73

UNIDAD III.- METODOS PARA RESOLVER SISTEMAS INDETERMINADOS

OBJETIVOS:

1. Analizar sistemas indeterminados aplicando el Método de las Fuerzas,

determinando:

Las reacciones y fuerzas internas de la estructura

Diagramas de esfuerzos en la estructura

2. Analizar sistemas indeterminados utilizando el Método de los

desplazamientos (método de las rotaciones).

3. Aplicar el método de las rotaciones en sistemas hiperestáticos con un

solo grado de desplazabilidad, determinando:

Los momentos en los extremos de los miembros de la estructura.

Los diagramas de momentos de la estructura

4. Determinar los grados de desplazabilidad de una estructura

5. Establecer la imagen cinemática de una estructura.

74

INTRODUCCIÓN

El análisis de una estructura indeterminada es, desde luego, más

complicado que el de una estructura determinada correspondiente. Esto puede

considerarse una pequeña desventaja, ya que el análisis representa

generalmente un pequeño porcentaje del costo total. El análisis estructural

normalmente incluye toda la labor relacionada con la evaluación de esfuerzos

axiales, esfuerzos de corte y momentos flexionantes causados por cualquier

acción que debe resistir la estructura. Cuando una estructura indeterminada se

analiza por un método se necesita la solución de ecuaciones simultáneas que

requieren una ecuación para cada grado de indeterminación.

En este curso se analizarán dos métodos para resolver estos sistemas: el

método de las fuerzas y el método de los desplazamientos (método de las

rotaciones). Ambos métodos se basan principalmente en resolver un sistema

de ecuaciones lineales, del mismo orden del grado de indeterminación. Si se

utiliza el método de las fuerzas, se usará el grado de indeterminación estática,

si se aplica el método de los desplazamientos, se usará el grado

indeterminación geométrica o grados de hipergeometría.

La elección para aplicar cualquiera de estos métodos se fundamenta en

seleccionar aquel que tenga el menor grado de indeterminación

correspondiente, ya que a mayor número de incógnitas mayor será el tiempo

de solución, tanto en forma manual como con el uso de computadoras, lo cual

resulta costoso.

75

76

METODO DE LAS FUERZAS

A este método también se le llama método general o método de las

deformaciones consistentes, donde las incógnitas son las fuerzas redundantes

de la estructura.

Las redundantes de una estructura son aquellas fuerzas en exceso de

las fuerzas primarias o las sobrantes o superabundantes de las necesarias para

mantener el equilibrio estático.

En este método se necesita que sea definida una estructura primaria, la

cual debe ser isostática (determinada) y estable, las fuerzas de esta estructura

son las fuerzas primarias y pueden encontrarse solo por equilibrio. Hay más de

una estructura primaria para una estructura indeterminada, y se selecciona la

menos compleja dependiendo de las incógnitas que deseamos encontrar. Así

por ejemplo en la siguiente estructura indeterminada, se tiene:

Es indeterminada en dos (2) grados, por lo tanto, dos redundantes. La

estructura primaria debe ser isostática y estable, podrían ser cualquiera de los

siguientes sistemas:

1)

2)

3)

77

A B

A B

A B

B A

De estos sistemas isostáticos, el 1 y el 2 cumplen con las condiciones de

sistema primario, ya que además de ser determinados son estables, lo que no

ocurre con el caso 3, el cual a pesar de ser isostático por tener 3 unidades de

vinculación, dos en B y una en A, no es estable, ya que los sistemas de apoyo

le permiten movimiento inmediato, como la una rotación alrededor del punto A.

Por otra parte, en el proceso del método de las fuerzas se imponen los

requisitos de compatibilidad de la estructura. En efecto, se determina el valor

particular de las redundantes debido a una distribución dada de cargas que

provoca que la estructura se deforme de acuerdo con todas las condiciones de

los soportes. En esencia, se encuentra aquellas fuerzas redundantes que dan

desplazamientos consistentes con condiciones conocidas en los soportes o con

alguna condición de compatibilidad interna.

