UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de ciencias.

Escuela Profesional de Fısica.

Topicos de investigacion I.

Simulacıon de radiacion electromagnetica usandoel metodo de los momentos (MoM).

Ticse Torres Royer.

Asesor:

Dr. Carlos Javier Solano Salinas

1

Resumen

En este trabajo introducimos los fundamentos del Metodo de los Momentos,una poderosa herramienta para la solucion de problemas de campo electro-magnetico, mostramos una aplicacion a la antena lineal obteniendo el patronde radiacion.

Indice general

1. Introduccion 21.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Metodo de los momentos (MoM). 32.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Metodo de los momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3. Principio de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4. Funciones de base y prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.1. Funciones base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4.2. Funciones Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Ecuaciones Integrales 83.1. Ecuacion Integral del Campo Electrico(EFIE) . . . . . . . . . 8

4. Aplicacion a la antena lineal 104.1. Antena lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2. Ecuacion integral de Pocklington . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3. Aplicando el metodo de momentos . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3.1. Matriz de impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4. Programacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.4.1. Patron de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Resultados 16

Bibliografıa 21

A. NEC(Numerical Electromagnetics Code) 22A.1. Ejemplo1. Antena lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

B. 25B.1. Diadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25B.2. Codigo utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1

Capıtulo 1

Introduccion

El metodo de momentos, aplicado a problemas de electromagnetismo,fue introducido por Roger F. Harrigton in 1967 en su artıculo, “MatrixMethods for Field Problems”. La implementacion del metodo de momentosen Lawrence Livermore National Labs durante los 70s, establecio esta tecnicade solucion para el diseno de antenas.Para determinar la distribucion de corriente en una antena lineal resultadode una exitacion arbitraria puede ser establecido en terminos de una ecuacionintegral. Esta ecuacion emplea una funcion de Green el cual relaciona uncampo electrico conocido de las condiciones de contorno con una distribuciondesconocida de corriente en la antena. El metodo de momentos (MoM) aplicaexpanciones para convertir la ecuacion integral en un sistema de ecuacioneslineales. Funciones de base son usados para la expancion de la corriente yfunciones de prueba para el campo electrico. La distribucion de coriente esluego contruido de los coeficientes de la expancion. Las caracteristicas de laradiacion de la antena son derivadas luego del calculo de la distribucion deecorriente.En este trabajo se implementa el metodo para el analisis de una antenalineal. La teoria matematica en el cual es basada es presentada y se derivanlas ecuaciones integrales que describen la corriente en la antena. La solucionde esta ecuacion integral es realizada por el metodo de momentos el cual sebasa en la expancion de la corriente en un conjunto de funciones base.

1.1. Objetivo

Estimar la distribucion de la corriente y el patron de radiacion en unaantena lineal, implementando un programa para el analisis de la antenausando el metodo de momentos.

2

Capıtulo 2

Metodo de los momentos(MoM).

2.1. Planteamiento

Numerosos problemas fısicos conducen a ecuaciones integro-diferencialesque pueden expresarse de la forma:

Lu = v (2.1)

Donde “u” es un elemento desconocido de un espacio de funciones U , “y“ esun elemento conocido(prefijado) de un espacio de funciones V (que puede co-incidircon U) y L es un operador integro-diferencial de U en V . La ecuacion(2.1) estara completada con algun tipo de condicion de contorno aplicable a“u”.En general, “u” constituye la respuesta del sistema fısico considerando unaexitacion “v”, el operador L representa los fenomenos fısicos que relacionanexitacion y respuesta junto a datos tales como geometria del sistema.En problemas electromagneticos, la funcion “v” representa magnitudes detipo corrientes, potenciales y campos tanto electricos como magneticos convalores impuestos al sistema (condiciones de contorno) y la funcion “u” suelerepresentar corrientes, densidades de carga, etc.

2.2. Metodo de los momentos

El metodo de los momentos es un procedimiento general para obten-er soluciones aproximadas de ecuaciones de la forma (2.1). El primer pasoconsiste en representar la funcion incognita “u” como combinacion lineal deinfinitas funciones que se denominan funciones base:

u =∞∑

n=1

Infn (2.2)

donde fn son las funciones base y In son coeficientes desconocidos. En lapractica es imposible trabajar con sumas infinitas , por lo que reducimos elsumatorio a un numero finito de terminos N.

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Figura 2.1: Diagrama del Metodo de los momentos.

u ≈ un =N∑

n=1

Infn (2.3)

Las funciones de la forma un estaran contenidas en el espacio funcional Un

definido por la base {u1...un}. como se representa en la figura. Si se sustituyeel desarrollo de u (2.3) en (2.1) y por la linealidad del operador.

