7/25/2019 Mtodo de Separacin de Variables_ECUA_DIF

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Mtodo de separacin de variablesEl mtodo de separacin de variablesse refiere a un procedimiento para encontrar unasolucin completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones enderivadas parcialescomo serie cuyos trminos son el producto de funciones que tienen las

"variables separadas". Es uno de los mtodos ms productivos de la fsica matemticapara buscar soluciones a problemas fsicos descritos mediante ecuaciones diferenciales dederivadas parciales.

El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones diferencialesordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de funciones quecontienen las variables separadas.

ndice

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1Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

o 1.1Ejemplo ecuaciones en derivadas parciales de se!undo orden

o 1.#imitaciones y observaciones

o 1.$#aplaciano en coordenadas cilndricas

o 1.%#aplaciano en coordenadas esfricas

o 1.&'roblemas no (omo!neos

Ecuaciones diferenciales ordinarias

$)ase tambin

%*eferencias

o %.1+iblio!rafa

&Enlaces e,ternos

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales[editar]

El mtodo sirve para encontrar soluciones parciales completas- no soluciones !enerales-dependientes de un conjunto numerable de constantes arbitrarias- lo cual permite resolvertanto problemas de valor inicial como problemas de frontera e incluso problemas queinvolucran condiciones de los dos tipos.

Ejemplo: ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden [editar]

'ara ilustrar el mtodo se consideran ecuaciones diferenciales en derivadas parciales(omo!neas con dos variables independientes y condiciones de frontera tambin(omo!neas. En las si!uientes secciones se discutirn los requerimientos y se discutirncasos ms !enerales. #a descripcin del procedimiento en esta seccin se (arsimultneamente para los tres tipos cannicos deecuaciones en derivadas parciales dese!undo ordenecuaciones elpticas- parablicas e (iperblicas/- especificando las

condiciones iniciales 0/ y condiciones de frontera 02/ para cada caso.El caso (iperblicosera de la forma

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variableshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variableshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Ecuaciones_diferenciales_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Ejemplo:_ecuaciones_en_derivadas_parciales_de_segundo_ordenhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Limitaciones_y_observacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Laplaciano_en_coordenadas_cil.C3.ADndricashttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Laplaciano_en_coordenadas_esf.C3.A9ricashttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Problemas_no_homog.C3.A9neoshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Ecuaciones_diferenciales_ordinariashttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9nhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Referenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Bibliograf.C3.ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Enlaces_externoshttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=2https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_en_derivadas_parciales#Clasificaci.C3.B3n_de_las_EDP_de_segundo_ordenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_en_derivadas_parciales#Clasificaci.C3.B3n_de_las_EDP_de_segundo_ordenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_en_derivadas_parciales#Clasificaci.C3.B3n_de_las_EDP_de_segundo_ordenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_en_derivadas_parciales#Clasificaci.C3.B3n_de_las_EDP_de_segundo_ordenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_hiperb%C3%B3lica_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_hiperb%C3%B3lica_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variableshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Ecuaciones_diferenciales_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Ejemplo:_ecuaciones_en_derivadas_parciales_de_segundo_ordenhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Limitaciones_y_observacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Laplaciano_en_coordenadas_cil.C3.ADndricashttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Laplaciano_en_coordenadas_esf.C3.A9ricashttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Problemas_no_homog.C3.A9neoshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Ecuaciones_diferenciales_ordinariashttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9nhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Referenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Bibliograf.C3.ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Enlaces_externoshttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=2https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_en_derivadas_parciales#Clasificaci.C3.B3n_de_las_EDP_de_segundo_ordenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_en_derivadas_parciales#Clasificaci.C3.B3n_de_las_EDP_de_segundo_ordenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_hiperb%C3%B3lica_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales

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1a/

El caso parablicosera de la forma

1b/

3 el caso elpticosera de la forma

1c/

El mtodo de separacin de variables consiste en buscar una solucin que sea unproducto de funciones dependientes cada una de una sola de las variables. 'ara los casos(iperblico y parablico se buscar una solucin de la forma

a-b/

3 para el caso elptico

c/

4ustituyendo upor esas e,presiones en la ecuacin diferencial correspondiente yrea!rupando los trminos se lle!a para el caso (iperblico 05/- parablico 0'/ y elptico0E/ a

$/

'uesto que cada uno de los dos miembros de estas e,presiones depende de variablesdistintas y la i!ualdad debe darse para cualesquiera t, x, yla 6nica posiblidad es que cadauno de los miembros sea i!ual a una constante fija. 7esi!nando a esa constante como lase,presiones anteriores pueden reescribirse como

%/

8odo esto (a permitido pasar de una ecuacin en derivadas parciales a dos ecuacionesordinarias separadas para cada variable. 9na ve: reducido el problema a ecuacionesdiferenciales ordinarias se e,i!e que la funcin verifique las condiciones de frontera. 7e(ec(o si la solucin verifica las condiciones de frontera (omo!neas en la

correspondiente variable- necesariamente la funcin las verificar ya que

y similarmente para el resto de condiciones. Esto no sucedera necesariamente en el casode que las condiciones no fueran (omo!neas. 'or otra parte la funcin debe ser solucinde un problema re!ular de 4turm;#iouville

&/

7onde

en los casos (iperblico y parablico.

en el caso elptico.