El método de las fuerzas se basa en el concepto en que los

desplazamientos de la estructura debido a las cargas aplicadas y a las fuerzas

redundantes dan como resultado una condición desplazada que satisface la

compatibilidad de la estructura, internamente y en los soportes. Además se

manipulan a las ecuaciones de equilibrio, las de compatibilidad y las relaciones

entre fuerzas y desplazamientos para obtener un sistema de n ecuaciones con

n incógnitas.

Las n ecuaciones se denominan ecuaciones de compatibilidad de los

desplazamientos en la dirección de las fuerzas redundantes, y las n incógnitas

son las fuerzas redundantes. Una vez resuelto este sistema de ecuaciones

lineales para las redundantes, es posible encontrar las fuerzas finales de los

miembros y el desplazamiento libre.

Las ecuaciones de condición de deflexión de una estructura o

ecuaciones de compatibilidad, se obtienen por superposición de

desplazamientos causados por las cargas aplicadas, los esfuerzos y las cargas

redundantes individuales. Los coeficientes de estos esfuerzos y reacciones

redundantes son las deflexiones debidas a las reacciones y esfuerzos unitarios

que pueden calcularse por el método de trabajo virtual (principio de las fuerzas

78

virtuales). Estas ecuaciones de compatibilidad, se escriben una por cada punto

de aplicación de una componente de esfuerzo (incógnita) o reacción redundante

y matemáticamente se expresan así:

D1 = D10 + d11.X1 + d12.X2 + d13.X3 +……………d1n.Xn

D2 = D20 + d21.X1 + d22.X2 + d23.X3 +………..….d2n.Xn

D3 = D30 + d31.X1 + d32.X2 + d33.X3 +……………d3n.Xn

. ………………………………………………………………..

Dn = Dn0 + dn1.X1 + dn2.X2 + dn3.X3 +……………dnn.Xn

Donde:

El miembro de la izquierda de cada ecuación (Di), representa el valor del

desplazamiento total (asentamiento) en el punto de aplicación y dirección

de la fuerza redundante respectiva. Este valor es casi siempre conocido

o preestablecido.

El miembro de la derecha de cada ecuación representa la suma de

todas las componentes de deflexión causada por las cargas reales y las

componentes redundantes en el punto de aplicación y en la dirección de

la componente redundante respectiva.

Así se tiene que:

D1: representa el desplazamiento total (asentamiento o deformación) en el

punto de aplicación y dirección de la redundante X1.

D2: representa el desplazamiento total en el punto de aplicación y dirección de

la redundante X2

D3: Representa el desplazamiento total en el punto de aplicación y dirección de

la redundante X3.

El termino Di0: representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de

la redundante Xi debido al caso de carga 0. Estos términos se determinan

aplicando trabajo virtual, donde el sistema real es el caso de cargas reales de

la estructura y el sistema virtual es el caso de carga donde la redundante

respectiva j, es igual a 1. Así por ejemplo:

79

D10: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la

redundante X1 debido al caso de carga 0. Así el sistema virtual será el caso 1,

donde la redundante X1 es igual a 1, y el sistema real es el caso de cargas 0 ó

sistema de cargas de la estructura original.

D20: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la

redundante X2 debido al caso de carga 0.

D30: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la

redundante X3 debido al caso de carga 0.

El Término dij: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de

la redundante Xi debido al caso de carga j. Este termino se determina aplicando

trabajo virtual, donde el sistema virtual es el caso donde la redundante Xi es

igual a 1, y el sistema real es el caso de carga donde la redundante Xj es igual

a 1. Así por Ejemplo:

d12: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la

redundante X1 debido al caso de carga 2. Así, el caso virtual es donde la

redundante X1 es igual a 1, y el caso real es donde la redundante X2 es igual 1.

Procedimiento general.

Los pasos generales pueden resumirse como sigue:

1. Se identifican los grados de indeterminación estática de la estructura (n)

2. Se selecciona el sistema primario de la estructura real

3. Se divide la estructura primaria en (n + 1) casos isostáticos, y se aplica el

principio de superposición de efectos.