N∑n=1

InLfn = v (2.4)

Esta expresion es valida si el operador L se puede aplicar sobre las funcionesbase, si su eleccion es adecuada , puede obtenerse a partir del generadorL un operador extendido con las mismas propiedades de L que se puedaaplicarse sobre las funciones base.El espacio generado por las N funciones InLfn , en general, no contiene lafuncion v. Por tanto, al sustituir por su aproximacion aparecera un error.

N∑n=1

InLfn − v = eN (2.5)

Los coeficientes In deberan escogerse de forma que minimicen la funcionerror eN .En el metodo de los momentos este error se minimiza de la siguiente forma:

1. Se define un producto escalar valido tanto en V como en Lfn.

2. Se definen tantas funciones de peso o prueba, wm linealmente inde-pendientes como funciones base N.

3. Se escogen los coeficientes wm de forma que los N productos escalaresde la funcion error eN por las N funciones de peso se cancelen:

〈eN , wm〉 = 0 (2.6)

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Multiplicando escalarmente (2.5)

N∑n=1

In〈Lfn, wm〉 = 〈v, wm〉 (2.7)

donde m = 1, 2, ..., N , que constituye un sistema de N ecuaciones, una porcada funcion de peso, y N incognitas, los coeficientes In.sustituyendo los valores obtenidos al resolver (2.7) en (2.3) se obtiene lasolucion aproximada buscada.El conjunto de ecuaciones (2.7) se puede escribir de forma matricial como:

[Z][I] = [V] (2.8)

donde Z es la matriz del sistema (N ×N), denominada matriz de impedan-cias, con Zm,n = 〈wm, Lfn〉, I es el vector de pesos incognita (N × 1),con In = In y V es el vector columna de valores conocidos (N × 1), conVm = 〈v, wm〉 .Despejando el vector de incognitas:

[I] = [Z]−1[V] (2.9)

En caso particular de que las funciones base y peso sean identicas, almetodo de los momentos se le suele denominar metodo de Galerkin.

2.3. Principio de equivalencia

El problema general que se predende resolver es de la forma representadaen la figura.

Figura 2.2: Problema general de dispersion

El campo electromagnetico total en el medio 1 se puede descomponer enun campo incidente o impreso ( ~Ei, ~Hi) que serıa generado por las fuentessuponiendo que no existe obstaculo y un campo inducido o reflejado ( ~Es, ~Hs)que es la pertubacion debida a la presencia del obstaculo. En el medio 2 nose realiza ninguna descomposicion y el campo recibe el nombre de transmi-tido ( ~Et, ~Ht).El teorema de equivalencia permite anular el campo en le medio 2 sin mod-ificarlo en el medio 1,

ello implica la introduccion una distribucion superficial de corrientes elec-tricas y magneticas en la superficie de separacion, cuyo valor puede obtenerseaplicando las condiciones de frontera.

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Figura 2.3: Problema equivalente.

~Js = n× ( ~Hi + ~Hs) (2.10)

~Ks = n× ( ~Ei + ~Es) (2.11)

Con esta suposicion el campo impreso estara generado por las fuentesoriginales, y el campo inducido se debera a las corrientes superficiales denom-inadas corrientes inducidas. Para ambos casos se considera espacio infinito,lineal, homogeneo e isotropo con las caracteristicas del medio 1.

2.4. Funciones de base y prueba

2.4.1. Funciones base

Las funciones de base se pueden clasificar en dos categorias [3]:

Funciones definidas en todo el dominio del operador.Este tipo de funciones se caracteriza por anularse en un numero finitode puntos del dominio. Sobre geometrias particulares estas funcionespermiten obtener un numero reducido de incognitas.

Funciones base de subdominios, es subdividir la antena en pequenossegmentos y modelar la distribucion de corriente en cada segmentopor una construccion geometrica que puede ser rectangular, triangularo sinusoidal. La amplitud de estas construciones representa los coefi-cientes de la funcion expandida.

Varios tipos de funcion base definidas en un subdoinio:Funcion base pulso

Pn(x) =

{1, si (xn−1 + xn)/2 ≤ x ≤ (xn + xn+1)/20, resto

Funcion base triangulo lineal

Tn(x) =

(x− xn−1)/(xn − xn−1), si xn−1 ≤ x ≤ xn

(xn+1 − x)/(xn+1 − xn), si xn ≤ x ≤ xn+1

0, resto

Funcion base triangulo sinusoidal

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TSn(x) =

senβ(x− xn−1)/ senβ(xn − xn−1), si xn−1 ≤ x ≤ xn

senβ(xn+1 − x)/ senβ(xn+1 − xn), si xn ≤ x ≤ xn+1

0, resto

donde β es la constante de variacion de fase de la funcion a representar.

