Metodo de Rayleigh Ritz-ejercicios
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7/29/2019 Metodo de Rayleigh Ritz-ejercicios
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INGENIERA ANTISSMICA
SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD MTODO DE RAYLEIGH RITZ 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PER FACULTAD DE INGENIERA CIVIL
INTRODUCCIN
Cuando los sistemas son complejos, es muy difcil o imposible en la prctica encontrar
soluciones para el problema de encontrar las respuestas del sistema a un conjunto
(probablemente complejo) de excitaciones. Como un medio practico de resolucin, Lord
Rayleigh propuso inicialmente sustituir el problema inicial de 1 grados de libertad con
uno de 1 grado de libertad. Posteriormente Ritz extendi el mtodo para utilizar varios
grados de libertad.
Posteriormente (aos 60) se comenz a explorar el mtodo de los elementos finitos,
que puede ser considerado como una aplicacin particular del mtodo de Rayleigh-Ritz.
En trminos muy bsicos consiste en subdividir el sistema en un numero finito de
elementos de geometra simple, y que tienen un comportamiento estructural bienconocido (barras, vigas, placas,..). En cada elemento se dispone de un set pequeo de
funciones de forma que dependen de los valores en ciertos puntos del elemento
(nodos). Al imponer condiciones de continuidad entre los elementos se llega a una
solucin que puede ser muy cercana al valor exacto.
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SISTEMAS CON GRADOS DE LIBERTAD
MTODO DE RAYLEIGH RITZ
Este mtodo expresa el desplazamiento de cualquier punto x como una combinacin de
funciones dependientes de x que son ponderadas por una amplitud dependiente del
tiempo:
(1)
Ntese que las negrillas indican cantidades vectoriales. La ecuacin anterior puede ser
convenientemente escrita como:
(2)Donde N(x) ordena las funciones de forma:
Y
{
}
Observacin: Ntese que en el mtodo de Rayleigh Ritz, el vector q corresponde solo a una
ponderacin para las funciones de forma N. Sin embargo en el mtodo de elementos finitos el
vector de desplazamientos corresponde efectivamente con los desplazamientos de ciertosgrados de libertad.
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Modos propios, frecuencias naturales y FRFs de una viga
A fin de expresar la energa potencial se definen los siguientes vectores (en el caso
ms general):
{
}
{
}
Y el operador de diferenciacin espacial D (para el caso general):
Lo que nos permite expresar fcilmente la deformacin :
La energa cintica puede ser expresada como:
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Usando:
Donde la matriz de masa se define por:
Observacin: Una matriz de masa definida por (3) es llamada consistente utiliza las mismas
aproximaciones usadas para definir a la matriz de rigidez.
Observacin:El uso de las matrices de masa no consistentes hace perder la garanta de que las
frecuencias naturales encontradas son sobre estimadas.
Por su lado, la energa potencial se expresa como:
Donde la densidad de energa de deformacin es:
Y dado que para: Donde H es la matriz de Hooke. La energa se expresa en trminos de :
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Donde la matriz de rigidez K se define por:
El vector de carga g se calcula a partir de la energa potencial externa asociada a las
fuerzas de cuerpo y de superficie :
Con:
Lo que nos permite escribir la ecuacin del movimiento:
Funciones de forma y desplazamientos axiales de la barra
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Barra Empotrada:
Expresemos las deformaciones posibles como:
Entonces:
[ ]
Y la matriz de rigidez
Con lo que el problema homogneo queda:
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PROBLEMAS DE APLICACIN
PROBLEMA N1:
Para la estructura mostrada en la figura, se pide:
Encontrar los valores propios
Hallar los modos de vibracin
Solucin:
Ciclo 1:
Para la aplicacin del mtodo de Rayleigh, supongamos que la deformacin produce
desplazamientos:
X1(t) = 1 y X2(t) = 2La mxima energa potencial es entonces:
(a)
Y la mxima energa cintica es:
(b) Igualando la mxima energa potencial con la mxima energa cintica y despejando la
frecuencia natural da:
m2
m1
k2
k1
x2(t)
x1(t)
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La frecuencia natural calculada como f=2.782 cps es solamente una aproximacin al
valor exacto, puesto que la forma general de la deformacin fue supuesta con el
propsito de aplicar el mtodo de Rayleigh. Para mejorar este valor calculado para la
frecuencia natural, consideremos el modelo matemtico del sistema estudiado: Las ecuaciones de equilibrio obtenidas igualando a cero la suma de las fuerzas en los
diagramas de cuerpos libres del sistema, dan:
(1)
(2) Y resolviendo: O en la razn:
Ciclo 2:
Introduciendo estos valores mejorados de los desplazamientos x1 y x2 en las
ecuaciones (a) y (b), para recalcular la mxima energa potencial y la mxima energa
cintica, resulta:
Que despus de igualar Vmax y Tmax, obtenemos:
Este ltimo valor calculado para la frecuencia natural f=2.729 cps, podra mejorarse
con la aplicacin de una nueva carga inicial en el sistema, basada en este ltimo valor de
la frecuencia natural, repitiendo un nuevo ciclo de clculos.