4. Se establecen las ecuaciones de compatibilidad de los desplazamientos,

una por cada grado de indeterminación (n).

5. Se determina mediante el método de trabajo virtual cada uno de los

desplazamientos en los puntos de aplicación y dirección de las

redundantes, debido a cada caso de carga (cargas reales y las

redundantes como cargas), Dio, dij, siendo i, el punto de aplicación de la

redundante y j ó o, el caso de carga que produce la respectiva deflexión.

80

6. Se sustituyen cada uno de los resultados del paso anterior en las

ecuaciones de compatibilidad.

7. Se resuelve el sistema de ecuaciones de compatibilidad de los

desplazamientos.

8. Se determinan las fuerzas finales en la estructura original debidas tanto a

las cargas aplicadas como a las redundantes.

9. Se pueden construir los diagramas de los esfuerzos respectivos de la

estructura, si son requeridos.

EJEMPLO #1: En el siguiente pórtico plano use el método de las fuerzas y determine: la reacción de momento en A. El producto del módulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la sección es, EI = 5.200 ton.m2.

Solución:

Grado de indeterminación Estática: Ie = 3NM +NR – NJ – NC

Ie = 3x2 + 5 -3x3 -1 = 1 → n = 1→ se analizarán 2 casos isostáticos: caso 0,

caso 1.

81

C

1,5EI

B

3m

3m

2EI

2m 4m

2t

A

D

Vd=0,001m

1t/m

Sistema Primario = caso 0 + caso 1

Análisis del caso (0)Calculo de Reacciones:

∑MCA=0 + -2x2+Rayx5 = 0 → RAy = 0,8t ∑Fy=0 + RDy – 2+0,8 = 0 → RDy = 1,2 t

∑MCD=0 + 1x3x1,5-1,2x4+3. RDx = 0 → RDx = 0,1t ∑Fx=0 + -1x3-0,1+ RAx = 0 → RAx = 3,1t

Despiece:

82

2EI

C

1,5EI

B

3m

3m

2m 4m

2t

A

D

vD=0,001m

1t/m

X1

vD=0,001m

2t

1t/mX1=1

3,1

vD=0,02m

2t

1t/m

3t

3,1

0,8

0,1

1,2

2,4

1,2

1,2

1,23,1

3,1

1,2

Diagramas de Momentos flectores:

Miembro: AB Miembro: BC Miembro: CD

2,4tm 2,4tm 2,5m 2,5m + + + 3m 2m 1,125 tm

Análisis del caso (1)Calculo de Reacciones:

∑MCD=0 + 3 RCx -4 RCy = 0

∑MAD=0 + 3 RCx – 9 RCy+1 = 0 RCx = 0,26t RCy = 0,2t

∑Fy=0 + RCv – RAy = 0 → RAy = 0,2 t

∑Fx=0 + -RCx + RAx = 0 → RAx = 0,26 t

Despiece:

83

0,261t-m

0,263,6

0,2

0,26

0,21,28

0,26

0,2

X1=1

5m 4m

3mA

C

D

B

Diagramas de Momentos flectores:

Miembro: AB Miembro: BC Miembro: CD

1 5m 0,4 0,4 + + 3m 2m Ecuación De Compatibilidad De Los Desplazamientos:

D1 = D10 + d11.X1

Aplicación de Trabajo Virtual (método grafico): donde se interceptan los

diagramas correspondientes, el real y el virtual, según tabla:

1xDij +∑ Ri.∂i = 1/EI [ ∫ Mx. Mx`dx ]

2,4 1 2,4 0,4

1xD10+(-0,001x0,2)= 1/2EI ( + + 0,4 + +

3m 3m 2m 2m

= 1/5200 L/6F (B1+2B2 ) + 1/1,5 ( 1/3 ABL )

1xD10-0,0002 = 1/2x5200 (3/6x2,4(1+2x0,4) + 1/3 (2,4x0,4x2 )

D10 = 0,0004692

1 1

1xd11 = 1/2EI + +

5m 5m

1xd11= 1/2x5200 (1/3 F.F´L) d11 = 1/10400 =1/3x1x1x5

d11= 0,00016

84

D1 = D10 + d11.X1

0 = 0,0004692 + 0,00016 X1 X1 = -2,93t-m

X1 = 2,93t-m

EJEMPLO #2 En el siguiente pórtico plano use el método de las fuerzas y determine: El momento en la junta E. El producto del módulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la sección es, EI = 4.200 ton.m2.