#a teora de 4turm;#iouvilledemuestra que el problema anterior slo tienesolucin para unconjunto numerablede valores de autovaloresdel operador

diferencial/- stos se denotarn como y la autofuncin autovector/correspondiente se denotar como . El requisito de numerabilidad es muyimportante- ya que la solucin particular completa- dado el carcter lineal de laecuacin ori!inal- permite escribir dic(a solucin como suma numerable. 7adoslos valores puede resolverse la ecuacin %/ para obtener las si!uientes funcionespara - para los casos cannicos se tiene

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El paso final es determinar las constantes para que se cumplnas las condicionesiniciales. 'ara el caso (iperblico se tiene

>a/

Es decir que los coeficientes coinciden con los coeficientes de 2ourier n;simos!enerali:ados de las funciones - asociados a la base de autofunciones -

concretamente

?a/

@nlo!amente para el caso parablico se tiene

>b/

?b/

3 para el caso elptico se tiene

>c/

?b/

Limitaciones y observaciones[editar]

En principio- toda ecuacin diferencial en derivadas parciales tal que- al

buscar soluciones en forma de productos de funciones de una sola variable-d lu!ar a ecuaciones diferenciales ordinarias para cada una de las variablespodr resolverse mediante separacin de variables. En particular- todas lasecuaciones diferenciales en derivadas parciales de se!undo orden concoeficientes constantes pueden resolverse as- salvo aquellas que continenderivadas cru:adas.

'ara que el procedimiento sea aplicable- tambin las condiciones de frontera

deben cumplir al!unos requisitos de forma- e i!ualmente la forma de la re!in

del espacio donde est definida la ecuacin en derivadas parciales. Estosrequisitos provienen de la necesidad de que el procedimeinto condu:ca a unproblema re!ular de 4turm;#iouville para al!una de las funciones queintervienen en la separacin de variables. Estos requisitos son de dos tipos

1. #a fronterade la re!in en la que est definida la ecuacin diferencial debepermitir que las condiciones de forntera se formulen mediante funciones con lasvariables separadas. 'or ejemplo- si la re!in es un crculo de radio R- encoordenadas cartesians esta forntera es con lo cual las condiciones de fronteratendran la forma

que no permiten ser e,presadas en variables separadasxe yy por tanto en estascoordenadas ser imposible definir un problema de 4turm;#iouville re!ular parauna funcin que involucre slo una de las dos variables. 4in embar!o- las mismas

condiciones de contorno e,presadas en coordenadas polares s es separable. #as condiciones de frontera para aplicar la separacin de variables deben ser(omo!neas. 0uando no lo son en el problema de partida puede (acerse uncambio de funcin- que de lu!ar a un problema equivalente pero con condicionesde frontera (omo!neas.

Laplaciano en coordenadas cilndricas[editar]

#a separacin de variables para la coordenada radial lleva unproblema de 4turm;#iouville cuyas soluciones vienen dadasen trminos de las funciones de +essel.

Laplaciano en coordenadas esfricas[editar]

#a separacin de variables para las coordenadas an!ulareslleva un problema de 4turm;#iouville cuyas soluciones vienen

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_8ahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_9ahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_8bhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_9bhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_8chttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_9bhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=3https://es.wikipedia.org/wiki/Frontera_(topolog%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=4https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funciones_de_Bessel&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funciones_de_Bessel&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=5https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_8ahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_9ahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_8bhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_9bhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_8chttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_9bhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=3https://es.wikipedia.org/wiki/Frontera_(topolog%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=4https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funciones_de_Bessel&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=5

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dadas en trminos de los armnicos esfricos. Aientras quela funcin separada que depende de la coordenada radial essolucin de unaecuacin diferencial de Euler;0auc(yque esfcilmente inte!rable porque puede ser reducida auna ecuacin lineal de coeficientes constantes.

Problemas no homogneos[editar]@l!unas ecuaciones lineales en derivadas parciales no(omo!neas del tipo

pueden ser resulta mediante separacin de variables si lasolucin al problema se escribe mediante el principio desuperposicincomo suma de dos funciones diferentes- cadauna de las cuales es solucin de un problema que puede serresuelto por separacin de variables

7onde las condiciones iniciales para son indnticas a las delproblema ori!inal- mientras que las condiciones para setoman como (omo!neas. El procedimiento es similar al

usado para convertir un problema de 7iric(leta un problemade 'oissony viceversa.

Ecuaciones diferenciales ordinarias[editar]

'ara que una ecuacin admita ser resuelta medianteseparacin de variables debe cumplir al!unos requisitosespeciales de forma- por ejemplo una ecuacin de la forma

B/

@dmite separacin de variables si las funciones sonproductos de funciones que slo contienen a una de las dos

variables- es decir son de la formaEn ese caso la solucin !eneral de la ecuacin B/ es de laforma

https://es.wikipedia.org/wiki/Arm%C3%B3nicos_esf%C3%A9ricoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Ecuaci.C3.B3n_diferencial_de_Euler_o_de_Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Ecuaci.C3.B3n_lineal_con_coeficientes_constanteshttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=6https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poisson#Problema_de_Dirichlethttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poisson#Problema_de_Poissonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poisson#Problema_de_Poissonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poisson#Problema_de_Poissonhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=7https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_.2Ahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Equation_*https://es.wikipedia.org/wiki/Arm%C3%B3nicos_esf%C3%A9ricoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Ecuaci.C3.B3n_diferencial_de_Euler_o_de_Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Ecuaci.C3.B3n_lineal_con_coeficientes_constanteshttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=6https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poisson#Problema_de_Dirichlethttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poisson#Problema_de_Poissonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poisson#Problema_de_Poissonhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&section=7https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Eqnref_.2Ahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#Equation_*