2.4.2. Funciones Prueba

Analogamente a las funciones base, las funciones de prueba se puedenclasificar en [3]:

Funciones de prueba definidas en el dominio del operadorEstas funciones no suelen utilizarse en la practica debido a los largoscaculos que originan.

Funciones de prueba definidas en un intervalo del dominio.

Dentro de esta categorıa se incluyen las funcuones presentadas anteriormentey anadimos algunas.Funciones prueba delta de Dirac δ(x− xn)La eleccion de este tipo de funciones han sido utilizadas en el analisis de an-tenas sencillas, modeladas con subdominios de dimenciones similares, perocuando la geometrıa de la antena se complica o los subdominios tienen di-mensiones diferentes los resultados se vuelven inestables.Funciones de prueba pulso de exitacionEste tipo de funciones intentan mejorar los resultados que se obtiene con lasfunciones pulso.

PEn(x) =

{y(x)/

∫ xn2

xn1y(x)dx, si xn1 ≤ x ≤ xn2

0, resto

Presentan la ventaja de permitir una representacion exacta de la ex-itacion, salvo en los extremos del intervalo, y el inconveniente de requerircalculos mas complicados que la funcion pulso.

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Capıtulo 3

Ecuaciones Integrales

3.1. Ecuacion Integral del Campo Electrico(EFIE)

Para un sistema de cargas y corrientes que varian con el tiempo, podemosefectuar un analisis de Fourier de la dependencia temporal y tratar de formaseparada cada una de las componentes.Por tanto, no perdemos generalidadsi consideramos que los potenciales, los campos y la radiacion debidos a unsistema localizado de cargas varıan sinusoidalmente con el tiempo.[2]

ρ(x, t) = ρ(x)e−jwt

~J(x, t) = ~J(x)e−jwt

Para obtener las magnitudes fısicas tomaremos la parte real de las expre-siones. Los potenciales y campos electromagneticos presentan el mismo tipode dependencia con el tiempo.

El campo electrico en funcion de los potenciales esta dado por:

~E = −∇φ− jw ~A (3.1)

,de la condicion de Lorentz:

∇. ~A + µεjwφ = 0

φ = − ∇. ~A

jwµε

luego, tenemos~E = −jw ~A +

1jwµε

∇(∇. ~A) (3.2)

Para la dependencia temporal de tipo sinusoidal, el potencial vector es:

~A =µ

4π

∫~J(~r′)

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|dv′

reemplazando:

~E = −jwµ

4π

∫~J(~r′)

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|dv′ +

1jwµε

∇(∇.µ

4π

∫~J(~r′)

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|dv′)

podemos intercambiar los operadores ∇y∫

dv′,

8

~E =µ

4π

∫{−jw ~J(~r′)

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|+

1jwµε

∇[∇.( ~J(~r′)e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|)]}dv′ (3.3)

de la identidad ∇.(φ ~A) = φ∇. ~A + ~A∇φ:

∇.( ~J(~r′)e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|) =

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|∇. ~J(~r′) + ~J(~r′).∇(

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|)

∇.( ~J(~r′)e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|) = ~J(~r′).∇(

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|)

ya que ∇. ~J(~r′) = 0. Luego usando la identidad ∇( ~A. ~B) = ~A× (∇× ~B)+~B × (∇× ~A) + ( ~A.∇) ~B + ( ~B.∇) ~A, tenemos que:

∇[ ~J(~r′).∇(e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|)] = ~J(~r′)×(∇×(∇(

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|))) + (∇(

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|))×(∇× ~J(~r′))

+ ( ~J(~r′).∇)(∇(e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|)) + ((∇(

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|)).∇) ~J(~r′)

∇[ ~J(~r′).∇(e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|)] = ( ~J(~r′).∇)(∇(

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|)) + ((∇2(

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|))) ~J(~r′)

∇[ ~J(~r′).∇(e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|)] = ( ~J(~r′).∇)(∇(

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|))

sustituyendo en (3.3):

~E =µ

4π

∫{−jw ~J(~r′)

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|+

1jwµε

[ ~J(~r′).∇]∇(e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|)}dv′

~E =µ

4πjwµε

∫{−jw(jwµε) ~J(~r′)

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|+ ~J(~r′).∇∇(

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|)}dv′

~E =µ

4πjwµε

∫{ ~J(~r′).[(−jw)(jwµε)I +∇∇]

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|}dv′

donde I es la diadica unitaria (Apendice.B1) y ademas k2 = w2µε, entonces

~E = −µjw

4π

∫~J(~r′).[I +

1k2∇∇]

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|dv′ (3.4)

esta es la ecuacion integral para el campo electrico(EFIE). Tambien lo pode-mos expresar como:

~E = −µjw

4π

∫~J(~r′).G(~r, ~r′)dv′ (3.5)

donde G(~r, ~r′) = [I + 1k2∇∇] e−jk|~r−~r′|

|~r−~r′| se le denomina diadica de Green.