Solución:

Grado de indeterminación Estática: IND = 3NM +NR – NJ – NC

IND = 3x3 + 4 -3x4 = 1 n = 1 se analizarán 2 casos

isostáticos: caso 0, caso 1.

85

vA=0,01m

C

A

D

B

3m 2m

1,5EI

EI

2EI

2t-m

2t/mEI

4m

Sistema Primario = caso 0 + caso 1

Análisis del caso (0)Calculo de Reacciones:

∑MD=0 + -2 - 2x3x3,5 + 2xRAy = 0 → RAy = 11,5t ∑Fy=0 + -2x3 + 8,5 - RDy = 0 → RDy = 5,5 t

∑Fx=0 + - REx = 0 → REx = 0 t

86

C

AB

DX1

vA=0,01

C

A

D

B

3m 2m

1,5EI

EI

2EI

2t-m

2t/mEI

X1

C

AB

2t-m

2t/mEI

D

4m

C

AB

2t-m

2t/m

D

RAy

RDx

RDy

Despiece:

Diagramas de Momentos flectores:

Miembro: AB Miembro: BC Miembro: CD

4m 3m 2m + + - 25,5 25,5

3m

Análisis del caso (1)Calculo de Reacciones:

∑MA=0 + 1-2RAy = 0 → RAy = 0,5t

∑Fy=0 + RDv –0,5= 0 → RDy = 0,5t ∑Fx=0 + RDx = 0 → RDx = 0t

87

A

2t/mEI

C

B

B

2t-m

D

25,5t.m

5,5t25,5t.m

27,5t.m25,5t.m

11,5t

5,5t5,5t5,5t

27,5

16,5

1t.m

C

AB

D

RAy

RDy

Despiece:

Diagramas de Momentos flectores: Miembro: AB Miembro: BC Miembro: CD 3m 4m - - + 2m 3m - 1,5 1,5 1,5

Ecuación De Compatibilidad De Los Desplazamientos:

D1 = D10 + d11.X1

Aplicación de Trabajo Virtual (método grafico): donde se interceptan los

diagramas correspondientes, el real y el virtual, según tabla:

1xDij + ∑ Ri.∂i = 1/EI [ ∫ Mx. Mx`dx ]

88

C

B

B

D

1,5t.m

0,5t1,5t.m

1,5t.m1,5t.m

0,5t

0,5t0,5t0,5t

0.5t

A

1t.m

25,5 1,5 25,5 1,5

1x D10+(0,5x0,01)=1/EI ( + - )+1/2( - + ) +

27,5 16,5 1,5 16,5 1

+ 1/1,5 ( - + - - )

=1/5200 ( 5/12ABL )+ 1/2(ABL) + 1/1,5(L/6(2A1 +A2)B + 1/6 ABL)

1x θE+0,005=1/5200 5/12x25,5x(-1,5)x3 + 1/2((25,5)x(-1,5)x4

+ 1/1,5 ( 2/6(-2x27,5 - 16,5)x1,5 + 1/6(-16,5x-1x2) )

D10 = - 0,01719

1,5 1,5 1,5 1,5

1xd11= 1/EI ( - - + + +

3 3 4 4

1,5 1,5 1 1

+ + + - -

3 3 2 2

1xd11= 1/4200 1/3ABL + 1/2 ABL + 1/1,5(1/3ABL + 1/3ABL)

