INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD JUAREZ

MATERIA:

METODOS NUMERICOS

REPORTE:

APLICACIÓN A LA INTEGRACION NUMERICA

METODO DE SIMPON 1/3

REPORTE UNIDAD 4

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Nombre de los integrantes: Christian Berenice Molinar Alanís Ricardo Olivares García José Diego Zúñiga Payan Carlos Alfredo Agustín García

Matricula: 09111064 09111085 09111175 09110911

Nombre del Curso: Métodos Numéricos

Nombre del Profesor: María Leonor Castañeda Herrera

Modulo: Unidad 4 Integración y Diferenciación Numérica

Actividad: Reporte De La Aplicación Del Método Simpson de Integración Numérica

Fecha: 22 de Octubre de 2012

Bibliografía: (S.A)(S.F) recuperado de http://www.slideshare.net/123jou/integracin-numrica-parte-ii

(S.A)(S.F) recuperado de http://integralcalculus.galeon.com/album2277540.html

Objetivo: El estudiante conocerá, comprenderá y aplicará métodos numéricos para resolver problemas de la ingeniería y científicos mediante el uso de computadoras.

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INTRODUCCION. La integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. Para algunas ecuaciones el método analítico es una forma fácil de resolver este tipo de ecuaciones; sin embargo, hay ecuaciones de grados elevados, con los cuales se nos complicaría la resolución de estas, y es por eso que recurrir a un método numérico es una mejor opción (para los que quieren escapar del trabajo duro) para resolver tales ecuaciones si el mas mínimo esfuerzo gracias a las aplicaciones que podemos usar hoy en día para resolverlas.

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INTEGRACION NUMERICA POR EL METODO DE SIMPSON Así como en la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el

intervalo integral en varios segmentos de un mismo tamaño, es decir

A continuación se muestra la ecuación de la regla de Simpson:

NOTA: Como dato importante, esta regla solo se puede aplicar a una cantidad de

segmentos que sean par, de lo contrario no funcionara la regla. También se debe tomar en

cuenta que los números impares de se deben de multiplicar por 4 y los pares por 2.

])()(2)(4)([3

1 1

5,3,1

2

6,4,2

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n

i

n

j

nj xfxfxfxfhI

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APLICACIÓN DEL METODO DE INTEGRACION Resolveremos la siguiente ecuación para encontrar el área bajo la curva:

∫ [( ) ( )]

Método Analítico

Primero que nada debemos de eliminar los paréntesis para minimizar la expresión.

∫ ( )

∫ ( )

Ahora pasamos a integrar la ecuación:

∫ ( )

Valorado de -1 a 2

[ ( )

] [ ( )

( )

( )

]

[

] [

]

[

] [

]

Por lo tanto el área bajo la curva en los puntos [-1,2] en la ecuación es de A=39/2

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Método Numérico

∫ ( )

Primer paso encontramos h para 4 intervalos.

Donde b es el límite superior de la integral, a el límite inferior y n el número de

intervalos a realizar, por lo que quedara de la siguiente forma:

( )

Por lo que cada segmento del área bajo la curva se debe de dividir en 0.75

unidades. Ahora cada segmento que tenemos en X será el valor a sustituir en la ecuación

original.

Para = -1

( ) [( ( ) ( ) )]

Por lo tanto ( )

Para = -0.25

( ) [( ( ) ( ) )]

Por lo tanto ( )

Para = 0.5

( ) [( ( ) )]

Por lo tanto ( )

Para = 1.25

( ) [( ( ) )]

Por lo tanto ( )

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Para = 2

( ) [( ( ) )]

Por lo tanto ( )

Tabla de Iteraciones

F( )

-1 8

-0.25 8.1875

0.5 7.25

1.25 5.1875

2 2

Teniendo estos valores ahora pasamos a ingresarlos en la regla de Simpson.

[ ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( )]

Para n = 4

( )[ [( ) ( )] [ ] ]

Por lo que tenemos el resultado:

( )[ ]

Que en fracción seria:

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Usando Una Aplicación Para La Resolución De La Integración Numérica

Plataforma en que se llevo la aplicación: JAVA

Compilador Usado: NetBeans 6.9.1

Código Fuente Del Programa

public class simpson extends Applet{

//Metodo de Simpson

public double F(double x){

double y;

y=(9- Math.pow(x, 2))-(x+1);//funcion que se integra f(x) = (9-x^2)-(x+1)

return y;

}

public double MetdeSim(double Xi,double Xf,int n){

double h=(Xf-Xi)/n;

//El primer y el ultimo F(x) se multiplican por un factor de 1

double area=F(Xi);

area=area+F(Xf);

Xi=Xi+h;

for(int i=1;i<=n-1;i++){

//Los F(x) impares se multiplican por 4

if(i%2==1)

area=area+4*F(Xi);

//Los F(x) pares se multiplican por 2

else

area=area+2*F(Xi);

Xi=Xi+h;

}

return h/3*area;

}

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Capturas Del Programa

Ejecutamos el programa y nos aparecerá una pantalla como esta:

Como podemos ver la ecuación esta visible en la esquina superior izquierda, es la función con la

cual se trabajara. Ahora le damos los valores correspondientes, para el punto inicial será de -1 y

punto final será de 2.

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Tomemos en cuenta que la regla de Simpson solo deberá de aceptar números pares para

dividir el área bajo la curva, por lo que al tratar de ingresar un valor impar saldrá el mensaje

siguiente.

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Se deberá de ingresar un numero par en las divisiones de estas para poder usar la

aplicación. Usaremos el mismo intervalo que en la ecuación, con n = 4

Como podemos ver, las líneas azules nos indican el intervalo que se esta usando, y es el

área de la cual buscara a partir de este método. Vemos que el resultado de la ecuación es de 19.5

lo cual equivale a 39/2 si se hace la integral de manera analítica.

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Conclusión

Al usar alguno de los otros métodos de Integración Numérica, la regla de Simpson

es, al parecer, la regla que mas se aproxima al calculo del área que cualquier otra, ya que

su rango de error, a medida que se va aumentando la cantidad de divisiones dentro del

segmento [a, b], se va disminuyendo gracias a que se van dejando menos “huecos” debajo

de la curva, que es lo que ocurre con el método del trapecio.

No obstante para este ejemplo fue sencillo usar el método Simpson ya que fue una

ecuación simple con la cual, resolvimos por el método analítico y numérico, pero hay

ecuaciones que resolverlas por el método analítico llevaría tiempo y con la regla de

Simpson también, por lo que usar un programa como el visto aquí, nos puede facilitar el

trabajo de manera que sea menos el tiempo para encontrar la resultante.