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Capıtulo 4

Aplicacion a la antena lineal

4.1. Antena lineal

Un dipolo electrico radiante es una antena lineal, que puede ser vistacomo un conductor perfecto cilindrico con radio a y longitud l en posiciona lo largo del eje z alimentada por su centro como se muestra en la figura.La variable R representa la distancia entre la fuente de corriente y el punto

Figura 4.1: Antena lineal [5]

de observacion del campo. La distribucion de coriente Iz(z′) es definido a lolargo de la longitud de la antena desde z′ = −L/2 hasta z′ = L/2. Luegonosotros podemos asumir que la corriente en el dipolo existe solamente comouna corriente superficial ~Js.

~Js = Jsz = Js(z)z = zI(z)2πa

(4.1)

Asumimos que a << λ y l >> a, esto es referido como la aproximacionde hilo delgado [1] . El campo electrico total ~E puede ser separado en doscomponentes:

~E = ~Ei + ~Es (4.2)

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donde, el campo electrico impreso ~Ei es debido a la exitacion, que es distin-tode cero solo en el gap de alimentacion

~Ei =V

ζz, z < |ζ/2| (4.3)

y el campo electrico dispersado ~Es debido a la corriente inducida en lasuperficie de la antena .

4.2. Ecuacion integral de Pocklington

El campo ~Es se relaciona con la ecuacion (3.4)

~E = −µjw

4π

∫~J(~r′).[I +

1k2∇∇]

e−jk|~r−~r′|

|~r − ~r′|dv′

reemplazando valores:

~Es = −µjw

4π

∫ L/2

−L/2I(z′)z.[I +

1k2∇∇]

e−jkr√

(z−z′)2+ρ2√(z − z′)2 + ρ2

dz′

~Es = −µjw

4π

∫ L/2

−L/2I(z′)[z +

1k2

z.∇∇]e−jkr

√(z−z′)2+ρ2√

(z − z′)2 + ρ2dz′

~Es = −µjw

4π

∫ L/2

−L/2I(z′)[z +

1k2

∂

∂z∇]

e−jkr√

(z−z′)2+ρ2√(z − z′)2 + ρ2

dz′

imponiendo al campo electrico total ~E la condicion de contorno de que sucomponente tangencial sea cero en cualquier posicion sobre la superficie.

( ~Ei + ~Es).z|ρ=a = 0 (4.4)

~Esz |ρ=a = − ~Ei

z|ρ=a

donde, ~Eiz = 0 en la superficie de la antena y ~Ei

z = V/ζ en la abertura dealimenacion.

por tanto

−µjw

4π

∫ L/2

−L/2(I(z′)[z +

1k2

∂

∂z∇]

e−jkr√

(z−z′)2+a2√(z − z′)2 + a2

dz′).z = −V

ζδ(z)

∫ L/2

−L/2I(z′)[k2 +

∂2

∂z2]e−jkr

√(z−z′)2+a2√

(z − z′)2 + a2dz′ =

4π

jwµ

V

ζk2δ(z)

ademas sabemos que k2 = w2µε, luego

∫ L/2

−L/2I(z′)[k2 +

∂2

∂z2]e−jkr

√(z−z′)2+a2√

(z − z′)2 + a2dz′ = −4πjwε

V

ζδ(z) (4.5)

esta formulacion para la antena lineal es conocida como la ecuacion inte-gral de Pocklington. Las caracteristicas de la radiacion son detrminadas delconocimiento de la distribucion de corriente en la antena Iz(z′), de las di-versas tecnicas disponibles para resolver esta ecuacion integral, el metodode momentos es una de las mas populares en la industria.