1xd11=1/4200 1/3(-1,5x-1,5x3)+1/2(1,5x1,5x4)+1/1,5(1/3x1,5x1,5x3 + 1/3x1x1)

d11 = 0,002044

D1 = D10 + d11.X1

0 = - 0,01719 + 0,002043 X1 X1 = 8,41 t-m

X1 = 8,41t-m

89

90

METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

TERMINOLOGIA BASICA

Desplazamientos de las juntas de una estructura: Son las posibilidades de

desplazamientos de dichas juntas de acuerdo a la vinculación existente. Sea la

siguiente estructura, donde se muestran las componentes de desplazamientos

de las juntas A, B, C y D. El vector desplazamiento en esta estructura es:

uB

vB

D = θB

uC

vC

θC

Siendo: uB, uC: el desplazamiento horizontal de la junta B y C

respectivamente.

vB, vC: el desplazamiento vertical de la junta B y C respectivamente.

θB, θC: el desplazamiento rotacional de la junta B y C respectivamente.

Se toma el miembro de eje recto BC, y si genéricamente se denotan

como i, j, estos dos extremos del miembro, es decir, el extremo izquierdo como

i, y el extremo derecho como j. Bajo la acción de las cargas o solicitaciones

externas ese miembro se deforma, siendo i` j` el nuevo eje del miembro i j

deformado, como se muestra en la siguiente figura.

91

A

B A

C

D

vC

uB uc

θB

θB

θC

θC

θi

I`

θi

i

J`

j

ui

uj

vi

vj

θi

θi

ψijψij

ll

ψij

ψij

Puede observarse que el desplazamiento de cada extremo tiene tres

componentes: una componente horizontal u, una vertical v, y una angular o

rotacional. También se presenta una rotación de la cuerda del miembro fij =fji,

rotación del miembro como cuerpo rígido, que por ser muy pequeña puede

considerarse igual a su tangente, es decir: tag fij = fij, de lo cual se deducen las

siguientes expresiones:

Vj – vi ψij = tg ψij =

l

Vj - vi θi = θi – ψij = θi –

l

Vj - vi θj = θj – ψij = θj –

l

Como el ángulo ψij es muy pequeño, puede considerarse el cambio de

longitud ∆l = uj – ui.

Miembro infinitamente rígido axialmente: un miembro cualquiera se considera

infinitamente rígido axialmente, cuando es indeformable en la dirección de su

eje ongitudinal, ello equivale a establecer que no cambia de longitud, es decir:

∆l = uj – ui = 0 ui = uj, con lo cual el número de grados

de libertad del miembro ij se ha reducido a cinco, y son:

ui

vi

D = θi

vj

θj

Grados de Desplazabilidad   de una estructura : Los miembros de una estructura

son capaces de sufrir rotaciones como cuerpos rígidos de acuerdo a su

vinculación existente tanto interna como externa: Estas rotaciones (f), dependen

por tanto de los desplazamientos de la estructura como cuerpos rígidos (grados

92

de libertad como cuerpo rígido), y son independientes de las rotaciones que,

como cuerpo elástico, puedan sufrir las juntas de dicha estructura.

Imagen Cinemática: Se define como imagen cinemática de una estructura, a

aquella que resulta de eliminar las componentes de momento en los extremos

de sus miembros, al colocar articulaciones o pasadores en todas las juntas de

la estructura, obteniendo así un mecanismo cinemática o hipostático (inestable),

es decir con grados de libertad (GL), pero como cuerpo rígido.

Se infiere entonces que: el número de grados de desplazabilidad (GD) de

una estructura es igual al número de grados de libertad (GL) de su imagen

cinemática:

GD = GL

DESCRIPCION DEL METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

El método de los desplazamientos se ocupa del análisis de las

estructuras indeterminadas geométricamente; para ello utiliza las ecuaciones de

equilibrio estático, teniendo como incógnitas los desplazamientos. El número de

desplazamientos incógnitas es igual a la indeterminación geométrica que posee

la estructura. Esta indeterminación geométrica depende a su vez si se

consideran o no las deformaciones por fuerza axial, Ig y I`g, respectivamente.

