Método de Steffensen

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA MATEMATICA APLICADA 3

MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado

Método de Steffensen

Aceleración de la convergencia 2 Aitken ( Método de Steffensen)

Este Método es basado en una función xgx en la cual 10

/ xg NO ES NECESARO

CALCULARLO, entonces se puede mejorar su comportamiento respecto de la rapidez de

convergencia.

Sin usar para ello ninguna derivada, el método de Steffensen proporciona convergencia

cuadrática en la localización de un punto fijo de una función real. Este método puede ser

considerado como una simplificación del método de Newton, pero este método empieza con dos

aproximaciones por el método de punto fijo, entonces tenemos la siguiente expresión:

Supongamos que nnp es una sucesión linealmente convergente con un límite de valor p.

Supongamos primero que los signos de las aproximaciones son: ,ppn ppn 1 , ppn 2

son iguales y que "n" es suficientemente grande como para que:

pp

pp

pp

pp

n

n

n

n

1

21

Entonces:

pppppp nnn 2

2

1

,2 2

22

2

1

2

1 pppppppppp nnnnnn

Transponiendo al lado izquierdo los términos que contiene "p", tenemos:

2

1212 2 nnnnnn ppppppp ,

Despejando "p" que es la aproximación a la raíz tenemos:

12

212

2

nnn

nnn

ppp

pppp

Si sumamos y restamos 2

np y nn pp 12 en el numerador y agrupando términos tenemos:

12

21

21

212

2

22

nnn

nnnnnnnnn

ppp

pppppppppp

12

21

2112

2

22

nnn

nnnnnnnn

ppp

ppppppppp

12

21

21

12

12

2

2

2

2

nnn

nnnn

nnn

nnnn

ppp

pppp

ppp

ppppp



12

21

21

2

2

nnn

nnnn

ppp

pppp

npp

12

21

2

nnn

nn

ppp

pp

npp

Reescribiendo la formula tenemos:

012

201

202 ppp

pp

n pp

; Donde:

0p Punto inicial del método

01 pgp

12 pgp

2np Aproximación a la raíz

20 nppError

Si nos damos cuenta este método necesita 2 aproximaciones iníciales por el método de Punto Fijo

y luego la aproximación a la raíz por medio de la formula modifica de Newton

Ejemplo:

1) Aplique el Método de Steffesen para encontrar la aproximación a la raíz de la función

xxxf 2 en el intervalo de 1,0 con un aproximación inicial de 5.00 p y una

310*1 tol

Solución:

Primero calculamos una función xg cualquiera, para la cual 10

/ pg no importa que no

cumpla. Entonces tenemos:

xxx xgxx 2220

1era. Iteración (n=1):

Como la tolerancia contiene 3 decimales (310*1

=0.001), trabajaremos el método agregando 2

decimales mas, esto se hace para ver el comportamiento del error con el fin que en algún

momento pf no llegue a ser cero directamente ya que eso es casi imposible que suceda, por lo

tanto todos los cálculos los haremos con 5 decimales, pero el método para el criterio de paro si se

toma en cuenta 310*1

para el error.

Para esta iteración necesitamos un punto de arranque, ese punto de arranque es el punto que

nos dieron en el enunciado del problema 5.00 p , por lo tanto tenemos que hacer 2

aproximaciones iníciales por punto fijo y luego la aproximación a la raíz por la fórmula del método

5.00 p

70711.025.0 5.0

01 gpgp 61255.0270711.0 70711.0

12 gpgp



64219.05.070711.0261255.0

5.070711.05.0

23

2

21

012

2

0102

pp

ppp

ppppn

14219.064219.05.020 ErrorppError n

Este error No es menor que 310*1

, como no se cumple que tolpp n 20

310*114219.0 se

hace otra iteración. Haciendo una tabla de los cálculos que tenemos hasta el momento:

n 0p 1p 2p 2np Error

1 0.5 0.70711 0.61255 0.64219 0.14219

2da Iteración (n=2)

Para esta iteración necesitamos un punto de arranque, ese punto de arranque es el punto

64219.03 p de la iteración anterior, por lo tanto tenemos que volver hacer las dos

aproximaciones por punto fijo y luego la aproximación a la raíz por la formula mejorada de

newton:

64219.00 p

64074.02

64219.0

64219.0

1

01

p

gpgp

64138.02

64074.0

64074.0

2

12

p

gpgp

64119.064074.064074.0264138.0

064219064074.064219.0

24

2

22

012

2

0102

pp

ppp

ppppn

00100.06411964219.020 ErrorppError n



310*100100.0 se



1 0.5 0.70711 0.61255 0.64219 0.14219

2 0.64219 0.64074 0.64138 0.64119 0.00100

Seguimos haciendo las iteraciones hasta que tolpp n 20, completando el método tenemos lo

siguiente:


1 0.5 0.70711 0.61255 0.64219 0.14219

2 0.64219 0.64074 0.64138 0.64119 0.00100

3 0.64119 0.64119 0.64119 0.64119 4.75*10-8

La aproximación a la raíz es de x=0.64119

***AHORA SI ESCOGEMOS LA OTRA FORMA DE ECONTRAR LA xg TENIENDO EL MISMO INTERVALO,

PUNTO DE ARRANQUE Y TOLERANCIA TENEMOS:

2ln

ln220

xxgxx xx



Ahora haciendo todos pasos para obtener todas las iteraciones respectivas y plasmándolas en la

tabla tenemos:


1 0.5 1.00000 0.00000 0.66667 0.16667

2 0.66667 0.58496 0.77358 0.64197 0.02469

3 0.64197 0.63942 0.64517 0.64119 0.00079

PODEMOS VER QUE LA APROXIMACION A LA RAIZ ES x=0.64119 , ENTONCES PODEMOS VER QUE NO

IMPORTA LA xg QUE TOMEMOS QUE SIEMPRE VAMOS A ENCONTRAR LA APROXIMACION A LA

RAIZ

2) Use el método de Steffensen para aproximar la solución de la ecuación 0cos102 xx

dentro del intervalo 4,3 , con 30 p y una 410*1 tol .

Solución:

Primero calculamos una función xg cualquiera, para la cual 10

/ pg no importa que no

cumpla. Entonces tenemos:

xxgxxxx cos10cos10cos102

1era. Iteración (n=1):

Como la tolerancia contiene 4 decimales (410*1

=0.0001), trabajaremos el método agregando 2

decimales mas, esto se hace para ver el comportamiento del error con el fin que en algún

momento pf no llegue a ser cero directamente ya que eso es casi imposible que suceda, por lo

tanto todos los cálculos los haremos con 6 decimales, pero el método para el criterio de paro si se

toma en cuenta 410*1

para el error.

Para esta iteración necesitamos un punto de arranque, ese punto de arranque es el punto que

nos dieron en el enunciado del problema 30 p , por lo tanto tenemos que hacer 2

aproximaciones iníciales por punto fijo y luego la aproximación a la raíz por la fórmula del método

30 p

146415.33cos10

3

1

01

p

gpgp

162259.3146415.3cos10

146415.3

2

12

p

gpgp

164182.33146415.32162259.3

3146415.35.0

23

2

21

012

2

0102

pp

ppp

ppppn

164182.0164182.3320 ErrorppError n



410*1164182.0 se



1 3 3.146415 3.162259 3.164182 0.164182

2da Iteración (n=2)



Para esta iteración necesitamos un punto de arranque, ese punto de arranque es el punto

164182.33 p de la iteración anterior, por lo tanto tenemos que volver hacer las dos

aproximaciones por punto fijo y luego la aproximación a la raíz por la formula mejorada de

newton:

164182.30 p

161874.3164182.3cos10

164182.3

1

01

p

gpgp

161952.3161874.3cos10

161874.3

2

12

p

gpgp

161950.3164182.3161874.32161952.3

164182.3161874.3164182.3

24

2

22

012

2

0102

pp

ppp

ppppn

002232.0161950.3164182.320 ErrorppError n



410*1002232.0 se



1 3 3.146415 3.162259 3.164182 0.164182

2 3.164182 3.161874 3.161952 3.161950 0.002232

Seguimos haciendo las iteraciones hasta que tolpp n 20, completando el método tenemos lo

siguiente:


1 3 3.146415 3.162259 3.164182 0.164182

2 3.164182 3.161874 3.161952 3.161950 0.002232

3 3.161950 3.161950 3.161950 3.161950 1.2936E-07

La aproximación a la raíz es de x=3.161950

****AHORA SI ESCOGEMOS OTRA FORMA DE ECONTRAR LA xg TENIENDO EL MISMO INTERVALO,


x

xxg

x

xxxxxxx

cos10cos10cos10*cos102

Ahora haciendo todos pasos para obtener todas las iteraciones respectivas y plasmándolas en la

tabla tenemos:


1 3 3.299975 2.992398 3.148111 0.148111

2 3.148111 3.176441 3.146266 3.161829 0.013719

3 3.161829 3.162079 3.161813 3.161950 0.000121

4 3.161950 3.161950 3.161950 3.161950 9.3633E-09

PODEMOS VER QUE LA APROXIMACION A LA RAIZ ES x=3.161950 , ENTONCES PODEMOS VER QUE NO

IMPORTA LA xg QUE TOMEMOS QUE SIEMPRE VAMOS A ENCONTRAR LA APROXIMACION A LA

RAIZ



****AHORA SI ESCOGEMOS OTRA FORMA DE ECONTRAR LA xg TENIENDO EL MISMO INTERVALO,


10cos

10cos

10cos0cos10

21

21

22 x

xgx

xx

xxx

CON ESTA FUNCION xg NO SE PUEDE ECONTRAR LA APROXIMACION A LA RAIZ PORQUE ESTA

FUNCION AL INGRESARLE LOS VALORES DE 0p , 1p Y 2p DE LA SEGUNDA ITERACION SE SALE DEL

DOMINIO DE LA FUNCION xg , POR LO CONSIGUIENTE LOS RESULTADOS SON VALORES

COMPLEJOS.

METODO DE MULLER

Un polinomio de grado “n” tiene la forma: 01

1

1 ..... aaxaxaxP n

n

n

n

, si P(x) es un polinomio

de grado “n” mayor o igual que 1 con coeficientes reales o complejos, entonces P(X)=0 tiene al

menos una raíz (posiblemente compleja). Si P(X) es un polinomio de grado “n” mayor o igual que 1

con coeficientes reales o complejos, entonces existen constantes únicas kxxxx .....,, 321

posiblemente complejas, y enteros positivos kmmmm ....., 321 tales que

k

i i nm1

y

km

k

mmm

n xxxxxxxxaxP .......321

321 , lo anterior establece que el conjunto de

ceros de un polinomio es único y que si cada cero Xi se cuenta el mismo número de veces que su

multiplicidad im , entonces un polinomio de grado “n” tendrá exactamente “n” ceros. Si queremos

localizar ceros aproximados de un polinomio P(X) con el procedimiento de Newton, necesitamos

evaluar P(X) en valores específicos. Puesto que P(X) y P´(X) son polinomio, la eficiencia

computacional requiere evaluar estas funciones en la forma anidada.

El problema de aplicar el Método de Newton a los polinomios, es la posibilidad de que el

polinomio contenga raíces complejas, cuando todos los coeficientes son números reales. Si la

aproximación inicial mediante el método de Newton es un numero real, también lo serán las

aproximaciones subsecuentes. Una manera de superar esta dificultad consiste en comenzar con

una aproximación inicial compleja y efectuar todos los cálculos por medio de la aritmética

compleja.

Si biaz es un cero complejo de multiplicidad “m” del polinomio P(X), entonces

biaz ˆ también será un cero de multiplicad “m” del polinomio P(X) y mbaaxx 222 2 será

factor de P(X). El método de Muller es una extensión del método de la Secante. Este ultimo

comienza con dos aproximaciones iniciales 10 xyx y determina la siguiente aproximación 2x

como la intersección del eje “x” con la línea que cruza 1100 ,, xfxyxfx .

El método de Muller utiliza tres aproximaciones iniciales 210 , xyxx (siendo estos valores

aproximaciones a una de las raíces) y determina la siguiente aproximación 3x al considerar la

intersección del eje “x” con la parábola que atraviese 221100 ,,,, xfxyxfxxfx . La



deducción del Método de Muller comienza considerando el polinomio cuadrático

cxxbxxaxP 2

2

2 que pasa por los puntos 221100 ,,,, xfxyxfxxfx .