11

4.3. Aplicando el metodo de momentos

El procedimiento de solucion se inicia definiendo la desconocida distribu-cion de corriente Iz(z′) in terminos de un conjunto ortogonal de funcionesbase. En la figura se muestra algunas construcciones de las funciones base,

Figura 4.2: Funciones base en subdominios.[5]

donde se mantiene la continuidad de la distribucion de corriente a lo largode la antena. Discretizamos el dominio fısico de las fuentes en un numerosN de tramos tomando N + 1 puntos z′n con separacion conastante h = L/Nentonces z′n = nh con n = 0, 1, 2, ...N . Luego elegimos las funciones base detal forma que se asemejen a la distribucion de corrriente, elegimos las deltipo triangulo sinusoidal:

I(z′) =N∑

n=1

Infn(z′) (4.6)

con

fn(z′) =

sen k[z′−h(n−1)]

sen kh , si nh ≤ z′ ≤ (n− 1)hsen k[h(n−1)−z′]

sen kh , si (n + 1)h ≤ z′ ≤ nh

0, resto

donde n = 1, 2, ..., N − 1. La amplitud de estas funciones representan loscoeficientes de la funcion expandida.

Definimos las funciones de prueba en terminos del delta de Dirac.

Wm = δ(z − zm) (4.7)

donde zm son los puntos especificos en la antena en el cual las condicionesde contorno se cumplen, corresponden al punto medio de de cada funcionde base. es decir Zm = mh con m = 1, 2, ..., N

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4.3.1. Matriz de impedancia

La matriz de impedancia esta dado por

Zm,n = 〈wm, Lfn〉

reemplazando, tenemos

Zmn =∫ L/2

−L/2δ(z −mh)

{∫ L/2

−L/2fn(z′)[k2 +

∂2

∂z2]e−jk

√(z−z′)2+a2√

(z − z′)2 + a2dz′

}dz

Zmn =∫ L/2

−L/2fn(z′)[k2 +

∂2

∂z2]e−jk

√(z−z′)2+a2√

(z − z′)2 + a2|z=mh dz′ (4.8)

Aproximando ∂2f∂z2 mediante diferencias finitas(Apendice):

∂2f

∂z2≈ 1

h2[f(z − h)− 2f(z) + f(z + h)]

∂2f

∂z2

(e−jk

√(z−z′)2+a2√

(z − z′)2 + a2

)≈ 1

h2

[e−jk

√(z−h−z′)2+a2√

(z − h− z′)2 + a2− 2e−jk

√(z−z′)2+a2√

(z − z′)2 + a2+

e−jk√

(z+h−z′)2+a2√(z + h− z′)2 + a2

]z=mh

reemplazando

Zmn =∫ L/2

−L/2fn(z′)[k2 e−jkRm

Rm+

1h2

{e−jkRm−1

Rm−1− 2

e−jkRm

Rm+

e−jkRm+1

Rm+1

}]dz′

Zmn =1h2

∫ L/2

−L/2fn(z′)[

e−jkRm−1

Rm−1+(k2h2−2)

e−jkRm

Rm+

e−jkRm+1

Rm+1]dz′ (4.9)

donde, Rm =√

(mh− z′)2 + a2

La integral en z′ se puede resolver asumiendo que (k2 + ∂2

∂z2 )g(r, r′) semantiene uniforme en el subdominio fuente [4]. de donde obtenemos:

Zmn =1h2

[e−jkRm−1,n

Rm−1,n+ (k2h2 − 2)

e−jkRm,n

Rm,n+

e−jkRm+1,n

Rm+1,n]∫ L/2

−L/2fn(z′)dz′

(4.10)donde, Rm,n =

√[(m− n)h]2 + a2

Resolviendo la integral:∫ L/2

−L/2fn(z′)dz′ =

∫ (nh)

(n−1)h

senk[z′ − h(n− 1)]senkh

dz′+∫ (n+1)h

nh

senk[h(n + 1)− z′]senkh

dz′

tenemos que: ∫ L/2

−L/2fn(z′)dz′ =

4sen2(kh2 )

ksenkh

reemplazando en (4.10), obtenemos:

Zmn =1h2

[e−jkRm−1,n

Rm−1,n+(k2h2−2)

e−jkRm,n

Rm,n+

e−jkRm+1,n

Rm+1,n]4sen2(kh

2 )ksenkh

(4.11)

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Ahora, llenamos los valores conocidos para el vector columna V , dado por:

Vm = 〈wm, v〉

Vm =⟨

δ(z −mh),−4πjwεV

ς

⟩Vm =

∫ L/2

−L/2δ(z −mh)− 4πjwε

V

ςdz′ (4.12)

Vm(z′) =

{−4jπwεV

ς , para m = N+12

0, resto

Teniendo Zmn y Vm podemos calcular los coeficientes In de la relacion (2.9)

[I] = [Z]−1[V]

4.4. Programacion

La codificacion puede hacerse en cualquier lenguaje de maquina, o usan-do software como Matematica o Matlab, incluso existen codigos comerciales,como el NEC (Numerical Electromagnetic Code)[ver apendice A], que es utilen la solucion de varios problemas y que emplea las ecuaciones resuelta porel Metodo de Momentos pero que tiene limitaciones, principalmente paraestructuras complicadas que requieren qran cantidad de segmentaciones. Eneste trabajo usamos el software matematico Matlab por su sencilla manip-ulacion de matrices y la representacion de datos y funciones.