En este curso se analizarán estructuras indeterminadas geométricamente

despreciando las deformaciones por fuerza axial y de corte, I`g, en vista de que

el ángulo de rotación (fij) de los miembros de la estructura como cuerpo rígido

es muy pequeño.

El método de los desplazamientos se fundamente en la resolución de dos

sistemas: el sistema primario y el sistema complementario.

Características del Sistema Primario:

Es la misma estructura original, con todas sus solicitaciones

externas

93

Se le aplican en las juntas los vínculos necesarios para impedir

todo grado de libertad o los desplazamientos incógnitas.

Aparecen reacciones adicionales en las junta, producidas por los

vínculos añadidos actuando en sentido antihorario.

Características del Sistema Complementario:

Esta constituido por la estructura original, cuyas solicitaciones

únicamente son las reacciones del sistema primario pero actuando

en sentido contrario.

En este sistema se manifiestan los grados de libertad o los

desplazamientos incógnitas de la estructura, tanto como cuerpo

rígido como cuerpo elástico.

Momentos en los extremos de los miembros de la estructura: sean Mij, Mijº y

MijC, los momentos en el extremo i del miembro ij correspondiente a los

sistemas: original, primario y al complementario respectivamente. Estos

momentos serán positivos cuando giren en el sentido contrario a las agujas del

reloj y negativo cuando giren en el sentido contrario. Esta convención de signos,

se aplicará en adelante en el desarrollo del método de los desplazamientos y es

valida para cualquier momento, sea externo o interno, en un miembro o en una

junta. En la siguiente figura se esquematiza esta convención de signo adoptada.

Procedimiento General.

1. Se calcula el Grado de Indeterminación Geométrica: I`g = , donde

representa las rotaciones de las juntas rígidas internas.

94

i Jij+ -

2. Se determina el grado de desplazabilidad de la estructura, GD, obteniendo

los grados de libertad de la imagen cinemática.

3. Se divide el sistema en dos subsistemas: primario y complementario

4. Se analiza el sistema primario:

a) Se determinan los momentos de empotramiento por cargas

externas, para ello se utiliza la siguiente tabla donde se presentan

los casos de cargas más utilizados con sus respectivos valores de

empotramiento:

b) Se aplican las ecuaciones de rotación al sistema primario para

determinar los Mij0

MOMENTOS DE

EMPOTRAMIENTO

Mij Mji

-

-

0

0

0

95

a b

A B

a b

a b

a b

TIPO DE CARGA

2)

1)

3)

4)

5)

6)

2. Se analiza el sistema complementario:

a) Se analiza la imagen cinemática de la estructura original, haciendo

girar a uno de sus miembros el grado de desplazabilidad (α).

b) Se determinan las rotaciones ψij de cada miembro y los

desplazamientos lineales en los puntos de aplicación de las cargas

externas aplicadas en la estructura original, todos en función de α.

c) Se aplican las ecuaciones de rotación y se determinan los

momentos complementarios MijC en función de las incógnitas, θi y α,

que aportan las juntas rígidas del problema y el desplazamiento

como cuerpo rígido de la estructura original, respectivamente.

3. Se suman los momentos primarios y los complementarios para obtener los

momentos definitivos en los extremos de cada miembro:

Mij = Mij

0 + MijC

4. Se aplica el equilibrio de juntas, a las juntas rígidas del problema,

obteniendo así un número de ecuaciones igual al número de juntas rígidas

de la estructura.

5. Se aplica el principio de trabajo virtual para cuerpos rígidos, Wve=0, a la

imagen cinemática de la estructura con todas las cargas externas del

problema original, encontrando así otra ecuación en función de las

incógnitas del problema, θi y α.

6. Se tiene entonces un sistema de igual número de incógnitas que de

ecuaciones, el cual se resuelve para las incógnitas del problema, θi y α.