Podemos determinar las constantes a, b y c a partir de las condiciones:

102120

21202021

102120

20

2

2121

2

20

2

2

2

21

2

211

20

2

200

00

xxxxxx

xfxfxxxfxfxxa

yxxxxxx

xfxfxxxfxfxxb

xfcentoncescbaxP

ycxxbxxaxP

cxxbxxaxP

)()()()( 20

2

2020 xxbxxaxfxf

)()()()( 21

2

2121 xxbxxaxfxf

Resolviendo por sustitución para “a” y “b” tenemos

102120

21202021

102120

20

2

2121

2

20

2

2

2

21

2

211

20

2

200

00

xxxxxx

xfxfxxxfxfxxa

yxxxxxx

xfxfxxxfxfxxb

xfcentoncescbaxP

ycxxbxxaxP

cxxbxxaxP

Definiendo de esta forma:

010 xxh , 121 xxh

01

010

)()(

xx

xfxf

y

12

121

)()(

xx

xfxf

Sustituyendo en el sistema:

1100

2

1010 )()( hhahhbhh

11

2

11 hahbh

Teniendo como resultado los coeficientes:

01

01

hha

11 ahb )( 2xfc

Si queremos determinar 3x , un cero de P, aplicamos la formula cuadrática P(X)=0. Sin embargo,

debido a los problemas del error de redondeo ocasionado por la sustracción de números casi

iguales, utilizaremos la formula siguiente (esta fórmula esta racionalizada de la formula

cuadrática):



acbb

cxx

4

2223

Esta fórmula ofrece dos posibilidades de 3x , según el signo que produce al termino radical. En el

Método de Muller, el signo se elige de modo que corresponda al signo de “b”. De esa forma el

denominador será el de mayor magnitud y hará que 3x sea seleccionada como raíz de “P” que

esta mas cercana a 2x , Por tanto:

acbb

cxx

4

2223

Una vez que determinamos 3x , reinicializamos el procedimiento usando 321 , xyxx en vez de

210 , xyxx para obtener la siguiente aproximación 4x en método prosigue hasta que se logra una

conclusión satisfactoria. En cada paso el método contiene el radical acb 42 , por tanto, puede

aproximar las raíces complejas cuando 042 acb . Con el algoritmo siguiente se establece este

procedimiento:

Ejemplo 1:

Encontrar la raíz real positiva de la función 4016122 234 xxxxxf por el método

de Muller con una tolerancia de 0.00001.

*El método de Muller para poder iniciar necesita 3 puntos cercanos a la raíz, entonces graficamos

la función y veremos qué puntos cercanos a la raíz tomamos para iniciar el método

dxfbD

dhrb

hh

rrd

h

xfxfr

h

xfxfr

xxh

xxh

PASO

**4

*

2

1

2

2

22

21

12

122

1

011

122

011

tolherror

hxraizxp

E

xfh

DbEnosi

DbEentonces

DbDbsi

PASO

23

2*2

2

raizxpx

xx

xx

PASO

32

21

10

3



Graficando vemos que la raíz positiva esta cerca de x=4, tomando 3 puntos cercanos a esta corte

tenemos: 5,5.4,4 210 xxx . Ahora iniciando el método tenemos:

1era iteracion (n=1)

PASO 1:

PASO 2:

Si

Entonces

Si no



PASO 3

, y

x0 = 4.5 x1 = 5 y x2 = 4.384397

2da iteración (n=2)

Volvemos a hacer los mismos pasos anteriores tomando como valores iníciales x0 = 4.5 , x1 = 5 , x2

= 4.384397. Seguimos iterando hasta que cumpla con la tolerancia, para este ejemplo solo se

necesitan 4 iteraciones para encontrar la raíz. Las columnas que necesitamos para el método de

Muller son las siguientes:

n Xo X1 X2 h1 h2 r1 r2 d b D E h P error

La Siguiente tabla contiene todas las iteraciones necesarias para encontrar un valor de "x" con una

tolerancia de 1*10-5

n Xo X1 X2 h1 h2 r1 r2

1 4 4.5000 5.0000 0.5000 0.5000 113.6250 196.3750

2 4.5 5.0000 4.3844 0.5000 -0.6156 196.3750 186.1030

3 5 4.3844 4.3811 -0.6156 -0.0033 186.1030 132.3058

4 4.3844 4.3811 4.381113 -0.0033 0.0000 132.3058 132.0531

d b D E h P error

82.7500 237.7500 135.8678 373.6178 -0.6156 4.3843977 0.6156023

88.8559 131.4031 130.8141 262.2173 -0.0033 4.3810834 0.0033143

86.9217 132.0177 132.0229 264.0406 0.0000 4.3811134 0.0000301

76.9288 132.0554 132.0554 264.1109 0.0000 4.3811134 0.0000000

El valor de "x" es aprox. = 4.381113

Método de Steffensen

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