A continuacion explicamos el prcedimiento seguido para la solucion denuestro problema.Primero llenamos la matriz de impedancia Zmn

c1=1/(2∗pi∗ sin (2∗pi∗h ) ) ;c2 = 4∗ sin ( pi∗h)∗ sin ( pi∗h ) ;c3=c1/c2 ;Z = zeros (N,N) ;for m=1:N ;

for n=1:N;Z(m, n)=c3 . / ( h∗h )∗ (exp(−1 j ∗2∗pi∗sqrt ( ( (m−n−1)∗h)ˆ2+a ˆ2))/ sqrt ( ( (m−n−1)∗h)ˆ2+a ˆ 2 ) . . .

+(k∗k+h∗h−2)∗exp(−1 j . ∗ 2 . ∗ pi .∗ sqrt ( ( (m−n ) . ∗ h)ˆ2+a ˆ2))/ sqrt ( ( (m−n ) . ∗ h).ˆ2+a ˆ 2 ) . . .+exp(−1 j . ∗ 2 . ∗ pi .∗ sqrt ( ( (m−n+1).∗h)ˆ2+a ˆ2))/ sqrt ( ( (m−n+1).∗h).ˆ2+a ˆ2))

endend

El llenado del vactor de valores conocidos se logra arreglando los valoresde la ecuacion(4.12) en un vector columna Vm. Los coeficientes In de lasfunciones base se obtiene al invertir la matriz Zmn y multiplicarla por elvector Vm.

V=zeros (N, 1 ) ;V( (N+1)/2) = (−1 j ∗8∗pi∗pi ) . / ( eta ∗gap ) ;Z=Z ;z = [Z]ˆ−1;I = z∗V

con estos valores podemos tener la distribucion de la corriente a lo largodel alambre.

14

4.4.1. Patron de radiacion

El patron de radiacion es una de las caracteristicas mas importantes deuna antena, porque describe el comportamiento direccional de la energıaque radia. Basicamente es una funcion que asocia a cada posible direccionde radiacion, un valor proporcional a la densidad de potencia que radia laantena en dicha direccion. El patron de radiacion de una antena no dependede la distancia entre un punto y la antena; y simplemente indica la cantidadde potencia que fluye en cada direccion, referenciada a la potencia que fluyeen otras direcciones. Dado por [4]

F (θ) =|Nθ(θ)||Nθ(π/2)|

donde: Nθ(θ) = [∫

I(z′)ezejkz′cosθdz′].eθ F (θ) se puede estimar, numerica-

Figura 4.3: vector de radiacion[4]

mente, para un conjunto de k valores del angulo θ. Para ello reemplazamosI(z′) por su aproximacion I(z′) ≈

∑n Infn(z′)

Nθ(θ) = −senθ

∫ ∑n

Infn(z′)ejkz′cosθdz′

con θ = {θ0, θ1, . . . , θk}

15

Capıtulo 5

Resultados

Prueba 1

Descripcion sımbolo valorlongitud de onda (normalizada) λ 1gap de alimentacion ς 0.01 λ

impendancia intrinseca eel vacio η =√

µ/ε 377longitud de la antena L 0.5 λ

radio transversal de la antena a 0.001 λ

Voltaje V 1Numero de tramos NT 20

Funciones base.

Figura 5.1: funciones base

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Distribucion de los coeficientes In de las funciones base.

Figura 5.2: Distribucion de coeficientes

Distribucion de la corriente.

Figura 5.3: Distribucion de corriente

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patron de radiacion L = 0,5λ .

Figura 5.4: Patron de radiacion

Prueba 2

Mismas condiciones anteriores con longitud de la antena L = 1λ y nu-mero de tramos NT = 80.

Figura 5.5: Distribucion de coeficientes

Distribucion de la corriente.

18

Figura 5.6: Distribucion de corriente

patron de radiacion L = λ.