7. Los valores obtenidos de la solución del sistema de ecuaciones, θi y α, se

sustituyen en las ecuaciones de momentos definitivos y se determinan Mij

los para cada uno de los extremos de los miembros.

8. Se calculan las reacciones de la estructura original usando las ecuaciones

de equilibrio estático y se dibujan los diagramas de fuerza cortante y de

momento.

96

Ecuaciones de Rotación para Miembros de Eje Recto y de

Sección Constante:

1) Si Mji es conocido, entonces se usará la siguiente formula:

2) Si Mij es conocido, entonces se usará la siguiente formula:

EJEMPLO:

1.-Determinar los momentos en los extremos de los miembros de la siguiente estructura, usando el método de los desplazamientos.

Solución:1.-Se determina el Grado de Indeterminación Geométrica:

I`g = ,

97

2t/m

EK

1,5EK2EK

3m 4m

3m

AB C

3t.m

2.-Se determina el Grado de desplazabilidad de la estructura, obteniendo los

Grados de Libertad de la Imagen Cinemática:

3.- Se determinan los Momentos de Empotramientos usando la tabla, dependiendo del tipo de carga:MEAB = 0

MEBA = - = - = -2,25t.m

MEBC= = = 2,67t.m

MECB= - = - = -2,67t.m

MEBD= 0MEDB= 0

4.- Se determinan los Momentos Primarios:

M0AB= 0

M0BA=

M0BC= M0CB= M0BD= 0

98

O1

1 2

3

O2

O3O1, O2, O3

Cada miembro tiene dos polos

absolutos, por lo tanto ninguno

de ellos puede realizar ningún

tipo de movimiento como

cuerpo rígido, entonces el

grado de libertad de la imagen

cinemática es cero.; lo que

implica que el grado de

desplazabilidad de la

estructura también sea cero,

Esto es:

M0DB= 0

5.- Se determinan los Momentos Complementarios:MCAB= 0MCBA= 3EK (θB – ψAB ) = 3EK θB

MCBC= 2*1,5EK (2θB + θC –3 ψBC ) = 6EK θB

MCCB= 2*1,5EK (2θC + θB –3 ψBC ) = 3EK θB

MCBD= 2EK(2θB + θD –3 ψBD ) = 4EK θB

MCDB= 2EK(2θD + θB –3 ψBD ) = 2EK θB

6.-Se determinan los Momentos Definitivos

Mij = Mij

0 + MijC

MAB= 0MBA= -2,25 + 3EK θB

MBC= 2,67 + 6K θB MCB= -2,67 + 3EK θB

MBD= 4EK θB

MDB= 2EK θB

7.- Se aplica el Equilibrio en la junta Rígida Interna:

∑MB= 3t.mMBA + MBC + MBD = 3

-2,25 + 3EK θB + 2,67 + 6EK θB + 4EK θB = 3 → 13EK θB = 2,58 Ec. 1

8.-Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales para las incógnitas

→ EK θB = 2,58/13 = 0,198462

9.-Se sustituyen estos valores obtenidos para obtener los valores de los momentos en los extremos de los miembros.

MAB= 0MBA= -2,25 + 3*0,198462 = -1,65 t.mMBC= 2,67 + 6*0,198462= 3,86 t.m

MCB= -2,67 + 3*0,198462= -2,07MBD= 4*0,198462= 0,79 t.mMDB= 2*0,198462= 0,40 t.m

Despiece:

99

C

AB

D

3t.m

MAB= 0MBA= -1,65 t.mMBC= 3,86 t.mMCB= -2,07MBD= 0,79 t.mMDB= 0,40 t.m

EJEMPLO 2.Determinar los momentos en los extremos de los miembros de la siguiente estructura, usando el método de los desplazamientos.

.

Solución:1.-Se determina el Grado de Indeterminación Geométrica:

100

2EK

EK

4m

3tm

2m

3m

3m

1t/m

BC

D

2t.

