(1 + a)


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