Figura 5.7: Patron de radiacion

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Conclusiones

Usamos el metodo de los momentos aplicado a la antena lineal parapoder determinar de forma aproximada la distribucion de corriente y elpatron de radiacion. La simulacion de la antena se realizo con el programade Matlab, el patron de radiacion calculado fue de acuerdo a lo esperado;estas son vaidadas con las simulaciones que se realizaron con el 4Nec2. Almismo tiempo, se pueden realizar nuevas implementaciones y mejoras alcodigo cambiando las funciones base y las funciones de prueba.

20

Bibliografıa

[1] V.V. Nikolski, Electrodinamica y propagacion de ondas de radio, MIR,Moscu, 1980.

[2] J.D. Jackson, Electrodinamica clasica,2da edicion, Jhon Wiley-Sons,Espana, 1980.

[3] J. L. Fernandes, Contribucion al estudio de antenas en las cercanias decuerpos conductores aplicando el metodo de los momentos y modeladopor hilos.Universidad Politecnica de Madrid, 1985.

[4] A. Zozaya. Caracterizacion de antenas lineales usando el metodo de losmomentos. Laboratorio de electromagnetismo aplicado. Universidad deCarabobo.

[5] The Method of Moments: A Numerical Technique for Wire AntennaDesign. By W.D. Rawle. Smiths Aerospace

http://www.highfrequencyelectronics.com/Archives/Feb06/HFE0206_Rawle.pdf

[6] http://home.ict.nl/~arivoors/

21

Apendice A

NEC(NumericalElectromagnetics Code)

En 1981, G. J.Burge [4], en un rreporte de investigacion para LawrenceLivermore Laboratory, usando un codigo anterior, llamado AMP(AntenaModeling Program), desarrollo el codigo NEC (Numerical ElectromagneticsCode), un programa para el analisis de la respuesta electromagnetica deantenas y otras estruccturas. El codigo esta construido, empleando el Metodode los momentos, a partir de la solucıon de ecuaciones integrales de lascorrientes inducidas en la estructura, tanto para fuentes como para camposincidentes.Este programa existen en sus versiones para Unix, Linux y windown, dada lafecha de origen, esta orientado hacia el uso de tarjetas perforadas y Fortan.no tiene interface grafica y todo el proceso de visualizacion de resultadosdebe hacerse en el post-procesamiento. Usando el nucleo computacionalsehan desarrollado diversas interfaces de mayor sencillez, desafortunadamenteson comerciales. en este trabajo utilizamos el 4nec2 que se puede descargardirectamente del link:

http://home.ict.nl/~arivoors/4nec2zip.zip

4nec2c es un NEC2 completamente libre, herramientas basadas en la creacionvisualizacion, optimizacion y control en 2D y 3D de la estructura geometricade la antena. Permite generar patrones de radiacion del campo cercano ylejano. A continuacion mostramos la aplicacion a la antena lineal. [6]

A.1. Ejemplo1. Antena lineal

Parametros iniciales y geometrıa:

22

Figura A.1: Ventana principal y geometria

Figura A.2: Patron de radiacion

23

Figura A.3: E(θ)

Figura A.4: E(φ)

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Apendice B

B.1. Diadas

Una diada consiste en la yuxtaposicion de dos vectores, ~A~B, se lee “vector~A veces el vector ~B” y es denominado producto diatico. El resultado de esteproducto, que es la misma diada, se puede expresar en forma matricial comoel producto de un vector columna con las componentes del vector ~A y unvector fila con las componentes del vector ~B, es decir mediante el producto~A~BT .

~A~B =(a1 a2 a3 a4

)b1

b2

b3

b4

=

a1b1 a1b2 a1b3

a2b1 a2b2 a2b3

a3b1 a3b2 a3b3

La diadica ∇~r = e1e1 + e2e2 + e3e3 se conoce como diadica unitaria, y sesuele asignar como I.

Propiedades.

En general ~A~B 6= ~B ~A

~C. ~A~B = (~C. ~A) ~B

~A.I = I. ~A = ~A

B.2. Codigo utilizado

function momentos (L ,NT)lambda =1;gap =0.01∗ lambda ;eta = 377 ;L = lambda ;a=0.001∗ lambda ;NT=50;N=NT−1;h=L/NT;k=2∗pi/lambda ;%%%%%%%%%%%%c1=1/(2∗pi∗ sin (2∗pi∗h ) ) ;c2 = 4∗ sin ( pi∗h)∗ sin ( pi∗h ) ;c3=c1/c2 ;Z = zeros (N,N) ;

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for m=1:N ;for n=1:N;Z(m, n)=c3 /(h∗h )∗ ( exp(−1 j ∗2∗pi∗sqrt ( ( (m−n−1)∗h)ˆ2+a ˆ2))/ sqrt ( ( (m−n−1)∗h)ˆ2+a ˆ 2 ) . . .