EK

A

I`g = ,

2.-Se determina el Grado de desplazabilidad de la estructura, obteniendo los

Grados de Libertad de la Imagen Cinemática:

3.- Momentos de Empotramiento: Según tabla

MEAB= 0MEBA=0MEBC=0MECB=-W2/8=-1x42/8 => MECB=-2t-m

101

Cada miembro tiene un solo polo

absoluto, indica que el sistema se

mueve como cuerpo rígido, entonces

se coloca un rodillo en la dirección del

desplazamiento de uno de los

miembros, si el sistema se estabiliza,

entonces tiene un solo grado de

libertad, sino ocurre así, se le siguen

añadiendo rodillos hasta que se

estabilice y el grado de libertad será

igual a la cantidad de rodillos

necesarios para estabilizar la imagen

cinemática. En este caso el grado de

libertad de la imagen cinemática es

igual a 1; lo que implica que el grado

de desplazabilidad de la estructura

también sea uno, los ψij ≠ 0, en función

de una rotación de uno de los

miembros (α), Esto es:

O

O1

O24

O3

O23O12

1

3

2

2t

1x4

MECD= Pab2/L2= 2x2x22/42 => MECD=1t-mMEDC=-1t-m

4.- Se determinan los Momentos Primarios:

M0AB= 0M0BA=-3M0BC=0M0CB= MECB+1/2(M0BC – MEBC) = -2M0CD=1t-mM0DC=-1t-m

5.- Se determinan los Momentos Complementarios:

MCAB= 0MCBA= 0MCBC= 0MCCB= 3EK (θC – ψBC ) = 6EK θc +3EKα/4MCCD= 2EK(2θC + θD –3 ψCD ) = 8EK θC - 6EK αMCDC= 2EK(2θD + θC –3 ψCD ) = 4EK θC - 6EK α

6.-Se determinan los Momentos Definitivos

Mij = Mij

0 + MijC

MAB= 0MBA= -3MBC= 0MCB= -2+6EK θc +3EKα/4MCD= 1+8EK θC - 6EK αMDC= -1+4EK θC - 6EK α

7.- Se aplica el Equilibrio en la junta Rígida Interna:

∑MC= 0t.mMCB + MCD = 0

-2+6EK θc +3EKα/4+1+8EK θC - 6EK α = 0 → 14EK θC – 21/4EK α = 1 → Ec. 1

8.-Se aplica trabajo virtual a la imagen cinemática (cuerpo rígido) y se obtiene la segunda ecuación: WvE = 0

(MAB+MBA)ψAB+ (MBC+MCB)ψBC+(MCD+MDC)ψCD +1*4t/m*1/2 α + 2t*3/2 α = 0(-3) α + (-2+6EK θc +3EKα/4)(-3/4 α) + (12EKθc- 12EK α) α/2 + 2 α + 3 α = 0

(-3 + 1/2 -3/2EK θc -3/16EK α +6EK θc-6EK α + 5) α = 0

102

9/2EK θc + 99/16EK α = -5/2 → EC. 2

9.- resuelve el sistema de ecuaciones lineales para las incógnitas

→ EK θC = -0,06293 EK α = -0,35828

9.-Se sustituyen estos valores obtenidos para obtener los momentos definitivos en los extremos de los miembros.

MAB= 0MBA= -3MBC= 0MCB= -2+6EK θc +3EKα/4 = -2+6 (-0,06293) +3/4(-0,35828)= -2,64 t-m MCD= 1+8EK θC - 6EK α = 1+ 8(-0,06293)-6(-0,35828) = 2,64 t-mMDC= -1+4EK θC - 6EK α = -1 + 4(-0,06293)- 6(-0,35828) = 0,90 t-m

103

BIBLIOGRAFÍA

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Interamericana, S.A. de C. V., México.

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA

AREA DE TECNOLOGIAPROGRAMA INGENIERIA CIVIL

DPTO ESTRUCTURA

Trabajo presentado como requisitopara optar a la Categoría de

Profesor Asociado

AUTOR:PROF. ZULAY ROSENDO DE MORA

Santa Ana de Coro, Enero 2006

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