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Ciclo 3:
Tambin: (1) (2) Y resolviendo:
O en la razn: Energas cintica y potencial mximas:
Frecuencia angular y natural:
Ciclo 4:
Tambin: (1) (2) Y resolviendo:
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O en la razn:
Energas cintica y potencial mximas: Frecuencia angular y natural:
Ciclo 5: Tambin: (1)
(2)
Y resolviendo: O en la razn:
Energas cintica y potencial mximas: Frecuencia angular y natural:
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La tabla muestra los resultados obtenidos en cinco ciclos.
Ciclo Razn de
deformacin
Carga inercial Frecuencia
natural
(cps)
Frecuencia
angular
(rad/seg)
Periodo
(seg)F1 F2
1 1: 2.00 2.782 17.480 0.3595
2 1: 1.69 59.888 80.054 2.729 17.145 0.3664
3 1: 1.64 57.614 65.078 2.727 17.132 0.3667
4 1: 1.63 57.527 63.057 2.727 17.133 0.3667
5 1: 1.63 57.534 62.680 2.727 17.133 0.3667
Cuadro comparativo Mtodo Rayleigh Mtodo polinomio caracterstico
Frecuencia 17.133 rad/seg 17.132 rad/seg
Periodo 0.3667 seg 0.366 seg
m2
m1
k2
k1
x2(t)
x1(t)
Modelo
dinmico
1.63
1.00
1 er
modo
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PROBLEMA N2:
Para el sistema de 2 niveles que se muestra en la figura, determinar sus periodos y
formas de modo de vibracin (g = 980 cm/seg2)
Solucin:
Ciclo 1:
Para la aplicacin del mtodo de Rayleigh, supongamos que la deformacin produce
desplazamientos:
X1(t) = 1 y X2(t) = 2
La mxima energa potencial es entonces:
(a)
Y la mxima energa cintica es:
(b) () () Igualando la mxima energa potencial con la mxima energa cintica y despejando la
frecuencia natural da:
x2(t)
x1(t)
w2 = 118 ton
w1 = 192 ton
m2
m1
k1 = 120 ton/cm
k2 = 100 ton/cm
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La frecuencia natural calculada como f=2.868 cps es solamente una aproximacin al
valor exacto, puesto que la forma general de la deformacin fue supuesta con el
propsito de aplicar el mtodo de Rayleigh. Para mejorar este valor calculado para la
frecuencia natural, consideremos el modelo matemtico del sistema estudiado:
() ()
Las ecuaciones de equilibrio obtenidas igualando a cero la suma de las fuerzas en los
diagramas de cuerpos libres del sistema, dan:
(1) (2) Y resolviendo:
O en la razn: Ciclo 2:
Introduciendo estos valores mejorados de los desplazamientos x1 y x2 en las
ecuaciones (a) y (b), para recalcular la mxima energa potencial y la mxima energa
cintica, resulta:
Que despus de igualar Vmax y Tmax, obtenemos:
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Este ltimo valor calculado para la frecuencia natural f=2.802 cps, podra mejorarse
con la aplicacin de una nueva carga inicial en el sistema, basada en este ltimo valor de
la frecuencia natural, repitiendo un nuevo ciclo de clculos.
Ciclo 3:
() ()
Tambin:
(1)
(2) Y resolviendo: O en la razn:
Energas cintica y potencial mximas:
Frecuencia angular y natural:
Ciclo 4:
() ()
Tambin: (1)
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(2)
Y resolviendo: O en la razn:
Energas cintica y potencial mximas: Frecuencia angular y natural:
Ciclo 5:
() () Tambin: (1)
(2)
Y resolviendo: O en la razn:
Energas cintica y potencial mximas:
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Frecuencia angular y natural: La tabla muestra los resultados obtenidos en cinco ciclos.
Ciclo Razn de
deformacin
Carga inercial Frecuencia
natural
(cps)
Frecuencia
angular
(rad/seg)
Periodo
(seg)F1 F2
1 1: 2.00 2.868 18.019 0.3487
2 1: 1.66 63.612 78.189 2.802 17.604 0.3569
3 1: 1.61 60.715 61.942 2.800 17.592 0.3571
4 1: 1.60 60.633 59.995 2.800 17.590 0.3571
5 1: 1.60 60.619 59.608 2.800 17.590 0.3571
Cuadro comparativo Mtodo Rayleigh Mtodo polinomio caracterstico
Frecuencia 17.590 rad/seg 17.150 rad/seg
Periodo 0.3571 seg 0.366 seg
m2
m1
k2
k1
x2(t)
x1(t)
Modelo
dinmico
1.60
1.00
1 er
modo