+(k∗k+h∗h−2)∗exp(−1 j . ∗ 2 . ∗ pi .∗ sqrt ( ( (m−n ) . ∗ h)ˆ2+a ˆ2))/ sqrt ( ( (m−n ) . ∗ h).ˆ2+a ˆ 2 ) . . .+exp(−1 j . ∗ 2 . ∗ pi .∗ sqrt ( ( (m−n+1).∗h)ˆ2+a ˆ2))/ sqrt ( ( (m−n+1).∗h).ˆ2+a ˆ2))

;end

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%V=zeros (N, 1 ) ;V( (N+1)/2) = (−1 j ∗8∗pi∗pi )/ ( eta ∗gap ) ;

%%%%%%z = [Z]ˆ−1;I = z∗V;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x=−L/2+h : h :L/2−h ;x=x ’ ;I=I . ∗ ( abs ( x)>gap ) ;subplot ( 2 , 2 , 1 )plot (x , abs ( I ) , ’ rx ’ )xlabel ( ’ z\prime/\ lambda ’ )ylabel ( ’ I n ’ )axis ([−L/2 L/2 .9∗min(abs ( I ) ) 1 .1∗max(abs ( I ) ) ] )t i t l e ( ’ D i s t r i buc i on de l o s c o e f i c i e n t e s ’ )

Nx=10∗NT; % numero de muestras de l a c o r r i e n t ehx=L/(Nx ) ; % paso para e l computo de l a s func iones basesx2=linspace (0 ,L ,Nx ) ; % subespac io x ’i=zeros (1 ,Nx ) ; % vec to r de muestras de l a c o r r i e n t ef 1=zeros (N,Nx ) ;f 2=zeros (N,Nx ) ;length ( x2 ) ;c3=1/sin (2∗pi∗h ) ;for n=1:N;f 1 (n , : )= sin (2∗pi . ∗ ( ( n+1)∗h−x2 ) ) . ∗ ( ( x2>(n∗h))&(x2<(h∗(n+1) ) ) ) ;f 2 (n , : )= sin (2∗pi . ∗ ( x2−(n−1)∗h ) ) . ∗ ( ( x2<(n∗h))&(x2>(h∗(n−1 ) ) ) ) ;i=i+I (n ) . ∗ c3 . ∗ ( f 1 (n , : )+ f2 (n , : ) ) ;end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%y=−L/2+hx /2 : hx :L/2−hx /2 ;

subplot ( 2 , 2 , 2 )plot (y , c3 ∗( f 1 (1 , : )+ f2 ( 1 , : ) ) , y , c3 ∗( f 1 (2 , : )+ f2 ( 2 , : ) ) , y , c3 ∗( f 1 (3 , : )+ f2 ( 3 , : ) ) )xlabel ( ’ z\prime/\ lambda ’ )ylabel ( ’ f n ( z\prime ) ’ )axis ([−L/2 L/2 0 1 ] )t i t l e ( ’ f unc i one s bases ’ )legend ( ’ f 1 ( z\prime ) ’ , ’ f 2 ( z\prime ) ’ , ’ f 3 ( z\prime ) ’ )

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%subplot ( 2 , 2 , 3 )plot (y , abs ( i ) , x , abs ( I ) , ’ rx ’ )axis ([−L/2 L/2 min(abs ( i ) ) ∗ . 9 1 .1∗max(abs ( i ))+eps ∗10 ] )t i t l e ( ’ D i s t r i bu c i on e s de c o e f i c i e n t e s y de c o r r i e n t e ’ )xlabel ( ’ z\prime/\ lambda ’ )legend ( ’ I ( z\prime ) ’ , ’ I n ’ )xlabel ( ’ z\prime/\ lambda ’ )ylabel ( ’ I n , I ( z\prime ) ’ )

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%theta=linspace (0 ,2∗pi , 4 0 ) ;c theta=diag ( cos ( theta ) ) ;xtheta=repmat (y ’ , 1 , length ( c theta ) )∗ c theta ;i ;N=i ∗exp(1 j ∗2∗pi∗ xtheta ) ; % vec to r de r ad i a c i \ ’{o}nAtheta=N.∗ sin ( theta ) ; % Atheta en l a zona l e j anasubplot ( 2 , 2 , 4 )polar ( theta , abs ( Atheta ) . /max(abs ( Atheta ) ) ) ;t i t l e ( ’ patron de rad i a c i on ’ )

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